Modul Polinomial New

7/25/2019 Modul Polinomial New

1/23

Wardaya College

2014 Departemen Matematika Kelas XI Semester I

POLIOMI!L

Wardaya CollegeDepartemen Matematika 2014

!" D#$IISI

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel(peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative.

Bentuk umum :

y = F(x) = a0xn a!xn"! a#xn"# $ an"!x an

%eterangan :

& ' bilangan aah

a0 a! a#$ an"! an adalah konstanta dan an* 0

bilangan n disebut derajat suku banyak

Bentuk penulisan suku banyak disusun dengan pangkat yangtertinggi diletakan pada urutan paling depan sedangkan pangkat yanglebih keil berada di sebelah kanannya.

+ontoh : ,olinom 8x3+6x2+4x+1 bukan 6x

2+8x3+4x+1

Bentuk8x

3+6x2+3x+ 1

x4

bukan polinom karena terdapat pangkat

1

2 dan "!

%" IL!I S&K& %!'!K-engan menuliskan suatu suku banyak sebagai ungsi (x) nilai suatusuku banyak itu untuk x = k adalah (k). &ilai (k) dapat diari denganmenggunakan dua ara yaitu :!. +ara substitusi

+ontoh : -iketahui(x) = #x/x1"/x#x 2 3 tentukan nilai ungsi jikanilai x = "#4

5a6ab : ("#) = #("#)/ ("#)1 /("#)# ("#) 2 3

("#) = " 1/

#0!178atematika %elas 9 Semester

()*)an pem+ela*aran,

Setelah mempelajari bab ini sis6a diharapkan mampu:

8emahami konsep dasar tentang limit

8ampu menggunakan siat"siat limit dalam pemeahan masalah

8ampu menggunakan konsep limit dalam menyelesaiakan berbagai

masalah


2/23


3/23


= x(#x# x 2 !) x#(#x# x 2 !)

2 #x (#x# x 2 !) ! (#x# x 2 !)

= #x/ x12 x #x1 x2 x#

" 1x

2 >x#

#x #x#

x 2!

= #x/ /x12 #x 2 /x# /x 2 !

D" K#S!M!! D&! S&K& %!'!KSuatu suku banyak dikatakan sama jika keduanya mempunyai derajatyang sama dan koe


4/23


5ika suku banyak berderajat n dibagi dengan (ax b) maka sisanya S =

(ba) .

Sisa S =

(b

a

)adalah nilai suku banyak untuk x =

b

a yang dapat

ditentukan dengan strategi substitusi atau metode ;orner

Conto! 1:

?entukan sisanya jika (x) = #x2 x# 3x > dibagi x !atau dibagix ("1)

#a$a%: sisanya adalah :

F("!) = #.("!) 2 ("!)# 3("!) >

= " # 2 ! 2 3 >

= "1

Conto! 2 : ?entukan &i&a dan !a&il %aginya jika #x " 3x# !!x /dibagi #x " !

#a$a%:

%ita gunakan pembagian !orner

#x

" 3x

#

!!x / dibagi (#x 2 !) @x =

1

2

# "3 !! /

1

2 ! " 1

# "> A

%oe


5/23


6/23


x1+x

2 x

3=ba

x1. x

2 .x

3=d

a

x1x

2+x

2x

3 x

1x

3=c

a

2" Dera*at #mpat

5ika diketahuix

1, x

2, x

3 danx

4 adalah akar"akar dari persamaan :

ax3+bx2+cx+d=0 dimana a 0

8emiliki hubungan sebagai berikut :

x1+x

2+x

3+

x

4=ba

x1. x

2. x

3.

x

4=e

a

K#-.!K!L!8 SO!L %#-IK&( D#! %#!-:

o Soal Sol)si! Salah satu akar persamaan

x45x3+5x2+5x6=0 adalah #.

5umlah akar 2 akar yang lain dari

persamaan tersebut adalah$

SPM% M!( IP! 200;5

. >B. /



7/23


+. 1-. G. #

# 6x1005x75+4x52+3x17+2

x+1=g (x )+ r

x+1

maka nilai r adalah$

SIP 15

. 0B. 1+. !1-. !>G. #0

&ilai m n yang mengakibatkan

x46 ax3+8a2x2ma3x+na4 habis

dibagi (x2)2

adalah$.

SMP( M!( IP! 200=5

. #B. !+. 0-. "!G. "#

15ika a

2

dan b adalah akar"akar

persamaan kuadratx

2(b21 )x+b=0

himpunan nilai a b = ..

SMP( M!( IP! 200=5

. H" 0 ! #IB. H"# 0 ! I+. H"! 0 # I-. H"# "! 0 ! IG. H"# "! 0 I

/5ika 2x

35x2kx+18 dibagi x " !

mempunyai sisa !0 maka nilai k

adalah$.

SMP( M!( IP! 20125

. "!/B. "/+. 0-. #G. /

> -iberikan suku banyak ,(x) =

ax2+bx+1 jika a dan b dipilih seara

aak dari selang J0 1K maka peluang

suku banyak tersebut tidak mempunyai



8/23


akar real adalah$.

SMP( M!( IP! 20125

. 0

B.1

3

+.2

3

-.5

6

G. !3

-iketahui (x) = ax3+bx+ (a+b ) dibagi

dengan x23x+2 besisa x ! maka

nilai dari a 2 b = $.

SPM% M!( IP! 200?5

. "!B. 0+. !-. #G. 1

A-iketahui ,(x) = ax

5+bx1 . dengan a

dan b konstan. 5ika ,(x) dibagi (x 2 #0!0)

bersisa > jika ,(x) dibagi (x #0!0)akan bersisa$

SIM!K &I 20105

. "AB. "#+. "!-. !G. A

5ika suku banyak ax

3+2x2+5x+b

dibagi x21 menghasilkan sisa >x

/ maka a b =$.

SIM!K &I 20105

. !/B. !#+. !0-. AG. /

!0Suku banyak (x) = x

3+ax2bx15

dibagi dengan (x 2 #) memberikan hasil

bagi x2+4x+11 dan sisa 3. &ilai a b



9/23


= $

&M &M M!( IP! 200;5

. "!B. 0+. !

-. #G.

!!5ika suku banyak 2x

3p x2+qx+6 dan

2x3+3x24x1 mempunyai sisa

sama apabila dibagi oleh x ! maka

nilai p L = $

SPM% M!( IP! 200?5

. "#B. "!

+. 0-. !G. #

!# -iketahui suku banyak derajat tiga

dengan koe5

. "AB. "3+. "!#-. 0G. 3

!-iketahui p(x) = ax

5+bx1 dengan a

dan b konstanta. 5ika p(x) dibagi dengan

(x 2 #00>) bersisa maka p(x) dibagi

dengan x 2 #00> akan bersisa$

SPM% M!( IP! 200>5

. "!B. "#+. "-. "1G. "/

!1 -iketahui p(x) =

x

(x1 )(2x2)q (x )+ax+b

dengan

L(x) suku banyak . jika p(x) = dibagi

dengan (x !) bersisa !0 dan jikadibagi dengan (x 2 !) bersisa #0 maka



10/23


p(x) dibagi dengan (x 2 #) bersisa$.

SPM% M!( IP! 200>5

. "!0B. 0+. /

-. !/G. #/

!/5ika v(x) = dibagi oleh x

2x dan

x2+x masing"masing bersisa /x !

dan x !. 5ika v(x) dibagi dengan

x21 maka akan bersisa$

SK!L& 1


11/23


B. 1 atau "1+. atau "-. # atau "#G. ! atau "!

! Suatu suku banyak berderajat tiga habis

dibagi x "! dan x 2 #. 5ika dibagi denganx ! bersisa # dan dibagi dengan x

bersisa #. suku banyak itu adalah$

SIP#M!-& 15

. (x) = x3x2+2x+2

B. (x) =2

3x

3

x25

3x+2

+. (x) =23x

33x2+5

3x+2

-. (x) = 2x33x2+x+2

G. (x) = x3x22x+2

#05ika 2x

3ax2+48xb habis dibagi

(x3)2 maka a b adalah$.

SIM&L!SI SPM%5

. # "! !

B. # "! "!+. "# ! !-. "# "! !G. # ! "!

#!-iketahui h(x) = x

2+3x4 merupakan

salah satu ator dari g(x) =

x4+2x3a x214x+b . 5ika g(x) dibagi

dengan x ! akan bersisa$.

SPM% M!( IP! 200>5

. 0B. +. -. !#G. #1

## 5ika salah satu akar suku banyak (x) = 0

adalah a maka salah satu akar

(x2+3x+6 ) f(x+2 )=0 adalah$.

SPM% M!( IP! 200>5

. a #

B. a +. a 2



12/23


-. #aG. a 2 #

# Salah satu akar persamaan

x45x3+5x2+5x6=0 adalah #.

5umlah akar 2 akar yang lain daripersamaan tersebut adalah$

SPM% M!( IP! 200;5

!" >%" /C" 1D" #" #

#1-iketahui (x) = x

5+ax2+bx+a+b

habis dibagi

x21

. 5ika suku banyak

itu dibagi x3x adalah$

SIM&L!SI SPM% 5

. x21

B.2

3x

2

3

2x+

1

2

+.2

3(x21)

-. x

22

3x+1

G.2

3x

2+2

3

#/ 5ika akar"akar persamaan

x314x2+px+q=0 membentuk deret

geometri dengan rasio #maka nilai p

L adalah$.SIM&L!SI SPM%5

. />B. ">1+. "A-. !#0G. !0



13/23


K&CI .!W!%!

!. Salah satu akar persamaan x45x3+5x2+5x6=0 adalah #

Nunakan teorema horner : # ! "/ / / ">

# "> "# > ! ! " "! 0

! "# " ! "# " 0

5adi x4

5x3

+5x2

+5x6=(x2 ) (x1 )(x2

2x3 ) = (x2 ) (x1) (x3 )(x+1)

kar 2 akarnya adalah "! ! # .5umlah akar 2 akar lainnya adalah "! ! = (5a6aban -)

#. -ik6x

1005x75+4x52+3x17+2x+1

=g (x )+ r

x+1 ( kedua ruas kalikan dengan (x

!) )

6x1005x75+4x52+3x17+2=g (x ) (x+1 )=r

Substitusikan x = "! sehingga :

6(1)1005 (1)75+4 (1)52+3 (1)17+2=g (x ) (1+1 )+r

> / 1 2 # = 0 rr = !1 (5a6aban +)

. -ik &ilai m n yang mengakibatkan x46 ax3+8a2x2ma3x+na4 habis

dibagi (x2)2

adalah O

1. 5ika a2

dan b adalah akar"akar persamaan kuadrat x2(b21 )x+b=0

himpunan nilai a bngat rumus jumlah dan kali akar"akar persamaan kuadrat :



14/23


x1+x

2=ba

a2+b=

(b21 )1

=(b21) $.(!)

x

1+x

2=c

a

a2b=b

a2bb=b (a21 )=0

b = 0 atau a2=1

b = 0 atau a = !

substitusikan a2

=1 ke pers (!) sehingga :

1+b=b21

b2b2=0

(b 2 #)(b !) = 0b = # atau b = "!(i) &ilai a b dimana a = ! adalah :

a b = ! 0 = !a b = ! # = a b = ! 2 ! = 0

(ii) &ilai a b dimana a = "! adalah :a b = "! 0 = "!a b = "! # = !a b = "! 2 ! = "#

5adi himpunan nilai a b adalah H"# "! 0 ! I

Pang memenuhi adalah option -

/. -ik 5ika 2x35x2kx+18 dibagi x " ! mempunyai sisa !0. &ilai kO

F(!) =2

(1

)

3

5

(1

)

2

k(1

)+18

=10

# 2 / 2 k !A = !0k = !/ 2 !0 = / (5a6aban G)

>. -iberikan suku banyak ,(x) = ax2+bx+1 jika a dan b dipilih seara aak

dari selang J0 1KSyarat akar tidak real adalah - Q 0 :

b24a


15/23


F(x) = ;(x) ,(x) S(x)x

(23x+2)H(x )+(x+1)

ax3+bx+(a+b )=

ax3

+bx+ (a+b )=H(x ) (x2 ) (x1)+(x+1)

Substitusikan x = ! sehingga :

a+b+(a+b )=0+(1+1)

2a+2b=2a+b=1 +,,(!)

Substitusikan x = # sehingga :Aa #b a b = 0 A !a b = a b = $..(#),ers (#) kurangkan dengan pers (!) sehingga diperoleh :#a = # a = !

5ika a = ! maka b = 05adi a 2 b = ! 2 0 = ! (5a6aban +)

A. -iketahui ,(x) = ax5+bx1 . dengan a dan b konstan. 5ika ,(x) dibagi (x

2 #0!0) bersisa > jika ,(x) dibagi (x #0!0) akan bersisaO

(i) ax5+bx1= (x2010 )H(x )+6

Substitusikan x = #0!0 :

a(2010)5+b (2010)1=(20102010 )H(x )+6

a(2010)5+b (2010)1=(20102010 )H(x )+6

(2010)5a+(2010)b1=0+6

(2010)5a+ (2010 )b=1+6=7 $.(!)

(ii) ax5+bx1= (x+2010 )H(x )+c

Substitusikan x = "#0!0

a(2010)5+b(2010)1=0+c

(2010)5a(2010 ) b=c+1

{(2010)5a+(2010 ) b}=c+1

7=c+1

c= -

5adi jika ,(x) dibagi x #0!0 adalah "A (5a6aban +)

. -ik 5ika suku banyak ax3+2x2+5x+b dibagi x

21 menghasilkan sisa

>x / a b Ongat :F(x) = ;(x),(x) S(x)



16/23


x

(21)+6x+5ax

3+2x2+5x+b=H(x )

ax3+2x2+5x+b=H(x ) (x+1 )(x1)+6x+5

Substitusikan x = ! sehingga:

a(1)3+2(1)2+5 (1)+b=H(1 ) (1+1 )(11)+6(1)+5

a+2+5+b=0+6+5

a b = 1 $..(!)substitusikan x = "! sehingga :

a(1)3+2(1)2+5(1)+b=H(1) (1+1 )(11)+6(1)+5

"a # 2 / b = "!"a b = #$.(#)

,ers (!) dijumlahkan dengan pers (#) sehingga diperoleh :#b = > b =

5ika b = maka a = !5adi a b = ! () = !0 (5a6aban +)

!0.-ik Suku banyak (x) = x3+ax2bx15 dibagi dengan (x 2 #)

memberikan hasil bagi x2+4x+11 dan sisa 3.

F(x) = ,(x). ;(x) S(x)

x2+4x+11

x3+ax2bx15=(x2 ) ) 3

x3+ax2bx15=x3+4x2+11x2x28x22 3

x3+ax2bx5=x3+2x2+3x15

-ari persamaan diatas diperoleh a = # dan b = "5adi a b = # (") = "! (5a6aban )

!!.-ik 5ika suku banyak 2x3p x2+qx+6 dan 2x

3+3x24x1 mempunyai

sisa sama apabila dibagi oleh x ! .ngat F(x) = ,(x). ;(x) S(x)8isalkan sisanya adalah maka :

(i) 2x3p x2+qx+6= (x+1 )H(x )+c

Substitusikan x = "! :"# 2 p 2 L > = 0 p L = 1 2 $.(!)

(ii) 2x3+3x24x1=(x+1 )H(x )+c

Substitusikan x = " ! :"# 1 2 ! = = 1$.(#)

substitusikan pers (#) ke pers (!) sehingga diperoleh :

p L = 1 2 1 = 0 (5a6aban +)



17/23


!#.-iketahui suku banyak derajat tiga dengan koe

F(x )=x37x6

F(2 )=(2)37 (2 )6=8146=12 (5a6aban +)

!.-iketahui p(x) = ax5+bx1 dengan a dan b konstanta. 5ika p(x) dibagi

dengan (x 2 #00>) bersisa maka p(x) dibagi dengan x #00> akan

bersisaO

ax5

+bx1= (x2006 )H(x )+3

Substitusikan x = #00>

a(2006)5+2006b1=(20062006 )H(2006 )+3

(2006)5 a+2006b1=3

(2006)5a+2006b=4 +,,(!)

Substitusikan x = " #00>8isalkan sisa pembagian oleh (x #00>) adalah

a(2006)52006b1= (2006+2006 )H(2006 )+c

(2006)5a2006b=1+c

(2006)5 a+2006b=1c

4=1c

. / " (5a6aban G)



18/23


!1.-iketahui p(x) =

x

(x1 )( 2x2)q (x )+ax+b

dengan L(x) suku banyak .

jika p(x) = dibagi dengan (x !) bersisa !0 dan jika dibagi dengan (x 2 !)

bersisa #0 maka p(x) dibagi dengan (x 2 #) bersisa O

p(x) =

x

(x1 )( 2x2)q (x )+ax+b

p(x) = (x1 ) (x+1 )(x2)q (x )+ax+b

p("!) = "a b = !0$$(!)p(!) = a b = #0$..(#)pers (!) pers (#) sehingga diperoleh :#b = 0 b = !/

5ika b = !/ maka didapatkan a = /

,ersamaan untuk p(x) :p(x) = (x1 ) (x+1 )(x2)q (x )+5x+15

p(x) dibagi oleh x 2 # maka :p(#) = /(#) !/ = #/

5adi p(x) dibagi oleh x 2 # bersisa #/ (5a6aban G)

!/.-ik 5ika v(x) = dibagi oleh x2x dan x

2+x masing"masing bersisa /x

! dan x !. 5ika v(x) dibagi dengan x21 maka akan bersisa O

R(x) = (x2x )H(x )+5x+1

R(!) = (121 )H(1 )+5 (1)+1

R(!) = >$.(!)

R(x) = (x2+x )H(x)+3x+1

R("!) = ((1)21)H(1 )+3(1)+1

R("!) = "#$.(!)

5ika v(x) dibagi dengan x21 :

R(x) =

(x21 )H(x )+ax+b

R(x) = (x1 )(x+1)H(x )+ax+b

R(!) = a b = > $..()R("!) = "a b = "#$..(1),ers () pers (1) diperoleh :#b = 1 b = #

5ika b = # maka a = 1

5adi 5ika v(x) dibagi dengan x21 akan bersisa 1x # (5a6aban B)



19/23


!>.-ik 5ika b M 0x

3+(ba )x2ax3axa =

x2+bx+3 dan a merupakan sisa

pembagianx

2x3

x+b maka a 2 b O

x3+(ba )x2ax3a

xa =x

2+bx+3

x3+ (ba )x2ax3a= (x2+bx+3) (xa)

x3+ (ba )x2ax3a=x3+(ba )x2+(3ab)x3a

"a = 2 ab

a =3

b1 $..(!)

a merupakan sisa pembagianx

2x3x+b :

x2x3= (x+b )H(x )+a

(b)2(b)3=(b+b )H(b )+a

b2+b3=a $..(#)

Substitusikan pers (!) ke pers (#) :

b2

+b3= 3

b1

(b2+b3 )(b1)=3

b3b2+b2b3b+3=3

b34b=0

b( b24 )= 0

b = 0 atau b = 2

karena b M 0 maka b = #

jika b = ! maka diperoleh a =3

21=3

5adi a 2 b = 2 # = ! (5a6aban B)

!3.-ik3x2

x23x+2

= a

x1+ b

x2

3x2

x23x+2

=a (x2 )+b(x1)

(x1 )(x2)



20/23


3x2

x23x+2

=(a+b )x(2a+b)

x23x+2

a b = $..(!)#a b = #$..(#)

pers (!) dikurangakan (#) diperoleh :"a = ! a = "!a = "! maka diperoleh nilai b = 1

5adi nilai a b = "! 1 = (5a6aban )

!A.-ikx

2+ax10

x2+2ax+5

!.-ik Suatu suku banyak berderajat tiga habis dibagi x "! dan x 2 #. 5ika

dibagi dengan x ! bersisa # dan dibagi dengan x bersisa #.Suatu suku banyak habis dibagi jika sisanya adalah 0.

8issal suku banyak itu adalah (x) = ax3

+b x2

+cx+dF(!) = 0a b d = 0 $..(!)F(#) = 0Aa 1b # d = 0$..(#)F( "!) = #"a b 2 d = #$..()F(0) = #d = #$.(1)pers (!) dijumlahkan pers () diperoleh :#(b d) = # b d = !

%arena d = # maka b = "!Substitusikan nilai d = # dan b = "! ke pers (!) dan (#) :a 2 ! # = 0 a = "!$.(/)Aa 1("!) # # = 0 1a = !$.(>),ers (>) kurangkan dengan pers (/) diperoleh :

a = # a =2

3

&ilai a =2

3 maka diperoleh nilai =53

-engan demikian diperoleh nilai a =2

3 b = "! =53 dan d = #

5adi F(x) =2

3x

3

x25

3x+2 (5a6aban B)

#0.-ik ika 2x3ax2+48xb habis dibagi (x3)

2

maka a b O

Nunakan bagan horner : # "a 1A "b

> !A 2 a !A "a # > 2 a >> 2 a "a 2 b !A =0$..(!)

> > 2 a # !# 2 a !0# 2 >a = 0$$(#)



21/23


Sisa pembagian harus 0 karena pembagi merupakan ator .-ari pers (#) :!0# = >a a = !3-ari pers (!) :"(!3) " b !A = 0 b = 1/

5adi a b = !3 1/ =># (ja6aban +)

#!.-ik -iketahui h(x) = x2+3x4 merupakan salah satu ator dari g(x) =

x4+2x3a x214x+b . 5ika g(x) dibagi dengan x ! akan bersisa O

g(x) = h(x) ;asil(x) S(x)

x4+2x3a x214x+b=(x2+3x4 )H(x)+0

x4+2x3a x214x+b= (x4 )(x+1)H(x )+0

g(x) dibagi (x !) maka akan bersisa O

x4+2x3a x214x+b= (x+1)H(x )+c

%arena (x !) merupakan ator x2+3x4 dan x

2+3x4 merupakan

ator dari g(x).5adi disimpulkan bah6a g(x) akan bersisa 0 jika dibagi dengan (x !)

##.-ik 5ika salah satu akar suku banyak (x) = 0 adalah a maka salah satu

akar

(x2+3x+6 ) f(x+2 )=0 O

f(a )=0

f(x+2 )=0

f(a+2 )=0

Berate akarnya adalah a # (5a6aban )

#.-ik Salah satu akar persamaan x45x3+5x2+5x6=0 adalah #. 5umlah

akar 2 akar yang lain dari persamaan tersebut ONunakan teorema horner :# ! "/ / / ">

# "> "# >

! " "! 0sisa hasil pembagian yaitu :

x33x2x3 agar hasil pembagian juga merupakan akar dari ungsi

diatas maka sisanya juga harus nol.

x33x2x3=0

,enjumlahan akar"akar dari persamaan ax3+b x2+cx+d=0 adalah

ba .



22/23


5adi jumlah akar 2 akar lain dari persamaan diatas adalah

ba=

(3)1

=3 (ja6aban -)

24,-iketahui (x) =

x5+ax2+bx+a+b

habis dibagi

x21

. 5ika suku banyak

itu dibagi x3x adalah O

x21=(x+1 )(x1)

Berarti nol ungsinya adalah ! dan "!. %arena x21 membagi habis

ungsi (x) maka sisa (x) adalah 0.

(!) = (1)5+a(1)2+b (1 )+a+b=0

#a #b = "!$$(!)

( "!) = (1)5

+a(1)2

+b (1 )+a+b=0

#a = ! a =1

2 $..(#)

Substitusikan pers (#) ke pers (!) sehinggga diperoleh :

#( 12 )+2b=1b=1

5adi ungsi (x) = x5+

1

2x

2

x+1

21=x5+

1

2x

2

x1

2

#/.-ik 5ika akar"akar persamaan x314x2+px+q=0 membentuk deret

geometri dengan rasio #.

8isalkan akar"akar persamaan x314x2+px+q=0 adalah x! x#dan x.

kar"akarnya mebentuk deret geometri dengan rasio #. Berarti akar"

akarnya menjadi x! #x! dan 1x!

x! x# x=ba

x!#x! 1x!=(14)

1

3x!= !1 x!= #5adi akar 2akar persamaannya yaitu # 1 dan A

x1x

2+x

1x

3+x

2x

3=c

a

2.4+2.8+4.8=p

1

p=56



23/23


x1x

2x

3=da

2.4 .8=q1

q= >1

5adi p L = /> 2 >1 = "A (5a6aban +)

Documents

Modul Polinomial New