8/18/2019 Pouzdanost zadatak

1/16

Tema: Određivanje zakona pouzdanosti elemenata tehničkih sistema

1. Normalni (Gaus - ov) zakon raspodele !unk"ija #apla"e

Za neprekidne slučajne promenljive koje predstavljaju visinu i težinu ljudi,rezultate na ispitu, vreme potrebno čoveku da obavi neki posao, i sl. smatra se daimaju približno normalnu raspodelu verovatnoća. Za neku neprekidnu slučajnupromenljiu X kažemo da ima normalnu raspodelu sa parametrima μ (arimetičkasredina) i σ (standardna devijacija).

ormalna raspodela je najvažnija i najče!će kori!ćena raspodela za primeneu statističkoj obradi eksperimentalni" podataka u dru!tvenim, prirodnim i te"ničkimnaukama. #eliki broj slučajni" pojava u realnom svetu je normalno ili približnonormalno raspodeljen.

$sobine ormalne raspodele%

&zvonasto' je oblikasimetrična jeasimptotskasrednja vrednost, medijana i mod su jednakiraspodelu de ini!u srednja vrednost, μ, i

standardna devijacija, σ.srednja vrednost kontroli!e centar, a

standardna devijacija !irinu

*unkcija +aplace

ormalna raspodela predstavlja dobar model u slučajevima kada dolazi dopostepeno' starenja sistema u toku upotrebe tj. kada se javlja istro!enost. riodre-ivanju pouzdanosti retko se koristi oblik normalne raspodele unkcije 'ustine

ormalne raspodele dat jednačinom%

( )

( )t

t e/

σµ−−

πσ=

jer se inte'ral te jednačine ne može izračunati u konačnoj ormi. Zbo' to'a se koristitzv. standardizovana normalna raspodela 0(z) za koju postoje tabele iz koji" se mo'unaći povr!ine ispod unkcije 'ustine otkaza za bilo koju normalnu raspodelu.1ednačina može se prevesti u standardizovani oblik uvo-enjem smene%

σµ−= tz

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

2/16

ormalna raspodela sa aritmetičkom sredinom μ 2 3 i standardnom devijacijom σ 2 /zove se standardizovana normalna raspodela (3,/) je zadata unkcijom%

( )z

z e/

−

π=

*unkcija standardizovane ormalne raspodele 0(z) povezana je sa +aplasovomunkcijom uz čiju pomoć je na jednostavan način mo'uće utvrditi vrednosti unkcije

nepouzdanosti.

( ) ( )z4,3z /φ+=φ za vrednosti sa desne strane raspodele( ) ( )z4,3z /φ−=φ za vrednosti sa leve strane raspodele

*unkcija pouzdanosti normalne raspodele

( )

dte//*/5t

3

mt

)t()t( ∫ σ−−

πσ−=−=

$. %&' ON%N *+,#N, ,' O %#,

6ksponencijalna raspodela je najvažnija neprekidna raspodela u izračunavanjutokova materijala. $na služi na primer kao model za opisivanje razlike vremena iliputa izme-u slučajni" do'adjaja X. jena unkcija 'ustine otkaza sa konstantnomvredno!ću parametra 7 8 3, je%

( )t

t e λ−⋅λ=

olazna osnova u odre-ivanju empirijsko' zakona eksponencijalne raspodelepouzdanosti je linearizacija unkcije pouzdanosti%

t9 =λ=a

( ) −=

t*//

:

( ) ( )∑=

−=n

/ii::a;

( ) ( )∑=

−=n

/iii :a9a; iz uslova

( )3

aa; =

∂∂

∑∑ ⋅

=i

n

/ii

9

9:a

2

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

3/16

Grafk 1 - unkcije gustine eksponencijalne raspodele

*unkcija 'ustine je monotono opadajuća sa vredno!ću parametra 7 kao vrednostiunkcije za 923 i lim (9)23 kada 9ako sudo'a-aji po oasonovoj raspodeli vremenske razlike izmedju do'a-aja, na primer me-uvremena dolazaka u eksponencijalnoj raspodeli i obrnuto.

edostatak eksponencijalne raspodele, pri ormiranju modela procesa tokovamaterijala, karakteri!e da veoma malim vremenima od'ovara vrlo velika verovatnoćado'a-aja. >o je nerealno kod me-uvremena dolazaka, jer minimalno vreme značajnozavisi od dužine transportne jedinice i ne može biti prekoračeno. asuprot ovomnedostatku, ostaje prednost jednostavno' izračunavanja eksponencijalne raspodele.6ksponencijalna raspodela ima važnu ulo'u u razmatranju pouzdanosti iraspoloživosti.

Z?@?>?A%

4 B3 BC BD C3E B3 BC BD C3

E B/ BC BD C3F B/ BC BE C3G B/ B4 BE C3G B/ B4 BE C/

B3 B B4 BE C/B3 B B4 BE C/B3 B B4 BE C/B3 B B4 BE CB3 B B4 BG C

Tabela T-1 Rezultati merenja pređene kilometraže pneumatika na pogonskim točkovimatransportnog sredstva u km · 10 3 do istrošenja poređani u rastu em nizu

3

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

4/16

$dre -ivanje broja intervala%n ! veličina uzorka

Z2 n Z2 55 2 E,C/D

Z2 /HB,B log n Z2 /HB,BB log 44 " D,EG4Z2 4 log n Z2 4I log 442 F,E3/FZ2 I 3 n Z2 3 55 J E,D3

Ksvaja se Z2 E

$dre -ivanje !irine intervala %

4.C.E

C4Z

tt minma9 ==−=−

Ksvaja se !irina itervala ,4 I/3 3 km

Lnterval / B C 4 D E

Mranice 4N E.4 E.4NB3 B3NB .4 B .4NB4 B4NBE.4 BE.4NC3 C3NC

;redinaintervala

# ri D. 4 F.E4 B/. 4 BB.E4 BD. 4 BF.E4 C/

mi Oroj otkaza B /3 G // /3 D D

Tabela T-$ %irina itervala

a) Osnovni statistički parametri pređene kilometra/e

ominalna vrednost P aritmetička sredina

S 2n/ ∑

=

n

i

tsi

1I&i

2551

( D. 4 IB H F.E4 I/3 H B/. 4 I G H BB.E4 I // H BD. 4 I /3 H BF.E4 I D H C/ ID)2

2 BB.F/

S 2BC I/3 3 km

@isperzija

4

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

5/16

@(s)2n

1Q∑

=

n

/i(# ri J S )RI&i S2

2551

Q( D. 4 JBC)R I B H ( F.E4 J BC)R I /3 H (B/. 4 JBC)RIG H (BB.E4 JBC) RI//H

H(BD. 4 JBC)R I/3 H (BF.E4 J/BB)R I D H (C/ JBC)RIDS2/F. D4

@(s)2 /F. D4I/3 3 km

;tandardno odstupanje

σ(;)2 )( s D 2 D4./F 2 C. EBσ(;)2 C.B I/3 3 km

interval / B C 4 D Ebroj otkaza

i (Tt) B /3 G // /3 D Dsredina intervala

; ri D. 4 F.E4 B/. 4 BB.E4 BD. 4 BF.E4 C/

srednji brojotkaza uintervalu

in

4B.4 CE BE.4 E.4 /E G B

44 4 4 C C BB BB / / D D 3

Tabela T-3 'očetna tabela

0) rocenjene (eksperimentalne) vrednosi unkcije

pouzdanosti, nepouzdanosti, 'ustine otkaza i intenzitetaotkaza

/. *unkcija nepouzdanosti

i* (t )2 / J

nn i

/* (t )2 / J

nn 1

2 / J

444.4B 2 3,3 E

.* (t )2 / J

n

n 2

2 / J

44CE 2 3,/CD

B* (t )2 / Jn

n 3 2 / J

444.BE 2 3,B/F

5

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

6/16

C* (t )2 / Jn

n 4 2 / J

444.E 2 3,433

4* (t )2 / Jn

n 5 2 / J

44/E 2 3,DG/

D* (t )2 / J nn 6

2 / J 44G

2 3,FBD

E* (t )2 / Jn

n 6 2 / J

44B 2 3,GCD

. *unkcija pouzdanosti

iR (t )2

nn i

/5(t )2

nn 1 2

444.4B 2 3,GEB

5 (t )2 n

n 2 244CE 2 3,F4C

B5(t )2

nn 3 2

444.BE 2 3,DF

C5 (t )2

n

n 4 244

4.E

2 3,433

45(t )2

nn 5 2

44/E 2 3,B3G

D5(t )2

nn 6 2

44G 2 3,/DC

E5(t )2

nn 6 2

44B 2 3,34C

B.*unkcija 'ustine otkaza

i) (t )2

t n

t N

∆⋅∆ )(1

/) (t )2

tn)t(/

∆⋅∆

2 B/34,44B

⋅⋅2 3,3 /F /B km/3 −⋅

.) (t )2

tn)t(

∆⋅∆

2 B/34,44/3

⋅⋅2 3,3E E /B km/3 −⋅

B) (t )2

tn)t(B

∆⋅∆

2 B/34,44G

⋅⋅2 3,3DFC /B km/3 −⋅

C) (t )2tn)t(C

∆⋅∆ 2 B/34,44

//

⋅⋅2 3,3F33 /B km/3 −⋅

6

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

7/16

4) (t )2

tn)t(4

∆⋅∆

2 B/34,44/3

⋅⋅2 3,3E E /B km/3 −⋅

D) (t )2tn)t(D

∆⋅∆

2 B/34,44D

⋅⋅2 3,3CBD /B km/3 −⋅

E) (t )2tn

)t(E

∆⋅

∆2 B/34,44

D

⋅⋅

2 3,3CBD /B km/3 −⋅

C. *unkcija intenziteta otkaza

)t(iλ 2 )t(R )t(f

i

i

)t(/λ 2 )t(5)t(

// 2 GEB,3

3 /F,32 3,3 C /B km/3 −⋅

)(2 t λ 2 )t(5)t(

2 FBC,33E E,3

2 3,3F4/ /B km/3 −⋅

)t(Bλ 2 )t(5)t(

B

B 2 DF,33D4C,3

2 3,3G4G /B km/3 −⋅

)t(Cλ 2 )t(5)t(

C

C 2 4,33F33,3

2 3,/D33 /B km/3 −⋅

)t(4λ 2)t(5

)t(

4

4 2B3G,3

3E E,32 3, B4B /B km/3 −⋅

)t(Dλ 2 )t(5)t(

D

D 2 /DC,33CBD,3

2 3, F B /B km/3 −⋅

)t(Eλ 2 )t(5)t(

E

E 2 34C,33CBD,3

2 3,F4/F /B km/3 −⋅

interval / B C 4 D Esredina!irine

intervala ; ri D. 4 F.E4 B/. 4 BB.E4 BD. 4 BF.E4 C/

broj otkazai (Tt) B /3 G // /3 D D

srednji brojotkaza uintervalu

in

4B.4 CE BE.4 E.4 /E G B

44 4 4 C C BB BB / / D D 3

* i (t) 3,3 E 3,/CD 3,B/F 3,433 3,DG/ 3,FBD 3,GCD

5 i (t) 3,GEB 3,F4C 3,DF 3,433 3,B3G 3,/DC 3,34C

7

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

8/16

(i (t) 3,3 /F 3,3E E 3,3D4C 3,3F33 3,3E E 3,3CBD 3,3CBD

7i(t) 3,3 C 3,3F/4 3,3G4G 3,/D33 3, B4B 3, F B 3,F4/F

Tabela T-) *ksperimantalne +empirijske, vrednosti

") #ejbulov i ormalni model P empirijski zakon pouzdanosti

#ejbulov model#ejbulova (Ueibull) raspodela se najvi!e koristi u svim analizama e ektivnosti

te"nički" sistema, a posebno u području pouzdanosti. $vo neposredno proističe iznjeno' parametarsko' karaktera i !iroki" mo'ućnosti da se izborom od'ovarajući"vrednosti ovi" parametara interpretiraju veoma različiti zakoni slučajno promenljivi"veličina.

$na je razvijena za statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u te"nici,rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost. #ejbulova raspodela seizražava u dva oblika% sa dva ili tri parametra.

K posupku odre-ivanja empirijsko' modela #ejbulovo' zakona pouzdanostiuvek se polazi od dvoparametarsko' modela u kome je vrednost parametra položajaV23. Za dvoparametarski model, ukoliko sve tačke sa trans ormisanim koordinatama

( )

−

==t*/

/lnln:Wtln9

une!ene na #ejbulov verovatnosni papir leže na pravoj liniji ili su približnoraspore-ene oko prave linije. a ovaj način se vr!i ocena #ejbulovo' zakona uodnosu na broj parametara.

$dre-ivanje vrednosti parametara #ejbulovo' zakona pouzdanosti

#rednosti trans ormisani" koordinata dobijaju se iz

( ) −=

t*/

/lnln: 2

( ) =

t5

/lnln:

( )γ −= tln9 , za γ 2 3 tln9 =

Lnterval / B C 4 D E

broj otkazai (Tt) B /3 G // /3 D D

sredina

!irineintervala

# ri

D, 4 F,E4 B/, 4 BB,E4 BD, 4 BF,E4 C/

8

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

9/16

: i

( ) − t*//

lnln JB,4GF J/,FCD J3,GD3 J3,BDD 3,/D3 3,4G /.3E/

9 iri;ln

B, EE B,B4F B,CC B,4/G B,4G3 B,D4E B,E/C

Tabela T- .zračunate vrednosti koordinata / i i i potrebne za u rtavanje na 2ejbulov verovatnosni papir

Aada su ucrtane tačke na #ejbulovom verovatnosnom papiru, uočava se dase kroz tačke može provući prava linija, pa samim tim dolazi se do zaključka da seradi o #ejbulovoj dvoparametarskoj raspodeli. >ako-e, očitavaju se približnevrednosti parametara #ejbulove raspodele i 4 i iznose B4 4 D,B

Lnterval / B C 4 D E

∑# ri

;redinaintervala

D, 4 F,E4 B/, 4 BB,E4 BD, 4 BF,E4 C/

& i

Oroj otkazaB /3 G // /3 D D 44

i

( )− t*//

lnln JB,4GF J/,FCD J3,GD3 J3,BDD 3,/D3 3,4G /.3E/ JC,G/E

/ i riSln

B, EE B,B4F B,CC B,4/G B,4G3 B,D4E B,E/C C,44E

/ i $ /3,EBG //, ED / ,BFB / ,FFF /B,BEC /B,BEC /B,EGC FD,B3/

/ i· i J//,EG/ JD,/GG JB,B3C J/,/F 3,4EC ,/D4 B,GEF J/4,E4G

9

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

10/16

Tabela T-5 2rednosti potrebne za analitičko određivanje parametara i 4

/. G/E,Ca44E,CaEG/E,Ca44E,CaE /3/3 −−=⇒−=+ . E4G,/4aBCD4,FDa44E,C /3 −=+

E3.3a43F,Ba /3 −−=

( ) E4G,/4aBCD/,FDE3,3a43F,B44E,C // −=+−−CF/,/a,3 / =

,3CF/,/

a / =

C34,Ea / =β=

C34,E43F,BE3,3a 3 ⋅−−=DEG,Da 3 −=

/

3

aa

e

−

=ηE3/,BDe C34,E

DEG,D

==η−−

*unkcija pouzdanosti sada ima oblik

( )

C34,Eri

ri

E3/,BD;

; e5

−

=

10

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

11/16

>eorijska pouzdanost #ejbulove raspodele

( ) G/GE,3e5

C34,E

E3/,BD4,D

4,D ==

−

( ) FCFE,3e5

C34,E

E3/,BD

E4,F

E4,F ==

−

( ) EBEF,3e5

C34,E

E3/,BD4,B/

4,B/ ==

−

( ) 4FC,3e5

C34,E

E3/,BDE4,BB

E4,BB ==

−

( ) C3/4,3e5

C34,E

E3/,BD4,BD

4,BD ==

−

( ) C/,3e5

C34,E

E3/,BDE4,BF

E4,BF ==

−

( ) /3B,3e5

C34,E

E3/,BDC/

C/ ==

−

>eorijska nepouzdanost #ejbulove raspodele

/* 2 /J /5 2 /J3,G/GE 2 3,3F3B

.* 2 /J 5 2 /J3,FCFE 2 3,/4/B

B* 2 /J B5 2 /J3,EBEF 2 3, DC* 2 /J C5 2 /J3,4FC 2 3,C/4F4* 2 /J 45 2 /J3, C3/4 2 3,4GF4D* 2 /J D5 2 /J3, C/ 2 3,EE4GE* 2 /J E5 2 /J3,/3B 2 3,FGDF

Yodel ormalne raspodele

$dre-ivanje teorijske unkcije nepouzdanosti

#rednost trans ormisani" koordinata iZ i unkcije otkaza i* +apsova trans ormacija

11

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

12/16

( )σσ−==

;;:Z riii

/Z 2 /: 2 B,CBC4,D −

2 J/,F3

.Z 2 .: 2 B,CBCE4,F − 2 J/, /

BZ 2 B: 2 B,CBC4,B/ −

2 J 3,DBG

CZ 2 C: 2 B,CBCE4,BB −

2 J3,34F

4Z 2 4: 2 B,CBC4,BD −

2 3,4 B

DZ 2 D: 2 B,CBCE4,BF −

2/,/3C

EZ 2 E: 2 B,CBCC/ − 2 /,D E

>eorijska unkcija nepouzdanosti

/t*

( ) 3B4G,3CDC/.34.3z4.3 =−=φ−=

.t* ( ) ///E,3BFFB,34.3z4.3 =−=φ−=

Bt* ( ) DCB,3B4E,34.3z4.3 =−=φ−=

Ct* ( ) CF3/,33/GG,34.3z4.3 =−=φ−=

4t* ( ) DGF4,3/GF4,34.3z4.3 =+=φ+=

Dt* ( ) FDCB,3BDCB,34.3z4.3 =+=φ+=

Et* ( ) GCEC,3CCEC,34.3z4.3 =+=φ+=

d) Kporedna ocena tačnosti empirijski" i eksperimentalni"

modela primenom testa Aolmo'orlova za pouzdanost 2G3

rovera adekvatnosti empirijako' modela testom Aolmo'orovJ ;mirlov isti jeza sve raspodele neprekino' tipa, odnosno, test se sprovodi tablično J uporednimvrednostima unkcija * (t) i ode-uju se nji"ove apsolutne razlike koje se upore-uju satabličnim vrednostima.

Lnterval / B C 4 D E

# ri ;redina intervala D, 4 F,E4 B/, 4 BB,E4 BD, 4 BF,E4 C/

eksperimentalnevrednosti

3,3 E 3,/CD 3,B/F 3,433 3,DG/ 3,FBD 3,GCD

12

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

13/16

* e(t)

teorijskevrednosti

( )t*t3,3F3B 3,/4/B 3, D 3,C/4F 3,4GF4 3.EE4G 3,FGDF

razlika [* 3,34BB 3,334B 3,344F 3,3FC 3,3G 4 3,3D3/ 3,33E/

Tabela T-6 Razlike teorijske i eksperimentalne (unk ije nepouzdanosti t*

2ejbulove raspodele

Yaksimalna vrednost apsolutni" razlika

max D 2 3,3G 4 2 [* 4

Hα 2/Za pouzdanost G3 2 3,G 28 α 2 3,/3,tablična vrednost α 2 /, , za n244,

/DC4,344

,/

n

,/@n ===

$bzirom da je ( ) 1.0doznD 2 3,/DC4 8 [* ma9 2 [* 4 2 3,3G 4

može se zaključiti da je model adekvatan, odnosno da se istro!enja pneumatikade!avaju po #ejbulovoj dvoparametarskoj raspodeli.

2odel empirijsko3 4ej0ulovo3 zakona

Lnterval / B C 4 D E

# ri ;redina intervala D, 4 F,E4 B/, 4 BB,E4 BD, 4 BF,E4 C/

eksperimentalnevrednosti

* e(t)3,3 E 3,/CD 3,B/F 3,433 3,DG/ 3,FBD 3,GCD

teorijskevrednosti

( )t*t3,3B4G 3,///E 3, DCB 3,CF3/ 3,DGF4 3,FDCB 3,GCEC

razlika [* 3,33FG 3,3BCB 3,34EB 3,3/GG 3,33E4 3,3 FB 3,33/C

13

C3,Eri

E3/,BD;

; e5

−

=

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

14/16

Tabela T-7 Razlike teorijske i eksperimentalne (unk ije nepouzdanosti8 +t,&ormalne raspodele

Yaksimalna vrednost apsolutni" razlika

max D 2 3,34EB 2 [* B

Hα 2/Za pouzdanost G3 2 3,G 28 α 2 3,/3,tablična vrednost α 2 /, , za n244,

/DC4,344

,/

n

,/@n ===

$bzirom da je ( ) 1.0

doznD 2 3,/DC4 8 [*

ma9 2 [* B 2 3,34EB

iz če'a se može izvesti zaključak da se pri"vata "ipoteza o emprijskom modeluormalne raspodele, sa parametrima (BC W C,B).

2odel empirijsko3 normalno3 zakona:

e) 5poredni dija3ram eksperimentalne i teorijske !unk"ije

nepouzdanosti

interval / B C 4 D E

* e 3,3 E 3,/CD 3,B/F 3,433 3,DG/ 3,FBD 3,GCD

* t 3,3F3B 3,/4/B 3, D 3,C/4F 3,4GF4 3,EE4G 3,FGDF# ri

;redinaintervala

D, 4 F,E4 B/, 4 BB,E4 BD, 4 BF,E4 C/

Tabela T- 9 2rednosti eksperimentalne i teorijske (uk ije nepouzdanosti 2ejbulove raspodele

14

( ) ∫ −⋅π⋅−= −ri;

3

i/

;ri B,CBC;r

eB,C

//5

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

15/16

:ra(ik - $ uporedne vrednosti eksperimentalne i teorijske (unk ije nepouzdanosti 8e i 8t 2ejbulve raspodele

interval / B C 4 D E

* e 3,3 E 3,/CD 3,B/F 3,433 3,DG/ 3,FBD 3,GCD

* t 3,3B4G 3,///E 3, DCB 3,CF3/ 3,DGF4 3,FDCB 3,GCEC# ri

;redinaintervala

D, 4 F,E4 B/, 4 BB,E4 BD, 4 BF,E4 C/

Tabela T- 10 2rednosti eksperimentalne i teorijske (uk ije nepouzdanosti &ormalne raspodele

15

8/18/2019 Pouzdanost zadatak

16/16

:ra(ik ! 3 ! uporedne vrednosti eksperimentalne i teorijske (unk ije nepouzdanosti 8e i 8t &ormalne raspodele

16