Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 1

1.1 Bilangan, indeks, dan logaritma

Perhatikan garis bilangan dibawah ini,

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

BILANGAN

Setiap bilangan pada garis yang dinyatakan

diatas disebut bilangan nyata.

Bilangan nyata dibagi lagi atas:

Bilangan bulat: bilangan utuh seperti 2,

9, -10, -1250.

Bilangan rasional: bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai pembagian dari dua

bilangan bulat.

- Jadi, semua bilangan bulat

merupakan bilangan rasional. Bukti?

+∞ -∞

Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 2

- Contoh bilangan tidak bulat yang

merupakan bilangan rasional: 1,5

(3/2), 2,3 (7/3) dan -1,8 (-51/27).

- Desimal berulang adalah bilangan

rasional. Contoh: 0.136136136….

Bilangan irrasional: bilangan yang tidak

dapat dinyatakan sebagai pembagian

dua bilangan bulat. Contoh: √2, √7, dan

𝜋.

Bilangan kompleks. Dinyatakan dalam

bentuk 𝑎 + 𝑖𝑏. Contoh: √−1.

ℂ

Bil. Real (ℝ) Bil.Tidak

Real

Bil. Rasional (ℚ) Bil. Irrasional

Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 3

Bil. Bulat (ℤ) Bil.Pecahan

Bil. Asli

FAKTORIAL

Faktorial dari dua bilangan bulat positif, 𝑛,

dinyatakan dengan 𝑛!, didefinisikan sbb:

𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 2 (1)

Contoh: 5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 120

6! = 6𝑥5! = 600

0! = 1

INDEKS

Bilangan dengan bentuk 𝑎𝑚 didefinisikan

sebagai bilangan 𝑎 pangkat 𝑚.

Biasanya 𝑎 disebut basis dan 𝑚 disebut

indeks, pangkat atau eksponen.

Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 4

Hukum 1. Perkalian

𝒂𝒎𝒂𝒏 = 𝒂(𝒎+𝒏)

Contoh: 4342 = 48𝑥16 = 768 = 45 = 4 3+2

Hukum 2. Pembagian

𝒂𝒎/𝒂𝒏 = 𝒂(𝒎−𝒏)

Contoh: 55

52=

3125

25= 125 = 53 = 5 5−2

Hukum 3. Pangkat dan indeks

𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂(𝒎𝒏)

Contoh: 23 2 = 8 2 = 36 = 26

Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 5

Teorema 1.1. Harga 𝒂𝟎 = 𝟏.

Teorema 1.2. Harga 𝒂−𝒎 adalah kebalikan

dari 𝒂𝒎.

Teorema 1.3. Harga 𝒂𝒎/𝒏 adalah akar ke-n

dari 𝒂𝒎.

Hitunglah: 1

52+ 3

23 − 2

−12 + 4

−32

LOGARITMA

Logaritma suatu bilangan terhadap

bilangan pokok tertentu adalah pangkat

dimana bilangan pokok harus ditinggikan

untuk mendapatkan bilangan tersebut.

Definisi. Jika 𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1,

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎 = 𝒙 ⇔ 𝒂𝒙 =𝒎

Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 6

Contoh: jika log10 100 = 2 maka 102 = 100

log𝑒 𝑚 = ln𝑚

Teorema: Sifat-sifat Logaritma Umum

Jika a dan b bilangan positif dan r bil.

rasional, maka

(i). log𝑎 𝑚𝑛 = log𝑎 𝑚 + log𝑎 𝑛

(ii). log𝑎 𝑚/𝑛 = log𝑎 𝑚 − log𝑎 𝑛

(iii). log𝑎 𝑚𝑛 = 𝑛 log𝑎 𝑚

(iv). log𝑎 𝑚 =log 𝑏 𝑚

log 𝑏 𝑎

Contoh: Hitunglah log2 7!

Matematika Dasar – Nur Insani 2012

Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 7

TUGAS

(Dikumpulkan paling lambat Kamis, 22 Februari 2012 pukul 13.00 WIB di

loker bawah).

1. Tentukan nilai dari:

a. 10!

8!

b. 12!

9!3!

2. Tunjukkan bahwa log𝑎 𝑏 log𝑏 𝑎 = 1

3. Hitunglah:

a. log4 𝑥 =3

2

b. log𝑥 64 = 4

c. 2 log9 𝑥

3 = 1

d. log2 𝑥 + 3 − log2 𝑥 = 2