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Anlisis de Datos en IngenieraPROBABILIDADIng. Gina Galindo Ph.D.

1BibliografaWALPOLE, Ronald E., MYERS, Raymond H., MYERS, Sharon L., YE, Keying. PROBABILIDAD Y ESESTADSTICA PARA INGENIERA Y CIENCIAS. Octava edicin Editorial PEARSON Educacin.PROBABILIDADINTRODUCCINEn el estudio de la estadstica tratamos bsicamente con la presentacin e interpretacin de resultados fortuitos que ocurren en un estudio planeado o en una investigacin cientfica.El estadstico a menudo trata con datos experimentales, conteos o mediciones representativos, o quizs con datos categricos que se podran clasificar de acuerdo con algn criterio. Nos referimos a cualquier registro de informacin, ya sea numrico o categrico, como una observacin.EXPERIMENTOLos estadsticos utilizan la palabra experimento para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Un ejemplo es el lanzamiento de una moneda al aire; en tal experimento solo hay dos resultados posibles: cara o sello. DEFINICIN Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma maneraESPACIO MUESTRAL El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadstico se llama espacio muestral y se representa con el smbolo S.

A cada resultado de un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente punto muestral.Si el espacio muestral tiene un nmero finito de elementos, podemos listar los miembros separados por comas y encerrarlos entre llaves.El espacio muestral S, de los resultados posibles cuando se lanza una moneda al aire, se escribe como: S = {H, T}.El espacio muestral de lanzar un dado al aire, si nos interesa el nmero de la cara superior es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.ESPACIO MUESTRAL (continuacin)Diagrama de rbolEn general, se utiliza un espacio muestral que d la mayor informacin acerca de los resultados del experimento.En algunos experimentos es til listar los elementos del espacio muestral de forma sistemtica utilizando un diagrama de rbol.6ESPACIO MUESTRAL (continuacin)Ejemplo 01: Se lanza una moneda y despus se lanza otra vez si sale cara, o un dado si sale sello

HTHT123456HH

HT

T1

T2

T3

T4

T5

T6 Primer Segundo Puntoresultado resultado muestral S = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}Ejemplo 02: Cul es el espacio muestral de lanzar dos dados al aire simultneamente?

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,3), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}Ejemplo 03: Un caballero tiene la opcin de ponerse una corbata azul o una corbata roja, con una camisa azul o una rosa o una blanca, determine el espacio muestral de las posibilidades de usar estas prendas.

S = {(CoA, CaA), (CoA, CaR), (CoA, CaB), (CoR, CaA), (CoR, CaR), (CoR, CaB)}9Taller 01 en clase:Un experimento consiste en lanzar un dado y despus lanzar una moneda una vez, si el nmero en el dado es par. Si el nmero en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Use la notacin 4H, por ejemplo, para denotar el resultado de que el dado muestre 4 y despus la moneda salga cara, y 3HT para denotar el resultado de que el dado muestre 3 seguido por una cara y despus un sello en la moneda; construya un diagrama de rbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S.ESPACIO MUESTRAL (continuacin)Los espacios muestrales con un nmero grande o infinito de puntos muestrales se describen mejor mediante un enunciado o regla.Ejemplo 04: Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de ciudades en el mundo con una poblacin de ms de un milln de habitantes, nuestro espacio muestral se describe como: S = { x | x es una ciudad con una poblacin de ms de un milln de habitantes}; esto se lee, S es el conjunto de todas las x tales que x es una ciudad con una poblacin de ms de un milln de habitantes

ESPACIO MUESTRAL (continuacin)Ejemplo 05: si S es el conjunto de todos los puntos (x, y) sobre la frontera o el interior de un crculo de radio 2 con centro en el origen, escribimos la regla:

Taller 02 en clase:Liste los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales:El conjunto de nmeros enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8.El conjunto S = {x | x2 + 4x -5 = 0}. El conjunto de resultados cuando se lanza una moneda al aire hasta cuando aparezca un sello o tres caras.El conjunto S = {x | x es un continente}. El conjunto S = {x |2x 4 >= 0 y x < 1}.EVENTOSPara cualquier experimento dado, podemos enfocarnos en la ocurrencia de ciertos eventos, ms que en el resultado de un elemento especfico en el espacio muestral.Ejemplo 06: Nos interesa el evento A, en el cual al lanzar un dado el resultado sea divisible por 3. Esto ocurrir si el resultado es un elemento del subconjunto A = {3, 6}, del espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, del lanzamiento de un dado.EVENTOS (continuacin) Un evento es un subconjunto de un espacio muestralEjemplo 07: Dado el espacio muestral S = {t | t 0}, donde t es la vida en aos de cierto componente electrnico, entonces el evento A de que el componente falle antes de que finalice el quinto ao es el subconjunto A = {t | 0 t < 5}.Es concebible que un evento sea un subconjunto que incluya todo el espacio muestral S, o un subconjunto de S que se denomina conjunto vaco y se denota con el smbolo f, que no contiene elemento alguno. Ejemplo 08: Si A es el evento de detectar un organismo microscpico a simple vista en un experimento biolgico, entonces A = f ConjuntosComplemento de un conjuntoConsideremos un experimento donde se registran los hbitos de fumar de los empleados de una compaa industrial.Un posible espacio muestral podra clasificar a un individuo como no fumador, fumador ligero, fumador moderado o fumador empedernido.Consideremos el subconjunto de los fumadores.La totalidad de los no fumadores corresponden a un subconjunto diferente, que se denomina complemento del conjunto de fumadores.

El complemento de un conjunto A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de S que no estn en A. Denotemos el complemento de A mediante el smbolo A.

Conjuntos(continuacin)Interseccin de conjuntosConsideremos ciertas operaciones con conjuntos que tendrn como resultado la formacin de nuevos conjuntos. Tales conjuntos nuevos sern subconjuntos del mismo espacio muestral como los conjuntos dados.Suponga que A y B son dos conjuntos que se asocian con un experimento.En otras palabras, A y B son subconjuntos del mismo espacio muestral S. Ejemplo 09: Si en el lanzamiento de un dado, A es el evento de que ocurra un nmero par, y B el evento de que aparezca un nmero mayor que 3, entonces los subconjuntos A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6} son subconjunto del mismo espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Note que tanto A como B ocurrirn en un lanzamiento dado, si el resultado es un elemento del subconjunto {4, 6}, el cual es precisamente la interaccin de A y B. Conjuntos(continuacin) La interseccin de dos conjuntos A y B, que se denota con el smbolo A B, es el conjunto que contiene todos los elementos que son comunes a A y a B.

Ejemplo 10: Sea C el evento de que una persona seleccionada al azar en un Caf Internet sea un estudiante universitario y sea M el evento de que la persona sea hombre. Entonces C M es el evento de todos los estudiantes universitarios hombres en el Caf Internet.

Conjuntos (continuacin)Eventos mutuamente excluyentesSea M = {a, e, i, o, u} y N = {r, s, t}; entonces, se sigue que M N = F. Es decir, M y N no tiene elementos comunes y, por lo tanto, no pueden ocurrir ambos de forma simultnea.Dos eventos que no pueden ocurrir de forma simultnea son mutuamente excluyentes.

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si ; es decir, si A y B no tienen elementos en comn.

Conjuntos (continuacin)Unin de ConjuntosA menudo nos interesamos en la ocurrencia de al menos uno de los eventos asociados con un experimento.Ejemplo 11: En el experimento del lanzamiento de un dado si A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6}, podemos interesarnos en que ocurran A B, en que ocurran tanto A como B. Tal evento, que se llama la unin de A y B, ocurrir si el resultado es un elemento del subconjunto {2, 4, 5, 6}.

La unin de dos eventos A y B, que se denota con el smbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A a B a ambos.ConjuntosA 2 B 7 6 1 4 3 5 C 1. Determine,A U BA U CB U CA U B U CA BA CB CA B C

Taller 04 en claseDiagrama de Venn: La relacin entre conjuntos y el correspondienteespacio muestral se puede ilustrar de forma grfica utilizando diagramas de Venn. S21Taller 04 en clase (continuacin): 2. Un experimento consiste en lanzar un dado y despus lanzar una moneda una vez, si el nmero en el dado es par. Si el nmero en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Use la notacin 4H, por ejemplo, para denotar el resultado de que el dado muestre 4 y despus la moneda salga cara, y 3HT para denotar el resultado de que el dado muestre 3 seguido por una cara y despus un sello en la moneda. construya un diagrama de rbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S.liste los elementos que corresponden al evento A de que en el dado salga un nmero menor que 3 liste los elementos que corresponden al evento B de que ocurran dos sellos;liste los elementos que corresponden al evento A liste los elementos que corresponden al evento liste los elementos que corresponden al evento

PROBABILIDAD DE UN EVENTOQuizs fue la insaciable sed del juego lo que condujo a un desarrollo temprano de la teora de probabilidad.En un esfuerzo por aumentar sus ganancias, algunos pidieron a los matemticos que les proporcionaran las estrategias ptimas para los diversos juegos de azar. Algunos de los matemticos que brindaron tales estrategias fueron Pascal, Leibniz, Fermat y James Bernoulli.23PROBABILIDAD DE UN EVENTO (continuacin)Para encontrar la probabilidad de un evento A, sumamos todas las probabilidades que se asignan a todos los puntos muestrales en A.Esta suma se denomina probabilidad de A y se designa por P(A). La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Po lo tanto 0 P(A) 1, P(f) = 0, y P(S) = 1. Adems, si A1, A2, A3, es una serie de eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A1 U A2 U A3 U ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + 24PROBABILIDAD DE UN EVENTO (continuacin)Teorema 9 Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resultados igualmente probables, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

REGLAS ADITIVASA menudo resulta ms sencillo calcular la probabilidad de un evento a partir del conocimiento de las probabilidades de otros eventos.Esto puede ser cierto si el evento en cuestin se puede representar como la unin de otros dos eventos o como el complemento de algn evento.Teorema 10 Si A y B son dos eventos entonces P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

REGLAS ADITIVAS (continuacin)A A B B

SRegla Aditiva de ProbabilidadPruebaREGLAS ADITIVAS (continuacin)Corolario 1 Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)El corolario 1 es un resultado inmediato del teorema 10, pues si A y B son mutuamente excluyentes, A B = 0 y entonces P(A B) = P(f) = 0. En general se tiene: Corolario 2 Si A1, A2, , An son mutuamente excluyentes, entonces P(A1 U A2 U U An) = P(A1) + P(A2) + + P(An)

REGLAS ADITIVAS (continuacin)Una coleccin de eventos {A1, A2, An} de un espacio muestral S se denomina una particin de S si A1, A2, , An son mutuamente excluyentes y A1 U A2 U U An = S. Por lo tanto se tiene: Corolario 3 Si A1, A2, , An es una particin de un espacio muestral S, entonces P(A1 U A2 U U An) = P(A1) + P(A2) + + P(An) = P(S) = 1REGLAS ADITIVAS (continuacin)Anlogamente el teorema 10 se extiende as:Teorema 11Para tres eventos A, B y C, P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C ) Ejemplo 18: Un ingeniero recin egresado, despus de tener entrevistas en dos compaas donde desea trabajar, evala la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la compaa A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla de la compaa B como 0.6. Si por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compaas es 0.5, Cul es la Pr de recibir al menos una oferta? Solucin: Con la regla aditiva se tiene:P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0.8 + 0.6 0.5 = 0.9

REGLAS ADITIVAS (continuacin)A menudo es ms difcil calcular la probabilidad de que ocurra un evento que calcular la probabilidad de que el evento no ocurra.Si este es el caso para algn evento A, simplemente encontramos primero P(A) y, despus, con el teorema 10, encontramos P(A) por sustraccin.Teorema 12 Si A y A son eventos complementarios, entonces P(A) + P(A) = 1Prueba: Como A U A = S y los conjuntos A y A son disjuntos, entonces 1 = P(S) = P(A U A) = P(A) + P(A)EjercicioConsidere el experimento de lanzar una moneda dos veces. Realice un diagrama de rbol y encuentre:Probabilidad de al menos una caraProbabilidad de exactamente una caraCONTEO DE PUNTOS MUESTRALESUno de los problemas que el estadstico debe considerar e intentar evaluar es el elemento de posibilidad asociado con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se realiza un experimento.Estos problemas pertenecen al campo de la probabilidad.En muchos casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del nmero de puntos en el espacio muestral, sin listar realmente cada elemento.El principio fundamental del conteo, es a menudo denominado regla de multiplicacin.CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin) Teorema 1 Si una operacin se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una de stas se puede realizar una segunda operacin en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas en n1n2 formas. Ejemplo 12: Cuntos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando un par de dados se lanzan una vez?Solucin:El primer dado puede caer en cualquiera de n1 = 6 maneras.Para cada una de esas 6 maneras el segundo dado tambin puede caer n2 = 6 formas.El par de dados puede caer n1n2 = 6 * 6 = 36 formas posibles. CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Ejemplo 13: Un urbanista de una nueva urbanizacin ofrece a los futuros compradores de una casa la eleccin del estilo de la fachada entre tudor, rstica, colonial y tradicional; en una planta, dos plantas y desniveles. En cuntas formas diferentes un comprador puede ordenar una de estas casas?Solucin: Como n1 = 4 y n2 = 3, un comprador debe elegir entre: n1n2 = 4 * 3 = 12 casas posible.Las respuestas a los ejemplos 12 y 13 anteriores se comprueban con la construccin de diagramas de rbol y el conteo de las diversas trayectorias a lo largo de las ramas.

DIAGRAMA DE RBOL ESTILO DE LA FACHADAUna sola plantaDos plantasDesnivelesUna sola plantaDos plantasDesnivelesUna sola plantaDos plantasDesnivelesUna sola plantaDos plantasDesnivelesTudorRsticaColonialTradicionalPLANES DE CONSTRUCCIONTudor una planta

Tudor dos plantas

Tudor desnivelesRstica una planta

Rstica dos plantas

Rstica desnivelesColonial una planta

Colonial dos plantas

Colonial desnivelesTradicional una planta

Tradicional dos plantas

Tradicional desnivelesRESULTADOSTaller 06 en clase:Si un experimento consiste en lanzar un dado y despus extraer una letra al azar del alfabeto ingls, cuntos puntos habr en el espacio muestral?CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin) Teorema 2 Si una operacin se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada una de stas se puede llevar acabo una segunda operacin en n2 formas, y para cada una de las dos primeras se puede realizar una tercera operacin en n3 formas, y as sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se pueden realizar en n1n2n3nk formas.

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Con frecuencia nos interesamos en un espacio muestral que contiene como elementos a todas las posibles ordenaciones o arreglo de un grupo de objetos.Por ejemplo, cuando queremos saber cuntos arreglos diferentes son posibles para ubicar en una fila a seis personasLos diferentes arreglos se llaman permutaciones. Una permutacin es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Teorema 3 El nmero de permutaciones en n objetos distintos es n!Para el ejemplo anterior, cuntos arreglos diferentes son posibles para ubicar en una fila a seis personas? Se tiene: n = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720 Teorema 4 El nmero de permutaciones en n objetos distintos tomados de r a la vez es

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Cul es el numero de formas en que cinco aspirantes a un concurso de belleza pueden ser elegidas como reina y virreina?Usando el alfabeto ingls (26 letras), cuntas palabras distintas de cuatro letras se pueden formas?CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Teorema 6 El nmero de permutaciones distintas de n objetos de los que n1 son de una clase, n2 de una segunda clase,,nk de una k-sima clase es:

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin) Ejemplo 15: Tenemos una urna con 10 bolas.Entre estas 10 bolas, hay:1 de color azul,2 de color rojo,4 de color amarillo, y 3 de color verde.De cuantas maneras diferentes se pueden arreglar en una fila, si slo se distingue su color?Solucin: Usando directamente el teorema 6 se tiene,

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Con frecuencia nos interesa el nmero de formas de dividir un conjunto de n objetos en r subconjuntos denominados celdas.Se consigue una particin si la interseccin de todo par posible de los r subconjuntos es el conjunto vaco f, y si la unin de todos los subconjuntos da el conjunto original.El orden de los elementos dentro de una celda no tiene importancia.CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Considere el conjunto {a, e, i, o, u}. Las particiones posibles en dos celdas en que la primera celda contenga 4 elementos y la segunda celda 1 elemento son: : {(e, i, o, u), (a)}; {(a, i, o, u), (e)}; {(a, e, o, u), (i)}; {(a, e, i, u), (o)}; {(a, e, i, o), (u)}. El nmero de particiones para esta ilustracin se denota con la expresin:

El nmero superior representa el nmero total de elementos y los nmeros inferiores representan el nmero de elementos que van en cada celda.

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Teorema 7 El nmero de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y as sucesivamente, es

Donde n1 + n2 + + nr = nCONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Ejemplo 16: En cuntas formas se pueden asignar 7 estudiantes de postgrado a una habitacin triple de un hotel y a dos dobles, durante su asistencia a una conferencia? Solucin: El nmero total de particiones posibles sera:

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)COMBINACIONESEn muchos problemas nos interesa el nmero de formas de seleccionar r objetos de n sin importar el orden.Tales selecciones se llaman combinaciones.Una combinacin es realmente una particin con dos celdas, donde una contiene los r objetos seleccionados y la otra contiene los (n r) objetos restantes.El nmero de tales combinaciones, denotadas

con por lo general se reduce a

debido a que el nmero de elementos en la segunda celda es n r.

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Teorema 8 El nmero de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES (continuacin)Taller 07 en clase: Un nio le pide a su mam que le lleve 5 cartuchos de Game-BoyTM de su coleccin de 10 juegos de arcada y 5 de deportes. Cuntas maneras hay en que su mam le lleve 3 juegos de arcada y 2 de deportes, respectivamente? Respuesta: 1.200

Taller 08 en clase: Cuntos arreglos diferentes de letras se pueden hacer con las letras de la palabra ESTADSTICAS? Respuesta: 9.979.200 PROBABILIDAD DE UN EVENTO (continuacin)Ejemplo 17: En una mano de pquer que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 reyes.Solucin: el nmero de formas de tener 2 ases de 4 es

y el nmero de formas de tener 3 reyes de 4 es

Mediante la regla de multiplicacin del Teorema 1, hay n = (6)(4) = 24 manos con 2 ases y 3 reyes.El nmero total de manos de pquer de 5 cartas es

Por lo tanto, la probabilidad del evento C de obtener 2 ases y 3 reyes en una mano es

PROBABILIDAD DE UN EVENTO (continuacin)Taller 09 en clase:Una clase de estadstica para ingenieros consta de 25 estudiantes de ingeniera industrial, 10 de ingeniera mecnica, 10 de ingeniera elctrica y 8 de ingeniera civil. Si el profesor elige a una persona al azar para que conteste una pregunta, encuentre la probabilidad de que el estudiante elegido sea:Un estudiante de ingeniera industrial.Un estudiante de ingeniera elctrica o de ingeniera civil.EjercicioAl poco tiempo de entrar en circulacin, los autobuses fabricados por una compaa presentan grietas visibles en la parte inferior del bastidor principal. Suponga que una ciudad tiene 20 de dichos autobuses y que han aparecido grietas en ocho de ellos. Cuntas formas hay de seleccionar 5 de los 20 autobuses para una inspeccin?En cuntas formas puede una muestra de 5 autobuses contener exactamente 4 con grietas visibles?Si se escoge al azar una muestra de 5 autobuses, cul es la probabilidad de que exactamente 4 de ellos tengan grietas visibles?Si se escoge al azar una muestra de 5 autobuses, cul es la probabilidad de que al menos 4 de ellos tengan grietas visibles?PROBABILIDAD CONDICIONALLa probabilidad de que un evento B ocurra cuando ya se sabe que ocurri un evento A se llama probabilidad condicional y se denota con P(B|A).El smbolo P(B|A), por lo general, se lee la probabilidad de ocurra B dado que ocurri A o simplemente la probabilidad de B, dado A. La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota por P(B|A), se define como

PROBABILIDAD CONDICIONAL (continuacin)Ejemplo 19: Suponga que un espacio muestral S es la poblacin de adultos en una pequea ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un ttulo universitario. Se clasifican segn su sexo y situacin laboral, as:

Uno de estos individuos se selecciona al azar para que realice un viaje a travs del pas para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad, nos interesamos en los eventos siguientes : H: se elige un hombre,E: el elegido tiene empleo.

55PROBABILIDAD CONDICIONAL (continuacin)Al utilizar el espacio muestral reducido E, se encuentra que

Sea n(A) el nmero de elementos en cualquier conjunto A. Con el uso de esta notacin se puede escribir

donde y P(E) se encuentran a partir del espacio muestral original S. Para verificar este resultado, note que

Por lo tanto,

el mismo resultado anterior.

PROBABILIDAD CONDICIONAL (continuacin)Eventos IndependientesAunque la probabilidad condicional tiene en cuenta la alteracin de la probabilidad de un evento a la luz de material adicional, tambin nos permite entender mejor el muy importante concepto de independencia o, en el contexto actual, de eventos independientes. Dos eventos A y B son independientes si y slo si P(B|A) = P(B) o P(A|B) = P(A), dada la existencia de probabilidad condicional. De otra forma, A y B son dependientes.REGLAS MULTIPLICATIVASAl multiplicar por P(A), obtenemos la siguiente regla multiplicativa importante, que nos permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.Teorema 13 Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P(A B) = P(A)P(B|A), dado que P(A) > 0

REGLAS MULTIPLICATIVAS (continuacin)Teorema 14Dos eventos A y B son independientes si y slo si P(A B) = P(A)P(B) Por lo tanto, para obtener la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes, simplemente calculamos el producto de sus probabilidades individuales.

REGLAS MULTIPLICATIVAS (continuacin)Teorema 15Si en un experimento, pueden ocurrir los eventos A1, A2 ,Ak, entonces P(A1 A2 Ak) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)P(Ak|A1 A2 Ak-1) Si los eventos A1, A2 ,Ak son independientes, entonces

P(A1 A2 Ak) = P(A 1)P(A2)P(AK)

TEOREMA DE BAYESEl Teorema de Bayes ofrece un mtodo estadstico para calcular una probabilidad condicional en circunstancias de dependencia. Este teorema es de gran utilidad para evaluar una probabilidad a posteriori partiendo de probabilidades simples, y as poder revisar la estimacin de la probabilidad a priori de un evento que se encuentra en un estado o en otro.TEOREMA DE BAYES (continuacin)DEFINICINEl Teorema de Bayes, dentro de la teora probabilstica, proporciona la distribucin de probabilidad condicional de un evento B dado otro evento A (probabilidad posteriori), en funcin de la distribucin de probabilidad condicional del evento A dado B y de la distribucin de probabilidad marginal del evento B (probabilidad simple o a priori).

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Partiendo de las frmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta Para eventos estadsticamente dependientes se proceder a enunciar el Teorema de Bayes.Sean B1, B2,..., Bk eventos mutuamente excluyentes tales que, cualquier evento A en el espacio muestral pertenece a uno y slo a uno de estos evento. Entonces la probabilidad de que ocurra cualquier evento dado que ha ocurrido el evento A se calcular por la siguiente frmula:

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Por lo tanto, sustituyendo la frmula de probabilidad condicional, se obtiene la frmula general para el Teorema de Bayes:

Ya que el evento A est dado por:

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Ejemplo 20: Suponga que un espacio muestral S es la poblacin de adultos en una pequea ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un ttulo universitario. Se clasifican segn su sexo y situacin laboral, as:

Uno de estos individuos se selecciona al azar para que realice un viaje a travs del pas para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad.Se nos da la informacin adicional de que una proporcin de 3/50 de los empleados y de 1/25 de los desempleados son miembros del Club Rotario.Cul es la probabilidad de elegir un individuo que sea miembro del Club Rotario?

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Para el ejemplo que estamos desarrollando se tiene:

Cul es el nmero total de miembros del club rotario?

P(E) = 2/3P(E) = 1/3P(A|E) = 3/50 P(E)P(A|E)P(A|E) = 1/25 P(E)P(A|E)EEAATEOREMA DE BAYES (continuacin)Una generalizacin de la anterior ilustracin al caso donde el espacio muestral se parte en k subconjuntos la cubre el siguiente teorema, que se denomina teorema de probabilidad total o regla de eliminacin.Teorema 16 Si los eventos B1, B2,, Bk constituyen una particin del espacio muestral S tal que P(Bi) 0, para i = 1, 2,,k entonces, para cualquier evento A de S,

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Considere el siguiente diagrama de Venn. Se observa que el evento A es la unin de los eventos mutuamente excluyentes:

B1B2B3B4B6B5B7..BkA

..

STEOREMA DE BAYES (continuacin)Usando el corolario 2 del teorema 10 y adems el teorema 13, tenemos

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Teorema 17 (Regla de Bayes). Si los eventos B1, B2,..., Bk constituyen una particin del espacio muestral S, donde P(Bi) 0 par i = 1, 2, , k, entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) 0.

71TEOREMA DE BAYES (continuacin)Ejemplo 21:En una planta de ensamble, tres mquinas B1, B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente.Por la experiencia pasada se sabe que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada mquina, respectivamente, tienen defectos.Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. Cul es la probabilidad de que el producto est defectuoso?TEOREMA DE BAYES (continuacin)Solucin:Considere los siguientes eventos:A: el producto est defectuoso.B1: el producto est ensamblado en la mquina B1.B2: el producto est ensamblado en la mquina B2.B3: el producto est ensamblado en la mquina B3.Al aplicar la regla de eliminacin podemos escribir P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) P(B1)P(A|B1) = (0.3)(0.02) = 0.006 P(B2)P(A|B2) = (0.45)(0.03) = 0.0135 P(B3)P(A|B3) = (0.25)(0.02) = 0.005Luego: P(A) = 0.006 + 0.0135 + 0.005 = 0.0245TEOREMA DE BAYES (continuacin)Suponga ahora que se seleccion un producto de forma aleatoria y est defectuoso. Cul es la probabilidad de que hubiese sido ensamblado en la mquina Bi?Solucin: Con base en la definicin de probabilidad condicional y con el teorema 2-16 en el denominador se tiene:

TEOREMA DE BAYES (continuacin)Para B1, B2 y B3 respectivamente, se tiene:

El teorema de BayesSupongamos que sobre el espacio muestral S tenemos una particin Ai, con i = 1, ..., n. Esto significa que cualquier resultado de S necesariamente debe estar en uno y solo uno de los eventos AiPor ejemplo, piense en todos los pacientes hospitalizados en una determinada ciudad, y la ciudad tiene cuatro hospitales, digamos los hospitales 1, 2, 3 y 4. De modo que el conjunto de pacientes hospitalizados va a estar en uno y solo uno de esos cuatro hospitales.El teorema de BayesSi definimos los sucesos Ai como el conjunto de pacientes hospitalizados en el i-simo hospital, con i = 1, 2, 3, 4. Entonces los sucesos A1, A2, A3 y A4 constituyen una particin sobre el conjunto de todos los pacientes hospitalizados, que llamaremos S.De otra forma, si seleccionamos al azar un paciente hospitalizado, entonces el paciente que elegiremos pertenecer a uno y solo uno de los Ai....A1A2A3AnBwResultado de la seleccin

El teorema de BayesConsideremos un suceso B, que indica una determinada propiedad de los pacientes, por ejemplo B puede ser el suceso de que el paciente seleccionado al azar tenga un diagnstico grave.En funcin de las probabilidades condicionales, nos quedaEl teorema de Bayes

...A1A2A3AnBw

Este clculo es para medir la incertidumbre de la ocurrencia del evento B.Medicin del futuro, representado por el evento BEl teorema de Bayes

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Supongamos ahora que B ocurre.Cul de los sucesos Aj ha ocurrido?El teorema de Bayes

...A1A2A3AnBw

De otra forma, cul es el valor de Pr(Aj B) con j = 1, ...n?Medicin del pasado, representado por el evento AjEl teorema de Bayes

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Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayes son infinitas, y no exentas de grandes polmicas. El problema radica en que al decir B ha ocurrido se puede pensar que es un hecho determinstico, y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia radicalmente si uno expresa si B ocurre, y esta es la interpretacin correcta. El teorema de BayesPor otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse, puesto que no se tiene informacin sobre el pasado, y que se espera que van a ser mejoradas con la informacin que puede entregar el suceso B, de hecho las probabilidades Pr(Ai | B) son llamadas a posteriori.Muchos casos judiciales de tipo forense acuden a este teorema para el dictamen de las sentencias por parte de los jueces.El teorema de BayesEl teorema de Bayes (caso particin finita)Suponga que un individuo acusado de un delito confiesa, por lo tanto podemos asegurar de que es culpable del delito?El individuo acusado necesariamente debe pasar por uno y solo uno de los eventos: culpable o no culpable.El teorema de BayesEl teorema de BayesDe manera que el juez piensa cul es la probabilidad de que este individuo sea culpable dado que confes su delito?Algunos piensan, si ha confesado su delito, entonces es necesariamente es culpable.Afortunadamente, la confesin por s sola no es suficiente para determinar la culpabilidad en un delito, o s?Estudie con detalles las siguientes transparencias...La falacia del interrogador

Thomas BAYES (1702 - 1761)La falacia del interrogador

El problema de la confesinSea A el suceso el acusado es culpableSea C el suceso el acusado ha confesadoConsideremos P(A) como la probabilidad de culpabilidad del acusado, antes de las nuevas pruebas de su auto confesinP(C | A) : probabilidad de que ha confesado el delito dado que es realmente culpable.EntoncesP(A | C) = P(C | A) P(A)P(C | A) P(A) + P(C | A) P(A)P(C | A): probabilidad de que ha confesado el delito dado que no es culpableLa falacia del interrogador

El problema de la confesinEntonces P(A | C) es la probabilidad de que el acusado sea culpable dado que ha confesado el delitoP(A | C) = P(C | A) P(A)P(C | A) P(A) + P(C | A) P(A)Sea P(A) = p, y definamos r = P(C | A)P(C | A)De modo queP(A | C) =pp + r (1 - p) La falacia del interrogador

El problema de la confesinP(C | A)P(C | A)r =es llamada razn de confesinEsta nueva prueba de confesin, debera aumentar la probabilidad de culpabilidad, esto esP(A | C) > P(A)de otra formapp + r (1 - p) > pLa falacia del interrogador

El problema de la confesinpp + r (1 - p) > pEsta desigualdad se cumple solamente si r < 1y esto significa que P(C | A) < P(C | A)Es decir, la probabilidad de que confiese dado que realmente es culpable, debe ser mayor a que confiese dado que no es culpable. Pero, quin nos asegura que esta desigualdad naturalmente se cumplir?De modo que, en ciertos casos, la confesin puede hacer menor la probabilidad de culpabilidad (cuando r > 1)La falacia del interrogador

Los seis de Birmingham, los cuatro de Guildford, y los siete de MaguirePuede ser ms verosmil que confiese una persona inocente que una culpable, en situaciones de terrorismo como en Irlanda del Norte, o en estados dictatoriales.Los perfiles psicolgicos indican que los individuos ms sugestionables, o ms dbiles tienen mayor probabilidad de confesar en un interrogatorioHoja1Clasificacin de los adultos en una ciudad pequeaSexoEmpleadoDesempleadoTotalHombre46040500Mujer140260400Total600300900

Hoja2

Hoja3

Hoja1Clasificacin de los adultos en una ciudad pequeaSexoEmpleadoDesempleadoTotalpulg/piecm/pulgcm/piecm/pie3pieslitros/19 piesHombre46040500122.5430.4828316.8519538.02Mujer140260400122.5430.4828316.8521.5608.81Total600300900

Hoja2

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