ParabolaParabola

Dato un punto F del piano

ed una retta d

F

d

si dice parabolaparabola l’insieme dei punti del pianoequidistanti dal punto F e dalla retta d

Parabola punto per puntoParabola punto per punto

fuoco F

fuoco F

direttrice

direttrice

Ogni punto è determinato

dall’eguaglianza fra le

distanze punto-retta punto-fuoco

Per ogni punto il valore delle

distanze(=raggio) è diversa,

tranne che . . .

V vertice

F fuoco

Asse disimmetria

L ’insieme dei punti

(parabola)• ha un punto particolare detto vertice• è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria

Rappresentazione della parabola nel piano cartesianoRappresentazione della parabola nel piano cartesiano

Se nel piano inseriamo un

sistema di assi cartesiani si ha

la rappresentazione a fianco della

parabola.

Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno

con le sue coordinate,

l ’asse di simmetria è una retta parallela

all’asse y.

4 2 0 2 4 6 8 10

4

2

2

4

6

8

10

F

V

I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice

Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverseper posizione . . .

. . . e per ampiezza

I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l ’equazione.

5 0 5 10

4

2

2

4

6

8

10

F

P

Equazione generica della parabola

Equazione generica della parabola

cbyayx 2

a,b,c R

Asse di simmetria parallelo asse x

cbxaxy 2

a,b,c R

Asse di simmetria parallelo asse y

Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y

Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c

Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole :

y x2 8 x 18

y1 x2

24

1 x

121

y32

9x2 160

3x 192

Esercizio 2

cbxaxy 2

Variazione dei grafici al variare dei coefficientiVariazione dei grafici al variare dei coefficienti

a,b,c R

Esercizio 1

y x2

2 x 1

yx

2

24

x

121

y32

9x

2 25

3x 4

a>0 a<04

4

f x( )

44 x

0

Concavità

Concavità

4

4

f x( )

44 x

0

Si ottengono i grafici

10 5 0 5 10

10

5

5

10

Esercizio 2

10

10

f x( )

g x( )

h x( )

1010 x

10 5 0 5 10

10

5

5

10

Esercizio 1

20

20

f x( )

g x( )

h x( )

p x( )

2020 x

20 10 0 10 20

20

10

10

20

Esercizio 3

y x2 8 x 18

y x2 8 x 18

y x2 5 x 18

y x2 12 x 18

50

20

f x( )

g x( )

h x( )

2020 x

20 10 0 10 20

20

20

40

y x2 8 x 20

y x2 8 x 20

y x2 20

Esercizio 4

VerticeVertice

Al variare di aa e bb varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate :

)a4

ac4b,

a2b

(V2

Al variare di cc varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato

5

5

f x( )

g x( )

h x( )

53 x

2 0 2 4

4

2

2

4Esercizio 5

y x2 3 x 2

y x2 3 x

y x2 3 x 2

Intersezioni con gli assi

Intersezioni con gli assi

8

2

f x( )

g x( )

h x( )

124 x

4 2 0 2 4 6 8 10 12

2

2

4

6

8

Esercizio 6

y 0.25 x2

2 x 3

y 0.25 x2

2 x 4

y 0.25 x2

2 x 6

Per determinare i punti d ’intersezione con l ’asse x si risolve il sistema

Y = 0

cbxaxy 2 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x

0cbxax2

le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione

Per determinare il punto d ’intersezione con l ’asse y si risolve il sistema

x = 0

cbxaxy 2 P(0,c)

Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?

La parabola ha un punto d ’intersezione con l’asse x

Se b2-4ac= 0

Se b2-4ac< 0

Se b2-4ac> 0

La parabola ha due punti d ’intersezione con l’asse x

La parabola non ha punti d ’intersezione con l’asse x

3

2

f x( )

93 x

4

2

f x( )

93 x

6

2

f x( )

93 x

La parabola ha il vertice sull’asse y

InoltrInoltree

Se bb=0=0

y=ax2+c

Se b=0 e b=0 e c=0c=0

y=ax2

Se cc=0=0

y=ax2+bx

4

3

f x( )

76 x

4

3

f x( )

76 x

6

3

f x( )

76 x

La parabola passa per l ’origine

La parabola ha il vertice nell’origine

FormuleFormule

y=ax2+bx+c

)a4

ac4b,

a2b

(V2

vertice

)a4

)ac4b(1,

a2b

(F2

fuoco

a4)ac4b(1

d2

direttrice

a2b

x equazione

asse di simmetria

4 2 0 2 4 6 8 10

4

2

2

4

6

8

10

F

V

Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano

Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano

42 0 2

4

2

2

4

•Determinare le coordinate del vertice VV

•Determinare l’equazione dell’ asse di simmetriaasse di simmetria

•Determinare le coordinate degli eventuali puntipunti dd ’’intersezione con gli assiintersezione con gli assi

•Determinare le coordinate di qualche altro puntoqualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria•Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzanocaratterizzano il grafico

V

Per farle a casaPer farle a casa

Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio

10

4

f x( )

105 x

Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l ’ellisse.

Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola

Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole.

Le coniche si

ottengono intersecando un cono

ed un piano : in

questo caso il cono è il fascio

di luce ed il piano è la parete.