незалежне оцінювання, шляхи розв’язування

Інформаційно-методичний центр освіти

Відділ освіти Жовківської райдержадміністрації

ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРОМ у тестуваннях ЗНО та методи їх розв'язання

Жовква-2014

2

Автор: Савицька Світлана Василівна- вчитель математики Глинської СЗШ

Відповідальна

за випуск: Бродик Ірина Анатоліївна- методист ІМЦО відділу освіти Жовківської райдержадміністрації

Посібник містить виклад методичних підходів до розв'язування деяких видів задач незалежного

оцінювання з математики. Розглядаються нерівності та їх розв'язування за допомогою методу інтервалів,

задачі з параметрами і графічний та аналітичний прийоми їх розв'язання, задачі на застосування

властивостей квадратного тричлена.

У посібнику вміщено вправи для самостійного розв'язання та відповіді до них.

Рекомендовано для факультативних і додаткових занять з математики у старших класах.

3

Мислити послідовно, судити переконливо,

спростовувати неправильні висновки

повинен уміти кожний: фізик і поет,

тракторист і лікар.

Е. Кольман.

Пам'ятайте: якщо ви хочете навчитися

плавати, то сміливо заходьте у воду, а

якщо хочете навчитися розв'язувати

задачі, то розв'язуйте їх.

Д. Пойя.

ПЕРЕДМОВА

Які завдання вигідно включати до вступних тестів? Звичайно ті, які мають

високу діагностичну цінність. На мою думку, такі властивості повністю притаманні

задачам із параметрами. Адже за їх допомогою можна перевірити знання основних

розділів шкільної математики, математичну культуру учнів.

Багато із таких задач доволі складні. Тому важко розраховувати, що учні ,

підготовка яких не містила «параметричної терапії» зможуть легко з ними

впоратись. Цілком очевидно, що до «зустрічі» з такими задачами слід спеціально

готуватися.

Даний посібник містить як теоретичний матеріал так і практичні методи

розв'язання певних типів задач з параметрами, а також методичні рекомендації по

застосуванню методу інтервалів для розв'язування нерівностей. До кожної глави

підібрано вправи для самостійної роботи і наведено відповіді.

Посібник доцільно використовувати на додаткових уроках і факультативних

заняттях.

Автор

.

4

РОЗДІЛ 1. Метод інтервалів і його ефективне застосування

при розв'язуванні нерівностей.

Аналіз результатів незалежного оцінювання засвідчує, що більшість учасників

тестування мають труднощі при розв'язуванні нерівностей виду:

Pn(x)/Qm(x)<0; Pn(x)/Qm(x)0; Pn(x)/Qm(x)>0; Pn(x)/Qm(x)0, де Pn(x), Qm(x)-

многочлени виду:

Pn(x)=a0(x-x1)n1

(x-x2)n2

…(x-xk)nk

(x2+p1x+q1)

j1…(x

2+psx+qs)

js,

Qm(x)=b0(x-x1)m1

(x-x2)m2

…(x-xp)mp

(x2+k1x+g1)

s1…(x

2+kfx+qf)

sf, де x1, x2, x3…-дійсні

корені многочленів відповідної кратності, а тричлени (х2+pnx+qn) - мають від'ємні

дискримінанти, тобто при всіх х додатні.

При розв'язуванні таких нерівностей користуються наступними твердженнями:

1. Нерівність Pn(x)/Qm(x)>0 рівносильна нерівності: Pn(x)Qm(x)>0.

2. Нерівність Pn(x)/Qm(x)0 рівносильна системі нерівностей:

.0)(

,0)()(

xQ

xQxP

m

mn

3. Нерівність Pn(x)/Qm(x)<0 рівносильна нерівності: Pn(x)Qm(x)<0.

4. Нерівність Pn(x)/Qm(x)0 рівносильна системі нерівностей:

.0)(

,0)()(

xQ

xQxP

m

mn

Алгоритм методу інтервалів. 1. Запишемо нерівність у стандартному вигляді ( у одному з чотирьох поданих

вище).

2. Розв'язуємо рівняння f(x)=0, де f(x)=Pn(x)/Qm(x).

3. Позначаємо одержані значення коренів на осі ОХ; корені парної кратності при

цьому підкреслюємо.

4. Знак f(x) на крайньому правому проміжку при стандартному її записі завжди

додатній.

5. Будуємо ескіз графіка функції f(x), дотримуючись правила: в коренях непарної

кратності графік функції перетинає вісь ОХ, а в коренях парної кратності

дотикається до осі ОХ (правило «змійки»). Тут допомагає те, що корені парної

кратності підкреслені.

6. Розставляємо знаки, записуємо розв'язок нерівності.

Розглянемо дробово-раціональні нерівності, які пропонувалися в завданнях ЗНО

і застосуємо для їх розв'язання даний алгоритм.

Приклад 1. Вкажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності:

(х-2)(х+4)2(х

2-5х+12) 0 .

5

Розв'язання.

Діємо згідно алгоритму:

1. Нерівність записано в стандартному вигляді.

2. Розв'язуємо рівняння: (х-2)(х+4)2(х

2-5х+12)=0. Одержимо х1=2, х2=-4. Причому

розв'язок х2=-4 парної кратності.

3. Позначаємо одержані розв'язки на осі ОХ, корені парної кратності підкреслюємо.

4. Будуємо схематично графік функції f(x) за правилом «змійки», розставляємо

знаки.

Відповідь. {-4} [2; ), найменший цілий розв'язок -4.

Приклад 2. Вкажіть число цілих розв'язків нерівності (х-4)(х-1)/(х-2)

2(х-7)>0 на проміжку

(-10; 10).


(х-4)(х-1)(х-2)2(х-7)>0;

(х-4)(х-1)(х-2)2(х-7)=0;

х1=4, х2=1, х3=2, х4=7, причому х3=2-корінь парної кратності.

Відповідь. (1; 2) (2; 4) (7; ); кількість цілих розв'язків на проміжку (-10; 10)

дорівнює 3.

Приклад 3.

Вказати найменший цілий розв'язок нерівності: .023

672

2

хх

хх


.2,1

,1,6,1,2

;023

,0)23)(67(

;023

67

4321

2

22

2

2

хх

хххх

хх

хххх

хх

хх

-

+

+

-

+

○ 7

○ 4

○ 1

○ 2

х

2

+

-

-

-4

х

6

Відповідь. ( 2; 6 ]; найменший цілий розв'язок 3.

Слід зазначити, що метод інтервалів застосовується і для розв'язування великого

класу більш складних нерівностей.

Для цього необхідно:

1. Зводимо нерівність до одного з видів: f(x)<0; f(x) 0 ; f(x)>0; f(x) 0 .

2. Знаходимо область визначення функції та зображаємо її на осі ОХ.

3. Розв'язуємо відповідне рівняння f(x)=0 і відмічаємо його корені на множині D(f).

4. На кожному з отриманих на D(f) проміжках визначаємо знак f(x) простою

перевіркою в довільній точці проміжку.

5. У розв'язок нерівності увійдуть всі проміжки , відмічені потрібним знаком.

Зауваження: На відміну від випадку дробово-раціональних нерівностей

перевіряти знаки потрібно на кожному проміжку, правило «змійки» не діє.

Приклад 4.

Розв'язати нерівність: )4

1

52

1(6 2

хххх 0 .


D(f)=

.4

,5,2

,06

;04

,052

,06 22

х

х

хх

х

х

хх

Отже, D(f)=[-2; 3].

.1

,3

,2

;0)4)(52(

1

,06

;0)4

1

52

1(6

3

2

12

2

х

х

х

хх

х

хх

хххх

Відповідь. [-2; -1].

x -2

3

-1

+

-

6

6 ○ 1

+ ○ 2 -

+

+

х

7

Приклад 5.

Розв'язати нерівність: .2342

х

хх


D(f)=

.0

,2

;0

,02

х

х

х

х

Отже, D(f)= 2;0()0;( .

;2342

х

хх

;0322

;0322

;0322

хх

х

хх

х

хх

.5,1

,1,4

7

;023

,)23(2 21

2

х

хх

х

хх

Розв'язок х1=7/4 не задовольняє умову х1,5. Отже, одержали один розв'язок х=1.

Відповідь. ( )0; [1;2].

Приклад 6. Скільки цілих розв'язків має нерівність log(x/2-1)(12-x)<1?

Розв'яжемо методом інтервалів:

f(x)=log(x/2-1)(12-x)-1; f(x)<0.

D(f)=

.12

,4

,2

;012

,112

,012

x

x

x

x

x

х

Отже, D(f)=(2;4) (4;12).

Розв'яжемо рівняння:

log(x/2-1)(12-x)=1;

x/2-1=12-x;

x=3

28 .

х ○ 0

2

1

+ -

+

8

Відповідь. (2;4) )12;3

28( ; нерівність має чотири цілих розв'язки.

Для закріплення матеріалу рекомендую розв'язати такі

ВПРАВИ: 1.1. Вказати кількість цілих розв'язків нерівності у проміжку (-5;5):

а) (х-2)2(-х-4)<0;

Відповідь. 7.

б) (х+2)2(х-1)2(х+2)

2;


в) (3-х)2х

2 (х-3)

2;


г) 2

1

65

12

хх

;


1.2. Вказати найменший цілий розв'язок нерівності:

а) 5

5.

154

15)(62

2

xхх

х;


б) 023

12

х

х;

Відповідь. -2.

1.3. Визначити кількість цілих розв'язків нерівності:

а) (2-х)3(х+2)

2(х-3) 0 ;


б) (3 2х ) 05 х ;


в) 01)84( 2 ххх ;

Відповідь 4.

1.4. Визначити середнє арифметичне цілих розв'язків нерівності:

а) ;020

)307)(20( 2

х

хх


б) ;07

)7()82( 2

х

хх


в) ;0169

)45()12(2

22

х

ххх

Відповідь. -0,5.

-

+

- ○ 12

○ 8⅔

○ 2

○ 4

х

9

г) ;06)279( 22 хххх

Відповідь. 1,5.

1.5. Визначити найменший розв'язок нерівності:

а) ;02)9( 2 хх


б) х

х 132 <0;


1.6. Визначити суму найбільшого і найменшого розв'язку нерівності:

а) ;24242 хх


б) ;23555 хх


в) ;4))1((log 2

2,0 x


г) ;6255log

xx


д) 2log

2)21(log

7,0

2

2

1 x ;


1.7. Визначити суму цілих розв'язків нерівності:

а) ;0324

14324)34(2

22

х

ххх


б) ;0)2(log)8( 3

2 xхх


в) ;0)12(log)5( 2

2 xхх


г) ;19

1log 5,0

x

x


1.8. Визначити кількість цілих розв'язків нерівності:

а) ;1)2

1(log

23

xx


б) ;1)97

(log 2

)7(

xx


в) ;1)52(log

)5(log

3

2

3

x

x


1.9. Визначити найбільший цілий розв'язок нерівності:

10

а) ;1422

log3

2

x

x


б) ;1)2510(log 1022

2

1 xx


в) ;2)242(log )322( xx


1.10.Визначити найбільше ціле число, що не задовольняє нерівність:

а) ;05

225302

х

хх


б) ;08

324362

х

хх


11

РОЗДІЛ 2. Графічні прийоми розв'язання рівнянь, систем

рівнянь і нерівностей з параметром.

Одним з основних прийомів і методів розв'язування задач із параметрами є

наглядно-графічна інтерпретація.

Залежно від того, яка роль параметру відводиться у задачі (нерівноправна або

рівноправна зі змінною), можна відповідно виділити два основних графічних

прийоми: перший - побудова графічного образу на координатній площині (x;y),

другий – на (x;a). Першому із перерахованих методів присвячений цей розділ.

Схематично опишу його суть.

На площині (x;y) функція y=f(x;a) задає сімейство кривих, що залежать від

параметра а. Кожне сімейство f володіє певними властивостями. Нас же в першу

чергу цікавитиме, за допомогою якого перетворення площини можна перейти від

однієї кривої сімейства до якої-небудь іншої. Зрозуміло, що не завжди графічний

образ сімейства y=f(x;a) описується простим перетворенням. Тому в подібних

ситуаціях корисно зосередити увагу не на тому, як пов'язані криві одного

сімейства, а на самих кривих. Які ж функції заслуговують на першочергову увагу?

Це прямі і параболи. Такий вибір зумовлений особливим положенням лінійної

та квадратичної функції у шкільному курсі математики.

Задачі, що пропонуються вашій увазі досить легко розв'язуються за допомогою

графічних прийомів, і отримана відповідь потребує затрат принаймні не більших,

ніж відповідне аналітичне розв'язування.

Приклад 1. Визначити кількість коренів рівняння 922 хх + m = 0, залежно від значень

параметра m.


Запишемо дане рівняння у вигляді mxx 922 . Побудуємо графік функції

y= 922 хх .

12

Розглянемо сімейство прямих y=-m.

Очевидно, якщо -10<m<0, то рівняння має 4 розв'язки;

якщо m= -10, то рівняння має 3 розв'язки;

якщо m<-10; m=0, то рівняння має 2 розв'язки;

якщо m>0, то рівняння розв'язків не має.

Приклад 2. Визначити кількість коренів рівняння mxx 1282 в залежності від значень

параметра m.


Будуємо графік функції

.5,1,128

,5,1,128128

2

2

2

xxx

xxxxxy

Відповідь. Якщо m=-4, m=2,25, то рівняння має 3 розв'язки;

якщо -28<m<-4; m>2,25, то рівняння має 2 розв'язки;

якщо -4<m<2,25, то рівняння має 4 розв'язки;

якщо m=-28, то рівняння має 1 розв'язок;

якщо m<-28, то рівняння розв'язків не має.

Приклад 3. При яких значеннях m рівняння xmх має два корені?


Перейдемо до рівносильної системи:

;

,0

2 xxm

x

В системі координат побудуємо графік функції .0,2 xxxy

13

Отриманий графік повинен перетинати сімейство прямих y=m у двох точках.

З рисунка видно, ця умова виконується при .04

1 m

Відповідь. m (-1/4;0].

Приклад 4. Визначити всі значення параметра m, при яких рівняння )2lg(2lg xx 0)lg(lg m

має єдиний розв'язок.


Перейдемо до рівносильної системи:

.0

,2

,)2(2

x

x

kхх

Будуємо графік функції )2(2 xxy з областю визначення .0,2 xx

14

Цей графік сім'я прямих y=k повинна перетинати тільки в одній точці. З малюнка

робимо висновок, що ця умова виконується лише при k>2, тобто lgm>2, m>100.

Відповідь. m ).;100(

Приклад 5.

При яких значеннях параметра а нерівність xaх 21 має розв'язки?


Графіком функції 21 xy є півколо із центром (0;0) і радіусом 1.

Функція у=а–х для кожного фіксованого значення параметра а задає пряму,

паралельну прямій у= -х. Потрібно визначити ті точки півкола, які розміщені вище

від відповідних точок прямої. Очевидно, такі точки з'являться після того, як пряма

у= а–х займе місце ліворуч від дотичної. В момент дотику а= 2 .Отже, якщо а< 2 ,

то дана нерівність має розв'язки.

Відповідь. ).2;(a

Приклад 6. Скільки коренів має рівняння )2(log

3

1 axах залежно від значень параметра а?


Зробимо заміну .2 tax Звідси одержимо, .log33

1 tat Це спрощує побудову

графіків функцій. Розглянемо функції aty 3 і .log3

1 ty Серед них, на відміну

від вихідних функцій, лише одна задає сімейство кривих.

15

Очевидно, що коли абсциса вершини вітки параболи більша за 1, тобто – 3а>1,

a 1/3,то рівняння коренів не має. Якщо а 1/3, то за рисунком видно: функції,

що розглядаються, перетинаються в одній точці, оскільки мають різний характер

монотонності.

Відповідь. Якщо а 1/3, то рівняння має один корінь;

якщо а< - 1/3, то рівняння коренів не має.

Приклад 7.

Скільки розв'язків має система:

,1

,

22 ух

аух залежно від значення параметра а?


Очевидно, що a>0. Графіком рівняння х2+у

2=1 є коло з центром в початку

координат і радіусом 1. Членами сімейства аух є квадрати з вершинами (а;0);

(0;а); (0;-а); (-а;0).

16

Очевидно, що коли квадрат розміщений всередині кола, то система розв'язків не має.

Розв'язки з'являються, якщо квадрат є вписаним в коло. У цьому випадку, якщо а=1,

розв'язків буде чотири. Далі, якщо 1<a< 2 ,то кожна сторона квадрата має дві спільні

точки з колом, а значить система має вісім розв'язків. Якщо а= 2 ,то коло буде

вписаним в квадрат, тобто розв'язків знову буде чотири. Якщо ж а> 2 , то система

розв'язків не має.

Відповідь. Якщо а=1; а= 2 , то система має 4 розв'язки;

якщо 1<a< 2 , то система має 8 розв'язків;

якщо 0<a<1; a> 2 , то система розв'язків не має.

Приклад 8.

Обчислити добуток тих значень параметра а , при яких система

1)(

,16

22

22

уах

ух

має єдиний розв'язок.


Побудуємо графіки обох функцій. Графіком функції х2+у

2=16 є коло з центром в

точці (0;0) і радіусом 4. Графіком (х-а)2+у

2=1 є сімейство кіл з центром в точці

(а;0) і радіусом 1. Оскільки система повинна мати єдиний розв'язок, то очевидно,

що ці кола повинні дотикатися.

Отже, а = -3, а = -5, а =3, а = 5.



17

ВПРАВИ: 2.1. Для кожного значення параметра а визначити кількість розв'язків рівняння

.322 ахх

Відповідь. Якщо а<0, то рівняння розв'язків не має;

якщо а=0, а>4, то рівняння має 2 розв'язки;

якщо 0<a<4, то рівняння має 4 розв'язки;

якщо а=4, то рівняння має 3 розв'язки.

2.2. Для кожного значення параметра а визначити кількість розв'язків рівняння

.2 2 ахх

Відповідь. Якщо а<0; a>1, то рівняння розв'язків не має;

якщо а=0, то рівняння має 3 розв'язки;

якщо 0<a<1, то рівняння має 4 розв'язки;

якщо а=1, то рівняння має 2 розв'язки.

2.3. При яких значеннях параметра а рівняння ,2

1)(log )1( axx має єдиний

розв'язок?

Відповідь. а = -3/4, а< -1.

2.4. При яких значеннях параметра k рівняння kxхх 36 має розв'язок?

Відповідь. .2/1;1 kk

2.5. При яких значеннях параметра а рівняння 2

1)1(log 2 axx має єдиний

розв'язок?

Відповідь. а=2; а<1/2.

2.6. Визначити найменше ціле значення параметра а>1, при якому рівняння

)4

3sin(log

xxa має три розв'язки?

Відповідь. а=6.

2.7. При яких значеннях параметра а корені рівняння 3222 ааах мають

однакові знаки?

Відповідь. .32

71;

2

711

aa

2.8 Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння 222 ахах

має три різні корені.

Відповідь. а= -2; а= -1/2.

2.9. Скільки коренів має рівняння )2(log3

1 axax залежно від значень

параметра а ?

Відповідь. Якщо а -1/3, то рівняння має один розв'язок;

якщо а < 1/3, то рівняння розв'язків не має.

2.10. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння 312 хах має

єдиний розв'язок.

Відповідь. а = -8; а = -4.

2.11. При яких значеннях параметра а нерівність 0312 хахх

виконується при всіх значеннях змінної х?

18

Відповідь. .12 а

2.12. Знайти всі значення параметра а, при яких розв'язки нерівності хах 229

утворюють проміжок завдовжки 15/4.

Відповідь. .15;15 44 аа

2.13. Знайти всі значення параметра а, при яких існує пара додатних чисел (х;у),

що задовольняють умову

.12

,

ayx

aух

Відповідь. a >1/2.

2.14. При якому найбільшому значенні параметра а система рівнянь

222

,1

аух

ух має чотири розв'язки?

Відповідь. а = 1.

2.15. При якому найменшому цілому додатному значенні параметра а система

рівнянь

222

,65

аух

хху має два розв'язки?


2.16. При якому найменшому значенні параметра а система рівнянь

05

,5

22 аху

ух має три розв'язки?

Відповідь. а = -5.

2.17.Обчислити добуток значень параметра а, при яких система рівнянь

222

12

)1(

,2

аух

ух

має три розв'язки.

Відповідь. а = -16.

2.18. При якому значенні параметра а система рівнянь

25)()3(

,3

22

32

аух

ух

має один розв'язок?


19

РОЗДІЛ 3. Аналітичні прийоми розв'язування рівнянь,

систем рівнянь та нерівностей з параметром.

Ознайомитися з будь-якою задачею – це фактично ознайомитися з методами її

розв'язування. Одним з найважливіших прийомів розв'язування задач з параметром

є аналітичний прийом. Важливим етапом аналітичного способу розв'язування задач

з параметром є запис відповіді. Особливо це стосується тих прикладів, у яких

розв'язування «розгалужується» залежно від значень параметра. У таких випадках

формування відповіді – це збір раніше отриманих результатів. І тоді дуже важливо

не забути відобразити у відповіді всі етапи розв'язання і вміння їх аналізувати.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння 1 .)1)(1(

5

1

3

хах

а

ах


Дане рівняння зводиться до рівносильної системи

.1;1

,5)1(3)1)(1(

ахх

аххах

Отже, необхідно розв'язати таке рівняння:

;0)44()3(2 аахх

Звідси: .1;4 21 ахх

Для того, щоб знайдені значення змінної були коренями вихідного рівняння,

достатньо вимагати умов: .1,1

,1,1

21

21

ахх

хах

Виконання двох останніх умов очевидне. Якщо ,11 ах тобто 4=1-а , то а=-3.

Тоді, якщо а=-3, то значення х1=4 не є коренем даного рівняння. Тут важливо не

зробити помилковий висновок, що при а=-3 взагалі коренів немає. Насправді для

а=-3 маємо х2=2, і ніщо не заважає х2=2 бути коренем вихідного рівняння.

Якщо х2=-1, тобто -а-1=-1, то а=0. Звідси, якщо а=0, то х2 не корінь, а х1 –

корінь даного рівняння. Зберемо отримані результати у відповідь.

Відповідь. Якщо а= -3, то х=2;

якщо а=0, то х=4;

якщо а 0 і а 3 , то х=4 або х=-а-1.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння: .212*64 axxх


Нехай 2х = t.

Тоді достатньо розв'язати систему:

20

.1)3(2

,

,0

;216

,

,0

;16

,0

2222

2

aat

at

t

aatttt

at

t

attt

t

Очевидно, що, якщо а=3, то рівняння системи розв'язків не має.

Якщо а 3, то одержимо:

.)3(2

1

,

,0

2

a

at

at

t

Отже, )3(2

12

a

at - розв'язок початкової системи, якщо виконуються умови:

.)3(2

1

,0)3(2

1

2

2

аа

а

а

а

Звідси, розв'язавши систему, отримаємо: ].223;3(]223;1( а

Тоді .)3(2

1log

2

2

a

ax

Відповідь. Якщо 2233;2231 aa , то )3(2

1log

2

2

a

ax ;

при інших значеннях параметра а рівняння розв'язку не має.

Приклад 3.

Розв'язати рівняння .53cos)cos5(sin 22222 xtgmmxxxm


Маємо: .53cos)cos5(sin 222 xtgxmxxm

Достатньо розглянути три випадки.

1) m = 0.

У цьому випадку коренем рівняння буде будь-яке значення змінної х з області

визначення рівняння, тобто х- будь-яке, крім 2

х k , .Zk

2) m > 0.

Отримаємо:

.02cos5cos18

;cos25)cos61(

;sin5cos3)cos5(sin

;53coscos5sin

24

22

22222

222

x

xx

xxxx

xtgxxx

Звідси одержимо:

21

.2

2cos

,2

2cos

;2

1cos

,9

2cos

2

2

x

x

x

x

Перевіркою встановлюємо, що 2

2cos x не задовольняє умову.

Отже, .,24

3Zkkx

3) m < 0.

Тоді .53cossincos5 222 xtgxxx

Розв'язавши це рівняння, одержимо: .,24

Zkkx

Відповідь. Якщо m = 0, то х - будь-яке , крім ;,2

Zkkx

якщо m > 0, то ;,24

3Zkkx

якщо m < 0, то .,24

Zkkx

Приклад 4. При яких значеннях параметра а рівняння )12(log2)32(log 2

)42(

2

42

xxxx axax

має єдиний розв'язок?


Запишемо рівносильне рівняння:

).12(log)32(log 2

)42(

2

)42( xxxx axax

Звідси: .1232 22 xxxx

Отже, .2;1 21 xx

Знайдемо область визначення вихідного рівняння.

.142

,042

,012

,032

2

2

ax

ax

xx

хх

Очевидно, що х1 і х2 задовольняють першим двом нерівностям. Тоді для єдиності

розв'язку достатньо вимагати:

142

,042

,142

,042

2

2

2

1

ax

ax

ax

ax

або

.142

,042

,142

,042

1

1

2

2

ax

ax

ax

ax

Маємо:

22

144

,044

,142

,042

a

a

a

a

або

.142

,042

,144

,044

a

a

a

a

Розв'язком першої системи буде множина }.4

3{]1;

2

3()

2

3;2(

Друга система розв'язків не має.


3;1

2

3;

2

32 aaa

Приклад 5. Визначити кількість коренів рівняння xaxxctgx 2cossincos на проміжку

].2;0[

Розв'язання. Після перетворення лівої частини, отримаємо:

.2cossin

2cos

;2cossin

sincos 22

xax

x

xax

xx

Це рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

.0sin

,02cos

,sin

1

x

x

ax

Рівняння 02cos x на відрізку [ 0; 2 ] має чотири корені: .4

7;

4

5;

4

3;

4

Рівняння ax

sin

1, якщо 1а , взагалі коренів не має.

Якщо 1а , то, очевидно, на відрізку, що розглядається, рівняння ax

sin

1, має

тільки один корінь.

Якщо 1а , то, перейшовши до рівняння a

x1

sin , отримуємо, що на відрізку

[ ]2;0 воно має два корені. Проте, при цьому слід пам'ятати, що, якщо 2а , то

корені другого рівняння сукупності містяться серед коренів першого рівняння.

Відповідь. Якщо 1а або 2a , то рівняння має чотири корені;

якщо 1а , то рівняння має п'ять коренів;

якщо 1а і 2a , то рівняння має шість коренів;

23

Приклад 6.

При яких значеннях параметра а множина розв'язків нерівності 122 аххх

містить проміжок [1/4; 1]?


Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:

.)1(2

,01

;02

,01

22

2

aaxx

x

axx

х

Зрозуміло, що розв'язок першої системи не може містити відрізок [1/4; 1]

(умова x>1 цього не допускає). Тому ми будемо працювати з другою системою, яку

перепишемо так:

.2

1)1(

,1

ах

х

Очевидно, що, коли а=1, то система розв'язків не має.

Якщо а<1, то маємо:

.)1(2

1

,1

aх

х

Розв'язок цієї системи містить заданий відрізок, якщо ,4

1

)1(2

1

аі з урахуванням

умови а<1, отримаємо а<-1.

Якщо a>1, то отримаємо:

.)1(2

1

,1

aх

х

Для цієї системи умова задачі може реалізуватися, якщо .1)1(2

1

а Але, якщо а>1,

то ця нерівність розв'язків не має.

Відповідь. a < -1.


ВПРАВИ:

3.1. Розв'язати рівняння .)41()2(2)123

5)(2( 22 хх аааа

Відповідь. Якщо а < 0, то х=log4(-3/a);

якщо 0а< 2, то рівняння розв'язків не має;

якщо а=2, то х – будь –яке число;

якщо a > 2, то х=log4(9/25a).

3.2. Розв'язати рівняння: .log

2log)1(log1

xax

a

xa

24

Відповідь. Якщо 2

10 a , то ;

4

1

2

1 2ax

якщо 12

1 a або 1a ,то рівняння розв'язків не має.

3.3. Розв'язати рівняння: ).cos(sin)cos(sin2sin 33 xxaxxx

Відповідь. Якщо 3

2a або 2a , то ;,

4Zkkx

якщо 23

2 a , то kx

4 або .,

22

2arcsin

2

1)1( Zk

k

a

ax k

3.4. При яких значеннях параметра а рівняння 0121025)4(25 2 ааа хх

не має дійсних коренів?

Відповідь. .32 а

3.5. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння 04cos)3(4cos2 xax

має на відрізку ]8

5;

8[

рівно чотири корені.

Відповідь. 2а або .4а

3.6. Розв'язати систему рівнянь:

.2

,032

22

22

axyxx

ayyxy

Відповідь. Якщо 3a , то ;3,0 2 aayx

якщо 3a , то 3,0 2 aayx або .3,0 2 aayx

3.7. Знайти всі значення параметра в, при яких система рівнянь

11

,0))(1(

x

bxctgx має тільки один розв'язок.

Відповідь. ,1b або ,4

b або ,0b або .1b

3.8. Розв'язати систему рівнянь:

.

,

,

22

22

22

azbycxxz

bzcyaxzy

czaybxyx


,2

,2

cbaz

bcay

acbx

3.9. Розв'язати нерівність: .2)2(log 1 xa x

a

Відповідь. Якщо ,10 a то );11(log 2ax a

якщо ,1a то ).11(log2log 2ax aa

3.10. При яких значеннях параметрів а і b множина розв'язків нерівності

bxax 2 збігається з проміжком [1;5)?

Відповідь. .2,3 ba

3.11. В інтервалі (1;1) знайти підмножину тих значень х, для яких справедлива

нерівність .)3

1()

81

1(

2loglog8 xx aa

25

Відповідь. Якщо ,10 a то ;0 8ax

якщо ,1a то .1

04a

x

3.12. Яка частина площини xy покрита всіма можливими кругами виду

?2)()( 222 aayax

Відповідь. Множина точок координатної площини xy, координати якої

задовольняють нерівність xy -1.

26

РОЗДІЛ 4. Квадратична функція.

Будучи головною у шкільному курсі математики, квадратична функція формує

широкий клас задач із параметром, різноманітних за формою і змістом, але

об'єднаних загальною ідеєю – в основі їх розв'язування лежать властивості функції

y=ax2+bx+c.

Фактично всі важливі властивості квадратичної функції функції визначаються

таблицею, добре відомою зі шкільних підручників.

D<0 D=0 D>0

a>0

x0

x0

x0

a<0

x0

x0

x0

Наведена схема доволі очевидно показує, що дискримінант D, старший

коефіцієнт a, абсциса х0 вершини параболи конструюють «каркас», на якому

будується теорія квадратичної функції.

Розглянемо задачі, пов'язані з використанням властивостей квадратичної

функції.

Приклад 1. При скількох цілих значеннях параметра m сума коренів рівняння

03

4)

3

1

6(3 2 xm

x знаходиться у проміжку (-2;-1)?


Перетворимо дане рівняння у зведене:

.03

4)

3

1

6(2 xm

x

Застосувавши теорему Вієта, одержимо нерівність:

27

.163

12

m

Розв'язавши цю нерівність, одержимо: 8 < m < 14.


Приклад 2. При якому значенні параметра а рівняння 07)9()2( 22 xaxa має корені

однакові за абсолютною величиною і протилежні за знаком?


Перетворимо дане рівняння у зведене:

.02

7

2

922

ax

a

ax

Розв'язання задачі зводиться до розв'язання системи:

.02

7

,02

92

a

a

a

Розв'язавши перше рівняння системи, одержимо: .3а Врахувавши другу умову, з

двох значень параметра а вибираємо .3а


Приклад 3. При якому значенні параметра а добуток коренів рівняння

0)7716(21 22 аахх буде найбільшим?


За теоремою Вієта добуток коренів цього рівняння дорівнює:

.7716)7716( 22

21 аааахх

Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Тому своє найбільше

значення ця функція приймає у вершині.


Приклад 4. При яких значеннях параметра а число 2 знаходиться між коренями квадратного

рівняння 023)54(2 ахах ?


Очевидно, що рівняння повинно мати два корені. Отже, D>0.

D= ;134816 2 аа

.0134816 2 aa Отже, шукане значення параметра знайдемо, розв'язавши систему:

.2

,2

,0

2

1

x

x

D

що досить складно.

Розглянемо геометричну інтерпретацію умови задачі:

28

Парабола axaxy 23)54(2 перетинає вісь OX у двох точках: ., 21 хх Причому її

вітки напрямлені вгору.

Умова f(2) < 0 є необхідною і достатньою для того, щоб виконувалась нерівність:

21 2 xx . Маємо: .617)2( af

Отже, .0617 а Звідси .6

17a


17a

ВИСНОВОК: Для того, щоб число p знаходилося між коренями квадратичної

функції, cbxaxxf 2)( , необхідно і достатньо, щоб виконувалась нерівність:

0)( paf .

Звідси знайдемо критерії, які забезпечують розміщення числа p лівіше або правіше

коренів квадратичної функції.

а)

б)

Виходячи з наведених міркувань, можемо зробити

ВИСНОВОК:

Для того, щоб число p було більше за корені квадратичної функції cbxaxy 2 ,

необхідно і достатньо, щоб виконувалась така система нерівностей:

.2

,0)(

,0

a

bp

paf

D

р

xв

x1 x2

x

р

xв

x1 x2

x

2

x1 x2

x

29

Для того, щоб число p було менше за корені квадратичної функції, необхідно і

достатньо, щоб виконувалась така система нерівностей:

.2

,0)(

,0

a

bp

paf

D

Приклад 5. При яких значеннях параметра а обидва корені рівняння 022 ахх

задовольняють умову 31 x ?


Розглянемо геометричну інтерпретацію умови задачі.

Виходячи з геометричної інтерпретації, одержимо:

.0311

,03

,08

;0)3(

,0)1(

,0 2

a

a

a

f

f

D

Розв'язавши систему нерівностей, отримаємо

Відповідь. .322 a

Приклад 6. При якому найбільшому цілому значенні параметра m корені рівняння

06)12(3 2 mxmх знаходяться по різні сторони ззовні відрізка [-2;1]?


Розглянемо геометричну інтерпретацію умови задачі.


.02

,045

,073164

;0)1(

,0)2(

,0 2

m

m

mm

f

f

D

Розв'язавши цю систему нерівностей, отримаємо розв'язок: 4/5 < m < 2.

1 -2

x1 x2

x

1

xв

x1 x2 3

x

30


Приклад 7. При значенні параметра m більший (менший) корінь рівняння

043)14(2 2 mxmх знаходиться в проміжку [1;2]?


Розглянемо геометричну інтерпретацію випадку, коли більший корінь рівняння

знаходиться у проміжку [1;2].


;025

,03

,0311616

;0)2(

,0)1(

,0 2

m

m

mm

f

f

D

Дана система розв'язків не має.

Розглянемо геометричну інтерпретацію випадку, коли менший корінь рівняння

знаходиться у проміжку [1;2].


;025

,03

,0311616

;0)1(

,0)2(

,0 2

m

m

mm

f

f

D

Розв'язавши цю систнму нерівностей, одержимо, що -2/5 < m < 3.

Відповідь. більший корінь рівняння не може знаходитись у проміжку [1;2] ні

для якого значення параметра m;

менший корінь рівняння знаходиться у проміжку [1;2], якщо

-2/5 < m < 3.

Викладені вище міркування дають можливість розглянути більш складніші

задачі за умови, що ви вмієте помітити «заховану» в задачі квадратичну функцію –

прийом доволі поширений і ефективний.

Приклад 8. Знайти всі значення параметра а, при яких значення функції 22)2(4 xx aay

недодатні для всіх х із проміжку [0;1].


x1 1 x2 2

x

1 x1 2 x2

x

31

t -1 1 t0

t t0 -1 1

Нехай tx 2 , .0t Оскільки ,10 х то .21 t Таким чином, задача звелася до

того, щоб знайти всі значення параметра, при яких нерівність 02)2(2 taat

виконується для всіх t з проміжку [1;2].

Очевидно, що 0а (якщо 0а , то нерівність не має розв'язків для t>0).

Квадратний тричлен, що розміщений у лівій частині нерівності має корені -1 і -2/а.

Перепишемо цю нерівність у такому вигляді: 0)2

)(1( a

tta . Оскільки 0t , то

0)2

( a

ta , і, очевидно, якщо 0a , то ця нерівність додатних розв'язків не має.

Залишилось розглянути випадок, коли 0a . Тоді отримуємо .2

at Ця нерівність

виконується при всіх ]2;1[t , якщо .12

a Враховуючи, що 0a , отримуємо

Відповідь. .2a

Приклад 9. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких нерівність

0)cos3(sin55 22 xaxa виконується для всіх значень х.


Провівши заміну ,cos tx отримаємо:

04146)1( 2 aatta .

Оскільки х набуває довільних значень, то 11 t . Тепер, по суті, потрібно

знайти такі значення параметра а, при яких отримана нерівність виконується при

всіх значеннях t з проміжку [-1;1].

Якщо 1а , то отримаємо нерівність 3

5t , у розв'язок якої входить проміжок

[-1;1].

Якщо 0;01 Da , то нерівність виконується при всіх значеннях t .

Одержимо:

.04185

,01

2 aa

а

Звідси .5

619 a

Якщо 0;01 Da , то потрібне розміщення відрізка [-1;1] забезпечують такі

умови:

;1

,0)1(

,0

,01

0t

f

D

a

або

.1

,0)1(

,0

,01

0t

f

D

a

32

-1 1 t

Розв'язавши цю сукупність, отримаємо: .5

6191

a

Якщо 0;01 Da , то нерівність розв'язків не має.

Якщо 0;01 Da , то отримаємо:

.0)1(

,0)1(

,01

f

f

a

Звідси .19

5 a

Об'єднання всіх етапів розв'язання дає


5a

Приклад 10. Знайти всі значення параметра а, для яких при всіх b>0 існує в інтервалі (0;1/2)

розв'язок рівняння baxxxx

2log)1(log 21

2

2 .


Оскільки 2

10 x , то 11

4

1 2 xx , а 0)1(log2 2

2 xx .

Виконавши заміну txx )1(log 2

2 , приходимо до рівняння .bt

at

Тепер зрозуміло, що потрібно знайти такі значення параметра а, для яких при всіх

b>0 рівняння 02 abtt має хоча б один корінь в інтервалі (-2;0).

Абсциса вершини параболи 2

0

bt додатна. Отже, якщо D=0, то рівняння не має

коренів на розглядуваному проміжку (-2;0).

Якщо D>0, то знову ж таки завдяки тому, що 00 t , більший корінь рівняння

завжди додатній. Тому залишилось розглянути лише один випадок, коли менший

корінь належить інтервалу (-2;0).

Розглянемо геометричну інтерпретацію:

Тоді, виходячи з геометричної інтерпретації, одержимо

.0)2(

,0)0(

f

f

Звідси :

.24

,0

ba

a

t0 t

2 0

33

Оскільки друга нерівність системи виконується для всіх b>0, то звідси отримуємо,

що .0а

Відповідь. .40 a

ВПРАВИ: 4.1. Обчислити суму коренів рівняння 0)4146()3(2 2322 aaxaax і знайти

всі значення параметра а, при яких вона набуває найбільшого значення.

Відповідь. а = 1 або а = 2.

4.2. При яких дійсних значеннях параметра а рівняння 013)12(3)1( 2 хх аа

має два різні корені?

Відповідь. a < .2

3

4.3. Знайти всі значення параметра а , при яких рівняння 0)( 4612 ааххх

має рівно п'ять коренів, що утворюють арифметичну прогресію.

Відповідь. а = .65

8

4.4. При яких значеннях параметра m корені рівняння 0)2(2)1( 2 mxmxm

різні і належать проміжку (-1;2)?

Відповідь. 4

3

5

4 m або .12m

4.5. Знайти всі дійсні значення параметра m, при яких всі розв'язки нерівності

021 x містяться серед розв'язків нерівності 01)3(22 mxmmx .


16m

4.6. При яких дійсних значеннях параметра а рівняння 02

1sin2sin)1( 222 xaxа

має хоча б один дійсний розв'язок?

Відповідь. 1а або .1а

4.7. Знайти всі дійсні значення параметра а, для яких при всіх b<0 існує в інтервалі

);4( розв'язок рівняння bx

ax

)2

1(log4log 421

.


10 a

4.8. Для яких значень параметра m нерівність 013224)2(11

mmmxx

виконується при всіх дійсних значеннях х?

Відповідь. m > -1,5.

4.9. При якому найбільшому значенні параметра m нерівність 025332 mхх

виконується для всіх додатних значень х?

Відповідь. m=2,5.

4.10. При якому найменшому цілому значенні параметра m нерівність

040402 mхх виконується для всіх недодатних значень х?

Відповідь. m = -6.

4.11. Обчислити суму цілих значень параметра а, при яких нерівність

07)62()3( 2 хаха виконується для всіх дійсних значень х.

34


4.12. Визначити найменше ціле значення параметра а, при якому функція

)4(log)( 2

5 axaxxf визначена на всій дійсній прямій.

Відповідь. а=3.

35

ЛІТЕРАТУРА

1. Голубев В. И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по

математике. Квантор. Львов, 1991, №8, 97с.

2. Горнштейн П. І., Полонський В. Б., Якір М. С. Задачі з параметрами. Тернопіль,

«Підручники і посібники», 2004, 255с.

3. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Необходимые условия в задачах

с параметрами. Квантор. Львов, 1991, №11, 95с.

4. Дорофеев Г. В. Квадратный трехчлен в задачах. Квантор. Львов, 1991, №2, 104с.

5. Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Решение задач, содержащих параметры. Москва,

Научно-педагогическое объединение «Перспектива», 1990, 190с.

6. Збірник задач з математики для вступників до втузів. За редакцією Сканаві М. І.

Київ, «Вища школа», 1992, 445с.

7. Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Уравнения и неравенства с

параметрами. Библиотека абитуриента. Математика. Москва, издательство

МГУ, 16с.

8. Збірник типових конкурсних тестових завдань з математики. За редакцією проф.

Цегелика Г. Г. ЛНУ ім. Франка, 2006, 138с.

9. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное

пособие для 10 класса средней школы. Москва, «Просвещение»,1989, 252с.

10. Шарыгин И. Ф. Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение

задач. Учебное пособие для 11класса средней школы. Москва, «Просвещение»,

1991, 384с.

11. Щербина Ю. М. Методичні підходи до розв'язування рівнянь з параметрами.

ЛОНМІО, 1995, 20с.

12. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. Москва. «Просвещение», 1986,

128с.

36

З М І С Т

1. Передмова__________________________________________ 3

2.Розділ 1.

Метод інтервалів і його ефективне застосування у розв'язуванні нерівностей __4

3.Розділ 2. Графічні прийоми розв'язування рівнянь, систем рівнянь і нерівностей з

параметром_______________________________________________________ 11

4.Розділ 3. Аналітичні прийоми розв'язувань рівнянь, систем рівнянь і нерівностей з

параметром________________________________________________________ 19

5.Розділ 4.

Квадратична функція_______________________________________________ 26

6.Література__________________________________________ 35

37

38

39

40

Science

незалежне оцінювання, шляхи розв’язування