MFR_2011-2012 - IV - Lop Bien Tang Hai Chieu Khong Nen Duoc

Chất lỏng thực có số Reynolds lớn, hữu hạn

Dòngcó số Reynolds lớn

Ví dụ

� Ôtô:U∞=90km/s; L=5m; ν=1,5.10-5m2s-1

� Máy bay vận chuyển ở chế độ cất cánh:U∞=300km/s; L=9m; ν=1,5.10-5m2s-1

� Tàu ngầm giải trí: U∞=6m/s; L=10m; ν=10-6m2s-1

� Re=8,3.106

� Re=50.106

� Re=60.106

Dòngkhông nén lý tưởng Re→∞

� Giải thích hiện tượng vật lý: Bản chất của lựcnâng, động học xoáy, dòng không dừng, …� Khógiải thích bằng các kết quả

� Cácđịnh lý, nghịch lý� chất lỏng thực

� …


Thang đơn vị chiều dài vật thể

Ảnh hưởng của quán tính >> ảnh hưởng của nhớt

Kết luận này không phải đúng với mọi trường hợp

2

Re 1nqt n

qt

TU L LT T

L U T

νν∞

∞

= = = >> ⇒ <<


Ví dụDòngcó vận tốc đồngnhất ở vô cùngqua mộtprofile cố địnhgóc tới nhỏ



Ảnh hưởng của nhớt (gradient vận tốc theo khônggian lớn) � Thangđơn vị L khôngđủ để xácđịnh

A

Đặc điểm của dòng

� Vùng có gradient lớn� sự biến thiên của vận tốctừ vật thể (V=0) đến vô cùng khôngđồng nhất

� Vùng có gradient lớn� ở gần biên dạng vật thểvà các vết phía sau vật thể� Vùngảnh hưởng củanhớt

� Khi dòngở vô cùng là không xoáy (U∞=const), tính xoáy chỉ xuất hiện ở vùng gần vật thể và vết


Đặc điểm của dòng

� Re ↑


� độ dày của vùngảnhhưởng bởi nhớt ↑

Định vị ảnh hưởng nhớt

Cân bằng giữađối lưu cưỡng bức và khuếch tán


2eT L U δ ν= =

1

Ree LL LU

δ ν= =

Ví dụ: Với ReL=106 � δ=10-3L<<L

Lớp biên

Thang đơn vị

L: đặc trưng cho chiều dài của vật thể (chuyểnđộngđối lưu cưỡng bức)

δ: đặc trưng chođộ dày lớp biên (chuyểnđộng khuếch tán)

δ << L


IV. Lớp biêntầnghai chiều khôngnén được

Đặc trưngcủa lớp biên

Chiều dày ước lệ δ(x)

� Chiều dài “99%”: U(x,δ(x))=0,99V0

� Giới hạn của lớp biên

� Xácđịnh trực tiếp bằng thực nghiệm� khó(gradient nhỏ)


Chiều dày dịch chuyển δ*(x) hay δ1(x)

� Dòng không nénđược: ρ=ρe

� Lưu lượng dòng chảy trên lớp biên (dòng lýtưởng)

( ) " "*

0 01 1

e e e e

U Ux dy dy

U U

δρ ρδρ ρ

∞ = − = −

∫ ∫

� Định nghĩa:



( )0mq x Udyδ

ρ= ∫

� Bỏ qua chuyển động ngang (x) để có nghiệm “lýtưởng” trên chiều dàyđặc trưngδ của lớp biên

( )0m e e e eQ x U dy Uδ

ρ ρ δ= =∫

Lưu lượng trên một đơn vị dài:

Lưu lượng trên một đơn vị dàivới dòng lý tưởng:



� Tổn thất lưu lượng – khối lượng do xuất hiện lớpbiên:

*

01m m e e e e

e e

UQ q U dy U

U

δ ρρ ρ δρ

− = − =

∫

( )*

*m e e eq U U dyδ

δρ δ δ ρ= − = ∫

� δ*: dịch chuyển của đường dòng do xuất hiện củalớp biên� δ*: thông số ‘‘ ảnh hưởng’’ giữa tính dòng lý tưởng và lớp biên


Chiều dày động lượng θ(x) hay δ2(x)

( ) " "

01

e e e e

U Ux dy

U U

ρ ρθρ ρ

∞ = −

∫

� Sự hãmdòng trên thành� “hụt” động lượng

( )e

2 2

0 0ông luong cua dong luong ông luong cua dong luong

U o van toc U

e e e

Th Th

U x UU dy U dyδ δ

ρ

ρ θ ρ ρ= −∫ ∫


Chiều dày động lượng θ(x) hay δ2(x)

� θ(x): chiều cao đủ để bảotoàn động lượng trong dònglý tưởng

( )

( ) ( )

2 2

0 0

* 2

e e e

e e e e e

U dy U Udy U x

U U U x

δ δρ ρ ρ θ

ρ δ δ ρ θ

= −

= − −

∫ ∫

� Biến đổi:

( )( ) ( )*

2 2 * 2

0 e e e eU dy U x U dyδ δ

δ θρ ρ δ δ θ ρ

+ = − + = ∫ ∫


Chiều dày động năng δ3(x)

� Định nghĩa: Thông lượng động năng

( )2

" "

3 201

e e e

U Ux dy

U U

ρδρ

∞ = −

∫

� Nhận xét:

Với y≥δ: Profil của vận tốc trùng với dòng lý tưởng (dòngở vô cùng)

Tích phân đến δ hay y→∞ là tươngđương


Hệ số hình dạng

� Tỷ số giữa chiều dày dịch chuyển và chiềudày động lượng

*

Hδθ

=

� Đặc tính của ‘‘hình dạng’’ đến profil vận tốc:

Giá trị khác nhau với chế độ khác nhau (tầng, rối)

Bị ảnh hưởng lớn bởi gradient áp suất theo chiềudọc


Cản cục bộ - Cản thành

� Ứng suất chiếm ưu thế là ứng suất cắt τxy

( )p

0y

Ux

yτ µ

=

∂= ∂

� Tại thành, cản thành cục bộ:

Hệ số cản cục bộ

( ) ( )21 2

pf

e

xC x

U

τρ

=


Cản nội bộ - Cản thành

� Dòng 2D:

ij

2 0

2 0

U U V U

x y y y

U V V U

y y y y

τ µ µ

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ≈

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )ij ij

2

3i j j iV V Vτ µ δ = ∂ + ∂ − ∇⋅

ur ur

ij

1

0

i j

i jδ

== ≠

Hàm Kronecker:

IV.1. Phương trìnhPrandlt

Giả thiết

� Dòng tầng 2D, các thông số vật lý khôngđổi

� Bỏ qua trọng lực

� Bỏ qua hiệu ứng thành cong:

Bán kính cong >> δ


Cácđại lượng không thứ nguyên� L: Chiều dàiđặc trưng dọc

� δ: Chiều dày lớp biên

� U0: Vận tốc của dịchchuyển đối lưu trong dòngngoài

� T: Thời gianđặc trưng

� V0: Vận tốc ngang V

1

ReL

LL

δ δ= ⇒ <<

1L

δ ε= <<


Cácđại lượng không thứ nguyên

* xx

L=

* yy

δ=

*

0

uu

U=

*

0

vv

V=

* tt

T=


Phương trình liên tục

Trong lớp biên, sự biến dạng hình học vàđộng học là cùng bậc

* *0 0

* *0 0

U Vu v u v

x y L x yδ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⇔ + =∂ ∂ ∂ ∂

0 0 0

0

1U V U L

L Vε

δ δ= ⇒ = = <<


* *

* *0

u v

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

* * * *0

0 0

; ; ;U V V x y y

u v x yL V U L Lε δ ε

= = = = = =

Phương trình liên tục


Phương trình bảo toàn động lượng

( )D VF

Dt

ρ=∑

ur

( ) 1VV V grad p V

tν

ρ∂ + ⋅∇ = − + ∆∂

urur ur ur uuuuur ur


� Theo x:2 2

2 2

1u u u p u uu v

t x y x x yν

ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2* * ** *0 0 0 0

* * *

* 2 * 2 *0 0 0

* 2 *2 2 *2

U U V Uu u uu v

T t L x y

p U Up u u

L x L x y

δ

ν νρ δ

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂

∆ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂


� Theo x:

0 0U V

L δ=

* * ** *

* * *0

* 2 * 2 2 *0

22 * *2 *20

1 1

Re ReL L

L u u uu v

U T t x y

p p u L u

U x x yδρ

∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂

∆ ∂ ∂ ∂= − + +∂ ∂ ∂

20U

L


� Theo x:

� Sự chênh áp trong môi trường “tĩnh”:2

0 0p Uρ∆ =

� Cân bằng bậc thời gian giữađối lưu vàkhuếch tán (lớp biên):

1 ReLLδ ≈


� Theo x:

� Mô phỏng “dừng”:

0 1L U T ≤

[ ][ ]

2tan 11 1

ReL

O Khuech theo y L

O Doi luu δ = ⇔ =

[ ][ ]

2tan 11

tan ReL

O Khuech theo x

O Khuech theo yε= = <<


� Theo x:

* * * * 2 ** *

* * * * *20

L u u u p uu v

U T t x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂


� Theo y:2 2

2 2

1v v v p v vu v

t x y y x yν

ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2* * ** *0 0 0 0

* * *

* 2 * 2 *0 0 0

* 2 *2 2 *2

V U V Vv v vu v

T t L x y

p V Vp v v

y L x y

δ

ν νρδ δ

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂

∆ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂


� Theo y: 0 0U V

L δ=

20U

L* * *

* *0* * *

0 0

* 2 * 2 *0

* *2 *20

1

ReL

V L v v vu v

U U T t x y

VL p v L v

y U x yδ δ

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂

( )*

2*

0p

Oy

ε∂ = +∂

*

*0

p

y

∂ =∂


Phương trình Prandlt – Không thứ nguyên

* *

* *

* * * * 2 ** *

* * * * *2

*

*

0

0

u v

x y

u u u p uu v

t x y x y

p

y

∂ ∂+ =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ =

∂


Phương trình Prandlt – có thứ nguyên

2

2

0

1

0

u v

x y

u u u p uu v

t x y x y

p

y

νρ

∂ ∂ + =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ =∂


Dòngdừng

2

2

00

1

u vux yt

p dp u u dp uu v

x dx x y dx yν

ρ

∂ ∂∂ + == ∂ ∂∂ ⇒∂ ∂ ∂ ∂= + = − +∂ ∂ ∂ ∂


2

2

0

ee

u v

x y

dUu u uu v U

x y dx yν

∂ ∂ + =∂ ∂

∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂

pe(x): áp suất bên ngoài lớp biên – pe(x) thẩmthấu vào trong lớp biên:

( ) ( ) ( ) 21onst

2e e ep x p x p x U cρ= ⇒ + =

Dòngdừng


� Phương trình dạng parabol:

Thayđổi biến hợp lý (biến Von Mises): Biến đổiphương trình Prandtl thành dạng “Phương trìnhtruyền nhiệt” với x đóng vai trò như thời gian

Elip

Navier-Stokes

Parabol

Prandtl

2 2 2

2 2 2

u u u

x y y

∂ ∂ ∂+ ⇒∂ ∂ ∂


Cácđiều kiện biên� Trên AD:

u = v = 0 (dính)

� Trên AB:

� Trên BC:

u = u(0,y)

� Giả thiết, tính toán hoặc đo lường

Nghiệm của phương trình Euler

( ) ( )*

* * * * *lim , ey

u x y U x→+∞

= * ReL

y yy

Lδ= =


Tổng hợp� Khi ReL lớn: không có sự tách thành; ảnhhưởng của nhớt được định vị tại vùng cóđộdày nhỏ gọi là lớp biên

� Ở phía ngoài:Dòng là nghiệm của phươngtrình Euler

� Trong lớp biên: 1 ReLL V Uδ = =� Trong lớp biên: Dòng là nghiệm củaphương trình Prandtl


Tính toán

� Dòng xung quanhvật thể: Mô hình Euler � Thành làđường dòng

� Lớp biên: Mô hình Prandtl – với pe(x,0) vàUe(x,0) là nghiệm của mô hình Euler

� Dừng lại ở bước 2 hoặc giải tiếp mô hìnhEuler của dòng quanh vật thể với chiều dàydịch chuyển tínhở bước 2 � Lặp

IV.2. Phương trình tíchphânVon Karman

� Phương trình liên tục:

� Phương trìnhđộng lượng:

0 00

u vdy dy

x y

δ δ∂ ∂+ =∂ ∂∫ ∫ ( )

0

uv dy

x

δδ ∂

⇒ = −∂∫

2u u u u u v u uvu v u v u

x y x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )

2

0 0 0 0

1 32 4

1ee

dUu uvdy dy U dy dy

x y dx y

δ δ δ δ τρ

∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

Bảo toàn theochiều dày δ


� Phương trình động lượng:

( ) ( ) ( ) ( )

2

0 0 0 0

1 32 4

1ee

dUu uvdy dy U dy dy

x y dx y

δ δ δ δ τρ

∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )0 0

2 0

e e

u v

u uU x dy U dy

x x

δ δ

δ δ= −∂ ∂= − = −∂ ∂∫ ∫

( ) ( )0

14 py

δ ττ

ρ ρ= = −


2

0

p ee e

dU u uU U dy

dx x x

δτρ

∂ ∂⇒ = + − ∂ ∂

∫

( )e ee

U u UuU u

x x x

∂ ∂∂ = −∂ ∂ ∂

( )2

0 01p e

e ee

dU uU dy uU u dy

dx U x

δ δτρ

∂⇒ = − + − ∂

∫ ∫


( )2

0 01p e

e ee

dU uU dy uU u dy

dx U x

δ δτρ

∂⇒ = − + − ∂

∫ ∫

( ) ( ) ( )0 0

x xd f dfdy dy f

dx x dx

δ δ δδ∂= +∂∫ ∫

( ) ( )2 2

0 0e e

duU u dy uU u dy

x dx

δ δ∂⇒ − = −

∂∫ ∫

Với:


2

0 01 1p e

e ee e e

dU u d u uU dy U dy

dx U dx U U

δ δτρ

= − + −

∫ ∫

* 2p ee e

dU dU U

dx dx

τδ θ

ρ ⇒ = +

Tìm τp theo định nghĩa chiều dày dịch chuyểnvà chiều dày động lượng

Bài tập lớn

Gợi ý - Bài toán Blasius

� x: Thangđơn vị duy nhất đặc trưng cho bài toán

Lớp biên trên thành mỏngLớp biên trên thànhmỏng có vận tốc ngoàiUe. Tìm cácđặc trưngcủa lớp biên.

� Cân bằngđối lưu/khuếch tán� Đặt: ( )y g xη=

( ) ( ),'

e

u x yf

Uη= g(x): Đặc trưng cho tiến triển đô dày

của lớp biên. Ví du: ( ) ( )10,99 ' 0,99f g xδ −= ⋅

Bài tập lớn

Dùng phương pháp tích phân

� 4 bước của phương pháp tích phân:

• Chọn dạng của profil không thứ nguyên f=u/Ue

• Quyđịnhđiều kiện biên

• Tínhδ*/δ; θ/δ; τpδ/µUe

• Thay thế vào phương trình tích phân và giải với1 biến duy nhất δ

Bài tập lớn – Giải

� Đổi cácđại lượng chưa biết vê dạng hàm dòngΨđê thỏa mãn trực tiếp phương trình liên tục:

� Thực hiện việc đổi hê tọađô (x,y) � (x’, η)

' '

' '

' 1

'

x g

x x x x x g

x

y y x y g

η ηη η

ηη η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u vy x

∂Ψ ∂Ψ= =−∂ ∂

( )

'x x

y

g xη

= =


ChọnΨ(0) = 0

( ) ( ),'

e

u x y dff

U dη

η= = ( )1

'eU fy g

ηη

∂Ψ ∂Ψ⇒ = =

∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )', ',0 ex x U g x fη η⇒Ψ −Ψ =

( ) ( ) ( )', ex U g x fη η⇒Ψ =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

', '

', ' ' ' ' '

e

e

u x U f

v x U g x f n g x f

η η

η η η

=⇒

=− −

Trường vận tốc:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )', ' ', ' ' ' ' 'e eu x U f v x U g x f n g x fη η η η η = =− −

( )' '' ''

' e e

u g gU f U f

x x g g

η ηη

∂ ∂ ∂= − =− ∂ ∂ ∂

( )1' ''e

e

UuU f f

y g gη∂ ∂= =∂ ∂2

2 2

1'' '''e eU Uu

f fy g g gη

∂ ∂= = ∂ ∂

Các vận tốc:

Cácđạo hàm:


2

2

u u uu v

x y yν∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

Phương trình Prandtl:

[ ] 2

2

2

'' '' ' ' ' '' '''

''' '''

''''

''

e ee e e

e e

e

U UgU f U f U g f g f f f

g g g

U g Uff f

g g

U fgg

ff

υη η

ν

ν

⇒ − − − =

⇒− =

⇒ =−


Phương trình Prandtl:

''''

''eU f

ggffν

=−

Do biến độc lập, phương trình trên chỉ thỏa mãn khi:

'eUgg K const

ν= = '''

''

fK const

ff− = =

( ) ( )20

2 2

e e

K Kg x x const x x

U U

ν ν⇒ = + = −


Lớp biên vô cùng nho tại x=0 (mép vào) nên x0=0

( ) ( ) ( ),

'e

u x y yf

U g xη η= =

( ) ( )20

2'e

e

U Kgg K const g x x x

U

νν

= = ⇒ = −

K = const � Chọn K=1/2Nghiệm:

( ) ( ) ( )2 ''' '' 0 0 ' 0 0 lim ' 1f f f f f fη

η→+∞

+ ⋅ = = = =

( )Ree x

x xg x

U

ν= =

Pope (2000)

y/g(x)

Nghiệm Blasius


Tính ổn định nghiệm Blasius

'

'Blasius

Blasius

u u u

v v v

= += +

Phân tíchổn định tuyến tính cổ điển (mạchđộng 2D):

Bỏ qua tiến triển theo x của trường cơ bản

( ) ( )

( ) ( )

'

'

i kx t

i kx t

u u x e

v v x e

ω

ω

−

−

=

=với

k: số bước sóngω: mạch động

Phân tích theo thời gian: ω=ωr+iωi

� Ổn định: ωi < 0� Khôngổn định: ωi > 0


Tính ổn định nghiệm BlasiusNghiệm của phương trình tuyến tính:

5Re 5 10

302

ecrit

ed

e

U x

U dR

d x U

ν

νν

⋅= = ⋅

⋅= =

= ⋅

� Khi đạt Recrit � Bước sóng khôngổn địnhđầu tiênλcrit=2π/kcrit� Bắt đầu quáđộ sang rối

Prandtl p133


Cácđặc trưng của lớp biên

( )0,99 4,92

Rex

x

x

δ=

� Các chiều dàyđặc trưng:

( ) ( ) ( )0

'' 0 '' 0e ep

ey

U Uux f f

y g x Uτ µ µ µ

ν=

∂= = = ⋅ ⋅∂

� Ma sát trên thành:

( )* 1,72

Rex

x

x

δ= ( ) 0,664

Rex

x

x

θ=

( ) ( )2

'' 0Re

ep

x

Ux f

ρτ ⋅⇒ = ⋅ ( ) ( ) ( )

2

2 '' 0 0,664

12 Re Rep

fe x x

x fC x

U

τρ

⇒ = = =⋅

Gradient ở thành giảm khi đô dày lớp biên tăng


* 2p ee e

dU dU U

dx dx

τδ θ

ρ = + Phương trình Karman:

Thay Ue=const vào ta có:

2 2p f

e

Cd

dx U

τθρ

= =

Lực ma sát trên một đơn vị dài trên một mặt củathành mỏng: Giả thiết θ(0)=0

( ) ( )2 2

00

L L

p e eF dx U x U Lτ ρ θ ρ θ= = =∫



� Phương pháp tích phân làm xuất hiện 3 đại lượngđộc lập δ*, θ và τp. Các đại lượng này liên quan đến độ dàyδ(x) với giả thiết profil vận tốc:

( )e

u yf

U xδ

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

*

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

e

e e

ep

y y

x u U dy x f d

x u U u U dy x f f d

Uu dfx

y x d

δ δ

δ δ

δ δ η

θ δ η

µτ µδ η= =

= − = −

⇒ = − = − ∂= =

∂

∫ ∫

∫ ∫



Thành mỏng – plaque plane:• Đặt: δ*/δ=a; θ/δ=b; τp=c(µUe /δ)

• Nếu δ(0)=0, ta tìm được biến thiên của độ dày lớp biêntheo căn bậc hai của khoảng cách:

2 ee

UdU b c

dx

µδρδ

⋅ = ⋅ 2e p

dU

dx

θρ τ ⇔ =

( ) ( )2 2 20

e e

d c cx x

dx U b b U

δ ν νδ δ δ ⇒ = ⋅ ⇒ − =

( ) ( ) ( )* *2 2 2

Re Re Rex x x

x x xc b a c b a c b aH

x x x b

δ δ θ δθ

⋅= = = = =


H: Hệ số hình dạng


Tổng hợp các kết quả - thành mỏng

� Phương trình Von Karman phụ thuộc vàoδ*, θ và τp

� δ chỉ là biến trung gian để tính toán. δ phụ thuộc vào sự lựachọn profil ban đầu. Sự chênh lệchđáng kể củaδ giải thíchtính phức tạp trong việc định nghĩa ranh giới của lớp biên

2,590,330,661,724,92Blasius

2,540,330,691,755,842η-2η3+η4

2,640,330,661,744,80Sin(η π/2)

( )Rex

x

x

δ ( )*

Rex

x

x

δ ( )Rex

x

x

θ *

Hδθ

=( )

2Rep

xe

x

U

τρ

IV.3. Nghiệm tương tự - Falker và Skan

Nghiệm tương tự

� Bài toán lớp biên Blasius:

( )y g xη=( ) ( ),

'e

u x yf

Uη=

Giải tương tự bằng phương pháp tíchphân: Chọn biến tương tự η và chọndạng của profil không thứ nguyênu(x,y)/Ue

� Bài toán Blasius↔dòng qua nêmđối xứng

• Gócở đỉnh nêmβπ=2m/(m+1)

• Ue(x)=k.xm

Bài toán Falker-Skan

Dòng lý tưởng qua nêm– Phânloại


m=0

Bài toán Blasius

0<m<1

Falker-Skan

m=1

Thành đứng

Vận tốc: Ue(x)=k.xm

Dòng lý tưởng qua nêm–Đặc trưng� Hàm thế: F(z)=A.zm+1 (AϵR)

� Hàm dòng:Ψ=Im(F(z))=A.rm+1sin[(m+1)θ]


� Đường dòng:Ψ=0 ↔ r=0 hay (m+1)y=nπ• Trục ngang: n=1 và y=π/(m+1)

• Thành nêm: n=0 và n=2

• Gócở đỉnh nêm: βπ=2π-2π/(m+1)=[2m/(m+1)]π

� Vận tốc: Trên trục 0x với θ=0 và r=x

( ) [ ]Re 1 os mm me e

dFU A m r c U kx

dzθ = = ⋅ + ⋅ ⇒ =

Dòng lý tưởng qua nêm– Nghiệm tương tự


� Giải tương tự bài toán Blasius� Nghiệm tương tự

( )( ) ( ),

me

u x y yf

U x g x

=

( ) ( )

( )

( ) ( )1 2 1

1 1m

e

xg x x

m k m U x

ν ν− ⋅= ⋅ =+ +

• m=0 � Nghiệm Blasius

• m tăng, mϵ[0,1] � lớp biên dày lên của với x hãm: (1-m)/2→0 � dpe/dx<0 (gradient áp suất thuận)

• m =1 � Lớp biên có chiều dày không đổi

Nghiệm Hiemenz – Nghiệm chính xác của phương trìnhNavier-Stokes

kδ ν≅

Tách thành

Chỗ gồ ghề phía trước điểm tách thànhở trạng thái tầng chophép quáđộ đến dòng rối (Cliché H. WWerlé, ONERA)

Lớp biên tầng Lớp biên rối

IV.4. Tách thành - Phương pháp tích phân gần đúng

Vùng tách thành lại của lớp biên rối xung quanh vật cómũi gần như phẳng (Cliché H. WWerlé, ONERA)

Tách thành/Bám thành lại

Tách thành

Thành có góc cạnh khá lớn, lớp biêntách thành tại góc

� Trên thành cong thường nhận thấy:1. Tách thành2. Bất ổn định vùng tách thành - sự hòatrộn của không khí vào vùng bất ổn định3. Sự hòa trộn � Dòng quay trở lại khá lớn � Vùng táchthành có thể khép lại � việc tách thành lại4. Lớp biênở phía sau kháng lại sự tách thành tốt hơn do dòng là rối

Chú ý: Các vùng trên hiếm khi khép kín� dòng 3D

Bám thành/Tách thành lại

� Tách thành phụ thuộc vào:• Cường độ gradient áp suất • Lớp biên• Trạng thái của lớp biên (tầng hay rối). Ở trạng thái rối, lớp biên bám trụ tốt hơn

� Thành cong - khóđiều khiển sự tách thành

Tách thành

� Gradient áp suất làmđảo ngược chiều củađối lưu• Dòng dừng 2D: Điềukiện tách thành là lựcma sát = 0

• Dòng 3D: Điều kiệntách thành rất phức tạp

00

yU y

=∂ ∂ =

Định nghĩa

� Tách thành dẫn đến nhiễu động và thayđổi hoàntoàn dòng ngoàiVí dụ: Trụ tròn – Tách thành tạiRe=1,9.105 tại vùng có gradient ápsuất thuận

Tách thành

� Tách thành làm xoáyđược vận chuyển đến trungtâmcủa dòng mà lúcđầu được coi là không xoáy

� Lớp tách thành bị cắt � Xuất hiện khôngổn địnhdạng Kelvin-Helmoltz (đối lưu tự nhiên)

� Dòng quay lại được hình thành sau vật thể (vậtdày) � Xuất hiện vết khôngổn định (tự nhiên)

Ảnh hưởng của tách thành

Ví dụ: Sự cản của vật dày – Hình cầu

Phân bố áp suất xung quanh vật

Sự sụt lực cản phụthuộc nhiều vào số Recrit

Giá trị của áp suất phíasau được cố định tại vịtrí tách thành

Sự tách thành là nguyênnhân chính của sự cản

Phân bố áp suất cản lớn hơn nhiều so với tổng hợpứng suất nhớt tiếp tuyến dọc theo thành

Tách thành

Hệ số lực cản theo số Re sosánh với chế độ Stokes

Vùng (0): Chế độ Stokes

Vùng (1): Điểm tách thành hơi dịch chuyển. Sự phân bố ápsuất luôn không đổi trong khi chênh áp tỉ lệ với bình phươngvận tốc. Hệ số lực cản gần như là không đổi

Vùng (2): Sự thay đổi chế độ của lớp biên [tầng tại (1), rốitại (2)]. Điểm tách thành bị đẩy

Sự quá độ có thể là tự nhiên hoặc sinh ra do tính gồ ghềnhân tạo

Ví dụ: Sự cản của vật dày – Hình cầu

Tách thành

Gradient áp suất� Vai trò của gradient áp suất:

• dpe/dx<0 hay dUe/dx>0 (thuận): Ảnh hưởng của áp suấtlà ‘‘ điểm tựa’’ của lực quán tính (VD: Mép vào)• dpe/dx>0 hay dUe/dx<0 (nghịch): Lực quán tính phảicân bằng giữa áp suất và nhớt (cùng hướng)

� Có thể xảy ra tách thành nếu cườngđộ củagradient áp suất là đủ lớn hoặc nếu nóđược duy trìđủ lâu

� Tiếp cận ảnh hưởng của gradient áp suất bằngphương pháp tích phân

Phương pháp Polhausen

� Chọn đa thức bậc 4 cho profil vận tốc:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4,

e

u x ya x b x c x d x e x

Uη η η η= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Điều kiện biên:

( ),0 0 0u x a= ⇒ =

( ) ( )2

2, 0 , 0

u ux x

y yδ δ∂ ∂= =

∂ ∂

( ) ( )2

2,0 0 ,0 e eU dUu

v x xy dxν

∂= ⇒ =−∂

( ) ( ), eu x U xδ =

Phương pháp tích phân gần đúng

� Sau khi tính toán – P.Chassing:

� Λ là thông số dạng. Λ=0 trong trường hợp thànhphẳng. Λ>0 nếu gradient áp suất thuận vàΛ<0 nếu ngược lại

( )( ) ( ) ( ) ( ),

e

u x yF x G

U xη η= +Λ

( )( ) ( )( ) ( )

3 4

2 3 416

2

2 2

3 3

e

F

G

x dUx

dx

η η η η

η η η η η

δν

= − +

= − + −

Λ =




� Bỏ qua ma sát nếuΛ=-12. Với những giá trị nhỏ hơn, lý thuyết của Polhausen dự đoán được sự táchthành của lớp biên.

( )0 0 0e edU dpThuan

dx dxΛ> ⇔ > ⇔ <

( )0 0 0e edU dpNghich

dx dxΛ< ⇔ < ⇔ >

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' 0

' 0 ' 0 0 12' 0

ep

FUF x G x

G

µτδ = +Λ = ⇔Λ =− =−

( ) ( ) ( )3 4 2 3 4162 2 3 3F Gη η η η η η η η η= − + = − + −



( )( ) ( ) ( ) ( ),

e

u x yF x G

U xη η= +Λ ( ) ( )2

ex dU

xdx

δν

Λ =

F và G F + Λ(x)G

� Phương pháp Polhausen� hiểu ảnh hưởng gradient ápsuất ngoàiđến profil vận tốc (mô hình) trong lớp biên


Phương pháp Falker-Skan� Rẽ dòng (θ, déviation) và dòng qua khúc quanh (γ , contourmement), θ=γ, với cùng hàm thế F(z)

• Điều kiện biên g(x=0)=0 do lý thuyết lớp biên không đượcnhắc đến

• Rẽ dòng: nghiệm không giải thích được ý nghĩa vật lý do sự hãmdòng phía trước điểm 0 được diễn giải bởi gradient áp suất nghịch (dpe/dx>0) hay tách thành


Phương pháp Falker-Skan� Dạng của profil không thứ nguyên vận tốc fm:

• ‘‘Thon’’ v ới m>0

• Các họ nghiệm khác tồn tại cũng không giải thích được ý nghĩa vật lý một cách rõ ràng

• Tách thành dự đoán tạiγ=π/(m+1)=198°

• Giảm tốc mạnh nhấtkhông có dòng quay lại tạime=-0,0904 (nhỏ)


Phương pháp Falker-Skan� Đặc trưng của profil vận tốc

• ‘‘phía trên’’ của lớp biên, u(x,y) tiến tới Ue(x) với giá trị nhỏ hơn

• Tại thành:

ukhi y

yδ∂

⇒ ↓ →∂

2

20

ukhi y

yδ∂

⇒ < →∂

2 2

2 2

0

1 e e ee

y

dp dp dUu u u uu v U

x y dx y y dx dxν µ ρ

ρ =

∂ ∂ ∂ ∂+ =− + ⇒ = =−∂ ∂ ∂ ∂


Phương pháp Falker-Skan� Đặc trưng của profil vận tốc tại thành:

� Tính lồi của profil � Gradient áp suất thuận (a)

� Điểm uốn tại thành với dpe/dx=0 (b)

� Điểm uốn trên profil với gradient áp suất nghịch(dpe/dx>0) (c) và (d)-tách thành


Ảnh hưởng của gradient áp suất

� Ảnh hưởng của gradient áp suất đến tínhổn địnhcủa lớp biên:

• Gradient áp suất thuận� lớpbiênổn định

• Gradient áp suất nghịch� điểm uốn trên profil

� Tính khôngổn định với số Recrit nhỏ hơn nhiều

� Dải bước sóng khôngổn định là lớn

( )e

xd

U x

ν ⋅=2 2

e e

e

dp dU

U dx dx

δ δµ ν

Λ=− =


� Các kết luận trênđược giải thích thông qua xoáy

2

2

Doi luu tan

z z z

Khuech

u vx y y

ω ω ων∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

• Tại δ, dòng là không xoáy nênωz(x,δ)=0

• Tại thành:2

2

1 edpu u uu v

x y dx yν

ρ∂ ∂ ∂+ =− +∂ ∂ ∂

2

200

e eze

yy

dp dUuU

y y dx dx

ωµ µ ρ==

∂∂⇒− =− =− =+

∂ ∂

Lớp biên 2D � ωz(x,y):


� Gradient áp suất cố định� giá trị và dấu củathông tượng khuếch tán xoáyđược truyền đến thành

Không tính đến ảnh hưởng của dòng 3D

Documents

MFR_2011-2012 - IV - Lop Bien Tang Hai Chieu Khong Nen Duoc