Osnovne planimetrijske konstrukcije

!"#$%&'()&(#*)+*',

-%*.(*#ÿ/0'*)1#&")2%,#ÿ,.*%&"3,4)2#51)0)2'ÿ6"#1/37

!")".8*),

!"#$%&$'(ÿÿ)**+Emilija Krempuš

Osnovne planimetrijske konstrukcije

Priročnik

OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE2

Osnovne planimetrijske konstrukcijePriročnik

Priročnik Osnovne planimetrijske konstrukcije je nastal s finančno pomočjo Evropskega socialnega sklada.

Avtorica:Emilija Krempuš, univ. dipl. inž. arh.

Sodelovala:Meta Petriček, univ. dipl. inž. arh.

Rokopis so pregledali:Maja Capuder, univ. dipl. inž. arh.Smiljan Čujež, prof. matematike

Lektorirala:Metka Fendre, prof. slovenščine in angleščine

Računalniška obdelava:program ArchiCADin program Word

Oblikovanje in grafična priprava:Designpro, d. o. o.

Ljubljana, 2006

OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 3

KAZALO

UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 ČRTE IN KOTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Risanje planimetrijskih konstrukcij s pomočjo dveh trikotnikov . . . . . . 91.1.1 Risanje vzporednice in pravokotnice s pomočjo dveh trikotnikov . . . 91.1.2 Risanje črt s pomočjo priložnega ravnila in trikotnika . . . . . . . . . . . . . 101.2 Črte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Risanje vzporednice dani premici skozi dano zunanjo točko . . . . . . 111.4 Risanje premice skozi dano točko in nedostopno presečišče dveh danih premic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Risanje premice – dana točka je med premicama . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Risanje premice – dana točka je zunaj premic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Simetrala daljice – 1. način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Simetrala daljice – 2. način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Delitev daljice na 2, 4, 8, 16 … enakih delov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Delitev daljice na n enakih delov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.1 Delitev daljice v razmerju m : n – 1. način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.2 Delitev daljice v razmerju m : n – 2. način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Zlati rez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.2 Podaljšanje daljice v zlatem rezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.4 Zlati pravokotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Formatiranje listov po DIN-u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11.1 Pravokotnica na premico v dani točki na premici – 1. način . . . . . . 201.11.2 Pravokotnica na premico v dani točki na premici – 2. način . . . . . . 201.11.3 Pravokotnica na premico v dani točki na premici – 3. način . . . . . . 211.12 Pravokotnica na premico skozi dano zunanjo točko . . . . . . . . . . . . . 211.13 Kot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.14 Načrtovanje kota 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.15 Delitev pravega kota na tretjine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.16 Prenos kota – risanje danemu kotu skladnega kota . . . . . . . . . . . . . . 241.17 Delitev kota na enake dele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.18 Simetrala kota – 1. način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.19 Delitev kota na 4, 8, 16 ... enakih delov – 1. način . . . . . . . . . . . . . . . 251.20 Simetrala kota – 2. način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.21 Določitev četrtine, osmine, šestnajstine ... danega kota – 2. način . 261.22 Delitev kota na tretjine s papirnim trakom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.23 Metode za delitev kota na poljubno število enakih delov . . . . . . . . . 271.24 Približna konstrukcija delitve ostrega kota na liho število enakih delov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.24.1 Delitev ostrega kota na 3 enake dele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.24.2 Delitev ostrega kota na 5 enakih delov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.25 Približna konstrukcija delitve topega kota na liho število enakih delov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.25.1 Delitev topega kota na 3 enake dele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.25.2 Delitev topega kota na 5 enakih delov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1 Krog, krožnica in krožni lok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Elementi kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Deli kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Središčni in obodni kot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Kot v polkrogu, Talesov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Risanje krožnega loka z danim polmerom skozi dani točki . . . . . . . . 332.6.1 Označevanje središča kroga in krožnega loka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Določanje središča danega krožnega loka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Risanje krožnega loka skozi tri dane točke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9 Tangenta na krožnico v dani točki krožnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.10 Tangenti na krožnico iz dane zunanje točke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.11 Zravnanje polovice krožnice z danim polmerom (A. Kochansky) . . . 362.12 Določanje središča in dotikališč dane krožnice z danima tangentama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.13 Krožni prehod v ostrem kotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.14 Krožni prehod v topem kotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.15 Izbočeni krožni prehod v pravem kotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.16 Vbočeni krožni prehod v poljubnem kotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.17 Zunanji tangenti na krožnici z različnima polmeroma . . . . . . . . . . . . 402.18 Notranji tangenti na krožnici z različnima polmeroma . . . . . . . . . . . . 412.19 Trikotniku očrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.20 Določanje središča včrtanemu krogu, ki se dotika treh danih tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.21 Trikotniku včrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.22 Pravokotniku očrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.23 Kvadratu očrtani in včrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.24 Rombu včrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.25 Deltoidu včrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.26 Pravilnemu mnogokotniku očrtani in včrtani krog . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 TRIKOTNIKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1 Načrtovanje trikotnika, če so dane tri stranice (sss) . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot med njima (sks) . . 473.3 Načrtovanje trikotnika, če sta dana stranica in njej priležna kota (ksk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.1 Dani sta stranici in ostri kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK) . . . . . . 483.4.2 Dani sta stranici in topi kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK) . . . . . . 483.5 Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot, ki leži krajši stranici nasproti (Ssk) – osnovni postopek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1 Možnost 1: V trikotniku je dolžina stranice a krajša od dolžine vc . . . 493.5.2 Možnost 2: V trikotniku je dolžina stranice a enaka dolžini vc . . . . . . 503.5.3 Možnost 3: V trikotniku je dolžina stranice a večja od dolžine vc . . . 51


4 PRAVILNI MNOGOKOTNIK V OČRTANEM KROGU . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1 Načrtovanje pravilnih mnogokotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Enačbe za izračun elementov v pravilnem mnogokotniku . . . . . . . . 524.3 Enakostranični trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Pravilni šestkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6 Pravilni dvanajstkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.7 Pravilni petkotnik in pravilni desetkotnik – osnovni postopek . . . . . . . 554.8 Pravilni petkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.9 Pravilni desetkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.10 Pravilni osemkotnik v očrtanem krogu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.11 Pravilni osemkotnik v očrtanem kvadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.12 Približna konstrukcija pravilnega sedemkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.13 Približna konstrukcija pravilnega devetkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.14 Približna konstrukcija pravilnega enajstkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.15 Približna konstrukcija pravilnega mnogokotnika v očrtanem krogu – splošni način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.16 Pravilni 2n-kotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.17 Pravilni petnajstkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.18 Pravilni sedemnajstkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.19 Pravilni enainpetdesetkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.20 Pravilni petinosemdesetkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 PRAVILNI MNOGOKOTNIK Z ZNANO STRANICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.1 Enakostranični trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Pravilni petkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Pravilni šestkotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Približna konstrukcija pravilnega petkotnika – splošni način . . . . . . . 695.6 Približna konstrukcija pravilnega mnogokotnika, če je število stranic večje od 6 – splošni način . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.7 Konstrukcija pravilnega mnogokotnika z znano stranico z upoštevanjem pravil podobnosti – splošni način . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 ELIPSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.1 Oznake pri elipsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 Načrtovanje elipse po definicijI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 Načrtovanje elipse na osnovi »vrtnarske metode« . . . . . . . . . . . . . . . 746.4 Načrtovanje elipse s pomočjo velike in male krožnice . . . . . . . . . . . 756.5 Načrtovanje elipse s temenskimi pritisnjenimi krožnimi loki . . . . . . . . 766.6 Načrtovanje elipse s papirnim trakom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7 Elipsa je dana s konjugiranima premeroma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.8 Določanje osi elipse, če sta znana konjugirana premera (Rytzova metoda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.9 Tangenta in normala na elipso v dani točki elipse . . . . . . . . . . . . . . . 806.10 Tangenti na elipso iz dane zunanje točke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


7 OVALNE KRIVULJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.1 Oval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 HIPERBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1 Oznake pri hiperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Načrtovanje hiperbole po definiciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3 Tangenta in normala na hiperbolo v dani točki hiperbole . . . . . . . . 868.4 Tangenti na hiperbolo iz dane zunanje točke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9 PARABOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.1 Oznake pri paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.2 Načrtovanje parabole po definiciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.3 Parabola je dana z dvema tangentama in njunima dotikališčema na paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.4 Parabola je dana s temensko tangento in z goriščem . . . . . . . . . . . 919.5 Parabola je dana s konjugiranim premerom in tetivo . . . . . . . . . . . . 929.6 Tangenta in normala na parabolo v dani točki parabole . . . . . . . . . 939.7 Tangenti na parabolo iz dane zunanje točke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10 LOKI V STAVBARSTVU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.1 Oblike lokov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2 Oblike lokov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.3 Oblike lokov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.4 Oblike lokov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.5 Dvigajoči lok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.6 Eliptični lok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.7 Košarasti lok – 1. način konstrukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.8 Košarasti lok – 2. način konstrukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

VIRI IN LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


UVOD

Pred vami je priročnik, v katerem boste našli napotke za ročno risanje osnovnih planimetrijskih konstrukcij, risanih z ravnilom in s šestilom. S pomočjo vsebin, ki jih prinaša, boste pridobili ali obnovili znanje pravilnega izražanja konstruktivnih zamisli s tehničnimi risbami.

Priročnik je namenjen dijakom srednjih poklicnih in strokovnih šol, tehniških gim-nazij, študentom višjih šol tehniške smeri ter kandidatom pri pripravljanju na de-lovodske in mojstrske izpite. Pri svojem nadaljnjem poklicnem usposabljanju ga bodo lahko uporabljali zaposleni kot tudi tisti, ki želijo le obnoviti znanje načr-tovanja planimetrijskih konstrukcij. Namen priročnika je pomagati uporabniku poiskati metode, ki mu bodo omogočile reševanje grafičnih problemov in risa-nje zahtevnejših tehničnih risarskih kompozicij v praksi, dijakom pa bo v pomoč pri predmetih, kot so opisna geometrija, tehnično risanje, visoke zgradbe, inže-nirske zgradbe in praktični pouk.

Vsebina je razdeljena na deset poglavij. V prvem in drugem poglavju so pred-stavljene osnovne planimetrijske konstrukcije, risane na osnovi ravnih črt, kro-gov in krožnih lokov. V tretjem poglavju so opisane konstrukcije trikotnikov z znanimi podatki o stranicah in kotih trikotnika. V četrtem in petem poglavju so prikazane konstrukcije pravilnih mnogokotnikov v očrtanem krogu in pravilnih mnogokotnikov z znano stranico. V naslednjih štirih poglavjih so predstavljene osnovne konstrukcije elipse, ovala, hiperbole in parabole. V desetem, zadnjem poglavju, pa so zbrane konstrukcije lokov v stavbarstvu.

Posamezne konstrukcije so po poglavjih oštevilčene in ustrezno naslovljene. Vsaka je podana s sliko in z opisom načina njene izdelave. Na sliki je končna rešitev poudarjena z močnejšimi črtami, pomožne konstrukcije pa so narisane s tanjšimi. V opisu slike so pomembnejši pojmi in delovni postopki poudarjeni ali izpisani v poševnem tisku.

Uporabnikom želim veliko uspeha pri uporabi pričujoče knjige, saj sem njeno vsebino zbrala in uredila na podlagi izkušenj pri delu v izobraževanju in v praksi.

Za sodelovanje pri izdelavi priročnika se zahvaljujem gospe Meti Petriček, univ. dipl. inž. arh., ter recenzentoma gospe Maji Capuder, univ. dipl. inž. arh., in go-spodu Smiljanu Čuježu, prof. matematike.

Gospe Ireni Posavec, univ. dipl. inž. grad., se zahvaljujem za svetovanje pri ob-likovanju vsebine, gospodoma Smiljanu Čuježu, prof. matematike, in Igorju Ka-stelicu, dipl. inž. grad., pa za svetovanje pri računalniški obdelavi podatkov.

Vse dobronamerne kritike in pripombe za izboljšanje vsebine bodo dobrodošle.

Emilija Krempuš

Ljubljana, 2005


9

1 ČRTE IN KOTI

1.1 Risanje planimetrijskih konstrukcij s pomočjo dveh trikotnikov

Planimetrijske konstrukcije in tudi tehnične risbe, ki jih rišemo s pomočjo šestila in ravnila, lahko v praksi rišemo tudi s pomočjo šestila in dveh tipskih trikotnikov. En trikotnik je enakokraki pravokotni trikotnik (kota ob hipotenuzi merita po 45°), drugi pa je raznostranični pravokotni trikotnik (kota ob hipotenuzi merita 30° in 60°). Nekatere konstrukcije je na ta način mogoče narisati enostavno in hitreje. Z omenjenima trikotnikoma lahko narišemo kote 30°, 45°, 60° in 90° tudi brez uporabe šestila.

Risanje tehničnih risb bomo še poenostavili, če bomo risali z risalnimi orodji ob priložnem ravnilu na risalni deski ali če bomo uporabljali tipske risalne mize.

1 ČRTE IN KOTI

!"#$%&'()%*+,'ÿ,-$+().,/%*'ÿ%$ÿ(.0%ÿ('1$%2$'ÿ)%+3'4ÿ,%ÿ*%1ÿ)%5'&-ÿ+ 6-&-2*-ÿ5'+(%"#ÿ%$ÿ )#7$%"#4ÿ "#1,-ÿ 7ÿ 6)#,+%ÿ )%5'&-ÿ (.0%ÿ +ÿ 6-&-2*-ÿ 5'+(%"#ÿ %$ÿ 07'1ÿ (%6+,%1ÿ()%,-($%,-78ÿ 9$ÿ ()%,-($%,ÿ *'ÿ '$#,-,)#,ÿ 6)#7-,-('$ÿ ()%,-($%,ÿ :,-(#ÿ -3ÿ 1%6-('$.;%ÿ&')%(#ÿ 6-ÿ <=>?4ÿ 0).@%ÿ 6#ÿ *'ÿ )#;$-+()#$%2'$ÿ 6)#7-,-('$ÿ ()%,-($%,ÿ :,-(#ÿ -3ÿ1%6-('$.;%ÿ &')%(#ÿ AB>ÿ %$ÿ CB>?8ÿ D',#(')'ÿ ,-$+().,/%*'ÿ *'ÿ $#ÿ (#ÿ $#2%$ÿ&-@-2'ÿ$#)%+#(%ÿ'$-+(#7$-ÿ %$ÿ1%()'*'8ÿ Eÿ-&'$*'$%&#ÿ ()%,-($%,-&#ÿ "#1,-ÿ$#)%5'&-ÿ,-('ÿAB>4ÿ<=>4ÿCB>ÿ%$ÿFB>ÿ(.0%ÿ3)';ÿ.6-)#3'ÿ5'+(%"#8

G%+#$*'ÿ('1$%2$%1ÿ)%+3ÿ3-&-ÿ5'ÿ6-'$-+(#7%"%4ÿ2'ÿ3-&-ÿ)%+#"%ÿ;ÿ)%+#"$%&%ÿ-)-0*%ÿ-3ÿ6)%"-H$'& )#7$%".ÿ$#ÿ)%+#"$%ÿ0'+,%ÿ#"%ÿ.6-)#3"*#"%ÿ(%6+,'ÿ)%+#"$'ÿ&%;'8

<=>

<=>

AB>

CB>

FB>

AB>

CB>

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)ÿÿ

3

141ÿ,56789:ÿ;<785=:>?596@5Aÿ@B86>?C@D59ÿ6ÿ;B=BE9BÿFG:Aÿ>?5@B>85@BG

7;6-)'0$%/#

6)#7-,-($%/#

))

))) )

)))

)))

14141ÿ,56789:ÿGH;B?:F85D:ÿ58ÿ;?7GB@B>85D:ÿ6ÿ;B=BE9BÿFG:Aÿ>?5@B>85@BG

I"%,#ÿJKÿG%+#$*'ÿ7;6-)'0$%/' I"%,#ÿLK G%+#$*'ÿ6)#7-,-($%/'

I"%,#ÿJKÿ9$#,-,)#,ÿ6)#7-,-('$ÿ()%,-($%,

I"%,#ÿJKÿG#;$-+()#$%2'$ÿ6)#7-,-('$()%,-($%,

1.1.1 Risanje vzporednice in pravokotnice s pomočjo dveh trikotnikov



<=>

<=>

AB>

CB>

FB>

AB>

CB>

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)ÿÿ

3


7;6-)'0$%/#

6)#7-,-($%/#

))

))) )

)))

)))


I"%,#ÿJKÿG%+#$*'ÿ7;6-)'0$%/' I"%,#ÿLK G%+#$*'ÿ6)#7-,-($%/'

I"%,#ÿJKÿ9$#,-,)#,ÿ6)#7-,-('$ÿ()%,-($%,

I"%,#ÿJKÿG#;$-+()#$%2'$ÿ6)#7-,-('$()%,-($%,



<=>

<=>

AB>

CB>

FB>

AB>

CB>

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)ÿÿ

3


7;6-)'0$%/#

6)#7-,-($%/#

))

))) )

)))

)))


I"%,#ÿJKÿG%+#$*'ÿ7;6-)'0$%/' I"%,#ÿLK G%+#$*'ÿ6)#7-,-($%/'

I"%,#ÿJKÿ9$#,-,)#,ÿ6)#7-,-('$ÿ()%,-($%,

I"%,#ÿJKÿG#;$-+()#$%2'$ÿ6)#7-,-('$()%,-($%,

!"#

$"#

!"#

%&#

%&#

$"#

'"#

'"#

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)ÿÿ

()*+,ÿ-.ÿ/*0,123ÿ45678391*:3

3


45678391*:,

68,47+7;1*:,

))

))) )

)))

)))


()*+,ÿ<. /*0,123ÿ68,47+7;1*:3

()*+,ÿ<. /,5170;8,1*=1*ÿ68,47+7;1*ÿÿÿ;8*+7;1*+

()*+,ÿ-.ÿ>1,+7+8,+*ÿ68,47+7;1*ÿ;8*+7;1*+

!"#

$"#

!"#

%&#

%&#

$"#

'"#

'"#

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)ÿÿ

()*+,ÿ-.ÿ/*0,123ÿ45678391*:3

3


45678391*:,

68,47+7;1*:,

))

))) )

)))

)))


()*+,ÿ<. /*0,123ÿ68,47+7;1*:3

()*+,ÿ<. /,5170;8,1*=1*ÿ68,47+7;1*ÿÿÿ;8*+7;1*+

()*+,ÿ-.ÿ>1,+7+8,+*ÿ68,47+7;1*ÿ;8*+7;1*+


1.1.2 Risanje črt s pomočjo priložnega ravnila in trikotnika

<=>

FB> JA=>

FB>

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)ÿÿ

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

)%+#"$#ÿ0'+,#

6)%"-H$-ÿ)#7$%"-

)%+#"$#ÿ0'+,#

6)%"-H$-ÿ)#7$%"-

1I

1414Jÿ,56789:ÿE?>ÿ6ÿ;B=BE9Bÿ;?5<BK8:L7ÿ?7G85<7ÿ58ÿ>?5@B>85@7

11

1.2 Črte

Premica je neomejena ravna črta.Poltrak je enostransko omejena ravna črta. Poltraku včasih rečemo tudi žarek (npr. v opisni geometriji).Daljica je obojestransko omejena ravna črta.Premica (A, B) je nosilka daljice AB.AB Med navpičnima črticama označujemo absolutno vrednost dolžine da-ljice AB.

1.3 Risanje vzporednice dani premici skozi dano zunanjo točko

Dana točka T leži izven dane premice p. Iz poljubne točke A na premici p na-rišemo krožni lok s polmerom r skozi točko T. Krožni lok seka premico p v točki B. Iz točk B in T narišemo krožna loka z istim polmerom r. Krožna loka se sekata v točki C.Premica p1, ki jo narišemo skozi točki T in C, je vzporedna dani premici p.

1 ČRTE IN KOTI

!"#"ÿ $%&'"ÿ ! ()*+ +,-)#ÿ ."#)ÿ/0)1+2)ÿ "!ÿ "#ÿ $%&'()*+ÿ ,%-.+ ! */ÿ$0+1232 "*/024+1%ÿ.0%5*2ÿ &%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ # 6.%#2ÿ,%-.%ÿ"7ÿ.2ÿ6+./ÿ$0+123% " 8ÿ,%-.2 #!ÿ "#ÿ,%-. # 2*ÿ" */024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ #ÿ26,21ÿ$%&1+0%1ÿÿ#7ÿ.2ÿ6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ,%-.2 ÿ$!90+123/ "37ÿ.2ÿ'%ÿ*/024+1%ÿ6.%#2ÿ,%-.2ÿ" 2* $7ÿ'+ÿ8#$%0+:*/ÿ:/*2ÿ$0+1232 "!

40)1+2"ÿ'+ÿ*+%1+'+*/ÿ0/8*/ÿ-0,/!4%($0"'ÿ '+ÿ+*%6,0/*6.%ÿ%1+'+*/ÿ0/8*/ÿ-0,/!ÿ9%&,0/.(ÿ8-/62;ÿ0+-+1%ÿ,(:2ÿ*"0)'<*$0!ÿ8ÿ%$26*2ÿ=+%1+,02'2>!!"(5+2"ÿ'+ÿ%)%'+6,0/*6.%ÿ%1+'+*/ÿ0/8*/ÿ-0,/!90+123/ÿ<!7#>ÿ'+ÿ#%6+('" :/&'23+ÿ!#!!# ?+:ÿ */8$2-*212ÿ -0,23/12ÿ %#*/-('+1%ÿ /)6%&(,*%ÿ 80+:*%6, :%&52*+ÿ:/&'23+ÿ!#%

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

! #

#

5

!

/

"

7

/

/

0

0

0

3

&&

&%6ÿ'789

&%:ÿ(;<=>?9ÿ@ABC79D>;E9ÿD=>;ÿB79F;E;ÿ<GCA;ÿD=>CÿAH>=>?Cÿ8CIGCÿ

$0+123/

$%&,0/.

:/&'23/

8#$%0+:*23/

"

! #

$

!"#"ÿ $%&'"ÿ ! ()*+ +,-)#ÿ ."#)ÿ/0)1+2)ÿ "!ÿ "#ÿ $%&'()*+ÿ ,%-.+ ! */ÿ$0+1232 "*/024+1%ÿ.0%5*2ÿ &%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ # 6.%#2ÿ,%-.%ÿ"7ÿ.2ÿ6+./ÿ$0+123% " 8ÿ,%-.2 #!ÿ "#ÿ,%-. # 2*ÿ" */024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ #ÿ26,21ÿ$%&1+0%1ÿÿ#7ÿ.2ÿ6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ,%-.2 ÿ$!90+123/ "37ÿ.2ÿ'%ÿ*/024+1%ÿ6.%#2ÿ,%-.2ÿ" 2* $7ÿ'+ÿ8#$%0+:*/ÿ:/*2ÿ$0+1232 "!

40)1+2"ÿ'+ÿ*+%1+'+*/ÿ0/8*/ÿ-0,/!4%($0"'ÿ '+ÿ+*%6,0/*6.%ÿ%1+'+*/ÿ0/8*/ÿ-0,/!ÿ9%&,0/.(ÿ8-/62;ÿ0+-+1%ÿ,(:2ÿ*"0)'<*$0!ÿ8ÿ%$26*2ÿ=+%1+,02'2>!!"(5+2"ÿ'+ÿ%)%'+6,0/*6.%ÿ%1+'+*/ÿ0/8*/ÿ-0,/!90+123/ÿ<!7#>ÿ'+ÿ#%6+('" :/&'23+ÿ!#!!# ?+:ÿ */8$2-*212ÿ -0,23/12ÿ %#*/-('+1%ÿ /)6%&(,*%ÿ 80+:*%6, :%&52*+ÿ:/&'23+ÿ!#%

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

! #

#

5

!

/

"

7

/

/

0

0

0

3

&&

&%6ÿ'789

&%:ÿ(;<=>?9ÿ@ABC79D>;E9ÿD=>;ÿB79F;E;ÿ<GCA;ÿD=>CÿAH>=>?Cÿ8CIGCÿ

$0+123/

$%&,0/.

:/&'23/

8#$%0+:*23/

"

! #

$


1.4 Risanje premice skozi dano točko in nedostopno presečišče dveh danih premic

Dana točka T leži zunaj danih premic p in q. Skozi dano točko T narišemo pravokotnico na eno izmed danih premic (tukaj na premico p) in določimo presečišče B te pravokotnice z drugo dano premi-co q.Nato narišemo pravokotnico skozi dano točko T še na drugo dano premico (tukaj na premico q) in določimo presečišče A te pravokotnice s prvo dano premico p.Skozi presečišči A in B narišemo premico u.Pravokotnica na premico u, ki jo narišemo skozi dano točko T, je usmerjena točno v nedosegljivo presečišče premic p in q.

1.4.1 Risanje premice – dana točka je med premicama

1.4.2 Risanje premice – dana točka je zunaj premic

!"#"ÿ$%&'"ÿ! ()*+ÿ+,-)#ÿ."#+7ÿ/0)1+2ÿ" +#ÿ$8ÿ@.%#2ÿ:/*%ÿ,%-.%ÿ" */024+1%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ*/ÿ+*%ÿ2#1+:ÿ:/*2;ÿ$0+123ÿ<,(./'ÿ*/ÿ $0+123%ÿ ">ÿ 2*ÿ :%&%-21%ÿ $0+6+-24-+ÿ # ,+ $0/8%.%,*23+ÿ ÿ #ÿ :0(=%ÿ :/*%ÿ$0+123%ÿ$!A/,%ÿ*/024+1%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ 6.%#2ÿ:/*%ÿ ,%-.%ÿ " 4+ÿ*/ÿ:0(=%ÿ:/*%ÿ$0+123%ÿ<,(./'ÿ*/ÿ$0+123%ÿ$>ÿ 2*ÿ:%&%-21%ÿ$0+6+-24-+ÿ! ,+ $0/8%.%,*23+ÿ6ÿ$08%ÿ:/*%ÿ$0+123%ÿ"!@.%#2ÿ$0+6+-24-2ÿ! 2*ÿ# */024+1%ÿ$0+123%ÿ%!40"-%'%$#+2" #"ÿ/0)1+2%ÿ%9ÿ '+ÿ 5% #"0+:)1%ÿ 6'%,+ÿ."#%ÿ $%&'%ÿ !9ÿ 5) ;61)05)#"ÿ$%&#%ÿ-ÿ#).%6)<(5+-%ÿ/0)6)&+:&)ÿ/0)1+2ÿ" +#ÿ$8

BCD

BCD

BCD

BCD

BCD

BCD

&6

&%Jÿ(;<=>?9ÿB79F;E9ÿ<GCA;ÿD=>Cÿ8CIGCÿ;>ÿ>9DC<8CB>CÿB79<9I;KI9ÿD@9LD=>;LÿB79F;E

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿÿ

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

;

"

#

!

=

; 1

/

&%J%6ÿ(;<=>?9ÿB79F;E9ÿMÿD=>=ÿ8CIG=ÿ?9ÿ;A@9>ÿB79F;E

"

!

# =

1

&%J%&ÿ(;<=>?9ÿB79F;E9ÿMÿD=>=ÿ8CIG=ÿ?9ÿF9DÿB79F;E=F=

/

!"#"ÿ$%&'"ÿ! ()*+ÿ+,-)#ÿ."#+7ÿ/0)1+2ÿ" +#ÿ$8ÿ@.%#2ÿ:/*%ÿ,%-.%ÿ" */024+1%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ*/ÿ+*%ÿ2#1+:ÿ:/*2;ÿ$0+123ÿ<,(./'ÿ*/ÿ $0+123%ÿ ">ÿ 2*ÿ :%&%-21%ÿ $0+6+-24-+ÿ # ,+ $0/8%.%,*23+ÿ ÿ #ÿ :0(=%ÿ :/*%ÿ$0+123%ÿ$!A/,%ÿ*/024+1%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ 6.%#2ÿ:/*%ÿ ,%-.%ÿ " 4+ÿ*/ÿ:0(=%ÿ:/*%ÿ$0+123%ÿ<,(./'ÿ*/ÿ$0+123%ÿ$>ÿ 2*ÿ:%&%-21%ÿ$0+6+-24-+ÿ! ,+ $0/8%.%,*23+ÿ6ÿ$08%ÿ:/*%ÿ$0+123%ÿ"!@.%#2ÿ$0+6+-24-2ÿ! 2*ÿ# */024+1%ÿ$0+123%ÿ%!40"-%'%$#+2" #"ÿ/0)1+2%ÿ%9ÿ '+ÿ 5% #"0+:)1%ÿ 6'%,+ÿ."#%ÿ $%&'%ÿ !9ÿ 5) ;61)05)#"ÿ$%&#%ÿ-ÿ#).%6)<(5+-%ÿ/0)6)&+:&)ÿ/0)1+2ÿ" +#ÿ$8

BCD

BCD

BCD

BCD

BCD

BCD

&6

&%Jÿ(;<=>?9ÿB79F;E9ÿ<GCA;ÿD=>Cÿ8CIGCÿ;>ÿ>9DC<8CB>CÿB79<9I;KI9ÿD@9LD=>;LÿB79F;E

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿÿ

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

;

"

#

!

=

; 1

/

&%J%6ÿ(;<=>?9ÿB79F;E9ÿMÿD=>=ÿ8CIG=ÿ?9ÿ;A@9>ÿB79F;E

"

!

# =

1

&%J%&ÿ(;<=>?9ÿB79F;E9ÿMÿD=>=ÿ8CIG=ÿ?9ÿF9DÿB79F;E=F=

/

13

1.5.1 Simetrala daljice – 1. način

Dana je daljica a s krajiščema A in B. Iz krajišč A in B daljice narišemo krožna loka z istim polmerom r, ki je večji od polovice dolžine daljice AB, in določimo njuni presečišči C in D. Premica skozi točki C in D je simetrala daljice a. Simetra-la razpolavlja daljico AB v točki E in oklepa z njo pravi kot.

1.5.2 Simetrala daljice – 2. način

Dana je daljica a s krajiščema A in B. Iz krajišč A in B daljice narišemo krožna loka s polmerom r1, ki je večji od polovice dolžine daljice AB, in določimo njuno presečišče C. Nato narišemo še krožna loka s polmerom r2, ki je večji od r1, in določimo njuno presečišče D. Premica skozi točki C in D je simetrala daljice a. Simetrala razpolavlja daljico AB v točki E in oklepa z njo pravi kot.

1 ČRTE IN KOTI

!"#"ÿ5)ÿ."(5+2"ÿ& 6ÿ'0"5+:&)1"ÿ' +#ÿ(!ÿ"#ÿ.0/'24-ÿ! 2*ÿ# :/&'23+ÿ*/024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ 6ÿ $%&1+0%1ÿ #37ÿ .2ÿ '+ÿ 8+-'2ÿ %:ÿ $%&%823+ÿ :%&52*+ÿ :/&'23+ÿ !# 2*ÿ :%&%-21%ÿ*'(*%ÿ$0+6+-24-+ÿ$!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ4+ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ #>7ÿ.2ÿ'+ÿ8+-'2ÿ%:ÿ#3 2*ÿ :%&%-21%ÿ *'(*%ÿ $0+6+-24-+ÿ N!ÿ 90+123/ÿ 6.%#2ÿ ,%-.2ÿ $ 2*ÿ N '+ÿ 621+,0/&/ÿ:/&'23+ÿ&!ÿ@21+,0/&/ÿ0/#$%&/8&'/ÿ:/&'23%ÿ!# 8ÿ,%-.2ÿ) 2*ÿ%.&+$/ÿ#ÿ*'%ÿ$0/82 .%,!

!"#"ÿ5)ÿ."(5+2"ÿ& 6ÿ'0"5+:&)1"ÿ' +#ÿ(!ÿ"#ÿ.0/'24-ÿ! 2*ÿ# :/&'23+ÿ*/024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ#ÿ26,21ÿ$%&1+0%1ÿ #7ÿ.2ÿ'+ÿ8+-'2ÿ%:ÿ$%&%823+ÿ:%&52*+ÿ:/&'23+ÿ!# 2*ÿ:%&%-21%ÿ*'(*2ÿ $0+6+-24-2ÿ $ 2*ÿ N!ÿ 90+123/ÿ 6.%#2ÿ ,%-.2ÿ $ 2*ÿ N '+ÿ 621+,0/&/ÿ :/&'23+ÿ &!ÿ@21+,0/&/ÿ0/#$%&/8&'/ÿ:/&'23%ÿ!# 8ÿ,%-.2ÿ) 2*ÿ%.&+$/ÿ#ÿ*'%ÿ$0/82ÿ.%,!

EFG EFG

EFG EFG

BCD

BCD

>

3

#!

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

#!

0

0

0 0

/FG

N

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

&%O%6ÿ.;F987=P=ÿD=P?;E9ÿMÿ6%ÿ>=I;>

/FG

/FG /FG)

N

$

&:

&%O%&ÿ.;F987=P=ÿD=P?;E9ÿMÿ&%ÿ>=I;>

$

)

621+,0/&/

621+,0/&/

!"#"ÿ5)ÿ."(5+2"ÿ& 6ÿ'0"5+:&)1"ÿ' +#ÿ(!ÿ"#ÿ.0/'24-ÿ! 2*ÿ# :/&'23+ÿ*/024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ 6ÿ $%&1+0%1ÿ #37ÿ .2ÿ '+ÿ 8+-'2ÿ %:ÿ $%&%823+ÿ :%&52*+ÿ :/&'23+ÿ !# 2*ÿ :%&%-21%ÿ*'(*%ÿ$0+6+-24-+ÿ$!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ4+ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ #>7ÿ.2ÿ'+ÿ8+-'2ÿ%:ÿ#3 2*ÿ :%&%-21%ÿ *'(*%ÿ $0+6+-24-+ÿ N!ÿ 90+123/ÿ 6.%#2ÿ ,%-.2ÿ $ 2*ÿ N '+ÿ 621+,0/&/ÿ:/&'23+ÿ&!ÿ@21+,0/&/ÿ0/#$%&/8&'/ÿ:/&'23%ÿ!# 8ÿ,%-.2ÿ) 2*ÿ%.&+$/ÿ#ÿ*'%ÿ$0/82 .%,!

!"#"ÿ5)ÿ."(5+2"ÿ& 6ÿ'0"5+:&)1"ÿ' +#ÿ(!ÿ"#ÿ.0/'24-ÿ! 2*ÿ# :/&'23+ÿ*/024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ#ÿ26,21ÿ$%&1+0%1ÿ #7ÿ.2ÿ'+ÿ8+-'2ÿ%:ÿ$%&%823+ÿ:%&52*+ÿ:/&'23+ÿ!# 2*ÿ:%&%-21%ÿ*'(*2ÿ $0+6+-24-2ÿ $ 2*ÿ N!ÿ 90+123/ÿ 6.%#2ÿ ,%-.2ÿ $ 2*ÿ N '+ÿ 621+,0/&/ÿ :/&'23+ÿ &!ÿ@21+,0/&/ÿ0/#$%&/8&'/ÿ:/&'23%ÿ!# 8ÿ,%-.2ÿ) 2*ÿ%.&+$/ÿ#ÿ*'%ÿ$0/82ÿ.%,!

EFG EFG

EFG EFG

BCD

BCD

>

3

#!

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

#!

0

0

0 0

/FG

N

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

&%O%6ÿ.;F987=P=ÿD=P?;E9ÿMÿ6%ÿ>=I;>

/FG

/FG /FG)

N

$

&:

&%O%&ÿ.;F987=P=ÿD=P?;E9ÿMÿ&%ÿ>=I;>

$

)

621+,0/&/

621+,0/&/


1.6 Delitev daljice na 2, 4, 8, 16 … enakih delov

Dana je daljica AB. Narišemo simetralo daljice AB, da dobimo točko M1, ki raz-polavlja daljico AB. Nato narišemo simetrali daljic AM1 in M1B, da dobimo točki M2 in M3. Tako razdelimo daljico AB na 4 enake dele.Če postopek ponavljamo, razdelimo daljico AB na 8, 16 … enakih delov.

1.7 Delitev daljice na n enakih delov

Dana je daljica AB. V enem izmed krajišč daljice AB (npr. v krajišču A) nariše-mo pomožni poltrak v poljubni smeri. Na poltrak s šestilom nanesemo od iz-branega krajišča A toliko delov enake dolžine, na kolikor delov želimo razdeliti daljico AB (npr. 5 delov). Zadnjo delilno točko na pomožnem poltraku (točko 5) zvežemo s še prostim krajiščem B daljice AB, da dobimo zveznico točk 5 in B. Iz ostalih delišč na pomožnem poltraku (iz točk 4, 3, 2 in 1) narišemo pomožne vzporednice zveznici točk 5 in B. Vzporednice sekajo daljico AB v točkah B1, B2, B3 in B4 in jo delijo na zahtevano število enakih delov (tukaj je daljica AB razde-ljena na 5 enakih delov).

!"#"ÿ 5)ÿ ."(5+2"ÿ '(!ÿ Hÿ +*+1 2#1+:ÿ .0/'24-ÿ :/&'23+ÿ !# <*$0!ÿ 8ÿ .0/'24-(ÿ !>ÿ*/024+1%ÿ $%1%5*2ÿ $%&,0/.ÿ 8ÿ $%&'()*2ÿ 61+02!ÿ A/ÿ $%&,0/.ÿ */*+6+1%ÿ %:ÿ2#)0/*+=/ÿ .0/'24-/ÿ! 6ÿ 4+6,2&%1 ,%&2.%ÿ :+&%8ÿ +*/.+ÿ :%&52*+7ÿ */ÿ .%&2.%0ÿ :+&%8ÿ5+&21%ÿ0/#:+&2,2ÿ:/&'23%ÿ!# <*$0!ÿIÿ:+&%8>!ÿJ/:*'%ÿ:+&2&*%ÿ,%-.%ÿ*/ÿ$%1%5*+1ÿ$%&,0/.(ÿ <,%-.%ÿO>ÿ #8+5+1%ÿ 6ÿ 4+ÿ $0%6,21 .0/'24-+1ÿ# :/&'23+ÿ!#7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ#8+#*23%ÿ,%-.ÿO 2*ÿ#!ÿ "#ÿ%6,/&2;ÿ:+&24-ÿ*/ÿ$%1%5*+1ÿ$%&,0/.(ÿ< 2#ÿ,%-.ÿJ7ÿ:7ÿ6 2*ÿ&>ÿ */024+1%ÿ$%1%5*+ÿ 8#$%0+:*23+ÿ #8+#*232ÿ ,%-.ÿO 2*ÿ#!ÿ H#$%0+:*23+ÿ 6+./'%ÿ:/&'23%ÿ!# 8ÿ ,%-./; #E7 #G7ÿ #K 2*ÿ #L 2*ÿ '%ÿ :+&2'%ÿ */ÿ #/;,+8/*%ÿ 4,+82&%ÿ +*/.2;ÿ:+&%8 <,(./'ÿ'+ÿ:/&'23/ÿ!# 0/#:+&'+*/ÿ*/ÿIÿ+*/.2;ÿ:+&%8>!

!"#"ÿ 5)ÿ ."(5+2"ÿ'(!ÿ A/024+1%ÿ 621+,0/&%ÿ:/&'23+ÿ!#7ÿ :/ÿ:%)21%ÿ ,%-.%ÿ2E7ÿ .2ÿ0/#$%&/8&'/ÿ:/&'23%ÿ!#!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ621+,0/&2ÿ:/&'23ÿ!2E 2*ÿ2E#7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ,%-.2ÿ2G 2*ÿ2K!ÿM/.%ÿ0/#:+&21% :/&'23%ÿ!# */ÿLÿ+*/.+ÿ:+&+!N+ÿ$%6,%$+.ÿ$%*/8&'/1%7ÿ0/#:+&21%ÿ:/&'23%ÿ!# */ÿO7ÿEP7ÿQÿ+*/.2;ÿ:+&%8!

ÿ! #ER#E #GR#G #KR#K #LR#L #

EFL EFL EFL EFL

EFI EFI EFI EFI EFI

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿÿ &J

! #

#!

)ÿ***

"

"

"

"

"

&%QÿN9P;89@ÿD=P?;E9ÿ>=ÿ6RÿJRÿSRÿ&QRÿ%%%ÿ9>=G;LÿD9PC@

&%TÿN9P;89@ÿD=P?;E9ÿ>=ÿÿÿÿÿÿ9>=G;LÿD9PC@

22 2

## # #KE G L

KEG

$%&'()*%ÿ4,+82&%ÿ:+&%8ÿ+*/.+ÿ:%&52*+ÿÿ

?ÿÿ"<ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ>ÿÿ*/ÿ$%1%5*+1ÿ$%&,0/.(

)

ORÿ%%%

&

6

:

J

)

"

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

ÿ( I-?I- I<?I< I'?I' I%?I% I

-@& -@& -@& -@& -@&

!ÿÿÿ"ÿ#$

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿÿ 1J

( I

!ÿ"""

#

#

#

#

#

14KÿL:<5>:GÿF7<95D:ÿ87ÿÿÿÿÿÿ:87@5AÿF:<BG

II I I'- < %

67)2AB17ÿC;34*)7ÿ93)74ÿ31,+3ÿ97)D*13ÿÿ

1

M

N

J

!

#

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

!

Oÿ444

1,ÿ67E7D13

Eÿ67);8,+A

14PÿL:<5>:GÿF7<95D:ÿ87ÿMQÿJQÿRQÿ1Pÿ444ÿ:87@5AÿF:<BG

15

1.8.1 Delitev daljice v razmerju m : n – 1. način

Dano daljico AB moramo razdeliti v razmerju m : n = 2 : 3.

V enem izmed krajišč daljice AB (npr. v krajišču A) narišemo pomožni poltrak v poljubni smeri. Na poltrak s šestilom nanesemo od izbranega krajišča A toliko delov enake dolžine, kot znaša vsota števil obeh vrednosti iz danega razmerja (m + n = 2 + 3 = 5). Zadnjo delilno točko na pomožnem poltraku (točko 5) zve-žemo s še prostim krajiščem B daljice AB, da dobimo zveznico točk 5 in B. Po-možna vzporednica zveznici točk 5 in B iz točke 2 na pomožnem poltraku seka daljico AB v točki C in jo razdeli v razmerju AC : CB = 2 : 3.

Na enak način razdelimo daljico v razmerju, izraženem v odstotkih (npr. daljico AB razdelimo v razmerju 40 % : 60 %), pri čemer izberemo za odstotek primerno, velikosti risbe prilagojeno merilo.

1 ČRTE IN KOTI

<F%"""

'F$"""

<@& '@&

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-% 1O

I(

%%

%

%%

0

G5B8,1* 07ÿ93)*ÿ31,+3ÿ97)D*13

M

O

N

J

1

%&

14R41ÿL:<5>:GÿF7<95D:ÿGÿF78:=ÿ?7H=:?9Cÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ14ÿ87E58'ÿ(ÿ)ÿ*

H%

I<ÿJÿHÿKÿI'ÿJÿ

%


1.8.2 Delitev daljice v razmerju m : n – 2. način

Dano daljico AB moramo razdeliti v razmerju m : n = 2 : 3.

Iz krajišč daljice AB narišemo nasprotno usmerjena in vzporedna poltraka. V skladu z danim razmerjem nanesemo od krajišča A na poltrak u dva dela ena-ke dolžine, od krajišča B pa nanesemo na poltrak v tri prav take dele. Zveznica točke 2 s točko 3 na obeh poltrakih seka daljico AB v točki C in jo deli v razmer-ju AC : CB = 2 : 3.

Na enak način razdelimo daljico v razmerju, izraženem v odstotkih (npr. daljico AB razdelimo v razmerju 40 % : 60 %), pri čemer izberemo za odstotek primerno, velikosti risbe prilagojeno merilo.

!"#%ÿ."(5+2%ÿ'(1%0"1%ÿ0",.)(+$+ÿ-ÿ0",1)05;ÿ1ÿ@ÿ#ÿAÿ>ÿ@ÿB8

"# .0/'24-ÿ:/&'23+ÿ!# */024+1%ÿ*/6$0%,*% (61+0'+*/ÿ 2*ÿ 8#$%0+:*/ÿ$%&,0/./!ÿHÿ6.&/:(ÿ #ÿ :/*21 0/#1+0'+1 */*+6+1%ÿ %:ÿ .0/'24-/ÿ! */ÿ $%&,0/.ÿ % :8/ÿ :+&/ÿ+*/.+ÿ :%&52*+7ÿ %: .0/'24-/ÿ # $/ÿ */*+6+1%ÿ */ÿ $%&,0/.ÿ / ,02ÿ $0/8ÿ ,/.+ÿ :+&+!ÿJ8+#*23/ÿ ,%-.+ÿ, 6ÿ ,%-.%ÿ0 */ÿ%)+;ÿ$%&,0/.2;ÿ 6+./ÿ:/&'23%ÿ!# 8ÿ,%-.2ÿ$ 2*ÿ '%ÿ:+&2ÿ8ÿ0/#1+0'(ÿ!$ÿTÿ$#ÿRÿGÿTÿK!

A/ÿ+*/.ÿ */-2*ÿ 0/#:+&21%ÿ:/&'23+ÿ 8ÿ 0/#1+0'(7ÿ 2#0/5+*+1 8ÿUÿ <*$0!ÿ :/&'23%ÿ!#0/#:+&21%ÿ8ÿ 0/#1+0'(ÿLCUÿ TÿPCU>7ÿ$02ÿ-+1+0ÿ 2#)+0+1%ÿ#/ÿUÿ$021+0*%7ÿ8+&2.%6,2ÿ026)+ÿ$02&/=%'+*%ÿ1+02&%!

E7PCCC

EFI EFI EFI EFI EFI

GFI KFI

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

&Q-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

))

))

)

&%S%6ÿN9P;89@ÿD=P?;E9ÿ@ÿD=>9Fÿ7=AF97?Hÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ6%ÿ>=I;>

#!

D

D

&

;

-

$

"#)0/*2 6%ÿ:+&2ÿ+*/.+ÿ:%&52*+

6

:

6)ÿÿ

)ÿÿ

<Gÿÿÿÿÿÿÿÿÿ>ÿÿ

<Kÿÿÿÿÿÿÿÿÿ>ÿÿ

&

)

-ÿ.ÿ)

.

17

1.9 Zlati rez

Zlati rez je geometrijska delitev daljice na dva dela tako, da je razmerje celot-ne dolžine daljice proti daljšemu delu daljice enako razmerju med daljšim in krajšim delom te daljice.

Predmeti, ki so proporcionirani v zlatem rezu, imajo lepe in harmonične oblike. To so izkoristili mnogi arhitekti, slikarji in drugi umetniki, ki so uporabili zlati rez za proporcioniranje arhitektonskih, slikarskih in drugih umetniških stvaritev.

1.9.1 Delitev daljice v zlatem rezu

Dana je daljica AB. V krajišču B narišemo pravokotnico in nanjo nanesemo pol-ovico dolžine daljice AB, da dobimo presečišče C. Točki A in C zvežemo z dalji-co AC. Iz presečišča C narišemo krožni lok skozi točko B, da dobimo presečišče D na daljici AC. Dolžino daljice AD prenesemo na daljico AB, da dobimo točko T, ki deli daljico AB v zlatem rezu.

1.9.2 Podaljšanje daljice v zlatem rezu

Dana je daljica EF. Narišemo simetralo daljice EF, da dobimo razpolovišče N. V točki F narišemo pravokotnico in nanjo nanesemo dolžino daljice EF. Iz raz-polovišča N narišemo krožni lok skozi točko M do premice, ki je nosilka daljice EF, da dobimo presečišče R. Tako dobimo daljico ER, ki jo točka F deli v zlatem rezu.

1 ČRTE IN KOTI

ÿ!" !ÿ!# "ÿ!# !ÿ#""ÿΦ !ÿ#

ÿΦ "ÿ$#ÿ%ÿ√&'()

ÿΦ ≈ #*+#,ÿ-

!"#$%ÿ &'(ÿ )'ÿ *'+,'$&%)-.#ÿ /'"%$'0ÿ /#")%1'ÿ 2# /0#ÿ /'"#ÿ $#.+3 /#ÿ )'ÿ &#(,'&)'ÿ1'"+$2'ÿ /+"4%2'ÿ /#")%1'ÿ 5&+$%ÿ /#")6',7ÿ /'"7ÿ /#")%1'ÿ '2#.+ÿ &#(,'&)7ÿ ,'/ÿ/#")6%,ÿ%2ÿ.&#)6%,ÿ/'"+,ÿ$'ÿ/#")%1'8

9&'/,'$%3ÿ.%ÿ-+ÿ5&+5+&1%+2%&#2% 0ÿ("#$', &'(73ÿ%,#)+ "'5'ÿ%2ÿ:#&,+2%;2'ÿ+<"%.'8ÿ=+ÿ-+ÿ%(.+&%-$%"%ÿ,2+*%ÿ#&:%$'.$%3ÿ-"%.#&)%ÿ%2ÿ/&7*%ÿ7,'$2%.%3ÿ.%ÿ-+ 75+&#<%"%ÿ("#$%ÿ&'(ÿ(#ÿ5&+5+&1%+2%&#2)'ÿ#&:%$'.$+2-.%:3 -"%.#&-.%:ÿ%2ÿ/&7*%:ÿ7,'$2%6.%:ÿ-$0#&%$'08

ÿ $% ! $& >ÿ$& ! &%"ÿΦ !ÿ#

ÿΦ "ÿ$#ÿ%ÿ√&'()ÿ

ÿΦ ≈ #.+#,ÿ-

?#2#ÿ )'ÿ /#")%1# !".ÿ /ÿ 01234567ÿ% 821459:;ÿ <12=;0;>84?;ÿ 48ÿ 8283;ÿ 8289@9:;ÿ<;A;=4?;ÿB;AC489ÿB2A34?9ÿ$%*ÿB2ÿB;D4:;ÿ<19@964569ÿ'.ÿE;604ÿ$ 48ÿ' F=9C9:;ÿFÿB2A34?;ÿ $'.ÿ GFÿ <19@964562ÿ ' 821459:;ÿ 01;C84ÿ A;0ÿ @0;F4ÿ >;60;ÿ %*ÿ B2ÿ B;D4:;ÿ<19@964569ÿ( 82ÿ B2A34?4ÿ$'.ÿ H;AC48;ÿ B2A34?9ÿ$( <1989@9:;ÿ 82ÿ B2A34?;ÿ$%*ÿ B2ÿB;D4:;ÿ>;60;ÿ&*ÿ04ÿB9A4ÿB2A34?;ÿ$% =ÿ("#$',ÿ&'(7.

?#2#ÿ)'ÿ/#")%1#ÿ#$.ÿI21459:;ÿ@4:9>12A;ÿB2A34?9ÿ!#*ÿB2ÿB;D4:;ÿ12F<;A;=4569ÿ).ÿ/ÿ >;604ÿ # 821459:;ÿ <12=;0;>84?;ÿ 48ÿ 8283;ÿ 8289@9:;ÿ B;AC48;ÿ B2A34?9ÿ !#.ÿ GFÿ12F<;A;=4562ÿ ) 821459:;ÿ 01;C84ÿ A;0ÿ @0;F4ÿ >;60;ÿ * B; <19:4?9*ÿ 04ÿ 39ÿ 8;@4A02ÿB2A34?9ÿ!#*ÿB2ÿB;D4:;ÿ<19@964569ÿ".ÿE20;ÿB;D4:;ÿB2A34?;ÿ!"*ÿ04ÿ3;ÿ>;602ÿ# B9A4ÿ=ÿ("#$',ÿ&'(7.

JKL

JKL

+ÿÿ,"&!ÿ-)ÿ./&-

+0102ÿ34567896:8;ÿ5678<=;ÿ>ÿ?76@;AÿB;?C

+010+ÿ(;7<@;>ÿ5678<=;ÿ>ÿ?76@;AÿB;?C

$ %

$ %

$%D2

&

/E)/F)!ÿ3G$)-*!&"-HE.!ÿ./)E&"I.'-H!

(

&ÿ>

'

$%ÿÿD2

+01ÿJ76@<ÿB;?

+K

) "

*

! #

! #

!#!#

&ÿ>&ÿ>

)*

ÿ!" !ÿ!# "ÿ!# !ÿ#""ÿΦ !ÿ#

ÿΦ "ÿ$#ÿ%ÿ√&'()

ÿΦ ≈ #*+#,ÿ-

!"#$%ÿ &'(ÿ )'ÿ *'+,'$&%)-.#ÿ /'"%$'0ÿ /#")%1'ÿ 2# /0#ÿ /'"#ÿ $#.+3 /#ÿ )'ÿ &#(,'&)'ÿ1'"+$2'ÿ /+"4%2'ÿ /#")%1'ÿ 5&+$%ÿ /#")6',7ÿ /'"7ÿ /#")%1'ÿ '2#.+ÿ &#(,'&)7ÿ ,'/ÿ/#")6%,ÿ%2ÿ.&#)6%,ÿ/'"+,ÿ$'ÿ/#")%1'8

9&'/,'$%3ÿ.%ÿ-+ÿ5&+5+&1%+2%&#2% 0ÿ("#$', &'(73ÿ%,#)+ "'5'ÿ%2ÿ:#&,+2%;2'ÿ+<"%.'8ÿ=+ÿ-+ÿ%(.+&%-$%"%ÿ,2+*%ÿ#&:%$'.$%3ÿ-"%.#&)%ÿ%2ÿ/&7*%ÿ7,'$2%.%3ÿ.%ÿ-+ 75+&#<%"%ÿ("#$%ÿ&'(ÿ(#ÿ5&+5+&1%+2%&#2)'ÿ#&:%$'.$+2-.%:3 -"%.#&-.%:ÿ%2ÿ/&7*%:ÿ7,'$2%6.%:ÿ-$0#&%$'08

ÿ $% ! $& >ÿ$& ! &%"ÿΦ !ÿ#

ÿΦ "ÿ$#ÿ%ÿ√&'()ÿ

ÿΦ ≈ #.+#,ÿ-

?#2#ÿ )'ÿ /#")%1# !".ÿ /ÿ 01234567ÿ% 821459:;ÿ <12=;0;>84?;ÿ 48ÿ 8283;ÿ 8289@9:;ÿ<;A;=4?;ÿB;AC489ÿB2A34?9ÿ$%*ÿB2ÿB;D4:;ÿ<19@964569ÿ'.ÿE;604ÿ$ 48ÿ' F=9C9:;ÿFÿB2A34?;ÿ $'.ÿ GFÿ <19@964562ÿ ' 821459:;ÿ 01;C84ÿ A;0ÿ @0;F4ÿ >;60;ÿ %*ÿ B2ÿ B;D4:;ÿ<19@964569ÿ( 82ÿ B2A34?4ÿ$'.ÿ H;AC48;ÿ B2A34?9ÿ$( <1989@9:;ÿ 82ÿ B2A34?;ÿ$%*ÿ B2ÿB;D4:;ÿ>;60;ÿ&*ÿ04ÿB9A4ÿB2A34?;ÿ$% =ÿ("#$',ÿ&'(7.

?#2#ÿ)'ÿ/#")%1#ÿ#$.ÿI21459:;ÿ@4:9>12A;ÿB2A34?9ÿ!#*ÿB2ÿB;D4:;ÿ12F<;A;=4569ÿ).ÿ/ÿ >;604ÿ # 821459:;ÿ <12=;0;>84?;ÿ 48ÿ 8283;ÿ 8289@9:;ÿ B;AC48;ÿ B2A34?9ÿ !#.ÿ GFÿ12F<;A;=4562ÿ ) 821459:;ÿ 01;C84ÿ A;0ÿ @0;F4ÿ >;60;ÿ * B; <19:4?9*ÿ 04ÿ 39ÿ 8;@4A02ÿB2A34?9ÿ!#*ÿB2ÿB;D4:;ÿ<19@964569ÿ".ÿE20;ÿB;D4:;ÿB2A34?;ÿ!"*ÿ04ÿ3;ÿ>;602ÿ# B9A4ÿ=ÿ("#$',ÿ&'(7.

JKL

JKL

+ÿÿ,"&!ÿ-)ÿ./&-

+0102ÿ34567896:8;ÿ5678<=;ÿ>ÿ?76@;AÿB;?C

+010+ÿ(;7<@;>ÿ5678<=;ÿ>ÿ?76@;AÿB;?C

$ %

$ %

$%D2

&

/E)/F)!ÿ3G$)-*!&"-HE.!ÿ./)E&"I.'-H!

(

&ÿ>

'

$%ÿÿD2

+01ÿJ76@<ÿB;?

+K

) "

*

! #

! #

!#!#

&ÿ>&ÿ>

)*


1.9.3 Zlati trikotnik

Zlati trikotnik je enakokraki trikotnik, v katerem sta dolžini kraka b in osnovnice a v razmerju zlatega reza (slika 1.9.3). Konstrukciji kraka b in osnovnice a sta opi-sani pod točko 1.9.1 in 1.9.2.

V pravilnem petkotniku sta dolžina diagonale in dolžina stranice v razmerju zla-tega reza. Stranica pravilnega petkotnika in njegovi diagonali, ki izhajata iz oglišč stranice, tvorijo zlati trikotnik.

V pravilnem desetkotniku sta dolžina polmera očrtanega kroga in dolžina stra-nice v razmerju zlatega reza. Stranica pravilnega desetkotnika in polmera očr-tanega kroga, ki izhajata iz oglišč stranice, tvorijo zlati trikotnik.

1.9.4 Zlati pravokotnik

V zlatem pravokotniku sta dolžini stranice b in stranice a v razmerju zlatega reza (slika 1.9.4). Po mnenju mnogih strokovnjakov je oblika zlatega pravokotnika »najlepša« med oblikami pravokotnikov. Konstrukciji stranice b in a sta opisani pod točko 1.9.1 in 1.9.2.

Konstrukcija zlatega pravokotnika, če je znan kvadrat ABCD. Razpolovimo stranici AD in BC, da dobimo središči M in N. Krožni lok s središčem v točki M in polmerom MC seka podaljšano stranico AD v točki E, krožni lok s središčem v točki N in polmerom ND pa seka podaljšano stranico BC v točki F. Dolžini stranic AE in AD sta v razmerju zlatega reza. Enako velja za razmerje dol-žin stranic BF in BC (konstrukcija 1.9.2). Ker je dolžina stranice AB enaka dolžina-ma stranic AD in BC, velja pravilo, da sta v zlatem pravokotniku dolžini stranice BF (tukaj stranice b) in stranice AB (tukaj stranice a) v razmerju zlatega reza.

E("$+ÿ $0+'%$#+' '+ÿ +*/.%.0/.2ÿ ,02.%,*2.7ÿ .'+0ÿ 6,/ÿ :%&52*2ÿ .0/./ÿ3 2*ÿ %6*%8*23+ÿ& 8ÿ0/#1+0'(ÿ ,("$)<"ÿ 0)," <6&2./ÿ E!B!K>!ÿ W%*6,0(.32'2ÿ .0/./ÿ 3 2*ÿ %6*%8*23+ÿ & 6,/ÿ%$26/*2ÿ$%:ÿ,%-.%ÿE!B!Eÿ2*ÿE!B!G!

H%#6$0;'2+5"ÿ,("$)<"ÿ/0"-%'%$#+'"9 &)ÿ5)ÿ,#"#ÿ'-".0"$ÿ'(45!ÿX/#$%&%821%ÿ 6,0/*232ÿ !N 2*ÿ #$7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ 60+:24-2ÿ 2 2*ÿ +!ÿ W0%5*2ÿ &%.ÿ 6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ ,%-.2ÿ2 2*ÿ$%&1+0%1ÿ2$ 6+./ÿ$%:/&'4/*%ÿ6,0/*23%ÿ!N 8ÿ,%-.2ÿ)7ÿ.0%5*2ÿ &%.ÿ6ÿ60+:24-+1 8ÿ,%-.2ÿ+ 2*ÿ$%&1+0%1 +Nÿ$/ÿ6+./ÿ$%:/&'4/*%ÿ6,0/*23%ÿ#$ 8ÿ,%-.2ÿU!ÿV%&52*2ÿ 6,0/*23ÿ!) 2*ÿ!N 6,/ÿ 8ÿ 0/#1+0'(ÿ ,("$)<"ÿ 0),"!ÿ Y*/.%ÿ8+&'/ÿ #/ÿ 0/#1+0'+ÿ:%&52*ÿ 6,0/*23ÿ #U 2*ÿ #$ <.%*6,0(.32'/ÿ E!B!G>!ÿ W+0ÿ '+ÿ :%&52*/ÿ 6,0/*23+ÿ!# +*/./ÿ:%&52*/1/ÿ6,0/*23ÿ!N 2*ÿ#$7ÿ8+&'/ÿ$0/82&%7ÿ:/ÿ6,/ÿ-ÿ,("$)1ÿ/0"-%'%$#+'; :%&52*2ÿ6,0/*23+ÿ #U <,(./'ÿ 6,0/*23+ÿ 3>ÿ 2*ÿ 6,0/*23+ÿ !# <,(./'ÿ 6,0/*23+ÿ &>ÿ 8ÿ 0/#1+0'(ÿ,("$)<"ÿ0),"!

Hÿ ,("$)1 /0"-%'%$#+'; 6,/ÿ:%&52*2ÿ 6,0/*23+ÿ3 2*ÿ 6,0/*23+ÿ& 8ÿ 0/#1+0'(ÿ #&/,+=/ÿ0+#/ÿ <6&2./ÿ E!B!L>!ÿ 9%ÿ 1*+*'(ÿ 1*%=2;ÿ 6,0%.%8*'/.%8ÿ '+ÿ %)&2./ÿ #&/,+=/ÿ$0/8%.%,*2./ÿZZ*/'&+$4/ZZÿ1+:ÿ%)&2./12ÿ$0/8%.%,*2.%8!ÿW%*6,0(.32'2ÿ6,0/*3+ÿ 3 2*ÿ& 6,/ÿ%$26/*2ÿ$%:ÿ,%-.%ÿE!B!Eÿ2*ÿE!B!G!

Iÿ /0"-+(#)1 /)$'%$#+';ÿ 6$"ÿ .%(*+#"ÿ .+"<%#"()ÿ +#ÿ .%(*+#"ÿ 6$0"#+2)ÿ -ÿ 0",1)05;ÿ,("$)<"ÿ0),"8 J$0"#+2"ÿ/0"-+(#)<"ÿ/)$'%$#+'"ÿ+#ÿ#5)<%-+ .+"<%#"(+9ÿ'+ÿ+,7"5"$"ÿ+,ÿ%<(+:&ÿ6$0"#+2)9 $-%0+5%ÿ,("$+ $0+'%$#+'8

Iÿ /0"-+(#)1 .)6)$'%$#+';ÿ 6$"ÿ .%(*+#"ÿ /%(1)0"ÿ %&0$"#)<"ÿ '0%<"ÿ +#ÿ .%(*+#"ÿ6$0"#+2)ÿ-ÿ0",1)05;ÿ,("$)<"ÿ0),"8ÿJ$0"#+2" /0"-+(#)<"ÿ.)6)$'%$#+'"ÿ+#ÿ/%(1)0"ÿ%&0$"#)<"ÿ'0%<"9 '+ +,7"5"$"ÿ+,ÿ%<(+:&ÿ6$0"#+2)9 $-%0+5%ÿ,("$+ $0+'%$#+'8

3 Tÿ& RÿΦ TÿE

ÿΦ Rÿ<EÿSÿ√I>FG

ÿΦ ≈ E7PEOÿQ

F

"

"

"

F

F

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) &S

&%V%:ÿXP=8;ÿ87;GC8>;G

&%V%JÿXP=8;ÿB7=@CGC8>;G

! #

$

E!B!KÿJ&/,2 ,02.%,*2. E!B!LÿJ&/,2 $0/8%.%,*2.

! #

$N

) U

2 +

19

1.10 Formatiranje listov po DIN-u

Za formatiranje listov je dr. Porstmann (Nemčija) izbral obliko pravokotnika, v katerem sta stranici a in b v razmerju 1: √2.

Izhodiščna oblika lista v formatu A je po DIN-u pravokotnik s površino 1 m2, kjer sta dolžini stranic v razmerju 1 : √2.

a : b = 1 : √2 a ⋅ b = 1 m2

dolžina stranice a = 0,841 mdolžina stranice b = 1,189 m

Formati listov po DIN-u

Ti normativi veljajo tudi v naši državi.

FormatRazred

Format Amm

Format Bmm

0 841 x 1189 1000 x 1414 1 594 x 841 707 x 1000 2 420 x 594 500 x 707 3 297 x 420 353 x 500 4 210 x 297 250 x 353 5 148 x 210 176 x 250 6 105 x 148 125 x 176 7 74 x 105 88 x 125 8 52 x 74 62 x 88 9 37 x 52 44 x 6210 26 x 37 31 x 4411 18 x 26 22 x 3112 13 x 18 15 x 22

DIN … »Deutsche Industrie Norm« – nemške norme v industriji

1 ČRTE IN KOTI

ÿ √< ≈ -F%-%ÿL

0ÿ1

#

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

141SÿTB?=7>5?789:ÿ<56>BGÿ;BÿL)#UC

13

L)# &&&&ÿ223,.4567,ÿ8)%.549:,ÿ;<9'22ÿ*ÿ),'=>,ÿ)<9',ÿ/ÿ:)%.549:?:

TB?=7>5ÿ<56>BGÿ;BÿL)#UC#ÿ

<ÿ

#ÿ<ÿ

<Mÿ

N1,=*)170;ÿ;,+7ÿ7B)*+74,13O,ÿ68,47+7;1*+,ÿ23F 9,ÿ07ÿ0;8,1*:3ÿ68,47+7;1*+74F +* 2*Pÿ97B*E7ÿ0ÿ6794,2,123Eÿ,)*ÿ5ÿ8,567),4)2,123Eÿ7017413O,ÿ68,47+7;1*+,F 5763;ÿ4ÿ8,5E382Aÿ-ÿ.ÿ

Q* 178E,;*4*ÿ43)2,27ÿ;A9*ÿ4ÿ1,C*ÿ98D,4*M


1.11.1 Pravokotnica na premico v dani točki na premici – 1. način

Dana je točka T na premici p. Zunaj premice p izberemo poljubno točko S. Narišemo krožnico k skozi točko T in s središčem v točki S, tako da seka dano premico p v točki A. Skozi točki A in S narišemo premer AB, ki seka krožnico k v točki B. Premica, ki jo narišemo skozi točko T in presečišče B, je pravokotna na premico p.


Dana je točka T na premici p. Iz dane točke T na premici p narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r, da dobimo na premici točko A. Na ta lok nanesemo iz točke A krožni lok z istim polmerom r dvakrat zapored, da dobimo točki B in C. Iz točk B in C narišemo krožna loka z istim polmerom r, da dobimo presečišče D. Premica, ki jo narišemo skozi točki T in D, je pravokotna na premico p.

!"#"ÿ 5)ÿ $%&'" ! #"ÿ/0)1+2+ÿ"!ÿ "#8+*ÿ$0+123+ÿ" 2#)+0+1%ÿ$%&'()*%ÿ ,%-.%ÿ.!ÿA/024+1%ÿ.0%5*23%ÿ6 6.%#2ÿ,%-.%ÿ" 2*ÿ6ÿ60+:24-+1 8ÿ,%-.2ÿ.7ÿ,/.%ÿ:/ÿ6+./ÿ:/*%ÿ$0+123%ÿ" 8ÿ,%-.2ÿ!!ÿ@.%#2ÿ,%-.2ÿ! 2*ÿ. */024+1%ÿ$0+1+0ÿ!#7ÿ.2ÿ6+./ÿ.0%5*23%ÿ6 8ÿ,%-.2ÿ#!ÿ90+123/7ÿ.2ÿ'%ÿ*/024+1%ÿ6.%#2ÿ,%-.%ÿ" 2*ÿ$0+6+-24-+ÿ#7ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$0+123%ÿ"!

!"#"ÿ5)ÿ$%&'" ! #"ÿ/0)1+2+ÿ"!ÿ"#ÿ:/*+ÿ,%-.+ÿ" */ÿ$0+1232ÿ" */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&'()*21ÿ$%&1+0%1ÿ#7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ*/ÿ$0+1232ÿ,%-.%ÿ!!ÿA/ÿ,/ÿ&%.ÿ*/*+6+1%ÿ2#ÿ,%-.+ÿ! .0%5*2ÿ&%.ÿ#ÿ26,21 $%&1+0%1ÿ# :8/.0/, #/$%0+:7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ,%-.2ÿ# 2*ÿ$!ÿ "#ÿ ,%-.ÿ # 2*ÿ $ */024+1%ÿ .0%5*/ÿ &%./ÿ #ÿ 26,21ÿ $%&1+0%1ÿ #7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ$0+6+-24-+ N!ÿ 90+123/7ÿ .2ÿ '%ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ ,%-.2ÿ " 2*ÿ N7ÿ '+ÿ $0/8%.%,*/ÿ */ÿ$0+123%ÿ"!

BCD

BCD

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

!

!

"

"

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ

$ #

/

/

'

6Y

&%&&%&ÿ07=@CGC8>;E=ÿ>=ÿB79F;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿ>=ÿB79F;E;ÿMÿ&%ÿ>=I;>

&%&&%6ÿ07=@CGC8>;E=ÿ>=ÿB79F;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿ>=ÿB79F;E;ÿMÿ6%ÿ>=I;>

#

N

.0

!"#"ÿ 5)ÿ $%&'" ! #"ÿ/0)1+2+ÿ"!ÿ "#8+*ÿ$0+123+ÿ" 2#)+0+1%ÿ$%&'()*%ÿ ,%-.%ÿ.!ÿA/024+1%ÿ.0%5*23%ÿ6 6.%#2ÿ,%-.%ÿ" 2*ÿ6ÿ60+:24-+1 8ÿ,%-.2ÿ.7ÿ,/.%ÿ:/ÿ6+./ÿ:/*%ÿ$0+123%ÿ" 8ÿ,%-.2ÿ!!ÿ@.%#2ÿ,%-.2ÿ! 2*ÿ. */024+1%ÿ$0+1+0ÿ!#7ÿ.2ÿ6+./ÿ.0%5*23%ÿ6 8ÿ,%-.2ÿ#!ÿ90+123/7ÿ.2ÿ'%ÿ*/024+1%ÿ6.%#2ÿ,%-.%ÿ" 2*ÿ$0+6+-24-+ÿ#7ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$0+123%ÿ"!

!"#"ÿ5)ÿ$%&'" ! #"ÿ/0)1+2+ÿ"!ÿ"#ÿ:/*+ÿ,%-.+ÿ" */ÿ$0+1232ÿ" */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&'()*21ÿ$%&1+0%1ÿ#7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ*/ÿ$0+1232ÿ,%-.%ÿ!!ÿA/ÿ,/ÿ&%.ÿ*/*+6+1%ÿ2#ÿ,%-.+ÿ! .0%5*2ÿ&%.ÿ#ÿ26,21 $%&1+0%1ÿ# :8/.0/, #/$%0+:7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ,%-.2ÿ# 2*ÿ$!ÿ "#ÿ ,%-.ÿ # 2*ÿ $ */024+1%ÿ .0%5*/ÿ &%./ÿ #ÿ 26,21ÿ $%&1+0%1ÿ #7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ$0+6+-24-+ N!ÿ 90+123/7ÿ .2ÿ '%ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ ,%-.2ÿ " 2*ÿ N7ÿ '+ÿ $0/8%.%,*/ÿ */ÿ$0+123%ÿ"!

BCD

BCD

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

!

!

"

"

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ

$ #

/

/

'

6Y

&%&&%&ÿ07=@CGC8>;E=ÿ>=ÿB79F;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿ>=ÿB79F;E;ÿMÿ&%ÿ>=I;>

&%&&%6ÿ07=@CGC8>;E=ÿ>=ÿB79F;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿ>=ÿB79F;E;ÿMÿ6%ÿ>=I;>

#

N

.0

21


Dana je točka T na premici p. Iz dane točke T na premici p s šestilom narišemo točki A in B, tako da je dolžina daljice AT enaka dolžini daljice TB. Iz točk A in B narišemo krožna loka s polmerom r2, ki je večji od polovice dolžine daljice AB. Oba krožna loka se sekata v točki C.Premica, ki jo narišemo skozi točki T in C, je pravokotna na premico p.

1.12 Pravokotnica na premico skozi dano zunanjo točko

Dana točka T leži zunaj dane premice p. Iz zunanje točke T narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r1, ki je dovolj velik, da seka premico p v dveh točkah (tukaj v točkah A in B). Nato iz točk A in B narišemo krožna loka s polmerom r2, ki je večji od polovice dolžine daljice AB. Krožna loka se sekata v točki C. Premica, ki jo narišemo skozi točki T in C, je pravokotna na premico p.

1 ČRTE IN KOTI

!"#"ÿ5)ÿ$%&'"ÿ! #"ÿ/0)1+2+ÿ"!ÿ"#ÿ:/*+ÿ,%-.+ÿ" */ÿ$0+1232ÿ" */024+1%ÿ6ÿ4+6,2&%1ÿ,%-.2ÿ! 2*ÿ#7ÿ,/.%ÿ:/ÿ'+ÿ:%&52*/ÿ:/&'23+ÿ!"ÿ+*/./ÿ:%&52*2ÿ:/&'23+ÿ"#!ÿ"#ÿ,%-.ÿ! 2*ÿÿ# */024+1%ÿ.0%5*/ÿ &%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ #>7ÿ.2ÿ '+ÿ8+-'2ÿ%:ÿ$%&%823+ÿ:%&52*+ÿ:/&'23+ÿ!#!ÿ`)/ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ,%-.2ÿ$!90+123/7ÿ.2ÿ'%ÿ*/024+1%ÿ6.%#2ÿ,%-.2ÿ" 2*ÿ$7ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$0+123%ÿ"!

!"#"ÿ$%&'" ! ()*+ÿ+,-)#ÿ."#)ÿ/0)1+2)ÿ"!ÿ"#ÿ#(*/*'+ÿ,%-.+ÿ" */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&'()*21ÿ$%&1+0%1ÿ #37ÿ.2ÿ '+ÿ:%8%&'ÿ8+&2.7ÿ:/ÿ6+./ÿ$0+123%ÿ" 8ÿ.-)7 ,%-./;ÿ<,(./'ÿ8ÿ,%-./;ÿ! 2*ÿ#>!ÿA/,%ÿ*/024+1% 2#ÿ,%-.ÿ! 2*ÿ# .0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ#>7ÿ.2ÿ'+ÿ8+-'2ÿ%: $%&%823+ÿ:%&52*+ÿ:/&'23+ÿ!#!ÿW0%5*/ÿ&%./ÿ6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ,%-.2ÿ$!ÿ90+123/7ÿ.2ÿ'%ÿ*/024+1%ÿ6.%#2ÿ,%-.2ÿ" 2*ÿ$7ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$0+123%ÿ"!

!" !"

BCD

BCD

"

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

0>

03

/

!

! #

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

03 03/

0 0330 >

0>

! #

6&

&%&6ÿ07=@CGC8>;E=ÿ>=ÿB79F;ECÿ<GCA;ÿD=>CÿAH>=>?Cÿ8CIGC

&%&&%:ÿÿ07=@CGC8>;E=ÿ>=ÿB79F;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿ>=ÿB79F;E;ÿMÿ:%ÿ>=I;>

$

$

!"#

!ÿÿ"#$%ÿ&'ÿ()$&

!"

#* +

),')-'%ÿ./*'&0%$#&1,(%ÿ()',$#2(3&1%

!$

4!

!5!4ÿ.6789:9;<=>7ÿ<7ÿ?6@A=>9ÿB:9C=ÿD7<9ÿCE<7<F9ÿ;9G:9

!5!!5Hÿÿ.6789:9;<=>7ÿ<7ÿ?6@A=>9ÿ8ÿD7<=ÿ;9G:=ÿ<7ÿ?6@A=>=ÿIÿH5ÿ<7G=<

3

$


1.13 Kot

Kot je množica točk v ravnini, ki je omejena z dvema poltrakoma s skupnim iz-hodiščem. Skupno točko imenujemo vrh kota, poltraka pa sta njegova kraka.

V ........................................... vrh kotah, k ....................................... kraka kotaα, β ....................................... označba kota z grško črkokot α, kot AVB, kot (h, k) ..... opis kota

1.14 Načrtovanje kota 60°

Narišemo poltrak z vrhom v točki V, ki je že vrh kota. Iz vrha V narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r, da dobimo na poltraku presečišče A. Iz točke A narišemo krožni lok s polmerom r, ki je enak dolžini daljice VA in seka prvi krožni lok v točki B. Kot AVB meri 60°. Trikotnik AVB je enakostraničen, zato so njegovi notranji koti enaki in merijo po 60°.

%&'()*+,ÿ-,./'&0ÿ1ÿ2'3,+ 2ÿ/,40(ÿ!5ÿ0(ÿ6*ÿ7*ÿ2'3ÿ0,/&8ÿ91ÿ2'3&ÿ! :&'()*+,ÿ0',7:(ÿ.,0ÿ;ÿ-,.6<=:(+ -,.+*',+ÿ!5ÿ>&ÿ>,=(+,ÿ:&ÿ-,./'&0<ÿ-'*;*4()4*ÿ"8ÿ 91ÿ/,40*ÿ":&'()*+,ÿ0',7:(ÿ.,0ÿ;ÿ-,.+*',+ÿ!5ÿ0(ÿ6*ÿ*:&0ÿ>,.7(:(ÿ>&.6(?*ÿ!"ÿ(:ÿ;*0&ÿ-'2(ÿ0',7:(ÿ.,0ÿ2ÿ/,40(ÿ#8ÿ@,/ÿ"!# +*'(ÿABC8ÿD'(0,/:(0ÿ"!# 6*ÿ*:&0,;/'&:(4*:5ÿ1&/,ÿ;,ÿ:6*E,2(ÿ:,/'&:6(ÿ0,/(ÿ*:&0(ÿ(:ÿ+*'(6,ÿ-,ÿABC8

@,/ 6*ÿ+:,7(?&ÿ /,40ÿ2ÿ '&2:(:(5ÿ 0(ÿ 6*ÿ,+*6*:&ÿ 1ÿ>2*+&ÿ-,./'&0,+&ÿ;ÿ ;0<-:(+ÿ(13,>()4*+8ÿ F0<-:,ÿ /,40,ÿ (+*:<6*+,ÿ 2'3ÿ 0,/&5ÿ -,./'&0&ÿ -&ÿ ;/&ÿ :6*E,2&ÿ0'&0&8

! GGGGGGGGGGGG8ÿÿÿ 2'3ÿ0,/&"5ÿ# GGGGGGGGGGG8ÿ ÿ 0'&0&ÿ0,/&!5 " GGGGGGGGG8ÿÿÿ ,1:&4=&ÿ0,/&ÿ1ÿE')0,ÿ4'0,∠ "!#5ÿÿÿ∠ H"!#IÿÿGGGGG88ÿÿ ,-(;ÿ0,/&0,/ÿ!5ÿÿ0,/ÿ"!#5ÿÿ0,/ H"!#IÿG8ÿÿÿ ,-(;ÿ0,/&ÿ

"

ABC

!

!

$%$&ÿ'()

$%$*ÿ+,-.)(/,012ÿ3(),ÿ456ÿ

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

#

"

CC

"

"

!

#

$

#

"

$ÿÿD?>9ÿ<+ÿ'7><

%&'()*+,ÿ-,./'&0ÿ1ÿ2'3,+ 2ÿ/,40(ÿ!5ÿ0(ÿ6*ÿ7*ÿ2'3ÿ0,/&8ÿ91ÿ2'3&ÿ! :&'()*+,ÿ0',7:(ÿ.,0ÿ;ÿ-,.6<=:(+ -,.+*',+ÿ!5ÿ>&ÿ>,=(+,ÿ:&ÿ-,./'&0<ÿ-'*;*4()4*ÿ"8ÿ 91ÿ/,40*ÿ":&'()*+,ÿ0',7:(ÿ.,0ÿ;ÿ-,.+*',+ÿ!5ÿ0(ÿ6*ÿ*:&0ÿ>,.7(:(ÿ>&.6(?*ÿ!"ÿ(:ÿ;*0&ÿ-'2(ÿ0',7:(ÿ.,0ÿ2ÿ/,40(ÿ#8ÿ@,/ÿ"!# +*'(ÿABC8ÿD'(0,/:(0ÿ"!# 6*ÿ*:&0,;/'&:(4*:5ÿ1&/,ÿ;,ÿ:6*E,2(ÿ:,/'&:6(ÿ0,/(ÿ*:&0(ÿ(:ÿ+*'(6,ÿ-,ÿABC8

@,/ 6*ÿ+:,7(?&ÿ /,40ÿ2ÿ '&2:(:(5ÿ 0(ÿ 6*ÿ,+*6*:&ÿ 1ÿ>2*+&ÿ-,./'&0,+&ÿ;ÿ ;0<-:(+ÿ(13,>()4*+8ÿ F0<-:,ÿ /,40,ÿ (+*:<6*+,ÿ 2'3ÿ 0,/&5ÿ -,./'&0&ÿ -&ÿ ;/&ÿ :6*E,2&ÿ0'&0&8

! GGGGGGGGGGGG8ÿÿÿ 2'3ÿ0,/&"5ÿ# GGGGGGGGGGG8ÿ ÿ 0'&0&ÿ0,/&!5 " GGGGGGGGG8ÿÿÿ ,1:&4=&ÿ0,/&ÿ1ÿE')0,ÿ4'0,∠ "!#5ÿÿÿ∠ H"!#IÿÿGGGGG88ÿÿ ,-(;ÿ0,/&0,/ÿ!5ÿÿ0,/ÿ"!#5ÿÿ0,/ H"!#IÿG8ÿÿÿ ,-(;ÿ0,/&ÿ

"

ABC

!

!

$%$&ÿ'()

$%$*ÿ+,-.)(/,012ÿ3(),ÿ456ÿ

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

#

"

CC

"

"

!

#

$

#

"

$ÿÿD?>9ÿ<+ÿ'7><

23

1.15 Delitev pravega kota na tretjine

Dan je pravi kot α.V pravem kotu iz vrha V narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r, ki seka kraka kota v točkah A in B. Nato iz presečišč A in B narišemo krožna loka z istim polmerom r. Ta krožna loka sekata prvi krožni lok v točkah C in D.

Poltraka, ki ju narišemo iz vrha V skozi presečišči C in D, delita pravi kot na tre-tjine.

1 ČRTE IN KOTI

α

!

L

0

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

I

(

9 9

141OÿL:<5>:Gÿ;?7G:V7ÿ@B>7ÿ87ÿ>?:>958:

MN

'"#

'"#

'"#9

@'α?ÿ!"#


1.16 Prenos kota – risanje danemu kotu skladnega kota

Dan je kot α, ki ga omejujeta kraka h in j.Narišemo poltrak h' z vrhom V', kamor prenašamo kot α. V danem kotu α iz vrha V narišemo krožni lok kl s polmerom primerne dolžine r. Ta krožni lok seka kraka kota v točkah A in B. Krožni lok kl' z istim polmerom r narišemo tudi iz toč-ke V' na poltraku h', da dobimo presečišče A'. Nato v danem kotu α krožnemu loku kl odmerimo s šestilom pripadajočo dolžino tetive AB in jo prenesemo na krožni lok kl' z začetkom v točki A'. Tako dobimo točko B'. Zatem iz vrha V' skozi točko B' narišemo poltrak, ki je nosilec kraka j'. Kraka h' in j' omejujeta kot α'. S tem postopkom je krožni lok A'B' enak krožnemu loku AB, zato je tudi kot α' skla-den z danim kotom α.

1.17 Delitev kota na enake dele

V naslednjih primerih bomo obravnavali dva načina delitve kotov na enake dele. Pri reševanju nalog izberemo tisti način, ki v nalogi najbolj ustreza.

1. način: Kotne simetrale dobimo s povezovanjem vrha kota s presečišči ustreznih krožnih lokov (konstrukciji 1.18 in 1.19).

2. način: Kotne simetrale dobimo s povezovanjem vrha kota s presečišči ustreznih daljic (konstrukciji 1.20 in 1.21).

!"#ÿ5)ÿ'%$ !7 '+ÿ<"ÿ%1)5;5)$"ÿÿ'0"'"ÿÿ7 +#ÿ8!A/024+1%ÿ $%&,0/.ÿ 7K #ÿ 80;%1ÿ/[7ÿ ./1%0ÿ $0+*/4/1%ÿ .%,ÿ!!ÿ Hÿ :/*+1 .%,(ÿ!*/024+1%ÿ 2#ÿ 80;/ÿ/ .0%5*2ÿ &%.ÿ6( 6ÿ$%&1+0%1ÿ$021+0*+ÿ:%&52*+ÿ #7ÿ .2ÿ 6+./ÿ.0/./ÿ.%,/ÿ8ÿ,%-./;ÿ! 2*ÿ#!ÿW0%5*2ÿ&%.ÿ6(K #ÿ26,21 $%&1+0%1ÿ# */024+1%ÿ,(:2ÿ2#ÿ,%-.+ÿ/[*/ÿ$%&,0/.(ÿ7K7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ$0+6+-24-+ÿ!Z!ÿA/,%ÿ8ÿ:/*+1 .%,(ÿ! %:1+021%ÿ6ÿ4+6,2&%1 .0%5*+1(ÿ &%.(ÿ6( $02$/:/'%-%ÿ:%&52*%ÿ ,+,28+ÿ!# 2*ÿ '%ÿ$0+*+6+1%ÿ*/ÿ.0%5*2ÿ &%.ÿ6(K #ÿ #/-+,.%1 8ÿ,%-.2ÿ!Z!ÿ M/.%ÿ:%)21%ÿ,%-.%ÿ#Z!ÿ J/,+1 */024+1%ÿ 2#ÿ80;/ÿ/[ 6.%#2ÿ,%-.%ÿ#Zÿ$%&,0/.7ÿ.2ÿ '+ÿ*%62&+3ÿ.0/./ÿ 8K!ÿW0/./ÿ7K 2*ÿ 8K %1+'('+,/ÿ.%,ÿ!$!ÿ@ ,+1ÿ$%6,%$.%1ÿ'+ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ!Z#Zÿ+*/.ÿ.0%5*+1(ÿ&%.(ÿ!#7ÿ#/,%ÿ'+ÿ,(:2ÿ.%,ÿ!" 6.&/:+*ÿ:/*+1(ÿ.%,(ÿ!!

Hÿ*/6&+:*'2;ÿ$021+02;ÿ)%1%ÿ%)0/8*/8/&2ÿ:8/ÿ*/-2*/ÿ:+&2,8+ÿ.%,%8ÿ*/ÿ+*/.+ÿ:+&+!ÿ902ÿ0+4+8/*'(ÿ*/&%=ÿ2#)+0+1%ÿ,26,2ÿ*/-2*7ÿ.2ÿ8ÿ*/&%=2ÿ*/')%&'ÿ(6,0+#/!

E!ÿ*/-2*T W%,*+ÿ 621+,0/&+ÿ :%)21%ÿ 6ÿ $%8+#%8/*'+1 80;/ÿ .%,/ÿ 2*ÿ $0+6+-24-ÿ(6,0+#*2;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8ÿ<.%*6,0(.32'2ÿE!EOÿ2*ÿE!EB>!

G!ÿ*/-2*T W%,*+ÿ 621+,0/&+ÿ :%)21%ÿ 6ÿ $%8+#%8/*'+1 80;/ÿ .%,/ÿ 2*ÿ $0+6+-24-ÿ(6,0+#*2;ÿ:/&'23ÿ<.%*6,0(.32'2ÿE!GCÿ2*ÿE!GE>!

0 0

! !$

&ÿÿ'(")ÿ*+ÿ,-"*

/

V/*2ÿ.%, 90+*%6ÿ.%,/ÿ_ÿ.%*6,0(.32'/ÿ:/*+1(ÿ.%,(ÿ6.&/:*+=/ÿ.%,/

/[

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿÿ

![

#[

!

#

(

7

5

79

89

( 6ÿ96

&%&Qÿ079>C<ÿGC8=ÿMÿ7;<=>?9ÿD=>9FHÿGC8Hÿ<GP=D>9Z=ÿGC8=

&%&TÿN9P;89@ÿGC8=ÿ>=ÿ9>=G9ÿD9P9

6J

25

1.18 Simetrala kota – 1. način

Dan je kot α.Iz vrha kota α narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r. Krožni kot seka kraka kota v točkah A in B. Iz točk A in B narišemo krožna loka z istim polmerom r1, ki je dovolj velik, da se krožna loka sekata. Njuno presečišče je v točki C. Poltrak, ki ga narišemo iz vrha V skozi točko C, je simetrala kota α in deli kot na dva enaka dela.

1.19 Delitev kota na 4, 8, 16 ... enakih delov – 1. način

Dan je kot α.Narišemo simetralo kota α in na njej odmerimo dolžino VD, ki je enaka dolži-nama VA in VB. Nato narišemo simetrali kota AVD in kota DVB. Simetrale, ki so narisane iz vrha V kota α skozi točke E, C in F, delijo kot α na štiri enake dele.Če postopek ponavljamo, razdelimo dani kot α na 8, 16 … enakih delov.

1 ČRTE IN KOTI

α

α

"

#

"

#

$

!

!

9

E

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

#

"

$$ %

%5)&%#/+4+

-"#+

CF

$%$Gÿÿ8HI2).,J,ÿ3(),ÿKÿ$%ÿ0,-H0

B

"

#

L

B

$ÿÿD?>9ÿ<+ÿ'7><

α@Aα@B

α@C

$%$MÿL2JH)2/ÿ3(),ÿ0,ÿ*NÿGNÿ$4ÿ%%%ÿ20,3HOÿP2J(/ÿKÿ$%ÿ0,-H0

α

α

"

#

"

#

$

!

!

9

E

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

#

"$

$ %

%5)&%#/+4+

-"#+

CF

$%$Gÿÿ8HI2).,J,ÿ3(),ÿKÿ$%ÿ0,-H0

B

"

#

L

B

$ÿÿD?>9ÿ<+ÿ'7><

α@Aα@B

α@C

$%$MÿL2JH)2/ÿ3(),ÿ0,ÿ*NÿGNÿ$4ÿ%%%ÿ20,3HOÿP2J(/ÿKÿ$%ÿ0,-H0


1.20 Simetrala kota – 2. način

Dan je kot α.Na enem kraku kota α izberemo poljubno točko A in narišemo skozi vzporedni-co drugemu kraku. Na vzporednico nanesemo razdaljo AB, ki je enaka razdalji VA. Zveznica točk V in B je simetrala kota α.

1.21 Določitev četrtine, osmine, šestnajstine ... danega kota – 2. način

Dan je kot α.Narišemo simetralo kota α po prejšnjem postopku in nanesemo na vzporedni-co od točke B dalje razdaljo BC, ki je enaka razdalji VB. Zveznica točk V in C ter krak h oklepata kot, ki je enak četrtini kota α.Če postopek ponavljamo, dobimo osmino, šestnajstino … kota α.

α

α

(

$

I

$

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

(

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

I

0

7

>

>

7

MP

14MSÿ"5=:>?7<7ÿ@B>7ÿUÿM4ÿ87E58

@<α

14M1ÿLB<BE789:ÿE:>?58:QÿB6=58:QÿW:6>8796>58:ÿ444ÿF78:V7ÿ@B>7ÿUÿM4ÿ87E58

α@%α

α

(

$

I

$

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

(

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

I

0

7

>

>

7

MP

14MSÿ"5=:>?7<7ÿ@B>7ÿUÿM4ÿ87E58

@<α

14M1ÿLB<BE789:ÿE:>?58:QÿB6=58:QÿW:6>8796>58:ÿ444ÿF78:V7ÿ@B>7ÿUÿM4ÿ87E58

α@%

27

1.22 Delitev kota na tretjine s papirnim trakom

Dan je kot α.Iz vrha V kota α narišemo krožni lok kl s poljubnim polmerom r, da dobimo pre-sečišči A in B s krakoma danega kota α. Krak skozi točki V in A podaljšamo s premico p. Na ravnem robu papirnega traku (ali ravnila) označimo krajišči polmera r, ki je enak dolžini VA, s točkama V' in A'. Nato položimo papirni trak na risbo tako, da poteka rob papirja skozi točko B, hkrati pa se točka A' dotika krožnega loka kl v presečišču C, točka V' pa se dotika premice p v presečišču D. V tem primeru je razdalja DC enaka dolžini daljice VA. Skozi točki C in D na-rišemo premico q. Notranji kot VDB z vrhom v točki D, ki ga oklepata premici p in q, je enak tretjini danega kota α.

Opomba: To konstrukcijo lahko narišemo z ravnilom in s šestilom s souporabo papirnega traku (ali ravnila).

1.23 Metode za delitev kota na poljubno število enakih delov

Delitev kota na sodo število enakih delov s pomočjo šestila in ravnila: Če delimo kot na sodo število enakih delov, lahko uporabljamo 1. način (kon-strukciji 1.18 in 1.19) ali 2. način (konstrukciji 1.20 in 1.21) delitve kota na enake dele. Primernejša je uporaba 1. načina, ker je potrebnih manj delovnih opera-cij.

Delitev kota na liho število enakih delov s pomočjo šestila in ravnila:Kadar ima dani kot takšne dimenzije, da ga s šestilom in z ravnilom ne moremo razdeliti natanko na liho število enakih delov, uporabljamo približne konstrukci-je, ki nam dajo risarsko dovolj natančne rezultate.

V obravnavanih konstrukcijah upoštevamo, da je dolžina loka vsakega kota v premem razmerju s pripadajočim polmerom.

Pri opisanih konstrukcijah sta ločeni konstrukciji delitve ostrega in topega kota na liho število enakih delov.

1 ČRTE IN KOTI

9

9

!

1ÿÿ2,+%ÿ)#ÿ.!+)

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿÿ

!!" !ÿ""ÿÿ"

> @

A$

MK

I0

L (

14MNÿ*:>BF:ÿH7ÿF:<5>:Gÿ@B>7ÿ87ÿ;B<9CX8BÿW>:G5<Bÿ:87@5AÿF:<BG

$Y

(Y

! #$ÿ

B

14MMÿL:<5>:Gÿ@B>7ÿ87ÿ>?:>958:ÿ6ÿ;7;5?85=ÿ>?7@B=

α@'


1.24 Približna konstrukcija delitve ostrega kota na liho število enakih delov

To metodo uporabljamo za delitev ostrega kota na poljubno liho število enakih delov.Na en krak danega kota nanesemo toliko enakih enot (vključno s krožnim lo-kom 4) primerne dolžine, na kolikor delov želimo razdeliti kot. Krožne loke ozna-čimo po prikazani shemi. Pri delitvi ostrega kota na krožnem loku s polmerom 4 določimo pripadajočo tetivo četrtine krožnega loka 4.

1.24.1 Delitev ostrega kota na 3 enake dele

Delitev danega ostrega kota na tretjine: Tetivo četrtine krožnega loka 4 nane-semo na krožni lok 3, da dobimo velikost krožnega loka 3A, ki risarsko ustreza tretjini krožnega loka 3M. Če želimo razdeliti dani kot na 3 enake dele, nana-šamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 3A, na krožni lok 3M.

1.24.2 Delitev ostrega kota na 5 enakih delov

Delitev danega ostrega kota na petine: Tetivo četrtine krožnega loka 4 nane-semo na krožni lok 5, da dobimo velikost krožnega loka 5B, ki risarsko ustreza petini krožnega loka 5N. Če želimo razdeliti dani kot na 5 enakih delov, nana-šamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 5B, na krožni lok 5N.

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

!"#

!

"

!"#

!

$ 123#

23$

"

#

342543ÿ6789:7;ÿ<=:>7?@ÿA<:@ÿB@ÿ1ÿ7B@A7ÿC787ÿ

342542ÿ6789:7;ÿ<=:>7?@ÿA<:@ÿB@ÿDÿ7B@A9EÿC78<;

2F

3425ÿ&>9G89HB@ÿA<B=:>IAJ9K@ÿC789:;7ÿ<=:>7?@ÿA<:@ÿB@ÿ89E<ÿL:7;98<ÿ7B@A9EÿC78<;ÿ

$%&ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'ÿ!"(ÿ$%&)ÿÿÿÿÿÿÿ

3ÿÿM,+%ÿ)#ÿ.!+)

1$(ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ1$*

D$NÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿD$#

#

3O1ÿA<:@

#

N

(

P3ODÿA<:@Q

* 2O1ÿA<:@

51

D5

1ODÿA<:@

5ODÿA<:@

2ODÿA<:@

$# %$

%$%$ $$

$%$

"(

$%&ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'ÿ!"*ÿ$%&)ÿÿÿÿÿÿÿ

α

αα "*

α

!"+

!"+

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

!"#

!

"

!"#

!

$ 123#

23$

"

#

342543ÿ6789:7;ÿ<=:>7?@ÿA<:@ÿB@ÿ1ÿ7B@A7ÿC787ÿ

342542ÿ6789:7;ÿ<=:>7?@ÿA<:@ÿB@ÿDÿ7B@A9EÿC78<;

2F

3425ÿ&>9G89HB@ÿA<B=:>IAJ9K@ÿC789:;7ÿ<=:>7?@ÿA<:@ÿB@ÿ89E<ÿL:7;98<ÿ7B@A9EÿC78<;ÿ


3ÿÿM,+%ÿ)#ÿ.!+)

1$(ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ1$*

D$NÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿD$#

#

3O1ÿA<:@

#

N

(

P3ODÿA<:@Q

* 2O1ÿA<:@

51

D5

1ODÿA<:@

5ODÿA<:@

2ODÿA<:@

$# %$

%$%$ $$

$%$

"(


α

αα "*

α

!"+

!"+

29

1.25 Približna konstrukcija delitve topega kota na liho število enakih delov

To metodo uporabljamo za delitev topega kota na poljubno liho število enakih delov.Na en krak danega kota nanesemo toliko enakih enot (vključno s krožnim lo-kom 4) primerne dolžine, na kolikor delov želimo razdeliti kot. Krožne loke ozna-čimo po prikazani shemi. Pri delitvi topega kota krožnemu loku s polmerom 4 določimo pripadajočo tetivo osmine krožnega loka 4.

1.25.1 Delitev topega kota na 3 enake dele

Delitev danega topega kota na tretjine: Tetivo osmine krožnega loka 4 dva-krat nanesemo na krožni lok 3, da dobimo velikost krožnega loka 3C, ki risarsko ustreza tretjini krožnega loka 3P. Če želimo razdeliti dani kot na 3 enake dele, nanašamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 3C, na krožni lok 3P.

1.25.2 Delitev topega kota na 5 enakih delov

Delitev danega topega kota na petine: Tetivo osmine krožnega loka 4 dva-krat nanesemo na krožni lok 5, da dobimo velikost krožnega loka 5D, ki risarsko ustreza petini krožnega loka 5R. Če želimo razdeliti dani kot na 5 enakih delov, nanašamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 5D, na krožni lok 5R.

1 ČRTE IN KOTI!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

$ 3 2

$

1 5# %& # %&$ $

# %&

!"+!"#

2R

"

!

342D42ÿ6789:7;ÿ:<S7?@ÿA<:@ÿB@ÿDÿ7B@A9EÿC78<;

342Dÿ&>9G89HB@ÿA<B=:>IAJ9K@ÿC789:;7ÿ:<S7?@ÿA<:@ÿB@ÿ89E<ÿL:7;98<ÿ7B@A9EÿC78<;ÿ


1

3ÿÿM,+%ÿ)#ÿ.!+)

2O1ÿA<:@

D$6ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿD$,

$

$$ $%&#

#

3 2 5%& #

%&

!"+

D

!"#

!

"

342D43ÿ6789:7;ÿ:<S7?@ÿA<:@ÿB@ÿ1ÿ7B@A7ÿC787ÿ


2ODÿA<:@

1$0ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ1$&

&

1ODÿA<:@5ODÿA<:@

6 P3ODÿA<:@Q

0 P3O1ÿA<:@Q

,

α α

"*αα

"(

!",

!",

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

$ 3 2

$

1 5# %& # %&$ $

# %&

!"+!"#

2R

"

!

342D42ÿ6789:7;ÿ:<S7?@ÿA<:@ÿB@ÿDÿ7B@A9EÿC78<;

342Dÿ&>9G89HB@ÿA<B=:>IAJ9K@ÿC789:;7ÿ:<S7?@ÿA<:@ÿB@ÿ89E<ÿL:7;98<ÿ7B@A9EÿC78<;ÿ


1

3ÿÿM,+%ÿ)#ÿ.!+)

2O1ÿA<:@

D$6ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿD$,

$

$$ $%&#

#

3 2 5%& #

%&

!"+

D

!"#

!

"

342D43ÿ6789:7;ÿ:<S7?@ÿA<:@ÿB@ÿ1ÿ7B@A7ÿC787ÿ


2ODÿA<:@

1$0ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ1$&

&

1ODÿA<:@5ODÿA<:@

6 P3ODÿA<:@Q

0 P3O1ÿA<:@Q

,

α α

"*αα

"(

!",

!",


2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK

2.1 Krog, krožnica in krožni lok

Krožnica je množica točk v ravnini, ki so za razdaljo r oddaljene od izbrane sre-diščne točke S. Krožnica omejuje krožno ploskev, ki jo imenujemo krog.

Krog ali disk je del ravnine, ki ga krožnica omejuje. Krog je tudi množica vseh tistih točk v ravnini, katerih razdalja od središča je največ r.

Krožni lok je del krožnice med dvema različnima točkama na krožnici.

S ............. središče ali centerr ............. polmer ali radijd = 2r ..... premer ali diameter

2.2 Elementi kroga

Tetiva je daljica, ki povezuje dve različni točki na krožnici.Premer ali diameter je najdaljša tetiva, ki poteka skozi središče krožnice.Sečnica ali sekanta je premica, ki seka krožnico v dveh točkah. Sekanta deli krog na dva dela.Dotikalnica ali tangenta je premica, ki se dotika krožnice v eni točki.Mimobežnica ali pasanta je premica, ki s krožnico nima nobene skupne toč-ke.

!"#

M4Mÿ%<:=:8>5ÿ@?BV7

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

M41ÿ.?BVQÿ@?B\85D7ÿ58ÿ@?B\85ÿ<B@

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-% NS

;,1O31

;,

" 67)E38ÿ8

+87D1*ÿ)7+ÿ

"

03+,1;

,

;3;*4,

9767)1*)1*ÿ+87D1*ÿ)7+ÿ

I(

(I

(

LI

E*E7B3D1*:,

683E38.ÿ9ÿ?ÿ<8

31

2.3 Deli kroga

Krožni odsek ali krožni segment je del kroga med krožnim lokom in tetivo.Krožni izsek ali krožni sektor je del kroga med krožnim lokom in dvema polmero-ma.Krožni kolobar je področje med dvema istosrediščnima krožnicama z različni-ma polmeroma.

2.4 Središčni in obodni kot


H0%*#+ %.6)'ÿ"(+ '0%*#+ 6)<1)#$ '+ÿ:+& .0%=/ÿ1+:ÿ.0%5*21 &%.%1 2*ÿ,+,28%!H0%*#+ +,6)'ÿ "(+ '0%*#+ 6)'$%0 '+ÿ :+& .0%=/ÿ 1+:ÿ .0%5*21 &%.%1 2*ÿ :8+1/ÿ$%&1+0%1/!H0%*#+ '%(%F"0 '+ÿ $%:0%-'+ÿ 1+:ÿ :8+1/ÿ 26,%60+:24-*21/ÿ .0%5*23/1/ÿ #ÿ0/#&2-*21/ÿ$%&1+0%1/!

J0).+:&#+ÿ '%$ '+ÿ .%, 8ÿ .0%=(7ÿ .2ÿ 21/ÿ 80;ÿ 8ÿ 60+:24-(ÿ .0%5*23+7ÿ #/ÿ .0/./ÿ$/ÿ:8/ÿ$%&1+0/ÿ 2#ÿ ,+=/ÿ 60+:24-/!ÿ A/6,/&/ÿ .0/./ÿ %.&+$/,/ÿ :8/ÿ 60+:24-*/ÿ .%,/7ÿ .2ÿ 6+ÿ:%$%&*'('+,/ÿ:%ÿ$%&*+=/ÿ.%,/ÿ<! Sÿ' RÿÿKPCD>!OF%.#+ '%$ '+ÿ.%, 8ÿ.0%=(7ÿ.2ÿ21/ÿ80;ÿ8ÿ,%-.2ÿ*/ÿ.0%5*2327ÿ#/ÿ.0/./ÿ$/ÿ,+,282ÿ2#ÿ,+ÿ,%-.+!ÿV/*2ÿ,+,282ÿ.0%5*23+ÿ&/;.%ÿ8+:*%ÿ$020+:21%ÿ%)%:*/ÿ.%,/ÿ! 2*ÿ'7ÿ./,+02;ÿ80;/ÿ &+52,/ÿ */ÿ 0/#&2-*2;ÿ 6,0/*+;ÿ 26,+ÿ ,+,28+ÿ */ÿ */6$0%,*2;ÿ .0%5*2;ÿ &%.2;!ÿ H6%,/ÿ%)+;ÿ%)%:*2;ÿ.%,%8ÿ'+ÿ+*/./ÿEOCD!OF%.#+ '%$ '+ÿ+*/.ÿ/%(%-+2+ /0+/"."5%&)<" 60).+:&#)<"ÿ'%$"!

!

!

%

0

6%:ÿN9P;ÿG7CZ=

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

3

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :&

.0%5*2 %:6+.

.0%5*2ÿ2#6+.

. . .>0

.0%5*2ÿ.%&%)/0

! #

#

!

6%Jÿ.79D;KI>;ÿ;>ÿC\CD>;ÿGC8

.

60+:24-*2ÿ.%, %)%:*2ÿ.%,

%

"[[

"[

.

H0%*#+ %.6)'ÿ"(+ '0%*#+ 6)<1)#$ '+ÿ:+& .0%=/ÿ1+:ÿ.0%5*21 &%.%1 2*ÿ,+,28%!H0%*#+ +,6)'ÿ "(+ '0%*#+ 6)'$%0 '+ÿ :+& .0%=/ÿ 1+:ÿ .0%5*21 &%.%1 2*ÿ :8+1/ÿ$%&1+0%1/!H0%*#+ '%(%F"0 '+ÿ $%:0%-'+ÿ 1+:ÿ :8+1/ÿ 26,%60+:24-*21/ÿ .0%5*23/1/ÿ #ÿ0/#&2-*21/ÿ$%&1+0%1/!

J0).+:&#+ÿ '%$ '+ÿ .%, 8ÿ .0%=(7ÿ .2ÿ 21/ÿ 80;ÿ 8ÿ 60+:24-(ÿ .0%5*23+7ÿ #/ÿ .0/./ÿ$/ÿ:8/ÿ$%&1+0/ÿ 2#ÿ ,+=/ÿ 60+:24-/!ÿ A/6,/&/ÿ .0/./ÿ %.&+$/,/ÿ :8/ÿ 60+:24-*/ÿ .%,/7ÿ .2ÿ 6+ÿ:%$%&*'('+,/ÿ:%ÿ$%&*+=/ÿ.%,/ÿ<! Sÿ' RÿÿKPCD>!OF%.#+ '%$ '+ÿ.%, 8ÿ.0%=(7ÿ.2ÿ21/ÿ80;ÿ8ÿ,%-.2ÿ*/ÿ.0%5*2327ÿ#/ÿ.0/./ÿ$/ÿ,+,282ÿ2#ÿ,+ÿ,%-.+!ÿV/*2ÿ,+,282ÿ.0%5*23+ÿ&/;.%ÿ8+:*%ÿ$020+:21%ÿ%)%:*/ÿ.%,/ÿ! 2*ÿ'7ÿ./,+02;ÿ80;/ÿ &+52,/ÿ */ÿ 0/#&2-*2;ÿ 6,0/*+;ÿ 26,+ÿ ,+,28+ÿ */ÿ */6$0%,*2;ÿ .0%5*2;ÿ &%.2;!ÿ H6%,/ÿ%)+;ÿ%)%:*2;ÿ.%,%8ÿ'+ÿ+*/./ÿEOCD!OF%.#+ '%$ '+ÿ+*/.ÿ/%(%-+2+ /0+/"."5%&)<" 60).+:&#)<"ÿ'%$"!

!

!

%

0

6%:ÿN9P;ÿG7CZ=

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

3

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :&

.0%5*2 %:6+.

.0%5*2ÿ2#6+.

. . .>0

.0%5*2ÿ.%&%)/0

! #

#

!

6%Jÿ.79D;KI>;ÿ;>ÿC\CD>;ÿGC8

.

60+:24-*2ÿ.%, %)%:*2ÿ.%,

%

"[[

"[

.

Središčni kot je kot v krogu, ki ima vrh v središču krožnice, za kraka pa dva pol-mera iz tega središča. Nastala kraka oklepata dva središčna kota, ki se dopol-njujeta do polnega kota (α + β = 360°).Obodni kot je kot v krogu, ki ima vrh v točki na krožnici, za kraka pa tetivi iz te točke. Dani tetivi krožnice lahko vedno priredimo obodna kota α in β, kate-rih vrha ležita na različnih straneh iste tetive na nasprotnih krožnih lokih. Vsota obeh obodnih kotov je enaka 180°.Obodni kot je enak polovici pripadajočega središčnega kota.


2.5 Kot v polkrogu, Talesov izrek

Kot v polkrogu je kot, ki ima vrh na krožnici, njegova kraka pa potekata skozi krajišči premera te krožnice. Kot v polkrogu meri 90°. Pripadajoči središčni kot meri 180°.

Talesov izrek: Obodni kot, katerega krožni lok je polovica krožnice, je pravi kot.

Iz tega sledi: Vsak trikotnik, katerega osnovnica je premer krožnice k, tretje oglišče trikotnika pa leži na krožnici k, je pravokoten.

!"# $ÿ%"&'(")* !"ÿ#$%&ÿ#'ÿ '()ÿ*+,ÿ-)ÿ#+$.-'/'&ÿ-!"0$*)ÿ#+)#)ÿ1)ÿ1$%"#)%)ÿ2#$3'ÿ#+)!'45'ÿ1+"("+)ÿ%"ÿ#+$.-'/"6ÿ7$% *ÿ1$8#+$09ÿ("+'ÿ:;<6ÿ=+'1)>)!$5'ÿ2+">'45-'ÿ#$%ÿ("+'ÿ?@;<6

+,&-."$ÿ/0(-'Aÿ12"34/ #$%&ÿ#)%"+"0)ÿ#+$.-'ÿ8$#ÿ!"ÿ1$8$*'/)ÿ#+$.-'/"&ÿ!"ÿ%(,$/ #$%6

B3 %"0)ÿ 28">'Aÿ C2)#ÿ %+'#$%-'#&ÿ #)%"+"0)ÿ $2-$*-'/)ÿ !"ÿ 1+"("+ÿ #+$.-'/"ÿ !&ÿ %+"%!"ÿ$08'45"ÿ%+'#$%-'#)ÿ1)ÿ8".'ÿ-)ÿ#+$.-'/'ÿ!&ÿ!"ÿ%(,$"'"#-4!

:;<:;<

"#$

%!&ÿ'()ÿ*ÿ+(,-.(/01ÿ23,45(*ÿ67.4-

8$98:9;ÿ<=#9>?;2@>A$';ÿ'89$2@B'C>A; D%

'2 B

%ÿÿ'@8E1ÿ'@8F9>C#ÿ>9ÿ'@8F9>ÿ=8'

33

2.6 Risanje krožnega loka z danim polmerom skozi dani točki

Krožni lok kl z danim polmerom r poteka skozi dani točki A in B. Iz točk A in B narišemo krožna loka s polmerom r. Presečišče krožnih lokov je sre-dišče S iskanega krožnega loka kl. Sedaj narišemo krožni lok kl z istim polmerom r in s središčem v točki S skozi dani točki A in B.

Opisano konstrukcijo uporabljamo tudi za risanje krožnice z danim polmerom skozi dani točki A in B.

2.6.1 Označevanje središča kroga in krožnega loka

V risbi moramo pred risanjem kroga ali krožnega loka središče označiti, sicer ga bomo kasneje zaman iskali.


Hÿ026)2ÿ1%0/1%ÿ$0+:ÿ026/*'+1 .0%=/ÿ/&2ÿ.0%5*+=/ÿ&%./ÿ60).+:&)ÿ%,#"&+$+7ÿ623+0ÿ=/ÿ)%1%ÿ./6*+'+ÿ#/1/*ÿ26./&2!

H0%*#+ (%'ÿ6( ,ÿ."#+1ÿ/%(1)0%1ÿ# /%$)'"ÿ6'%,+ ."#+ÿ$%&'+ÿ' +#ÿ(8ÿ"# ,%-.ÿ! 2*ÿ# */024+1%ÿ.0%5*/ÿ &%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ #!ÿ90+6+-24-+ÿ.0%5*2;ÿ &%.%8ÿ '+ÿ60+:24-+ .ÿ 26./*+=/ÿ .0%5*+=/ÿ &%./ÿ 6(!ÿ @+:/'ÿ */024+1%ÿ .0%5*2ÿ &%.ÿ 6( #ÿ 26,21ÿ$%&1+0%1ÿ# 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ,%-.2ÿ. 6.%#2ÿ:/*2ÿ,%-.2ÿ! 2*ÿ#!

O/+6"#%ÿ'%#6$0;'2+5%ÿ;/%0"F(5"1%ÿ$;.+ÿ,"ÿ0+6"#5)ÿ'0%*#+2)ÿ,ÿ."#+1ÿ/%(1)0%1ÿ6'%,+ ."#+ÿ$%&'+ÿ' +#ÿ(8

6%Q%&ÿ-A>=I9@=>?9ÿ<79D;KI=ÿG7CZ=ÿ;>ÿG7C_>9Z=ÿPCG=

.

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

6%Qÿ(;<=>?9ÿG7C_>9Z=ÿPCG=ÿAÿD=>;FÿBCPF97CFÿ<GCA;ÿD=>;ÿ8CIG;

::

. . .

#!

'

0

0

0

(

.

.

@0+:24-+ÿ'+ÿ%#*/-+*%ÿ6ÿ$0+6+-24-+1ÿ:8+;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%87 .028(&'7 !!!

@0+:24-+ÿ'+ÿ%#*/-+*%ÿ6ÿ,%-.%! @0+:24-+ÿ'+ÿ%#*/-+*%ÿ6ÿ$0+6+-24-+1ÿ:8+;ÿ$0/8%.%,*23!

@0+:24-+ÿ'+ÿ%#*/-+*%ÿ6ÿ$0+6+-24-+1ÿ:8+;ÿ-0,!

M4P41ÿ!H87E:G789:ÿ6?:F5WE7ÿ@?BV7ÿ58ÿ@?B\8:V7ÿ<B@7

"

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

M4Pÿ,56789:ÿ@?B\8:V7ÿ<B@7ÿHÿF785=ÿ;B<=:?B=ÿ6@BH5ÿF785ÿ>BE@5

NN

" " " "

(839*C=3ÿ23ÿ751,=317ÿ0ÿ;7=+7M (839*C=3ÿ23ÿ751,=317ÿ0ÿ68303=*C=3Eÿ943Pÿ68,47+7;1*:M

(839*C=3ÿ23ÿ751,=317ÿ0ÿ68303=*C=3Eÿ943Pÿ=8;M

(839*C=3ÿ23ÿ751,=317ÿ0ÿ68303=*C=3Eÿ943Pÿ+87D1*Pÿ)7+74F +8*4A)2ÿMMM


2.7 Določanje središča danega krožnega loka

Dan je krožni lok kl. Narišemo dve poljubni tetivi krožnega loka kl in njuni simetrali. Presečišče sime-tral je iskano središče S krožnega loka kl.

Opisano konstrukcijo uporabljamo tudi za določanje središča dane krožnice.

2.8 Risanje krožnega loka skozi tri dane točke

Krožni lok kl poteka skozi dane točke A, B in C. Točke povežemo med seboj z dvema tetivama, ki ju razpolovimo s simetrala-ma. Presečišče simetral je iskano središče S krožnega loka. Iz tako dobljenega središča narišemo krožni lok kl skozi dane točke A, B in C.

Opisano konstrukcijo uporabljamo tudi za risanje krožnice skozi dane točke A, B in C.

H0%*#+ (%'ÿ6( /%$)'"ÿ6'%,+ ."#)ÿ$%&')ÿ'9ÿ( +#ÿ4!ÿM%-.+ÿ $%8+5+1%ÿ 1+:ÿ 6+)%'ÿ #ÿ :8+1/ÿ ,+,28/1/7ÿ .2ÿ '(ÿ 0/#$%&%821%ÿ 6ÿ621+,0/&/1/!ÿ 90+6+-24-+ÿ 621+,0/& '+ÿ 26./*%ÿ 60+:24-+ÿ . .0%5*+=/ÿ &%./!ÿ "#ÿ ,/.%ÿ:%)&'+*+=/ÿ60+:24-/ÿ*/024+1% .0%5*2ÿ&%.ÿ6( 6.%#2ÿ:/*+ÿ,%-.+ÿ!7ÿ# 2*ÿ$!

O/+6"#%ÿ'%#6$0;'2+5%ÿ;/%0"F(5"1%ÿ$;.+ÿ,"ÿ0+6"#5)ÿ'0%*#+2)ÿ6'%,+ÿ."#)ÿ$%&')ÿ'9( +#ÿ4!

!"#ÿ5)ÿ'0%*#+ (%'ÿ6(!ÿA/024+1%ÿ :8+ÿ $%&'()*2ÿ ,+,282ÿ .0%5*+=/ÿ &%./ÿ 6( 2*ÿ *'(*2ÿ 621+,0/&2!ÿ 90+6+-24-+ÿ621+,0/& '+ÿ26./*%ÿ60+:24-+ÿ. .0%5*+=/ÿ&%./ÿ6(!ÿ

O/+6"#%ÿ'%#6$0;'2+5%ÿ;/%0"F(5"1%ÿ$;.+ÿ,"ÿ.%(%&"#5)ÿ60).+:&"ÿ."#)ÿ'0%*#+2)8

!

#

$

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

6%Sÿ(;<=>?9ÿG7C_>9Z=ÿPCG=ÿ<GCA;ÿ87;ÿD=>9ÿ8CIG9

:J

(

(

'

'

.

.

6%TÿNCPCI=>?9ÿ<79D;KI=ÿD=>9Z=ÿG7C_>9Z=ÿPCG=

H0%*#+ (%'ÿ6( /%$)'"ÿ6'%,+ ."#)ÿ$%&')ÿ'9ÿ( +#ÿ4!ÿM%-.+ÿ $%8+5+1%ÿ 1+:ÿ 6+)%'ÿ #ÿ :8+1/ÿ ,+,28/1/7ÿ .2ÿ '(ÿ 0/#$%&%821%ÿ 6ÿ621+,0/&/1/!ÿ 90+6+-24-+ÿ 621+,0/& '+ÿ 26./*%ÿ 60+:24-+ÿ . .0%5*+=/ÿ &%./!ÿ "#ÿ ,/.%ÿ:%)&'+*+=/ÿ60+:24-/ÿ*/024+1% .0%5*2ÿ&%.ÿ6( 6.%#2ÿ:/*+ÿ,%-.+ÿ!7ÿ# 2*ÿ$!

O/+6"#%ÿ'%#6$0;'2+5%ÿ;/%0"F(5"1%ÿ$;.+ÿ,"ÿ0+6"#5)ÿ'0%*#+2)ÿ6'%,+ÿ."#)ÿ$%&')ÿ'9( +#ÿ4!

!"#ÿ5)ÿ'0%*#+ (%'ÿ6(!ÿA/024+1%ÿ :8+ÿ $%&'()*2ÿ ,+,282ÿ .0%5*+=/ÿ &%./ÿ 6( 2*ÿ *'(*2ÿ 621+,0/&2!ÿ 90+6+-24-+ÿ621+,0/& '+ÿ26./*%ÿ60+:24-+ÿ. .0%5*+=/ÿ&%./ÿ6(!ÿ

O/+6"#%ÿ'%#6$0;'2+5%ÿ;/%0"F(5"1%ÿ$;.+ÿ,"ÿ.%(%&"#5)ÿ60).+:&"ÿ."#)ÿ'0%*#+2)8

!

#

$

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

6%Sÿ(;<=>?9ÿG7C_>9Z=ÿPCG=ÿ<GCA;ÿ87;ÿD=>9ÿ8CIG9

:J

(

(

'

'

.

.

6%TÿNCPCI=>?9ÿ<79D;KI=ÿD=>9Z=ÿG7C_>9Z=ÿPCG=

35

2.9 Tangenta na krožnico v dani točki krožnice

Dana točka D je na dani krožnici k z znanim polmerom r.Tangenta v dani točki D krožnice k je premica, pravokotna na polmer r, ki po-vezuje dotikališče D na krožnici s središčem S krožnice k.

2.10 Tangenti na krožnico iz dane zunanje točke

Dani sta krožnica k z znanim polmerom r in točka T zunaj krožnice k.Povežemo točko T zunaj krožnice k s središčem S. Razpolovimo daljico ST, da dobimo središče O. Narišemo Talesovo krožnico skozi točki T in S in s središčem v točki O, da dobimo presečišči D1 in D2 s krožnico k. Točki D1 in D2 na krožnici k sta iskani dotikališči obeh tangent. Premici, narisani skozi zunanjo točko T ter skozi dotikališči D1 in D2, sta iskani tangenti t1 in t2.


!"#"ÿ$%&'" 5 5) #"ÿ."#+ '0%*#+2+ÿ6 ,ÿ,#"#+1ÿ/%(1)0%1ÿ#!M/*=+*,/ÿ8ÿ:/*2ÿ,%-.2ÿN .0%5*23+ÿ6 '+ÿ$0+123/7ÿ.2ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$%&1+0ÿ#7ÿ.2ÿ$%8+#('+ÿ:%,2./&24-+ÿN */ÿ.0%5*232ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ. .0%5*23+ÿ6!

!"#+ 6$"ÿ'0%*#+2"ÿ6 ,ÿ,#"#+1ÿ/%(1)0%1ÿ# +# $%&'"ÿ! +,-)#ÿ'0%*#+2)ÿ689%8+5+1%ÿ,%-.% " 2#8+*ÿ.0%5*23+ÿ6 6ÿ60+:24-+1ÿ.!ÿX/#$%&%821%ÿ:/&'23%ÿ."7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ60+:24-+ÿ-!ÿA/024+1%ÿM/&+6%8%ÿ.0%5*23%ÿ6.%#2ÿ,%-.2 " 2*ÿ. 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ,%-.2ÿ-7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ$0+6+-24-2ÿNE 2*ÿNG 6ÿ.0%5*23%ÿ6!ÿM%-.2ÿNE 2*ÿNG */ÿ.0%5*232ÿ6 6,/ÿ 26./*2ÿ :%,2./&24-2ÿ %)+;ÿ ,/*=+*,!ÿ 90+12327ÿ .2ÿ '(ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ #(*/*'%ÿ,%-.%ÿ" ,+0ÿ6.%#2ÿ:%,2./&24-2ÿNE 2*ÿNG7ÿ6,/ÿ26./*2ÿ,/*=+*,2ÿ;3 2*ÿ;>!

BCD

BCD

BCD

.

N

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

E

"

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

6%Vÿ"=>Z9>8=ÿ>=ÿG7C_>;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿG7C_>;E9

6%&Yÿ"=>Z9>8;ÿ>=ÿG7C_>;ECÿ;AÿD=>9ÿAH>=>?9ÿ8CIG9

:O

-

0

0

!!!!!ÿ,/*=+*,/

33

$

N

'

0'

0

0

G

N

$$ $>7ÿÿÿÿÿÿ!!!!!ÿ,/*=+*,2

$

$>

3$.

!"#"ÿ$%&'" 5 5) #"ÿ."#+ '0%*#+2+ÿ6 ,ÿ,#"#+1ÿ/%(1)0%1ÿ#!M/*=+*,/ÿ8ÿ:/*2ÿ,%-.2ÿN .0%5*23+ÿ6 '+ÿ$0+123/7ÿ.2ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$%&1+0ÿ#7ÿ.2ÿ$%8+#('+ÿ:%,2./&24-+ÿN */ÿ.0%5*232ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ. .0%5*23+ÿ6!

!"#+ 6$"ÿ'0%*#+2"ÿ6 ,ÿ,#"#+1ÿ/%(1)0%1ÿ# +# $%&'"ÿ! +,-)#ÿ'0%*#+2)ÿ689%8+5+1%ÿ,%-.% " 2#8+*ÿ.0%5*23+ÿ6 6ÿ60+:24-+1ÿ.!ÿX/#$%&%821%ÿ:/&'23%ÿ."7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ60+:24-+ÿ-!ÿA/024+1%ÿM/&+6%8%ÿ.0%5*23%ÿ6.%#2ÿ,%-.2 " 2*ÿ. 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ,%-.2ÿ-7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ$0+6+-24-2ÿNE 2*ÿNG 6ÿ.0%5*23%ÿ6!ÿM%-.2ÿNE 2*ÿNG */ÿ.0%5*232ÿ6 6,/ÿ 26./*2ÿ :%,2./&24-2ÿ %)+;ÿ ,/*=+*,!ÿ 90+12327ÿ .2ÿ '(ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ #(*/*'%ÿ,%-.%ÿ" ,+0ÿ6.%#2ÿ:%,2./&24-2ÿNE 2*ÿNG7ÿ6,/ÿ26./*2ÿ,/*=+*,2ÿ;3 2*ÿ;>!

BCD

BCD

BCD

.

N

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

E

"

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

6%Vÿ"=>Z9>8=ÿ>=ÿG7C_>;ECÿ@ÿD=>;ÿ8CIG;ÿG7C_>;E9

6%&Yÿ"=>Z9>8;ÿ>=ÿG7C_>;ECÿ;AÿD=>9ÿAH>=>?9ÿ8CIG9

:O

-

0

0

!!!!!ÿ,/*=+*,/

33

$

N

'

0'

0

0

G

N

$$ $>7ÿÿÿÿÿÿ!!!!!ÿ,/*=+*,2

$

$>

3$.


2.11 Zravnanje polovice krožnice z danim polmerom (A. Kochansky)

Dana je krožnica k s polmerom r.Narišemo premer AB krožnice k. V točki B narišemo tangento na krožnico. Iz središča S nanesemo ob premeru AB drugi krak središčnega kota 30°, ki seka tangento v točki C. Na tangento nanesemo iz točke C trikratno dolžino pol-mera r. Dolžina hipotenuze AD v trikotniku ABD je enaka polovici krožnega ob-sega, določenega na pet decimalnih mest natančno.

7B03O@<ÿ?ÿ

9 9 9

!"#

'"#

I0

"

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

M411ÿ]?7G8789:ÿFB<\58:ÿ;B<BG5D:ÿ@?B\85D:ÿHÿF785=ÿ;B<=:?B=ÿ^(4ÿ.BDA786@_`

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-% NP

9 9

>

L

(

9!

37

2.12 Določanje središča in dotikališč dane krožnice z danima tangentama

Dani sta tangenti t1 in t2 ter polmer r včrtane krožnice k.Na tangenti t1 in t2 narišemo v poljubnih točkah pravokotnici v notranjost kota, ki ga oklepata tangenti. Na pravokotnicah odmerimo polmer r in narišemo vzporednici danima tangentama. V presečišču vzporednic je iskano središče S krožnice k. Dotikališči krožnice k s tangentama dobimo tako, da narišemo pra-vokotnici iz središča S na tangenti. Presečišči D1 in D2 na krožnici k sta dotikališči tangent t1 in t2.

Opomba:

To konstrukcijo uporabljamo za risanje včrtanih krožnih lokov z danim polmerom ostrim in topim kotom. Na ta način dobimo krožne prehode v »ogliščih« ostrih in topih kotov (sliki 2.13 in 2.14).


!"#+ 6$"ÿ$"#<)#$+ÿ;3 +#ÿ;> $)0ÿ/%(1)0ÿ# -&0$"#)ÿ'0%*#+2)ÿ6!A/ÿ,/*=+*,2ÿ;3 2*ÿ;> */024+1%ÿ8ÿ$%&'()*2;ÿ,%-./;ÿ$0/8%.%,*232ÿ8ÿ*%,0/*'%6, .%,/7ÿ.2ÿ =/ÿ %.&+$/,/ÿ ,/*=+*,2!ÿ A/ÿ $0/8%.%,*23/;ÿ %:1+021%ÿ $%&1+0ÿ # 2*ÿ */024+1%ÿ8#$%0+:*232ÿ:/*21/ÿ,/*=+*,/1/!ÿHÿ$0+6+-24-(ÿ8#$%0+:*23ÿ'+ÿ26./*%ÿ60+:24-+ÿ. .0%5*23+ÿ6!ÿV%,2./&24-2ÿ .0%5*23+ÿ6 6ÿ ,/*=+*,/1/ÿ:%)21%ÿ ,/.%7ÿ:/ÿ*/024+1%ÿ$0/8%.%,*232ÿ 2#ÿ 60+:24-/ÿ . */ÿ ,/*=+*,2!ÿ 90+6+-24-2 NE 2*ÿ NG */ÿ .0%5*232ÿ 6 6,/ÿ:%,2./&24-2ÿ,/*=+*,ÿ;3 2*ÿ;>!

G%ÿ '%#6$0;'2+5%ÿ ;/%0"F(5"1%ÿ ,"ÿ 0+6"#5)ÿ -&0$"#+7ÿ '0%*#+7ÿ (%'%-ÿ ,ÿ ."#+1ÿ/%(1)0%1ÿ %6$0+1ÿ +#ÿ $%/+1ÿ '%$%18ÿ M"ÿ $"ÿ #"&+#ÿ .%F+1%ÿ '0%*#)ÿ /0)7%.)ÿ -ÿKK%<(+:&+7KKÿ%6$0+7ÿ+#ÿ$%/+7ÿ'%$%-ÿP6(+'+ÿ>83Bÿ+#ÿ>83SQ8

BCD

BCD

BCD

BCD

>

0E

G

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

/

-BCF\=c

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :T

0

GN

NE

0

0

00

0

$

$

3

.

'

6%&6ÿNCPCI=>?9ÿ<79D;KI=ÿ;>ÿDC8;G=P;KIÿD=>9ÿG7C_>;E9ÿAÿD=>;F=ÿ8=>Z9>8=F=


2.13 Krožni prehod v ostrem kotu

Dana sta ostri kot z vrhom v točki V in krožni lok s polmerom r. Krožni prehod v ostrem kotu narišemo na osnovi opisa konstrukcije 2.12.

2.14 Krožni prehod v topem kotu

Dana sta topi kot z vrhom v točki V in krožni lok s polmerom r.Krožni prehod v topem kotu narišemo na osnovi opisa konstrukcije 2.12.

!"#"ÿ6$"ÿ%6$0+ÿ'%$ÿ,ÿ-07%1ÿ-ÿ$%&'+ÿ< +#ÿ'0%*#+ (%'ÿ6ÿ/%(1)0%1ÿ#!ÿW0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8ÿ%6,0+1 .%,(ÿÿ*/024+1%ÿ*/ÿ%6*%82ÿ%$26/ÿ.%*6,0(.32'+ÿG!EG!

!"#"ÿ6$"ÿ$%/+ÿ'%$ÿ,ÿ-07%1ÿ-ÿ$%&'+ÿ< +#ÿÿ'0%*#+ÿ(%'ÿÿ6ÿ/%(1)0%1ÿ#!W0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8ÿ,%$+1 .%,(ÿ*/024+1%ÿ*/ÿ%6*%82ÿ%$26/ÿÿ.%*6,0(.32'+ÿG!EG!

BCD

BCD

BCD

BCD

/

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :S

!

#

00

0

00

0

#!

6%&:ÿ,7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿC<879FÿGC8H

6%&Jÿ,7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿ8CB9FÿGC8H

@&2./ÿGTÿW0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8%6,0+1ÿ.%,(

@&2./ÿGTÿW0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8,%$+1ÿ.%,(

.

.

@&2./ÿETÿA/-0,%8/*'+

@&2./ÿETÿA/-0,%8/*'+

/

!"#"ÿ6$"ÿ%6$0+ÿ'%$ÿ,ÿ-07%1ÿ-ÿ$%&'+ÿ< +#ÿ'0%*#+ (%'ÿ6ÿ/%(1)0%1ÿ#!ÿW0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8ÿ%6,0+1 .%,(ÿÿ*/024+1%ÿ*/ÿ%6*%82ÿ%$26/ÿ.%*6,0(.32'+ÿG!EG!

!"#"ÿ6$"ÿ$%/+ÿ'%$ÿ,ÿ-07%1ÿ-ÿ$%&'+ÿ< +#ÿÿ'0%*#+ÿ(%'ÿÿ6ÿ/%(1)0%1ÿ#!W0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8ÿ,%$+1 .%,(ÿ*/024+1%ÿ*/ÿ%6*%82ÿ%$26/ÿÿ.%*6,0(.32'+ÿG!EG!

BCD

BCD

BCD

BCD

/

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :S

!

#

00

0

00

0

#!

6%&:ÿ,7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿC<879FÿGC8H

6%&Jÿ,7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿ8CB9FÿGC8H

@&2./ÿGTÿW0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8%6,0+1ÿ.%,(

@&2./ÿGTÿW0%5*2ÿ$0+;%:ÿ8,%$+1ÿ.%,(

.

.

@&2./ÿETÿA/-0,%8/*'+

@&2./ÿETÿA/-0,%8/*'+

/

39

2.15 Izbočeni krožni prehod v pravem kotu

Dan je polmer r krožnega loka izbočenega krožnega prehoda v pravem kotu z vrhom v točki A.Iz vrha A narišemo krožna loka s polmerom r, ki sekata kraka kota v točkah B in C. Iz presečišč B in C narišemo krožna loka z istim polmerom r, ki se sekata v središču S. Skozi točki B in C in s središčem v točki S narišemo krožni lok z istim polmerom r. Ta krožni lok tvori krožni prehod med krakoma pravega kota ob vrhu A.

2.16 Vbočeni krožni prehod v poljubnem kotu

Dan je polmer r krožnega loka vbočenega krožnega prehoda v kotu z vrhom v točki A.Iz vrha A narišemo krožni lok s polmerom r, ki seka kraka kota v točkah B in C ter tvori vbočen krožni prehod med krakoma danega kota ob vrhu A.


!"#ÿ5)ÿ/%(1)0ÿ# '0%*#)<"ÿ(%'"ÿ+,F%&)#)<"ÿ'0%*#)<"ÿ/0)7%."ÿ-ÿ/0"-)1ÿ'%$;,ÿ-07%1ÿ- $%&'+ '!"# 80;/ÿ! */024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ#7ÿ.2 6+./,/ÿ.0/./ÿ.%,/ÿ8ÿ,%-./;ÿ# 2*ÿ$!ÿ "#ÿ$0+6+-24-ÿ# 2*ÿ$ */024+1%ÿ.0%5*/ÿ &%./ÿ#ÿ 26,21 $%&1+0%1ÿ#7ÿ.2ÿ 6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ60+:24-(ÿ.!ÿ@.%#2ÿ,%-.2ÿ# 2*ÿ$ 2*ÿ6ÿ60+:24-+1 8ÿ,%-.2ÿ. */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ#ÿ26,21$%&1+0%1ÿ#7ÿ.2 ,8%02ÿ.0%5*2ÿ$0+;%:ÿ1+:ÿ.0/.%1/ÿ$0/8+=/ÿ.%,/ÿ%)ÿ80;(ÿ!!

!"#ÿ5)ÿ/%(1)0ÿ# '0%*#)<"ÿ(%'"ÿ-F%&)#)<"ÿ'0%*#)<"ÿ/0)7%."ÿ-ÿ'%$;ÿ,ÿ-07%1ÿ-ÿ$%&'+ '!"# 80;/ÿ! */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ #7ÿ.2ÿ6+./ÿ.0/./ÿ.%,/ÿ8ÿ,%-./;ÿ# 2*ÿ$,+0ÿ,8%02ÿ8)%-+*ÿ.0%5*2ÿ$0+;%:ÿ1+:ÿ.0/.%1/ÿ:/*+=/ÿ.%,/ÿ%)ÿ80;(ÿ!!

!

!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :V

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

$

#

#

$

0

0

000

0

0

0

0

.

6%&Oÿ*A\CI9>;ÿG7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿB7=@9FÿGC8H

6%&Qÿ/\CI9>;ÿG7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿBCP?H\>9FÿGC8H

!"#ÿ5)ÿ/%(1)0ÿ# '0%*#)<"ÿ(%'"ÿ+,F%&)#)<"ÿ'0%*#)<"ÿ/0)7%."ÿ-ÿ/0"-)1ÿ'%$;,ÿ-07%1ÿ- $%&'+ '!"# 80;/ÿ! */024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ#7ÿ.2 6+./,/ÿ.0/./ÿ.%,/ÿ8ÿ,%-./;ÿ# 2*ÿ$!ÿ "#ÿ$0+6+-24-ÿ# 2*ÿ$ */024+1%ÿ.0%5*/ÿ &%./ÿ#ÿ 26,21 $%&1+0%1ÿ#7ÿ.2ÿ 6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ60+:24-(ÿ.!ÿ@.%#2ÿ,%-.2ÿ# 2*ÿ$ 2*ÿ6ÿ60+:24-+1 8ÿ,%-.2ÿ. */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ#ÿ26,21$%&1+0%1ÿ#7ÿ.2 ,8%02ÿ.0%5*2ÿ$0+;%:ÿ1+:ÿ.0/.%1/ÿ$0/8+=/ÿ.%,/ÿ%)ÿ80;(ÿ!!

!"#ÿ5)ÿ/%(1)0ÿ# '0%*#)<"ÿ(%'"ÿ-F%&)#)<"ÿ'0%*#)<"ÿ/0)7%."ÿ-ÿ'%$;ÿ,ÿ-07%1ÿ-ÿ$%&'+ '!"# 80;/ÿ! */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ #7ÿ.2ÿ6+./ÿ.0/./ÿ.%,/ÿ8ÿ,%-./;ÿ# 2*ÿ$,+0ÿ,8%02ÿ8)%-+*ÿ.0%5*2ÿ$0+;%:ÿ1+:ÿ.0/.%1/ÿ:/*+=/ÿ.%,/ÿ%)ÿ80;(ÿ!!

!

!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) :V

6ÿÿ,(-]Rÿ,(-^+*$!ÿ*+ÿ,(-^+*ÿ1-,

$

#

#

$

0

0

000

0

0

0

0

.

6%&Oÿ*A\CI9>;ÿG7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿB7=@9FÿGC8H

6%&Qÿ/\CI9>;ÿG7C_>;ÿB79LCDÿ@ÿBCP?H\>9FÿGC8H


2.17 Zunanji tangenti na krožnici z različnima polmeroma

Dani sta krožnici k1 in k2 s polmeroma r1 < r2 in medsebojno središčno razdaljo S1S2.

V središču S2 večje krožnice k2 narišemo istosrediščno pomožno krožnico kp s polmerom, ki je enak razliki dolžin polmerov (r2 – r1) danih krožnic. Iz središča S1 manjše krožnice k1 narišemo pomožni tangenti tp na pomožno krožnico kp. Po-možni dotikališči Bp in Dp določimo s Talesovo krožnico skozi središči S1 in S2 ter s središčem v točki O.

Določanje dotikališč tangent na manjši krožnici k1: Iz središča S1 manjše krožni-ce narišemo pravokotnici na pomožni tangenti tp. Presečišči teh pravokotnic z manjšo krožnico k1 sta dotikališči A in C tangent t1 in t2.

Določanje dotikališč tangent na večji krožnici k2: Iz središča S2 večje krožnice narišemo pravokotnici na pomožni tangenti tp skozi pomožni dotikališči Bp in Dp do večje krožnice k2. Presečišči teh pravokotnic z večjo krožnico k2 sta dotika-lišči B in D tangent t1 in t2.

Premici, ki ju narišemo skozi ustrezni dotikališči na mali in veliki krožnici, sta iskani zunanji tangenti t1 in t2.

!"#

!"#-

C9

C

-

-" " <

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

M41Kÿ]C87895ÿ>78V:8>5ÿ87ÿ@?B\85D5ÿHÿ?7H<5E85=7ÿ;B<=:?B=7

JS

C

(

L

I

A

4

A

90

4

4

4

-9

9

9C

-

AC

>

>>

I

L6

6

!

-C4 Dÿ4 MMMMMÿ;,1O31;*

41

2.18 Notranji tangenti na krožnici z različnima polmeroma

Dani sta krožnici k1 in k2 s polmeroma r1 < r2 in medsebojno središčno razdaljo S1S2.

V središču ene izmed danih krožnic (tukaj v središču S1 prve krožnice k1) nariše-mo istosrediščno pomožno krožnico kp s polmerom, ki je enak vsoti dolžin pol-merov (r1 + r2) danih krožnic. Iz središča druge krožnice (iz središča S2 krožnice k2) narišemo pomožni tangenti tp na pomožno krožnico kp. Dotikališči Ap in Cp na pomožni krožnici kp določimo s Talesovo krožnico skozi središči S1 in S2 danih krožnic ter s središčem v točki O.

Določanje dotikališč na manjši krožnici k1: Iz središča S1 manjše krožnice nari-šemo pravokotnici na pomožni tangenti tp do pomožnih dotikališč Ap in Cp na pomožni krožnici kp. Presečišči teh pravokotnic z manjšo krožnico k1 sta dotika-lišči A in C tangent t1 in t2.

Določanje dotikališč na večji krožnici k2: Iz središča S2 večje krožnice narišemo pravokotnici na pomožni tangenti tp. Presečišči teh pravokotnic z večjo krožni-co k2 sta dotikališči B in D tangent t1 in t2.

Premici, ki ju narišemo skozi ustrezni dotikališči na mali in veliki krožnici, sta iskani notranji tangenti t1 in t2.


!"#

!"#

!"#

!"#

!

! $%!

"

#

"ÿÿ#$%&'ÿ#$%()*+,ÿ*)ÿ#$%()*ÿ-%#

%!)%.)/ÿ0-,)*1/2$*3!#/ÿ#%)!2$4#+*3/

"567ÿ)89:;<=>ÿ9;<?@<9>ÿ<;ÿA:8B<>C>ÿDÿ:;DE>F<>G;ÿH8EG@:8G;

I6

#

$

%

!

%$ "

&&&&&ÿ'()*+',- )+'./')-

!$

%

0$

,

%

$ !

%ÿÿ&

0

+!

"

' "

' !

' #

!%

J

+

,

K"%

!"#

!"#-

C9

C

-

-" " <

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

M41Kÿ]C87895ÿ>78V:8>5ÿ87ÿ@?B\85D5ÿHÿ?7H<5E85=7ÿ;B<=:?B=7

JS

C

(

L

I

A

4

A

90

4

4

4

-9

9

9C

-

AC

>

>>

I

L6

6

!

-C4 Dÿ4 MMMMMÿ;,1O31;*


2.19 Trikotniku očrtani krog

Dan je trikotnik ABC.V trikotniku je središče očrtanega kroga v presečišču simetral stranic trikotnika. Središče je že določeno, če poiščemo presečišče vsaj dveh simetral stranic. Polmer ro očrtanega kroga je enak razdalji od središča So očrtanega kroga do enega izmed oglišč trikotnika.

2.20 Določanje središča včrtanemu krogu, ki se dotika treh danih tangent 2.21 Trikotniku včrtani krog

Dane so tangente t1, t2 in t3.Poiščemo presečišča tangent, ki so tudi oglišča trikotnika ABC. Dotikalni krog tangent je hkrati včrtani krog trikotniku ABC. Središče dotikalnega kroga je v presečišču simetral notranjih kotov v trikotniku ABC. Središče je že določeno, če poiščemo presečišče vsaj dveh simetral kotov. Polmer rv včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča Sv včrtanega kroga do dotikališča D na tangenti oziroma stranici trikotnika.

!"#

!"#!"#

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

JM!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

0

(

9

I

<

> <

9

-

(

+

/

4

4

4

C I

0

LL

L

<

-

' />

M413ÿÿ+?5@B>85@CÿBE?>785ÿ@?BV

"7

"4

M4MSÿLB<BE789:ÿ6?:F5WE7ÿGE?>78:V7ÿ@?BV7Qÿ@5ÿ6:ÿFB>5@7ÿ>?:AÿF785Aÿ>78V:8>M4M1ÿ+?5@B>85@CÿGE?>785ÿ@?BV

α@<@<α

"7 ?ÿ0839*C=3ÿ7=8;,13O,ÿ+87O,9< ?ÿ67)E38ÿ7=8;,13O,ÿ+87O,

> ?ÿ7=8;,1*ÿ+87O<

?ÿ67)E38ÿ4=8;,13O,ÿ+87O,9/?ÿ4=8;,1*ÿ+87O/>

?ÿ0839*C=3ÿ4=8;,13O,ÿ+87O,/"

!"#

!"#!"#

Mÿÿ.,!ZQÿ.,![#)0(ÿ)#ÿ.,![#)ÿ'!.

JM!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

0

(

9

I

<

> <

9

-

(

+

/

4

4

4

C I

0

LL

L

<

-

' />

M413ÿÿ+?5@B>85@CÿBE?>785ÿ@?BV

"7

"4

M4MSÿLB<BE789:ÿ6?:F5WE7ÿGE?>78:V7ÿ@?BV7Qÿ@5ÿ6:ÿFB>5@7ÿ>?:AÿF785Aÿ>78V:8>M4M1ÿ+?5@B>85@CÿGE?>785ÿ@?BV

α@<@<α

"7 ?ÿ0839*C=3ÿ7=8;,13O,ÿ+87O,9< ?ÿ67)E38ÿ7=8;,13O,ÿ+87O,

> ?ÿ7=8;,1*ÿ+87O<

?ÿ67)E38ÿ4=8;,13O,ÿ+87O,9/?ÿ4=8;,1*ÿ+87O/>

?ÿ0839*C=3ÿ4=8;,13O,ÿ+87O,/"

43

2.22 Pravokotniku očrtani krog

Dan je pravokotnik ABCD. Središče So očrtanega kroga je v presečišču diago-nal. Polmer ro je enak polovici dolžine diagonale.

2.23 Kvadratu očrtani in včrtani krog

Dan je kvadrat ABCD. V kvadratu se sekajo simetrale kotov in stranic v isti točki, ki je središče kvadrata. Diagonali sta tudi simetrali kotov.

Polmer ro očrtanega kroga je enak polovici dolžine diagonale.Polmer rv včrtanega kroga je enak polovici dolžine stranice kvadrata. Dotika-lišče P je v presečišču pravokotnice na stranico iz središča S kvadrata in strani-ce kvadrata.


%&'ÿ ()ÿ /"&.*$*+'5$ $%&'8ÿ F'*>()4*ÿ 8, ,4'/&:*E&ÿ 0',E&ÿ 6*ÿ 2ÿ -'*;*4()4<ÿ>(&E,:&.8ÿN,.+*'ÿ!* 6*ÿ*:&0ÿ-,.,2(?(ÿ>,.7(:*ÿ>(&E,:&.*8

%&'ÿ ()ÿ $.&9"&+ÿ$%&':ÿ ;ÿ $.&9"&+2ÿ 4)ÿ 4)$&(*ÿ 45<)+"&0)ÿ $*+*.ÿ 5'ÿ 4+"&'5=ÿ .ÿ 54+5ÿ+*>$5! $5 ()ÿ4")95?>)ÿ$.&9"&+&:ÿ%5&1*'&05ÿ4+&ÿ+295ÿ45<)+"&05ÿ$*+*.:

N,.+*'ÿÿÿ!* ,4'/&:*E&ÿ0',E&ÿ6*ÿ*:&0ÿ-,.,2(?(ÿ>,.7(:*ÿ>(&E,:&.*8N,.+*'ÿ !. 24'/&:*E&ÿ 0',E& 6*ÿ *:&0ÿ >,.7(:(ÿ -,.,2(?*ÿ ;/'&:(?*ÿ 02&>'&/&8ÿS,/(0&.()4*ÿ: 6*ÿ2ÿ-'*;*4()4<ÿ-'&2,0,/:(?*ÿ:&ÿ ;/'&:(?,ÿ (1ÿ ;'*>()4&ÿ8 02&>'&/&ÿÿ(:ÿ;/'&:(?*ÿ02&>'&/&8ÿ

!BC

E

" #

B

"

BE

#

Tÿ,4'/&:(ÿ0',E

Tÿ24'/&:(ÿ0',E

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 *&

" *

.

" *

"

*

.

C%C&ÿ'/,P.,)Sÿ(-.),0IÿI0ÿ/-.),0Iÿ3.(Rÿ

C%CCÿÿ:.,/(3()0I3Sÿ(-.),0Iÿ3.(R

:

8,

$*

*$

.$

$

$8

Cÿÿ'?7VNÿ'?7W+<B"ÿ<+ÿ'?7W+<ÿ;7'

DEF

L

" #

B

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 *&

&

$ '

$

'

C%C&ÿ'/,P.,)Qÿ(-.),0HÿH0ÿ/-.),0Hÿ3.(Rÿ

C%CCÿÿ:.,/(3()0H3Qÿ(-.),0Hÿ3.(R

:

'#

&#

#

8

Cÿÿ'?7SNÿ'?7T+<B"ÿ<+ÿ'?7T+<ÿ;7'

Gÿ",/#+')ÿ-/";&# Gÿ.,/#+')ÿ-/";


2.24 Rombu včrtani krog

Dan je romb ABCD.Središče Sv včrtanega kroga je v presečišču diagonal, dotikališče P pa je v presečišču pravokotnice na stranico romba iz središča Sv in stranice romba. Polmer rv včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča Sv do dotikališča P.

2.25 Deltoidu včrtani krog

Dan je deltoid ABCD.Središče Sv včrtanega kroga je v presečišču diagonale AC in simetrale kota v oglišču D, dotikališče P pa je v presečišču pravokotnice na stranico deltoida iz središča Sv in stranice deltoida. Polmer rv včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča Sv do dotikališča P.

%&'ÿ()ÿ"*<8ÿ$%&'8F'*>()4*ÿ ÿ82 24'/&:*E&ÿ0',E&ÿ 6*ÿ2ÿ-'*;*4()4<ÿ>(&E,:&.5ÿ>,/(0&.()4*ÿ: -&ÿ 6*ÿ2ÿ-'*;*4()4<ÿ-'&2,0,/:(?*ÿ:&ÿ ;/'&:(?,ÿ ',+=&ÿ (1ÿ ;'*>()4&ÿ82 (:ÿ ;/'&:(?*ÿ ',+=&8ÿN,.+*'ÿ !. 24'/&:*E&ÿ 0',E&ÿ 6*ÿ *:&0ÿ -'&2,0,/:(ÿ '&1>&.6(ÿ ,>ÿ ;'*>()4&ÿ 82 >,ÿ>,/(0&.()4&ÿ:8

%&'ÿ()ÿ9)0+*59ÿ$%&'8F'*>()4*ÿ82 24'/&:*E&ÿ0',E&ÿ6*ÿ2ÿ-'*;*4()4<ÿ>(&E,:&.*ÿ"B (:ÿ;(+*/'&.*ÿ0,/&ÿ2ÿ,E.()4<ÿE5ÿ>,/(0&.()4*ÿ: -&ÿ6*ÿ2ÿ-'*;*4()4<ÿ-'&2,0,/:(?*ÿ:&ÿ;/'&:(?,ÿ>*./,(>&ÿ(1ÿ;'*>()4&ÿ82 (:ÿ;/'&:(?*ÿ>*./,(>&8ÿN,.+*'ÿ!2 24'/&:*E&ÿ0',E&ÿ6*ÿ*:&0ÿ-'&2,0,/:(ÿ'&1>&.6(ÿ,> ;'*>()4&ÿ82 >,ÿ>,/(0&.()4&ÿ:8

!BC

!BC

!"#!"#

C%CGÿÿE2K)(IPSÿ/-.),0Iÿ3.(R

E

"

#

B

E

B

" #

C%C*ÿÿ?(JXSÿ/-.),0Iÿ3.(R

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 **

" .:

".

:$ .

$.

82

82

Cÿÿ'?7VNÿ'?7W+<B"ÿ<+ÿ'?7W+<ÿ;7'

DEF

C%CFÿÿL2J)(HPQÿ/-.),0Hÿ3.(R

"

#

B

L

C%C*ÿÿ?(IUQÿ/-.),0Hÿ3.(R

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 **

$ &: # &

8.

Cÿÿ'?7SNÿ'?7T+<B"ÿ<+ÿ'?7T+<ÿ;7'

@Bα@Bα

45

2.26 Pravilnemu mnogokotniku očrtani in včrtani krog

Na sliki sta narisana očrtani in včrtani krog v danem pravilnem petkotniku.

ko .............. očrtani krogro ............... polmer očrtanega krogakv .............. včrtani krogrv ............... polmer včrtanega kroga

V pravilnem mnogokotniku se sekajo vse simetrale kotov in vse simetrale stranic v isti točki, ki jo imenujemo središče. Ta točka je središče pravilnemu mnogo-kotniku očrtanega in včrtanega kroga.

Polmer rv včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča pravilnega mnogokotnika do ene izmed stranic mnogokotnika.

Polmer ro očrtanega kroga je enak razdalji od središča pravilnega mnogokot-nika do enega izmed oglišč mnogokotnika.


DEF

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 *F

Cÿÿ'?7SNÿ'?7T+<B"ÿ<+ÿ'?7T+<ÿ;7'

C%C4ÿÿÿ:.,/HJ02IQÿI0(R(3()0H3Qÿ(-.),0HÿH0ÿ/-.),0Hÿ3.(R

"

#

B L

9/"

/.

#'

#&

8

:

α@B

@Bα


3 TRIKOTNIKI

3.1 Načrtovanje trikotnika, če so dane tri stranice (sss)

Dane so stranice a, b in c.Pogoji: c < a + b, b < a + c, a < b + c

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice c, kjer sta krajišči A in B že oglišči trikotnika. Nato narišemo krožni lok s polmerom dolžine stranice b in s središčem v oglišču A. Zatem narišemo še krožni lok s polmerom dolžine strani-ce a in s središčem v oglišču B. Oba krožna loka se sekata v točkah C1 in C2, ki sta oglišči trikotnikov ABC1 in ABC2.

Naloga ima dve rešitvi. Dobljena trikotnika ABC1 in ABC2 sta simetrična glede na premico, nosilko stranice AB.

!"#)ÿ6%ÿ6$0"#+2)ÿ&9ÿ3 +#ÿ>84%<%5+@ ÿ> aÿ&S37ÿÿ3 aÿ&S>7ÿÿ& aÿ3C>

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ6,0/*23+ÿ>7ÿ.'+0ÿ6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ#5+ÿ%=&24-2ÿ,02.%,*2./!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ3ÿ2* 6ÿ60+:24-+1ÿ 8ÿ %=&24-(ÿ !!ÿ J/,+1 */024+1%ÿ 4+ÿ .0%5*2ÿ &%.ÿ 6ÿ $%&1+0%1ÿ :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ& 2*ÿ6ÿ60+:24-+1 8ÿ%=&24-(ÿ#!ÿ`)/ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ,%-./;ÿ$Eÿ2*ÿ$G7ÿ.2ÿ6,/ÿ%=&24-2ÿ,02.%,*2.%8ÿ!#$E 2*ÿ!#$G!

M"(%<"ÿ+1"ÿ.-)ÿ0):+$-+8ÿ!%F(5)#"ÿ$0+'%$#+'"ÿ'(43 +#ÿ'(4> 6$"ÿ6+1)$0+&#"ÿ<().)ÿ#"ÿ/0)1+2%9 #%6+('% 6$0"#+2)ÿ'(8

:ÿÿ"(*,-"+*,*

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

:%&ÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<CÿD=>9ÿ@<9ÿ87;ÿ<87=>;E9ÿ`<<<b

! #

" F 2

F "

F "

E$

G$

0 0/

JQ

2

)

47

3.2 Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot med njima (sks)

Dani sta stranici b, c in kot α med njima.Pogoj: α < 180°

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice c, kjer sta krajišči A in B že oglišči trikotnika. V oglišču A nanesemo dani kot α, tako da poteka krak c skozi oglišči A in B. Krožni lok s polmerom dolžine stranice b in s središčem v oglišču A seka prosti krak b kota α v točki C.

Točke A, B in C so oglišča trikotnika ABC, daljica BC pa je iskana stranica a.Rešitev je samo ena.

3.3 Načrtovanje trikotnika, če so dani stranica in njej priležna kota (ksk)

Dana je stranica c in njej priležna kota α in β.Pogoj: α + β < 180°

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice c, kjer sta krajišči A in B že oglišči trikotnika. V oglišču A stranice c nanesemo kot α, tako da poteka krak c skozi oglišči A in B. V oglišču B stranice c nanesemo kot β, tako da poteka krak c skozi oglišči B in A. Kraka kotov, ki ne ležita na stranici c, se sekata v točki C, ki je tretje oglišče tri-kotnika ABC.

Daljici AC in BC sta iskani stranici b in a. Rešitev je samo ena.

3 TRIKOTNIKI

!"#+ 5) 6$0"#+2"ÿ> +# #5)5ÿ/0+()*#"ÿ'%$"ÿ! +#ÿ'84%<%5@ÿÿ!S' Tÿ3VWX

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ 2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ 6,0/*23+ÿ >7ÿ .'+0ÿ 6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ# 5+ÿ%=&24-2ÿ,02.%,*2./!ÿH %=&24-(ÿ! 6,0/*23+ÿ> */*+6+1%ÿ.%,ÿ!R ,/.%ÿ:/ÿ$%,+./ÿ.0/.ÿ> 6.%#2ÿ%=&24-2ÿ! 2*ÿ#!ÿHÿ%=&24-(ÿ# 6,0/*23+ÿ> */*+6+1%ÿ.%,ÿ'R ,/.%ÿ:/ÿ$%,+./ÿ.0/.ÿ> 6.%#2ÿ%=&24-2ÿ# 2*ÿ!!ÿW0/./ÿ.%,%87ÿ.2 *+ÿ &+52,/ÿ*/ÿ 6,0/*232ÿ>7ÿ 6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ ,%-.2ÿ$7ÿ.2ÿ '+ÿ ,0+,'+ÿ%=&24-+ÿ,02.%,*2./ÿ!#$!ÿ

!"(5+2+ÿ'4 +#ÿ(4 6$"ÿ+6'"#+ 6$0"#+2+ÿ3 +#ÿ&8ÿY):+$)-ÿ5)ÿ6"1%ÿ)#"8ÿ

!"#+ 6$"ÿ6$0"#+2+ÿ39ÿ> +# '%$ÿ! 1). #5+1"84%<%5@ÿÿ! Tÿ3VWX

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ 2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ 6,0/*23+ÿ >7ÿ .'+0ÿ 6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ# 5+ÿ%=&24-2ÿ ,02.%,*2./!ÿ H %=&24-(ÿ ! */*+6+1%ÿ :/*2ÿ .%,ÿ!R ,/.%ÿ :/ÿ $%,+./ÿ .0/.ÿ > 6.%#2ÿ%=&24-2ÿ! 2*ÿ#!ÿW0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ3 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ! 6+./ÿ$0%6,2ÿ.0/.ÿ3 .%,/ÿ! 8ÿ,%-.2ÿ$!ÿ

G%&')ÿ'9ÿ( +#ÿ4 6%ÿ%<(+:&"ÿ$0+'%$#+'"ÿ'(49ÿ."(5+2"ÿ(4 /"ÿ5)ÿ+6'"#"ÿ6$0"#+2"ÿ&8Y):+$)-ÿ5)ÿ6"1%ÿ)#"8

'!

!#

! '

!

!

!

:ÿÿ"(*,-"+*,*

! #

! #

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

F "F

22

F

2

0

$

" F "F

2

2 2 2

$

F

:%6ÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<8=ÿD=>;ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿGC8ÿF9Dÿ>?;F=ÿ`<G<b

:%:ÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ?9ÿD=>=ÿ<87=>;E=ÿ;>ÿ>?9?ÿB7;P9_>=ÿGC8=ÿ`G<Gb

dÿJT

!"#+ 5) 6$0"#+2"ÿ> +# #5)5ÿ/0+()*#"ÿ'%$"ÿ! +#ÿ'84%<%5@ÿÿ!S' Tÿ3VWX

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ 2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ 6,0/*23+ÿ >7ÿ .'+0ÿ 6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ# 5+ÿ%=&24-2ÿ,02.%,*2./!ÿH %=&24-(ÿ! 6,0/*23+ÿ> */*+6+1%ÿ.%,ÿ!R ,/.%ÿ:/ÿ$%,+./ÿ.0/.ÿ> 6.%#2ÿ%=&24-2ÿ! 2*ÿ#!ÿHÿ%=&24-(ÿ# 6,0/*23+ÿ> */*+6+1%ÿ.%,ÿ'R ,/.%ÿ:/ÿ$%,+./ÿ.0/.ÿ> 6.%#2ÿ%=&24-2ÿ# 2*ÿ!!ÿW0/./ÿ.%,%87ÿ.2 *+ÿ &+52,/ÿ*/ÿ 6,0/*232ÿ>7ÿ 6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ ,%-.2ÿ$7ÿ.2ÿ '+ÿ ,0+,'+ÿ%=&24-+ÿ,02.%,*2./ÿ!#$!ÿ

!"(5+2+ÿ'4 +#ÿ(4 6$"ÿ+6'"#+ 6$0"#+2+ÿ3 +#ÿ&8ÿY):+$)-ÿ5)ÿ6"1%ÿ)#"8ÿ

!"#+ 6$"ÿ6$0"#+2+ÿ39ÿ> +# '%$ÿ! 1). #5+1"84%<%5@ÿÿ! Tÿ3VWX

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ 2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ 6,0/*23+ÿ >7ÿ .'+0ÿ 6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ# 5+ÿ%=&24-2ÿ ,02.%,*2./!ÿ H %=&24-(ÿ ! */*+6+1%ÿ :/*2ÿ .%,ÿ!R ,/.%ÿ :/ÿ $%,+./ÿ .0/.ÿ > 6.%#2ÿ%=&24-2ÿ! 2*ÿ#!ÿW0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ3 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ! 6+./ÿ$0%6,2ÿ.0/.ÿ3 .%,/ÿ! 8ÿ,%-.2ÿ$!ÿ

G%&')ÿ'9ÿ( +#ÿ4 6%ÿ%<(+:&"ÿ$0+'%$#+'"ÿ'(49ÿ."(5+2"ÿ(4 /"ÿ5)ÿ+6'"#"ÿ6$0"#+2"ÿ&8Y):+$)-ÿ5)ÿ6"1%ÿ)#"8

'!

!#

! '

!

!

!

:ÿÿ"(*,-"+*,*

! #

! #

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

F "F

22

F

2

0

$

" F "F

2

2 2 2

$

F

:%6ÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<8=ÿD=>;ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿGC8ÿF9Dÿ>?;F=ÿ`<G<b

:%:ÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ?9ÿD=>=ÿ<87=>;E=ÿ;>ÿ>?9?ÿB7;P9_>=ÿGC8=ÿ`G<Gb

dÿJT


3.4 Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK)

Dani sta stranici a, b in kot α.Pogoji: a > b, α < 180°

Narišemo kot α z vrhom v točki A, ki je oglišče A trikotnika. Kot α omejujeta kraka b in c. Krožni lok s polmerom dolžine stranice b in s središčem v oglišču A seka prosti krak b kota α v točki C, ki je oglišče C trikotnika. Krožni lok s polme-rom dolžine stranice a in s središčem v oglišču C seka prosti krak c kota α v točki B, ki je oglišče trikotnika. Daljica AB je iskana stranica c (sliki 3.4.1 in 3.4.2). Rešitev je samo ena.

3.4.1 Dani sta stranici in ostri kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK)

3.4.2 Dani sta stranici in topi kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK)

!"#+ 6$" 6$0"#+2+ÿ&9ÿ3 +#ÿ'%$ÿ!84%<%5+@ÿÿÿ& Zÿ39ÿÿ! Tÿ3VWX

A/024+1%ÿ.%,ÿ! #ÿ80;%1 8ÿ ,%-.2ÿ!7ÿ .2ÿ '+ÿ%=&24-+ÿ! ,02.%,*2./!ÿW%,ÿ! %1+'('+,/ÿ.0/./ÿ3 2*ÿ>!ÿW0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1 :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ3 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ!6+./ÿ $0%6,2ÿ .0/.ÿ 3 .%,/ÿ ! 8ÿ ,%-.2ÿ $7ÿ .2ÿ '+ÿ %=&24-+ÿ $ ,02.%,*2./!ÿ W0%5*2ÿ &%.ÿ 6ÿ$%&1+0%1 :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ& 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ$ 6+./ÿ$0%6,2ÿ.0/.ÿ> .%,/ÿ! 8ÿ,%-.2ÿ#7ÿ.2ÿ'+ÿ%=&24-+ÿ,02.%,*2./!

!"(5+2"ÿ'( 5)ÿ+6'"#"ÿ6$0"#+2"ÿ> P6(+'+ÿB8S83ÿ+#ÿB8S8>Q8ÿÿY):+$)- 5)ÿ6"1%ÿ)#"8

:ÿÿ"(*,-"+*,*

! !

$

$

! #!

#!!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

!!

JS

2

F

"

F

2

F "

F

"

2

"

FF

2

0/0 )

0 )0/

:%Jÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<8=ÿD=>;ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿD=P?K;ÿ<87=>;E;>=<B7C8;ÿ`.<,b

:%J%&ÿN=>;ÿ<8=ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿC<87;ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿD=P?K;ÿ<87=>;E;ÿ>=<B7C8;ÿ`.<,b

:%J%6ÿN=>;ÿ<8=ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿ8CB;ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿD=P?K;ÿ<87=>;E;ÿ>=<B7C8;ÿ`.<,b

!"#+ 6$" 6$0"#+2+ÿ&9ÿ3 +#ÿ'%$ÿ!84%<%5+@ÿÿÿ& Zÿ39ÿÿ! Tÿ3VWX

A/024+1%ÿ.%,ÿ! #ÿ80;%1 8ÿ ,%-.2ÿ!7ÿ .2ÿ '+ÿ%=&24-+ÿ! ,02.%,*2./!ÿW%,ÿ! %1+'('+,/ÿ.0/./ÿ3 2*ÿ>!ÿW0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1 :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ3 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ!6+./ÿ $0%6,2ÿ .0/.ÿ 3 .%,/ÿ ! 8ÿ ,%-.2ÿ $7ÿ .2ÿ '+ÿ %=&24-+ÿ $ ,02.%,*2./!ÿ W0%5*2ÿ &%.ÿ 6ÿ$%&1+0%1 :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ& 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ$ 6+./ÿ$0%6,2ÿ.0/.ÿ> .%,/ÿ! 8ÿ,%-.2ÿ#7ÿ.2ÿ'+ÿ%=&24-+ÿ,02.%,*2./!

!"(5+2"ÿ'( 5)ÿ+6'"#"ÿ6$0"#+2"ÿ> P6(+'+ÿB8S83ÿ+#ÿB8S8>Q8ÿÿY):+$)- 5)ÿ6"1%ÿ)#"8

:ÿÿ"(*,-"+*,*

! !

$

$

! #!

#!!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

!!

JS

2

F

"

F

2

F "

F

"

2

"

FF

2

0/0 )

0 )0/

:%Jÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<8=ÿD=>;ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿD=P?K;ÿ<87=>;E;>=<B7C8;ÿ`.<,b

:%J%&ÿN=>;ÿ<8=ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿC<87;ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿD=P?K;ÿ<87=>;E;ÿ>=<B7C8;ÿ`.<,b

:%J%6ÿN=>;ÿ<8=ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿ8CB;ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿD=P?K;ÿ<87=>;E;ÿ>=<B7C8;ÿ`.<,b

49

3.5 Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot, ki leži krajši stranici nasproti (Ssk) – osnovni postopek

Dani sta stranici a, b in kot α.Pogoji: a < b in kot α < 90°

Narišemo kot α z vrhom v točki A, ki je oglišče A trikotnika. Kot α omejujeta kraka b in c. Krožni lok s polmerom dolžine stranice b in s središčem v oglišču A seka prosti krak b kota α v točki C, ki je oglišče C trikotnika. Nato narišemo krož-ni lok s polmerom dolžine stranice a in s središčem v oglišču C.

V odvisnosti od dolžine stranice a moramo ločiti tri možnosti rešitve naloge.

3.5.1 Možnost 1: V trikotniku je dolžina stranice a krajša od dolžine vc.

Če je dolžina stranice a krajša od dolžine vc, naloga nima rešitve.

Krožni lok s polmerom dolžine stranice a in s središčem v oglišču C ne seka pro-stega kraka c. V tem primeru trikotnik z danimi podatki ne obstaja.

3 TRIKOTNIKI

[)ÿ5)ÿ.%(*+#"ÿ6$0"#+2)ÿ&1"#5:"ÿ%.ÿ.%(*+#)ÿ/29ÿ#"(%<"ÿ#+1"ÿ0):+$-)8

W0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ& 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ$ *+ÿ6+./$0%6,+=/ÿ.0/./ÿ>!ÿHÿ,+1ÿ$021+0(ÿ,02.%,*2.ÿ#ÿ:/*212ÿ$%:/,.2ÿ#)ÿ%F6$"5"!

!"#+ 6$" 6$0"#+2+ÿ&9ÿ3 +#ÿ'%$ÿ!84%<%5+@ÿÿ& Tÿ3 +#ÿ'%$ÿ! Tÿ\WX

A/024+1%ÿ.%,ÿ! #ÿ80;%1 8ÿ ,%-.2ÿ!7ÿ .2ÿ '+ÿ%=&24-+ÿ! ,02.%,*2./!ÿW%,ÿ! %1+'('+,/ÿ.0/./ÿ3 2*ÿ>!ÿW0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1 :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ3 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ!ÿ6+./ÿ$0%6,2ÿ .0/.ÿ3 .%,/ÿ! 8ÿ ,%-.2ÿ$7ÿ .2ÿ '+ÿ%=&24-+ÿ$ ,02.%,*2./!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1 :%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ& 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ$!ÿ

Iÿ%.-+6#%6$+ÿ%.ÿ.%(*+#)ÿ6$0"#+2)ÿ& /"ÿ1%0"1%ÿ(%&+$+ÿ$0+ÿ1%*#%6$+ÿ0):+$-)ÿ#"(%<)8

BCD

$

:ÿÿ"(*,-"+*,*

!!

:%O%&ÿ2C_>C<8ÿ&ÿMÿ/ÿ87;GC8>;GHÿ?9ÿDCP_;>=ÿ<87=>;E9ÿÿÿÿÿF=>?K=ÿCDÿDCP_;>9ÿÿÿÿÿÿÿÿ

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿÿ

:%Oÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<8=ÿD=>;ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿG7=?K;ÿ<87=>;E;>=<B7C8;ÿ`.<Gb

JV

!!

-<>C@>;ÿBC<8CB9G

3

FF

-"ÿT

2

F

0 F

0"

-"ÿT 2

2

" -2


3.5.2 Možnost 2: V trikotniku je dolžina stranice a enaka dolžini vc.

Če je dolžina stranice a enaka dolžini vc, ima naloga eno rešitev.

Krožni lok s polmerom dolžine stranice a in s središčem v oglišču C se dotika prostega kraka c v točki B, ki je oglišče pravokotnega trikotnika ABC.

Daljica AB je iskana stranica c.

!"#

N4O4Mÿ*B\8B6>ÿMÿUÿ$ÿ>?5@B>85@Cÿ9:ÿFB<\587ÿ6>?785D:ÿÿÿÿÿÿ:87@7ÿFB<\585ÿÿÿÿÿÿÿ

Nÿÿ+,).!+#).)

0

((

OS

0 9

9

/

6

0

#ÿ1

0

6

I6

0

#

N4Oÿ#7E?>BG789:ÿ>?5@B>85@7QÿE:ÿ6>7ÿF785ÿ6>?785D5ÿ58ÿ@B>Qÿ@5ÿ<:\5ÿ@?79W5ÿ6>?785D5876;?B>5ÿ^"6@`

# /6

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

" "

#ÿ1 /6

51

3.5.3 Možnost 3: V trikotniku je dolžina stranice a večja od dolžine vc.

Če je dolžina stranice a večja od dolžine vc, ima naloga dve rešitvi.

Krožni lok s polmerom dolžine stranice a in s središčem v oglišču C seka prosti krak c v točkah B1 in B2, ki sta oglišči trikotnika AB1C (slika 3.5.3.1) in trikotnika AB2C (slika 3.5.3.2).

Daljici AB1 in AB2 sta iskani stranici c1 in c2.

Slika 3.5.3.2

Slika 3.5.3.1

3 TRIKOTNIKI

[)ÿ5)ÿ.%(*+#"ÿ6$0"#+2)ÿ& -)&5" %.ÿ.%(*+#)ÿ/29ÿ+1" #"(%<"ÿ.-)ÿ0):+$-+8

W0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ& 2*ÿ6ÿ60+:24-+1ÿ8ÿ%=&24-(ÿ$ 6+./ÿ$0%6,2ÿ.0/.ÿ> 8ÿ,%-./;ÿ#E 2*ÿ#G7ÿ.2ÿ6,/ÿ%=&24-2ÿ,02.%,*2./ÿ!#E$ <6&2./ÿK!I!K!E>ÿ 2*ÿ,02.%,*2./ÿ!#G$ <6&2./ÿK!I!K!G>!

!"(5+2+ÿ'(3 +#ÿ'(> 6$" +6'"#+ÿ6$0"#+2+ÿ>3 +#ÿ>>8ÿ

BCD

BCD

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

:ÿÿ"(*,-"+*,*

O&

:%Oÿ+=I78C@=>?9ÿ87;GC8>;G=RÿI9ÿ<8=ÿD=>;ÿ<87=>;E;ÿ;>ÿGC8RÿG;ÿP9_;ÿG7=?K;ÿ<87=>;E;>=<B7C8;ÿ`.<Gb

2

E

:%O%:ÿ2C_>C<8ÿ:ÿMÿ/ÿ87;GC8>;GHÿ?9ÿDCP_;>=ÿ<87=>;E9ÿÿÿÿÿÿ@9I?=ÿCDÿDCP_;>9ÿÿÿÿÿÿÿ

0

"!

F

F

"

G2

0

"ÿZ -

> #

F

$

!!

$

!!

F

0

"-

2

F

3

2!

! !

F

"

"ÿZ

E#

#

"ÿZ -2

F

# E

-2

0 F

"

"ÿZ -2

2

2

@&2./ÿK!I!K!G

@&2./ÿK!I!K!E

!"ÿ#"ÿ$%&'()*ÿ+,-*)(."ÿ! /"0#*ÿ%$ÿ$%&'()"ÿ".1ÿ(2*ÿ)*&%3*ÿ$/"ÿ-"4(,/(5

!"#$%&ÿ'#(ÿ)ÿ*#'+,"#+ÿ-#'$&%,ÿ)."/%&0,ÿ! &%ÿ)ÿ)",-&12,+ 3ÿ#4'&125ÿ! ),(/ÿ*"#).&ÿ("/(ÿ# 3ÿ.#2(/6ÿ"7 &%ÿ"89ÿ(&ÿ)./ÿ#4'&12&ÿ."&(#.%&(/ÿ#"7! :)'&(/ÿ;<=<;<7>ÿ &%ÿ."&(#.%&(/ÿ#"8! :)'&(/ÿ;<=<;<8><

6*&#(.(ÿ$%7 ()ÿ$%8 +,*ÿ(+9*)(ÿ+,-*)(.(ÿ#7 ()ÿ#85ÿ

?@A

?@A

$%&$'&(ÿ)*#&+,(-.+/%0(ÿ0$&%-.10!+/(

2ÿÿ-.+0$-&+0+

34

253ÿ&6789:;6<=>ÿ98?@:9<?@6Aÿ7>ÿB96ÿC6<?ÿB986<?D?ÿ?<ÿ@:9Aÿ@?ÿE>F?ÿ@86=G?ÿB986<?D?<6BH8:9?ÿI%B@J

.

7

25352ÿ,:F<:B9ÿ2ÿKÿ'ÿ98?@:9<?@Lÿ=>ÿC:EF?<6ÿB986<?D>ÿÿÿÿÿÿ;>7=6ÿ:CÿC:EF?<>ÿÿÿÿÿÿÿ

-

*!

:

:

*

8.

-

*ÿ; /

8 "

:

!

##

!

##

:

-

*/

.

:

7

.!

! !

:

*

*ÿ;

"

*ÿ; /.

:

" 7

/.

- :

*

*ÿ; /.

.

.

B'&(/ÿ;<=<;<8

B'&(/ÿ;<=<;<7

8"


4 PRAVILNI MNOGOKOTNIK V OČRTANEM KROGU

4.1 Načrtovanje pravilnih mnogokotnikov

Natančne grafične konstrukcije pravilnih n-kotnikov:

Konstruktibilni n-kotniki, ki jih lahko natančno narišemo z ravnilom in šestilom za n (število stranic) < 100:3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96.

Približne grafične konstrukcije pravilnih n-kotnikov:

Natančna konstrukcija z ravnilom in šestilom pravilnega n-kotnika, kjer je število stranic n poljubno izbrano, ni vedno izvedljiva. Zato uporabljamo približne kon-strukcije, katerih rezultati so v grafični obliki ustrezni.

Nekatere pravilne mnogokotnike je mogoče narisati na več načinov. Izberemo tisto konstrukcijo, ki je v nalogi najprimernejša.

4.2 Enačbe za izračun elementov v pravilnem mnogokotniku

α GÿBβ

α Gÿ'

AHE°

.+ Gÿ/ÿ⋅ *"5ÿβ

B+ Gÿ/ÿ⋅ 5)'ÿβ

.+ GÿB+

⋅ *"#ÿβ

/B Gÿ. B+ Iÿ

C+B

(

!"

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

*%$ÿ+,-.)(/,012ÿV.,/HJ0HOÿI0(R(3()0H3(/

FC

*%Cÿ90,-U2ÿW,ÿHW.,-Q0ÿ2J2I20)(/ÿ/ÿV.,/HJ02IÿI0(R(3()0H3Q

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7S7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7SA

8$

"

#

(&

53

4.3 Enakostranični trikotnik

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Iz točke na krožnici nanašamo na krožnico njegov polmer r, da dobimo 6 točk. Vsaka druga točka je oglišče enakostraničnega trikotnika.

Opomba: Iz risbe vidimo, da je daljica MN simetrala polmera r očrtanega kro-ga, dolžina daljice MN pa je enaka dolžini stranice BC enakostraničnega tri-kotnika.

4.4 Pravilni šestkotnik

V pravilnem šestkotniku je polmer r očrtanega kroga enak dolžini stranice a. Narišemo očrtani krog z danim polmerom r in iz točke na krožnici nanašamo njegov polmer r kot tetivo na krožnico.


;ÿ/"&.50')<ÿ?)4+$*+'5$2ÿ()ÿ/*0<)"ÿ! *>"+&')1&ÿ$"*1&ÿ)'&$ÿ9*0F5'5 4+"&'5=)ÿ(:ÿ%&'()*+,ÿ,4'/&:(ÿ0',Eÿ1ÿ>&:(+ -,.+*',+ÿ! (:ÿ (1ÿ /,40*ÿ:&ÿ0',7:(?(ÿ:&:&)&+,ÿ:6*E,2ÿ-,.+*'ÿ! 0,/ /*/(2,ÿ:&ÿ0',7:(?,8

%&'()*+,ÿ,4'/&:(ÿ0',Eÿ1ÿ>&:(+ -,.+*',+ÿ!8ÿ91ÿ/,40*ÿ:&ÿ0',7:(?(ÿ:&:&)&+,ÿ:&ÿ0',7:(?,ÿ :6*E,2ÿ -,.+*'ÿ !5ÿ >&ÿ >,=(+,ÿ Aÿ /,408 Q;&0&ÿ>'<E&ÿ /,40&ÿ 6*ÿ ,E.()4*ÿ*:&0,;/'&:(4:*E&ÿ/'(0,/:(0&8

7/*<8&Dÿ G6ÿ "548)ÿ .595<*! 9&ÿ ()ÿ 9&0(5=&ÿ)* 45<)+"&0& /*0<)"&ÿ !ÿ *>"+&')1&ÿ$"*1&! 9*0F5'&ÿ9&0(5=)ÿ)* /&ÿ ()ÿ)'&$&ÿ9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ%& )'&$*4+"&'5>')1&ÿ+"5$*+'5$&:ÿ

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7V7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7VA

"

"

# B

"

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

*%&ÿ90,3(T).,0I-0Iÿ).I3()0I3

G&

8

*%*ÿ:.,/IK0IÿY2T)3()0I3

"

"

#

B

E

"

9

F"ÿHÿ&

8

= +"

7

T

T

#B=+T=7 7+

7"87

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7S7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7SA

$

"

# B

$

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

*%&ÿ90,3(X).,0H-0Hÿ).H3()0H3

F&

8

*%*ÿ:.,/HJ0HÿY2X)3()0H3

= +$

7

G

G

#B=+G=7 7+

7"87


4.5 Kvadrat

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S kroga narišemo dva med seboj pravokotna premera, da sekata krožnico v točkah A, B, C in D, ki so oglišča kvadrata.

4.6 Pravilni dvanajstkotnik

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S kroga narišemo dva med seboj pravokotna premera, da sekata krožnico v točkah A, D, G in J, ki so že štiri oglišča pravilnega dvanajstkotnika. Iz teh oglišč narišemo skozi sre-dišče S krožne loke s polmerom r. Presečišča krožnih lokov s krožnico so manj-kajoča oglišča pravilnega dvanajstkotnika.

A/024+1%ÿ%-0,/*2ÿ .0%=ÿ #ÿ:/*21 $%&1+0%1ÿ #!ÿ @.%#2ÿ 60+:24-+ÿ. .0%=/ÿ*/024+1%ÿ:8/ÿ1+:ÿ6+)%'ÿ$0/8%.%,*/ÿ$0+1+0/7ÿ:/ÿ6+./,/ÿ.0%5*23%ÿ8ÿ,%-./;ÿ!7ÿN7ÿ] 2*ÿ37ÿ.2ÿ 6%ÿ 5+ÿ 4,202ÿ %=&24-/ÿ $0/82&*+=/ÿ :8/*/'6,.%,*2./!ÿ "#ÿ ,+;ÿ %=&24-ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ60+:24-+ÿ . .0%5*+ &%.+ÿ 6ÿ $%&1+0%1ÿ #!ÿ 90+6+-24-/ÿ .0%5*2;ÿ &%.%8ÿ 6ÿ .0%5*23%ÿ 6%ÿ1/*'./'%-/ÿ%=&24-/ÿ$0/82&*+=/ÿ:8/*/'6,.%,*2./!

A/024+1%ÿ%-0,/*2ÿ .0%=ÿ #ÿ:/*21 $%&1+0%1ÿ#!ÿ @.%#2ÿ 60+:24-+ÿ. .0%=/ÿ*/024+1%ÿ:8/ÿ1+:ÿ6+)%'ÿ$0/8%.%,*/ÿ$0+1+0/7ÿ:/ÿ6+./,/ÿ.0%5*23%ÿ8ÿ,%-./;ÿ!7ÿ#7ÿ$ 2*ÿN7ÿ.2ÿ6%ÿ%=&24-/ÿ.8/:0/,/!

BCD

BCD

Jÿÿ0(!/*1+*ÿ2+-]-,-"+*,ÿ/ÿ-'("!+)2ÿ,(-]4

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ

.

!

N

]

3

.

!

#

$

N

0 0

J%Oÿÿ,@=D7=8

J%Qÿ07=@;P>;ÿD@=>=?<8GC8>;G

00

$

)

U 5

*

,

1#

OJ

A/024+1%ÿ%-0,/*2ÿ .0%=ÿ #ÿ:/*21 $%&1+0%1ÿ #!ÿ @.%#2ÿ 60+:24-+ÿ. .0%=/ÿ*/024+1%ÿ:8/ÿ1+:ÿ6+)%'ÿ$0/8%.%,*/ÿ$0+1+0/7ÿ:/ÿ6+./,/ÿ.0%5*23%ÿ8ÿ,%-./;ÿ!7ÿN7ÿ] 2*ÿ37ÿ.2ÿ 6%ÿ 5+ÿ 4,202ÿ %=&24-/ÿ $0/82&*+=/ÿ :8/*/'6,.%,*2./!ÿ "#ÿ ,+;ÿ %=&24-ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ60+:24-+ÿ . .0%5*+ &%.+ÿ 6ÿ $%&1+0%1ÿ #!ÿ 90+6+-24-/ÿ .0%5*2;ÿ &%.%8ÿ 6ÿ .0%5*23%ÿ 6%ÿ1/*'./'%-/ÿ%=&24-/ÿ$0/82&*+=/ÿ:8/*/'6,.%,*2./!

A/024+1%ÿ%-0,/*2ÿ .0%=ÿ #ÿ:/*21 $%&1+0%1ÿ#!ÿ @.%#2ÿ 60+:24-+ÿ. .0%=/ÿ*/024+1%ÿ:8/ÿ1+:ÿ6+)%'ÿ$0/8%.%,*/ÿ$0+1+0/7ÿ:/ÿ6+./,/ÿ.0%5*23%ÿ8ÿ,%-./;ÿ!7ÿ#7ÿ$ 2*ÿN7ÿ.2ÿ6%ÿ%=&24-/ÿ.8/:0/,/!

BCD

BCD

Jÿÿ0(!/*1+*ÿ2+-]-,-"+*,ÿ/ÿ-'("!+)2ÿ,(-]4

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ

.

!

N

]

3

.

!

#

$

N

0 0

J%Oÿÿ,@=D7=8

J%Qÿ07=@;P>;ÿD@=>=?<8GC8>;G

00

$

)

U 5

*

,

1#

OJ

55

4.7 Pravilni petkotnik in pravilni desetkotnik – osnovni postopek

Dolžini stranic pravilnega 5-kotnika in pravilnega 10-kotnika določimo z isto osnovno konstrukcijo.Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S narišemo premer MN in na ta premer pravokotni polmer SP. Razpolovimo polmer SN, da dobimo razpolovišče O. Iz točke O narišemo krožni lok skozi točko P, da seka premer MN v točki R.

4.8 Pravilni petkotnik

Dolžina daljice PR je enaka dolžini stranice pravilnega petkotnika, ki jo nana-šamo kot tetivo na krožnico.

4.9 Pravilni desetkotnik

Dolžina daljice RS je enaka dolžini stranice pravilnega desetkotnika, ki jo nana-šamo kot tetivo na krožnico.


S,.7(:&ÿ >&.6(?*ÿ :? 6*ÿ *:&0&ÿ 9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1&ÿ /)+$*+'5$&5ÿ 0(ÿ 6,ÿ:&:&)&+,ÿ0,/ /*/(2,ÿ:&ÿ0',7:(?,8

%*0F5'5ÿ 4+"&'5=ÿ /"&.50')1& IC$*+'5$&ÿ 5'ÿ /"&.50')1&ÿ ,JC$*+'5$&ÿ 9*0*>5<*ÿ 6 54+*ÿ*4'*.'*ÿ$*'4+"2$=5(*:%&'()*+,ÿ,4'/&:(ÿ0',Eÿ1ÿ>&:(+ -,.+*',+ÿÿ!8ÿF0,1(ÿ;'*>()4*ÿ8 :&'()*+,ÿ-'*+*'ÿ=+ (:ÿ :&ÿ /&ÿ -'*+*'ÿ -'&2,0,/:(ÿ -,.+*'ÿ 8:8ÿ Y&1-,.,2(+,ÿ -,.+*'ÿ 8+5ÿ >&ÿ>,=(+,ÿ'&1-,.,2()4*ÿ78ÿ 91ÿ/,40*ÿ7 :&'()*+,ÿ0',7:(ÿ .,0ÿ;0,1(ÿ/,40,ÿ:5ÿ>&ÿ;*0&ÿ-'*+*'ÿ=+ 2ÿ/,40(ÿ?8

S,.7(:&ÿ >&.6(?*ÿ ?8 6*ÿ *:&0&ÿ 9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1&ÿ 9)4)+$*+'5$&5ÿ 0(ÿ 6,ÿ:&:&)&+,ÿ0,/ /*/(2,ÿ:&ÿ0',7:(?,8

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7V7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7VA

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

*%Hÿ:.,/IK0IÿQ2)3()0I3

*%Mÿ:.,/IK0IÿP2T2)3()0I3

GG

&,J

@#

<B

Z

VF

9

E

"

&,J

& I

""KK

""

7?= +

:

#

B E

9

"&

KK

I

""

""

&I&I

?= +

:

78

8

*%[ÿ:.,/IK0IÿQ2)3()0I3ÿI0ÿQ.,/IK0IÿP2T2)3()0I3ÿLÿ(T0(/0IÿQ(T)(Q23

S,.7(:&ÿ >&.6(?*ÿ :? 6*ÿ *:&0&ÿ 9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1&ÿ /)+$*+'5$&5ÿ 0(ÿ 6,ÿ:&:&)&+,ÿ0,/ /*/(2,ÿ:&ÿ0',7:(?,8

%*0F5'5ÿ 4+"&'5=ÿ /"&.50')1& IC$*+'5$&ÿ 5'ÿ /"&.50')1&ÿ ,JC$*+'5$&ÿ 9*0*>5<*ÿ 6 54+*ÿ*4'*.'*ÿ$*'4+"2$=5(*:%&'()*+,ÿ,4'/&:(ÿ0',Eÿ1ÿ>&:(+ -,.+*',+ÿÿ!8ÿF0,1(ÿ;'*>()4*ÿ8 :&'()*+,ÿ-'*+*'ÿ=+ (:ÿ :&ÿ /&ÿ -'*+*'ÿ -'&2,0,/:(ÿ -,.+*'ÿ 8:8ÿ Y&1-,.,2(+,ÿ -,.+*'ÿ 8+5ÿ >&ÿ>,=(+,ÿ'&1-,.,2()4*ÿ78ÿ 91ÿ/,40*ÿ7 :&'()*+,ÿ0',7:(ÿ .,0ÿ;0,1(ÿ/,40,ÿ:5ÿ>&ÿ;*0&ÿ-'*+*'ÿ=+ 2ÿ/,40(ÿ?8

S,.7(:&ÿ >&.6(?*ÿ ?8 6*ÿ *:&0&ÿ 9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1&ÿ 9)4)+$*+'5$&5ÿ 0(ÿ 6,ÿ:&:&)&+,ÿ0,/ /*/(2,ÿ:&ÿ0',7:(?,8

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7V7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7VA

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

*%Hÿ:.,/IK0IÿQ2)3()0I3

*%Mÿ:.,/IK0IÿP2T2)3()0I3

GG

&,J

@#

<B

Z

VF

9

E

"

&,J

& I

""KK

""

7?= +

:

#

B E

9

"

&

KK

I

""

""

&I&I

?= +

:

78

8

*%[ÿ:.,/IK0IÿQ2)3()0I3ÿI0ÿQ.,/IK0IÿP2T2)3()0I3ÿLÿ(T0(/0IÿQ(T)(Q23


4.10 Pravilni osemkotnik v očrtanem krogu

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S narišemo dva med seboj pravokotna premera, da sekata krožnico v točkah A, C, E in G, ki so že štiri oglišča pravilnega osemkotnika. Vmesna oglišča dobimo tako, da razpolo-vimo krožne loke, ki pripadajo četrtinam kroga. Simetrale sekajo krožnico v toč-kah, ki so manjkajoča oglišča pravilnega osemkotnika.

4.11 Pravilni osemkotnik v očrtanem kvadratu

Narišemo očrtani kvadrat z dano dolžino stranice m (konstrukcija 5.2). V kva-dratu narišemo diagonali, da dobimo središče S. Iz oglišč kvadrata narišemo krožne loke skozi njegovo središče S. Presečišča teh krožnih lokov s stranicami kvadrata so oglišča pravilnega včrtanega osemkotnika.

%&'()*+,ÿ ,4'/&:(ÿ 0',Eÿ 1ÿ >&:(+ -,.+*',+ÿ !8ÿ F0,1(ÿ ;'*>()4*ÿ 8 :&'()*+,ÿ >2&ÿ+*>ÿ;*=,6ÿ-'&2,0,/:&ÿ-'*+*'&5ÿ>&ÿ;*0&/&ÿ0',7:(?,ÿ2ÿ/,40&3ÿ"5ÿB5ÿ9 (:ÿV5ÿ0(ÿ;,ÿ 7*ÿ Kÿ ,E.()4&ÿ -'&2(.:*E&ÿ ,;*+0,/:(0&8ÿ Q+*;:&ÿ ,E.()4&ÿ >,=(+,ÿ /&0,5ÿ >&ÿ'&1-,.,2(+,ÿ 0',7:*ÿ .,0*5 0(ÿ -'(-&>&6,ÿ 4*/'/(:&+ÿ 0',E&8 F(+*/'&.*ÿ ;*0&6,ÿ0',7:(?,ÿ2ÿ/,40&35ÿ0(ÿ;,ÿ+&:60&6,4&ÿ,E.()4&ÿ-'&2(.:*E&ÿ,;*+0,/:(0&8

%&'()*+,ÿ ,4'/&:(ÿ 02&>'&/ 1ÿ >&:,ÿ >,.7(:,ÿ ;/'&:(?*ÿ + H0,:;/'<0?(6&ÿ R8#I8ÿ Qÿ02&>'&/<ÿ :&'()*+,ÿ >(&E,:&.(5 >&ÿ >,=(+,ÿ ;'*>()4*ÿ 88ÿ 91ÿ ,E.()4ÿ 02&>'&/&ÿ:&'()*+,ÿ0',7:*ÿ .,0*ÿ;0,1(ÿ:6*E,2,ÿ;'*>()4*ÿ 88ÿN'*;*4()4&ÿ /*3ÿ0',7:(3ÿ .,0,2ÿ;ÿ;/'&:(?&+( 02&>'&/&ÿ;,ÿ,E.()4&ÿ-'&2(.:*E&ÿ24'/&:*E&ÿ,;*+0,/:(0&8

KRC

!BC

&

"

"

B

9

"

V8

,

,

"

#"

B

EV

Z

9F

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ789='7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7VAÿ<+ÿ'!"E?">A

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

"

<

E F

Z#

&

G4

=

+ +

=

*%$5ÿ:.,/IK0Iÿ(T2J3()0I3ÿ/ÿ(-.),02Jÿ3.(RS

*%$$ÿ:.,/IK0Iÿ(T2J3()0I3ÿ/ÿ(-.),02Jÿ3/,P.,)S

8

!"#

$%#

!

!

!

"

#

$%

"

"

!

&ÿÿ'(#)*+,*ÿ-%"./-0,*/ÿ)ÿ-1(0#,".ÿ/(-$2ÿ*,ÿ/)#3(#02

-%,-),"ÿ'+#,*."0(*4%/"ÿ/-,%0(2/!*4"

!

3 5

67

89

&:;<ÿ'=>?@AB@ÿCDEFGCHB@Gÿ?ÿCI=H>BEFÿG=CJK

&:;;ÿ'=>?@AB@ÿCDEFGCHB@Gÿ?ÿCI=H>BEFÿG?>L=>HK

57

4.12 Približna konstrukcija pravilnega sedemkotnika

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r in v tem krogu polmer SP, ki ga raz-polovimo ter narišemo simetralo do presečišča M s krožnico. Dolžina simetrale od razpolovišča O polmera do presečišča M na krožnici je približno enaka dol-žini stranice pravilnega sedemkotnika (tukaj daljica OM), ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico. Velja tudi, da je razdalja OM enaka razdalji ON.

Opomba: Približno konstrukcijo stranice pravilnega sedemkotnika v danem očrtanem krogu lahko opišemo tudi drugače.

Na risbi vidimo, da je dolžina simetrale MN enaka dolžini stranice enakostra-ničnega trikotnika v danem očrtanem krogu (konstrukcija 4.3). Prav tako pa je iz risbe razvidno, da je dolžina polovice stranice (MO=ON) enakostra-ničnega trikotnika približno enaka dolžini stranice pravilnega sedemkotnika v danem očrtanem krogu.


%&'()*+,ÿ,4'/&:(ÿ 0',Eÿ 1ÿ>&:(+ -,.+*',+ÿ ! (:ÿ 2ÿ /*+ 0',E<ÿ-,.+*'ÿ8:5ÿ 0(ÿ E&ÿ'&1-,.,2(+,ÿ (:ÿ :&'()*+,ÿ ;(+*/'&.,ÿ >,ÿ -'*;*4()4&ÿ = ;ÿ 0',7:(?,8 S,.7(:&ÿ;(+*/'&.*ÿ,>ÿ'&1-,.,2()4&ÿ7 -,.+*'&ÿ>,ÿ-'*;*4()4&ÿ= :&ÿ0',7:(?(ÿ 6*ÿ-'(=.(7:,ÿ*:&0&ÿ 9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1& 4)9)<$*+'5$& H/<0&6ÿ >&.6(?&ÿ 7=I5ÿ 0(ÿ 6,ÿ:&:&)&+,ÿ0,/ /*/(2,ÿ:&ÿ0',7:(?,8ÿQ*.6&ÿ/<>(5ÿ>&ÿ6*ÿ'&1>&.6&ÿ7= *:&0&ÿ'&1>&.6(ÿ7+8

7/*<8&Dÿ E"5805F'*ÿ $*'4+"2$=5(* 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1&ÿ 4)9)<$*+'5$&ÿ .ÿ 9&')<ÿ*>"+&')<ÿ$"*12ÿ0&#$*ÿ*/5?)<*ÿ+295ÿ9"21&>):

@&ÿ "5485 .595<*!ÿ 9& () 9*0F5'&ÿ 45<)+"&0)ÿ )* )'&$&ÿ 9*0F5'5ÿ 4+"&'5=)ÿ)'&$*4+"&'5>')1&ÿ+"5$*+'5$&ÿ.ÿ9&')<ÿ*>"+&')<ÿ$"*12ÿL$*'4+"2$=5(&ÿM:NO:ÿE"&.ÿ+&$*ÿ /&ÿ ()ÿ 56ÿ "548)ÿ "&6.59'*! 9&ÿ ()ÿ 9*0F5'&ÿ/*0*.5=)ÿ 4+"&'5=)ÿ L), T,*Oÿ)'&$*4+"&'5>')1&ÿ +"5$*+'5$&ÿ /"5805F'*ÿ )'&$&ÿ 9*0F5'5 4+"&'5=)ÿ /"&.50')1&ÿ4)9)<$*+'5$&ÿ.ÿ9&')<ÿ*>"+&')<ÿ$"*12:ÿ

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7V7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7VA

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 G[

*%$Cÿ:.IXKI\0,ÿ3(0T).S3]I1,ÿQ.,/IK02R,ÿT2P2J3()0I3,

&P

"$

##""

" #

" J

" K

" R

" A

" O7:

=

+

&P"

8


4.13 Približna konstrukcija pravilnega devetkotnika

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S narišemo premer KL in na ta premer pravokotni polmer SA1. Iz krajišča L narišemo krožni lok skozi središče S. Iz krajišča K narišemo krožni lok skozi točko A1 na krožnici. Ta krožni kot seka premer KL v točki N. Oba krožna loka se sekata v točki M. Dolžina daljice MN je približno enaka dolžini stranice pravilnega devetkotnika, ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico.

4.14 Približna konstrukcija pravilnega enajstkotnika

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S narišemo dva med seboj pravokotna polmera SA1 in SJ. Narišemo simetralo polmera SJ, da dobimo razpoloviš-če N. Iz krajišča J narišemo skozi središče S krožni lok, ki seka krožnico k v točki K. Iz točke K narišemo skozi središče S krožni lok, ki seka krožnico k v točki L. Zveznica točke L na krožnici k in razpolovišča N na polmeru SJ seka krožni lok SK v točki M. Dolžina daljice MN je približno enaka dolžini stranice pravilnega enajstkotnika, ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico.

A/024+1%ÿ%-0,/*2ÿ.0%=ÿ#ÿ:/*21ÿ$%&1+0%1ÿ#!ÿ@.%#2ÿ60+:24-+ÿ. */024+1%ÿ$0+1+0ÿ,1 2*ÿ*/ÿ,/ÿ$0+1+0ÿ$0/8%.%,*2ÿ$%&1+0ÿ.!E!ÿ "#ÿ.0/'24-/ÿ1 */024+1%ÿ.0%5*2ÿ &%.ÿ6.%#2ÿ60+:24-+ÿ.!ÿ "#ÿ.0/'24-/ÿ, */024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ6.%#2ÿ,%-.%ÿ!E */ÿ.0%5*2327ÿ:/ÿ6+./ÿ$0+1+0ÿ,1 8ÿ,%-.2ÿ+!ÿ`)/ÿ.0%5*/ÿ &%./ÿ 6+ÿ 6+./,/ÿ8 ,%-.2ÿ2!ÿV%&52*/ÿ:/&'23+ÿ2+ '+ $02)&25*%ÿ+*/./ÿ.%(*+#+ÿ6$0"#+2)ÿ/0"-+(#)<"ÿÿ.)-)$'%$#+'"7ÿ.2 '%ÿ*/*/4/1%ÿ.%,ÿ,+,28%ÿ*/ÿ.0%5*23%!

A/024+1%ÿ%-0,/*2ÿ.0%=ÿ#ÿ:/*21ÿ$%&1+0%1ÿ#!ÿ@.%#2ÿ60+:24-+ÿ. */024+1%ÿ:8/ÿ1+:ÿ6+)%'ÿ$0/8%.%,*/ÿ $%&1+0/ÿ .!E 2*ÿ .3!ÿ A/024+1%ÿ 621+,0/&%ÿ $%&1+0/ÿ .37ÿ :/ÿ :%)21%ÿ0/#$%&%824-+ÿ+!ÿ "# .0/'24-/ÿ3 */024+1%ÿ6.%#2ÿ 60+:24-+ÿ. .0%5*2ÿ &%.7ÿ.2ÿ 6+./ÿ.0%5*23%ÿ' 8ÿ,%-.2ÿ,!ÿ "#ÿ ,%-.+ÿ, */024+1%ÿ 6.%#2ÿ 60+:24-+ÿ . .0%5*2ÿ &%.7ÿ .2ÿ 6+./ÿ .0%5*23%ÿ ' 8ÿ ,%-.2ÿ 1!ÿJ8+#*23/ÿ,%-.+ÿ1 */ÿ.0%5*232ÿ' 2*ÿ 0/#$%&%824-/ÿ+ */ÿ$%&1+0(ÿ.3 6+./ÿ.0%5*2ÿ &%.ÿ., 8ÿ,%-.2ÿ 2!ÿ V%&52*/ÿ :/&'23+ÿ 2+ '+ÿ $02)&25*%ÿ +*/./ÿ .%(*+#+ 6$0"#+2)ÿ /0"-+(#)<"ÿ)#"56$'%$#+'"7ÿ.2 '%ÿ*/*/4/1%ÿ.%,ÿ,+,28%ÿ*/ÿ.0%5*23%!

Jÿÿ0(!/*1+*ÿ2+-]-,-"+*,ÿ/ÿ-'("!+)2ÿ,(-]4

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

?

J%&:ÿ07;\P;_>=ÿGC><87HGE;?=ÿB7=@;P>9Z=ÿD9@98GC8>;G=

0

1,

2

dÿOS

"\

B

! !

!

!!

!!

!

! O

!

.

]

E

G

K

L

I P

!!

!

!

!

! !

!

!

!

!EEE

G

K EC

L

I

P ]

O

B0

'

0 2

1 ,

3+

"33

.

J%&Jÿ07;\P;_>=ÿGC><87HGE;?=ÿB7=@;P>9Z=ÿ9>=>=?<8GC8>;G=

!ÿÿ"#$%&'(&ÿ)(*+*,*-(&,ÿ%ÿ*.#-$(/)ÿ,#*+0

*1(*%(/ÿ"'$(&)/-#&21,/ÿ,*(1-#0,3&2/

!456ÿ"789:8;<=ÿ>?<@A7B>C8D=ÿE7=F8:<GH=ÿIGFGA>?A<8>=

!

JÿKL

"#

!

$ $

$

$

$$

$

$ "

$

1

#

$

%

&

'

( )

!45!ÿ"789:8;<=ÿ>?<@A7B>C8D=ÿE7=F8:<GH=ÿG<=<=D@A>?A<8>=

! )

, '(

59

4.15 Približna konstrukcija pravilnega mnogokotnika v očrtanem krogu – splošni način

Na sliki je narisan pravilni sedemkotnik.

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Skozi središče S kroga narišemo dva med seboj pravokotna premera. Premer PR razdelimo na toliko enakih de-lov (konstrukcija 1.7), kolikor ima pravilni mnogokotnik stranic. Iz točk P in R na-rišemo krožna loka s polmerom dolžine PR. Ta krožna loka se sekata v točkah N1 in N2. Iz točk N1 in N2 ter skozi vsako drugo delilno točko na premeru PR na-rišemo poltrake, ki jih podaljšamo do krožnice k. Te zveznice sekajo krožnico v točkah, ki so oglišča iskanega pravilnega mnogokotnika.


FM78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

*%$Fÿ:.HUJHZ0,ÿ3(0X).Q3[H1,ÿV.,/HJ02R,ÿI0(R(3()0H3,ÿ/ÿ(-.),02Iÿ3.(RQÿKXVJ(Y0Hÿ0,-H0

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7S7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7SA

B

$J

A

H

C

K

BS#

L 9

8EB

L

J

( (

?

++

#

: "

M/)ÿ3

/+.)

4'%&

ÿ5%2

%&-"

#')-

6ÿ'+

'%5%

&"ÿ

'+ÿ3

/%&

%/ÿÿÿ

ÿLÿ

%'+-

)7ÿ2

%4".

9:?


4.16 Pravilni 2n-kotnik

n = število stranic osnovnega pravilnega mnogokotnika 2n = pravilni mnogokotnik z 2-kratnim številom stranic osnovnega pravilnega

mnogokotnika

Na sliki je narisana konstrukcija pravilnega štirinajstkotnika.

Narišemo očrtani krog z danim polmerom r. Nato določimo oglišča pravilnega n-kotnika (tukaj je narisan pravilni sedemkotnik) po osnovni konstrukciji. Vmes-na oglišča dobimo tako, da razpolovimo loke, ki pripadajo središčnim kotom 360°/n pravilnega n-kotnika. Simetrale sekajo krožnico v točkah, ki so vmesna oglišča pravilnega 2n-kotnika.

""JJ

"

"JA

*ÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7S7'7>+<'ÿ!ÿ7D?>"+9=ÿ'?7SA

D

"K

"A "J

L

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

8

$

45

$

#$

)()(

( %*

(%*

"JC

"B

"C

"H

"N "JE

"JB

*%$4ÿ:.,/HJ0HÿCÿÿÿÿÿ3()0H3

@Bα

@Bα

AHE@L+α

61

4.17 Pravilni petnajstkotnik

Stranico pravilnega 15-kotnika dobimo s prekrivanjem pravilnega 5-kotnika z enakostraničnim 3-kotnikom.

V očrtanem krogu z danim polmerom r narišemo pravilni 5-kotnik in enako-stranični 3-kotnik, tako da imata eno skupno oglišče (tukaj oglišče A1). Krožni lok, ki pripada stranici pravilnega 15-kotnika, je enak razliki krožnih lokov med 2/5 pravilnemu 5-kotniku očrtane krožnice in 1/3 enakostraničnemu 3-kotniku očrtane krožnice.

Dolžina tetive, ki pripada krožnemu loku B3D5, je enaka stranici pravilnega 15-kotnika, ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico. Velja tudi, da je dolžina tetive E5C3

enaka stranici pravilnega 15-kotnika.


!"# !"# $!# !"#!"# $!#

!ÿÿ"#$%&'(&ÿ)(*+*,*-(&,ÿ%ÿ*.#-$(/)ÿ,#*+0

*1(*%(/ÿ"'$(&)/-#&21,/ÿ,*(1-#0,3&2/ÿ

$

$

$%&

$ '

$

$ %(

%%

$%!

%"

$%)

$$

*

$ !

$ &

$ "

$ )

$ +

)

,-./01234567ÿ/017.548ÿ917:5;.8<7ÿ980.76/03-0.537

11

)

45

& &6 3

7 /

!859ÿ":;<=>?=ÿ@AB?;CDBEFB?=E

=17:5;.5ÿ980.76/03-0.53

!"# !"#

$ % $ %

$ $$

5 2 očrt. krožnice 5-kotn. –

3 1 očrt. krožnice 3-kotn. = 6

15 – 5

15 = 1

15 očrt. krožnice 15-kotn.


4.18 Pravilni sedemnajstkotnik

Zanimivost:Konstrukcijo za pravilni 17-kotnik je odkril Carl Friedrich Gauss leta 1796 (po več kot 2000 letih neuspešnega iskanja matematikov), ko je bil star komaj 19 let.

Narišemo očrtani krog k17 z danim polmerom r. Skozi središče S narišemo pre-mer BA1 in na ta premer pravokotni polmer SC.

Točka D: Točko D na polmeru SC določimo tako, da je razdalja SD enaka 1/4 polmera SC. Zvežemo točki D in A1 z daljico.

!"#$%$&'()*+'#(),-./$0' 1"ÿ 2,"&$3#$ÿ 456.')#$.ÿ 07ÿ '8.,$3ÿ 9",3 :,$78,$/;ÿ<"-((ÿ 37)"ÿ 45=>ÿ ?2'ÿ&7@ÿ.') ABBBÿ37)$;ÿ#7-(27C#7D"ÿ$(."#0"ÿ%")7%")$.'&EF .'ÿ07ÿG$3 ()",ÿ.'%"0 4=ÿ37)H

I",$C7%'ÿ'@,)"#$ .,'Dÿ!45 1ÿ8"#$%ÿ2'3%7,'%ÿ"HÿJ.'1$ (,78$C@7ÿ# #",$C7%'ÿ2,7%7,ÿ$%4 $#ÿ#"ÿ)"ÿ2,7%7,ÿ2,"&'.')#$ÿ2'3%7,ÿ#&H

K'@."ÿ'!ÿ"#$%#ÿ! &'ÿ(#)*+,-ÿ"# .#)#$/*#ÿ0'%#1ÿ.'ÿ2+ÿ,'3.')2'ÿ"! +&'%'ÿ456(#)*+,'ÿ"#7ÿ89+:+*#ÿ0#$%/ÿ! /&ÿ$4 3ÿ.')2/;#7

!

6<=

>414?@=

%&$'()*(ÿ+*,-,.,/*(.(ÿ'ÿ,0&/$*1+ÿ.&,-2

,"*,'*1ÿ%)$*(+1/&(3".1ÿ.,*"/&2.#(31ÿ

4?

4>

4A

46

>$

44

4<

4@

B

C

?$

$

$

$

$

$

4D$ $$

$

$

D$

$ 6$ <@$

"

45

6

#

71(

"45

"45

"45

,

89:;ÿ%<=>?@A?ÿBCDCEA=FBGHIGA?H

47$

47$

<

.

.

45

.L

/&ÿÿÿÿÿE0'ÿ,'3)/$&/ÿ0#$%/ÿ&'ÿ(,+*+,-

F,'9#%#0&/;'ÿ&'ÿ(,+*+,ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ9ÿ0#$%/

- 3

3-J

!

$ 4

7

γ56

"!3ÿ Gÿ456&'9(/$&+H'

(#)*+,'

α G7 E,+./I$&/ÿ%#01%/ÿ(,/('.'ÿ)#%-ÿE0,'&/;+(,'9/)&+H'ÿ4?J%#0&/%'7

−

63

Točka E: Na polmeru SA1 določimo točko E tako, da je kot SDE enak 1/4 kota SDA1.

Točka F: Na premeru BA1 določimo točko F tako, da je kot FDE enak kotu 45°.

Točki G in H: Razpolovimo daljico FA1, da dobimo središče G krožnice kG, ki jo narišemo skozi točki F in A1. Krožnica kG seka polmer SC v točki H.

Točki I in J: Skozi točko H narišemo krožnico kE s središčem v točki E. Krožnica kE seka premer BA1 v točkah I in J.

Oglišča A1, A4 in A6: V točkah I in J narišemo pravokotnici na premer BA1.Pravokotnici sekata pravilnemu 17-kotniku očrtano krožnico k17 vpresečiščih A4 in A6.

Krožni lok A1A4 je enak 3/17 pravilnemu 17-kotniku očrtane krožnice,krožni lok A4A6 pa je enak 2/17 pravilnemu 17-kotniku očrtane krožnice.Točke A1, A4 in A6 so oglišča pravilnega 17-kotnika.

Preostala oglišča pravilnega 17-kotnika lahko dobimo na več načinov:

1. način: Razpolovimo krožni lok A4A6, da dobimo krožna loka A4A5 in A5A6. Krožna loka merita po 1/17 pravilnemu 17-kotniku očrtane krožnice. Dolžina tetive A4A5 je enaka stranici pravilnega 17-kotnika, ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico.

2. način: Oglejmo si še nekoliko drugačen način. Če nanašamo dolžino te-tive A1A4 na krožnico iz oglišča A4, dobimo oglišča A7, A10, A13, A16 in A2. Če postopek nadaljujemo in nanašamo dolžino tetive A1A4 iz oglišča A2, dobi-mo oglišča A5, A8, A11, A14 in A17. Nato ponovimo postopek nanašanja tetive A1A4 iz oglišča A17, da dobimo še preostala oglišča A3, A6, A9, A12 in A15.



4.19 Pravilni enainpetdesetkotnik

Stranico pravilnega 51-kotnika dobimo s prekrivanjem pravilnega 17-kotnika z enakostraničnim 3-kotnikom.

V očrtanem krogu z danim polmerom r narišemo pravilni 17-kotnik in enakostra-nični 3-kotnik z enim skupnim ogliščem (tukaj oglišče A). Krožni lok, ki pripada stranici pravilnega 51-kotnika, je enak razliki krožnih lokov med 6/17 pravilnemu 17-kotniku očrtane krožnice in 1/3 enakostraničnemu 3-kotniku očrtane krožnice.

Dolžina tetive, ki pripada krožnem loku GU, je enaka dolžini stranice pravilnega 51-kotnika, ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico. Velja tudi, da je dolžina tetive LV enaka dolžini stranice pravilnega 51-kotnika.

Če se število stranic v pravilnem mnogokotniku poveča pri enakem polmeru očrtanega kroga, se dolžina stranic ustrezno zmanjša. Ko se število stranic ne-skončno poveča, stranice preidejo v točke, pravilni mnogokotnik pa preide v krožnico z danim polmerom.

?1A<C=

?1A<C=

,"*,'*1ÿ%)$*(+1/&(3".ÿ.,*"/&2.#(31ÿ 48

89:Kÿ%<=>?@A?ÿCA=?ALCGDCBCGHIGA?H

,

%

&

7

#

!1J

(

3

+ *

.

6

)

2

'

"

8ÿÿ%&$'()*(ÿ+*,-,.,/*(.ÿ'ÿ,0&/$*1+ÿ.&,-2

-

GDJ%#0&/%-#$,0'&+ÿ%,#:&/;+

,

,

M4(

N"

"45

α

$-ÿÿÿÿÿ4M:N

$2ÿÿÿÿ:MO

α

G4?J%#0&/%-#$,0'&+%,#:&/;+

$ IP@?QRCSTU:NTU;STHIGA?H=

G

G7

7

•$Uÿ7ÿ999ÿ& #H)/I$'ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ(,'9/)&+H'ÿ4?J%#0&/%'7

•$Uÿ2Uÿ' #H)/I$'(,'9/)&+H'ÿDJ%#0&/%'7

E,+./I$&/ÿ%#01%/ÿ(,/('.'ÿ)#%-ÿE0,'&/;+(,'9/)&+H'ÿ<4J%#0&/%'7

−

– oglišča – oglišča

6 17

očrt. krožnice 17-kotn. – 3 1 očrt. krožnice 3-kotn. = 18

51 – 17

51 = 1


65

4.20 Pravilni petinosemdesetkotnik

Stranico pravilnega 85-kotnika dobimo s prekrivanjem pravilnega 17-kotnika s pravilnim 5-kotnikom.

V očrtanem krogu z danim polmerom r narišemo pravilni 17-kotnik in pravilni 5-kotnik s skupnim ogliščem (tukaj oglišče A). Krožni lok, ki pripada stranici pra-vilnega 85-kotnika, je enak razliki krožnih lokov med 7/17 pravilnemu 17-kotniku očrtane krožnice in 2/5 pravilnemu 5-kotniku očrtane krožnice.

Dolžina tetive, ki pripada krožnemu loku HU, je enaka dolžini stranice pravilne-ga 85-kotnika, ki jo nanašamo kot tetivo na krožnico. Velja tudi, da je dolžina tetive KV enaka dolžini stranice pravilnega 85-kotnika.

Če se število stranic v pravilnem mnogokotniku poveča pri enakem polmeru očrtanega kroga, se dolžina stranic ustrezno zmanjša. Ko se število stranic ne-skončno poveča, stranice preidejo v točke, pravilni mnogokotnik pa preide v krožnico z danim polmerom.


7 17

očrt. krožnice 17-kotn. – 5 2 očrt. krožnice 5-kotn. = 35

85 – 34

85 = 1


61>D<=

61>D<=

2

'

V ,

%

&

7

#

!1J

-

(

3

)

+ *

.

/

,"*,'*1ÿ%)$*(+1/&(3".1ÿ.,*"/&2.#(31ÿ 4S

6

,

,

"

895Wÿ%<=>?@A?ÿLCG?AIBCEDCBCGHIGA?H

8ÿÿ%&$'()*(ÿ+*,-,.,/*(.ÿ'ÿ,0&/$*1+ÿ.&,-2

G<J%#0&/%-#$,0'&+ÿ%,#:&/;+ "45OM(

"M

$2ÿÿÿÿ5MS

$6ÿÿÿÿNM:N

α

α

ÿG

4?J%#0&/%-#$,0'&+%,#:&/;+

$ IP@?QRCSTU:NTU;STHIGA?H=

G

G

••$Uÿ7ÿ999ÿ& $Uÿ/Uÿ2Uÿ'UÿV#H)/I$'ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ(,'9/)&+H'ÿ4?J%#0&/%'7

#H)/I$'(,'9/)&+H'ÿ<J%#0&/%'7

7

7 − E,+./I&/ÿ%#01ÿ%/ÿ(,/('.'ÿ)#%-ÿE0,'&/;+(,'9/)&+H'ÿB<J%#0&/%'7

– oglišča – oglišča


5 PRAVILNI MNOGOKOTNIK Z ZNANO STRANICO

5.1 Enakostranični trikotnik

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice a, kjer sta krajišči A in B že oglišči enakostraničnega trikotnika. Iz oglišč A in B narišemo krožna loka s polmerom dolžine stranice a. Presečišče obeh krožnih lokov je tretje oglišče C enakostraničnega trikotnika.

5.2 Kvadrat

Narišemo pravi kot, kjer je vrh A že oglišče kvadrata. Iz oglišča A odmerimo na obeh krakih dolžino stranice a, da dobimo oglišči B in D. Iz oglišč B in D nariše-mo krožna loka s polmerom dolžine stranice a. Presečišče obeh krožnih lokov je oglišče C kvadrata.

A/024+1%ÿ$0/82ÿ.%,7ÿ.'+0ÿ'+ÿ80;ÿ! 5+ÿ%=&24-+ÿ.8/:0/,/!ÿ"#ÿ%=&24-/ÿ! %:1+021%ÿ*/ÿ%)+;ÿ .0/.2;ÿ :%&52*%ÿ 6,0/*23+ÿ &7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ %=&24-2ÿ # 2*ÿ N!ÿ "#ÿ %=&24-ÿ # 2*ÿ N*/024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ&!ÿ90+6+-24-+ÿ%)+;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8ÿ'+ÿ%=&24-+ÿ$ .8/:0/,/!

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ6,0/*23+ÿ&7ÿ.'+0ÿ6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ# 5+ÿ%=&24-2ÿ+*/.%6,0/*2-*+=/ÿ,02.%,*2./!ÿ"#ÿ%=&24-ÿ! 2*ÿ# */024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ&!ÿ90+6+-24-+ÿ%)+;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8ÿ'+ÿ,0+,'+ÿ%=&24-+ÿ$+*/.%6,0/*2-*+=/ÿ,02.%,*2./!

! #

$

N $

! #

"

"

"

" " "

Oÿÿ0(!/*1+*ÿ2+-]-,-"+*,ÿXÿX+!+-ÿ."(!+*$-

"

O%&ÿ)>=GC<87=>;I>;ÿ87;GC8>;G

O%6ÿ,@=D7=8ÿÿ

QQ

" ""

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

A/024+1%ÿ$0/82ÿ.%,7ÿ.'+0ÿ'+ÿ80;ÿ! 5+ÿ%=&24-+ÿ.8/:0/,/!ÿ"#ÿ%=&24-/ÿ! %:1+021%ÿ*/ÿ%)+;ÿ .0/.2;ÿ :%&52*%ÿ 6,0/*23+ÿ &7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ %=&24-2ÿ # 2*ÿ N!ÿ "#ÿ %=&24-ÿ # 2*ÿ N*/024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ&!ÿ90+6+-24-+ÿ%)+;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8ÿ'+ÿ%=&24-+ÿ$ .8/:0/,/!

A/024+1%ÿ$0+123%ÿ2*ÿ*/ÿ*'+'ÿ%:1+021%ÿ:%&52*%ÿ6,0/*23+ÿ&7ÿ.'+0ÿ6,/ÿ.0/'24-2ÿ! 2*ÿ# 5+ÿ%=&24-2ÿ+*/.%6,0/*2-*+=/ÿ,02.%,*2./!ÿ"#ÿ%=&24-ÿ! 2*ÿ# */024+1%ÿ.0%5*/ÿ&%./ÿ6ÿ$%&1+0%1ÿ:%&52*+ÿ6,0/*23+ÿ&!ÿ90+6+-24-+ÿ%)+;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8ÿ'+ÿ,0+,'+ÿ%=&24-+ÿ$+*/.%6,0/*2-*+=/ÿ,02.%,*2./!

! #

$

N $

! #

"

"

"

" " "

Oÿÿ0(!/*1+*ÿ2+-]-,-"+*,ÿXÿX+!+-ÿ."(!+*$-

"

O%&ÿ)>=GC<87=>;I>;ÿ87;GC8>;G

O%6ÿ,@=D7=8ÿÿ

QQ

" ""

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

67

5.3 Pravilni petkotnik

Konstrukcija diagonale pravilnega petkotnika:

Za konstrukcijo pravilnega petkotnika z znano stranico potrebujemo pravo dolžino di-agonale d5. Pri konstrukciji diagonale upoštevamo lastnost pravilnega petkotnika, da sta dolžini diagonale in stranice pravilnega petkotnika v medsebojnem razmerju, ki ga imenujemo zlati rez (konstrukcija 1.9.2). Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice a, kjer sta krajišči A in B že oglišči pravilnega petkotnika. Nato narišemo sime-tralo stranice AB, da dobimo razpolovišče N. V oglišču B narišemo pravokotnico na stranico a in nanjo nanesemo dolžino stranice a, da dobimo točko M. Iz razpolovišča N narišemo krožni lok skozi točko M do premice, ki je nosilka stranice AB, da dobimo presečišče R. Dolžina daljice AR je enaka pravi dolžini diagonale d5 pravilnega pet-kotnika.

Konstrukcija pravilnega petkotnika:

Krajišči A in B stranice a sta že oglišči petkotnika.Tretje oglišče C: Iz oglišča A narišemo krožni lok s polmerom dolžine diagonale d5, iz

oglišča B pa narišemo krožni lok s polmerom dolžine stranice a. Krožna loka se seka-ta v tretjem oglišču C.

Četrto oglišče D: Iz oglišč A in B narišemo krožna loka s polmerom dolžine diagonale d5. Krožna loka se sekata v četrtem oglišču D.

Peto oglišče E: Iz oglišča B narišemo krožni lok s polmerom dolžine diagonale d5, iz oglišča A pa narišemo krožni lok s polmerom dolžine stranice a. Krožna loka se se-kata v petem oglišču E.


!"#

!

!

!

"""

#

$

%ÿÿ&'()*+,*ÿ-,./.0.1,*0ÿ2ÿ2,(,.ÿ31'(,*#.

# #

$

#

!!

.3,.),!ÿ&+(,*-!1'*430!ÿ0.,31'50#*4!

-

,##

%67ÿ&89:;<=;ÿ>?@AB@=;A

CÿDE

!$

#!

#!

# !

'

'

(

(

!"#


5.4 Pravilni šestkotnik

V pravilnem šestkotniku je dolžina stranice a enaka polmeru r očrtanega kro-ga.

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice a, kjer sta krajišči A in B že oglišči pravilnega šestkotnika. Iz obeh oglišč narišemo krožna loka s polme-rom r, ki je enak dolžini stranice a. Krožna loka se sekata v središču S očrtane-ga kroga pravilnega šestkotnika. Nato narišemo iz središča S očrtani krog skozi oglišči A in B ter nanašamo na krožnico dolžino stranice a kot tetivo.

;ÿ /"&.50')<ÿ ?)4+$*+'5$2ÿ ()ÿ 9*0F5'&ÿ 4+"&'5=)ÿ ( )'&$&ÿ /*0<)"2ÿ ! *>"+&')1&ÿ$"*1&:ÿ%&'()*+,ÿ-'*+(?, (:ÿ:&ÿ:6*6ÿ,>+*'(+,ÿ>,.7(:,ÿ;/'&:(?*ÿ(5ÿ06*'ÿ;/&ÿ0'&6()4(ÿ" (:ÿ# 7* ,E.()4(ÿ -'&2(.:*E&ÿ )*;/0,/:(0&8ÿ 91ÿ ,=*3ÿ ,E.()4ÿ :&'()*+,ÿ 0',7:& .,0&ÿ ;ÿ-,.+*',+ÿ !5ÿ 0(ÿ 6*ÿ *:&0ÿ>,.7(:(ÿ ;/'&:(?*ÿ(8ÿ @',7:&ÿ .,0&ÿ ;*ÿ ;*0&/&ÿ2ÿ ;'*>()4<ÿ8,4'/&:*E&ÿ0',E&ÿ-'&2(.:*E&ÿ )*;/0,/:(0&8ÿ%&/,ÿ:&'()*+,ÿ (1ÿ ;'*>()4&ÿ8 ,4'/&:(ÿ0',Eÿ;0,1(ÿ,E.()4(ÿ" (:ÿ# /*'ÿ:&:&)&+,ÿ:&ÿ0',7:(?,ÿ>,.7(:,ÿ;/'&:(?*ÿ( 0,/ /*/(2,8

9 E

"

F B

#

G%*ÿ:.,/IK0IÿY2T)3()0I3

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

&

&

&ÿHÿ"

& &

4H

8

Gÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7V7'7>+<'ÿ^ÿ^+"+7ÿ8>?"+<B7

69

5.5 Približna konstrukcija pravilnega petkotnika – splošni način

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice a, kjer sta krajišči A in B že oglišči pravilnega petkotnika. Nato narišemo simetralo stranice AB in do-ločimo središče S6 pravilnemu šestkotniku očrtanega kroga.

Središče S5 pravilnemu petkotniku očrtanega kroga dobimo tako, da nane-semo eno šestino dane stranice a iz središča S6 po simetrali navzdol. Polmer očrtanega kroga je enak dolžini daljice S5A in velja, da je dolžina daljice S5A enaka dolžini daljice S5B.

Iz središča S5 narišemo skozi oglišči A in B pravilnemu petkotniku očrtani krog in nanašamo na krožnico k5 dolžino stranice AB kot tetivo.


%&'()*+,ÿ-'*+(?, (:ÿ:&ÿ:6*6ÿ,>+*'(+,ÿ>,.7(:,ÿ;/'&:(?*ÿ(5ÿ06*'ÿ;/&ÿ0'&6()4(ÿ" (:ÿ# 7* ,E.()4(ÿ -'&2(.:*E&ÿ -*/0,/:(0&8ÿ %&/,ÿ :&'()*+,ÿ ;(+*/'&.,ÿ ;/'&:(?*ÿ "# (:ÿ>,.,4(+,ÿ;'*>()4*ÿ8A -'&2(.:*+< )*;/0,/:(0<ÿ,4'/&:*E&ÿ0',E&8

F'*>()4*ÿ 8R -'&2(.:*+<ÿ -*/0,/:(0<ÿ ,4'/&:*E&ÿ 0',E&ÿ >,=(+,ÿ /&0,5ÿ >&ÿ:&:*;*+,ÿ )'*ÿ ?)4+5'* >&:*ÿ ;/'&:(?*ÿ ( (1ÿ ;'*>()4&ÿ 8A -,ÿ ;(+*/'&.(ÿ '&.69*08ÿE*0<)"ÿ *>"+&')1&ÿ $"*1&ÿ ()ÿ )'&$ÿ 9*0F5'5ÿ 9&0(5=)ÿ 8R" (:ÿ 2*.6&5ÿ >&ÿ 6*ÿ >,.7(:&ÿ>&.6(?*ÿ8R"ÿ*:&0&ÿ>,.7(:(ÿ>&.6(?*ÿ8R#8

91 ;'*>()4&ÿ8R :&'()*+,ÿ;0,1(ÿ,E.()4(ÿ" (:ÿ# -'&2(.:*+<ÿ-*/0,/:(0<ÿ,4'/&:(ÿ0',Eÿ(:ÿ:&:&)&+,ÿ:&ÿ0',7:(?,ÿ#I >,.7(:,ÿ;/'&:(?*ÿ"# 0,/ /*/(2,8

I&R

" #

R

Gÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7V7'7>+<'ÿ^ÿ^+"+7ÿ8>?"+<B7

G%Gÿ:.IXKI\0,ÿ3(0T).S3]I1,ÿQ.,/IK02R,ÿQ2)3()0I3,ÿLÿTQK(Y0Iÿ0,-I0ÿ

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 4M

"

"

I

R

&R

$

$#

JK

RA

E$

& B9

8ÿR8ÿA

&


5.6 Približna konstrukcija pravilnega mnogokotnika, če je število stranic večje od 6 – splošni način

Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice a, kjer sta krajišči A in B že oglišči pravilnega n-kotnika. Nato narišemo simetralo stranice AB in določi-mo središče S6 pravilnemu šestkotniku očrtanega kroga.

Središče S7 pravilnemu sedemkotniku očrtanega kroga določimo tako, da na-nesemo eno šestino dane stranice iz središča S6 po simetrali navzgor. Polmer očrtanega kroga je enak dolžini daljice S7A in velja, da je dolžina daljice S7A enaka dolžini daljice S7B.

Središče S8 pravilnemu osemkotniku očrtanega kroga določimo tako, da na-nesemo dve šestini dane stranice iz središča S6 po simetrali navzgor. Polmer očrtanega kroga je enak dolžini daljice S8A in velja, da je dolžina daljice S8A enaka dolžini daljice S8B.

Tako določimo središče Sn očrtanega kroga poljubnemu pravilnemu mnogo-kotniku z znano stranico a.

Iz ustreznega središča Sn narišemo skozi oglišči A in B pravilnemu n-kotniku očr-tani krog in nanašamo na krožnico kn dolžino stranice AB kot tetivo.

Fÿÿ:?"!<;+<ÿ=+7S7'7>+<'ÿ\ÿ\+"+7ÿ8>?"+<B7

F%4ÿ:.HUJHZ0,ÿ3(0X).Q3[H1,ÿV.,/HJ02R,ÿI0(R(3()0H3,Nÿ-2ÿY)2/HJ(ÿX).,0H[ÿ/2-12ÿ(Pÿ4ÿKÿXVJ(Y0Hÿ0,-H0

" #

]

9E

B

S

^5

L

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

)$ , $

-

$

(

(-

(-

JB

AC

KH

)"," (

8ÿH

8ÿ8ÿ8ÿ

DNL

(

O#%.)4"ÿ5#/+')*ÿ&'";"-"#')-+ .ÿ/ÿ-

71

5.7 Konstrukcija pravilnega mnogokotnika z znano stranico z upoštevanjem pravil podobnosti – splošni način

Po tej metodi uporabljamo pri konstruiranju pravilnih mnogokotnikov pravila o podobnih trikotnikih.

Slika prikazuje, kako narišemo pravilni sedemkotnik, če je znana stranica a.

Konstrukcija polmera očrtanega kroga k7, če je znana stranica: V pomožnem očrtanem krogu kp s poljubnim polmerom določimo dolžino pomožne stranice MN pravilnega sedemkotnika in jo nanesemo kot tetivo na pomožno krožni-co kp, da dobimo oglišči M' in N'. Skozi središče S ter točki M' in N' narišemo središčna poltraka SM' in SN'. Pomožno stranico M'N' razpolovimo, da dobimo razpolovišče R. Nato nanesemo na pomožno stranico iz razpolovišča R dolžino ene polovice dane stranice AB, da dobimo točko A1. V točki A1 narišemo pra-vokotnico na daljico A1N'. Ta seka poltrak SM' v presečišču A, ki je že oglišče iskanega pravilnega sedemkotnika. Dolžina daljice SA je enaka polmeru očr-tanega kroga k7 iskanega pravilnega sedemkotnika z znano stranico a.

Risanje pravilnega sedemkotnika z dano stranico: Iz središča S narišemo skozi oglišče stranice A pravilnemu sedemkotniku očrtani krog in nanašamo na krož-nico k7 dolžino stranice AB kot tetivo.


M"ÿ 6(+'+ÿ 5) /0+'","#ÿ/0+1)09 '"'%ÿ#"0+:)1%ÿ/0"-+(#+ÿ 6).)1'%$#+'9 &)ÿ 5)ÿ ,#"#"ÿ6$0"#+2"ÿ&!

H%#6$0;'2+5"ÿ/%(1)0"ÿ%&0$"#)<"ÿ'0%<"ÿ6^9ÿ&)ÿ5)ÿ,#"#"ÿ6$0"#+2"TÿHÿ$%1%5*+1ÿ%-0,/*+1 .0%=(ÿ6/ 6ÿ$%&'()*21ÿ$%&1+0%1 :%&%-21%ÿ:%&52*%ÿ$%1%5*+ÿ6,0/*23+ÿ2+ $0/82&*+=/ÿ6+:+1.%,*2./ÿ2*ÿ'%ÿ*/*+6+1%ÿ.%, ,+,28%ÿ*/ÿ$%1%5*%ÿ.0%5*23%ÿ6/7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ %=&24-2ÿ@9 2*ÿ ?9!ÿ @.%#2ÿ 60+:24-+ÿ . ,+0ÿ ,%-.2ÿ2[ 2*ÿ +[ */024+1%ÿ60+:24-*/ÿ$%&,0/./ÿ.29 2*ÿ.+9!ÿ9%1%5*%ÿ6,0/*23%ÿ2[+[ 0/#$%&%821%7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ0/#$%&%824-+ÿ(!ÿA/,% */*+6+1%ÿ*/ÿ$%1%5*%ÿ6,0/*23%ÿ2#ÿ0/#$%&%824-/ÿ( :%&52*%ÿ)#)ÿ /%(%-+2)ÿ ."#) 6$0"#+2) !#7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ ,%-.%ÿ!E!ÿ Hÿ ,%-.2ÿ!E */024+1%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ */ÿ :/&'23%ÿ !E+[7ÿ .2ÿ 6+./ÿ $%&,0/.ÿ .2[ 8ÿ $0+6+-24-(ÿ !7ÿ .2ÿ '+ÿ 5+ÿ%=&24-+ÿ 26./*+=/ÿ $0/82&*+=/ÿ 6+:+1.%,*2./!ÿ V%&52*/ÿ :/&'23+ÿ .! '+ÿ )#"'"ÿ/%(1)0; %&0$"#)<"ÿ '0%<"ÿ 6^ 26./*+=/ÿ $0/82&*+=/ÿ 6+:+1.%,*2./ÿ #ÿ #*/*%ÿ6,0/*23%ÿ&!

Y+6"#5)ÿ/0"-+(#)<"ÿ6).)1'%$#+'"ÿ,ÿ."#%ÿ6$0"#+2%T "# 60+:24-/ÿ. */024+1%ÿ6.%#2ÿ%=&24-+ÿ 6,0/*23+ÿ ! $0/82&*+1(ÿ 6+:+1.%,*2.(ÿ %-0,/*2ÿ .0%=ÿ 2*ÿ */*/4/1%ÿ */ÿ.0%5*23%ÿ6^ :%&52*%ÿ6,0/*23+ÿ!# .%, ,+,28%!

4%ÿ$)5ÿ1)$%.+ÿ;/%0"F(5"1% /0+ÿ'%#6$0;+0"#5; /0"-+(#+7ÿ1#%<%'%$#+'%- /0"-+("ÿ%ÿ/%.%F#+7ÿ$0+'%$#+'+78

"

"_>

"_>

BCD

) N

U

]

!

#

$

!E

Oÿÿ0(!/*1+*ÿ2+-]-,-"+*,ÿXÿX+!+-ÿ."(!+*$-

(2[

+[

"

^

/

T&

'

'

"

"

2 +

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

O%Tÿ,C><87HGE;?=ÿB7=@;P>9Z=ÿF>CZCGC8>;G=ÿAÿA>=>Cÿ<87=>;ECÿAÿHBCK89@=>?9FÿB7=@;PÿBCDC\>C<8;ÿMÿ<BPCK>;ÿ>=I;>

.


6 ELIPSA

6.1 Oznake pri elipsi

Definicija: ................. Elipsa je množica točk v ravnini, katerih vsota razdalj od dveh stalnih točk (gorišč) je konstantna in enaka veliki osi elipse.

S ................................. središče elipseF1, F2 ........................... gorišči (žarišči ali fokusa)A, B ............................ glavni temeniC, D ........................... stranski temenia = SA = SB ........ velika polos b = SC = SD ....... mala polos2a =AB .................. Velika os AB je največji premer elipse.2b =CD .................. Mala os CD je najmanjši premer elipse.AB⊥CD ...................... Velika in mala os sta med seboj pravokotni in se v

središču razpolavljata.e =SF1=SF2 ......... linearna ekscentričnost – razdalja gorišča od središčar1 =F1TI .................... prevodnica ali radijvektor – razdalja točke T na elipsi od

gorišča F1 r2 =F2TI .................... prevodnica ali radijvektor – razdalja točke T na elipsi od

gorišča F2

r1 + r2 = 2a .................. Vsota razdalj točke na elipsi od obeh gorišč je konstantna in je enaka veliki osi elipse.

!"

!"

# #

!"#! "#

$ÿÿ%&'(!#

$)*ÿ+,-./0ÿ123ÿ043153

$6 %6

+!7+87%ÿ(&#7'9%:;'<!=%ÿ=+7!:;>=?'<%

!!$$% &

&'&&&

&

::

::

@A

B

?&&

73

6.2 Načrtovanje elipse po definicijI

Pri konstruiranju elipse upoštevamo definicijo elipse, da je vsota razdalj (pre-vodnic) r1 in r2 za vsako točko elipse od dveh stalnih točk (gorišč) konstantna in enaka veliki osi elipse (r1 + r2 = 2a). Dani sta velika polos a in mala polos b elipse.

Risanje osi elipse: Narišemo veliko os z dano dolžino 2a, kjer sta točki A in B glavni temeni, ter malo os z dano dolžino 2b, kjer sta točki C in D stranski teme-ni. Velika in mala os sta med seboj pravokotni in se med seboj razpolavljata v središču S.

Določanje gorišč elipse, če sta dani velika in mala os elipse: Iz enega izmed temen na mali osi elipse (tukaj iz temena D) narišemo krožni lok s polmerom dolžine velike polosi a. Ta krožni lok seka veliko os v točkah F1 in F2. Točki F1 in F2 imenujemo gorišči elipse.

Določanje točk elipse: Na veliki osi elipse izberemo nekaj poljubnih točk (1, 2, 3 …) med središčem S in enim goriščem (tukaj med središčem S in goriščem F2). V šestilo vzamemo razdaljo r1 (od temena A do točke 1) in narišemo iz gorišč F1 in F2 krožna loka s tem polmerom. Nato narišemo iz obeh gorišč še krožna loka s polmerom r2 (od točke 1 do temena B). Presečišča krožnih lokov r1 in r2 nam dajo štiri točke elipse (na sliki so označene s T1

I, T1 II, T1III in T1

IV).Ta postopek ponovimo s prevodnicami, ki imajo dolžine od temena A do točk 2 in 3 ter od točk 2 in 3 do temena B. Presečišča ustreznih krožnih lokov določijo nove točke elipse. Če smo izbrali več točk na veliki osi, postopek še ponovimo.

Risanje elipse: Tako dobljene točke s krivuljnikom povežemo med seboj in s temeni v napeto in gladko krivuljo elipse.

6 ELIPSA

N'(ÿ0,:;/'<('&:6<ÿ*.(-;*ÿ<-,)/*2&+,ÿ>*X(:(?(6, *.(-;*5ÿ>&ÿ6*ÿ2;,/&ÿ'&1>&.6ÿL/").*9'5=O !,(:ÿ!K 1&ÿ2;&0,ÿ/,40,ÿ*.(-;*ÿ,>ÿ>2*3ÿ;/&.:(3ÿ/,40ÿL1*"5?>O 0,:;/&:/:&ÿ(:ÿ*:&0&ÿ2*.(0(ÿ,;(ÿ*.(-;*ÿL!,ÿTÿ!KÿHÿK(O8

%&'5 4+&ÿ.)05$&ÿ/*0*4ÿ( 5' <&0&ÿ/*0*4ÿ2 )05/4):ÿ

U54&'()ÿ*45 )05/4)Pÿ%&'()*+,ÿ2*.(0,ÿ,;ÿ 1ÿ>&:,ÿ>,.7(:,ÿK(5ÿ 06*'ÿ ;/&ÿ /,40(ÿ" (:ÿ# E.&2:(ÿ/*+*:(ÿ/*'ÿ+&.,ÿ,;ÿ1ÿ>&:,ÿ>,.7(:,ÿK25ÿ06*'ÿ;/&ÿ/,40(ÿÿB (:ÿE ;/'&:;0(ÿ/*+*:(8ÿQ*.(0&ÿ(:ÿ+&.&ÿ,;ÿ;/&ÿ+*>ÿ;*=,6ÿ-'&2,0,/:(ÿ(:ÿ;*ÿ+*>ÿ;*=,6ÿ'&1-,.&2.6&/&ÿ2ÿ;'*>()4<ÿ88

%*0*>&'()ÿ1*"5?>ÿ)05/4)!ÿ>)ÿ4+&ÿ9&'5 .)05$&ÿ5' <&0&ÿ*4ÿ)05/4)Dÿ91 *:*E&ÿ(1+*>ÿ/*+*:ÿ:&ÿ+&.(ÿ,;(ÿ*.(-;*ÿ H/<0&6ÿ (1ÿ /*+*:&ÿEIÿ:&'()*+,ÿ0',7:(ÿ .,0ÿ;ÿ-,.+*',+ÿ>,.7(:*ÿ2*.(0*ÿ-,.,;(ÿ(5ÿ /&0,ÿ >&ÿ ;*0&ÿ 2*.(0,ÿ ,;ÿ 2 /,40&3ÿ F$ (:ÿ F#8ÿ D,40(ÿ F$ (:ÿ F# (+*:<6*+,ÿE,'()4(ÿ*.(-;*8

%*0*>&'()ÿ+*>$ÿ)05/4)Pÿ%&ÿ2*.(0(ÿ,;(ÿ*.(-;*ÿ(1=*'*+,ÿ:*0&6ÿ-,.6<=:(3ÿ/,40ÿH$5ÿC5 &5ÿG Iÿ+*>ÿ;'*>()4*+ÿ8 (:ÿ*:(+ÿE,'()4*+ÿH/<0&6ÿ+*>ÿ;'*>()4*+ÿ8 (:ÿE,'()4*+ÿF#I8ÿQÿ)*;/(.,ÿ21&+*+,ÿ'&1>&.6,ÿ !, H,>ÿ/*+*:&ÿ" >,ÿ/,40*ÿ$Iÿ (:ÿ:&'()*+,ÿ(1ÿE,'()4ÿF$ (:ÿF# 0',7:&ÿ.,0&ÿ;ÿ/*+ÿ-,.+*',+8ÿ%&/,ÿ:&'()*+,ÿ(1ÿ,=*3ÿE,'()4ÿ)*ÿ0',7:&ÿ.,0&ÿ;ÿ-,.+*',+ÿ!K H,>ÿ/,40*ÿ$ >,ÿ/*+*:&ÿ#I8ÿN'*;*4()4&ÿ0',7:(3ÿ.,0,2ÿ!, (:ÿ!K :&+ÿ>&6,ÿ)/('(ÿ/,40*ÿ*.(-;*ÿH:&ÿ;.(0(ÿ;,ÿ,1:&4*:*ÿ;ÿÿÿ>$95ÿÿ>$ 995ÿÿ>$999 (:ÿÿ>$9QI8D&ÿ-,;/,-*0ÿ-,:,2(+,ÿ;ÿ-'*2,>:(?&+(5ÿ0(ÿ(+&6,ÿ>,.7(:*ÿ,>ÿ/*+*:&ÿ" >,ÿ/,40ÿC (:ÿ&/*'ÿ,>ÿ/,40ÿC (:ÿ& >,ÿ/*+*:&ÿ#8ÿN'*;*4()4&ÿ<;/'*1:(3ÿ0',7:(3ÿ.,0,2 >,.,4(6,ÿ:,2*ÿ/,40*ÿ*.(-;*8ÿL*ÿ;+,ÿ(1='&.(ÿ2*4ÿ/,40ÿ:&ÿ2*.(0(ÿ,;(5ÿ-,;/,-*0ÿ)*ÿ-,:,2(+,8

U54&'()ÿ)05/4)PÿD&0,ÿ>,=.6*:*ÿ/,40*ÿ;ÿ0'(2<.6:(0,+ÿ-,2*7*+,ÿ+*>ÿ;*=,6ÿ(:ÿ;ÿ/*+*:(ÿ2ÿ:&-*/,ÿ(:ÿE.&>0,ÿ0'(2<.6,ÿ*.(-;*8

&

8

&

8

4ÿÿ9;<:8"

8

999

99

F#F$ $ C &" #

E $9Q>$>

B$> 9$>

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

K"

"

&&

,

4%Cÿ+,-.)(/,012ÿ2KIQT2ÿQ(ÿP2`I0I]I1I

_ÿ[&

" , K"


6.3 Načrtovanje elipse na osnovi »vrtnarske metode«

Pri vrtnarski metodi so uporabljeni risarski elementi konstrukcije elipse po defi-niciji. Pri delu potrebujemo daljšo ošiljeno palico in vrvico, ki je enaka dolžini grede (tukaj velikemu premeru 2a elipse) in ima na koncih zavezana manjša ošiljena količka.

Gredo eliptične oblike oblikujemo takole: V zemljo zarežemo z ošiljeno palico ob letvi veliko os elipse (veliki premer 2a elipse), ki je enaka dolžini grede. Na sredini te razdalje označimo pravokotno še malo os (mali premer 2b elipse), ki je enaka širini grede. Nato določimo na velikem premeru mesti za količka (go-rišči elipse). V enega izmed krajišč malega premera grede zabijemo ošiljeno palico, jo objamemo z vrvično zanko, ki je enaka polovici dolžine velikega pre-mera grede, in okoli palice zarišemo krožni lok preko velikega premera grede. Presečišči krožnega loka z velikim premerom sta gorišči elipse. Sedaj zabijemo količka, ki sta na koncih vrvice, v ti dve »gorišči«. Nato zataknemo ošiljeno pali-co za vrvico in se pomikamo z napeto zanko v roki okoli obeh količkov ter zare-žemo v zemljo brazdo, ki ima obliko krivulje elipse.

Slika 1

Na osnovi te metode lahko narišemo elipso na risalnem listu brez pomoči kri-vuljnika.

Najprej narišemo veliko in malo os ter določimo gorišči (konstrukcija 6.2). V go-rišči zabodemo risalna žebljička in zanju zataknemo nitko močnejšega sukan-ca. Čista dolžina nitke med žebljičkoma je enaka veliki osi. S svinčnikom, ki je zataknjen za napeto nitko sukanca, drsimo okoli risalnih žebljičkov in narišemo elipso (slika 1).

0

( (

0

4ÿÿ9;<:8"

L

" #EJ 8

B

EB

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

(

(

$$

4%&ÿ+,-.)(/,012ÿ2JHVX2ÿ0,ÿ(X0(/Hÿ__/.)0,.X32ÿI2)(P2__

`ÿ^*

%

1

:4)-+ÿJ

% 1 1(2ÿ +ÿ$$

75

6.4 Načrtovanje elipse s pomočjo velike in male krožnice

Dani sta velika polos a in mala polos b elipse.

Konstrukcija osi elipse: Najprej narišemo veliko in malo os elipse z danimi podat-ki (konstrukcija 6.2).

Določanje točk elipse: Iz središča S elipse narišemo veliko krožnico ka s polme-rom, ki je enak dolžini velike polosi a in malo krožnico kb s polmerom, ki je enak dolžini male polosi b.Skozi središče S elipse narišemo poljubno premico p, ki preseka veliko in malo krožnico v točkah M in N. Iz točke M na veliki krožnici narišemo vzporednico mali osi, iz točke N na mali krožnici pa narišemo vzporednico veliki osi. Obe vzporednici se sekata v točki T1

I, ki je že točka elipse. Če narišemo skozi središ-če elipse več premic, dobimo na ta način poljubno število točk elipse. Pri tem izkoristimo še osno simetričnost elipse in že določenim točkam narišemo še nji-hove simetrične točke glede na obe osi.

Risanje elipse: Tako dobljene točke s krivuljnikom povežemo med seboj in s te-meni v napeto in gladko krivuljo elipse.

6 ELIPSA

%&'5 4+& .)05$&ÿ/*0*4ÿ( 5'ÿ<&0& /*0*4ÿ2 )05/4)8

-*'4+"2$=5(&ÿ *45ÿ )05/4)Pÿ %&6-'*6ÿ :&'()*+,ÿ 2*.(0,ÿ (:ÿ +&.,ÿ ,;ÿ *.(-;*ÿ 1ÿ >&:(+(ÿ-,>&/0(ÿH0,:;/'<0?(6&ÿA8#I8ÿ

%*0*>&'()ÿ +*>$ÿ )05/4)Pÿ 91ÿ ;'*>()4&ÿ 8 *.(-;* :&'()*+,ÿ 2*.(0,ÿ 0',7:(?,ÿ #& ;ÿ-,.+*',+5ÿ0(ÿ6*ÿ*:&0ÿ>,.7(:(ÿ2*.(0*ÿ-,.,;(ÿ( (:ÿ+&.,ÿ0',7:(?,ÿ#8 ;ÿ-,.+*',+5 0(ÿ6*ÿ*:&0ÿ>,.7(:(ÿ+&.*ÿ-,.,;(ÿ28F0,1(ÿ;'*>()4*ÿ8 *.(-;*ÿ:&'()*+,ÿ-,.6<=:,ÿ-'*+(?,ÿ35ÿ0(ÿ-'*;*0&ÿ2*.(0,ÿ(:ÿ+&.,ÿ0',7:(?,ÿ2ÿ /,40&3ÿ= (:ÿ+8ÿ 91ÿ /,40*ÿ= :&ÿ2*.(0(ÿ 0',7:(?(ÿ:&'()*+,ÿ21-,'*>:(?,ÿ+&.( ,;(5 (1ÿ /,40*ÿ+ :&ÿ+&.(ÿ 0',7:(?(ÿ-&ÿ:&'()*+,ÿ21-,'*>:(?,ÿ2*.(0(ÿ,;(8ÿ]=*ÿ21-,'*>:(?(ÿ ;*ÿ ;*0&/&ÿ 2ÿ /,40(ÿ >$95ÿ 0(ÿ 6*ÿ 7*ÿ /,40&ÿ *.(-;*8ÿ L*ÿ :&'()*+,ÿ ;0,1(ÿ;'*>()4*ÿ*.(-;*ÿ2*4ÿ-'*+(?5ÿ>,=(+,ÿ:&ÿ/&ÿ:&4(:ÿ-,.6<=:,ÿ)/*2(.,ÿ/,40ÿ*.(-;*8ÿN'(ÿ /*+ÿ (10,'(;/(+,ÿ )*ÿ ,;:,ÿ ;(+*/'(4:,;/ *.(-;*ÿ (:ÿ 7*ÿ >,.,4*:(+ÿ /,40&+ÿ:&'()*+,ÿ)*ÿ:6(3,2*ÿ;(+*/'(4:*ÿ/,40*ÿE.*>*ÿ:&ÿ,=*ÿ,;(8

U54&'()ÿ )05/4)Pÿ D&0,ÿ >,=.6*:*ÿ /,40*ÿ ;ÿ 0'(2<.6:(0,+ -,2*7*+,ÿ+*>ÿ ;*=,6ÿ (:ÿ ;ÿ/*+*:(ÿ2 :&-*/,ÿ(:ÿE.&>0,ÿ0'(2<.6,ÿ*.(-;*8

88

&&

B

E

" #8ÿ

4ÿÿ9;<:8"

99$ 999$

9Q$

> >

>

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 [G

& /

=

8$

$

4%*ÿÿ+,-.)(/,012ÿ2KIQT2ÿTÿQ(J(-1(ÿ/2KI32ÿI0ÿJ,K2ÿ3.(\0I]2

+

9$>


6.5 Načrtovanje elipse s temenskimi pritisnjenimi krožnimi loki

Temenski pritisnjeni krožni loki so deli pritisnjenih krogov, ki imajo središča na oseh elipse oziroma njihovih podaljških in se v okolici temen ustrezno prilegajo krivulji elipse.


Konstrukcija osi elipse: Narišemo veliko in malo os elipse (konstrukcija 6.2).

Določanje središč S1 in S2 pritisnjenih krožnih lokov v temenih: Skozi teme na veliki osi (tukaj skozi B) narišemo vzporednico mali osi, skozi teme na mali osi (tukaj skozi C) pa vzporednico veliki osi. Obe vzporednici se sekata v točki T. V pravokotniku SBTC narišemo diagonalo BC, ki poteka skozi temeni elipse B in C. Iz oglišča T narišemo pravokotnico na diagonalo BC, ki seka veliko in malo os v središčih S1 in S2. Središči S1 in S2 sta središči temenskih pritisnjenih krožnih lokov v temenih B in C. Središči S3 in S4 dobimo z zrcaljenjem središč S1 in S2 čez središče S elipse (slika 1).

Risanje elipse: Če iz središč S1, S2, S3 in S4 narišemo ustrezne temenske pritisnjene krožne loke skozi temena elipse A, B, C in D, dobimo krivinske loke, ki jih s krivulj-nikom spojimo v napeto in gladko krivuljo elipse (slika 2).

G)1)#6'+ÿ /0+$+6#5)#+ÿ '0%*#+ÿ (%'+ 6%ÿ:+&2ÿ $02,26*'+*2;ÿ .0%=%87ÿ .2ÿ 21/'%ÿ 60+:24-/ÿ*/ÿ%6+;ÿ+&2$6+ÿ%#20%1/ÿ*'2;%82;ÿ$%:/&'4.2;ÿ2*ÿ6+ÿ8ÿ%.%&232ÿ,+1+*ÿ(6,0+#*%ÿ$02&+=/'%ÿÿ.028(&'2ÿ+&2$6+!

!"#+ 6$"ÿ-)(+'"ÿ/%(%6ÿ& +#ÿ1"("ÿ/%(%6ÿ3 )(+/6)!

H%#6$0;'2+5"ÿ%6+ÿ)(+/6)TÿA/024+1%ÿ8+&2.%ÿ2*ÿ1/&%ÿ%6ÿ+&2$6+ÿ<.%*6,0(.32'/ÿP!G>!ÿ

!%(%&"#5)ÿ 60).+:&ÿ =3 +#ÿ=> /0+$+6#5)#+7ÿ '0%*#+7ÿ (%'%-ÿ-ÿ $)1)#+7Tÿ @.%#2ÿ ,+1+ÿ*/ÿ8+&2.2ÿ%62ÿÿÿ<,(./'ÿ6.%#2ÿ#>ÿ*/024+1%ÿ8#$%0+:*23%ÿ1/&2ÿ%627ÿ6.%#2ÿ,+1+ÿ*/ÿ1/&2ÿ%62ÿ<,(./'ÿ6.%#2ÿ$>ÿ$/ÿ8#$%0+:*23%ÿ8+&2.2ÿ%62!ÿ`)+ÿ8#$%0+:*232ÿ6+ÿ6+./,/ÿ8ÿ,%-.2ÿ"!ÿHÿ$0/8%.%,*2.(ÿ.#"$ */024+1%ÿ:2/=%*/&%ÿ#$7ÿ.2ÿ$%,+./ÿ6.%#2ÿ ,+1+*2ÿ+&2$6+ÿ# 2*ÿ$!ÿ"#ÿ%=&24-/ÿ" */024+1%ÿ$0/8%.%,*23% */ÿ:2/=%*/&%ÿ#$7ÿ.2ÿ6+./ÿ8+&2.%ÿ2*ÿ1/&%ÿ%6 8ÿ60+:24-2;ÿ.E 2*ÿ.G!ÿ@0+:24-2ÿ.E 2*ÿ.G 6,/ÿ60+:24-2ÿ,+1+*6.2;ÿ$02,26*'+*2;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8ÿ8ÿ,+1+*2; # 2*ÿ$!ÿ@0+:24-2ÿ.K 2*ÿ.L :%)21%ÿ#ÿ#03/&'+*'+1 60+:24-ÿ.E 2*ÿ.G -+#ÿ60+:24-+ÿ. +&2$6+ÿ<6&2./ÿE>!

Y+6"#5)ÿ )(+/6)Tÿ N+ÿ 2#ÿ 60+:24-ÿ .E7ÿ .G7ÿ .B 2*ÿ .L */024+1%ÿ (6,0+#*+ÿ ,+1+*6.+ÿ$02,26*'+*+ÿ.0%5*+ÿ&%.+ÿ6.%#2ÿ,+1+*/ÿ+&2$6+ÿ!7ÿ#7ÿ$ 2*ÿN7ÿ:%)21%ÿ.0282*6.+ÿ&%.+7ÿ.2ÿ'2;ÿ6ÿ.028(&'*2.%1 6$%'21%ÿ8ÿ*/$+,%ÿ2*ÿ=&/:.%ÿ.028(&'%ÿ+&2$6+ÿ<6&2./ÿG>!

" "

FF!$.

"

. .

"

Qÿÿ)1*0.!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3) TQ

.. . .

.

.

.

EK

G

L

EK

L

.G

0

0

3

>

Q%Oÿ+=I78C@=>?9ÿ9P;B<9ÿ<ÿ89F9><G;F;ÿB7;8;<>?9>;F;ÿG7C_>;F;ÿPCG;

@&2./ÿET V%&%-/*'+ÿ60+:24-,+1+*6.2;ÿ$02,26*'+*2;.0%5*2;ÿ&%.%8

#! #!

N N

$$

@&2./ÿGT W028(&'/ÿ+&2$6+

77

6.6 Načrtovanje elipse s papirnim trakom


Konstrukcija osi elipse: Narišemo veliko in malo os elipse (konstrukcija 6.2).

Določanje točk elipse s papirnim trakom: Na ravnem odrezku papirja odmeri-mo dolžini polosi elipse a in b in ju označimo, kakor je prikazano na sliki 1.

(1 – 3) a polovica velike osi(2 – 3) b polovica male osi(1 – 2) (a – b) razlika dolžin polosi

Če postavimo papirni trak tako, da je točka 1 na mali osi, točka 2 pa na veliki osi, je točka 3 že točka elipse. S premikanjem papirnega traku na način, da se ob premikanju dotika točka 1 samo male osi, točka 2 pa samo velike osi, dolo-čimo s točko 3 poljubno število točk elipse (slika 1). Tako določene točke elipse spojimo s krivuljnikom v napeto in gladko krivuljo elipse (slika 2).

6 ELIPSA

#

9#F@:>#ÿ!#ÿÿÿÿ

0$

0 "

L

I

00

(

L

I ("

Pÿÿ%')&"(

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-% KK

+

P4Pÿ#7E?>BG789:ÿ:<5;6:ÿ6ÿ;7;5?85=ÿ>?7@B=

()*+,ÿ-.ÿR7)7=,123ÿ;7=+ÿ3)*603 ()*+,ÿ<.ÿS8*4A)2,ÿ3)*603

N

1ÿÿÿÿ M −


6.7 Elipsa je dana s konjugiranima premeroma

Vsako dvojico premerov, pri katerih sta tangenti v krajiščih enega premera vzporedni drugemu premeru, imenujemo konjugirana ali prirejena premera. Konjugirana preme-ra se v središču S elipse razpolavljata.

Dana sta konjugirana premera MN in PR.

Določanje točk elipse: Skozi krajišča M, N, P in R narišemo tangente, ki so vzporedne danima konjugiranima premeroma MN in PR. Dobimo očrtani paralelogram GHKL. Da-ljice SM, SN, MG, MH, NL in NK razdelimo na enako število delov (tukaj so razdeljene na štiri ustrezno enake dele – konstrukcija 1.7). Delišča označimo od točk M in N na levo in na desno stran ter proti središču S elipse. Delišča so označena tako, da narišemo ustrezne dvojice poltrakov vedno skozi delišča, ki imajo enako številčno vrednost. Da določimo točko elipse, poiščemo presečišče poltraka, ki izhaja iz enega krajišča ko-njugiranega premera PR do ustreznega delišča na stranicah GH in LK očrtanega pa-ralelograma, ter poltraka, ki izhaja iz drugega krajišča istega premera PR skozi ustrezno delišče na drugem konjugiranem premeru MN do presečišča s prvim poltrakom.

T2I: Povežemo točki P in 2I ter točki R in II s poltrakoma, ki se sekata v točki T2

I elipse.

T2II: Povežemo točki P in 2II ter točki R in II' s poltrakoma, ki se sekata v točki T2

II elipse.

T2III: Povežemo točki R in 2III ter točki P in II' s poltrakoma, ki se sekata v točki

T2III elipse.

T2IV: Povežemo točki R in 2IV ter točki P in II s poltrakoma, ki se sekata v točki

T2IV elipse.

Ta postopek ponovimo, da dobimo še druge točke elipse.

Risanje krivulje elipse: Točke elipse spojimo s krivuljnikom v gladko in napeto krivuljo. Pri risanju krivulje moramo paziti, da se elipsa dotika tudi očrtanega paralelograma v točkah M, N, P in R.

!"#$%ÿ&'%()*%ÿ+,-.-,%'/ÿ+,)ÿ$#0-,)1ÿ"0#ÿ0#23-20)ÿ'ÿ$,#()45)1ÿ-2-3#ÿ+,-.-,#ÿ'6+%,-&2)ÿ&,73-.7ÿ +,-.-,7/ÿ ).-27(-.%ÿ !"#$%&'()#)ÿ )*' +('(,$,#)ÿ +(,-,()8ÿ 9%2(73),#2#ÿ+,-.-,#ÿ"-ÿ'ÿ",-&)457ÿ! -:)+"-ÿ,#6+%:#':(#0#8

.)#)ÿ/0)ÿ!"#$%&'()#)ÿ+(,-,()ÿ!" '#ÿ#$1

."*"2)#$,ÿ0"2!ÿ,*'+/,;ÿ<$%6)ÿ$,#()45#ÿ"/ÿ#/ÿ$ )2ÿ$ 2#,)4-.%ÿ0#23-20-/ÿ$)ÿ"%ÿ'6+%,-&2-ÿ&#2).#ÿ $%2(73),#2).#ÿ+,-.-,%.#ÿ"# )2ÿ$%8ÿ =%>).%ÿ%5,0#2)ÿ +#,#:-:%3,#.ÿ&'()8ÿ=#:()*-ÿ !"/ÿ !#/ÿ "&/ÿ "'/ÿ #) )2ÿ #( ,#6&-:).%ÿ 2#ÿ -2#$%ÿ 40-'):%ÿ &-:%'ÿ ?07$#(ÿ "%ÿ,#6&-:(-2-ÿ2#ÿ40),)ÿ7"0,-62%ÿ-2#$-ÿ&-:-ÿ@ $%2"0,7$*)(#ÿA8BC8ÿ=-:)45#ÿ%62#5).%ÿ%&ÿ0%5$ÿ" )2ÿ# 2#ÿ:-'%ÿ)2ÿ2#ÿ&-"2%ÿ"0,#2ÿ0-,ÿ+,%0)ÿ",-&)457ÿ! -:)+"-8ÿ=-:)45#ÿ"%ÿ%62#5-2# 0#$%/ÿ&#ÿ +%0-32-.%ÿ 7"0,-62-ÿ &'%()*-ÿ +%:0,#$%'ÿ '-&2%ÿ "$%6)ÿ &-:)45#/ÿ $)ÿ ).#(%ÿ -2#$%ÿ40-'):52% ',-&2%"08ÿ=#ÿ&%:%5).%ÿ0%5$%ÿ-:)+"-/ÿ+%)45-.%ÿ+,-"-5)45-ÿ+%:0,#$#/ÿ$)ÿ)61#(#ÿ)6ÿ-2-3#ÿ$,#()45#ÿ$%2(73),#2-3#ÿ+,-.-,#ÿ$% &%ÿ7"0,-62-3#ÿ&-:)45#ÿ2#ÿ"0,#2)*#1ÿ&')2ÿ )(ÿ %5,0#2-3#ÿ +#,#:-:%3,#.#ÿ 0-,ÿ +%:0,#$#/ÿ $)ÿ )61#(#ÿ )6ÿ &,73-3#ÿ $,#()45#ÿ )"0-3#ÿ+,-.-,#ÿ $% "$%6)ÿ 7"0,-62%ÿ &-:)45-ÿ 2#ÿ &,73-.ÿ $%2(73),#2-.ÿ +,-.-,7ÿ "# &%ÿ+,-"-5)45#ÿ"ÿ+,').ÿ+%:0,#$%.8

*DE; F%'-G-.%ÿ 0%5$)ÿ $ )2ÿ+E 0-,ÿ 0%5$)ÿ % )2ÿ ,, "ÿ +%:0,#$%.#/ÿ $)ÿ "-ÿ "-$#0#ÿ ' 0%5$)ÿ *DE-:)+"-8

*DEE; F%'-G-.%ÿ 0%5$)ÿ$ )2ÿ+EE 0-,ÿ 0%5$)ÿ% )2ÿ ,,Hÿ "ÿ+%:0,#$%.#/ÿ $)ÿ "-ÿ "-$#0#ÿ' 0%5$)ÿ *DEE-:)+"-8

*DEEE; F%'-G-.%ÿ 0%5$)ÿ% )2ÿ+EEE 0-,ÿ 0%5$)ÿ$ )2ÿ ,,Hÿ "ÿ+%:0,#$%.#/ÿ$)ÿ "-ÿ "-$#0#ÿ'ÿ 0%5$)ÿ *DEEE-:)+"-8

*DE!; F%'-G-.%ÿ 0%5$)ÿ% )2ÿ+E! 0-,ÿ 0%5$)ÿ$ )2ÿ ,, "ÿ+%:0,#$%.#/ÿ$)ÿ "-ÿ"-$#0#ÿ'ÿ 0%5$)ÿ *DE!-:)+"-8

I#ÿ+%"0%+-$ÿ+%2%').%/ÿ&#ÿ&%>).%ÿ4-ÿ&,73-ÿ0%5$-ÿ-:)+"-8

3'/)#$,ÿ!('4%*$,ÿ,*'+/,;ÿI%5$-ÿ-:)+"-ÿ"+%().%ÿ"ÿ$,)'7:(2)$%.ÿ'ÿ3:#&$%ÿ)2ÿ2#+-0%ÿ$,)'7:(%8ÿF,)ÿ,)"#2(7ÿ$,)'7:(-ÿ.%,#.%ÿ+#6)0)/ÿ&#ÿ"-ÿ-:)+"#ÿ&%0)$#ÿ07&)ÿ%5,0#2-3#ÿ+#,#:-:%3,#.#ÿ'ÿ0%5$#1ÿ"/ÿ#/ÿ$ )2ÿ%8

-ÿÿ.),$!/

0!#01#.ÿ$)/#,".*%,2!(.ÿ(0#!*%3(4,2.

-56ÿ.789:;ÿ<=ÿ>;?;ÿ:ÿ@A?<BC8D;?8E;ÿ9D=E=DAE;

56 56 56

555555555

"

!

# $

55 55

555

%

&'

( )

**+*+

*****

*

,-., - 55.

. - ,, - .

***+

Fÿ6G

55/7 555/7

5/7 56/7

79

6.8 Določanje osi elipse, če sta znana konjugirana premera (Rytzova metoda)

V elipsi imenujemo vsako dvojico premerov, pri katerih sta tangenti v krajiščih enega premera vzporedni drugemu premeru, konjugirana ali prirejena premera. Konjugirana premera se v središču S elipse razpolavljata.Če sta dana konjugirana premera elipse, določimo veliko in malo os elipse s pomočjo Rytzove konstrukcije.

Dana sta konjugirana premera MN in PR.

Na enega izmed konjugiranih premerov (tukaj na premer MN) narišemo v sre-dišču S pravokotnico in nanjo nanesemo iz središča S polovico dolžine tega premera, da dobimo točko P1. Skozi točko P1 in najbližje krajišče drugega ko-njugiranega premera (tukaj skozi krajišče P) narišemo premico. Daljico PP1 raz-polovimo, da dobimo središče S1. Nato narišemo skozi središče S elipse Taleso-vo krožnico s središčem v razpolovišču S1, ki seka premico (P, P1) v točkah I in II. Zatem narišemo premico (I, S) in premico (II, S). Premici sta med seboj pravo-kotni. Na premici (I, S) leži velika os, na premici (II, S) pa mala os elipse.

Razdalja I P1= II P ……… a = polovica velike osiRazdalja II P1= I P ……… b = polovica male osi

Ko smo določili obe osi, narišemo elipso po eni izmed znanih metod.

6 ELIPSA

!"#"ÿ6$"ÿ'%#5;<+0"#"ÿ/0)1)0" @? +#ÿCD!

A/ÿ+*+=/ÿ2#1+:ÿ.%*'(=20/*2;ÿ$0+1+0%8ÿ<,(./'ÿ*/ÿ$0+1+0ÿ2+>ÿ*/024+1%ÿ8 60+:24-(ÿ.$0/8%.%,*23%ÿ 2*ÿ */*'%ÿ */*+6+1%ÿ 2#ÿ 60+:24-/ÿ . $%&%823%ÿ:%&52*+ÿ ,+=/ÿ$0+1+0/7ÿ :/ÿ:%)21%ÿ,%-.%ÿ0E!ÿ@.%#2ÿ,%-.%ÿ0E 2*ÿ*/')&25'+ÿ.0/'24-+ÿ:0(=+=/ÿ.%*'(=20/*+=/ÿ$0+1+0/ÿ<,(./'ÿ 6.%#2ÿ .0/'24-+ÿ 0>ÿ */024+1%ÿ $0+123%!ÿ V/&'23%ÿ 00E 0/#$%&%821%7ÿ :/ÿ :%)21%ÿ60+:24-+ÿ .E!ÿ A/,%ÿ */024+1%ÿ 6.%#2ÿ 60+:24-+ÿ .ÿ +&2$6+ÿ M/&+6%8%ÿ .0%5*23%ÿ 6ÿ 60+:24-+1ÿ 8ÿ0/#$%&%824-(ÿ.E7ÿ.2ÿ6+./ÿ$0+123%ÿ<07ÿ0E>ÿ8 ,%-./;ÿ* 2*ÿ**!ÿJ/,+1ÿ*/024+1%ÿÿ$0+123%ÿ<*7ÿ.>ÿ2*ÿ$0+123%ÿ<**7ÿ.>!ÿ90+1232ÿ6,/ÿ1+:ÿ6+)%'ÿ$0/8%.%,*2!ÿA/ÿ$0+1232ÿ<*7ÿ.>ÿ&+52ÿ8+&2./ÿ%67ÿ*/ÿ$0+1232ÿ<**7ÿ.>ÿ$/ÿ1/&/ÿ%6ÿ+&2$6+!

X/#:/&'/ÿÿ*ÿ0ERÿ** 0QQQÿÿ& Rÿ$%&%823/ÿ8+&2.+ÿ%62X/#:/&'/ÿ**ÿ0ERÿ* 0 QQQÿÿ3 Rÿ$%&%823/ÿ1/&+ÿ%62

W%ÿ61%ÿ:%&%-2&2ÿ%)+ÿ%627ÿ*/024+1%ÿ+&2$6%ÿ$%ÿ+*2ÿ2#1+:ÿ#*/*2;ÿ1+,%:!ÿ

Hÿ+&2$62ÿ21+*('+1%ÿ86/.%ÿ:8%'23%ÿ$0+1+0%87ÿ$02ÿ./,+02;ÿ6,/ÿ,/*=+*,2ÿ8ÿ.0/'24-2;ÿ+*+=/ÿ$0+1+0/ÿ 8#$%0+:*2ÿ :0(=+1(ÿ $0+1+0(7ÿ '%#5;<+0"#"ÿ /&2 /0+0)5)#"ÿ /0)1)0"!ÿW%*'(=20/*/ÿ$0+1+0/ÿ6+ÿ8ÿ60+:24-( . +&2$6+ÿ0/#$%&/8&'/,/!N+ÿ 6,/ÿ :/*/ÿ .%*'(=20/*/ÿ $0+1+0/ÿ +&2$6+7ÿ :%&%-21%ÿ 8+&2.%ÿ 2*ÿ 1/&%ÿ %6ÿ +&2$6+ÿ 6ÿ$%1%-'%ÿYb$,%-)ÿ'%#6$0;'2+5)!

1"("ÿ%6

FF

"

"

-)(+'"ÿ%6

F

"

BCDBCD

Qÿÿ)1*0.!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

*2 +

(

0

**

E

N

!

#

$

0E.

dÿTV

Q%SÿNCPCI=>?9ÿC<;ÿ9P;B<9RÿI9ÿ<8=ÿA>=>=ÿÿGC>?HZ;7=>=ÿB79F97=ÿ`(a8AC@=ÿF98CD=b

.


6.9 Tangenta in normala na elipso v dani točki elipse

Tangenta je simetrala kota (tukaj kota α) med eno prevodnico in podaljškom druge prevodnice.Normala je simetrala kota (tukaj kota β) med obema prevodnicama in je pra-vokotna na tangento.

Dana je točka D1 na dani elipsi z znanima polosema a in b.

Konstrukcija tangente: Dano dotikališče D1 na elipsi spojimo z goriščema F1 in F2. Nato podaljšamo eno izmed prevodnic (tukaj daljšo prevodnico F1D1) preko dotikališča D1 za dolžino druge prevodnice (tukaj krajše prevodnice F2D1), da dobimo točko D1

0. Simetrala kota F2D1D10 z vrhom v točki D1 je tangenta t na

elipso v dani točki D1.

4ÿÿ9;<:8"

#" EBEJ 8

L

B

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

4%Mÿ>,0R20),ÿH0ÿ0(.I,J,ÿ0,ÿ2JHVX(ÿ/ÿP,0Hÿ)(-3Hÿ2JHVX2

ELÿÿJ

G5

LJ

3

.

α@B

α@B@Bββ@B

99999ÿ'"/&+4+.99999ÿ#+';%'#+3

81

6.10 Tangenti na elipso iz dane zunanje točke

Dani sta elipsa z znanima polosema a in b ter točka T zunaj elipse.

Konstrukcija dotikališč in tangent: Skozi gorišče (tukaj skozi gorišče F2), ki je dani zunanji točki T bliže, narišemo krožni lok s polmerom rm in s središčem v zuna-nji točki T. Nato narišemo nasprotni krožni lok s polmerom rv, ki je enak dolžini velike osi AB in s središčem v bolj oddaljenem gorišču (tukaj v gorišču F1). Oba krožna loka se sekata v točkah D1

0 in D20. Zveznici presečišč D1

0 in D20 z bolj od-

daljenim goriščem (tukaj z goriščem F1) sekata elipso v točkah D1 in D2, ki sta dotikališči obeh tangent z elipso. Premici, ki ju narišemo skozi zunanjo točko T ter skozi dotikališči D1 in D2, sta iskani tangenti t1 in t2.

6 ELIPSA

" #

B

>

4ÿÿ9;<:8"

EJ EB

8

L

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

4%$5ÿ>,0R20)Hÿ0,ÿ2JHVX(ÿHWÿP,02ÿWQ0,012ÿ)(-32

G$

E

E

Lÿÿ

Lÿÿ

J

B31

3%

JL

LB

#"Gÿ!JFE LJ&$ Gÿ

99999ÿ#+';%'#)1!ÿ33%

> EB4$ÿÿ +


7 OVALNE KRIVULJE

Ovalna krivulja je krivulja, ki je sestavljena iz samih krožnih lokov. Sem spada oval ali locen, ki je zelo podoben elipsi. Kadar ni pomembna konstrukcija elipse in želimo pri-kazati samo obliko, uporabimo včasih oval namesto elipse.

7.1 Oval

Dani sta velika polos a in mala polos b ovala.

Risanje osi ovala: Narišemo veliko os z dano dolžino 2a, kjer sta točki A in B glavni te-meni ovala. Nato narišemo malo os z dano dolžino 2b, kjer sta točki C in D stranski te-meni ovala. Velika in mala os sta med seboj pravokotni in se med seboj razpolavljata v središču S.

Določitev središč S1 in S2 krožnih lokov ovala: Na podaljšku male osi konstruiramo točko M, tako da je dolžina daljice SM enaka dolžini velike polosi. Iz tega sledi, da je dolžina daljice CM enaka razliki dolžin med veliko in malo polosjo ovala. Zatem narišemo te-tivo BC in na njej odmerimo dolžino daljice CM, da dobimo točko N. Sedaj narišemo simetralo daljice BN, ki seka veliko os v točki S1 in malo os v točki S2. Središči S1 in S2 sta središči krožnih lokov, ki sestavljata četrtino ovala. Središči S3 in S4 dobimo z zrcaljenjem središč S1 in S2 čez središče S ovala.

Risanje ovala: Narišemo krožni lok iz središča S1 skozi teme B in krožni lok iz središča S2 skozi teme C. Oba krožna loka se stikata na simetrali (S1, T1). Preostale tri četrtine ovala narišemo na enak način kot prvo četrtino.

O-"(#"ÿ'0+-;(5" '+ÿ.028(&'/7ÿ.2ÿ'+ÿ6+6,/8&'+*/ÿ2#ÿ6/12;ÿ.0%5*2;ÿ&%.%8!ÿ@+1ÿ6$/:/ÿ%-"( /&2ÿ(%2)#7ÿ .2 '+ÿ #+&%ÿ $%:%)+*ÿ +&2$62!ÿ W/:/0ÿ *2ÿ $%1+1)*/ÿ .%*6,0(.32'/ÿ +&2$6+ÿ 2*ÿ 5+&21%ÿ$02./#/,2ÿ6/1%ÿ%)&2.%7ÿ($%0/)21%ÿ8-/62;ÿ%8/&ÿÿ*/1+6,%ÿ+&2$6+!

!"#+ 6$"ÿ-)(+'"ÿ/%(%6ÿ& +# 1"("ÿ/%(%6ÿ3 %-"("!

Y+6"#5)ÿ%6+ %-"("@ A/024+1%ÿ8+&2.%ÿ%6ÿ #ÿ:/*%ÿ:%&52*%ÿG&7ÿ .'+0ÿ 6,/ÿ ,%-.2ÿ! 2*ÿ# =&/8*2ÿ,+1+*2ÿ%8/&/!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ1/&%ÿ%6ÿ#ÿ:/*%ÿ:%&52*%ÿG37ÿ.'+0ÿ6,/ÿ,%-.2ÿ$ 2*ÿN 6,0/*6.2ÿ,+1+*2ÿ %8/&/!ÿ H+&2./ÿ 2*ÿ 1/&/ÿ %6ÿ 6,/ÿ 1+:ÿ 6+)%'ÿ $0/8%.%,*2ÿ 2*ÿ 6+ÿ 1+:ÿ 6+)%'ÿ0/#$%&/8&'/,/ÿ8ÿ60+:24-(ÿ.!ÿ

!%(%&+$)-ÿ 60).+:& =3 +# => '0%*#+7ÿ (%'%-ÿ %-"("Tÿ A/ÿ $%:/&'4.(ÿ1/&+ÿ %62ÿ .%*6,0(20/1%ÿ,%-.%ÿ27ÿ,/.%ÿ:/ÿ'+ÿ:%&52*/ÿ:/&'23+ÿ.2 +*/./ÿ:%&52*2ÿ8+&2.+ÿ$%&%62!ÿ"#ÿ,+=/ÿ6&+:27ÿ:/ÿ'+ÿ:%&52*/ÿ :/&'23+ÿ $2 +*/./ÿ 0/#&2.2ÿ :%&52*ÿ 1+:ÿ 8+&2.%ÿ 2*ÿ 1/&%ÿ $%&%6'%ÿ %8/&/!ÿ J/,+1ÿ*/024+1%ÿ ,+,28%ÿ #$ 2*ÿ */ÿ *'+'ÿ %:1+021%ÿ :%&52*%ÿ :/&'23+ÿ$27ÿ :/ÿ :%)21%ÿ ,%-.%ÿ+!ÿ@+:/'ÿ*/024+1%ÿ621+,0/&%ÿ:/&'23+ÿ#+7ÿ.2ÿ6+./ÿ8+&2.%ÿ%6ÿ8ÿ,%-.2 .E 2*ÿ1/&%ÿ%6ÿ8ÿ,%-.2ÿ.G!ÿ@0+:24-2ÿ.E 2*ÿ.G 6,/ÿ60+:24-2ÿ.0%5*2;ÿ&%.%87ÿ.2ÿ6+6,/8&'/,/ÿ-+,0,2*%ÿ%8/&/!ÿ@0+:24-2ÿ.K 2*ÿ.L:%)21%ÿ#ÿ#03/&'+*'+1ÿ60+:24-ÿ.E 2*ÿ.G -+#ÿ60+:24-+ÿ. %8/&/!

Y+6"#5)ÿ%-"("TÿA/024+1%ÿ.0%5*2ÿ&%.ÿ2#ÿ60+:24-/ÿ.E 6.%#2ÿ,+1+ÿ# 2* .0%5*2ÿ&%.ÿ2#ÿ60+:24-/ÿ.G6.%#2ÿ ,+1+ÿ$!ÿ `)/ÿ .0%5*/ÿ &%./ÿ 6+ÿ 6,2./,/ÿ */ÿ 621+,0/&2ÿ <.E7"E>!ÿ 90+%6,/&+ÿ ,02ÿ -+,0,2*+ÿ%8/&/ÿ*/024+1%ÿ*/ÿ+*/.ÿ*/-2*ÿ.%,ÿ$08%ÿ-+,0,2*%!

FF

" "

Tÿÿ-/!1+)ÿ,(*/413)

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

T%&ÿ-@=P

G

K

! #

N

$

L

"

E.K. .

L+ "E

2

.

. "G"

dÿS6

83

8 HIPERBOLA

8.1 Oznake pri hiperboli

Definicija .................... Hiperbola je množica točk v ravnini, za katere je razlika njihovih razdalj od dveh stalnih točk (gorišč) konstantna in enaka realni osi hiperbole. Hiperbolo sestavljata dve veji.

r1 – r2 = 2a ................... desna veja: F1T1I–F2 T1

I=ABr2 – r1 = 2a ................... leva veja: F2T1

II–F1T1II=AB

S ................................... središče hiperbole F1, F2 ............................. gorišči (žarišči ali fokusa)A, B .............................. glavni temeni C, D ............................. stranski temeni 2a = AB ....................... glavna ali realna os Io .................................. stranska ali imaginarna osa =SA=SB ............. realni polosib =SC=SD ............ imaginarni polosie =SF1=SF2 ........... linearna ekscentričnost – razdalja gorišča od središčar1 =FIT1

I ...................... prevodnica ali radijvektor – razdalja točke T1I na

hiperboli od gorišča F1

r2 =F2T1I .................... prevodnica ali radijvektor – razdalja točke T1

I na hiperboli od gorišča F2

u, v, ............................. asimptotikf .................................. goriščna krožnicak1t, k2t .......................... pritisnjena krožna loka v temenih hiperbolepravokotnik 1'2'3'4' ...... značilni pravokotnik hiperbole

8 HIPERBOLA

89T;D;K;LBKK:KK:: >/($)+",*ÿ -$ÿ #4"9/?*ÿ %"83ÿ 0ÿ )*04/4/@ÿ .*ÿ 3*%$)$ÿ -$ÿ)*.,/3*ÿ 4-/5"0/5ÿ )*.&*,-ÿ "&ÿ &0$5ÿ 1%*,4/5ÿ %"83ÿ A2")/68Bÿ3"41%*4%4*ÿ /4ÿ $4*3*ÿ )$*,4/ "1/ 5/($)+",$7ÿ >/($)+","ÿ1$1%*0,-*%*ÿ&0$ÿ0$-/@ .*ÿ3*%$)/ÿ0$,-*C

'D E 'F GÿF(KKKK:: &$14*ÿ0$-*C UD/DLMUG /DLH#&'F E 'D GÿF(KKKK:: ,$0*ÿ0$-*C ÿUG/DLLMUD/DLLH#&)KKKKKKKK:::ÿ 1)$&/68$ÿ5/($)+",$ÿUD8ÿUG KKKKKKK 2")/68/ÿA 9*)/68/ÿ*,/ÿH"3'1*B#8 &KKKKKKK: 2,*04/ %$#$4/ÿ4@ÿ8KKKKK:KK 1%)*413/ÿ%$#$4/ÿF( Gÿ#&KK:KKK:ÿÿ 2,*04*ÿ*,/ÿ)$*,4*ÿ"1ÿ)" KKKKKKKK:: 1%)*413*ÿ*,/ /#*2/4*)4*ÿ"1(H)#H)&KKK )$*,4/ÿ(","1/*H)4H)8KK::: /#*2/4*)4/ÿ(","1/+H)UDH)UGKK:: ,/4$*)4*ÿ$31?$4%)/84"1%ÿE )*.&*,-* 2")/68*ÿ"&ÿ1)$&/68*'DHUL/DLKKKKK: ()$0"&4/?*ÿ *,/ÿ )*&/-0$3%")ÿ E )*.&*,-*ÿ %"83$ /DL 4*ÿ

5/($)+",/ÿ"& 2")/68* UD'FHUG/DL KKKKK ()$0"&4/?*ÿ *,/ÿ )*&/-0$3%")ÿ E )*.&*,-*ÿ %"83$ /DL 4*ÿ

5/($)+",/ÿ"& 2")/68* UG,@ÿ-@ KKKKKKK: *1/#(%"%/.H KKKKKKKK: 2")/684*ÿ3)"94/?*.D%@ .F% KKKKKK: ()/%/14-$4*ÿ3)"94*ÿ,"3*ÿ0ÿ%$#$4/5ÿ5/($)+",$7&"1)%)*$.% 6N5N"N!N .4*8/,4/ ()*0"3"%4/3ÿ5/($)+",$ÿ

GÿÿV.,+0&(-#

G76ÿ(WDBC9ÿS@;ÿF;S9@H>:;

&)UD UG

'

#

8

F%D%

()'(*'+ÿ,-#'.$+/0.1)2+ÿ2(')/0324.1+ G"

) )D F

I 0"

4

H

/ÿDL/ÿDLL

/ÿ LOD/ÿDLLLF*

* *

33

3"X !X

5X 6X

$


8.2 Načrtovanje hiperbole po definiciji

Pri konstruiranju hiperbole upoštevamo definicijo hiperbole, da je razlika razdalj (prevodnic) r1 in r2 za vsako točko hiperbole od dveh stalnih točk (gorišč) kon-stantna in enaka realni osi hiperbole (r1 – r2 = 2a).

Dani sta realna polos a in linearna ekscentričnost e hiperbole.

Risanje realne osi in določanje gorišč hiperbole: Narišemo premico in ozna-čimo središče S hiperbole. Na premici od središča S odmerimo na obe strani dolžino realne polosi a, da dobimo glavni temeni A in B hiperbole. Na isti pre-mici od središča S odmerimo na obe strani dolžino linearne ekscentričnosti e, da dobimo gorišči F1 in F2. Imaginarna os Io poteka pravokotno na realno os AB skozi središče S in jo razpolavlja.

902ÿ .%*6,0(20/*'(ÿ ;2$+0)%&+ÿ ($%4,+8/1%ÿ :+^2*232'%ÿ ;2$+0)%&+7 :/ '+ÿ 0/#&2./ÿ0/#:/&'ÿ </0)-%.#+2>ÿ #3 2*ÿ #> #/ÿ 86/.%ÿ ,%-.%ÿ ;2$+0)%&+ÿ %:ÿ :8+;ÿ 6,/&*2;ÿ ,%-.ÿ<=%024->ÿ.%*6,/*,*/ÿ2*ÿ+*/./ÿ0+/&*2ÿ%62ÿ;2$+0)%&+ÿP#3 _ #>ÿÿAÿÿ>&Q8

!"#+ 6$" 0)"(#"ÿ/%(%6ÿ& +#ÿ(+#)"0#"ÿ)'62)#$0+&#%6$ÿA 7+/)0F%()8

Y+6"#5)ÿ 0)"(#)ÿ %6+ÿ +#ÿ .%(%&"#5)ÿ <%0+:&ÿ 7+/)0F%()Tÿ A/024+1%ÿ $0+123%ÿ 2*ÿ%#*/-21%ÿ 60+:24-+ÿ. ;2$+0)%&+!ÿA/ÿ$0+1232ÿ%:1+021%ÿ%:ÿ 60+:24-/ÿ. */ÿ%)+ÿ6,0/*2ÿ:%&52*%ÿ0+/&*+ÿ$%&%62 &7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ=&/8*2ÿ,+1+*2ÿ! 2*ÿ# ;2$+0)%&+!ÿA/ÿ26,2ÿ$0+1232ÿ%:1+021%ÿ%:ÿ60+:24-/ÿ. */ÿ%)+ÿ6,0/*2ÿ:%&52*%ÿ&2*+/0*+ÿ+.63+*,02-*%6,2ÿA7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ=%024-2ÿUE 2*ÿUG!ÿ"1/=2*/0*/ÿ%6ÿE% $%,+./ÿ$0/8%.%,*%ÿ*/ÿ0+/&*%ÿ%6ÿ!# 6.%#2ÿ60+:24-+ÿ. 2*ÿ'%ÿ0/#$%&/8&'/!

)

0>"

0

"

BCD

. .

Sÿÿ5*0)(#-1!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

%

UE UG

"ÿG """ÿK ""

"ÿG """

"ÿ

"ÿ

& 6 :

E"""

"ÿE""ÿE""

"ÿE "H

K """

! #.

"ÿG""ÿK"

"ÿK"H

>>$3$ 0

; -

$

N

GE

3

>

SJ

L

' '

:[

6[ &[

J[

30

S%6ÿ+=I78C@=>?9ÿL;B97\CP9ÿBCÿD9e;>;E;?;

'a

85

Določanje točk hiperbole: Na premici (F1, F2) izberemo zunaj gorišč F1 in F2 ne-kaj poljubnih točk (1, 2, 3 …). V šestilo vzamemo razdaljo r1 (od temena A do točke 1) in narišemo iz gorišč F1 in F2 krožna loka s tem polmerom. Nato vzame-mo v šestilo razdaljo r2 (od temena B do točke 1) in narišemo iz gorišč F1 in F2 še krožna loka s tem polmerom. Presečišča lokov r1 in r2 nam dajo po dve točki na obeh vejah hiperbole (na sliki so označene točke T1

I in T1IV ter T1

II in T1III). Ta po-

stopek ponovimo s prevodnicami, ki imajo dolžine od temena A do točk 2 in 3 ter od temena B do točk 2 in 3. Presečišča ustreznih krožnih lokov določijo nove točke hiperbole. Če smo izbrali več točk na podaljšku realne osi, postopek še ponovimo.

Asimptote: Iz središča S narišemo goriščno krožnico kf skozi gorišči F1 in F2. Nato narišemo v temenih A in B pravokotno na realno os še temenski tangenti hiper-bole. Ti tangenti sekata goriščno krožnico v točkah 1', 2', 3' in 4'. Če zvežemo te štiri točke, dobimo značilni temenski pravokotnik hiperbole. Diagonalni premici, ki ju narišemo skozi oglišča temenskega pravokotnika, sta asimptoti hiperbole (tukaj sta asimptoti u in v).

Pritisnjena krožna loka k1t in k2t v temenih hiperbole: Krivini obeh krivulj hiper-bole v bližini temen A in B določimo s pritisnjenima krožnima lokoma k1t in k2t. Središče S1 krožnega loka k1t določimo tako, da v eni izmed točki 2' ali 3' (tukaj v točki 2') narišemo pravokotnico na ustrezno asimptoto (tukaj na asimptoto u), da seka premico (F1, F2) v točki S1. Središče S2 pritisnjenega krožnega loka k2t dobimo z zrcaljenjem središča S1 čez središče S hiperbole. V temenih A in B se krivulji hiperbole dotikata pritisnjenih temenskih krožnih lokov.

Risanje krivulj hiperbole: Tako dobljene točke posameznih vej hiperbole s kri-vuljnikom povežemo med seboj v napeti in gladki veji hiperbole.

8 HIPERBOLA


8.3 Tangenta in normala na hiperbolo v dani točki hiperbole

Tangenta v dani točki hiperbole je simetrala notranjega kota (tukaj kota α) med obema prevodnicama, normala v dani točki hiperbole pa je simetrala njego-vega suplementarnega kota (tukaj kota β) in je pravokotna na tangento.

Dana je točka D1 na dani veji hiperbole z znano realno polosjo a in znano line-arno ekscentričnostjo e.

Tangenta v dani točki D1 hiperbole je simetrala notranjega kota α med obema prevodnicama r1 in r2, ki povezujeta gorišči F1 in F2 z dano točko D1 (tukaj je si-metrala notranjega kota F1D1F2 z vrhom v točki D1).

( IT- T<"

Rÿÿa)&%,I!'(

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

R4Nÿ+78V:8>7ÿ58ÿ8B?=7<7ÿ87ÿA5;:?XB<BÿGÿF785ÿ>BE@5ÿA5;:?XB<:

RP

9 9C - )4

8. /<

L-

)

@<α

@<α

@<β

@<β

4ÿMMMMMÿ;,1O31;,MMMMMÿ178E,),

87

8.4 Tangenti na hiperbolo iz dane zunanje točke

Dani sta hiperbola z znano realno polosjo a in znano linearno ekscentričnostjo e ter točka T zunaj hiperbole.

Konstrukcija dotikališč tangent: Skozi enega od gorišč (tukaj skozi gorišče F2) narišemo krožni lok s središčem v dani točki T. Nato narišemo krožni lok s sre-diščem v drugem gorišču (tukaj v gorišču F1) in s polmerom, ki je enak dolžini realne osi AB. Oba krožna loka se sekata v točkah D1

0 in D20. Skozi točko D1

0 in gorišče F1 narišemo premico, ki seka vejo hiperbole, bližje gorišču F1, v točki D1. Ta je dotikališče tangente t1. Skozi gorišče F1 in točko D2

0 pa narišemo premico, ki seka vejo hiperbole, bližje gorišču F2, v točki D2. Ta je dotikališče tangente t2.

Tangenta t1: Premica, narisana skozi zunanjo točko T in dotikališče D1, je tan-genta t1 na prvo vejo hiperbole in hkrati tudi simetrala daljice D1

0F2.

Tangenta t2: Premica, narisana skozi zunanjo točko T in dotikališče D2, je tan-genta t2 na drugo vejo hiperbole in hkrati tudi simetrala daljice D2

0F2.

8 HIPERBOLARÿÿa)&%,I!'(

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%

R4Jÿ+78V:8>5ÿ87ÿA5;:?XB<Bÿ5HÿF78:ÿHC8789:ÿ>BE@:ÿ

RK

L<"

+

. /

4C 4 -

9ÿ1 <T+ÿ

(Iÿ

9ÿ1

( IT- T<

L "-

L<

L-0

8<

L

"

Dÿ4C4 - MMMMMÿ;,1O31;*


9 PARABOLA

9.1 Oznake pri paraboli

Definicija ................. Parabola je množica točk v ravnini, enako oddaljenih od gorišča in od premice vodnice. Za točke parabole velja, da je pravokotna razdalja točke na paraboli od premice vodnice enaka razdalji te točke od gorišča (T1

I T10 = T1

IF).F ................................ gorišče (žarišče ali fokus)A ............................... teme parabolea ............................... os parabole – os simetrije, ki poteka skozi teme in

gorišče parabolev ............................... Premica vodnica (direktrisa) je pravokotna na os

parabole.R ............................... presečišče premice vodnice in osi parabolep = RF .................... Goriščni parameter (karakteristična konstanta) –

parabola je popolnoma določena s parametrom.p/2 = RA=AF .... Teme parabole A je na osi parabole v sredini med

premico vodnico (točko R) in goriščem F.r ................................ prevodnica ali radijvektor – oddaljenost točke na

paraboli od gorišča tA ............................... tangenta parabole v temenu A kt ............................... pritisnjeni krožni lok v temenu parabole 2p =TI TII ................. Tetiva parabole, položena skozi gorišče pravokotno na

os a, je enaka dolžini 2p.

89T;D;K;LBK J*)*+",*ÿ -$ÿ #4"9/?*ÿ %"83ÿ 0ÿ )*04/4/@ÿ3/ÿ 1"ÿ $4*3"ÿ "&&*,-$4$ÿ"&ÿ2")/68*ÿ/4ÿ"& ()$#/?$ÿ0"&4/?$7ÿK*ÿ%"83$ÿ(*)*+",$ÿ0$,-*@ÿ&* -$ÿ ()*0"3"%4*ÿ )*.&*,-* %"83$ÿ 4*ÿ (*)*+",/ÿ "&ÿ ()$#/?$ÿ0"&4/?$ÿ$4*3*ÿ)*.&*,-/ÿ%$ÿ%"83$ÿ"&ÿ2")/68* 0/DL /DPÿHÿ/DLU6:

UKKKKK 2")/68$ÿA9*)/68$ÿ*,/ÿH"3'1B#K:::KKK %$#$ÿ(*)*+",$(KKKK:::ÿÿ "1ÿ (*)*+",$ÿ E "1ÿ 1/#$%)/-$@ÿ 3/ÿ ("%$3* 13"./ %$#$ÿ /4ÿ 2")/68$ÿ

(*)*+",$-K:::KKK ()$#/?*ÿ0"&4/?*ÿA&/)$3%)/1*B -$ÿ()*0"3"%4*ÿ4*ÿ"1ÿ(*)*+",$0KKKK::: ()$1$8/68$ÿ()$#/?$ÿ0"&4/?$ÿ/4ÿ"1/ (*)*+",$/ Hÿ0UK:: 2")/684/ÿ(*)*#$%$)ÿA3*)*3%$)/1%/84*ÿ3"41%*4%*BÿE (*)*+",*ÿ-$ÿ

("(",4"#*ÿ&","8$4*ÿ1ÿ(*)*#$%)"#/<F Hÿ0#H#U %$#$ÿ(*)*+",$ÿ# -$ 4*ÿ"1/ (*)*+",$ÿ0ÿ1)$&/4/ÿ#$&ÿ()$#/?"ÿ

0"&4/?"ÿA%"83"ÿ0Bÿ/4ÿ2")/68$#ÿU'KKKKK ()$0"&4/?*ÿ *,/ÿ )*&/-0$3%") E "&&*,-$4"1%ÿ %"83$ÿ 4*ÿ (*)*+",/ÿ

"&ÿ2")/68* ÿ0L KKKK:: %*42$4%*ÿ(*)*+",$ÿ0ÿ%$#$4'ÿ# ÿ.% KKKK::ÿ ()/%/14-$4/ÿ3)"94/ ,"3ÿ0ÿ%$#$4'ÿ(*)*+",$F/ H/L ÿ/LL:: %$%/0*ÿ(*)*+",$@ 3/ -$ÿ(","9$4*ÿ13"./ 2")/68$ ()*0"3"%4"ÿ4*

"1ÿ(@ÿ-$ÿ$4*3*ÿ&",9/4/ÿF/

(

(<F(<F

(

QPR

GG

L/

# U

%

Rÿÿ,#0#&(-#

R76ÿ(WDBC9ÿS@;ÿSB@BH>:;

DD

D

LL/

L0

()'(*'+ÿ,-#'.$+/0.1)2+ÿ2(')/0324.1+

/ LP/

/ LL

0

%

) * *

((

) 3

89

9.2 Načrtovanje parabole po definiciji

Pri konstruiranju parabole upoštevamo definicijo parabole, da je pravokotna razdalja vsake točke parabole od premice vodnice enaka razdalji te točke od gorišča.

Dan je parameter p parabole s krajiščema R in F.

Konstrukcija elementov danega parametra p: Narišemo os parabole a, ki je nosilka parametra p. Na osi a odmerimo dolžino parametra p, da dobimo točki R in F. Točka F je gorišče parabole. V točki R narišemo premico vodnico v, ki je pravokotna na para-meter RF. Nato narišemo simetralo parametra RF, da dobimo teme A parabole. Sime-trala parametra RF je tudi temenska tangenta tA parabole v temenu A.

Konstrukcija točk parabole: Na osi parabole izberemo nekaj poljubnih točk (M1, M2, M3 …). V točki M1 narišemo pravokotnico na os parabole. Nato vzamemo v šestilo razdaljo r1 (od točke R na premici vodnici do točke M1 na osi parabole) in narišemo iz gorišča F krožni lok s tem polmerom, ki seka narisano pravokotnico v točkah T1

I in T1II, ki

sta že točki parabole. Ta postopek ponovimo prevodnicami, ki imajo dolžine od točke R do točk M2 in M3. Presečišča ustreznih prevodnic in pravokotnic določijo nove točke parabole. Če smo izbrali več točk na osi parabole, postopek še ponovimo.

Pritisnjeni krožni lok kt v temenu parabole: Del ukrivljenosti parabole v bližini temena A določimo s pritisnjenim krožnim lokom kt, ki ima središče St na osi parabole. Središče St

je oddaljeno od temena A za dolžino parametra RF.

Risanje krivulje parabole: Tako dobljene točke parabole spojimo s krivuljnikom v na-peto in gladko krivuljo parabole.

9 PARABOLA

902ÿ.%*6,0(20/*'(ÿ$/0/)%&+ÿ($%4,+8/1%ÿ:+^2*232'%ÿ$/0/)%&+7ÿ:/ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ0/#:/&'/ÿ86/.+ÿ,%-.+ÿ$/0/)%&+ÿ%:ÿ$0+123+ÿ8%:*23+ÿ+*/./ÿ0/#:/&'2ÿ,+ÿ,%-.+ÿ%:ÿ=%024-/!

!"#ÿ5)ÿ/"0"1)$)0ÿÿ" /"0"F%()ÿ6ÿ'0"5+:&)1"ÿD +#ÿ2!

H%#6$0;'2+5" )()1)#$%-ÿ."#)<"ÿ/"0"1)$0"ÿ"TÿA/024+1%ÿ%6ÿ$/0/)%&+ÿ&7ÿ.2ÿ '+ÿ*%62&./ÿ$/0/1+,0/ÿ"!ÿA/ÿ%62ÿ& %:1+021%ÿ:%&52*%ÿ$/0/1+,0/ÿ"7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ,%-.2ÿ( 2*ÿU!ÿM%-./ÿU '+ÿ=%024-+ÿ$/0/)%&+!ÿH ,%-.2ÿ( */024+1%ÿ$0+123%ÿ8%:*23%ÿ/7ÿ.2ÿ '+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ$/0/1+,+0ÿ(U!ÿA/,%ÿ*/024+1%ÿ621+,0/&%ÿ$/0/1+,0/ÿ(U7ÿ:/ÿ:%)21%ÿ,+1+ÿ! $/0/)%&+!ÿ@21+,0/&/ÿ$/0/1+,0/ÿ(U '+ÿ,(:2ÿ,+1+*6./ÿ,/*=+*,/ÿ;c $/0/)%&+ÿ8ÿ,+1+*(ÿ!!

H%#6$0;'2+5" $%&'ÿ/"0"F%()TÿA/ÿ%62ÿ$/0/)%&+ÿ2#)+0+1%ÿ*+./'ÿ$%&'()*2;ÿ,%-.ÿ<2E7ÿ2G7ÿ2K7ÿQ >!ÿHÿ,%-.2ÿ2E */024+1%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ*/ÿ%6ÿ$/0/)%&+!ÿA/,%ÿ8#/1+1%ÿ8 4+6,2&%ÿ0/#:/&'%ÿ#3 <%:ÿ,%-.+ÿ( */ÿ$0+1232ÿ8%:*232ÿ:%ÿ,%-.+ÿ2E */ÿ%62ÿ$/0/)%&+> 2*ÿ*/024+1%ÿ2#ÿ=%024-/ÿU .0%5*2ÿ&%.ÿ6ÿ,+1ÿ$%&1+0%17ÿ.2ÿ6+./ÿ*/026/*%ÿ$0/8%.%,*23%ÿ8ÿ,%-./;ÿ"E" 2*ÿ"E""7ÿ.2ÿ 6,/ÿ 5+ÿ ,%-.2ÿ$/0/)%&+!ÿ M/ÿ$%6,%$+.ÿ$%*%821%ÿ$0+8%:*23/127ÿ .2ÿ 21/'%ÿ:%&52*+ÿ%:ÿ,%-.+ÿ ( :%ÿ ,%-.ÿ2G 2*ÿ2K!ÿ 90+6+-24-/ÿ (6,0+#*2;ÿ $0+8%:*23ÿ 2*ÿ $0/8%.%,*23ÿ :%&%-2'%ÿ*%8+ÿ ,%-.+ÿ $/0/)%&+!ÿ N+ÿ 61%ÿ 2#)0/&2ÿ 8+-ÿ ,%-.ÿ */ÿ %62ÿ $/0/)%&+7ÿ $%6,%$+.ÿ 4+ÿ$%*%821%!ÿ

40+$+6#5)#+ '0%*#+ (%'ÿ6$ -ÿ$)1)#;ÿ/"0"F%()TÿV+& (.028&'+*%6,2ÿ$/0/)%&+ÿ8ÿ)&252*2ÿ,+1+*/ÿ!:%&%-21%ÿ 6ÿ $02,26*'+*21ÿ .0%5*21ÿ &%.%1ÿ 6$7ÿ .2 21/ÿ 60+:24-+ÿ ., */ÿ %62ÿ $/0/)%&+ÿ 2*ÿ '+ÿ%::/&'+*%ÿ%:ÿ,+1+*/ÿ! #/ÿ:%&52*%ÿ$/0/1+,0/ÿ(U!

Y+6"#5)ÿ '0+-;(5)ÿ /"0"F%()Tÿ M/.%ÿ :%)&'+*+ÿ ,%-.+ÿ $/0/)%&+ÿ 6$%'21%ÿ 6ÿ .028(&'*2.%1ÿ 8ÿ*/$+,%ÿ2*ÿ=&/:.%ÿ.028(&'%ÿ$/0/)%&+!

/

0

33

. ,

00B

>

c

3

"ÿ

0

Vÿÿ0!(!#-1!

U!

"ÿE"""ÿG ""

"ÿK ""

"ÿK""ÿG"

"ÿE"

/

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)

2 22E KG "(

-$'

$

//

V%6ÿ+=I78C@=>?9ÿB=7=\CP9ÿBCÿD9e;>;E;?;

dÿSV

0>

B

0

0

EC


9.3 Parabola je dana z dvema tangentama in njunima dotikališčema na paraboli

Dani sta dotikališči parabole D1 in D2 na danih tangentah t1 in t2.

Tangenti t1 in t2 se sekata v točki T. Daljici TD1 in TD2 razdelimo na enako število delov (tukaj sta daljici razdeljeni na 8 ustrezno enakih delov). Delitvene točke označimo z zaporednimi številkami 1, 2, 3 … n od dotikališča D1 do presečišča T in od presečišča T do dotikališča D2. Če delitvene točke z enakimi številčnimi oznakami zvežemo, dobimo nove tangente parabole, ki so med obema dani-ma tangentama ter dotikališčema D1 in D2. Sedaj lahko med dotikališčema D1 in D2 ter ob novih tangentah precej natančno včrtamo s krivuljnikom gladko in napeto dotikalno krivuljo parabole.

%&'5 4+& 9*+5$&05?>5ÿ/&"&8*0) ', 5' 'K '&ÿ9&'5#ÿ+&'1)'+&# ?, 5' ?K8ÿ

D&:E*:/(ÿ?, (:ÿ?K ;*ÿ;*0&/&ÿ2ÿ/,40(ÿ>8ÿS&.6(?(ÿ>E$ (:ÿ>E# '&1>*.(+,ÿ:&ÿ*:&0,ÿ)/*2(.,>*.,2ÿH/<0&6ÿ;/&ÿ>&.6(?(ÿ'&1>*.6*:(ÿ:&ÿMÿ<;/'*1:,ÿ*:&0(3ÿ>*.,2I8ÿS*.(/2*:*ÿ/,40*ÿ,1:&4(+,ÿ 1ÿ 1&-,'*>:(+(ÿ )/*2(.0&+(ÿ $5ÿ C5ÿ &5ÿ Gÿ / ,>ÿ >,/(0&.()4&ÿ E$ >,ÿ-'*;*4()4&ÿ > (:ÿ ,>ÿ -'*;*4()4&ÿ > >,ÿ >,/(0&.()4&ÿ E#8ÿ L*ÿ >*.(/2*:*ÿ /,40*ÿ 1ÿ*:&0(+(ÿ )/*2(.4:(+(ÿ ,1:&0&+(ÿ 12*7*+,5ÿ>,=(+,ÿ :,2*ÿ /&:E*:/*ÿ-&'&=,.*5ÿ 0(ÿ;,ÿ+*>ÿ,=*+&ÿ>&:(+&ÿ/&:E*:/&+&ÿ/*'ÿ>,/(0&.()4*+&ÿE$ (:ÿE#8ÿF*>&6ÿ .&30,ÿ+*>ÿ>,/(0&.()4*+&ÿE$ (:ÿE# /*'ÿ,=ÿ:,2(3ÿ /&:E*:/&3ÿ-'*?*6ÿ /,4:,ÿ24'/&+,ÿ;ÿ0'(2<.6:(0,+ E.&>0,ÿ(:ÿ:&-*/,ÿ>,/(0&.:,ÿ0'(2<.6,ÿ-&'&=,.*8

Mÿÿ:"?"#7;"

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9 M5

$E

E#

$C

&*

G4

[

[4

G*

&C

$

+

+K

>

,

M%&ÿÿ:,.,X(K,ÿ12ÿP,0,ÿUÿP/2J,ÿ),0R2),J,ÿI0ÿ01S0IJ,ÿP()I3,KIY-2J,ÿ0,Q,.,X(KI

91

9.4 Parabola je dana s temensko tangento in z goriščem

Tangenta parabole preseka temensko tangento tA v presečišču, ki ga imenu-jemo nožišče N. Zveznica gorišča F z nožiščem N oklepa v nožišču N pravi kot s pripadajočo tangento.

To pravilo uporabimo za konstrukcijo parabole.

Dana je razdalja AF med temenom A in goriščem F parabole (p/2).

Konstrukcija tangent parabole: Skozi teme A in gorišče F narišemo os parabole a. V temenu narišemo temensko tangento tA, ki je pravokotna na os parabole. Na temenski tangenti izberemo poljubna nožišča tangent N1, N2, N3 … Nn. Nato zvežemo nožišče N1 z goriščem F in narišemo v nožišču N1 pravokotnico na zveznico točk F in N1. Pravokotnica je že iskana tangenta parabole. Postopek ponovimo in zvežemo še druga izbrana nožišča z goriščem ter narišemo pravo-kotnice na ustrezne zveznice točk. Narisane pravokotnice so iskane tangente parabole.

Risanje parabole: Sedaj lahko ob narisanih tangentah včrtamo s krivuljnikom gladko in napeto dotikalno krivuljo parabole.

9 PARABOLA

G"#<)#$"ÿ /"0"F%()ÿ /0)6)'"ÿ $)1)#6'%ÿ $"#<)#$%ÿ ;c -ÿ /0)6)&+:&;9 '+ <"ÿ+1)#;5)1%ÿ #%*+:&)ÿ?8ÿ E-),#+2"ÿ <%0+:&"ÿ 2 ,ÿ #%*+:&)1ÿ? %'()/"ÿ -ÿ #%*+:&;ÿ?/0"-+ '%$ 6ÿ/0+/"."5%&%ÿ$"#<)#$%8

M%ÿ$0/82&%ÿ($%0/)21%ÿ#/ÿ:%./'ÿ,%-*%ÿ.%*6,0(.32'%ÿ$/0/)%&+!

!"#"ÿ5)ÿ0",."(5" !U1).ÿ$)1)#%1 ' +#ÿ<%0+:&)1 2 /"0"F%()ÿÿP"_>Q!

H%#6$0;'2+5"ÿ $"#<)#$ÿ /"0"F%()Tÿ @.%#2ÿ ,+1+ÿ ! 2*ÿ =%024-+ÿ U */024+1%ÿ %6ÿ$/0/)%&+ÿ&!ÿHÿ,+1+*(ÿ*/024+1%ÿ,+1+*6.%ÿ,/*=+*,%ÿ;c7ÿ.2ÿ'+ÿ$0/8%.%,*/ÿ*/ÿ%6ÿ$/0/)%&+!ÿ A/ÿ ,+1+*6.2ÿ ,/*=+*,2ÿ 2#)+0+1%ÿ $%&'()*/ÿ *%524-/ÿ ,/*=+*,ÿ+E7ÿ+G7ÿ+K7ÿ Qÿ+*!ÿ A/,%ÿ #8+5+1%ÿ *%524-+ÿ+E #ÿ =%024-+1ÿ U 2*ÿ */024+1%ÿ 8ÿ *%524-(ÿ+E$0/8%.%,*23%ÿ */ÿ #8+#*23%ÿ ,%-.ÿU 2*ÿ+E!ÿ 90/8%.%,*23/ÿ '+ÿ 5+ÿ 26./*/ÿ ,/*=+*,/ÿ$/0/)%&+!ÿ 9%6,%$+.ÿ $%*%821%ÿ 2*ÿ #8+5+1%ÿ 4+ÿ :0(=/ÿ 2#)0/*/ÿ *%524-/ÿ #ÿ=%024-+1 ,+0ÿ */024+1%ÿ $0/8%.%,*23+ÿ */ÿ (6,0+#*+ÿ #8+#*23+ÿ ,%-.!ÿ A/026/*+ÿ$0/8%.%,*23+ÿ6%ÿ26./*+ÿ,/*=+*,+ÿ$/0/)%&+!ÿ

Y+6"#5)ÿ/"0"F%()Tÿ@+:/'ÿ &/;.%ÿ%)ÿ*/026/*2;ÿ ,/*=+*,/;ÿ8-0,/1%ÿ6 .028(&'*2.%1ÿ=&/:.%ÿ2*ÿ*/$+,%ÿ:%,2./&*%ÿ.028(&'%ÿ$/0/)%&+!

/_>

BCD

BCD

BCD

Vÿÿ0!(!#-1!

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ V&

U! "

$c

++G

E

+K

V%Jÿ0=7=\CP=ÿ?9ÿD=>=ÿ<ÿ89F9><GCÿ8=>Z9>8Cÿ;>ÿZC7;KI9F


9.5 Parabola je dana s konjugiranim premerom in tetivo

Dana sta konjugirani premer PC in tetiva MN.

Konstrukcija točk parabole: Narišemo paraboli očrtani paralelogram KLMN. Danemu konjugiranemu premeru PC narišemo vzporednici skozi krajišči tetive M in N, dani tetivi MN pa narišemo vzporedno tangento KL skozi krajišče P ko-njugiranega premera. Daljice PK in PL ter KN in LM razdelimo na enako število ustrezno enakih delov (tukaj sta dvojici daljic razdeljeni na štiri enake dele). Na vzporednicah KN in LM označimo delišča v smeri parabole, na vzporedni tan-genti KL pa označimo delišča od točke P na vsako stran.

Skozi delišča na tangenti KL narišemo vzporednice konjugiranemu premeru PC, iz krajišča P konjugiranega premera pa narišemo poltrake skozi delišča na vzporednicah KN in LM.

T2I: Poltrak skozi točki P in 2I seka vzporednico skozi točko III v točki T2

I, ki je že točka parabole.

T2II: Poltrak skozi točki P in 2II seka vzporednico skozi točko IIII v točki T2

II, ki je zopet točka parabole.

Ta postopek ponovimo, da dobimo še druge točke parabole.

Risanje parabole: Točke parabole spojimo med seboj s krivuljnikom v napeto in gladko krivuljo.

!"#"ÿ$%"ÿ&'#()*+,"#+ -,./., !" +#ÿ%.%+0" #$!

1'#$%,)&2+("ÿ %'3&ÿ -","4'5."ÿ #$%&'()*ÿ +$%$,*-&ÿ *.%/$0&ÿ +$%$-(-*1%$)ÿ !"#$!ÿ2$0()3ÿ4*0531&%$0()3ÿ+%()(%3ÿ%& 0$%&'()*ÿ67+*%(80&9&ÿ:4*7&ÿ4%$5&'.&ÿ/(/&6(ÿ# &0ÿ$;ÿ 8$0&ÿ /(/&6&ÿ#$ +$ÿ 0$%&'()*ÿ 67+*%(80*ÿ /$01(0/*ÿ !" :4*7&ÿ 4%$5&'.(ÿ %4*0531&%$0(1$ÿ +%()(%$!ÿ 2$-5&9(ÿ %! &0ÿ %" /(%ÿ !$ &0ÿ "# %$78(-&)*ÿ 0$ÿ (0$4*ÿ'/(6&-*ÿ3:/%(70*ÿ(0$4&<ÿ8(-*6ÿ =/34$5ÿ :/$ÿ86*5&9&ÿ8$-5&9ÿ %$78(-5(0&ÿ 0$ÿ '/&%&ÿ (0$4(ÿ8(-(>!ÿ #$ÿ 67+*%(80&9$<ÿ !$ &0ÿ "# *70$.&)*ÿ 8(-&'.$ÿ 6ÿ :)(%&ÿ +$%$,*-(;ÿ 0$ÿ67+*%(80&ÿ/$01(0/&ÿ%& +$ÿ*70$.&)*ÿ8(-&'.$ÿ*8ÿ/*.4(ÿ% 0$ÿ6:$4*ÿ:/%$0!

?4*7&ÿ 8(-&'.$ÿ 0$ÿ /$01(0/&ÿ !" 0$%&'()*ÿ 67+*%(80&9(ÿ 4*0531&%$0()3ÿ +%()(%3ÿ%&;ÿ&7ÿ4%$5&'.$ÿ% 4*0531&%$0(1$ÿ+%()(%$ÿ+$ÿ0$%&'()*ÿ+*-/%$4(ÿ:4*7&ÿ8(-&'.$ÿ0$ÿ67+*%(80&9$<ÿ!$ &0ÿ"#!

'@A" B*-/%$4ÿ:4*7&ÿ/*.4&ÿ% &0ÿ(A :(4$ÿ67+*%(80&9*ÿ:4*7&ÿ/*.4*ÿ ))A 6ÿ/*.4&ÿ'@A;ÿ4&ÿ 5(ÿC(ÿÿ/*.4$ÿ+$%$,*-(!ÿ

'@AA" B*-/%$4ÿ:4*7&ÿ/*.4&ÿ% &0 (AA :(4$ÿ67+*%(80&9*ÿ:4*7&ÿ/*.4*ÿ))AA 6ÿ/*.4&ÿ'@AA;ÿ4&ÿ5(ÿ7*+(/ /*.4$ÿ+$%$,*-(!ÿ

D$ÿ+*:/*+(4ÿ+*0*6&)*;ÿ8$ÿ8*,&)*ÿ'(ÿ8%31(ÿ/*.4(ÿ+$%$,*-(!

6+$"#(.ÿ-","4'5."ÿD*.4(ÿ+$%$,*-(ÿ:+*5&)*ÿ)(8ÿ:(,*5ÿ:ÿ4%&63-50&4*) 6ÿ0$+(/*ÿ&0ÿ1-$84*ÿ4%&63-5*!

"!

*ÿÿ%+,+-."+

#

$

7

'

8 8 8

88 88 88

(((

88

' 88

9

87'

' 88:

':'98

8

((

./$.0$1ÿ%"+$)#1',)2/!1ÿ!.$/',3!&)21

*45ÿ%67689:6ÿ;<ÿ=6>6ÿ?ÿ@9>;ABC76>CDÿE7<D<79DÿC>ÿÿF<FCG9

*(

%

&

((

) * +

) * +

(

(((

8

8

88

8

( 88

88

93

9.6 Tangenta in normala na parabolo v dani točki parabole

Dana je točka D1 na dani paraboli z znanim parametrom p.

Tangenta v dani točki D1 parabole je simetrala kota (tukaj kota α) med prevod-nico točke D1 (razdaljo točke D1 od gorišča F) in vzporednico osi parabole skozi točko D1.

Normala v dani točki D1 parabole je simetrala kota (tukaj kota β) med vzpored-nico osi parabole skozi točko D1 in podaljškom prevodnice točke D1. Normala je pravokotna na tangento.

9 PARABOLA

A

( T

3ÿÿ&(,(I!'(

,

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-% 3N

9

LL

/

#

34Pÿ+78V:8>7ÿ58ÿ8B?=7<7ÿ87ÿ;7?7XB<BÿGÿF785ÿ>BE@5ÿ;7?7XB<:

)

4

--"

)

@<β

α

@<α

@<

β@<

4ÿMMMMMÿ;,1O31;,MMMMMÿ178E,),


9.7 Tangenti na parabolo iz dane zunanje točke

Dani sta parabola z znanim parametrom p in točka T zunaj parabole.

Konstrukcija dotikališč in tangent: Iz dane točke T zunaj parabole narišemo sko-zi gorišče F krožni lok, ki je del Talesove krožnice. Krožni lok preseka premico vodnico v točkah D1

0 in D20. Skozi točki D1

0 in D20 narišemo vzporednici osi para-

bole. Vzporednici sekata parabolo v dotikališčih D1 in D2. Premici, ki ju narišemo skozi zunanjo točko T ter skozi dotikališči D1 in D2, sta iskani tangenti t1 in t2.

A

( T

-

4#)G,)4#

+

,

3ÿÿ&(,(I!'(

-L "

/

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ 3J

#

4

4 C

"

4#)G,)4#

+Tÿ9ÿ1

L<

4H

34Kÿ+78V:8>5ÿ87ÿ;7?7XB<Bÿ5HÿF78:ÿHC8789:ÿ>BE@:ÿ

L<

L-

Dÿ4C4 - MMMMMÿ;,1O31;*

95

10 LOKI V STAVBARSTVU

10.1 Oblike lokov

Loki so konstrukcijski elementi nad zidnimi odprtinami. Ti prevzemajo obreme-nitve nad odprtinami in jo prenašajo na bočne zidove ali stebre.

Ločne oblike sestavljajo deli krožnih lokov, elipse ali parabole. Pri risarskih kon-strukcijah lokov uporabljamo pravila, ki veljajo za risanje krožnih lokov, elips ali parabol.


56

&71

&71

&71

&71

56

&ÿ+ÿ

5671

&&ÿ/ÿ

5671

1&

&ÿ8ÿ

5671

5656

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

8

8

&%ÿ:7L'!"8><ÿ;7' *%ÿ]<:9?#7;<D+<ÿ;7'

8

C%ÿ89S=9+>+<ÿ;7'

9:4;3$(<(ÿ

3;3:&;

MF

$5%$ÿ7UJH32ÿJ(3(/

$5ÿÿ;7'<ÿ!ÿ8>"!#"?8>!A

$%ÿ:7;'?7T+<ÿ;7'

8

$ÿ/ÿ5671

56ÿ=====ÿ$(>6;3:.(ÿ?@:$:.(Aÿ<'#(&ÿ=======ÿ&:@:.(ÿ?6B@C:D(Aÿ<'#(

$ÿ+ÿ56

71

$ÿ/ÿ5671


10.2 Oblike lokov

56 56

56

&

&

56

&&

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

8%

$

$

%

$

$5%Cÿ7UJH32ÿJ(3(/

$

1

$

$ %

%

$

%

% $

$ %

G%ÿ'7+!9'8+<ÿ;7'

F%ÿL9>9;@<D"8><ÿ;7'a

"=4)-".'+ÿ/+14),)*+

M4

"=4)-".'+ÿ/+14),)*+ÿP2%#%4$),+5#)ÿ4"-ÿ5#/%&)ÿ4",')&)ÿ"25%-)%'+-%;+ÿ3"4&%/+

%&

$5ÿÿ;7'<ÿ!ÿ8>"!#"?8>!A

4%ÿ?"=9+8'<ÿ;7'ÿb'7+\7;+<ÿ;7'b

8 8

DEFÿ

56ÿ=====ÿ$(>6;3:.(ÿ?@:$:.(Aÿ<'#(&ÿ=======ÿ&:@:.(ÿ?6B@C:D(Aÿ<'#(

^%ÿ?"=9+8'<ÿ;7'b'7+\7;+<ÿ;7'ba

97

10.3 Oblike lokov


56

56

56

&& &

E 56 E

E Q

&

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

8

88

8

$

$5%&ÿ7UJH32ÿJ(3(/

$%

$ÿ+ÿÿ56

$ÿ+ÿ56ÿ2ÿE&

& %%

1

"=4)-".'+/+14),)*+

534"8,%'+05#)5'$%'+ÿ"=4)-+

M^

'+.+2'+0%'+-"5#/+'),'+ÿ"=4)-+

3".)8+'+0564),+5#+ÿ"=4)-+

$C%ÿc<;"8><ÿ;7'a$$%ÿc<;"8><ÿ;7'a

$5ÿÿ;7'<ÿ!ÿ8>"!#"?8>!A

56ÿ=====ÿ$(>6;3:.(ÿ?@:$:.(Aÿ<'#(&ÿ=======ÿ&:@:.(ÿ?6B@C:D(Aÿ<'#(

$ÿ+ÿ56ÿÿÿÿE−

M%ÿc<;"8><ÿ;7'a $5%ÿc<;"8><ÿ;7'a


10.4 Oblike lokov

5656

&ÿ+ÿ

5671

56

&

56

&

&

DEFDEF

HEF

HEF

DEF

78+7!+9ÿ:;"+<=9>?<@8'9ÿ'7+8>?A'B<@9

8 8

8 8

$F%ÿ\"8>7?"8><ÿ;7' $4%ÿ\"8>7?"8><ÿ;7'a

MG

$5%*ÿ7UJH32ÿJ(3(/

$

$&%ÿ]?#><D"8><ÿ;7'"=4)-".'+ÿ/+14),)*+

$ÿ+5671

$5ÿÿ;7'<ÿ!ÿ8>"!#"?8>!A

$ÿ+ÿ56ÿ

"=4)-".'+ÿ/+14),)*+ÿP1+5#"/+5#)ÿ4"-ÿ"=4)-6$%$"ÿÿ8#)/$%ÿ%'+-)ÿ4",')ÿ"25%-)

$ÿ+5671

@Bα

@Bα

56ÿ=====ÿ$(>6;3:.(ÿ?@:$:.(Aÿ<'#(&ÿ=======ÿ&:@:.(ÿ?6B@C:D(Aÿ<'#(

$*%ÿc<;"8><ÿ;7'a

99

Eliptični lok je enak polovici krivulje elipse z znano veliko osjo (razpetina loka Rp) in malo polosjo (višina loka v).

Za risanje eliptičnega loka uporabimo eno izmed risarskih metod za konstruira-nje elipse. Na sliki je narisana zgornja polovica elipse s pomočjo velike in male krožnice, ki smo jo opisali pod točko 6.4.

10.5 Dvigajoči lok

10.6 Eliptični lok


`(+/$+&#+ÿ (%'ÿ 5)ÿ)#"'ÿ/%(%-+2+ÿ'0+-;(5)ÿ)(+/6)ÿ,ÿ,#"#%ÿ-)(+'%ÿ%65%ÿP0",/)$+#" (%'"ÿD"Qÿ+#ÿ1"(%ÿ/%(%65%ÿP-+:+#"ÿ(%'"ÿ/Q8

J/ÿ 026/*'+ÿ +&2$,2-*+=/ÿ &%./ÿ ($%0/)21%ÿ +*%ÿ 2#1+:ÿ 026/06.2;ÿ 1+,%:ÿ #/ÿ.%*6,0(20/*'+ÿ +&2$6+!ÿ A/ÿ 6&2.2ÿ '+ÿ */026/*/ÿ #=%0*'/ÿ $%&%823/ÿ +&2$6+ÿ 6ÿ $%1%-'%ÿ8+&2.+ÿ2*ÿ1/&+ÿ.0%5*23+7ÿ.2ÿ61%ÿ'%ÿ%$26/&2ÿ$%:ÿ,%-.%ÿP!L!

Y/

-

Y/

Y/_SY/

_>

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ

&Yÿÿ1-,*ÿ/ÿ."!/#!(."/4

&Y%OÿN@;Z=?CI;ÿPCG

VV

&Y%Qÿ)P;B8;I>;ÿPCG

0ÿÿAÿY/3

0 >.E

#!

$

.

.G

W%*6,0(.32'/ 9%=&+:

W%*6,0(.32'/ 9%=&+:

`(+/$+&#+ÿ (%'ÿ 5)ÿ)#"'ÿ/%(%-+2+ÿ'0+-;(5)ÿ)(+/6)ÿ,ÿ,#"#%ÿ-)(+'%ÿ%65%ÿP0",/)$+#" (%'"ÿD"Qÿ+#ÿ1"(%ÿ/%(%65%ÿP-+:+#"ÿ(%'"ÿ/Q8

J/ÿ 026/*'+ÿ +&2$,2-*+=/ÿ &%./ÿ ($%0/)21%ÿ +*%ÿ 2#1+:ÿ 026/06.2;ÿ 1+,%:ÿ #/ÿ.%*6,0(20/*'+ÿ +&2$6+!ÿ A/ÿ 6&2.2ÿ '+ÿ */026/*/ÿ #=%0*'/ÿ $%&%823/ÿ +&2$6+ÿ 6ÿ $%1%-'%ÿ8+&2.+ÿ2*ÿ1/&+ÿ.0%5*23+7ÿ.2ÿ61%ÿ'%ÿ%$26/&2ÿ$%:ÿ,%-.%ÿP!L!

Y/

-

Y/

Y/_SY/

_>

-.+-/+)ÿ01!+*2)"(*3.,)ÿ,-+."(4,$*3)ÿ

&Yÿÿ1-,*ÿ/ÿ."!/#!(."/4

&Y%OÿN@;Z=?CI;ÿPCG

VV

&Y%Qÿ)P;B8;I>;ÿPCG

0ÿÿAÿY/3

0 >.E

#!

$

.

.G

W%*6,0(.32'/ 9%=&+:

W%*6,0(.32'/ 9%=&+:


10.7 Košarasti lok – 1. način konstrukcije

Rp = razpetina košarastega loka .......... velika os AB košarastega lokav = višina košarastega loka .................... mala polos SC košarastega loka

Košarasti lok je enak polovici krivulje ovala. Za njegovo oblikovanje smo upora-bili konstrukcijo ovala, ki je opisana pod točko 7.1

Znani sta razpetina košarastega loka Rp in njegova višina v.

Nanesemo razpetino Rp košarastega loka, ki je hkrati tudi velika os AB ovala.

V sredini S razpetine AB narišemo pravokotnico in na njej odmerimo višino v košarastega loka, ki je hkrati tudi mala polos SC ovala.

Na podaljšek male osi nanesemo polovico velike osi, da dobimo točko M.

Narišemo tetivo AC in na njej odmerimo dolžino CM, da dobimo točko N.

Narišemo simetralo daljice AN. Simetrala seka veliko os AB v središču S2 in po-daljšek polosi (S, C) v središču S1. Središče S3 dobimo z zrcaljenjem središča S2 čez središče S košarastega loka. Skozi središči S1 in S3 narišemo premico (S1, S3).

Narišemo krožni lok s središčem v točki S1 in s polmerom r1 skozi teme C do pre-mice (S1, S2) in premice (S1, S3).

Narišemo krožni lok s središčem v točki S2 in s polmerom r2 skozi teme A do pre-mice (S1, S2) in krožni lok s središčem v točki S3 in s polmerom r2 skozi teme B do premice (S1, S3).

Krožni loki s središči v točkah S1, S2 in S3 se stikajo na premicah (S1, S2) in (S1, S3) ter povezujejo temena A, C in B v košarasti lok.

!" !ÿ"#$%&'()#ÿ*+,#"#-'&.#ÿ/+*#00111 2&/(*#ÿ+-ÿ!" *+,#"#-'&.#ÿ/+*## !ÿ2(,()#ÿ*+,#"#-'&.#ÿ/+*#0100001 3#/#ÿ%+/+-ÿ#$ *+,#"#-'&.#ÿ/+*#

!"#$%$&'( )"* 4&ÿ&)#*ÿ%+/+2(5(ÿ*"(26/4&ÿ+2#/#1ÿ7#ÿ)4&.+2+ÿ+8/(*+2#)4&ÿ-3+ÿ6%+"#8(/(*+)-'"6*5(4+ÿ+2#/#9ÿ*(ÿ4&ÿ+%(-#)#ÿ%+:ÿ'+;*+ÿ<1=

+,$,( &'$ÿ%$-./'(,$ÿ*"#$%$&'/0$ÿ)"*$ÿ!" (, ,1/0"2$ÿ2(#(,$ÿ#1

3$,/&/4" %$-./'(,"ÿ%& *+,#"#-'&.#ÿ/+*#9ÿ*(ÿ4&ÿ>*"#'(ÿ'6:(ÿ2&/(*#ÿ+-ÿ!"ÿ+2#/#1ÿ

5ÿ&%/6(,(ÿ$ "#$%&'()&ÿ!" )#"(,&3+ÿ%"#2+*+')(5+ÿ()ÿ)#ÿ)4&4ÿ+:3&"(3+ÿ2(,()+ÿ#ÿ *+,#"#-'&.#ÿ/+*#9ÿ*(ÿ4&ÿ>*"#'(ÿ'6:(ÿ3#/#ÿ%+/+-ÿ#$ +2#/#1

3$ÿ."6$)1#/* 3#/&ÿ+-(ÿ)#)&-&3+ÿ%+/+2(5+ÿ2&/(*&ÿ+-(9ÿ:#ÿ:+8(3+ÿ'+;*+ÿ'1

3$%(#/4"ÿ'/'(2" !$ ()ÿ)#ÿ)4&4ÿ+:3&"(3+ÿ:+/?()+ÿ$'9ÿ:#ÿ:+8(3+ÿ'+;*+ÿ(1

3$%(#/4"ÿ&(4/'%$)" :#/4(5&ÿ!(1ÿ@(3&'"#/#ÿ-&*#ÿ2&/(*+ÿ+-ÿ!" 2ÿ-"&:(,;6ÿ#A ()ÿ%+:#/4,&*%+/+-(ÿB#9$Cÿ2 -"&:(,;6ÿ#=1ÿ@"&:(,;&ÿ#D :+8(3+ÿ$ÿ$"5#/4&)4&3ÿÿ-"&:(,;#ÿ#A ;&$-"&:(,;&ÿ# *+,#"#-'&.#ÿ/+*#1ÿ@*+$(ÿ-"&:(,;(ÿ#= ()ÿ#D )#"(,&3+ÿ%"&3(5+ÿB#=9#DC1

3$%(#/4"ÿ*%"7,( )"* -ÿ-"&:(,;&3ÿ2ÿ'+;*(ÿ#= () -ÿ%+/3&"+3ÿ%8ÿ-*+$(ÿ'&3&ÿ$ :+ÿ%"&3(5&B#=9#ACÿ()ÿ%"&3(5&ÿB#=9#DC1

3$%(#/4"ÿ*%"7,( )"* -ÿ-"&:(,;&3ÿ2ÿ'+;*(ÿ#A () -ÿ%+/3&"+3ÿ%9ÿ-*+$(ÿ'&3&ÿ! :+ÿ%"&3(5&B#=9#ACÿ()ÿ*"+?)( /+*ÿ-ÿ-"&:(,;&3ÿ2ÿ'+;*(ÿ#D ()ÿ-ÿ%+/3&"+3ÿ%9ÿ-*+$(ÿ'&3&ÿ" :+ÿ%"&3(5&B#=9#DC1

!%"7,( )"*( -ÿ-"&:(,;(ÿ2 '+;*#>ÿ#=9ÿ#A ()ÿ#D -&ÿ-'(*#4+ÿ)#ÿ%"&3(5#>ÿB#=9#ACÿ()ÿB#=9#DCÿ'&"%+2&$64&4+ÿ'&3&)#ÿ!9ÿ$ ()ÿ" 2ÿ*+,#"#-'(ÿ/+*1

2

:.

)#()*(+ÿ,-!(.'+/%.0#1+ÿ1)(#/%21$.0+ÿ

34ÿÿ-)1.ÿ*ÿ#/!*"!%#/*2

3456ÿ1789:9;<=ÿ>7?ÿ@ÿ35ÿA9B=Aÿ?7A;<:C?D=EF

$

"!(

'

9%9 %% 8

#

#=

D

Gÿ344

#A #

E+)-'"6*5(4# F+./&:

101

10.8 Košarasti lok – 2. način konstrukcije

Rp = razpetina košarastega loka .............. velika os AB košarastega lokav = višina košarastega loka ........................ mala polos SC košarastega loka

Za njegovo oblikovanje lahko uporabimo tudi naslednjo konstrukcijo ovala:

Znani sta razpetina košarastega loka Rp in njegova višina v.

Nanesemo razpetino Rp košarastega loka, ki je hkrati tudi velika os AB ovala.

V sredini S razpetine AB narišemo pravokotnico in na njej odmerimo višino v košarastega loka, ki je hkrati tudi mala polos SC ovala.

Skozi teme C narišemo vzporednico veliki osi AB, skozi teme A pa narišemo pra-vokotnico na veliko os AB. V pravokotniku ASCD narišemo skozi temeni A in C diagonalo.

Narišemo simetrali kota DAC in kota ACD. Simetrali se sekata v točki E.

Iz točke E narišemo pravokotnico na diagonalo AC. Pravokotnica seka veliko os AB v središču S2 in podaljšek polosi (S, C) v središču S1. Središče S3 dobimo z zrcaljenjem središča S2 čez središče S košarastega loka.

Skozi središči S1 in S3 narišemo premico (S1, S3) in na njej odmerimo razdaljo S1 F, ki je enaka razdalji S1E.

Središča S1, S2 in S3 so središča krožnih lokov, ki povezujejo točke A, E, C, F in B v košarasti lok.


/

IA

!"#

!"#!$#%ÿ&'(#)*%+,)-".%ÿ.!#"+,/.0)-%ÿ

1Sÿÿ'!.)ÿ$ÿ"+($I(,"+$/

"

( I"

0

" "

%L

T

<

-

'

bÿ1S1

S710;8A+:*2, T7O)39

1S4Rÿ.BW7?76>5ÿ<B@ÿUÿM4ÿ87E58ÿ@B86>?C@D59:

α@<

@<β@<β

α@<


VIRI IN LITERATURA

Vilko Niče: DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA. Školska knjiga, Zagreb, 1963.

Milan Radin: OPISNA GEOMETRIJA I. Mladinska knjiga, Ljubljana, 1967.

Milan Radin: OPISNA GEOMETRIJA II. Mladinska knjiga, Ljubljana, 1967.

Lojze Šubert: PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE. Ljubljana, 1979.

Kollars/Müllner: DARSTELLENDE GEOMETRIE. Hölder–Pichler–Tempsky, Dunaj, 1996.

Dominik Palman: GEOMETRIJSKE KONSTRUKCIJE. Element, Zagreb, 1996.

Dahmlos/Witte: BAUZEICHNEN. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover, 1996.

Michael Sewell: Mathematics Masterclasses. Oxford University Press, 1997.

Documents

Osnovne planimetrijske konstrukcije