425

10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

ParabolaParabola

a.s. 2009/2010

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 2

ParabolaParabola

2

2

equazione di

parabola detta curva una graficoper ha

definita

:

quadratica funzione La

xy

Rx

xxf

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 3

ParabolaParabola• Vertice nell’origine

degli assi V(0;0)

• Asse delle y come asse di simmetria

• Concavità rivolta verso l’alto(quando il coefficiente di x2 è positivo)

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 4

Coniche (Apollonio)(Apollonio)

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 5

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° gradoRisolvere l’equazione

significa risolvere il sistema

Cioè determinare gli eventuali punti di intersezione

tra la parabola e l’asse delle x di equazione

02 x

0

2

y

xy

0y

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 6

Graficamente…La parabola è tangente

all’asse delle x nel vertice

e l’equazione

ha soluzione

che viene detta soluzione

doppia

02 x

0x

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 7

AlgebricamenteAlgebricamente…..…..

0 doppia soluzione

0

00

equazione

2

2

x

x

aax

monomia

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 8

ParabolaParabola

caxy

Rx

caxxf

2

2

equazione di

parabola una graficoper sempre ha

definita

:

quadratica funzione La

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 9

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° gradoRisolvere l’equazione

significa sempre risolvere il sistema

Cioè determinare gli eventuali punti di intersezione

tra la parabola e l’asse delle x di equazione

02 cax

0

2

y

caxy

0y

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 10

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 11

AlgebricamenteAlgebricamente…..…..

realisoluzioniesistonononcaa

ca

cxrealisoluzionica

a

c

a

cx

a

cxcax

acax

pura

concordie0

2discordie0

00

equazione

2,1

22

2

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 12

ParabolaParabola• y=ax2+bx

• Passano tutte per l’origine degli assi cartesiani

• Una soluzione dell’equazione ax2+bx=0 è x=0

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 13

AlgebricamenteAlgebricamente…..…..

a

bxx

realisoluzionidueesistonobaxx

abxax

spuria

21

2

0

0

00

equazione

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 14

ParabolaParabola• y=ax2

– Vertice nell’origine degli assi– Asse di simmetria: asse delle y

• Trasliamo la parabola in modo che il suo vertice sia in un punto V(xv;yv)

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 15

ParabolaParabola

v

v

v

v

yYy

xXx

yyY

xxX

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 16

ParabolaParabola

ay

a

acbyc

a

by

ya

bcy

a

bacy

a

bac

a

bx

cbXaXYyaxc

axb

yaxaXxaXY

yxXxXaY

xXayY

axy

yYy

xXx

yyY

xxX

vvv

vvvv

vv

v

vvv

vvv

vv

v

v

v

v

44

4

4

4422

2

2

2

22

2

2

22

22

22

22

2

2

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 17

ParabolaParabola

a

bxsimmetriadiasse

aa

bV

cbxaxy

2

4;

2

2

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 18

ParabolaParabola

• Se a>0 la concavità è rivolta verso l’alto

• Se a<0 la concavità è rivolta verso il basso

cbxaxy 2

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 19

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado

Risolvere l’equazione

significa risolvere il sistema

Cioè determinare gli eventuali punti di intersezione

tra la parabola e l’asse delle x

02 cbxax

0

2

y

cbxaxy

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 20

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado

21

2

xx

realisoluzioni

)'(00 negativaèverticedelordinatalea

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 21

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado )'(00 nullaèverticedelordinatalea

21

1

xx

doppiasoluzione

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 22

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado )'(00 positivaèverticedelordinatalea

realisoluzionisonocinon

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 23

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado

21

2

xx

realisoluzioni

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 24

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado )'(00 nullaèverticedelordinatalea

21

1

xx

doppiasoluzione

425

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Anna Ippolito - Liceo Casiraghi 25

Parabola ed equazioni di Parabola ed equazioni di 2° grado2° grado )'(00 negativaèverticedelordinatalea

realisoluzioni

sonocinon