PRAKTIKUM IZ STATISTIKE...Praktikum se sastoji iz osam poglavlja, koja čine strukturnu i sadržajnu celinu: • Prvo poglavlje - Formiranje distribucije frekvencija • Drugo poglavlje

PRAKTIKUM IZ STATISTIKE (za smer veterinarska medicina)

Beba Mutavdžić, Tihomir Novaković, Dragana Tekić

SADRŽAJ

FORMIRANJE DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA .................................................................. 1

POKAZATELJI CENTRALNE TENDENCIJE ...................................................................... 7

POKAZATELJI VARIJABILITETA ..................................................................................... 14

POKAZATELJI OBLIKA DISTRIBUCIJE ........................................................................... 21

NORMALNA RASPODELA ................................................................................................. 27

OCENE NA OSNOVU UZORKA ......................................................................................... 34

TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA ......................................................................... 40

REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA .................................................................... 57

LITERATURA ....................................................................................................................... 64

PREDGOVOR

Praktikum za predmet „Statistika”, koji se proučava na prvoj godini smera Veterinarska

medicina Poljoprivrednog fakulteta, Univerziteta u Novom Sadu obuhvata materiju koja je u

skladu sa aktuelnim akreditovanim programom za navedeni predmet i navedeni smer.

Praktikum se sastoji iz osam poglavlja, koja čine strukturnu i sadržajnu celinu:

• Prvo poglavlje - Formiranje distribucije frekvencija

• Drugo poglavlje - Pokazatelji centralne tendencije

• Treće poglavlje – Pokazatelji varijabiliteta

• Četvrto poglavlje – Pokazatelji oblika distribucije

• Peto poglavlje – Normalna raspodela

• Šesto poglavlje – Ocene na osnovu uzorka

• Sedmo poglavlje – Testiranje statističkih hipoteza

• Osmo poglavlje – Regresiona i korelaciona analiza

Svako poglavlje obuhvata jedan ili više radnih zadataka, kao i primere za vežbanje. Formule

u primerima date su samo kao radni obrasci.

Autori se nadaju da će ovaj praktikum olakšati studentima upotrebu osnovnih statističkih

metoda u rešavanju problema koji su u domenu poljoprivrednih i bioloških nauka, odnosno

konkretno problema iz oblasti veterinarske medicine. Ideja autora je da se studenti upoznaju

sa deskriptivnim metodama, kao i metodama analize rezultata ogleda.

Zahvaljujemo se svima koji su na direktan ili indirektan način pomogli izradu ove knjige, a

naročito recenzentima: prof. dr Otiliji Sedlak i Mr Emiliji Nikolić-Đorić na korisnim

sugestijama.

Novi Sad, AUTORI

2020. godine

1

FORMIRANJE DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA

Prekidno obeležje

Primer 1. Na osnovu broja svinja kod 24 poljoprivredna gazdinstva formirati neintervalnu i

intervalnu distribuciju frekvencija:

12 5 6 7 5 8 10 9 5 12 9 8

8 7 7 10 11 8 10 10 11 9 12 8

Uređena statistička serija:

5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12.

Neintervalna serija:

Broj svinja Broj

gazdinstava

5 3

6 1

7 3

8 5

9 3

10 4

11 2

12 3

Ukupno 24

Intervalna serija:

Broj svinja Broj gazdinstava

5-6 4

7-8 8

9-10 7

11-12 5

Ukupno 24

2

Neprekidno obeležje

Primer 2. Dnevna mlečnost (lit.) 20 ispitivanih krava je data u sledećoj seriji:

10,1 12,0 17,6 14,5 18,4 12,7 16,2 15,8 16,4 13,0

19,9 12,1 13,5 15,1 17,9 13,3 17,0 19,3 16,5 14,5

a) Formirati intervalnu distribuciju frekvencija (i=2); b) izračunati relativne frekvencije (strukturu); c) formirati kumulativnu distribuciju frekvencija d) formirati kumulaciju strukture e) podatke grafički predstaviti histogramom i poligonom

Dijagram stablo-list:

10 1

11

12 0 1 7

13 0 3 5

14 5 5

15 1 8

16 2 4 5

17 0 6 9

18 4

19 3 9

Radna tabela:

Dnevna

mlečnost

(Xi)

Broj

krava (fi)

Relativna frekvencija

(struktura)

Kumulativ Kumulativ

strukture

Ispod Iznad Ispod Iznad

10,0-11,9 1 1/20=0,05 5% 1 20 5% 100%

12,0-13,9 6 6/20=0,3 30% 7 19 35% 95%

14,0-15,9 4 4/20=0,2 20% 11 13 55% 65%

16,0-17,9 6 6/20=0,3 30% 17 9 85% 45%

18,0-19,9 3 3/20=0,15 15% 20 3 100% 15%

Ukupno 20 1,00 100%

3

Grafički prikaz (histogram i poligon):

Histogram:

Poligon:

0

1

2

3

4

5

6

7

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Bro

j kra

va

Dnevna mlečnost

4

Zadaci za vežbu:

1. Na osnovu podataka o broju teladi kod 30 poljoprivrednih gazdinstava formirati

neintervalnu distribuciju frekvencija i grafički je predstaviti primenom poligona:

7 8 10 8 11 10 10 12 5 10 8 7 11 11 6

8 10 7 11 5 10 10 11 12 8 12 11 9 8 5

2. Dužina butne kosti (cm) merena je kod 40 pasa. Dobijene su sledeće vrednosti:

17,6 14,1 13,9 13,1 16,8 14,7 13,2 15,7 13,5 15,4

14,3 13,9 13,2 13,6 15,3 13,2 16,6 14,7 18,1 18,4

15,6 15,5 15,4 14,7 17,6 14,4 19,8 13,6 14,7 14,7

13,9 17,8 18,2 13,8 13,1 13,5 13,6 14,9 14,7 14,1

Formirati dijagram stablo list i na osnovu njega intervalnu seriju distribucije frekvencija ako

je i=0,5. Utvrditi strukturu raspodele, kumulativ i kumulativ strukture. Dati komentar za

kumulativne vrednosti najfrekventnije vrednosti obeležja. Grafički predstaviti podatke

primenom histograma.

3. Dati su podaci o plućnoj ventilaciji (lit/min) 25 odraslih ovaca:

8,3 8,0 9,9 6,1 5,5

10,3 6,5 7,6 7,6 7,6

6,9 10,3 7,8 7,3 8,9

10,1 7,6 9,1 8,3 4,8

10,2 6,5 9,1 7,0 11,9

Formirati dijagram stablo list i intervalnu distribuciju frekvencija ako je dužina grupnog

interval 1,5 (lit/min). Podatke grafički predstaviti.

7

POKAZATELJI CENTRALNE TENDENCIJE

Pokazatelji centralne tendencije predstavljaju vrednosti koje kvantifikuju tendenciju podataka

u seriji prema njihovom “centru”, odnosno sredini.

U pokazatelje centralne tendencije ubrajaju se:

- Aritmetička sredina - Geometrijska sredina - Harmonijska sredina - Medijana - Modus - Kvantili

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina predstavlja izračunatu prosečnu vrednost posmatrane promenljive i

računa se kao količnik zbira vrednosti obeležja i ukupnog broja podataka. Razlikuje se

izračunavanje proste (za negrupisane podatke) i ponderisane (za grupisane podatke)

aritmetičke sredine.

Primer 1. Izračunati prosečnu vrednost dnevnog prirasta svinja (kg) na osnovu sledeće serije

podataka:

Prirast (kg) (Xi) 0,80 0,74 0,83 0,82 0,66 0,78

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

4,63

6= 0,77 (𝑘𝑔)

Primer 2. Utvrditi prosečanu dnevnu mlečnost (lit.) 20 ispitivanih krava na osnovu sledeće

serije podataka:

Dnevna mlečnost (lit.)

(Xi)

Broj krava

(fi)

𝑿𝒊𝒇𝒊

11 2 22

13 4 52

15 6 90

17 5 85

19 3 57

Ukupno 20 306

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑘𝑖=1

=306

20= 15,3 (𝑙𝑖𝑡)

8

Primer 3. Utvrditi prosečan broj teladi po radnoj organizaciji na osnovu sledeće serije

podataka:

Broj teladi Poljoprivredne radne

organizacije

𝑿𝒊 𝑿𝒊𝒇𝒊

30-39 3 35 105

40-49 4 45 180

50-59 4 55 220

60-69 6 65 390

70-79 3 75 225

80-89 3 85 255

90-99 2 95 190

Ukupno 1565

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=1565

25= 62,6

Medijana

Medijana je pozicioni pokazatelj centralne tendencije i predstavlja vrednost obeležja koja

uređenu statističku seriju deli na dva jednaka dela. Za neintervalne statističke serije potrebno

je prethodno utvrditi da li je ukupan broj podataka paran ili neparan broj. Kod intervalnih

serija koristi se korigovana formula.

Primer 1. Utvrditi medijalnu vrednost za sledeće serije podataka:

Xi 1230 1320 1200 1500 1600

Uređena serija 1200 1230 1320 1500 1600

𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+12

= 𝑋5+12

= 𝑋3 = 1320

Xi 2110 1900 2170 1980 2100 2000

Uređena serija 1900 1980 2000 2100 2110 2170

𝑀𝑒 =𝑋𝑛

2+ 𝑋𝑛

2+1

2=

𝑋62

+ 𝑋62+1

2=

𝑋3 + 𝑋4

2=

2000 + 2100

2= 2050

9

Primer 2. Utvrditi medijalnu vrednost za sledeću seriju:

Masa jagnjadi (Xi) Broj jagnjadi (fi) Kumulativ

3,9 8 8

4,2 12 20

4,3 20 40

4,5 15 55

4,6 5 60

Ukupno 60

𝑀𝑒 =𝑋𝑛

2+𝑋𝑛

2+1

2=

𝑋602

+𝑋602

+1

2 =

𝑋30+𝑋31

2=

4,3+4,3

2= 4,3

Primer 3. Utvrditi medijalnu vrednost (primenom korigovane formule) za sledeću seriju:

Dužina trupa

(Xi)

Broj goveda

(fi)

Kumulativ

148,1-152 10 10

152,1-156 19 29

156,1-160 23 52

160,1-164 34 86

164,1-168 34 120

168,1-172 28 148

172,1-176 13 161

176,1-180 3 164

Ukupno 164

𝑀𝑒 = 𝐿 + (𝑛

2−𝐹𝑀𝑒−1

𝑓𝑀𝑒) × 𝑖 = 160 + (

164

2−52

34) ∙ 4 = 163,53

10

Modus

Modus je najučestalija vrednost obeležja u statističkoj seriji. Prema broju modusa statističke

serije mogu biti unimodalne, bimodalne ili mogu imati tri modusa.

Primer 1. Utvrditi modus za sledeću seriju podataka:

Xi 75 45 50 70 55 65 60 65 70

Uređena serija 45 50 55 60 65 65 70 70 75

𝑀𝑂1 = 65

𝑀𝑂2 = 70

Primer 2. Utvrditi najčešći broj larvi skočibuba po 1 m2 na posmatranom lokalitetu:

Prosečan broj larvi po 1 m2 (Xi) Broj parcela (fi)

4,5 10

7,5 24

10,5 36

13,5 90

𝑀𝑂 = 13,5 𝑙𝑎𝑟𝑣𝑖 𝑝𝑜 1 m2

Primer 3. Utvrditi modus (primenom korigovane formule) za sledeću seriju podataka:

Prinos kukuruza (t/ha) Površina (ha)

4,01-5,00 3

5,01-6,00 3

6,01-7,00 4

7,01-8,00 5

8,01-9,00 6

9,01-10,00 3

∑ 24

𝑀𝑂 = 𝐿 + (𝑑1

𝑑1 + 𝑑2) × 𝑖 = 8 + (

1

1 + 3) ∙ 1 = 8,25

𝑑1 =6-5=1 𝑑2 =6-3=3

11

Zadaci za vežbu:

1. Odrediti aritmetičku sredinu, modus i medijanu za sledeće vrednosti numeričkog obeležja:

2 3 4 13 1 6 6 7 6 8 11

2. Na osnovu podataka uzorka na jednoj farmi koja ima 250 krmača utvrditi aritmetičku

sredinu, modus i medijanu.

Broj prasadi Broj krmača

5 1

6 0

7 2

8 3

9 3

10 10

11 8

12 5

13 3

14 2

3. Za podatke koji se odnose na masu teladi (kg) na jednoj farmi izračunati aritmetičku

sredinu, modus i medijanu.

Masa teladi (kg) Broj teladi

60,1-70,0 2

70,1-80,0 6

80,1-90,0 11

90,1-100,0 17

100,1-110,0 26

110,1-120,0 19

120,1-130,0 12

130,1-140,0 6

140,1-150,0 1

14

POKAZATELJI VARIJABILITETA

Pokazatelji varijabiliteta predstavljaju meru disperzije vrednosti obeležja u okviru jedne

statističke serije. Razlikuju se apsolutni i relativni pokazatelji varijabiliteta.

Apsolutni pokazatelji varijabiliteta su:

- Interval varijacije - Srednje apsolutno odstupanje - Standardna devijacija - Varijansa

Relativni pokazatelji varijabiliteta su:

- Koeficijent varijacije - Standardizovano (normalizovano) odstupanje

Interval varijacije

Interval varijacije predstavlja razliku između ekstremnih vrednosti obeležja u nekoj

statističkoj seriji.

Primer 1. Na osnovu podataka iz uzorka ustanovljene su sledeće težine proizvoda (kg):

Težina proizvoda (kg) (Xi) 4,8 4,9 5,9 5,2 4,9 5,0 5,4 5,3 5,1

Uređena serija 4,8 4,9 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,9

𝐼 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 = 5,9 − 4,8 = 1,1(𝑘𝑔 )

Srednje apsolutno odstupanje

Srednje apsolutno odstupanje predstavlja količnik zbira apsolutnih vrednosti odstupanja

pojedinačnih vrednosti obeležja od njihovog proseka i ukupnog broja podataka. Izražava se u

jedinicama mere obeležja.

Primer 2. Izračunati srednje aposlutno odstupanje za seriju podataka koja se odnosi na

dužinu polutki svinja (cm):

Dužina polutki (cm) (Xi) 𝑿𝒊 − �̅� |𝑿𝒊 − �̅�| 80 -19,14 19,14

89 -10,14 10,14

93 -6,14 6,14

100 0,86 0,86

105 5,86 5,86

112 12,86 12,86

115 15,86 15,86

∑ 70,86

15

𝑆𝑂 =∑ |𝑋𝑖 − �̅�|

𝑛𝑖=1

𝑛=

70,86

7= 10,12 (𝑐𝑚)

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑛=

694

7= 99,14(𝑐𝑚)

Primer 3. Izračunati srednje apsolutno odstupanje za sledeću seriju podataka koja se odnosi

na mlečnost krava:

Mlečnost po kravi

(lit.) (Xi)

Broj krava

(fi)

𝑿𝒊𝒇𝒊 |𝑋𝑖 − �̅�| 𝑓𝑖|𝑋𝑖 − �̅�|

8 40 320 4,43 177,2

10 8 80 2,43 19,44

12 25 300 0,43 10,75

16 5 80 3,57 17,85

20 25 500 7,57 189,25

∑ 1280 414,49

𝑆𝑂 =∑ 𝑓𝑖|𝑋𝑖−�̅�|

𝑘𝑖=1


=414,49

103= 4,02 (𝑙𝑖𝑡)

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=1280

103= 12,43(𝑙𝑖𝑡)

16

Standardna devijacija i varijansa

Standardna devijacija je kvadratni koren iz sredine kvadrata odstupanja vrednosti obeležja od

aritmetičke sredine. Vrednost standardne devijacije pokazuje koliko su udaljene grupisane

vrednosti obeležja od aritmetičke sredine. Izražava se u jedinicama mere obeležja.

Primer 4. Izračunati standardnu devijaciju za sledeću seriju podatka koja se odnosi na masu

prasića (kg):

Masa prasića (kg)

(Xi) (𝑋𝑖 − �̅�) (𝑋𝑖 − �̅�)

2 𝑋𝑖

2

19 -4,29 18,36734694 361

20 -3,29 10,79591837 400

22 -1,29 1,653061224 484

23 -0,29 0,081632653 529

25 1,71 2,93877551 625

26 2,71 7,367346939 676

28 4,71 22,2244898 784

163 63,43 3859

I način: 𝜎 = √∑ (𝑋𝑖−�̅�)

2𝑛𝑖=1

𝑛= √

63,43

7= 3,01(𝑘𝑔)

II način: 𝜎 =√∑ 𝑋𝑖

2− (∑ 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 )

2

𝑛𝑛𝑖=1

𝑛= √

3859− (163²

7)

7= 3,01(𝑘𝑔)

Primer 5. Izračunati standardnu devijaciju za sledeću seriju podataka koja se odnosi na

potrošnju mleka:

Potrošnja

mleka (lit.)

(Xi)

Broj

domaćinstava

(fi)

𝑿𝒊 𝑿𝒊𝒇𝒊 (𝑿𝒊 − �̅�) 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)𝟐 𝑿𝒊

𝟐𝒇𝒊

12,0-19,9 12 16 192 -18,32 4027,469 3072

20,0-27,9 23 24 552 -10,32 2449,555 13248

28,0-35,9 85 32 2720 -2,32 457,504 87040

36,0-43,9 55 40 2200 5,68 1774,432 88000

44,0-51,9 25 48 1200 13,68 4678,56 57600

∑ 200 6864 13387,52 248960

17

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=6864

200= 34,32

I način: 𝜎 = √∑ 𝑓𝑖(𝑋𝑖−�̅�)

2𝑘𝑖=1


= √13387,52

200= 8,18 (𝑙𝑖𝑡)

II način: 𝜎 =√

∑ 𝑋𝑖2𝑓𝑖−

(∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖𝑘𝑖=1 )

2


𝑘𝑖=1


= √248960−(

6864²

200)

200= 8,18 (𝑙𝑖𝑡)

Koeficijent varijacije

Koeficijent varijacije je relativni pokazatelj varijabiliteta koji svoju primenu pronalazi

prilikom poređenja varijabiliteta pojava koje su izražene u različitim jedinicama mere.

Izražava se u procentima

Primer 6. U jednom prasilištu prosečan broj prasadi po leglu je 12 komada sa standardnom

devijacijom 2 komada. Prosečna telesna masa prasadi iznosi 8 kg dok je varijansa 2,56 kg2.

Uporediti varijabilitet telesne mase i broja prasadi.

𝑉1 =𝜎1

�̅�1× 100 (%) =

2

12× 100 (%) = 16,67%

𝑉2 =𝜎2

�̅�2× 100 (%) =

√2,56

8× 100 (%) = 20%

V2 > V1 – varijabilitet telesne mase je veći od varijabiliteta broja

prasadi.

18

Standardizovano (normalizovano) odstupanje

Standardizovano odstupanje je mera udaljenosti pojedinih vrednosti obeležja od aritmetičke

sredine iskazana u odnosu na standardnu devijaciju. Standardizovano odstupanje je takođe

relativni pokazatelj disperzije obeležja i nema jedinicu mere.

Primer 7. Utvrditi standardizovano odstupanje najučestalije vrednosti obeležja za seriju

podataka koja se odnosi na dnevnu mlečnost (lit.) 20 ispitivanih krava.

Dnevna

mlečnost

(lit.) (Xi)

Broj krava

(fi)

𝑿𝒊 𝑿𝒊𝒇𝒊 𝑿𝒊𝟐𝒇𝒊 (𝑿𝒊 − �̅�)

10,1-12,0 2 11 22 242 -4,3

12,1-14,0 4 13 52 676 -2,3

14,1-16,0 6 15 90 1350 -0,3

16,1-18,0 5 17 85 1445 1,7

18,1-20,0 3 19 57 1083 3,7

∑ 20 306 4796

Najučestalija vrednost obeležja (modus) je 15.

𝑍𝑖 =𝑋𝑖 − �̅�

𝜎=

15 − 15,3

2,39= −0,13

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=306

20= 15,3

𝜎 =√

∑ 𝑋𝑖2𝑓𝑖 −

(∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖𝑘𝑖=1 )

2


𝑘𝑖=1


=√4796 − (

306²20

)

20= 2,39

19

Zadaci za vežbu:

1. Dati su podaci koji se odnose na prirast pilića starosti 3 nedelje.

Prirast (g)

392

402

385

440

415

397

400

Izračunati apsolutne pokazatelje varijabiliteta.

2. Dati su podaci koji se odnose na sadržaj glikoze u prednjoj komori oka i koncentraciji u

serumu krvi 30 zdravih pasa:

Koncentracija glikoze (%) Broj pasa

70-79 8

80-89 15

90-99 4

100-109 3

Izračunati apsolutne pokazatelje varijabiliteta i standardizovano odstupanje za vrednost

obeležja X=100.

3. Date su vrednosti numeričkog obeležja X: 10, 30, 50, 70, 90. Varijansa datog obeležja je

𝜎𝑥2 = 800 . Uporediti varijabilitet obeležja X i obeležja Y=2X+3.

4. Uporediti varijabilnost 2 serije podataka ukoliko su njihove vrednosti sledeće:

�̅�1 = 70 (𝑐𝑚); 𝜎12 = 25 (𝑐𝑚)2; �̅�2 = 35 (𝑔); 𝜎2 = 4 (𝑔).

21

POKAZATELJI OBLIKA DISTRIBUCIJE

Pokazatelji oblika distribucije sagledavaju dve karakteristike, asimetričnost i spljoštenost.

Najčešće korišćeni pokazatelji ovih karakteristika distribucije su:

- Mera asimetričnosti – I Pirsonov koeficijent (𝛽1) - Mera spljoštenosti – II Pirsonov koeficijent 𝛽2).

Za izračunavanje ovih koeficijenata potrebno je prvo da se izračunaju centralni momenti. Pod

centralnim momentom k-tog reda – podrazumeva se sredina sume odstupanja vrednosti

obeležja od aritmetičke sredine stepenovana na k-ti stepen.

Primer 1. Na osnovu podataka o broju tovne junadi (000 komada) na jednoj teritoriji utvrditi

pokazatelje oblika distribucije i dati odgovarajući komentar.

Broj junadi

(Xi) (𝑿𝒊 − �̅�) (𝑿𝒊 − �̅�)

𝟐 (𝑿𝒊 − �̅�)𝟑 (𝑿𝒊 − �̅�)

𝟒

3 -7 49 -343 2401

5 -5 25 -125 625

7 -3 9 -27 81

10 0 0 0 0

15 5 25 125 625

20 10 100 1000 10000

∑ 60 208 630 13732

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

60

6= 10

𝛽1 =𝜇3

2

𝜇23 =

105²

34,67³= 0,264

𝛽2 =𝜇4

𝜇22 =

2288,67

34,67²= 1,904

𝜇2 =∑ (𝑿𝒊 − �̅�)

𝟐𝑛𝑖=1

𝑛=

208

6= 34,67

𝜇3 =∑ (𝑿𝒊 − �̅�)

𝟑𝑛𝑖=1

𝑛=

630

6= 105

22

𝜇4 =∑ (𝑿𝒊 − �̅�)

𝟒𝑛𝑖=1

𝑛=

13732

6= 2288,67

Serija je pozitivno asimterična i spljoštenija u odnosu na normalnu distribuciju.

Primer 2. Utvrditi oblik raspodele podataka koji se odnose na mesečnu potrošnju svinjskog

mesa u 100 slučajno odabranih gazdinstava na teritoriji Grada Novog Sada.

Potrošnja

mesa

(Xi)

Broj

domaćinstava

(fi)

(𝑿𝒊 − �̅�) (𝑿𝒊 − �̅�)𝟐 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)

𝟐 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)𝟑 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)

𝟒

2,2 10 -0,66 0,4356 4,356 -2,875 189,74736

2,8 15 -0,06 0,0036 0,054 -0,0032 0,0001944

3,0 40 0,14 0,0196 0,784 0,10976 24,58624

3,3 20 0,44 0,1936 3,872 1,70368 0,7496192

3,8 10 0,94 0,8836 8,836 8,30584 780,74896

4,0 5 1,14 1,2996 6,498 7,40772 8,4448008

∑ 100 24,4 14,65 1004,28

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=286

100= 2,86

𝛽1 =𝜇3

2

𝜇23 =

0,1465²

0,244³= 1,477

𝛽2 =𝜇4

𝜇22 =

10,0428

0,244²= 168,84

𝜇2 =∑ 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)

𝟐𝑘𝑖=1


=24,4

100= 0,244

𝜇3 =∑ 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)

𝟑𝑘𝑖=1


=14,65

100= 0,1465

23

𝜇4 =∑ 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − �̅�)

𝟒𝑘𝑖=1


=1004,28

100= 10,0428

Serija je pozitivno asimetrična i izduženija u odnosu na normalnu raspodelu.

Primer 3. Za datu seriju podataka utvrditi aritmetičku sredinu, modus i medijanu, a zatim na

osnovu izračunatih pokazatelja centralne tendencije opisati oblik date raspodele.

Masa jagnjadi (kg)

(Xi)

Broj jagnjadi

(fi)

𝑿𝒊𝒇𝒊 Kumulativ

3,9 8 31,2 8

4,2 12 50,4 20

4,3 20 86 40

4,5 15 67,5 55

4,6 5 23 60

∑ 60 258,1

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=258,1

60= 4,302(𝑘𝑔)

𝑀𝑂 = 4,3 (𝑘𝑔)

𝑀𝑒 = 4,3(𝑘𝑔)

�̅� = 𝑀𝑂 = 𝑀𝑒 Serija je simetrična.

24

Zadaci za vežbu:

1. Na osnovu podataka o distribuciji nove smeše za ishranu koka nosilja po maloprodajnim

objektima, dobijeni su sledeći rezultati: 𝜎2 = 12,25, 𝜇3 = −5,27 i 𝜇4 = 291,7. Ispitati asimetriju i oblik ove empirijske distribucije frekvencija?

2. Na osnovu N=100 vrednosti obeležja formirana je intervalna serija distribucije frekvencija

i izračunate su sledeće sume:

∑ 𝑓(𝑥 − �̅�)2 = 688, ∑ 𝑓(𝑥 − �̅�)3 = −144, ∑ 𝑓(𝑥 − �̅�)4 = 12544. Izračunati vrednosti prvog i drugog Pirsonovog koeficijenta i uporediti ih sa vrednostima

normalne raspodele.

3. Na osnovu datih podataka koji se odnose na mesečnu potrošnju mesa po domaćinstvu

izračunati pokazatelje centralne tendencije i preko njih ispitati oblik date raspodele.

Mesečna potrošnja (kg) Broj domaćinstava

2,2 10

2,8 40

3,0 15

3,3 20

3,8 10

4,0 5

27

NORMALNA RASPODELA

Normalna raspodela je najvažniji model teorijske distribucije verovatnoće. Značaj ovog

oblika distribucije u statističkoj teoriji i statističkim istraživanjima se ogleda u tome što se

mnoge empirijske pojave modeliraju normalnom distribucijom. Parametarska statistika je

zasnovana na pretpostavci da osnovni skup kome pripada uzorak ima normalnu distribuciju.

Primena Normalne raspodele:

1. 𝑃 (−𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎) = 2𝛷(𝑎)

Primer1. Utvrditi verovatnoću da će se slučajno promenljiva X naći u intervalu od -1 do 1 ako važi

da je aritmetička sredina 0 (μ=0) i varijansa 1 (σ2=1).

Tražena verovatnoća se može zapisati:

𝑃 (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1) = 2𝛷(1)

Da bi se izračunala odgovarajuća verovatnoća, neophodno je utvrditi osenčenu površinu ispod krive.

Kako se iz tablica Normalne raspodele raspolaže sa ukupnom površinom jedne polovine ispod krive,

neophodno je najpre izračunati 𝛷(1) što iznosi 0,3413. S obzirom na to da su leva i desna strana

površine ispod krive jednake, konačno rešenje glasi: 2𝛷(1) = 0,6826.

28

2. 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝛷(𝑏) − 𝛷(𝑎)

Primer 2. Utvrditi verovatnoću da će se slučajno promenljiva X naći u intervalu od 0,5 do 1,5, ako

važi da je aritmetička sredina 0 (μ=0) i varijansa 1 (σ2=1).


𝑃 (0,5 ≤ 𝑥 ≤ 1,5) = 𝛷(1,5) − 𝛷(0,5)

Kako se na osnovu vrednosti iz tablice Normalne raspodele može utvrditi površina odsečaka samo za

jednu polovinu površine ispod krive, potrebno je najpre utvrditi 𝛷(1,5) = 0,4332 a zatim od te

površine oduzeti 𝛷(0,5) = 0,1915. Tražena verovatnoća glasi:

𝑃 (0,5 ≤ 𝑥 ≤ 1,5) = 0,2417

29

3. 𝑃 (−𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎) = 𝛷(𝑎) + 𝛷(𝑏)

Primer 3. Utvrditi verovatnoću da će se slučajno promenljiva X naći u intervalu od -1,2 do 0,7, ako

važi da je aritmetička sredina 0 (μ=0) i varijansa 1 (σ2=1).


𝑃 (−1,2 ≤ 𝑥 ≤ 0,7) = 𝛷(−1,2) + 𝛷(0,7)

Do tražene površine će se doći tako što se prvobitno utvrditi 𝛷(−1,2) (ili može se reći i 𝛷(1,2) jer su

leva i desna strana površine ispod krive jednake) što iznosi 0,3849. Zatim se utvrdi 𝛷(0,7) što iznosi

0,2580. Tražena verovatnoća glasi:

𝑃 (−1,2 ≤ 𝑥 ≤ 0,7) = 𝛷(−1,2) + 𝛷(0,7) = 0,3849 + 0,2580 = 0,6429

30

4. 𝑃(−𝑏 ≤ 𝑥 ≤ −𝑎) = 𝛷(−𝑏) − 𝛷(−𝑎) = 𝛷(𝑏) − 𝛷(𝑎)

Primer 4. Utvrditi verovatnoću da će se slučajno promenljiva X naći u intervalu od -2,3 do -1,2,

ako važi da je aritmetička sredina 0 (μ=0) i varijansa 1 (σ2=1).

Tražena verovatnoća je:

𝑃(−2,3 ≤ 𝑥 ≤ −1,2) = 𝛷(−2,3) − 𝛷(−1,2) = 𝛷(2,3) − 𝛷(1,2)

Da bi se utvrdila tražena verovatnoća pristup je isti kao u primeru 2, samo što se inicijalne

vrednosti nalaze na levoj strani X ose. Konačno rešenje glasi:

𝑃(−2,3 ≤ 𝑥 ≤ −1,2) = 𝛷(−2,3) − 𝛷(−1,2) = 𝛷(2,3) − 𝛷(1,2) == 0,4893 − 0,3849

= 0,1044

31

Primer 5. Kod 250 junadi prosečan dnevni prirast iznosi 0.8 kg sa varijansom 0.0625kg2.

a) Izračunati verovatnoću da je prosečan dnevni prirast junadi 0.6-0.8kg. b) Izračunati očekivan broj junadi sa prosečnim dnevnim prirastom 0.6-0.8kg.

Ukupan broj podataka iznosi 250 (N=250), aritmetička sredina 0,8kg a varijansa 0,0625 kg2. Kako je

prekršen uslov da je aritmetička sredina 1 a varijansa 0, neophodno je izvršiti transformaciju obeležja

primenom sledećeg obrasca: 𝑋−𝜇

𝜎 .

X1=0,6

X2=0,8

μ=0,8

σ2=0,0625=𝜎 = √𝜎2 = √0,0625 = 0,25

a)

𝑃 (0,6 ≤ 𝑥 ≤ 0,8) = 𝑃 (0,6−0,8

0,25≤ 𝑥 ≤

0,8−0,8

0,25) = 𝑃(−0,8 ≤ 𝑥 ≤ 0) = 𝛷(−0,8) = 𝛷(0,8) =

0,2881

Dakle, verovatnoća da će se prosečan dnevni prirast kretati u interval od 0,6 do 0,8 kg iznosi 0,2881.

b)

Da bi utvrdili očekivani broj prasadi sa prethodno utvrđenim prirastom neophodno je izračunatu

verovatnoću pomnožiti sa ukupnim broj junadi:

Fi = Pi*N=0,2881*250 = 72,025 ≈ 72

32

Zadaci za vežbu:

1. Slučajno promenljiva Z ima normalnu raspodelu sa parametrima μ=0 i σ=1. Odrediti a

ukuliko osenčena površina zauzima 97% površine ispod krive.

a

2. Odrediti vrednost z za standardizovanu normalnu krivu tako da je površina na levom kraju

raspodele 0,04.

3. Odrediti verdnost z za standardizovanu normalnu krivu gde verovatnoća da se vrednost

slučajne promenljive X nalazi između –z i z iznosi 0,5.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f

-z

0.5

0 z

33

4. Pretpostavljajući da je sadržaj gvožđa u serumu psa slučajna promenljiva koja ima

normalnu raspodelu sa parametrima μ = 25(μmol/l) i varijansom σ2 = 4(μmol/l).

a) Izračunati verovatnoću da je sadržaj gvožđa u serumu psa 21-29 (μmol/l).

b) Izračunati verovatnoću da je sadržaj gvožđa u serumu 19-31 (μmol/l).

34

OCENE NA OSNOVU UZORKA

U praktičnom radu, u svrhu donošenja zaključaka o karakteristikama osnovnog skupa, uzima

se jedan ili više prostih slučajnih uzoraka dovoljne veličine na osnovu kojeg se ocenjuju,

odnosno procenjuju nepoznati parametri osnovnog skupa.

U slučaju da je poznata veličina osnovnog skupa moguće je izračunati i total osnovnog

skupa.

Interval poverenja za ocenu nepoznate sredine osnovnog skupa

Intervali poverenja za ocenu nepoznate aritmetičke sredine osnovnog skupa na osnovu

uzorka se razlikuju prema tome da li je poznat varijavilitet osnovnog skupa ili nije.

Poznat varijabilitet osnovnog skupa

Ukoliko je poznat varijabilitet osnovnog skupa u intervalu poverenja figuriraju tačkasta

ocena aritmetičke sredine iz uzorka (�̅�), prava standardna greška aritmetičke sredine (𝜎�̅�) i kritične vrednosti iz tablice Normalne raspodele (𝑍𝛼).

Primer 1. U rejonu od 10.000 domaćinstava izabran je uzorak čiji su rezultati dati sledećim

vrednostima:

Mesečna potrošnja

goveđeg mesa (kg)

(𝑿𝒊)

Broj domaćinstava

(𝒇𝒊) 𝑿𝒊𝒇𝒊

1 10 10

1,6 15 24

1,8 40 72

2,1 20 42

2,6 10 26

2,8 5 14

Ukupno 100 188

Oceniti prosečnu mesečnu i ukupnu potrošnju goveđeg mesa sa pouzdanošću od 95 procenata

ako je od ranije poznat varijabilitet osnovnog skupa 𝜎2 = 3,4 kg2.

�̅� − 𝑍𝛼 ∙ 𝜎𝑥 < 𝜇 < �̅� − 𝑍𝛼 ∙ 𝜎𝑥

1,88-1,96*0,1834

35

𝜎𝑥 =𝜎

√𝑛√

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1=

1,843

√100√

10000 − 100

10000 − 1= 0,1834

Nije poznat varijabilitet osnovnog skupa

S druge strane, ukoliko varijabilitet osnovnog skupa nije poznat, pored tačkaste ocene

aritmetičke sredine iz uzorka u intervalu poverenja figuriraju još i ocenjena standardna

greška aritemtičke sredine (𝑆�̅�), kao i kritične vrednosti iz tablice Normalne raspodele (za velike uzorke) odnosno kritične vrednosti iz tablice Studentove raspodele (za male uzorke)

(𝑡𝛼;𝑛−1).

Primer 1. Na osnovu podataka o mlečnosti 57 istočno-frizijskih krava na jednoj farmi u toku

305 dana laktacije oceniti prosečnu količinu dobijenog mleka po kravi za posmatrani period.

Formirati 95% i 99% interval poverenja.

Količina mleka (lit.)

(𝑿𝒊) Broj krava

(𝒇𝒊) 𝑿𝒊𝒇𝒊 𝑿𝒊

𝟐𝒇𝒊

3.600 3 10800 38880000

3.800 4 15200 57760000

4.000 7 28000 112000000

4.200 10 42000 176400000

4.400 15 66000 290400000

4.600 9 41400 190440000

4.800 4 19200 92160000

5.000 3 15000 75000000

5.200 2 10400 54080000

Σ 57 248000 1087120000

�̅� − 𝑍𝛼 ∙ 𝑆𝑥 < 𝜇 < �̅� − 𝑍𝛼 ∙ 𝑆𝑥

95% 4350,877-1,96*50,382

36

𝑆𝑥 =√∑ 𝑋²𝑖𝑓𝑖 −

(∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖𝑘𝑖 )²

𝑛𝑘𝑖

𝑛(𝑛 − 1) = √

1087120000 −(248000)²

5757(57 − 1)

= 50,382

Primer 2. Primenom prostog slučajnog uzorka bez ponavljanja odabrano je 5 od 200 pilića

koji su hranjeni određenim koncentratom. Prirast pilića u periodu od 3 nedelje je dat u tabeli.

Odrediti 95% i 99% interval poverenja za prosečan i ukupan prirast.

Prirast (g)

(𝑿𝒊) 𝑿𝒊

𝟐

391 152881

401 160801

405 164025

418 174724

432 186624

2047 839055

�̅� − 𝑍𝛼 ∙ 𝑆𝑥 < 𝜇 < �̅� − 𝑍𝛼 ∙ 𝑆𝑥

95% 409,4-1,96*7,028

37

Interval poverenja za ocenu nepoznate proporcije osnovnog skupa

Primer 1. Dati su podaci o potrošnji svinjskog mesa. Sa pouzdanošću od 95 i 99% oceniti

proporciju domaćinstava sa potrošnjom manjom od 2,5 kg. Sa istom pouzdanošću oceniti

ukupan broj domaćinstava sa potrošnjom manjom od 2,5 kg. ukoliko je poznato da je broj

domaćinstava u osnovnom skupu 1.000.

Mesečna potrošnja

(𝑿𝒊) Broj domaćinstava

(𝒇𝒊) 2,2 10

2,8 15

3,0 40

3,3 20

3,8 10

4,0 5

Ukupno 100

�̂� =𝑎

𝑛=

10

100= 0,1

𝑆𝑝 = √�̂��̂�

𝑛= √

0,1 ∗ 0,9

100= 0.03

95% �̂� − 𝑍𝛼∙𝑆�̂� < 𝑝 < �̂� − 𝑍𝛼∙𝑆𝑝

0,1-1,96*0,03

38

Zadaci za vežbu:

1. Date su vrednosti prekidnog numeričkog obeležja koje se odnose na uzorak veličine n=20:

87 109 79 80 96 95 90 92 96 98

101 91 78 112 94 98 94 107 81 96

Ako je poznat varijabilitet osnovnog skupa 𝜎 = 4,4, odrediti granice 98% interval poverenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa.

2. Iz osnovnog skupa od 1000 gazdinstava izabran je uzorak radi ispitivanja broja tovnih

svinja. Odrediti 95% i 99% interval poverenja za prosečan i ukupan broj svinja u osnovnom

skupu, ako je poznato da je primenjen prost slučajan uzorak bez ponavljanja.

Broj tovnih svinja (𝑿𝒊) 0 1 2 3 4 5 8 Broj gazdinstava (𝒇𝒊) 4 5 11 37 30 10 3

3. Metodom slučajnog izbora na teritoriji jedne opštine izabran je prost slučajan uzorak od 25

parcela od po jednog hektara zasejanih kukuruzom na kojima su dobijeni sledeći prinosi

(t/ha):

Prinos (t/ha)(𝑿𝒊) 2,51-3,50 3,51-4,50 4,51-5,50 5,51-6,50 Broj parcela (𝒇𝒊) 3 10 8 4

Odrediti granice 95% i 99% interval poverenja u kojima se može očekivati da se nalazi

prosečan prinos po hektaru u celoj opštini.

4. U uzorku od 100 pasa koji su dobili prvu vakcinu obolelo je 7 pasa. Odrediti 95% i 99%

interval poverenja za proporciju obolelih pasa. Koliki se broj obolelih pasa može očekivati

ako je poznato da osnovni skup broji 500 pasa

40

TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA

Pod hipotezom se podrazumeva naučna pretpostavka zasnovana na poznatim činjenicama

radi izvođenja nekog zaključka. Predmet statističkog testiranja mogu biti različiti parametri, a

najčešće su to aritmetička sredina i proporcija.

Testovi aritmetičkih sredina

Postoje sledeći osnovni testovi za testiranja aritmetičkih sredina:

1. Upoređivanje aritmetičke sredine uzorka sa aritmetičkom sredinom osnovnog skupa ili sa

nekom hipotetičkom vrednošću – test značajnosti jedne sredine;

2. Upoređivanje dve aritmetičke sredine iz dva nezavisna uzorka – test značajnosti razlike

dve sredine;

3. Upoređivanje više od dve sredine iz više od dva uzorka – metod analize varijanse.

1. Test značajnosti jedne sredine

Primer 1. Rezultati uzorka, n=70, pokazali su da je prosečan prirast prasića starosti do 6

nedelja 395 g/dan. Od ranije je poznato da je prosečan prirast prasića starosti do 6 nedelja

430 g/dan sa standardnom devijacijom 30 g/dan. Da li je postignuti prirast na nivou

očekivanog?

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0

𝑍 =�̅� − 𝜇

𝜎�̅�=

395 − 430

3,586= −9,76 ∗∗

𝜎�̅� =𝜎

√𝑛=

30

√70= 3,586

|𝑍| = 9,76 > 𝑍0,05 = 1,96 → 𝐻1

|𝑍| = 9,76 > 𝑍0,01 = 2,58 → 𝐻1

41

Primer 2. Dati su podaci o prosečnom utrošku hrane 25 pilića starosti od dva meseca

izabranih primenom prostog slučajnog uzorka bez ponavljanja od ukupnog broja od 500

pilića koliko ih ima na farmi:

Utrošak hrane po piletu (g) 196 198 200 202

Broj pilića 3 10 7 5

Da li može da se prihvati nulta hipoteza da je prosečan utrošak hrane u osnovnom skupu

μ=199(g)?

Utrošak hrane po

piletu (g)

Broj pilića 𝑿𝒊𝒇𝒊 𝑿𝒊𝟐𝒇𝒊

196 3 588 115248

198 10 1980 392040

200 7 1400 280000

202 5 1010 204020

25 4978 991308

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0

𝑡 =�̅� − 𝜇

𝑆𝑋=

199,12 − 199

0,3746= 0,3203

�̅� =∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑘𝑖=1


=4978

25= 199,12

𝑆𝑥 =√∑ 𝑋²𝑖𝑓𝑖 −

(∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖𝑘𝑖 )²

𝑛𝑘𝑖

𝑛(𝑛 − 1)∙

𝑁 − 𝑛

𝑁= √

991308 −(4978)²

2525(25 − 1)

∙500 − 25

500= 0.3746

𝑡 = 0,3203 < 𝑡(24)0.05 = 2,064 → 𝐻𝑜

𝑡 = 0,3203 < 𝑡(24)0.01 = 2,797 → 𝐻𝑜

42

2. Test značajnosti razlike dve sredine

Primer 1. Na osnovu ogleda u kome se ispituje razlika u prirastu (g) dve grupe životinja kod

kojih su primenjena dva načina ishrane A i B dobijeni su rezultati koji se odnose na veličine

prostih slučajnih nezavisnih uzoraka, aritmetičke sredine i standardne devijacije osnovnih

skupova koje su od ranije poznate. Testirati nultu hipotezu da je prosečan prirast kod obe

grupe isti nezavisno od primenjennog načina ishrane.

Ishrana A Ishrana B

n1=15 n2=12

�̅�1 = 68,4 �̅�2 = 83,42 𝜎1 = 16,47 𝜎2 = 17,63

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2

𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2

𝑍 =�̅�1 − �̅�2𝜎(�̅�1−�̅�2)

=68,4 − 83,42

4,643= −3,235 ∗∗

𝜎(�̅�1−�̅�2) = √𝜎1

2 + 𝜎22

𝑛1 + 𝑛2= √

16,472 + 17,63²

15 + 12= 4,643

|𝑍| = 3,235 > 𝑍0,05 = 1,96 → 𝐻1

|𝑍| = 3,235 > 𝑍0,01 = 2,58 → 𝐻1

43

Primer 2. Pri ispitivanju uticaja dve vrste hraniva u ishrani junadi postavljen je ogled sa dve

grupe od po deset grla. Rezultati eksperimenta se odnose na prosečan dnevni prirast junadi

(kg) što je predstavljeno u sledećoj tabeli:

Uzorak 1 Uzorak 2 𝑿𝟏𝟐 𝑿𝟐

𝟐

1,40 1,31 1,96 1,7161

1,38 1,30 1,9044 1,69

1,41 1,33 1,9881 1,7689

1,35 1,37 1,8225 1,8769

1,42 1,39 2,0164 1,9321

1,37 1,36 1,8769 1,8496

1,42 1,35 2,0164 1,8225

1,40 1,32 1,96 1,7424

1,43 1,31 2,0449 1,7161

1,45 1,35 2,1025 1,8225

14,03 13,39 19,6921 17,9371

Testirati hipotezu o jednakosti sredina dva nezavisna uzorka.

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2

𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2

𝑡 =�̅�1 − �̅�2𝑆(�̅�1−�̅�2)

=1,403 − 1,339

0,0126= 5,709 ∗∗

�̅�1 =∑ 𝑋1

𝑛1=

14,03

10= 1,403

�̅�2 =∑ 𝑋2

𝑛2=

13,39

10= 1,339

𝑆(�̅�1−�̅�2) =√

2 ∙ 𝑆1+22

𝑛= √

2 ∙ 0,000795

10= 0,0126

𝑆1+22 =

∑ 𝑋12

𝑖−

(∑ 𝑋1𝑖)2

𝑛1+ ∑ 𝑋2

2

𝑖−

(∑ 𝑋2𝑖)2

𝑛2𝑛1 + 𝑛2

=19,6921 −

14,032

10 + 17,9371 −13,392

1010 + 10

= 0,000795

𝑡 = 5,079 > 𝑡(18)0.05 = 2,101 → 𝐻1

𝑡 = 5,079 > 𝑡(18)0.01 = 2,676 → 𝐻1

44

Zadaci za vežbu:

1. U štali sa 10 krava ostvarena je dnevna mlečnost (lit.): 3, 4, 5, 7, 8, 9, 7, 10, 9, 10.

Ako je varijansa osnovnog skupa poznata i iznosi 6, testirati 𝐻0: �̅� = 𝜇 protiv alternativne hipoteze 𝐻1: �̅� ≠ 𝜇, ako važi da je μ=7,8 (lit.).

2. Na osnovu podataka datih u tabeli o inkubaciji tetanusa (danima) i broju obolelih životinja

testirati nultu hipotezu da je prosečna inkubacija 16 dana.

Inkubacija tetanusa Broj obolelih životinja

5-8 5

9-12 5

13-16 4

17-20 3

21-24 2

25-28 1

3. Prosečna dnevna potrošnja svežeg mleka, u uzorku od 30 poljoprivrednih domaćinstava

iznosi 2,1 litar, sa standardnom devijacijom osnovnog skupa 0,9. U uzorku od 20 radničkih

domaćinstava prosečna dnevna potrošnja svežeg mleka je 1,5 litara sa varijansom osnovnog

skupa 0,49. Da li se statistički značajno razlikuje prosečna dnevna potrošnja svežeg mleka

poljoprivrednih i radničkih domaćinstava?

4. Dati su podaci o broju dana potrebnih za dresiranje pasa ukoliko se pri treniranju

primenjuje nagrada (I grupa) ili kazna (II grupa).

A 43 41 48 44 51 48 47 35

B 42 47 57 53 74 59 65 54 46

Testirati nultu hipotezu da ne postoji statistički značajna razlika u prosečnom vremenu

potrebnom za dresiranje pasa u zavisnosti od načina dresiranja.

5. Da bi se utvrdilo da li postoji statistički značajna razlika u brzini delovanja dva leka A i B

protiv bola, istraživač je primenio lekove na dva uzorka slučajno odabranih pacijenata.

Rezultati testa su dati u sledećoj tabeli. Prosečno vreme i sume kvadrata odstupanja

aritmetičke sredine vremena od početka delovanja leka u uzorcima (minutima) dati su u

tabeli:

Lek Veličina uzorka Prosečno vreme do početka

delovanja leka

Sume kvadrata odstupanja

od aritmetičke sredine

А 19 40 ∑(𝑋1 − �̅�1)² = 1815 B 12 50 ∑(𝑋2 − �̅�2)² = 729

Da li postoji statistički značajna razlika u prosečnom vremenu do početka delovanja lekova

A i B?

47

3. Analiza varijanse

Primer 1. U jednom poljoprivrednom preduzeću organizovana je ishrana svinja na tri

različita načina. Da bi se ispitalo da li način ishrane značajno utiče na tov svinja iz svake

grupe, formiran je slučajan uzorak sa po 8 svinja. Ustanovljen je sledeći prirast u težini (kg)

za dve nedelje:

Redni broj Prirast

I II III

1 15 10 20

2 13 25 22

3 16 19 14

4 20 18 17

5 24 16 13

6 18 20 18

7 18 22 15

8 23 14 10

a) Da li postoji statistički značajna razlika u prosečnom prirastu svinja u zavisnosti od načina ishrane?

b) Primenom t-testa i testa najmanje značajne razlike uporediti aritmetičke sredine tretmana.

Nulta hipoteza: 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = ⋯ = 𝜇𝑘

Alternativna hipoteza: 𝐻1: ∃(𝑖, 𝑗) 𝑖 ≠ 𝑗 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

Izvori

varijacije

Stepeni

slobode

Sume

kvadrata

Sredine

suma kvadrata

(varijanse)

F- odnos F – tablično

(r1=k-1; r2=N-k)

0,05 0,01

Tretmani k-1= 2 QT= 23,25 ST2= 11,625 ST2/SP2= 0,673 3,47 5,78

Pogreška N-k= 21 QP= 362,75 SP2= 17,27

Total N-1=23 Q=386

k (broj tretmana) – 3

n (veličina uzorka) – 8

N (ukupan broj podataka) – 24

Sume kvadrata

=−===

CQij

n

j

k

i

i

2

11

Q = 15² + 13² + 16² + ... + 15² + 10² - 7350= 386

48

C – je korektivni faktor =

===

NC

ij

n

j

k

i

i2

11 420²

24= 7350

=−

===

Cn

Qij

n

j

k

i

T

i2

11

𝑄𝑇 = 1472 + 1442 + 129²

8− 7350 = 23,25

=−=TP

QQQ𝒅𝒈𝒂

𝑄𝑝 = 386 − 23,25 = 362,75

Sredine suma kvadrata

=−

=1

2

k

QS T

T =

−=

kN

QS P

P

2

𝑆𝑇2 =

23,25

2= 11,625 𝑆𝑝

2 =362,75

21= 17,27

𝐹 = 0,673 < 𝐹(2,21)0.05 = 3,47 → 𝐻0

𝐹 = 0,673 < 𝐹(2,21)0.01 = 5,78 → 𝐻0

t-test

𝐻0: 𝜇𝑖 = 𝜇𝑗

𝐻1: 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗

𝑆(�̅�𝑖−�̅�𝑗) =√

2 ∙ 𝑆𝑝2

𝑛= √

2 ∙ 17,27

8= 2,078

𝑡1 =�̅�1 − �̅�2𝑆(�̅�𝑖−�̅�𝑗)

=18,375 − 18

2,078= 0,18

49

𝑡2 =�̅�1 − �̅�3𝑆(�̅�𝑖−�̅�𝑗)

=18,375 − 16,125

2,078= 1,08

𝑡3 =�̅�2 − �̅�3𝑆(�̅�𝑖−�̅�𝑗)

=18 − 16,125

2,078= 0,90

𝑡21:0,05 = 2,080

𝑡21:0,01 = 2,831

|𝑡| < 𝑡𝑁−𝑘;𝛼 → 𝐻𝑜

|𝑡| > 𝑡𝑁−𝑘;𝛼 → 𝐻1

Test najmanje značajne razlike

𝐻0: 𝜇𝑖 = 𝜇𝑗

𝐻1: 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗

𝑆(�̅�𝑖−�̅�𝑗) =√

2 ∙ 𝑆𝑝2

𝑛= √

2 ∙ 17,27

8= 2,078

𝑁𝑍𝑅𝛼 = 𝑡𝑁−𝑘;𝛼 ∙ 𝑆(�̅�𝑖−�̅�𝑗)

𝑁𝑍𝑅0,05 = 2,080 ∙ 2,078 = 4,322

𝑁𝑍𝑅0,01 = 2,831 ∙ 2,078 = 5,883

50

Tretman �̅�𝒊 �̅�𝒊 − �̅�𝑰𝑰𝑰 �̅�𝒊 − �̅�𝑰𝑰 I 18, 375 2,25 0,375

II 18 1,875

III 16,125

Zadaci za vežbu:

1. Da bi se utvrdilo da li prosečan dnevni prirast zavisi od vrste žitarica primenjene u ishrani,

izveden je eksperiment u kome je svakoj grupi od 7 miševa dat obrok jedne od četiri vrste

žitarica. Prirast (g) dat je u sledećoj tabeli:

T R E T M A N I

A B C D

9 5 2 3

7 4 1 8

8 6 1 5

8 4 2 9

7 5 2 2

8 7 3 7

8 3 2 8

a) Testirati nultu hipotezu da se prosečni prinos statistički značajno ne razlikuje u zavisnosti od načina ishrane;

b) Primenom testa najmanje značajne razlike uporediti aritmetičke sredine parova tretmana.

2. U eksperimentu organizovanom po planu potpuno slučajnog rasporeda ispituje se

efikasnost tri hemijska preparata. Intezitet iritantnosti je označen 0-10 i izmeren je na 8

eksperimentalnih životinja:

Preparati 1 2 3 4 5 6 7 8

I 6 9 6 5 7 5 6 6

II 5 9 9 8 8 7 7 7

III 3 4 3 6 8 5 5 6

a) Testirati nultu hipotezu da je efikasnost sva tri preparata jednaka. b) Testirati značajnost razlike parova tretmana primenom NZR testa.

53

Testovi proporcija

Postoje sledeći osnovni testovi za testiranja proporcija:

1. kada upoređujeno proporciju iz prostog slučajnog uzorka sa pretpostavljenom proporcijom

osnovnog skupa ili sa nekom teorijskom vrednošću – test značajnosti jedne proporcije

2. kada upoređujemo dve proporcije iz dva nezavisna prosta slučajna uzorka- test značajnosti

razlike dve proporcije.

Test značajnosti jedne proporcije

Primer 1. U uzorku od 164 grla jedne rase bilo je 52 goveda sa dužinom trupa ispod 160 cm.

Može li se prihvatiti nulta hipoteza da u osnovnom skupu proporcija goveda sa dužinom

trupa ispod 160 cm iznosi 0,4?

n=164 𝐻0: 𝑝 = 0,4

a=52 𝐻1: 𝑝 ≠ 0,4

𝑝0 = 0,4

𝑍 =�̂� − 𝑝

𝑆�̂�=

0,317 − 0,4

0,036= −2,306 ∗

�̂� =𝑎

𝑛=

52

164= 0,317

𝑆𝑝 = √�̂��̂�

𝑛= √

0,317 ∗ 0,683

164= 0.036

|𝑍| > 𝑍0,05 → 𝐻1

|𝑍| < 𝑍0,01 → 𝐻0

Test značajnosti razlike dve proporcije

Primer 2. U uzorcima od po 110 grla goveda dve rase, obolela grla učestvuju sa 6% i 13%.

Utvrditi da li je otpornost dve rase goveda prema ispitivanoj bolesti ista.

𝐻𝑜: 𝑝1 = 𝑝2

𝐻1: 𝑝1 ≠ 𝑝2

54

𝑛1 = 110 �̂�1 = 0,06

𝑛2 = 110 �̂�2 = 0,13

𝑍 =�̂�1 − �̂�2𝑆(𝑝1−�̂�2)

=0,06 − 0,13

0,0396= −1,768

�̅� =�̂�1𝑛1 + �̂�2𝑛2

𝑛1 + 𝑛2=

0,06 ∙ 110 + 0,13 ∙ 110

110 + 110= 0,095

𝑆(�̂�1−𝑝2) = √𝑝𝑞̅̅ ̅ ∙ (1

𝑛1+

1

𝑛2) = √0,095 ∙ 0,905 ∙ (

1

110+

1

110) = 0,0396

|𝑍| < 𝑍0,05 → 𝐻0

|𝑍| < 𝑍0,01 → 𝐻0

Zadaci za vežbu:

1. U uzorku od 100 jedinki vrste Tribolium castaneum rastvorom aktivne supstance

hlorprifos metila posle 24 časa je registrovan mortalitet 73 jedinki. Očekivana proporcija

smrtnosti je 0,9. Može li se smatrati da razlika konstatovane i očekivane smrtnosti nije

statistički značajna?

2. Ispitivanjem prostog slučajnog uzorka od 200 životinja utvrđeno je da je 4 životinje

obolelo. Proporcija obolelih životinja u uzorku je_______, dok je ocena za standardnu grešku

uzoračke proporcije__________. Nulta hipoteza da je uzoračka proporcija statistički

značajna se sa rizikom od 5%_______________.

3. Ispituje se efikasnost dve vakcine A i B. Prva vakcina je primenjena na uzorku od 32

životinje i bila je uspešna u 24 slučaja. Druga vakcina je primenjena na uzorku od 26

životinja i bila je efikasna u 18 slučajeva. Da li postoji statistički značajna razlika u

efikasnosti vakcina?

57

REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA

Regresiona i korelaciona analiza se primenjuje s namerom da se opiše, predvidi i kontroliše

zavisna promenljiva u odnosu na jednu ili više nezavisno promenljivih, kao i da se utvrdi

postojanje i intenzitet veze između zavisne i nezavisnih promenljivih.

Primer 1. Dati su podaci o mlečnosti koze (kg/24h) u zavisnosti od dana laktacije:

Mlečnost (Y) 1,84 1,75 1,50 1,62 1,51 1,25 1,26 1,15

Dani laktacije (X) 14 24 34 44 54 64 74 84

Na osnovu datih parova vrednosti izvesti sledeća računanja:

a) Formirati dijagram rasturanja; b) Oceniti regresioni model, izračunati ocenjene vrednosti zavisno promenljive i ucrtati

liniju regresije na dijagramu rasturanja;

c) Izračunati standardnu grešku regresije; d) Izračunati vrednost koeficijenta korelacije, determinacije i nedetrminacije; e) Na osnovu jednačine regresije oceniti mlečnost 67. dana laktacije.

a) Dijagram rasturanja:

Radna tabela:

X Y XY X² Y² �̂� (𝒀𝒊 − �̂�𝒊) (𝒀𝒊 − �̂�𝒊)²

14 1,84 25,76 196 3,3856 1,82414 0,01586 0,00025154

24 1,75 42 576 3,0625 1,72724 0,02276 0,000518018

34 1,5 51 1156 2,25 1,63034 -0,13034 0,016988516

44 1,62 71,28 1936 2,6244 1,53344 0,08656 0,007492634

54 1,51 81,54 2916 2,2801 1,43654 0,07346 0,005396372

64 1,25 80 4096 1,5625 1,33964 -0,08964 0,00803533

74 1,26 93,24 5476 1,5876 1,24274 0,01726 0,000297908

84 1,15 96,6 7056 1,3225 1,14584 0,00416 1,73056E-05

392 11,88 541,42 23408 18,0752 11,87992 0,038997621

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 20 40 60 80 100

58

b) Ocena parametara:

�̂�𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑖

𝑏 =∑ 𝑋𝑌 −

(∑ 𝑋)(∑ 𝑌)𝑛

∑ 𝑋2 −(∑ 𝑋)²

𝑛

=541,42 −

392 ∙ 11,888

23408 −(392)²

8

= −0,00969

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 1,485 − (−0,00969) ∗ 49 = 1,9598

�̂�𝑖 = 1,9598 − 0,00969𝑋𝑖

Grafički prikaz:

c) Standardna greška regresije:

𝑆𝑒 = √∑((𝑌𝑖 − �̂�𝑖)²)

𝑛 − 2= √

0,03899

8 − 2= 0,0806

d) Koeficijent korelacije:

𝑟 =∑ 𝑋𝑌 −

(∑ 𝑋)(∑ 𝑌)𝑛

√[∑ 𝑋2 −(∑ 𝑋)2

𝑛 ] ∙ [∑ 𝑌2 −

(∑ 𝑌)2

𝑛 ]

=541,42 −

392 ∙ 11,888

√23408 −(392)2

8 ∙ 18,0752 −(11,88)2

8

= −0,954

y = -0.0097x + 1.9598

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

59

Koeficijent determinacije: r²=(-0,954)²= 0,9101 (91,01%)

Koeficijent nedeterminacije: k²= 1- 0,9101=0,0899 (8,99%)

e) �̂�67 = 1,9598 − 0,00969 ∙ 67 = 1,31057(kg/24h)

60

Primer 2. Rezultati ispitivanja uticaja vitamina holina, dodatog smeši hrane, na prirast kod

ispitivanih prasadi dati su sledećim vrednostima:

Prosečan dnevni prirast (kg) (Y) 420 405 387 377

Dodatak holina (mg/kg hrane) (X) 0 250 500 1000

Na osnovu datih parova vrednosti izvesti sledeća računanja:

f) Formirati dijagram rasturanja; g) Oceniti regresioni model, izračunati ocenjene vrednosti zavisno promenljive i ucrtati

liniju regresije na dijagramu rasturanja;

h) Izračunati standardnu grešku regresije; i) Izračunati vrednost koeficijenta korelacije, determinacije i nedetrminacije; j) Na osnovu jednačine regresije oceniti prosečan dnevni prirast za dodatak holina od

750 mg/kg hrane.

Dijagram rasturanja:

61

Radna tabela:

X Y

62

Zadaci za vežbu:

1. Dati su podaci o dozi leka i vremenu izlečenja:

Doza leka 0 1 2 3 4 5 6

Vreme izlečenja 15,4 12,2 13,7 9,2 9,9 6,1 4,1

a) Oceniti parametre linearnog regresionog modela i objasniti njihovo značenje; b) Izračunati koeficijent determinacije; c) izračunati standardnu grešku regresije.

2. Na osnovu podataka o težini 10 teladi pri rođenju i njihovom prirastu izračunato je:

∑X=410, ∑Y=304, ∑XY=12665, ∑X2=16974, ∑Y2=9508. Izračunati koeficijente koralcije i

detreminacije i objasniti njihovo značenje. Da li telad koja imaju veću težinu pri rođenju

imaju i veći očekivani prirast?

3. Na osnovu podataka o proizvodnji mleka (000 lit.) i količini hrane (t) 10 krava izračunate

su sledeće sume: ∑X=1530, ∑Y= 748, ∑XY=116210, ∑X²=248700. Oceniti linearni

regresioni model i objasniti značenje regresionog koeficijenta.

64

LITERATURA

1. Čobanović Katarina (2003), Primeri za vežbanje iz statistike, Poljoprivredni fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Republika Srbija

2. Lozanov-Crvenković Zagorka (2002), Statistika, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Republika Srbija

3. Man S.P. (2017), Uvod u statistiku, deveto izdanje, John Wiley & Sons

4. Mutavdžić Beba, Nikolić-Đorić Emilija (2018), Statistika (za smer Veterinarska medicina), Poljoprivredni fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Republika Srbija

Documents

PRAKTIKUM IZ STATISTIKE...Praktikum se sastoji iz osam poglavlja, koja čine strukturnu i sadržajnu celinu: • Prvo poglavlje - Formiranje distribucije frekvencija • Drugo poglavlje