Potencial Electrico

Curso 2006/2007Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla 1

Tema 4: Potencial eléctrico

Fundamentos Físicos de la IngenieríaPrimer curso de Ingeniería Industrial

Curso 2006/2007 Dpto. Física Aplicada III 2/25Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Tema 4.-Potencial eléctrico

Índice

Introducción: energía potencial electrostáticaDiferencia de potencial

Significado físicoPropiedadesSuperficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntualesDeterminación del campo eléctrico a partir del potencialPotencial de distribuciones continuas de carga


Introducción

La fuerza asociada a campos eléctricos estáticos es conservativa

El trabajo realizado por la fuerza cuando actúa en una determinada trayectoria solamente depende del punto inicial y final, no del camino recorrido.El trabajo realizado en un camino cerrado es nulo.Puede definirse una función energía potencial.


Introducción

El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa mequivale a la disminución de energía potencial gravitatoriaEl trabajo realizado por el campo electrostático sobre la carga +q es igual a la disminución de energía potencial electrostática

Tierra Carganegativa


Sea una carga q0 en un campo externoTrabajo realizado por la fuerza conservativa

Variación de energíapotencial

Energía potencial

0q

E

0dU F dl q E dl= − ⋅ = − ⋅

dW F dl= ⋅0F q E=dl

v


Diferencia de potencial

La variación de U es proporcional a q0

Diferencia de potencial:

Incremento entre dos puntos: integral de línea

Menos circulación de ¡No depende del camino!

0

dUdV E dl

q= = − ⋅

B

B A AV V V E dl∆ = − = − ⋅∫

A

B

E


Diferencia de potencial

La diferencia de potencial (VB-VA) es el menos trabajo realizado por el campo electrostático cuando desplazamos la unidad de carga positiva desde A hasta BLa diferencia de potencial (VB-VA) es el trabajo que debe realizarse para desplazar la unidad de carga positiva desde A hasta B en el seno de un campo electrostáticoEl proceso tiene que ser cuasi-estático

Para que no aparezca un término de variación de energía cinéticaPara que no exista pérdida de energía en forma de radiación electromagnética, que aparece cuando hay cargas aceleradas


Propiedades de VEs un campo escalar: función de la posiciónLa diferencia de potencial entre dos puntos tiene significado físico, pero no el valor concreto de V en cada punto

El “origen de potencial” es arbitrarioLa función V es continua en todos los puntos, excepto donde el campo eléctrico sea infinito

Demostración:

Entonces si E es finito dV es infinitesimalV disminuye en la dirección indicada por las líneas de campoUnidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C → 1V/m=1N/C

( )V r

cosdV E dl Edl= − ⋅ = − θ

0dU q dV= dV E dl= − ⋅


Campo eléctrico uniforme: superficies equipotenciales

E Ei=

x

y dV E dl Edx= − ⋅ = −B B

B AA AdV V V E dx= − = −∫ ∫

B

B A AV V V E dx E x∆ = − = − = − ∆∫

Superficies equipotenciales: superficies tales que en todos sus puntos V=cte.

En este ejemplo son todos los planos de x=cte

El trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de una superficie equipotencial es nulo

3V2V1V

1 2 3V V V> >


Índice





Punto dereferencia

Potencial de una carga puntual

Sea una carga qcalculamos dV en r:

Integrando:

2ˆ

qdV E dl k r dl

r= − ⋅ = − ⋅

ˆ cosr dl dl dr⋅ = φ =Donde:

2

qdV k dr

r= −

2

P

ref

r

P ref rP ref

q q qV V k dr k k

r r r− = − = −∫

Punto campo



La referencia de potencial es arbitrariaTomamos:

Entonces:( ) 0 y refr V= ∞ ∞ =

( ) ( )q q

V r V k kr

− ∞ = −∞

0 0

( )q

V r kr

=

POTENCIAL DE COULOMB: Potencial de una carga puntual

Punto dereferencia

Punto campo


Superficies equipotenciales:esferas centradas en la carga

Relación con la energía potencialEnergía potencial electrostática de un sistema de dos cargas tomando U(∞)=0 :

2r


00( ) ( )

qqU r q V r k

r= =

Trabajo para llevar q0

desde ∞ hasta r en presencia de q

3V2V

1V

1 2 3V V V> >ii

qV k

r= 3r 1r


Sistema de cargas puntuales

El potencial de un sistema de cargas puntuales en un puntoP es la suma de los potencialesde cada carga en ese punto

Esto es una consecuencia del principio de superposición para el campo eléctricoLa suma es escalar, no vectorial: a veces resulta más fácil calcular V como paso previo para obtener el campo eléctrico

¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial?

iP

i i

qV k

r=∑

3r3q

1r

1q2r

2q

P


Determinación del campo eléctrico a partir del potencial

dV E dl= − ⋅

t

dVE

dl= −

dlE

tEθ

Si Si es máximo

El campo eléctrico indica la dirección de máxima variación de VEl módulo del campo eléctrico en ese punto es la derivada direccional máxima

cos 0 0dl E dV⊥ ⇒ θ = ⇒ =cos 1dl E dV⇒ θ = ± ⇒

max

dVE

dl=

cosE dl= − θ tE dl= −


Determinación del campo eléctrico a partir el potencial

El gradiente de una función escalar es un vector cuya dirección es la de máxima variación de esa función y cuyo módulo es la derivada en esa direcciónCálculo del gradiente:En consecuencia:

Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x

f f ff i j k

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

E V= −∇

( )dV

V x Ax E i Aidx

= → = − = −


Índice





Potencial de distribuciones continuas de carga

Para una carga puntual:Entonces, dV creado por dqen P:

Potencial en P:

x y

zdq d= ρ τ

r

τP

dqdV k

r=

dq dV k k

r rτ τ

ρ τ= =∫ ∫ Integro en el

volumen τ

qV k

r=

Esta ecuación supone V(∞)=0 y por tanto no puede usarse para distribuciones de carga que se extiendan hasta el infinito.

En estos casos suele poder calcularse V a partir del campo eléctrico, obtenido a su vez mediante Ley de Gauss


Potencial de distribuciones continuas de carga

Distribución superficial de carga:

Distribución lineal de carga:

x y

z

x y

z

dq dS= σ

r P

dl

dq dl= λ

rP

s

dSV k

r

σ= ∫

l

dlV k

r

λ= ∫


Cálculo del potencialEjemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje de un anillo con carga uniforme

2 2l

k Qdq k

r x a= =

+∫

2 2r x a= + Es el mismo " dq

322 2( )x

dV QxE k

dx x a= − =

+dV

E V idx

= −∇ = −

Ql

dqV k

r= ∫


Cálculo del potencialEjemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje de un anillo con carga uniforme

2 2

QV k

x a=

+

322 2( )x

QxE k

x a=

+xE E i=

Si x>>a (puntos alejados del anillo):

En el centro del anillo (x=0):

QV k

x≈ Potencial de una

carga puntual

0xE = (0)Q

V ka

= Máximo en el eje x

Q


Cálculo del potencialEjemplo: potencial debido a una corteza esférica

Q

R

En principio se puede calcular V por integración directa

Alta simetría: es más fácil calcular primero el campo eléctrico mediante Ley de Gauss

1

24 4r

rsE dA E r kQ⋅ = π = π∫

2

2int4 4 0

rrs

E dA E r kQ⋅ = π = π =∫

1rS

2rS

r R>

r R<

2r

QE k

r=

0rE =

El campo eléctrico en el exterior de la esfera coincide con el campo creado por una carga puntual de valor Q situada en su centro



QR

r R>

r R<

( ) ( )r

V r V E dr∞

− ∞ = − ⋅∫0

( )Q

V r kr

=

2( )

r R r

R

drV r E dr kQ Edr

r∞ ∞= − ⋅ = − −∫ ∫ ∫

0

( )Q

V r kR

=

r

∞

Q R

r∞

2

r dr QkQ k

r r∞= − =∫



El potencial y el campo fuera de la esfera son iguales que los que crearía una carga puntual Qen su centro

El potencial es continuo al atravesar la corteza esférica

En el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo y el potencial es constante

Si E=0 en una región, no implica V=0 sino V constante


ResumenLas fuerzas electrostáticas son conservativas y, por tanto, puede definirse una función energía potencial como el menos trabajo realizado por la fuerza conservativaLa variación del potencial electrostático es el incremento de energía potencial electrostática por unidad de carga

Se calcula como una integral de línea (circulación) del campo eléctrico.Significado físico de ∆V: trabajo que hay que realizar para desplazar la unidad de carga positiva entre dos puntosEl origen de potencial es arbitrarioRepresentación gráfica: superficies equipotenciales

Conocido V es posible calcular el campo: Cálculo del potencial:

Distribuciones finitas de carga: integración (distribuciones continuas) o sumatorio (distribuciones discretas)Distribuciones con alta simetría: puede resultar más sencillo calcular previamente el campo eléctrico mediante Ley de GaussDistribuciones infinitas: debe calcularse primero el campo eléctrico

E V= −∇

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