Методи розв’язування задач з МатеМатикиister.in.ua/Fragmenty/f126.pdfТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН О.С. Істер

ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН

О.С. Істер

Методи розв’язування задач з МатеМатикитеорія. Приклади. вправи

Книга 2

Прогресії �Текстові задачі �Початки аналізу �Планіметрія �Стереометрія �

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN 978-966-10-3541-5 © Навчальнакнига–Богдан,2014

Упосібникувикладенометодирозв’язуваннязадачзішкільногокурсуматематики.Другакнигапосібникамістить36занять,якіохоплюютьтеми:«Прогресії»,«Тексто-

візадачі»,«Початкианалізу»,«Планіметрія»,«Стереометрія».Посібникміститьтеоретичнийматеріал(означення,основніматематичніфакти,тео

реми,формули,таблиці),прикладирозв’язуваннязавданьтавправидлясамостійногови-конання,щодозволяєвикористовуватийого,незвертаючисьдопідручників.

Дляучнівівчителівзагальноосвітніхкласів,класівташкілізпоглибленимвивчен-нямматематики.

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72

Навчальне виданняІстер Олександр семенович

МетОди рОзв’язування задач з МатеМатики. теОрІя. Приклади. вПрави

книга 2Головний редактор Богдан Будний

редактор Володимир ДячунХудожник обкладинки Кравчук АндрійКомп’ютерна верстка Андрія Кравчука

Підписано до друку 18.11.2013. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Гарнітура Century Schoolbook. Друк офсетний. Умовн. друк. арк. 34,2. Умовн. фарбо-відб. 34,2.

Видавництво«Навчальнакнига–Богдан»СвідоцтвопровнесеннядоДержавногореєструвидавців

ДК№370від21.03.2001р.Навчальнакнига–Богдан,а/с529,просп.С.Бандери,34а,м.Тернопіль,46008

тел./факс(0352)521966;520607;520548Еmail:[email protected],office@bohdanbooks.com

www.bohdanbooks.com

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 І89

Істер О.С.І-89 Методи розв’язування задач з математики. теорія. Приклади.

Вправи. Книга 2 / О.с. Істер. — тернопіль: Навчальна книга – Бог-дан, 2014. — 576 с.

ISBN 978-966-10-3541-5

Відповідно до закону України «Про авторські та суміжні права» задачі з книги «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» за редакцією М. Сканаві використано як ілюстративний матеріал

Передмова

Упропонованомупосібникувикладеніметодирозв’язуванняза-дачзішкільногокурсуматематики.

Метапосібника—допомогтиучнямстаршихкласівтаабіту-рієнтамсистематизуватисвоїзнання,атакожознайомитисяздея-кимиметодамирозв’язуваннязадач,якимушколізтихчиіншихпричиннеприділяєтьсядостатньоуваги.Так,наприклад,набагатоширше,ніж у шкільних підручниках, викладено такі питання,якрозв´язуваннярівняньвищихстепенів,тригонометричнихталога-рифмічнихрівнянь,системрівнянь,задачінакомбінаціїпросторо-вихтілтабагатоіншихпитань.

Посібникбудекориснимякучнямзагальноосвітніхкласів,такіучнямкласівташкілізпоглибленимвивченнямматематики.За-вдяки набутим знанням наполегливий читач не тільки відмінноскладе державну підсумкову атестацію (ДПА) та зовнішнє неза-лежнеоцінювання(ЗНО),ай«закладефундамент»дляуспішногонавчанняувищомунавчальномузакладі.

Пропонованийпосібникстанеупригодівчителямякпідчасін-дивідуальних, так і підчас групових занять, дозволитьне тількипровестисистемнеповторенняшкільногоматеріалу,айрозгляну-ти,уразінеобхідності,окремітемичирозділи.

Посібникміститьтеоретичнийматеріал(означення,основніма-тематичніфакти,теореми,формули,таблиці),прикладирозв’язуваннязавданьтавправидлясамостійноговиконання.Такаструк-турапосібникадозволяєвикористовуватийого,незвертаючисьдопідручників.

4

Як працювати з посібникомПосібникскладаєтьсяіззанять,якіповністюохоплюютьтеми:

«Прогресії»,«Текстовізадачі»,«Початкианалізу»,«Планіметрія»,«Стереометрія».Цихзанять—36.Кожнезаняттямаєпідпункти.Укожномупідпунктідетальновикладеноодинзметодіврозв’язуванняпевногокласу або типу задач. Зазвичай,напочаткукожногопід-пунктуподанокороткийтеоретичнийматеріал(означення,основнітеоремиіформули),якийнеобхіднознатидлярозв’язуваннязадач.Потімнаведеноконкретніприкладизвикористаннямцьогомето-ду(формули,фактитощо).Весьзадачнийматеріалузятоізнайпо-пулярнішого протягом останніх сорока років збірника задач длявступниківдовищихнавчальнихзакладівзаредакцієюМ.І.Ска-наві(Київ,«Каннон»,1997р.).Томукожназадачамаєпотрійнуну-мерацію:першечислопозначаєномерзаняття,друге—порядко-вийномерзадачівцьомузанятті,трете(вдужках)—йогономерушостомувиданнізбірникаСканавіігрупускладності(А,БчиВ).Укожномузаняттіє10–15вправдлясамостійногорозв’язування,відповідідоякихподанонаприкінцікниги.

Працюючи з книгою, читачможе або вивчати увесьпропоно-ванийматеріал, абовивчатилишетірозділи, які вінуважаєнай-складнішими (наприклад, у випадкудефіцитучасунапідготовкудоДПАчиЗНО). * * *

Читачі, які використовують іншу систему підготовки (напри-клад, працюють з репетитором), можуть використовувати книгуякдовідковийпосібник.Дляцьогонаприкінцікнигиподанозмісткласифікатор,що дає змогу читачевішвидко знайтиметод, якиййогоцікавить.

Такожудодаткуподановідповідністьміжномерамирозв’язанихзадач(запринципом:ліворуч—номерузбірникуСканаві,право-руч—номеруційкнизі).

4 ßê ïðàöþâàòè ç ö³ºþ êíèæêîþ

ßê ïðàöþâàòè ç ö³ºþ êíèæêîþ

Êíèæêà ïîáóäîâàíà ó âèãëÿä³ çàíÿòü, ùî ïîâí³ñòþ îõîï-ëþþòü ïðîãðàìó äëÿ âñòóïíèê³â äî ÂÍÇ. Öèõ çàíÿòü – 36.Êîæíå çàíÿòòÿ ñêëàäàºòüñÿ ç ï³äïóíêò³â. Ó êîæíîìó ï³ä-ïóíêò³ äåòàëüíî âèêëàäåíî ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ âèçíà÷åíîãîêëàñó àáî òèïó çàäà÷. ßê ïðàâèëî, íà ïî÷àòêó êîæíîãî ï³ä-ïóíêòó ïîäàíî êîðîòêèé òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë (âèçíà÷åííÿ,îñíîâí³ òåîðåìè ³ ôîðìóëè), çíàííÿ ÿêîãî íåîáõ³äíî äëÿðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷. Äàë³ íàâåäåíî êîíêðåòí³ ïðèêëàäè íàâèêîðèñòàííÿ äàíîãî ìåòîäó (ôîðìóëè, ôàêòè òîùî). Âåñüçàäàíèé ìàòåð³àë óçÿòî ³ç íàéïîïóëÿðí³øîãî îñòàíí³ 30 ðî-ê³â çá³ðíèêà çàäà÷ äëÿ âñòóïíèê³â ó ÂÍÇ çà ðåäàêö³ºþ Ñêà-íàâ³. Òîìó êîæíà çàäà÷à ìàº ïîòð³éíó íóìåðàö³þ: ïåðøå÷èñëî âêàçóº íîìåð çàíÿòòÿ, äðóãå – ïîðÿäêîâèé íîìåð çàäà÷³â öüîìó çàíÿòò³, òðåòº ( ó äóæêàõ) – éîãî íîìåð ó øîñòîìóâèäàíí³ Ñêàíàâ³ ³ ãðóïó ñêëàäíîñò³ (À, Á ÷è Â). Ó êîæíå çà-íÿòòÿ âêëþ÷åíî 10 – 15 âïðàâ äëÿ ñàìîñò³éíîãî ðîçâ’ÿçóâàí-íÿ, äî ÿêèõ íàïðèê³íö³ êíèæêè ïîäàíî â³äïîâ³ä³.

Ïðàöþþ÷è ç êíèæêîþ, àá³òóð³ºíò ìîæå àáî âèâ÷àòèïðîïîíîâàíèé ìàòåð³àë ó ïîðÿäêó éîãî ïîäàííÿ, àáîâèâ÷àòè ëèøå ò³ ðîçä³ëè, ùî çäàþòüñÿ éîìó íàéñêëàäí³øèìè(ó ðàç³ áðàêó ÷àñó íà ï³äãîòîâêó äî ³ñïèòó).

* * *×èòà÷³, ùî âèêîðèñòîâóþòü ³íøó ñèñòåìó ï³äãîòîâêè äî

³ñïèòó ( ÿê³ ïðàöþþòü ç ðåïåòèòîðàìè), ìîæóòü âèêîðèñòî-âóâàòè êíèæêó ÿê äîâ³äêîâèé ïîñ³áíèê (ðîçâ’ÿçíèê). Ç ö³ºþìåòîþ íàïðèê³íö³ êíèæêè, ó äîäàòêó, íàâåäåíî â³äïîâ³äí³ñòüì³æ íîìåðàìè ðîçâ’ÿçàíèõ çàäà÷ ( çà ïðèíöèïîì: ë³âî-ðó÷ – íîìåð ó çá³ðíèêó Ñêàíàâ³, ïðàâîðó÷ – íîìåð ó ö³éêíèæö³).

Íàïðèê³íö³ êíèæêè íàâåäåíî òàêîæ çì³ñò-êëàñèô³êàòîð, ùî

äàº çìîãó ÷èòà÷åâ³ øâèäêî çíàéòè ìåòîä, ÿêèé éîãî çàö³êàâèâ.

Ç à í ÿ ò ò ÿ 1

Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ

Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ – öå ïîñë³äîâí³ñòü, êîæíèé ÷ëåí

ÿêî¿, ïî÷èíàþ÷è ç äðóãîãî, äîð³âíþº ïîïåðåäíüîìó ÷ëåíó,

äîäàíîìó äî îäíîãî é òîãî ñàìîãî ÷èñëà (öå ÷èñëî íàçèâàºòüñÿ

ð³çíèöåþ àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿).

Ïîçíà÷åííÿ

a1 – ïåðøèé ÷ëåí; d – ð³çíèöÿ; n – ÷èñëî ÷ëåí³â; an – n-é ÷ëåí;

S a a a an n� � � � �1 2 3 . . . – ñóìà ïåðøèõ n ÷ëåí³â.

Ôîðìóëè

a a d a a d a a dn n2 1 3 2 1� � � � � ��; ; ... ; ; d a an n� ��1

� �a a d nn � � �1 1 – ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà àðèôìåòè÷-íî¿ ïðîãðåñ³¿

aa a

n

n n�� 1 1

2.. . , ,. . . , ,. . . , , .a a an k

k

n n k

k

� �

êðîê³â êðîê³â

� ��

. .

aa a

k n

nn k n k�

�

�

� �

2,

äå

ßêùî

k m p q� � � ,

òî

a a a ak m p q� � �

Sa a

nnn�

��1

2

� �S

a d nnn �

� ��

2 1

2

1

Çâè÷àéíî ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷ íà àðèôìåòè÷íó ïðî-

ãðåñ³þ âñ³ íåâ³äîì³ âèðàæàþòü ÷åðåç a1 ³ d ( ³ ïðè íåîáõ³äíîñò³ n).

Ñêëàâøè ð³âíÿííÿ (÷è ê³ëüêà ð³âíÿíü), çíàõîäèìî ö³ âåëè÷èíè,

à ïîò³ì òå, ùî íåîáõ³äíî çíàéòè â çàäà÷³.

Êîðèñíî çíàòè òàêå: ÿêùî ÷èñëà a, b ³ c º ïîñë³äîâíèìè

÷ëåíàìè àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿, òî 2 b a c� � .

Ðîçä³ë 1. Ïðîãðåñ³¿

1. Çíàõîäæåííÿ ÷ëåí³â àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿,¿¿ ð³çíèö³ d ³ ÷èñëà ÷ëåí³â n.

Çàäà÷à 1.1 (4.004-À).

Çíàéäåìî òðè ïåðøèõ ÷ëåíè a a a1 2 3, , àðèôìåòè÷íî¿ ïðî-

ãðåñ³¿, ÿêùî â³äîìî, ùî a a a a a a1 3 5 1 3 512 80� � � � �; .

Ðîçâ’ÿçàííÿ.

Îñê³ëüêè a a d a a d3 1 5 12 4� � � �, , òî ìàºìî

a a d a d

a a d a d

a d1 1 1

1 1 1

12 4 12

2 4 80

3 6� � � � � �

� � �

�

� � �,

( ) ( ) ;

12

2 4 801 1 1

,

( ) ( ) ;a a d a d� � �

�

a d

a a d

a d

d

1

1 1

12 4

4 4 80

4 2

4 2 4 2

� � �

� � �

�

� � �

� � � �

,

( )( ) ;

,

( ) ( d d

a d

d� � �

�

� � �

�

�4 20

4 2

9

1

2) ;

,

.

Òîä³ :

1) d a a a' ; ' ; ' ; ' ;� � � � � � � � � � � � � � � � �3 4 2 3 10 10 3 7 7 3 41 2 3

2) � �d a a a" ; " ; " ; " .� � � � � � � � � � � � � � � � �3 4 2 3 2 2 3 1 1 3 41 2 3

Â³äïîâ³äü: 1) –10 ; –7; – 4; 2) 2 ; – 1; – 4.

Çàäà÷à 1.2 (4.014-À).

Â³äîìî, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó n ñóìà S n ÷ëåí³â äåÿêî¿ àðèôìå-

òè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿ âèðàæàºòüñÿ ôîðìóëîþ S n nn � �4 32 . Çíàéòè

òðè ïåðøèõ ÷ëåíè ö³º¿ ïðîãðåñ³¿.


Çðîçóì³ëî, ùî a S1 1

24 1 3 1 1� � � � � � .Îñê³ëüêè S à a2 1 2� � , òî

a S a2 2 1

24 2 3 2 1 9� � � � � � � � .

Òîä³ d a a� � � � �2 1 9 1 8 ³ a a d3 2 9 8 17� � � � � .

Â³äïîâ³äü: 1; 9 ; 17.

Çàäà÷à 1.3 (4.031-À).

Â³äîìî, ùî çíà÷åííÿ âíóòð³øí³õ êóò³â äåÿêîãî îïóêëîãî

ìíîãîêóòíèêà, íàéìåíøèé êóò ÿêîãî äîð³âíþº 120� , óòâîðþ-

þòü àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ ç ð³çíèöåþ5� . Âèçíà÷èòè ê³ëüê³ñòü

ñòîð³í öüîãî ìíîãîêóòíèêà.


Íåõàé ó ìíîãîêóòíèêà n ñòîð³í (êóò³â). Òîä³ � �S nn � � �180 2 .

Ç ³íøîãî áîêó (âðàõîâóþ÷è a d1 120 5� �� ; ), ìàºìî

6 Ðîçä³ë 1

� � � �S

a d nn

nnn �

� ��

� ��

2 1

2

240 5 1

2

1

� �

.

Òîä³ :

� �180 2235 5

225 144 02�

� �

nn

n n n� ��

� � � �, .

Çâ³äñè n n1 216 9� �; .

1) ßêùî n = 16, òî íàéá³ëüøèé êóò òàêîãî ìíîãîêóòíèêà

� �a16 120 16 1 5 195 180� � � � � � � � � , ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³, îñ-

ê³ëüêè ìíîãîêóòíèê îïóêëèé.

2) ßêùî n = 9, òî íàéá³ëüøèé êóò � �a9 120 9 1 5� � � � ��

� �160 180� � , ùî çàäîâîëüíÿº óìîâ³.

Â³äïîâ³äü: 9 ñòîð³í.

Çàäà÷à 1.4 (4.038-Á).

Â³äîìî, ùî â äåÿêó àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ âõîäÿòü ÷ëåíè

a n2 ³ a m2 òàê³, ùîa

a

n

m

2

2

1� � . ×è º ÷ëåí ö³º¿ ïðîãðåñ³¿, ùî äîð³âíþº

íóëþ? ßêùî òàê, òî ÿêèé íîìåð öüîãî ÷ëåíà?Ðîçâ’ÿçàííÿ.

Â³äïîâ³äíî äî óìîâè, ìàºìî a an m2 2� � ³ a an m2 2 0� � . Òîä³

� � � � � �a d n a d m a d n m1 1 12 1 2 1 0 2 2 2 2 0� � � � � � � � � �, ;

� �a d n m1 1 0� � � � .

Îäíàê � �a d n m an m1 1� � � � � . Îòæå, ïðîãðåñ³ÿ ì³ñòèòü ÷ëåí,

ÿêèé äîð³âíþº íóëþ. Éîãî íîìåð n+m.

Â³äïîâ³äü: òàê; n + m .

Çàäà÷à 1.5 (4.070-Â).

Â³äîìî, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó n ñóìà ïåðøèõ n ÷ëåí³â äåÿêî¿

÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³ âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ S n nn � �2 32 .

Çíàéòè äåñÿòèé ÷ëåí ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ ³ äîâåñòè, ùî öÿ

ïîñë³äîâí³ñòü º àðèôìåòè÷íîþ ïðîãðåñ³ºþ.


Îñê³ëüêè S a a an n� � � �1 2 . . . , à S a an� � � �1 1 2 . . . � � �a an n 1, òî

a S Sn n n� �� 1 1 .

Òîä³

a S S10 10 9� � � � � � �� 2 10 3 10 2 9 3 9 412 2 .

Çàíÿòòÿ 1 7

1. Çíàõîäæåííÿ ÷ëåí³â àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿,¿¿ ð³çíèö³ d ³ ÷èñëà ÷ëåí³â n.

Çàäà÷à 1.1 (4.004-À).

Çíàéäåìî òðè ïåðøèõ ÷ëåíè a a a1 2 3, , àðèôìåòè÷íî¿ ïðî-

ãðåñ³¿, ÿêùî â³äîìî, ùî a a a a a a1 3 5 1 3 512 80� � � � �; .


Îñê³ëüêè a a d a a d3 1 5 12 4� � � �, , òî ìàºìî

a a d a d

a a d a d

a d1 1 1

1 1 1

12 4 12

2 4 80

3 6� � � � � �

� � �

�

� � �,

( ) ( ) ;

12

2 4 801 1 1

,

( ) ( ) ;a a d a d� � �

�

a d

a a d

a d

d

1

1 1

12 4

4 4 80

4 2

4 2 4 2

� � �

� � �

�

� � �

� � � �

,

( )( ) ;

,

( ) ( d d

a d

d� � �

�

� � �

�

�4 20

4 2

9

1

2) ;

,

.

Òîä³ :

1) d a a a' ; ' ; ' ; ' ;� � � � � � � � � � � � � � � � �3 4 2 3 10 10 3 7 7 3 41 2 3

2) � �d a a a" ; " ; " ; " .� � � � � � � � � � � � � � � � �3 4 2 3 2 2 3 1 1 3 41 2 3

Â³äïîâ³äü: 1) –10 ; –7; – 4; 2) 2 ; – 1; – 4.

Çàäà÷à 1.2 (4.014-À).

Â³äîìî, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó n ñóìà S n ÷ëåí³â äåÿêî¿ àðèôìå-

òè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿ âèðàæàºòüñÿ ôîðìóëîþ S n nn � �4 32 . Çíàéòè

òðè ïåðøèõ ÷ëåíè ö³º¿ ïðîãðåñ³¿.


Çðîçóì³ëî, ùî a S1 1

24 1 3 1 1� � � � � � .Îñê³ëüêè S à a2 1 2� � , òî

a S a2 2 1

24 2 3 2 1 9� � � � � � � � .

Òîä³ d a a� � � � �2 1 9 1 8 ³ a a d3 2 9 8 17� � � � � .

Â³äïîâ³äü: 1; 9 ; 17.

Çàäà÷à 1.3 (4.031-À).

Â³äîìî, ùî çíà÷åííÿ âíóòð³øí³õ êóò³â äåÿêîãî îïóêëîãî

ìíîãîêóòíèêà, íàéìåíøèé êóò ÿêîãî äîð³âíþº 120� , óòâîðþ-

þòü àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ ç ð³çíèöåþ5� . Âèçíà÷èòè ê³ëüê³ñòü

ñòîð³í öüîãî ìíîãîêóòíèêà.


Íåõàé ó ìíîãîêóòíèêà n ñòîð³í (êóò³â). Òîä³ � �S nn � � �180 2 .

Ç ³íøîãî áîêó (âðàõîâóþ÷è a d1 120 5� �� ; ), ìàºìî

6 Ðîçä³ë 1

� � � �S

a d nn

nnn �

� ��

� ��

2 1

2

240 5 1

2

1

� �

.

Òîä³ :

� �180 2235 5

225 144 02�

� �

nn

n n n� ��

� � � �, .

Çâ³äñè n n1 216 9� �; .

1) ßêùî n = 16, òî íàéá³ëüøèé êóò òàêîãî ìíîãîêóòíèêà

� �a16 120 16 1 5 195 180� � � � � � � � � , ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³, îñ-

ê³ëüêè ìíîãîêóòíèê îïóêëèé.

2) ßêùî n = 9, òî íàéá³ëüøèé êóò � �a9 120 9 1 5� � � � ��

� �160 180� � , ùî çàäîâîëüíÿº óìîâ³.

Â³äïîâ³äü: 9 ñòîð³í.

Çàäà÷à 1.4 (4.038-Á).

Â³äîìî, ùî â äåÿêó àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ âõîäÿòü ÷ëåíè

a n2 ³ a m2 òàê³, ùîa

a

n

m

2

2

1� � . ×è º ÷ëåí ö³º¿ ïðîãðåñ³¿, ùî äîð³âíþº

íóëþ? ßêùî òàê, òî ÿêèé íîìåð öüîãî ÷ëåíà?Ðîçâ’ÿçàííÿ.

Â³äïîâ³äíî äî óìîâè, ìàºìî a an m2 2� � ³ a an m2 2 0� � . Òîä³

� � � � � �a d n a d m a d n m1 1 12 1 2 1 0 2 2 2 2 0� � � � � � � � � �, ;

� �a d n m1 1 0� � � � .

Îäíàê � �a d n m an m1 1� � � � � . Îòæå, ïðîãðåñ³ÿ ì³ñòèòü ÷ëåí,

ÿêèé äîð³âíþº íóëþ. Éîãî íîìåð n+m.

Â³äïîâ³äü: òàê; n + m .

Çàäà÷à 1.5 (4.070-Â).

Â³äîìî, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó n ñóìà ïåðøèõ n ÷ëåí³â äåÿêî¿

÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³ âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ S n nn � �2 32 .

Çíàéòè äåñÿòèé ÷ëåí ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ ³ äîâåñòè, ùî öÿ

ïîñë³äîâí³ñòü º àðèôìåòè÷íîþ ïðîãðåñ³ºþ.


Îñê³ëüêè S a a an n� � � �1 2 . . . , à S a an� � � �1 1 2 . . . � � �a an n 1, òî

a S Sn n n� �� 1 1 .

Òîä³

a S S10 10 9� � � � � � �� 2 10 3 10 2 9 3 9 412 2 .

Çàíÿòòÿ 1 7

Ðîçãëÿíåìî ð³çíèöþ äâîõ áóäü-ÿêèõ ñóñ³äí³õ ÷ëåí³â ö³º¿

ïîñë³äîâíîñò³:

� � � �a a S S S S S S Sn n n n n n n n n� � � � �� 1 1 1 1 12

� � � � � � � � � �� 2 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 42 2 2

n n n n n n .

Òîáòî, ïîñë³äîâí³ñòü � �an – àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ, ïðè-

÷îìó d � 4 .

Â³äïîâ³äü: 41.

Çàäà÷à 1.6 (4.075-B).

Ïîñë³äîâí³ñòü ÷èñåë 1, 8, 22, 43... ìàº òó âëàñòèâ³ñòü, ùî

ð³çíèö³ äâîõ ñóñ³äí³õ ÷ëåí³â (íàñòóïíîãî ³ ïîïåðåäíüîãî)

óòâîðþþòü àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ 7, 14, 21, … Çíàéòè íîìåð

÷ëåíà ïîñë³äîâíîñò³, ùî äîð³âíþº 35 351.


Ïîçíà÷èìî ÷ëåíè ïîñë³äîâíîñò³:

x1 8� ; x x x xn2 3 48 22 43 35351� � � �; ; ; . . . ; .

Òîä³x x x x2 1 3 27 7 2� � � � �; ; � �x x x x nn n4 3 17 3 7 1� � � � � � ��; . . . ; .

Äîäàâøè ïî÷ëåííî ö³ ð³âíîñò³, ìàºìî

� �x x nn � � � � � � � � � �1 7 7 2 7 3 7 1.. . ;

� �� 35351 1 7 1 2 3 1� � � � � � �. . . ;n

� �1 2 3 1 5050� � � � � �. . . n .

Ó ë³â³é ÷àñòèí³ öüîãî ð³âíÿííÿ ñóìà (n – 1) ÷ëåí³â àðèôìå-

òè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿:

� ��

� ��

1 2 3 11 1

21

1

2� � � � � �

� ��

�. . . n

nn

n n.

Òîä³ n n n n2

1 210 100 0 101 100� � � � � �; ; – íå ï³äõîäèòü çà

óìîâîþ çàäà÷³, îñê³ëüêè n N� . Îòæå, ÷èñëî 35 351 ó äàí³é ïî-

ñë³äîâíîñò³ º 101-ì ÷ëåíîì.

Â³äïîâ³äü: 101.

Âïðàâè

1.7 (4.007-À). Ïîä³ëèâøè äåâ’ÿòèé ÷ëåí àðèôìåòè÷íî¿ ïðî-

ãðåñ³¿ íà äðóãèé, ó ÷àñòö³ ä³ñòàëè 5, à ïîä³ëèâøè òðèíàäöÿòèé

÷ëåí íà øîñòèé, ó ÷àñòö³ ä³ñòàëè 2 ³ â îñòà÷³ 5. Çíàéòè ïåðøèé

÷ëåí ³ ð³çíèöþ ïðîãðåñ³¿.

8 Ðîçä³ë 1

1.8 (4.011-À). Ñóìà òðüîõ ÷èñåë, ùî óòâîðþþòü àðèôìåòè÷-

íó ïðîãðåñ³þ, äîð³âíþº 2, à ñóìà êâàäðàò³â öèõ ñàìèõ ÷èñåë14

9.

Çíàéòè ö³ ÷èñëà.1.9 (4.021-À). Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ ìàº òàêó âëàñòèâ³ñòü:

ïðè áóäü-ÿêîìó n ñóìà ¿¿ ïåðøèõ ÷ëåí³â äîð³âíþº 5 2n . Çíàéòè

ð³çíèöþ ö³º¿ ïðîãðåñ³¿ ³ òðè ïåðøèõ ÷ëåíè.

1.10 (4.067-Á). Ñóìà òðüîõ ÷èñåë äîð³âíþº11

18, à ñóìà îáåðíå-

íèõ ¿ì ÷èñåë, ùî óòâîðþþòü àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ, äîð³âíþº18. Çíàéòè ö³ ÷èñëà .

2. Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì.

Çàäà÷à 1.11 (4.015-À).

Îá÷èñëèòè � �� 1 3 5 2 1 1992 2 2 2� � � � � � �. . . . . .n

� �� 2 4 6 2 2002 2 2 2 2. . . . . .n .


Çãðóïóºìî ÷ëåíè òàêèì ñïîñîáîì:

� � � � � � � � � �� A n n� � � � � � � � � � � �1 2 3 4 5 6 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2. . . . . .

� � � �� 199 200 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 62 2 . . .

� � � � � �� 2 1 2 2 1 2 199 200 199 200n n n n . . .

� �� 3 7 11 4 1 399.. . . . .n .

Ó äóæêàõ çàïèñàíî ñóìó ÷ëåí³â àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿, ó

ÿêî¿ a d an1 3 7 3 4 399� � � � �; ; .

Çíàéäåìî n ç óìîâè

� �a a d nn � � �1 1 ; na a

d

n��

� ��

� �1 1399 3

41 100.

Òîä³ A � ��

� � �3 399

2100 20 100.

Â³äïîâ³äü: – 20 100.

Çàäà÷à 1.12 (4.041-Á).

Çíàéòè ö³ëå äîäàòíå n ³ç ð³âíÿííÿ

� �� 3 6 9 3 1 4 5 5 78 3

2137� � � � � � � � � �

��

��

�

�� . . . , . . .n

n.

Çàíÿòòÿ 1 9

х1=1;

Ç à í ÿ ò ò ÿ 1 5

Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê

Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè êàòåòè

ÂÑ = à, ÀÑ = b, ã³ïîòåíóçó ÀÂ = ñ. Ãîñòð³ êóòè �ÂÀÑ = �,

�ÑÂÀ = � (ðèñ. 61).

1. Òåîðåìà Ï³ôàãîðà

1) Òåîðåìà Ï³ôàãîðà: ó ïðÿìîêóòíîìó

òðèêóòíèêó ñóìà êâàäðàò³â êàòåò³â äîð³â-

íþº êâàäðàòó ã³ïîòåíóçè

a b c2 2 2� � .

2) Tåîðåìà, îáåðíåíà äî òåîðåìè

Ï³ôàãîðà: ÿêùî â äåÿêîìó òðèêóòíèêó

êâàäðàò ñòîðîíè äîð³âíþº ñóì³ êâàäðàò³â

äâîõ ³íøèõ ñòîð³í, òî öåé òðèêóòíèê –

ïðÿìîêóòíèé, ïðè÷îìó ïðÿìèì º êóò,

óòâîðåíèé äâîìà îñòàíí³ìè ñòîðîíàìè.

Çàäà÷à 15.1 (10.001-À) .

Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó òî÷êà äîòèêó âïèñàíîãî êîëà

ä³ëèòü ã³ïîòåíóçó íà â³äð³çêè çàâäîâæêè 5 ³ 12 ñì. Çíàéòè êàòåòè

òðèêóòíèêà.


Íåõàé K, L, M – òî÷êè äîòèêó, òîä³ ÀÊ=5 ñì, ÊÂ=12 ñì

(ðèñ.62). BL=BK=12 ñì, ÀÌ=ÀÊ=5 ñì ÿê äîâæèíè â³äð³çê³â

äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ ç îäí³º¿ òî÷êè. Íåõàé ÑÌ=ÑL=x (ñì).

Òîä³ ÀÑ=ÀÌ+ÌÑ = 5 +x; CB = CL+LB = = x +12 . Îñê³ëüêè

ÀÂ=ÀÊ+ÊÂ=5 +12 =17 ñì, òî, âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìó

Ï³ôàãîðà, ìàºìî

AB AC CB2 2 2� � ;

� � � �17 5 122 2 2� � � �x x ;

x x2 17 60 0� � � .

Âðàõîâóþ÷è x � 0, ìàºìî x � 3 .

Òîä³ AC � � �5 3 8 ñì,

BC � � �3 12 15 ñì.

Â³äïîâ³äü: 8 ³ 15 ñì.

Ðîçä³ë 4. Ïëàí³ìåòð³ÿ

Ðèñ.61

Ðèñ.62

Çàäà÷à 15.2 (10.256-Á) .

Äîâæèíè äâîõ ñòîð³í ãîñòðîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³â-

íþþòü 13 10³ ñì. Çíàéòè äîâæèíó òðåòüî¿ ñòîðîíè, çíàþ÷è,

ùî öÿ ñòîðîíà äîð³âíþº ïðîâåäåí³é äî íå¿ âèñîò³.


ÀÂ = 10 ñì, ÀÑ= 13ñì, ÀÊ – âèñîòà,

ÀÊ=ÂÑ (ðèñ. 63). Îñê³ëüêè òðèêóòíèê

ãîñòðîêóòíèé, òî òî÷êà Ê íàëåæèòü

â³äð³çêó ÂÑ. Ïîçíà÷èìî

ÀÊ = ÂÑ = x, BK = y.

Òîä³ ÊÑ = ÂÑ – ÂÊ = x – y.

Ó �ÀÊÂ :

ÀÂ ÂÊ ÀÊ x y2 2 2 2 210� � � �, .

Ó �ÀÊÑ :

� �ÀÑ ÀÊ ÊÑ x y x2 2 2 2 2

13� � � � �, .

Ìàºìî ñèñòåìó

� �x y

x y x

x y

x xy y

2 2

2 2

2 2

2 2

10

13

10

2 2 13

� �

� � �

��

��

� �

� � �

��

,

;

,

.�

Ñèñòåìà ð³âíÿíü, ë³â³ ÷àñòèíè ÿêèõ îäíîð³äí³. Âèêîíàºìî

çàì³íó ó = tx. Ìàºìî

� ��

x t

x t t

t

t tt

2 2

2 2

2

2

21 10

2 2 13

1

2 2

10

133 2

� �

� � �

��

��

�

� ��

,

;; 0 7 0t � � .

Âðàõîâóþ÷è t � 0, ìàºìî t �1

3. Òîä³ y

x�

3³ x

x2

2

310��

��

�� ,

çâ³äñè x � 3. Îòæå, ÂÑ=3 ñì.

Â³äïîâ³äü: 3 ñì.

Çàäà÷à 15.3 (10.269-Á) .

Âèñîòè òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü 12, 15 ³ 20 ñì. Äîâåä³òü, ùî

òðèêóòíèê ïðÿìîêóòíèé.


Âèñîòè òðèêóòíèêà ha � 15 ñì, hb � 20 ñì, hc � 12 ñì

ïðîâåäåíî äî ñòîð³í a, b ³ c â³äïîâ³äíî. Â³äîìî, ùî ïëîùà

òðèêóòíèêà

S ah bh cha b c� � �1

2

1

2

1

2.

Çàíÿòòÿ 15 201

Ðèñ. 63

Тоді АС = АМ + МС = 5 + х; СВ = CL + LB = х + 12. Оскільки

Ç à í ÿ ò ò ÿ 1 5

Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê

Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè êàòåòè

ÂÑ = à, ÀÑ = b, ã³ïîòåíóçó ÀÂ = ñ. Ãîñòð³ êóòè �ÂÀÑ = �,

�ÑÂÀ = � (ðèñ. 61).

1. Òåîðåìà Ï³ôàãîðà

1) Òåîðåìà Ï³ôàãîðà: ó ïðÿìîêóòíîìó

òðèêóòíèêó ñóìà êâàäðàò³â êàòåò³â äîð³â-

íþº êâàäðàòó ã³ïîòåíóçè

a b c2 2 2� � .

2) Tåîðåìà, îáåðíåíà äî òåîðåìè

Ï³ôàãîðà: ÿêùî â äåÿêîìó òðèêóòíèêó

êâàäðàò ñòîðîíè äîð³âíþº ñóì³ êâàäðàò³â

äâîõ ³íøèõ ñòîð³í, òî öåé òðèêóòíèê –

ïðÿìîêóòíèé, ïðè÷îìó ïðÿìèì º êóò,

óòâîðåíèé äâîìà îñòàíí³ìè ñòîðîíàìè.

Çàäà÷à 15.1 (10.001-À) .

Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó òî÷êà äîòèêó âïèñàíîãî êîëà

ä³ëèòü ã³ïîòåíóçó íà â³äð³çêè çàâäîâæêè 5 ³ 12 ñì. Çíàéòè êàòåòè



Íåõàé K, L, M – òî÷êè äîòèêó, òîä³ ÀÊ=5 ñì, ÊÂ=12 ñì

(ðèñ.62). BL=BK=12 ñì, ÀÌ=ÀÊ=5 ñì ÿê äîâæèíè â³äð³çê³â

äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ ç îäí³º¿ òî÷êè. Íåõàé ÑÌ=ÑL=x (ñì).

Òîä³ ÀÑ=ÀÌ+ÌÑ = 5 +x; CB = CL+LB = = x +12 . Îñê³ëüêè

ÀÂ=ÀÊ+ÊÂ=5 +12 =17 ñì, òî, âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìó

Ï³ôàãîðà, ìàºìî

AB AC CB2 2 2� � ;

� � � �17 5 122 2 2� � � �x x ;

x x2 17 60 0� � � .

Âðàõîâóþ÷è x � 0, ìàºìî x � 3 .

Òîä³ AC � � �5 3 8 ñì,

BC � � �3 12 15 ñì.

Â³äïîâ³äü: 8 ³ 15 ñì.

Ðîçä³ë 4. Ïëàí³ìåòð³ÿ

Ðèñ.61

Ðèñ.62

Çàäà÷à 15.2 (10.256-Á) .

Äîâæèíè äâîõ ñòîð³í ãîñòðîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³â-

íþþòü 13 10³ ñì. Çíàéòè äîâæèíó òðåòüî¿ ñòîðîíè, çíàþ÷è,

ùî öÿ ñòîðîíà äîð³âíþº ïðîâåäåí³é äî íå¿ âèñîò³.


ÀÂ = 10 ñì, ÀÑ= 13ñì, ÀÊ – âèñîòà,

ÀÊ=ÂÑ (ðèñ. 63). Îñê³ëüêè òðèêóòíèê

ãîñòðîêóòíèé, òî òî÷êà Ê íàëåæèòü

â³äð³çêó ÂÑ. Ïîçíà÷èìî

ÀÊ = ÂÑ = x, BK = y.

Òîä³ ÊÑ = ÂÑ – ÂÊ = x – y.

Ó �ÀÊÂ :

ÀÂ ÂÊ ÀÊ x y2 2 2 2 210� � � �, .

Ó �ÀÊÑ :

� �ÀÑ ÀÊ ÊÑ x y x2 2 2 2 2

13� � � � �, .

Ìàºìî ñèñòåìó

� �x y

x y x

x y

x xy y

2 2

2 2

2 2

2 2

10

13

10

2 2 13

� �

� � �

��

��

� �

� � �

��

,

;

,

.�

Ñèñòåìà ð³âíÿíü, ë³â³ ÷àñòèíè ÿêèõ îäíîð³äí³. Âèêîíàºìî

çàì³íó ó = tx. Ìàºìî

� ��

x t

x t t

t

t tt

2 2

2 2

2

2

21 10

2 2 13

1

2 2

10

133 2

� �

� � �

��

��

�

� ��

,

;; 0 7 0t � � .

Âðàõîâóþ÷è t � 0, ìàºìî t �1

3. Òîä³ y

x�

3³ x

x2

2

310��

��

�� ,

çâ³äñè x � 3. Îòæå, ÂÑ=3 ñì.

Â³äïîâ³äü: 3 ñì.

Çàäà÷à 15.3 (10.269-Á) .

Âèñîòè òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü 12, 15 ³ 20 ñì. Äîâåä³òü, ùî

òðèêóòíèê ïðÿìîêóòíèé.


Âèñîòè òðèêóòíèêà ha � 15 ñì, hb � 20 ñì, hc � 12 ñì

ïðîâåäåíî äî ñòîð³í a, b ³ c â³äïîâ³äíî. Â³äîìî, ùî ïëîùà

òðèêóòíèêà

S ah bh cha b c� � �1

2

1

2

1

2.


Ðèñ. 63

AB2 = AК2+BК2,10=x2+y2.

AС2 = AК2+КС2,13=x2+(х–y)2.

х–y ,—систему

Òîä³ aS

hb

S

hc

S

ha b c

� � �2 2 2

; ; .

Ïåðåâ³ðèìî âèêîíàííÿ ð³âíîñò³ a b c2 2 2� � . Ìàºìî

� �a bS S

S2 2

2 222

15

2

202

1

225

1

400� � �

��

��

��

��

��

��

� ��

��

�

��

�

�� 2

1

144

2

12

222 2

2S

S S

hc

c

.

Îòæå, òðèêóòíèê ïðÿìîêóòíèé.

Âïðàâè

15.4 (10.051-À). Òðè êîëà ð³çíèõ ðàä³óñ³â ïîïàðíî äîòè-

êàþòüñÿ îäíå äî îäíîãî. Ïðÿì³, ùî ñïîëó÷àþòü ¿õí³ öåíòðè, óò-

âîðþþòü ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê. Çíàéòè ðàä³óñ ìåíøîãî êî-

ëà, ÿêùî ðàä³óñè á³ëüøîãî ³ ñåðåäíüîãî ê³ë äîð³âíþþòü 6 ³ 4 ñì.

15.5 (10.173-À). Äîâæèíè ñòîð³í ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà

óòâîðþþòü àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ ç ð³çíèöåþ 1ñì. Çíàéòè

äîâæèíó ã³ïîòåíóçè.

2. Âëàñòèâ³ñòü êàòåòà, ùî ëåæèòü ïðîòè êóòà30� . Âëàñòèâ³ñòü ìåä³àíè, ïðîâåäåíî¿ äî ã³ïîòåíóçè.

1) Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó êàòåò, ùî ëåæèòü ïðîòè êóòà

30� , äîð³âíþº ïîëîâèí³ ã³ïîòåíóçè.

2) ßêùî â ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó êàòåò äîð³âíþº

ïîëîâèí³ ã³ïîòåíóçè, òî â³í ëåæèòü ïðîòè êóòà 30� .

3) Ìåä³àíà, ïðîâåäåíà äî ã³ïîòåíóçè, äîð³âíþº ïîëîâèí³

ã³ïîòåíóçè. Ñåðåäèíà ã³ïîòåíóçè º öåíòðîì îïèñàíîãî êîëà.

Çàäà÷à 15.6 (10.021-À) .

Ìåä³àíà, ïðîâåäåíà äî ã³ïîòåíóçè ïðÿìîêóòíîãî òðè-

êóòíèêà, äîð³âíþº m ³ ä³ëèòü ïðÿìèé êóò ó â³äíîøåíí³ 1:2 .

Çíàéòè ñòîðîíè òðèêóòíèêà.


CM m� – ìåä³àíà, ïðîâåäåíà äî ã³ïîòåíóçè ÀÂ (ðèñ. 64).

Òîä³ AB m� 2 . Îñê³ëüêè �ACM: �MCB=1:2 ³ �ACM+�MCB =

=90� , òî �ACM = 30� , �MCB = 60� . Îñê³ëüêè AM=MC, òî

ACM – ð³âíîáåäðåíèé ³ �A=� MCA= 30� .

202 Ðîçä³ë 4

Òîä³ CBAB m

m� � �2

2

2(êàòåò , ùî ëåæèòü

ïðîòè êóòà 30� ) ³

� �AC AB BC m m m� � � � �2 2 2 22 3.

Â³äïîâ³äü: m m m, 3 2³ .

3. Êîëî , âïèñàíå â ïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê.

1) Öåíòð âïèñàíîãî â òðèêóòíèê êîëà

ëåæèòü ó òî÷ö³ ïåðåòèíó á³ñåêòðèñ òðè-

êóòíèêà.

2) Ðàä³óñ âïèñàíîãî êîëà r âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

rS

p� ,

äå S – ïëîùà òðèêóòíèêà; ð –éîãî ï³âïåðèìåòð.

3) Äëÿ ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ìîæåìî êîðèñòóâàòèñÿ

ôîðìóëîþ

ra b c

��

2,

äå a, b – êàòåòè, c – ã³ïîòåíóçà.

Çàäà÷à 15.7 (10.226-Á) .

Ó ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê âïèñàíî êîëî. Òî÷êà äîòèêó

ä³ëèòü ã³ïîòåíóçó ó â³äíîøåíí³ 2:3. Çíàéòè ñòîðîíè

òðèêóòíèêà, ÿêùî öåíòð âïèñàíîãî êîëà â³ääàëåíèé â³ä

âåðøèíè ïðÿìîãî êóòà íà â³äñòàíü 8 ñì.


Î – öåíòð âïèñàíîãî êîëà, ÑÎ � 8 ñì ,

M, K, L – òî÷êè äîòèêó (ðèñ. 65). Îñê³ëüêè

ÌÎLC – êâàäðàò, ñòîðîíà ÿêîãî r, òî

� �r r2 2

2

8� � , çâ³äñè r � 2 .

Ïîçíà÷èìî KB x� 2 , AK x� 3 (âèõîäÿ÷è

ç óìîâè). Òîä³ AB x� 5 . Òàêîæ ìàºìî

AM AK x� � 3 ³ AC AM MC x� � � �3 2,

BL BK x� � 2 ³ BC BL LC x� � � �2 2.

Ìàºìî AB AC CB2 2 2� � ;


Ðèñ. 64

Ðèñ.65

Òîä³ aS

hb

S

hc

S

ha b c

� � �2 2 2

; ; .

Ïåðåâ³ðèìî âèêîíàííÿ ð³âíîñò³ a b c2 2 2� � . Ìàºìî

� �a bS S

S2 2

2 222

15

2

202

1

225

1

400� � �

��

��

��

��

��

��

� ��

��

�

��

�

�� 2

1

144

2

12

222 2

2S

S S

hc

c

.

Îòæå, òðèêóòíèê ïðÿìîêóòíèé.

Âïðàâè

15.4 (10.051-À). Òðè êîëà ð³çíèõ ðàä³óñ³â ïîïàðíî äîòè-

êàþòüñÿ îäíå äî îäíîãî. Ïðÿì³, ùî ñïîëó÷àþòü ¿õí³ öåíòðè, óò-

âîðþþòü ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê. Çíàéòè ðàä³óñ ìåíøîãî êî-

ëà, ÿêùî ðàä³óñè á³ëüøîãî ³ ñåðåäíüîãî ê³ë äîð³âíþþòü 6 ³ 4 ñì.

15.5 (10.173-À). Äîâæèíè ñòîð³í ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà

óòâîðþþòü àðèôìåòè÷íó ïðîãðåñ³þ ç ð³çíèöåþ 1ñì. Çíàéòè

äîâæèíó ã³ïîòåíóçè.

2. Âëàñòèâ³ñòü êàòåòà, ùî ëåæèòü ïðîòè êóòà30� . Âëàñòèâ³ñòü ìåä³àíè, ïðîâåäåíî¿ äî ã³ïîòåíóçè.

1) Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó êàòåò, ùî ëåæèòü ïðîòè êóòà

30� , äîð³âíþº ïîëîâèí³ ã³ïîòåíóçè.

2) ßêùî â ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó êàòåò äîð³âíþº

ïîëîâèí³ ã³ïîòåíóçè, òî â³í ëåæèòü ïðîòè êóòà 30� .

3) Ìåä³àíà, ïðîâåäåíà äî ã³ïîòåíóçè, äîð³âíþº ïîëîâèí³

ã³ïîòåíóçè. Ñåðåäèíà ã³ïîòåíóçè º öåíòðîì îïèñàíîãî êîëà.

Çàäà÷à 15.6 (10.021-À) .

Ìåä³àíà, ïðîâåäåíà äî ã³ïîòåíóçè ïðÿìîêóòíîãî òðè-

êóòíèêà, äîð³âíþº m ³ ä³ëèòü ïðÿìèé êóò ó â³äíîøåíí³ 1:2 .

Çíàéòè ñòîðîíè òðèêóòíèêà.


CM m� – ìåä³àíà, ïðîâåäåíà äî ã³ïîòåíóçè ÀÂ (ðèñ. 64).

Òîä³ AB m� 2 . Îñê³ëüêè �ACM: �MCB=1:2 ³ �ACM+�MCB =

=90� , òî �ACM = 30� , �MCB = 60� . Îñê³ëüêè AM=MC, òî

ACM – ð³âíîáåäðåíèé ³ �A=� MCA= 30� .

202 Ðîçä³ë 4

Òîä³ CBAB m

m� � �2

2

2(êàòåò , ùî ëåæèòü

ïðîòè êóòà 30� ) ³

� �AC AB BC m m m� � � � �2 2 2 22 3.

Â³äïîâ³äü: m m m, 3 2³ .

3. Êîëî , âïèñàíå â ïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê.

1) Öåíòð âïèñàíîãî â òðèêóòíèê êîëà

ëåæèòü ó òî÷ö³ ïåðåòèíó á³ñåêòðèñ òðè-

êóòíèêà.

2) Ðàä³óñ âïèñàíîãî êîëà r âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

rS

p� ,

äå S – ïëîùà òðèêóòíèêà; ð –éîãî ï³âïåðèìåòð.

3) Äëÿ ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ìîæåìî êîðèñòóâàòèñÿ

ôîðìóëîþ

ra b c

��

2,

äå a, b – êàòåòè, c – ã³ïîòåíóçà.

Çàäà÷à 15.7 (10.226-Á) .

Ó ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê âïèñàíî êîëî. Òî÷êà äîòèêó

ä³ëèòü ã³ïîòåíóçó ó â³äíîøåíí³ 2:3. Çíàéòè ñòîðîíè

òðèêóòíèêà, ÿêùî öåíòð âïèñàíîãî êîëà â³ääàëåíèé â³ä

âåðøèíè ïðÿìîãî êóòà íà â³äñòàíü 8 ñì.


Î – öåíòð âïèñàíîãî êîëà, ÑÎ � 8 ñì ,

M, K, L – òî÷êè äîòèêó (ðèñ. 65). Îñê³ëüêè

ÌÎLC – êâàäðàò, ñòîðîíà ÿêîãî r, òî

� �r r2 2

2

8� � , çâ³äñè r � 2 .

Ïîçíà÷èìî KB x� 2 , AK x� 3 (âèõîäÿ÷è

ç óìîâè). Òîä³ AB x� 5 . Òàêîæ ìàºìî

AM AK x� � 3 ³ AC AM MC x� � � �3 2,

BL BK x� � 2 ³ BC BL LC x� � � �2 2.

Ìàºìî AB AC CB2 2 2� � ;


Ðèñ. 64

Ðèñ.65

� � � � � �5 3 2 2 2 3 5 2 02 2 2 2

x x x x x� � � � � � �; .

Âðàõîâóþ÷è, ùî x 0, ìàºìî x =2 .Òîä³

AB � 10 ñì, AC � � � �3 2 2 8 cì, BC x� � � � � �2 2 2 2 2 6 cì.

Â³äïîâ³äü: 6 ñì, 8 ñì ³ 10 ñì.

Çàäà÷à 15.8 (10.264-Á) .

Ïîêàçàòè, ùî ó áóäü-ÿêîìó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ñóìà

ï³âïåðèìåòðà ³ ðàä³óñà âïèñàíîãî êîëà äîð³âíþº ñóì³ êàòåò³â.

Ðîçâ’ÿçàííÿ.� �

p ra b c a b c a b

a b� ��

��

��

� �2 2

2

2.

Çàäà÷à 15.9 (10.362-Â) .

Ã³ïîòåíóçà ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþº m, ðàä³óñ

âïèñàíîãî êîëà äîð³âíþº r. Âèçíà÷èòè êàòåòè. Ïðè ÿêîìó ñï³â-

â³äíîøåíí³ ì³æ r ³ m çàäà÷à ìàº ðîçâ’ÿçîê?


Íåõàé øóêàí³ êàòåòè – a ³ b.

Òîä³ a b m2 2 2� � ³

a b mr

� ��

2, a b r m� � �2 . Ìàºìî

� � � �a b m

a b r m

a b ab m

a b r m

r m2 2 2 2 2 2

2

2

2

2� �

� � �

��

� � �

� � �

��

�,

,

,

,

� �

� � �

��

2

2

2ab m

a b r m

,

,

� �ab r rm

a b r m

a r m b

r m b b r rm

� �

� � �

��

� � �

� � � �

��

2 2

2

2

2 2 2

2

2

,

,

,

,�� b r m b r rm

2 22 2 2 0� � � � � .

Òîä³� � � �

br m r m r rm

1 2

2 22 2 4 2 2

2, .�

� � � � �

Çàçíà÷èìî, ùî b1 0 ³ b2 0 , ÿêùî � � � �2 4 2 2 02 2

r m r rm� � � � ,

òîáòî 4 4 02 2r rm m� � � . Ðîçâ’ÿçóþ÷è íåð³âí³ñòü â³äíîñíî r,

ä³ñòàíåìî � � � ��

��

�mr

m1 2

2

2 1

2.

Îñê³ëüêè ë³âà ÷àñòèíà íåð³âíîñò³ âèêîíóºòüñÿ äëÿ âñ³õ r 0 ³

m 0 , òî ìàºìî òàêå ñï³ââ³äíîøåííÿ :

� �r

m�

�2 1

2.

204 Ðîçä³ë 4

Îñòàòî÷íî ä³ñòàíåìî

br m m rm r

1 2

2 22 4 4

2, ;�

� � � �

a r mr m m rm r r m m rm r

1 2

2 2 2 2

22 4 4

2

2 4 4

2, .� � �

� � � ��

� � ��

Â³äïîâ³äü:� �2 4 4

2

2 1

2

2 2r m m rm r

rm� � � �

��

, ÿêùî .

Âïðàâè

15.10 (10.076-À). Çíàéòè â³äíîøåííÿ ðàä³óñà êîëà, âïèñàíîãî

ó ð³âíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, äî âèñîòè, ïðîâå-

äåíî¿ äî ã³ïîòåíóçè.

15.11 (10.252-Á). Ñòîðîíè òðèêóòíèêà â³äíîñÿòüñÿ ÿê 5:4:3.

Çíàéòè â³äíîøåííÿ â³äð³çê³â ñòîð³í, íà ÿê³ âîíè ä³ëÿòüñÿ

òî÷êîþ äîòèêó âïèñàíîãî êîëà.

4. Êîëî, îïèñàíå íàâêîëî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà.

1) Öåíòðîì êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëî ïðÿìîêóòíîãî òðè-

êóòíèêà, º ñåðåäèíà ã³ïîòåíóçè.

2) Ðàä³óñ R îïèñàíîãî êîëà âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

Rc

�2

,

äå ñ – ã³ïîòåíóçà.

Çàäà÷à 15.12 (10.305-Á) .

Çíàéòè ïëîùó êðóãà, îáìåæåíîãî êîëîì, îïèñàíèì íàâêîëî

ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, äîâæèíè êàòåò³â ÿêîãî º êîðåíÿìè

ð³âíÿííÿ ax bx c2 0� � � .


Íåõàé ã³ïîòåíóçà òðèêóòíèêà AB, à êàòåòè BC x� 1 ³ CA x� 2 ,

äå x1 ³ x2 – êîðåí³ êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ ax bx c2 0� � � .

Øóêàíà ïëîùà êðóãà

� � � �S R

AB AB BC CA x x� � �

��

��

��

��

� � �2

2 22 2 2 2

2 4 4 4

1 2

.

Çà òåîðåìîþ Â³ºòà, x xb

ax x

c

a1 2 1 2� � � �, . Òîä³


SQ

SO

QA

OK

SO OQ

SO

QA

OK

OQ

SO

QA

OK

x

a

x

a�

�� ; ; ;1 1

2

2

2

2

2tg�

2

;

çâ³äñè xa

��

tg

tg

�

� 2. Òîä³ â³äíîøåííÿ îá’ºì³â

� �V

V

a

a

ê

ï

2 2

tg

tg

tg

tg

tg

tg�

�

�

��

�

�

��

� �

�

� �

�

�

� �

�2

2

6

6

2 2

3 2

3

3 3

� �tg� � 23

�

� ��

�

��

�

��

�

3 2

12

3 22

3 3

ctg

ctg

ctg

1+ 2 ctg

�

��

�

�.

Â³äïîâ³äü:

� �3 2

3

ctg

1+ 2 ctg

�

�.

Âïðàâè

36.30 (11.009-À). Öåíòð âåðõíüî¿ îñíîâè ïðàâèëüíî¿ ÷îòèðè-

êóòíî¿ ïðèçìè ³ ñåðåäèíè ñòîð³í íèæíüî¿ îñíîâè º âåðøèíàìè

âïèñàíî¿ â ïðèçìó ï³ðàì³äè, îá’ºì ÿêî¿ äîð³âíþº V. Çíàéòè

îá’ºì ïðèçìè.

36.31 (11.143-Á). Ó ïðàâèëüíîìó òåòðàåäð³ ðîçì³ùåíî ïðà-

âèëüíó òðèêóòíó ïðèçìó òàê, ùî âåðøèíè îäí³º¿ ¿¿ îñíîâè

ì³ñòÿòüñÿ íà á³÷íèõ ðåáðàõ òåòðàåäðà, à ³íøî¿ – ó ïëîùèí³

îñíîâè òåòðàåäðà. Ðåáðî òåòðàåäðà äîð³âíþº a. Âèçíà÷èòè

îá’ºì ïðèçìè, ÿêùî âñ³ ¿¿ ðåáðà ð³âí³ ì³æ ñîáîþ.

532 Ðîçä³ë 5

Äîäàòîê

Â ³ ä ï î â ³ ä í ³ ñ ò ü ì ³ æ í î ì å ð à ì èð î ç â ’ ÿ ç à í è õ ç à ä à ÷

Ë³âîðó÷ íîìåð ó çá³ðíèêó Ñêàíàâ³, ïðàâîðó÷ – íîìåð ó ö³éêíèæö³, ðîçä³ëè ³ ãðóïè íàâåäåíî â³äïîâ³äíî äî çá³ðíèêàÑêàíàâ³

Ðîçä³ë 4

Ãðóïà À Ãðóïà Á Ãðóïà Â

4.001 1.17 4.036 2.2 4.069 3.14

4.004 1.1 4.037 1.21 4.070 1.5

4.008 2.1 4.038 1.4 4.071 1.13

4.014 1.2 4.041 1.12 4.072 2.6

4.015 1.11 4.043 3.2 4.073 3.15

4.023 3.1 4.044 3.11 4.075 1.6

4.031 1.3 4.046 3.12 4.076 1.24

4.048 2.22 4.077 2.7

4.049 3.3 4.078 3.16

4.051 2.16 4.079 3.17

4.052 3.4 4.080 2.17

4.053 2.23 4.081 2.18

4.054 1.22 4.082 1.27

4.055 3.5 4.083 2.24

4.056 2.3 4.084 1.18

4.057 1.23 4.085 2.26

4.062 2.4

4.063 2.5

4.068 3.13

Â³äïîâ³äí³ñòü ì³æ íîìåðàìè ðîçâ’ÿçàíèõ çàäà÷ 533

Зліва—номерузбірникузадачзаредакцієюМ.І.Сканаві,спра-ва—номеруційкнижці,розділиігрупинаведеновідповіднодозбірникаСканаві.

Ðîçä³ë 15

15.019 11.1 15.113 12.2 15.194 13.22

15.021 11.2 15.114 12.3 15.195 13.23

15.024 11.3 15.116 12.4 15.201 13.9

15.032 11.4 15.119 12.5 15.203 12.27

15.034 11.5 15.125 12.12 15.212 12.28

15.035 11.6 15.126 13.33 15.219 12.20

15.039 11.12 15.129 12.16 15.232 14.2

15.046 11.13 15.131 12.17 15.234 14.3

15.047 11.14 15.138 13.32 15.239 14.4

15.055 11.15 15.141 12.13 15.241 14.9

15.060 11.23 15.146 13.1 15.242 14.10

15.063 11.24 15.151* 13.2 15.243 14.11

15.064 13.6 15.152* 13.3 15.244 14.12

15.065 11.7 15.159* 13.4 15.249 14.13

15.067 12.11 15.161 13.5 15.251 14.14

15.068 11.16 15.166 12.14 15.256 14.15

15.070 11.17 15.168 13.7 15.257 14.16

15.072 11.25 15.169 13.8 15.260 14.17

15.076 14.1 15.170* 12.15 15.261 14.18

15.082 12.1 15.173 12.18 15.262 14.19

15.084 13.31 15.174 12.19 15.266 14.29

15.085* 12.10 15.177 13.16 15.269 14.30

15.087 11.26 15.179 13.18 15.270 14.31

15.088 11.27 15.181 13.19 15.273 14.32

15.091 11.28 15.184 13.20 15.274 14.37

15.098 11.29 15.186 13.21

15.106* 11.30 15.187 13.17

540 Äîäàòîê

Â ³ ä ï î â ³ ä ³ ä î â ï ð à â

Çàíÿòòÿ 1.

1.7. a d1 3 4� �; . 1.8.1

3

2

31; ; . 1.9. d � 10 5 15 25; ; ; . 1.10.

1

9

1

6

1

3; ; .

1.14.119

3. 1.15.14. 1.16. 82350 . 1.19. 21 ðàç. 1.20. 8 ãîäèí.

1.25.Âêàç³âêà. ×èñëî âèäó � �� m m m� �1 2 ä³ëèòüñÿ íà 6,òîìó

ùî îäèí ç³ ñï³âìíîæíèê³â ä³ëèòüñÿ íà 2, à ³íøèé – íà 3. 1.26.

Âêàç³âêà.1 1

1 1a a

d

a an n n n

� ��

.

Çàíÿòòÿ 2.

2.8. 1) � � � �35

3

140

3

560

3

2240

3; ; ; ; 2) 7 28 112 448; ; ; .� � 2.9. 3; �6;

12; –24. 2.10. n � 5. 2.11. 1) b q1 61

4� �; ; 2) b q1 6

1

4� � � �; . 2.12.

b1 5� ; b5 405� . 2.13. 1) b q1 3 4� �; ; 2) b q1 481

4� �; . 2.14.

n=6. 2.15. 2 ;4; 8. 2.19.� �

� �b b S b b

S b bS

n n n

n n

n

1 1

1

2

2

� �

� �� . Âêàç³âêà. Äîâåä³òü,

ùî qS b

S b

n

n n

��

�1 . 2.20. 3 n .

Çàíÿòòÿ 3.

3.6.1

8. 3.7. 3

3

2

3

4; ; . 3.8. b q4

3

16

1

4� �; . 3.9.

1

5. 3.10. 6 3

3

2; ; ; . . .

3.18. 120. 3.19. 1)1 3 9; ; ; 2)1

9

7

9

49

9; ; . 3.20. 5103 àáî

7

81. 3.21. 1)3; 6;

12; 2 27 18 12) ; ; .

Çàíÿòòÿ 4.

4.5. 40 ë ³ 30 ë. 4.6. 2160 ãðí. 4.11. íà 6 % . 4.12. íà 7,1 % . 4.13.

27,75 .4.19. 70 êã. 4.20. 2,5 êã. 4.21. 150 ã 30% -ãî, 450 ã 10%- ãî.

4.22. 187,5 êã. 4.23. 9 ã ³ 10 ã. 4.24. Ó 2 ðàçè.

Çàíÿòòÿ 5.

5.5. 400 êì. 5.6.4

7

8

21

12

35; ; . 5.7. Äóíàé – 2850 êì;

Äí³ïðî – 2250 êì; Äîí – 1950 êì. 5.14. 48. 5.15. 5. 5.16. 32.

Â³äïîâ³ä³ äî âïðàâ 541

4.5.40лі30л.4.6.2160000грн.4.11.На6%.4.12.На7,1%.4.13.27,75.4.19.70кг.4.20.2,5кг.4.21.150г30%-го,450г10%-го.4.22.187,5кг.4.23.9гі10г.4.24.У2рази.

¹ Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêà

çàäà÷ Ñêàíàâ³

Ñòîð³íêà

Çàäà÷ Âïðàâ

Ïåðåäìîâà 3

Ðîçä³ë 1. Ïðîãðåñ³¿ 5

Çàíÿòòÿ 1. Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ 5

1 Çíàõîäæåííÿ ÷ëåí³â

àðèôìåòè÷íî¿

ïðîãðåñ³¿, ¿¿ ð³çíèö³ d ³

÷èñëà ÷ëåí³â n.

4.004;

4.014;

4.031;

4.038;

4.070;4.075

4.007; 4.011;

4.021; 4.067

6

2 Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì. 4.015;

4.041;

4.071

4.002; 4.039;

4.042

9

3 Òåêñòîâ³ çàäà÷³. 4.001;

4.084

4.003; 4.006 11

4 Äîâåäåííÿ âëàñòèâî-ñòåé ³ òâåðäæåíü, ùîñòîñóþòüñÿ àðèôìå-òè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿.

4.037;

4.054;

4.057;

4.076

4.059; 4.074 13

5 Ïàðàìåòð ³àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ.

4.082 15

Çàíÿòòÿ 2. Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ 16


ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿,

¿¿ çíàìåííèêà q ³ ÷èñëà

÷ëåí³â n.

4.008;

4.036;

4.056;

4.062;

4.063;

4.072;

4.077

4.016; 4.017;

4.018; 4.019;

4.020; 4.022;

4.028; 4.047

17

Çì³ñò-êëàñèô³êàòîðÇì³ñò-êëàñèô³êàòîð 553



Ñòîð³íêà


2 Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì

³ äîáóòê³â.

4.051;

4.080;

4.081

4.065; 4.066 23

3 Òåêñòîâ³ çàäà÷³. 13.373 26

4 Äîâåäåííÿ âëàñòèâî-ñòåé ³ òâåðäæåíü, ùîñòîñóþòüñÿ ãåîìåòðè÷-íî¿ ïðîãðåñ³¿.

4.048;

4.053;

4.083.

4.058 28

5 Îäíà ãåîìåòðè÷íàçàäà÷à.

4.085(10.251)

29

Çàíÿòòÿ 3. Íåñê³í÷åííà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿïðè q� 1. Êîìá³íîâàí³ çàäà÷³

30

1 Íåñê³í÷åííà

ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ

ïðè q� 1.

4.023;

4.043;

4.049;

4.052;

4.055

4.009; 4.010;

4.025; 4.030;

4.033

30

2 Êîìá³íîâàí³ çàäà÷³ íà

àðèôìåòè÷íó ³

ãåîìåòðè÷íó ïðîãðåñ³¿.

4.044;

4.046;

4.068;

4.069;

4.073;

4.078;

4.079

4.013; 4.040;

4.045; 4.064

35

Ðîçä³ë 2. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ 42

Çàíÿòòÿ 4. Çàäà÷³ íà â³äñîòêè, êîíöåíòðàö³þ 42

1 Òðè âèäè íàéïðîñò³øèõ

çàäà÷ íà â³äñîòêè.

Ïðîñò³ çàäà÷³ íà

â³äñîòêè.

13.009;13.034;13.236;13.323

13.003;13.159 42

НомеризізбірниказадачзаредакцієюМ.І.Сканаві



Ñòîð³íêà


Ïåðåäìîâà 3

Ðîçä³ë 1. Ïðîãðåñ³¿ 5

Çàíÿòòÿ 1. Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ 5


àðèôìåòè÷íî¿

ïðîãðåñ³¿, ¿¿ ð³çíèö³ d ³

÷èñëà ÷ëåí³â n.

4.004;

4.014;

4.031;

4.038;

4.070;4.075

4.007; 4.011;

4.021; 4.067

6

2 Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì. 4.015;

4.041;

4.071

4.002; 4.039;

4.042

9

3 Òåêñòîâ³ çàäà÷³. 4.001;

4.084

4.003; 4.006 11

4 Äîâåäåííÿ âëàñòèâî-ñòåé ³ òâåðäæåíü, ùîñòîñóþòüñÿ àðèôìå-òè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿.

4.037;

4.054;

4.057;

4.076

4.059; 4.074 13

5 Ïàðàìåòð ³àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ.

4.082 15

Çàíÿòòÿ 2. Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ 16


ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿,

¿¿ çíàìåííèêà q ³ ÷èñëà

÷ëåí³â n.

4.008;

4.036;

4.056;

4.062;

4.063;

4.072;

4.077

4.016; 4.017;

4.018; 4.019;

4.020; 4.022;

4.028; 4.047

17

Çì³ñò-êëàñèô³êàòîðÇì³ñò-êëàñèô³êàòîð 553



Ñòîð³íêà


2 Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì

³ äîáóòê³â.

4.051;

4.080;

4.081

4.065; 4.066 23

3 Òåêñòîâ³ çàäà÷³. 13.373 26

4 Äîâåäåííÿ âëàñòèâî-ñòåé ³ òâåðäæåíü, ùîñòîñóþòüñÿ ãåîìåòðè÷-íî¿ ïðîãðåñ³¿.

4.048;

4.053;

4.083.

4.058 28

5 Îäíà ãåîìåòðè÷íàçàäà÷à.

4.085(10.251)

29

Çàíÿòòÿ 3. Íåñê³í÷åííà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿïðè q� 1. Êîìá³íîâàí³ çàäà÷³

30

1 Íåñê³í÷åííà

ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ

ïðè q� 1.

4.023;

4.043;

4.049;

4.052;

4.055

4.009; 4.010;

4.025; 4.030;

4.033

30

2 Êîìá³íîâàí³ çàäà÷³ íà

àðèôìåòè÷íó ³

ãåîìåòðè÷íó ïðîãðåñ³¿.

4.044;

4.046;

4.068;

4.069;

4.073;

4.078;

4.079

4.013; 4.040;

4.045; 4.064

35

Ðîçä³ë 2. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ 42

Çàíÿòòÿ 4. Çàäà÷³ íà â³äñîòêè, êîíöåíòðàö³þ 42

1 Òðè âèäè íàéïðîñò³øèõ

çàäà÷ íà â³äñîòêè.

Ïðîñò³ çàäà÷³ íà

â³äñîòêè.

13.009;13.034;13.236;13.323

13.003;13.159 42


554 Çì³ñò-êëàñèô³êàòîð



Ñòîð³íêà


2 Çàäà÷³ íà â³äñîòêîâèé

ïðèð³ñò ³ îá÷èñëåííÿ

“ñêëàäíèõ â³äñîòê³â”.

13.007;

13.219;

13.315;

13.316

13.011;

13.013;

13.318

45

3 Çàäà÷³ íà êîíöåíòðàö³þ ³

â³äñîòêîâèé âì³ñò.

13.002;

13.093;

13.247;

13.378;

13.413

13.008;

13.036;

13.041;

13.094;

13.309; 13.389

48

4 Ïåðåëèâàííÿ ³


13.443 53

Çàíÿòòÿ 5 . Çàäà÷³ ç ÷èñëàìè, ö³ëî÷èñåëüíèìè

âåëè÷èíàìè

55

1 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ç

ïðîïîðö³ºþ,

ïðîïîðö³éí³ñòþ âåëè÷èí,

÷àñòèíàìè.

13.001;

13.018;

13.020;

13.028

13.015;13.016

; 13.048

55

2 Âèêîðèñòàííÿ

äåñÿòêîâîãî çàïèñó

÷èñëà.

13.086;

13.308;

13.358;

13.375;

13.377;

13.435

13.005;13.087;

13.100;13.338;

13.376

58

3 Ïîä³ëüí³ñòü ö³ëèõ

÷èñåë.

13.353;

13.434

13.305; 13.354 63

4 Çàäà÷³ ç

ö³ëî÷èñåëüíèìè

âåëè÷èíàìè.

13.238;

13.249

13.063;

13.17164

Çì³ñò-êëàñèô³êàòîð 555

¹ Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêàçàäà÷ Ñêàíàâ³

Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 6. Çàäà÷³ íà ð³âíîì³ðíèé ðóõ áåçñòîðîíí³õ ñèë (òå÷³¿, â³òðó òîùî)

66

1 Ë³êâ³äàö³ÿ çàï³çíåííÿ

ò³ëîì, ùî ðóõàºòüñÿ.

13.111;

13.399

13.116 66

2 Ðóõ ³ç çóïèíêîþ. 13.106 13.117 68

3 Ðóõ äâîõ ò³ë íàîäíàêîâó â³äñòàíü çð³çíèìè øâèäêîñòÿìè.

13.216 13.085 69

4 Ðóõ îäíîãî ò³ëà íà ð³çí³â³äñòàí³ ç ð³çíèìèøâèäêîñòÿìè

13.026 13.078; 13.222 70

5 Ðóõ äâîõ ò³ë íà ð³çí³â³äñòàí³ ç ð³çíèìèøâèäêîñòÿìè.

13.221

13.263

13.103 71

6 Ðóõ äâîõ ò³ë íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó äîìîìåíòó çóñòð³÷³.

13.391 13.311 73

7 Ðóõ äâîõ ò³ë íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó äîìîìåíòó çóñòð³÷³ çïîäàëüøèìïðîäîâæåííÿì øëÿõóâ òîìó ñàìîìóíàïðÿìêó.

13.397 13.098 75

8 Ðóõ äâîõ ò³ë â îäíîìóíàïðÿìêó ³ íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó.

13.418 13.167 76

9 Ðóõ äâîõ ò³ë â îäíîìóíàïðÿìêó, îäíå ç ÿêèõïîâåðòàºòüñÿ,íàçäîãíàâøè ³íøå.

13.220 13.257 78





Ñòîð³íêà


2 Çàäà÷³ íà â³äñîòêîâèé

ïðèð³ñò ³ îá÷èñëåííÿ

“ñêëàäíèõ â³äñîòê³â”.

13.007;

13.219;

13.315;

13.316

13.011;

13.013;

13.318

45

3 Çàäà÷³ íà êîíöåíòðàö³þ ³


13.002;

13.093;

13.247;

13.378;

13.413

13.008;

13.036;

13.041;

13.094;

13.309; 13.389

48

4 Ïåðåëèâàííÿ ³


13.443 53

Çàíÿòòÿ 5 . Çàäà÷³ ç ÷èñëàìè, ö³ëî÷èñåëüíèìè

âåëè÷èíàìè

55


ïðîïîðö³ºþ,

ïðîïîðö³éí³ñòþ âåëè÷èí,

÷àñòèíàìè.

13.001;

13.018;

13.020;

13.028

13.015;13.016

; 13.048

55

2 Âèêîðèñòàííÿ

äåñÿòêîâîãî çàïèñó

÷èñëà.

13.086;

13.308;

13.358;

13.375;

13.377;

13.435

13.005;13.087;

13.100;13.338;

13.376

58

3 Ïîä³ëüí³ñòü ö³ëèõ

÷èñåë.

13.353;

13.434

13.305; 13.354 63

4 Çàäà÷³ ç

ö³ëî÷èñåëüíèìè

âåëè÷èíàìè.

13.238;

13.249

13.063;

13.17164



Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 6. Çàäà÷³ íà ð³âíîì³ðíèé ðóõ áåçñòîðîíí³õ ñèë (òå÷³¿, â³òðó òîùî)

66

1 Ë³êâ³äàö³ÿ çàï³çíåííÿ

ò³ëîì, ùî ðóõàºòüñÿ.

13.111;

13.399

13.116 66

2 Ðóõ ³ç çóïèíêîþ. 13.106 13.117 68

3 Ðóõ äâîõ ò³ë íàîäíàêîâó â³äñòàíü çð³çíèìè øâèäêîñòÿìè.

13.216 13.085 69

4 Ðóõ îäíîãî ò³ëà íà ð³çí³â³äñòàí³ ç ð³çíèìèøâèäêîñòÿìè

13.026 13.078; 13.222 70

5 Ðóõ äâîõ ò³ë íà ð³çí³â³äñòàí³ ç ð³çíèìèøâèäêîñòÿìè.

13.221

13.263

13.103 71

6 Ðóõ äâîõ ò³ë íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó äîìîìåíòó çóñòð³÷³.

13.391 13.311 73

7 Ðóõ äâîõ ò³ë íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó äîìîìåíòó çóñòð³÷³ çïîäàëüøèìïðîäîâæåííÿì øëÿõóâ òîìó ñàìîìóíàïðÿìêó.

13.397 13.098 75

8 Ðóõ äâîõ ò³ë â îäíîìóíàïðÿìêó ³ íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó.

13.418 13.167 76

9 Ðóõ äâîõ ò³ë â îäíîìóíàïðÿìêó, îäíå ç ÿêèõïîâåðòàºòüñÿ,íàçäîãíàâøè ³íøå.

13.220 13.257 78





Ñòîð³íêà


10 Ðóõ òðüîõ ò³ë â îäíîìó

íàïðÿìêó.

13.215;

13.267

13.254 80

11 Ðóõ â³äíîñíî

íåðóõîìîãî

ñïîñòåð³ãà÷à (îá’ºêòà).

13.419 13.284 82

Çàíÿòòÿ 7. Çàäà÷³ íà ðóõ84

1 Ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ

îäíîãî ÷è äâîõ ò³ë.

13.262;

13.273

13.113;

13.356

84

2 Ðóõ ç óðàõóâàííÿì òå÷³¿

(â³òðó).

13.121;

13.130;

13.286;

13.387

13.128;

13.131; 13.223

86

3 Ðóõ ïî åñêàëàòîðó. 13.404 13.252 91

4 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ³ç

ñåðåäíüîþ øâèäê³ñòþ.13.277 13.089 93

5 Ðóõ ïî âçàºìíî

ïåðïåíäèêóëÿðíèõ

ïðÿìèõ.

13.382;

13.411

13.124 94

6 Ðóõ ò³ë ïî ñòîðîíàõ


13.365 96

7 Ðóõ ïî êîëó. 13.298;

13.432

13.127;

13.302

97


ê³ëüê³ñòþ îáåðò³â.

13.194 13.051 101


¹Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêà

çàäà÷ Ñêàíàâ³Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 8. Çàäà÷³ íà ðîáîòó ³ ïðîäóêòèâí³ñòü

ïðàö³.

103

1 Çàäà÷³ íà êîíêðåòíó

ðîáîòó.

13.024;

13.037;

13.226;

13.250

13.023;13.055;

13.185;13.328

103

2 Çàäà÷³ íà àáñòðàêòíó

ðîáîòó.

13.021;

13.213;

13.288;

13.383;

13.384

13.019;13.135;

13.227;13.292

106

3 Çàäà÷³ íà

ïåðåêà÷óâàííÿ ð³äèí

íàñîñàìè.

13.010;

13.253;

13.290;

13.293;

13.426

13.070;13.132;

13.142;13.242

110

Çàíÿòòÿ 9. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ åêîíîì³÷íîãî çì³ñòó 114

1 Çàðïëàòà ³

ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³.

13.012;

13.329

13.068 114


âàðò³ñòþ òîâàð³â.

13.158;

13.212;

13.248;

13.367;

13.372;

13.379;

13.380;

13.442

13.154;13.162;

13.164;13.200;

13.334

115





Ñòîð³íêà


10 Ðóõ òðüîõ ò³ë â îäíîìó

íàïðÿìêó.

13.215;

13.267

13.254 80

11 Ðóõ â³äíîñíî

íåðóõîìîãî

ñïîñòåð³ãà÷à (îá’ºêòà).

13.419 13.284 82

Çàíÿòòÿ 7. Çàäà÷³ íà ðóõ84

1 Ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ

îäíîãî ÷è äâîõ ò³ë.

13.262;

13.273

13.113;

13.356

84

2 Ðóõ ç óðàõóâàííÿì òå÷³¿

(â³òðó).

13.121;

13.130;

13.286;

13.387

13.128;

13.131; 13.223

86

3 Ðóõ ïî åñêàëàòîðó. 13.404 13.252 91

4 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ³ç

ñåðåäíüîþ øâèäê³ñòþ.13.277 13.089 93

5 Ðóõ ïî âçàºìíî

ïåðïåíäèêóëÿðíèõ

ïðÿìèõ.

13.382;

13.411

13.124 94

6 Ðóõ ò³ë ïî ñòîðîíàõ


13.365 96

7 Ðóõ ïî êîëó. 13.298;

13.432

13.127;

13.302

97


ê³ëüê³ñòþ îáåðò³â.

13.194 13.051 101


¹Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêà

çàäà÷ Ñêàíàâ³Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 8. Çàäà÷³ íà ðîáîòó ³ ïðîäóêòèâí³ñòü

ïðàö³.

103

1 Çàäà÷³ íà êîíêðåòíó

ðîáîòó.

13.024;

13.037;

13.226;

13.250

13.023;13.055;

13.185;13.328

103

2 Çàäà÷³ íà àáñòðàêòíó

ðîáîòó.

13.021;

13.213;

13.288;

13.383;

13.384

13.019;13.135;

13.227;13.292

106

3 Çàäà÷³ íà

ïåðåêà÷óâàííÿ ð³äèí

íàñîñàìè.

13.010;

13.253;

13.290;

13.293;

13.426

13.070;13.132;

13.142;13.242

110

Çàíÿòòÿ 9. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ åêîíîì³÷íîãî çì³ñòó 114

1 Çàðïëàòà ³

ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³.

13.012;

13.329

13.068 114


âàðò³ñòþ òîâàð³â.

13.158;

13.212;

13.248;

13.367;

13.372;

13.379;

13.380;

13.442

13.154;13.162;

13.164;13.200;

13.334

115




Ñòîð³íêà


3 Âàðò³ñòü òîâàðó ³ ïåðåâå-

çåííÿ.

13.276;

13.381;

13.433

13.091;13.161; 124

4 Çàäà÷³ íà âðîæàéí³ñòü. 13.042;

13.076

13.054;13.163 128

Çàíÿòòÿ 10. Ð³çí³ òåêñòîâ³ çàäà÷³ 130

1 Çàäà÷³ ç âåêòîðàìè. 13.057;

13.191

13.344 130

2 Òåêñòîâ³ çàäà÷³,

ïîâ’ÿçàí³ ç ãåîìåòð³ºþ.

13.201;

13.240;

13.244;

13.246;

13.251;

13.386;

13.440;

13.444

13.052;13.088;

13.148;13.152;

13.153;13.345

131

3 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ çêâàäðàòíèì òðè÷ëåíîì.

13.343 13.189 139


ïåðåëèâàííÿìè.

13.327 13.243 139

5 Çàäà÷³, ó ÿêèõ ÷èñëî

íåâ³äîìèõ ïåðåâèùóº

÷èñëî ð³âíÿíü ñèñòåìè.

13.346;

13.403

13.341 141

6 Çàäà÷³, ùî ðîçâ’ÿçóþòü-

ñÿ çà äîïîìîãîþ

íåð³âíîñòåé.

13.361 13.370 142



Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 3. Ïî÷àòêè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó 144

Çàíÿòòÿ 11. Òåõí³êà äèôåðåíö³þâàííÿ. Äîòè÷íàäî ãðàô³êà. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿

144

1 Îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿. 15.019;15.021;15.024;15.032;15.034;15.035;15.065

15.022;15.026;

15.036;15.037

144

2 Îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿ â

çàäàí³é òî÷ö³.

15.039;15.046;15.047;15.055;15.068;15.070;

15.042;15.044;

15.053;15.057;

15.062

148

3 Îá÷èñëåííÿ äðóãî¿

ïîõ³äíî¿.

15.060 151

4 Äîòè÷íà äî ãðàô³êà

ôóíêö³¿. Ãåîìåòðè÷íèé

çì³ñò ïîõ³äíî¿.

15.063;15.072;15.087;15.088;15.091;15.098;15.106*

15.066;15.090;

15.092;15.093;

15.102

152

Çàíÿòòÿ 12. Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ äî çíàõîäæåííÿ ñóì,äîñë³äæåíü ôóíêö³é

156

1 Ô³çè÷íèé çì³ñò

ïîõ³äíî¿.

15.082;15.113;15.11415.116;15.119

15.112;15.117;15.118;15.120

156




Ñòîð³íêà


3 Âàðò³ñòü òîâàðó ³ ïåðåâå-

çåííÿ.

13.276;

13.381;

13.433

13.091;13.161; 124

4 Çàäà÷³ íà âðîæàéí³ñòü. 13.042;

13.076

13.054;13.163 128

Çàíÿòòÿ 10. Ð³çí³ òåêñòîâ³ çàäà÷³ 130

1 Çàäà÷³ ç âåêòîðàìè. 13.057;

13.191

13.344 130

2 Òåêñòîâ³ çàäà÷³,

ïîâ’ÿçàí³ ç ãåîìåòð³ºþ.

13.201;

13.240;

13.244;

13.246;

13.251;

13.386;

13.440;

13.444

13.052;13.088;

13.148;13.152;

13.153;13.345

131

3 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ çêâàäðàòíèì òðè÷ëåíîì.

13.343 13.189 139


ïåðåëèâàííÿìè.

13.327 13.243 139

5 Çàäà÷³, ó ÿêèõ ÷èñëî

íåâ³äîìèõ ïåðåâèùóº

÷èñëî ð³âíÿíü ñèñòåìè.

13.346;

13.403

13.341 141

6 Çàäà÷³, ùî ðîçâ’ÿçóþòü-

ñÿ çà äîïîìîãîþ

íåð³âíîñòåé.

13.361 13.370 142



Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 3. Ïî÷àòêè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó 144

Çàíÿòòÿ 11. Òåõí³êà äèôåðåíö³þâàííÿ. Äîòè÷íàäî ãðàô³êà. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿

144

1 Îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿. 15.019;15.021;15.024;15.032;15.034;15.035;15.065

15.022;15.026;

15.036;15.037

144

2 Îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿ â

çàäàí³é òî÷ö³.

15.039;15.046;15.047;15.055;15.068;15.070;

15.042;15.044;

15.053;15.057;

15.062

148

3 Îá÷èñëåííÿ äðóãî¿

ïîõ³äíî¿.

15.060 151

4 Äîòè÷íà äî ãðàô³êà

ôóíêö³¿. Ãåîìåòðè÷íèé

çì³ñò ïîõ³äíî¿.

15.063;15.072;15.087;15.088;15.091;15.098;15.106*

15.066;15.090;

15.092;15.093;

15.102

152

Çàíÿòòÿ 12. Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ äî çíàõîäæåííÿ ñóì,äîñë³äæåíü ôóíêö³é

156

1 Ô³çè÷íèé çì³ñò

ïîõ³äíî¿.

15.082;15.113;15.11415.116;15.119

15.112;15.117;15.118;15.120

156





Ñòîð³íêà


2 Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿äî çíàõîäæåííÿ ñóì.

15.085* 159

3 Äîñë³äæåííÿ ôóíêö³éíà ìîíîòîíí³ñòü ³åêñòðåìóìè

15.067;15.125;15.141;15.166;15.170*15.129;15.131;15.173;15.174;15.219

15.080;15.167;15.128;15.130;15.221;15.227

160

4 Ïîáóäîâà ãðàô³ê³âôóíêö³é.

15.203;15.212

15.204;15.211 166

Çàíÿòòÿ 13.Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå çíà÷åííÿ

ôóíêö³¿. Ïàðàìåòð ³ ïîõ³äíà.

168

1 Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå

çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.

15.146;

15.151*;

15.152*;

15.159*;

15.161;

15.064;

15.168;

15.169;

15.201

15.147;15.149;

15.154;15.156;

15.162;15.165

168

2 Òåêñòîâ³ çàäà÷³ íà

íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå

çíà÷åííÿ.

15.177;15.187;15.179;15.181;15.184;15.18615.194;15.195

15.176;15.178;

15.183;15.185;

15.189;15.193;

15.197

176




Ñòîð³íêà


3 Ïîõ³äíà ³ ïàðàìåòð. 15.084;

15.138;

15.126

15.071 184

Çàíÿòòÿ 14. Ïåðâ³ñíà. ²íòåãðàë ³ éîãîçàñòîñóâàííÿ

186

1 Çàäà÷³ ç ïåðâ³ñíîþ. 15.076;

15.232;

15.234;

15.239

15.233;15.235;

15.236;15.238;

186

2 Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë.

Ôîðìóëà

Íüþòîíà-Ëåéáí³öà.

15.241;

15.242;

15.243;

15.244;

15.249;

15.251;

15.256;

15.257;

15.260;

15.261;

15.262

15.240;15.245

;15.247;15.25

0;15.254;15.2

58;15.259;15.

263;15.265

189

3 Îá÷èñëåííÿ ïëîù

ïëîñêèõ ô³ãóð çà

äîïîìîãîþ

âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà .

15.266;

15.269;

15.270;

15.273

15.267;15.268;

15.271;15.272

195

4 Çàñòîñóâàííÿ

âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà

ó ô³çèö³.

15.274 15.275 198





Ñòîð³íêà


2 Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿äî çíàõîäæåííÿ ñóì.

15.085* 159

3 Äîñë³äæåííÿ ôóíêö³éíà ìîíîòîíí³ñòü ³åêñòðåìóìè

15.067;15.125;15.141;15.166;15.170*15.129;15.131;15.173;15.174;15.219

15.080;15.167;15.128;15.130;15.221;15.227

160

4 Ïîáóäîâà ãðàô³ê³âôóíêö³é.

15.203;15.212

15.204;15.211 166

Çàíÿòòÿ 13.Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå çíà÷åííÿ

ôóíêö³¿. Ïàðàìåòð ³ ïîõ³äíà.

168

1 Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå

çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.

15.146;

15.151*;

15.152*;

15.159*;

15.161;

15.064;

15.168;

15.169;

15.201

15.147;15.149;

15.154;15.156;

15.162;15.165

168

2 Òåêñòîâ³ çàäà÷³ íà

íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå

çíà÷åííÿ.

15.177;15.187;15.179;15.181;15.184;15.18615.194;15.195

15.176;15.178;

15.183;15.185;

15.189;15.193;

15.197

176




Ñòîð³íêà


3 Ïîõ³äíà ³ ïàðàìåòð. 15.084;

15.138;

15.126

15.071 184

Çàíÿòòÿ 14. Ïåðâ³ñíà. ²íòåãðàë ³ éîãîçàñòîñóâàííÿ

186

1 Çàäà÷³ ç ïåðâ³ñíîþ. 15.076;

15.232;

15.234;

15.239

15.233;15.235;

15.236;15.238;

186

2 Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë.

Ôîðìóëà

Íüþòîíà-Ëåéáí³öà.

15.241;

15.242;

15.243;

15.244;

15.249;

15.251;

15.256;

15.257;

15.260;

15.261;

15.262

15.240;15.245

;15.247;15.25

0;15.254;15.2

58;15.259;15.

263;15.265

189

3 Îá÷èñëåííÿ ïëîù

ïëîñêèõ ô³ãóð çà

äîïîìîãîþ

âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà .

15.266;

15.269;

15.270;

15.273

15.267;15.268;

15.271;15.272

195

4 Çàñòîñóâàííÿ

âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà

ó ô³çèö³.

15.274 15.275 198




Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 4. Ïëàí³ìåòð³ÿ 200

Çàíÿòòÿ 15. Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê 200

1 Òåîðåìà Ï³ôàãîðà 10.001;10.256;10.269

10.051;

10.173

200

2 Âëàñòèâ³ñòü êàòåòà, ùîëåæèòü ïðîòè êóòà 30� .Âëàñòèâ³ñòü ìåä³àíè,ïðîâåäåíî¿ äîã³ïîòåíóçè.

10.021 202

3 Êîë , âïèñàíå âïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê.

10.226;10.264;10.362

10.076;

10.252

203

4 Êîëî, îïèñàíå íàâêîëîïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

10.305 205

5 Êîëî, âïèñàíå âïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê, ³ êîëî,îïèñàíå íàâêîëî íüîãî.

10.060;

10.104

10.050;

10.265

206

6 Ïëîùà ïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

10.188;10.296

10.166 207

7 Ïëîùà ïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà ÿêäîïîì³æíèé åëåìåíò.

10.047;

10.223

10.262 208

8 Ð³çí³ çàäà÷³. 10.412 10.332; 10.352 210

Çàíÿòòÿ 16. Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè ³êóòàìè òðèêóòíèêà. Ð³âíîñòîðîíí³é òðèêóòíèê

211

1 Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æñòîðîíàìè ³ êóòàìèïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

12.013;12.132;12.157;10.365

12.151;12.158;

12.171

211



Ñòîð³íêà


2 Òåîðåìà ñèíóñ³â.

Òåîðåìà êîñèíóñ³â.

12.011;

10.361

12.131;12.188 214

3 Çàëåæí³ñòü ì³æòðèãîíîìåòðè÷íèìèñï³ââ³äíîøåííÿìè âòðèêóòíèêó ³ âèäîìòðèêóòíèêà.

12.163 12.036 216

4 Ð³âíîñòîðîíí³é

òðèêóòíèê.

12.030;12.039;10.027;10.247;10.268;12.189;12.405

10.010;10.037;

10.043;10.065;

12.139

217

Çàíÿòòÿ 17. Ìåä³àíè ³ á³ñåêòðèñè òðèêóòíèêà224

1 Ìåä³àíè òðèêóòíèêà.

Ôîðìóëà ìåä³àíè.

10.011;

12.023;

12.144;

10.215;

10.272;

10.327

10.008;10.263;

10.270

224

2 Òî÷êà ïåðåòèíó ìåä³àí. 10.221 10.266 228

3 Á³ñåêòðèñà òðèêóòíèêà.

Ôîðìóëè äëÿ

îá÷èñëåííÿ á³ñåêòðèñè.

10.079;

12.022;

(12.192)

12.195

10.077;10.368 229

4 Âëàñòèâ³ñòü á³ñåêòðèñè


10.136;

10.235;

12.422

10.049;10.277 231

5 Òî÷êà ïåðåòèíóá³ñåêòðèñ.

10.201 10.202 233




Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 4. Ïëàí³ìåòð³ÿ 200

Çàíÿòòÿ 15. Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê 200

1 Òåîðåìà Ï³ôàãîðà 10.001;10.256;10.269

10.051;

10.173

200

2 Âëàñòèâ³ñòü êàòåòà, ùîëåæèòü ïðîòè êóòà 30� .Âëàñòèâ³ñòü ìåä³àíè,ïðîâåäåíî¿ äîã³ïîòåíóçè.

10.021 202

3 Êîë , âïèñàíå âïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê.

10.226;10.264;10.362

10.076;

10.252

203

4 Êîëî, îïèñàíå íàâêîëîïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

10.305 205

5 Êîëî, âïèñàíå âïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê, ³ êîëî,îïèñàíå íàâêîëî íüîãî.

10.060;

10.104

10.050;

10.265

206

6 Ïëîùà ïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

10.188;10.296

10.166 207

7 Ïëîùà ïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà ÿêäîïîì³æíèé åëåìåíò.

10.047;

10.223

10.262 208

8 Ð³çí³ çàäà÷³. 10.412 10.332; 10.352 210

Çàíÿòòÿ 16. Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè ³êóòàìè òðèêóòíèêà. Ð³âíîñòîðîíí³é òðèêóòíèê

211

1 Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æñòîðîíàìè ³ êóòàìèïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

12.013;12.132;12.157;10.365

12.151;12.158;

12.171

211



Ñòîð³íêà


2 Òåîðåìà ñèíóñ³â.

Òåîðåìà êîñèíóñ³â.

12.011;

10.361

12.131;12.188 214

3 Çàëåæí³ñòü ì³æòðèãîíîìåòðè÷íèìèñï³ââ³äíîøåííÿìè âòðèêóòíèêó ³ âèäîìòðèêóòíèêà.

12.163 12.036 216

4 Ð³âíîñòîðîíí³é

òðèêóòíèê.

12.030;12.039;10.027;10.247;10.268;12.189;12.405

10.010;10.037;

10.043;10.065;

12.139

217

Çàíÿòòÿ 17. Ìåä³àíè ³ á³ñåêòðèñè òðèêóòíèêà224

1 Ìåä³àíè òðèêóòíèêà.

Ôîðìóëà ìåä³àíè.

10.011;

12.023;

12.144;

10.215;

10.272;

10.327

10.008;10.263;

10.270

224

2 Òî÷êà ïåðåòèíó ìåä³àí. 10.221 10.266 228

3 Á³ñåêòðèñà òðèêóòíèêà.

Ôîðìóëè äëÿ

îá÷èñëåííÿ á³ñåêòðèñè.

10.079;

12.022;

(12.192)

12.195

10.077;10.368 229

4 Âëàñòèâ³ñòü á³ñåêòðèñè


10.136;

10.235;

12.422

10.049;10.277 231

5 Òî÷êà ïåðåòèíóá³ñåêòðèñ.

10.201 10.202 233




Ñòîð³íêà


6 Ïåðåòèí á³ñåêòðèñè

òðèêóòíèêà ³ îïèñàíîãî

êîëà.

10.372 234

Çàíÿòòÿ 18. Ïëîùà òðèêóòíèêà 235

1 Çíàõîäæåííÿ ïëîù³


10.158;

12.142;

12.155;

12.393;

10.400;

10.407

10.106;10.175;

10.187;10.328;

10.343

235

2 Ïëîùà ÿê äîïîì³æíèé

åëåìåíò.

10.230;

12.180;

12.168;

10.227;

10.386

10.018;10.178;

12.035;10.258

240

3 Çíàõîäæåííÿ ë³í³éíèõ ³

êóòîâèõ åëåìåíò³â,

ÿêùî äàíî ïëîùó.

12.041;

12.165;

12.402

10.095;12.185 244

Çàíÿòòÿ 19. Âèñîòè òðèêóòíèêà 247

1 Âèñîòà é ³íø³ ë³í³éí³

åëåìåíòè òðèêóòíèêà.

12.001;

10.371;

10.377;

10.390;

12.409

12.140;12.150;

12.161

247

2 Âèñîòà ³ ïëîùà. 10.032;

10.274;

10.381;

(10.421)

10.406;

10.416

10.162;

10.271

252



Ñòîð³íêà


3 Âèñîòà, ïðîâåäåíà äî

ã³ïîòåíóçè

ïðÿìîêóòíîãî


10.054;

10.059;

10.062;

10.316;

10.403

10.066;10.074;

10.094;10.211

256

Çàíÿòòÿ 20. Ïîä³áí³ñòü òðèêóòíèê³â 260

1 Ïîä³áí³ñòü òðèêóòíèê³â

³ ë³í³éí³ åëåìåíòè.

10.224;

10.240;

10.245

10.261 260

2 Â³äíîøåííÿ ïëîù

ïîä³áíèõ òðèêóòíèê³â.

10.068;

10.282;

10.394;

10.409

10.098;10.135 263

3 Ìåä³àíè ³ ïëîùà 10.329;

10.320;

10.326;

10.325;

10.353

10.086;12.006;

12.019;10.321

266

4 Êâàäðàò, ïðÿìîêóòíèê,

ðîìá, âïèñàí³ ó

òðèêóòíèê.

10.005;

10.108;

10.193;

10.200

10.058;10.207;

12.179

271

Çàíÿòòÿ 21. Âïèñàíå é îïèñàíå êîëà 274

1 Êîëî, âïèñàíå â

òðèêóòíèê.

10.055;

10.214;

10.244

10.072;10.090;

10.260

274

2 Êîëî, îïèñàíå íàâêîëî


10.203;

10.204;

10.287;

12.411

10.089;10.092 276




Ñòîð³íêà


6 Ïåðåòèí á³ñåêòðèñè

òðèêóòíèêà ³ îïèñàíîãî

êîëà.

10.372 234

Çàíÿòòÿ 18. Ïëîùà òðèêóòíèêà 235

1 Çíàõîäæåííÿ ïëîù³


10.158;

12.142;

12.155;

12.393;

10.400;

10.407

10.106;10.175;

10.187;10.328;

10.343

235

2 Ïëîùà ÿê äîïîì³æíèé

åëåìåíò.

10.230;

12.180;

12.168;

10.227;

10.386

10.018;10.178;

12.035;10.258

240

3 Çíàõîäæåííÿ ë³í³éíèõ ³

êóòîâèõ åëåìåíò³â,

ÿêùî äàíî ïëîùó.

12.041;

12.165;

12.402

10.095;12.185 244

Çàíÿòòÿ 19. Âèñîòè òðèêóòíèêà 247

1 Âèñîòà é ³íø³ ë³í³éí³

åëåìåíòè òðèêóòíèêà.

12.001;

10.371;

10.377;

10.390;

12.409

12.140;12.150;

12.161

247

2 Âèñîòà ³ ïëîùà. 10.032;

10.274;

10.381;

(10.421)

10.406;

10.416

10.162;

10.271

252



Ñòîð³íêà


3 Âèñîòà, ïðîâåäåíà äî

ã³ïîòåíóçè

ïðÿìîêóòíîãî


10.054;

10.059;

10.062;

10.316;

10.403

10.066;10.074;

10.094;10.211

256

Çàíÿòòÿ 20. Ïîä³áí³ñòü òðèêóòíèê³â 260

1 Ïîä³áí³ñòü òðèêóòíèê³â

³ ë³í³éí³ åëåìåíòè.

10.224;

10.240;

10.245

10.261 260

2 Â³äíîøåííÿ ïëîù

ïîä³áíèõ òðèêóòíèê³â.

10.068;

10.282;

10.394;

10.409

10.098;10.135 263

3 Ìåä³àíè ³ ïëîùà 10.329;

10.320;

10.326;

10.325;

10.353

10.086;12.006;

12.019;10.321

266

4 Êâàäðàò, ïðÿìîêóòíèê,

ðîìá, âïèñàí³ ó

òðèêóòíèê.

10.005;

10.108;

10.193;

10.200

10.058;10.207;

12.179

271

Çàíÿòòÿ 21. Âïèñàíå é îïèñàíå êîëà 274

1 Êîëî, âïèñàíå â

òðèêóòíèê.

10.055;

10.214;

10.244

10.072;10.090;

10.260

274

2 Êîëî, îïèñàíå íàâêîëî


10.203;

10.204;

10.287;

12.411

10.089;10.092 276





Ñòîð³íêà


3 Âïèñàíå é îïèñàíå

êîëà.10.009;

10.163;

10.253;

12.002;

12.395;

12.154;

10.078;10.206;

12.141

279

4 Êîëî, äîòè÷íå äî äâîõ

ñòîð³í òðèêóòíèêà,

öåíòð ÿêîãî ëåæèòü íà

òðåò³é ñòîðîí³.

10.013;

10.213;

10.419

10.040;10.209 283

Çàíÿòòÿ 22. Ïàðàëåëîãðàì ³ éîãî âèäè 285

1 Ïàðàëåëîãðàì. 10.038;

10.229;

12.391;

12.396;

12.399;

12.401

10.041;10.157;

10.232

285

2 Ðîìá. 10.031;12.003;12.147;12.160

10.004;10.083;

10.311

292

3 Ïðÿìîêóòíèê. 12.017;

12.148

10.081;10.212 295

4 Êâàäðàò. 10.023;

10.107;

12.004;

10.356

12.031;10.195 297




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 23. Òðàïåö³ÿ 300

1 Äîâ³ëüíà òðàïåö³ÿ. 10.024;

10.124;

10.238;

10.275;

12.136;

10.370;

10.376;

(10.318)

10.413

10.042;10.167;

10.184;10.198

301

2 Ïðÿìîêóòíà òðàïåö³ÿ. 10.191;

12.033

10.057;10.231 307

3 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ. 10.002;

(10.071)

12.038;

12.137;

12.138

10.003;10.323;

12.194

309

4 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ, óÿêó ìîæíà âïèñàòèêîëî.

10.007;12.010;10.199

12.018 312

5 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ,ä³àãîíàë³ ÿêî¿ïåðïåíäèêóëÿðí³.

10.319 10.134 314

Çàíÿòòÿ 24. ×îòèðèêóòíèêè. Ìíîãîêóòíèêè 315

1 Îïèñàí³÷îòèðèêóòíèêè.

12.024;12.152

12.027;10.180 315

2 Âïèñàí³

÷îòèðèêóòíèêè.

12.012;

10.243;

10.384;

10.418

10.217;12.197 318





Ñòîð³íêà


3 Âïèñàíå é îïèñàíå

êîëà.10.009;

10.163;

10.253;

12.002;

12.395;

12.154;

10.078;10.206;

12.141

279

4 Êîëî, äîòè÷íå äî äâîõ

ñòîð³í òðèêóòíèêà,

öåíòð ÿêîãî ëåæèòü íà

òðåò³é ñòîðîí³.

10.013;

10.213;

10.419

10.040;10.209 283

Çàíÿòòÿ 22. Ïàðàëåëîãðàì ³ éîãî âèäè 285

1 Ïàðàëåëîãðàì. 10.038;

10.229;

12.391;

12.396;

12.399;

12.401

10.041;10.157;

10.232

285

2 Ðîìá. 10.031;12.003;12.147;12.160

10.004;10.083;

10.311

292

3 Ïðÿìîêóòíèê. 12.017;

12.148

10.081;10.212 295

4 Êâàäðàò. 10.023;

10.107;

12.004;

10.356

12.031;10.195 297




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 23. Òðàïåö³ÿ 300

1 Äîâ³ëüíà òðàïåö³ÿ. 10.024;

10.124;

10.238;

10.275;

12.136;

10.370;

10.376;

(10.318)

10.413

10.042;10.167;

10.184;10.198

301

2 Ïðÿìîêóòíà òðàïåö³ÿ. 10.191;

12.033

10.057;10.231 307

3 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ. 10.002;

(10.071)

12.038;

12.137;

12.138

10.003;10.323;

12.194

309

4 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ, óÿêó ìîæíà âïèñàòèêîëî.

10.007;12.010;10.199

12.018 312

5 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ,ä³àãîíàë³ ÿêî¿ïåðïåíäèêóëÿðí³.

10.319 10.134 314

Çàíÿòòÿ 24. ×îòèðèêóòíèêè. Ìíîãîêóòíèêè 315

1 Îïèñàí³÷îòèðèêóòíèêè.

12.024;12.152

12.027;10.180 315

2 Âïèñàí³

÷îòèðèêóòíèêè.

12.012;

10.243;

10.384;

10.418

10.217;12.197 318





Ñòîð³íêà


3 Ïëîùà ÷îòèðèêóòíèêà. 10.348;

12.400;

12.413

10.140 321

4 Ïëîùà íåïðàâèëüíîãîìíîãîêóòíèêà.

10.109;10.349;10.375

10.100 325

5 Ïðàâèëüíèé

ìíîãîêóòíèê.

10.110;

10.308

10.159 326

6 Ïðàâèëüíèéìíîãîêóòíèê ³ êîëî.

10.025;

10.36710.401

10.029;

10.112;

10.127

328

Çàíÿòòÿ 25. Ãåîìåòð³ÿ êîëà 331

1 Âïèñàíèé êóò. 10.219 331

2 Âåëè÷èíà êóòà, âåðøè-íà ÿêîãî ëåæèòü óñåðå-äèí³ êðóãà (ïîçà íèì).

10.379 332

3 Ä³àìåòð ³ õîðäà. 10.257 10.425 334

4 Âëàñòèâ³ñòü õîðä, ùîïåðåòèíàþòüñÿ.

10.014;10.254;12.181

10.017 335

5 Äîòè÷íà ³ ñ³÷íà ,ïðîâåäåí³ äî êîëà çîäí³º¿ òî÷êè

10.026;

10.307

10.012 338

6 Äâ³ äîòè÷í³, ïðîâåäåí³ç îäí³º¿ òî÷êè. Â³äñòàíüâ³ä âåðøèíèòðèêóòíèêà äî òî÷êèäîòèêó âïèñàíîãî êîëàç³ ñòîðîíîþ

10.363;

10.373;

10.405

10.034;

10.369

339




Ñòîð³íêà


7 Äîâæèíà êîëà ³ äóãè. 12.191 10.267 342

8 Ñï³ëüíà õîðäà äâîõ

ê³ë, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ.

10.045 10.143 343

9 Äîòèê ê³ë. 10.391 10.259 344

10 Ñï³ëüíà çîâí³øíÿ äî-

òè÷íà äî äâîõ ê³ë, ùî

äîòèêàþòüñÿ çîâí³.

12.015;10.192;10.225;10.366

10.006;10.015;

10.222

346

Çàíÿòòÿ 26. Êîëî òà éîãî ÷àñòèíè 350

1 Ïëîùà êðóãà. 10.116;

10.299

10.168;

10.337

350

2 Ïëîùà ê³ëüöÿ. 10.150;

10.154

10.137 352

3 Ñåêòîð ³ éîãî ïëîùà. 12.175;

12.133;

10.338;

(10.138)

10.399;(10.300)

10.115;

12.199

354

4 Êîëî, âïèñàíå â ñåêòîð. 10.016;12.135

10.070;12.153 358

5 Ñåãìåíò ³ éîãî ïëîùà. 10.114;10.285;10.155;12.397

10.113;10.336

;12.020

359

6 Êîëà, âïèñàí³ âñåãìåíò.

12.394 363





Ñòîð³íêà


3 Ïëîùà ÷îòèðèêóòíèêà. 10.348;

12.400;

12.413

10.140 321

4 Ïëîùà íåïðàâèëüíîãîìíîãîêóòíèêà.

10.109;10.349;10.375

10.100 325

5 Ïðàâèëüíèé

ìíîãîêóòíèê.

10.110;

10.308

10.159 326

6 Ïðàâèëüíèéìíîãîêóòíèê ³ êîëî.

10.025;

10.36710.401

10.029;

10.112;

10.127

328

Çàíÿòòÿ 25. Ãåîìåòð³ÿ êîëà 331

1 Âïèñàíèé êóò. 10.219 331

2 Âåëè÷èíà êóòà, âåðøè-íà ÿêîãî ëåæèòü óñåðå-äèí³ êðóãà (ïîçà íèì).

10.379 332

3 Ä³àìåòð ³ õîðäà. 10.257 10.425 334

4 Âëàñòèâ³ñòü õîðä, ùîïåðåòèíàþòüñÿ.

10.014;10.254;12.181

10.017 335

5 Äîòè÷íà ³ ñ³÷íà ,ïðîâåäåí³ äî êîëà çîäí³º¿ òî÷êè

10.026;

10.307

10.012 338

6 Äâ³ äîòè÷í³, ïðîâåäåí³ç îäí³º¿ òî÷êè. Â³äñòàíüâ³ä âåðøèíèòðèêóòíèêà äî òî÷êèäîòèêó âïèñàíîãî êîëàç³ ñòîðîíîþ

10.363;

10.373;

10.405

10.034;

10.369

339




Ñòîð³íêà


7 Äîâæèíà êîëà ³ äóãè. 12.191 10.267 342

8 Ñï³ëüíà õîðäà äâîõ

ê³ë, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ.

10.045 10.143 343

9 Äîòèê ê³ë. 10.391 10.259 344

10 Ñï³ëüíà çîâí³øíÿ äî-

òè÷íà äî äâîõ ê³ë, ùî

äîòèêàþòüñÿ çîâí³.

12.015;10.192;10.225;10.366

10.006;10.015;

10.222

346

Çàíÿòòÿ 26. Êîëî òà éîãî ÷àñòèíè 350

1 Ïëîùà êðóãà. 10.116;

10.299

10.168;

10.337

350

2 Ïëîùà ê³ëüöÿ. 10.150;

10.154

10.137 352

3 Ñåêòîð ³ éîãî ïëîùà. 12.175;

12.133;

10.338;

(10.138)

10.399;(10.300)

10.115;

12.199

354

4 Êîëî, âïèñàíå â ñåêòîð. 10.016;12.135

10.070;12.153 358

5 Ñåãìåíò ³ éîãî ïëîùà. 10.114;10.285;10.155;12.397

10.113;10.336

;12.020

359

6 Êîëà, âïèñàí³ âñåãìåíò.

12.394 363




Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 5. Ñòåðåîìåòð³ÿ 365

Çàíÿòòÿ 27. Ïðàâèëüíà ïðèçìà. Êóá 365

1 Ïðàâèëüíà òðèêóòíà

ïðèçìà.

11.049;

11.142;

12.080;

(12.320)

11.052;12.109;

12.101

366

2 Ïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ïðèçìà.

11.022;11.060;12.204;12.338;12.442

12.066;12.082;

12.101

368

3 Ïðàâèëüíà øåñòèêóòíàïðèçìà.

11.045;11.067

11.034 372

4 Ïðàâèëüíàâîñüìèêóòíà ïðèçìà.

11.107 374

5 Êóá. 11.110;11.123;11.127;11.197

11.035;11.179;

11.207;12.464

375

Çàíÿòòÿ 28. Ïðÿìà ³ ïîõèëà ïðèçìè 378

1 Ïðÿìà òðèêóòíà

ïðèçìà.

12.051;11.116;11.124;11.144;11.198

11.059;12.057;

12.210;12.276

378

2 Ïðÿìà ÷îòèðèêóòíà

ïðèçìà.

12.061;

11.117

12.100;11.156 383

3 Ïîõèëà òðèêóòíà

ïðèçìà.

11.004;

11.125;

12.293;

12.446

11.048;11.131;

11.155

385



Ñòîð³íêà


4 Ïîõèëà ÷îòèðèêóòíàïðèçìà.

11.020;12.294

11.037;

12.303

390

Çàíÿòòÿ 29. Ïàðàëåëåï³ïåä 392

1 Ïðÿìèé ïàðàëåëåï³ïåä. 11.008;11.043;11.070;12.209;12.434

11.030;12.077;

12.124; 11.149

393

2 Ïðÿìîêóòíèé

ïàðàëåëåï³ïåä.

11.006;11.073;12.044;12.062;12.081;11.165;11.137

11.047;11.057;

11.102;12.287;

12.304

397

3 Ïîõèëèéïàðàëåëåï³ïåä.

11.113;11.151

11.118;11.166 403

Çàíÿòòÿ 30. Ï³ðàì³äà. Ïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà. Ïðàâèëüíèé òåòðàåäð

406

1 Ïðàâèëüíèé òåòðàåäð. 11.002;11.007;11.202;12.450

11.053;11.066;11.141

406


ï³ðàì³äà.

11.005;11.015;11.017;11.019;12.053;11.119;11.120;11.134;11.136;12.206;12.422

11.003(11.029);11.051; 12.065;

12.070;12.104;

11.121(11.169);

12.203;12.224

410




Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 5. Ñòåðåîìåòð³ÿ 365

Çàíÿòòÿ 27. Ïðàâèëüíà ïðèçìà. Êóá 365


ïðèçìà.

11.049;

11.142;

12.080;

(12.320)

11.052;12.109;

12.101

366

2 Ïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ïðèçìà.

11.022;11.060;12.204;12.338;12.442

12.066;12.082;

12.101

368

3 Ïðàâèëüíà øåñòèêóòíàïðèçìà.

11.045;11.067

11.034 372

4 Ïðàâèëüíàâîñüìèêóòíà ïðèçìà.

11.107 374

5 Êóá. 11.110;11.123;11.127;11.197

11.035;11.179;

11.207;12.464

375

Çàíÿòòÿ 28. Ïðÿìà ³ ïîõèëà ïðèçìè 378

1 Ïðÿìà òðèêóòíà

ïðèçìà.

12.051;11.116;11.124;11.144;11.198

11.059;12.057;

12.210;12.276

378

2 Ïðÿìà ÷îòèðèêóòíà

ïðèçìà.

12.061;

11.117

12.100;11.156 383

3 Ïîõèëà òðèêóòíà

ïðèçìà.

11.004;

11.125;

12.293;

12.446

11.048;11.131;

11.155

385



Ñòîð³íêà


4 Ïîõèëà ÷îòèðèêóòíàïðèçìà.

11.020;12.294

11.037;

12.303

390

Çàíÿòòÿ 29. Ïàðàëåëåï³ïåä 392

1 Ïðÿìèé ïàðàëåëåï³ïåä. 11.008;11.043;11.070;12.209;12.434

11.030;12.077;

12.124; 11.149

393

2 Ïðÿìîêóòíèé

ïàðàëåëåï³ïåä.

11.006;11.073;12.044;12.062;12.081;11.165;11.137

11.047;11.057;

11.102;12.287;

12.304

397

3 Ïîõèëèéïàðàëåëåï³ïåä.

11.113;11.151

11.118;11.166 403

Çàíÿòòÿ 30. Ï³ðàì³äà. Ïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà. Ïðàâèëüíèé òåòðàåäð

406

1 Ïðàâèëüíèé òåòðàåäð. 11.002;11.007;11.202;12.450

11.053;11.066;11.141

406


ï³ðàì³äà.

11.005;11.015;11.017;11.019;12.053;11.119;11.120;11.134;11.136;12.206;12.422

11.003(11.029);11.051; 12.065;

12.070;12.104;

11.121(11.169);

12.203;12.224

410




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 31 . Ïðàâèëüíà ï³ðàì³äà 420

1 Ïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà.

11.010;11.012;12.220;11.209

11.044;11.068;12.084;12.324

420

2 Ïðàâèëüíà øåñòèêóòíà

ï³ðàì³äà.

11.011;11.106;11.126

11.014;11.071 424

3 Ïðàâèëüíàäâàíàäöÿòèêóòíàï³ðàì³äà.

12.201 12.125 427

4 Ïðàâèëüíà ï‘ÿòèêóòíàï³ðàì³äà.

11.229 429

5 Ïðàâèëüíà n-êóòíàï³ðàì³äa.

12.083 431

6 Ôîðìóëè ïåðåõîäó ì³æêóòàìè ïðàâèëüíî¿ï³ðàì³äè.

12.344;11.109;12.290;12.207

12.050;12.049;12.068;12.235;12.279

432

Çàíÿòòÿ 32 . Îêòàåäð. Íåïðàâèëüíà ï³ðàì³äà 442

1 Îêòàåäð. 11.036;11.039

11.130 442

2 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿê³é á³÷í³ ðåáðà (á³÷í³ãðàí³) âçàºìíîïåðïåíäèêóëÿðí³.

11.145;11.227

11.033 444

3 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ á³÷íà ãðàíü ïåðïåí-äèêóëÿðíà äî ïëîùèíèîñíîâè (âèñîòà ï³ðàì³äèíàëåæèòü á³÷í³é ãðàí³)÷è äâ³ á³÷í³ ãðàí³âçàºìíîïåðïåíäèêóëÿðí³.

11.133;11.161

12.444 446



Ñòîð³íêà


4 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíåç á³÷íèõ ðåáåð ºâèñîòîþ ï³ðàì³äè).

12.266;

12.218

12.113;12.277 448

5 ×îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíå çá³÷íèõ ðåáåð º âèñîòîþ).

11.160;

11.168

11.062;12.362 451

6 Øåñòèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíå çá³÷íèõ ðåáåð º âèñîòîþ).

11.146 453

7 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà.

11.210;11.215

11.162;12.384 455

8 Íåïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà.

11.147;12.415

11.112;11.138 457

Çàíÿòòÿ 33 . Íåïðàâèëüíà ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòð êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëîîñíîâè ÷è âïèñàíîãî â íå¿. Çð³çàíà ï³ðàì³äà

461

1 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòðîïèñàíîãî êîëà.

11.018;

11.021;

11.158;

12.370

11.001;11.032;

12.286;11.201

462




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 31 . Ïðàâèëüíà ï³ðàì³äà 420

1 Ïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà.

11.010;11.012;12.220;11.209

11.044;11.068;12.084;12.324

420

2 Ïðàâèëüíà øåñòèêóòíà

ï³ðàì³äà.

11.011;11.106;11.126

11.014;11.071 424

3 Ïðàâèëüíàäâàíàäöÿòèêóòíàï³ðàì³äà.

12.201 12.125 427

4 Ïðàâèëüíà ï‘ÿòèêóòíàï³ðàì³äà.

11.229 429

5 Ïðàâèëüíà n-êóòíàï³ðàì³äa.

12.083 431

6 Ôîðìóëè ïåðåõîäó ì³æêóòàìè ïðàâèëüíî¿ï³ðàì³äè.

12.344;11.109;12.290;12.207

12.050;12.049;12.068;12.235;12.279

432

Çàíÿòòÿ 32 . Îêòàåäð. Íåïðàâèëüíà ï³ðàì³äà 442

1 Îêòàåäð. 11.036;11.039

11.130 442

2 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿê³é á³÷í³ ðåáðà (á³÷í³ãðàí³) âçàºìíîïåðïåíäèêóëÿðí³.

11.145;11.227

11.033 444

3 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ á³÷íà ãðàíü ïåðïåí-äèêóëÿðíà äî ïëîùèíèîñíîâè (âèñîòà ï³ðàì³äèíàëåæèòü á³÷í³é ãðàí³)÷è äâ³ á³÷í³ ãðàí³âçàºìíîïåðïåíäèêóëÿðí³.

11.133;11.161

12.444 446



Ñòîð³íêà


4 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíåç á³÷íèõ ðåáåð ºâèñîòîþ ï³ðàì³äè).

12.266;

12.218

12.113;12.277 448

5 ×îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíå çá³÷íèõ ðåáåð º âèñîòîþ).

11.160;

11.168

11.062;12.362 451

6 Øåñòèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíå çá³÷íèõ ðåáåð º âèñîòîþ).

11.146 453

7 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà.

11.210;11.215

11.162;12.384 455

8 Íåïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà.

11.147;12.415

11.112;11.138 457

Çàíÿòòÿ 33 . Íåïðàâèëüíà ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòð êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëîîñíîâè ÷è âïèñàíîãî â íå¿. Çð³çàíà ï³ðàì³äà

461

1 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòðîïèñàíîãî êîëà.

11.018;

11.021;

11.158;

12.370

11.001;11.032;

12.286;11.201

462





Ñòîð³íêà


2 Íåïðàâèëüíà

÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà,

âåðøèíà ÿêî¿

ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòð

îïèñàíîãî êîëà.

11.132 12.063 466

3 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíà

ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿


âïèñàíîãî êîëà.

11.040 467





âïèñàíîãî êîëà

12.223;

12.227

11.028;12.278 468

5 Çð³çàíà ï³ðàì³äà. 11.148 11.074 470


çð³çàíà ï³ðàì³äà

11.150 11.025 472

7 Ïðàâèëüíà

÷îòèðèêóòíà çð³çàíà

ï³ðàì³äà.

11.024;

11.122;

11.129

11.023;11.135;

11.157

473


âîñüìèêóòíà óñ³÷åíà

ï³ðàì³äà.

11.108 477

Çàíÿòòÿ 34 . Ò³ëà îáåðòàííÿ 478

1 Öèë³íäð. 12.058;

12.069;

12.269

11.078;12.075;

12.271

478




Ñòîð³íêà


2 Êîíóñ. 11.076;

12.045;

12.048;

12.216;

12.230;

12.246;

12.267;

12.369

11.077;11.089;

(11.195);12.054;

11.177;11.186;

12.261

482

3 Çð³çàíèé êîíóñ. 12.047 11.100 491

4 Êóëÿ ³ ¿¿ ÷àñòèíè. 12.092*12.310

12.236*;12.332* 492

Çàíÿòòÿ 35 . Ò³ëà îáåðòàííÿ. Êîìá³íàö³¿ ò³ë 496

1 Ò³ëà îáåðòàííÿ. 11.092;12.056;11.178;12.355*

11.090;11.091;

12.237

496

2 Â³äíîøåííÿ ïîâåðõîíü³ îá‘ºì³â ò³ë îáåðòàííÿ.

11.103;

11.184

11.088 500

3 Êóëÿ, âïèñàíà â êîíóñ. 11.086;

11.221;

12.239

11.094;12.245 502

4 Ï³âêóëÿ, âïèñàíà âêîíóñ.

11.082 12.096 504

5 Êîíóñ, âïèñàíèé óêóëþ.

11.223 11.096 505

6 Êóëÿ, âïèñàíà âçð³çàíèé êîíóñ.

12.238;11.220

12.425

12.107;11.188;12.217

506

7 Öèë³íäð, âïèñàíèé óêîíóñ.

12.253 12.351 509


зрізана




Ñòîð³íêà






îïèñàíîãî êîëà.

11.132 12.063 466

3 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíà

ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿


âïèñàíîãî êîëà.

11.040 467





âïèñàíîãî êîëà

12.223;

12.227

11.028;12.278 468

5 Çð³çàíà ï³ðàì³äà. 11.148 11.074 470


çð³çàíà ï³ðàì³äà

11.150 11.025 472


÷îòèðèêóòíà çð³çàíà

ï³ðàì³äà.

11.024;

11.122;

11.129

11.023;11.135;

11.157

473


âîñüìèêóòíà óñ³÷åíà

ï³ðàì³äà.

11.108 477

Çàíÿòòÿ 34 . Ò³ëà îáåðòàííÿ 478

1 Öèë³íäð. 12.058;

12.069;

12.269

11.078;12.075;

12.271

478




Ñòîð³íêà


2 Êîíóñ. 11.076;

12.045;

12.048;

12.216;

12.230;

12.246;

12.267;

12.369

11.077;11.089;

(11.195);12.054;

11.177;11.186;

12.261

482

3 Çð³çàíèé êîíóñ. 12.047 11.100 491

4 Êóëÿ ³ ¿¿ ÷àñòèíè. 12.092*12.310

12.236*;12.332* 492

Çàíÿòòÿ 35 . Ò³ëà îáåðòàííÿ. Êîìá³íàö³¿ ò³ë 496

1 Ò³ëà îáåðòàííÿ. 11.092;12.056;11.178;12.355*

11.090;11.091;

12.237

496

2 Â³äíîøåííÿ ïîâåðõîíü³ îá‘ºì³â ò³ë îáåðòàííÿ.

11.103;

11.184

11.088 500

3 Êóëÿ, âïèñàíà â êîíóñ. 11.086;

11.221;

12.239

11.094;12.245 502

4 Ï³âêóëÿ, âïèñàíà âêîíóñ.

11.082 12.096 504

5 Êîíóñ, âïèñàíèé óêóëþ.

11.223 11.096 505

6 Êóëÿ, âïèñàíà âçð³çàíèé êîíóñ.

12.238;11.220

12.425

12.107;11.188;12.217

506

7 Öèë³íäð, âïèñàíèé óêîíóñ.

12.253 12.351 509




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 36 . Êîìá³íàö³¿ ìíîãîãðàííèê³â ³ ò³ëîáåðòàííÿ

510

1 Êîìá³íàö³ÿ öèë³íäðà ³ïðèçìè.

12.231 12.268 510

2 Êîìá³íàö³ÿ öèë³íäðà ³ï³ðàì³äè.

12.387 12.321 511

3 Ï³ðàì³äà, îïèñàíàíàâêîëî êîíóñà.

12.363 12.367 512

4 Ï³ðàì³äà, âïèñàíà âêîíóñ.

12.085;12.232

11.172 513

5 Êîìá³íàö³ÿ ïðèçìè ³êîíóñà.

12.274 12.128 515

6 Êóëÿ, âïèñàíà â ïðèçìó. 12.295 12.248 516

7 Êóëÿ, âïèñàíà âï³ðàì³äó.

11.187;12.211

11.083;12.334 518

8 Êóëÿ, âïèñàíà â çð³çàíóï³ðàì³äó.

11.191 520

9 Ïðèçìà, âïèñàíà âêóëþ.

11.095 11.093 522

10 Ï³ðàì³äà, âïèñàíà âêóëþ.

11.176;12.350

12.093;12.234 523

11 Çð³çàíà ï³ðàì³äà,âïèñàíà â êóëþ.

11.174 526

12 Êîìá³íàö³¿ êóë³ çìíîãîãðàííèêîì.

11.228;12.420

527

13 Êîìá³íàö³¿ìíîãîãðàííèê³â.

12.200;12.233

11.009;11.143 529

Äîäàòîê. Â³äïîâ³äí³ñòü ì³æ íîìåðàìèðîçâ’ÿçàíèõ çàäà÷

533

Â³äïîâ³ä³ äî âïðàâ 541


Documents

Методи розв’язування задач з МатеМатикиister.in.ua/Fragmenty/f126.pdfТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН О.С. Істер