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Oscilaciones: Introducción Movimientos Periódicos
• Periódico: movimiento que se repite• Periodo: el tiempo necesario para que se produzca la
repetición• Ejemplos de movimientos periódicos– Rotación de la Tierra alrededor del Sol, período = 1 año– Oscilación de un péndulo– Movimiento de las manecillas de un reloj– Masa colgada de un muelle• Movimiento armónico simple (MAS):– Forma más sencilla de oscilación– En una dimensión, x
Movimiento armónico simple MAS
cos( )x A tω δ= +
Movimiento armónico simple: cuando el desplazamiento alrededor de la posición de equilibrio, x es
A= amplitud= máximo desplazamiento
δ= fase inicial, ω= frecuencia angular
T= periodo= tiempo que se necesita para que se repita el movimientoT = Tiempo que tarda en hacerse una oscilación
ω δ π ω δ+ + = + + ⇒cos( 2 ) cos( ( ) )t t T
υ= frecuencia = 1/T= número de oscilaciones por unidad de tiempo
πω
= 2T
2
MAS: movimiento circular uniforme
En el mov. circular uniforme, el ángulo barrido es θ= ωt
x=r cos θ=r cos ωt
y=r sen θ=r sen ωt
Velocidad y aceleración en un MAS
ω δ
ω ω δ
ω ω δ
= +
= = = − +
= = = = − +
ɺ
ɺɺ
22
2
cos( )
( )
cos( )
x A t
dxv x Asen t
dtdv d x
a x A tdt dt
ω= = −ɺɺ 2a x x Un MAS es un movimiento en el que la aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento= = −ɺɺa x kx
3
m x
cos( )
a
x A t
x A
ω δ= += ±
ω ω δω
ω
= − += ±
= −max
2 2
( )v Asen t
v A
v A x
2
2
cos( )a A t
a x
ω ω δω
= − += −
2ª Ley de Newton F ma mx= = ɺɺ
En un MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesto a él.
ω ω= − ⇒ + =ɺɺ ɺɺ2 2( ) 0mx m x x x Ecuación diferencial de un MAS
ω, y por tanto T dependen del problema en cuestión (masa, longitud, fuerza,....). No depende de las condiciones iniciales
4
A y δ sólo dependen de las condiciones iniciales. Si en t=0, x=x0, v=v0
cos( 0 ) cos
( 0 )o
o
x x A A
v v Asen Asen
ω δ δω ω δ ω δ
= = + == = − + = −
cos( ) cos cos sen senα β α β α β+ = −Como
ω δ ω δ ω δ
ω ωω
ω ω ω
= + = −
= +
= = − +
cos( ) cos cos
cos
cos
oo
o o o
x A t A t A sen t sen
vx t sen t
v v x sen t v t
Ejemplos de MAS: masa conectada a un muelle horizontal
K= constante elástica del muelle
Fuerza elástica es proporcional al desplazamiento
ω
ω π
= −= = − ⇒ + =
+ =
= =
ɺɺ ɺɺ
ɺɺ 2
0
0
2
F kx
F mx kx mx kx
x x
k mT
m k
5
Energía PotencialLa fuerza elástica es conservativa
= − ⇔ = −dUF dU Fdx
dx
− = = +∫ ∫21
2Fdx kxdx kx cte
Si xo=0 y U(0)=0
= 212
U kx
Energía cinética y potencial
ω δ
ω ω ω δ
= = + =
= +
2 2
2 2 2 2 2
1 1( cos( ))
2 21 1
cos ( )2 2
U kx k A t
m x m A t
ω= =2 2 2max
1 12 2
U kA m AEn x=±A
ω ω δ
ω ω δ
= = − + =
= +
2 2
2 2 2
1 1( ( ))
2 21
( )2
T mv m A sen t
m A sen t
ω= =2 2 2max
1 12 2
T kA m AEn x=0
En x=0 Umax=0
En x=±A T=0
6
Energía Total
ω= =2 2 21 12 2totalE kA m A
= −2 21( )
2T k A x
= 212
U kxU(x)
T
U
ω ω δ ω ω δ
ω
= + = + + + =
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1cos ( ) ( )
2 21 12 2
totalE T U m A t m A sen t
m A kA
Masa colgada de un muelle
ω δ= +
= + = 2
' cos( )
1'
2el gr
y A t
U U U ky
mgkydt
ydm +−=
2
2
No es la ecuación de un MAS
Si tomamos como variabley’=y-y0
0''
''
')'(
2
2
2
2
0
=+⇒−−−=
+=+=
kydt
ydmmgmgky
dt
ydm
mgkyyykky
7
La aceleración tangencial es d2s/dt2.
La componente tangencial de las fuerzas es
θ
θ
= −
+ = ⇔ + =ɺɺ ɺɺ
2
2
0 0
d sm mgsen
dts
s gsen s gsenL
Si θ= s/L es pequeño
⇒ sen s/L≈s/L MAS con solución
Péndulo simple
ω δ= +max cos( )s s t
No es MAS
ω
+ =
=
ɺɺ 0g
s sL
gL
El movimiento es MAS sólo para desplazamientos pequeños respecto de la posición de equilibrio (sólo para ángulos pequeños)
Péndulo simple
θ θ ω δ= +max cos( )tθ θ+ =ɺɺ 0
gL
Ya que s=Lθ Ecuación de un MAS
Si tomamos y=0 en θ=0 y U(0)=0
θ
θ θ
= = −
= + = + −ɺ2 2
( ) (1 cos )
1(1 cos )
2
U y mgy mgL
E T U mL mgL E=E(θ) no es cte
Si θ es pequeño cos θ≈1- θ2/2 θ θ= − ≈ 21( ) (1 cos )
2U y mgL mgL
θ θ θ ω δ
θ ω δ θ
= + = + = + +
+ ⇒ = =
ɺ2 2 2 2 2 2max
2 2 2max max
1 1 1( )
2 2 21 1
cos ( )2 2
gE T U mL mgL mL sen t
L
mgL t E mgL cte
8
Movimiento en las proximidades del equilibrio
Si x1 es un punto de equilibrio estable, la fuerza es de signo contrario al desplazamiento (tiende a devolver a la partícula a x1)
ε= − − = −1( )F K x x k
Parábola aproximándose a U cerca del punto de equilibrio estable
x
x1 x2
F(x)
Oscilaciones amortiguadas• En todos los movimientos reales, incluidos los oscilantes,
se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de rozamiento.
• Cuando la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye en el tiempo, se dice que este es amortiguado
• si las fuerzas de rozamiento o amortiguamiento son pequeñas, el movimiento es casi periódico excepto que la amplitud disminuye lentamente con el tiempo.
9
• En muchas situaciones las fuerzas de amortiguamiento pueden aproximarse por
• El grado de amortiguamiento dependerá del valor de b. • Por oponerse estas fuerzas al sentido del movimiento estas
fuerzas producen siempre un trabajo negativo.• Sobre un sistema actúa una fuerza elástica y una fuerza de
amortiguamiento. Según la ley de Newton
Oscilaciones amortiguadas
vbF��
−=
∑∑
=−−=
==
xmxbkxF
xmmaF
ɺɺɺ
ɺɺ
0=++ kxxbxm ɺɺɺ
02 20 =++→ xxx ωγɺɺɺ
γ2=m
bm
k=20ωDividiendo por m y con
Ecuación del mov. Armónico amortiguado
Oscilaciones amortiguadas02 2
0 =++→ xxx ωγɺɺɺ
La solución cuando el amortiguamiento es pequeño , γ < ω0 es
)cos( αωγ += − tAex t
2
222
0 4m
b
m
k −=−= γωω
A y α son constantes que dependen de las condiciones iniciales
el amortiguamiento produce una disminución de la frecuencia (frecuencia disminuye y T aumenta).
la amplitud de las oscilaciones no es constante, A’ = A* e-γt
10
Críticamente amortiguado
Sobreamortiguado
• Si el amortiguamiento es muy grande γ > ω0, y ω no es real: no hay oscilaciones y la partícula si se la desplaza y se deja libre, se aproxima a la posición de equilibrio sin pasarla o pasándola como mucho a la vez.
• Cuanto mayor sea el amortiguamiento b más tiempo tarda el sistema en volver a la posición de equilibrio.
• Si bc = 2mω0, entonces ω=0. A bc se la llama condición del amortiguamiento crítico.
• Cuando b=bc, la masa vuelve a la posición de eq en el menor tiempo posible sin realizar ninguna oscilación
• b < bc mov. amortiguado
• b = bc mov. amortiguado críticamente
• b > bc mov. Sobreamortiguado
Sobreamortiguamiento
• El trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento es negativo, así pues hace disminuir la energía mecánica del sistema.
• Esto lo podemos ver calculando la potencia que produce esta fuerza.
2coscos
bvvFvFdt
dsF
dt
dWP −===== ��φφ
Se dice que se disipa energía y potencia¿cuánto vale la variación de energía?
22
2
1
2
1kxmvE += kx
dt
dvmbvkxbv
dt
dvm +=−⇒−−=
2)()22
12(
2
1bvkx
dt
dvmv
dt
dxkx
dt
dvvm
dt
dE −=+=+=
La variación de la energía mecánica es igual a la potencia disipada. Esta energía es cedida al medio, normalmente como calor. Cuando el amortiguamiento es pequeño tmbeEtE )/(
0)( −=
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Oscilaciones Forzadas• Consideremos una fuerza externa adicional, además de la fuerza
amortiguadora y de la restauradora. • La fuerza externa aumenta la energía mecánica del oscilador si
actúa en el sentido del movimiento, y absorbe energía si lo hace en sentido contrario al movimiento.
• Esto es lo que ocurre en el caso de la masa suspendida de un muelle. El trabajo realizado por el peso es positivo cuando el muelle se estira, y negativo cuando el muelle se comprime.
• El trabajo neto realizado en un ciclo, en una oscilación es 0, y la fuerza constante no modifica la energía del sistema. Una fuerza constante sólo varía la posición de equilibrio del sistema.
• Un tipo particularmente importante de fuerza externa es aquella que varía sinusoidalmente con el tiempo
tsenFFext ω0=
• donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa que no tiene porqué estar relacionada con ω0.
• Una masa sujeta a un muelle de constante recuperadora K = m,sometido a una fuerza amortiguadora –bv y a una fuerza externa tiene como ecuación del movimiento
tsenFFext ω0=
2
2
020 dt
xdm
dt
dvmmatsenFbvxm ===+−−=Σ ωω
tsenFxmdt
dxb
dt
xdm ωω 0
202
2
=++
La solución de esta ecuación es
)()''cos(')( )2/( δωδω −++= − tAsenteAtx tmb
donde A’ y δ’ son constantes que pueden obtenerse de los valores
iniciales de x0 y v0.
12
)()''cos(')( )2/( δωδω −++= − tAsenteAtx tmb
222220
2
0
)( ωωω bm
FA
+−=
)(tan
220 ωωωδ−
=m
b
022222
02 )( F
Ab
bm
bsen
ωωωω
ωδ =+−
=
El primer término se llama solución transitoria.
Después de un tiempo bt/2m>> 1 la exponencial se hace muy pequeña, y esta parte de la solución completa resulta despreciable debido a la disminución de la amplitud.
El segundo miembro de x(t) se llama solución estacionaria, en ella A no varía en función de t. Después de un tiempo t >> 2m/bpodemos despreciar la solución transitoria, y la posición de la partícula vendrá dada por
)()( δω −= tAsentxsin que importen las condiciones iniciales.
0
0,5
1
0 2 4 6 8 10
θθθθ (radianes)
sen
2 ( θθ θθ)
• La velocidad en el estado estacionario es )cos( δωω −== tAdt
dxv
La potencia que produce la fuerza impulsora
)cos()cos()( 00 δωωωδωωω −=−== ttsenFAtAtsenFFvP
δωδωδω tsensentt +=− coscos)cos(
20( cos cos )P A F sen tsen tsen tω ω δ δ ω ω= +
Teniendo en cuenta
La potencia producida varía con el tiempo a lo largo de un ciclo. Durante un ciclo, el coseno es tantas veces positivo como negativo y su valor medio es nulo. El valor medio del sen2 durante un ciclo es ½.
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• la potencia media durante un ciclo es2 2 2
2 2 20 00 2 2 2 2 2 2
0
0
2 2 2 2 20
1 1 1 1 1
2 2 2 2 ( ) 2
( )( )
m m
F b FP AF sen b A P b A
b sen m b
FA
m b
ωω δ ω ωδ ω ω ω
ω ω ω
= = = = =− +
=− +
La potencia máxima se tiene para ω=ω0, entonces .
201
2m
FP
b=
Se puede ver también que Pm es máxima cuando sen δ = 1
Cuando Pm es máxima se dice que hay resonancia δ=90º=π/2.
En la resonancia el desplazamiento está desfasado π/2 respecto de la F impulsora, pero la velocidad está en fase con la fuerza F, la partícula se mueve en el sentido de la F impulsora.
Cuando el amortiguamiento es pequeño (b <<), la potencia de entrada o en la resonancia es grande y la curva de resonancia es aguda, la potencia es grande sólo en la resonancia. Si b es grande la potencia en la resonancia es pequeña y la curva de resonancia es aplastada.
Amortiguamiento pequeño
Amortiguamiento grande