Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Ivana Berend
NEJEDNAKOSTI
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Ivana Berend
NEJEDNAKOSTI
Diplomski rad
Mentor: Doc. dr. sc. Ivan MaticKomentor: Dr. sc. Ljerka Jukic Matic
Osijek, 2012.
Sadrzaj
Uvod 1
1 Uredaj na skupu R 3
2 Osnovne nejednakosti 4
2.1. Osnovna svojstva nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Osnovne sredine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Osnovne sredine s tezinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Nejednakosti Radoa i Popoviciua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Kantoroviceva i s njome povezane nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6. Nejednakost Sierpinskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7. Bernoullijeva nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Abelova i Cebisevljeva nejednakost 28
3.1. Abelova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Cebisevljeva nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Cauchyjeva, Holderova i s njima povezane nejednakosti 32
4.1. Cauchyjeva nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Holderova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3. Nejednakost Minkowskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4. Oppenheimove (geometrijske) nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Primjene pojedinih nejednakosti 40
5.1. Jedna primjena A-G nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2. Jedna primjena Bernoullijeve nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Iz rjecnika metodike 43
Literatura 49
Sazetak 51
Zivotopis 52
i
Uvod
Nejednakosti cine vazan dio matematike. S njima se susrecemo od samog pocetka
skolovanja, od onih najjednostavnijih primjera poput usporedivanja brojeva gdje se
prvi put susrecemo s pojmom nejednakosti, kod rjesavanja nejednadzbi pa sve do onih
slozenijih primjera gdje se nesto treba dokazivati. U takvim se slucajevima moraju
koristiti neke dodatne cinjenice i svojstva. Nejednakosti se vrlo malo spominju u
udzbenicima srednjih skola, ali se zato pojavljuju u zbirkama iz elementarne mate-
matike te kao dodatan sadrzaj u pripremi za natjecanja iz matematike. Zadatci s
dokazivanjem nejednakosti cesti su i karakteristicni za srednjoskolska natjecanja, a po-
sebno za medunarodne matematicke olimpijade. Za sto bolju pripremu za natjecanje
ili, opcenito, rad s nejednakostima, potrebno je usvojiti osnovne nejednakosti i sredine
pomocu kojih se mogu dokazivati i rjesavati neke slozenije nejednakosti. Veze izmedu
osnovnih sredina vrlo su bitne, a najpoznatija od njih je veza izmedu aritmeticke i
geometrijske sredine, tzv. A-G nejednakost. To je jedna od najpoznatijih nejedna-
kosti, a zanimljivo je da se moze dokazati na vise nacina, algebarski, geometrijski pa i
analiticki. Na razini srednje skole najcesce se koriste sredine izmedu dva ili tri broja,
poznatije kao analogoni, a za vise razine koriste se njihova poopcenja. Medu osnovne
nejednakosti ubrajaju se osnovne sredine i nejednakosti s tezinama, a osim njih tu su
jos i Radoove i Popoviciuove nejednakosti, Kantoroviceva i Bernoullijeva nejednakost
te nejednakost Sierpınskog. Nesto slozenije nejednakosti su Abelova i Cebisevljeva, kao
i Cauchyjeva, Holderova i njima slicne nejednakosti. Zadaci u kojima se mogu primje-
niti takve slozenije nejednakosti pojavljuju se uglavnom na natjecanjima kao sto su
matematicke olimpijade. Vecina navedenih nejednakosti su algebarskog tipa, no osim
njih postoje i geometrijske nejednakosti, primjerice Oppenheimove. Pojedine nejedna-
kosti imaju u svoju konkretnu primjenu, kao sto je primjerice pronalazenje maksimuma
polinoma.
Priprema ucenika za natjecanje iz matematike jedan je od sastavnih dijelova nastavnog
procesa. Zadaci s nejednakostima uglavnom stvaraju najvise poteskoca, cak i najbo-
ljim ucenicima. Kako bi lakse svladali takve zadatke, ucenike prvo treba upoznati s
osnovnim i posebnim nejednakostima te njihovim svojstvima, a zatim ih preko odgo-
varajucih primjera poduciti razlicitim metodama dokazivanja nejednakosti.
1
To su sljedece metode:
• Nacin dokazivanja je ocigledan
• Primjena posebnih nejednakosti
• Posebni postupci
• Matematicka indukcija
• Analiticko-sinteticka metoda
Nakon sto ucenik svlada navedene metode dokazivanja, moci ce lako, bez puno muke
rijesavati zadatke s nejednakostima.
2
Poglavlje 1
Uredaj na skupu R
Poznato nam je da se realni brojevi dijele na pozitivne i negativne brojeve te nulu.
Ako je broj a pozitivan, cesto kazemo da je veci od nule (a > 0), a ako je negativan,
kazemo da je manji od nule (a < 0). Geometrijski gledano to bi znacilo da se broj a
nalazi desno od nule na brojevnom pravcu ako je pozitivan, odnosno lijevo od nule ako
je negativan.
Slika 1: Brojevni pravac - skup realnih brojeva
Opcenito, kazemo da je broj a manji od broja b ako se a nalazi lijevo od b na
brojevnom pravcu, odnosno a < b. Ako je ili a < b ili a = b, kazemo da je a manji
ili jednak od b i pisemo a ≤ b. Na taj nacin smo na skup R uveli uredaj, tj. relaciju
uredaja.
Relacija uredaja ”≤” ima sljedeca svojstva (prema [6]):
1. ∀a ∈ R je a ≤ a (refleksivnost)
2. Ako je a ≤ b i b ≤ c, onda je a ≤ c (tranzitivnost)
3. Ako je a ≤ b i b ≤ a, onda je a = b
4. Za bilo koja dva realna broja a i b je a ≤ b ili b ≤ a
3
Poglavlje 2
Osnovne nejednakosti
2.1. Osnovna svojstva nejednakosti
Svojstva relacije ”≤” ubrajaju se u osnovna svojstva nejednakosti, no osim njih postoji
jos bitnih svojstava koje nam mogu koristiti pri dokazivanju slozenijih nejednakosti,
odnosno pri rjesavanju zadataka s nejednakostima.
Nabrojimo jos neka svojstva nejednakosti:
• Usuglasenost zbrajanja s nejednakoscu:
Ako je a ≤ b, onda je a+ c ≤ b+ c, ∀c ∈ R
• Usuglasenost mnozenja s nejednakoscu:
Ako je a ≤ b i c ≥ 0, onda je a · c ≤ b · c
• Analogno, ako je a > b i c > 0, onda je ac > bc ia
c>b
c
• Ako je a ≤ b i c ≤ 0, onda je a · c ≥ b · c
• Analogno, ako je a > b i c < 0, onda je ac < bc ia
c<b
c
• Ako je a < b, ne mora biti a2 < b2
• Ako je a > b i c > d, onda je a+ c > b+ d
• Ako je a > b i c < d, onda je a− c > b− d
• Ako su a, b, c, d pozitivni realni brojevi i a > b, c > d, onda je ac > bd
• Nejednakost trokuta: |a+ b| ≤ |a|+ |b|
• |a− b| ≥ |a| − |b|
• Ako je a > 1 i x > y > 0, onda je ax > ay, a ako je 0 < a < 1 i x > y > 0, onda
je ax < ay
4
Nabrojimo jos neke jednostavne i posebne nejednakosti:
• a2 + b2 ≤ 2ab
• a
b+b
a≥ 2 a, b > 0
• a
b+b
a≤ −2 a, b < 0
• a
b<a+ c
b+ ca, b, c > 0, a < b
2.2. Osnovne sredine
Pocetci matematike sezu u daleku proslost. Smatra se da su Pitagorejci medu prvima
poznavali odnos izmedu aritmeticke, geometrijske i harmonijske sredine dvaju brojeva.
Vrlo je vjerojatno da su upravo oni medu prvima poznavali nejednakost
√ab ≤ 1
2(a+ b), a, b > 0 (2.1)
koju je kasnije dokazao poznati matematicar Euklid.
Definirajmo prvo osnovne sredine:
Definicija 2.2.1 Neka je dana n-torka pozitivnih brojeva a = (a1, ..., an). Tada su
definirane:
Harmonijska sredina:
Hn(a) =n
1a1
+ · · ·+ 1an
, (2.2)
Geometrijska sredina:
Gn(a) = n√a1 · · · an (2.3)
Aritmeticka sredina:
An(a) =a1 + . . .+ an
n(2.4)
Kvadratna sredina:
Kn(a) =
√a21 + . . .+ a2n
n(2.5)
Moze se primjetiti da nejednakost (2.1) predstavlja nejednakost izmedu geometrijske i
aritmeticke sredine dvaju pozitivnih brojeva a i b.
5
Sljedecim teoremom iskazat cemo poopcenje ovih nejednakosti za n pozitivnih brojeva:
Teorem 2.2.1 (A-G nejednakost) Neka je dana n-torka pozitivnih brojeva
a = (a1, ..., an). Tada je:
An(a) =a1 + . . .+ an
n≥ n√a1 · · · an = Gn(a), (2.6)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Dokaz: (prema [12])
Dokaz se provodi pomocu matematicke indukcije.
K1: za n = 2 vrijedi:a1 + a2
2≥√a1a2, (2.7)
tj. nejednakost (2.6) postaje upravo nejednakost (2.1).
Dalje iz (2.7) slijedi:
(√a1 −
√a2)
2 ≥ 0,
sto je tocno. Jednakost ce ovdje vrijediti ako i samo ako je a1 = a2.
K2: Pretpostavimo da je nejednakost (2.6) tocna za n = k, tj. da vrijedi sljedece:
Ak ≥ Gk.
K3: Pokazimo da tvrdnja vrijedi za n = k + 1
Na temelju nejednakosti (2.1) proizlazi:
A ≡ ak+1 + (k − 1)Ak+1
k≥ (ak+1A
k−1k+1)
1k ≡ G. (2.8)
Dalje slijedi:
Ak + A =a1 + . . .+ ak
k+ak+1 + (k − 1)Ak+1
k=
(k + 1)Ak+1 + (k − 1)Ak+1
k= 2Ak+1
pa nadalje, koristeci pretpostavku (K2) i (2.8), imamo:
Ak+1 =1
2(Ak + A) ≥ (AkA)
12 ≥ (GkG)
12
= (GkkG
k)12k = (Gk
kak+1Ak−1k+1)
12k
= (Gk+1k+1A
k−1k+1)
12k .
Dakle,
A2kk+1 ≥ Gk+1
k+1Ak−1k+1,
odnosno
Ak+1 ≥ Gk+1.
6
Preostaje jos pokazati da jednakost vrijedi ako i samo ako je a1 = a2 = ... = an.
Ako je a1 = ... = an tada imamo jednakost, pa pretpostavimo onda da su barem dva
od brojeva a1, ..., an razliciti. Uzmimo da je npr. a1 6= a2. Onda je:
a1 + a2 + . . .+ ann
=a1+a2
2+ a1+a2
2+ a3 + ...+ an
n
≥[(
a1 + a22
)2
a3 · · · an] 1
n
> (a1a2a3 · · · an)1n
jer za a1 6= a2 vrijedia1 + a2
2>√a1a2
i time je dokaz zavrsen.
2
Aritmeticko - geometrijska nejednakost moze se, osim algebarski, dokazati geometrijski
i to na vise nacina. Najcesce se dokazuje slucaj kada je n = 2, tj. da je:
a+ b
2≥√ab
Dokaz: Neka nam je dan kvadrat kao na slici:
Slika 1: Kvadrat duljine stranice a+ b
Veci kvadrat ima stranicu duljine a + b i povrsinu PK = (a + b)2. Pravokutnici imaju
stranice duljine a i b pa im povrsina iznosi PP = ab. Ako izuzmemo povrsinu ma-
njeg kvadrata, ocito je da je povrsina veceg kvadrata veca od zbroja povrsina cetiriju
pravokutnika, tj. vrijedi da je:
PK ≥ 4 · PP .
7
Odnosno vrijedi da je
(a+ b)2 ≥ 4ab
iz cega korjenovanjem dobivamo
a+ b ≥ 2√ab
a zatim dijeljenjem sa 2a+ b
2≥√ab.
Jednakost se postize ako i samo ako je povrsina veceg kvadrata jednaka povrsini cetiriju
pravokutnika. To je slucaj kada manji kvadrat ”nestaje”, tj. kada mu je povrsina
jednaka nuli. S obzirom da manji kvadrat ima stranicu duljine b − a, njegova ce
povrsina biti jednaka nuli ako je b− a = 0.
2
Kao sto je vec spomenuto, postoji vise geometrijskih dokaza A-G nejednakosti (vidi
[4]), a evo i jedan analiticki dokaz:
Dokaz: Promotrimo funkciju f(x) = ex.
Slika 2: Eksponencijalna funkcija f(x) = ex
8
Vidimo da je ta funkcija konveksna, sto geometrijski gledano znaci da je graf funkcije
izmedu dviju tocaka na grafu uvijek ispod duzine (tetive) koja spaja te dvije tocke.
Na grafu su odabrane dvije proizvoljne tocke s koordinatama (x, ex) i (y, ey) te su
uvedene sljedece oznake: f(x) = ex = a i f(y) = ey = b. Tada jednadzba pravca kroz
te dvije odabrane tocke glasi:
Y − a =b− ay − x
(X − x).
tocka na tom pravcu koja ima apscisu x+y2
, imat ce ordinatu a+b2
. S druge strane, tocka
s istom apscisom, samo na grafu dane eksponencijalne funkcije, imat ce ordinatu
ex+y2 = e
x2+ y
2 = ex2 · e
y2
=√ex ·√ey =
√a ·√b
=√ab.
Iz definicije konveksnosti funkcije slijedi trazena A-G nejednakost:
f
(x+ y
2
)≤ f(x) + f(y)
2
ex+y2 ≤ a+ b
2√ab ≤ a+ b
2.
2
Na sljedecem primjeru vidjet cemo kako primjeniti A-G nejednakost u problemskom
zadatku:
Primjer 2.2.1 Dokazite da za sve pozitivne realne brojeve a, b, c vrijedi nejednakost:
a4 + b4 + c4 ≥ abc · (a+ b+ c).
Kada vrijedi jednakost?
Rjesenje: Promotrimo lijevu stranu nejednakosti i zapisimo ju u drugacijem obliku:
a4 + b4 + c4 =a4 + b4
2+b4 + c4
2+c4 + a4
2.
Primjenom A-G nejednakosti dobivamo:
a4 + b4
2+b4 + c4
2+c4 + a4
2≥√a4b4 +
√b4c4 +
√c4a4
= a2b2 + b2c2 + c2a2.
9
Zapisimo ovaj izraz drugacije kako bi ponovo primjenili A-G nejednakost:
a2b2 + b2c2 + c2a2 =a2b2 + b2c2
2+b2c2 + c2a2
2+c2a2 + a2b2
2
≥√a2b4c2 +
√a2b2c4 +
√a4b2c2
= ab2c+ abc2 + a2bc
= abc(b+ c+ a),
sto je i trazeni izraz.
Jednakost vrijedi ako i samo ako je a = b = c.
X
Sljedeca nejednakost koju cemo spomenuti je geometrijsko-harmonijska:
Teorem 2.2.2 (G-H nejednakost) Neka je dana n-torka pozitivnih brojeva
a = (a1, ..., an). Tada je:
Gn(a) = n√a1 · · · an ≥
n1a1
+ · · ·+ 1an
= Hn(a), (2.9)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Dokaz: Primjenom A-G nejednakosti na brojeve 1a1, 1a2, . . . , 1
animamo:
n
√1
a1· · · 1
an≤
1a1
+ · · ·+ 1an
n(2.10)
Znak jednakosti vrijedit ce u slucaju kada je 1a1
= 1a2
= . . . = 1an
, odnosno kada je
a1 = a2 = . . . = an.
Ocito je da iz (2.10) slijedi trazena nejednakost (2.9).
2
Primjer 2.2.2 Dokazite da za sve pozitivne realne brojeve a, b, c vrijedi nejednakost:
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc.
Kada vrijedi jednakost?
Rjesenje: Primjenom G-H nejednakosti na parove (a, b), (b, c), (c, a) dobivamo sljedece:
√ab ≥ 2
1a
+ 1b
=2ab
a+ b
te analogno√bc ≥ 2bc
b+ c,√ca ≥ 2ca
c+ a.
10
Mnozenjem dobivenih nejednakosti dobivamo:
2ab
a+ b· 2bc
b+ c· 2ca
c+ a≤√a2b2c2
8a2b2c2
(a+ b)(b+ c)(c+ a)≤ abc
iz cega slijedi da je8a2b2c2
abc≤ (a+ b)(b+ c)(c+ a),
tj.
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc,
sto je i trazena nejednakost.
Jednakost vrijedi u slucaju kada je a = b = c.
X
Nakon nevedenih A-G i G-H nejednakosti, slijedi aritmeticko-kvadratna nejednakost,
tj.
Teorem 2.2.3 (A-K nejednakost) Neka je dana n-torka pozitivnih brojeva
a = (a1, ..., an). Tada je:
An(a) =a1 + . . .+ an
n≤√a21 + . . .+ a2n
n= Kn(a), (2.11)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Dokaz: Koristimo sljedecu jednakost:
(a1 + a2 + . . .+ an)2 = a21 + a22 + . . .+ a2n + 2(a1a2 + . . .+ an−1an).
Ako umjesto 2aiak na desnoj strani jednakosti stavimo a2i +a2k (gdje je a2i +a2k ≥ 2aiak,
a jednakost vrijedi samo u slucaju kada je ai = ak), dobivamo sljedecu nejednakost:
(a1 + a2 + . . .+ an)2 ≤ n(a21 + a22 + . . .+ a2n)
sto vrijedi za sve realne brojeve a1, . . . , an.
S obzirom da su svi a1, . . . , an pozitivni, slijedi da je
a1 + a2 + . . .+ an ≤√n(a21 + a22 + . . .+ a2n).
Dijeljenjem dobivene nejednakosti s n dobivamo nejednakost (2.11).
2
11
Primjer 2.2.3 Ako su a, b, c pozitivni realni brojevi i a+b+c = 6, dokazite da vrijedi:
a2 + b2 + c2 ≥ 12.
Rjesenje: Iskoristimo A-K nejednakost za slucaj kada je n = 3:√a2 + b2 + c2
3≥ a+ b+ c
3a2 + b2 + c2
3≥ (a+ b+ c)2
3=
62
9a2 + b2 + c2
3≥ 36
9= 4
a2 + b2 + c2 ≥ 12.
X
Primjedba 2.2.1 Iz Teorema 2.2.1, Teorema 2.2.2 i Teorema 2.2.3 slijedi:
Hn(a) ≤ Gn(a) ≤ An(a) ≤ Kn(a).
2.3. Osnovne sredine s tezinama
Osnovne sredine s tezinama definiraju se na slican nacin kao i osnovne sredine.
Definicija 2.3.1 Neka su dane n-torke pozitivnih brojeva a = (a1, ..., an) i
w = (w1, ..., wn). Neka je
Wn =n∑
i=1
wi.
Tada je:
Harmonijska sredina brojeva a1, ..., an s tezinama w1, ..., wn:
Hn(a;w) =Wn
w1
a1+ · · ·+ wn
an
, (2.12)
Geometrijska sredina brojeva a1, ..., an s tezinama w1, ..., wn:
Gn(a;w) = (aw11 · · · awn
n )1
Wn (2.13)
Aritmeticka sredina brojeva a1, ..., an s tezinama w1, ..., wn:
An(a;w) =w1a1 + . . .+ wnan
Wn
(2.14)
Kvadratna sredina brojeva a1, ..., an s tezinama w1, ..., wn:
Kn(a;w) =
√w1a21 + . . . wna2n
Wn
(2.15)
12
Moze se primjetiti da je ova definicija slicna prvoj definiciji o sredinama, samo su tamo
tezine bile cijeli brojevi. Prema tome, i ovdje se navode teoremi koji povezuju navedene
sredine.
Teorem 2.3.1 (A-G nejednakost) Neka su dane n-torke pozitivnih brojeva
a = (a1, ..., an) i w = (w1, ..., wn). Tada je:
An(a;w) ≥ Gn(a;w), (2.16)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Dokaz: Promotrimo funkciju f danu sa
f(x) = ln x− x+ 1, (x > 0).
Kako je
f ′(x) =1
x− 1 i f ′′(x) =
−1
x2, (x > 0),
funkcija f postize u x = 1 maksimum jednak 0 te vrijedi nejednakost
lnx− x+ 1 ≤ 0, (x > 0). (2.17)
Neka je A = An(a;w). Prema (2.17) vrijedi nejednakost
lnakA− akA
+ 1 ≤ 0, (k = 1, 2, ..., n),
odakle poslije mnozenja s wk i zbrajanja imamo
n∑k=1
wk lnakA−
n∑k=1
wkakA
+Wn ≤ 0,
tj.
ln
( n∏k=1
(akA
)wk
)≤ Wn −Wn = 0.
Odavde dobivamon∏
k=1
awkk
AWn≤ 1 ⇐⇒ Gn(a;w)
A≤ 1,
tj. nejednakost (2.16).
Uvjet za jednakost jednostavno se dobiva iz cinjenice da jednakost u (2.17) vrijedi ako
i samo ako je x = 1.
2
Kao i kod osnovnih sredina, postoji veza izmedu svih osnovnih sredina s tezinama koju
cemo iskazati sljedecim teoremom:
13
Teorem 2.3.2 Neka su dane n-torke pozitivnih brojeva a = (a1, ..., an) i w = (w1, ..., wn).
Tada vrijedi:
Hn(a;w) ≤ Gn(a;w) ≤ An(a;w) ≤ Kn(a;w),
gdje jednakosti vrijede ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Dokaz: Prva nejednakost (Hn(a;w) ≤ Gn(a;w)) slijedi iz A-G nejednakosti ako se
ona primjeni na brojeve 1a1, . . . , 1
ankao sto je prikazano u dokazu Teorema 2.2.1.
Druga nejednakost je zapravo Teorem 2.16 sto je vec dokazano.
Iz prve dvije nejednakosti slijedi i nejednakost A-H, tj. vrijedi
Hn(a;w) ≤ An(a;w),
gdje ce jednakost vrijediti ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Potrebno je jos samo pokazati da vrijedi treca nejednakost, tj. da je
An(a;w) ≤ Kn(a;w).
Ako u A-H nejednakosti zamjenimo wi sa wiai, dobivamo sljedece:
n∑i=1
wia2i
n∑i=1
wiai
≥
n∑i=1
wiai
n∑i=1
wi
iz cega slijedi treca nejednakost, tj.
An(a;w) ≤ Kn(a;w).
2
Na sljedecem primjeru prikazat cemo dokaz jedne diskretne nejednakosti gdje se moze
vidjeti primjena A-G nejednakosti s tezinama.
Primjer 2.3.1 Dokazite: Ako su m i n prirodni brojevi, tada je(m+ n
2
) 1mn
≥ n1
n(m+n) ·m1
m(m+n) ,
gdje ce jednakost vrijediti samo ako je m = n.
Rjesenje: Koristeci A-G nejednakost za brojeve n i m s tezinama redom mm+n
i nm+n
dobivamo
nm
n(m+n) ·mn
m(m+n) ≤ m
m+ n· n+
n
m+ n·m
=mn
m+ n+
mn
m+ n=
2mn
m+ n
=2
m+nmn
=2
1n
+ 1m
.
14
Dobiveni rezultat,2
1n
+ 1m
je harmonijska sredina brojeva n i m, a prema Teoremu 2.3.2
slijedi da je ona manja ili jednaka njihovoj aritmetickoj sredini pa je time tvrdnja
dokazana.
X
Teorem 2.3.3 (Suprotna A-G nejednakost) Neka je a n-torka pozitivnih brojeva
(a1, . . . , an) te w n-torka realnih brojeva (w1, . . . , wn) takva da je:
w1 > 0, wi < 0, i = 2, . . . , n, Wn > 0 (2.18)
Tada vrijedi:
An(a;w) ≤ Gn(a;w), (2.19)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je a1 = . . . = an.
Dokaz: Ukoliko je An(a;w) ≤ 0, nejednakost (2.19) ocito vrijedi, pa cemo dalje
promatrati slucaj kada je An(a;w) > 0.
Uvodimo supstituciju:
a1 → An(a;w), w1 → Wn, wi → −wi (i = 2, . . . , n)
i primjenimo ju na A-G nejednakost (2.16) iz cega slijedi:
Wn1
Wn(w1a1 + . . .+ wnan)− w2a2 − . . .− wnan
Wn − w2 − . . .− wn≥(An(a;w)
Wna−w22 · · · a−wn
n
) 1Wn−w2−...−wn
tj.
a1 ≥(An(a;w)Wna−w2
2 · · · a−wnn
) 1w1
aw11 ≥ An(a;w)Wna−w2
2 · · · a−wnn
aw11 · · · awn
n ≥ An(a;w)Wn ,
odakle dalje slijedi (2.19).
2
15
2.4. Nejednakosti Radoa i Popoviciua
Richard Rado roden je u Njemackoj 1906. godine. Zbog nemogucnosti rada na
sveucilistu u Berlinu iz Njemacke odlazi u Englesku gdje postaje predavac na sveucilistu
Cambridge. Osim matematikom, za koju je dobio brojna priznanja, bavio se i glazbom
te je bio clan Royal Societyj a. Zanimao se za kombinatoriku, a bavio se konvergencijom
nizova i redova te proucavanjem geometrije, teorije mjere, teorije grafova i nejednakosti
koje cemo u ovom poglavlju spomenuti.
Tiberiu Popoviciu roden je, kao i Rado 1906. godine, u Rumunjskoj. Skolovao se u
Bukurestu, a bio je i clan cuvene francuske skole Ecole Normale. Tijekom zivota radio
je kao profesor na vise rumunjskih sveucilista. Bavio se raznim dijelovima matematike,
a najvise teorijom aproksimacije funkcija te numerickom analizom za koju je osnovao
i skolu. Uredivao je poznati casopis Mathematica u kojem su objavljivani rezultati do
kojih su dolazili pripadnici njegove skole. Bavio se jos i algebrom, teorijom brojeva, a
cesto ga se spominjalo u konstruktivnoj teoriji funkcija, teoriji konveksnih funkcija te
u radovima koji se odnose na polinome i nejednakosti.
U sljedecem teoremu navode se njihove nejednakosti.
Teorem 2.4.1 Neka su a = (a1, . . . , an) i w = (w1, . . . , wn) n-torke pozitivnih brojeva.
Tada vrijedi sljedece:
• Radoove nejednakosti:(An(a;w)
Gn(a;w
)Wn
≥(An−1(a;w)
Gn−1(a;w
)Wn−1
≥ · · · ≥(A2(a;w)
G2(a;w
)W2
≥ 1, (2.20)
(An(a;w)
Gn(a;w
)Wn
≥ max1≤i, j≤n
(wiai + wjajwi + wj
)wi+wj
awii a
wj
j
≥ 1. (2.21)
• Popoviciuove nejednakosti:
Wn(An(a;w)−Gn(a;w)) ≥ Wn−1(An−1(a;w)−Gn−1(a;w)) ≥ . . .
≥ W2(A2(a;w)−G2(a;w)) ≥ 0, (2.22)
Wn(An(a;w)−Gn(a;w)) ≥ max1≤i, j≤n
(wiai + wjaj − (wi + wj)(a
wii a
wj
j )1
wi+wj)
≥ 0. (2.23)
Dokaz: Prvo cemo pokazati da vrijedi nejednakost (2.20).
Koristit cemo A-G nejednakost za brojeve b, c, u, v > 0:
ub+ vc
u+ v≥(bucv
) 1u+v (2.24)
16
iz cega sljedecim supstitucijama:
b = Ak−1(a;w), c = ak, u = Wk−1, v = wk
dobivamo:
Ak(a;w) ≥(Ak−1(a;w)Wk−1awk
k
) 1Wk
odnosno,Ak(a;w)Wk
awkk
≥ Ak−1(a;w)Wk−1 ,
a to je ekvivalentno s (Ak(a;w)
Gk(a;w)
)Wk
≥(Ak−1(a;w)
Gk−1(a;w)
)Wk−1
.
Nejednakost (2.20) je time dokazana.
Ako u nejednakost (2.24) uvedemo nesto drugaciju supstituciju:
b = Gk−1(a;w), c = ak, u = Wk−1, v = wk
dobivamo
Wk−1Gk−1(a;w) + wkakWk
≥(Gk−1(a;w)Wk−1awk
k
) 1Wk = Gk(a;w)
Wk−1Gk−1(a;w) + wkak ≥ WkGk(a;w)
Wk−1Gk−1(a;w) + w1a1 + . . .+ wkak ≥ WkGk(a;w) + w1a1 + . . .+ wk−1ak−1
Wk
(Ak(a;w)−Gk(a;w)
)≥ Wk−1
(Ak−1(a;w)−Gk−1(a;w)
).
Nejednakost (2.22) je time dokazana.
Nejednakosti (2.22) i (2.23) su posljedice nejednakosti(An(a;w)
Gn(a;w)
)Wn
≥(A2(a;w)
G2(a;w)
)W2
≥ 1
te
Wn
(An(a;w)−Gn(a;w)
)≥ W2
(A2(a;w)−G2(a;w)
)≥ 0.
S obzirom da te nejednakosti vrijede bez obzira na poredak u n-torkama a i w, bez
smanjenja opcenitosti mozemo uzeti da su upravo prva dva broja u tim n-torkama ai, aj
te wi, wj.
2
Primjedba 2.4.1 Postoje specijalni slucajevi nejednakosti (2.21) i (2.23), a to su:
n(An(a)−Gn(a)
)≥(√
max(a)−√
min(a))2
i (An(a)
Gn(a)
)n
≥ max1≤i, j≤n
1
4
(√aiaj
+
√ajai
)2
.
17
2.5. Kantoroviceva i s njome povezane nejednakosti
Leonid Vitalijevic Kantorovic roden je u St. Petersburgu 1912. godine. Bavio se mate-
matikom i ekonomijom za koju je dobio i Nobelovu nagradu 1975. godine. Sto se tice
matematike, bavio se matematickom analizom gdje je dao velik doprinos funkcionalnoj
analizi, teoriji aproksimacije i teoriji operatora. Pokazao je da se funkcionalna analiza
moze koristiti u analizi iterativnih metoda odakle proizlaze Kantoroviceve i s njome
povezane nejednakosti o kojima ce biti rijec u ovom poglavlju.
Prije nego navedemo Kantorovicevu nejednakost, spomenut cemo nejednakost Renniea
koja ce nam kasnije koristiti pri dokazivanju.
Teorem 2.5.1 (Rennieova nejednakost) Neka je dana pozitivna n-torka w i n-
torka a takva da je
0 < m ≤ ak ≤M (k = 1, . . . , n). (2.25)
Tada vrijedin∑
k=1
wkak +mMn∑
k=1
wk
ak≤ (m+M)Wn, (2.26)
gdje je Wn =n∑
k=1
wk, a jednakost u (2.26) vrijedi ako i samo ako postoji skup
I ⊂ {1, . . . , n} takav da je ai = m (i ∈ I) i ai = M (i ∈ {1, . . . , n}\I).
Dokaz: Na osnovu (2.25) imamo sljedecu nejednakost:
wk(ak −m)(M − ak)a−1k ≥ 0,
odakle sumiranjem po k dobivamo sljedece:
n∑k=1
wk(ak −m)
(M
ak− 1
)≥ 0,
tj.
(M +m)Wn −n∑
k=1
wkak −Mm
n∑k=1
wk
ak≥ 0
2
Teorem 2.5.2 (Kantoroviceva nejednakost) Neka je dana pozitivna n-torka w i
n-torka a takva da vrijedi (2.25). Tada je
An(a;w) ≤ (M +m)2
4mMHn(a;w), (2.27)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako postoji skup I ⊂ {1, . . . , n} takav da je
WI =∑
i∈I wi = Wn
2, ai = M (i ∈ I), ai = m (i /∈ I)
18
Dokaz: Nejednakosti (2.26) dodajmo ocitu nejednakost[( n∑k=1
wkak
) 12
−(mM
n∑k=1
wk
ak
) 12]≥ 0. (2.28)
Tako dobivamo
(M +m)Wn ≥ 2mM
( n∑k=1
wkak
) 12( n∑
k=1
wk
ak
) 12
sto je ekvivalentno s (2.27).
Pretpostavimo da su ispunjeni uvjeti za jednakost u (2.26). Takoder mora vrijediti
jednakost i u (2.28). To daje
WIM + (Wn −WI)m = WIm+ (Wn −WI)M,
tj.
WI =Wn
2
2
Navest cemo jos nekoliko nejednakosti koje su vezane za Kantorovicevu nejednakost.
Teorem 2.5.3 (Nejednakost Shishe i Monda) Neka je dana pozitivna n-torka w
i n-torka a takva da vrijedi (2.25). Tada je
An(a;w)−Hn(a;w) ≤(√
M −√m)2, (2.29)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako postoji skup I ⊂ {1, . . . , n} takav da je
WI =√MWn
(√M+√m), ai = M (i ∈ I), ai = m (i /∈ I).
Dokaz: Nejednakosti (2.26), tj.
An(a;w) +mMHn(a;w)−1 ≤ m+M
dodajmo ocitu nejednakost(Hn(a;w)
12 −√MmHn(a;w)−
12
)2 ≥ 0. (2.30)
Dobivamo
An(a;w) +mMHn(a;w)−1 ≤ m+M +Hn(a;w)− 2√mM +mMHn(a;w)−1,
sto je istovjetno sa (2.29).
Uvjete za jednakost u (2.29) dobivamo iz uvjeta za jednakost u (2.26) i (2.30).
2
19
Teorem 2.5.4 Neka je dana pozitivna n-torka w i n-torka a takva da vrijedi (2.25).
Tada jen∑
k=1
wka2k +mMWn ≤ (m+M)
n∑k=1
wkak, (2.31)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako postoji skup I ⊂ {1, . . . , n} takav da je
ai = m (i ∈ I), ai = M (i /∈ I).
Dokaz: Supstitucijom wi → wiai, i = 1, . . . , n u (2.26) dobivamo upravo (2.31)
2
Teorem 2.5.5 Neka je dana pozitivna n-torka w i n-torka a takva da vrijedi (2.25).
Tada je
Kn(a;w) ≤ m+M
2√mM
An(a;w), (2.32)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako postoji skup I ⊂ {1, . . . , n} takav da je
WI = mWn
m+M, ai = M (i ∈ I), ai = m (i /∈ I).
Dokaz: Nejednakost (2.32) moze se dobiti iz Kantoroviceve nejednakosti (2.27) ko-
risteci supstituciju wi → wiai ili koristeci nejednakost (2.31). Na osnovu (2.31) imamo
sljedece:
Kn(a;w)2 ≤ (m+M)An(a;w)−mM
=(m+M)2
4mMAn(a;w)2 −
(M +m
2√mM
An(a;w)−√mM
)2
≤ (m+M)2
4mMAn(a;w)2,
iz cega slijedi (2.32).
Pored uvjeta za jednakost u (2.31) mora biti i
An(a;w) =2mM
m+M.
Dakle,
WIM + (Wn −WI)m =2mMWn
m+M,
tj.
WI =mWn
(m+M).
2
Teorem 2.5.6 Neka je dana pozitivna n-torka w i n-torka a takva da vrijedi (2.25).
Tada je
Kn(a;w)− An(a;w) ≤ (M −m)2
4(M +m), (2.33)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako postoji skup I ⊂ {1, . . . , n} takav da je
WI = M+3m4(m+M)
Wn, ai = M (i ∈ I), ai = m (i /∈ I).
20
Dokaz: Na osnovu nejednakosti (2.31) slijedi:
Kn(a;w)− An(a;w) ≤ Kn(a;w)− 1
M +mKn(a;w)2 − mM
m+M
=(M −m)2
4(m+M)− 1
m+M
(Kn(a;w)− M +m
2
)2
≤ (M −m)2
4(m+M).
Uz uvjet za jednakost u (2.31) mora vrijediti i jednakost
Kn(a;w) =M +m
2,
tj.
WIM2 + (Wn −WI)m
2 =(M +m)2
4Wn,
odnosno
WI =(M + 3m)Wn
4(m+M).
2
21
2.6. Nejednakost Sierpinskog
Waclaw Sierpinski roden je 1882. godine u Poljskoj koja se tada nalazila u sklopu
Ruskog Carstva. Studirao je matematiku i fiziku na sveucilistu u Varsavi gdje je tokom
studija dobio nagradu za najbolji esej iz podrucja teorije brojeva. Radio je kao profesor
matematike i fizike u jednoj skoli za djevojke, a nakon daljnjeg skolovanja dosao je do
mjesta dekana na sveucilistu u Varsavi. Napisao je brojne clanke i knjige te je dobio
brojna priznanja i nagrade. Osim matematikom, bavio se i astronomijom i filozofijom.
U matematici se najvise bavio teorijom skupova, teorijom brojeva te topologijom.
U ovom poglavlju prvo navodimo nejednakost do koje je Sierpinski dosao tokom svog
rada, a zatim opcenitiji rezultat ciji cemo navesti i dokaz.
Teorem 2.6.1 (Nejednakost Sierpinskog) Neka je a pozitivna n-torka. Tada vri-
jedi
An(a)n−1Hn(a) ≥ Gn(a)n ≥ An(a)Hn(a)n−1. (2.34)
Teorem 2.6.2 Neka su a i w pozitivne n-torke i neka je w1 ≥ w2 ≥ . . . ≥ wn. Neka
su:
σ(k) =Ak(a;w)Wk−1Hk(a;w)wk
Gk(a;w)Wk,
δ(k) =Ak(a;w)wkHk(a;w)Wk−1
Gk(a;w)Wk.
Tada vrijedi
σ(n) ≥ σ(n− 1) ≥ . . . ≥ σ(3) ≥ σ(2) ≥ 1,
δ(n) ≤ δ(n− 1) ≤ . . . ≤ δ(3) ≤ δ(2) ≤ 1, (2.35)
gdje jednakosti vrijede ako i samo ako je a1 = a2 = . . . = an.
Dokaz: Ako uvedemo supstituciju ai → a−1i , vidjet cemo da su ova dva niza nejed-
nakosti ekvivalentna pa je dovoljno dokazati samo prvi.
Koristit cemo sljedece oznake: Ak ≡ Ak(a;w), Gk ≡ Gk(a;w), Hk ≡ Hk(a;w).
S obzirom da je
WnAn = Wn−1An−1 + wnan, GWnn = G
Wn−1
n−1 awnn ,
Wn
Hn
=Wn−1
Hn−1+wn
an,
imamo
An =Wn−1 − wn
Wn−1·W 2
n−1An−1 − w2nHn−1
Wn(Wn−1 − wn)+
wn
Wn−1· Hn−1
Hn
·(GWn
n
GWn−1
n−1
) 1wn
. (2.36)
Koristeci A-G nejednakost na desnoj strani, kombinirajuci nejednakosti
W 2n−1An−1 − w2
nHn−1
Wn(Wn−1 − wn)≥ An−1 (2.37)
22
i wn−1 ≥ wn te koristeci nejednakost An−1 ≥ Hn−1, dobivamo:
σ(n) ≥ σ(n− 1). (2.38)
Uocimo, (2.37) je jedan oblik nejednakosti An−1 ≥ Hn−1.
Jasno je da jednakost u nejednakosti dobivenoj iz (2.36) vrijedi za
W 2n−1An−1 − w2
nHn−1
Wn(Wn−1 − wn)=Hn−1
Hn
an,
odnosno
an =Wn−1An−1 − wnHn−1
Wn−1 − wn
, (2.39)
a jednakost u (2.37) vrijedi za An−1 = Hn−1.
Iz posljednje dvije jednakosti slijedi da jednakosti u (2.35) vrijede ako i samo ako je
a1 = a2 = . . . = an.
2
23
2.7. Bernoullijeva nejednakost
Jacob Bernoulli potice iz poznate matematicke obitelji Bernoulli. Roden je 1654. go-
dine u Baselu i jedan je od najpoznatijih svicarskim matematicara. Bavio se diferen-
cijalnim jednadzbama i redovima, a poznat je po svojim rezultatima iz teorije vjero-
jatnosti i geometrije. Zanimljivo je da je upravo Jacob prva osoba koja je koristila
izraz integral. Po njemu su nazvani pojedini pojmovi u matematici poput Bernoullije-
vih brojeva, Bernoullijeve raspodjele te Bernoullijeve nejednakosti koje cemo u ovom
poglavlju spomenuti.
Teorem 2.7.1 (Bernoullijeva nejednakost) Neka je n prirodan broj i x realan broj
veci od −1. Tada vrijedi
(1 + x)n ≥ 1 + nx, (2.40)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je n = 1 ili x = 0.
Dokaz: Ako je n = 1 ili x = 0, tada vrijedi
(1 + x)n = 1 + nx.
Za n > 1 i x 6= 0, strogu nejednakost dokazujemo matematickom indukcijom.
K1: za n = 2 nejednakost vrijedi, tj.
(1 + x)2 = 12 + 2x+ x2 > 1 + 2x
K2: Pretpostavimo da za neki prirodni broj n > 1 vrijedi sljedece:
(1 + x)n > 1 + nx
K3: Pokazimo da ta nejednakost vrijedi i za prirodni broj n+ 1:
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
> (1 + x)(1 + nx)
= 1 + nx+ x+ nx2
= 1 + (n+ 1)x+ nx2
> 1 + (n+ 1)x
Prema tome, stroga nejednakost vrijedi za svaki prirodni broj n > 1 i za svaki realan
broj x 6= 0.
2
24
Primjer 2.7.1 Neka su a i b pozitivni brojevi, 0 < b < a, te neka je dan prirodan broj
n > 1. Dokazite nejednakost
an − bn > n(a− b)bn−1
Rjesenje: Iz pretpostavke zadatka slijedi da je ab> 1, odnosno da je a
b− 1 > 0. U
Bernoullijevu nejednakost (2.40) uvrstimo x = ab− 1:(
1 +a
b− 1
)n
> 1 + n
(a
b− 1
),
iz cega dalje slijedi (a
b
)n
> 1 + n
(a
b− 1
),
tj.an
bn> 1 + n · a · b−1 − n / · bn
an > bn + n · bn−1(a− b)
an − bn > n(a− b)bn−1.
sto je i trazena nejednakost.
X
Sljedeci teoremi poopcenja su Bernoullijeve nejednakosti.
Teorem 2.7.2 Neka je x realan broj takav da je x > −1. Tada, ako je:
(i) 0 < a < 1, onda je
(1 + x)a ≤ 1 + ax
(ii) a < 0 ili a > 1, onda je
(1 + x)a ≥ 1 + ax
Jednakost ce u oba slucaja vrijediti ako i samo ako je x = 0.
Dokaz: Na osnovu Taylorove formule imamo sljedece:
(1 + x)a − 1− ax =a(a− 1)x2
2(1 + θx)a−2, (0 < θ < 1).
S obzirom da je x > −1 i 0 < θ < 1, slijedi da je 1 + θx > 0 pa imamo
sgn[(1 + x)a − 1− ax] = sgn[a(a− 1)],
iz cega slijede trazene nejednakosti.
2
25
Primjer 2.7.2 Dokazite da za svaki prirodni broj n > 1 te i − 1 < a < 0 vrijedi
nejednakost(n+ 1)a+1 − na+1
a+ 1< na <
na+1 − (n− 1)a+1
a+ 1.
Rjesenje: Prema poopcenoj Bernoullijevoj nejednakosti slijedi(1 +
1
n
)a+1
< 1 +a+ 1
n,
(1− 1
n
)a+1
< 1− a+ 1
n.
Mnozenjem prethodnih nejednakosti s na+1, dobivamo:
(n+ 1)a+1 < na+1 + (a+ 1)na,
(n− 1)a+1 < na+1 − (a+ 1)na,
iz cega dalje slijedi
(n+ 1)a+1 − na+1 < (a+ 1)na, (2.41)
(n+ 1)a+1 − na+1 < −(a+ 1)na. (2.42)
Ako nejednakost (2.41) podijelimo sa a+ 1, a nejednakost (2.42) sa −(a+ 1), imamo:
(n+ 1)a+1 − na+1
a+ 1< na,
na+1 − (n− 1)a+1
a+ 1> na,
iz cega ocito slijedi
(n+ 1)a+1 − na+1
a+ 1< na <
na+1 − (n− 1)a+1
a+ 1,
a time je trazena nejednakost dokazana.
X
Teorem 2.7.3 Za sve realne brojeve xk > −1, k = 1, 2, . . . , n koji su istog predznaka,
vrijedi
(1 + x1)(1 + x2) · · · (1 + xn) ≥ 1 + x1 + x2 + . . .+ xn, (2.43)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je n = 1.
26
Dokaz: Za n = 1 ocito je da jednakost u (2.43) vrijedi. Za dokazivanje stroge
nejednakosti koristit cemo matematicku indukciju:
K1: za n = 2 imamo
(1 + x1)(1 + x2) = 1 + x1 + x2 + x1x2 > 1 + x1 + x2
sto ocito vrijedi.
K2: Pretpostavimo da za neki prirodni broj n > 1 vrijedi nejednakost
(1 + x1)(1 + x2) · · · (1 + xn) > 1 + x1 + x2 + . . .+ xn.
K3: Pokazimo da nejednakost vrijedi i za prirodni broj n+ 1:
(1 + x1) · · · (1 + xn)(1 + xn+1) > (1 + x1 + x2 + . . .+ xn)(1 + xn+1)
= 1 + x1 + x2 + . . .+ xn + xn+1 + xn+1(x1 + . . .+ xn)
> 1 + x1 + x2 + . . .+ xn + xn+1.
Time je dokaz zavrsen.
2
Primjer 2.7.3 Dokazite da za svaki prirodni broj n > 1 vrijedi nejednakost
3
2· 5
4· · · · · 2n + 1
2n> 2−
(1
2
)n
.
Rjesenje: Prema poopcenoj Bernoullijevoj nejednakosti slijedi da je
3
2· 5
4· · · 2
n + 1
2n=
(1 +
1
2
)(1 +
1
4
)· · ·(
1 +1
2n
)> 1 +
1
2+
1
4+ · · ·+ 1
2n
= 1 +1
2·
1− (12)n
1− 12
= 2−(
1
2
)n
X
27
Poglavlje 3
Abelova i Cebisevljeva nejednakost
3.1. Abelova nejednakost
Niels Henrik Abel roden je 1802. godine u Norveskoj. Matematikom se poceo baviti
vrlo rano te je vec u 19. godini dokazao nemogucnost algebarskog rjesavanja jednadzbe
5. stupnja ili, opcenito, bilo kojeg polinoma stupnja veceg od tri. Iz toga se razvila vrlo
vazna grana matematike poznata kao teorija grupa. Abel je poznat i po svom radu o
eliptickim funkcijama. Jedan je od najpoznatijih matematicara u povijesti.
Teorem 3.1.1 (Abelova nejednakost) Neka je w realna n-torka i neka je
Wk =k∑
i=1
wi. Tada vrijedi:
1. Ako je a nenegativna padajuca n-torka, onda je
a1 min1≤k≤n
Wk ≤n∑
i=1
wiai ≤ a1 maxi≤k≤n
Wk (3.1)
2. Za svaku padajucu n-torku a jen∑
i=1
wiai ≥ 0 ako i samo ako je
Wk ≥ 0, k = 1, . . . , n− 1, Wn = 0 (3.2)
3. Za svaku nenegativnu padajucu n-torku a jen∑
i=1
wiai ≥ 0 ako i samo ako je
Wk ≥ 0, k = 1, . . . , n (3.3)
28
Dokaz:
1. Primjetimo da se zbroj w1a1 + w2a2 + . . .+ wnan moze zapisati kao
n∑i=1
wiai = W1a1 + (W2 −W1)a2 + . . .+ (Wn −Wn−1)an,
tj. kao poznati Abelov identitet:
n∑i=1
wiai = Wnan +n−1∑i=1
Wi(ai − ai+1). (3.4)
Na osnovu tog identiteta imamo
n∑i=1
wiai ≤ max1≤i≤n
Wi
(an +
n−1∑i=1
(ai − ai+1)
)= a1 max
1≤i≤nWi.
Time je dokazan drugi dio nejednakosti u (3.1), a prvi dio nejednakosti (mini-
mum) dokazuje se analogno.
2. Neka za svaku padajucu n-torku a vrijedi da jen∑
i=1
wiai ≥ 0 (∗), iz cega za
a = (1, . . . , 1) dobivamo Wn ≥ 0, a za a = (−1, . . . ,−1) dobivamo Wn ≤ 0.
Dakle, slijedi da mora biti Wn = 0.
Ako je a n-torka s elementima ai = 1, i = 1, . . . , k, ai = 0, i = k + 1, . . . , n tada
iz (∗) slijedi da je Wk ≥ 0, k = 1, . . . , n− 1.
3. Dokaz se provodi analogno kao prethodni.
2
Primjedba 3.1.1 Analogno dokazu identiteta (3.4) moze se dokazati i sljedeci Abelov
identitetn∑
i=1
wiai = a1W1 +n∑
i=2
Wi(ai − ai−1), (3.5)
gdje je Wi =n∑
k=i
wk.
29
3.2. Cebisevljeva nejednakost
Pafnuti Lvovic Cebisev roden je u Rusiji 1821. godine. Sredinom 19. stoljeca osnovao
je petrogradsku matematicku skolu. Osim za matematiku, zanimao se i za mehaniku.
Bavio se teorijom brojeva, a poznat je i po svojim radovima iz teorije vjerojatnosti te
po otkricu ortogonalnih polinoma.
Teorem 3.2.1 (Cebisevljeva nejednakost) Neka je dana pozitivna n-torka w i slicno
uredene n-torke a i b, tj. n-torke za koje vrijedi
(ai − aj)(bi − bj) ≥ 0, za i, j = 1, . . . , n. (3.6)
Tada vrijedi sljedeca nejednakost( n∑i=1
wi
)( n∑i=1
wiaibi
)≥( n∑
i=1
wiai
)( n∑i=1
wibi
)(3.7)
Primjedba 3.2.1 Ako su n-torke a i b suprotno uredene, odnosno ako vrijedi suprotna
nejednakost u (3.6), tada vrijedi suprotna nejednakost i u (3.7).
Ako su n-torke a i b monotone u istom smislu, tada vrijedi (3.6), a ako su monotone
u suprotnom smislu, onda imamo suprotne nejednakosti u (3.6) i (3.7).
Dokaz teorema: Slijedi kao posljedica identiteta( n∑i=1
wi
)( n∑i=1
wiaibi
)−( n∑
i=1
wiai
)( n∑i=1
wibi
)=
1
2
n∑i=1
n∑j=1
wiwj(ai − aj)(bi − bj).
2
Primjedba 3.2.2 Uocite, n-torke a = (ai) i b =(
1ai
)su suprotno uredene pa iz
suprotne nejednakosti u (3.7) dobivamo A-H nejednakost.
Cebisevljeva nejednakost pripada grupi slozenijih nejednakosti, stoga ne cudi sto je
upravo pomocu nje dano jedno rjesenje zadatka s nejednakostima na Medunarodnoj
matematickoj olimpijadi. O kojem je zadatku rijec, pokazano je u sljedecem primjeru.
Primjer 3.2.1 Matematicka olimpijada, Kazakhstan, 2010.
Neka su a, b, c, d realni brojevi za koje vrijedi a+ b+ c+ d = 6 i a2 + b2 + c2 + d2 = 12.
Dokazite da je
36 ≤ 4(a3 + b3 + c3 + d3
)−(a4 + b4 + c4 + d4
)≤ 48 (3.8)
30
Rjesenje: Prvo prosirimo uvjet a2 + b2 + c2 + d2 = 12 tako da dobijemo
48 = 4(a2 + b2 + c2 + d2)
te primjenimo A-G nejednakost cime dobivamo
a4 + b4 + c4 + d4 + 48 =(a4 + 4a2
)+(b4 + 4b2
)+(c4 + 4c2
)+(d4 + 4d2
)≥ 2
(√a4 · 4a2 +
√b4 · 4b2 +
√c4 · 4c2 +
√d4 · 4d2
)= 4
(|a3|+ |b3|+ |c3|+ |d3|
)≥ 4
(a3 + b3 + c3 + d3
)sto pokazuje da vrijedi desna strana nejednakosti (3.8), a sljedece sto treba pokazati
jest da vrijedi i lijeva strana te iste nejednakosti.
Moze se pokazati da vrijedi a, b, c, d ∈ [0, 3]. Stovise, mozemo pretpostaviti je
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d. Onda imamo
a+ b ≤ b+ c ≤ 2
3(b+ c+ d) ≤ 2
3· 6 = 4.
Zatim pokazemo da je 4b− b2 ≤ 4c− c2, tj.
(c− b)(b+ c− 4) ≤ 0.
Nejednakost 4a− a2 ≤ 4b− b2 dokazuje se analogno.
Nadalje, a ≤ b ≤ c zajedno s 4a − a2 ≤ 4b − b2 ≤ 4c − c2 uz koristenje Cebisevljeve
nejednakosti daje
a2(4a− a2) + b2(4b− b2) + c2(4c− c2) ≥ 1
3(a2 + b2 + c2)
(4(a+ b+ c)− (a2 + b2 + c2)
)=
(12− d2)(4(6− d)− (12− d2)3
iz cega slijedi
(4a3 − a4) + (4b3 − b4) + (4c3 − c4) + (4d3 − d4) ≥ (12− d2)(d2 − 4d+ 12)
3+ 4d3 − d4
=144− 48d+ 16d3 − 4d4
3(3.9)
= 36 +4
3(3− d)(d− 1)(d2 − 3).
Na kraju, imamo d2 ≥ 14
(a2 + b2 + c2 + d2
)= 3 (iz cega slijedi da je d > 1) te je izraz
4
3(3− d)(d− 1)(d2 − 3)
na desnoj strani u (3.9) nenegativan pa je trazena nejednakost dokazana.
X
31
Poglavlje 4
Cauchyjeva, Holderova i s njimapovezane nejednakosti
4.1. Cauchyjeva nejednakost
Augustin Louis Cauchy roden je 1789. godine u Parizu i jedan je od najpoznatijih ma-
tematicara. Bio je profesor matematike na raznim visokim skolama te clan Akademije
znanosti, no nije bio omiljen medu kolegama. Poznat je i po ”zagubljivanju” radova
drugih matematicara i kasnijem objavljivanju njihovih rezultata pod svojim imenom.
Bavio se raznim podrucjima matematike, a najvise realnom i kompleksnom analizom,
teorijom permutacija grupa, konvergencijom i divergencijom nizova, diferencijalnim
jednadzbama te matematickom fizikom. Do 1830. godine objavio je vecinu svojih
znanstvenih radova iz matematike (njih 789). Izmedu ostalog, Cauchy je postavio
nova mjerila za strogost matematickih dokaza i opceprihvacene temelje matematicke
analize dosljednim koristenjem nejednakosti.
Teorem 4.1.1 (Cauchyjeva nejednakost) Ako su a = (a1, a2, . . . , an) i
b = (b1, b2, . . . , bn) nizovi realnih brojeva, tada je( n∑k=1
akbk
)2
≤( n∑
k=1
a2k
)( n∑k=1
b2k
), (4.1)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako su nizovi a i b proporcionalni.
Dokaz: Promotrimo kvadratni trinom po x:
n∑k=1
(akx+ bk)2, (4.2)
odnosno ( n∑k=1
a2k
)x2 + 2
( n∑k=1
akbk
)x+
n∑k=1
b2k. (4.3)
Na osnovu (4.2) mozemo zakljuciti da je (4.3) nenegativno za svaki realni x, iz cega
slijedi nejednakost (4.1).
32
Iz (4.2) se takoder moze vidjeti da ce jednakost u (4.1) vrijediti ako i samo ako su
nizovi a i b proporcionalni.
2
Cauchyjeva nejednakost, kao i Cebisevljeva, pripada skupini slozenijih nejednakosti.
S obzirom da su zadaci s nejednakostima karakteristicni za matematicka natjecanja,
ne cudi sto se i Cauchyjeva nejednakost nasla na popisu mogucih rjesenja sljedeceg
zadatka:
Primjer 4.1.1 Matematicka olimpijada, Toronto 1995.
Neka su a, b, c pozitivni brojevi za koje vrijedi abc = 1. Dokazi da vrijedi
1
a3(b+ c)+
1
b3(c+ a)+
1
c3(a+ b)≥ 3
2.
Rjesenje: Kljucan korak u rjesavanju ovog zadatka je uvodenje supstitucije
x =1
a, y =
1
b, z =
1
c.
S obzirom da mora vrijediti uvijet abc = 1, onda slijedi da je i xyz = 1. Time polazna
nejednakost postajex2
y + z+
y2
z + x+
z2
x+ y≥ 3
2. (4.4)
Koristimo Cauchyjevu nejednakost((√y + z)2+(
√z + x)2+(
√x+ y)2
)·(( x√
y + z
)2+( y√
z + x
)2+( z√
x+ y
)2) ≥ (x+y+z)2,
tj.x2
y + z+
y2
z + x+
z2
x+ y≥ x+ y + z
2. (4.5)
Nadalje, koristeci A-G nejednakost i uvjet xyz = 1 dobivamo trazenu nejednakost (4.4).
X
33
4.2. Holderova nejednakost
Otto Ludwig Holder roden je 1859. godine u Njemackoj. Bio je ucenik velikih ma-
tematicara poput Weierstrassa i Kroneckera. Bavio se konvergencijom Fourierovih
redova, a zanimao se i za teoriju grupa. Zanimljivo je da je 1884. godina navedena kao
godina otkrica nejednakosti koja je nazvana po njemu, tj.
Teorem 4.2.1 (Holderova nejednakost) Neka su a i b pozitivne n-torke i p, q 6= 0
takvi da je 1p
+ 1q
= 1. Tada vrijedi:
1. Ako su p, q pozitivni, tj. ako je p > 1, onda je
n∑k=1
akbk ≤( n∑
k=1
apk
) 1p( n∑
k=1
bqk
) 1q
(4.6)
2. Ako je p ili q negativan broj, tj. ako je p < 1, tada u (4.6) vrijedi suprotna
nejednakost.
Za oba slucaja jednakost vrijedi ako i samo ako su ap = (ap1, . . . , apn) i bq = (bq1, . . . , b
qn)
proporcionalne n-torke.
Dokaz:
1. Prikazimo nejednakost (4.6) u drugacijem obliku, tj.
n∑k=1
(apk∑ni=1 a
pi
) 1p(
bqk∑ni=1 b
qi
) 1q
≤ 1.
Na osnovu A-G nejednakosti slijedi da lijeva strana gornje nejednakosti nije veca
odn∑
k=1
(1
p
apk∑ni=1 a
pi
+1
q
bqk∑ni=1 b
qi
)=
1
p+
1
q= 1,
cime je nejednakost (4.6) dokazana.
2. Analogno prethodnom dokazu, samo koristimo suprotnu A-G nejednakost.
Jednakost u oba slucaja vrijedi na osnovu slucaja jednakosti kod A-G nejednakosti.
2
Primjer 4.2.1 Matematicka olimpijada, Spanjolska, 2008.
Neka su a, b, c, d > 0 pozitivni realni brojevi takvi da je
abcd = 1 i a+ b+ c+ d >a
b+b
c+c
d+d
a.
Dokazite da vrijedi
a+ b+ c+ d <b
a+c
b+d
c+a
d.
34
Rjesenje: Koristeci A-G nejednakost za brojeve ab, ab, bc, ad
te uvjet abcd = 1 dobivamo
a =4
√a4
abcd=
4
√a
b· ab· bc· ad≤ 1
4
(a
b+a
b+b
c+a
d
).
Analogno, vrijedi da je
b ≤ 1
4
(b
c+b
c+c
d+b
a
), c ≤ 1
4
(c
d+c
d+d
a+c
b
), b ≤ 1
4
(d
a+d
a+a
b+d
c
).
Sumiranjem dobivamo
a+ b+ c+ d ≤ 3
4
(a
b+b
c+c
d+d
a
)+
1
4
(b
a+c
b+d
c+a
d
).
Posebno, ako je
a+ b+ c+ d >a
b+b
c+c
d+d
a,
slijedi da je
a+ b+ c+ d <b
a+c
b+d
c+a
d.
Napomena: do gornjeg izraza dolazi se primjenom A-G nejednakosti na svaku kolonu
sljedece tablicea/b b/c c/d d/aa/b b/c c/d d/ab/c c/d d/a a/ba/d b/a c/b d/c
te zbrajanjem tako dobivenih nejednakosti. Ista tablica daje sljedecu jacu vezu: ako
su a, b, c, d > 0 i abcd = 1, onda je(a
b+b
c+c
d+d
a
)3(b
a+c
b+d
c+a
d
)≥ (a+ b+ c+ d)4.
Dovoljno je primjeniti Holderovu nejednakost na nizove u sva cetiri reda tablice, s
tezinama 14:(
a
b+b
c+c
d+d
a
) 14(a
b+b
c+c
d+d
a
) 14(b
c+c
d+d
a+a
b
) 14(a
d+b
a+c
b+d
c
) 14
≥(aaba
bbcd
) 14
+
(bbcb
ccda
) 14
+
(ccdc
ddab
) 14
+
(ddad
aabc
) 14
= a+ b+ c+ d
X
35
4.3. Nejednakost Minkowskog
Hermann Minkowski, porijeklom iz njemacke obitelji, roden je 1864. godine u Alek-
sotasu, gradu danas zvanom Kaunas, u Litvi. Osim matematikom, bavio se i fizikom.
Stvorio je i razvio geometriju brojeva i koristio je geometrijske metode za rjesavanje
problema u teoriji brojeva, matematickoj fizici i teoriji relativnosti. Zanimljivo je da
je upravo on rekonstruirao Einsteineovu teoriju kvadratnih formi te time razvio novi
pogled na prostor i vrijeme i polozio matematicke temelje u teoriji relativnosti.
Teorem 4.3.1 (Nejednakost Minkowskog) Ako su a i b dvije pozitivne n-torke i
ako je
1. p > 1, tada je ( n∑i=1
(ai + bi)p
) 1p
≤( n∑
i=1
api
) 1p
+
( n∑i=1
bpi
) 1p
(4.7)
2. p < 1, p 6= 0, tada je( n∑i=1
(ai + bi)p
) 1p
≥( n∑
i=1
api
) 1p
+
( n∑i=1
bpi
) 1p
(4.8)
U oba slucaja jednakost vrijedi ako i samo ako su a i b proporcionalne n-torke.
Dokaz: Iskoristimo sljedecu jednakost:
n∑i=1
(ai + bi)p =
n∑i=1
ai(ai + bi)p−1 +
n∑i=1
bi(ai + bi)p−1. (4.9)
Nadalje, neka je q definirano tako da vrijedi 1p
+ 1q
= 1, tj. neka je q = pp−1 .
Ako je p > 1, tada na osnovu Holderove nejednakosti imamo:
n∑i=1
(ai + bi)p ≤
( n∑i=1
api
) 1p( n∑
i=1
(ai + bi)p
) p−1p
+
( n∑i=1
bpi
) 1p( n∑
i=1
(ai + bi)p
) p−1p
,
iz cega slijedi upravo nejednakost (4.7). Za slucaj kada je p < 1 vrijedi suprotna
nejednakost u Holderovoj nejednakosti, sto znaci da vrijedi (4.8). Iz uvjeta za jednakost
u Holderovoj nejednakosti, slijedi da jednakost u (4.7) i (4.8) vrijedi ako i samo ako su
a i b proporcionalne n-torke.
2
36
Teorem 4.3.2 (II. Nejednakost Minkowskog) Ako su a,b i w pozitivne n-torke,
tada je
Gn(a+ b;w) ≥ Gn(a;w) +Gn(b;w) (4.10)
2
Teorem 4.3.3 (Bellmanova nejednakost) Neka su a i b pozitivne n-torke takve da
vrijedi
ap1 − ap2 − . . .− apn > 0 i bp1 − b
p2 − . . .− bpn > 0.
Ako je p ≥ 1 (ili p < 0), tada vrijedi[(ap1−a
p2− . . .−apn
) 1p +(bp1−b
p2− . . .−bpn
) 1p
]p≤ (a1 +b1)
p− (a2 +b2)p− . . .− (an +bn)p,
(4.11)
a ako je 0 < p < 1, tada u (4.11) vrijedi suprotna nejednakost.
Dokaz: Koristeci supstitucije
ap1 7→ ap1 − ap2 − . . .− apn i bp1 7→ bp1 − b
p2 − . . .− bpn,
iz (4.7) dobivamo (4.11).
2
37
4.4. Oppenheimove (geometrijske) nejednakosti
Alexander Victor Oppenheim, britanski matematicar i filantropist, roden je u Salfordu
1903. godine. Iako potice iz obitelji bankara, od ranog djetinjstva bio je fasciniran
matematikom i sahom te se time kasnije i bavio. U matematici se najvise bavio teorijom
brojeva, a najveci doprinos dao je u svom radu Oppenheim Conjecture u kojoj se bavi
diofantskim aproksimacijama i kvadratnim formama.
U ovom cemo poglavlju navesti dvije geometrijske nejednakosti koje se mogu dokazati
pomocu ranije navedenih Minkowskijeve i Bellmanove nejednakosti.
Prva Oppenheimova nejednakost
Neka su dana dva trokuta AiBiCi (i = 1, 2) sa stranicama ai, bi, ci povrsine Fi. Ako
je a = a1 + a2, b = b1 + b2 i c = c1 + c2, tada su a, b, c stranice novog trokuta cija je
povrsina F . Pri tome vrijedi nejednakost:
√F ≥
√F1 +
√F2, (4.12)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako su trokuti slicni.
Dokaz: Ako su nam dane stranice trokuta a, b, c, onda povrsinu F mozemo izracunati
pomocu Heronove formule
F =√s(s− a)(s− b)(s− c), s =
a+ b+ c
2,
pa prema tome imamo
F12 =
[s(s− a)(s− b)(s− c)
] 14 ,
a s = s1 + s2, s− a = (s1 − a) + (s2 − a) (analogno za ostale stranice)
te koristeci nejednakost
n
√√√√ n∏i=1
(ai + bi) ≥ n
√√√√ n∏i=1
ai + n
√√√√ n∏i=1
bi, (4.13)
dakle, drugu Minkowsievu nejednakost, za n = 4, dobivamo[s(s−a)(s−b)(s−c)
] 14 ≥ [s1(s1−a1)(s1−b1)(s1−c1)]
14 +[s2(s2−a2)(s2−b2)(s2−c2)]
14 ,
sto je i trebalo pokazati.
Uvjeti za jednakost slijede iz uvjeta za jednakost u (4.13).
2
38
Druga Oppenheimova nejednakost
Neka su dana dva trokuta AiBiCi (i = 1, 2) sa stranicama ai, bi, ci povrsine Fi. Defi-
nirajmo brojeve a, b, c sa
a = (a21 + a22)12 , b = (b21 + b22)
12 , c = (c21 + c22)
12 .
Tada su a, b, c stranice trokuta povrsine F za koju vrijedi nejednakost
F ≥ F1 + F2, (4.14)
gdje jednakost vrijedi ako i samo ako su trokuti slicni.
Dokaz: Da su a, b, c stranice nekog trokuta slijedi na osnovu Minkowskijeve nejed-
nakosti za p = 2. To mozemo provjeriti na primjeru:
a+ b = (a21 + a22)12 + (b21 + b22)
12
≥((a1 + b1)
2 + (a2 + b2)2) 1
2
≥(c21 + c22
) 12 = c,
sto vrijedi jer u danim trokutima vrijedi: a1 + b1 ≥ c1, a2 + b2 ≥ c2.
Da bi dokazali nejednakost (4.14) iskoristit cemo identitet
4F =[(a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
] 12
te Bellmanovu nejednakost za slucaj kada je n = 4 i p = 2. Iz te nejednakosti, koristeci
supstitucije
a1 7→∑
a21, a2 7→√
2a21, a3 7→√
2b21, a4 7→√
2c21,
b1 7→∑
a22, b2 7→√
2a22, b3 7→√
2b22, b4 7→√
2c22,
dobivamo:
4F1 + 4F2 =
[(∑a21
)2
− 2
(∑a41
)] 12
≤[(∑
a21 +∑
a22
)2
− 2∑(
a21 + a22
)2] 12
=
[(∑a2)2
− 2∑
a4] 1
2
= 4F.
2
39
Poglavlje 5
Primjene pojedinih nejednakosti
5.1. Jedna primjena A-G nejednakosti
Aritmeticko-geometrijska nejednakost snazno je sredstvo za dokazivanje brojnih slozenijih
nejednakosti, a u radu se vec moglo primjetiti da se mnogi dokazi svode upravo na upo-
rabu ove nejednakosti.
Kroz sljedece primjere pokazat cemo neke primjene opce A-G nejednakosti.
Primjer 5.1.1 Maksimum polinoma: Ako je L povrsina sferne kapice polumjera R i V
volumen odgovarajuceg sfernog odsjecka, tada je
V 2
L3≤ 1
18π(5.1)
gdje jednakost vrijedi samo ako se radi o polusferi.
Dokaz: Ako je R radijus sfere i h visina sferne kapice, tada je
L = 2πRh,
V =π
3h2(3R− h),
pa imamo omjerV 2
L3=h(3R− h)2
72πR3.
Nadimo sada maksimum polinoma h(3R − h)2 za h ∈ [0, R]. Iskoristitmo li A-G
nejednakost za tri broja C1h,C2(3R − h), C2(3R − h), pri cemu su C1, C2 neodredeni
koeficijenti, dobivamo:
C1hC22(3R− h)2 ≤
(C1h+ 2C2(3R− h)
3
)3
.
Koeficijente C1, C2 odredimo tako da u aritmetickoj sredini, na desnoj strani nejed-
nakosti, nestane varijabla h. Dobivena konstanta na desnoj strani bit ce maksimum
polinoma na lijevoj strani ako postoji h0 za koji se postize jednakost.
40
Varijabla h nestat ce ako vrijedi C1 − 2C2 = 0. Bez smanjenja opcenitosti uzmimo da
je C1 = 2 i C2 = 1. Jednakost u A-G nejednakosti postize se ako su brojevi jednaki,
tj. ako vrijedi
C1h = C2(3R− h),
odakle dobivamo da je h0 = R. Uvrstavanjem koeficijenata C1 i C2 u A-G nejednakost
dobivamo:
2h(3R− h)2 ≤ 8R3,
tj.
h(3R− h)2 ≤ 4R3.
Dakle, vrijediV 2
L3≤ 1
18π.
Jednakost se postize ako i samo ako je visina kapice jednaka polumjeru, tj. ako je
kapica u stvari polusfera.
2
Primjer 5.1.2 Limes: Pokazati da vrijedi limn→∞
n√n = 1.
Dokaz: Pretpostavimo da je n ≥ 3. Tada, koristeci A-G nejednakost za n brojeva
1, n1n , n
2n , . . . , n
(n−1)n imamo:
0 ≤ n1n − 1 =
n− 1
1 + n1/n + . . .+ n(n−1)/n
≤ n− 1
n(n1/n+2/n+...+(n−1)/n
)1/n=
n− 1
n(3n−1)(2n) ≤1
n13
.
Buduci da n−13 tezi k 0 kada n tezi u beskonacnost, slijedi da tada i n1/n − 1 tezi k 0.
2
41
5.2. Jedna primjena Bernoullijeve nejednakosti
Ako je a > 0, q > 1, x ≥ 0, tada funkcija f(x) = xq − ax u tocki x =(aq
) 11−q ima
najmanju vrijednost koja iznosi
(1− q)(a
q
) q1−q
.
Ako je a < 0, q < 1, x > 0, tvrdnja je i dalje ista.
U istoj tocki funkcija ce imati najvecu vrijednost u slucaju kada je 0 < q < 1 i a > 0.
Dokaz:
Krenimo od Bernoullijeve nejednakosti za y > 1,
(1 + z)q ≥ 1 + qz z ≥ −1,
pri cemu se jednakost dostize samo za z = 0. Stavljajuci 1+z = y, dobivamo za q ≥ 0,
yq ≥ 1 + q(y − 1), yq − qy ≥ 1− q,
pri cemu jednakost nastupa samo za y = 1.
Mnozenje sa cq daje
(cy)q − qcq−1(cy) ≥ (1− q)cq, y ≥ 0.
Stavljajuci
x = cy i qcq−1 = a, c =(aq
) 1q−1
dobivamo
xq − ax ≥ (1− q)cq ≥ (1− q)(aq
) qq−1 ,
pri cemu vrijedi znak jednakosti za x = c =(aq
) 1q−1 .
Koristeci druge slucajeve Bernoullijeve nejednakosti dokazujemo potpuno analogno i
ostale tvrdnje.
2
42
Poglavlje 6
Iz rjecnika metodike
Zadaci s nejednakostima cesto se pojavljuju na matematickim natjecanjima i olimpi-
jadama. U zbirkama zadataka iz elementarne matematike postoje posebna poglavlja
o nejednakostima. U tim zbirkama dokazi su najcesce vrlo kratki i sazeti, a postoje i
oni koji se zasnivaju na ostroumnosti i domisljatosti. Zamjerka kod takvih dokaza je
to sto je glavni cilj neposredna potvrda postavljene konkretne tvrdnje, a zapostavljena
je metodicka strana dokaza, tj. objasnjenje i razrada postupka dokazivanja.
Postoje razlicite metode dokazivanja algebarskih nejednakosti:
• Nacin dokazivanja je ocigledan
To znaci da je nacin dokazivanja lako uocljiv, prirodan i sam se namece. Takve
nejednakosti onda nije potrebno posebno analizirati, vec se odmah prelazi na
dokaz.
Primjer 6.0.1 Dokazite da za sve pozitivne realne brojeve a, b, c vrijedi nejedna-
kost1
b+ c+
1
c+ a+
1
a+ b>
3
a+ b+ c
Rjesenje: Ocigledno vrijedi da je1
b+ c>
1
a+ b+ c, pa onda analogno tome
vrijedi i1
c+ a>
1
a+ b+ ci
1
a+ b>
1
a+ b+ c
iz cega slijedi da je
1
b+ c+
1
c+ a+
1
a+ b>
1
a+ b+ c+
1
a+ b+ c+
1
a+ b+ c=
3
a+ b+ c.
Prema tome, dana nejednakost ocigledno vrijedi.
X
43
Primjer 6.0.2 Ako su x, y pozitivni realni brojevi i x+y = 1, dokazite da vrijedi
nejednakost (1 +
1
x
)(1 +
1
y
)≥ 9
Rjesenje: Iz pocetne nejednakosti mnozenjem i sredivanjem izraza dobivamo:
xy + x+ y + 1 ≥ 9xy.
Koristenjem uvjeta danog u zadatku dobivamo da je
1− 4xy ≥ 0,
tj.
1− 4x(1− x) ≥ 0
4x2 − 4x+ 1 ≥ 0
(2x− 1)2 ≥ 0
sto ocigledno vrijedi.
X
• Primjena posebnih nejednakosti
Ova metoda temelji se na primjeni jednostavnih i posebnih nejednakosti pri do-
kazivanju slozenih nejednakosti.
Primjer 6.0.3 Dokazite da za pozitivne realne brojeve a, b, c vrijedi nejednakost
ab
c+bc
a+ca
b≥ a+ b+ c
Rjesenje: Prvo zapisemo lijevu stranu nejednakosti u drugacijem obliku
ab
2c+ab
2c+bc
2a+bc
2a+ca
2b+ca
2b,
zatim grupiramo clanove
1
2
(ab
c+ca
b
)+
1
2
(ab
c+bc
a
)+
1
2
(bc
a+ca
b
)a potom iskoristimo A-G nejednakost:
1
2
(ab
c+ca
b
)+
1
2
(ab
c+bc
a
)+
1
2
(bc
a+ca
b
)≥
√ab
c· cab
+
√ab
c· bca
+
√bc
a· cab
=√a2 +
√b2 +
√c2
= a+ b+ c
Time smo pokazali da pocetna nejednakost vrijedi.
X
44
• Posebni postupci
Nacin dokazivanja u kojem je dovoljna samo mala transformacija nejednakosti.
Primjer 6.0.4 Dokazite da vrijedi nejednakost
1
2· 3
4· 5
6· 7
8· · · 97
98· 99
100<
1
10.
Rjesenje: Lijevu stranu nejednakosti oznacimo nekom nepoznanicom, npr. x.
Tada imamo
x <2
3· 4
5· 6
7· 8
9· · · 98
99· 100
101=
1
101x,
tj.
x2 <1
101<
1
100=⇒ x <
1
10
cime smo dokazali pocetnu nejednakost.
X
• Primjena metode matematicke indukcije
Ova metoda je cesta u dokazivanju nejednakosti, sto se vec moglo vidjeti u ovom
radu, a primjenjuje se kada nejednakost ovisi o prirodnom broju n.
Sastoji se od sljedecih koraka:
(K1) baza indukcije (n = 1) - pokazemo da dana (ne)jednakost, tj. tvrdnja Tn
vrijedi za n = 1
(K2) induktivna pretpostavka (n = k) - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za k ∈ N(K3) korak indukcije (n = k + 1) - koristeci induktivnu pretpostavku pokazemo
da tvrdnja vrijedi za prirodan broj k + 1.
Na taj nacin dolazimo do zakljucka da polazna tvrdnja Tn vrijedi za svaki prirodni
broj n.
Primjer 6.0.5 Dokazite da za svaki prirodan broj n vrijedi nejednakost
1 +1
22+
1
32+
1
42+ . . .+
1
n2≥ 3n+ 1
2n+ 2.
Rjesenje:
(K1): ocigledno, za n = 1 ⇒ 1 ≥ 3·1+12·1+2
= 44
= 1, stoga cemo provjeriti i za
n = 2:
1 +1
22≥ 3 · 2 + 1
2 · 2 + 25
4≥ 6 + 1
4 + 2=
7
6sto je tocno.
45
(K2): Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za prirodan broj k:
1 +1
22+
1
32+
1
42+ . . .+
1
k2≥ 3k + 1
2k + 2
(K3): Dokazimo da tvrdnja vrijedi za n = k + 1, tj. da vrijedi:
1 +1
22+
1
32+
1
42+ . . .+
1
k2+
1
(k + 1)2≥ 3(k + 1) + 1
2(k + 1) + 2
koristeci pretpostavku imamo sljedece:
1 +1
22+
1
32+
1
42+ . . .+
1
k2+
1
(k + 1)2≥ 3k + 1
2k + 2+
1
(k + 1)2
=(3k + 1)(k + 1) + 2
2(k + 1)2=
3k2 + 4k + 3
2k2 + 4k + 2
=3k + 4 + k2 − k + 1 + 2k2 + 2k − 2
2k + 4 + 2k2 + 2k − 2
>3k + 4 + k2 − k + 1
2k + 4
>3k + 4
2k + 4=
3(k + 1) + 1
2(k + 1) + 2
X
• Primjena analiticko - sinteticke metode
Kao polazni korak sluzi zadana nejednakost N0. Tu nejednakost zelimo transfor-
macijom rastaviti na vise manjih jednostavnijih nejednakosti, a cilj je da kraj-
nja nejednakost bude ocigledna. Transformacije koje mozemo provesti su, npr.
mnozenje nejednakosti zajednickim nazivnikom, dodavanje i oduzimanje novih
clanova, drugacije grupiranje clanova, izlucivanje zajednickih faktora, potencira-
nje, supstitucija itd.
Analizom, od pocetne nejednakosti N0, dolazimo do krajnje i ocigledne nejedna-
kosti Nk, tj.
N0 ⇒ N1 ⇒ · · · ⇒ Nk,
dok sintezom, od krajnje nejednakosti Nk, dolazimo do one pocetne N0, tj.
Nk ⇒ Nk−1 ⇒ · · · ⇒ N1 ⇒ N0
46
Primjer 6.0.6 Dokazite da za sve pozitivne realne brojeve a, b vrijedi nejednakost
a
b+b
a≥ 2.
Rjesenje: Analiza:
a
b+b
a≥ 2 / · (ab)
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 − 2ab+ b2 ≥ 0
(a− b)2 ≥ 0
sto ocigledno vrijedi.
Sljedeci korak je sinteza:
(a− b)2 ≥ 0
a2 − 2ab+ b2 ≥ 0
a2 + b2 ≥ 2ab / : (ab)
a
b+b
a≥ 2
X
Priprema ucenika za natjecanje sastavni je dio rada nastavnika u osnovnim, kao i
profesora u srednjim skolama. Matematicka natjecanja vrlo su vazna i to iz vise
razloga: pobuduju i sire interes za ucenje matematike, razvijaju naviku intezivnog
i ustrajnog rada, obogacuju matematicko znanje, a ujedno daju ucenicima priliku za
ispunjavanje prirodne zelje da provjere svoje matematicke sposobnosti. Dugogodisnje
pracenje ucenika na matematickim natjecanjima (prema [9]) pokazuje da se i najbolji
ucenici cesto ne snalaze u rjesavanju nestandardnih i slozenijih zadataka. Za uspjesno
rjesavanje problema iz nekog podrucja matematike potrebna je, prije svega, dobra te-
orijska osnova i njezina dobra metodicka razrada. U programima po kojima se ucenici
natjecu pise da za vise razine natjecanja oni trebaju poznavati i sljedeca dodatna po-
drucja:
OS: kombinatorni zadaci, logicki zadaci, diofantske jednadzbe, Dirichletov princip
SS: matematicka indukcija, elementarna teorija brojeva, osnovne nejednakosti o sre-
dinama
Zadaci s nejednakostima jedan su primjer zadataka s kojima ucenici imaju dosta
poteskoca, no podrucje nejednakosti vrlo je pogodno za uspjesnu primjenu analize.
47
To ukljucuje ucenje i primjenu navedenih metoda. Za ucenike koji sudjeluju na sred-
njoskolskim matematickim natjecanjima dovoljno je poznavati navedene metode doka-
zivanja nejednakosti, njihova osnovna i posebna svojstva te osnovne sredine. Za ucenike
koji sudjeluju u medunarodnim natjecanjima kao sto je matematicka olimpijada, po-
trebno je poznavati ove jednostavne, ali i slozene nejednakosti (poput Cauchyjeve,
Kantoroviceve, Cebisevljeve, Holderove).
Ako nastavnik, odnosno profesor upozna ucenike s opisanim postupcima dokazivanja
nejednakosti na nizu prikladno odabranih primjera, ucenici ce kod svake nove nejedna-
kosti moci lako, bez velike pripreme i nervoze savladati postupak njenog dokazivanja.
48
Literatura
[1] S. Arslanagic: Metodicka zbirka zadataka sa osnovama teorije iz elementarne ma-
tematike, Sarajevo, 2006.
[2] I. Brnetic: Nejednakosti na medunarodnim matematickim olimpijadama, Osjecki
matematicki list 8 (2008), 5-18
[3] F.M. Bruckler: Povijest matematike I, Osijek, 2007.
[4] Z. Dekanic, S. Varosanec: Dokazi i primjene AG nejednakosti, Hrvatski mate-
maticki elektronicki casopis math.e, 9 (2006), 1-9
[5] I. Ilisevic: Bernoullijeva nejednakost, Osjecki matematicki list 9 (2009), 1-6
[6] D. Jukic, R Scitovski: Matematika I, Osijek, 1998.
[7] J. Krajina, I. Gusic: Matematika 1 - udzbenik sa zbirkom zadataka za 1. razred
opce, jezicne i klasicne gimnazije (1. dio), SK, Zagreb, 2008.
[8] Z. Kurnik: Iz rjecnika metodike - Analiza, Matematika i Skola 2 (1999), 54-64
[9] Z. Kurnik: Iz rjecnika metodike - Metodicka radionica, Matematika i Skola 16
(2002), 4-11
[10] Z. Kurnik: Priprema nastavnika i ucenika za matematicka natjecanja, Matematika
i Skola 50 (2009), 195-199
[11] D.S. Mitrinovic, P.S. Bullen, P.M. Vasic: Sredine i sa njima povezane nejednakosti
I, Publikacije elektrotehnickog fakulteta, Beograd, 1977.
[12] J. Pecaric: Nejednakosti, Mala matematicka biblioteka 6, Element, Zagreb, 1996.
[13] Predavanja iz kolegija Metodika nastave matematike II, voditelj kolegija: prof.
dr.sc. Z. Kolar - Begovic, sk. god. 2010./2011.
[14] International Mathematical Olympiad, [14.05.2012.]
http://www.imo-official.org/problems.aspx
49
[15] The Official Web Site od the Nobel Prize, [23.04.2012.]
http://www.nobel prize.org/nobelprizes/economics/laureates/1975/kantorovich-
autobio.html
[16] The MacTutor History of Mathematics archive, [13.05.2012.]
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/BiogIndex.html
[17] The World of Math Online, [19.02.2012]
http://www.math.com/students/mathematicians.html
50
SazetakOvim se radom opisuju nejednakosti, od jednostavnijih do slozenijih. Zadaci s ne-
jednakostima cesti su na matematickim natjecanjima, a za njihovo uspjesno rjesavanje
potrebno je imati teorijsku osnovu i poznavati razlicite metode rjesavanja zadataka.
Na pocetku se uvodi pojam nejednakosti te osnovna i posebna svojstva koja uvijek
mogu koristiti pri dokazivanju i rjesavanju zadataka, kao i osnovne sredine te veze
izmedu tih sredina. Jedna od najvaznijih je veza izmedu aritmeticke i geometrijske sre-
dine (A-G nejednakost). Osim tih osnovnih sredina spomenute su sredine s tezinama.
Medu osnovne nejednakosti ubrajaju se nejednakosti Radoa i Popoviciua, Bernoulli-
jeva nejednakost i druge. Poslije njih slijedi niz slozenijih nejednakosti poput Abelove
i Cebisevljeve nejednakosti, zatim poznata Cauchyjeva nejednakost i neke s njom po-
vezane nejednakosti. Takve slozenije nejednakosti karakteristicne su za matematicke
olimpijade. Osim algebarskih nejednakosti u radu su spomenute i Oppenheimove ge-
ometrijske nejednakosti. Pojedine nejednakosti nalaze i svoju primjenu, primjerice u
trazenju maksimuma polinoma, a kroz razne primjere pokazana je primjena gotovo svih
navedenih nejednakosti na problemske zadatke. Rad zavrsava metodickim stajalistem
o metodama rjesavanja nejednakosti te o nacinu pripreme ucenika za natjecanje.
Kljucne rijeci: algebarske nejednakosti, osnovne sredine, A-G nejednakost, geome-
trijske nejednakosti
AbstractThis paper describes the inequalities, from simple to complex. The tasks with
inequalities are common in mathematical competitions, and for their successful resolu-
tion is necessary to have a theoretical basis and know the different methods of solving
problems. First is introduced the term inequality and basic and special features that
can always be used in proving and solving tasks, as well as basic means and connections
between these means. One of the most important is the connection between arithmetic
and geometric mean (A-G inequality). In addition to these basic means are mentioned
means with weights. Among the basic inequalities include Rado’s and Popoviciu’s
inequality, the Bernoulli’s inequality, and others. After them followed a series of more
complex inequalities such as Abel’s and Chebyshev’s inequality, then known Cauchy’s
inequality and inequalities associated with it. Such complex inequalities are charac-
teristic for the mathematical olympiad. In addition to algebraic inequalities in the
paper are also mentioned Oppenheim’s geometric inequalities. Some inequalities have
their application, for example in seeking the maximum of the polynomial, and through
various examples demonstrated the use of almost all these inequalities to the problem-
solving tasks. The paper concludes with methodological viewpoint, the methods of
solving inequalities and on how to prepare students for competitions.
Key words: algebraic inequalities, basic means, A-G inequality, geometric inequalities
51
Zivotopis
Ime mi je Ivana Berend. Rodena sam 20. travnja 1987. godine. Zivim u Osijeku.
Godine 1994. upisana sam u 1. razred Osnovne skole Miroslava Krleze u Cepinu. Od
2. do 4. razreda bila sam ucenica Osnovne skole Mate Lovraka u Vladislavcima, a
potom Osnovne skole Popovac, gdje sam 2002. godine i zavrsila svoje osnovnoskolsko
obrazovanje. Iste godine upisala sam se kao stipendist u Gaudeamus, prvu privatnu
gimnaziju u Osijeku, koju sam uspjesno zavrsila 2006. godine. Daljnje obrazovanje
nastavila sam iste godine upisom Sveucilisnog nastavnickog studija matematike i in-
formatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.
Tijekom studija radila sam kao suradnik u nastavi (dopunska i dodatna nastava iz
matematike) u privatnoj gimnaziji Gaudemus gdje sam trenutno i zaposlena.
52
