Prof. Álvarez, Soniaespiritusantocordoba.org/material/2017/NMEDIO/5º Año...3 PROGRAMA DE MATEMÁTICA(5º Año) Unidad Nº 1: Función Lineal Función lineal. Gráfica Ecuación

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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES

Prof. Álvarez, Sonia

Apellido y Nombres:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

PROGRAMA DE MATEMÁTICA(5º Año)

Unidad Nº 1: Función Lineal

Función lineal. Gráfica

Ecuación explícita, implícita y segmentaria.

Rectas paralelas y perpendiculares.

Reconstrucción de la ecuación

Intersección de rectas

Unidad N° 2: Expresiones Algebraicas Racionales

Fracción algebraica: concepto. Fracciones equivalentes.

Operaciones con fracciones algebraicas.

Ecuaciones.

Unidad Nº 3: Función Cuadrática

Función cuadrática: gráfica y generalidades.

Ecuación polinómica. Gráfica

Ecuación canónica y factorizada

Ecuación de 2º grado.

Unidad Nº 4: Funciones y Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales

Función exponencial y logarítmica: características y gráfica.

Logaritmo: definición, propiedades.

Exponencial: definición y propiedades.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Unidad Nº 5: Números Complejos

Número imaginario y complejo: definición, propiedades y operaciones.

4

5

6

7

UNIDAD Nº 1: FUNCIÓN LINEAL

1. Sea 65)( xxf :

a) Determina )4(f y )2(f

b) Encuentra la pre imagen de 14 y de 23

c) Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados d) ¿Pertenece a esta recta el punto )9;3( ? ¿Por qué?

e) Grafícala a partir de la ordenada al origen y la pendiente.

2. Indica la pendiente, ordenada al origen y raíz de las siguientes funciones afines: a) 32 xy c) 3y

b) xy 24 d) 0265 yx

3. Grafica las siguientes funciones por pendiente y ordenada al origen:

a) 32

1 xy b) 2 xy

c) xy3

2 d) 2

4

1 xy

4. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta de ecuación ?12)( xxf

¿Por qué? a) )3;1(p b) )1;1( q

c)

0;

2

1r d) 1;0

5. Escribe la ecuación de la recta R sabiendo que:

a) 3

5a y Rp 7;5

b) 3b y Rp 5;4

c) 4;2p y 1;1q pertenecen a R

d) pasa por

2;

5

3p y

5

7;

5

1q

e) es paralela a 13

1 xy y pasa por 2;3

f) es perpendicular a 32 xy y pasa por 1;2

6. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1;3) y es perpendicular a la recta determinada por los puntos (2;8) y (6;5)

8

7. Halla la ecuación de la recta que tiene ordenada al origen 8 y es paralela a la recta que pasa por los puntos (2;8) y (-2;4)

8. Determina analíticamente si los siguientes puntos están alineados: 16;2,9;1,5;1 cba

9. Grafica las siguientes rectas utilizando los parámetros de la ecuación:

a) 134

yx b) 1

2

3

1

yx c) 1

2

52

yx

10. Expresa las siguientes ecuaciones de rectas en todas las formas posibles:

a) 24

3 xy b) 52 xy c) 1

22

yx

d) 113

yx e) 012 yx f) 064 yx

11. Encuentra la ecuación de las siguientes rectas y grafícalas:

a) A corta al eje X en 20 x y es paralela a la recta 121

yx

b) B es perpendicular a la recta 043 yx y pasa por el punto 5;2

12. Encuentra la ecuación de cada una de las rectas graficadas:

13. La gráfica que representa la función lineal 𝑦 = −1

5𝑥 + 2 es:

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -2 0 2 4 6

9

14. Determina analíticamente si las siguientes rectas son secantes, paralelas o

coincidentes:

a)

032

013

yx

yx b)

0386

1

8

3

2

1

yx

yx

c)

043

12

yx

xy d)

1

3

1

063

yx

yx

15. Encuentra analíticamente la intersección entre las siguientes rectas:

a) 4

2

3:

12:

2

1

xyR

xyR

b) 1

2

1

2

1:

04:

yxT

yxR

c) 0134:

09152:

2

1

yxR

yxR

16. Halla la intersección entre las rectas H y F sabiendo que H contiene a los

puntos 5;10 y 2;5 y que F es perpendicular a H y contiene al punto 9;2

17. El gráfico que determina p, como solución del sistema: 𝑦 + 𝑥 = 1 es:

𝑦 − 𝑥 = 1

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2

-1

0

1

2

3

-2-10 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 0 1 2 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

10

18. Problemas de aplicación: a) El grado Fahrenheit es la unidad de medida de la temperatura en los países anglosajones, se llama así porque el físico alemán Daniel Fahrenheit construyó en 1714 el termómetro de mercurio (en lugar del de alcohol) y lo graduó con la escala que lleva su nombre. La escala para convertir una temperatura en grados Celsius (usada en Argentina y la mayoría de los países) a grados Fahrenheit está dada por

una función afín, a saber: º325

9 CF . Teniendo en cuenta esto:

a1) ¿A cuántos ºF hierve el alcohol si se sabe que lo hace a 78ºC? a2) ¿A cuántos ºC equivalen 68ºF? a3) ¿Cuáles son las temperaturas de fusión y de ebullición del agua en ºF? b) Un empresario que fabrica cierto producto tiene un costo mensual fijo (alquiler del local, mantenimiento de máquinas, etc) de $500 mensuales y además $5 por cada kg de producto fabricado: b1) ¿Cuál es la función que representa el costo mensual total de la empresa? b2) ¿Cuál será el costo total mensual si se fabrican 1.500 kg del producto? b3) ¿Qué significan la pendiente y la ordenada al origen en este caso? c) La demanda de un artículo determinado se relaciona con el precio de éste mediante una función lineal. Si, por ejemplo, la función demanda en el mercado de los lápices está dada por la ecuación pq 4200 , donde q representa la cantidad

demandada y p, el precio de venta: c1) ¿Cuántos lápices se comprarán si el precio de venta es $2, $3, $10? c2) ¿Cómo es la pendiente? ¿Qué significa esto? c3) Representa gráficamente la función demanda de lápices. d) El departamento de ventas de una empresa informa que durante el primer bimestre las ventas realizadas estuvieron en el orden de los $35.000 y que en el segundo, las mismas ascendieron a $55.000. Sabiendo que las ventas se relacionan con el tiempo mediante una función afín, se pide: d1) Graficar la función utilizando los datos. d2) Dar la ecuación de la función d3) Calcular el monto de venta esperado en el 5º bimestre.

p

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

p

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 p

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

p

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

11

EJERCICIOS DE REPASO

1. Escribe la pendiente, ordenada al origen y raíz de las siguientes rectas:

a) 32 xy b) 0243 yx

c) 147

yx d) 01535 yx

2. Completa la tabla:

3. Grafica las siguientes funciones teniendo en cuenta los datos de la ecuación:

a) 147

yx b) 3

4

3 xy

4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto 1;2 y es perpendicular

a la recta determinada por los puntos 4;1 y 1;3 .

5. Encuentra analíticamente la intersección de las rectas del ejercicio anterior.

Ec. explícita Ec. implícita Ec. segmentaria

5

1

3

1 xy

1

4

7

1

yx

046 yx

12

13

14

15

UNIDAD Nº 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

1) Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) 9

692

2

x

xx b)

xx

x

2

1

312

2

2

c)

xxx

xx

23

2

2

22

d) 82

62

2

x

xx e)

xx

xx

62

272

4

f)

14122

49142

2

xx

xx

2) Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a)

1

34

2

42

92

2

xxx

x

x

x b)

1

1112

4

2 x

x

xx

x

x

c)

2

44:

16

4 2

4

2

x

xx

x

x d)

84

2:

2

4 23

x

xx

x

xx

e)

3

55:

96

62

6

332

22

x

x

xx

xx

x

x f)

441:

1

2

4

2

x

x

x

xx

x

x

g)

x

x

xx

xxx

6

16:

123

168 2

23

23

h)

x

x

x

xx

xx

xx 1:

1

112 32

2

2

i)

1

65:

54

25

152

62

2

2

2

2

2

x

xx

xx

x

xx

xx

3) Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones:

a)

5

1

25

10

5

22 xxx

b)

1

1

1

1

x

x

x

x

c)

14

3

12

2

12

52xx

x

x

x d)

4

4

168

22 xxx

x

16

e)

9

6

93 2xx

x f)

462

1

4212

12 xxx

x

x

g)

21

22

x

xx h)

1

1

1

2

1

123 xx

x

x

x

x

i)

122

32

1

132 x

x

x

x

x

x j)

3232

2

96

1222 xx

x

xx

x

xx

x

4) Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a)

1:

11

2

2

2

x

xx

x

x

x

x

b)

1

12

333

6622

2

xxx

x

xx

x

c)

122412

44

1

13

1 2

2

2 xx

x

x

x

x

x

d)

2:

1

x

x

xx

e)

8125

1.3

3

3

1

22

2

x

xxx

x

x

x

x

f)

56

5

2510

3

32

25222

2

xx

x

xx

x

xx

x

g)

4

16

4

4

4914

16

7

22

2

x

x

x

xx

x

x

h)

4

2

2

2

1

11

1:

1

x

xx

x

x

x

x

i)

2

2

2

23

2

23

1

1

1

133

1

133

x

x

x

xxx

x

xxx

j)

23

234

2

3

42

842:

4

8

2

11

xx

xxx

x

x

x

5) Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) 01

2

1 2

xx

x b)

1

3

1

2

1 2

xxx

x

INSTITUTO ESPÍRITU SANTO

MATEMÁTICA 5° AÑO

17

c) 031

1

x d)

xx

x

xx

2

1

1

11

e) 0151

2

12

xxx f) 2

4

4

2

22

x

x

x

x

g) 26

2

2

x

x

x

x h)

3

13

xx

i) 12

21

2

12

x

x

x

x j) 1

11

12

x

x

x

k) 1

5

1

2

1

12

2

x

x

xx l) 1

2

3

2

22

xxx

EJERCICIOS DE REPASO:

Resuelve:

a) (3𝑥4−48)(𝑥3+𝑥2)

𝑥3(𝑥2+4)(𝑥2−𝑥−2)=

b) 3𝑥

𝑥2−1+

𝑥+1

𝑥2+2𝑥+1=

c) 𝑥+2

𝑥+1−

𝑥+1

𝑥+2=

d) 𝑥4

7𝑥3+21𝑥2 :𝑥

𝑥3−9𝑥=

e) 𝑥3+27

𝑥2+3𝑥+9:

𝑥2−3𝑥+9

𝑥3−27+ 𝑥2 =

f) (2𝑥2−3𝑥+1

𝑥3+1−

5

2𝑥+2+

1

𝑥2−𝑥+1) . (2𝑥 + 2) =

g) 𝑥3−1

𝑥: (

2

2𝑥2+2𝑥+ 1) =

h) (𝑥−5

5+

5

𝑥+5) : (𝑥 − 5 +

25

𝑥+5) =



18



19



20



21

UNIDAD Nº 3: FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Haz un gráfico aproximado de una función cuadrática cbxaxy 2 sabiendo

que:

a)

0

0

0

c

b

a

b)

0

0

0

c

b

a

c)

0

0

0

c

b

a

d)

0

0

0

c

b

a

e)

0

0

0

c

b

a

2. Grafica las siguientes funciones, calculando e indicando en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen.

a) 22 xxy b) 322 xxy c) 862 xxy

d) 542 xxy e) 12123 2 xxy f) 273 2 xxy

3. ¿En qué forma está expresada cada función cuadrática? ¿Qué significan los distintos parámetros en cada una? Pasa cada ecuación a las demás formas conocidas.

a) 342 xxy b) 322

1 xxy c) 232

2 xy

d) 9124 2 xxy e) 412 xy f) 3

2

52

xxy

g) 344

3 2 xy h) 3

4

14

xxy i) 322 xxy

4. Calcula el discriminante de la función cbxaxxf 2)( y marca con una cruz

donde corresponda:



22

5. Escribe las siguientes funciones en la forma más conveniente, de acuerdo a los datos:

a) El vértice es 2;3 y pasa por el punto 1;0

b) Corta al eje X en 0;1 y 0;4 y pasa por el punto

6

5;4

c) La suma de las raíces es 6

5 , su producto es 1 y 12a

d) Las raíces son 5

21 x ,

2

12 x y la ordenada al origen es 1 .

e) Las raíces suman 3 , el producto de ellas es 2 y 4b

6. Escribe la forma polinómica de las siguientes funciones, teniendo en cuenta los datos del gráfico:

a b c Δ Raíces reales

distintas

Raíces reales iguales

Sin raíces reales

1 4 4

1 3 4

2 22 1

1 0 3

3 6 33



23

ECUACIÓN CUADRÁTICA

7. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) 3231 22 xxxx

b) xxxx2

1102

2

11

c) 11241 2 xxxx

d) 062 2 xx

e) 223

2325

xxx

f) 06,04,02,0 2 xx

g) 185,022 2 xxxxx

h) 462 2 xxxx

8. Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) ¿Cuál es el número, distinto de cero, que sumado a su cuadrado es igual a su cuádruple?

b) ¿Cuál es el número tal que la suma entre dicho número y el cuadrado de su consecutivo sea 56?

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2



24

c) Calcula la edad de Lorena sabiendo que el cuadrado de su edad menos las tres cuartas partes del cuadrado de la edad que tendrá el año siguiente es igual a la edad que tenía el año pasado más 43 años.

d) Mariano tiene 3 CDs más que Diego y si multiplicamos ambas cantidades obtenemos 1.258. ¿Cuántos CDs tiene cada uno?

e) Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden cmx 3 y cmx 4 y su hipotenusa es de cmx 5

f) Calcula la medida de cada lado de un rectángulo si su superficie es de 84 cm2 , su ancho es cmx 7 y su largo, cmx 32 .

g) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función 22000.1)( zzzI , donde z es la cantidad de zapatos que fabrica en el mes. Realiza

el gráfico aproximado de la función y responde:

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿Y 375 pares?

c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?

h) El costo total de producir q paquetes de yerba está dado por la siguiente

función: 25500.1000.100 qqC . ¿Cuántos paquetes de yerba deberán

fabricarse a los efectos de minimizar el costo total?

i) Una empresa dedicada a la venta de productos por catálogo considera que las utilidades que se obtengan dependen de que existan más vendedores por zona, ya que así se incrementaría el nivel de ventas. La función de beneficios es:

500.160015 2 xxB , donde x es el número de vendedores asignados por zona. ¿Cuántos vendedores harán máximo el beneficio? ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?

9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en forma analítica y gráfica:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 2

b) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 12 𝑗(𝑥) = 2𝑥 − 13



25

c) 𝑡(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 12

𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 6 10. Calculen las dimensiones de un rectángulo, cuyo perímetro es de 50 cm, para que su área sea máxima.

11. La suma del cuadrado de un número entero y el cuadrado del duplo del consecutivo es 232. ¿Cuál es el número?

12. Calcular la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de la altura y que el área es 48.

13. Calcular el perímetro de un rectángulo cuya área es 168, sabiendo que la diferencia entre la base y la altura es 2.

14. Calcular la altura de un triángulo de 270.75 de área, sabiendo que la medida de su altura es igual a las dos terceras partes de la medida de la base.

15. El área y el perímetro de un rectángulo son respectivamente 189 y 57. Calcular la longitud de su diagonal.

16. Calculen el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos raíces reales iguales.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑘𝑥 + 𝑘 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑘 − 1). 𝑥 − 𝑘

17. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función 𝐼(𝑧) = 1000𝑧 − 2𝑧2, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.

Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan.

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos?¿y 375 pares?

c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?

18. Si la diferencia entre dos números es 6, ¿cuáles deben ser los números para obtener el menor producto? ¿Cuál es ese producto?



26

19. En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de haberlos dejado en la isla está dado por:

𝐼(𝑡) = −𝑡2 + 22𝑡 + 112 (𝑡 > 0)

Calculen:

a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó. b) ¿En qué momento la población de iguanas se extingue?

20. Reconstruye la ecuación de 2º grado en cada caso:

a) 2

5

3

121 xx b)

2

31 21 xx c) 5

2

1321 xx



27


1. Grafica las funciones indicando raíces, vértice, ordenada al origen y eje de simetría:

a) 2

542 2 xxy b) 442 xxy

2. Expresa cada función en todas las formas posibles:

a) 1132 2 xxy b) 4142 xy

c) 312

1 xxy

3. Escribe la ecuación polinómica de una parábola cuyo vértice es 6;0 y

sabiendo que el punto 0;3 pertenece a ella.

4. Escribe la ecuación canónica de una parábola sabiendo que la suma de sus raíces es 8 y el producto, 15 y que corta al eje de las ordenadas en el punto 15;0

5. Escribe la ecuación polinómica de una parábola sabiendo que el punto 10;3

pertenece a ella y que sus raíces son 21 21 xx .

6. Completa el cuadro:

Polinomio Polinomio factorizado Raíces

4.2.2 xxxxP

-3,1,0

1682 xxxQ



28



29



30



31

UNIDAD N°4: FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

1) Calcular los siguientes logaritmos aplicando la definición:

a) log4 64 = b) log2 32 = c) log31

3=

d) log 0,001 = e) log2

3

27

8= f) log1

2

128 =

2) Resolver aplicando las propiedades:

a) log2(8. √2) = b) log31

√27=

c) log4 √1

4. √2

3= d) log (

1

100. √0,1) =

3) Sabiendo que log 𝐴 = 2, log 𝐵 = 3 y 𝑙𝑜𝑔𝐶 = 4; calcular los siguientes

logaritmos:

a) log(𝐴. 𝐵2) = b) log √𝐵

𝐶2 = c) log (𝐵3

√𝐴. 𝐶) =

4) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log1

2

(𝑥 − 2) = −1 b) log3(𝑥 − 5) = 0 c) log5

2

(𝑥 −3

4) = 2

5) Grafica las siguientes funciones:

a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥 c) 𝑦 = log 𝑥

d) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 1) e) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

4

(𝑥 + 2) f) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

3

𝑥 + 4

g) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔5𝑥 − 2 h) 𝑦 = 2𝑥 i) 𝑦 = (1

4)

𝑥

j) 𝑦 = 𝑒𝑥 k) 𝑦 = 2𝑥−1 l) 𝑦 = (1

2)

𝑥+3

m) 𝑦 = 2𝑥 − 1 n) 𝑦 = (1

3)

𝑥

+ 2

6) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) 𝑙𝑜𝑔1

2

(𝑥 − 2) = −1 b) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 5) = 0



32

c) 𝑙𝑜𝑔5

2

(𝑥 −3

4) = 2 d) 2. log3 𝑥 + 4 = 0

e) 10. log5 𝑥 − 5. log5 𝑥 + 5 = 0 g) 2.log2 𝑥−3

3= 1

h) 08log.17log.2 2

2

2 xx i) 0110loglog.5 x

j) 06loglog 3

2

3 xx k) 3log5log 55 xx

l) 021.9log1log 99 xx m) 8lnln 3 xx

n) 054loglog 22 xx ñ) 05log.2log 2

5

2

5 xx

o) 0log.5log 2

2

2 xx p) 03log.2log 5

2

5 xx

7) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 042.2

1x b) 043.4 x

c) 085.35 12 xx d) 042.92.2 xx

e) 042.92.2 xx f) 3033 11 xx

g) 02.32 1 xx h) 1629.3 2 xx

i) 5𝑥+1 − 5𝑥 = 20 j) 2

7222 12 xxx

k) 221010 1 xx l) 032 xx ee

m) 033.263.3 2 xx n) 013.43.3 2 xx

8) Otras ecuaciones:

a) 103.93 22 xx

b) 033.3 3142 xx

c) 13.103:33 xxxx

d) x

x

xx

2

1

2 1010

1010.2

e) 0.5 12 xxx eeee



33

f) 12 1 55 x xx x

g) 093 16 x xx x

h) 2

7 49log2

1

x

x

x

i) 06

log2

2

x

x

j) 250255 2

x

x

k) 8log3log2log 244 xx

l) xx 28 1

m) 2log 1 xx

9) Indicar en cada caso la respuesta correcta del valor de "𝑥":

a) 3𝑥+3 = 9 i) 1 ii) 0 iii) −1 iv) 2

b) 32𝑥 =1

81 i) 2 ii) −2 iii) 1 iv) −1

c) 24𝑥 = (0,5)4𝑥+2 i) 1

4 ii) 0 iii) −

1

4 iv) 2

d) 5(𝑥−1)(𝑥+2) = 1 i) (1, −2) ii) (−1,2) iii) (5, −4) iv) (0, −2)

e) log𝑥+2 3 = 1 i) 0 ii) 1 iii) −1 iv) −2

f) 1

3. log2(1 + 7𝑥) = 2 i)

3

7 ii) 1 iii) −9 iv) 9

g) log3(𝑥 + 5) − log3(𝑥 − 1) = 1 i) 4 ii) 1

4 iii) −

7

2 iv) 2

h) log𝑥 2 + log𝑥 6 = 2 + log𝑥 3 i) 6 ii) 4 iii) −4 iv) 2



34



35



36



37

UNIDAD Nº 5: NÚMEROS COMPLEJOS

1. Representa gráficamente los siguientes complejos:

a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖 b) 𝑧2 = 𝑖 c) 𝑧3 = (5; 0)

d) 𝑧4 = (0; −3) e) 𝑧5 = −5 − 2𝑖 f) 𝑧6 = 5 − 2𝑖

2. Halla el valor de las siguientes raíces:

a) √−25 = b) √−8 = c) √−12 = d) √−5 =

3. Halla los valores reales de x e y que verifiquen las siguientes igualdades:

a) (2𝑥 ; 𝑦 + 2) = (4 ; −1) b) (−1

2𝑥 + 3 ; −𝑦 +

1

4) = (0 ; 1)

c) (3𝑥 − 1) + (1 − 𝑦)𝑖 = 2 + 3𝑖 d) (2𝑥 − 5)𝑖 − 4𝑦 + 1 = 3 − 𝑖

e) 2𝑥 + (3𝑦 + 5)𝑖 = 8 + (3 + 𝑦)𝑖 f) 2𝑥 + 2𝑦𝑖 = (𝑥 + 3) +1

2𝑖

4. Halla el módulo y el conjugado de cada número complejo: a) 𝑧1 = 12 + 5𝑖 b) 𝑧2 = 3 − 𝑖 c) 𝑧3 = −4 − 2𝑖

d) 𝑧4 = √2 − √6𝑖 e) 𝑧5 = 6𝑖 f) 𝑧6 = 3 + √5𝑖

5. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) (−9; 18) + (8; −2) = b) (−4; 3) − (−2; −3) =

c) (−8 + 9𝑖) + (6 − 11𝑖) = d) (4 − 7𝑖) − (−2 + 3𝑖)

e) (1

2+ 2𝑖) + (−

1

3+ 4𝑖) − (

1

2− 2𝑖) = f) (1 − 3𝑖) − (2 −

1

2𝑖) + (

1

2− 𝑖) =



38

6. Calcula las siguientes potencias: a) 𝑖14 = b) 𝑖523 = c) 𝑖116 = d) 𝑖218 =

e) (2 − 6𝑖)2 = f) (1 + 2𝑖)3 = g) (1 − 𝑖29)2 = h) (2 + 𝑖35)3 =

7. Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) (8 + 2𝑖). (−3 + 𝑖) = b) (5 − 4𝑖). (−3 − 𝑖) =

c) (4; 6). (−2; 3) = d) (√3 + 𝑖). (2√3 + 4𝑖) =

e) (√5 − 𝑖). (√5 + 𝑖) = f) (1

2+ √3𝑖) . (

1

2− √3𝑖) =

8. Resuelve las siguientes divisiones:

a) 4+2𝑖

4−2𝑖= b)

2+𝑖

3−2𝑖= c)

5+3𝑖

1+4𝑖= d)

√6−√10𝑖

√3+√2𝑖=

9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) (6−2𝑖).(5+3𝑖)

2+2𝑖= b)

3+2𝑖

𝑖+ (6 − 𝑖)2 − 3𝑖2 =

c) (3𝑖50−2𝑖23)

2

2−3𝑖= d) (

5

6∙

6−12𝑖

1+2𝑖)

2

=

e) (−2+2𝑖)2−(5−𝑖)

1−(−2+2𝑖)= f) (−1 − 3𝑖)2 − (3 + 𝑖) ∙ (−2 + 2𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) =

g) (−2+2𝑖)∙(1−2𝑖)−(5−𝑖̅̅ ̅̅ ̅)

(−1−3𝑖)−(3+𝑖)= h)

𝑖−2+|3+4𝑖|−𝑖4−(8𝑖−5)

1+𝑖=

10. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) −2𝑥2 − 24 = 0 b) 𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0



39

c) (2𝑥 + 1)2 = −9 d) 𝑧 + 𝑖 = 4 + 𝑧𝑖 + 3𝑖

e) 2𝑧 − 3𝑖 + 1 = 𝑧𝑖 − 2 f) 2𝑥 − (𝑦 + 𝑥)𝑖 − 𝑦 = 4 − 2𝑖

g) 3𝑥 + 4𝑖 + 𝑦 = 2𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 + 1 h) 3𝑥𝑖 − 2(𝑥 − 3𝑦) + 𝑦𝑖 = 1

i) −𝑖 +1

2𝑥 − 4𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑦 − 2 j) 𝑧2 + 3𝑖𝑧 + 4 = 0



40


1. Expresa 𝑧 = √3 + √5𝑖 en forma cartesiana, grafícalo, escribe su conjugado y calcula su módulo

2. Resuelve:

a) (1 − 2𝑖) ∙ (3 + 𝑖) − (−4 + 3𝑖) ∙ (−2 + 5𝑖) =

b) (1−2𝑖)2

(5−𝑖)+(−2+2𝑖)=

c) [(3 + 𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ) − (1 − 2𝑖)]3 − (−4 − 3𝑖) =

d) (−2+5𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)−(3+𝑖)

(1−2𝑖)−(4+3𝑖)=

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 𝑥2 − 4𝑥 + 13 = 0

b) 𝑧 − 2𝑖 − 3 = 4 − 𝑧𝑖

c) −2𝑦𝑖 + 4𝑦 = 𝑥 − 𝑥𝑖 − 1

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Prof. Álvarez, Soniaespiritusantocordoba.org/material/2017/NMEDIO/5º Año...3 PROGRAMA DE MATEMÁTICA(5º Año) Unidad Nº 1: Función Lineal Función lineal. Gráfica Ecuación