Mašinska vizija

Dr Nenad Jovičić

2017.

tnt.etf.rs/~mv

Linearne 2D geometrijske transformacije

2D geometrijske transformacije

• Pretpostavka: – Objekti u 2D prostoru se sastoje iz tačaka i linija. Svaka

tačka se definiše parom koordinata X=(x,y) ili se predstavlja vektorom:

• Geometrijska transformacija: – Neka je (A,B) duž između tačaka A i B. Geometrijska

transformacija T transformiše duž (A,B) u duž (A’,B’) tako da važi

A’=TA i B’=TB

Translacija

Skaliranje

Skaliranje?

• Kako da skaliram objekat a da mu ne pomerim koordinatni početak?

Rotacija

Rotacija?

• Kako da rotiram objekat oko proizvoljne tačke?

Matrični zapisa

• Svaku tačku u 2D prostoru mogu da predstavim kao vektor sa dve koordinate:

• Kako se vektor koji predstavlja tačku množi sa kvadratnom matricom veličine 2x2?

Transformacije kroz matrice

• Većina 2D geometrijskih trasformacija može da predstavim kao množenje vektora tačke sa 2x2 kvadratnom matricom:

Primeri

• Skaliranje

• Rotacija

Problem!

• Postoji jedna jednostavna i česta transformacija koja ne može da se predstavi množenjem sa matricom:

Rešenje: Homogene koordinate

• Mapiranje iz iz Rn u Rn+1

• Svakoj tački u 2D prostoru koja ima koordinate (x,y) dodeljuje se tačka u 3D prostoru kojoj se dodaje jedna fiktivna koordinata W.

• Koordinate 2D tačke se uvek mogu dobiti iz homogenih koordinata deljenjem sa trećom koordinatom:

• Konstanta t je proizvoljna tj. važi:

(x,z,1)= (2x,2y,2)= (tx,ty,t).

Geomterijska interpretacija

• Geometrijski posmatrano par (x,y) definiše duž koja polazi is koordinatnog početka i prolazi kroz tačke (x,z,1), (2x,2y,2),.... (tx,ty,t).

Translacija uz pomoć homogenih koordinata

• Translacija se uz pomoć homogenih koordinata može predstaviti kao množenje:

Rotacija oko proizvoljne ose

Rotacija oko proizvoljne ose

Linearne 2D geometrijske transformacije sa homogenim

koordinatama

Translacija

Skaliranje

Rotacija

Euklidska (rigidna) transformacija

Skalirana Euklidska transformacija

Afina transformacija

Projektivna

Rezime

Camera Obscura

Camera Obscura, Gemma Frisius, 1558

Model Pinhole kamere

image plane

effective focal length, f’ optical axis

y

x

z

pinhole

),,( zyxr

z

y

f

y

z

x

f

x

'

'

'

'

zf

rr

'

'

)',','(' fyxr

Geometrija formiranja slike

Forward projection

• Model prevođenja tačaka iz 3D sveta na 2D prostor koordinata piksela.

• Cilj: Svesti sve ove transformacije na matrične operacije.

Backword projekcija

• Model rekonstrukcije 3D scene na osnovu poznatih 2D koordinata projektovanih tačaka u koordinatnom sistemu kamere.

• Primer je stereovizija.

Forward projection

• Rigidne transformacije: translacija+rotacija

Transformacija iz koordinatnog sistema sveta u koordinatni sistem kamere

• Tačke Pc i Pw predstavljaju istu fizičku tačku ali u različitim koordinatnim sistemima.

Transformacija iz koordinatnog sistema sveta u koordinatni sistem kamere

Matrična forma – homogene koordinate

• Zahvaljujući homogenim koordinatama sve se svodi na množenje matrica.

Matrična forma – homogene koordinate

Stereo vizija

Stereo vizija

Forward projection

Osnovna perspektivna projekcija

Gubi se realna dimenzija dubine

Gubi se realna dimenzija dubine

Osnovna perspektivna projekcija

Jednačine izvedene na osnovu sličnosti trouglova

Osnovna perspektivna projekcija

Jednačine izvedene na osnovu sličnosti trouglova

Osnovna perspektivna projekcija

Kako ovo predstaviti u matričnoj formi?

Matrična forma perspektivne projekcije

Forward projection

Intrinsic parametri

• Opisuju transformaciju iz koordinatnog sistema projektovane slike u koordinatni sistem senzora.

Skaliranje

• U opštem slučaju pikseli ne moraju da budu kvadratni i u tom slučaju definiše se aspect ratio= sy/sx

- -

Ako nije sve idealno…

• Transformacije iz ravni slike u ravan senzora

Zašto nije idealno?

Sve zajedno...

Sve zajedno...