CHAPTER 3Sets, Combinatorics,

and Probability

아꿈사: http://cafe.naver.com/architect1김태우: codevania@gmail.com

INDEX

• 순열과 조합

• 확률

• 이항식 정리

순열과 조합

순열

• 의미

–객체들의 순서화된 배열

• 공식

)!(

!),(

rn

nrnP

예제 46

• 경계 조건 (boundary condition)

–0개 의 객체, 즉 공집합의 순서화된 배열은 하나만 존재

–하나의 객체의 순서화된 배열은 n개가 존재

–n개의 서로 별개인 객체들의 순서화된 배열들은

n!개가 존재

1!

!

)!0(

!)0,(

n

n

n

nnP

nn

nnP

)!1(

!)1,(

!!0

!

)!(

!),( n

n

nn

nnnP

예제 47

• a, b, c 세 가지 객체들의 순열의 수는

–P(3, 3) = 3! = 3•2•1=6

–abc, acb, bac, bca, cab, cba

예제 48

• 만일 어떠한 문자도 반복될 수 없다면,단어 compiler로부터 얼마나 많은 3자리의

단어가 만들어질 수 있을까?

–문자의 배열이 중요하다

–8개의 객체로부터 얻어질 수 있는 세 개의 서로

별개인 객체의 순열의 수를 알고자 하는 것임

–P(8,3) = 8!/5! = 336

예제 49

• 10명의 운동 선수들이 메달을 받는 방법

–10명의 선수와 금, 은, 동

–순서가 중요

–A-금, B-은, C-동 ≠ C-금, B-은, A-동

–P(n,r) 사용

–P(10,3) = 10!/7! = 10•9•8 = 720

예제 50

• OS-4, PR-7, DS-3

• 같은 과목에 관한 모든 책이 함께 놓여야 함

• 책들을 배열할 수 있는 방법의 수는?

–연속적인 하위의 작업들로 나누어 생각

• 세 가지 과목을 배열하는 작업을 고려

– 3!가지 과목의 다른 순서 존재

•OS배열: 4!

• PR배열: 7!

•DS배열: 3!

–그러므로, 곱셈 원리에 의해 모든 책을

배열할 수 있는 방법의 수는

• (3!)(4!)(7!)(3!)=4,354,560

조합

• 의미

–객체들의 배열 (순서 무시)

• 공식

)!(!

!),(

rnr

nrnC

동일한 의미

),(),( rnPrrnC

)!(!

!

!

),(),(

rnr

n

r

rnPrnC

r

nCrnC

n

r),(

예제 52

–n개의 객체들로부터 0개의 객체, 즉 공집합을

선택하기 위해서는 단지 하나의 방법만이 존재

–n개의 객체들로부터 1개의 객체를 선택하기

위해서는 n개의 방법이 존재

–n개의 객체들로부터 n개의 객체들을 선택하기

위해서는 단지 한 가지 방법만이 존재

1)!0(!0

!)0,(

n

nnC

nn

nnC

)!1(!1

!)1,(

1)!(!

!),(

nnn

nnnC

예제 53

• 52장의 카드로부터 받아볼 수 있는 5장의 카드

는 몇 가지?

–단순히 무슨 카드인지에 관심 순서 X

–52개중 5개를 선택하는 방법의 수를 계산

–C(52,5) = 52!/(5!47!) = 2,598,960

예제 54

• 10명의 운동 경기 선수들이 경기, 3명이 우승

–우승자들에 대해서는 순서를 고려하지 않음

–그러므로, 10명중 3명을 선택하는 것임

–C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120

중복 제거

• 계산 문제는 종종 다른 방법으로 해결될 수 있

음

• 하지만, 해결책을 유도하는 과정에서

하나 이상 중복하여 계산하기 때문에 틀리기도

예제 57

• FLORIDA, MISSISSIPPI

• 몇 가지의 서로 별개인 순열이 만들어지나?

–FLORIDA

• 7!

–MISSISSIPPI

• 11! 이 아님

• 중복된 문자열이 존재하기 때문

•MIS1S2ISSIPPI == MIS2S1ISSIPPI

• 재배치 하는 것은 변화가 없음

– 4개의 S, 4개의 I, 2개의 P

• 서로 별개인 순열의 수 11!/4!4!2!

–n개의 객체들이 존재하고,

–그 객체들 중에서 n1개의 객체들이 서로 동일하고

–… nK개의 객체들이 서로 동일한 경우

–이런 n개의 객체들에 대한 서로 별개인 순열의 수

)!()!)(!(

!

21 knnn

n

반복을 허용하는 순열과 조합

• P(n,r), C(n,r)

–N개의 객체들 중에서 r개를 배열하거나 선택

–즉, r ≤ n

• 그러나 n개의 객체들이 원하는 만큼

많이 재사용 될 수 있다면?

–알파벳 26개를 이용하여 단어를 구성

–N개 중에서 r개의 객체들의 순열/조합을 구성가능

하지만, 반복을 허용

–교묘한 방법을 사용… (예제58)

예제 58

• 다이아몬드, 루비, 에메랄드로부터 5개의 보석

을 선택하여 사용할 때… 몇 가지 방법?

–보석의 배열의 순서에는 관심 X

• 순열X 조합O

• 반복을 허용하면서, 3개 중에서 5개의 조합의 수를 계산

–1다야, 3루비, 1에메

• *|***|*

–5다야, 0루비, 0에메

• *****||

–즉, 7개의 slot중에서 5개의 품목을 선택

•C(7,5) = 7!/(5!2!)

• 반복을 허용하면서

N개의 서로 별개인 객체들 중에서

R개의 객체들에 대한 조합을 표현

–N개의 객체들의 반복된 수를 나타내기 위해 n-1개

의 수직선 필요

–수직선들을 포함한 전체가 차지하는 위치의 수는

r+(n-1)

–이들 중에서 r개를 선택하는 방법의 수는

)!1(!

)!1(

)!1(!

)!1(),1(

nr

nr

rnrr

nrrnrC

)!(!

!),(

rnr

nrnC

확률

예제 59

• 하나의 동전을 던졌을 때 “앞면” 얻기

–2결과중 하나

–1/2

• 하나의 주사위를 굴렸을 때 “3”을 얻기

–6결과중 하나

–1/6

• 표준 카드 한 벌에서 ♠1 ♦Q 둘중의 하나 뽑기

–1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26

• 표본 공간

–어떤 행동의 모든 가능한 결과들의 집합

• 사건

–표본 공간의 임의의 부분집합

• 결과가 동일한 확률로 나타나는 임의의

유한 집합이 S라면, 사건 E의 확률 P(E)는

) A |A(| )( 크기의집합유한임의의는S

EEP

예제 60

• 2개의 동전 동시 던짐

• 각 동전은 공정 앞면,뒷면의 확률은 같다

• 표본 공간은 S={HH,HT,TH,TT}

• 사건 E를 집합 {HH}라 하자.

• E의 확률, 즉 두 동전 모두 앞면이 나타날 확률은?

S

EEP )(

4

1

},,,{

}{

TTTHHTHH

HH

예제 61

• 검사, 개발, 마케팅 붓서 직원들이 한 직원의 이

름이 선택되는 뽑기에 참가• 검사5 ( 2M, 3W)

• 개발23 (16M, 7W)

• 마켓14 ( 6M, 8W)

– |S|=42

– |W|=3+7+8=18

• P(W)=|W|/|S|=18/42=3/7

– |마|=14

• P(마) =|마|/|S|=14/42=/3

–P(W ∩ M)=8/42=4/21

–P(W∪M)=P(3+7+14)=24/42=4/7

확률 분포

• 만일 임의의 행동이 초래하는 결과가

전혀 동등한 확률로 나타나지 않는다면,

이 상황을 처리하기 위한 한 가지 방법은

해당 결과의 일부가 반복되는 대략적인 횟수를

소개하는 것이다…. -_-;

예제 63

• 하나의 주사위

• 6가지 가능한 결과가 존재 |S|=6

• T는 3이 나타나는 사건

–이 사건은 오직 한 번만이 존재

– |T|=1

–P(T)=|T|/|S|=1/6

• 주사위가 치우쳐서 4가 3배 더 자주라고 가정

• F는 4가 나타나는 사건

–결과 집합={1,2,3,4,4,4,5,6} |S|=8

–P(F)=|F|/|S|=1/8

모든 결과가 동등한 확률이 아님

• 방법은 해당 표본 공간에 대해

하나의 확률 분포를 할당하는 것

–더 자주 발생하는 결과들의 복제품을 생성하여

표본 공간을 오히려 더 크게 만들기 보다

–간단히 하나의 사건처럼 원래의 표본 공간에서

각 별개의 결과를 고려하고, 임의의 확률을 할당

• 만일 표본 공간에서 K개의 다른 결과들이 존재

–각 결과 Xi에는 다음과 같은 규칙이 적용됨

1)(0 .1i

xp

1)( .2

1

i

k

i

xp

• 사건 E ⊆ S를 고려

• 사건 E의 확률은

–E안의 개별적인 결과들에 대한 모든 확률을

더할 수 있다

–E는 서로 별개인 결과 모두에 대한 합집합

–결과가 모두 동등하게 나타날 때,P(E)=|E|/|S|라는 정의는

E안의 각 xi에 대해 p(xi)=1/|S|일 때 정의의

특별한 경우가 된다

)( .3i

EX

xp

i

조건부 확률

• Conditional Probability

–사건 E1과 E2가 주어졌을 때,

–E1이 발생한 조건하에서 E2의 조건부 확률

P(E2|E1)은 다음과 같다

)(

)()|(

1

21

12EP

EEPEEP

예제 64

• 예제63의 치우친 주사위에 대해 사용된

확률 분포가 다음과 같다

–E: 2또는 4가 나타나는 사건

–P(E) 는?

–P(E) = p(2) + p(4) = 1/8 + 3/8 = 4/8= 1/2

xi 1 2 3 4 5 6

P(xi) 1/8 1/8 1/8 3/8 1/8 1/8

예제 65

• 환자들 그룹의 약품 연구

• 17%: 약품 A에 긍정적

• 34%: 약품 B에 긍정적

• 8%: 약품 A와 B에 긍정적

• 한 환자가 약품A에 긍정적으로 응답했을 때

약품B에 긍정적으로 응답할 확률은?

47.017.0

08.0

)(

)()|(

AP

BAPABP

독립 사건

• 만일 P(E2|E1) = P(E2)이면

–E2는 E1이 발생되든 말든 동일하게 발생

–이 경우 E1과 E2는 독립 사건이 된다고 함

–다음 두 식이 성립

)(

)()()|(

1

21

212EP

EEPEPEEP

)()()(2121

EPEPEEP

예제 66

• 동전 던지기 앞면(E1) 다음에 뒷면(E2)이

나타날 사건은 다음에 의해서 서로 독립 사건임

4/1)(21

EEP

2/1)( , 2/1)(21

EPEP

)(

)(

21

21

EEP

EEP

각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 합

각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 곱

기대값

• 세 번의 시험에 대한 성적의 집합

–S={g1,g2,g3}

• 평균 시험 성적

–A(g) = (g1 + g2 + g3) / 3

–각 시험에 대한 가중값이 동일하다고 가정

• 마지막 시험에 두 배의 가중값

–A(g) = (g1 + g2 + 2*g3) / 4

• 이 표본 공간으로써 S를 고려하고

다음의 확률 분포를 할당한다면

xi g1 g2 g3

p(xi) 1/4 1/4 2/4

3

1

)()(

i

iigpggA

가중값 평균

• X: 임의의 확률 변수

• P: 임의의 확률 분포

• E: 기대값

n

i

iixPxXXE

1

)()()(

예제 67

• 하나의 공정한 동전이 3번 던져짐

• 표본 공간 S

={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}

• 확률변수 X

–S내의 각 결과를 해당 결과 내의 앞면의 수로 할당

–즉, 결과는 0~3까지의 정수값

–공정한 동전, 각 구성 원소는 동일한 확률

XI HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT

X(xi) 3 2 2 1 2 1 1 0

p(xi) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

• X의 기대값,

• 즉 세 번 던질 때 기대되는 앞면의 수는…

8

1

)()()(

i

iixPxXXE

5.12/3)8/1(12

)8/1(0)8/1(1)8/1(1)8/1(2)8/1(1)8/1(2)8/1(2)8/1(3

• 앞면이 뒷면보다 3번 더 자주 발생하는

가중값이 존재한다고 가정

–확률 분포

• 연속적인 결과가 독립 사건

•S에서 각 결과의 확률은 각 확률의 곱

•HTT의 확률은 (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64

XI HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT

X(xi) 3 2 2 1 2 1 1 0

p(xi) 27/64 9/64 9/64 3/64 9/64 3/64 3/64 1/64

8

1

)()()(

i

iixPxXXE

5.12/3)8/1(12

)64/1(0)64/3(1)64/3(1)64/9(2)64/3(1)64/9(2)64/9(2)64/27(3

이항식 정리

파스칼의 삼각형

• n행 (0 ≤n)은 0≤r≤n에 대해 모든 값

C(n,r)로 구성된다.

11,

),1()1,1(),(

nk

knCknCknC

단

이항식 정리

• (a + b)n 를 전개한 결과…

–a2+2ab+b2에서는 계수 1,2,1이 존재.

–파스칼 삼각형에서 2번째 열

• 이항식 정리

–모든 음이 아닌 정수 n에 대해서, 다음의 식이 성립

– (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 +C(n, 2)an-2b2 + ... + C(n, k)an-kbk + ... + C(n, n)a0bn

–∑C(n, k)an-kbk

예제 69

• (x - 3)4 의 전개식

(x – 3)4 = C(4, 0)x4(-3)0 + C(4, 1)x3(-3)1 + C(4, 2)x2(-3)2 + C(4, 3)x1(-3)3 + C(4, 4)x0(-3)4

= x4 + 4x3(-3) + 6x2(9) + 4x1(-27) + 81

= x4 - 12x3 + 54x2 + 108x + 81

에제 70

• 이항식 정리에서 a=b=1이라고 하면

– (1+1) n

=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)

–2 n

=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)

Lisence