Oscilatorno kretanjeDef: Periodino kretanje je kretanje koje se
nakon nekog vremena T- period periodinog kretanja ponavlja. Pored
perioda, vane su jo dvije veliine: - Frekvencija: f = 1 T
[ f ] = 1 = Hzs
- Kruna frekvencija: = 2 f = 2 T
[ ] = 1 = Hzs
Prosto oscilatorno kretanje- prosto harmonijsko kretanje Def:
Prosto harmonijsko kretanje je kretanje estice kada na njega
djeluje sila koja: - Je proporcionalna pomaku tijela - Ima smijer
suprotan smijeru pomaka.
F = k x
k= direkciona konstanta ili konstanta krutosti opruge
Pomak, brzina i ubrzanje Polazimo od 2 Newtonovog zakona:F = m a
ma = kx
Znaenje: A=amplituda = fazni pomak Rjeenje periodino sa
periodom:T = 2 m k
Kako je ubrzanje a druga derivacija pomaka x, imamo:m d2x dt 2 =
kx d2x dt 22 + 0 x = 0; 2 0=
k 0 m
Kuharica: Rjeenje traimo u obliku:2 x = e t 2 + 0 = 0
= i x=e
0
i 0 t + e i 0 t
x = A sin ( 0 t + )
x = A sin ( 0 t + )
Brzina i ubrzanje su po definiciji:dx = A 0 cos ( 0 t + ) dt k 2
a = x = A 0 sin ( 0 t + ) m v=
Rad i potencijalna energija Izraunajmo rad elastine sile kada se
opruga istegne iz poetnog poloaja xi u konani poloaj x f . Po
definiciji, rad je je jednak proizvodu sile i pomaka:A = F x F ( x
f xi )
Akceleracija i brzina nemaju konstantne vrijednosti. One su
promjenljive veliine Kinetika energija -Kinetika energija tijela
mase m koje oscilira frekvencijom 0 , posjeduje kinetiku energijum
v 2 m A2 Ek = = 2 22 0
Kako je sila promjenljiva, uzmimo njenu srednu vrijednost:A =
Fsr ( x f xi ) = A= k ( x 2 xi2 ) f 2 k ( x f + xi ) 2 ( x f xi
)
= E p0
k x 2 k A2 sin 2( Ep = = 2 2
t + )
cos ( 0 t + )2 0
2
2 m 0 A2 sin 2( 0 t + ) Ep = 2
Vano:Ek A 2 Ek
E p = Potencijalna energia tijela mase m i opruge krutosti k
Kako mjeriti masu astronauta u bezteinskom stanju? Za astronaute
koji provode due vremena u bezteinskom stanju, vrlo je vano mjeriti
masu. Istraivanja pokazuju da oni zbog odsustva gravitacije gube
kotanu masu. Na slici je ureaj koji se u Skylabu koristi za
mjerenje mase astronauta ( Astronaut Alen L. Bean). Ureaj se u
sutini sastoji od stolice koja je uvrena za elastinu oprugu ija je
konstanta poznata. Mjeri se period oscilatornog kretanja stolice i
astronauta na njoj. Za mjerenje mase astronauta koriten je opisani
ureaj ija je konstanta opruge k=606 N/m. Izmjeren je period
oscilacija opruge T=2.41s, a masa stolice iznosi 12 kg. Odrediti
masu astronauta. Iz formule za raunanje perioda oscilatornog
kretanja dobijemo izraz za masu tijela:m T 2 k 2.412 s 2 606 N / m
T = 2 m= = = 89.2 kg m A = 89.2 kg 12 kg = 77.2 kg 2 k 39.478 4
Prigueno oscilatorno kretanje U primjenama je est sluaj da je
tijelo izloeno sili trenja koja vri disipaciju (rasipanje) energije
usljed ega se smanjuje amplituda oscilatornog kretanja. U tom
sluaju govorimo priguenom oscilatornom kretanju. Prigueno
oscilatorno kretanje analizirat emo u sluaju Kada se tijelo kree
kroz viskoznu sredinu malom brzinom. Sila trenja je proporcionalna
brzini:Ftr = r v = r dv dt
Po 2. Newtonovom zakon imamo:dx d2x dx 2 ma = k x r 2 + 2 + 0 x
= 0 dt dt dt r 2 k 2 = , 0 = m m
Rjeenje opet traimo u obliku:2 x = e t 2 + 2 + 0 = 0
1 ,2 = 2
2 0
Analiza rjeenja
Periodino kretanje2 2 0< 0
a) 1- slobodno harmonijsko kretanje 2-3 prigueno harmonijsko
kretanje b) 4 kritino priguenje 5 aperiodino kretanje
x = A e t sin ( t + ),
2 = 0 2 0 T T0 2
2 Frekvencija = 0
Amplituda eksponencijalno pada Kritino, priguenje 2 2 0= 0
Aperiodino2 2 0
>0
Logaritamski dekrement priguenja U primjenama je vano znati
koliko puta se amplituda smanji poslije svake pune oscilacije tj po
isteku vremena T. U tu svrhu se definira tzv logaritamski dekrement
priguenja: definiramo odnos:x( t ) A e t sin( t + ) = = = e + T t T
x( t + T ) A e sin( t + ) = ln = T
Veliina zove se logaritamski dekrement priguenja.
Prinudno oscilatorno kretanje Na tijelo, pored elastine sile i
sile priguenja, djeluje vanjska periodina silaF = F0 cos t
Jednadba koja opisuje kretanje tijela glasi:d2x dt 2 + 2 dx 2 +
0 x = F0 sin t dt
Rjeenje poslije dovoljno dugog djelovanja sile:x = A( ) sin( t -
) F0 A( ) = 2 m (0 2 ) 2 + 4 2 2 tg = 2 2 0 2
