Modul Probabilitas

Antara / SMA N 1 Simo / Mat XI IPA 25

PELUANG

PENDAHULUAN

Teori Peluang (probabilitas) merupakan cabang matematika yang banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Atas kehendak Tuhan, Teori Peluang

lahir dan berkembang dari dunia hitam (meja perjudian) yang kurang berkenan pada-Nya.

Pada awal abad ke 17 seorang penjudi bangsawan Perancis bernama CHEVALIER de

MERE minta pertolongan kepada BLAISE PASCAL, pertolongan yang diharapkan oleh Chevalier de Mere tidak lain adalah bagaimana caranya agar ia memperoleh

kemenangan dalam meja perjudian. Cara-cara untuk memperoleh kemenangan dalam meja perjudian itu merupakan dasar dasar Teori Peluang yang disarankan

oleh Blaise Pascal (1623 1662). Dasar dasar teorema peluang ini selanjutnya

dikembangkan oleh PIERRE de FERMAT (1601 1665). Teori peluang yang pada saat lahirnya dianggap sebagai ilmu haram, namun dalam perkembangannya banyak mendapatkan restu dari para ahli matematika. Bahkan saat ini, teori peluang mampu memberikan nilai tambah dan memegang peran penting dalam perkembangan Ilmu Pengetahuan

dan Teknologi, Ilmu-ilmu social Modern, misalnya :

1. Lahirnya teori atom, teori Mekanika Kuantum, teori Radioaktif dalam Fisika Modern. 2. Lahirnya teori Fermi Dirac, teori Boson dalam Fisika Statistik.

3. Lahirnya teori Statistika yang banyak penerapannya dalam bidang antropologi dan kependudukan, pertanian, geofisika dan meteorology, transportasi, ekonomi, industri dan lain sebagainya.

STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

KOMPETENSI DASAR INDIKATOR

1.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah

Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi

Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan

kombinasi

1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan

Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari

berbagai situasi

Menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan

1.6. Menentukan peluang suatu kejadian dan

penafsirannya

Menentukan peluang kejadian melalui percobaan

Menentukan peluang suatu kejadian secara teorotis

A. KAIDAH PENCACAHAN

1. Pengisian tempat Jika terdapat n buah tempat yang tersedia, maka banyaknya cara untuk mengisi n buah tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah

Dengan : k1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. k2 = banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua, sesudah tempat pertama terisi. k3 = banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga, sesudah tempat pertama dan kedua

terisi.

k1 x k2 x k3 x..kn


kn = banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-n, sesudah tempat pertama, kedua, dan ke (n 1) terisi.

Contoh 1 : Terdapat angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5, akan dibentuk bilangan yang terisi atas tiga angka. Berapa banyaknya bilangan tersebut jika : a. Dalam bilangan tersebut tidak boleh ada angka yang sama b. Dalam bilangan tersebut boleh ada angka yang sama Jawab: a. Perhatikan tiga kotak berikut ini!

Kotak I untuk angka ratusan Kotak II untuk angka puluhan Kotak III untuk angka satuan

Untuk mengisi kotak I dapat dipilih lima angka. Untuk mengisi kotak II dapat dipilih empat angka ( sebab satu angka sudah diisikan padakotak I). Untuk mengisikotak III dapat dipilih tiga angka (sebab dua angka sudah diisikan pada kotak I dan II). Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah 5 x 4 x 3 = 60 bilangan.

b. Perhatikan tiga kotak berikut ini!

Kotak I untuk angka ratusan Kotak II untuk angka puluhan Kotak III untuk angka satuan

Untuk mengisi kotak I dapat dipilih lima angka. Untuk mengisi kotak II dapat dipilih lima. angka ( sebab boleh ada angka yang sama). Untuk mengisi kotak III dapat dipilih lima angka ( sebab boleh ada angka yang sama). Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 5 x 5 x 5 = 125 bilangan.

2. Kaidah Penjumlahan.

Kaidah penjumlahan dilakukan jika kedua unsur yang di katakan tidak dipilih (digunakan) secara bersama sama. Contoh 2 : Misalkan di rumahmu terdapat 3 buah sepeda montor dan 2 buah sepeda. Ada berapa cara kamu pergi ke sekolah dengan kendaraan tersebut? Jawab: Banyak cara pergi ke sekolah dengan kendaraan tersebut adalah 3 + 2 = 5 cara.

3. Kaidah Perkalian. Kaidah perkalian dilakukan apabila unsur unsur yang diketahui dipilih (digunakan) secara bersama sama. Contoh 3 : 1. misalkan adik mempunyai 3 potong celana dan 4 potong baju. Ada berapa cara adik

berpakaian dengan celana dan baju tersebut? Jawab: Banyaknya cara adik berpakaian dengan celana dan baju tersebut adalah 3 x 4 =12 cara.

2. Perjalanan dari solo ke kleten ada dua cara dan perjalanan dari klaten ke yogyakarta ada empat cara. Berapa banyak cara berpergian dari solo ke yogyakarta melewati klaten? Jawab: Dari solo ke klaten = 2 cara Dari klaten ke yogyakarta = 4 cara Cara berpergian dari solo ke yogyakarta melewati klaten seluruhnya ada 2 x 4 = 8 cara

I II III

I II III


4. DEFINISI DAN NOTASI FAKTORIAL.

Perkalian n buah bilangan asli pertama dinyatakan dengan n!(n! dibaca n faktorial) Untuk tiap n bilangan asli,didefinisikan : n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-20) x (n-1) x n,atau n! = n x (n - 1) x (n - 2) x . . . x 3 x 2 x 1 1! = 1 dan 0! = 1

Contoh 4 : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 5. PERMUTASI

Permutasi adalah susunan yang memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi (susunan yang memperhatikan urutan) dengan k unsur dari n unsur berbeda yang tersedia dinyatakan dengan nPk atau P(n, k).

( )!!kn

nPkn

= dengan k n.

Rumus tersebut hanya dapat digunakan kalau setiap unsur dari n unsur itu berbeda. Jadi tidak boleh digunakan berulang dalam satu susunan. Contoh 5 : Misalkan terdapat 5 orang calon pengurus kelas akan dipilih seorang ketua,seorang sekretaris,dan seorang bendahara.Banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah permutasi dengan 3 unsur dari 5 unsur yang tersedia.

( )!5!

=

n

nPkn ; diketahui n = 5 dan k = 3

( ) !2!5

!35!5

35 =

=P

=12

12345

= 60 susunan

a. Permutasi dengan beberapa anggota yang sama

Misalkan terdapat huruf-huruf

44 344 21,...,,,, aaaaa b, c, d,

43421eeeee ...,,,,

p444444 3444444 21

ehurufbuahqahurufbuah

(seluruhnya ada n buah huruf) Maka banyaknya susunan unsure yang terjadi dirumuskan :

, dengan ( )qp + n. Contoh 6 : Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA ? Jawab: M = 2 ; T = 2 ; A = 3

P = !3!2!2

!10= ( )( )( )1231212

12345678910

= 151.200

P = !!

!qp

n


b. Permutasi siklik Misalkan terdapat n unsur berbeda akan disusun secara melingkar (berkeliling). Banyaknya permutasi:

Contoh 7: Jika 4 siswa A, B, C, dan D menempati 4 buah kursi yang mengellingi meja bundar. Berapa macam susunan yang dapat terjadi? Jawab: n = 4

S = ( )14 ! = 3! = 3 612 = susunan

6. KOMBINASI

Kombinasi adalah susunan yang tidak memperhatikan urutan. Suatu kombinasi k unsur yang diambil dari n unsure yang berbeda adalah suatu pilihan dari k unsur itu tanpa memperhatikan urutannya )( nk . Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda dinyatakan dengan nCk atau C ( n,k ) atau

n

kc !

( )! !n kn

cn k k

=

dengan )( nk Dari persamaan di atas dapat diartikan bahwa banyaknya kombinasi dari k unsur berbeda adalah banyaknya cara memilih mk unsur yang diambil dari n unsur berbeda yang tersedia dengan tanpa memperhatikan urutannya. Contoh 8 : 1. Misalkan terdapat 7 orang siswa. Akan dibentuk tim yang terdiri atas 3 orang siswa untuk

mengikuti lomba cerdas cermat. Berapa banyaknya cara menyusun tim tersebut? Jawab : Banyaknya cara menyusun tim adalah kombinasi (susunan yang tidak memperhatikan urutan) dengan 3 unsur dari 7 unsur yang tersedia.

7C3 = 356657

)123)(1234(1234567

!3!4!7

!3)!37(!7

=

=

==

cara.

2. Dari 10 siswa berprestasi yang terdiri dari 6 siswa putra dan 4 siswa putri akan dipilih 3 siswa yang terdiri sari 2 siswa putra dan 1 siswa putrid untuk mengikuti derdas cermat. Berapa banyak cara untuk memilih wakil siswa tersebut? Jawab : Untuk memilih 2 siswa pria dari 6 siswa pria yang ada :

6C2 = 151256

)12)(1234(123456

!2)!26(!6

=

=

=

Untuk memilih 1 siswa wanita dari 4 siswa wanita yang ada :

4C1 = 4)1)(123(1234

!1)!14(!4

=

=

Jadi banyaknya cara untuk memilih wakil siswa yang terdiri dari 3 orang seluruhnya adalah = ( 6C2) x (4C1) =15 x 4 = 60 cara.

S = ( )1n !


LATIHAN 1 Pilihlah salah satu jawaban yang tepat! 1. Banyaknya bilangan dengan tiga angka berbeda dari angka 2,3,4,5,6,7 adalah.

a. 2 b. 24 c. 120 d. 210 e. 4200 2. Banyaknya bilangan dengan dua angka yang boleh sama dari angka-angka 1,2,3,4,5,6

adalah.... a. 3 b. 8 c. 15 d. 30 e. 36

3. Banyaknya bilangan ganjil dengan tiga angka berbeda yang dibentuk dari angka-angka 1,2,3,4,5 adalah.... a. 3 b. 12 c. 24 d. 36 e. 60

4. Banyaknya bilangan genap dengan tiga angka berbeda yang dibentuk dari angka-angka 3,4,5,6,7 adalah.... a. 2 b. 12 c. 24 d. 42 e. 60

5. Dari angka-angka 2,3,5,6,7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah.... a. 10 b. 20 c. 40 d. 80 e. 120

6. Banyaknya bilangan dengan 4 angka berbeda dari angka-angka 4, 5, 6, 7, 8 dan nilainya lebih dari tujuh ribu adalah .... a. 6 b. 24 c. 30 d. 48 e. 120

7. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah . A. 12 B. 36 C. 72 D. 96 E. 144

8. Dari 10 siswa teladan akan dipilih siswa teladan I, teladan II, dan teladan III. Banyaknya cara pemilihan siswa teladan adalah . a. 120 b. 210 c. 336 d. 504 e. 720

9. Anto ingin membeli tiga permen rasa coklat dan dua permen rasa mint pada sebuah toko. Ternyata di toko tersebut terdapat lima jenis permen rasa coklat dan empat jenis permen rasa mint. Banyaknya cara pemilihan permen yang dilakukan Anto adalah . a. 40 b. 50 c. 60 d. 120 e. 126

10. Suatu biro transportasi mengatur jadwal perjalanan dari Yogyakarta ke Jakarta sebagai berikut : setiap minggu perjalanan dengan pesawat terbang dijadwalkan 5 kali, sedangkan perjalanan dengan bus dijadwalkan 6 kali. Jika minggu depan Anda akan pergi dari Yogyakarta ke Jakarta, maka banyaknya cara perjalanan adalah .... cara. a. 10 b. 11 c. 12 d. 25 e. 30

11. Dengan tidak mengurangi angka pada bilangan 5572225 dapat dibentuk bilangan baru. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk tersebut adalah.... a. 35 b. 70 c. 140 d. 420 e. 840

12. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri atas 6 orang. Calon yang tersedia terdiri atas 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah....

a. 84 b. 82 c. 76 d. 74 e. 66 13. Dari kota A ke kota B ada 3 jalur, dari kota B ke kota C ada 4 jalur,dan dari kota C ke kota D

ada 2 jalur. Banyaknya jalur yang dapat dilalui dari kota A ke kota D melewati kota B dan C adalah ... jalur. a. 9 b. 24 c. 36 d. 48 e. 72

14. Lima buah buku masing-masing buku fisika, kimia, biologi, matematika, dan bahasa inggris akan diatur pada suatu tumpukan. Banyaknya cara menyusun buku tersebut adalah .... a. 5 b. 20 c. 25 d. 60 e. 120


15. Pada 6 buah kursi yang diatur dalam satu baris, akan diduduki oleh 3 orang siswa putra dan 3 orang siswa putri. Pernyataan yang benar adalah.... a. banyaknya cara mereka duduk: 720 b. jika putra dan putri harus selang seling dan banyaknya cara mereka duduk : 36 cara c. jika siswa putri harus selalu berdekatan banyaknya cara mereka duduk : 120 cara d. peluang bahwa siswa putra dan putri berdekatan adalah 1/10 e. Jika 2 orang siswa diantaranya selalu berdekatan, banyaknya cara mereka duduk adalah 72

cara 16. Bila 3 orang dari Jakarta, 4 orang dari Bandung dan 2 orang dari Medan duduk dalam satu

baris, banyaknya cara sehingga yang sekota harus berdekatan adalah .... a. 864 b. 1720 c. 1728 d. 2640 e. 3426

17. Banyaknya cara, bila 4 sepeda motor honda, 2 Suzuki, 3 Yamaha dan 2 Vespa diparkir berdekatan dalam satu baris, menghadap sama dan sepeda motor sejenis harus berdekatan adalah ... cara. a. 46 b. 192 c. 768 d. 2312 e. 13824

18. Banyaknya cara apabila suatu keluarga yang terdiri dari suami istri, 2 anak laki-laki dan 3 anak perempuan akan duduk dalam satu baris, sehingga suami istri harus berdekatan dan anak-anak yang sejenis harus berdekatan adalah ... cara. a. 36 b. 72 c. 96 d. 144 e. 162

19. Nilai 1 20 5

19! 20! 21! + = .

a. 41521!

b. 8621!

c.6

21! d.

521!

e. 4

21!

20. Bentuk faktorial dari perkalian 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 adalah ....

A. a. 0! b. 1510!

c. 159!

d. 15 ! e. 15 ! 10 !

21. Bentuk faktorial dari perkalian (n + 3)(n + 2)(n + 1)n(n 1)(n 2) adalah....

a. (n + 3) ! c. ( 3)!( 2)!n

n

+

e. (n + 3)! (n 1)!

b. ( 3)!( 1)!n

n

+

d. (n + 3)! (n 2)!

22. Banyaknya cara bila 6 orang duduk secara melingkar adalah .... a. 6 b. 12 c. 36 d. 120 e. 720

23. Jika huruf_huruf pada kata EKSATA saling dipertukarkan tempatnya. Banyaknya susunan huruf yang terjadi adalah.... a. 1240 b. 1260 c. 2160 d. 2520 e. 5840

24. Dari susunan kata-kata dibawah ini yang dapat disusun dengan 30 cara adalah.... a. KATAK b. BIDAK c. MAKIN d. TOKO e. GAJAH

25. Banyaknya pasangan pemain ganda bulutangkis yang dapat dibentuk dari 7 orang pemain adalah.... a. 9 b. 14 c. 21 d. 28 e. 42

26. Tersedia 5 buah soal,siswa diwajibkan mengerjakan 3 buah soal di antaranya.banyaknya cara memilih adalah .... A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20

27. Suatu tim bulutangkis terdiri atas 10 pemain.banyaknya pasangan pemain ganda yang dapat dibentuk adalah .... A. 5 B. 20 C. 45 D. 90 E. 360

28. Banyaknya cara bila 3 orang guru,4 orang siswa kelas lll,3 orang kelas ll,dan 2 orang kelas l duduk secara melingkar,dan yang kelasnya samaduduk berdekatan adalah .... A. 4408 B. 6912 C. 8816 D. 10338 E. 13824

29. Diketahui himpunan H = {a, b, c, d, e, f}.Banyaknya himpunan bagian dari H yang terdiri atas 3 elemen adalah .... A. 6 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25


30. Banyaknya segi tigayang dapat dibuat,bila titik-titik sudutnya diambil dari 20 titik yang tersedia dan tidak ada titik yang segaris adalah . A. 6 B. 60 C. 380 D. 1140 E. 6740

31. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 8 titik yang diketahui dengan ada 4 titik yang sebidang adalah . A. 46 B. 56 C. 70 D. 326 E. 336

32. Seorang murid diminta mengerjakan 5 soal dari 6 soal ulangan, tetapi soal 1 harus dipilih. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah .... a. 4 b. 5 c. 6 d. 10 e. 20

33. Jika n

rC menyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen, dan 3

nC = 2n, maka 27nC

=.... a. 80 b. 90 c. 116 d. 120 e. 160

34. Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan tapi soal no 1 sampai no 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebutadalah.... a. 4 b. 5 c. 6 d. 9 e. 10

35. Suatupertemuan dihadiri oleh 18 orang peserta. Bila peserta saling berjabatan tangan. Maka banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah.... a. 81 b. 120 c. 144 d. 153 e. 306

II. Jawablah dengan singkat dan tepat ! 36. Diperoleh angka-angka 2, 3, 5, 7, 8, 9 untuk membentuk suatu bilangan. Berapa banyaknya

bilangan yang terdiri dari 4 angka dapat dibuat, jika: a. Setiap bilangan angkanya berbeda, b. Setiap bilangan baru ada angka sama, c. Setiap bilangan harus genap, dan d. Setiap bilangan harus habis dibagi 5?

37. Lima orang laki-laki dan lima orang perempuan akan duduk pada 10 kursi yang disusun pada satu baris. a. Berapa banyaknya cara menduduki? b. Berapa banyaknya cara mereka duduk jika laki-laki dan perempuan masing-

masing harus berdekatan? c. Berapa banyaknya cara mereka duduk jika perempuan harus berdekatan, sedangkan laki-

laki boleh menyebar? 38. Nyatakan dalam bentuk faktorial!

a. 1617181920

b. 345131415

c. 4321

678910

39. Tentukan nilai n! a. nP2 = 72 b. nP4 = n+1P3 c. nC3 = nCn -1 d. nC3 = nC2

40. Tanpa mengurangi huruf pada kata REFORMASI a. Berapa banyaknya permutasi huruf tersebut? b. Berapa banyaknya permutasi huruf tersebut jika huruf R harus berdekatan? c. Berapa banyaknya susunan apabila huruf vokal harus berdekatan?

41. Dari 5 siswa putra dan 4 siswa putri akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. a. Berapa susunan pengurus yang mungkin dapat dibentuk? b. Jika ketua harus laki-laki ada berapa cara (susunan) yang mungkin dibentuk?


42. Suatu rapat diikuti oleh 10 orang peserta. Jika tersedia 10 buah kursi yang melingkari sebuah meja bundar, maka hitunglah susunan peserta yang dapat terjadi!

43. Dari 12 orang pelamar pekerjaan di Kantor Galaksi, 7 orang di antaranya wanita dan sisanya laki-laki. Dari seluruh pelamar itu akan dipilih 4 orang untuk ditempatkan sebagai editor. Berapakah banyaknya cara untuk memilih calon editor, jika semua pelamar mempunyai kesempatan untuk dipilih?

44. Seorang siswa diwajibkan menjawab 8 soal dari 10 soal yang tersedia. a. Berapa banyaknya cara memilih soal tersebut? b. Berapa banyaknya cara memilih soal jika soal no 5 harus dikerjakan? c. Berapa banyaknya cara memilih soal jika nomor 7 tidak perlu dikerjakan?

45. Dalam seleksi calon pemain bulu tangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Hitunglah banyaknya pasangan ganda yang dapat dipilih, untuk: a. Ganda putra, b. Ganda putri c. Ganda campuran

B. PELUANG SUATU KEJADIAN 1. Percobaan

Percobaan adalah tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan sama, yang hasilnya merupakan salah satu anggota himpunan tertentu. Contoh 9: A. Percobaan melempar/melambungkan sebuah dadu atau lebih. B. Percobaan mengambil satu kartu atau lebih dari setumpuk kartu bridge

2. Ruang Sampel

Ruang sample adalah himpunan semua hasil yang dapat terjadi dari suatu percobaan Contoh 10: A. Misalkan S adalah ruang sample dari percobaan melambungkan dua mata uang logam

S = }{ GGGAAGAA ,,, A = sisi mata uang yang bertuliskan angka G = sisi mata uang bergambar

B. Misalkan S adalah rung sample dari percobaan melambungkan sebuah dadu (berisi enam).

S = }{ 6,5,4,3,2,1 3. Kejadian

Kejadian adalah himpunan bagi ruang sample. Contoh 11 : A. Misalkan A adalah kejadian munculnya dadu lebih dari 4, pada percobaan

melemparkan sebuah dadu, maka A = }{ 6,5 B. Misalkan B adalah kejadian munculnya sisi sama dari percobaan melambungkan mata

uang logam, maka B = (AA,GG). Jika banyaknya anggota ruang sample dari suatu percobaan adalah n, maka banyaknya kejadian dalam ruang sample tersebut adalah 2n.

Kejadian yang hanya mempunyai satu anggota disebut kejadian sederhana sedangkan gabungan dari beberapa kejadian sederhana disebut kejadian majemuk.

4. Definisi Peluang Misalkan A suatu kejadian, dan S adalah ruang sample, AS. Maka peluang kejadian A

didefinisikan dengan:

)()()(

SnAnAP =

=)(An banyaknya anggota A =)(Sn banyaknya anggota S (ruang Sampel)


Contoh 12: Pada percobaan melemparkan sebuah dadu,diketahui A adalah kejadian munculnya mata dadu kurang dari 4.Tentukan nilai peluang kejadian A! Jawab:

{ }6,5,4,3,2,1=S maka n(S) = 6 A = Kejadian muncul mata dadu kurang dari { }3,2,14 = , maka n (A) = 3 P(A) = )(

)(SnAn

=21

63

=

5. Kisaran nilai peluang

Misalkan A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel S. Karena SA maka ( )An ( )Sn

P (A) = 1)(;)()( AP

SnAn

Jika 0)( =An maka P (A) = 0)(0

=

Sn

Jadi kisaran (batas-batas) nilai peluang kejadian A tentukan dari 0 sampai dengan 1 atau 1)(0 AP . Jika P (A) = 0, berarti lejadian A tidak mungkin (mustahil) terjadi,lejadian A

disebut kemustahilan. Jika P (A) = 1, berarti kejadian A pasti terjadi, maka A disebut kepastian.

6. Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian

Misalkan A suatu kejadian dari suatu percobaan dan P(A) adalah nilai peluang kejadian A. Jika percobaan tersebut dilakukan sebanyak f kali, maka frekuensi harapan terjadinya A adalah:

FH = P(A).f FH = frekuensi harapan P(A) = nilai peluang kejadian A f = banyaknya percobaan dilakukan

Contoh 13: Berapa kali harapan akan muncul mata dadu kurang dari 3, jika sebuah dadu dilemparkan sebanyak 60 kali? Jawab:

S = }{ 6,5,4,3,2,1 6)( = Sn A = Kejadian muncul mata dadu kurang dari 3 = }{ 2,1 2)( = An P(A) =

31

62

)()(

==

SnAn

FH = P(A).f

FH = 206031

=x

Jadi pada lemparan sebanyak 60 kali harapan akan muncul mata dadu kurang dari 3 = 20 kali.

C. KEJADIAN MAJEMUK 1. Peluang komplemen suatu kejadian

Misalkan A. Adalah suatu kejadian, dan AC adalah komplemen dari kejadian A(Kejadian tidak terjadinya kejadian A),maka:

P(AC)= 1 P(A)


Contoh 14: Pada percobaan melempar 2 mata uang logam tentukn peluang kejadian tidak muncul angka!

Jawab: Pada percobaan melemparkan mata uang logam,ruang sampelnya adalah:

S = {AA,AG,GA,GG} n(S) = 4

A = Kejadian muncul angka A = {AA,AG,GA} n(A) = 3 maka P(A) = 34

Peluang kejadian tidak muncul angka P(A) = 1 P(A) = 1 34 =

14

2. Kejadian Tidak Saling Lepas dan Kejadian Saling lepas.

a. a. KejadianKejadian SalingSaling lepaslepas

TelahTelah didi pelajaripelajari ::n(AUBn(AUB) = ) = n(An(A) + ) + n(Bn(B) ) n(AnBn(AnB))DenganDengan membagimembagi n(Sn(S) ) makamaka dididapatkandapatkan ::KarenaKarena n(AnBn(AnB) =0 ) =0 makamaka dididapatkandapatkan rumusrumus

P(AUB) = P(A) + P(B)P(AUB) = P(A) + P(B)

A B

S

A B

b. b. KejadianKejadian tidaktidak salingsaling lepaslepas

Dari Dari gambargambar didi atasatasn(AUBn(AUB) = ) = n(An(A) + ) + n(Bn(B) ) n(AnBn(AnB))DenganDengan membagimembagi n(Sn(S) ) makamaka dididapatkandapatkan ::

P(AUB) = P(A) + P(B) P(AUB) = P(A) + P(B) P(AnBP(AnB))

)()(

)()(

)()(

)()(

SnBAn

SnBn

SnAn

SnBAn

+=

S

)()(

)()(

)()(

SnBn

SnAn

SnBAn

+=

Contoh 15: Pada percobaan melemparkan sebuah dadu, A adalah kejadian muncul mata dadu kurang dari 3 , B adalah kejadian muncul mata dadu genap yang habis dibagi 3. Tentukan peluang kejadian A atau B !

Jawab:

Pada percobaan melempar sebuah dadu: S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 A = Kejadian muncul mata dadu kurng dari 3 = {1,2} n(A) = 2

P(A)= 2/6 B = kejadian muncul mata dadu genap yang habis dibagi 3 = {6} n(B)=1

P(B)= 1/6 Peluang kejadian A atau B adalah : P(A B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2


Contoh 16 :

SSeebbuuaahh kkaarrttuu ddiiaammbbiill sseeccaarraa aaccaakk ddaarrii ssaattuu sseett kkaarrttuu rreemmii.. TTeennttuukkaann ppeelluuaanngg bbaahhwwaa yyaanngg

tteerraammbbiill aaddaallaahh kkaarrttuu hhaattii aattaauu kkaarrttuu bbeerrggaammbbaarr ((kkaarrttuu KKiinngg,, QQuueeeenn,, ddaann JJaacckk)) !!

JJaawwaabb :: Banyaknya kartu remi = n(S) = 52 Banyaknya kartu hati = n(A) = 13 Banyaknya kartu bergambar = n(B) = 3 x 4 = 12 Kartu hati dan kartu bergambar dapat terjadi bersamaan yaitu kartu King hati, Queen hati,

dan Jack hati), sehingga A dan B tidak saling lepas n(A B) = 3 Peluang terambil kartu hati atau bergambar adalah :

P(A B) = P(A) + P( B) - P(A B) = 13/52 + 12/52 3/52 = 22/52 = 11/26

3. Dua kejadian yang saling bebas stokastik

Pada suatu percobaan ,kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian saling bebas stokastik apabila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya. Jika A dan B dua kejadian saling bebas stokastik jika dan hanya jika :

( ) ( ) ( )BPAPBAP .= Contoh 17: Pada percobaan melempar dua dadu, A adalah kejadian dadu pertama muncul mata dadu genap dan B adalah kejadian dadu kedua muncul kurang dari dua. Tentukan peluang kejadian A dan B! Jawab: n(S) = 6 x 6 = 36 A = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),

(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} n(A) = 18 B = {(6,1),(5,1),(4,1)(3,1),(2,1),(1,1)} N(B) = 6

Peluang kejadian A dan B adalah ( ) ( ) ( )121

61

21

366

3618

. ==== BPAPBAP

4. Dua kejadian saling bergantungan (kejadian bersyarat)

Pada percobaan, jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama sama, tetapi terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. kejadian tersebut dinamakan kejadian saling bergantungan atau kejadian saling tidak bebas atau kejadian bersyarat, yang berlaku : a. Peluang munculnya kejadian A dengan sarat kejadian B telah muncul adalah :

P (A\B) = 0)(;)()(

BsyaratPBP

BAP

b. Peluang munculnya kejadian B dengan sarat kejadian A telah muncul adalah :

P (B\A) = 0)(:)()(

AsyaratPAP

BAP

Contoh 18: Sebuah dadu dilempar satu kali. Hitunglah peluang munculnya bilangan ganjil, bila diketahui telah muncul bilangan prima!


Jawab:

A = kejadian munculnya bilangan ganjil ={1,3,5} P(A) = 63

B = kejadian munculnya bilangan prima = {2,3,5} P(B) = 63

A I B = {3,5} P(A I B) = 62

P ( A \ B ) = )()(

BPBAP

=

6362

= 32

Jadi peluang munculnya bilangan ganjil jika diketahiu telah muncul bilangn prima adalah P (

A\B ) = 32

5. Peluang Pengambilan dengan Pengembalian

Misalkan di dalam kotak terdapat 10 bola yang terdiri dari 4 merah dan 6 putih. A adalah

kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama, maka P(A) = 4

10. kemudian

bola merah dikembalikan sehingga jumlah bola dalam kotak tetap 10 buah. B adalah

kejadian terambilnya bola putih pada pengambilan kedua, maka P(B \ A) = 6

10. Peluang

terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua

adalah : P (A B) = P(A) . P(B) = 4

10.

610

= 0,24. Dari penghitungan tersebut dapat

disimpulkan bahwa pada pengambilan dengan pengembalian, kejadian pertama dan kejadian kedua merupakan dua kejadian yang saling bebas.

6. Peluang Pengambilan Tanpa Pengembalian

Dari satu set kartu bridge (remi) dilakukan dua kali pengambilan, A adalah kejadian

terambilnya kartu As pada pengambilan pertama, maka P(A) = 4

52. Kemudian kartu pada

pengambilan pertama tersebut tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu menjadi 51. B adalah kejadian terambilnya kartu Queen pada pengambilan yang kedua, maka P(B \ A) =

451

. Peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan Kartu Queen pada

pengambilan kedua tanpa pengembalian adalah: maka P(B \ A) = ( )

( )P A B

P A

maka

( )P A B = P(B \ A).P(A) = 514 x

113

= 6634

. Dari penghitungan tersebut dapat disimpulkan

bahwa pada pengambilan tanpa pengembalian, kejadian pertama dan kejadian kedua merupakan dua kejadian yang bersyarat.

D. SEBARAN PELUANG (Pengayaan)

1. Variabel acak dan fungsi (sebaran) peluang

Variabel acak dalam ruang sample S adalah fungsi bernilai real yang domainnya adalah ruang sample S tersebut. Atau dapat pula dikatakan bahwa variable acak adalah fungsi S


R (R=himpunan bilangan real). Apabila x adalah variable acak dalam S dan x (S) himpunan berhingga, maka variabel acak x disebut variable acak diskrit. Apabila Y adalah variable acak dalam S dengan Y(S) merupakan interval maka variable acak Y disebut variable acak kontinu. Missal X:S R,x,a,b.c R P(X=a) menyatakan P({ }axSdanXxx = )(/ ) P(Xa) menyatakan P({ }axSdanXxx )(/ ) P(X>a) menyatakan P({ }axSdanXxx > )(/ ) P(b


3. Sebaran seragam

Apabila suatu sebaran peluang setiap variable acak mempunyai peluang yang sama, maka disebut sebaran peluang atau disingkat sebaran seragam. Fungsi sebaran seragam dirumuskan dengan:

Sedangkan nilai harapan variable acak sebaran seragam adalah:

Contoh 20:

Pada percobaan melempar sebuah dadu, nilai peluang setiap sisi muncul = .61

Tentukan

nilai harapan variable acak seragam variable X!

E(X) = )1(21

+n = )16(21

+ =27

LATIHAN 2 Pilihlah salah satu jawaban yang tepat! 1. Peluang muncul bilangan genap pada percobaan melempar sebuah dadu adalah . . .

A. 61 B.

31 C.

21 D

32 E.

65

2. Dua dadu dilemparkan bersama-sama. Peluang bahwa yang muncul mata dadu berjumlah 12 adalah . . . .

A. 361` B.

365 C.

366 D.

3612

E. 3616

3. Pada percobaan pelemparan tiga keping uang logam, X menyatakan banyaknya sisi gambar yang muncul. Nilai P(X = 2) adalah .

A. 81 B.

82 C.

83 D.

83 E.

86

4. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 4 kali. Nilai peluang bahwa bilangan primer muncul 3 kali adalah . . . .

A. 81 B.

82 C.

83 D.

83 E.

86

5. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 4 kali. Nilai peluang bahwa bilangan primer muncul 3 kali adalah . . . .

A. 121 B.

81 C.

61 D.

41 E.

31

6. Seorang anak melempar tiga mata uang sekaligus sebanyak satu kali. Bila A merupakan kejadian munculnya angka paling sedikit satu kali, maka P(A) = . (Ebtanas 2000)

A. 83 B.

84 C.

85 D.

86 E.

87

F(x)= P(X,x)= ,1n

untuk x=1,2,3,. . .n.

)1(21)( +== nXE


7. S menyatakan ruang sample pada percobaan melemparkan 4 keping uang logam, A menyatakan kejadian muncul dua angka, dan B menyatakan kejadian muncul gambar. Pernyataan yang salah adalah.

A. ( ) 16=Sn C. ( )166

=AP E. ( ) 3=Bn B. ( ) 6=An D. ( )

1610

=AP

8. Pada percobaan melambungkan sebuah dadu. A = Kejadian muncul mata dadu ganjil B = Kejadian muncul mata dadu genap C = Kejadian muncul mata dadu kelipatan 3 D = Kejadian muncul mata dadu < 2 Pernyataan berikut yang salah adalah.

A. ( )21

=AP B. ( )21

=BP C. ( )31

=CP D. ( )21

=DP E. ( )31

=DP

9. Pada percobaan melempar 2 keping uang logam, jika X menyatakan banyaknya muncul sisi angka, maka diperoleh.

A. ( )210 ==xP C. ( )

431 =xP E. ( )

412 =xP

B. ( )411 ==xP D. ( )

411xP

10. Dua bilangan dipilih secara acak dari 9 bilangan asli yang pertama. Peluang bahwa jumlah bilangan yang terpilih habis dibagi 5 adalah.

A. 161 B.

121 C.

91 D.

92 E.

185

11. Dua buah kartu diambil sekaligus secara acak dari 10 kartu bernomor 1 sampai 10. peluang bahwa nomor nomor yang yang terambil jumlahnya ganjil adalah.

A. 31 B.

21 C.

95 D.

32 E.

65

11. Suatu arisan diikuti oleh 8 remaja putera dan 4 remaja putri. Pengambilan undian dilakukan setiap bulan sekali dan hanya satu orang yang mendapat. Pada undian pertama kali peluang bahwa yang mendapat varisan seorang remaja putri adalah

A. 121 B.

81 C.

41 D.

31 E.

21

12. Dari 15 orang siswa, 5 orang siswa diantaranya putrid dipilih 3 orang siswa secara acak. Peluang bahwa yang terpilih ketiganya putri adalah.

A. 912 B.

121 C.

51 D.

31 E.

53

13. Tiga keping uang logam dilambungkan bersama sama sebanyak 5 kali. Nilai peluang bahwa dua angka dan satu gambar muncul dua kali adalah.

A. 8535

32.

10 B. 8535

32.

20 C. 8525

23.

10 D. 8535

23.

20 E. 8535

22.

20

14. Kotak A berisi 8 butir telur dengan 3 butuir diantaranya cacat dan kotak B berisi 5 butir telur dengan 2 diantaranya cacat. Dari masing masing kotak diambil sebutir telur, peluang bahwa kedua butir yang terambil cacat adalah.( Ebtanas 2001)

A. 203

B. 83 C.

53 D.

85 E.

2524


15. Dari 8 buah kartu undian bernomor 1 sampai dengan 8, diambil 2 kartu secara acak. A = kejadian yang terambil berjumlah ganjil. B = kejadian yang terambil berjumlah genap. C = kejadian yang terambil berjumlah 9. D = kejadian yang terambil berjumlah bilangan prima. S = ruang sample. Pernyataan yang benar adalah.. A. n(S) = 28 B. n(A) = 4 C. n(B) = 9 D. n(C) = 3 E. n(D) = 12

16. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus dari kotak tersebut. Dari pernyataan tersebut diperoleh: A. Ruang sample = 30 B. Banyak kejadian yang diharapkan = 15

C. Peluang terambilnya bola merah dan putih sekaligus = 2815

D. Peluang terambilnya dua bola merah = 153

E. Peluang terambilnya dua bola putih = 101

17. Dalam kotak terdapat 3 soidol merah, 2 spidol hijau, 5 spidol hitam, dan 4 spidol biru. Jika diambil sebuh spidol secara acak, peluang terambilnya spidol biru adalah

A. 141 B.

101 C.

41 D.

72 E.

52

18. Tiga buah bola lampu diambil sekaligus secara acak dari 15 bola lampu yang 5 diantaranya mati. Peluang bahwa yang teranbl paling sedikit ada satun bola lampu mati adalah

A. 9123

B. 9145

C. 9129

D. 9167

E. 9188

19. Dalam kotak berisi 7 bola pingpong berwarna putih dan 3 bola pingpong berwarna orange. Jika diambil 2 buah satu demi satu secara acak dan tanpa pengambalian. Peluang bahwa kedua bola yang terambil berwarna orange adalah

A. 151 B.

503 C.

61 D.

51 E.

32

20. Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola putih sedangkan kotak B berisi 2 bola merah dan 6 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang bahwa yang terambil keduanya berwarna sama adalah

A. 81 B.

165 C.

167 D.

169 E.

87

21. Dalam suatu populasi keluarga tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai .

A. 81 B.

31 C.

83 D.

21 E.

43

22. Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara acak diambil 2 bola dari kotak. Peluang kedua bola yang terambil berwarna hijau adalah.

A. 152 B.

3514

C. 3519

D. 156

E. 3528

23. Dari sebuah kotak terdapat 10 bola lampu yang 4 buah diantaranya rusak. Jika dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilihnya lampu yang tidak rusak adalah

A. 301 B.

201

C. 121 D.

212 E.

61

24. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 3 kelereng putih adalah..

a. 442

B. 4410

C. 4437

D. 4435

E. 4447


25. Dari kotak yang berisi 3 pensil hitam, 4 pensil merah, dan 2 pensil biru, diambil 2 pensil satu demi satu secara acak dengan pengembalian. Peluang bahwa kedua pensil itu berwarna merah kemudian hitam adalah

a. 87 b.

127 c.

121 d.

727

e. 4

27

26. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95. peluang siswa A lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah A. 0,019 B. 0,04 C. 0,074 D. 0,935 E. 0,978

27. Nilai peluang seorang siswa SMU diterima di PTN = 0,4 dan nilai peluang untuk diterima di PTS = 0,6. Nilai peluang bahwa seorang siswa SMU diterima di PTN dan PTS adalah A. 0,01 B. 0,024 C. 0,10 D. 0,24 E. 0,12

28. Dalam kotak I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, dalam kotak II terdapat 2 bola merah dan 7 bola hitam. Dari tiap kotak di ambil 1 bola secar acak. Peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah

a. 635 b.

636 c.

638 d.

6321

e. 6328

29. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah

a. 447

b. 4410

c. 4434

d. 4435

e. 4439

30. Dua diantara 10 orang siswa adalah x dan y. Bila dari 10 orang itu dibentuk kelompok dengan 4 orang. Peluang bahwa ada kelompok tanpa siswa x atau siswa y adalah

a. 41 b.

31 c.

52 d.

32 e.

54

31. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah . a. 39/40 b.

9/13 c. d. 9/20 e.

9/40 Soal Ujian Nasional tahun 2007

32. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah . A. 1/10 B.

5/36 C. 1/6 D.

2/11 E. 4/11

Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 33. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai

paling sedikit dua anak laki laki adalah . A. 1/8 B.

1/3 C.3/8 D.

1/2 D. 3/4

Soal Ujian Nasional tahun 2004 34. Dua buah dadu dilempar bersama sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10

adalah . A. 5/36 B.

7/36 C. 8/36 D.

9/36 E. 11/36

Soal Ujian Nasional tahun 2003 35. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet

yag lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah . A. 3/56 B.

6/28 C. 8/28 D.

29/56 E. 30/56

Soal Ujian Nasional tahun 2003 36. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4.

Peluang seorang siswa lulus fisika adalah 0,2. Banyaknya siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah orang. A. 6 B. 7 C. 14 D. 24 E. 32 Soal Ujian Nasional tahun 2002


37. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih, Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah . A. 1/10 B.

3/28 C. 4/15 D.

3/8 E. 57/110

Soal Ujian Nasional tahun 2001 38. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa. 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9

siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah . A. 25/40 B.

12/40 C.9/40 D.

4/40 E. 3/40

Soal Ujian Nasional tahun 2000 39. Jika diketahui dua kejadian Adan B saling bebas tapi tidak saling lepas dengan P(A) = 1/3,

maka P(B) adalah...... a. 1/5 B. 2/5 c. 3/5 D. 4/5 e. 5/6

40. Enam pelari dengan nomor punggung 1 s/d 6 mengikuti babak final. Peluang pelari nomor punggung 5, 2 dan 4 berturut turut sebagai juara adalah .... a. 1/60 B. 5/72 c. 3/216 D. 1/120 e. 4/256

II. Jawablah dengan singkat dan tepat ! 41. Dari kotak berisi 7 kelereng putih,8 kelereng biru,dan 5 kelereng merah,diambil 4 kelereng

sekaligus secara acak.Tentukan peluang kejadian yang terambil: A. seluruhnya berwarna biru. B. 2 kelereng putih dan 2 kelereng merah,dan C. Tidak ada warna merah!

42. Pada percobaan melempar 3 keping uang logam sebanyak 4 kali,dan X menyatakan jumlah sisi gambar yang muncul.Tentukan kejadian;

a. x>2 muncul 2 kali dan b. x I muncul 2 kali! 43. Pada pergobaan melambungkan 2 dadu,X menyatakan jumlah X,menyatakan jumlah mata

dadu yang muncul.Jika percobaan dilakukan 5 kali, tentukan peluang dan kejadian: a. x-10 muncul 3 kali dan b. x= ganjil muncul 2 kali

44. Pada percobaan melambungkan 2 dadu merah dan putih. Jika x dan y menyatakan 2 dadu merah dan mata dadu putih,tentukan peluang Kejadian muncul; a. x+y=5 b. x+y4 c. x+y 10 d. 2x=y

45. Didalam kotak terdap 2 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak terambil diambil sebuah bola secara berurutan sebanyak dua kali. Setelah bola pertama diambil,bola itu tidak dikembalikan kedalam kotak, kemudian langsung mengambil bola kedua. Hitung peluang yang terambil: a. bola merah pada pengambilan bola pertama dan kedua b. bola putih pada pengambilan bola pertama dan kedua c. bola merah pada prngambilan pertama dan bola putih kedua,dan d. bola putih pengambilan pertama bola merah kedua!

Documents

Modul Probabilitas