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MATEMATICAS
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Módulo 3 Parábola Introducción
Seguramente cuando chutas una pelota de fútbol, o lanzas una de basquetbol a la canasta, te abras
dado cuenta que se sigue una trayectoria parabólica. Lo mismo podemos ver en un juego de volibol, de tenis, de pin pon. También si disparas
una flecha o arco, un misil, o tiras una piedra seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta al piso ¡siguiendo una trayectoria que describe una parábola!
Así como estas, podemos encontrar muchas más aplicaciones de las parábolas como por ejemplo en aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o diverger
un haz de luz y sonido, en las antenas parabólicas, los faros de los autos. de ahí la importancia de este tema.
Realiza los siguientes trazos:
a) En una hoja de papel bond, dibuja un punto y una recta con una separación de
entre 5 y 8 cm. aproximadamente. Identifícalos como F y L respectivamente.
b) Ajusta el compás a una abertura mayor que la mitad de la distancia entre el
punto y la recta.
c) Utilizando el compás con el ajuste anterior, marca un punto que equidiste del punto F y la recta L .
d) Modifica el ajuste del compás considerando la abertura que se especifica en el inciso b) y repite el inciso anterior más de 15 veces. Para cada punto que dibujes, debes modificar la abertura del compás, es decir, todo el conjunto de puntos que
trazas, los debes de hacer con diferente abertura del compás; la única condición es que la abertura del compás sea mayor que la distancia entre el punto y la
recta. Considera que con cada abertura puedes dibujar dos puntos diferentes. e) Los puntos que fuiste construyendo constituyen un lugar geométrico, une esos
puntos para formar su gráfica ¿Qué nombre le darías a la gráfica que construiste?
f) Escribe un enunciado que incluya la condición geométrica que cumplen el
conjunto de puntos que dibujaste.
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3.1 Concepto de Parábola
Una Parábola es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo y de una recta fija.
L
P
F
PLPF
Elementos de la parábola
En la parábola identificamos los siguientes elementos:
El punto fijo F se denomina Foco de la parábola.
La recta fija se llama directriz de la parábola.
La recta que contiene al foco y que es perpendicular a la directriz, se llama eje de la parábola.
El punto de intersección del eje con la parábola, se llama vértice. Se representa
como V .
El segmento de recta que une dos puntos de la parábola se denomina cuerda.
La cuerda que contiene al foco se denomina cuerda focal.
La cuerda focal que es perpendicular al eje, se denomina lado recto.
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En la figura siguiente, identifica con diferentes colores los elementos de la parábola.
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En nuestro curso estudiaremos dos tipos de parábolas, en las cuales, definimos una constante que se utiliza para obtener sus elementos. Es importante identificar su
valor y signo. Parábola horizontal
Es cuando el eje de la parábola es paralelo al eje x . En este caso, la parábola puede
abrir hacia la izquierda o hacia la derecha.
Parábola vertical Es cuando el eje de la parábola es paralelo al eje y . En este caso, la parábola puede
abrir hacia arriba o hacia abajo.
Constante Interpretación
p
Es la distancia que hay del vértice al foco de la parábola
FVp
Es la distancia que hay del vértice a la directriz de la parábola
LVp
p (+)
La parábola abre hacia la derecha o hacia arriba.
p (–)
La parábola abre hacia la izquierda o hacia abajo.
En una parábola, existe un elemento que se obtiene en función de la constante p y
se denomina Lado recto. Su valor es:
pLR 4
Actividad No. 2 para plataforma.
Busca una aplicación de la parábola en la vida cotidiana, descríbela a detalle e incorpora las imágenes que consideres necesarias.
Además: Busca tres imágenes o fotografías donde identifiques una parábola.
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Ejercicio 1
Las siguientes gráficas corresponden a una parábola horizontal y una parábola
vertical con vértice en khC , , haciendo uso de los conceptos definidos previamente
determina e identifica los elementos que se piden.
Parábola horizontal Parábola vertical
Vértice
Foco
Lado Recto
Ecuación de la
directriz
Dominio
Rango
A partir del concepto, construye la ecuación de una parábola horizontal con vértice
en el punto kh, . Inicia trazando la gráfica de la parábola y marca las coordenadas
de sus elementos (puntos significativos).
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3.2 Ecuación ordinaria de la parábola
La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en el punto kh, es:
hxpky 42
La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en el punto kh, es:
kyphx 42
Ejemplo 1
Obtenemos los elementos y trazamos la gráfica de la parábola con ecuación
2
3 8 2y x .
Esta ecuación es equivalente a hxpky 42
, la cual corresponde a una
parábola horizontal.
Iniciamos obteniendo el valor de las constantes: 2h , 3k , 4 8p
Como 4 8p entonces 2p
La parábola abre hacia la derecha porque el valor de p es positivo.
Con estos tres valores, obtenemos los elementos y los vamos representando
gráficamente. Su gráfica es:
Vértice: ,V h k 2, 3V
Foco: ,F h p k 4, 3F
Directriz: x h p 0x
Lado recto: pLR 4 8RL
Dominio: 2x
Rango: x
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Ejercicio 2
Traza la gráfica y determina todos los elementos de las parábolas con ecuaciones
2432
yx 1102 xy
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Ejemplo 2
Obtenemos la ecuación de la parábola con foco en 2, 3 y la ecuación de su
directriz es 1y .
Iniciamos representando gráficamente los elementos para identificar el tipo de parábola que tenemos. Esto es, ubicamos el foco y trazamos la directriz.
Analizamos la gráfica.
Con el foco y la directriz, determinamos que se trata de una parábola vertical que abre hacia arriba.
Con estos elementos, obtenemos las coordenadas del vértice.
El vértice es el punto medio sobre el eje entre el foco
y la directriz.
Esto es 2, 2V
Del vértice, obtenemos que 2h y 2k
El valor de p lo obtenemos como la distancia que hay del vértice al foco o del vértice
a la directriz y es 1p
Con el valor de p , calculamos la longitud del lado recto.
4RL p
4RL
Por tener una parábola vertical que abre hacia arriba, su ecuación es:
2
4x h p y k
Sustituimos los valores de h , k y p para
obtener la ecuación ordinaria.
2
2 4 2x y
Por último con todos los elementos trazamos
la gráfica.
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Ejercicio 3
Determina todos los elementos, así como la gráfica y ecuación de una parábola con
vértice en el punto 1,4 y foco en 1, 1 .
Ejercicio 4
Determina la ecuación de la parábolas vertical q abre hacia abajo cuyo lado recto
mide 4 y su vértice se encuentra en 3,0 .
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3.3 Ecuación Canónica de la Parábola
En la ecuación ordinaria de la parábola, al caso particular donde el vértice se encuentra en el origen del plano cartesiano, le denominamos ecuación canónica de la parábola.
Sus ecuaciones son:
Parábola horizontal
2 4y px
Parábola vertical
2 4x py
Ejemplo 3
Obtenemos la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en 0, 2F .
Ubicamos en la gráfica el vértice y el foco para identificar el tipo de parábola.
Analizando la posición del vértice y el foco, determinamos que se trata de una parábola canónica
vertical, que abre hacia abajo. El valor de p lo obtenemos como la distancia que hay
del vértice al foco, la cual es igual a dos. Sin embargo,
como la parábola abre hacia abajo, debemos considerarlo negativo, esto es: 2p
La ecuación de la parábola canónica vertical es:
2 4x py
Al sustituir 2p resulta
2 8x y
Ejercicio 5
Determina la ecuación de una de las parábolas con vértice en 0,0C y longitud del
lado recto igual a 6 (identifica que se pueden realizar cuatro casos diferentes)
Actividad No. Para plataforma.
Sobre una imagen o fotografía que contenga una parábola, traza un plano cartesiano, identifica sus elementos con base en sus coordenadas y determina su ecuación.
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3.4 Ecuación General de la Parábola
La ecuación general de una parábola se obtiene desarrollando y simplificando la
ecuación ordinaria hasta expresarla en la forma 0, yxf . Esto es:
Parábola horizontal Parábola vertical
02 FEyDxCy 02 FEyDxAx
Se identifican porque contiene solamente un término cuadrático.
Ejercicio 6
Obtén la ecuación general de la parábola cuya ecuación ordinaria es
45
3)2( 2 xy .
Actividad adicional Construye la ecuación general de la parábola horizontal a partir de la ecuación ordinaria.
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Ejemplo 4
Obtenemos la ecuación general de la parábola con vértice en el punto )4,1( y foco
en 4,1
Ubicamos en la gráfica el vértice y el foco para identificar el tipo de parábola que tenemos.
Al analizar la posición de estos dos elementos en
la gráfica, determinamos que se trata de una parábola horizontal que abre hacia la derecha. El valor de p es positivo e igual a dos por ser la
distancia que hay del vértice al foco. Esto es:
2p VF
De las coordenadas del vértice obtenemos que
1h y 4k
Con los valores de h , k y p obtenemos la ecuación ordinaria
2
4y k p x h
2
4 8 1y x
Para obtener la ecuación general, desarrollamos el binomio al cuadrado y
simplificamos
2 8 16 8 8y y x
2 8 16 8 8 0y y x
2 8 8 8 0y x y
Que es la ecuación general de la parábola.
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Ejercicio 7
Obtén la ecuación general de la parábola cuyo vértice se encuentra en 2,1 y la
ecuación de su directriz es 5y . Traza la gráfica.
Ejercicio 8
Determina la ecuación general de la parábola, si la ecuación de su directriz es 2x
y su foco está en 0, 3F .
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3.5 Transformación de la ecuación general a la ordinaria de la parábola Hemos trabajado el caso en el cual a partir de la ecuación ordinaria de una
parábola, obtenemos su ecuación general; también es posible realizar el proceso inverso, esto es, a partir de una ecuación general, determinar su ecuación ordinaria.
ecuación ordinaria ecuación general
kyphx 42
02 FEyDxAx
Para transformar la ecuación general de una parábola a su ecuación ordinaria, en el lado izquierdo de la ecuación factorizamos los términos que contienen a la variable
cuadrática por el método de completar un trinomio cuadrado perfecto y del lado derecho, los términos restantes por agrupación de términos.
Ejemplo 5
A partir de la ecuación general de la parábola 020482 yxy vamos a trazar su
gráfica.
Para poder trazar la gráfica de la parábola es necesario conocer o determinar sus elementos, así como los valores de h , k y p .
Primero reducimos la ecuación general a la ordinaria.
020482 yxy
Agrupamos del lado izquierdo los términos de la variable cuadrática y transponemos al lado derecho los términos restantes.
2 4 8 20y y x
Le sumamos 4 en ambos lados de la igualdad, para completar el TCP.
2 4 4 8 20 4y y x
Factorizamos el TCP
2
2 8 24y x
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El lado derecho, lo factorizamos por término común
2
2 8 3y x
Es la ecuación ordinaria de una parábola horizontal que abre hacia la derecha.
Identificamos los valores
3h , 2k y 4 8p 2p
Con estos valores de h , k y p obtenemos sus
elementos
Vértice: ,V h k 3, 2V
Foco: ,F h p k 1, 2F
Ec. de la directriz: x h p 5x
Su gráfica es:
Ejercicio 9
Transforma la ecuación 2 10 4 5 0x x y a la forma ordinaria y traza la gráfica.
Ejercicio 10
Transforma la ecuación 01282 2 yxy a la forma ordinaria y traza la gráfica.
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Ejercicio 11
LA sección transversal de un canal de liberación de una presa tiene forma parabólica, su profundidad es de 8 metros y la abertura del canal es de 6 metros.
Encuentra la ecuación que describe dicha parábola.
