ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

ДмитрийЯКУБОВ

СОДЕРЖАНИЕ ВЕБИНАРА

• ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ И ЕГО МЕТОДОЛОГИЯ

• ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

• ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ• СИМПЛЕКС-МЕТОД И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ВВЕДЕНИЕ

Необходимо отправить на орбиту максимальный груз

Число топливных баков: 1, 2, 3, 4Число ступеней: 1, 2, 3Скорость: V1 (7,9 км/с)Тип топлива: керосин, гептилМасса груза: 4700 кгСтартовая масса: 287 т

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ – методология принятия решений, базирующаяся на системном анализе, исследовании операций, теории статистических решений, теории игр, теории оптимального управления, экономической кибернетике.

ОБЪЕКТ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИЙ

Объектом изучения данной дисциплины являются операции в экономике, технике, биологии и т.п., представляющие собой совокупность действий, приводящих систему к некоторой цели. Предметом же является исследование этих операций с помощью математических методов их моделирования.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОПЕРАЦИЯ

Операция – это всякое действие, объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели. Операция есть всегда управляемое мероприятие, характеризующее ее организацию.

Воздействие РезультатOptimus (лат.) - наилучший

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ реального объекта – любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью поведение этого объекта в заданных условиях.

ВЫБОР УПРАВЛЯЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

УПРАВЛЯЕМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ (decision variables): необходимо провести различие между теми величинами, значения которых можно варьировать и выбирать с целью достижения наилучшего результата и величинами, которые фиксированы или определяются внешними факторами.Пример: ток базы, напряжение КЭ, Кусиления

ОГРАНИЧЕНИЯ НА УПРАВЛЯЕМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Ограничения (constraints): в реальных условиях на выбор значений управляемых переменных наложены ограничения, связанные с ограниченностью ресурсов, мощностей и других возможностей. Совокупность всех ограничений определяет допустимое множество задачи оптимизации.Пример: напряжение питания, Крассеяния

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ (objective function) – числовой критерий, минимальному или максимальному значению которого соответствует наилучший вариант поведения исследуемого объекта.EXTREMUM (лат.) – высший, наилучший.MINIMUM (лат.) – минимальное значениеMAXIMUM (лат.) – максимальное значение

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ – минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учётом ограничений на управляемые переменные.

f(x) min (max)x

f(x) – целевая функцияU – допустимое множество

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

• Аэропорт: составление расписания и распределение самолётов по терминалам

• Задача коммивояжёра: посетить всех заказчиков с минимальным расходом топлива

• Транспортная задача: проложить кратчайший маршрут с учётом ограничений

(Яндекс.Карты)

ИНСТРУМЕНТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

MATLAB Optimization Toolset, ANSYS и др.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

• Линейное программирование – целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

• Нелинейное программирование – целевая функция и ограничения нелинейны.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Нелинейное программирование: • Выпуклое программирование – целевая

функция выпукла и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача,

• Квадратичное программирование – целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства.

ЗАДАЧА О ДИЕТЕ

Для обеспечения питанием экипажа МКС имеется n видов продуктов (мясо, молоко т т.д.). Каждый продукт характеризуется набором питательных веществ (белки, жиры, витамины). Известны содержание i-питательного вещества в единице j-продукта: aij – содержание i-вещества в j-продукте.i = (1,m); j = 1,n.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Известны также: • стоимость единицы j-продукта• минимальная потребность человека в i-

питательном веществеПусть также х – количество выбранного продукта

ТРЕБУЕТСЯ СОСТАВИТЬ РАЦИОН МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ

ОГРАНИЧЕНИЯ ЗАДАЧИ

…

Всего: n продуктов, m питательных веществ

ЗАДАЧА О ДИЕТЕ

Найти такие значения количества продуктов х, при которых с учётом требований по минимальному количеству питательных веществ b общая стоимость пищевой корзины Z была бы минимальной.

ОБЩИЙ ВИД ЗАДАЧИ ЛП

:Общий вид

:Канонический вид

Общая задача сводима к канонической путём добавления псевдопеременной.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Двумерный случай Трёхмерный случай

Поиск осуществляется перебором вершин. Линия уровня: <c,x> = const.

СИМПЛЕКС-МЕТОДПусть задача линейного программирования записана в каноническом виде:

Матрица А размера mxn имеет ранг m. Тогда система уравнений совместна и имеет бесчисленное множество решений.

БАЗИСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Из общего числа n переменных выбираем только m переменных. Назовём переменные х1, х2 … хm базисными. Остальные переменные xm+1 … xn – свободные. Единичная матрица для первых m столбцов:

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ

Общее решение системы уравнений имеет вид:

Каждому набору m базисных переменных соответствует своё базисное решение.

СЛЕДСТВИЯ• Допустимое решение – все компоненты базисного решения

неотрицательны• Невырожденное решение – содержит не более, чем n-m нулевых

компонент.Каждое допустимое базисное решение – угловая точка (вершина) допустимого множества задачи

Симплекс-метод – это направленный перебор допустимых базисных решений с последовательным уменьшением целевой функции

ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛП

x* = (3,2), f* = f(x) = -15

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНОЧЕСКОМУ ВИДУ

Дополнительные переменные х3, х4, х5:f(x) = -3x1 -3x2 minx3 + x1 + 2x2 = 7x4 + 2x1 + x2 = 8x5 + + x2 = 3, xj

Базисные переменные х3, х4, х5. Тогда решение:x3= 7 – x1 -2x2

x4 = 8 – 2x1 – x2

x5 = 3 - x2

Положив свободные переменные равными нулю, получаем базисное решение х0 = (0, 0, 7, 8, 3)

СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦА

Переменные x1…xm – базисные, xm+1…хn – свободные

Если все коэффициенты , в точке х0 - минимум. (Т)

СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦА

x1 x2 b

x3 1 2 7

x4 2 1 8

x5 0 1 3

p -3 -3 0

АЛГОРИТМ• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди

коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов ) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;

• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

• среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;

• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных:

• разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы. Строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.

ПРИМЕР ЗАДАЧИ О ДИЕТЕ

ЗАДАЧА О ДИЕТЕ (2)

ЗАДАЧА О ДИЕТЕ (3)

ЗАДАЧА О ДИЕТЕ (4)

ФУНКЦИЙ MATLAB linprog()

ОПТИМИЗАЦИЯ И ЖИЗНЬЛауреатами Нобелевской премии по экономике за 2012г. стали американцы Элвин Рот (фото) и Ллойд Шепли. Премия присуждена "за теорию устойчивого распределения и практику моделирования рынка". Речь идет о выборе наилучшего способа распределения ограниченного числа ресурсов между пользователями. К примеру, Элвин Рот успешно использовал математические алгоритмы для таких проблем, как распределение учащихся по школам в Нью-Йорке и сведение доноров почек с реципиентами.

http://top.rbc.ru/economics/15/10/2012/674346.shtml

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

• А.Б.Петровский «Теория принятия решений»• М.Интрилигатор «Математические методы оптимизации и

экономическая теория»

ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ!