Managerial Decision Modeling

1

Managerial Decision Modeling

Cliff Ragsdale6. edition

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE

Chapter 11Time Series Forecasting

2Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE

En tidsserie er en samling av observasjoner for en kvantifiserbar variabel registrert i kronologisk tidsrekkefølge.Eksempel

BørsindekserHistoriske data over salg, lager, antall kundebesøk, rentesatser, kostnader, etc.

Bedrifter er ofte interessert i å predikere tidsserie-variabler. Ofte finnes ikke uavhengige variabler som kan benyttes i en regresjonsmodell for en tidsserievariabel.I tidsserieanalyser analyserer vi den historiske utviklingen til en variabel for å kunne predikere dens framtidige utvikling.

Introduksjon til tidsserieanalyser

BØK350 OPERASJONSANALYSE 3Rasmus Rasmussen

Som å kjøre en bil ved å se på veien via speilet bakover:

Vi ser hvor veien har svingt tidligere, og forsøker å styre bilen deretter!

Prediksjoner basert på tidsserieanalyse


Stasjonære data – en tidsserievariabel som ikke viser noen signifikant trend opp eller ned over tid.

Ikke-stasjonære data – en tidsserie-variabel som viser en tydelig trend opp eller ned over tid.

Sesong data – en tidsserievariabel som viser et repeterende mønster med jevne intervall over tid.

Noen tidsserieuttrykk


Det finnes veldig, veldig mange forskjellige tidsserieanalysemetoder.

Det er vanligvis umulig å vite hvilken teknikk som vil passe best for et bestemt datasett.

Som regel prøves flere forskjellige teknikker, for å velge ut den som synes å passe best.

For å lage effektive tidsseriemodeller, må en ha flere forskjellige metoder i ”verktøyboksen”.

Bruk av tidsserieanalyse


Forskjellige prediksjonsmodellerData Modeller som tillater skift i nivå/trend/sesong

Stasjonære dataKonstant nivå med tilfeldige variasjoner

Glidende gjennomsnittVeid glidende gjennomsnittEksponensiell glatting

Sesong Konstant nivå med sykliske variasjoner

Eksponensiell glatting / additiv sesongEksponensiell glatting / multiplikativ sesong

TrendLangsiktig generell endring i nivå

Dobbelt glidende gjennomsnittHolt’s metode (dobbel eksponensiell glatting)

Trend & Sesong

Holt-Winter med additiv sesongHolt-Winter med multiplikativ sesong


Vi trenger et mål for å sammenligne hvordan forskjellige tidsseriemodeller passer til dataene.

Fire av de vanligste målene er:mean absolute deviation,

mean absolute percent error,

the mean square error,

root mean square error.

Vi vil fokusere på MSE.

Mål på nøyaktighet

1

ˆn i i

i

Y YMAD

n

1

ˆ100 n i i

i i

Y YMAPE

n Y

2

1

ˆn i i

i

Y YMSE

n

RMSE MSE


En bør være på vakt når en sammenligner MSE verdier for forskjellige prediksjonsteknikker.

Den minste MSE kan være resultatet av en teknikk som passer gamle data meget godt men gjenspeiler nye data dårlig.

Noen ganger er det klokt å beregne MSE kun for de seneste observasjonene.

Sammenlign MSE for samme perioder.

Bør bruke blindtest !

En kommentar til bruk av feilmål


Feilmålene brukes for å se hvor godt en metode tilpasser seg historiske data.

For å velge mellom ulike metoder, bør en foreta en blindtest – lage prognoser for perioder der modellen ikke får se dataene.

En velger så den metoden som har minst feil i blindtesten.

Fornuftig bruk av feilmål


1. Initialserie.Første del av dataserien benyttes for å beregne startverdier for parameterne i modellen.

2. Tilpassingsserie.Andre del av dataserien benyttes for å tilpasse gode verdier for parameterne – slik at feilene blir minst mulig.

3. Testserie.Siste del av dataserien benyttes til blindtest, der man tester hvor god modellen er.

Oppdeling av dataserien


Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn til tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et forsøk på å predikere den framtidige utviklingen av den samme variabelen.

Vi skal først ta for oss forskjellige ekstrapoleringsteknikker som passer for stasjonære data.

Ekstrapoleringsmodeller

1 1 2ˆ , , ,...t t t tY f Y Y Y


Basert på de historiske observasjonene skal vi forsøke å framskrive et datamønster for å lage prognoser for framtiden.

TIDSSERIE

VariabelYt

Tid

t

Nå

Periodet

1 2 t-1 t….. t+1 t+2

Y1 Y2 Yt-1 Yt Yt+1? Yt+2 ?

O B S E R V A S J O N S E R P R E D I K S J O N E R


Stasjonær data

0 4 8 12 16 20 2450

60

70

80

90

100

110

120

130

140 Stasjonær serie med skift i nivå


KONSTANTMODELLENVariabel

Yt

Et

TidtNå


KONSTANTMODELLEN

Observert verditY

ˆ Predikert verditY

Anslag på nivåtE

Tilfeldig støytu

1 1 1 Et t tY u ˆ Et k tY

Data-modell: Prognose-modell:

Yt

Et

Tidt


ANSLAG PÅ NIVÅ – Naiv metode

t tE Y Naiv metode: Yt

Et

Tidt

Bruker kun siste observasjon som anslag på nivået.

Prognose-modell:ˆ Et k tY


Glidende gjennomsnitt:

Det finnes ingen generell metode for å bestemme n.

Vi må forsøke med forskjellige verdier for n for å se hvilken som virker best.

ANSLAG PÅ NIVÅ – Glidende gjennomsnitt

1 1....t t t nt

Y Y YEn


Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere observasjoner likt :

Veid glidende gjennomsnitt tillater at tidligere observasjoner vektlegges forskjellig.

Vi må bestemme verdier for n og alle wi

ANSLAG PÅ NIVÅ – Veid glidende gj.sn

-1 11 1 1

t t t t nE Y Y Yn n n

1 2 -1 1...t t t n t nE wY w Y w Y

0 1 og 1i iw w


a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Prognose-modell:

Kan betrakte eksponentiell glatting som et veid gjennomsnitt av alle observasjoner, der siste observasjon har størst vekt.

ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting

0

1 jt t j

j

E Y

0 1

21 2Y (1 )Y (1 ) Y (1 ) Yn

t t t t t nE

ˆ t k tY E


b. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som en veid sum av siste observasjon og forrige estimat.


11t t tE Y E

1 21 1t t tY Y E

0

1 jt t j

j

E Y


c. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som en forventet verdi, gitt siste observasjon.


11t t tE Y E

= sannsynlighet for at siste observasjon viser korrekt nivå

1 = sannsynlighet for at forrige estimat viser korrekt nivå

Gir samme funksjon som b (og a).


d. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som en oppdatering basert på korreksjon av prediksjonsfeil.


1 1t t t tE E Y E

1ˆ ˆ ˆt t t tY Y Y Y

1 1ˆ 1t t t tY E Y E


Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Ulike måter å tolke eksponentiell glatting, men samme matematiske konklusjon!


1 1t t t tE E Y E

ˆ ˆt t t tE Y Y Y

11t t tE Y E


1. Del inn tidsserien:1. Initialserie2. Tilpassingsserie3. Testserie (blindtest)

2. Beregn startverdier i initialserien.3. Foreta tilpassinger i tilpassingsserien

1. Finn gode verdier på modellparameterne

4. Foreta prognoser i testserien. (Test ulike modeller.)5. Velg den prognosemetode som er best i blindtesten:

1. Oppdater modellen (Tilpassingsserien inkluderer nå også det som var testserien.)

2. Finn nye gode verdier på modellparameterne.3. Lag prognose for den ukjente framtiden.

Prediksjonsprosessen


Electra-City er en detaljist som selger audio og video utstyr for hjem og bil.

Lederen må hver måned bestille varer fra et lager langt unna.

Nå skal lederen forsøke å estimere hvor mange VCR’er forretningen vil komme til å selge neste måned.

Han har samlet data for de siste 24 månedene.

Et eksempel


Data

Stasjonær dataserie:- Ingen trend- Ingen repeterende

sesong


Glidende gjennomsnitt


Prognoser etter blindtest


Veid glidende gjennomsnitt


Eksempel med toeksponensielle glattingsfunksjoner

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2528

30

32

34

36

38

40

42

Number of VCRs SoldExp. Smoothing alpha=0.1Exp. Smoothing alpha=0.9

Time Period

Uni

ts S

old


Eksponentiell glatting


Isteden for å bruke en formel for å beregne en startverdi, kan vi la Solver finne en ”optimal” startverdi.

Da kan vi beholde hele datasettet (fordi vi slipper å bruke noen av dataene til estimering av startverdier).

Vi får også en bedre tilpasning til de historiske dataene.

Startverdier


Eksponentiell glatting


1. Del inn tidsserien

Initialserie

Tilpassingserie

Blindtest


2. Beregn startverdier

Beregn startverdier

Merk:Istedenfor formler, kan en la Solver velge startverdier.


3. Foreta tilpassigner

Bruk Solver til å minimere MSE i tilpassingsperioden, ved å velge verdier på modellparametrene.

Lag en-periodiske prognoser, og oppdater modellparametrene.


4. Lag prognoser i testserien

Lag prognoser for hele blindtestperioden, med utgangspunkt i siste periode i tilpassingsserien.

Beregn MSE for blindtestperioden.


5. Lag prognoser for fremtidenLag en-periodiske prognoser for hele datasettet, også det som tidligere var brukt til blindtest.

Minimer MSE for hele den nye tilpassingsserien.

Lag prognoser for framtiden, basert på siste periode med data.


Velg den prognosemetode som gir lavest prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten.

Valg av prognosemodellMetode MSE

Glidende gj.snitt 2 perioder 6,67Glidende gj.snitt 4 perioder 1,92Veid glidende gjennomsnitt 2 perioder 4,73Eksponensiell glatting (formel initialverdier) 4,14Eksponensiell glatting (Solver velger initialverdier) 1,47


Sesongvariasjoner er et jevnt, repeterende mønster rundt en nivålinje, og er veldig vanlig i økonomiske data.

Kan være av additiv eller multiplikativ art...

Sesongvariasjoner


Stasjonære sesongeffekter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Additive Seasonal Effects

Time Period

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Multiplicative Seasonal Effects

Time Period


Et er forventet nivå for periode t.

St er sesongfaktoren for periode t.

Stasjonære data med additive sesongeffekter

t̂ k t t k pY E S

11t t t p tE Y S E

1t t t t pS Y E S

0 10 1

Anslag nytt nivå

Anslag ny

sesong

Forrige nivå

Forrige sesong

p angir antall sesonger i et år


Stasjonære data med additive sesongeffekter

1

1 1,...,p

t tt

E Y for t pp

1,...,t t tS Y E for t p

Gjennomsnitt


Initialverdier:


Stasjonære data med additiv sesong

2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien.

1. Formler beregner startverdiene.

3. Bereger MSE for blindtesten.




1. Solver beregner startverdiene.





1. Oppdaterer tilpassingsserien helt til slutten av datasettet.

3. Lager prognoser for framtiden.


Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28:

Predikere ved modell med additive sesongvariasjoner

24 24 24 4ˆ

k kY E S

25 24 21ˆ 354, 44 8, 45 363,00Y E S

26 24 22ˆ 354, 44 17,82 336,73Y E S

27 24 23ˆ 354,44 46,58 401,13Y E S

28 24 24ˆ 354,44 31,73 322,82Y E S



St er sesongfaktoren for periode t.

Stasjonære data med multiplikative sesongeffekter

t̂ k t t k pY E S

11tt t

t p

YE ES

1tt t p

t

YS SE

0 10 1

Anslag nytt nivå

Anslag ny

sesong

Forrige nivå

Forrige sesong



Stasjonære data med multiplikative sesongeffekter

1

1 1,...,p

t tt

E Y for t pp

1,...,tt

t

YS for t pE

Gjennomsnitt


Initialverdier:


Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner


1. Formler beregner startverdiene.





1. Solver beregner startverdiene.





1. Oppdaterer tilpassingsserien helt til slutten av datasettet.

3. Lager prognoser for framtiden.


Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28:

Predikere modell med multiplikative sesongvariasjoner

24 24 24 4ˆ

k kY E S

25 24 21ˆ 353,95 1,015 359,13Y E S

26 24 22ˆ 353,95 0,946 334,94Y E S

27 24 23ˆ 353,95 1,133 400,99Y E S

28 24 24ˆ 353,95 0,912 322,95Y E S


Velg den prognosemetode som gir lavest prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten.

Valg av prognosemodell

Metode MSE

Eksponensiell glatting og additiv sesong (formel initialverdier) 418,76

Eksponensiell glatting og additiv sesong (Solver velger initialverdier) 365,90

Eksponensiell glatting og multiplikativ sesong (formel initialverdier) 485,49

Eksponensiell glatting om multiplikativ sesong (Solver velger intialverdier) 409,14


Trend er en langsiktig bevegelse eller utvikling i en generell retning for en tidsserie.

Vi skal nå se på noen ikke-stasjonære tidsserieteknikker som kan passe for data som inneholder en stigende eller synkende trend.

Trend-modeller


WaterCraft Inc. er en produsent av water crafts (såkalte sjøscootere).

Selskapet har gledet seg over en rimelig stabil vekst i salget av sine produkter.

Selskapets ledelse forbereder salgs- og produksjonsplaner for kommende år.

Prognoser behøves for salgsnivået selskapet forventer å oppnå hvert kvartal.

Et eksempel med trend


Data med trend



Tt er forventet trend for periode t.

Dobbelt glidende gjennomsnitt

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt av

gjennomsnittet

t̂ k t tY E k T

2t t tE M D

2 1t t tT M D n

1 1...t t t t nM Y Y Y n

1 1...t t t t nD M M M n


Modell med dobbelt glidende gjennomsnitt

Foreta en blindtest.


Modell med dobbelt glidende gjennomsnitt

Oppdater modellen t.o.m. siste periode

Lag prognoser for framtiden


Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:

Prediksjoner ved dobbelt glidende gjennomsnitt

20 20 20ˆ

kY E k T

21 20 20ˆ 1 2.385,33 1 138,9 2.525,23Y E T

22 20 20ˆ 2 2.385,33 2 138,9 2.665,13Y E T

23 20 20ˆ 3 2.385,33 3 138,9 2.805,03Y E T

24 20 20ˆ 4 2.385,33 4 138,9 2.944,94Y E T


Et er forventet nivå i periode t.

Tt er forventet trend for periode t.

Initialverdier: E1 = Y1 og T1 = 0

Dobbel eksponensiell glatting:Holt’s metodet̂ k t tY E k T

1 11t t t tE Y E T

1 11t t t tT E E T

0 10 1

Tilsynelatende nivå

Forrige anslag på nivå

Tilsynelatende trend Forrige anslag på trend

Hvis nytt nivå Et er større enn forrige anslag på nivået, Et-1 , så er trenden positiv.I motsatt fall har vi synkende trend.


Modellen med Holt’s metode

1. Beregn startverdier

2. Lag en-periodisk prognose og oppdater parametrene i hele tilpassingsserien

3. Bruk Solver til å minimere MSE for tilpassingsserien

4. Lag prognose i blindtestperioden, og beregn MSE.


Modellen med Holt’s metode

1. La Solver velge startverdier



4. Lag prognose i blindtestperioden, og beregn MSE.


Prognoser med Holt’s metode

2. Bruk Solver til å minimere MSE for den nye tilpassingsserien.

1. Oppdater modellen for hele dataserien, helt fram til siste periode.

3. Lag prognoser for den ukjente framtiden.



Prediksjoner basert på Holt’s modell

20 20 20ˆ

kY E k T

21 20 20ˆ 1 2.336,8 1 152,1 2.488,9Y E T

22 20 20ˆ 2 2.336,8 2 152,1 2.641,0Y E T

23 20 20ˆ 3 2.336,8 3 152,1 2.793,1Y E T

24 20 20ˆ 4 2.336,8 4 152,1 2.945,2Y E T


Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjoner

t̂ k t t t k pY E k T S

1 11t t t p t tE Y S E T

1 11t t t tT E E T

0 10 10 1

Anslag på nivå, trend og sesong Forrige verdi nivå,

trend og sesong

1t t t t pS Y E S


Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjoner

p p pE Y S

1

1 1,...,p

t t tt

S Y Y for t pp


Initialverdier:

0pT

Gjennomsnitt

Når observert verdi Yt er større enn gjennomsnittet, så blir sesongfaktoren St > 0, dvs. høysesong.I motsatt fall får vi en negativ sesongfaktor, dvs. en lavsesong.


Holt-Winter med additive sesongeffekt



4. Lag prognoser i blindtestperioden, og beregn MSE.



Holt-Winter med additive sesongeffekt






Holt-Winter’s modell Additive sesongeffekter

20 20 20 20 4ˆ

k kY E k T S

21 20 20 17ˆ 1 2.253,3 1 154,3 262,66 2.670,3Y E T S

22 20 20 18ˆ 2 2.253,3 2 154,3 312,59 2.249,3Y E T S

23 20 20 19ˆ 3 2.253,3 3 154,3 205,40 2.921,6Y E T S

24 20 20 20ˆ 4 2.253,3 4 154,3 386,12 3.256,6Y E T S


Holt-Winter’s metode – Multiplikative sesongvariasjoner

t̂ k t t t k pY E k T S

1 11tt t t

t p

YE E TS

1 11t t t tT E E T

0 1 0 1 0 1

Anslag på nivå, trend og sesong

Forrige verdi nivå, trend og sesong

1tt t p

t

YS SE


Holt-Winter’s metode – Multiplikative sesongvariasjoner

pp

p

YE

S

1

1,...,1

tt p

tt

YS for t p

Yp


Initialverdier:

0pT

Gjennomsnitt

Når observert verdi Yt er større enn gjennomsnittet, så blir sesongfaktoren St > 1, dvs. høysesong.I motsatt fall får vi en sesongfaktor mindre enn 1, dvs. en lavsesong.


Holt-Winter: Multiplikativ sesong




4. Lag prognoser i blindtestperioden, og beregn MSE.


Holt-Winter: Multiplikativ sesong






Holt-Winter’s modell Multiplikativ sesongeffekt

20 20 20 20 4ˆ

k kY E k T S

21 20 20 17ˆ 1 2.217,6 1 137,3 1,152 2.713,7Y E T S

22 20 20 18ˆ 2 2.217,6 2 137,3 0,849 2.114,9Y E T S

23 20 20 19ˆ 3 2.217,6 3 137,3 1,103 2.900,5Y E T S

24 20 20 20ˆ 4 2.217,6 4 137,3 1,190 3.293,9Y E T S


Holt-Winter og endringer

0 4 8 12 16 20 2450

100

150

200

250

300

350

400 Additiv sesong

0 4 8 12 16 20 2450

100

150

200

250

300

350

400

450 Multiplikativ sesong

0 4 8 12 16 20 2450

100

150

200

250

300 Skifta i nivå

0 4 8 12 16 20 24507090

110130150170190210230250 Skift i trend


Tidsserier og REGRESJONData Modeller som IKKE tillater skift i

nivå/trend/sesong

TrendLangsiktig generell endring i nivå

Lineær trend

Kvadratisk trend

Trend & SesongLangsiktig generell endring i nivå og repeterte variasjoner rundt trendlinjen

Trend (lineær eller kvadratisk), additiv eller multiplikativ sesongjustering.

Regresjon med trend (lineær eller kvadratisk) og additiv sesong


Modell med lineær trend

0 1 1ˆ

ttY b b X

1tX t

Dvs.

1

2

3

1

1

1

1,

2,

3,...

X

X

X


Blindtest med lineær trendSpesialtilfelle av Holt’s modell.

Tilpassingsserien

Blindtest


Prognose med lineær trendSpesialtilfelle av Holt’s modell.

Tilpassingsserien gjelder nå hele datasettet.

Prognose for framtiden



Prediksjoner basert på lineær trend

0 1 1ˆ

ttY b b X

2121 0 1 1ˆ 375,1 92,6255 21 2.310,3Y b b X

2222 0 1 1ˆ 375,1 92,6255 22 2.412,9Y b b X

2323 0 1 1ˆ 375,1 92,6255 23 2.505,6Y b b X

2424 0 1 1ˆ 375,1 92,6255 24 2.598,2Y b b X


TREND(Y-område; X-område; X-verdi for prediksjon)der:

Y-område er området i regnearket som inneholder verdiene for den avhengige Y variabelen,

X-område er området i regnearket som inneholder verdiene for de(n) uavhengige X variablene,

X-verdi for prediksjon er en celle (eller celler) som inneholder verdier for X variabelen(e) som vi ønsker å estimerte Y verdier til.

Merk: TREND( ) funksjonen blir dynamisk oppdatert hver gang dataene til funksjonen endres. Imidlertid gir den ikke den statistiske informasjonen som regresjonsanalysen gir.

TREND() funksjonen


Modell med kvadratisk trend

0 1 1 2 2ˆ

t ttY b b X b X

1tX t

22t

X t


Blindtest kvadratisk trend

Tilpassingsserien

Blindtest


Prognoser kvadratisk trend

Tilpassingsserien gjelder nå hele datasettet.

Prognose for framtiden



Prediksjoner basert på kvadratisk trend

0 1 1 2 2ˆ

t ttY b b X b X

21 21

221 0 1 1 2 2ˆ 653,67 16,671 21 3,617 21 2.598,8Y b b X b X

22 22

222 0 1 1 2 2ˆ 653,67 16,671 22 3,617 22 2.770,0Y b b X b X

23 23

223 0 1 1 2 2ˆ 653,67 16,671 23 3,617 23 2.950, 4Y b b X b X

24 24

224 0 1 1 2 2ˆ 653,67 16,671 24 3,617 24 3.137,1Y b b X b X


Sesong er et jevnt, repeterende mønster rundt en trendlinje, og er veldig vanlig i økonomiske data.

Sesongvariasjoner

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 $0

$500

$1,000

$1,500

$2,000

$2,500

$3,000

$3,500

Faktisk Salg Y

Prognose Ŷ

Tid

Salg

Vår prognose fanger ikke opp sesongvariasjonene.


Vi kan beregne sesongjusteringsindekser for sesong p slik:

Justert prediksjon for periode i er da

Sesongjusteringsindekser

ˆ for alle som inntrer i sesong

t

i tp

p

YY

S i pn

ˆ ˆ for enhver som inntrer i sesong i i pY justert Y S i p


Blindtest kvadratisk trend multiplikativ sesong1. Beregn kvadratisk trend, basert på tilpassingsperioden.

2. Beregn multiplikativ sesong, i tilpassingsperioden.

3. Beregn gjennomsnittlige sesongfaktorer i tilpassingsserien.

4. Lag prognoser, basert på kvadratisk trend og gjennomsnittlige sesongfaktorer.


Prognose kvadratisk trend multiplikativ sesong1. Beregn kvadratisk trend, basert på hele datasettet.

2. Beregn multiplikativ sesong, for hele datasettet.

3. Beregn gjennomsnittlige sesongfaktorer for hele datasettet.

4. Lag prognoser, basert på kvadratisk trend og gjennomsnittlige sesongfaktorer.



Sesongjustert prediksjon og kvadratisk trend

0 1 1 2 2ˆ

t tt pY b b X b X S

21 2121 0 1 1 2 2 1

ˆ 2.598,8 105,7% 2.747,8Y b b X b X S

22 2222 0 1 1 2 2 2ˆ 2.770,0 80,1% 2.219,6Y b b X b X S

23 2323 0 1 1 2 2 3ˆ 2.950, 4 103,1% 3.041, 4Y b b X b X S

24 2424 0 1 1 2 2 4ˆ 3.137,1 111,1% 3.486,1Y b b X b X S


1. Lag en trend modell og beregn prediksjoner for hver observasjon.

2. For hver observasjon beregnes forholdet mellom faktisk og predikert trend verdi.

3. For hver sesong, beregn gjennomsnittet av hver brøk fra trinn 2. Dette er sesongvektene.

4. Multipliser enhver prediksjon fra trendmodellen med tilhørende sesongvekt beregnet i trinn 3.

Sammendrag av trend og bruk av sesongvekter


Merk at Solver kan brukes til å beregne optimale verdier for sesongindeksene og parametrene i trend modellen simultant.

Det finnes ingen garanti for at dette vil gi bedre prediksjoner, men det vil gi en modell som passer bedre til de historiske data ut fra MSE.

Raffinere modellen med sesongindekser


Solver beregner trend-parametre og sesongindekser1. Beregn kvadratisk trend, basert på koeffisienter Solver kan velge.

2. Beregn prognose, basert på kvadratisk trend og sesongfaktorer Solver kan velge.

3. La Solver minimere MSE for tilpassingsserien, ved å velge trend-koeffisientene og sesongfaktorene.

4. Beregn MSE i blindtesten.


Solver beregner trend-parametre og sesongindekser

1. Beregn kvadratisk trend, basert på koeffisienter Solver kan velge.

2. Beregn prognose, basert på kvadratisk trend og sesongfaktorer Solver kan velge.

3. La Solver minimere MSE for hele datasettet, ved å velge trend-koeffisientene og sesongfaktorene.


Vi kan selvsagt benytte additiv sesong istedenfor multiplikativ sesong.

Estimert sesongeffekt blir da:

Tilsvarende blir prognosen endret til:

Trend & additiv sesong

i i iS Y T

t̂ t pY T S


Indikatorvariabler kan brukes i regresjonsmodeller for å representere sesongeffekter.Hvis det er p sesonger, trengs p 1 indikatorvariabler.Vårt eksempel har kvartalsvise data, så p = 4 og vi definerer følgende indikatorvariabler:

Regresjonsmodeller med sesong

3

1, hvis er en observasjon for kvartal 10, ellerst

tYX

4


tYX

5


tYX

Hvis alle indikatorvariablene er lik 0, så er det kvartal 4.


Regresjonsfunksjonen er:

Implementere modellen

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5ˆ

t t t t ttY b b X b X b X b X b X

1tX t

22t

X t

3 1 hvis 1. kvartal, ellers 0t

X


X


X

Merk: I kvartal 4 er X3, X4 og X5 lik 0.


Regresjon med additiv sesong - blindtest


Regresjon med additiv sesong - prognose



Sesongjustert prediksjon og kvadratisk trend

221ˆ 824, 471 17,319 21 3,485 21 86,805 1 427,736 0 123,453 0 2638,5Y

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5ˆ

t t t t ttY b b X b X b X b X b X

222ˆ 824,471 17,319 22 3, 485 22 86,805 0 427,736 1 123,453 0 2467,7Y

223ˆ 824,471 17,319 23 3, 485 23 86,805 0 427,736 0 123,453 1 2943,2Y

224ˆ 824,471 17,319 24 3, 485 24 86,805 0 427,736 0 123,453 0 3247,8Y


Det er også mulig å kombinere prediksjoner for å lage en ”kompositt” prognose.

Anta at vi har brukt tre forskjellige prediksjonsmetoder på et gitt sett av data.

Benevn predikert verdi i periode t ved bruk av hver metode slik:

Vi kan lage en komposittprognose slik:

Kombinere prediksjoner

1 2 3, ,t t t

F F F

0 1 1 2 2 3 3ˆ

t t ttY b b F b F b F


For å unngå systematiske prediksjonsfeil bør sesongfaktorene normaliseres:

Gjennomsnittlig Faktorsum:

Normalisering Multiplikativ:

Normalisering Additiv:

Vi justerer de p siste sesongfaktorene.

Mer om sesongfaktorer

1

1 p

t t p jj

F Sp

t p jt p j

t

SS

F

t p j t p j tS S F


Normalisering av sesongfaktorer


Slutt på kapittel 11

Documents

Managerial Decision Modeling