MateMatika ekonomiMATRIKS

Nuryanto, ST., MT.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :1. Pengertian matriks2. Operasi matriks3. Jenis matriks4. Determinan5. Matriks invers6. Persamaan linier simultan

Nuryanto, ST., MT.

Deskripsi Singkat

• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang matriksdan operasi matriks

• Bagian selanjutan akan membahas tentang jenis matriks dandeterminan

• Bagian akhir perkuliahan akan membahas matriks invers danpersamaan linier simultan

Nuryanto, ST., MT.

tugas1.Diketahui :A = 1 1 -1 B = 1 3 C = 1 2 3 -4

2 0 3 0 2 2 0 -2 13 -1 2 -1 4

• Buktikan : (AB)C = A(BC)

2.Diketahui :a.Jika A = 2 4 -1 AT = ?

3 5 76 0 8

b. Jika B = 1 0 B = 0 1 2 (AB)T = ?2 1 1 1 3

3.Hitung adjoint matriks dari :a.2 4 -1 b. 1 2 3 c. 1 0 2 d. 5 0 0 2

3 5 7 0 1 2 2 1 0 1 1 0 26 0 8 0 1 1 3 2 1 0 0 2 1

1 0 0 1Nuryanto, ST., MT.

matriks• Matriks A ditulis sebagai berikut :A = a11 a12 a13 contoh A = 1 3 5

a21 b22 a23 0 3 7a31 a32 a33 6 4 8

• Artinya a23 menunjukkan unsur matriks A yang terletak pada baris ke2 dan kolom ke 3. Arti aij menunjukkan nilai/angka dari suatu matriksA, misalnya yang terletak pada baris ke i dan kolom ke j. Demikianpula untuk Amxn artinya matriks A berdimensi/berorder mxn. MatriksAnxn dinamakan matriks bujur sangkar, ditulis An. Contoh : matriksA3x3 dapat ditulis dengan A3.

Ada 3 macam matriks :1.Matriks baris, yaitu merupakan vektor baris2.Matriks kolom, yaitu merupakan vektor kolom3.Matriks berorder/berdimensi banyak : Amxn

Nuryanto, ST., MT.

Operasi matriks1.Sama dengan, apabila dimensi atau order kedua matriks tersebut

sama sehingga nilai unsur yang berindeks sama harus sama.a12 = b12 ; a23 = b23

2.Penjumlahan, dimana matriks A dapat ditambahkan dengan matriks Bapabila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama.

A = a11 a12 B = b11 b21 A +B + C = a11 + b11 a12 + b12a12 a22 b12 b22 a21 + b21 a22 + b22

3.Pengurangan, dimana pengurangan dalam matriks dapat dilakukandengan syarat kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yangsama.A = 4 6 B = 1 3 A – B = 4 - 1 6 - 3 = 3 3

7 5 0 2 7 - 0 5 – 2 7 34. Perkalian, apabila kedua matriks tersebut mempunyai kesamaan

dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan dengan jumlah barismatriks yang digunakan sebagai penggali.Amxn . Bnxm = Cmxm

Nuryanto, ST., MT.

Jenis matriksa.Identity matriks, yaitu jika nilai diagonal matriks tersebut adalah 1 dan

nilai unsur lainnya nol. Null matrix (zero matrix) jika nilai semua unsurbernilai nol. Contoh :I = 1 0 0 N = 0 0 0

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

b.Transpose suatu matriks, suatu matriks A ditulis AT atau A’ ditentukandengan mengubah tiap baris matriks A menjadi kolom-kolom matriksAT atau sebaliknya tiap kolom matriks A diubah menjadi baris-barismatriks AT.

Contoh :A = 4 6 AT = 4 7 9

7 5 6 5 89 8

A = (aij) AT = (aij)

Nuryanto, ST., MT.

c. Matriks setangkup, yaitu transpose sendiri, misalnya matriksdiagonal D dan matriks satuan I.D’ = DI’ = Iketerangan : D = matriks diagonal

I = matriks satuanContoh :I = 1 0 I’ = 1 0

0 1 0 1d.Matriks satuan atau identitas I, yaitu matriks I adalah matriks bujur

sangkar yang semua unsur diagonal utamanya = 1 dan semua unsurlainnya sama dengan nol.Sifat : Imxn . Amxn = Amxn

Imxn . Amxn = tidak dapat dioperasikan

Nuryanto, ST., MT.

e. Sifat invers matriks, yaitu invers A-1 suatu matriks A memenuhisyarat : AA-1 = A-1 A = 1.Matriks A harus bujur sangkar

• (A-1)-1 = A• (AB)-1 = B-1A-1

• (AT)-1 = (A-1)T

Invers transposenya suatu matriks sama dengan transpose inversfaktornya dengan urutan terbalik.

f. Matriks diagonal, yaitu matriks bujur sangkar yang setiap elemennyasama dengan nol; kecuali elemen diagonal pokoknya, minimal salahsatu elemennya tidak sama dengan nol.Contoh : A = 10 0 B = 0 0 0

0 ½ 0 1 00 0 0

Nuryanto, ST., MT.

g. Skalar, yaitu matriks bujur sangkar yang hanya mempunyai satubaris dan satu kolom saja.3 = (3)1x1 = (3) ; 10 = (10)1x1 = (10)

h. Skalar matriks, yaitu matriks bujur sangkar yang nilai setiapelemen diagonal sebesar k (bilangan skalar) dan elemen lainnyasama dengan nol.aij = k apabila i = jaij = 0 apabila i ≠ jContoh : S = k.I3 = k 0 0 ; S = 1/3 0

0 k 0 0 1/30 0 k

i. Matriks invers, yaitu matriks bujur sangkar dimana aij = aji

Contoh : A = 2 4 ; B = 2 4 6 74 3 4 1 2 9

6 2 3 87 9 8 4

Nuryanto, ST., MT.

j. Vektor, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau satukolom saja.Contoh : A = (1 4 6) B = 2

513

k. Matriks singular, yaitu matriks bujur sangkar yang tidak mempunyaiinvers dan determinannya sama dengan nol.

l. Matriks nonsingular, yaitu matriks bujur sangkar yang mempunyaiinvers dan determinannya tidak sama dengan nol.

m. Matriks commute, yaitu bila AB = BA, maka kedua matriks tersebutadalah commute.

Nuryanto, ST., MT.

determinan• Determinan adalah sumbu bilangan (skalar) yang didefenisikan secara unik

dalam hubungannya dengan suatu matriks bujur sangkar dan dinamakandeterminan matriks, ditulis | An |.Matriks bujur sangkar order 2x2

Bentuk umum :

Menguraikan determinan derajat tiga dengan cara sarrus• Aturan sarrus hanya berlaku khusus untuk determinan berderajat tiga.

3 2 1 3 2 = (3.3.3 + 2.1.1 + 1.2.2) – (1.3.1 + 2.1.3 + 3.2.2)2 3 1 2 3 (33) – (21) = 121 2 3 1 1

( + )

( - )( - ) ( - )

( + ) ( + )

Nuryanto, ST., MT.

Menguraikan determinan dengan cara menentukan terlebih dahuludeterminan matriks minor tiap elemen dan kofaktor• Menentukan minor elemen, kalau dari suatu determinan B matriks Bnxn

dihapus baris I dan kolom j, maka determinan | M | orde (n-1) yang sisadinamakan minor elemen bij pada potongan baris i kolom j. Minor unsur bijyang diberi tanda minus bila (i + j) ganjil, dinamakan kofaktor unsur bijdeterminan | B |.

b11 b12 b13B = b12 b22 b23

b13 b23 b33

Minor elemen bij adalah sebagai berikutb11 = | M11 | = b22 b23 ; b33 = | M33 | = b11 b12

b32 b33 b21 b22

Nuryanto, ST., MT.

b13 = |M13| = b21 b22 ; b22 = |M22| = b11 b13

b31 b32 b31 b33

b31 = |M31| = b12 b13 ; b12 = |M12| = b21 b23

b22 b23 b31 b33

Demikian pula untuk :• |M21| dihapus dari baris 2 dan kolom 1• |M23| dihapus dari baris 2 dan kolom 3• |M32| dihapus dari baris 3 dan kolom 2

Contoh matriks kofaktorK = K11 K12 ; K = K11 K12 K13

K21 K22 K21 K22 K23

K31 K23 K33

Kofaktor = Kij = (-1)i+j |Mij|

Nuryanto, ST., MT.

Contoh :K11 = (-1)1+1 |M11| = b22 b23 = b22.b33 – b32.b23

b32 b33

K12 = (-1)1+2 |M12| = b21 b23 = -b21.b33 + b31.b23

b31 b33

Nilai determinan |B| dapat diuraikan dalam kofaktor unsur bij suatu baris ataukolom sebagai berikut ;

• |B| = (terhadap sembarang baris i = 1,2…n) atau

• |B| = (terhadap sembarang kolom j = 1,2…n)

Contoh :Terhadap baris 1|B| = b11K11 + b12K12 + b13K13

n

jijij Kb

1

n

jijij Kb

1

Nuryanto, ST., MT.

|B| = b11(b22.b33 – b32.b23) – b12(b21.b33 – b31.b23) + b13(b21.b32 – b31.b22)Dan seterusnyaTerhadap kolom 3|B| = b13K13 + b23K23 + b33K33

|B| = b13(b21.b32 – b31.b22) – b23(b11.b32 – b31.b12) + b33(b11.b22 - b21.b12)Dan seterusnyaContoh : B = 1 2 1

1 2 32 1 3

Misal terhadap baris ke 1 maka :|B| = b11K11 + b12K12 + b13K13

= (1)(-1)1+1 2 2 + (2)(-1)1+2 1 3 + (1)(-1)1+3 1 21 3 2 3 2 1

= 6…..(1)

Nuryanto, ST., MT.

Misal terhadap kolom 2, maka|B| = b12K12 + b22K22 + b32K32

= (2)(-1)1+2 1 3 + (2)(-1)2+2 1 1 + (1)(-1)3+2 1 12 3 2 3 1 3

= (2)(3) + 2(1) + 1(-2) = 6…(2)Ternyata (1) = (2) yaitu |B| = 6

Contoh :A = 1 4 , cari Ā

3 2Jawaban :A = a11 a12 K = K11 K12 KT = K11 K12

a21 a22 K21 K22 K21 K22

A = adjoint A = Transpose dari matriks kofaktornya

Nuryanto, ST., MT.

A = KT K11 K21

K12 K22

K11 = (-1)1+1 |M11| = 1|2| = 2K12 = (-1)1+2 |M12| = -1|3| = -3K21 = (-1)2+1 |M21| = -1|4| = -4K22 = (-1)2+2 |M22| = 1|1| = 1Jadi :Ā = KT = 2 -4

-3 1

Nuryanto, ST., MT.

Matriks invers

Contoh : hitung invers matriks1 2 3

B = 2 1 42 1 3

Jawab :|B| = 1 2 3 1 2 = (1.1.3 + 2.4.2 + 3.2.1) – (2.1.3 + 1.4.1 + 3.2.2)

2 1 4 2 12 1 3 2 1

K = K11 K12 K13 B = KT K11 K21 K31

K21 K22 K23 K12 K22 K23

K31 K32 K33 K13 K23 K33

K11 = (-1)1+1 |M11| = 1 1 4 = -11 3

A-1 = Ā invers = adjoint|A| determinan

Nuryanto, ST., MT.

K12 = (-1)1+2 |M12| = -1 2 4 = 22 3

K13 = (-1)1+3 |M13| = 1 2 1 = 01 1

K21 = (-1)2+1 |M21| = 1 2 3 = -31 3

K22 = (-1)2+2 |M22| = 1 1 3 = -32 3

K23 = (-1)2+3 |M23| = 1 1 2 = 32 1

K31 = (-1)3+1 |M31| = 1 2 3 = 51 4

K32 = (-1)3+2 |M32| = 1 1 3 = 22 4

K33 = (-1)3+3 |M33| = 1 1 2 = -32 1

-1 -3 5B = 2 -3 2

0 3 -3

B-1 = B = 1 -1 -3 5|B| 3 2 -3 2

0 3 -3

1 -1 53 -3

= 2 -1 23 30 1 -1

Nuryanto, ST., MT.

Persamaan linier simultan• Matriks dapat digunakan untuk mencari jawaban persamaan linier simultan.

Sistem n persamaan tak homogin dengan n/hasil yang tidak diketahui dapatditulis sebagai berikut :a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x2 + a22x2 + … + a2nxn = b2

…………………………………….. ----- Ian1x2 + an2x2 + … + annxn = bn

• Mengingat rumus defenisi hasil kali matriks baris dengan matriks kolom danbahwa suatu matriks dapat juga dianggap terdiri atas sejumlah matriks barismaka sistem persamaan (I) dapat ditulis sebagai berikut :a11 a12…a1n x1 b1

a21 a22…a2n x2 b2

…………….. . = . Ax = ban1 an2…ann xn bn

Nuryanto, ST., MT.

Anxn . Xnx1 = bnx1

• Matriks pertama adalah matriks bujur sangkar Anxn = A• Matriks kedua adalah vektor kolom Xnx1 = X• Matriks ketiga adalah vektor kolom bnx1 = bSehingga sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut :

Cara I : mencari harga-harga x dengan invers A-1A-1 A = II X = XPersamaan : Ax = b, kalikan ruas kiri dan kanan dengan A-1, makaA-1 A X = A-1 b A-1 b syarat |A| ≠ 0Invers A-1 diperoleh dari matriks koefisien A persamaan-persamaan itu

Ax = b x = b/A = A-1b = Ā . b|A|

Nuryanto, ST., MT.

Cara II : mencari harga-harga dengan kaidah Cramer

Keterangan :|A| = determinan matriks A|Aj| = determinan matriks A yang kolom ke j (=i) telah diganti oleh vektor

kolom b

Contoh soal :x1 + 2x2 – 3x3 = 76x1 + 4x2 + x3 = 375x1 + 3x2 + 2x3 = 31Jawaban :Cara I dengan invers matriks koefisien1 2 -3 x1 76 4 1 x2 = 375 3 2 x3 31

X1 = |Āj| ; syarat A ≠ 0|A|

Nuryanto, ST., MT.

A . X = b|A| = 1(8-3) -2(12-5) -3(18-20) = -3Matriks kofaktor AK = K11 K12 K13 4 1 - 6 1 6 4 = 5 -7 -2

K21 K22 K23 = 3 2 5 2 5 3 -13 17 7K31 K32 K33 2 -3 1 -3 - 1 2 14 -19 -8

3 2 5 2 5 32 -3 - 1 -3 1 24 1 6 1 6 4

Ā = KT = 5 -13 14 Ā = A-1 = 1 -5 13 -14|A| 3 7 -17 19

2 -7 8

Nuryanto, ST., MT.

X = A-1.b = 1 -5 13 -14 73 7 -17 19 37

2 -7 8 31Maka lx1 = 1 -7.5 + 37.13 – 31.14 4x2 3 = 7.7 – 37.17 + 31.19 = 3X3 7.2 – 37.7 + 31.8 1Jadi diperoleh harga-harga x sebagai berikut ;x1 = 4; x2 = 3 dan x3 = 1Cara pemecahan II dengan kaidah CramerKolom 1 diganti matriks kolom b|A1| = 7 2 -3 = 7(8-3) – (12(74-31) – 3(111-124) = -12

37 4 131 3 2

|A| = -3; jadi x1 = |A1| = -12 = 4|A| -3

Nuryanto, ST., MT.

Kolom 2 diganti matriks kolom b|A2| = 1 7 -3 = 1(74-31) – 7(1-5) – 3(186-185) = -9

6 37 15 31 2

|A| = -3; jadi x1 = |A2| = -9 = 3|A| -3

Kolom 3 diganti matriks kolom b|A3| = 1 2 7 = 1(124-111) – 2(186-185) + 7(18-20) = -3

6 4 375 3 31

|A| = -3; jadi x3 = |A3| = -3 = 1|A| -3

Ternyata jawaban cara 1 dan cara 2 sama.

Nuryanto, ST., MT.

Terima kasih, Semoga Bermanfaat

Nuryanto, ST., MT.