OPTIMIZACIÓN DINAMICA.doc

OPTIMIZACIN DINMICA CON HORIZONTE INFINITO DE TIEMPO

Profesores: Virginia Vera de Serio, Gustavo Maradona Alumno: Lucas Valsecchi N Reg.: 24067 Cursado: 2 semestre de 2007

2

ndice:1) Introduccin.

FCE.UNC

2) Desarrollo. 2.1) Explicacin terica general. Criterio de optimalidad Condiciones necesarias Condicin suficiente (demostracin de concavidad del hamiltoniano) 2.2) Explicacin terica de un caso particular. Presentacin y simplificacin del modelo Hamiltoniano y lagrangiano a valor corriente: a) Condiciones necesarias b) Diagramas de fases c) Jacobiano del equilibrio d) Diagrama de fase global e) Explicacin de la verificacin de la condicin suficiente (muy importante) pg. 14 y 15. Hamiltoniano y lagrangiano a valor presente: a) Condiciones necesarias b) Diagramas de fases c) Jacobiano del equilibrio d) Diagrama de fase global 2.3) Explicacin de un caso particular con funcin de utilidad determinada. Hamiltoniano y lagrangiano a valor corriente: a) Condiciones necesarias b) Diagramas de fases d) Diagrama de fase global 2.4) Anexo: demostracin general de la forma de las curvas graficadas en los diagramas de fases (diagramas 1 a 12).Fac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

3

Introduccin:El tema que va a desarrollarse es el de optimizacin dinmica con horizonte infinito de tiempo, utilizando el libro Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics de Leonard y Van Long. A menudo es conveniente en economa modelar problemas utilizando el supuesto de horizonte infinito de tiempo. Una de las razones es que evitamos la dificultad de tener que incorporar una funcin de valor de rezago o chatarra. Adems esta formulacin con frecuencia lleva a formulas ms simples y resultados igualmente atractivos. Por ejemplo, la idea de un equilibrio de largo plazo puede ser correctamente modelada utilizando este enfoque. Algunos detractores de este enfoque apuntan que el mundo est destinado a terminar en un horizonte finito, por ello consideran poco realista al planteo infinito. Sin embargo, la respuesta a esta crtica suele ser la siguiente: ya que las trayectorias ptimas de un problema con horizonte infinito no difieren significativamente de las de un problema con horizonte muy largo pero finito, la conveniencia de utilizar este enfoque compensa la falta de realismo. Existen, as mismo, ciertas dificultades tcnicas asociadas a problemas con horizonte infinito de tiempo, particularmente las condiciones de transversalidad utilizadas para el problema con horizonte finito no continan siendo vlidas para el planteo con horizonte infinito. Adems es posible que la integral no converja para todas las posibles trayectorias.

DesarrolloExplicacin terica generalCriterio de optimalidad Considrese el problema de encontrar el vector C (t) que maximiza la integral

Fac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

4

V=

0

V ( s (t ), c(t ), t )dt

(1)

Sujeto a:Si =

f i ( s (t ), c (t ), t )

(2)

Para i = 1, 2, , n,

g j ( s (t ), c (t ), t ) 0Para j = 1, 2, , m,

(3)

g h ( s (t ), c (t ), t ) = 0Para h = m+ 1, ., m

(4)

si (0) = si 0

(5)

Donde se asume que no existen restricciones en las variables de estado. Una solucin (S (t), C (t)) de 1 5 se denomina trayectoria posible. Si para todas las posibles trayectorias (S (t), C (t)) la integral dada por la ecuacin 1 converge, entonces la trayectoria ptima ser aquella que alcance el mximo valor para la integral. Es importante notar que la convergencia est asegurada si la integral 1 toma la forma V(s,c,t) = e t U(s, c, t), donde U es acotado y > 0 . En el caso en que la convergencia no est asegurada para todas las trayectorias posibles se recurre a criterios de convergencia que sern mencionados a continuacin. Criterio envolvente: Una trayectoria (s*, c*) no es peor que la trayectoria (s, c) bajo el criterio envolvente si la diferencia acumulativa Z (t) es no negativa para todo t suficientemente grande. Es decir una trayectoria es ptima bajo el criterio envolvente si no es peor que cualquier otra trayectoria (s, c).


5 t t

Donde Z (t) =

0

v( s*, c*, T )dT v( s, c, T )dTt >

, para t

tendiendo a infinito. Es decir:

lim Z (t ) 0

0

Aunque atractivo el criterio envolvente es, en la prctica, muy difcil de aplicar, por ejemplo falla al aplicarse a diferencias Z (t) que cambian de signo peridicamente alrededor de cero. En este ejemplo, las diferencias acumulativas en Z (t) oscilan alrededor de cero pero desaparecen cuando t se vuelve lo suficientemente grande. Por eso surge el siguiente criterio que relaja la condicin utilizando el lmite inferior. Criterio acomodador (catching-up criterion): Una trayectoria (s*, c*) no es peor que la trayectoria (s, c) bajo el presente criterio sit >

lim [inf Z (t )] 0

Nuevamente, una trayectoria es ptima bajo el criterio acomodador si, bajo este criterio, no es peor que cualquier otra trayectoria (s, c).Una ventaja del criterio acomodador es que se verifican ms fcilmente las condiciones suficientes Como puede observarse si una trayectoria resulta ptima bajo el criterio envolvente entonces tambin es ptima bajo el criterio acomodador y ambos criterios son equivalentes a la maximizacin de la integral 1 si V (s, c) converge para todas las posibles trayectorias. La eleccin del criterio depende de gustos personales, en la prctica uno debera empezar suponiendo que la convergencia existe (maximizando la integral 1). Si la convergencia no ocurre, entonces uno debera buscar las trayectorias que satisfagan el criterio envolvente, si ninguna lo hace uno puede caer en el criterio acomodador o catching-up criterion. Como ya dijimos si el funcional adopta la forma V = e t U(s, c, t), se asegura la convergencia, por lo que en nuestro caso particular no vamos a utilizar los criterios de convergencia que observamos anteriormente. Nos ocuparemos de explicar ms en detalle el caso en cuestin un poco mas adelante. Condiciones necesarias


6

Es claro que si (s*, c*) es la trayectoria ptima bajo alguno de los criterios mencionados anteriormente, luego la trayectoria truncada (s*(t), c*(t)), t para t menores o iguales a cierto T debe ser una trayectoria ptima para el problema truncado de hallar c (t) que maximice

V= V ( s (t ), c (t ), t )dt0Sujeto a las condiciones (2)-(5). Las condiciones necesarias que se utilizan para problemas con horizonte infinito son las mismas que se utilizan para el caso de horizonte finito, es decir dado el Hamiltoniano H(s, c, ) = V(s, c, t) + f(s, c, t) Las condiciones necesarias son:

T

Hc = e t u(c) - = 0 = - Hs = - F(s) S = H = F(s) - cSin embargo las condiciones de transversalidad que se aplicaran, utilizando anlogamente el caso finito, si suponemos las siguientes condiciones terminales sobre las variables de estado:

t > t >

lim S i (t ) = S i , lim S i (t ) S i ,

i = 1, 2, , k i = k + 1, ., k + p

Y no se imponen restricciones sobre s (t), i = k + p + 1, ., n; con t > Uno esperara que fueran las siguientes:


7

t >

lim i (t ) 0 ,lim i (t ) = 0 ,,

i = k + 1, ., k + p i = k + p + 1, ., n.

t >

Desafortunadamente las condiciones anteriores no son necesarias a menos que se impongan considerables restricciones en las funciones V, f y g como mostraron Seierstad; Benveniste y Scheinkman; Michel. Las mencionadas restricciones son en general demasiado estrictas para la mayora de los problemas econmicos, razn por la cual se recomienda el uso de condiciones suficientes para identificar las trayectorias ptimas. Condicin suficiente La suficiencia se asocia a la convidad del hamiltoniano, entonces basta con demostrar la concavidad del hamiltoniano para demostrar que el punto (s*(t), c*(t)) hallado por condiciones necesarias corresponde a un mximo. Lo anterior puede hacerse demostrando la concavidad de las funciones que lo componen o bien de la siguiente manera: Sea H(s, c, ) = V(s, c, t) + f(s, c, t),

TSea V(s, c, t)=

0

V ( s(t ), c(t ), t )dt

1 sumo y resto f(s, c, t) dentro de la integral T

V(s, c, t)= [V ( s (t ), c(t ), t ) + f ( s, c, t ) f ( s, c, t )]dt

0 2 reagrupo los dos primeros trminos e integro por partes el tercero

v( s, c, t ) = [ H ( s (t ), c(t ), (t ), t ) + s ]dt (T ) s (T ) + (0) s (0)0

T

3 defino ahora V* en los valores dados por las trayectorias ptimas (s*(t), c*(t))


8 T

v ( s*, c*, t ) = [ H ( s * (t ), c * (t ), (t ), t ) + s * ]dt (T ) s (T ) + (0) s (0)0

4 resto V-V* y evalo la diferencia anterior en

v v* = [( H H *) + * (T )( s (T ) s * (T ))]dt0

T

Recordando que la ecuacin del plano tangente a la funcin H definido el anterior en los valores ptimos (s*(t), c(t)) es siempre mayor a la funcin H

H H * +H s * ( s s*) + H c (c c*)H H * H s * ( s s*)ya que H c = 0 por condiciones iniciales

5 reemplazo la anterior expresin

0 Recordando que H s * = *

v v* [( H s * + *)( s (T ) s * (T ))]dt

T

v v* 0 ,

entonces v v * ,

Se demuestra que el mximo del funcional V se halla en los valores (s*(t), c*(t)).

Anteriormente dijimos que las condiciones de transversalidad convencionales que se aplican a problemas con horizonte finito de tiempo como condiciones necesarias no son aplicables a problemas de horizonte infinito de tiempo. Sin embargo ms adelante veremos que si el problema bajo estudio satisface la siguiente condicin de transversalidad,t >

lim *(t ) s*(t ) = 0 , adems de la concavidad del hamiltoniano (ot lim e *(t ) s*(t ) = 0 , en sta resulta ms intuitivo que cuando t

lagrangiano segn corresponda), entonces se satisface la condicin suficiente. La anterior expresin puede ser tambin escrita como:t >


9

tiende a infinito entonces la expresin tiende a cero. Donde es la variable de coestado a valor corriente que surge del hamiltoniano a valor corriente que ms adelante ser desarrollado.

Explicacin terica de un caso particular Presentacin y simplificacin del modeloEl ejemplo que va a ocuparnos es el modelo de transferencia ptima de ingreso, considerado por primera vez por Hamada en 1967. En l se establece que el objetivo del gobierno es maximizar la integral de la utilidad descontada del trabajador representativo o promedio dada por V = [u (c(t )) e t dt , donde c(t) es consumo por trabajador. El ingreso 0 de los capitalistas es Y(t) = N(t) [f (k(t)) c(t)], donde N(t) es el nmero de trabajadores y k(t) es el ratio capital / trabajo (K(t)/N(t)). El modelo requiere que Y (t ) 0 . La tasa de crecimiento de la poblacin es exgena e igual a N = n N (t ) y la propensin a ahorrar de los capitalistas es constante e igual a K = s Y (t ) . Tomamos a , n y s como constantes positivas conocidas. Este modelo presenta dos variables de estado K(t) y N(t). La primera de ellas se puede modificar mediante la variable de control c(t), la otra es exgena y no puede ser modificada dentro del modelo. Dado que trabajar con dos variables de estado llevara a complicaciones, expresaremos todo en trminos per cpita para dejar una slo una variable de estado k(t) = K(t)/N(t), para ello trabajamos de la siguiente manera evitando colocar los argumentos temporales por simplicidad:. .

k = K/N

k =

.

K N K N 2 N

.

.

de donde

1 . k + kn = k N

.


10 .

Y utilizando la ecuacin de acumulacin del capital ( K = s Y (t ) ) obtenemos

k +kn =.

.

Reordenando obtenemos la nueva ecuacin de crecimiento del stock de capital per cpita

1 s[ N ( f ( k ) c )] N

k =s ( f ( k ) c ) knDividiendo la renta agregada por N(t) llegamos al producto por trabajador, donde y(t) = Y(t)/N(t) Y(t) = f (k(t)) c(t) Ahora ya tenemos todo en trminos de c(t) (variable de control) y k(t) (variable de estado). Primero trabajaremos con el hamiltoniano a valor ~ corriente ( H ) por ser el mtodo que presenta menos dificultades, ms adelante plantearemos el hamiltoniano valor presente (H) para cubrir los dos mtodos. Es necesario adems, por tener una restriccin de no negatividad en el nivel de producto, construir el lagrangiano del hamiltoniano. Primero resumimos como qued el problema con las modificaciones y simplificaciones introducidas: Mx V = 0

[u (c(t )) e

t

]dt

(6)

S. a:

k = s ( f ( k ) c ) kny (t) = f (k(t)) c (t) 0

.

Notar que no agregamos la restriccin de no negatividad de la variable c(t), esto es porque esa restriccin puede ser reemplazada por el supuesto de que u (0) = + , adems de este importante supuesto sobre el comportamiento de la funcin u(c) agregamos los siguientes:


11

u (c) > 0 ; u ( + ) = 0 ; u (c) < 0 f (0) = + ; f ( s ) > 0 ; f ( + ) = 0 ; f ( s ) < 0 Una vez aclarado el problema en su totalidad planteamos el hamiltoniano a valor corriente:

Hamiltoniano a valor corriente~ H = u (c(t )) + [ s ( f (k ) c) nk ]Y construimos el lagrangiano a valor corriente del hamiltoniano (a valor corriente):

~ ~ L = H + (t )[ f ( k ) c ]

~ L = u (c(t )) + [ s ( f (k ) c) nk ] + (t )[ f ( k ) c]Obtenemos luego las condiciones necesarias:

~ L = f (k ) c 0 ; 0 ; [ f ( k ) c] = 0Lc = u(c) - s - = 0

~ k = L = s ( f (k ) c ) nk ~ = L k + = [ + n sf (k )] f (k )Ahora planteamos los dos posibles casos con sus respectivas condiciones necesarias y diagramas de fase. Si >0, lo que implica que f(k) = c Las condiciones necesarias resultan.

.


12

Lc = u(c) - s - = 0, de donde =.

(1 ) s

= [ + n sf (k )] f ( k )En donde si reemplazo a por u (c) s obtengo: .

=[ + n] u ( f (k )) f (k )k = nk.

Siendo stas ltimas las dos ecuaciones diferenciales que se representan en el diagrama de fases. .

k =0.

si k = 0

=0Diagrama 1

si =

1 [u ( f (k )) f ( k )] [ + n]

k =0

.

=0k

.

Es fcil ver que si f(k) = c, el stock de capital decrece todo el tiempo, econmicamente, el crecimiento poblacional y la tasa de depreciacin se


13

consumen el capital mientras el precio sombra del mismo primero aumenta y luego disminuye si partimos de una valoracin inicial del capital relativamente alta (0 > = 0) . Se observa que no existe saddle point. Si = 0 (lo que implica que f (k ) c ) De (10) obtenemos que c = Q(s), donde Q es la inversa de la derivada de U(c), Q = (u ) , con esta simplificacin obtenemos el siguiente sistema diferencial:1.

k = s[ f ( k ) Q ( s (t ))] nk =[ + n sf ( k )]Hallamos ahora los lugares geomtricos donde = 0 y.

.

.

k =0

.

.

=0

donde f (k *) =

k

.

( + n) s

= 0 donde =

Diagrama 2

1 u [ f (k ) n k ] s s

=0

.

k =0

.

k*

k


14

Se observa que en este caso existe saddle path al igual que saddle point. A continuacin se linealiza el sistema en el entorno del saddle point para comprobar si realmente es punto de silla. Los elementos de la matriz jacobiana son los siguientes:

dk dk = s f (k ) n ; = s 2 Q ( s ) dk d

.

.

d dk

.

= s f (k ) ;

d d

.

= s f ( k ) + n

La matriz Jacobiana es como sigue:

s f ( k ) n s f (k )

s 2 Q ( s ) s f (k ) + n

Evaluando las derivadas en el valor de k= k*, la matriz resulta:

s 2 Q ( s ) 0 s f (k ) Sabiendo que s f (k ) > 0 y que s 2 Q( s ) > 0, el determinante de la matriz jacobiana resulta obviamente negativo, demostrando que se trata de un saddle point. Resulta necesario aclarar que la demostracin formal de concavidad del hamiltoniano o lagrangiano vista anteriormente, en la que se usa la ecuacin del plano tangente del hamiltoniano, es poco prctica para aplicar a ejemplos concretos. En lugar de eso nos basta con decir que tanto el hamiltoniano como el lagrangiano estn formados por funciones cncavas. Tanto u(c) como f (k) por el comportamiento de sus derivadas de primer yFac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

15

segundo orden son estrictamente cncavas, entonces tambin lo son el hamiltoniano y el lagrangiano. Aqu se puede observar que la condicin de transversalidad que analizamos t a nivel terico lim e *(t ) k*(t ) = 0 , se verifica al ubicarnos t > sobre el saddle path. Ya que si bien tanto *(t ) como k*(t ) son distintos de cero en el saddle point al transcurrir un tiempo infinito, el descuento termina por volver cero la expresin. A continuacin encontraremos las regiones o zonas vlidas para cada una de las dos posibles especificaciones vistas antes, es decir para cuando ( = 0 y > 0) Para ello recordamos que cuando > 0 entonces f (k) = c, de la condicin de primer orden obtenemos que = u (c ) s , evidentemente el segundo miembro de la anterior igualdad es mayor que cero, entonces slo si > 0. Lo que nos seala que la curva, en donde se verifica la igualdad, es parte de la zona = 0 ( abajo representada en azul). Diagrama 31 0 < u (c ) s < u ( f ( k )) , recordemos vlida si y s

=01 = u ( f (k )) sk

>0


16

Lo que sigue es intentar juntar los tres grficos que fueron mostrados previamente en un solo para detectar todo el mapa de trayectorias posibles, a continuacin se grafica ese intento. Diagrama 4 . . =0 k=0

*

=0

0

>0k*

1 = u ( f (k )) s =0.

k

Aqu observamos los tres grficos superpuestos, se indica el saddle path que conduce al nico saddle point del modelo, las trayectorias que se muestran en verde claro son dos ejemplos de aquellas que se alejan del mismo. Anlogamente dependiendo de las condiciones iniciales se pueden evaluar un nmero infinito de trayectorias no convergentes pero slo un par de trayectorias convergentes. Se observa claramente que en general el saddle point no constituye un equilibrio estable ya que cualquier shock que me saque del saddle point me deposita en un camino inestable (a excepcin de que el shock me ubique exactamente sobre el saddle path, situacin bastante improbable). Hamiltoniano a valor presente o descontado El trabajo que sigue es bastante similar al realizado con el hamiltoniano a valor corriente razn por la cual se avanzar sin demasiado detenimiento al menos hasta llegar a las ecuaciones para el diagrama de fases en (k(t), c(t)) variable de estado y control respectivamente. El hamiltoniano se forma de la siguiente manera


17

H = e t u (c(t )) + [ s ( f (k ) c) nk ]Al igual que en el caso anterior construimos el lagrangiano

L = H + (t )[ f ( k ) c ]

L = e t u (c(t )) + [ s ( f (k ) c) nk ] + [ f (k ) c]Derivamos para hallar las condiciones necesarias

L = f ( k ) c 0 ; 0 ; [ f ( k ) c ] = 0Lc =.

e t u (c ) s = 0

k = L = s ( f (k ) c) nk

~ = L k = [ +n sf ( k )] f ( k )Nuevamente, tenemos dos posibles casos, uno con = 0 y otro con > 0. Si > 0, implicando que f (k) = c Las condiciones necesarias y sus respectivos diagramas de fases quedan de la siguiente manera.

.

Lc =

e t u (c ) s = 0

k = nk = [n sf (k )] f (k )Fac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

..

18

Ntese que es innecesario utilizar la ltima ecuacin ya que para graficar el diagrama de fases en (k (t), C (t)) cuento con la restriccin de que f (k) = c y adems por la segunda ecuacin sabemos que el capital decrece siempre en el primer cuadrante. Diagrama 5

C F (k)

k =0

.

k

Observamos que el diagrama no posee saddle point, al respecto se podra decir que el origen de coordenadas sera el nico valor para el que tanto k como c dejan de cambiar. Si = 0 ( f ( k ) c ) Las condiciones necesarias resultan ser:

Lc =

e t u (c ) s = 0

k = s[ f (k ) c] nk

.


19

= [n sf (k )]A diferencia del caso anterior ahora necesitamos de las tres ecuaciones para poder llegar al diagrama de fases en k (t) y c (t). Primero diferenciamos respecto del tiempo a la condicin de primer orden.

.

ee

t

u(c) + e.

t

u(c) c = S.

.

.

Reemplazo a

por la expresin equivalente

t

u(c) + e

t

u (c) c = [ ( sf ( k ) n)] S1 = e t u (c) , s

Sabiendo por la condicin de primer orden que reemplazo en la expresin inmediata anterior.

e

t

u(c) + e

t

u(c) c = e t u(c) ( sf (k ) n)e t para obtener: u (c )

.

Multiplico a ambos lados por

u (c) . u (c) +c = ( sf ( k ) n) (c) (c) u uDespejando

c

.

obtengo la ecuacin diferencial final

c=.

.

u (c) ( sf (k ) + n) u (c)

Las dos ecuaciones diferenciales que utilizaremos son:

k = s[ f (k ) c] nkc = u (c) ( + n sf (k )) . Igualamos esta expresin a cero..

u ( c )


20

0=

u (c) ( + n sf (k )) u (c)

+ n = sf (k ) k * = ( f ) 1 ( + n ) sSe trata del la recta vertical que cumple con la condicin de tener a k* como valor de abscisa. De la misma forma para

k =0 n 0 = s [ f (k ) c] nk c = f (k ) ks ~

.

En este caso la grfica es una parbola cncava con races k = 0 y k = k , este ltimo valor se encuentra cuando la funcin de produccin iguala a la recta que parte del origen de pendiente

anterior resulta bastante intuitivo. En realidad siendo rigurosos observamos que esos dos valores de k constituyen las asntotas de la grfica y no los ceros de la funcin, pero considerarlas races ayuda a graficarla. Diagrama 6

n , lo que a partir de la ecuacin s

c

c =0

.

C*

k =0

.

k*

~ k

k


21

Se observa que existe saddle point, nuevamente algunas trayectorias no ptimas estn marcadas en verde claro. El saddle point ocurre en el punto (k*, c*). Tal como hicimos en el caso anterior, linealizamos el sistema en un entorno de ese punto, formamos la matriz jacobiana y calculamos el determinante para comprobar que se trate de un saddle point.

dk dk = s f (k ) n ; = s dk dc dc dc u (c ) = + n sf ( k ) ; = s f (k ) dc dk u (c)Donde se supuso que u (c) = 0 . La matriz Jacobiana es como sigue:. .

.

.

s s f ( k ) n u (c ) + n sf ( k ) ; s f (k ) u (c ) s u (c*) 0 s f (k *) u (c*)

Evaluando las derivadas en los valores de k = k* y c = c*, la matriz resulta:

Sabiendo por las propiedades de las derivadas segundas que

s f (k *)

u (c*) u (c*)

< 0, el determinante de la matriz jacobiana resulta

negativo, demostrando que se trata de un saddle point. Resta ahora hallar la zona vlida para uno y otro respectivamente.Fac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

22

Primero razonaremos de la siguiente manera, siempre que sea mayor que cero f (k) debe igualar a c (t) por condiciones necesarias. Para encontrar la regin de = 0 , dejamos que la restriccin se vuelva activa y encontramos la zona c < f (k ) . De lo anterior surge la conclusin que las zonas se dividen como sigue: Diagrama 7

C

>0

F (k)

=0kNtese que la curva c = f (k ) pertenece a la zona de > 0 , de hecho, la curva c = f (k ) es la nica zona econmicamente relevante de la regin positivo. Nos referimos a que suponer que el consumo es mayor que el producto en este modelo sin balance de pagos implicara ingreso negativo de los capitalistas, lo que desde ya no es posible. Finalmente juntamos los tres ltimos grficos en uno para detectar todas las trayectorias posibles, tal como hicimos anteriormente.


23

Diagrama 8

C

c=0

.

>0 =0

F (k)

k*

Puede observarse que la grfica de la funcin c = f (k) funciona como una especia de cota superior que impide que las trayectorias ascendentes escapen hacia valores de consumo muy elevados. Adicionalmente podemos agregar que la trayectoria en la que nos encontremos depende nicamente del valor inicial del stock de capital. Adems al tener un infinito horizonte de tiempo, la nica trayectoria posible es el saddle path, cualquiera de las otras trayectorias conducen eventualmente a valores poco consistentes de consumo y/o capital. Lo nico que podemos esperar es que los encargados de la poltica econmica hallen el saddle path y mediante herramientas de poltica ubiquen la economa sobre l.

~ k

k

Explicacin de un caso particular con funcin de utilidad determinada (slo hamiltoniano a valor corriente)Supongamos ahora que u(c) = c, es decir la funcin de utilidad es lineal en los niveles de utilidad. Resolveremos el problema utilizando slo el hamiltoniano a valor corriente por ser, como ya se mencion, el mtodo que presenta menos dificultades.


24

Como ya es sabido, primero debe construirse el hamiltoniano y luego el lagrangiano por existir una restriccin que relaciona el nivel de consumo con la funcin de produccin. Se procede directamente desde el lagrangiano a continuacin.

~ ~ L = H + (t )[ f ( k ) c ]

~ L = c + [ s ( f ( k ) c) nk ] + (t )[ f (k ) c]Obtenemos luego las condiciones necesarias:

~ L = f (k ) c 0 ; 0 ; [ f ( k ) c] = 0Lc = 1 - s - = 0

~ k = L = s ( f (k ) c ) nk ~ = L k + = [ + n sf (k )] f (k )Ahora planteamos los dos posibles casos con sus respectivas condiciones necesarias y diagramas de fase. Si >0, lo que implica que f (k) = c Las condiciones necesarias resultan.

.

Lc = 1 - s - = 0, de donde =

= [ + n sf (k )] f (k )En donde si reemplazo a por 1 s obtengo:

.

(1 ) s


25

= [ + n] f (k )

.

k = nkSiendo stas ltimas las dos ecuaciones diferenciales que se representan en el diagrama de fases.

.

k = 0 si k = 0f (k ) = 0 si = [ + n].El diagrama de fases se muestra a continuacin Diagrama 9

.

k =0

.

=0k

.

En este diagrama el stock de capital decrece todo el tiempo y no existe saddle point. Un diagrama similar a este result al analizar el caso > 0 del ejemplo terico. Si = 0 (lo que implica que f (k ) c )


26

Lc = 1 - s = 0

k = s[ f (k ) c] nk

.

= [ + n sf ( k )]De la condicin de primer orden obtenemos que =.

.

1 , al ser constante, se s

vuelve obvio que = 0 . Lo anterior implica que la valoracin del capital es constante a lo largo del tiempo y por ende el stock de capital tambin lo es en un nivel k* tal que f (k *) =

Esto reduce el diagrama de fases a un punto (k*, ) El diagrama de fases resulta: Diagrama 10 .

+n . . De donde se infiere que = 0 . k s

=0

1 s

k*

k

Hallo las regiones vlidas para uno y otro utilizando la condicin de primer orden.

Lc = 1 - s - 0; c 0 ; Lc c = 0Fac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

27

En el caso que c > 0, entonces Lc = 0.

= 1 s ;1 s 1 Si > 0 , entonces < sSi = 0 , entonces = En el caso que c = 0, entonces Lc 0.

1 s ;Si = 0 , entonces Si > 0 , no podemos asegurar nada Las regiones quedan delimitadas como muestra el grfico Diagrama 11

1 s

=0yc=0

1 s

= 0 y 0 < c f (k )

> 0 y c = f (k )k

Finalmente combinamos los grficos obtenidos anteriormente y analizamos las posibles trayectorias.


28

Diagrama 12

=0 =0

.

1 sk*

. > 0 =0k

La trayectoria en verde es obviamente no convergente. El saddle point, el que creemos se ve claramente, se encuentra en la interseccin de las regiones de = 0 y > 0 (recta azul) con la grfica de la funcin

=

f ( k ) [ + n]

graficada en rojo. Lo interesante es observar que ocurre

para trayectorias superiores al saddle path. Al alcanzar la recta =

trayectoria empieza a cumplir con las reglas de movimiento de la regin donde = 0 , es decir un nico punto se vuelve relevante, es el punto (k*, 1/s). Entonces no importa de donde provenga la trayectoria, esta cae inevitablemente al equilibrio tras cruzar la recta azul. Lo anterior puede no tener mucho sentido econmico ya que el stock de capital debera saltar automticamente al nivel k* tras alcanzar una valoracin igual a 1/s. Es pertinente aclarar que no tendra sentido el clculo de la matriz jacobiana en este caso ya que las derivadas presentan discontinuidad en el saddle point por encontrarse este ltimo entre las dos regiones

1 , la s


29

( > 0 y = 0 ). De todas formas el razonamiento que aplicamos anteriormente cuando demostramos la concavidad del hamiltoniano y el lagrangiano en base a la concavidad de sus componentes (funciones f(k) y u(c)) es vlido en este caso ya que u(c) es lineal, siendo entonces cncava en sentido amplio. Entonces se cumple la condicin suficiente. Una ltima y tal vez innecesaria aclaracin sea que la condicin de transversalidad que afirma quet >

lim *(t ) s*(t ) = 0 se cumple tambin en este caso.

Anexoay bsicamente 6 funciones que fueron representadas a lo largo del trabajo y que pueden haber generado alguna duda en cuanto a su forma. A continuacin se proceder a explicar, por orden de aparicin, qu se tuvo en cuenta a la hora de graficarlas. Diagrama 1 La funcin =

1 [u ( f (k )) f (k )] . Se trata del producto de dos [ + n]

funciones decrecientes, lo anterior se afirma por las propiedades de las derivadas de u(c) y de f (k), las que se repiten a continuacin.

u (0) = + ; u (c) > 0 ; u (+ ) = 0 ; u (c) < 0 f (0) = + ; f ( s ) > 0 ; f ( + ) = 0 ; f ( s ) < 0 Adems la funcin u (c) evaluada en f (k) no cambia para nada su forma decreciente ya que la funcin f (k) es creciente como toda funcin de produccin racional. Diagrama 2 La funcin

parbola convexa. Lo anterior se debe a que la funcin u (c) es como ya se dijo decreciente en su argumento, partiendo desde infinito cuando c es cero y decreciendo a medida que nos movemos a valores ms grandes de c. En este caso el argumento no es montono sino que es pequeo con valores de k pequeos (prximos a cero) y grande con valores de k que se alejan deFac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

1 = u [ f (k ) n s k ] , presenta forma similar a una s

30

cero, el argumento dado por f (k) (n/s) k se hace mximo para un cierto k = k* tal que f (k *) = n / s y a partir de all decrece hasta llegar a cero ~ cuando f (k) se iguala a (n/s) k en k =k . Esto se puede apreciar en el siguiente grfico.

F (k) (n/s) k F (k)

k*Diagrama 3

~ k

k

Por lo explicado para el diagrama 1 no extraa que la funcin

1 = u ( f (k )) presente forma decreciente. sDiagrama 5 Es fcilmente entendible que representa la forma tradicional de una funcin de produccin creciente a tasa decreciente. Esto ltimo refleja la productividad marginal decreciente del capital. Diagrama 6 Tiene lugar una explicacin similar a la que dimos para el diagrama 2 ya que el argumento es el mismo que en ese caso. Aqu slo se tiene en cuentaFac. de Ciencias Econmicas, Universidad Nacional de Cuyo

31

la vertical de ambas funciones

c = f (k )

de cero alcanza un mximo y luego vuelve a cero. Obviamente no tiene sentido econmico analizar los valores negativos. Es lgico adems que la grfica de esta funcin se encuentre totalmente bajo la grfica de la funcin de produccin c = f (k) ya que a esta ltima le resta una proporcin n/s de k. Esto ltimo ayuda a explicar el diagrama 8. Diagrama 9 No se puede decir mucho ms que aclarar que se trata de la grfica del producto marginal del capital multiplicado por una constante, razn por la cual es decreciente. La funcin es: =f (k ) [ + n]

n k , por eso la grfica parte s


Documents

OPTIMIZACIÓN DINAMICA.doc