MAS110:B MATEMATISK STATISTIK A INFERENSTEORI...MAS110:B MATEMATISK STATISTIK ALLM˜N KURS, INFERENSTEORI Övningsuppgifter med lösningar till er talet uppgifter Innehåll Övningsuppgifter

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK

ALLMÄN KURS,INFERENSTEORI

ÖVNINGSUPPGIFTER

MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER

Läsåret 01/02

MatematikcentrumMatematisk statistik

CE

NT

RU

MSC

IEN

TIA

RU

MM

AT

HE

MA

TIC

AR

UM

MAS110:B MATEMATISK STATISTIKALLMÄN KURS, INFERENSTEORI

Övningsuppgiftermed lösningar till flertalet uppgifter

Innehåll

Övningsuppgifter 1Lösningar 27

Lund den 3 november 2001Lena Zetterqvist

I. Övningsuppgifter i inferensteori


1. Följande siffermaterial är brottförlängningen,�5, i procent, för 1649 dragprover av stålkvalitet.

Presentera materialet grafiskt på lämpligt sätt,samt beräkna dess medelvärde och standardav-vikelse.Värde 14 16 17 18 19 20Antal 1 4 25 118 219 286Värde 21 22 23 24 25 26Antal 266 251 267 149 52 8Värde 27Antal 3

2. Matlab: Sjödata1

I två olika sjöar, Sjö 1 och Sjö 2, har man enklar sommardag på olika platser i sjöarna gjortett antal mätningar av ett visst näringsämne. Da-ta finns i filen �� där variablerna heterlake1 respektive lake2.

(a) Titta på data genom att göra histogramöver mätningarna från respektive sjö.

(b) Fundera på vilka frågeställningar som ärintressanta i undersökningen. Vad skulledu vilja studera med hjälp av dessa data?Tänk ut vilka sammanfattande numeriskamått av data som du kan ha till hjälp i stu-dien och beräkna dessa.

(c) När mätningarna var gjorda upptäckteman att mätproceduren denna dag hela ti-den gav ca 0.6 enheter för högt värde (manhade alltså introducerat ett så kallat sys-tematiskt fel i mätningarna på 0.6). Hurkommer histogrammen att förändras närman ska “korrigera” för detta systematiskafel? Hur kommer de mått du beräknat i fö-regående deluppgift att förändras?

(d) Kan du uttala dig någonting om nivån avdetta näringsämne i Sjö 1?

(e) Kan du uttala dig någonting om eventuellaskillnader i näringsnivå mellan sjöarna? (Viåterkommer till data senare i kursen i sam-band med jämförelser mellan stickprov.)

3. Man gör två oberoende bestämningar x1 och x2

av tyngdkraftsaccelerationen g . Dessa antas ut-göra ett slumpmässigt stickprov från N (g 15).Som skattning av g tar man aritmetiska medel-värdet �x � (x1 � x2) � 2. Ange fördelningen förden stickprovsvariabel �X � (X1 � X2) � 2 som �xär en observation av.

4. Man har ett slumpmässigt stickprov x1 �� xn

från N (m �� ) där m och � är okända. Man bil-dar skattningarna

m �1 ��x � (x1 � x2 � �� xn) � nm �2 � (x1 � x2) � 2

(a) Visa att båda skattningarna är väntevärdes-riktiga.

(b) Vilken effektivitet har m �2 relativt m �1?

5. Matlab: Hur bra är skattningarna?

Du ska undersöka hur skattningar av väntevär-de och varians beror av stickprovsstorleken. Ut-gå från en normalfördelning N (3 2). Antag attväntevärdet 3 och variansen 4 är okända för ossoch att vi vill skatta dem genom att ta ett stick-prov, x1 �� xn, om n observationer och bilda�x respektive s2= 1

n � 1 � ni � 1(xi � �x)2. Hur nä-

ra kommer skattningarna de sanna värdena omstickprovsstorleken är 5? om den är 25?

(a) Simulera 1000 stickprov om 5 värdenfrån N (3 2) och skatta � och � 2 i varjestickprov. Gör histogram över väntevärdesskattningarna.

(b) Gör samma sak för 1000 stickprov som al-la består av 25 observationer.

(c) Vann man mycket på att öka stickprovs-storleken från 5 observationer till 25? Hurstor är sannolikheten att skattningen avvi-ker mer än 1 enhet från det sanna värdet� =3? då du använder 5 värden i stickpro-vet, 25 värden i stickprovet?

(d) Gör även histogram för � 2-skattningarnaoch jfr de två stickprovsstorlekarna n=5och n=25. Är det ovanligt att skattningenav � 2 avviker mer än 2 från det sanna vär-det 4 (dvs understiger 2 eller överstiger 6)då n=5? då n=25?

6. Med en mätmetod bestämmer man fyra gångeravståndet mellan två punkter. Resultatet (enhet:m)

1456.3 1458.5 1457.7 1457.2

kan betraktas som ett slumpmässigt stickprovfrån N (m �� ), där m är det verkliga avståndetoch � är ett mått på mätmetodens precision.Ange en väntevärdesriktig skattning av � 2 om

1


(a) man vet att m=1457.0

(b) m är okänt.

7. En roulette har den egenskapen att alla riktning-ar har samma chans att bli utpekade av rou-lettepilen när denna stannar. Efter att en noll-punkt på periferin har valts, kan varje periferi-punkt karakteriseras av sitt avstånd, längs perife-rin (medsols), från nollpunkten. Roulettens om-krets är a cm.

Man låter pilen rotera och stanna 10 gånger,varvid avståndet från stoppunkten till nollpunk-ten noteras, och man får följande sekvens (en-het cm):

16.5 3.7 30.0 23.2 27.4 49.625.8 7.0 30.4 33.2

Per och Pål får i uppgift att skatta omkretsena med hjälp av observationerna som betecknasx1 �� x10.

Per resonerar som följer:�x � 110

10 i � 1

xi kommer att ha en tendens att

komma i närheten av a � 2. En förnuftig skatt-ning av a är således en fördubbling av �x. Per fö-reslår därför

a �1 � 2 �x �Undersök om skattningen är väntevärdesriktig,dvs om E(a �1) � a. Om inte, korrigera så att denblir det.

När Per har beräknat sin skattning (gör det dumed), invänder Pål att a �1 är mindre än den störs-ta observationen. Eftersom a måste vara störreän samtliga observationer är en sådan skattningologisk. Pål föreslår istället att den största av allaobservationerna används som skattning, dvs

a �2 � max(x1 �� x10) �Undersök om denna skattning är väntevärdes-riktig. Ändra den så att den blir det om så ej ärfallet.

Undersök härnäst (efter ev. korrigering) vilkenav de två skattningarna som är bäst genom attjämföra deras varianser.

8. Ett föremål består av två delar, A och B, som harvägts, dels var för sig, dels tillsammans, varvidman fick resultaten

A 12.07 12.01 12.04B 18.34 18.36 18.35 18.32A � B 30.35 30.39

Alla vägningar har utförts på samma våg. Väg-ningarna är behäftade med ett slumpmässigt fel.Beräkna med minsta-kvadrat-metoden en skatt-ning av vikten hos hela föremålet.

9. Den diskreta s.v. X har sannolikhetsfunktionenpX (k) �"! (1 � ! )k � 1 för k � 1 2 3 �� , där0 #�!$# 1. Man har ett slumpmässigt stickprov4 5 4 6 4 1 från denna fördelning.

(a) Skriv upp likelihood-funktionen L( ! ).(b) Ange för vilket ! som L( ! ) är störst. Vil-

ken är alltså ML-skattningen av ! ?10. Den s.v. X har täthetsfunktionen

fX (x) �%! (1 � x) �'&�� 1 för x ( 0. Det är käntatt parametern ! är antingen 2, 3 eller 4. Manhar ett slumpmässigt stickprov från denna för-delning omfattande två värden, 0 � 2 och 0 � 8.

(a) Ange L � funktionens värden för de tremöjliga ! � värdena.

(b) Ange ML-skattningen av !11. Låt den s.v. ha täthetsfunktionen

fX (x) �)! (1 � x) �'&�� 1 för x ( 0 där parametern! är antingen 2, 3 eller 4.

(a) Beräkna E(X ) som funktion av ! .(b) Bestäm MK-skattningen av ! på grundval

av det slumpmässiga stickprovet 0 � 2 0 � 8.Jämför resultatet med svaret på föregåendeövningsuppgift.

12. Antag att maximala våghöjden, H , på ett visstställe ett visst år kan anses vara rayleighfördelad,dvs täthetsfunktionen ges av

fH (x) � *+-, x

ae � x2 . 2a x / 0

0 f.ö.

där a är en okänd positiv parameter. Man harunder åtta år observerat följande våghöjder (en-het meter):

2.5 2.9 1.8 0.9 1.7 2.1 2.2 2.8

(a) Beräkna ML-skattningen av a under för-utsättning att de åtta observationerna kananses vara oberoende observationer av H .

2


(b) Beräkna med hjälp av skattningen av aen skattning av tusenårsvågen, med vilkenmenas en våg så hög att den i genomsnittbara inträffar en gång per tusen år.

13. Livslängden för en viss elektronisk komponentantas vara exponentialfördelad med det okändaväntevärdet a. För att bestämma a väljs slump-vis 50 komponenter från produktionen och sättsunder belastning i en provbänk. En gång i vec-kan undersöker man hur många som fungeraroch följande resultat erhölls (antal som gått sön-der i resp. vecka):

Intervall 0–1 1–2 2–3 3–4 4–5Antal trasiga 22 15 6 3 2

Efter 5 veckor avbröts provet och då fungeradefortfarande 2 komponenter. Skatta a med ML-metoden.

14. För att pröva en mätutrustning gör man följandetre mätserier på olika preparat:

Serie 1 0.16 0.18 0.19 0.18 0.21Serie 2 0.22 0.21 0.24 0.24 0.25Serie 3 0.17 0.15 0.15 0.18 0.14

Resultatet av en mätserie betraktas som ettslumpmässigt stickprov från en normalfördel-ning med okänt väntevärde och med en varianssom är okänd men densamma för de tre fördel-ningarna.

(a) Skatta väntevärdena för fördelningarna.

(b) Skatta den gemensamma standardavvikel-sen.

15. Antalet ”prickar” (fel) i perstorpsplattor (av stan-dardstorlek) beskrivs av en poissonfördelning.Man har följande observationer avseende 30plattor i färg 1 och 45 plattor i färg 2:

Färg 1 1 3 1 0 0 0 2 1 1Obs. av 0 2 0 0 2 0 1 0 2Po(m1) 0 0 2 0 0 1 1 0 0

1 0 0Färg 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1Obs. av 1 1 0 0 0 0 0 1 0Po(m2) 0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 2 1 0 1 1 1 0

Skatta m1 � m2 och ange skattningens medelfel.

16. En skeptisk PC-kund ville undersöka hur snabbtstatistikpaketet Statgraphics kan sortera en data-fil om det körs på två olika årsmodeller av sam-ma PC-fabrikat (med resp. utan ”waitstates”).

Den tid det tar att sortera en datafil beror påtalens storlek och på hur väl sorterade de är frånbörjan. Man tillverkade tre olika datafiler och lätprogrammet sortera dessa och mätte tiden medhjälp av ett stoppur. För att minska inverkanav osäkerheten i avläsningen av stoppuret utför-de man varje sortering två gånger (däremellanåterställde man naturligtvis filerna i ursprungligtskick!). Resultat (enhet sek):

1987 års modell 1988 års modellFil nr 1 12.53 11.97 10.74 10.78Fil nr 2 10.80 10.77 9.68 9.38Fil nr 3 10.47 10.54 9.17 9.47

Man kan ansätta följande modell: mätresultateni tabellen, dvs

x11 x12 y11 y12

x21 x22 y21 y22

x31 x32 y31 y32

kan anses vara observationer av normalfördelades.v. med samma standardavvikelse � och vänte-värden E(Xij) � mi och E(Yij) � kmi . Här ärk den intressanta storheten, och 1 � k anger hurmycket snabbare 1988 års modell är.

Ange de ekvationer som bestämmer ML-skattningen av k och genomför gärna några steg iden numeriska lösningen. Ange också en metodför uppskattning av spridningen � .Ledtråd: konstanten k är ungefär 0.9.

17. Två forskare A och B har genom en stickprovs-undersökning skattat andelen färgblinda, p, i enpopulation av män. A har valt ut 1000 perso-ner och funnit 77 färgblinda, medan B har un-dersökt 2000 och funnit 124 färgblinda. BestämML-skattningen av p.

18. Antalet fartyg som under ett tidsintervall avlängden t (enhet: minut) passerar Helsingborgpå vägen söderut genom Öresund anses varaPo( 0 t). Antalet fartyg i skilda intervall anses obe-roende. En person vill uppskatta 0 och räknarunder tre olika tidsintervall antalet passerandefartyg.

Observationstid 30 30 40Antal fartyg 10 12 18

(a) Ange ML-skattningen 0 � av 0 .(b) Hur stor är standardavvikelsen för 0 � ?

3


19. Man har en observation x � 16 av X 1Bin(25 p).

(a) Ange en skattning av p.

(b) Beräkna standardavvikelsen för skattning-en.

(c) Ange skattningens medelfel.

20. Ett mycket stort parti enheter har felkvoten p därp är högst 0.04. Man vill ta ut n enheter slump-mässigt ur partiet och på grundval härav kon-struera en skattning av p med en standardavvi-kelse på högst 0.02. Hur stort måste n vara?

21. Vid en bestämning av smältpunkten för nafta-lin blir resultatet av en s.v. X med väntevärdetm (=den okända smältpunkten) och standardav-vikelsen � (även den okänd). På grundval av ettstickprov om 9 värden beräknade man �x � 80 � 9och s � 0 � 3. Skatta m och ange medelfelet förskattningen.

22. Man har två observationer x1 och x2 av deoberoende s.v. X1 respektive X2 vilka båda ärBin(1 p). Betrakta följande två skattningar avp:

p �1 � x1; p �2 � (x1 � x2) � 2(a) Vilka värden kan p �1 och p �2 anta?

(b) Är skattningarna väntvärdesriktiga?

(c) Beräkna skattningarnas varianser och angeeffektiviteten av p �1 relativt p �2.

23. Fortsättning från föregående uppgift. Visa att

p � � ax1 � bx2

är en väntevärdesriktig skattning av p om a � b �1. Bestäm a och b så att p � blir så effektiv sommöjligt.

24. Visa att om en väntevärdesriktig punktskattninghar en varians som 2 0 då stickprovsstorlekenn 2 3 så är skattningen konsistent. Ledning:Tjebysjovs olikhet.

25. Två bilägare A och B, som kör 1000 mil respek-tive 2000 mil om året, vill jämföra bensinför-brukningen. De väljer var och en slumpmässigtut fem tidpunkter under året och räknar ut sinbensinförbrukning (enhet: liter/mil) just då. Detal de får, kan betraktas som oberoende observa-tioner av två s.v. X och Y med väntevärdena mA

respektive mB och varianserna � 2A respektive � 2

B.Resultat:

A: 0.91 0.98 0.85 0.93 1.05B: 0.65 0.59 0.69 0.62 0.71

(a) Beräkna en punktskattning av mA och enav mB.

(b) Beräkna en punktskattning av deras sam-manlagda bensinförbrukning under ett år.

(c) Vad är variansen för skattningen i (b)?

26. Stickprovsvariansen s2 � 1n � 1 � n

i � 1(xi � �x)2

är alltid en väntevärdesriktig skattning av � 2 �V (X ), dvs

E[s2(X)] � E[1

n � 1

n i � 1

(Xi � �X )2] �4� 2 �Visa att E[s(X)] # � . Ledning: använd attE(Y 2) � [E(Y )]2 � V (Y ) / 0 för alla s.v. (ominte Y är konstant).

27. I en fabrik tillverkar man stål enligt en viss stan-dardmetod A0. Man önskar undersöka hur re-sultatet skulle bli om man i stället införde någonav metoderna A1 A2 A3 eller A4. Stål tillverkatmed Ai antas ha hållfastheten mi och man öns-kar göra skattningar av var och en av de fyra dif-ferenserna mi � m0. Om man sammanlagt får gö-ra 60 hållfasthetsbestämningar och om man avsymmetriskäl vill göra lika många bestämningarpå stål från var och en av de fyra alternativmeto-derna A1 A2 A3 A4, hur många bestämningarskall man då göra på A0-stål? Vid varje bestäm-ning uppstår ett mätfel som är en observation aven s.v. Y med E(Y ) � 0 och V (Y ) �4� 2; mätfelvid olika bestämningar är oberoende.

28. Man vill bestämma arean 5 (enhet: cm2 av enkvadrat genom att utan systematiskt fel mäta si-dans längd (enhet: cm). Resultatet av en mät-ning är en s.v. X .

(a) Ange väntevärdet för X .

(b) Antag att x1 x2 �� xn är ett slumpmäs-sigt stickprov på X . Vilket uttryck skaman minimera när man bestämmer MK-skattningen av 5 ?

(c) Är MK-skattningen väntevärdesriktig?

29. Bestäm minsta-kvadrat skattningen av a omman har observationerna 3 � 4 4 � 3 5 � 6 av s.v.med väntevärdena 3a 4a 5a. Det slumpmässigafelet anses ha samma varians i de tre mätningar-na.

4


30. Man har två oberoende observationer x1 � 3och x2 � 5 av en s.v. med täthetsfunktionen

fX (x) � x

ae � (x . a)2 . 2 x / 0 �

Bestäm ML-skattningen av a.

31. Man har två stickprov på oberoende normalva-riabler:

0.8 1.1 1.0 0.7 X 6 N (m1 798 )1.9 1.5 1.6 2.2 1.8 2.0 Y 6 N (m2 798 )(a) Gör en skattning av � 2 baserad på första

stickprovet.

(b) Gör en skattning av � 2 baserad på andrastickprovet.

(c) Gör en skattning av � 2 baserad på bådastickproven.

(d) Kan man säga vilken av de tre skattningar-na som är närmast det okända � 2-värdet?

32. Antalet olycksfall under en månad vid en indu-stri är Po(m). Under ett år inträffade

0 0 3 1 1 2 0 0 2 0 1 0olycksfall under de tolv månaderna.

(a) Ange ML-skattningen av m.

(b) Vad är skattningens medelfel?

33. Stickprovet x1 x2 ��: xn är hämtat från en ex-ponentialfördelning med den okända parame-tern a.

(a) Härled ML-skattningen av a.

(b) Visa att skattningen är väntevärdesriktig.

(c) Besäm skattningens medelfel.

34. Vid skalbestämning av flygbilder erhölls för varjebild ett värde (t.ex. 1:3985) med en snabb metodoch ett värde (t.ex. 1:3982) med en precisions-metod. Man beräknade differenserna av skalbe-stämningarnas inverterade värden (t.ex. 3985 �3982 � 3) och fick på detta sätt från 13 flygbil-der (i ungefär samma skala) följande differenser:

3 � 12 3 26 � 13 29 36� 15 48 � 44 0 53 71

(a) Pricka in materialet på ett normalfördel-ningspapper. Verkar det som om mankan ansätta en normalfördelning? Motive-ra ditt svar.

(b) Skatta väntevärdet m och standardavvikel-sen � för den variabel som de 13 värdena ärobservationer av och under förutsättningatt variabeln är normalfördelad.

35. Matlab: Normalfördelning?

I skogsområdet ASA försökspark i Småland är94 olika gropar grävda i marken och från varjegrop är jordprover tagna där bland mycket an-nat aluminiumhalt och calciumhalt är uppmät-ta (mg/g). Data finns i filen �<;�=��>�=;�? och ärhämtade från Johan Holmqvist, Kemisk tekno-logi, LTH.

(a) Rita ut aluminiumhalterna i ett histogram,beräkna medelvärde och standardavvikel-se.

(b) För att undersöka om data kan tänkaskomma från en normalfördelning kan mangöra ett normalfördelningsdiagram. Simu-lera 94 observationer från en normalför-delning med det väntevärde och standar-davvikelse som du skattat för alumini-umhalterna. Plotta sedan de simuleradenormalfördelade data i normplot (användmatlabrutinen @A;�=CBD>DE�;� ) för att se hur debeter sig i en sådan.

(c) Gör ett normalfördelningsdiagram på alu-minuimhalterna, verkar det rimligt att deär normalfördelade?

(d) Gör samma sak med calciumhalterna. Un-dersök om anpassningen blir bättre omdu logaritmerar data först, dvs anpassar enlognormalfördelning till calciumhalterna.

36. Låt den stokastiska variabeln X ange livslängdenhos en viss typ av bilavgasrör. Vid ett försök mät-te man livslängden hos tio slumpmässigt utvaldarör och fick resultatet1315 1203 967 1350 11391009 1201 1153 1137 1095

(a) Rita upp den empiriska fördelningsfunk-tionen.

(b) Skatta F (1200). Är skattningen väntevär-desriktig? Bestäm medelfelet.

37. En ny metod att analysera halten titan i en lege-ring har utvecklats. För att undersöka metodensreproducerbarhet analyseras ett och samma provsex oberoende gånger. Följande resultat erhölls:

0.0087 0.0091 0.00940.0096 0.0098 0.0098

5


Gör ett uppåt begränsat konfidensintervall förmätfelens standardavvikelse under förutsättningatt de är normalfördelade.

38. Matlab: Vindelälven Vindelälven är en oregle-rad biflod till Umeälven, och dess vattenföringpå våren är helt beroende av snömängd och snö-smältning. Vid Renforsen utanför Vindeln upp-mättes under åren 1957–1979 följande årligamaximala vattenflöden (enhet m3� sek) som lig-ger i filen vindelalven:

775 909 721 976 1030 633693 545 824 816 1300 1114761 960 1484 993 1084 579

1059 843 1109 725 1059

Normalfördelning är en mindre lämplig fördel-ning för maximala flöden. Lognormal- eller ex-tremvärdesfördelning kan vara bättre.

(a) Skatta fördelningens väntevärde och vari-ans;� xi � 20 992, � (xi � �x)2 � 1 163 147

(b) Ange 95% konfidensgränser för vänte-värdet under normalfördelningsantagan-de, om variansen är 2202 (m3� sek)2.

(c) Samma som (b) men variansen okänd.

(d) Skatta parametrarna i en lognormalfördel-ning:� ln xi � 156 � 0824,� (ln xi � 1

23 � ln xj)2 � 1 � 40107.

(e) Hur stort är 100-årsflödet i Vindelälvenvid Renforsen?

39. Låt livslängden för glödlampor av en viss typ va-ra en s.v. X med täthetsfunktionen 1& e � x . & förx ( 0. Då är ! medellivslängden. Man köperen lampa och konstaterar att den har lyst i 1000timmar när den går sönder. Konstruera ett tvåsi-digt konfidensintervall för ! med konfidensgra-den 0.95. Ledning: Välj ett intervall av formen(c1x c2x) där x är den observerade livslängden.

40. Fortsättning från föregående övning. Gör istäl-let ett ensidigt konfidensintervall av formen(cx F3 ).

41. Man har ett slumpmässigt stickprov frånN (m 2):

44.3 45.1 46.1 45.3

Ange ett 95 % konfidensintervall för m.

42. På en lösning med det okända pH-värdet m harman gjort fyra pH-bestämningar:

8.24 8.18 8.15 8.23

Modell: pH-mätaren har ett systematiskt felGsamt ett slumpmässigt fel som är N (0 �� ).

De fyra mätresultaten är alltså ett slumpmässigtstickprov från N (m � G �� ). Vidare är det käntattG � 0 � 10 och att � =0.05. Beräkna ett kon-

fidensintervall för m med konfidensgraden 0.99.

43. Fortsättning av föregående övning. Antag nu att� är okänt. Vad får man då som 99 % konfi-densintervall för m? Stickprovet ser ut som för-ut.

44. Man vill undersöka halten av bly på en viss ar-betsplats. Vid mätning av halten uppkommer ettanalysfel varför ett mätresultat kan anses vara ettutfall av en slumpvariabel som är N (m 1 � 3) därm är den verkliga halten (i ppm) och standar-davvikelsen � =1.3 är ett mått på analysmetodensprecision. Vid en undersökning görs fem obero-ende mätningar och man får följande resultat

48 � 35 46 � 50 49 � 19 49 � 43 47 � 28

(a) Gör ett tvåsidigt 95 % konfidensintervallför m.

(b) Ur de anställdas synpunkt är det merintressant att studera ett ensidigt konfi-densintervall. Vilken typ av intervall ärdet? Beräkna intervallet.

45. Två maskiner, A och B, levererar under en vissdag enheter som har dimensionerna N (m1 H� )respektive N (m2 H� ), okända parametrar. Manvill jämföra medeldimensionerna m1 och m2 ochsamlar därför in följande material:

A 12.37 12.32 12.4112.34 12.23 12.36

B 12.41 12.39 12.4612.35 12.39 12.33

Bestäm ett 95% konfidensintervall för differen-sen m2 � m1.

46. En fysiker har gjort fem mätningar för att be-stämma en fysikalisk konstant m. Mätningarnakan anses vara oberoende observationer av ennormalfördelad stokastisk variabel med vänte-värde m och känd standardavvikelse � . Han fickett 90% konfidensintervall (7.02, 7.14), vilkethan tyckte var för brett och hade för låg konfi-densgrad. Hur många fler mätningar behövs för

6


att få ett konfidensintervall som har konfidens-grad

(a) 90% och som är hälften så brett?

(b) 95% och har ungefär samma bredd?

47. I ett miljöövervakningssystem studeras övergöd-ningen av våra vattendrag. I en viss å har manunder en längre period gjort mätningar av bl atotal fosforhalt. Under denna period infördeman i avrinningsområdet en kemisk-biologiskrening av hushållens och industriernas avlopps-vatten. För att undersöka vilken effekt des-sa åtgärder haft på fosformängden i vattendra-get beräknas årsmedelvärdena av total fosforhalt(mg/l) före och efter införandet av ny rening:

Före: 0 I 12 0 I 14 0 I 07 0 I 09 0 I 15 0 I 09 0 I 10Efter: 0 I 09 0 I 03 0 I 07 0 I 09 0 I 07 0 I 08 0 I 11 0 I 07

(a) Gör ett 95 %-konfidensintervall för dengenomsnittliga effekten av den nya rening-en. Redogör för dina modellantaganden.

(b) Gav åtgärderna upphov till en signifikantförändring av total fosforhalt i vattendra-get? Motivera ditt svar!

48. Skiljer sig den kemiska sammansättningen av av-loppsvattnet åt vid Östra Torn (ÖT)och Källby(K) (vilka är två olika punkter i Lunds avloppssy-stem)? En forskare mätte mängden fosfor (mg/l)i avloppsvattnet en längre period, nedan ges ettutdrag från mätningarna:

Datum 3/1 10/1 17/1 24/1 1/2 8/2ÖT 7 I 3 4 I 6 5 I 6 6 I 2 6 I 3 6 I 7K 6 I 6 5 I 9 6 I 2 7 I 6 7 I 4 7 I 8Datum 15 J 2 22 J 2 26 J 2 4 J 3 11 J 3 18 J 3ÖT 5 I 6 6 I 9 5 I 8 KLK KLK 6 I 3K 6 I 6 6 I 5 4 I 4 7 I 6 8 I 3 7 I 2Den 4/3 och 11/3 var det stopp i mätutrust-

ningen i Östra Torn och inga mätningar kundeerhållas. Gör en lämplig analys av data för attundersöka om koncentrationen av fosfor skiljersig åt vid de två platserna. Ange de antagandendu gör i analysen. Ledning: Man vet sedan tidi-gare att fosforhalten vid en mätpunkt kan varieramycket mellan olika mättidpunkter.

49. En geokemist undersöker halterna av järn(mg/g) i skogsmark och gräver därför 10 st gro-par. Hon är speciellt intresserad att undersökaom det finns skillnader i järnhalt mellan olika ni-våer i groparna och tar därför från varje grop ett

prov på A-nivå (nära ytan och därmed påverkatav mänskliga aktiviteter) och ett prov på C-nivå(ca 1 meter djupt och troligen inte så mycket på-verkat av människan). Området av skogsmark ärav mycket heterogen karaktär, dvs det är troligtatt genomsnittlig järnhalt varierar mellan olikagropar.

Grop nr: 1 2 3 4 5

Nivå A: 19 I 15 23 I 35 20 I 10 16 I 70 31 I 85Nivå C: 21 I 96 27 I 70 22 I 93 19 I 02 32 I 26Grop nr: 6 7 8 9 10

Nivå A: 17 I 70 22 I 77 21 I 71 34 I 06 18 I 71Nivå C: 17 I 35 27 I 39 25 I 43 33 I 43 18 I 14

Ange en lämplig modell som beskriver data ochundersök, genom att göra ett hypotestest ellergenom att dra slutsatser från ett konfidensinter-vall, om det finns skillnader i genomsnittlig järn-halt mellan A- och C-nivåer i groparna.

50. Dubbelbestämningar av klorhalten i dricksvat-ten under 5 olika dagar gav följande resultat:

Dag 1 2 3 4 5Klorhalt 57 � 2 56 � 4 59 � 7 56 � 3 57 � 6

58 � 3 55 � 8 60 � 2 56 � 1 58 � 4Antag att värdena är normalfördelade med stan-dardavvikelsen � konstant för olika dagar medanden sanna klorhalten varierar med dagen. Beräk-na ett tvåsidigt 95 %-igt konfidensintervall förden sanna klorhalten dag 5.

51. En sjö är lång och delas naturligt i tre delar. Del1 (area 12 ha) är den smala västra delen där denstörsta delen av inflödet sker, del 2 (area 33 ha)är vidare och består främst av öppet vatten, me-dan del 3 (area 15 ha) i öster har mycket vege-tation och verkar vara grundare än de övriga de-larna. Man vill bestämma medelhalten av fosfori sjön. För att minska variationen beslutar manatt ta ett stickprov från var och en av de tre delar-na. För varje del randomiseras (bestäms slump-mässigt) mätpunkterna, man försöker ro ut tillmätplatserna och gör mätningarna. Mätvärden:

Del 1 4 I 20 1 I 90 6 I 18 10 I 186 I 74 7 I 70 5 I 64 8 I 07 2 I 95

Del 2 6 I 36 5 I 74 4 I 75 5 I 28 7 I 235 I 05 6 I 25 3 I 19 7 I 55 4 I 193 I 59 3 I 66 5 I 97 3 I 94 6 I 66

Del 3 7 I 81 5 I 19 10 I 07 6 I 49 9 I 759 I 53 7 I 67

Låt � vara den genomsnittliga fosforhalten i he-la sjön (med hänsyn till arean men inte till djup)

7


och låt � 1 M� 2 och � 3 vara motsvarande genom-snittliga fosforhalter i respektive sjödel. En tänk-bar modell är att

mätningarna från del 1 är oberoende observatio-ner från N ( � 1 H� )mätningarna från del 2 är oberoende observatio-ner från N ( � 2 H� )mätningarna från del 3 är oberoende observatio-ner från N ( � 3 H� ).

(a) Finn en lämplig skattning av � som tarhänsyn till areaförhållandena för de tre sjö-delarna.

(b) Beräkna variansen för denna skattning.

(c) Gör ett 95% konfidensintervall för � , dvssjöns genomsnittliga fosforhalt.

52. På en lösning med det okända pH-värdet m harman gjort fyra pH-bestämningar:

4.32 4.22 4.23 4.37

Vidare har man med samma mätare gjort sex be-stämningar på en lösning med det kämda pH-värdet 4.84:

4.71 4.63 4.69 4.76 4.58 4.83

Modell: pH-mätaren har ett systematiskt felG

samt ett slumpmässigt fel som är N (0 N� ); Goch � är okända. Resultatet av en mätning på enlösning med pH-värdet a är alltså en observationav N (a � G �� ).

(a) Ange en punktskattning m � av m.

(b) Ange D(m � ).(c) Beräkna medelfelet d (m � ) under utnytt-

jande av alla bestämningar.

(d) Ange ett 95 % konfidensintervall för m.

53. Vid flamfotometrisk bestämning av koppar störsmätningen av andra närvarande joner. Med an-jonbytare kan kopparn separeras vilket påståsmedföra en förbättring av metodernas preci-sion (Schrenk, Graber, Johnson, Anal. Chem.,33(1961), sid. 106). Vid en serie på 61 bestäm-ningar av ett prov beräknades skattningen avstandardavvikelsen till s � 0 � 00114. Antag obe-roende observationer av N ( �� ) där � och � ärokända och beräkna ett tvåsidigt 95%-igt konfi-densintervall för � .

54. För att undersöka precisionen i ett visst mätin-strument gör man följande tre mätserier på olikapreparat:

Preparat 1 0 � 16 0 � 18 0 � 19 0 � 18 0 � 21Preparat 2 0 � 22 0 � 21 0 � 24 0 � 24 0 � 25Preparat 3 0 � 17 0 � 15 0 � 15 0 � 18 0 � 14

Resultaten av en mätserie kan anses vara ettslumpmässigt stickprov från en normalfördel-ning med okänt väntevärde och med en standar-davvikelse � som är okänd men samma för de treserierna. Skatta � och gör ett 95% konfidensin-tervall för den.

55. Bland 600 på måfå uttagna svenska medborga-re visar sig att 61 är eller har varit utländskamedborgare. Gör ett 95 % konfidensintervall förp=relativa frekvensen av sådana personer blandalla svenska medborgare.

56. Fortsättning på föregående övning. Hur stortstickprov måste man ta för att med 95 % konfi-densgrad kunna uppskatta p på O 0.005 när

(a) om p är helt okänt?

(b) om det är känt att 0 # p # 0 � 14?

57. Inom det europeiska samarbetsprojektet EMEP(European Monitoring and Evaluation Pro-gramme) görs mätningar av luftkvaliteten på fle-ra platser i landet, bl a i Rörvik på Västkustenoch i Hoburg på Gotland. Vissa provtagningari Rörvik görs med en automatisk provtagnings-apparat som dock visat sig inte vara helt tillför-litlig utan måste kontrolleras dagligen. Under en10-årsperiod har apparaten justerats 42 gånger.Med hoburgsapparaten görs liknande mätning-ar men med en något annorlunda apparat. Pådenna gotlandsapparat behövdes endast göras 31justeringar under samma period.

(a) Gör ett approximativt 95% konfidensin-tervall för sannolikheten att en justeringbehöver göras på apparaten i Rörvik.

(b) Gör ett approximativt 95% konfidensin-tervall för medelantalet justeringar underen 10-årsperiod på apparaten som användsi Rörvik.

(c) Undersök om det är någon signifikantskillnad mellan apparaterna beträffandehur ofta justeringar måste göras.

8


58. I en vätska är antalet bakterier i en volymenhetPoissonfördelat och antalen i olika delar av väts-kan är oberoende. Vid en undersökning av 100enheter fann man 17 bakterier. Bestäm ett ap-proximativt 95% konfidensintervall för sanno-likheten att en slumpvis utvald volymenhet inteinnehåller någon bakterie alls.

59. Trafiken över en viss bro antas kunna beskrivasav två oberoende Poissonprocesser, en för var-dera riktningen. Processerna har intensiteterna 0respektive � (antal fordon/minut), vilket bl.a. in-nebär att antalet fordon som passerar under entidsperiod av längden t är Poissonfördelat medväntevärde 0 t respektive � t. Man vet sedan tidi-gare att 0 � �QP 20. Nu vill man räkna trafi-ken separat i båda riktningarna för att med 95%konfidens kunna bestämma 0 � � på 0.5 när. Un-der hur lång tidsperiod behöver räkningen ske?

60. Med kärnfysikaliska detektorer kan man be-stämma antalet sönderfallande atomkärnor hosett preparat. Det registrerade antalet sönderfalli intervallet (0 t) beskrivs väl av Poissonmodel-ler. Bakgrundsstrålning finns alltid, och registre-ras också.

Antag att man mäter preparat och bakgrund un-der tiden tp och bakgrunden separat under ti-den tb (enhet: sek).

(a) Sätt upp en statistisk modell som beskri-ver mätsituationen och ange hur man skat-tar preparatintensiteten 0 p (antalet sön-derfall/sekund). Låt bakgrundsintensitet-en vara 0 b.

(b) Ett rimligt önskemål är att V( 0 �p ) blir liten.Hur skall man fördela tiden mellan mät-ning av preparat plus bakgrund och bak-grund om man sammanlagt vill mäta un-der tiden T ?

(c) Hur konstruerar man en intervallskattningav 0 p?

61. Genom att göra 15 försök vill Per undersöka omPål har ”extrasensory perception” (ESP) som ytt-rar sig i förmåga att med förbundna ögon avgöraom krona eller klave kommer upp vid kast medett symmetriskt mynt. Han bestämmer sig föratt tro att Pål har ESP om Pål svarar rätt i 11försök eller fler. Antag att Pål gissar.

(a) Vilken fördelning har X =antalet rätta svar?

(b) Hur stor är sannolikheten att Per kommeratt tro att Pål har ESP?

62. En viss typ av glödlampor har en lystid (timmar)som är en exponentialfördelad s.v. med väntevär-de ! , dvs

fX (x) � 1! e � x . & R x ( 0 �Tillverkaren påstår att ! =1000. Per betvivlar att! är så stort. Han tänker pröva hypotesen H0 :!S� 1000 genom att köpa en lampa och be-stämma dess lystid x1. Om x1 är litet, säg x1 # a,tänker han förkasta H0. För att bestämma a fårhan ekvationen P(X # a om !T� 1000) �VU ,där U är den valda signifikansnivån.

(a) Bestäm a som funktion av U .(b) Antag att Per får x1 � 75. Är detta resultat

signifikant på 5 %-nivån?

(c) Samma fråga om x1 � 50.

63. En läkemedelstillverkare använder ibland en visslivsmedelsfärg. Man vill veta hur färgen påver-kar utseendet hos det framställda läkemedlet. Urtillverkningen tar man därför på måfå tio för-packningar och mäter grumligheten i innehålletefter en viss tids lagring. Resultat:

3.9 4.1 4.4 4.0 3.8 4.0 3.9 4.3 4.2 4.4

Utan färgtillssats brukar grumligheten vara i me-deltal 4.0. Man undrar nu om resultatet tyderpå att grumligheten ökar. Materialet anses varaett slumpmässigt stickprov från N (m 0 � 2). Prö-va hypotesen H0 : m � 0 � 4 mot H1 : m ( 0 � 4med ett test på nivån 0.05.

64. Fortsättning från föregående övning. Om m ärdet rätta värdet, vilken fördelning har då den s.v.som testkvantiteten är en observation av? Beräk-na styrkefunktionen för testet, dvs bestäm P(H0

förkastas), om m är det rätta värdet. Vilken styr-ka har testet för m � 3 � 8? För m � 4 � 3?

65. Vid kvicksilverundersökning av gäddor i en in-sjö har man bestämt kvicksilverhalten i 10 fång-ade gäddor av en viss storlek. Resultat (enhet:mg/kg):

0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1

Modell: Halten i gäddor av den aktuella storle-ken varierar som en s.v. X 1 N (m �� ).

9


(a) Kan man med de erhållna resultaten påsignifikansnivån 0.05 förkasta H0 : m �0 � 9 mot H1 : m / 0 � 9?

(b) Kan man med de erhållna resultaten påsignifikansnivån 0.05 förkasta H0 : m �1 � 1 mot H1 : m # 1 � 1?

66. För att undersöka om man med hjälp av ny tek-nik kan tillverka mineralull som är behagligareatt handskas med (inte ”sticks”), låter man 16försökspersoner i ett blindtest känna på två typerav ull, den ena tillverkad enligt gammal beprö-vad metod, den andra enligt den nya metoden.Det visade sig att 12 personer föredrog den nyatypen medan 4 föredrog den gamla. Sätt upp enlämplig statistisk modell och testa en nollhypo-tes som betyder att metoderna är likvärdiga mothypotesen att den nya metoden är bättre.

67. Stickprov av mycket rent järn berett med två oli-ka metoder, A och B, gav följande smältpunkter

A 1493 1519 1518 1517 15121514 1489 1508 1494

B 1509 1494 1512 1483 15071491

Formulera en statistisk modell baserad på nor-malfördelning och lika varians.

(a) Testa hypotesen att de två metoderna gersamma medelsmältpunkter.

(b) Konstruera ett konfidensintervall medkonfidensgrad 95% för skillnaden mellande två medelsmältpunkterna.

68. I en å mäter man halten ogräsbekämpningsme-del på platserna A och B uppströms respekti-ve nedströms en handelsträdgård som misstänksför otillåtna utsläpp av bekämpningsmedel. Detfinns förorenande utsläpp längre uppströms ochhalten varierar därför kraftigt från vecka till vec-ka. Man mätte under 12 olika veckor i punkter-na A och B och fick följande värden:

Vecka 1 2 3 4 5 6A 4.1 1.5 1.0 2.2 2.1 1.2B 4.5 2.1 1.9 2.0 2.5 1.9

Vecka 7 8 9 10 11 12A 2.8 4.0 3.7 3.0 5.6 3.3B 3.4 4.2 3.7 2.9 5.9 3.8

Pröva, med ett test baserat på normalfördelning,hypotesen att det inte förekommer några mätba-ra mängder utsläpp av bekämpningsmedel (han-delsträdgården är den enda tänkbara källan mel-lan A och B).

69. För att studera alkoholkonsumtionens inverkanpå fetthalten i levern har man valt ut 12 försöks-personer, vilka kan betraktas som ett slumpmäs-sigt urval bland friska personer i 25-årsåldern.Försökspersonerna har under en längre tid av-stått från all alkoholkonsumtion och prover påderas lever har tagits. Därefter har de fått dric-ka fyra burkar öl per dag, och efter en månadhar nya prover tagits. Följande leverfetthalter er-hölls:

Person 1 2 3 4 5Före 0.25 0.19 0.13 0.23 0.15Efter 0.50 0.28 0.18 0.18 0.34

Person 6 7 8 9 10Före 0.14 0.24 0.23 0.17 0.15Efter 0.41 0.33 0.26 0.35 0.42

Person 11 12Före 0.10 0.17Efter 0.22 0.28

Testa med ett lämpligt test under antagande omnormalfördelning på nivån 1% att alkoholkon-sumtionen inte påverkar fetthalten mot att denökar fetthalten.

70. Åtta personer mäter sin egen längd (enhet: cm)morgon och kväll. Resultat:

person 1 2 3 4morgon 172 168 180 181kväll 172 167 177 179

person 5 6 7 8morgon 160 163 165 177kväll 159 161 166 175

Skillnaden mellan morgon- och kvällsvärde-na antas vara ett slumpmässigt stickprov frånN (m �� ). Pröva hypotesen H0 : m � 0 motH1 : m W� 0 på signifikansnivån 0.05.

71. Vid tillverkning av magnecyl varierar tablettvik-ten som en s.v. med väntevärdet m och standar-davvikelsen �X� 0 � 02. För kontroll väger man35 tabletter och beräknar som punktskattningav m de 35 tabletternas medelvikt �x, vilken blev0.69 g. Pröva hypotesen H0 : m � 0 � 65 motH1 : m W� 0 � 65 med ett test med den approxi-mativa signifikansnivån 0.05.

72. Fortsättning av föregående övning. Antag attman inte vet värdet på � och har beräknat � -skattningen s � 0 � 018.

(a) Hur stort är medelfelet för �x?

10


(b) Samma uppgift som i föregående övning.

73. Om x1 �� xn är ett stickprov på en normalför-delad stokastisk variabel X 1 N (m H� ), så upp-skattas som bekant � med hjälp av stickprovetsstandardavvikelse s. Man vill med hjälp av s prö-va hypotesen H 0: �Y�Z� 0 mot H 1: �[� 2 � 0

med ett test med signifikansnivån 0.01. Hurstort måste n vara för att styrkan skall vara minst0.95 (svaret beror inte på � 0 men, om du vill, fårdu gärna välja ett bestämt � 0, t.ex. � 0 � 37 � 1,och räkna med det)?

74. En person har en tärning som han misstänkervara sned, så att den ger sexa alltför sällan. Hankastar den 12 gånger utan att få en enda sexa.Tyder detta på att hans misstanke är riktig?

75. En person har en tärning som han misstänkervara sned, så att den ger sexa alltför sällan. Hankastar den 120 gånger och får sexa 8 gånger. Ty-der detta på att hans misstanke är riktig?

76. Lystiden hos en viss typ av glödlampor kan antasvara exponentialfördelad. Tillverkaren påstår attmedellystiden (väntevärdet för lystiden) är minst1000 timmar. Pål tvivlar på att den är så lång.Han köper 100 lampor, tänder dem och väntartills de går sönder. Han noterar lystiden för varoch en och beräknar aritmetiska medelvärdet till953.2. Hjälp honom att sätta upp lämpliga hy-poteser samt att utföra ett lämpligt test. Lämpli-ga approximationer får användas.

77. Sannolikheten, p, att ett SJ-tåg skall vara för-senat vid ankomsten med mer än fem minu-ter beror bl.a. av väder, antalet resande och vec-kodag. Antag att man är intresserad av värdetpå p en speciell dag. Man väljer slumpmässigtur tidtabellen för alla tåg i Sverige n ankoms-ter och undersöker hur mycket försenade justdessa ankomster är. Man vill pröva hypotesenH 0: p � 0 � 3 (eg. p \ 0 � 3) mot H 1: p / 0 � 3med ett test på nivån 5%.

(a) Antag att man undersöker n � 80 an-komster och att man finner att vid 28 avdessa är tåget mer än fem minuter förse-nat. Kan man förkasta H 0?

(b) Antag att p i själva verket är 0.4. Hur stortmåste n vara för att man skall ha 50%chans att förkasta H 0 vid ett test på ni-vån 5%?

78. Livslängden (i mil) för ett visst bildäck kan be-traktas som en normalfördelad stokastisk varia-bel med väntevärde � och standardavvikelse �]�900. Tillverkaren hävdar att livslängden har ökatgenom en ny tillverkningsprocess. Tidigare var�Q� 5400 medan man nu har �^/ 5400 ochdet är mycket troligt att �_� 6300. För att kon-trollera påståendet tänker man mäta livslängdenhos n däck och sedan testa H 0: �T� 5400 motH 1: �`/ 5400. Bestäm n och testet så att signifi-kansnivån blir 0.01 och testets styrka i �_� 6300blir minst 0.95.

79. Den naturliga bakgrundsstrålningen (uttrycktsom antalet registrerade pulser per sekund, Bq)vid en viss mätpunkt har en intensitet av 0Y�1 sek � 1 och antalet registrerade pulser under etttidsintervall (t1 t2) beskrivs väl av en Poissonför-delning med väntevärde 0 (t2 � t1). På grund aven olycka i ett mycket avlägset land misstänkerman att intensiteten ökat.

(a) Antag att man mäter under 15 sek och där-vid registrerar 20 partiklar. Pröva hypote-sen H 0: 0_� 1 sek � 1 med ett ensidigt testpå nivån 5%.

(b) Antag att intensiteten i själva verket harökat till 0 1 � 1 � 2 sek � 1. Hur länge skallman mäta för att ha 50% chans att upp-täcka detta om man gör ett approximativttest på nivån 5%?

80. Ett sätt att mäta radonkoncentrationen i inom-husluft är att hänga upp en film känslig för alfa-partiklar. När filmen träffas av en partikel upp-står efter framkallning ett hål i filmen. En rim-lig stokastisk modell är att antalet hål i en film,Y , är Poissonfördelat med ett väntevärde som ärproportionellt mot radonkoncentrationen a .Låt y � 27 vara en observation av Y 1 Po(K a ),där K � 0 � 1 för den aktuella mätsituationen.

(a) Testa med ett approximativt test med sig-nifikansnivån 0.05 hypotesen,

H 0 : ab� 200 Bq � m3 H 1 : a_/ 200 Bq � m3 �

Detta är av intresse eftersom gränsvärdetför nybyggda hus är 200 Bq/m3.

(b) Bestäm styrkefunktionen h( a ) för testet i(a).

(c) Hur stort måste a vara för att h( a ) ( 0 � 9?

11


81. Antalet personer i en population som under ettår drabbas av en viss typ av cancer är poisson-fördelat med ett väntevärde som beror på ålders-och könssammansättningen och om populatio-nen är (eller har varit) utsatt för någon extra risk-faktor eller ej. Man misstänker att arbetare i enviss kemisk industri har större risk att få lung-cancer än svensken i gemen och tar därför redapå antalet inträffade fall under perioden 1978– 1988. Man finner att 14 personer drabbatsmot ett förväntat antal på 7.5, om risken varitlika med genomsnittsrisken i Sverige. Testa pånivån 5% nollhypotesen att fabrikens arbetarehar samma risk som genomsnittssvensken att fålungcancer mot att risken är högre.

82. “Nollvisionen” inom trafiksäkerhet innebär attman vill sträva efter 0 trafikdödade. Dithän ärdet långt, och även om säkerheten i medeltalökar så kommer slumpmässiga variationer attske både uppåt och nedåt. För ett tiotal år sedankunde man läsa i tidningen att den “svarta tra-fikmånaden juni bryter en nedåtgående trend”.Enligt tidningen omkom 100 personer i trafiko-lyckor under den junimånaden. Antag att antaletomkomna i trafiken under en normal månad ärX 1 Po(m) där m är olika för olika månader.

(a) För 10 år sedan var m � 80 ett normaltvärde för juni. Testa med ett statistiskt testhypotesen att under det aktuella året

H0 : m � 80

mot att m / 80 med ett test på den unge-färliga signifikansnivån 0.05.

(b) För samma år antogs m � 50 är normaltför juli.I själva verket omkom 60 personerunder den aktuella julimånaden. Gör ettliknande test som i (a).

(c) Antag att året är ett helt normalt år. Omman gör 12 oberoende test liknande det i(a) under år, ett för varje månad, hur storär sannolikheten att man får minst ett sig-nifikant utslag för ökat antal omkomna?

83. Den s.v. X är Po(m). Med hjälp av 50 oberoendeobservationer av X önskar man testa hypotesenH0 : m � 0 � 2 mot hypotesen H1 : m / 0 � 2.Observationernas summa är 19. Kan nollhy-potesen förkastas? Använd direktmetoden. Led-ning: Summan av n observationer från Po(m) ärfördelad som Po(nm).

84. Den s.v. X antar värdena 0 1 2 3. Man gjorde4096 oberoende observationer av X och fick

Observation 0 1 2 3Antal 1764 1692 552 88

Pröva på signifikansnivån 1 % hypotesen attX 1 Bin(3 1

4 ).

85. Antalet olyckor på en viss väg under 480 dagarfördelade sig på följande sätt:

k 0 1 2 3 4Antal dagar 335 125 12 6 2

med k olyckor

Pröva med c 2-metoden hypotesen att den sto-kastiska variabeln X � ”antalet olyckor underen dag”, är poissonfördelad med väntevärde 0.5.

86. I universum exploderar i medeltal en supernova isekunden (se Forskning och Framsteg, 1989:2).Amatörastronomen Tycho Brahe d.y. har för dy-ra pengar inköpt ett simuleringsprogram för attmed sin data Brae Tyche studera universums ut-veckling, och då bl.a. hur supernovor bildas. I enspecialstudie omfattande 3600 sekunder av uni-versums framtid gav programmet följande resul-tat (tabellen anger det antal sekunder då preciski supernovor bildats):

ki supernovor 0 1 2Antal 1381 1342 607

ki supernovor 3 4 5Antal 198 60 12

Pröva hypotesen att programmet ger ett poisson-fördelat antal supernovor per sekund. Hur skulletestet förändrats om man i stället ville pröva hy-potesen att antalet supernovor är poissonfördelatmed väntevärde 1?

87. I ett programpaket ingår en subrutin som på-stås ge slumptal från en exponentialfördelningmed väntevärde 1. Man genererar 1000 styckenslumptal, som fördelar sig på följande sätt:

Värde 0–0.5 0.5–1.0 1.0–2.0 2.0– 3Antal 307 273 288 132

Använd c 2-metoden för att undersöka om dettaresultat är förenligt med antagandet om expo-nentialfördelning.

88. Vid en undersökning av tidsavstånden mellanbilar på en måttligt trafikerad väg erhöll man föl-jande klassindelade material:

12


Tid (minuter) 0–5 5–10 10–20 20–40 / 40Antal bilar 10 15 11 5 5

Tidsavstånden mellan bilarna anses vara obero-ende observationer av en stokastisk variabel Y .Undersök om X (t) � ”antalet bilar som passerati tidsintervallet (0 t)” kan anses vara en poisson-process med intensitet 0.1 bilar/minut.

89. Ur var och en av tre stora populationerP1 P2 och P3 av personer valde man slump-mässigt ut ett stickprov och klassificeradede uttagna personerna enligt följande tabell:

män kvinnorP1 46 54P2 78 72P3 143 107

Prova på signifikansnivån 5 % hypotesen attkönsfördelningen är den samma i de tre popu-lationerna.

90. Vid en undersökning av vattenkvaliteten i Italiengjordes mätningar av ett visst bekämpningsme-del, som man visste använts i jordbruket. Följan-de värden (ppm) erhölls:

0 � 18 0 � 14 0 � 15 0 � 16 0 � 17

Mätresultaten kan betraktas som ett slumpmäs-sigt stickprov av en slumpvariabel X 1 N ( �� )där � och � är okända. Skatta � och � . Görockså ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för � ,den genomsnittliga halten av det undersökta be-kämpningsmedlet i ån.

91. För att bestämma kvicksilverhalten hos gäddor ien viss sjö lades ett antal nät ut. Genom tidiga-re studier i liknande sjöar anser man sig veta attkvicksilverhalten är N (m �� ) med � =0.01 mg.Vilket är det minsta antalet gäddor man måstefå om man vill göra ett 95% konfidensintervallför m som är högst 0.005 mg brett?

92. Surhetsgraden i ett vattendrag bestäms varje fre-dag med hjälp av en pH-meter. Vid bestäm-ningen uppstår ett fel Y som antas vara normal-fördelat med väntevärde

Goch standardavvikel-

se � 1=0.05. Här börG

(= systematiska felet) va-ra 0 men på grund av feljustering av pH-meternmisstänker man att

Gär 0.3.

(a) Antag att vattnets surhetsgrad varierar fre-dag till fredag som en slumpvariabel Xsom är normalfördelad N (5 � 5 0 � 5). Un-der förutsättning att

Gär 0.3, beräkna

sannolikheten att mätresultatet en god-tycklig fredag överstiger 6.

(b) För att undersöka pH-meterns feljusteringgör man i ett laboratorium 5 oberoendebestämningar av pH-värdet på en lösningmed känt pH-värde = 7, varvid medelvär-det av bestämningarna blev 7.32. Gör ett95% konfidensintervall för det systematis-ka felet

G. Motsäger ditt resultat den tidi-

gare misstanken att det systematiska feletskulle vara 0.3? Motivera ditt svar.

93. Bestäm väntevärdet av Y 1dc 2(f ).

94. Visa att om X 1ec 2(f1) och Y 1fc 2(f2), X ochY oberoende, så gäller att X � Y 1$c 2(f1 � f2).

95. Halten av bly får vara högst 50 ppm på en vissarbetsplats. Vid mätning av halten uppkommerett analysfel varför ett mätresultat kan anses varaett utfall av en slumpvariabel som är N (m 1 � 3)där m är den verkliga halten (i ppm) och stan-dardavvikelsen � =1.3 är ett mått på analysme-todens precision. Vid en undersökning görs femoberoende mätningar och arbetsmiljön anses va-ra betryggande (ur blysynpunkt!) om ett upp-åt begränsat 95% konfidensintervall för m liggerhelt till vänster om värdet 50. Vad är sannolik-heten för detta om den verkliga halten m är 49ppm?

96. På två olika fiskarter i Mississippifloden mättesmängden kvicksilver (ppm) hos 5 respektive 6exemplar av arterna.

Fiskart 1: 2 � 35 2 � 44 2 � 70 2 � 48 2 � 44Fiskart 2: 2 � 06 1 � 93 2 � 12 2 � 16 1 � 89 1 � 95

Eftersom de studerade fiskarna har ungefär sam-ma vikt och eftersom samma mätinstrument an-vänds vid alla mätningar antas följande modell:De ni mätningarna på fiskart i, xi1 �� xini , ärobservationer från N ( � i H� ).

(a) Skatta � 2.

(b) Gör ett 95 % konfidensintervall för medel-mängden kvicksilver i fiskart 1. (Ledning:Man vill även utnyttja mätningarna frånfiskart 2.)

(c) På en tredje fiskart kunde man endastfånga ett exemplar så endast en kvicksil-vermätning, 3.13 (ppm), kunde noteras.Gör ett 95% konfidensintervall för medel-mängd kvicksilver hos denna fiskart.

13


97. Dubbelbestämningar av klorhalten i dricksvat-ten under 5 olika dagar gav följande resultat:

Dag 1 2 3 4 5Klorhalt 57 � 2 56 � 4 59 � 7 56 � 3 57 � 6

58 � 3 55 � 8 60 � 2 56 � 1 58 � 4Antag att värdena är normalfördelade med stan-dardavvikelsen � konstant för olika dagar medanden sanna klorhalten varierar med dagen. Beräk-na ett tvåsidigt 95 %-igt konfidensintervall förden sanna klorhalten dag 5.

98. I en provtagningsjämförelse avseende närsalter,utförd av Institutet för tillämpad miljöforsk-ning, fick ett antal laboratorier bestämma haltenammoniumkväve (NH4-N) i ett prov (sammaursprungsprov för alla bestämningar). Laborato-rierna använde olika analysmetoder och specielltvar man intresserad att jämföra en snabbmetod(metod 1) med ett automatsystem (metod 2). Iett prov där “sant” värde på halten NH4-N var439.3 � g/l fick man följande resultat från de oli-ka laboratorierna:

Laboratorienr. 44 361 181 232 67 140NH4-N halt 410 460 435 445 416 470Använd metod 2 1 1 1 2 1

Laboratorienr. 39 167 244 53 177 69NH4-N halt 432 471 448 429 458 450Använd metod 1 2 2 1 2 2

(a) Undersök om det finns en signifikant skill-nad mellan de två metoderna beträffandegenomsnittlig NH4-N halt. Antag nor-malfördelningar med samma varians.

(b) Undersök om någon av metoderna har ettsystematiskt fel vid bestämningen.

99. En kemist undersöker föroreningarna i Motalaström. Bland annat är han intresserad av förore-ningarna från en viss industri längs strömmen.Han tar därför under 30 olika dagar prover upp-ströms och under 40 andra dagar prover ned-ströms räknat från den aktuella industrin ochmäter storleken av en viss förorening i samtligaprov. Följande data erhölls:

Medelvärde Standard- Antalavvikelse prover

Uppströms 13 � 2 2 � 8 30Nedströms 86 � 1 38 � 7 40

(a) Bilda ett konfidensintervall som kan an-vändas för att bedöma nedsmutsningen

från den aktuella industrin. Välj lämp-lig konfidensgrad. Värdena nedströms varibland små, 10-15, och ibland mycket sto-ra, 80-150, vilket gör att observationernainte kan antas komma från en normalför-delning.

(b) Kommentera kemistens försöksplan ochföreslå en bättre.

100. Daghemmet Bullerbyn är beläget nära en kraf-tigt trafikerad väg. I samma stad, men omgivenav ett stort grönområde, är daghemmet Ängs-lyckan placerad. Från vart och ett av de två dag-hemmen valde man slumpmässigt ut fem barnoch mätte deras halt av bly (ng/ml) i blodet:

Bullerbyn 0 � 93 0 � 63 1 � 21 1 � 30 0 � 58Ängslyckan 0 � 96 0 � 43 0 � 93 0 � 85 0 � 48

(a) Man misstänker att den genomsnittligablykoncentrationen i blodet är högre hosBullerbybarn än hos barn från Ängslyckan.Undersök om denna misstanke är befogadgenom att göra ett lämpligt konfidensin-tervall. Antag att variationen i blyhalt in-om ett daghem är normalfördelad med envarians som antas vara den samma för detvå daghemmen.

(b) Hur många barn från vardera daghemmetmåste man undersöka om man med minstsannolikheten 0.90 vill upptäcka en skill-nad i blyhalt på 0.1 ng/ml med den typenav test som används i a) på nivån 0.05?Antag att man vill ta ut lika många barnfrån vardera daghemmet och att man frånliknande undersökningar tidigare anser detrimligt att anta att variansen i normalför-delningen är 0.04.

101. I ett miljögiftförsök planterades en sommarpopplar på en golfbana, två stycken nära var-je green. Popplarna sorterades i storleksordningvid planteringen så att ungefär lika långa popplarhamnade vid samma green och så vidare. Efter-följande vår, den 1 mars mättes höjden på allapopplar i centimeter. Varje vecka fick popplarnaen hink med vatten. En poppel vid varje greenfick dessutom en dos av ett misstänkt miljögift.Vilken av de två som fick giftet lottades före förs-ta bevattningstillfället. Den 1 oktober mättes såslutligen höjden på alla popplarna igen. I tabel-len nedan har de popplar som fått giftigt vattenmarkerats med en etta medan de som fått vanligt

14


vatten markerats med en nolla. Resultatet blevföljande:

Nr Green Gift Mars Okt Skillnad1 1 1 75 121 462 1 0 78 126 483 2 0 76 130 544 2 1 87 137 505 3 1 87 132 456 3 0 85 139 547 4 0 87 154 678 4 1 88 147 599 5 1 94 126 32

10 5 0 90 154 6411 6 1 90 131 4112 6 0 89 159 7013 7 0 93 132 3914 7 1 94 137 4315 8 0 95 157 6216 8 1 95 143 4817 9 1 100 137 3718 9 0 96 144 4819 10 0 87 143 5620 10 1 88 134 4621 11 1 98 139 4122 11 0 99 157 5823 12 1 110 161 5124 12 0 104 173 69

Gör ett 95 % konfidensintervall för förväntadskillnad i tillväxt mellan popplar som vattnasmed vanligt vatten och de som får giftigt vatten.Skriv upp de antaganden om fördelningar somdu gör.

102. Ett radioaktivt preparat sänder ut partiklar medden okända intensiteten � partiklar per minut.Efter 5 minuter har man räknat till 69 partiklar.Antag poissonfördelning och gör ett approxima-tivt 95%-igt konfidensintervall för

(a) 5 � ,(b) � .

103. Antalet jordskalv under ett år i ett område ansesvara poissonfördelat med parameter � , dvs omX =”antalet jordskalv under ett år” gäller X 1Po( � ).

(a) Gör en konkret tolkning av parametern � .(b) Under en 60-årsperiod har man uppmätt

i genomsnitt 2.3 jordskalv per år. Gör ettkonfidensintervall för � med den approxi-mativa konfidensgraden 95%.

104. Det statistiska uppförandet hos radioaktivt sön-derfall beskrivs väl av Poissonfördelningen ef-tersom sannolikheten för sönderfall per kärna ärliten och konstant samtidigt som antalet kärnorär mycket stort. Den naturliga bakgrundsstrål-ningen (uttryckt som antalet registrerade pulserper sekund) vid en viss mätpunkt har en intensi-tet av 0 =1 sek � 1, dvs antalet registrerade pulserunder en slumpmässigt vald sekund är poisson-fördelat med väntevärde 1. På grund av en olyc-ka i ett mycket avlägset land misstänker man attintensiteten har ökat. Antag att man mäter 15sekunder och därvid registrerar 20 partiklar.

(a) Ställ upp lämpliga noll- och mothypoteser.

(b) Utför testet på nivå 5%, redovisa tydligtdin slutsats.

105. För att undersöka om avloppsvattnet från ett re-ningsverk innehöll substanser som påverkar enviss organism använde man 160 exemplar av or-ganismen. Man valde slumpmässigt ut 80 st ochplanterade dem i avloppsvattnet med de övriga80 planterades i rent vatten. Efter en viss peri-od undersökte man hur många som överlevt i debåda miljöerna. Resultat:

Grupp Överlevt Ej överlevtRent vatten 72 8Avloppsvatten 64 16

Undersök, med ett lämpligt test, om det finnsskillnader mellan de två grupperna beträffandeöverlevnad.

106. Varje individ i en viss population hör i genetiskthänseende till en av fyra kategorier K1, K2, K3,K4. Teoretiskt skall de fyra kategoriernas storle-kar förhålla sig som 9 : 3 : 3 : 1. Vid en under-sökning av 160 slumpmässigt utvalda ur popu-lationen fick man följande resultat:

kategori K1 K2 K3 K4

frekvens 78 42 27 13

Hur många individer skulle man vänta sig att få irespektive kategori om teorin är riktig? Hur storblir den testkvantitet med vars hjälp man kantesta om (med lättbegripliga beteckningar)

H0 : p1 � 9 � 16 p2 � p3 � 3 � 16 p4 � 1 � 16

är sann? Utför testet på nivån 0 � 01.

15


107. I en undersökning från 1980 ville man under-söka mängden koloxid i bilavgaser hos person-bilar i trafik. Från en livligt trafikerad väg val-des slumpmässigt 46 bilar ut och på dessa mät-tes mängden CO (g/km) i avgaserna. Om en bilsläpper ut mer än 30 g CO per km anses det varaen oacceptabelt nedsmutsande bil och kallas för”nedsmutsare”.

(a) Antag att man undersöker 46 slumpmäs-sigt utvalda bilar. Låt X =antalet bilar av de46 som är ”nedsmutsare”. Variabeln X ärdå en diskret slumpvariabel, ange dess san-nolikhetsfunktion.

(b) Antag att sannolikheten att en bil är ”ned-smutsare ” är 0.01. Vad är då sannolikhe-ten att minst 3 av de 46 bilarna är ”ned-smutsare”?

(c) Myndigheterna har satt upp mottot att”högst 1 av 100 bilar ska ha ett CO ut-släpp som överstiger 30 g/km”. I den aktu-ella undersökningen från 1980 var 3 bilar”nedsmutsare”. Undersök, med ett lämp-ligt hypotestest, om undersökningen tyderpå att mottot inte är uppfyllt. Redogör förnoll- och mothypotes.

108. Utsläppsröret från de naturgaseldade pannorsom beskrivs i inlämningsuppgift 1 är pla-cerade på husets fasad på 3 meters avståndfrån närmaste fönster. För att undersöka omgällande gränsvärde för kväveoxider på 0.10ppm (98-percentilen) är överskridet gjordes 300oberoende mätningar vid fönstret. Det aktuel-la gränsvärdet ska tolkas så att man kan ac-ceptera några enstaka överskridanden men attp=P(kväveoxidhalten / 0.10) får högst vara0.02.

(a) Låt X vara antalet gånger kväveoxidhaltenöverstiger 0.10 bland de 300 mätningarna.Vilken fördelning har X ?

(b) Antag att för en mätning gäller att p=0.02.Vad är sannolikheten att man i de 300mätningarna har högst 10 överskridanden?

(c) Av de 300 mätningarna visade det sig attkvävehalten översteg värdet 0.10 11 ggr.Tyder detta på att det är farligt att ha av-gasröret så nära fönstret, dvs är sannolik-heten för kväveoxidhalter som överstiger0.10 högre än det rekommenderade 0.02?Ange tydligt nollhypotes och mothypotes!

109. I en lösning av ett visst ämne är ljusextinktioneny en linjär funktion av koncentrationen x:

y �4U:g �Th x �Man har sju lösningar med de kända kon-centrationerna x1 x2 �� x7 och gör på var-je lösning en bestämning av ljusextinktio-nen. Varje mätning störs av ett mätfel somär en observation från N (0 �� ). De erhåll-na resultaten kallas y1 y2 ��: y7. Resultat:

xi 0.40 0.70 1.00 1.20 1.40 1.70 2.00yi 0.23 0.34 0.42 0.55 0.61 0.77 0.84

(a) Hur mycket ökar (enligt modellen) ljusex-tinktionen då koncentrationenökas en en-het? Gör en skattning av denna storhet.

(b) Gör en skattning av ljusextinktionens vär-de då koncentrationen är 1.20 och angeskattningens standardavvikelse uttryckt i� .

(c) Gör en skattning av ljusextinktionens vär-de då koncentrationen är 0 och ange skatt-ningens standardavvikelse uttryckt i � .

(d) Gör en skattning av � .110. Man genomför belastningsprov på aluminium.

Vid sex kända belastningar x1 x2 �� x6 be-stämmer man den dragförlängning som respek-tive aluminiumprov uppvisar. De erhållna resul-taten kallas y1 y2 �� y6. Resultat:

xi (kN ) 1.2 2.3 3.4 4.5 5 5.8yi (10 i 2mm) 22 46 81 91 114 132

Resultatet beskrivs av modellen yi �4U g �Lh xi �kj idär j 1 j 2 �� j 6 är oberoende observationerfrån N (0 �� ).

(a) Gör ett 95 % konfidensintervall för dengenomsnittliga dragförlängningen vid be-lastningen 3 kN.

(b) Gör ett 95 % prediktionsintervall för drag-förlängningen vid belastningen 3 kN.

111. Man mätte den tid, yi , det tog för en viss må-larfärg att torka om den innehöll olika koncent-rationer, xi , av ett visst ämne. Efter 300 försök,när man alltså hade 300 värdepar (xi yi), beräk-nade man: �x � 16 � 0, �y � 12 � 80, Sxx �1196 � 0, Sxy � 460 � 0 och Syy � 1106 � 03.Antag att yi är en observation frånN ( U �Th (xi � �x) H� ).

16


(a) Ange en skattning av regressionslinjen.

(b) Beräkna ett 95% konfidensintervall förmedeltorktiden om koncentrationenär 17.0.

(c) Skatta koncentrationen hos en färg somhar torktiden 13 och ge ett approximativt95% konfidensintervall för koncentratio-nen.

112. För att undersöka om en viss dimension, y, hosen tillverkad artikel beror på inställningen, x, aven viss maskin, mätte man y för åtta olika in-ställningar av maskinen, varvid man fick följan-de värden:

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 1.5 2.3 1.7 2.0 2.5 1.9 2.2 2.4

Normalfördelning och linjär regression av y medavseende på x förutsätts, dvsyi �lU �mh (xi � �x) �^j i . Testa på nivån 5% hy-potesen att h � 0 mot h W� 0.Med vanliga betecknigar ärSxx � 42, Sxy � 3 � 45 och Syy � 0 � 85875.

113. Ögats ljuskänslighet avtar med ökande ålder.För att undersöka hur snabbt känsligheten av-tar undersökte man 74 malmöbor i olika åldraroch registrerade ögats medelkänslighet. Resulta-tet anges i logaritmiska enheter, och början ochslutet av mätserien ser ut så här:

Ålder 64.15 21.58 �� 24.90Känslighet 27.34 23.38 �� 30.12

Antag att åldersförsämringen sker linjärt så attkänsligheten yj hos en person med åldern xj ären observation av N (a � bxj H� ). Konstanten bär då lika med medelförsämringen per år. I ma-terialet, som alltså omfattade n � 74 personer,fick man Sxx � 20332 � 2, Sxy � � 1371 � 366och Syy � 376 � 636. Skatta konstanten b ochange ett 95% konfidensintervall för den.

114. Vid en kolorimetrisk bestämning av Fe3 n -halteni en lösning får man, bortsett från normalförde-lade mätfel, ett linjärt samband mellan koncent-rationen x och ljusintensiteten y: y �"U �[h x.Konstanterna U och h kan vara olika för oli-ka mätinstrument. En person hade två sådanainstrument och ville undersöka om konstantenh hade samma värde för de två instrumenten.Han gjorde fem lösningar med de kända Fe3 n -koncentrationerna x1 �� x5 och bestämde förvarje lösning ljusextinktionen en gång med var-dera instrumentet. Då fick han observationerna

yij , (i � 1 2; j � 1 �� 5), där yij är en observa-tion från N ( U i �fh ixj H� ) ty vi antar att de bäg-ge instrumenten arbetar med samma precision.Här är U 1, U 2, h 1, h 2 och � okända parametrar.Följande mätvärden finns tillgängliga:

xj 1 2 3 4 5y1j 1.9 2.6 4.0 5.2 6.8y2j 1.8 3.1 3.5 4.2 5.3

Kan man anta att de två regressionslinjerna ärparallella, dvs, testa H 0: h 1 � h 2?

115. Vid ett neurofysiologiskt experiment mätte manreaktionstiden i en muskeldel hos försöksperso-ner i olika åldrar. Man fick följande försöksre-sultat (i tabellen anges om det är frågan om maneller kvinna):

ålder reaktionstid kön(år) (msek)19 11.15 K20 12.07 K23 12.12 M23 12.42 M23 12.66 M24 12.01 M24 12.11 M24 12.87 M25 12.88 M28 13.04 M33 14.00 M

ålder reaktionstid kön(år) (msek)34 12.93 M34 12.95 M36 13.33 K48 13.96 M49 14.59 M51 13.20 M67 15.59 K70 14.07 K71 14.83 M

kvinna man totalt�x 42.400 34.267 36.300�y 13.242 13.105 13.139Sxx 2457.200 2858.933 5564.200Sxy 155.256 147.721 307.166Syy 11.957 10.713 22.740

Antag att man har linjär regression av reaktions-tiden y på åldern x, dvs, yj � a � bxj �oj j där j jär oberoende observationer från N (0 �� ).

(a) Beräkna punktskattninger av a, b och � .17


(b) Undersök om åldersberoendet är sammaför män och kvinnor, dvs, gör två regres-sioner y � aK � bKx �)j respektive y �aM � bMx �pj och pröva hypotesen attbK � bM.(Antag att j har samma varians för mänoch kvinnor)

116. Vid en undersökning av hastigheten hos en ke-misk reaktion vid konstant temperatur under-sökte man, vid olika tidpunkter ti, koncentratio-nen, yi (mol/l), hos det ämne som vid reaktionenomvandlades till andra ämnen. Resultat:ti 0 184 319 400 526 575yi 2.33 2.08 1.91 1.82 1.67 1.62

Modell yi � c eq ti j i, där ln j i är en observationav N (0 �� ) och c, h och � är okända. Alla ob-servationer är oberoende. Ange ett 95% konfi-densintervall för den ”väntade” koncentrationenvid t � 600, dvs, för m � c e600q .

117. I ett klassiskt experiment i Bajern 1798 mätteden amerikanskfödde fysikern och greven Rum-ford värmeutvecklingen vid borrning av kanon-rör. Ett spann hästar fick dra runt borren ochden så uppkomna friktionen kunde till ochmed få vatten att koka. (Detta förvånade stor-ligen samtidens fysiker. Värmet syntes outtöm-ligt!) Det upphettade kanonröret fick svalna ochRumford mätte avsvalningen. Resultat:

Tid (min) 4 5 7 12 14Temp ( r F) 126 125 123 120 119

Tid (min) 16 20 24 28 31Temp ( r F) 118 116 115 114 113

Tid (min) 34 37.5 41Temp ( r F) 112 111 110

Temperaturen i den omgivande luften var 60 r Foch temperaturen efter tiden t, T (t), antas vara(så när som på mätfel) T (t) � 60 � c e � kt .

Modellen kan skrivas om till en vanlig regres-sionsmodell: yi �4U:s �eh ti �tj i , däryi � ln (T (ti) � 60), U:s_� ln c, h � � koch j i 1 N (0 �� ).

(a) Skatta parametrarna U�s , h och � .(b) Ange 95% konfidensintervall för Uus och h .

(c) Ange 95% konfidensintervall för c och k.

118. När en viss typ av partikel rör sig i en acceleratortillryggalägger den på tiden t sträckan vt � at2 � 2där v är partikelns utgångshastighet och a är enokänd, för partikeltypen och acceleratorn karak-teristisk storhet. Vid ett tillfälle gjorde man femmätningar av tillryggalagd väg hos partiklar medutgångshastigheten 0 och fick

i 1 2 3 4 5ti 5.00 5.00 6.00 7.00 7.00yi 6.22 6.20 8.93 12.27 12.39

samt en mätning av tillryggalagd väg hos en par-tikel med den okända utgångshastigheten v0 ochfick

(t0 y0) � (7 � 00 14 � 46) �Modell: y0 y1 �� y5 är oberoende observatio-ner av s.v. Y0 Y1 �� Y5 därY0 1 N (v0t0 � at2

0 � 2 0 � 070)Yi 1 N (at2

i � 2 0 � 070) för i � 1 2 ��C 5.Beräkna ML-skattningen av v0 och gör ett 95 %konfidensintervall för v0.

119. I en undersökning mättes två storheter, mellanvilka föreligger ett positivt samband. Om kor-relationen mellan storheterna är mycket stor ( /0 � 8) tänker man frångå standardförfarandet attmäta bägge storheterna och istället endast mätaen av de två storheterna.

Man har 27 observationer av (X Y ) vilka ansesvara simultant normalfördelade. Man beräknader � 0 � 87. Testa hypotesen H0 : vX\ 0 � 8 motalternativet H1 : vw/ 0 � 8.

120. Matlab För att fastställa om den procentuellahalten av kol, X , i en viss typ av armeringsståloch dess sträckgräns, Y , är korrelerade mätteman dessa storheter hos 40 prov. data finns i fi-len kol

(a) Plotta data i ett spridningsdiagram.

(b) Bestäm ett 95% konfidensintervall för kor-relationskoefficienten under förutsättningatt variationerna i kolhalt och sträckgränsär simultant normalfördelade. Numerisktgäller det att Sxx � 0 � 01136, Syy �33 589 � 0 och Sxy � � 5 � 38515.

121. Följande datamaterial, se Figur 1, kommer från ”Ozone data for the world”, (World ozone data center,Ontario, Canada) och är månadsmedelvärden för oktober månad för åren 1958–1988. Det är välkäntatt ozonmätningar visar ett säsongmönster men genom att endast betrakta samma månad varje år kan vi

18


studera trenden. (Vi bortser också från ett eventuellt beroende mellan mätningarna.)

55 60 65 70 75 80 85 90260

270

280

290

300D

OB

SO

N U

NIT

S

Tateno, Japan

55 60 65 70 75 80 85 90260

280

300

320

340

DO

BS

ON

UN

ITS

Arosa, Schweiz

Figur 1: Månadmedelvärden för ozon (Dobson units) för oktober månad 1958–1988

Man vill nu utföra enkel linjär regression så att

yAi � U A �Th A(ti � �t) �xj Ai yTi � U T �Th T(ti � �t) �tj Ti

där vi antar att j Ai och j Ti är oberoende och normalfördelade med väntevärden 0, V( j Ai) �y� 2A och

V( j Ti) �z� 2T.

(a) Om vi gör linjär regression på mätningarna i Arosa kommer den avvikande observationen år 1974att ha stort inflytande på resultatet. Vad händer? Ge en grov skiss av hur residualplotten kommer attse ut utan att göra några numeriska beräkningar.

(b) Efter moget övervägande beslutar man sig för att mätningen år 1974 inte skall vara med i den vidareanalysen, varvid man helt enkelt ”kastar bort” observationen. Datamaterialet från Arosa kommerdärför bara att innehålla 30 observationer medan det från Tateno fortfarande innehåller 31.

Några användbara storheter är för Arosa:

U T U � { � i 1 00 � i(ti � �t)2 | �%{ 30 0

0 2479 | U T Y � { � i yAi� i(ti � �t)yAi

| �}{ 8439 � 1� 817 � 4 |och QA0 � 1841 � 7.

För Tateno gäller motsvarande:

U T U � { � i 1 00 � i(ti � �t)2 | � { 31 0

0 2480 | U T Y � { � i yTi� i(ti � �t)yTi

| � { 8731 � 7533 � 6 |

och QT0 � 1146 � 5.

Bestäm skattningar av h A och h T, � 2A och � 2

T. Gör tvåsidiga 95% konfidensintervall för h A och h T.Är h A och h T signifikant skilda från 0?

19


(c) Antag nu att � 2A �4� 2

T och gör ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för h T � h A genom att utnyttjadatamaterialet i (b).

122. Under de tjugo åren 1956–1975 hade man följande utveckling av den årliga bostadsproduktionen B(1000-tal lägenheter) och den årliga cementproduktionen C (miljoner ton); se Figur 2.

1960 1965 1970 19750

20

40

60

80

100

120

år

1000−tal lägenheter (*), 1/25 miljoner ton (o)

40 60 80 100 1202

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Bostadsproduktion i 1000−tal lägenheter

Cementproduktion i miljoner ton

Figur 2: Bostads- och cementproduktionen 1956–1975

Följande värden finns uträknade:

Medelvärde Standardavvikelse KovariansBostäder (1000-tal) 85.935 17.220 9.421Cement (miljoner ton) 3.467 0.580

(a) Bestäm ett 95% konfidensintervall för korrelationskoefficienten mellan bostads- och cementpro-duktion under förutsättning att variationerna är simultant normalfördelade.

(b) Man tror sig ha goda möjligheter att bedöma bostadsproduktionen för 1976 och vill i ett regres-sionssamband utnyttja detta för att ge en prognos av cementproduktionen samma år. Modell:

Ci � a � bBi �tj idär j i är oberoende och N (0 �� ).Hur många miljoner ton cement beräknas man behöva 1976 om man bedömer bostadsproduktio-nen till 60 000 lägenheter?

123. (Jämför uppgift 115.) I ett medicinskt experiment studeras tiden Y (msek) tills en stimulans åstadkommeren reaktion hos en muskeldel. Man misstänker att reaktionstiden beror på försökspersonens ålder, x2, ochmöjligen också på personens kön, x1. Mätningar på 20 personer gav följande resultat:

yi 11.15 12.07 12.12 12.42 12.66 12.01 12.11 12.87 12.88 13.04xi2 19 20 23 23 23 24 24 24 25 28

Kön K K M M M M M M M Myi 14.00 12.93 12.95 13.33 13.96 14.59 13.20 15.59 14.07 14.83xi2 33 34 34 36 48 49 51 67 70 71

Kön M M M K M M M K K M

Detta analyserar vi med modellen

Yi �)U �Th 1(xi1 � �x ~ 1) �Th 2(xi2 � �x ~ 2) �tj i där xi1 � 1 om försöksperson i är en kvinna (K), xi1 � 0 om försöksperson i är en man (M) och j i enföljd av normalfördelade stokastiska variabler med väntevärde 0 och varians � 2.

20


Följande beräkningar underlättar det numeriska arbetet:

(U T U ) � 1 � �� i 1 0 00 � i(xi1 � �x ~ 1)2 � i(xi1 � �x ~ 1)(xi2 � �x ~ 2)0 � i(xi1 � �x ~ 1)(xi2 � �x ~ 2) � i(xi2 � �x ~ 2)2 �� 1

� �� 0 � 05 0 00 0 � 279 110 � 0 � 001 5300 � 0 � 001 530 0 � 000 188 ��

U T Y � �� i yi� i(xi1 � �x ~ 1)yi� i(xi2 � �x ~ 2)yi�� 262 � 7800

0 � 5150307 � 1660 ��

och Q0 � 5 � 4024.

(a) Bestäm skattningar av U , h 1, h 2 och � 2. Gör tvåsidiga 99% konfidensintervall för h 1 och h 2. Harolika kön någon signifikant inverkan?

(b) Gör ett 99% konfidensintervall för en 30-årig kvinnas medelreaktionstid.

124. Man har hävdat att priset på en vara beror på antalet konkurrerande märken på ett sådant sätt att prisetär högre då man har många eller få märken och lägre då man har måttligt många märken. För att studeradetta har man tagit reda på varans genomsnittliga pris på stormarknader tillhörande samma kedja i 12olika städer. Resultat:

Antalkonkurrerandemärken, x 4 7 2 9 3 6 10 5 8Pris, y 25.00 28.00 32.00 30.40 28.00 27.00 31.20 26.80 29.00

x 2 7 8y 28.20 25.40 31.00

Man ansätter modellen

yi � h 0 �Th 1xi �fh 2x2i �tj i

där j i är oberoende och N (0 �� ). Ett datorprogram ger följande utskrift:� �u=��C��D��Eo�A�<��E�?��=��S�u�u@��=��u?<?�� <� ��C�<�� '�H�� :� �� <��M� �<�� <�� ?A��=A�u��B�� x�D��EC¡?¢�£��B¤��¥�?��=��¦ ��§<=�A��;�@ � �¨�� ©�ª� �� ©� � �<�¦ �A��:�u�D��E ��©�ª�A��<� � ��<�� u=��C��D��E «��¡D;<�<¬<¬©�`�D��Eu¬��E� ¥��¨�� <�<�� :� @��=9®u��>� � �©�� <� �¨�ª�'��(a) Testa H 0: h 2 � 0 mot H 1: h 2 W� 0 på nivån 0.05.

(b) Vilket antal konkurrerande märken är bäst för konsumenterna (ger lägst förväntat pris) enligt h -skattningarna i den här analysen?

21


125. Draghållfasthet hos rör uppmäts genom systematiska provningar. Härvid noteras, förutom den last vidvilken röret går sönder (vid långsam ökning av belastningen) även rörets ytter- och innerdiameter, vilkatillåts variera enligt tabellen nedan

Ytterdiameter 12 12 14 14 14 20 20 20 20Innerdiameter 6 9 10 8 10 10 12 14 16Hållfasthet 351 60 525 311 213 569 823 896 915Ytterdiameter 30 30 30 30 30 20 20 20 14 12Innerdiameter 10 20 24 20 12 14 16 12 8 8Hållfasthet 1798 837 853 944 1798 544 332 210 189 216

För att analysera experimentet bestämmer man sig för att arbeta med regressionsmodellen,

Yi �)U �Th 1(xi1 � �x ~ 1) �Th 2(xi2 � �x ~ 2) �tj i i � 1 �� 19 där xi1 och xi2 står för ytter- respektive innerdiameter och j i är oberoende observationer av en normalför-delad stokastisk variabel med väntevärde 0 och varians � 2.

Låt Y � U ! � W , där Y � (y1 ��: y19)T , !w� ( U� h 1 h 2)T , W � ( j 1 ��: j 19)T och

U � �¯� 1 x11 � �x ~ 1 x12 � �x ~ 21 x21 � �x ~ 1 x22 � �x ~ 2...

......

�±°� �Följande numeriska uppgifter underlättar det fortsatta arbetet:

(U T U ) � 1 � �� 19 0 00 � i(xi1 � �x ~ 1)2 � i(xi1 � �x ~ 1)(xi2 � �x ~ 2)0 � i(xi1 � �x ~ 1)(xi2 � �x ~ 2) � i(xi2 � �x ~ 2)2 �� 1

� 10 � 4 �� 526 � 316 0 00 26 � 333 � 27 � 6170 � 27 � 617 53 � 080 ��

U T Y � �� i yi� i(xi1 � �x ~ 1)yi� i(xi2 � �x ~ 2)yi�� 104 �� 1 � 238

4 � 8551 � 382 ��

och Q0 � 91 � 646 ² 104.

(a) Bestäm skattningar av h 1, h 2 och � 2 och gör konfidensintervall för h 1 och h 2 med konfidensgrad95%.

(b) En glad amatör i hållfasthetslära påstår att det enbart är materialets tjocklek som har betydelse förhållfastheten, dvs skillnaden mellan ytterdiameter och innerdiameter. Undersök med ett lämpligttvåsidigt test eller konfidensintervall om h 2 � � h 1, det vill säga om det är rimligt att arbeta medmodellen Yi �4U �Th 1(zi � �z) �^j i, där zi � xi1 � xi2.

Modellen ovan är kanske inte den bästa. Föreslå gärna en modell som tar bättre hänsyn till de fysikaliskaförutsättningarna.

126. Ur två slumpmässiga stickprov om 10 och15 observationer från N (m1 H� 1) respektiveN (m2 �� 2) beräknar man Q1 � 24 � 66 ochQ2 � 31 � 13. Dessa uppgifter använder man föratt testa hypotesen H0 : � 1 �4� 2 mot det ensidi-

ga alternativet H1 : � 1 /z� 2. Till vilket resultatkommer man om testet utföres på nivån 5 %?

127. Tre prover från var och en av tre metaller stop-pades i en korroderande lösning. Korrosionshas-

22


tigheten mättes med följande resultat:

Metall Korrosionens hastighetAluminium 0 � 51 0 � 40 0 � 52Rostfritt stål 0 � 65 0 � 73 0 � 66Specialstål 0 � 89 0 � 67 0 � 86

(a) Sätt upp en lämplig modell som bygger pånormalfördelningar med lika varians ochtesta om de tre metallerna har samma kor-rosionshastighet.

(b) Gör ett 95% konfidensintervall för skillna-den i korrosionshastighet mellan rostfrittstål och specialstål.

128. En zoolog önskar jämföra tre snigelarter X Yoch Z med avseende på hastighet vid förflytt-ning. För detta ändamål lät han fem sniglar avvarje art krypa mot ett attraktivt mål under entimmes tid. Resultatet i cm:

X 71 84 57 61 63Y 57 55 79 73 70Z 89 48 61 65 68

Antag oberoende observationer från normalför-delningar med gemensam varians. Föreligger detnågon signifikant skillnad mellan arterna?

129. Med var och en av fyra termometrar A1, A2,A3 och A4, gjorde man fem bestämningar avkokpunkten hos glykol. Modell: den j:te be-stämningen med Ai ger en observation xij frånN ( � i �� ), och alla observationer är oberoende.Data:

A1 198 � 5 197 � 5 198 � 0 198 � 0 197 � 5A2 197 � 5 196 � 5 197 � 0 197 � 0 197 � 0A3 196 � 0 195 � 5 197 � 5 196 � 0 196 � 5A4 198 � 0 195 � 5 197 � 0 197 � 0 196 � 5

(a) Testa på nivån 5% hypotesen � 1 �³� 2 �� 3 �t� 4.

(b) Hur ser ett 95 % ”ett i taget” konfidensin-tervall ut för m1 � m2?

(c) Man ville studera alla tänkbara kombina-tioner av differenser mellan väntevärdena.Hur ser ett 95 % simultant konfidensin-tervall ut för m1 � m2?

130. Man har tre stickprov, alla av storleken n �11, från N (m1 �� ) N (m2 H� ) och N (m3 �� ). Påvart och ett av stickproven har man beräknat�x och s. Resultat: �x � 2 � 56 3 � 52 2 � 14 ochs � 0 � 47 0 � 61 0 � 53. Pröva med variansanalyshypotesen m1 � m2 � m3.

131. Med var och en av fyra termometrar A1, A2, A3

och A4 gjorde var och en av tre kemister B1, B2

och B3 en bestämning av kokpunkten hos gly-kol. Modell: Bj :s bestämning med Ai ger en ob-servation xij av N ( � ij H� ) där � ij �³U i �mh j , allaobservationer oberoende. Testa på nivån 5% hy-potesen h 1 � h 2 � h 3, dvs. att det inte finnsnågon skillnad mellan kemister. Data:

B1 B2 B3

A1 198 � 5 197 � 5 198 � 0A2 197 � 5 196 � 5 197 � 0A3 196 � 0 195 � 5 197 � 5A4 198 � 0 195 � 5 197 � 0

132. I ett laboratorium vill man undersöka om resul-taten vid analys av kväve i jordprover beror sys-tematiskt av vem, av de fyra laboranterna A, B,C och D, som utfört analysen. De fyra laboran-terna får analysera tre prov vardera i form av ettlitet försök. Man vill välja bland olika sätt attlägga upp detta försök.

(a) Antag att försöket utförs så, att ett jord-prov delas i 12 likvärdiga delar, vilka för-delas slumpmässigt med tre delprov per la-borant för analys. Antag att de får följanderesultat (valda för att ge enkla räkningar).

A B C D212 217 226 225200 207 229 232206 224 238 224

Ansätt en statistisk modell för data ochskatta försöksfelsvariansen � 2 (variansenmellan analyser av en och samma personpå uppdelade delprov. Denna varians för-utsätts vara den samma för alla fyra labo-ranterna). Utför ett statistiskt test av hy-potesen att laboranterna A–D inte skiljersig systematiskt åt, samt beräkna medel-felet för skattningen av den systematiskaskillnaden mellan två laboranter.

(b) Antag att försöket utförs så att man för varoch en av tre olika dagar tar ett jordprov(olika för varje gång, alltså), som delas i 4likvärdiga delar, vilka slumpmässigt förde-las på de lika många laboranterna för ana-lys. Antag att de får följande analysresultat

23


(för att spara in räknearbete bara partielltförskjutna jämfört med data i (a) ovan).

Prov A B C D1 212 217 226 2252 250 257 279 2823 306 324 338 324

Ansätt en statistisk modell för data ochskatta försöksfelsvariansen � 2 (motsvarar� 2 i (a)). Utför att statistisk test av sammahypotes som i (a). Beräkna medelfelet förskattningen av den systematiska skillnadenmellan två laboranter.

(c) Vad kallas försöksuppläggningen i upp-gift (a) ovan? Vad kallas försöksupplägg-ningen i uppgift (b) ovan? Vilken av för-söksuppläggningarna ger den osäkraste � -skattningen (motivera!), och därmed detmindre känsliga testet av se två? Det finnsandra motiv för att ändå välja den försöks-uppläggningen. Ange några sådana skäl.

133. Vid ett s.k. tvåfaktorförsök med fyra observatio-ner per cell fick man följande resulatat:

B1 B2

A1 2 � 00 2 � 01 3 � 99 4 � 002 � 00 2 � 00 4 � 01 3 � 99

A2 2 � 98 3 � 00 6 � 01 6 � 023 � 01 3 � 00 6 � 00 6 � 01

(a) Förefaller det som om faktorerna A ochB är additiva? Någon numerisk beräkningbehöver ej utföras — det räcker med ettungefärligt resonemang.

(b) Testa om det finns ett samspel mellan fak-torerna A och B.

134. Ett led i en produktionsprocess i en fabrik ut-görs av förnickling av lock i ett elektrolytisktbad. Man avser att undersöka variationen i tidenav nickelskiktets tjocklek. Tjockleken, på ett be-stämt ställe på locken, kan bestämmas med enspeciell metod. Vid 10 olika tidpunkter har mantagit ut stickprov, om vardera 10 lock från olikadelar av badet, och beräknat följande kvadrat-summor för variansanalys:

Mellan stickprov 0.0250Inom stickprov 1.0159Totalt 1.0409

Primärdata innehåller också upplysningar om påvilken höjdnivå av 5 möjliga i elektrolysbadetvart och ett av de 100 locken befunnits sig. Medhöjdnivån som indelningkriterium i en variansa-nalys kunde följande kvadratsummor beräknas:

Mellan höjdnivåer 0.3425Inom höjdnivåer 0.6984Totalt 1.0409

(a) Analysera data och tolka de erhållna resul-taten, speciellt med avseende på deras rele-vans för undersökningens syfte.

(b) Diskutera försöksuppläggningen, speciellthur med ledning av resultaten i (a) bordeplanera ett eventuellt upprepat försök.

135. I ett försök bestämdes motståndet i provbitar av4 olika typer av metalltråd. Resultat:

Trådtyp1 2 3 4

0 � 127 0 � 135 0 � 131 0 � 1380 � 127 0 � 127 0 � 134 0 � 1310 � 132 0 � 131 0 � 132 0 � 1330 � 127 0 � 132 0 � 130 0 � 1320 � 127 0 131 0 � 125 0 � 127

0 � 132 9 � 129 0 � 1310 � 127

Mätresultaten Xij antas oberoende och normal-fördelade med samma varians medan väntevär-det för mätningarna från trådtyp i är � i , i �1 ��: 4.

(a) Tyder försöksresultatet på att de olika tråd-typerna har olika motstånd?

(b) Det har tidigare hävdats att motståndet itrådtyp nr 4 skulle vara större än i trådtypnr 1. Bekräftar försöket detta påstående?

136. Om slumpvariabeln T är t-fördelad med f fri-hetsgrader gäller att T 2 är F -fördelad med fri-hetsgraderna 1 och f . Utred sambandet mellant-fördelningens och F -fördelningens kvantiler.

137. Faktorn A finns på k+1 nivåer A0 A1 �� Ak, därA0 är kontroll medan A1 �� Ak är olika så kalla-de aktiva behandlingar. Man vill göra jämförel-ser mellan Ai och A0 i � 1 �� k (men aldrigtvå aktiva mot varandra). De ni observationernafrån nivå Ai antas komma från en normalfördel-ning N (mi H� ); i � 0 1 ��C k.

24


Man vill ha n1 � n2 �4�� nk men n0 kanskenågot annat värde. Om nu � ni � N (givet),hur ska man välja n0?

138. Per har länge misstänkt att sannolikheten för atten honungssmörgås vid fall mot en persisk mat-ta ska hamna med honungssidan ned är störreän 0.5. Han håller en dylik smörgås med kantenvinkelrätt mot mattan och låter den falla från enmeters höjd. Försöket upprepas 18 gånger ochvid 12 av dessa kom honungssidan nedåt.

(a) Har han fog för sin misstanke? Besvara frå-gan med hjälp av ett lämpligt test av lämp-liga hypoteser, vilka ska anges.

(b) Samma uppgift som ovan men med 75kast och resultatet 51 stycken ”honungs-sidan ned”.

139. Visa att om en fördelning är symmetrisk kringett värde a så är a medianen i fördelningen. Visaockså att om a är medianen i en fördelning såär fördelningen inte nödvändigtvis symmetriskkring a.

140. Man tog slumpmässigt ut 18 stycken enkilosför-packningar ur ett stort parti och vägde innehålletvarvid man erhöll följande vikter (enhet: gram):

980 995 988 993 1002 991999 1006 993 989 985 993999 992 980 1009 993 990

Fabrikanten hävdade att högst 10% av produk-tionen hade mer än 10 grams undervikt.

(a) Pröva sanningshalten i hans påstående ge-nom att på ovanstående observationer an-vända ett lämpligt test som ej förutsätternormalfördelning.

(b) Undersök styrkan hos det ovan genomför-da testet, om det faktiskt är så att 15%av produktionen hade mer än 10 gramsundervikt. Hur stor är sannolikheten attfabrikantens felaktiga påstående förkastas idetta fall?

141. Av vart och ett av två glödlampsfabrikat, LU-RAM och OSMA, har man 50 lampor. För attfå uppfattning om en eventuell skillnad mellanfabrikaten tänder man alla lamporna samtidigtoch låter dem brinna i 800 timmar. Efter den-na tid har 23 LURAM-lampor och 34 OSMA-lampor slocknat. Slutsats?

142. Man mätte vattnets salthalt i två olika områden(I och II) av en lagun på Bahamas. Resultat (pro-mille):

I 37.01 37.03 37.32 37.10 37.7037.36 38.85 37.54 37.09

II 39.17 39.30 38.76 38.70 39.7939.44 38.79 38.38 39.65

Undersök om det finns skillnad mellan område-na beträffande salthalten då

(a) normalfördelningar med konstant variansantas.

(b) inga normalfördelningsantaganden kangöras.

143. I ett test av behandling av angina pectoris (kärl-kramp), delades 32 patienter slumpmässigt in itvå grupper och gavs en treveckors behandlingmed en av två mediciner. Bland en mängd mät-ningar som gjordes för att jämföra dessa medici-ner mättes det antal varv patienten orkade cyklapå en viss tid:

P 1072 1001 990 1017 982915 1045 1068 993 1010

1026 957 1072 1014 1014 997Q 758 102 967 997 817

869 880 844 884 944880 823 875 951 824 1002

Testa nollhypotesen att fördelningarna för de tvåmedicinerna är lika.

144. Två stickprov A and B, av plantor från en viss artsom växte på båda sidor av en dal, grävdes uppoch vägdes. Resultat (gram):

A: 27 I 1 40 I 3 15 I 7 3 I 9 22 I 2 36 I 4 11 I 832 I 0 15 I 7 12 I 9 27 I 5 9 I 9 14 I 4 24 I 816 I 3 14 I 7 16 I 2 7 I 2 21 I 0 18 I 8

B: 11 I 7 15 I 3 19 I 1 22 I 0 6 I 7 14 I 1 19 I 128 I 7 17 I 9 24 I 4 15 I 8 12 I 3

Gör ett icke-parametriskt test för att undersökaom plantvikten är den samma på båda sidor omdalen?

145. En trädgårdsmästare, önskade jämföra två vari-anter av cyklamen, fick hjälp av 20 kunder. Hangav varje kund två cyklamen, en av varje sort,och bad kunderna att de skulle placera blom-morna tillsammans och behandla dem på sam-ma sätt i hemmet. Dessutom skulle de noterahur många blommor det blev på varje krukväxt:

25


Kund 1 2 3 4 5 6 7V 24 25 27 26 22 21 23W 31 27 30 28 28 28 27

Kund 8 9 10 11 12 13 14V 25 19 28 31 23 26 24W 32 25 41 35 34 29 29

Kund 15 16 17 18 19 20V 23 23 25 27 18 28W 28 30 28 41 26 26

Testa icke-parametriskt att det inte finns någonskillnad mellan de två sorterna.

146. En ekolog som var intresserad att jämföra två ar-ter (S och T) av primula, planterade 1981 på18 platser (där inga primulor fanns tidigare) 10plantor av varje art. Han räknade varje år hurmånga plantor av varje sort som fanns på de oli-ka platserna och fick år 2000:

Område 1 2 3 4 5 6Art S 187 17 5 65 18 181Art T 226 57 48 109 55 222

Område 7 8 9 10 11 12Art S 51 153 22 87 32 34Art T 89 172 45 98 47 61

Område 13 14 15 16 17 1828 41 44 49 18 2668 76 92 68 44 44

Gör ett icke-parametriskt test för att undersökaom det finns någon skillnad mellan de två arter-na.

147. En zoolog önskar jämföra tre snigelarter X Yoch Z med avseende på hastighet vid förflytt-

ning. För detta ändamål lät han fem sniglar avvarje art krypa mot ett attraktivt mål under entimmes tid. Resultatet i cm:

X 71 84 57 61 63Y 57 55 79 73 70Z 89 48 61 65 68

Gör ett ickeparametrisk test för att undersökaom det föreligger någon signifikant skillnad mel-lan arterna.

148. Följande data är vikten (kg) av den föda som enfullvuxet rådjur konsumerar vid olika tidpunk-ter på året. Testa med ett test, som ej förutsätternormalfördelningar, att konsumtionen av mat ärden samma året om.

Feb maj aug nov4 � 7 4 � 6 4 � 8 4 � 94 � 9 4 � 4 4 � 7 5 � 25 � 0 4 � 3 4 � 6 5 � 44 � 8 4 � 4 4 � 4 5 � 14 � 7 4 � 1 4 � 7 5 � 6

4 � 2 4 � 8149. Smaken hos tre olika typer av kött sak jämföras

av 5 personer. Varje person får en bit kött av var-dera sorten och uppmanas rangordna dessa eftersmak. Resultatet blev:

Person 1 2 3 4 5Kött 1: 1 1 2 1 2Kött 2: 3 2 1 2 3Kött 3: 2 3 3 3 1

där bedömningarna är 1=bäst, 2=näst bäst,3=sämst.

Testa att det inte föreligger någon skillnad mel-lan köttsorterna.

26

II. Lösningar till övningsuppgifter i statistisk teori


1. Medelvärde:�x � 1n

n i � 1

xi � 1n

k j � 1

fj yj� 11649

(1 ² 14 � �� 3 ² 27) � 34 9221649

P 21 � 18

Standardavvikelse:

s � ´µµ¶ 1n � 1

n i � 1

(xi � �x)2

� ´µµµ¶ 1n � 1 ·¸ n

i � 1

x2i � 1

n ¹ n i � 1

xi º 2 »¼� ´µµµ¶ 1

n � 1 ·¸ j

fjy2j � 1

n��

j

fjyj �� 2 »¼� 1

1648 ½ 746 088 � 11649

² 34 9222 ¾PÀ¿ 3 � 96 P 1 � 99

2. (a) För var och en av sjöarna vill man ha ettgenomsnittsmått och ett variationsmått avnäringsämnet. Dessa kan fås av medelvär-det och standardavvikelsen. För Sjö1 är�x=8.677 och sx=1.953, för Sjö2 är �y=6.028och sy=1.184. Man kan också vilja under-söka om det är någon skillnad mellan sjö-arna beträffande näringsämnet, både be-träffande genomsnittsvärde, variation ochi fördelning.

(b) Samtliga värden ska minskas med 0.6 en-heter. Histogrammen förflyttas alltså 0.6enheter till vänster, �x blir 0.6 enheter läg-re medan variansen s2

x är den samma somtidigare.

(c) Just denna dag då mätningarna gjordesskattas genomsnittsmängden av närings-ämnet i Sjö1 till 8.68. Hur bra dennaskattning är (dvs hur nära det sanna"värdetdet är) kan avläsas med hjälp av sx; jumindre sx desto säkrare skattning. Ef-tersom mätningarna endast är gjorda un-der en dag och det förmodligen finns sto-ra skillnader i mängden näringsämne un-der året säger de erhållna mätningarna in-te så mycket om mängden av näringsäm-net i sjön. Man får inte heller information

om hur näringsämnet fördelar sig på olikaplatser i sjön eftersom i dessa data mätplat-sen inte är angiven.

(d) Mycket av kommentarerna till föregåendedeluppgift gäller här också. En skattningav skillnaden just denna dag är �x � �y.

3. X1, X2 1 N (g 15) Á�X � 12

(X1 � X2) 1 N (g 15¿ 2).

4. Slumpmässigt stickprov x1 ��: xn

från N (m H� ).m �1 ��x och m �2 � x1 � xn

2.

(a) E[m �1] � E[ �X ] � E[1n

n i � 1

Xi]� 1n

n i � 1

E[Xi] � 1n

nm � m.

E[m �2] � E[X1 � Xn

2]� 1

2(E[X1] � E[X2]) � 1

2(m � m) � m.

Båda dessa skattningar av väntevärdet äralltså väntevärdesriktiga.

(b) V[m �1] � V[ �X ] � V[1n

n i � 1

Xi]� 1n2 V[

n i � 1

Xi] ��Â ty ober. s.v. Ã� 1n2

n i � 1

V[Xi] � n � 2

n2 � � 2

n.

V[m �2] � V[X1 � Xn

2] � 1

22 V[X1 � X2]��Â ty ober. s.v. ÃÄ� 122 (V[X1] � V[Xn])� 2 � 2

22 � � 2

2.

Effektiviteten av m �2 relativt m �1 blir där-

medV[m �1]V[m �2]

� � 2 � n� 2 � 2 � 2� n

dvs m �2 är mindre effektiv än m �1 då n / 2.

5. Ju fler observationer som används i skattningar-na desto mer koncentrerad är skattningens för-delning kring det sanna värdet.

27


c) Om de n observationerna betecknasx1 �� xn är �x observation av �X 1N (3 2Å

n).

Genom att använda Matlabs @A;�=CBÆ®C�<¬ fåsatt 1 � P(2 \ �X \ 4)=0.263 om n � 5medan sannolikheten är 0.012 då n � 25.

6. De uppmätta avstånden xi är observationer av des.v. Xi 1 N (m �� ).

(a) m känt Á( � 2) � � 1

n

n 1

(xi � m)2 P 0 � 82.

(b) m okänt Á( � 2) �Ç� s2 � 1

n � 1

n 1

(xi � �x)2 P 0 � 85.

Här får vi alltså skatta m med �x och förlo-rar därvid en frihetsgrad. För att skattning-en skall bli väntevärdesriktig delar vi medn � 1 i st.f. n.

7. x1 �� x10 observationer från R (0 a);

fX (x) �ÉÈ 1 � a 0 # x # a 0 f.ö.

E(a �1) � E(2 �X ) � 2n

n i � 1

E(Xi) � 2E(Xi)� 2 ² a

2� a

Skattningen är alltså väntevärdesriktig.

a �1 � 2 �x � 2 ² 24 � 68 � 49 � 36

a �1 # 49 � 6 � max(x1 �� x10)

Inför Y � max(X1 �� X10).Vi söker E(a �2) � E(Y ): FY (y) � (FX (y))10 ÁfY (y) � 10fX (y)(FX (y))9 � 10

a Ê y

a Ë 9

för 0 # y # a

E(Y ) ��Ì a

0y fY (y) dy �¤Ì a

0

10a10 y10 dy� 10

a10 ½ y11

11¾ a

0� 10

11a

Skattningen är alltså ej väntevärdesriktig men

1110

a �2 är väntevärdesriktig, ty

E(1110

a �2) � 1110

E(a �2) � a

Låt alltså a �3 � 1110

a �2 � 1110² 49 � 6 � 54 � 56

V(a �1) � V(2 �X ) � 22V( �X ) � 410

V(Xi)

� 25² a2

12� a2

30ty om Xi 1 R (0 a) så är

V(Xi) � (a � 0)2

12� a2

12.

V(a �3) � { 1110 | 2

V(Y ) där

V(Y ) � E(Y 2) � (E(Y ))2� 1012

a2 � { 1011 | 2

a2 � 101452

a2

eftersom

E(Y 2) � Ì a

0y2 fY (y) dy � Ì a

0

10a10 y11 dy� 10

12a2.

Detta ger att V(a �3) � a2

145 � 2 # V(a �1) � a2

30.

Alltså är a �3 bäst.

8. Observationer

x1 x2 x3; E(Xi) �t� A �y1 y2 y3 y4; E(Yi) �t� B �z1 z2; E(Zi) �t� A n B �t� A � � B �Minimera

Q( � A M� B) �� 3 i � 1

(xi � � A)2 � 4 i � 1

(yi � � B)2

� 2 i � 1

(zi � ( � A � � B))2

med avseende på � A och � B:ÍQÍ � A�� 2 ¹ 3

i � 1

(xi � � A) � 2 i � 1

(zi � � A � � B) º� � 2 ¹ 3 i � 1

xi � 2 i � 1

zi � 5 � A � 2 � B º � 0ÍQÍ � B�� 2 ¹ 4

i � 1

(yi � � B) � 2 i � 1

(zi � � A � � B) º� � 2 ¹ 4 i � 1

yi � 2 i � 1

zi � 2 � A � 6 � B º � 0

Lös ekvationsystemet:

28

II. Lösningar till övningsuppgifter i statistisk teori*ÎÎÎÎÎÎÎÎ+ ÎÎÎÎÎÎÎÎ,5 � A � 2 � B � 3

i � 1

xi � 2 i � 1

zi� 36 � 12 � 60 � 74 � 96 � 86 2 � A � 6 � B � 4

i � 1

yi � 2 i � 1

zi� 73 � 37 � 60 � 74 � 134 � 11Á È � �A � 12 � 0362 � �B � 18 � 3396

dvs ( � A n B) � �t� �A � � �B � 12 � 0362 � 18 � 3396P 30 � 38

9. (a) L( ! ) �¤Ïi

pX (ki; ! )�)! (1 � ! )4 � 1 ²£! (1 � ! )5 � 1 ²£! (1 � ! )4 � 1²�! (1 � ! )6 � 1 ²C! (1 � ! )4 � 1 ²:! (1 � ! )1 � 1�)! 6(1 � ! )18

(b) För att slippa derivera en produkt logarit-merar vi först, så att produkten övergår i ensumma, som är mycket lättare att derivera:

ln L( ! ) � 6 ln ! � 18 ln(1 � ! ),d ln L( ! )

d ! � 6! � 181 � ! � 0 Á

6 � 24 !! (1 � ! ) � 24( 14 � ! )! (1 � ! ) � 0.

Teckenstudium av derivatan visar att !A�Ç�1� 4 verkligen ger maximum för L( ! ).

10. (a) L( ! ; x1 x2) ��)! (1 � x1) �'&�� 1 ! (1 � x2) �'&�� 1

L(2; 0 � 2 0 � 8) �� 2(1 � 0 � 2) � 32(1 � 0 � 8) � 3 � 0 � 3969,

L(3; 0 � 2 0 � 8) �� 3(1 � 0 � 2) � 43(1 � 0 � 8) � 4 � 0 � 4135,

L(4; 0 � 2 0 � 8) �� 4(1 � 0 � 2) � 54(1 � 0 � 8) � 5 � 0 � 3403.

(b) L( ! ; 0 � 2 0 � 8) störst för ! � � 3, vilket allt-så är ML-skattningen.

11. (a) E[X ] ��ÌQÐ0

x fX (x) dx�ÀÌQÐ0

x ! (1 � x) �'&�� 1 dx�%Ñ � x(1 � x) �'&�Ò Ð0� ÌoÐ

0(1 � x) �'& dx� 1! � 1

.

(b) Q( ! ) � (0 � 2 � 1! � 1)2 � (0 � 8 � 1! � 1

)2,

Q(2) � 0 � 68, Q(3) � 0 � 18,

Q(4) P 0 � 24.

Q( ! ) minst för !Ó� 3. Vi väljer alltså! � � 3 enligt MK-metoden.

12. (a) fH (x) � x

ae � x2 . 2a, x / 0.

L(a) � nÏi � 1

fH (xi) � nÏ1

xi

ae � x2

i. 2a

� a � n ² nÏi � 1

xi ² e �ÕÔ x2i. 2a

l (a) � ln L(a)� � n ln a � n i � 1

ln xi � 12a

n i � 1

x2i

dl (a)da

� � n

a� 1

2a2

n i � 1

x2i � 0 Á

a � � 12n

n i � 1

x2i � 38 � 69

16P 2 � 4

(b) x1000 � tusenårsvågen, dvs

P(H / x1000) � 1 � 1000

FH (x) �¤Ì x� Ð fH (t) dt��Ì x

0

t

ae � t2 . 2a dt �ÖÑ � e � t2 . 2a Ò x

0� 1 � e � x2 . 2a

P(H / x1000) � 1 � FH (x1000)� e � x21000. 2a � 1

1000Á

x1000 � ¿ 2a ln 1000

x �1000 � ¿ 2a � ln 1000 P 5 � 8 m

13. X : ”Livslängden för en komponent”,

FX (x) � 1 � e � x . a, x ( 0.

Y : ”Intervall för livslängden för en komponent”.

Vi har sex intervall med sannolikheter:

pY (1) � P(Y � 1) � P(0 \ X \ 1)� 1 � e � 1 . apY (2) � P(Y � 2) � P(1 # X \ 2)� e � 1 . a � e � 2 . apY (3) � P(Y � 3) � P(2 # X \ 3)� e � 2 . a � e � 3 . apY (4) � P(Y � 4) � P(3 # X \ 4)� e � 3 . a � e � 4 . apY (5) � P(Y � 5) � P(4 # X \ 5)� e � 4 . a � e � 5 . apY (6) � P(Y � 6) � P(X / 5) � e � 5 . a

29


dvs

pY (k) �� È e � (k � 1) . a(1 � e � 1 . a) för k � 1 �� 5 e � 5 . a för k � 6 �

L(a) � 102Ïi � 1

pY (yi)� p22Y (1) ² p15

Y (2) ² p6Y (3) ² p3

Y (4) ² p2Y (5) ² p2

Y (6)� Ê 1 � e � 1 . a Ë 22 ² Ê e � 1 . a � e � 2 . a Ë 15 ²��²²��² Ê e � 5 . a Ë 2� e � (15 n 2 ~ 6 n 3 ~ 3 n 4 ~ 2 n 5 ~ 2) . a² (1 � e � 1 . a)22 n 15 n 6 n 3 n 2� e � 54 . a(1 � e � 1 . a)48

För att förenkla räkningarna kan man införab � e � 1 . a som är en monoton funktion av a.

L(b) � b54(1 � b)48

l (b) � ln L(b) � 54 � 48 ln(1 � b)

dl (b)db

� 54b� 48

1 � b� 0 Á

b � � 5448 � 54

� e � 1 . a Áa � � � 1

ln 54102

P 1 � 572

14. Prov av mätutrustning, tre mätserier. Resultatetav en mätserie betraktas som ett slumpmässigtstickprov från en normalfördelning med okäntväntevärde och samma varians.

(a)Serie 1: m �1 � 0 � 184 Q1 � 1 � 32 ² 10 � 3

Serie 2: m �2 � 0 � 232 Q2 � 1 � 08 ² 10 � 3

Serie 3: m �3 � 0 � 158 Q3 � 1 � 08 ² 10 � 3

(b) � � � s �l× Q1 � Q2 � Q3

4 � 4 � 4� 0 � 017.

15. Xi : ”Antal prickar på plattor av färg 1”1 Po(m1), i � 1 �� n1 � 30.

Yi : ”Antal prickar på plattor av färg 2”1 Po(m2), i � 1 �� n2 � 45.

(m1 � m2) �L� m �1 � m �2 ��x � �y � 2130 � 16

45P 0 � 3444.

V Ø (m1 � m2) ��Ù � V( �X � �Y ) � V( �X ) � V( �Y )� V(Xi)n1

� V(Yi)n2

� m1

n1� m2

n2.

D Ø (m1 � m2) ��Ù � × m1

n1� m2

n2.

d Ø (m1 � m2) ��ÙÚ� × m �1n1� m �2

n2� × �xn1� �y

n2P 0 � 1767.

16. L(k m1 m2 m3) � Ïi Û j 1� ¿ 2 Ü e � (xij � mi)2 . 2 Ý 2Þ Ï

i Û j 1� ¿ 2 Ü e � (yij � kmi)2 . 2 Ý 2

l (k m1 m2 m3) � c � 12 ln �� 12 � 2 ·¸

ij

(xij � mi)2 �

ij

(yij � kmi)2

»¼*ÎÎÎÎÎÎÎÎÎÎ+ ÎÎÎÎÎÎÎÎÎÎ,Í

lÍmi

� 1� 2 [xi1 � mi � xi2 � mi� k(yi1 � kmi � yi2 � kmi) ßN i � 1 2 3Í

lÍk

� 1� 2

ij

(yij � kmi)mi

Lös ekvationssystemetÍlÍ

mi� 0, i � 1 2 3,

ÍlÍk� 0:

m1 � x11 � x12 � k(y11 � y12)2(1 � k2)� 12 � 25 � 10 � 76k

1 � k2 ,

m2 � x21 � x22 � k(y21 � y22)2(1 � k2)� 10 � 785 � 9 � 53k

1 � k2 ,

m3 � x31 � x32 � k(y31 � y32)2(1 � k2)� 10 � 505 � 9 � 32k

1 � k2 ,

k � (y11 � y12)m1 � (y21 � y22)m2 � (y31 � y32)m3

2(m21 � m2

2 � m23)� 10 � 76m1 � 9 � 53m2 � 9 � 32m3

m21 � m2

2 � m23

.

Iterativ lösning:

k � 0 � 9 ger m1 � 12 � 1182, m2 � 10 � 6972och m3 � 10 � 4381, vilket ger k � 0 � 8903 somger m1 �}�� etc. Efter ett antal iterationer fårvi k � 0 � 8826, m1 � 12 � 2244, m2 � 10 � 7906och m3 � 10 � 5290.

ML-skattning av � 2:

30


( � 2) � � 112 Ñ � ij(xij � m �i )2 � � ij(yij � k � m �i )2 Ò

Skattningen blir väntevärdesriktig om 12 bytsmot 12 � 4 (fyra skattade parametrar) och denkorrigerade ML-skattningen av � 2 blir 0 � 174.

17. Stickprovsundersökning: antal färgblinda p i storpopulation.

A: nA � 1000, xA � 77,

B: nB � 2000, xB � 124.

Egentligen hypergeometrisk fördelning, men ef-tersom populationen är stor kan vi göra en bino-mialapproximation.

L(p) �� { nA

xA| pxA(1 � p)nA � xAÞ { nB

xB| pxB(1 � p)nB � xB

ln L(p) � ln { nA

xA| � ln { nB

xB|� (xA � xB) ln p � (nA � nB � (xA � xB)) ln(1 � p)

d ln L(p)dp

�� xA � xB

p� nA � nB � (xA � xB)

1 � p� 0

p � � xA � xB

nA � nB� 77 � 124

1000 � 2000� 2013000

� 0 � 067.

Teckenstudium av derivatan visar att detta germaximum.

18. Antal fartyg X 1 Po( 0 t), dvs

pX (k) � ( 0 t)k

k!e ��à t ti 30 30 40

ki 10 12 18

(a) ML-skattning:

L( 0 ) � 3Ïi � 1

pX (ki) � 3Ïi � 1

( 0 ti)ki

ki !e ��à ti� e ��à�Ô 3

1 ti ²:0 Ô 3i á 1 ki ² 3Ï

i � 1

tkii

ki !,

ln L( 0 ) �� 0 3 1

ti � ln 0 3 i � 1

ki � 3 i � 1

lntkii

ki !

d ln L( 0 )d 0 � � 3

1

ti � 10 3 1

ki � 0 Á

0u�Õ� � 3i � 1 ki� 3i � 1 ti

Alltså får vi 0 � � 40100

� 0 � 40.

(b) V[ 0 � ] � V[ � 3i � 1 Xi� 3i � 1 ti

]� 1

( � 3i � 1 ti)2

3 i � 1

V[Xi] � � 3i � 1 0 ti

( � 3i � 1 ti)2� 0� 3

i � 1 ti� 0

100

D[ 0 � ] � 0� 3i � 1 ti

� ¿ 010

.

19. x � 16 obs. av X 1 Bin(25 p).

(a) p � � x

n� 16

25� 0 � 64.

(b) V[p � ] � V[X

n] � 1

n2 V[X ] � npq

n2� p(1 � p)n

D[p � ] �lâ V[p � ] � × p(1 � p)n� 1

5â p(1 � p)

(c) d(p � ) � 15â p � (1 � p � )� 1

5× 16

25(1 � 16

25) � 4

25× 9

25� 12125

� 0 � 096

20. X : ”Antal felaktiga enheter”1 Bin(n p), p \ 0 � 04.

p � � x � n med

V(p � ) � V(X

n) � V(X )

n2 � pqn

n2 � pq

noch

D(p � ) � â pq � n � â p(1 � p) � n.

Om p \ 0 � 04 blir

p(1 � p) \ 0 � 04(1 � 0 � 04) � 0 � 0384.

D(p � ) kan alltså högst bli â 0 � 0384 � n (rita fi-gur!). â 0 � 0384 � n \ 0 � 02 Á n ( 96.

21. Smältpunkt X för naftalin, med E[X ] � m ochD[X ] �ã� okända. Ett stickprov om 9 värdengav �x � 80 � 9 och s � 0 � 3.

m �Ç��x � 80 � 9,

V[m � ] � V[ �X ] � V[1n

n 1

Xi]

31


� 1n2

n 1

V[Xi] � 1n2

n 1

� 2 � n � 2

n2 � � 2

n

D[m � ] � �¿ n

Nu är emellertid � okänt, så vi får använda ossav s, som ju är en skattning av � . Vi får då enskattning av D[m � ], nämligen medelfelet

d(m � ) � 0 � 3¿ 9P 0 � 10

22. (a) p �1 antar värdena 0 eller 1; p �2 antar värdena0, 1/2 eller 1.

(b) Ja, båda är vvr.

(c) 12

23. a � b � 12

24.

25. (a) 0.944 resp. 0.652

(b) 2 248 l

(c) 10002 Ý 2A

5 � 20002 Ý 2B

5

26.

27. 20 st

28. (a) ¿ 5(b) � n

1(xi � ¿ 5 )2

(c) 5 � är ej vvr. Arean kommer att överskattasi genomsnitt.

29. 1.108

30. ¿ 17

31. (a) 0.0333

(b) 0.0667

(c) 0.0542

32. (a) 0.8333

(b) 0.2635

33. (a) a � ��x(c) äxÅ

n

34. (a) På x-axeln: de sorterade x-värdena

x(1) ��: x(13) � � 44 ��: 71.

På y-axeln: 100 ² i � 1 � 213

, i � 1 ��: 13.

Data ligger ungefär på en rät linje, alltsåkan man ansätta normalfördelning.

(b) Ur diagrammet:m � � 12 (= skärningen med 50-linjen).� � � 1

4(x n 2 � x � 2) � 1

4(80 � ( � 55))� 33 � 75.

ML-skattning:m � �¤�x � 14 � 23 och � � � s P 32 � 69.

35. (a) �x=74.11, s=8.74

(c) Ja de verkar vara normalfördelade

(d) En lognormalfördelning verkar passa bätt-re till calciumhalterna.

36. (a) Empirisk fördelningsfunktion

F � (x) � i

n, x(i) \ x # x(i n 1).

i 1 2 3 4 5x(i) 967 1009 1095 1137 1139F � (x(i)) 0 � 1 0 � 2 0 � 3 0 � 4 0 � 5i 6 7 8 9 10x(i) 1153 1201 1203 1315 1350F � (x(i)) 0 � 6 0 � 7 0 � 8 0 � 9 1 � 0

(b) F � (1200) � 0 � 6.Sätt Y : ”Antal observationer \ x”.Y 1 Bin(n p)), där

p � P(X \ x) � F (x), F � (x) � Y

n.

E(F � (x)) � 1n

E(Y ) � 1n

np � p � F (x)

vvr!

V(F � (x)) � 1n2 V(Y ) � 1

n2 npq � pq

n� F (x)(1 � F (x))n

.

d(F � (x)) � × 1n

F � (x)(1 � F � (x)).

d(F � (1200)) � × 110² 0 � 6 ² 0 � 4 P 0 � 155

37. x1 �� x6 oberoende observationer av N (m �� ).� � � ´µµ¶ 1n � 1

n i � 1

(xi � �x)2 �l× Q

n � 1� × 9 � 4 ² 10 � 7

5� 4 � 34 ² 10 � 4

EftersomQ� 2 1`c 2(n � 1) så gäller att

1 � UÄ� P(Q� 2 (Xc 2

1 �Æå (n � 1))� P( � 2 \ Qc 21 �Æå (n � 1)

)� P( �d\ Qc 21 �Æå (n � 1)

).

32


Alltså:

I Ý � (0 Qc 20 æ 95(5)

) � (0 × 9 � 4 ² 10 � 7

1 � 15)� (0 9 � 0 ² 10 � 4) med UÄ� 0 � 05.

38. (a) m � �À�x � 20 99223

� 912 � 7.

( � 2) � � s2 � 1n � 1

n i � 1

(xi � �x)2� 1 163 14722

� 52 870.

(b) � 2 � 2202:

I m � ( �x Oo0 å . 2 ² �¿ n)� (912 � 7 O 1 � 96 ² 220¿ 23

)� (822 � 8 1002 � 6).

(c) ( � 2) � � 52 870 � 229 � 92 :

I m � ( �x O t å . 2(n � 1) ² s¿ n)� (912 � 7 O 2 � 70 ² 229 � 9¿ 23

)� (813 � 4 1011 � 9).

(d) X 1 lognormal Á ln X 1 N (b a).

b � � 1n

n i � 1

ln xi � 156 � 082423

� 6 � 7862.

(a2) �Ç� 1n � 1

n i � 1

�� ln xi � 1n

n j � 1

ln xj �� 2

� 1 � 4010723

� 0 � 0609.

(e) 100-årsflödet, x100, definieras enligt

P(X / x100) � 1100

.

Om man antar normalfördelning får man:1

100� P(X / x100)� 1 �èç (

x100 � m �� ) Áx100 � m �� À0 0 æ 01 Áx100 � m � � 0 0 æ 01 ²�� 912 � 7 � 2 � 3263 ² 229 � 9 � 1447 � 6.

Om man istället antar lognormalfördel-ning får man:

1100

� P(X / x100)� P(ln X / ln x100)� 1 �èç (ln x100 � b �

a � ) Áln x100 � b �

a � �À0 0 æ 01 Á

x100 � eb éênëà 0 ì 01 ~ a é � e6 æ 7862 n 2 æ 3263 ~ 0 æ 247� 1572 � 3.

39. Livslängd X 1 Exp( ! ),fX (x) � 1! e � x . & ; x ( 0, där ! är medellivs-

längden.

Vi har en observation x � 1000 av X .

0 � 95 � P(c1X #�!d# c2X )� P(!c2# X # !

c1)

Om vi väljer c1 och c2 så att den återstående san-nolikhetsmassan (0.05) fördelas symmetriskt ut-anför vardera gränsen, får vi

0 � 025 � P(X # !c2

) �ÀÌ & . c2

0

1! e � x . & dx� Ñ � e � x . & Ò & . c2

0� 1 � e � 1 . c2 ,

0 � 025 � P(X / !c1

) � Ì Ð& . c1

1! e � x . & dx� Ñ � e � x . & Ò Ð & . c1

� e � 1 . c1 .

Detta ger c1 � � 1ln 0 æ 025 , c2 � � 1

ln 0 æ 975 och

I & � (c1x c2x) � (271 39 500).

40. Ensidigt konfidensintervall av formen (cx �3 ),alltså P(cX #¤!$#x3 ) � 1 � U , dvs

1 � Uí� 0 � 95 � P(X # !c

) �¤Ì & . c0

1! e � x . & dx� Ñ � e � x . &�Ò & . c0� 1 � e � 1 . c .

Detta ger c � � 1ln 0 æ 05 P 0 � 3338 och

I & � (334 Æ3 ).

41. �x � 45 � 2 och �]� 2.

Im � ( �x � 0 å . 2 ²<�� ¿ n '�x � 0 å . 2 ²<�� ¿ n)� (45 � 2 � 1 � 96 ² 2 � ¿ 4 45 � 2 � 1 � 96 ² 2 � ¿ 4)� (43 � 2 47 � 2).

42. Uppmätta pH-värden xi betraktar vi som obser-vationer av s.v. Xi .Vi har sant pH-värde m, ett systematiskt fel

Goch ett slumpmässigt fel Yi 1 N (0 N� ), dvs

Xi � m � G � Yi 1 N (m � G �� ) och därmed�X � (m � G )�� ¿ n1 N (0 1) och alltså

1 � Uí� P( � 0 å . 2 # �X � (m � G )�� ¿ n#t0 å . 2)

33

II. Lösningar till övningsuppgifter i statistisk teori� P( �X � G � 0 å . 2 ÝÅ n# m # �X � G � 0 å . 2 ÝÅ n

)

Alltså

I m � ( �x � G OQ0 å . 2 ² �¿ n)� (8 � 2 � 0 � 1 OQ0 0 æ 005î ï±ð ñ

2 æ 58

² 0 � 05¿ 4) � (8 � 1 O 0 � 06)� (8 � 04 8 � 16).

Alternativt kan man först dra bort 0.1 från allamätvärdena och sedan göra ett vanligt intervall.

43. Standardavvikelsen � är nu okänt. Använd s �0 � 042 som skattning av � och t-fördelning i st.f.normalfördelning:

I m � ( �x � G O t å . 2(n � 1) ² s¿ n)� (8 � 2 � 0 � 1 O t0 æ 005(3)î ï�ð ñ

5 æ 84

² 0 � 042¿ 4)� (8 � 1 O 0 � 12) � (7 � 98 8 � 22)

44. X =halten av bly 1 N (m 1 � 3)

x1 �� x5 är ett stickprov från X .m � ��x=48.15,

(a) Im � (( �x O 0 0 æ 025ÝÅ5) =

(48.15 O 1 � 96 1 æ 3Å5)=(48.15 O 1.140)=

(47.01, 49.29)

(b) Ett uppåt begränsat intervall är av intresseeftersom höga halter av bly är farliga. In-tervallet är nu Im � ( � 3^ F�x � 0 0 æ 05

ÝÅ5) =

( � 3 , 48.15 + 1.645 1 æ 3Å5)=

( � 3 , 48.15 +0.956)=( � 3 , 49.11)

45. A: Observationer x1 �� x6 från N (m1 H� ),n1 � 6.

B: Observationer y1 ��: y6 från N (m2 �� ),n2 � 6.

I m2 � m1 � (m �2 � m �1 OO t å . 2((n1 � 1) � (n2 � 1)) ² d(m �2 � m �1)).

m �1 ��x � 12 � 3383, m �2 �^�y � 12 � 3883.�<�Ç� s � × Q1 � Q2

(n1 � 1) � (n2 � 1)�z× 0 � 0187 � 0 � 01056 � 1 � 6 � 1

� 0 � 0540, där

Q1 � i

x2i � 1

n1(

i

xi)2 � 0 � 0187 och

Q2 � i

y2i � 1

n2(

i

yi)2 � 0 � 0105.

V(m �2 � m �1) � V( �Y ) � V( �X ) � � 2

n2� � 2

n1�4� 2(1n1� 1

n2)

D( �Y � �X ) �z� × 1n1� 1

n2Á

d( �Y � �X ) � s × 1n1� 1

n2� 0 � 0312.

t0 æ 025(10) � 2 � 23 ÁI m2 � m1 � (0 � 05 O 0 � 0695) � ( � 0 � 02 0 � 12).

46. x1 �� x5 oberoende observationer från

N (m �� ) med � känd.

I m � (7 � 02 7 � 14) � ( �x OQ0 0 æ 05 ² �¿ 5).

(a) Hälften så brett:0 0 æ 05 ² �¿ n� 1

2²�0 0 æ 05 ² �¿ 5

Án � (2 ¿ 5)2 � 20.

Det behövs 20 � 5 � 15 mätningar till.

(b) 95%, samma bredd:0 0 æ 025 ² �¿ nPÀ0 0 æ 05 ² �¿ 5

Án � { 0 0 æ 0250 0 æ 05

² ¿ 5 | 2 P 7 � 10.

Det behövs 7 � 10 � 5 � 2 eller 3 mätningartill.

47. Modell:Före införandet: x1 �� x7 observationer avN ( � 1 H� )Efter införandet: y1 �� y8 observationer avN ( � 2 H� )

(a) �x=0.1086; �y=0.0763; sx=0.0291;sy=0.0233

Poolad skattning av � 2: s2p � 6 ~ s2x n 7 ~ s2y6 n 7 �

6 � 825 ² 10 � 4; sp=0.0261

I ò 1 � ò 2 � ( �x � �y O t0 æ 025(13)sp ó 17 � 1

8 )

=(0 � 1086 � 0 � 0763 O 2 � 16 ²0 � 0261 ó 1

7 � 18 )=

(0.0031, 0.0615)

(b) Eftersom intervallet ej täcker över 0 gav in-förandet av rening en signifikant föränd-ring av total fosforhalt i vattendraget.

34


48. Modellen är stickprov i par:

xk – fosforhalt från Östra Torn vid tidpunkt k1 N (mk �� 1),

yk – fosforhalten från Källby vid tidpunkt k1 N (mk � G �� 2).

H0:G

=0, H1:G W� 0.

Bilda differenser zk � yk � xk: � 0.7, 1.3, 0.6,1.4, 1.1, 1.1, 1.0, � 0.4, � 1.4, 0.9; mätvärdenafrån 4 mars och 11 mars kan ej utnyttjas.�z=0.49 och sz � ó 1

10 � 1 � 10k � 1(zk � �z)2=0.9689.

Testkvantitet t � äz � 0szô10

= ¿ 10 0 æ 490 æ 9689 =1.60.

Eftersom õ t õH# t0 æ 025(9) � 2 � 26 kan H0 ej för-kastas. Det finns alltså inget signifikant stöd förpåståendet att fosforkoncentrationen skiljer sigåt vid de två platserna.

Alternativt kan ett tvåsidigt intervall förG

gö-ras:

I ö =( �z O t0 æ 05(9) szÅ10

) = (0.49 O 2.26 0 æ 9689Å10

) =(0.49 O 0.6924) = ( � 0.2, 1.2).

Eftersom intervallet täcker över 0 är slutsatsernade samma som ovan vid hypotestestet.

49. Modellen är stickprov i par:xk – Fe-halt på A-nivå i grop k 1 N ( � k �� 1),yk – Fe-halt på C-nivå i grop k 1 N ( � k � G �� 2) och de intressanta hypoteserna är H0:

G=0, H1:G W� 0.

Bilda differenser zk � yk � xk: 2.81, 4.35, 2.83,2.32, 0.41, � 40.35, 4.62, 3.72, � 0.63, � 0.57

Enligt modellen är z1 �� z10 1N (G â � 2

1 � � 22) � N (

G �� )�z=1.951 och sz � ó 110 � 1 � 10

k � 1(zk � �z)2=2.064.

Testkvantitet t � äz � 0szô10

= ¿ 10 1 æ 9512 æ 064 =2.989.

Eftersom õ t õD/ t0 æ 025(9) � 2 � 26 förkastas H0 pånivå 0.05. Det finns alltså en signifikant skillnadi genomsnittlig järnhalt mellan olika nivåer.

Alternativt kan ett 95 % konfidensintervall förGgöras:

I ö � ( �z O t0 æ 025(9)sz¿ 10

) � (1 � 951 O2 � 26

2 � 064¿ 10) � (1 � 951 O 1 � 475) � (0 � 48 3 � 43) �

Eftersom intervallet ej täcker över 0 är slutsatser-na de samma som ovan vid hypotestestet.

50. Xij � ”klorhalt dag i, mätning j” 1 N ( � i H� );j � 1 �� ni; ni � 2; i � 1 �� k; k � 5;

� �i ��xi æ � 57.75, 56.1, 59.95, 56.2, 58.0; si �0.7778, 0.4243, 0.3536, 9,1414, 0.5657;� � � sp � ÷ (ni � 1)s2i÷ (ni � 1)

� × 1 � 255

�¿ 0 � 25 � 0 � 5; f � ÷ (ni � 1) � 5;Uø� 0 � 05; t å . 2 Û f � t0 æ 025 Û 5 � 2 � 57;

I ò 5 � ( �x5 æ O t å . 2 Û f sp¿ n5) � (58 � 0 O 2 � 57 ² 0 � 5¿ 2

) �(58 � 0 O 0 � 909) � (57 � 09 58 � 91).

51. (a) Om de tre arearna för de olika sjödelarnabetecknas a1 a2 respektive a3 samt totalasjöarean a, där a � a1 � a2 � a3 är en lämp-

lig skattning av �_�D�_� (a1

a��1 � a2

a�A�2 �

a3

a��3)

(b) Variansen för denna skattning är

V ( � � ) � (a1

a)2 � 2

n1� (

a2

a)2 � 2

n2�

(a3

a)2 � 2

n3�� 2

a2(a2

1

n1� a2

2

n2� a2

3

n3)

(c) Med igenkännbara beteckningar:Del1: �x1=5.9511; s1=2.6146; n1=9; a1=12Del2: �x2=5.2940; s2=1.384; n1=15; a2=33Del3: �x3=8.0729; s3=1.8245; n1=7; a3=15

I òø� ( � � O t0 æ 025(f )d ( � � ))där��Ç� a1

a�x1 � a2

a�x2 � a3

a�x3 � 6 � 1201� 2 � � (n1 � 1)s21 � (n2 � 1)s22 � (n3 � 1)s23

n1 � 1 � n2 � 1 � n3 � 1�

3 � 6242f � n1 � 1 � n2 � 1 � n3 � 1 � 8 � 14 � 6 �28t0 æ 025(28)2 � 05

(. � � ) � � 2 �a2 (

a21

n1� a2

2

n2� a2

3

n3) �¿ 0 � 1216

Detta ger I ò � (6 � 1201 O2 � 05 ¿ 0 � 1216) � (5 � 41 6 � 83)

52. (a) Vi utnyttjar de sex mätningarnay1 y2 �� y6 för att skatta det systematiskafelet

Ggenom att 4 � 84 � G � �t�y � 4 � 70,

vilket gerG � �^�y � 4 � 84 � � 0 � 14.

Vi utnyttjar sedan de fyra mätningaranax1 x2 �� x4 för att skatta m: m � � G � ��x, vilket ger m � �Z�x � G � � 4 � 285 �0 � 14 � 4 � 425.

35


(b) V(m � ) � V( �X � G � )� V( �X � �Y � 4 � 84) � V( �X ) � V( �Y )�4� 2(14 � 1

6) � 5 � 2

12

D(m � ) �4� × 512

(c) s2 � Q1 � Q2

6 � 1 � 4 � 1� 0 � 006963 och

s � 0 � 083.

Detta ger d(m � ) � s × 512� 0 � 0539.

(d) I m � (m � O t0 æ 025(8) ² d(m � ))� (4 � 425 O 2 � 31 ² 0 � 0539) � (4 � 30 4 � 55).

53. Xi � ”kopparbestämning” 1 N ( �� ); i �1 �� n; n � 61;

s � ´µµ¶ 1n � 1

n i � 1

(xi � �x)2 � 0 � 00114; f �n � 1 � 60;U � 0 � 05; c 2å . 2 Û f � c 2

0 æ 025 Û 60 � 83 � 8,c 21 �Æå . 2 Û f �oc 2

0 æ 975 Û 60 � 40 � 5;

I Ý 2 � ¹ fs2c 2å . 2(f ) fs2c 2

1 �Æå . 2(f ) º �{ 60s2

83 � 3 60s2

40 � 5 | � (0 � 7203s2 1 � 4815s2);

I Ý � ( ¿ 0 � 7203 ² s ¿ 1 � 4815 ² s) �(0 � 8487 ² 0 � 00114 1 � 2172 ² 0 � 00114) �(0 � 00097 0 � 0014).

54. Xij 1 N ( � i H� 2); i � 1 �� 3; j �1 �� n; n � 5� �i �)�xi æ � 0.184, 0.232, 0.158; s2

i � 0.00033,0.00027, 0.00027;� 2 � � s2p � ÷ (n � 1)s2i÷ (n � 1)

� 13

(0 � 00033 �0 � 00027 � 0 � 00027) � 0 � 00029;s � 0 � 017; f � ÷ (n � 1) � 3 ² (5 � 1) � 12;

I Ý 2 � (12 ~ s2pù 2

0 ì 025(12) 12 ~ s2pù 2

0 ì 975(12)) � ( 12 ~ 0 æ 00029

23 æ 3 12 ~ 0 æ 000294 æ 40 ) �

(0 � 00015 0 � 00079);I Ý � ( ¿ 0 � 00015 ¿ 0 � 00079) �(0 � 0122 0 � 0281) �

55. Eftersom stickprovsstorleken n � 600 får an-ses vara liten i förhållande till hela befolkningensstorlek, kan vi approximera med en binomialför-delning.

Inför alltså den s.v. X � ”antal utlänningar”, därX 1 Bin(600 p),

p � � x

n� 61

600� 0 � 1017.

Binomialtabellen täcker inte så stora värden pån, men np � q � � 54 � 8 / 10, så vi kan göra ennormalapproximation: X 1ú N (np ¿ npq) och

alltså p �X� X

n1ú N (p ó pq � n), där standard-

avvikelsen skattas med

d(p � ) � ó p � q � � n � 0 � 0123.

I p � (p � OQ0 å . 2 ² d(p � ))� (0 � 1017 Oè0 0 æ 025î ï±ð ñ1 æ 96

² 0 � 0123) � (0 � 077 0 � 126)

56. Vi vill ha 0 � 005 ��0 0 æ 025 ² d(p � ) � 1 � 96 × pq

n,

dvs n � (1 � 96

0 � 005)2pq P 153 664pq.

(a) p okänt Á pq \ 1� 4 (rita figur!), så vibör välja n � 153 664 ² 0 � 25 � 38 416 P40 000

(b) p # 0 � 14 Á pq \ 0 � 1204, så vi bör väl-ja n � 153 664 ² 0 � 12044 � 18 501 P20 000

57. X =antalet justeringar i Rörvik 1 Bin(10 ²365 pR)1 AsN (10 ² 365pR â 10 ² 365pR(1 � pR))

där pR=P(rörviksapparaten behöver justeras);p �R � 42

10 ~ 365 =0.0115

(a) IpR � (p �R Oû0 0 æ 025 ó p éR(1 � p éR )10 ~ 365 ) �

(0 � 0115 O 1 � 96 ¿ 0 � 0115 ² 0 � 98853650) �(0 � 0080 0 � 0150)

(b) InpR sökes där n � 10 ² 365

InpR � n ² IpR � (29 � 37 54 � 63)

(c) X =antalet justeringar i Hoburg 1 Bin(10 ²365 pH )1 AsN (10 ² 365pH â 10 ² 365pH (1 � pH ))

där pH =P(hoburgsapparaten behöver ju-steras); p �H � 31

10 ~ 365 � 0 � 0085

IpR � pH � (p �R � p �H OÄ0 0 æ 025 ó p éR (1 � p éR )10 ~ 365 � p éH (1 � p éH )

10 ~ 365 ) �( � 0 � 0016 0 � 0076)

Eftersom intervallet täcker över 0 är ingenskillnad påvisad.

58. X : ”Antalet bakterier i en volymenhet”

X 1 Po(m).

pX (k) � P(X � k) � e � m mk

k!, k � 0 1 ��

36


Sökt: Intervall för p � P(X � 0) � e � m.

x1 �� x100 oberoende observationer av Po(m).

m � � �X 1 AsN (m â m � 100), enligt Centralagränsvärdessatsen.

I m � ( �x Oo0 å . 2 ² d) � ( �x O 1 � 96 ² × �x100

).

Detta medför att

P( �x � 0 å . 2 ² d \ m \x�x � 0 å . 2 ² d) �� P(e äx ��àýü�þ 2 ~ d \ em \ e äx nëàýü�þ 2 ~ d)� P(e � äx ��àýü�þ 2 ~ d \ e � m \ e � äx nëàýü�þ 2 ~ d) � 1 � U .Alltså

I p � I e ÿ m � (e � äx ��àýü�þ 2 ~ d e � äx nëàýü�þ 2 ~ d)� (e � 0 æ 17 � 1 æ 96 ~ ¿ 0 æ 17 . 100 e � 0 æ 17 n 1 æ 96 ~ ¿ 0 æ 17 . 100)� (0 � 778 0 � 915).

59. Xt : ”Antal bilar i ena riktningen under (0 t)”Xt 1 Po( 0 t) P N ( 0 t ¿ 0 t).Yt : ”Antal bilar i andra riktningen under (0 t)”Yt 1 Po( � t) P N ( � t ¿ � t).0u�Ç� xt

toch �A�Ç� yt

t,

V( 0u� ) � V(Xt)t2 � 0 t

t2 � 0t och V( �A� ) � �t

.

D( 0 � � � � ) � × 0 � �t

P × 20t

.

I à � ò � ( 0 � � � � OQ0 å . 2 ² d( 0 � � � � )î ï±ð ñ�0 æ 5 )

med UÄ� 0 � 05.

1 � 96 ² × 20t\ 0 � 5 Á

t ( 20 { 1 � 96 ² 10 � 5 | 2 � 307 � 3 min.

60. (a) S(t): ”Antal pulser från bakgrund och pre-parat i ett intervall av längd t”.

B(t): ”Antal pulser från bakgrund i ett in-tervall av längd t”.Â S(t) t ( 0 Ã och Â B(t) t ( 0 Ã är Pois-sonprocesser med intensiteter 0 s �À0 b � 0 p

respektive 0 b, dvs S(tp) 1 Po( 0 stp) ochB(tb) 1 Po( 0 btb).

Skatta 0 p med 0 �s � 0 �b , där0 �s � S(tp)

tpoch 0 �b � B(tb)

tb

(b) V( 0 ap) � V( 0 �s � 0 �b ) � V( 0 �s ) � V( 0 �b)� 0 s

tp� 0 b

tb� 0 b � 0 p

tp� 0 b

tb.

Minimera V( 0 �p ) under bivillkoret

tp � tb � T :

V( 0 �p ) � 0 b � 0 p

tp� 0 b

T � tpdV( 0 �p )

dtp� � 0 b � 0 p

t2p

� 0 b

(T � tp)2 � 0 Átp � T â 0 b � 0 pâ 0 b � 0 p � ¿ 0 b

.

(c) I à p � ( 0u�p OQ0 å . 2 ² d( 0u�p ))� ( 0 �s � 0 �b OQ0 å . 2 ² 0 �stp� 0 �b

tb).

61. X = ”Antal rätt svar vid 15 försök”.

(a) Oberoende försök Á X 1 Bin(15 1� 2),ty p � 1� 2 om vi antar att Pål gissar.

(b) P(X ( 11) � 1 � P(X \ 10)� 1 � 0 � 94077 � 0 � 05923.

62. X : ”Lystid”, X 1�� (1 �! ).Nollhypotes H 0: !]� 1000,

Mothypotes H 1: !$# 1000

Förkasta H 0 om x1 # a där

P(X # a ��!]� 1000) �4U .(a) Uí� P(X # a ��!]� 1000)� 1 � e � a . 1000 Á a � � 1000 ln(1 � U ).(b) Antag att x1 � 75.Uí� 0 � 05 Á a � 51 � 29 # 75 � x1, alltså

ej signifikant avvikelse på 5%-nivån.

(c) Antag att x2 � 50.

x2 # a, dvs signifikant avvikelse på 5%-nivån.

63. Vi har ett stickprov om 10 förpackningar,där man mäter grumlighet. Utan färgtillsats ärgrumligheten i medeltal 4.0. Har grumlighetenökat?

Modell: slumpmässigt stickprov från N (m 0 � 2).

Hypoteser: H 0: m � 4 � 0, H 1: m / 4 � 0med UÄ� 0 � 05.�x � 4 � 1, D( �X ) � �¿ n

� 0 � 2¿ 10� 0 � 063.

Teststorhet:

u � �x � m0

D( �X )� 4 � 1 � 4 � 0

0 � 063� 1 � 58

37


Eftersom 1 � 58 W/ 1 � 64 ��0 0 æ 05 kan H 0 inte för-kastas på nivån UÄ� 0 � 05.

64. Test: förkasta H 0 om�X � 4 � 0

0 � 2 � ¿ 10/x0 0 æ 05

Styrkefunktionen

h(m) � P(�X � 4 � 0

0 � 2 � ¿ 10/x0 0 æ 05 � m)� P( �X / 4 � 0 � 0 0 æ 05 ² 0 � 2¿ 10

)��Â standardisera Ã� P(�X � m

0 � 2 � ¿ 10/ 4 � m

0 � 2 � ¿ 10� 0 0 æ 05)� 1 �èç (

4 � m

0 � 2 � ¿ 10� 0 0 æ 05),

h(3 � 8) � 1 �èç (4 � 3 � 80 � 2 � ¿ 10

� 0 0 æ 05)� 1 �èç (4 � 81) P 1 � 1 � 0,

h(4 � 3) � 1 �èç (4 � 4 � 30 � 2 � ¿ 10

� 0 0 æ 05)� 1 �èç ( � 3 � 10) � ç (3 � 10) � 0 � 999

65. Kvicksilverhalt i 10 gäddor:

Modell: kvicksilverhalten X 1 N (m H� ).(a) Hypoteser: H 0: m � 0 � 9, H 1: m / 0 � 9

med Uø� 0 � 05.�x � 0 � 97,

d( �X ) � s¿ n� 0 � 33¿ 10

� 0 � 10.

Teststorhet:

u � �x � m0

d( �X )� 0 � 97 � 0 � 90

0 � 10� 0 � 70

Eftersom 0 � 70 W/ 1 � 83 � t0 æ 05(9) kan H 0

inte förkastas på nivån UÄ� 0 � 05.

(b) Hypoteser: H 0: m � 1 � 1, H 1: m # 1 � 1,med Uø� 0 � 05.

Teststorhet:

u � �x � m0

d( �X )� 0 � 97 � 1 � 10

0 � 10� � 1 � 245

Eftersom � 1 � 245 W# � 1 � 83 � � t0 æ 05(9)kan H 0 inte förkastas på nivån UÄ� 0 � 05.

66. X : ”Antal personer som föredrar den gamla”,

X 1 Bin(16 p).

H 0: ”Metoderna lika bra”, det vill säga

H 0: p � 1� 2.

H 1: ”Den nya bättre”, det vill säga

H 1: p # 1� 2.

Direktmetoden:

Enligt H 0: x � 4 observation av

X 1 Bin(16 1� 2) och P(X \ 4) � 0 � 03841.

Eftersom 0 � 03841 # 0 � 05 � U kan H 0 förkas-tas på nivån 0.05. Den nya metoden kan alltsåanses vara bättre.

67. A: x1 �� x9 oberoende observationer frånN (m1 �� ).B: y1 �� y6 oberoende observationer frånN (m2 �� ).

(a) H 0: m1 � m2 eller H 0: m1 � m2 � 0

H 1: m1 W� m2 eller H 1: m1 � m2 W� 0

m �1 �¤�x � 1507 � 1111 och

m �2 �t�y � 1499 � 3333.

( � 2) � � s2 � Q1 � Q2

(n1 � 1) � (n2 � 1)� 1128 � 89 � 677 � 339 � 1 � 6 � 1

� 138 � 94.

(m1 � m2) � � m �1 � m �2 � �X � �Y1 N (m1 � m2 �� × 1n1� 1

n2)

När H 0 är sann gäller att

(m1 � m2) � 1 N (0 �� × 1n1� 1

n2)

d(m �1 � m �2) �zâ V � (m �1) � V � (m �2)� s × 1n1� 1

n2� 6 � 21.

u � m �1 � m �2 � 0d(m �1 � m �2)

� 1 � 252,

t å . 2((n1 � 1) � (n2 � 1)) � t0 æ 025(13)� 2 � 16.

Eftersom õ u õ�� 1 � 252 W/ 2 � 16 kan H 0 inteförkastas på nivån UÄ� 0 � 05.

(b) I m1 � m2 � (m �1 � m �2 OO t å . 2((n1 � 1) � (n2 � 1)) ² d(m �1 � m �2))� ( � 5 � 7 21 � 2).

Intervallet täcker nollan, vilket innebär attH 0 ej kan förkastas på nivån 0 � 05.

68. Xi : ”Mätning vid station A vecka nr i”,

i � 1 �� 12.

Yi : ”Mätning vid station B vecka nr i”,

i � 1 �� 12.

Xi 1 N (mi H� A) och Yi 1 N (mi � G �� B).

Zi � Yi � Xi 1 N (G �� ), där

Gär medelut-

släppet från handelsträdgården.

38

II. Lösningar till övningsuppgifter i statistisk teoriG � � �Z 1 N (G H�� ¿ n), d( �Z ) � s¿ n

,

s � ´µµ¶ 1n � 1

n i � 1

(Zi � �Z )2 � 0 � 334

H 0:G � 0, H 1:

G / 0.

Teststorhet:

u � �Zd( �Z )

� 0 � 3583

0 � 3343 � ¿ 12� 3 � 71,

t å (n � 1) � t0 æ 01(11) � 2 � 72 (ensidigt test!).

Eftersom u / 2 � 72 kan H 0 förkastas på nivånUÄ� 0 � 01.

69. Xi : ”Fetthalt före försöket”,

Yi : ”Fetthalt efter försöket”.

Zi � Yi � Xi : ”Ökning av fetthalten för personnr i”.

Xi 1 N (mi �� 1), Yi 1 N (mi � G �� 2) ÁZi 1 N (

G �� ).H 0:

G � 0, H 1:G / 0.G � � �Z � 0 � 133 och � � � s � 0 � 101.

Teststorhet: u � �Z � 0s � ¿ n

� 4 � 576,

t å (n � 1) � t0 æ 01(11) � 2 � 72

Eftersom u / 2 � 72 kan H 0 förkastas.

70. Mätning av längd hos 8 personer:

person 1 2 3 4 5morgon 172 168 180 181 160kväll 172 167 177 179 159xi 0 1 3 2 1

person 6 7 8morgon 163 165 177kväll 161 166 175xi 2 � 1 2

Skillnaderna xi mellan morgon- och kvällsvär-dena antas vara ett slumpmässigt stickprov frånN (m �� ).Hypoteser: H 0: m � 0, H 1: m W� 0, medUÄ� 0 � 05.�x � 1 � 25, s � 1 � 28,

d( �X ) � s¿ n� 1 � 28¿ 8

� 0 � 45.

Teststorhet: u � �x � m0

d( �X )� 1 � 25 � 0

0 � 45� 2 � 76.

Eftersom õ u õ�� 2 � 76 / 2 � 36 � t0 æ 025(7) kanH 0 förkastas på nivån Uí� 0 � 05.

71. Tablettvikt Xi med E[Xi] � m ochD[Xi] � 0 � 02. Vi väger 35 tabletter.

m � ��x � 0 � 69.

Hypoteser: H 0: m � 0 � 65, H 1: m W� 0 � 65:tvåsidigt test med approximativ signifikansnivåUø� 0 � 05.

Normalapproximation enligt CGS:�X 1ú N (m �� ¿ n).

Vi förkastar H 0 om teststorhetenõ u õu� �� x � 0 � 65

0 � 02 � ¿ 35

�� 11 � 8 /x0 0 æ 025 � 1 � 96.

Slutsats: H 0 kan förkastas på nivån 0.05.

72. (a) Medelfelet

d( �x) � s � ¿ n � 0 � 018 � ¿ 35 � 0 � 0030.

(b) Eftersom vi skattat variansen med s2 jäm-för vi med en t-kvantil:

u � �x � 0 � 65

0 � 018 � ¿ 35� 13 � 15

Eftersom õ u õ'� 13 � 15 / t0 æ 025(n � 1) �t0 æ 025(34) � 2 � 03 kan vi förkasta H 0 pånivån 0.05.

73. Vi vet att1� 2

n i � 1

(Xi � �X )2 1$c 2(n � 1) och allt-

så, om H 0 sann:1� 20

n i � 1

(Xi � �X )2 1`c 2(n � 1)

Ensidigt test: Förkasta H 0 om

1� 20

n i � 1

(xi � �x)2 /Xc 20 æ 01(n � 1).

Vi vill ha

P( 1Ý 20 � (Xi � �X )2 /èc 2

0 æ 01(n � 1) ��k� 2 � 0)( 0 � 95

Om H 1 är sann gäller att

1(2 � 0)2

n i � 1

(Xi � �X )2 1$c 2(n � 1) och vi har

0 � 95 \ P(1� 20

n i � 1

(Xi � �X )2 /Xc 20 æ 01(n � 1))� P(

14 � 2

0

n i � 1

(Xi � �X )2 / 14c 2

0 æ 01(n � 1))Á 14c 2

0 æ 01(n � 1) \èc 20 æ 95(n � 1).

Prövning i tabell ger n � 1 ( 17, det vill sägan ( 18.

39


74. Misstanke om sned tärning: 6:a för sällan? Ingen6:a på tolv kast.

Låt p � P(sexa). Med hjälp av denna slh kan vinu ställa upp våra hypoteser:

H 0: p � 1� 6, H 1: p # 1� 6.

Inför en s.v. X : ”Antal sexor vid 12 kast”,

X 1 Bin(12 p).

Om H 0 är sann är p � 1� 6 och

P � P(X � 0) � { 120 | (

16

)0(56

)12 � 0 � 112

Eftersom P � 0 � 112 W#lU_� 0 � 05 är avvikelsenfrån H 0 ej signifikant på nivån 0.05.

75. (Forts. fr. föregående lösning) Nu har vi 8 sexorpå 120 kast. Misstankarna är de samma som ti-digare, och hypoteserna (som ju handlar om slhatt slå en 6:a) är oförändrade.

Låt nu den s.v. X : ”Antal sexor vid 120 kast’,X 1 Bin(120 p).

Om nu H 0 är sann är p � 1� 6 och

P � P(X \ 8) � 8 i � 0

{ 120i | (

16

)i(56

)120 � i .

För att slippa beräkna denna summa kan vi no-tera att

npq � 120 ² 16² 5

6� 50

3/ 10, så vi kan göra

en normalapproximation: X 1ú N (20 â 50 � 3)

P P ç (8 � 1

2 � 20â 50 � 3 ) � 1 �èç (2 � 82) � 0 � 0024

(detta är med halvkorrektion).

Eftersom 0 � 001 # 0 � 0024 # 0 � 01 är avvikelsenfrån H 0 signifikant �� .

76. X : ”Lystiden hos en glödlampa” 1 Exp(a).

Testa H 0: a � 1000 mot H 1: a # 1000.�X � 1n

n i � 1

Xi 1ú N (a a¿ n) (CGS ty summa av

oberoende s.v. med samma fördelning)�x � 953 � 2 där n � 100.

Förkasta H 0 om u � �x � 10001000 � ¿ n

# � 0 å(Ensidigt test)

Eftersom u � � 0 � 468 W# � 0 0 æ 05 � � 1 � 64 kanH 0 inte förkastas.

77. (a) X : ”Antal försenade ankomster”1 Bin(n p), där n � 80 och x � 28.

Om H 0 är sann så har vi

npq � 80 ² 0 � 3 ² 0 � 7 � 16 � 8 / 10 ÁX 1ú N (np ¿ npq) P N (24 ¿ 16 � 8).

u � x � 24¿ 16 � 8 � 28 � 24¿ 16 � 8 � 0 � 98.

Förkasta H 0 om u /x0 å �À0 0 æ 05 � 1 � 64.

Men 0 � 98 W/ 1 � 64, vilket medför att H 0

inte kan förkastas.

(b) Vi har att X 1 Bin(n 0 � 4)P N (0 � 4n ¿ n ² 0 � 4 ² 0 � 6)� N (0 � 4n ¿ 0 � 24n).

Vårt test är som ovan, dvs förkasta H 0 omx � n ² 0 � 3¿ n ² 0 � 3 ² 0 � 7 / 1 � 64 �

x / 0 � 3n � 1 � 64 ¿ 0 � 21n

Styrkan:

h(0 � 4) � P(X / 0 � 3n � 1 � 64 ¿ 0 � 21n)� 1 �èç (0 � 3n � 1 � 64 ¿ 0 � 21n � 0 � 4n¿ 0 � 24n

)P 0 � 5� 0 � 1n � 1 � 64 ¿ 0 � 21n¿ 0 � 24n� 0 �¿ n � 16 � 4 ¿ 0 � 21 Á n � 56 � 5 P 57

78. X : ”Livslängden för ett bildäck” 1 N ( �� ), där�]� 900.

Testa H 0: � � 5400 mot H 1: � / 5400 på ni-vån U_� 0 � 01 så att styrkan blir minst 0.95 när�_� 6300.

Förkasta H 0 om�x � 5400900 � ¿ n

/x0 0 æ 01 � 2 � 3263.

Styrkan för �k� 6300 blir

h(6300) �� P(�X � 5400900 � ¿ n

/x0 0 æ 01 �D�d� 6300)� P( �X / 5400 � 900 0 0 æ 01 � ¿ n �D�$� 6300)��Â standardisera Ã� P(�X � 6300900 � ¿ n

/ 5400 � 6300900 � ¿ n

� 0 0 æ 01)� 1 �èç (5400 � 6300

900 � ¿ n� 0 0 æ 01)� ç ( ¿ n � 0 0 æ 01) ( 0 � 95 Á¿ n � 0 0 æ 01 /x0 0 æ 05 Á n ( 16.

79. X (t): ”Antal registrerade partiklar under (0 t)”,

X (t) 1 Po( 0 t).40


(a) H 0: 0w� 1, H 1: 0k/ 1.

Om H 0 sann och t � 15 s så

X (15) 1 Po(15), x � 20.

Direktmetoden:

P(X ( 20) � 1 � P(X \ 19)� 1 � 0 � 87522 � 0 � 1248.

Eftersom 0 � 1248 W#�UÄ� 0 � 05 kan H 0 inteförkastas.

(b) Normalapproximation: X (t) 1ú N ( 0 t ¿ 0 t)�¤Â om H 0 sann Ãí� N (t ¿ t).

Test: Förkasta H 0 om

u � x(t) � t¿ t/x0 0 æ 05 � 1 � 64.

Styrkan:

h(1 � 2) � P(förkasta H 0 om 0 � 1 � 2)� P(X (t) � t¿ t

/t0 0 æ 05 ��0w� 1 � 2)� P(X (t) / t � 0 0 æ 05 ¿ t ��0b� 1 � 2)�¤Â standardisera Ã� P(X (t) � 1 � 2t¿ 1 � 2t

/ 0 0 æ 05 ¿ t � t � 1 � 2t¿ 1 � 2t)� 1 �èç (

0 0 æ 05 ¿ t � 0 � 2t¿ 1 � 2t) � 0 � 5 Á0 0 æ 05 ¿ t � 0 � 2t¿ 1 � 2t

� 0 Á ¿ t � 0 0 æ 05

0 � 2 Át � 67 � 64 s.

80. Y : ”Antal hål” 1 Po(K a ), där K � 0 � 1, y � 27

Normalapproximation tillåten under H 0 ef-tersom 0 � 1 ² 200 � 20 / 15: Y 1ú N (20 ¿ 20).

(a) Testkvantitet: t(y) � 27 � 20¿ 20� 1 � 5652.

H 0 förkastas ej eftersom

1 � 5652 W/t0 0 æ 05 � 1 � 64.

Alternativ lösning: Direktmetoden ger

P(Y ( 27 ��a]� 200) �� P(Y � 20¿ 20

( 27 � 20¿ 20��a]� 200)P 1 �èç (

7¿ 20) P 0 � 059

Eftersom 0 � 059 W# UX� 0 � 05 kan H 0 ejförkastas på nivån 0.05.

(b) Styrkan:

h( a ) � P(H 0 förkastas ��a )� P(Y � 20¿ 20

/x0 0 æ 05 ��a )� P(Y / 20 � 0 0 æ 05 ¿ 20 ��a )�¤Â standardisera Ã

� P( Y � 0 æ 1 Å0 æ 1 / à 0 ì 05

Å20 n 20 � 0 æ 1 Å

0 æ 1 ��a )P 1 �èç (0 0 æ 05 ¿ 20 � 20 � 0 � 1 a¿ 0 � 1 a )� ç (

0 � 1 a � 0 0 æ 05 ¿ 20 � 20¿ 0 � 1 a ).

(c) h( a ) ( 0 � 9, dvsç (0 � 1 a � 0 0 æ 05 ¿ 20 � 20¿ 0 � 1 a ) ( 0 � 9

ger

0 � 1 a � 0 0 æ 05 ¿ 20 � 20¿ 0 � 1 a (t0 0 æ 1 Á¿ a�� 0 0 æ 1 O ó 0 20 æ 1 � 4( 0 0 æ 05 ¿ 20 � 20)

2 ¿ 0 � 1� 1 æ 2816 � ¿ 1 æ 28162 n 4(1 æ 6449Å

20 n 20)2Å

0 æ 1�ÉÈ 18 � 690� 14 � 637Áa_( 18 � 6902 � 349 � 3

81. X � ”antal arbetare med cancer” 1 Po(m);x � 14; H 0: m � 7 � 5; H 1: m / 7 � 5;P � P(X ( 14 � X 1 Po(7 � 5)) � 1 � P(X \13 � X 1 Po(7 � 5)) � 1 � 0 � 97844 � 0 � 02156;Eftersom P # 0 � 05 kan H 0 förkastas på nivå0.05. Risken för cancer är signifikant högre.

82. (a) X=antal döda under en junimånad 1Po(m) vilket kan approximeras med N(m,¿ m) då m är stort. Testa H0: m=80 motH1: m / 80 med utnyttjande av vår obser-vation x=100. Testkvantiteten är t= x � 80Å

80�

100 � 80Å80

= 2.23. Eftersom t /}0 0 æ 05=1.645är slutsatsen att H0 förkastas på nivå 0.05.

(b) Y=antal döda under en julimånad 1 Po(m)vilket kan approximeras med N(m, ¿ m)då m är stort. Testa H0: m=50 mot H1:m / 50 med utnyttjande av vår observationy=60. Testkvantiteten är t= y � 50Å

50� 60 � 50Å

50= 1.41. Eftersom t #Ó0 0 æ 05=1.645 är slut-satsen att H0 ej kan förkastas på nivå 0.05.

(c) Z=antalet signifikanta utslag på de12 oberoende testen 1 Bin(12 0 � 05)eftersom P(ett test ger ett signifi-kant utslag när H0 i själva verket ärsann) = 0.05 vilket är testets felrisk.P(Z / 1)=1 � P(Z=0)=1 � 0.9512=0.45

83. Vi har 50 oberoende observationer

x � (x1 �� x50) av Xi 1 Po(m) med� 501 xi � 19.

41


Hypoteser: H 0: m � 0 � 2, H 1: m / 0 � 2.

Teststorhet: t � t(x) � 50 1

xi är en observation

av t(X) � 50 1

Xi 1 Po(50m).

Signifikanstest:

om t / a, förkasta H 0,

om t \ a, förkasta ej H 0.

(i) Direktmetoden, dvs vi beräknar direktP � P(t ( 19).

P � P(50

i � 1

Xi ( 19) � 1 � P(Y \ 18)� 1 � 0 � 99281 � 0 � 00719

Eftersom 0 � 001 # 0 � 00719 # 0 � 01 kan viförkasta H 0 på nivån U � 0 � 01 men intepå nivån Uí� 0 � 001.

(ii) Med hjälp av kritiskt område:Talet a skall väljas så att P(t / a) �lU om

H 0 är sann, dvs P(50 1

Xi / a) � 0 � 05

Om H 0 sann så gäller att

Y � 50 1

Xi 1 Po(50 ² 0 � 2) � Po(10).

P(Y / a) � 0 � 05 � P(Y \ a) � 0 � 95,och eftersom vi nu vet vilken fördelning Yhar, kan vi hitta a genom att ”gå bakläng-es” i tabell: a � 15 (för p � 0 � 95126).

Eftersom t � 19 / 15 blir slutsatsen attvi kan förkasta H 0 på nivån UÄ� 0 � 05.

84. Den s.v. X 1ÀÂ 0 1 2 3 Ã , och vi har 4096 ob-servationer av X .

observation 0 1 2 3 summa# obs. xi 1764 1692 552 88 4096pi 0.42 0.42 0.14 0.016 1.00

Vi skall nu pröva på signifikansnivån 1% omX 1 Bin(3 1� 4), och formulerar därför nollhy-potesen

H 0: pi � pX (i) �%{ 3i | (

14

)i(34

)3 � i

för i � 0 1 2 3.c 2-test: Q � 3 i � 0

(xi � 4096pi )2

4096pi� 11 � 5.

Eftersom 11 � 5 /Sc 20 æ 01(3) � 11 � 3 kan H 0 för-

kastas på 1%-nivån.

42


85. X : ”Antal olyckor under en dag”. Observationer: x1 ��: x480. H 0: X 1 Po(0 � 5).

Zj � ”Antal dagar med j olyckor”, j � 0 1 �� .j pj npj zj

0 p0 � P(X � 0) � e � 0 æ 5 � 0 � 607 291 � 13 3351 p1 � P(X � 1) � e � 0 æ 5 ² 0 � 5 � 0 � 303 145 � 57 1252 p2 � P(X � 2) � e � 0 æ 5 ² 0 � 52 � 2 � 0 � 076 36 � 69 123 p3 � P(X � 3) � e � 0 æ 5 ² 0 � 53 � 3! � 0 � 013 6 � 07 64 p4 � P(X � 4) � e � 0 æ 5 ² 0 � 54 � 4! � 0 � 0016 0 � 76 25 p5 � P(X ( 5) � 1 � P(X \ 4) � 0 � 00017 0 � 08 0Eftersom både np4 och np5 är mindre än 5 måste vi slå ihop de tre sista klasserna:3 p3 � P(X ( 3) � 1 � P(X \ 2) � 0 � 01477 6 � 91 8

Q � 3 j � 0

(Zj � npj)2

npj� (335 � 291 � 13)2

291 � 13 � (125 � 145 � 57)2

145 � 57 � (12 � 36 � 69)2

36 � 69 � (8 � 6 � 91)2

6 � 91�� 26 � 04

Eftersom 26 � 04 /Xc 2å (antal klasser � 1) �Qc 20 æ 001(3) � 16 � 3 kan H 0 förkastas på nivå 0 � 001.

86. X : ”Antal supernovor under en sekund”, n � 3600 � antal sekunder, H 0: X 1 Po(m).

m � � antal supernovor under 3600 sek3600 sek

� � kj � 0 j ² zj

3600� 3450

3600� 0 � 958.

j pj p �j np �j zj

0 p0 � P(X � 0) � e � m 0 � 38 1380 � 7 13811 p1 � P(X � 1) � me � m 0 � 37 1323 � 2 13422 p2 � P(X � 2) � m2e � m � 2! 0 � 18 634 � 0 6073 p3 � P(X � 3) � m3e � m � 3! 0 � 056 202 � 5 1984 p4 � P(X � 4) � m4e � m � 4! 0 � 013 48 � 5 605 p5 � P(X � 5) � m5e � m � 5! 0 � 0020 9 � 3 126 p6 � P(X ( 6) � 1 � P(X \ 5) 0 � 0005 1 � 7 0Eftersom np6 är mindre än 5 måste vi slå ihop de två sista klasserna:5 p5 � P(X ( 5) � 1 � P(X \ 4) 0 � 0025 11 � 0 12

k � 6 (antal klasser), Q � 5 j � 0

(Zj � npj � )2

npj � � 4 � 32.

Förkasta H 0 om Q /4c 2å (k � 1 � 1) �³c 20 æ 05(4) � 9 � 49. Parametern m är skattad, vilket medför att

antalet frihetsgrader minskas med en. H 0 kan ej förkastas.

Om man visste att m � 1 sätts det in i sannolikheterna ovan och frihetsgraderna blir k � 1 � 5.

87. H 0: X 1 Exp(1), n � 1000.

P(a # X \ b) � FX (b) � FX (a) � 1 � e � b � (1 � e � a) � e � a � e � b.

j pj npj zj

1 p1 � P(0 # X \ 0 � 5) � e � 0 � e � 0 æ 5 � 0 � 3935 393 � 5 3072 p2 � P(0 � 5 # X \ 1) � e � 0 æ 5 � e � 1 � 0 � 2387 238 � 7 2733 p3 � P(1 # X \ 2) � e � 1 � e � 2 � 0 � 2325 232 � 5 2884 p4 � P(X / 2) � e � 2 � 0 � 1353 135 � 3 132Alla npj är större än 5 så vi behöver inte slå ihop några klasser

Q � 4 1

(Zj � npj)2

npj� 37 � 25

Eftersom Q /Xc 2å (k � 1) �Qc 20 æ 001(3) � 16 � 3 kan H 0 förkastas på nivån 0.001.

43


88. Att Â X (t) t ( 0 Ã : ”antal bilar i intervallet (0 t]” är en Poissonprocess är samma sak som att Y1 �� Y46:”successiva tidsavstånd mellan bilar” är oberoende och exponentialfördelade, dvs

X (t) 1 Po( 0 t) � Y 1 Exp(1 ��0 ) och H 0: X (t) 1 Po(0 � 1t) � H 0: Y 1 Exp(10)

P(a # Y \ b) � FY (b) � F (a) � (1 � e � b . 10) � (1 � e � a . 10) � e � a . 10 � e � b . 10

j pj npj zj

1 p1 � P(0 # Y \ 5) � 1 � e � 5 . 10 � 0 � 3935 18 � 10 102 p2 � P(5 # Y \ 10) � e � 5 . 10 � e � 10 . 10 � 0 � 2387 10 � 98 153 p3 � P(10 # Y \ 20) � e � 10 . 10 � e � 20 . 10 � 0 � 2325 10 � 70 114 p4 � P(20 # Y \ 40) � e � 20 . 10 � e � 40 . 10 � 0 � 117 5 � 38 55 p5 � P(Y / 40) � e � 40 . 10 � 0 � 018 0 � 84 5Eftersom np5 är mindre än 5 måste vi slå ihop de två sista klasserna:4 p4 � P(Y / 20) � e � 20 . 10 � 0 � 135 6 � 23 10

Q � (10 � 18 � 10)2

18 � 10 � (15 � 10 � 98)2

10 � 98 � (11 � 10 � 70)2

10 � 70 � (10 � 6 � 23)2

6 � 23� 7 � 4.

Eftersom Q W/Xc 2å (4 � 1) �Qc 20 æ 05(3) � 7 � 81 kan H 0 ej förkastas på nivå 0.05.

X (t) kan vara en Poissonprocess med intensitet 0.1.

89. Slumpmässiga stickprov ur stora populationerP1, P2 och P3:

män kvinnor ni

P1 46 54 100P2 78 72 150P3 143 107 250

267 233 500

Vi skall på 5%-nivån pröva nollhypotesenH 0: ”könsfördelningarna är lika i de tre popula-tionerna” och använder därför följande homoge-nitetstest:

Q � i Û j (xij � nip �j )2

nip �jdär i � 1 2 3, j � män, kvinnor.

Vidare får vi ur tabellen ovan att

p �män � 267500

� 0 � 534 och

p �kvinnor � 233500

� 0 � 466, varefter vi kan beräkna

Q � 3 � 769.

f � (r � 1)(s � 1) � (2 � 1)(3 � 1) � 2 och itabellen kan vi avläsa c 2

0 æ 05(2) � 5 � 99.

Eftersom Q � 3 � 769 W/ 5 � 99 � c 20 æ 05(2) kan

H 0 ej förkastas på 5%-nivån.

90. � � � 0 � 16 �� 0 � 0158 I òø� (0 � 14 0 � 18)

91. n � 62

92. (a) 0 � 345

(b) I öo� (0 � 28 0 � 36)

93.

94.

95. 0 � 532

96. (a) 0 � 0144

(b) (2 � 36 2 � 60)

(c) (2 � 86 3 � 40)

97. (57 � 09 58 � 91)

98. (a) I ò 1 � ò 2 � ( � 23 � 59 29 � 59)

(b) I ò 1 � (427 � 76 462 � 57) I ò 2 �(416 � 91 467 � 43)

99. I ò x � ò y � (60 � 865 84 � 935) 95% konfidensgrad

100. (a) I ò x � ò y � ( � 0 � 14488 H3 ) 95% konfi-densgrad

(b) n ( 69

101. (5 � 86 19 � 14)

102. I5 ò � (52 � 72 85 � 28)

103. (1 � 92 2 � 68)

104. P � 0 � 152

105. c 2 � 3 � 14

106. c 2 � 7 � 6107. b) 0 � 01

44


108. b) 0 � 9574

109. Modell: Yi �4U s �Th xi � ei där ei 1 N (0 �� ).Vi har också

mi � E[Yi] � E[ U s �Th xi � ei] �4U s �Th xi�)U �Th (xi � �x).

MK-metoden: Minimera Q( U� h ) �� n i � 1

(yi � mi)2 m.a.p. U och h .

Detta gerU � �t�y ochh � � � ni � 1(xi � �x)(yi � �y)� n

i � 1(xi � �x)2 .

Vi har våra mätningar:

xi : 0.40 0.70 1.00 1.20 1.40 1.70 2.00yi : 0.23 0.34 0.42 0.55 0.61 0.77 0.84

xi � 8 � 4,

x2i � 11 � 94,

Sxx � x2i � 1

n(

xi)2 � 1 � 86,

yi � 3 � 76,

y2i � 2 � 318,

Syy � y2i � 1

n(

yi)2 � 0 � 2983,

xiyi � 5 � 253,

Sxy � xiyi � 1n

(

xi)(

yi) � 0 � 7410

(a) Sätt yI �4U s �wh x och yII �4U s �wh (x � 1).

Då gäller att

yII � yI � ( U s �`h (x � 1)) � ( U s �`h x) � hh �Ç� Sxy

Sxx� 0 � 3984.

(b) mY (x0) �4U s �Th x0 �4U �fh (x0 � �x)�)U �Th (x0 � 1 � 20) Á mY (1 � 20) �4Um �Y (1 � 20) �4U � �t�y � 0 � 5371,

D[m �Y (1 � 20)] � D[ U � ] �z�� ¿ n �4�� ¿ 7

(c) mY (0) �4U � h �x �4U � 1 � 20h ,

m �Y (0) �4U � � 1 � 20h � � 0 � 059.

V[m �Y (0)] � V[ U � � h � �x]� V[ U � ] � ( �x)2 ² V[h � ] �4� 2(17 � 1 � 22

Sxx)� 0 � 9171 � 2 Á D[m � ] � 0 � 9576 �

(d) Den korrigerade ML-skattningen

s2 � Q0

n � 2med Q0 � Syy � S2

xy

Sxx� 0 � 031

ger s � 0 � 0251.

110. U � � 81 � 0000, h � � 23 � 5705 ochs2 � Q0 � 4 � 35 � 0663.

(a) Genomsnittlig dragförlängning vid belast-ningen x0 � 3 kN:

m �0 �4U � �fh � (3 � �x)� 81 � 0000 � 23 � 5705(3 � 3 � 7)� 64 � 5006,

V(m �0) � V( U�� ) � (3 � 3 � 7)2 ² V(h � )� 2C( U � (3 � 3 � 7)h � )� � 2(0 � 1667 � 0 � 72 ² 0 � 0665 � 0) �0 � 1993 � 2 ,

d(m �0) � 5 � 9217 ² ¿ 0 � 1993 � 2 � 6035,

Im0 � (m �0 O t0 æ 025(4) ² d(m �0)� (57 � 26 71 � 74)

(b) Motsvarande prediktionsintervall blir:

IY (x0) � (m �0 OO t0 æ 025(4) ² s â 1 � 0 � 1667 � 0 � 72 ² 0 � 0665)� (46 � 47 82 � 53).

111. Yi: ”Torktiden” 1 N ( U �eh (xi � �x) H� )i � 1 ��: 300.

(a) U � �t�y � 12 � 80,h �Ç� Sxy

Sxx� 460 � 0

1196 � 0 � 0 � 3846.

y � 12 � 80 � 0 � 3846(x � 16 � 0)� 6 � 65 � 0 � 385x.

(b) x0 � 17 � 0 Á m0 �4U �Th (x0 � �x),

m �0 �4U � �fh � (x0 � �x) � 13 � 18.

V(m �0) � V( U�� Th � (x0 � �x))� V( U � ) � (x0 � �x)2 V(h � )� � 2

n� (x0 � �x)2 � 2

Sxx�4� 2(1n� (x0 � �x)2

Sxx),

( � 2) � � s2 � Q0

n � 2,

Q0 � Syy � S2xy

Sxx� 929 � 1069 Á

s2 � 3 � 1178.

d(m �0) � s1n� (x0 � �x)2

Sxx� 0 � 114.

Im0 � (m �0 O t å . 2(n � 2) ² d(m �0))� (13 � 18 O t0 æ 025(298)î ï±ð ñ1 æ 96

² 0 � 114)� (12 � 96 13 � 41).

45


(c) y0 � 13 Á x �0 ��x � y0 � U �h � � 16 � 52.

d(x �0 ) P sõ h � õ 1 � 1n� (y0 � �y)2

(h � )2Sxx� 4 � 5991.

I x0 P (x �0 OQ0 å . 2 ² d(x �0 ))� (16 � 52 O 1 � 96 ² 4 � 5991) � (7 � 5 25 � 5).

112. Yi : ”Dimension” 1 N ( U �Th (xi � �x) �� ),i � 1 ��: 8.

Vi vill testa om inställningen x har någon inver-kan, det vill säga testa

H 0: h � 0 mot H 1: h W� 0.h � � Sxy

Sxx� 0 � 0821, h � 1 N (h �¿ Sxx

) ÁI q � (h � O t å . 2(n � 2) ² s¿ Sxx

).

s �z× Q0

n � 2, Q0 � Syy � S2

xy

Sxx� 0 � 5754 Á

s � 0 � 3097, t0 æ 025(6) � 2 � 45

I q � (0 � 0821 O 2 � 45 ² 0 � 3097¿ 42)� ( � 0 � 035 0 � 199).

Eftersom intervallet täcker nollan kan H 0 inteförkastas.

113. Yi : ”Känslighet” 1 N (a � bxi H� ).b �Ç� Sxy

Sxx� � 0 � 0674,

I b � (b � O t å . 2(n � 2) ² d(b � )),där d(b � ) � s¿ Sxx

.

s �z× Q0

n � 2� 1

n � 2(Syy � S2

xy

Sxx)� 1 � 9866 Á d(b � ) � 0 � 01393,

t0 æ 025(72) � 2 � 00.

I b � ( � 0 � 0953 � 0 � 0396).

114. Yij 1 N ( U i �Th ixj �� ),i � 1 2, j � 1 �� 5.h �1 � Sxy1

Sxx� 12 � 4

10� 1 � 24,h �1 1 N (h 1 �¿ Sxx

),h �2 � Sxy2

Sxx� 8 � 1

10� 0 � 81,h �2 1 N (h 2 �¿ Sxx),

h �1 � h �2 1 N (h 1 � h 2 �� × 2Sxx

).� � � s � × Q01 � Q02

n � 2 � n � 2� × 0 � 224 � 0 � 1873 � 3

� 0 � 262 ty

Q01 � Syy1 � S2xy1

Sxx� 15 � 6 � 12 � 42

10� 0 � 224,

Q02 � Syy2 � S2xy2

Sxx� 6 � 748 � 8 � 12

10� 0 � 187.

I q 1 � q 2 � (h �1 � h �2 O t å . 2(n � 2 � n � 2)î ï±ð ñt0 ì 025(6) � 2 æ 45

² s × 2Sxx

)� (0 � 143 0 � 717).

Punkten 0 ligger inte i intervallet, alltså förkastasH 0: h 1 � h 2 på nivån Uí� 0 � 05.

115. (a) yi � a � bxi �tj i, där j i obs av N (0 �� ),i � 1 �� 20.

yi � a � bxi � j i � a � b �xî ï±ð ñå � b(xi � �x) � j i .U � �^�y � 13 � 139.

b � � Sxy

Sxx� 307 � 166

5564 � 2 � 0 � 0552.

a �Ç�4U�� b ��x � 13 � 139 � 0 � 0552 ² 36 � 3� 11 � 135.�<� �4× Q0

n � 2� 1

n � 2(Syy � S2

xy

Sxx)� × 1

18(22 � 7404 � 307 � 1662

5564 � 2 )� 0 � 5668.

(b) yKi � aK � bKxK

i �tj Ki ,

yMi � aM � bxM

i �tj MiH 0: bK � bM, H 1: bK W� bM

b �K � (Sxy

Sxx)K � 0 � 06318,

b �M � (Sxy

Sxx)M � 0 � 05167.

b �K � b �M 11 N (bK � bM �� × 1(Sxx)K

� 1(Sxx)M

)� � � s � ´µµµ¶ Q0K � Q0M

nKî:ï±ðCñ5

� 2 � nMî:ï�ð:ñ15

� 2� 0 � 572.

Teststorhet

46


u � b �K � b �M � 0

s â 1 � (Sxx)K � 1 � (Sxx)M� 0 � 733.

Förkasta H 0 omõ u õA/ t å . 2((nK � 2) � (nM � 2)).

Eftersom 0 � 733 W/ t0 æ 025(16) � 2 � 12 kanH 0 ej förkastas på nivån 0.05.

116. yi � ceq ti j i, där ln j i observation från N (0 �� ),i � 1 �� 6.

ln yiîCï±ð:ñzi

� ln c �Th ti � ln j i� ln c �Th �tî ï±ð ñå ��h (ti � �t) � ln j i.Linjär regression:�t � 334, �z � 0 � 6366, Stt � 233 582,Stz � � 147 � 8317, Szz � 0 � 0936,U � ��z � 0 � 6366 ochh � � Stz � Stt � � 0 � 0006329.

ln m � ln c � 600h �4U � 600h � h �t�)U �Th (600 � �t).(ln m) � �zU � �Th � (600 � �t) � 0 � 46822.

V((ln m) � ) � V( U�� ) � (600 � �t)2 ² V(h � )�)� 2(1n� (600 � �t)2

Stt).

Q0 � Szz � S2tz

Stt� 3 � 01 ² 10 � 5 och

s � × Q0

n � 2� 2 � 74 ² 10 � 3.

d((ln m) � ) � s1n� (600 � �t)2

Stt� 2 � 74 ² 10 � 3 × 16 � (600 � 334)2

233 582� 1 � 88 ² 10 � 3.

I ln m � ((ln m) � O t å . 2(n � 2)î ï�ð ñt0 ì 025(4) � 2 æ 78

² d((ln m) � ))� (0 � 463 0 � 473).

I m � (e0 æ 463 e0 æ 473) � (1 � 589 1 � 606).

117. �y � 4 � 0405, �t � 21 � 0385,Stt � 1896 � 2308, Syy � 0 � 10057 ochSty � � 13 � 6283.

(a) h � � � 0 � 007187,

( U:s ) � �t�y � h � �t � 4 � 1917,

s2 � Q0

n � 2� 0 � 0002385 och

s � 0 � 01544.

(b) I å g � (( U s ) ��O t0 æ 025(n � 2) ² s 1n� �t2

Stt)� (4 � 1728 4 � 2106),

I q � (h ��O t0 æ 025(n � 2) ² s¿ Stt)� ( � 0 � 0079 � 0 � 0064).

(c) c � e å gÆÁI c � (e4 æ 1728 e4 æ 2106) � (64 � 90 67 � 40)

k � � h Á I k � (0 � 0064 0 � 0079).

118. Likelihoodfunktionen:

L(v0 a) � 1¿ 2 Ü�� exp ( � (y0 � v0t0 � at20 � 2)2

2 � 2 )Þ 5Ïi � 1

1¿ 2 Ü�� exp ( � (yi � at2i � 2)2

2 � 2 )

Logaritmera:

ln L(v0 a) � � (y0 � v0t0 � at20 � 2)2

2 � 2� 5 i � 1

(yi � at2i � 2)2

2 � 2 � konstant

Derivera och sätt derivatorna lika med noll:Íln L(v0 a)Í

v0� (y0 � v0t0 � at2

0 � 2) t0� 2 � 0,Íln L(v0 a)Í

a� (y0 � v0t0 � at2

0 � 2) t20 � 2� 2� 5

i � 1

(yi � at2i � 2) t2

i � 22 � 2 � 0

Detta ger

v0t0 � y0 � at20

2och

a � 2 � 5i � 1 yit

2i� 5

i � 1 t4i

, dvs

v �0 � y0

t0� t0

� 5i � 1 yit

2i� 5

i � 1 t4i

� 0 � 313 med

V(v �0) � � 2

t20� t2

0 � 5i � 1 t4

i � 2

( � 5i � 1 t4

i )2�4� 2(1t20� t2

0� 5i � 1 t4

i

) � 0 � 0702 ² 0 � 0271.

Eftersom v �0 är en linjär funktion av normalför-delade stokastiska variabler gäller att v �0 är nor-malfördelad och

I v0 � (v �0 OQ0 å . 2 ² D(v �0)) � (0 � 29 0 � 34).

119. Z � 1 � 333; Z � E(Z )D(Z ) � 1 � 22 #t0 0 æ 05. H0 förkas-

tas ej.

47


120. (Se Exempel 2 sid 169 i bok B.) Vi har

r � Sxyâ SxxSyy� � 0 � 27574

z � 12

ln1 � r

1 � r� � 0 � 28307 �

Ett approximativt 95% konfidensintervall för12

ln1 � v1 � v blir

(z � 1 � 96 � ¿ 40 z � 1 � 96 � ¿ 40) �( � 0 � 59297 0 � 02683).

Slutligen får vi efter transformation det sökta in-tervall för v ; I L� ( � 0 � 532 0 � 027).

121. (a) Ett stort positivt avvikande värde för år1974 i residualplotten uppväges av mångasmå negativa residualer och några små po-sitiva, vilket ger att man bör vara försiktigmed att använda mätningen år 1974.

(b) ! �A � (U T U ) � 1U T Y � { 281 � 3033� 0 � 3297 |V( !<�A) �4� 2

A(U T U ) � 1 �4� 2A { 1

30 00 1

2479|

s2A � Q0A

30 � 2� 65 � 7750.! �T � (U T U ) � 1U T Y � { 281 � 6677

0 � 2152 |V( ! �T) �4� 2

T(U T U ) � 1 �4� 2T { 1

31 00 1

2480|

s2T � Q0T

31 � 2� 39 � 5345.

I q A � (h �A O t0 æ 025(28) ² d(h �A))� ( � 0 � 3297 O 2 � 05 × 65 � 77502479

)� ( � 0 � 6637 0 � 0042),

I q T � (h �T O t0 æ 025(29) ² d(h �T ))� (0 � 2152 O 2 � 05 × 39 � 53452480

)� ( � 0 � 0437 0 � 4740).

Båda intervallen täcker över nollan. Tren-derna h A och h T är alltså ej signifikant skil-da från 0.

(c) Här antar vi att � 2A � � 2

T � � 2. Dettainnebär att vi kan skatta � 2 med

s2 � Q0A � Q0T

nA � 2 � nT � 2� 52 � 4246.h �A 1 N (h A �¿ 2479

)h �T 1 N (h T �¿ 2480)

h �T � h �A 1 N (h T � h A ��× 12479 � 1

2480)

I q T � q A �� (h �T � h �A O t0 æ 025(28 � 29)î ï±ð ñ2 æ 00

² d(h �T � h �A))� (0 � 1336 0 � 9562)

122. (a) Vi har r � C(B C )D(B) ² D(C )

� 0 � 9433 och

z � 12

ln1 � r

1 � r� 1 � 7669.

Det gäller att Z 1ú N (12

ln1 � v1 � v 1¿ n

)

och ett approximativt 95% konfidensin-

tervall för12

ln1 � v1 � v blir

(z � 1 � 96 � ¿ 20 z � 1 � 96 � ¿ 20) �� (1 � 3286 2 � 2052).

Slutligen får vi efter transformation detsökta intervallet för v :I � (

e2 ~ 1 æ 3286 � 1e2 ~ 1 æ 3286 � 1

e2 ~ 2 æ 2052 � 1e2 ~ 2 æ 2052 � 1

)� (0 � 869 0 � 976).

(b) Vi har att SBB � (n � 1)s2B � 5634 � 0och SBC � (n � 1)C(B C ) � 178 � 999.

b � � SBC

SBB� 0 � 0318,

a � � �C � b � �B � 0 � 7368;

Prediktion:� �C (60) � a � � 60b �� 2 � 643 miljoner ton.

123. (a) Vi har n � 20 och! � � (U T U ) � 1U T Y �y�� 13 � 1390� 0 � 32620 � 05699 ��

V( ! � ) �4� 2(U T U ) � 1,

s2 � Q0

n � 3� 0 � 3178,�

V( ! � ) �� 0 � 015889 0 00 0 � 088697 � 0 � 0004860 � 0 � 000486 0 � 00005978 ��

I q 1 � (h �1 O t å . 2(n � 3) ² d(h �1 ))� ( � 0 � 3262 O 2 � 90 ¿ 0 � 088697)� ( � 1 � 1893 0 � 5369),

I q 2 � (h �2 O t å . 2(n � 3) ² d(h �2 ))� (0 � 05699 O 2 � 90 ¿ 0 � 00005978)� (0 � 0346 0 � 0794).

Punkten 0 1 I q 1 , dvs vi kan inte förkastahypotesen h 1 � 0 på nivån 0.01.

48


(b) Låt wT � (1 1 � �x ~ 1 30 � �x ~ 2).

m �30 �4U � �fh �1 (1 � �x ~ 1) �Th �2 (30 � �x ~ 2)� wT ! � � 12 � 535,

V(m �30) � V( U � ) � (1 � �x ~ 1)2 ² V(h �1 )� (30 � �x ~ 2)2 ² V(h �2 )� 2(1 � �x ~ 1)(30 � �x ~ 2) ² C(h �1 h �2 )� wT � 2(U T U ) � 1w,�V(m �30) � wT s2(U T U ) � 1w � 0 � 07275,

I m30 � (m �30 O t å . 2(n � 3) ² d(m �30))P (12 � 535 O 2 � 90 ¿ 0 � 07275)P (11 � 75 13 � 32).

124. (a) Test: förkasta H 0 omõ u õ�� h �2 � 0d(h �2 )

�� / t å . 2(n � 3)

Eftersomõ u õ�� 0 � 26990 � 0818

�� 3 � 30 och

3 � 30 / t0 æ 025(9) � 2 � 26

kan H 0 förkastas på nivå 0.05.

(b) Minimera f (x) � h 0 �Qh 1x �Yh 2x2 medavseende på x:df (x)

dx� h 1 � 2h 2x � 0 Á xmin � � h 1

2h 2.

x �min � � h �12h �2 � 2 � 87592 ² 0 � 2699

� 5 � 33

dvs 5 eller 6 konkurrerande märken ärbäst.

125. (a) !��Ç� (U T U ) � 1U T Y � �� 651 � 78989 � 680� 60 � 724 ��

dvs h �1 � 89 � 680, h �2 � � 60 � 724,s2 � Q0 � 16 � 5 � 7279 ² 104,

V( ! � ) �4� 2(U T U ) � 1 och�V( ! � ) � s2(U T U ) � 1� �� 3014 � 69 0 0

0 150 � 83 � 158 � 180 � 158 � 18 304 � 04 ��

I q 1 � (h �1 O t0 æ 025(16) ² d(h �1 ))� (89 � 681 O 2 � 12 ¿ 150 � 83)� (63 � 64 115 � 72),

I q 2 � (h �2 O t0 æ 025(16) ² d(h �2 ))� ( � 60 � 716 O 2 � 12 ¿ 304 � 04)� ( � 97 � 69 � 23 � 76).

(b) I q é1 n q é2 �� (h �1 �eh �2 O t0 æ 025(16) ² d(h �1 �Th �2 ))

V(h �1 �Th �2 ) �� V(h �1 ) � V(h �2 ) � 2C(h �1 h �2 )

�4� 2(26 � 333 � 53 � 080 � 2 ² 27 � 617) ² 10 � 4� 0 � 0024179 � 2 ,

dvs�V(h �1 �Th �2 ) � 0 � 0024179s2 � 138 � 494

och

I q é1 n q é2 �� (89 � 681 � 60 � 716 O 2 � 12 ² ¿ 138 � 495)� (4 � 01 53 � 91).

Intervallet täcker ej punkten 0. Vi kan allt-så med ett tvåsidigt test på nivån 0.05 för-kasta hypotesen h 2 � � h 1, vilket ju ärrimligt eftersom hållfastheten inte bör be-ro linjärt av materialtjockleken.

I stället skulle man kunna arbeta med denförklarande variabeln (x2

i1 � x2i2) ²�� 4.

126. s21 � s22 � 1 � 23; kritiskt område (2 � 65 ë3 ); H0

förkastas ej

127. (a) Variansanalys, ensidig indelning, där fak-torn A är de olika metallerna. Fråndata fås följande variansanalystabell:

Variationsorsak kvs f mkvs testkvFaktor A 0.1663 2 0.08314 12.13Residualer 0.04113 6 0.006856Total 0.2074 8

Eftersom testkvantiteten 12 I 13 �F0 � 01(2 7 6) � 10 I 9 kanH 0: ”ingen skillnad på korrosionshastighet”förkastas på nivå 0.01.

(b) I special i rostfritt � ( �yspecial K��yrostfritt � t0 � 025(f ) �s � 1

3 � 13 ) där�yspecial � 0 I 8067; �yrostfritt � 0 I 68; s ��

0 I 006856; f � 6 (från variansanalys-tabellen)I special i rostfritt � (0 I 8067 K 0 I 68 � 2 I 45 ��

0 I 006856 � 13 � 1

3 ) � (0 I 1267 � 0 I 1656) �� ( K 0 I 039 7 0 I 2923)

128. v � 0 � 009; HA kan ej förkastas.

129. Variansanalys, ensidig indelning, där faktorn Aär de olika termometrarna. Från data fås följan-de variansanalystabell (enklast om talet 195 förstsubraherats från alla observationer):

Variationsorsak kvs f mkvs testkvFaktor A 6.7 3 2.233 5.255Residualer 6.8 16 0.425Total 13.5 19

49


(a) Eftersom testkvantiteten 5 � 255 /F0 æ 05(3 16) � 3 � 24 kan H 0: ”ingen skill-nad mellan termometrar” förkastas på nivå0.05.

(b)

(c)

130. v � 16 � 77; HA förkastas på nivå 0.001.

131. Variansanalys, tvåsidig indelning. Från data fåsföljande variansanalystabell:

Variationsorsak kvs f mkvs testkvFaktor A 4.372 3 1.457 3.409Faktor B 3.776 2 1.888 4.416Residualer 2.565 6 0.428Total 10.713 11

Eftersom testkvantiteten 4 � 416 # F0 æ 05(3 6) �4 � 76 kan H 0: ”ingen skillnad mellan kemister”ej förkastas på nivå 0.05, dvs vi har ej påvisatnågon skillnad mellan kemisterna.

132. (a) Ett fullständigt randomiserat försök, somlämpligen analyseras med ”variansanalys,ensidig indelning”, k � 4 oberoende stick-prov av storlek n � 3. Ur data beräknasföljande variansanalystabell:

Variation Kvs f Mkvs Testkv.Mellan stickprov 1146 3 382 9.15Inom stickprov 334 8 41.75Total 1470 11

Test av hypotesen ”Ingen systematisk skill-nad mellan laboranterna”: Jämförelse avtestkvantitetens värde med F0 æ 05(3 8) �4 � 07 och F0 æ 01(3 8) � 7 � 59 påvisar en sig-nifikant skillnad både på 5% och 1% ris-knivå. Systematiska skillnaden mellan tvålaboranter skattas med ett medelfel av stor-lek ó ( � 2) � ( 1

n � 1n ) � â 2s2 � 3 � 5 � 3.

Här har vi använt att s2 � 41 � 75.

(b) Ett randomiserat blockförsök, analyserasmed ”variansanalys, tvåsidig indelning”,med b � 3 och k � 4. Variansanalysta-bellen blir då

Variation Kvs f Mkvs Testkv.Mellan block 21272 2Mellan laboranter 11461 3 382 8.75Residual 262 6 43.67Total 22680 11

Jämför testkvantitetens värde medF0 æ 05(3 6) � 4 � 76 och F0 æ 01(3 6) � 9 � 78.Testutslaget är signifikant på 5% riskni-vå men inte på 1%-nivån (det senare imotsats till a), främst orsakat av färre fri-hetsgrader i � � ). Medelfel för skattning avsystematiskt skillnad i princip detsammasom i a), â 2s2 � b � â 2s2 � 3 � 5 � 4.

(c) I a) ett fullständigt randomiserat försök(med en studerad faktor). I b) ett rando-miserat blockförsök (med en studerad fak-tor och en blockfaktor). Försöket i b) germinsta antalet frihetsgrader i � � och där-med osäkraste � -skattningen. Motiv för attändå välja blockförsöket:

i. Minskar benägenheten för statistisktberoende (gemensam slump) mellanen individs tre bestämningar,

ii. Ökar generaliteten i resultatet (ge-nom variation av prov och halt),

iii. ger vissa möjligheter upptäcka sam-spel mellan laborant och halt, ävenom inget i praktiken kan sägas ur ettså litet datamaterial som det givna.

133. (a) Faktorerna verkar är ej vara additiva tyskillnaden mellan A2 och A1 är ca 1 omB=B1, men ca 2 om B=B2.

(b)

134. (a) Test av hypotesen ”Ingen skillnad mel-lan tidpunkter”: Testkvot 0 æ 0250

9 � 1 æ 015990 �

0 � 25 inte alls signifikant stor, tvärtom fal-ler i F-fördelningens vänstra svans. Varian-stabellen för indelning efter höjdnivå visarorsaken: Vi har en tydlig variation mel-lan höjdnivåer, och provtagningen måsteha fördelats över olika höjdnivåer för var-je tidpunkt utan att detta beaktats i denförsta analysen. Den första analysen utgickalltså från en felaktig modell och överskat-tade � genom att i � � inkludera variatio-nen mellan höjdnivåer.

(b) Borde utföras som blockförsök, med block= höjdnivåer.

135. Variansanalys, ensidig indelning, det obalansera-de fallet

50


Variansanalystabell:

kvs f mkvs teststorhetFaktor A 0.525 � 10 i 4 3 0.175 � 10 i 4 2.03Residualer 1.73 � 10 i 4 20 0.0864 � 10 i 4

Totalt 2.273 � 10 i 4 23

(a) Eftersom s2A J s2 � 2 I 03 � F0 � 05(3 7 20) � 3 I 10

kan H 0: ”ingen skillnad mellan olika trådty-pers motstånd” ej förkastas på nivå 0.05.

(b) H 0: � 1 �� 4; H 1: � 1 �� 4; � �4 K!� �1 ��y4 " K#�y1 " � 0 I 132 K 0 I 128.Medelfelet för denna skattning är

s � 1n4 � 1

n1�$� 0 I 0864 � 10 i 4( 1

6 � 15 )

Eftersom T � (0 I 132 K 0 I 128) J � 0 I 0864 � 10 i 4( 16 � 1

5 ) �2 I 25 � t0 � 05(20) � 1 I 72 kan H 0 förkastas pånivå 0.05.

136.

137.

138. (a) P=0.11894. H0 kan ej förkastas.

(b) P=0.00135 (med halvkorrektion). Förkasta H0

med felrisk mindre än 0.01.

139.

140. (a) P=0.0282, enstjärnig signifikans för att mer än10% av produktionen har mer än 10 gramsundervikt.

(b) Om hypotesen förkastas då minst 5 förpack-ningar har mer än 10 grams undervikt blir styr-kan 0.12056 då 15% av produktionen har merän 10 grams undervikt.

141. Enstjärnig signifikans för att p1 %� p2, där p1 och p2

är sannolikheten att en LURAM-lampa respektive enOSMA-lampa har en livstid understigande 800 tim-mar.

142. (a) I & 1 i & 2 � ( �x K'�y � t0 � 025(16)sp � 19 � 1

9 ) �(37 I 44 K 39 I 1098 � 2 I 12 � 0 I 2816 2

9 ) �( K 2 I 22 7 K 1 I 12)

(b) r=rangsumman från område I=49. Med nor-malapproximation blir testkvantitet= K 3.22.H0 förkastas på nivå 0.01.

143. Rangerna i det första stickprovet blir

12,15,17,18,19,20.5,22,24,25,26,27,28,29,30,31,32

och detta ger r � 375 I 5, och om H0 är sann så är

r 6( N (264 7 � 704), vilket ger ) d )*�,+++ 375 � 5 i 264-704

+++/.4 I 20 �10 0 � 0005 � 3 I 29.

Det är alltså signifikant skillnad på nivån 0 I 001.

144. Rangerna i det första stickprovet blir

1,3,4,6,8,10,11,13.5,13.5,16,17,19,22,24,26,27,28,30,31,32

och detta ger r � 342, och om H0 är sann gälleratt r 6( N (330 7 � 660), och då blir d � 342 i 330-

660 .0 I 467. Eftersom 0 I 467 �$0 0 � 025 � 1 I 96 är det intenågon signifikant skillnad.

145. Bilda differensen och sätt

H0 : ”medianen är 0” mot H1 : ”medianen är skildfrån 0”.

I bara ett fall (nr 20) är V bättre än W och om H0

är sann så skall antalet gånger V är bättre än W varaBin(20 7 0 I 5). Eftersom testet är tvåsidigt blir P-värdet

p(0) � p(1) � p(19) � p(20) � 2 � (0 I 520 � 20 � 0 I 520) . 0 I 00004

och H0 förkastas på nivån 0 I 001.

146. Bilda differensen och sätt

H0 : ”medianen är 0” mot H1 : ”medianen är skildfrån 0”.

Inte i något enda fall är S större än T och om H0

är sann så skall antalet gånger S är större än T va-ra Bin(18 7 0 I 5) . Eftersom testet är tvåsidigt blir P-värdet

p(0) � p(18) � 2 � 0 I 518 . 0 I 0000076

och H0 förkastas på nivån 0 I 001.

147.

148. Kruskal-Wallis test.

Rangordna alla observationerna (vid lika värde, an-vänd medelvärdet av rangerna):

Ri 2 ni

Feb 10 I 5 10 I 5 14 16 I 5 18 69 I 5 5maj 1 2 3 5 5 7 I 5 23 I 5 6aug 5 7 I 5 10 I 5 10 I 5 14 14 61 I 5 6nov 16 I 5 19 20 21 22 98 I 5 5

K � 1222 � 23 3 69 I 52

5 � 23 I 52

6 � 61 I 52

6 � 98 I 52

5 4 K 3 � (22 � 1) 17 06

Jämför med 5 20 � 001(3) � 16 I 3, vilket ger att H0 för-

kastas på nivån 0 I 001.

149. SA=2.8, vilket ska jämföras med 5 20 � 05(2) � 5 I 99.

Ingen signifikant skillnad föreligger.

51


52

Läsåret 01/02

Matematisk statistikMatematikcentrumLunds universitet

Box 118, 221 00 Lund

http://www.maths.lth.se/

Documents

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK A INFERENSTEORI...MAS110:B MATEMATISK STATISTIK ALLM˜N KURS, INFERENSTEORI Övningsuppgifter med lösningar till er talet uppgifter Innehåll Övningsuppgifter