Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx

7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx

1/13

MODUL IIIpeNERAPAN TURUNANPARSIAL

Sebuah vektor yang tegak lurus pada vektor singgung sari setiap kurva Cpada permukaan S dan melalui titik P0 pada S disebut dengan vektor normalpada S di P, yaitu

Vektor Normal

Andaikan F(x,y,z) = k adalahpersamaan suatu permukaan Spada ruang dimensi tiga, danmisalkan bahwa P(x0,y0,z0)sebuah titik pada permukaan S.Selanjutnya misalkan C adalah

kurva pada permukaan S yangmelalui titik P(x0,y0,z0). Lihatgambar

kji),,(),,(),,(),,(

000

000000000 zyxzyxzyx z

F

y

F

x

FzyxF


2/13

Bidang Singgung

Andaikan F(x,y,z) = k adalah persamaan suatu permukaan S pada ruangdimensi tiga, yang memuat titik P(x0,y0,z0). Bilamana gradien F di P(x0,y0,z0)yakniF(x0,y0,z0) 0, maka bidang yang melalui P(x0,y0,z0) yang tegaklurusF(x0,y0,z0) disebut dengan bidang singgung permukaan S diP(x0,y0,z0). Persamaan bidang singgung dari permukaan S di P(x0,y0,z0)dengan gradienF(x0,y0,z0) diberikan oleh,

0)()()( 0),,(

0),,(

0),,( 000000000

zzz

Fyy

y

Fxx

x

F

zyxzyxzyx

Dalam hal khusus, untuk permukaan S yang persamaannya diberikan oleh,z = f(x,y) persamaan bidang singgung di titik (x0,y0,f(x0,y0)) diberikan oleh,

)()()( 0),(

0),(

0

0000

yyy

zxx

x

zzz

yxyx

ContohCarilah persamaan bidangsinggung di permukaan elipsoida,x2+ 4y2+ 3z2 2x 8y = 56pada titik (3,2,4)PenyelesaianF(x,y,z)=x2+4y2+3z22x8y56Sehingga,

24)4(6,06

88)2(8,88

42)3(2,22

)4,2,3(

)4,2,3(

)4,2,3(

z

Fz

z

F

y

Fx

y

F

x

F

xx

F

Jadi persamaan bidang singgungpermukaan di (3,2,4) adalah,4(x 3) + 8(y 2) + 24(z 4) = 0,x + 2y + 3z = 31

ContohCarilah persamaan bidang singgung dipermukaan, 4x2+xy+3z2=y2+2xz, yangsejajar bidang, 11x + 8y + 2z = 88PenyelesaianF(X,y,z)= 4x2+xy+3z2y22xz

(3)--226

(2)--82

)1(--1128

xzz

F

yxy

F

xyxx

F

Dari ketiga persamaan diperoleh,x0=2, y0=3,dan z0= 1. Jadipersamaan bidang singgung adalah,11(x 2) + 8(y + 3) + 2(z 1) = 0,11x + 8y + 2z = 0


3/13

Garis Normal

Garis normal permukaan pada permukaan S, F9x,y,z)=c di P(x0,y0,z0) adalahsuatu garis yang melalui P(x0,y0,z0) dengan vektor arah garis adalah vektornormalF(x0,y0,z0). Persamaan garis normalnya adalah,

),,(

0

),,(

0

),,(

0

000000000 zyxzyxzyx

z

F

zz

y

F

yy

x

F

xx

Contoh :Carilah persamaan garis normal permukaan, x2z+xy2yz2= 19, dititik (2,3,1)Penyelesaian

F(x,y,z)= x2z+xy2yz219,

2,2

,11,2,13,2

)1,3,2(

2

)1,3,2(

2

)1,3,2(

2

z

Fyzx

z

F

y

Fzxy

y

F

x

Fyxz

x

F

2

1

11

3

13

2

zyxPersamaan garis normal

Soal Latihan1) Dua buah permukaan, 3x2+ y2 z2= xz y, dan x2 2y2+ z2= xy + 3z,

dimana kedua kurva berpotongan di titik (2,1,3). Carilah persamaangaris simetri yang merupakan perpotongan kedau bidang singgung dititik (2,1,3).

2) Tentukan titik pada permukaan, x2 = 3y2 + 4z2, di mana bidangsinggungnya sejajar dengan bidang, 8x 12y 8z = 3. Hitunglah pulapersamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut.

3) Tentukanlah titik pada permukaan elipsoida, 2x2+ y2+ 3z23x4y = 5z,

dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 5x + 2y + 7z = 3.Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titiktersebut.

4) Tentukanlah titik pada permukaan elipsoida, 4x2+ y2+ 2z2 3z = 15,dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 8x + 6y + 5z = 10.Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titiktersebut.

5) Tentukanlah titik pada permukaan, y2= z2x + 3y, dimana bidangsinggungnya sejajar dengan bidang, 9x 9y + 12z = 14. Hitunglah pulapersamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut.


4/13

MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSIPerhatikanlah sketsa grafik fungsi berikut ini

yxyxyx

yxfz 8333

),( 2233

Minimum

MaksimumTitik pelana, bukan ekstrim

Pengertian Nilai EkstrimFungsi

Andaikan f adalah fungsi dua variabel yangmemuat titik (x0,y0) pada daerah asal f.

1) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai maksimumrelatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerahasal f, jika f(x0,y0) f(x,y) untuk semua

titik (x,y) pada daerah asal f2) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai minimum

relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerahasal f, jika f(x0,y0) f(x,y) untuk semuatitik (x,y) pada daerah asal f

3) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai ektrimrelatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerahasal f, jika f(x0,y0) adalah nilai maksimumatau nilai minimum relatif (mutlak) f(x,y)

Maksimum

Minimum


5/13

Titik Kritis

Andaikan f(x,y) fungsi yang didefinisikan pada daerah asal yang memuattitik (x0,y0). Jika f(x0,y0) adalah nilai ekstrim f, maka (x0,y0) harus merupakantitik kritis, yakni salah satu titik dari :

i). Titik batas daerah asal fungsiii). Titik stasioner fiii). Titik singular f , berikut ini.

Titik Stasioner Uji Turunan Pertama

Titik (x0,y0) dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi fbilamana,

0),((ii),0),((i) 00),(

00),( 0000

yxfy

fyxf

x

fy

yxx

yx

Uji Nilai Ekstrim Uji Turunan Kedua

Andaikan f adalah fungsi dua variabel dari x dan y sedemikiansehingga f dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu.Andaikan pula bahwa (x0,y0) adalah titik stasioner, (atau fx(x0,y0) =0 dan fy(x0,y0) = 0)

i). f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai maksimum relatif (mutlak) f, jika :

D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2

> 0, dan fxx(x0,y0) < 0(atau fyy(x0,y0) < 0)

ii). f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai minimum relatif (mutlak) f, jika :D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2> 0, dan fxx(x0,y0) > 0

(atau fyy(x0,y0) > 0)

iii). jika D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2< 0, uji gagal danf(x0,y0) dikatakan bukan nilai ekstriim dan (x0,y0) disebut dengantitik pelana.


6/13

ContohTentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsiyang didefinisikan oleh,

xyxyxyyxf 94624

1),( 22334

Langkah 1. Turunan Parsial Langkah 2. Titik kritis

0

8123

86

126

9123

2

23

2

yxxyyy

y

xx

x

ff

yyf

yyyf

xf

xxf

4,2,0

0)4)(2(

0)86(

0860

3,1

0)3)(1(3

0)34(3

091230

2

23

2

2

yyy

yyy

yyy

yyyf

xx

xx

xx

xxf

y

x

Jadi titik kritisnya adalah :(1,0);(1,2);(1,4);(3,0);(3,2);(3,4)

Uji Nilai Ekstrim

Bentuk, D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2= (6x 12)(3y2 12 y + 8)

Perhatikan tabel berikut :


7/13

ContohTentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsi didefinisikan oleh,

Langkah 1. Turunan Parsial Langkah 2. Titik kritis

xyfxf

yxxyf

xyf

yxf

xyyxf

yx

yy

y

xy

xx

x

46166

481626

46

42

43

2

22

3

048163

6,2,0)6)(2(4

048164yx

0481626,0

3,,0)3)((

0340

2

2

22

y

yyx

yyyy

yy

yxxyf

yxyxyxyx

yxyxf

y

x

Jadi titik kritisnya adalah :(6,6);(2,2);(9,3)

Uji Nilai Ekstrim

Bentuk, D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2= (2x 4y)(6x+16) (6y 4x)2

Perhatikan tabel berikut :


8/13

Ektrim Fungsi n Variabel

Misalkan, x*=(x1,x2,..,xn) adalah titik kritis dari fungsi n variabelf(x1,x2,xn) dimana x* memenuhi persamaan,

fx1 = f1 = 0, fx2 = f2 = 0, fx3 = f3 =0,, fxn = fn = 0.

Misalkan, D adalah determinan Hessian orde n yaitu :

nnnnn

ij

n

n

n

ffff

f

ffff

ffff

ffff

D

...

............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

Minor utama determinan Hessiannya adalah :

dst

fff

fff

fff

Dff

ffDfD ,,;

333231

232221

131211

32221

12112111

Fungsi, f(x1,x2,x3,,xn) dikatakan : mencapai maksimum di x*, jika D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, D4 > 0, . Mencapai minimum di x*, jika D1 > 0, D2 < 0, D > 0, D4 > 0, .. Bukan ekstrim di x*, jika yang lainnya

yaaxayaxayx

yxf

xbbxybybxxyyxxyxf

bxabyxbybaxyyxf

yaaxyxayyxyxf

yxbxab

xa

xyyxf

yxayba

yb

yxyxf

)5)(1()2(2)3(2

)4(

33),().6(

)1(2

1

3

1),(.)5(

22

1)2(

2

1)(

3

1

3

1

4

1),().4(

74)(3

1),().3(

)(2

)21(

3)(

3

1),().2(

)(2

)21(

3)(

3

1),(.)1(

2233

22223

22334

2233

2233

2233

Soal LatihanCarilah nilai ekstrim fungsi dua varibel berikut ini :

KaLbKaLbLK

Q )2(32)1(45)10()11(43

).7( 22343


9/13

Soal 8Sebuah perusahaan monopolis, yang menghadapi dua pasar yakni pasar

domestik dan pasar ekspor. Fungsi permintaan masing-masing pasardiberikan oleh : Pasar domestik : P1= 1.000 aQ1+ 2Q2

Pasar ekspor : P2= 1.200 + 3Q1 aQ2.Fungsi biaya totalnya adalah, TC= 400Q1+ 300Q2+ 2a(Q1+ Q2)2

Soal 9Misalkan K menyatakan jam kerja mesin, dan L adalah jam kerja tenagakerja, fungsi produksinya diberikan oleh :Q = K5+ L425 K440 L3+ 125 K3+ 400 L2Berapakah jumlah input K dan L harus digunakan agar output maksimum

Soal 10.Misalkan K menyatakan jam kerja mesin, dan L adalah jam kerja tenagakerja, fungsi produksinya diberikan oleh :Q = KL2(80 ab aK bL)Berapakah jumlah input K dan L harus digunakan agar output optimum

Metode Lagrange

Andaikan dicari nilai ekstrim fungsi, f(x,y,z) dengan kendala, g(x,y,z) = c.

Langkah pertama. metode Lagrange adalah membentuk fungsi barudengan memasukkan variabel baru, , yang disebut dengan faktor pengaliLagrange. Fungsi baru tersebut adalah,

F(x,y,z,) = f(x,y,z) + g(x,y,z)

Langkah kedua, metode Lagrange adalah menentukan titik ktiris darifungsi F. Titik kritis diperoleh dengan cara menyelesaikan secarasimulkan dari,

0),,(),,,((iv).0),,,((iii).

0),,,((ii).0),,,().i(

zyxgzyxFF

zyxFz

F

zyxFy

FzyxF

x

F

z

yx

Langkah ketiga, menentukan nilai ekstrim terkendala. Bila (x0,y0,z0,0) titikkritis F(x,y,z,), maka (x0,y0,z0) juga titik kritis dari f(x,y,z) dengan kendalag(x,y,z). Jadi nilai ektrim f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) adalah f(x0,y0,z0).


10/13

ContohCarilah nilai minimum relatif dari, f(x,y,z) = 2x2+ y2+ 3z2pada bidang,

x + 3y + 2z = 65JawabLangkah 1. Fungsi Lagrange, g(x,y,z)=65 x 3y 2zF(x,y,z,)=f(x,y,z)+g(x,y,z) = 2x2+ y2+ 3z2+(65 x 3y 2z)

Langkah 2. Titik kritis :

652302365)4(3

1026)3(

2

3032)2(

4

104)1(

zyxzyxFzzF

yyFxxF

z

yx

Jika (1) (2) (3) ke (4) diperoleh :

126512

65

653

12

2

33

4

1

Langkah 3. Nilai ekstrim bersyaratJadi titik kritis F adalah (3,18,4,12), dannilai ekstrim minimum f dengan kendalag adalah,

f(3,18,4) = 2(3)2 + (18)2 + 3(4)2 = 390

ContohTentukanlah nilai ekstrim dari, f(x,y,z) = 4x + 5y + 4z, pada elipsmerupakan perpotongan silinder lingkaran tegak, (x2)2+ (y 4)2= 100,dan bidang,2x + 3y = 4z.JawabLangkah 1 Fungsi Lagrangeg(x,y,z) = 100 (x 2)2 (y 4)2 ; h(x,y,z) = 4z 2x 3yF(x,y,z) = f(x,y,z) + g(x,y,z) + h(,y,z)

= 4x + 5y + 4z + [100 (x2)2(y4)2 ]+(4z 2x 3y)Langkah 2. Titik kritis

zyxyxzF

yxyxF

F

yyF

xxF

z

y

x

4320324)5(

100)4()2(0)4()2(100)4(

1044)3(

2

35403)4(25)2(

2

24202)2(24)1(

2222


11/13

Jika, =1, ke (1) dan (2) diperoleh hasil,

4

2

84.)7(

,3

2

62.)6(

y

x

Jika (6) dan (7) ke (4) diperoleh :

2

1

4

1

10043

2

22

Untuk, =1/2, diperoleh:x 2 = 6, atau x = 8y 4 = 8, atau y = 12, dan4z=2(8)+4(12)=64, atau z=16

Sehingga titik kritisnya adalah(8,12,16,1/2,1)

Untuk, = 1/2, diperoleh:x 2 = 6, atau x = 4y 4 = 8, atau y = 4, dan

4z=2(4)+4(4)=6, atau z=6

Sehingga titik kritisnya adalah(4,4,6,1/2,1)

Jadi nilai ekstrim bersyaratnyaadalah :

f(8,12,16)= = 4(8)+ 5(12)+4(16) f(4,4,6)=

Contoh : Carilah nilai ekstrim dari, f(x,y,z) = xy2z2, dengan kendala,x + 2y + 2z = 30, dan x 3y 3z = 5.PenyelesaianLangkah 1. Fungsi Lagrange.g(x,y,z) = 30 x 2y 2z, h(x,y,z) = 10 x + 3y + 3zFungsi pembantu Lagrange,F(x,y,z,,) = f(x,y,z) + g(x,y,z) + h(x,y,z) = xy2z2+ (30 x 2y 2z) + (10 x + 3y + 3z)Langkah 2. Titik kritis

103303310)5(

302202230)4(

3220322)3(

3220322)2(

0)1(

22

22

2222

zyxzyxF

zyxzyxF

zxyzxyF

xyzxyzF

yxzyF

z

y

x

Dar1 (4) dan (42) diperoleh hasil,3x + 6y + 6z = 902x 6y 6z = 20

5x = 110, x=22


12/13

Soa1Sebuah fungsi produksi Cobb Douglass dengan tiga variable input x, y, zdiberikan oleh persamaan :

Q = 100 x0,(a+2)y0,(b+1)z0,(a+b)

Diketahui harga input untuk x adalah 2(a+2), harga input untuk yadalah4(b+1) dan harga input untuk z adalah 8(a+b). Jika total anggaranbelanja modal input adalah 64.000 tentukanlah jumlah input yang harusdigunakan agar outputnya optimum (catatan gunakan metode lagrange)

Soal 2. Tentukanlah nilai ekstrim dari :

f(x,y,z) = 2ax+ 2by+ bz,

dengan kendala : 4(y a)2+ (z a)2= 24 a2

dan, ax= 3by+ bz.

Soal 3.Diberikan fungsi produksi Cobb-Dauglas dengan tiga variable input K(modal), L (tenaga kerja), dan M (energi), dimana output produksinyaadalah :Biaya per unit masing-masing variable input adalah $ 2a untuk modal, $b/2 untuk tenaga kerja, dan $ 32 untuk energi. Anggaran yang tersediaadalah $ (a + b + 4) ribu. Tentukanlah kombinasi variable input yangmemaksimalkan output produksi.

Soal 4Fungsi produksi suatu perusahaan dengan dua variable input yakni tenagakerja (L), dan modal (K) diberikan oleh :

Berdasarkan data masa lalu, harga input tenaga kerja, = 4a, dan hargainput modal, = 80, jika anggaran yang tersedia untuk produksi perminggunya adalah 10.000. Tentukanlah kombinasi jumlah tenaga kerja danmodal yang harus digunakan agar supaya outputnya optimal.

4,0,0,010 MLKQ ba

224),( aLaKLKLKQ


13/13

5) Dengan metode Lagrange, carilah volume kotak terbesar yang dapatdibuat di dalam elipsoida, 9x2+ 4y2+ 36z2= 144, jika sisi-sisnya sejajardengan sumbu koordinat.

6) Sebuah kotak kayu tanpa tutup mempunyai luas permukaan 216 m3.Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum

7) Carilah jarak terpanjang dan terpendek dari pusat ke kurva perpotonganx2= 4yz, dan x2+ 2y2+ 2z2= 72,

8) Carilah jarak terpanjang dan terpendek dari pusat ke kurva perpotongany2= 8xz, dan x2+ 2y2+ z2= 60,

9) Sebuah kotak kayu dengan tutup mempunyai luas permukaan 512 m3.Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum

Documents

Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx