SADRŽAJ

1. UVOD................................................................................................................2

2. PLANIRANJE POKUSA...................................................................................3

3. TEMELJNA NAČELA.......................................................................................6

4. SMJERNICE ZA PLANIRANJE POKUSA.......................................................7

5. POTPUNI PLAN POKUSA (FAKTORIJALNI PLAN POKUSA)....................10

5.1. PRIMJER POTPUNOG PLANA POKUSA 24...........................................17

6. DJELOMIČNI PLAN POKUSA.......................................................................24

6.1. REZOLUCIJA DJELOMIČNIH PLANOVA POKUSA................................24

6.2. KONSTRUIRANJE 1/2 PLANA POKUSA................................................26

6.3. PRIMJER POLOVIČNOG 24-1 DJELOMIČNOG PLANA POKUSA...........28

7. OSTALE METODE PLANIRANJA POKUSA.................................................32

7.1. METODA ODZIVNE POVRŠINE..............................................................32

7.1.1. Koncept metodologije odzivne površine............................................32

7.2. TAGUCHIJEVA METODA........................................................................35

7.3. LINEARNI REGRESIJSKI MODEL..........................................................37

8. ZAKLJUČAK..................................................................................................42

LITERATURA........................................................................................................43

POPIS SLIKA........................................................................................................44

POPIS TABLICA...................................................................................................45

1. UVOD

Veliki dio istraživanja u znanosti i inženjerstvu, a pogotovo u industriji je

empirijsko. Upotreba statističkih metoda planiranja pokusa može znatno povećati

efikasnost samog procesa eksperimentiranja i dovesti do boljih i pouzdanijih

zaključaka.

Prva primjena statistike u industriji je zabilježena u Dublinu počekom 20.

Stoljeća kada je W.S.Gosset primjenom znanstvenog pristupa riješio stanovite

tehnološke probleme u kontroli kvalitete proizvodnje piva i tako postao jedan od

prvih i najznačajnijih industrijskih statističara. Njegova metoda za promatranje

malih uzoraka je kasnije primijenjena na mnoga područja ljudskih aktivnosti. Ta

metoda je vrlo rijetko pronašla primjenu u industriji sve do 1920. godine kada je

Fisher proširuje. Ronald A. Fisher je bio inovator u primjeni statističkih metoda u

planiranju pokusa. On je razvio i prvi upotrijebio analizu varijanci kao primarnu

metodu statističke analize u planiranju pokusa. Mnoge rane primjene metode

planiranja pokusa su bile u poljoprivrednim i biološkim znanostima. Međutim, prve

industrijske primjene planiranja pokusa su se počele pojavljivati 1930-ih godina. U

početku su se pojavile u tekstilnoj i vunenoj industriji Velike Britanije. Nakon

Drugog svjetskog rata, metode planiranje pokusa su uvedene u kemijsku i

procesnu industriju u SAD-u i Zapadnoj Europi. Ova grana industrije je još uvijek

vrlo plodno područje za planiranje pokusa u proizvodnom i procesnom razvoju.

Elektronička industrija i industrija poluvodiča već mnogo godina koristi metode

planiranja pokusa s velikim uspjehom. U nekoliko posljednjih godina se probudio

ponovni interes za planiranje pokusa u SAD-u jer su mnoge industrije otkrile da

njihova prekomorska konkurencija već dugi niz godina koristi metode planiranja

pokusa te da je to vrlo bitan faktor u njihovom uspjehu. Približava se dan kada će

svaki inženjer dobiti formalnu obuku u planiranju pokusa kao dio svog

preddiplomskog obrazovanja. Uspješna integracija planiranja pokusa u

inženjersku struku je ključni faktor u budućoj konkurentnosti industrije u SAD-u.

2

2. PLANIRANJE POKUSA

Eksperimentiranje u inženjerstvu ima veliku ulogu pri razvoju novih

proizvoda kao i u razvoju i poboljšavanju procesa proizvodnje. Shematski pristup

eksperimentiranju se može predočiti metodom crne kutije koja je prikazana na slici

1.

Slika 1 Metoda crne kutije

Stanoviti sustav se karakterizira pomoću ulaznih varijabli koje mogu biti

kontrolirane i nekontrolirane varijable, te izlazne varijable, odnosno odzivi sustava.

Ulazne varijable su nezavisni čimbenici dok su izlazne varijable zavisni čimbenici.

Nepoznate i nekontrolirane varijable su uzrok pogreške mjerenja. Cilj

eksperimenta je utvrditi njihovu uzročno posljedičnu vezu.

Izbor vrijednosti nezavisnih varijabli ima velik utjecaj na procjenu utjecaja

čimbenika. Da bi se osigurala precizna procjena utjecaja, potrebno je podatke

prikupiti na pravilan način, što ovisi o odabranom planu pokusa. Cilj statističkih

metoda planiranja pokusa je pravi izbor plana za odabrani model s maksimalnom

osjetljivošću prema procjeni parametara koja time osigurava bolju pouzdanost

procjene.

Svrha korištenja metode planiranja pokusa je dobiti što više informacija o

istraživanom sustavu uz minimum eksperimentalnog i financijskog angažmana.

Sastoji se od sustavnog odabira strukturiranog plana u kojem se ulazni čimbenici

variraju na organizirani način kako bi se dobili utjecaji pojedinih čimbenika na

stanoviti odziv, odnosno kako bi se optimizirao odziv s najmanje moguće

varijabilnosti. Kako bi se zadovoljila statistička ravnoteža u planu, broj

3

potencijalnih kombinacija velikog broja ulaznih čimbenika pri raznim razinama se

može izračunati za najbolju kombinaciju s najmanjim brojem pokusa. Pokusi

unutar jednog plana će biti prikazani standardnim redom radi preglednosti,

međutim za nasumičnu distribuciju nepoznate sustavne pogreške prisutne unutar

nepoznatih nekontroliranih čimbenika, redoslijed izvođenja je potrebno odabrati na

slučajan način (randomizirati). Ukoliko je nekontrolirani čimbenik poznat i njegova

se vrijednost može motriti, njegov utjecaj se može kompenzirati upotrebom analize

kovarijance koja kombinira analizu varijance i linearnu regresiju. Ukoliko se želi

ispitati utjecaj nekontroliranih čimbenika u obliku šumova na odzivni sustav,

primjenjuje se Taguchijeva metoda o kojoj će biti riječi kasnije.

Metode planiranje pokusa imaju veliku primjenu u raznim disciplinama. U

stvari, planiranje pokusa možemo shvatiti kao dio znanstvenog procesa i kao

jedan od načina na koji možemo saznati kako sustavi ili procesi rade. Općenito,

učimo kroz niz aktivnosti u kojima stvaramo pretpostavke o procesu, obavljamo

pokuse kako bi generirali podatke iz procesa, a zatim koristimo informacije iz

pokusa kako bi napravili nove pretpostavke koje će nas dovesti do novih pokusa i

tako dalje.

Planiranje pokusa je vrlo važan alat u inženjerskom svijetu za poboljšavanje

učinkovitosti u proizvodnom procesu. Također ima veliku primjenu u razvoju novih

procesa. Primjena tehnika planiranja pokusa u ranom razvoju procesa može

rezultirati:

2.1.1. Poboljšanim učinkom procesa

2.1.2. Smanjenom varijabilnosti i bližoj usklađenosti s nominalnim ili

ciljanim zahtjevima

2.1.3. Smanjenjem vremena razvoja

2.1.4. Smanjenjem ukupnih troškova.

Metode planiranja pokusa također imaju važnu ulogu u djelatnostima projektiranja

gdje su razvijeni novi proizvodi dok su postojeći proizvodi poboljšani. Neke

primjene planiranja pokusa u projektiranju uključuju:

a) Procjenu i usporedbu osnovnih struktura planiranja

b) Procjenu materijalnih mogućnosti

c) Odabir parametara planiranja tako da proizvod radi dobro i u vrlo

različitim uvjetima, tj. tako da je proizvod robustan

d) Određivanje ključnih parametara koji utječu na izvedbu proizvoda.

4

Korištenje planiranja pokusa u ovim područjima može rezultirati proizvodima koji

su lakši za proizvodnju, proizvodima koji imaju poboljšana svojstva i pouzdanost,

nižim cijenama proizvoda, kraćim vremenom konstruiranja i razvoja.

5

3. TEMELJNA NAČELA

Tri temeljna načela planiranja pokusa su: replikacija, randomizacija i

blokiranje. Pod replikacijom smatramo ponavljanje osnovnog pokusa. Repliciranje

ima dva važna svojstva. Prvo, dopušta ispitivaču da dobije procjenu greške

pokusa. Ova procjena greške postaje osnovna mjerna jedinica za utvrđivanje jesu

li uočene razlike u podacima stvarno statistički drugačije. Drugo, ako se koristi

srednja vrijednost uzorka za procjenu utjecaja faktora u pokusu, tada replikacija

dopušta ispitivaču dobivanje preciznijih procjena tog utjecaja.

Randomizacija je glavna okosnica korištenja statističkih metoda u planiranju

pokusa. Pod randomizacijom podrazumijevamo da su obje alokacije materijala koji

se ispituje i poredak kojim se pojedina 'mjerenja' ili 'pokušaji' pokusa izvode

odabrane nasumično. Statističke metode zahtijevaju da opažanja ili greške budu

neovisno raspodijeljene slučajnim varijablama. Randomizacija najčešće čini tu

pretpostavku opravdanom. Ispravnom randomizacijom pokusa, mi također

pomažemo u osrednjavanju stranih utjecaja koji mogu biti prisutni.

Blokiranje je tehnika koja se koristi za povećanje preciznosti kod pokusa.

Blok je dio pokusnog materijala koji bi trebao biti homogeniji od cijelog seta

materijala. Blokiranje uključuje izradu usporedbi između utjecajnih uvjeta u pokusu

i svakog bloka.

Temeljna načela planiranja pokusa su vrlo važan dio svakog pokusa.

6

4. SMJERNICE ZA PLANIRANJE POKUSA

Da bi koristili statistički pristup i planiranju i analizi pokusa, bitno je da svi imaju

jasnu ideju u naprijed o pokusu koji se analizira tako da bi se jasno mogli skupiti

podaci za kvalitetno razumijevanje kako će ti isti podaci biti analizirani. Sada ćemo

obraditi neke ključne smjernice bitne za analiziranje pokusa.

1) Razumijevanje problema

Iako se ovaj dio čini vrlo očiti, nekada u praksi nije jednostavno odrediti činjenice

koje jednostavno opisuju problem. bitno je razviti sve ideje koje jasno i generalno

opisuju problem. Obično je potrebno skupiti podatke s više područja koja se bave

tim problemom (inženjerstvo, prodaja, proizvodnja, management, kupac...). Zbog

tog razloga je jako bitno skupiti tim iz više područja da bi se razvio kvalitetan plan

pokusa.

2) Odabir faktora, razina i domena

Ispitivač mora odabrati faktore koji će analizirati u pokusu, domenu i razine u kojoj

će ti faktori biti ispitani. Također se mora odlučiti kako će ti faktori biti kontrolirani

na željenim vrijednostima i kako će biti analizirani. Inženjer mora također odlučiti

područje interesa za svaku varijablu.

3) Odabir ključnih varijabli

U određivanju ključnih varijabli ispitivač mora biti siguran da će te varijable dati

korisnu informaciju o procesu. najčešće su te varijable dobivaju pomoću

aritmetičke sredini ili standardne varijacije (ili oboje). Vrlo važan faktor je i

sposobnost ocjenjivanja (ili greška mjerenja). ako je sposobnost ocjenjivanja

neprikladna, tada će relativno veliki faktori biti detektirani u pokusu ili će biti

potrebno repliciranje. Prva tri koraka možemo nazvati pripremom pokusa. Malo je

vjerojatno da jedna osoba ima adekvatno znanje potrebno za određivanje sve tri

točke u svim situacijama. Uspješnost pokusa ovisi o kvaliteti postavljanja ovih

točaka.

7

4) Odabir planiranja pokusa

Ako su prve tri točke obavljene dobro, onda je ova točka vrlo lagana. odluka o

planiranju uključuje veličinu uzorka, broj repliciranja, odabir odgovarajućeg

redoslijeda ispitivanja varijabli i analiziranje ograničenja. Ovaj korak se vrlo lako

može riješiti pomoću nekog programa. u odabiru plana je vrlo bitno biti objektivan.

U mnogo pokusa već znamo što ćemo dobiti kao rezultat. Najbitnije nam je

odrediti koliko koja varijabla ima utjecaja na pokus.

5) Izvođenje pokusa

Pri izvođenju pokusa vrlo je bitno paziti na to da se sve izvodi prema planu.

Greške u ovom dijelu pokusa uništavaju vjerodostojnost pokusa. Planiranje

unaprijed je od velike važnosti za uspjeh pokusa.

6) Statistička analiza podataka

Statistička analiza podataka se koristi da bi se dobili objektivni rezultati i zaključci.

Ako je pokus dobro isplaniran i dobro izveden, ne treba napraviti elaborat

statističke analize. Ima mnogo odličnih softverskih paketa koji pomažu u analizi

podataka. Često dolazimo do zaključka da su grafičke metode vrlo važne u analizi

i interpretaciji. Trebamo zapamtiti da statističke metode ne osiguravaju da faktor

(ili faktori) imaju određeni utjecaj. Oni jedino pružaju smjernice pouzdanosti i

vjerodostojnosti pokusa.

7) Zaključci i preporuke

Nakon što su podaci analizirani, istraživač mora dati praktične zaključke i

preporuke za dobivene rezultate i potrebne korake koji se moraju poduzeti za

poboljšanje procesa. Tijekom cjelokupnog procesa je vrlo važno imati na umu da

je istraživanje dio procesa učenja gdje mi stvaramo hipoteze o sustavu, provodimo

pokuse za istraživanje tih hipoteza i na osnovu toga radimo rezultirajuće hipoteze.

Iz ovoga zaključujemo da je proces iterativan. Obično je greška napraviti jedan

ogroman plan na početku istraživanja. Uspješan pokus zahtjeva znanja o važnim

faktorima, domena u kojima te faktore koristimo te pravilno mjerenje tih faktora.

Generalno, mi ne znamo odgovor na sva ta pitanja, ali dobivamo odgovore tijekom

izvođenja procesa. pokus se odvija u fazama i ne bi smjeli iskoristiti više od 25%

8

iskoristivih resursa u prvom pokusu. To nam osigurava da imamo dovoljno resursa

da taj pokus izvedemo onoliko puta koliko nam je potrebno i tako dobijemo

objektivan zaključak o cjelokupnom procesu.

9

5. POTPUNI PLAN POKUSA (FAKTORIJALNI PLAN POKUSA)

U faktorijalnom planiranju proučavamo utjecaj promjene razina različitih faktora

na proces. Svako ponovno ispitivanje ili replikacija uzima u obzir sve moguće

kombinacije promjena razina faktora. Učinkovito faktorijalno planiranje osigurava

da se uz najmanji broj provedenih pokusa generira maksimalna količina

informacija o tome kako ulazne varijable utječu na izlazne podatke procesa.

Broj izvedenih pokusa ovisi o broju faktora, ako imamo 3 faktora tada će broj

pokusa biti 23 tj. 8 pokusa ili ako imamo 5 faktora tada će biti 25 tj. 32 pokusa i

slično. Više od 5 faktora se kod potpunog plana ne preporuča zbog obujma

pokusa.

Iznos promjena izlaznih podataka procesa uzrokovanih promjenom razine

danog faktora naziva se ‘glavni učinak’ faktora.

Primjerice, promatrajmo jednostavni pokus prikazan na slici 2 prikazan je

potpuni plan pokusa sa dvije razine dvaju faktora, A i B. Razine faktora nazivamo

‘niska’ i visoka’ i označavamo ih sa ‘-‘ i ‘+’.

Slika 2 Grafički prikaz potpunog plana pokusa 22

10

Faktore možemo prikazati i kao kodirane (sa ‘-’ i ‘+’) u matrici procesa.

Glavni utjecajiIzlazni

podaci

A B Y

- - y1=20

+ - y2=40

- + y3=30

+ + y4=52

Tablica 1 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja

Glavni učinak faktora A ovdje je razlika između prosječne vrijednosti utjecaja

(odziva) faktora A (na izlaze procesa) na najnižoj razini i prosječne vrijednosti

odziva A na najvišoj razini.

A=y2+ y42

−y1+ y32

Brojčano, to izgleda:

A=40+522

−20+302

=21

Povećavanje faktora A od niske prema visokoj razini uzrokuje prosječno

povećanje odziva za dvadeset i jednu jedinicu.

S obzirom na to, glavni učinak faktora B je:

B=y3+ y42

−y1+ y22

B=30+522

−20+402

=11

Zaključujemo kako faktor A ima veći odziv na izlazne podatke procesa budući

da je njegov glavni učinak jednak dvadeset i jedan za razliku od glavnog učinka

faktora B koji je jedanaest.

11

Kod nekih eksperimenata događa se da je razlika odziva između razina jednog

faktora nije ista na svim razinama drugih faktora. To znači da je dolazi do

međudjelovanja faktora. Promatrajmo faktorijalni plan sa dva faktora kao što je

prikazan na slici 3:

Slika 3 Grafički prikaz potpunog plana pokusa 22

Pri nižoj razini faktora B (B-), utjecaj A jest:

A=50−20=30

Pri višoj razini faktora B (B+), utjecaj A jest:

A=12−40=−28

Zbog toga što utjecaj faktora A ovisi o odabranoj razini faktora B zaključuje se da

postoji međudjelovanje A i B. Razina učinka međudjelovanja jednaka je razlici

između ova dva A učinka:

AB=(−28−30)

2=−29

Međudjelovanje ova dva faktora je veliko.

12

Ove ideje mogu biti prikazane grafički. Slika 4 prikazuje odziv faktora A sa

slike 2 za obje razine faktora B. Slika 5 prikazuje odziv faktora A sa slike 3 za obje

razine faktora B. Linije na slici 5 nisu paralelne što ukazuje na međudjelovanje A i

B.

Slika 4 Odziv faktora A bez međudjelovanja faktora B

Slika 5 Odziv faktora A sa međudjelovanjem faktora B

Grafovi poput ovih povremeno su veoma korisni no ne bi se trebali koristiti kao

isključiva tehnika za analizu podataka jer je njihova interpretacija subjektivna, a

pojava često navodi na pogrešno mišljenje. Zato postoji drugo ilustrativno rješenje.

Pretpostavimo da su oba faktora kvantitativna (poput temperature, tlaka, vremena

i sl.). Tada bi regresijski model prikazivanja za faktorijalni plan s dva faktora bio

zapisan kao:

y=β0+β1 x1+β2 x2+β12 x1 x2+∈,

gdje je y odziv, βn parametri regresija čije vrijednosti moramo odrediti, x1 je

varijabla koja predstavlja faktor A, x2 je varijabla koja predstavlja faktor B i є

oznaka nasumične pogreške. Varijable x1 i x2 definirane su kodiranom skalom od -

1 do +1 (najniže i najviše razine A i B), a x1 x2 predstavlja međudjelovanje između

13

x1 i x2. U ovakvom regresijskom modelu, procjena parametara povezana je sa

procjenom učinaka. Za slučaj na slici 2 tj. prema pronađenim glavnim učincima

A=21 i B=11, odgovarajući parametri β1 i β2 dobiveni su kao ½ glavnih učinaka.

β1=10.5 i β2=5.5. Učinak međudjelovanja AB=1 pa je koeficijent međudjelovanja u

regresijskom modelu β12=0,5 . Parametar βo procjenjuje se kao prosječna

vrijednost sva četiri odziva, β0=35.5. Shodno tome, regresijski model izgleda:

y=35.5+10.5x1+5.5 x2+0.5x1 x2

Preko regresijskog modela uz pomoć odgovarajućih softvera moguće je dobiti

trodimenzionalni prikaz koji nazivamo grafom odzivne površine kao i konturne linije

konstantnih odziva.

Analogija rješavanja potpunog plana pokusa sa više faktora, odnosno

dobivanja glavnih utjecaja i međudjelovanja je ista kao i kod primjera sa dvije

razine i dva faktora. Planiranje pokusa na dvije razine sa tri faktora (23) može se

grafički prikazati pomoću kocke (slika 6).

Slika 6 Grafički prikaz potpunog plana pokusa 23

14

U matričnoj kodiranoj formi ovakav plan sa izlaznim vrijednostima možemo

prikazati (tablica 2):

Glavni utjecajiIzlazni

podaci

A B C Y

- - - y1 1

+ - - y2 a

- + - y3 b

+ + - y4 ab

- - + y5 c

+ - + y6 ac

- + + y7 bc

+ + + y8 abc

Tablica 2 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja za potpuni plan pokusa 23

U ovakvom pokusu sukladno sa prethodno prikazanim 22 pokusom glavni utjecaj A

može se izračunati prema formuli:

A=y2+ y4+ y6+ y8

4−y1+ y3+ y5+ y7

4

Na isti način dobivaju se glavni utjecaji B i C.

Računanje međudjelovanja AB može se prikazati pomoću matrice (tablica 3).

Od srednje vrijednosti svih umnožaka faktora A i B koji daju pozitivnu vrijednost

izlaza Y oduzmemo srednju vrijednost svih umnožaka koji daju negativnu

vrijednost izlaza Y.

15

Glavni utjecajiIzlazni

podaci

A B AB C AC BC ABC Y

- - + - + + - y1 1

+ - - - - + + y2 a

- + - - + - + y3 b

+ + + - - - - y4 c

- - + + - - + y5 ab

+ - - + + - - y6 ac

- + - + - + - y7 bc

+ + + + + + + y8 abc

Tablica 3 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja i međudjelovanja za 23

AB=y1+ y4+ y5+ y8

4−y2+ y3+ y6+ y7

4

Na isti način dobivamo međudjelovanja AC, BC i ABC.

Budući da postoje tri glavna utjecaja (A, B, C), tri međudjelovanja dvaju faktora

(AB, AC, BC) i međudjelovanje triju faktora (ABC). Regresijski model za ovaj

slučaj glasi:

y=β0+β1 x1+β2 x2+β3 x3+β12 x1 x2+β13 x1 x3+ β23 x2 x3+β123 x1 x2 x3+∈,

pri čemu regresijski koeficijent β0 dobivamo kao srednju vrijednost svih izlaza y, a

ostale regresijske koeficijente dobivamo kao polovice vrijednosti odgovarajućih

glavnih utjecaja odnosno međudjelovanja.

Osim potpunog plana pokusa sa dvije razine i određenim brojem faktora

postoji i potpuni plan pokusa sa tri razine i određenim brojem faktora (3k). Kod

takvog planiranja pokusa svaki faktor promatra se na tri razine: niskoj, srednjoj i

visokoj, a razine faktora kodirane su kao 0, 1 i 2. Potpuni plan pokusa sa tri razine

i k faktora se koristi za istraživanje kvadratne veze između odziva i svakog

pojedinog faktora.

Najznačajniji posebni slučaj potpunog plana pokusa je onaj koji smo već

spomenuli, sa k faktora od kojih svaki ima samo dvije razine. Razine mogu biti

16

kvantitativne (temperatura, tlak, vrijeme) ili kvalitativne (dva stroja, 'niska' i 'visoka'

razina faktora i sl.). Ukupni broj ponavljanja kod takvog planiranja pokusa iznosi

2x2x2x...x2=2k promatranja i naziva se 2k planiranje pokusa (2k faktorijalno

planiranje).

5.1. PRIMJER POTPUNOG PLANA POKUSA 24

Za prikaz potpunog plana pokusa 24 (16 pokusa) koristit ćemo primjer kemijske

promjene koje se odvijaju u tlačnom spremniku. Imamo četiri glavna utjecajna

faktora koji su: temperature (A), tlak (B), koncentracija formaldehida (C), i brzinu

miješanja (D). Zadatak je postići maksimalnu razinu filtracije. Trenutni uvjeti daju

75 l/h. Proces trenutno koristi visoku razinu formaldehida. Cilj nam je reducirati

razinu formaldehida.

Planiranje pokusa na dvije razine sa četiri faktora (24) može se grafički prikazati

pomoću dvije kocke (slika 7).

Slika 7 Grafički prikaz 24 plana pokusa

17

Matrični kodirani prikaz ovog pokusa sukladan zadanoj slici 7 je u obliku tablice 4:

Glavni utjecajiIzlazni

podaci

A B C D Y

1 - - - - 45 1

2 + - - - 71 a

3 - + - - 48 b

4 + + - - 65 ab

5 - - + - 68 c

6 + - + - 60 ac

7 - + + - 80 bc

8 + + + - 65 abc

9 - - - + 43 d

10 + - - + 100 ad

11 - + - + 45 bd

12 + + - + 104 abd

13 - - + + 75 cd

14 + - + + 86 acd

15 - + + + 70 bcd

16 + + + + 96 abcd

Tablica 4 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja 24 plana pokusa

Za ovaj primjer koristili smo softverski program ‘Minitab’ kako bi skratili

postupak računanja i dobili odgovarajući grafički prikaz procesa.

Matrični kodirani oblik niskih i visokih razina glavnih utjecaja kao i izlazni podaci

dobiveni u jednom ponavljanju pokusa u ‘Minitab-u’ izgledaju ovako (slika 8):

18

Slika 8 Matrični kodirani oblik niskih i visokih razina glavnih utjecaja i izlazni podaci

u Minitabu

Slijedeće, u Minitabu računamo vrijednosti glavnih utjecaja te međudjelovanja

faktora (slika 9).

Slika 9 Vrijednosti glavnih utjecaja i međudjelovanja te regresijski koeficijenti

Vrijednosti glavnih utjecaja prikazane su u stupcu ‘Effect’, a u stupcu ‘Coeff’

prikazani su regresijski koeficijenti β. Pomoću funkcije ‘Probability plot’ dobivamo

grafički prikaz efekata pri čemu su faktori koji leže duž linije tj. u njenoj

neposrednoj blizini su zanemarivi dok su oni najudaljeniji utjecaji utjecaji koji imaju

najveću važnost (slika 10).

19

20100-10-20

99

95

90

80

70605040

30

20

10

5

1

Effect

Perc

ent

A AB B

C CD D

Factor Name

Not SignificantSignificant

Effect Type

AD

AC

DC

A

Normal Plot potpunog plana pokusa(response is Razina filtracije, Alpha = 0,05)

Lenth's PSE = 2,625

Slika 10 Normal plot potpunog plana pokusa

Vidljivo je da najznačajniji utjecaj na proces imaju glavni utjecaju A, C, D i

međudjelovanja AC i AD.

Sva tri glavna utjecaja su pozitivna i ako u obzir uzmemo samo njih bilo bi

potrebno podesiti ih na visoku razinu kako bi razina filtracije bila maksimalna.

Međutim, uvijek je potrebno uzeti u obzir međudjelovanja glavnih utjecaja. Grafički

prikaz glavnih utjecaja i međudjelovanja prikazani su na slikama 11 i 12.

1-1

80

75

70

65

60

1-1

1-1

80

75

70

65

60

1-1

A

Mean

B

C D

Glavni utjecajiData Means

Slika 11 Glavni utjecaji potpunog plana pokusa

20

1-1 1-1 1-1100

75

50100

75

50100

75

50

A

B

C

D

-11

A

-11

B

-11

C

Međudjelovanja potpunog plana pokusaData Means

Slika 12 Međudjelovanja potpunog plana pokusa

Sa slike 12 vidljivo je da su kod međudjelovanja AB, BC, BD, CD linije

utjecaja gotovo paralelne iz čega se zaključuje da ta međudjelovanja nisu

značajna za razliku od međudjelovanja AC i AD kod kojih se zaključuje suprotno.

Kod AC međudjelovanja može se uočiti da je utjecaj temperature mali kada je

koncentracija pri visokoj razini, a velik kada je koncentracija pri niskoj razini.

Najbolji rezultati dobiti će se sa niskom koncentracijom pri visokoj temperaturi. Kod

AD međudjelovanja može se uočiti da je utjecaj brzine miješanja mali pri niskoj

temperaturi, a veliki pri visokoj temperaturi. Najbolji rezultat filtracije dobiti će se pri

visokoj temperaturi i brzini miješanja te niskoj koncentraciji formaldehida. Ovo

dozvoljava redukciju formaldehida što je i krajnji cilj pokusa.

Nakon zaključaka o značajnosti glavnih utjecaja i međudjelovanja dobivamo

regresijski model:

y=70.06+21.6252

∙ x1+9.8752

∙ x3+14.6252

∙ x4−18.1252

∙ x1 x3+16.6252

∙ x1 x4

21

Od ove regresijske jednadžbe pomoći 'Minitaba' dobivamo graf konturnih linija

(slika 13).

C*A

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

D*A

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

D*C

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

A -1C -1D -1

Hold Values

> – – – – – < 50

50 6060 7070 8080 9090 100

100

Rate

Konturne linije potpunog plana pokusa

Slika 13 Konturne linije potpunog plana pokusa

Tamo gdje nema krivulja nema ni međudjelovanja (DC). Kod CA možemo

uočiti da pri niskoj koncentraciji dobivamo značajnu promjenu, a pri visokoj

koncentraciji promjena je zanemariva.

Također pomoću ‘Minitaba’ možemo dobiti prikaz odzivne površine koja može

olakšati interpretaciju međudjelovanja (slika 14).

22

50

60

-1-10

-1

70

1

0

-11

Rate

C

A

40

60

80

-1-10

-1

80

100

-11

0

1

Rate

D

A

40

50

60

-1-10

-1

70

1

0

-11

Rate

D

C

A -1C -1D -1

Hold Values

Odzivne površine potpunog plana pokusa

Slika 14 Odzivne površine potpunog plana pokusa

Zaključujemo kako ukoliko želimo maksimizirati razinu filtracije, varijable A i D

moraju biti pri visokim razinama.

23

6. DJELOMIČNI PLAN POKUSA

Broj pokusa potpunih planova eksponencijalno raste s povećavanjem broja

čimbenika. Na primjer, za 5 čimbenika variranih na dvije razine potrebno je 32

pokusa (25), dok je za 6 čimbenika potrebno 64 pokusa (26). Ako osoba koja vrši

eksperimente može pretpostaviti da su određeni utjecaji višeg reda interakcija se

mogu zanemariti te da su dovoljne informacije utjecaja glavnih čimbenika i da su

za eksperiment dovoljne interakcije nižih redova čimbenika tada se može koristiti

djelomični plan pokusa.

Djelomični plan pokusa je među najčešće korištenim tipovima metoda za

planiranje pokusa. Najčešće se koristi kod analitičkih analiza. U tim se

eksperimentima uzima se u obzir velik broj čimbenika u svrhu utvrđivanja onih

čimbenika koji imaju najviše utjecaja. Zato, ukoliko je broj čimbenika relativno

velik, željene preliminarne informacije se mogu dobiti upotrebom samo pojedinog

dijela potpunog plana, ako se međudjelovanja višeg reda (između više od dva

čimbenika) mogu zanemariti. Pri tome se zanemaruju utjecaji međudjelovanja

između tri i više čimbenika i promatra se utjecaj samo pojedinačnih čimbenika i

eventualno međudjelovanja prvog reda. Na taj je način moguće odabrati dio

potpunog plana i izostaviti određene pokuse. Broj pokusa je u tom slučaju N = 2 k-l,

gdje je k ukupni broj čimbenika i l cijeli broj koji ukazuje na nepotpunost plana. Za l

= 0, faktorijalni plan je potpun. U načelu, izabire se 1/2 , 1/4, 1/8 itd. potpunog

plana, pri čemu izabrani kandidati trebaju biti uravnoteženi i ortogonalni. Pri

konstrukciji 2 k-l matrice polazi se od 2 k matrice u kojoj je l čimbenika zamijenjena

s određenim međudjelovanjima.

6.1.REZOLUCIJA DJELOMIČNIH PLANOVA POKUSA

Rezolucija djelomičnih faktorijalnih planova govori u kojoj mjeri su

međudjelovanja žrtvovana za procjenu novih čimbenika i označuje se rimskim

brojevima. Najčešće korištene rezolucije su III, IV i V.

Pri rezoluciji III glavni utjecaji nisu zamijenjeni s ostalim glavnim utjecajima, ali

su glavni utjecaji zamijenjeni su međudjelovanjem drugog reda. Kod rezolucije IV

glavni utjecaji nisu zamijenjeni s drugim glavnim utjecajima ili s međudjelovanjima

24

drugog reda, ali su međudjelovanja drugog reda zamijenjena s drugim

međudjelovanjem drugog reda. Kod rezolucije V međudjelovanja drugog reda su

zamijenjena s međudjelovanjem trećeg reda.

U tablici su prikazane korisne rezolucije za izradu djelomičnog plana pokusa.

Broj

čimbenika (k)

Specifikacija

plana

Rezolucij

a

Broj pokusa

(N)

3 23-1 III 4

4 24-1 IV 8

5 25-1 V 16

5 25-2 III 8

6 26-1 VI 32

6 26-2 IV 16

6 26-3 III 8

7 27-1 VII 64

7 27-2 IV 32

7 27-3 IV 16

7 27-4 III 8

Tablica 5 Korisne rezolucije za izradu djelomičnog plana pokusa

U skladu s time, potpuni faktorijalni planovi imaju rezoluciju „beskonačno“. Na

slici 15 je ilustriran princip konstrukcije djelomičnih planova na primjeru 2 3-1 plana.

Plan se sastoji od polovice pokusa 23 potpunog plana (2 3-1=2 3/2=22). Pri tome je

treći čimbenik (C) zamijenjen s međudjelovanjem (AB).

(a) (b)

Slika 15 Grafički prikaz plana s tri čimbenika na dvije razine: (a) 23 punog faktorijalnog

plana i (b) 2 3-1 djelomičnog faktorijalnog plana

25

Na drugi način promatrano, 23-1 djelomični plan se može shvatiti kao 22 plan

(dva čimbenika na dvije razine), ali uz dodatak još jedne dimenzije - treći čimbenik.

Navedeni plan ima rezoluciju III. Kod većeg broja čimbenika postoji mogućnost

odabira rezolucije ovisno o broju pokusa.

6.2. KONSTRUIRANJE 1/2 PLANA POKUSA

Kod situacija u kojoj imamo tri faktora na dvije razine koje su od važnosti, a

nemamo dovoljno resursa za testiranje svih kombinacija (23=8) nego na primjer za

1/2 pokusa, tada se koristi polovina faktorijalnog plana (23-1). Tablica 6 prikazuje

matrični kodirani potpuni plan pokusa na dvije razine s tri faktora čije su

kombinacije poslagane tako da ABC u prvoj polovici ima sve visoke razine

međudjelovanja, a u drugoj sve niske.

Kombinacij

e

Glavni utjecaji

I A B CA

B

A

C

B

C

AB

C

a + + - - - - + +

b + - + - + - +

c + - - + + - - +

abc + + + + + + + +

ab + + + - + - - -

ac + + - + - + - -

bc + - + + - - + -

(1) + - - - + + + -

Tablica 6 Razine čimbenika

Na tako konstruiranoj matrici odabiremo jednu od polovica matrice kao temelj

za formiranje polovičnog plana pokusa (23-1). Uobičajeno je odabrati onu polovicu

matrice u kojoj međudjelovanje ABC ima sve pozitivne vrijednosti isto kao i

identifikacijski stupac I. Iz toga slijedi da je I=ABC što nam predstavlja definirajuću

relaciju za formiranje polovičnog 23-1 plana pokusa. Moguće je odabrati i donju

polovicu matrice gdje međudjelovanje ABC ima niske razine i u tom slučaju

I = - ABC. U praksi se najčešće koristi prva navedena relacija.

26

Grafički prikaz ovakvog plana pokusa prikazan je na slici 16.

Slika 16 Grafički prikaz 23-1 djelomičnog plana pokusa

Prema tablici 6 glavni učinci A, B i C se dobiju prema slijedećim relacijama:

lA=12

(a−b−c+abc )

lB=12

(−a+b−c+abc )

lC=12(−a−b+c+abc )

Može se zamijetiti da su utjecaji međudjelovanja jednaki glavnim utjecajima:

lBC=12

(a−b−c+abc )

lAC=12

(−a+b−c+abc )

lAB=12(−a−b+c+abc )

Prema tome zaključujemo da je lA = lBC, lB = lAC i lC = lAB stoga je nemoguće razlikovati

A i BC, B i AC i C i AB. Kada radimo procjenu glavnih utjecaja A, B, i C zapravo

27

procjenjujemo A+BC, B+AC, C+AB. Dva ili više čimbenika koji imaju ovo svojstvo

nazivaju se aliasi. U našem slučaju A i BC su aliasi, B i AC su aliasi i C i AB su

aliasi. Ovo svojstvo se može isto tako odrediti preko identifikacijskog faktora I:

A · I = A · ABC = A2BC

Budući da je kvadrat bilo kojeg stupca jednak identifikacijskom stupcu I proizlazi

da je:

A = BC

6.3.PRIMJER POLOVIČNOG 24-1 DJELOMIČNOG PLANA POKUSA

Za ovaj primjer koristit ćemo iste podatke kao i kod primjera za potpuni plan

pokusa 24. U potpunom planu smo zaključili da su glavni utjecaji A,C i D i

međudjelovanja AC i AD najznačajniji. Sada ćemo vidjeti rezultate pokusa

dobivene s 8 pokusa za razliku od 16 pokusa izvedenih kod potpunog djelomičnog

plana. Ovaj djelomični plan ima rezoluciju IV (I=ABCD). Prvo moramo dizajnirati

osnovni potpuni plan pokusa 23 kao što je prikazano u tablici 7:

A B CD=AB

C

Kombinacij

e

Izlazni

podaci

1 - - - - (1) 45

2 + - - + ad 100

3 - + - + bd 45

4 + + - - ab 65

5 - - + + cd 75

6 + - + - ac 60

7 - + + - bc 80

8 + + + + abcd 96

Tablica 7 Kodirana matrica za izradu djelomičnog plana pokusa 24-1

Kao što vidimo iz tablice 7, imamo tri glavna faktora i dodatni faktor D koji je

alias s međudjelovanjem ABC (D=ABC). Kod ovog djelomičnog plana pokusa

aliasi su A=BCD, B=ACD, C=ABD i već spomenuti D=ABC. Aliasi drugog reda su

28

AB=CD, AC=BD, BC=AD. Prema već riješenom primjeru potpunog 24 plana

pokusa uzimamo odgovarajuće podatke filtracije prema dobivenim kombinacija iz

kodirane matrice npr. Pri niskoj razini A, B, C, i D (kombinacija (1)) razina filtracije

je 45.

Procjene glavnih efekata računaju se kao glavni efekti kod potpunog plana

pokusa. Za procjenu efekta A, prema tablici formula glasi:

lA=14(−(1 )+ad−bd+ab−cd+ac−bc+abcd)

lA=14

(−45+100−45+65−75+60−80+96 )

lA=19.00→ A+BCD

Prema tablici 7, formula za dobivanje procjene vrijednosti međudjelovanja AB

glasi:

lAB=14

((1 )−ad−bd+ab+cd−ac−bc+abcd)

lAB=14

(45−100−45+65+75−60−80+96 )

lAB=−1.00→AB+CD

Pomoću softverskog paketa 'Minitab' procijenili smo ostale glavne utjecaje i

međudjelovanja (slika 17).

Slika 17 Vrijednosti glavnih utjecaja i međudjelovanja te regresijski koeficijenti

Budući da iz poglavlja 5 imamo riješen potpuni plan pokusa za ovaj primjer

znamo da vrijednost glavnog utjecaja A iznosi 21.625, a vrijednost međudjelovanja

BCD iznosi -2.625 što potvrđuje da je njihov zbroj (A+BCD) jednak našoj procjeni

29

glavnog utjecaja A (lA). Iz ove procjene glavnih utjecaja i međudjelovanja vidljivo

je, sukladno dobivenim rezultatima u potpunom planu pokusa, da su glavni utjecaji

A, C i D i međudjelovanja AC i AD najznačajnija. Prema tome glavni utjecaj B je

zanemariv i na slici 18 je dan grafički prikaz glavnih utjecaja i međudjelovanja

dobiven u 'Minitabu'.

1

-1

1

-1

1-1

D

C

A

96

10045

75

60

6545

80

Cube Plot za djelomični plan pokusa

Slika 18 Cube plot – prikaz glavnih utjecaja međudjelovanja

Iz grafičkog prikaza zaključujemo da kada je temperatura (A) na niskoj razini,

koncentracija (C) ima visoku vrijednost. A kada je temperatura (A) na visokoj

razini, koncentracija (C) se beznačajno mijenja zbog međudjelovanja AC. Isto

tako, kada je temperatura (A) na niskoj razini, brzina miješanja (D) je zanemariva,

a kada je temperatura (A) na visokoj razini, razina brzine miješanja (D) je visoka

zbog međudjelovanja AD.

Odgovarajući regresijski model glasi:

y=70.75+ 192∙ x1+

142∙ x3+

16.52∙ x4−

18.52∙ x1 x3+

192∙ x1 x4

Iz ovog regresijskog modela pomoću 'Minitaba' dobivamo ogovarajuće grafičke

prikaze odziva površina i konturnih linija (slike 19 i 20).

30

C*A

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

D*A

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

D*C

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

A -1C -1D -1

Hold Values

> – – – – – < 50

50 6060 7070 8080 9090 100

100

C9

Konturne linije djelomičnog plana pokusa

Slika 19 Konturne linije potpunog plana pokusa

50

60

70

-1-10

-1

70

80

-11

0

1

C9

C

A

40

60

80

-1-10

-1

80

100

-11

0

1

C9

D

A

50

60

70

-1-10

-1

70

80

1

0

-11

C9

D

C

A -1C -1D -1

Hold Values

Odzivne površine djelomičnog plana pokusa

Slika 20 Odzivne površine potpunog plana pokusa

Ovi grafički prikazi koriste se za lakšu interpretaciju dobivenih rezultata.

31

Ponovno zaključujemo, kao i kod potpunog plana pokusa, da ako želimo

maksimizirati razinu filtracije, varijable A i D moraju biti pri visokim razinama.

7. OSTALE METODE PLANIRANJA POKUSA

7.1. METODA ODZIVNE POVRŠINE

Metodologija odzivne površine (engl. Response Surface Methodology, RSM)

je sažetak matematičkih i statističkih metoda kojima se modeliraju i analiziraju

utjecaji nekoliko faktora (nezavisne varijable) na promatrani odziv. Kada se

jednom ustanovi zakonitost ili odnos nezavisnih varijabli preko matematičkog

oblika, odzivne funkcije, takav oblik opisa pojave može poslužiti za donošenje

konkretnih zaključaka o prirodi pojave i biti dobrom podlogom optimiranju poznatim

metodama optimizacije. U prošlom stoljeću RSM se razvijao na području pokusa

vezanih za istraživanje procesa u kemijskoj industriji, nakon čega se uporaba

proširila i na ostala područja industrijskih i znanstveno istraživačkih područja,

posebice u područjima razvoja novih materijala i postupaka. Stoga se može

zaključiti da je metoda odzivne površine postala jednim od osnovnih alata u

planiranju i analizi pokusa. Danas je nezamislivo planirano eksperimentiranje bez

uporabe suvremenih programskih paketa koji se bave područjem planiranja i

analize pokusa, a sadržavaju tehnike planiranja i optimizacije koje su bazirane na

metodologiji odzivne površine.

7.1.1. Koncept metodologije odzivne površine

Osnovna ideja metodologije odzivne površine jest dobiti odnos utjecajnih

(nezavisnih) faktora na zavisnu varijablu (odziv) kroz odzivnu funkciju. Također je

moguće razlučiti efekte pojedinih članova modela, kao glavne efekte ili interakcije.

Kao uvjet za uporabu RSM-a trebaju postojati barem dvije nezavisne varijable (x1 i

x2) i jedna zavisna varijabla (y). Rezultat procesa (zavisne varijable) je moguće

formulirati preko izraza:

y=f (x1 , x2 )+ε

gdje je ε pogreška ili šum koji se javlja u odzivu y. Nadalje, očekivana vrijednost

odziva može se formulirati preko sljedećeg izraza:

32

E( y)=f (x1 , x2 )

To je ujedno i oblik odzivne površine. Odzivna površina može se i prikazuje se

grafički u cijelom eksperimentalnom području, području mogućih kombinacija

faktora.

Na slici 21 je prikazan primjer odzivne površine samo s dva faktora zbog

jednostavnosti prikaza. Kako bi se lakše vizualizirala odzivna površina

dvodimenzionalnim prikazom, upotrebljava se i konturni dijagram. U suštini

konturni dijagram daje konture odzivne površine kao što je i prikazano na slici 22.

Slika 21 Primjer odzivne površine (slučaj s dva faktora)

33

Slika 22 Konturni dijagram odzivne površine

Linije konstantnog odziva (konture) su nacrtane u ravnini x1x2. Svaka

kontura odgovara određenoj vrijednosti (visini) odzivne površine. Prikaz kontura je

koristan u proučavanju promjena razina x1 i x2 koje rezultiraju promjenom oblika ili

visine odzivne površine, a koristit će se u daljnjem radu i pri prikazivanju ostalih

parametara poput standardne pogreške.

U većini RSM problema, oblik veze između odziva i nezavisnih varijabli je

nepoznat. Prema tome, prvi korak u RSM metodi je traženje odgovarajuće

aproksimacijske veze у i nezavisnih varijabli. Obično se koristi polinom nižeg reda

u odgovarajućim područjima nezavisnih varijabli xi. Ako je odziv moguće dobro

modelirati linearnom funkcijom nezavisnih varijabli, tada je aproksimacijska

funkcija model prvog reda:

y=β0+β1 x1+β2 x2+…βk xk+ε

U slučaju da postoji nelinearnost i da linearna funkcija nije odgovarajuća

aproksimacija odziva potrebno je koristiti polinom višeg stupnja. Budući da je to

tipičan slučaj u praksi, najčešće će se upotrebljavati model odziva drugog reda:

y=β0+∑i=1

k

β i xi+∑i=1

k

β ii x i2+∑

i< j∑j=2β ij x i x j+ε

Naravno, malo je vjerojatno da će model polinoma biti prihvatljiva

aproksimacija odziva za cijelo područje nezavisnih varijabli, a izvan područja

eksperimentalnog prostora. Stoga je funkcija odziva određena granicama

eksperimentalnog prostora.

U većini literature, navodi se kako se funkcija odziva može koristiti na

području eksperimentalnog prostora te jedan određeni dio izvan njega

(ekstrapolacija), i to 10 15%. Tu činjenicu je moguće potkrijepiti i razvojem

standardne pogreške modela preko eksperimentalnog prostora čiji oblik pokazuje

trend iznimnog povećanja nepreciznosti izlaskom iz definiranog prostora

eksperimentiranja. Područje eksperimentalnog prostora je poželjno što detaljnije

opisati, upotrebom dovoljno guste mreže. U praksi postaje neizvedivo imati gustu

34

mrežu (kombinacija faktora i vrijednost odziva) koja generira preveliki broj

eksperimentalnih točaka. Iz tog razloga će polazište biti u minimalnom potrebnom

broju eksperimentalnih točaka, što za posljedicu ima i smanjenje utroška resursa.

Bit metode određivanja koeficijenata jest metoda minimiziranja sume

kvadrata odstupanja. Procjene koeficijenata β su vrijednosti parametara koje

minimiziraju sumu kvadrata modela. Nakon određivanja koeficijenata funkcije

odziva radi se analiza i test adekvatnosti odzivne funkcije (odzivne površine). Ako

je prikladna površina dobra aproksimacija stvarne odzivne funkcije, tada će

analiza prikladne površine biti jednaka analizi cijeloga sustava (procesa).

Konačni cilj RSM-a je određivanje optimalnih uvjeta procesa i sustava, ili

utvrđivanje područja faktora u kojem su radne specifikacije ili ograničenja

zadovoljena.

7.2.TAGUCHIJEVA METODA

Tijekom 1980-tih Genichi Taguchi (1986; 1987) razvio je metodu za

pronalaženje produkata proizvodnje visoke kvalitete bez obzira na varijacije

procesnih parametara. Takvi procesi se nazivaju robusnim procesima, budući da

su neosjetljivi na šumove. Kad kažemo robustan, mislimo na proizvod ili proces

koji se ponaša neprestano onako kako od njega tražimo i koji je relativno

neosjetljiv na čimbenike koje je teško kontrolirati. Metoda je vrlo popularna u

industriji radi jednostavnosti pristupa i potakla je razvoj nove proizvodne filozofije.

Ova metoda definira idealnu kvalitetu, funkciju gubitka kvalitete i robustan dizajn.

Glavna ideja Taguchijeve metodologije je primjena tehnika planiranja

pokusa s ciljem definiranja razina kontroliranih čimbenika koji čine proces

robusnim i uz prisutnost nekontroliranih čimbenika (šumova). Pri tome prisutni

šumovi imaju velik utjecaj na odziv procesa, odnosno kvalitetu proizvoda, a nije ih

moguće kontrolirati ili je ekonomski prezahtjevno da se održavaju na određenoj

konstantnoj vrijednosti. Šumovi su glavni razlog pojave varijacije u sustavu.

Taguchijevom metodom se kvaliteta produkta definira kao odstupanje, odnosno

devijacija stanovitog odziva od željene vrijednosti.

Pokusi se provode na način da se utvrdi raspon varijabilnosti nastao kao

posljedica variranja kontroliranih čimbenika i nekontroliranih čimbenika (šumova).

Taguchi preporuča korištenje ortogonalne matrice plana pokusa, potpuni plan

35

pokusa, jedan za svaki od dvije grupe čimbenika (kontrolirane varijable i šumovi).

Za razliku od tradicionalnog Fisher-ovog pristupa koji podrazumijeva da se greška

distribuira nasumično unutar plana, Taguchijev plan omogućuje analizu utjecaja

greške (šumova) na odziv.

Razine procesnih parametra formiraju takozvanu unutarnju matricu, dok

potpuni plan šumova čini vanjsku matricu. Vanjska matrica se sastoji od četiri

retka, n=22 (2-razine, 3-čimbenika potpuni plan), dok unutarnja matrica ima osam

stupaca, m=23 (2-razine, 3-čimbenika potpuni plan). Takav Tagucijev plan je

slikovito prikazan kao klasični plan kontroliranih čimbenika koji čini unutarnju

matricu, uz dodatak vanjske matrice šumova u svaki kut unutarnje matrice (slika

23).

Slika 23 Dijagram vanjske matrice 22 uvjeta šumova (E) i unutarnje matrice 23 uvjeta

procesnih parametara (X) Taguchijevog plana pokusa

Na taj način, imamo 22×23=32 definirana eksperimentalna uvjeta i odziv

procesa se motri za svaki set uvjeta (yij), te se računa signal-šum omjer (S/N) za

svaku točku unutarnje matrice. Pri tome, kombinacija razina kontroliranih

čimbenika koja odgovara najvećoj vrijednosti S/N predstavlja najrobusnije uvjete

proizvodnje u granicama ispitivanih utjecaja šumova.

Postoje tri formulacije S/N prema Taguchiju:

1. Manje je bolje – u slučajevima kada je ciljana vrijednost odziva oko nule

(npr. emisija štetnih plinova, potrošnja energije):

36

(S/N ) J=−10 log 1n∑i=1

n

[ yij2 ] , j=1…m

2. Više je bolje – u slučajevima kada se teži maksimalnoj ciljanoj vrijednosti

odziva (npr. prinos produkta, konverzija reaktanata u produkte):

(S/N ) J=−10 log [ 1n∑i=1n

[ 1y ij2 ]] , j=1…m3. Sredina je najbolje – u slučajevima kada se teži srednjoj ciljanoj vrijednosti

odziva (npr. veličina čestica, svojstva produkta):

(S/N ) J=−10 log s2 , j=1…m

pri čemu je s2 varijanca:

s2=∑i=1

n ( ( y ij− y )2

n−1 )7.3.LINEARNI REGRESIJSKI MODEL

Pretpostavimo da postoji jedna zavisna varijabla ili odziv y koji ovisi o k

nezavisnim ili regresijskim varijablama kao npr. x1, x2,….., xk. Veza između tih

varijabli je karakterizirana matematičkim modelom nazvanim regresijski model.

Regresijski model je uklopljen u set uzoraka podataka. U nekim primjerima, poznat

je točan oblik veze između y i x1, x2,….., xk, recimo y=φ(x1, x2,….., xk). Međutim, u

većini slučajeva, veza je nepoznata, te se stoga izabiru prigodne funkcije za

aproksimaciju φ. Polinomni modeli nižeg reda se široko koriste kao aproksimirane

funkcije.

Regresijske metode se često koriste za analizu podataka iz neplaniranih

pokusa, koji se mogu dobiti iz promatranja nekontroliranih fenomena ili povijesnih

zapisa. Regresijska analiza je isto vrlo korisna u dizajniranju pokusa gdje je nešto

''pošlo po krivu''.

U jednostavnoj linearnoj regresiji za modeliranje n točaka postoji jedna

nezavisna varijabla xi i dva parametra β0 i β1:

37

yi= β0+ β1xi + εi, i=1,…,n.

Kod višestrukih linearnih regresija postoje nekoliko nezavisnih varijabli ili

funkcija nezavisnih varijabli, te bi regresijski model bio:

y= β0+ β1x1 + β2x2 + … + βkxk + εi

gdje je k broj nezavisnih varijabli, a εi je pogreška. Indeks i označuje određeno

promatranje.

Ako su nam dani određeni uzorci iz podataka, procjenjujemo parametre iz

podataka i dobivamo linearni regresijski model:

y i= β0+ β1 x i

Ostatak,

e i= y i+ y i

je razlika između vrijednosti zavisne varijable predviđene od strane modela, y i, i

stvarne vrijednosti zavisne varijable y i. Jedna od metodi pretpostavki je metoda

najmanjih kvadrata. Ova metoda sadrži procijene parametara i minimizira sumu

kvadrata ostataka, SSE:

SSE=∑i=1

n

ei2

Nakon što smo dobili prikladnu regresiju moramo saznati koliko dobro model

odgovara podacima. Dakle, jednom kad je model regresije izrađen potrebno je

provjeriti da li pristaje model i statističko značenje procijenjenih parametara. Prvo

provjeravamo da li ukupno sve pristaje, a nakon toga testiramo značenje svake

pojedine nezavisne varijable. Najčešće korištene provjere koliko model ''dobro''

pristaje su R-kvadratne, analize uzoraka ostataka i testiranje hipoteza. Statističko

značenje može biti provjereno pomoću F-testa ukupnog pristajanja, popraćenog

sa t-testovima pojedinog parametara.

38

Pod daljnjom pretpostavkom da je greška normalno distribuirana , možemo se

služiti ovima procijenjenima standardnim greškama kako bi izradili pouzdane

intervale i proveli testove hipoteza o populaciji parametara.

Hipoteze:

Sve nezavisne varijable su nevažne za predviđanje y

HO : β1=β2=β3…=βk

Najmanje jedna nezavisna varijabla je korisna za predviđanje y

H A : najmanje jedan βk=0

Provjera hipoteza

Slika 24 Provjera hipoteza

Provjera hipoteza:

- na temelju informacija iz uzorka

- rezultira u jednoj od dvije odluke:

o odluka da se H0 odbaci

o odluka da se H0 ne odbaci, jer uzorak nije dao dovoljno dokaza da bi

se H0 odbacila.

- H0 i H1 se uvijek postavljaju tako da isključuju jedna drugu

- kada odbacujemo H0, pretpostavljamo da je H1 točna.

- u zaključivanju koristimo zakone vjerojatnosti.

39

Općenito, lakše je dokazati da je neka hipoteza lažna nego da je točna.

- Prihvaćanje H0 ne znači da je ona točna, nego da uzorak ne daje dovoljno

dokaza da je H0 lažna.

- Prihvaćamo H0 sve dok nije prikupljeno dovoljno dokaza koji je obaraju

Koraci u provjeri hipoteza:

1) Definiramo H0 i H1

2) Odredimo α (razinu značajnosti)

3) Izračunamo procjenu parametra

4) Odredimo statistiku za provjeru i njezinu raspodjelu kada vrijedi H0 i

izračunamo njenu vrijednost iz uzorka

5) Odredimo kritičnu vrijednost, kritično područje

6) Usporedimo izračunatu vrijednost statistike za provjeru sa kritičnim

vrijednostima i donosimo zaključak

Slika 25 Prikaz razine značajnosti, kritične vrijednosti i kritičnog područja poznate

raspodjele

P-vrijednost

Drugi način da se odluči o prihvaćanju ili odbijanju nul hipoteze H0, je da se

utvrdi vjerojatnost da izračunata vrijednost statistike za provjeru pripada distribuciji

kada H0 vrijedi . Može se reći da se H0 odbacuje uz vjerojatnost pogreške koja je

jednaka P vrijednosti. P vrijednost se može koristiti i kada je razina značajnosti

unaprijed određena. Za zadanu razinu značajnosti α, ako je P vrijednost manja od

α, H0 se odbacuje uz α razinu značajnosti.

40

Moguće greške kod statističkog zaključivanja

Kod zaključivanja na temelju uzorka moguća su dva pogrešna zaključka:

a) Tip I greška = odbacivanje nul hipoteze H0, a da je zapravo H0 istinita

b) Tip II greška = ne odbacivanje H0, a da je zapravo H0 lažna.

Način kontrole (smanjenja vjerojatnosti) tip I i tip II greške:

- Povećati uzorak

- Smanjiti varijancu

- Povećati utjecaj

Vjerojatnost tip I greške (α, P-vrijednost)

- Poznata ili se lako izračuna

- Postavlja ju sam istraživač kao razinu značajnosti

Vjerojatnost tipa II greške (β)

- Često teško izračunati

- Mora se pretpostaviti raspodjela ako je H1 točno i na temelju te raspodjele

pokušati odrediti β.

41

8. ZAKLJUČAK

Metode planiranja pokusa i njihova statistička obrada značajno ubrzavaju i

poboljšavaju proces istraživanja i dovode do pouzdanijih zaključaka, te stoga

zaslužuju veću primjenu u industriji i u akademskoj zajednici.

Za razliku od eksperimentiranja koje podrazumijeva variranje vrijednosti jednog

čimbenika dok se ostali drže na konstantnim vrijednostima, statističke metode

planiranja pokusa omogućuju istovremeno variranje više čimbenika, čija naknadna

analiza omogućava dobivanje podataka o njihovom utjecaju kao i utjecaj

međudjelovanja čimbenika. Budući da ljudi mogu pratiti pojedinačno utjecaj samo

jednog čimbenika, potrebni su računalni algoritmi kako bi se omogućila usporedba

više čimbenika odjednom kao i njihova međudjelovanja.

Eksperimentiranje je najbolje provoditi u fazama pri čemu svaka faza pruža

uvid kako pristupiti sljedećem pokusu. Upotreba djelomičnih planova pokusa može

drastično smanjiti broj pokusa jer zanemaruju međudjelovanja prvog ili višeg reda,

ovisno o rezoluciji plana. Često, međudjelovanja višeg reda unose samo dodatnu

kompleksnost i nisu od interesa ukoliko se istraživani proces želi opisati

maksimalno pojednostavljenim matematičkim modelom. Stoga djelomični planovi

pokusa nalaze veliku primjenu u istraživanju, razvoju i unapređenju procesa u

industriji.

42

LITERATURA

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

43

POPIS SLIKA

SLIKA 1 METODA CRNE KUTIJE................................................................................................3

SLIKA 2 GRAFIČKI PRIKAZ POTPUNOG PLANA POKUSA 22........................................................10

SLIKA 3 GRAFIČKI PRIKAZ POTPUNOG PLANA POKUSA 22........................................................12

SLIKA 4 ODZIV FAKTORA A BEZ MEĐUDJELOVANJA FAKTORA B...............................................13

SLIKA 5 ODZIV FAKTORA A SA MEĐUDJELOVANJEM FAKTORA B..............................................13

SLIKA 6 GRAFIČKI PRIKAZ POTPUNOG PLANA POKUSA 23........................................................14

SLIKA 7 GRAFIČKI PRIKAZ 24 PLANA POKUSA.........................................................................17

SLIKA 8 MATRIČNI KODIRANI OBLIK NISKIH I VISOKIH RAZINA GLAVNIH UTJECAJA I IZLAZNI PODACI

U MINITABU...................................................................................................................19

SLIKA 9 VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA I MEĐUDJELOVANJA TE REGRESIJSKI KOEFICIJENTI...19

SLIKA 10 NORMAL PLOT POTPUNOG PLANA POKUSA..............................................................20

SLIKA 11 GLAVNI UTJECAJI POTPUNOG PLANA POKUSA..........................................................20

SLIKA 12 MEĐUDJELOVANJA POTPUNOG PLANA POKUSA........................................................21

SLIKA 13 KONTURNE LINIJE POTPUNOG PLANA POKUSA.........................................................22

SLIKA 14 ODZIVNE POVRŠINE POTPUNOG PLANA POKUSA......................................................23

SLIKA 15 GRAFIČKI PRIKAZ PLANA S TRI ČIMBENIKA NA DVIJE RAZINE: (A) 23 PUNOG

FAKTORIJALNOG PLANA I (B) 2 3-1 DJELOMIČNOG FAKTORIJALNOG PLANA..........................25

SLIKA 16 GRAFIČKI PRIKAZ 23-1 DJELOMIČNOG PLANA POKUSA...............................................27

SLIKA 17 VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA I MEĐUDJELOVANJA TE REGRESIJSKI KOEFICIJENTI.29

SLIKA 18 CUBE PLOT – PRIKAZ GLAVNIH UTJECAJA MEĐUDJELOVANJA....................................30

SLIKA 19 KONTURNE LINIJE POTPUNOG PLANA POKUSA.........................................................31

SLIKA 20 ODZIVNE POVRŠINE POTPUNOG PLANA POKUSA......................................................31

SLIKA 21 PRIMJER ODZIVNE POVRŠINE (SLUČAJ S DVA FAKTORA)...........................................33

SLIKA 22 KONTURNI DIJAGRAM ODZIVNE POVRŠINE................................................................33

SLIKA 23 DIJAGRAM VANJSKE MATRICE 22 UVJETA ŠUMOVA (E) I UNUTARNJE MATRICE 23

UVJETA PROCESNIH PARAMETARA (X) TAGUCHIJEVOG PLANA POKUSA.............................36

SLIKA 24 PROVJERA HIPOTEZA.............................................................................................39

SLIKA 25 PRIKAZ RAZINE ZNAČAJNOSTI, KRITIČNE VRIJEDNOSTI I KRITIČNOG PODRUČJA

POZNATE RASPODJELE..................................................................................................40

44

POPIS TABLICA

TABLICA 1 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA...........................................11

TABLICA 2 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA ZA POTPUNI PLAN POKUSA . .15

TABLICA 3 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA I MEĐUDJELOVANJA ZA 23....16

TABLICA 4 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA 24 PLANA POKUSA...............18

TABLICA 5 KORISNE REZOLUCIJE ZA IZRADU DJELOMIČNOG PLANA POKUSA............................25

TABLICA 6 RAZINE ČIMBENIKA...............................................................................................26

TABLICA 7 KODIRANA MATRICA ZA IZRADU DJELOMIČNOG PLANA POKUSA 24-1.........................28

45