Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Örnek: Aşağıda 100 yetişkine ilişkin kolesterol

değerlerini sınıflandırılarak aritmetik ortalamasını

bulunuz (sınıf aralığını 20 alınız).

2

3

221.520100

40229.5C

n

fb

Ax

• Örnek:. Aşağıda yaşların verilen 56 öğretmenin yaşlarının

aritmetik ortalaması nedir? (Sınıf aralığını 5 olarak alınız)

4

25 32 35 41 41 31 46 51 37 32

35 44 26 36 43 41 38 33 44 39

31 47 32 42 48 28 47 35 34 42

40 50 37 49 31 42 33 43 28 40

49 27 41 36 35 43 26 34 36 33

45 33 42 52 38 44

Cn

fbAx

Çözüm:

5

Yaş Sınıf Değeri (SD) Frekans

(f)

b fb

25-29 27 6 -3 -18

30-34 32 13 -2 -26

35-39 37 11 -1 -11

40-44 42 (SD) 16 0 0

45-49 47 7 +1 +7

50-54 52 3 +2 +6

Toplam 56 -42

38.25x

38.25 5x 56

4242C

n

fbAx

A = 42 C = 5 n = 56 Σfb = -42Değerler formülde yerine yerleştirilir.

Ortanca (medyan):

Ortanca, düzensiz verileri küçükten büyüğe veya

büyükten küçüğe doğru sıraladıktan sonra, sıralamanın

tam orta noktasındaki değer olarak tanımlanabilir.

Ortanca dağılımdaki aşırı değerlerden etkilenmez.

Dağılımda aşırı değerler varsa aritmetik ortalamanın

yerine ortanca kullanılabilir. Ortancada, dağılımdaki

değerlerin yarısı ortancaya eşit veya daha küçük, yarısı

da ortancaya eşit veya daha büyüktür.

Ortancanın hesaplanması, aritmetik ortalamada olduğu

gibi sınıflandırılmamış ve sınıflandırılmış verilerde farklı

şekilde yapılır. 6

Ortancanın tespiti:

Dağılımdaki değerler büyükten küçüğe veya küçükten

büyüğe doğru sıralandığında ortadaki değer

ortancadır.

Sınıflanmamış Verilerde Ortancanın Hesaplanması

1) Denek sayısı tek ise [(n+1)/2]’ci değer,

2) Denek sayısı çift ise tam orta noktada bir değer

olmadığından [n/2]’ci değer ile [(n+2)/2]’ci değer

toplanıp 2’ye bölünerek ortanca tespit edilir.

7

Örnek: 15 çocuğun vücut ağırlıkarı aşağıda verilmiştir. Ortancayı bulunuz

8

31.9

30.6 29.4 39.9 28.1 29.0 30.4 26.3 29.4 22.5 30.0 33.6 28.0 31.0 32.6

Önce değerleri küçükten büyüğe göre sıralayalım:

22.5 26.3 28.0 28.1 29 29.4 29.4 30.0 30.4 30.6 31.0 31.9 32.6 33.6 39.9

n sayısı tek olduğundan [(15+1)/2]=8’ci değer 30.0 ortancadır.

Örnek sayısının 14 olduğunu yani 39.9 değerin olmadığını

düşündüğümüzde ise ortanca [14/2]=7’ci ve [(14+2)/2]=8’ci

değerlein toplamımının yarısıdır. Yani (29.4+30.0)/2=29.7’dir.

Örnek: 7 öğrencinin ağırlıkları (kg)

55, 46, 75, 45, 50, 58, 53 olarak bulunmuştur.

Ortancayı bulmak için;

Önce değerler küçükten büyüğe doğru ya da tersi

sıralanır.

45, 46, 50, 53, 55, 58, 75

n=7 olduğundan (7+1) / 2 = 4

Ortanca 4’ncü değer olan 53’tür.

9

● Denek sayısı çift ise; n/2’nci sıradaki değer ile (n+2)/2’

nci sıradaki değer toplanıp 2’ye bölünerek ortanca

bulunur.

Örnek: 8 öğrencinin ağırlıkları (kg): 55, 46, 60, 45, 50, 58,

53, 80 olduğuna göre ortanca kaçtır?

• Önce değerler küçükten büyüğe doğru ya da tersi

sıralanır.

45, 46, 50, 53, 55, 58, 60, 80

• n=8 (çift) olduğundan 8/2 = 4 ve (8 + 2)/2 = 5

4. ve 5. değerler, 53 ve 55’in ortalaması olan

(53+55) /2 = 54 ortancadır.

10

• Sınıflanmış Verilerde Ortancanın Hesaplanması

Sınıflandırılmış verilerde ortancanın hesaplanmasında

sırası ile şu işlemler yapılır:

1. Sınıflar yazılır.

2. Her sınıfın frekansı yazılır.

3. Yığılımlı frekans (yf) bulunur. Yığılımlı frekans her

sınıfın frekansının önceki frekanslarla toplamıdır.

11

● Sınıflandırılmış verilerde ortanca formülü:

● Formülde: L = Ortancanın içinde bulunduğu sınıfın sınıf ara değeridir.

Bu değer; ortancanın içinde bulunduğu sınıfın alt sınırı ile

bir üstündeki sınıfın üst sınırının toplanıp ikiye bölünmesi ile

elde edilir. yfi = Ortancanın içinde bulunduğu sınıfın bir üstündeki

sınıfın yığılımlı frekansı. f = Ortancanın içinde bulunduğu sınıfın frekansı. C = Sınıf aralığı. n = denek sayısı. 12

Cx f

yf2n

LOrtancai

● Örnek: Aşağıdaki sınıflandırılmış verilerde ortancanın

hesaplanması:

● Formüle yerleştirilecek değerleri bulmak için önce

ortancanın hangi sınıfın içinde olduğunu bulmak gerekir.

Bunun için, (n/2) =100/2=50 bulunur. 50 yığılımlı frekans

kolonunda 67’nin içinde bulunduğundan ortancanın içinde

bulunduğu sınıf 30 – 34 sınıfıdır. 13

L = (30+29)/2 = 29,5

n/ 2=50

yf = 37

C = 5

f = 30

14

Cx f

yf2n

LOrtancai

6.315x 30

372

100

5.92Ortanca

15

Tepe değeri (Mod): Sınıflanmamış verilerde tepe değeri en

çok görülen, yani en çok tekrarlayan değerdir. Aşağıdaki

dağılımda tepe değeri 11.0 dır.

10.5 10.0 10.4 11.0 11.0 11.6 12.0 11.8 11.0 11.0 13.6 14.0 10.1 12.3 11.5

Bir dağılımda aynı sayıdan görülen değişik değerler varsa tepe

değeri kullanılmamalıdır. Aşağıdaki dağılımda tepe değeri

olabilecek 3 değer (24, 31 ve 54) vardır. Birbirinden farklı bu 3

değerin üçünü de tepe değeri olarak kullanmanın bir anlamı

yoktur. Böyle bir durumda tepe değeri uygun bir ölçüt

olmamaktadır.31.0 24.0 19.0 24.0 31.0 45.0 54.0 67.0 54.0 54.0 24.0 27.0 27.0 31.0

● Örnek: Bir grubun matematik sınavından aldığı puanlar;

40, 40, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 45, 45, 50, 50, 55 ve

60 olsun. Bu dizide 43 en çok tekrarlanan değer

olduğundan tepe değeri = 43’dür.

● Gözlem sonunda elde edilen ölçümlerin her birinin tekrar

sayısı birbirine eşitse bu durumda tepe değeri olmaz.

• Örneğin; 45, 47, 55, 57, 60, 72, 77 ya da 45, 45, 50, 50,

56, 56, 58, 58, 60, 60, 75, 75 ve 80, 80 dizilerinde tepe

değeri yoktur. Çünkü iki dizide de ölçümlerin hepsi eşit

sayıda tekrarlanmıştır.

16

Ardışık iki ölçüm birbirine eşit sayıda ve öbür

ölçümlerden daha çok tekrarlanmışsa, bu gibi

durumlarda, tepe değeri ardışık iki ölçünün orta

noktasıdır.

Örnek: 50,50, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 53,

54, 55, 55, 55 ve 56 şeklindeki bir dizide;

Tepe değeri = 52,5 olur. Çünkü 52 ve 53 eşit sayıda ve

öbür ölçümlerden daha çok tekrarlanmaktadır; bunların

orta noktası da 52,5’dir.

17

Sınıflandırılmış verilerde tepe değeri en fazla

frekansa sahip olan sınıfın değeridir.

Ayrıca Sınıflandırılmış verilerde tepe değeri aşağıdaki

formül kullanılarak da hesaplanır:

Bu formülde;

TD = Tepe Değeri

L= Frekansı en fazla olan sınıfın sınıf ara değeri

d1 = Tepe sınıfı ile bir önceki sınıfın frekansları farkları

d2 = Tepe sınıfı ile bir sonraki sınıfın frekansları farkları

C= sınıf aralığı 18

1

1 2

dT.D. =L + ×C

d +d

Örnek:

● Yukarıda frekansı en büyük değerin karşısındaki sınıf

15 – 19 sınıfıdır.

● Bu sınıfın sınıf ara değeri (14 + 15) / 2 = 14.5’dir.

19

1

1 2

dT.D. =L + ×C

d +d

Aritmetrik ortalama, ortanca ve tepe değeri ilişkileri:

1) Simetrik dağılımlarda aritmetrik ortalama, ortanca ve

tepe değeri birbirine eşittir.

20

21

2) Sağa çarpık dağılımlarda küçük değerlerde bir yığılma

olduğundan tepe değeri ortancadan, ortanca ise

aritmetrik ortalamadan küçüktür.

3) Sola çarpık dağılımlarda büyük değerlerde yığılma

olduğundan tepe değeri ortancadan ve ortanca da

aritmetrik ortalamadan büyüktür.

22

Geometrik ortalama (G.O): Mikroorganizmaların çoğalması,

nüfus artışı, fiyat artışı gibi birbirinin katları olarak çoğalan

yani geometrik artış gösteren verilerde ortalama

hesaplamak için kullanılan bir ortalama ölçüsüdür. n tane

değerin birbiriyle çarpımlarının n’inci kökü alınarak

hesaplanır. Bu nedenle dağılımda negatif veya sıfır değerler

varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. Geometrik

ortalamanın formülü:

Bu formül ile hesaplama yapabilmek için logaritma alınarak

kolayca çözüme ulaşılabilir.

23

1 2 ( . ) . .......... nnGeometrik Ortalama GO X X X=

1 2log log .......log ( . )

nX X XGeometrik Ortalama GO

n

+ +=

● Örnek 1: Bir bakterinin 5 farklı zamanda çoğalma miktarları

(yüzde olarak) 2, 4, 8, 16 ve 32 olarak hesaplanmıştır.

Bakteri çoğalma miktarları için geometrik ortalamayı

hesaplayınız.

● Örnek 2: Bir köyün 6 yıllık nüfusları 300, 325, 400, 545, 690

ve 850 olsun. Altı yıllık ortalama nedir?

veya

24

5. (2)(4)(8)16)(32) 8.0GO = =

log300 log325 log 400 log545 log 690 log850. log 482

6GO Anti

+ + + + +æ ö= =ç ÷è ø

6. . (300)(325)(400)(545)(690)(850) 482GO = =

● Harmonik ortalama (H.O): Uygulama alanı son derece

sınırlıdır. Sabit ve değişken değerlerin yer

değiştirebileceği hız, fiyat ve verimlilik hesaplarında

uygulanır. Seride sıfır veya sıfırdan küçük terim varsa

harmonik ortalama uygulanamaz. İstatistik serisi

terimlerinin terslerinin aritmetrik ortalamasının tersi

harmonik ortalamadır.

25

xi

n

1H.O.

Örnek

● Harmonik ortalamanın kullanımı bir hız problemi örneği

ile açıklayalım. A ve B şehirleri arasında y km

uzunluktaki bir yolu 3 araba Z1 ,Z2 ve Z3 zamanında

gidiyor olsun .

26

● A ve B şehirleri arasındaki yolu 1.araba 120 km/s,

2.araba 100 km/s ve 3.araba ise 50 km/s hızla gidiyor ise

ortalama hız:

bulunur.

27

Değişim Genişliği (D.G) 

● Bir örnekteki en büyük gözlem değeri ile en küçük

gözlem değeri arasındaki farktır.

● D.G=En büyük gözlem değeri –En küçük gözlem değeri

● Değişim genişlikleri eşit bulunsa bile farklı rakamlardan

oluşan gözlem değerlerinin birbirinden olan farklılıkları

ortaya konamaz.

28

29

ÖRNEK :

A örneği

Değişim Genişliği (DG)= 21-5=16

B örneği

Değişim Genişliği (DG)= 21-5=16

Değişim genişliği yaygın olarak kullanılan iyi bir değişim

ölçüsü değildir. Çünkü sadece bir örnekteki en büyük

gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri arasındaki

farkı verir. Örneği oluşturan tüm gözlem değerlerinin

birbirinden olan farklılıkları hakkında bir bilgi vermez .

5 11 14 5 8 10 16 21

5 14 13 12 14 17 16 21

• Ortalamadan Mutlak Sapma

Bir örnekteki gözlem değerlerinin ortalamadan olan

sapmalarının mutlak değerlerinin ortalamasına, ortalama

sapma (O.S) denir.

30

31

● Dikkat edilecek olursa, eşitlikte farkların mutlak

değerleri alınmaktadır. Bu mutlak değer alma işlemi

gerçekleştirilmez ise bir seride yer alan bütün

terimlerin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı her

zaman için 0 (sıfır) olacağından faydalı bir değer

olmayacaktır.

● Medyan değeri kullanılarak hesaplanan medyan

sapma için aşağıdaki eşitlik kullanılır.

32

Örnek: Piyasada satılmakta olan 500 gr.’lık 6 yoğurt

markasının kaymakları alınarak tartılmış ve 17, 17, 21,

24, 24, 27 gr. olarak bulunmuştur. Kaymak ağırlığı

değişkeni için aralık değerini, ortalama ve medyan

sapma değerlerini hesaplayınız.

Çözüm: Önce kaymak ağırlığı değişkeni için değişim

aralık değerini hesaplayalım. Değişim aralığı en büyük

ve en küçük değer arasındaki farktır.

Değişim aralığı= 27-17= 10 gr.’dır.

Ortalama ve medyan sapma değerlerini bulabilmek için

öncelikle ortalama ve medyan değerlerinin bulunması

gerekir.

33

Basit seride aritmetik ortalama eşitliği kullanılarak

aritmetik ortalama hesaplanır.

Seri küçükten büyüğe sıralı verilmiştir. Seride 6 terim

olduğuna göre, (n/2)=6/2=3. değer ve (6+2)/2=4.

değerlerinin toplamının yarısı ortancayı verir. Seride

yer alan 3. terim değeri 21 ve 4. terim değeri 24

olduğundan bu serinin medyanı 21 ve 24 değerlerinin

ortalaması olan 22,50’dir.

67.216

130

6

272424211717

x

34

Şimdi bu değerlerden yararlanarak izleyen tablo

oluşturulabilir. Aritmetik ortalama=21.67

35

ÖRNEK : A ve B örneklerine ait ortalama sapma nedir?

A B

7 5

11 14

14 13

5 12

8 14

10 17

16 16

21 21

36

Ortalama sapma hesaplanırken gözlem değerlerinin

birbirinden olan farklılığı değil ortalamadan olan sapmaları

dikkate alınır. Ortalama sapma istatistik testlere uygun bir

değişim ölçüsü olmadığından tercih edilen değişim ölçüsü

varyanstır .

37

ÇEYREK ve YÜZDELİKLER

● Ortalamalar dağılımın orta noktasını gösteren ölçülerdir.

Çeyrek ve yüzdelikler ise dağılımın herhangi bir

noktasını gösterirler. Örneğin, birinci çeyrek 25.

yüzdeliktir (veya % 25. değerdir). İkinci çeyrek % 50.

değer veya ortancadır. Üçüncü çeyrek 75. yüzdeliktir

(veya % 75. değerdir). En çok kullanılan yüzdelikler

birinci ve üçüncü çeyreklerdir. İstenilen herhangi bir

yüzde değer de kolayca hesaplanabilir.