Metode functionale, deterministe si stochastice în dinamica fluidelor

Descrierea proiectuluiRealizari 2007-2008

Realizari 2009Obiective 2010

Metode functionale, deterministe si stochastice ındinamica fluidelor

Grant ID 404/2007-2010, Director: Prof. Catalin Lefter

October 29, 2009

Grant ID 404/2007-2010, Director: Prof. Catalin Lefter Metode functionale, deterministe si stochastice ın dinamica fluidelor



1 Descrierea proiectuluiAbstractDirectii principale de cercetareMembrii proiectului

2 Realizari 2007-2008ObiectiveLucrari publicateDescrierea rezultatelorAlte activitati

3 Realizari 2009ObiectiveLucrari publicateDescrierea rezultatelorAlte activitati

4 Obiective 2010




AbstractDirectii principale de cercetareMembrii proiectului

Tema de cercetare pe care ne-am propus-o ın acest proiect este demare actualitate matematica. Directiile de cercetare abordate suntdeosebit de active pe plan international si cu importantadeopotriva teoretica si practica. Ecuatiile pe care le studiem(difuzie neliniara, ecuatii Navier-Stokes, MHD, Boussinesq,ecuatiile stochastice, ecuatii Schrodinger) modeleaza fenomenefizice. In consecinta, ıntelegerea din punct de vedere teoretic aacestor fenomene da posibilitatea obtinerii de rezultate practice.





In ultimii ani, metodele functionale au devenit un mod principal deabordare a problemelor de matematica teoretica si aplicata. Prinalegerea cadrului functional potrivit, fiecare problema la limitaabordata poate fi descrisa printr-un model abstract, iar prinutilizarea metodelor variationale si semigrupale se pot obtinerezultate matematice bogate, cu grad de generalitate sporit.Este deosebit de important din punct de vedere practic sa sestudieze diferitele aspecte ale acestor probleme, cum ar fi:existenta, unicitatea, comportarea asimptotica si controlul.Controlul unui astfel de sistem ınseamna obtinerea unui anumitcomportament al solutiilor sistemului actionand asupra unui numarde parametri (sau functii) ce intervin ın sistem (minimizarea uneifunctionale de cost ın cazul problemelor de control optimal,obtinerea unei stari finale precizate anterior ın cazul problemelor decontrolabilitate sau obtinerea unui sistem cu bucla ınchisa ce estestabil ın vecinatatea unei stari stationare pentru problemele destabilizare, etc.)





Studiul ecuatiilor Kolmogorov asociate ecuatiilor neliniarestochastice de tip parabolic si al fluidelor stochastice dirijatede procese gaussiene (ecuatii Navier-Stokes stochastice),precum si al existentei masurilor invariante.

Studiul ecuatiilor neliniare de difuzie, ın special a celor ın careapar singularitati, ca de exemplu difuzia rapida si superdifuzia.

Studiul calitativ al ecuatiilor ce guverneaza dinamica fluidelor(ecuatiile Navier-Stokes, magnetohidrodinamicii etc.) ıncontextul problemelor de control si stabilizare asociate

Ecuatii Schrodinger. Probleme de stabilizare.

Studiul proceselor de difuzie si al dinamicii fluidelor ınprezenta fenomenelor de schimbare de faza .





Prof.dr. Catalin Lefter

Prof.dr. Viorel Barbu

CS I dr. Gabriela Marinoschi

Lector dr. Adriana-Ioana Lefter

Asist. cerc. Cornelia Ciutureanu - doctorand, urmeaza sa-sisustina teza.




ObiectiveLucrari publicateDescrierea rezultatelorAlte activitati

Ecuatii Kolmogorov asociate ecuatiilor parabolice stochastice.Studiul masurilor invariante. Caracterizarea operatoruluiKolmogorov pentru ecuatia parabolica stochastica cu reflectiela frontiera.

Demonstrarea existentei solutiilor periodice pentru ecuatiineliniare parabolice nedegenerate de difuzie rapida cu termende transport non Lipschitz. . Comportarea asimptotica asolutiilor periodice. Metode numerice pentru studiul ecuatieide difuzie rapida: existenta, convergenta, stabilitatea, calcululnumeric al solutiei.

Stabilizarea ecuatiilor dinamicii fluidelor. Ecuatii de tipNavier-Stokes cu potential.





V.Barbu, G. Da Prato, M. Roeckner, Stochastic nonlineardiffusion equations with singular diffusivity, SIAMMath.Analysis, 41(2009), 1106-1120.

V.Barbu, G.Da Prato, M. Roeckner, Existence of strongsolutions for stochastic porous media equation under generalmonotonicity conditions, The Annals of Probability,37(2009),428-452.

G. Marinoschi, Periodic solutions to fast diffusion equationswith non Lipschitz convective terms, Nonlinear AnalysisReal World Applications, 10(2009),1048-1067.

C. Ciutureanu, G. Marinoschi, Convergence of the finitedifference scheme for a fast diffusion equation in porousmedia, Numerical Functional Analysis and Optimization,29(2008), 1034-1063.





Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Well-posedness for ahyperbolic-parabolic Cauchy problem arising in populationdynamics, Differential and Integral Equations, 21(2008),9-10, 917-934.

Adriana Ioana Lefter, Nonlinear feedback controllers for theNavier-Stokes equations, Nonlinear Analysis Series A:Theory, Methods and Applications, 71(2009), 301-316.

C.Lefter, On a unique continuation property related to theboundary stabilization of magnetohydrodynamic equations,Ann.Univ.”Al.I.Cuza” Iasi, va apare.





V.Barbu, G. Da Prato, M. Roeckner, Stochastic nonlinear diffusion equations with

singular diffusivity, SIAM Math.Analysis, 41(2009), 1106-1120.

1. Studiul existentei solutiei pentru ecuatia de difuzie stochastica

dX (t) = div [sgn (∇(X (t)))]dt +√

QdW (t), ın (0,∞)×O

unde O este o submultime deschisa a lui Rd , W este un procesWiener cilindric.Ecuatia este relevanta ın modelarea cresterii cristalelor precum si ınrestaurarea de imagini folosind tehnici bazate pe variatia totala.





V.Barbu, G.Da Prato, M. Roeckner, Existence of strong solutions for stochastic

porous media equation under general monotonicity conditions, The Annals of

Probability, 37(2009),428-452.

2. Existenta si unicitatea solutiei tari pentru ecuatia stochastica amediilor poroase

dX −∆Ψ(X )dt = B(X )dW (t)

ın domenii marginite din Rd cu conditii Dirichlet la frontiera. Ψeste un operator maximal monoton ın R. Nu se impun conditii decrestere asupra lui Ψ. Ecuatia apare ın modele ale tranzitiei defaza.





G. Marinoschi, Periodic solutions to fast diffusion equations with non Lipschitz

convective terms, Nonlinear Analysis Real World Applications,

10(2009),1048-1067.

3. Pentru ecuatia de difuzie neliniara cu termen de convectie:

∂θ

∂t−∆β∗(θ) +∇ · K (θ) 3 f in Ω× R

se studiaza existenta solutiilor periodice precum si unicitatea.





C. Ciutureanu, G. Marinoschi, Convergence of the finite difference scheme for a

fast diffusion equation in porous media, Numerical Functional Analysis and

Optimization, 29(2008), 1034-1063.

4. Se studiaza convergenta unei scheme numerice cu diferentefinite pentru ecuatia neliniara a difuziei cu termen de convectie.Metoda propusa are drept scop simplificarea calculelor numerice ınacest tip de probleme, fara a mai evalua functia multivoca.





Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Well-posedness for a hyperbolic-parabolic

Cauchy problem arising in population dynamics, Differential and Integral

Equations, 21(2008), 9-10, 917-934.

5. Pentru un model din dinamica populatiei ce ia ın considerarefenomene de difuzie a populatiei organizata pe mai multe straturi,se demonstreaza existenta, unicitatea, dependenta continua asolutiei





Adriana Ioana Lefter, Nonlinear feedback controllers for the Navier-Stokes

equations, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods and Applications,

71(2009), 301-316.

6. Pentru ecuatia Navier-Stokes se demonstreaza stabilizareafeedback, cu controale neliniare, iar aceasta stabilizare se face cupastrarea invariantei pentru o multime convexa si ınchisa data. Inacest scop se demonstreaza mai ıntai o teorema de existentapentru solutiile slabe ale ecuatiei Navier-Stokes perturbate cu osubdiferentiala.





C.Lefter, On a unique continuation property related to the boundary stabilization

of magnetohydrodynamic equations, Ann.Univ.”Al.I.Cuza” Iasi

7. Se demonstreaza un rezultat de unica continuare pentru unsistem de ecuatii de tip Stokes ın dimensiune 2. Acest rezultat estemotivat de problema stabilizarii cu controale frontiera a ecuatiilormagnetohidrodinamicii.





Organizarea unui workshop : Mathematical approaches inoptimization, modellisation and control, 11 aprilie 2008,Iasi.

Participari la conferinte interne si internationale.

Vizite de lucru si colaborari stiintifice la universitati dinFranta, Italia, Germania etc.





Caracterizarea operatorului Kolmogorov pentru ecuatianeliniara a difuziei.

Metode numerice pentru ecuatia de difuzie rapida ın mediiporoase (cazul singular): studiul suprafetei libere dintredomeniul saturat si cel nesaturat.

Studiul unor metode si tehnici de stabilizare cu controalefrontiera sau controale distribuite ın subdomenii, cu aplicatii laecuatiile dinamicii fluidelor, ecuatii Schrodinger etc.





Viorel Barbu, Giuseppe Da Prato, Luciano Tubaro,Kolmogorov equation associated to the stochastic reflectionproblem on a smooth convex set of a Hilbert space, TheAnnals of Probability, 2009, Vol. 37, No. 4, 1427-1458.

V.Barbu, G.Da Prato, M. Roeckner, Finite time extinction forsolutions to fast diffusion stochastic porous media equations,Comptes Rendus Math.,vol. 347, no. 1-2, pages 81-84.

Angelo Favini, Gabriela Marinoschi, Periodic behavior for adegenerate fast diffusion equation, J. Math. Anal. Appl.351 (2009) 509-521.





Jean Michel Coron, Catalin Lefter, Andreea Grigoriu, GabrielTurinici, Quantum control design by Lyapunov trajectorytracking for dipole and polarizability coupling, New Journalof Physics, 11(2009), acceptata, in curs de aparitie.

C. Ciutureanu, Comsol modelling for a water infiltrationmodel in an unsaturated mediu, Analele Stiintifice aleUniversitatii Ovidius, Constanta (in curs de publicare)

A. Favini, G. Marinoschi, Identification of the time derivativecoefficient in a fast diffusion degenerate equation, trimisa laJOTA, in proces de review.





Viorel Barbu, Giuseppe Da Prato, Luciano Tubaro, Kolmogorov equation

associated to the stochastic reflection problem on a smooth convex set of a Hilbert

space, The Annals of Probability, 2009, Vol. 37, No. 4, 1427-1458.

1. Se considera problema de reflectie stochastica asociata unuioperator autoadjunct A si unui proces Wiener cilindric pe omultime convexa K , si modelata de ecuatia

dX (t) + (AX (t) + NK (X (t)))dt 3W (t), X (0) = x

Se demonstreaza existenta si unicitatea solutiei pentru ecuatiaKolmogorov infinit dimensionala de tip eliptic cu conditii lafrontiera de tip Neumann





V.Barbu, G.Da Prato, M. Roeckner, Finite time extinction for solutions to fast

diffusion stochastic porous media equations, Comptes Rendus Math.,vol. 347,

no. 1-2, pages 81-84.

2. Se demonstreaza ca solutiile ecuatiei stochastice a difuziei rapide

dX − ρ∆(|X |α sign X )dt −∆(Ψ(X )) = σ(X )dW (t),X (0) = x

cu α ∈ (0, 1) are timp de extinctie finit cu probabilitate strictpozitiva





Angelo Favini, Gabriela Marinoschi, Periodic behavior for a degenerate fast

diffusion equation, J. Math. Anal. Appl. 351 (2009) 509-521.

3. Pentru un model neliniar de difuzie, degenerat:

∂(m(x)u)

∂t−∆β ∗ (u) 3 f , ın Ω× R

se demonstreaza existenta solutiilor periodice.





Jean Michel Coron, Catalin Lefter, Andreea Grigoriu, Gabriel Turinici, Quantum

control design by Lyapunov trajectory tracking for dipole and polarizability

coupling, New Journal of Physics, 11(2009).

4. Se demonstreaza stabilizarea feedback a ecuatiilor Schrodinger

iΨ = H0Ψ + uH1Ψ + u2H2Ψ.

Cuplajul dintre control si sistem este atat biliniar (dipol) cat sipatratic (polarizare) iar feedbackurile obtinute sunt fie discontinuefie oscilante, periodice ın raport cu timpul.





C. Ciutureanu, Comsol modelling for a water infiltration model in an unsaturated

mediu, Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius, Constanta (in curs de publicare)

5. Modelul considerat descrie infiltrarea apei ıntr-un mediu porosisotropic, neomogen si nesaturat, cu porozitate variabila. Estevorba despre o ecuatie de difuzie neliniara cu termen de trasnport.Se face un studiu numeric cu implementare ın mediul deprogramare COMSOL.





A. Favini, G. Marinoschi, Identification of the time derivative coefficient in a fast

diffusion degenerate equation, trimisa la JOTA, ın proces de review

6. Se studiaza o problema inversa de identificare a coeficientuluiderivatei temporale dintr-un proces de difuzie neliniara

∂

∂t(u(x)y)−∆β∗(y) 3 f , ın (0,T )× Ω

Abordarea se face cu ajutorul unei probleme de control ceaproximeaza problema data, dupa care solutia este obtinuta calimita a solutiilor problemelor de control aproximative.





Organizarea unui workshop : Mathematical approaches inoptimization, modellisation and control, 7 mai 2009, Iasi.

Participari la conferinte interne si internationale.

Vizite de lucru si colaborari stiintifice la universitati dinFranta, Italia, Germania, China etc.




Ecuatii stochastice pentru probleme de difuzie ın mediiporoase.

Probleme inverse: Identificarea parametrilor ecuatiei de difuzierapida si aplicatii la infiltratia apei ın medii poroase.

Studiul unor probleme complexe din dinamica fluidelor ın careintervin eventual si fenomene ale tranzitiei de faza.

Probleme de stabilizare pentru ecuatii Schrodinger.


Documents

Metode functionale, deterministe si stochastice în dinamica fluidelor