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Mathematik und Politik:Von Macht, Quadratwurzeln und
Ministern
Werner Kirsch
Fakultat fur Mathematik und Informatik
Zum Jahr der MathematikFernUniversitat Hagen, Oktober 2008
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig.
(Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle
Abstimmungsmodus
Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.
(Quorum: 2/3)
Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat.
Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}
Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte
Abstimmungsmodus
Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.
Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.
Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)
Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Beispiel:Rat vor der Osterweiterung
Deutschland 10 Belgien 5
Frankreich 10 Schweden 4
UK 10 Osterreich 4
Italien 10 Danemark 3
Spanien 8 Finnland 3
Niederlande 5 Irland 3
Griechenland 5 Luxemburg 2
Portugal 5
Quorum 71,2%mindestens 62 aus 87 Stimmen
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Rat der Europaischen Union
Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.
Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.
Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.
Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:
Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.
”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag
(Verfassungsentwurf)
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Rate – Weitere Beispiele
Der Internationaler Wahrungsfond
Das Wahlmannergremium der US-Verfassung (ElectoralCollege)
Der UN-Sicherheitsrat
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Rate – Weitere Beispiele
Der Internationaler Wahrungsfond
Das Wahlmannergremium der US-Verfassung (ElectoralCollege)
Der UN-Sicherheitsrat
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Rate – Weitere Beispiele
Der Internationaler Wahrungsfond
Das Wahlmannergremium der US-Verfassung (ElectoralCollege)
Der UN-Sicherheitsrat
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Rate – Weitere Beispiele
Der Internationaler Wahrungsfond
Das Wahlmannergremium der US-Verfassung (ElectoralCollege)
Der UN-Sicherheitsrat
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Rate – Weitere Beispiele
Der Internationaler Wahrungsfond
Das Wahlmannergremium der US-Verfassung (ElectoralCollege)
Der UN-Sicherheitsrat
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Gewichtete Abstimmungssysteme
Gewichtete Abstimmungssysteme
Ein gewichtetes Abstimmungssystem besteht aus einer MengeW = {1, 2, . . . ,N} von Wahlern, Stimmgewichten g1, . . . , gN ,gi ≥ 0 und einem Quorum q.
Das Abstimmungsverhalten des Wahlers i bezeichnen wir mit Xi :Xi = 1 bedeutet der Wahler stimmt zu.Xi = 0 bedeutet der Wahler stimmt nicht zu.
Bei einer Abstimmung werden also∑N
i=1 gi Xi Stimmen fur denVorschlag abgegeben. Der Vorschlag ist angenommen, wenn gilt:
N∑i=1
gi Xi > qN∑
i=1
gi .
Wir bezeichnen ein gewichtetes Abstimmungssystem mitGewichten g1, . . . , gN und Quorum q mit [q; g1, . . . , gN ].
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Gewichtete Abstimmungssysteme
Gewichtete Abstimmungssysteme
Ein gewichtetes Abstimmungssystem besteht aus einer MengeW = {1, 2, . . . ,N} von Wahlern, Stimmgewichten g1, . . . , gN ,gi ≥ 0 und einem Quorum q.
Das Abstimmungsverhalten des Wahlers i bezeichnen wir mit Xi :Xi = 1 bedeutet der Wahler stimmt zu.Xi = 0 bedeutet der Wahler stimmt nicht zu.
Bei einer Abstimmung werden also∑N
i=1 gi Xi Stimmen fur denVorschlag abgegeben. Der Vorschlag ist angenommen, wenn gilt:
N∑i=1
gi Xi > qN∑
i=1
gi .
Wir bezeichnen ein gewichtetes Abstimmungssystem mitGewichten g1, . . . , gN und Quorum q mit [q; g1, . . . , gN ].
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewicht und Einfluss
Stellen wir uns vor, die Stadte Hagen und Dortmund beschließen,demnachst eng zusammenzuarbeiten.
Dazu bilden die beiden Oberburgermeister den”DoHa–Rat“, der
fur beide Stadte verbindliche Entscheidungen trifft.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewicht und Einfluss
Stellen wir uns vor, die Stadte Hagen und Dortmund beschließen,demnachst eng zusammenzuarbeiten.
Dazu bilden die beiden Oberburgermeister den”DoHa–Rat“, der
fur beide Stadte verbindliche Entscheidungen trifft.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewicht und Einfluss
Stellen wir uns vor, die Stadte Hagen und Dortmund beschließen,demnachst eng zusammenzuarbeiten.
Dazu bilden die beiden Oberburgermeister den”DoHa–Rat“, der
fur beide Stadte verbindliche Entscheidungen trifft.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewicht und Einfluss
Stellen wir uns vor, die Stadte Hagen und Dortmund beschließen,demnachst eng zusammenzuarbeiten.
Dazu bilden die beiden Oberburgermeister den”DoHa–Rat“, der
fur beide Stadte verbindliche Entscheidungen trifft.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewicht und Einfluss
Stellen wir uns vor, die Stadte Hagen und Dortmund beschließen,demnachst eng zusammenzuarbeiten.
Dazu bilden die beiden Oberburgermeister den”DoHa–Rat“, der
fur beide Stadte verbindliche Entscheidungen trifft.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Vorschlag fur das Abstimmungsverfahren
Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner,Dortmund ca. 583 Tausend.
Also erhalt Herr Demnitz 2 Stimmen ,Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.
Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.
Herr Dr. Langemeyer freut sich uber dieses Verfahren!
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Vorschlag fur das Abstimmungsverfahren
Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner,Dortmund ca. 583 Tausend.
Also erhalt Herr Demnitz 2 Stimmen ,Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.
Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.
Herr Dr. Langemeyer freut sich uber dieses Verfahren!
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Vorschlag fur das Abstimmungsverfahren
Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner,Dortmund ca. 583 Tausend.
Also erhalt Herr Demnitz 2 Stimmen ,Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.
Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.
Herr Dr. Langemeyer freut sich uber dieses Verfahren!
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Vorschlag fur das Abstimmungsverfahren
Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner,Dortmund ca. 583 Tausend.
Also erhalt Herr Demnitz 2 Stimmen ,Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.
Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.
Herr Dr. Langemeyer freut sich uber dieses Verfahren!
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Vorschlag fur das Abstimmungsverfahren
Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner,Dortmund ca. 583 Tausend.
Also erhalt Herr Demnitz 2 Stimmen ,Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.
Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.
Herr Dr. Langemeyer freut sich uber dieses Verfahren!
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4
Frankreich 4
Italien 4
Niederlande 2
Belgien 2
Luxemburg 1
Quorum: 70 %mindestens 12 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat keinerlei Einfluss.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4
Frankreich 4
Italien 4
Niederlande 2
Belgien 2
Luxemburg 1
Quorum: 70 %mindestens 12 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat keinerlei Einfluss.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4
Frankreich 4
Italien 4
Niederlande 2
Belgien 2
Luxemburg 1
Quorum: 70 %mindestens 12 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat keinerlei Einfluss.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4 4
Frankreich 4 4
Italien 4 4
Niederlande 2 3Belgien 2 2
Luxemburg 1 1
Quorum:mindestens 12 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4 4
Frankreich 4 4
Italien 4 4
Niederlande 2 3Belgien 2 2
Luxemburg 1 1
Quorum:mindestens 12 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4
Frankreich 4
Italien 4
Niederlande 2
Belgien 2
Luxemburg 1
Quorum:mindestens 11 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien oder dieNiederlande.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die EWG
Deutschland 4
Frankreich 4
Italien 4
Niederlande 2
Belgien 2
Luxemburg 1
Quorum:mindestens 11 Stimmen
Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien oder dieNiederlande.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Etwas Theorie
Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.
Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸
N−mal
Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).
Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Etwas Theorie
Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.
Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸
N−mal
Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).
Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Etwas Theorie
Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.
Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.
Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸
N−mal
Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).
Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Etwas Theorie
Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.
Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸
N−mal
Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).
Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Etwas Theorie
Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.
Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸
N−mal
Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).
Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Etwas Theorie
Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.
Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸
N−mal
Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).
Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Machtindex nach Banzhaf
Fur jeden Wahler w zahlen wir die Anzahl η(w) derKoalitionen, in denen er entscheidend ist.
Dann ergibt
β(w) =η(w)
2 N−1
den Anteil der Koalitionen, fur die w entscheidend ist, unterallen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen dieseZahl die totale Banzhafmacht von w .
Den (prozentualen) Anteil eines Wahlers w an der Macht allerWahler nenen wir den Banzhaf-Index oder den MachtindexB(w) von w .
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Machtindex nach Banzhaf
Fur jeden Wahler w zahlen wir die Anzahl η(w) derKoalitionen, in denen er entscheidend ist.
Dann ergibt
β(w) =η(w)
2 N−1
den Anteil der Koalitionen, fur die w entscheidend ist, unterallen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen dieseZahl die totale Banzhafmacht von w .
Den (prozentualen) Anteil eines Wahlers w an der Macht allerWahler nenen wir den Banzhaf-Index oder den MachtindexB(w) von w .
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Machtindex nach Banzhaf
Fur jeden Wahler w zahlen wir die Anzahl η(w) derKoalitionen, in denen er entscheidend ist.
Dann ergibt
β(w) =η(w)
2 N−1
den Anteil der Koalitionen, fur die w entscheidend ist, unterallen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen dieseZahl die totale Banzhafmacht von w .
Den (prozentualen) Anteil eines Wahlers w an der Macht allerWahler nenen wir den Banzhaf-Index oder den MachtindexB(w) von w .
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Machtindex nach Banzhaf
Fur jeden Wahler w zahlen wir die Anzahl η(w) derKoalitionen, in denen er entscheidend ist.
Dann ergibt
β(w) =η(w)
2 N−1
den Anteil der Koalitionen, fur die w entscheidend ist, unterallen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen dieseZahl die totale Banzhafmacht von w .
Den (prozentualen) Anteil eines Wahlers w an der Macht allerWahler nenen wir den Banzhaf-Index oder den MachtindexB(w) von w .
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Beispiel: Ministerrat der EWG
Staat Stimmgewicht Machtindex
Deutschland 4 23,8 %
Frankreich 4 23,8 %
Italien 4 23,8 %
Niederlande 2 14,3 %
Belgien 2 14,3 %
Luxemburg 1 0 %
Quorum: mindestens 12 Stimmen
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, die doppelteMehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, die doppelteMehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.
3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerungreprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, die doppelteMehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, die doppelteMehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewichte nach Nizza
Staat Bev. Stimmen Staat Bev. Stimmen
Deutschland 82,5 29 Osterreich 8,1 10
Frankreich 59,6 29 Bulgarien 7,9 10
UK 59,3 29 Danemark 5,4 7
Italien 57,3 29 Slowakei 5,4 7
Spanien 41,6 27 Finnland 5,2 7
Polen 38,2 27 Irland 4,0 7
Rumanien 21,8 14 Litauen 3,5 7
Niederlande 16,2 13 Lettland 2,3 4
Griechenland 11,0 12 Slowenien 2,0 4
Portugal 10,4 12 Estland 1,4 4
Belgien 10,4 12 Zypern 0,7 4
Tschechien 10,2 12 Luxemburg 0,5 4
Ungarn 10,1 12 Malta 0,4 3
Schweden 8,9 10 Summe 484,3 345
Quorum 255 Stimmen
oder 258 ?
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Stimmgewichte nach Nizza
Staat Bev. Stimmen Staat Bev. Stimmen
Deutschland 82,5 29 Osterreich 8,1 10
Frankreich 59,6 29 Bulgarien 7,9 10
UK 59,3 29 Danemark 5,4 7
Italien 57,3 29 Slowakei 5,4 7
Spanien 41,6 27 Finnland 5,2 7
Polen 38,2 27 Irland 4,0 7
Rumanien 21,8 14 Litauen 3,5 7
Niederlande 16,2 13 Lettland 2,3 4
Griechenland 11,0 12 Slowenien 2,0 4
Portugal 10,4 12 Estland 1,4 4
Belgien 10,4 12 Zypern 0,7 4
Tschechien 10,2 12 Luxemburg 0,5 4
Ungarn 10,1 12 Malta 0,4 3
Schweden 8,9 10 Summe 484,3 345
Quorum 255 Stimmen oder 258 ?
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, die doppelteMehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Machtverhaltnisse nach Nizza
Staat Bev. BI: Nizza Staat Bev. BI: Nizza
Deutschland 82,5 7,78 Osterreich 8,1 3,09
Frankreich 59,6 7,78 Bulgarien 7,9 3,09
UK 59,3 7,78 Danemark 5,4 2,18
Italien 57,3 7,78 Slowakei 5,4 2,18
Spanien 41,6 7,42 Finnland 5,2 2,18
Polen 38,2 7,42 Irland 4,0 2,18
Rumanien 21,8 4,26 Litauen 3,5 2,18
Niederlande 16,2 3,97 Lettland 2,3 1,25
Griechenland 11,0 3,68 Slowenien 2,0 1,25
Portugal 10,4 3,68 Estland 1,4 1,25
Belgien 10,4 3,68 Zypern 0,7 1,25
Tschechien 10,2 3,68 Luxemburg 0,5 1,25
Ungarn 10,1 3,68 Malta 0,4 0,94
Schweden 8,9 3,09 Summe 484,3 100,00
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, diedoppelte Mehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, diedoppelte Mehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, diedoppelte Mehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.
2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerungreprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)
Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.
1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.
2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, diedoppelte Mehrheit:
1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung
reprasentieren.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Machtverhaltnisse: Nizza und ’doppelte Mehrheit’
Staat Bev. Nizza R.V. Staat Bev. Nizza R.V.
Deutschland 82,5 7,78 11,87 Osterreich 8,1 3,09 2,52
Frankreich 59,6 7,78 8,73 Bulgarien 7,9 3,09 2,50
UK 59,3 7,78 8,69 Danemark 5,4 2,18 2,19
Italien 57,3 7,78 8,44 Slowakei 5,4 2,18 2,19
Spanien 41,6 7,42 6,38 Finnland 5,2 2,18 2,17
Polen 38,2 7,42 5,89 Irland 4,0 2,18 2,02
Rumanien 21,8 4,26 4,22 Litauen 3,5 2,18 1,96
Niederlande 16,2 3,97 3,51 Lettland 2,3 1,25 1,81
Griechenland 11,0 3,68 2,87 Slowenien 2,0 1,25 1,78
Portugal 10,4 3,68 2,80 Estland 1,4 1,25 1,70
Belgien 10,4 3,68 2,80 Zypern 0,7 1,25 1,62
Tschechien 10,2 3,68 2,78 Luxemburg 0,5 1,25 1,59
Ungarn 10,1 3,68 2,76 Malta 0,4 0,94 1,58
Schweden 8,9 3,09 2,62 Summe 484,3 100,00 100,00
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der EU-Gipfel in Brussel: Juni 2007
Entscheidung uber das Abstimmungsverfahren im Rat.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Kommentare
The square root of all the European Union’s problemsFinancial Times, June 12, 2007
The Poles’ slogan for the summit - ”the square root or death” -neatly combines obscurity, absurdity and vehemence, ...
Almost nobody else wants the baffling square root system, but thePoles have the power to block any agreement.
”The Poles really could bring the whole thing crashing down,” saysa senior British diplomat ...
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Kommentare
The square root of all the European Union’s problemsFinancial Times, June 12, 2007
The Poles’ slogan for the summit - ”the square root or death” -neatly combines obscurity, absurdity and vehemence, ...
Almost nobody else wants the baffling square root system, but thePoles have the power to block any agreement.
”The Poles really could bring the whole thing crashing down,” saysa senior British diplomat ...
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?
Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.
Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder
√36 = 6.
Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.
Man setze das Quorum auf 61%.
Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?
Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.
Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder
√36 = 6.
Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.
Man setze das Quorum auf 61%.
Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?
Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.
Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder
√36 = 6.
Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.
Man setze das Quorum auf 61%.
Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?
Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.
Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder
√36 = 6.
Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.
Man setze das Quorum auf 61%.
Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?
Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.
Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder
√36 = 6.
Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.
Man setze das Quorum auf 61%.
Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?
Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.
Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder
√36 = 6.
Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.
Man setze das Quorum auf 61%.
Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vergleich der Systeme
Bev. Nizza Ref.v. QW Bev. Nizza Ref.v. QW
DE 82,5 7,78 11,87 9,54 AT 8,1 3,09 2,52 2,98
FR 59,6 7,78 8,73 8,11 BG 7,9 3,09 2,50 2,94
GB 59,3 7,78 8,69 8,09 DK 5,4 2,18 2,19 2,44
IT 57,3 7,78 8,44 7,95 SK 5,4 2,18 2,19 2,44
ES 41,6 7,42 6,38 6,77 FI 5,2 2,18 2,17 2,40
PL 38,2 7,42 5,89 6,49 IE 4,0 2,18 2,02 2,09
RO 21,8 4,26 4,22 4,90 LT 3,5 2,18 1,96 1,95
NL 16,2 3,97 3,51 4,23 LV 2,3 1,25 1,81 1,60
GR 11,0 3,68 2,87 3,49 SI 2,0 1,25 1,78 1,48
PT 10,4 3,68 2,80 3,39 EE 1,4 1,25 1,70 1,22
BE 10,4 3,68 2,80 3,38 CY 0,7 1,25 1,62 0,89
CZ 10,2 3,68 2,78 3,36 LU 0,5 1,25 1,59 0,70
HU 10,1 3,68 2,76 3,34 MT 0,4 0,94 1,58 0,66
SE 8,9 3,09 2,62 3,14 484,3 100 100 100
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vergleich der Systeme
Staat Nizza Reform-V. Staat Nizza Reform-V.
Deutschland -18,45 24,34 Osterreich 3,63 -15,50
Frankreich -4,05 7,67 Bulgarien 5,08 -15,15
UK -3,81 7,44 Danemark -10,52 -10,04
Italien -2,14 6,06 Slowakei -10,48 -10,00
Spanien 9,58 -5,74 Finnland -9,01 -9,54
Polen 14,26 -9,35 Irland 4,32 -3,29
Rumanien -13,10 -13,89 Litauen 11,57 0,30
Niederlande -5,98 -17,00 Lettland -22,05 13,07
Griechenland 5,66 -17,56 Slowenien -15,74 19,72
Portugal 8,69 -17,35 Estland 2,21 39,22
Belgien 8,99 -17,12 Zypern 40,26 81,38
Tschechien 9,80 -17,23 Luxemburg 77,76 126,34
Ungarn 10,15 -17,34 Malta 42,30 138,56
Schweden -1,54 -16,62
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?
Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!
Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.
Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.
Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.
Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?
Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!
Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.
Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.
Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.
Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?
Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!
Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.
Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.
Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.
Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?
Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!
Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.
Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.
Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.
Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?
Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!
Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.
Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.
Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.
Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?
Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!
Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.
Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.
Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.
Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Schematische Darstellung
Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat
X12
X12
X13
.
.
. X1N
Staat 1
ω
XM1
XM2
XM3
.
.
. XML
Staat M
Y1
Rat
Z
YM
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Kriterium fur Gerechtigkeit
Bei einem gerechten Abstimmungssystem im Rat sollte jederWahler, unabhangig von seinem Herkunftsland den gleichenEinfluss auf Entscheidungen des Rates haben.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein Kriterium fur Gerechtigkeit
Bei einem gerechten Abstimmungssystem im Rat sollte jederWahler, unabhangig von seinem Herkunftsland den gleichenEinfluss auf Entscheidungen des Rates haben.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein bisschen Kombinatorik
Fragestellung
Gegeben N Objekte (z.B. Lotto: Zahlen von 1 bis 49) ,auf wie viele Arten kann ich daraus K Objekte aussuchen (z.B. 6Richtige) ?
Antwort
Auf(
NK
)Arten.
Dabei ist:(
NK
)= N!
K ! (N−K)!
und N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 3 · 2 · 1:
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein bisschen Kombinatorik
Fragestellung
Gegeben N Objekte (z.B. Lotto: Zahlen von 1 bis 49) ,auf wie viele Arten kann ich daraus K Objekte aussuchen (z.B. 6Richtige) ?
Antwort
Auf(
NK
)Arten.
Dabei ist:(
NK
)= N!
K ! (N−K)!
und N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 3 · 2 · 1:
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein bisschen Kombinatorik
Fragestellung
Gegeben N Objekte (z.B. Lotto: Zahlen von 1 bis 49) ,auf wie viele Arten kann ich daraus K Objekte aussuchen (z.B. 6Richtige) ?
Antwort
Auf(
NK
)Arten.
Dabei ist:(
NK
)= N!
K ! (N−K)!
und N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 3 · 2 · 1:
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Beispiel
Beim 6 aus 49 Lotto gibt es(49
6
)= 13.983.816
Moglichkeiten.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Einfluss eines Wahlers in seinem Land
Wir betrachten einen Wahler w in einem Land mitN = 2n + 1 Einwohnern.
Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend,wenn eine Abstimmung der anderen Wahler ein Patt ergibt,wenn also n Wahler mit ’JA’ und n Wahler mit ’NEIN’stimmen.
Es gibt(2n
n
)solcher Koalitionen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Einfluss eines Wahlers in seinem Land
Wir betrachten einen Wahler w in einem Land mitN = 2n + 1 Einwohnern.
Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend,wenn eine Abstimmung der anderen Wahler ein Patt ergibt,wenn also n Wahler mit ’JA’ und n Wahler mit ’NEIN’stimmen.
Es gibt(2n
n
)solcher Koalitionen.
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Der Einfluss eines Wahlers in seinem Land
Wir betrachten einen Wahler w in einem Land mitN = 2n + 1 Einwohnern.
Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend,wenn eine Abstimmung der anderen Wahler ein Patt ergibt,wenn also n Wahler mit ’JA’ und n Wahler mit ’NEIN’stimmen.
Es gibt(2n
n
)solcher Koalitionen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Der Einfluss eines Wahlers in seinem Land
Wir betrachten einen Wahler w in einem Land mitN = 2n + 1 Einwohnern.
Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend,wenn eine Abstimmung der anderen Wahler ein Patt ergibt,wenn also n Wahler mit ’JA’ und n Wahler mit ’NEIN’stimmen.
Es gibt(2n
n
)solcher Koalitionen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)=
(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)
=(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)=
(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)=
(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)=
(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)=
(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Macht eines Wahlers
Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:
β(i) =1
22n
(2n
n
)=
(2n)!
22n n! n!
≈ 22n n2n e−2n√
4πn
22n nn nn e−n e−n√
2πn√
2πn
≈ C√N
Resultat
Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.
Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
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Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Vom Einfluss zum Stimmgewicht
Problem
Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?
Der ’Jagiellonische Kompromiss’
Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.
Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.
Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.
Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
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Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
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Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
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Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
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Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
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Ein probabilistischer Zugang
Das Model
Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.
Staat Sν has Nν Wahler.
Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .
Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.
Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Schematische Darstellung
Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat
X12
X12
X13
.
.
. X1N
Staat 1
ω
XM1
XM2
XM3
.
.
. XML
Staat M
Y1
Rat
Z
YM
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Mehrheitsmeinung
Aus dem Abstimmungsverhalten der Wahler ergibt sich dieMehrheitsmeinung im Staat Sν aus:
Xν =Nν∑i=1
Xνi
Sie ist ’JA’ wenn Xν > 0.Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in derUnion aus:
X =M∑
ν=1
Xν =M∑
ν=1
Nν∑i=1
Xνi
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Die Mehrheitsmeinung
Aus dem Abstimmungsverhalten der Wahler ergibt sich dieMehrheitsmeinung im Staat Sν aus:
Xν =Nν∑i=1
Xνi
Sie ist ’JA’ wenn Xν > 0.
Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in derUnion aus:
X =M∑
ν=1
Xν =M∑
ν=1
Nν∑i=1
Xνi
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Die Mehrheitsmeinung
Aus dem Abstimmungsverhalten der Wahler ergibt sich dieMehrheitsmeinung im Staat Sν aus:
Xν =Nν∑i=1
Xνi
Sie ist ’JA’ wenn Xν > 0.Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in derUnion aus:
X =M∑
ν=1
Xν =M∑
ν=1
Nν∑i=1
Xνi
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmung im Rat
Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von Sν im Ratso, wie es die Mehrheit in Sν erwartet.Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat:
Z =M∑
ν=1
gν χ(Xν) =M∑
ν=1
gν χ(Nν∑i=1
Xνi )
wobei χ(x) =
{1 falls x > 0−1 falls x ≤ 0
Die Große∆ = | Z − X |
heißt das Demokratiedefizit.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmung im Rat
Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von Sν im Ratso, wie es die Mehrheit in Sν erwartet.
Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat:
Z =M∑
ν=1
gν χ(Xν) =M∑
ν=1
gν χ(Nν∑i=1
Xνi )
wobei χ(x) =
{1 falls x > 0−1 falls x ≤ 0
Die Große∆ = | Z − X |
heißt das Demokratiedefizit.
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Abstimmung im Rat
Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von Sν im Ratso, wie es die Mehrheit in Sν erwartet.Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat:
Z =M∑
ν=1
gν χ(Xν) =M∑
ν=1
gν χ(Nν∑i=1
Xνi )
wobei χ(x) =
{1 falls x > 0−1 falls x ≤ 0
Die Große∆ = | Z − X |
heißt das Demokratiedefizit.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Abstimmung im Rat
Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von Sν im Ratso, wie es die Mehrheit in Sν erwartet.Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat:
Z =M∑
ν=1
gν χ(Xν) =M∑
ν=1
gν χ(Nν∑i=1
Xνi )
wobei χ(x) =
{1 falls x > 0−1 falls x ≤ 0
Die Große∆ = | Z − X |
heißt das Demokratiedefizit.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Demokratische Machtverteilung
Wir mochten die Stimmgewichte gν im Rat so wahlen, dass dasDemokratiedefizit so klein wie moglich ist.
Minimierungs-Aufgabe
Finde die gν so dass
∆ = ∆(g1, . . . , gν)
miminal ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Demokratische Machtverteilung
Wir mochten die Stimmgewichte gν im Rat so wahlen, dass dasDemokratiedefizit so klein wie moglich ist.
Minimierungs-Aufgabe
Finde die gν so dass
∆ = ∆(g1, . . . , gν)
miminal ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Demokratische Machtverteilung
Wir mochten die Stimmgewichte gν im Rat so wahlen, dass dasDemokratiedefizit so klein wie moglich ist.
Minimierungs-Aufgabe
Finde die gν so dass
∆ = ∆(g1, . . . , gν)
miminal ist.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Wir suchen die optimalen Gewichte gν so, dass dasDemoklratiedefizit im Mittel moglichst klein ist. Genauer: Wirwollen die gν so bestimmen, dass die mittlere quadratischeAbweichung des Ratsvotums vom Bevolkerungsvotum minimal ist:
E( ∆2 ) = E( |Z − X |2 )
E ist der erwartete Wert bezuglich einer Wahrscheinlichkeit P, diewir noch spezifizieren mussen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Wir suchen die optimalen Gewichte gν so, dass dasDemoklratiedefizit im Mittel moglichst klein ist. Genauer: Wirwollen die gν so bestimmen, dass die mittlere quadratischeAbweichung des Ratsvotums vom Bevolkerungsvotum minimal ist:
E( ∆2 ) = E( |Z − X |2 )
E ist der erwartete Wert bezuglich einer Wahrscheinlichkeit P, diewir noch spezifizieren mussen.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Schematische Darstellung
Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat
X12
X12
X13
.
.
. X1N
Staat 1
ω
XM1
XM2
XM3
.
.
. XML
Staat M
Y1
Rat
Z
YM
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Symmetrie der Abstimmungsergebnisse
Annahmen
1 Die Vorschlage ω sind zufallig.
2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:
Xνi (ω) = −Xνi (ω)
Daraus folgt
P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})
insbesondere:
P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1
2
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Symmetrie der Abstimmungsergebnisse
Annahmen
1 Die Vorschlage ω sind zufallig.
2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:
Xνi (ω) = −Xνi (ω)
Daraus folgt
P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})
insbesondere:
P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1
2
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Symmetrie der Abstimmungsergebnisse
Annahmen
1 Die Vorschlage ω sind zufallig.
2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:
Xνi (ω) = −Xνi (ω)
Daraus folgt
P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})
insbesondere:
P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1
2
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Symmetrie der Abstimmungsergebnisse
Annahmen
1 Die Vorschlage ω sind zufallig.
2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:
Xνi (ω) = −Xνi (ω)
Daraus folgt
P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})
insbesondere:
P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1
2
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Symmetrie der Abstimmungsergebnisse
Annahmen
1 Die Vorschlage ω sind zufallig.
2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:
Xνi (ω) = −Xνi (ω)
Daraus folgt
P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})
insbesondere:
P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1
2
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Symmetrie der Abstimmungsergebnisse
Annahmen
1 Die Vorschlage ω sind zufallig.
2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:
Xνi (ω) = −Xνi (ω)
Daraus folgt
P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})
insbesondere:
P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1
2
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Annahmen II
Unabhangigkeit
Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sindunabhangig voneinander:Xνi and Xκj sind (stochastisch) unabhangig, falls ν 6= κ
Ergebnis
Die optimalen Gewichte gν sind gegeben durch:
gν = E( |Xν | ) = E( |Nν∑i=1
Xνi | )
Problem
Berechne E( |∑N
i=1 Xi | ) !
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Annahmen II
Unabhangigkeit
Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sindunabhangig voneinander:Xνi and Xκj sind (stochastisch) unabhangig, falls ν 6= κ
Ergebnis
Die optimalen Gewichte gν sind gegeben durch:
gν = E( |Xν | ) = E( |Nν∑i=1
Xνi | )
Problem
Berechne E( |∑N
i=1 Xi | ) !
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Annahmen II
Unabhangigkeit
Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sindunabhangig voneinander:Xνi and Xκj sind (stochastisch) unabhangig, falls ν 6= κ
Ergebnis
Die optimalen Gewichte gν sind gegeben durch:
gν = E( |Xν | ) = E( |Nν∑i=1
Xνi | )
Problem
Berechne E( |∑N
i=1 Xi | ) !
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Unabhangige Wahler
Annahme
Die Xi sind ebenfalls unabhangig.
Ergebnis
E( |N∑
i=1
Xi | ) ∼√
N
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Unabhangige Wahler
Annahme
Die Xi sind ebenfalls unabhangig.
Ergebnis
E( |N∑
i=1
Xi | ) ∼√
N
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Unabhangige Wahler
Annahme
Die Xi sind ebenfalls unabhangig.
Ergebnis
E( |N∑
i=1
Xi | ) ∼√
N
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Modelle der statistischen Physik
Wahler als ’Spins’
Statt die Werte Xi = 1,−1 als ’JA’ oder ’NEIN’ zuinterpretieren, konnten wir uns auch kleine Elementarmagnete(Spins) vorstellen, die nach ’oben’ oder ’unten’ ausgerichtetsind.
Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zurVerfugung, z.B. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.
Die Spins (Wahler) interagieren miteinander und versucheneine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Starkeder Wechselwirkung wird durch einen Parameter J ≥ 0beschrieben.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Modelle der statistischen Physik
Wahler als ’Spins’
Statt die Werte Xi = 1,−1 als ’JA’ oder ’NEIN’ zuinterpretieren, konnten wir uns auch kleine Elementarmagnete(Spins) vorstellen, die nach ’oben’ oder ’unten’ ausgerichtetsind.
Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zurVerfugung, z.B. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.
Die Spins (Wahler) interagieren miteinander und versucheneine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Starkeder Wechselwirkung wird durch einen Parameter J ≥ 0beschrieben.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Modelle der statistischen Physik
Wahler als ’Spins’
Statt die Werte Xi = 1,−1 als ’JA’ oder ’NEIN’ zuinterpretieren, konnten wir uns auch kleine Elementarmagnete(Spins) vorstellen, die nach ’oben’ oder ’unten’ ausgerichtetsind.
Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zurVerfugung, z.B. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.
Die Spins (Wahler) interagieren miteinander und versucheneine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Starkeder Wechselwirkung wird durch einen Parameter J ≥ 0beschrieben.
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Modelle der statistischen Physik
Wahler als ’Spins’
Statt die Werte Xi = 1,−1 als ’JA’ oder ’NEIN’ zuinterpretieren, konnten wir uns auch kleine Elementarmagnete(Spins) vorstellen, die nach ’oben’ oder ’unten’ ausgerichtetsind.
Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zurVerfugung, z.B. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.
Die Spins (Wahler) interagieren miteinander und versucheneine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Starkeder Wechselwirkung wird durch einen Parameter J ≥ 0beschrieben.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008
Modelle der statistischen Physik
Wahler als ’Spins’
Statt die Werte Xi = 1,−1 als ’JA’ oder ’NEIN’ zuinterpretieren, konnten wir uns auch kleine Elementarmagnete(Spins) vorstellen, die nach ’oben’ oder ’unten’ ausgerichtetsind.
Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zurVerfugung, z.B. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.
Die Spins (Wahler) interagieren miteinander und versucheneine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Starkeder Wechselwirkung wird durch einen Parameter J ≥ 0beschrieben.
Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008