Qui luật phân phối xác suất thường gặp

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến

Qui luật phân phối xác suất thường gặp

1

Chương 3


Xét tập hợp có N phần tử.

Lấy ngẫu nhiên n phần tử.X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.Qui luật ppxs của X?

Bài toán

2

MN MTính chất A


Bài toán• Ta có: X={0,1,2,…,k}

• Bnn X gọi là có phân phối Siêu bội• X~H(N, M, n)

3

k n kM N M

nN

C CP X k

C

.


Phân phối Siêu bội

Kí hiệu: X~H(N,M,n)Định nghĩa: Bnn X gọi là phân phối theo qui luật

siêu bội nếu:• X={0,1,2,3…n} • Với xác suất tương ứng là:

4

k n kM N M

nN

C CP X k

C

.


Ví dụ 1Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5

bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó mua phải.

a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?b) Lập bảng phân phối xác suất của X? Tính kì

vọng, phương sai của bnn X?

5


Có 100 bóng đèn.

Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.X: số bóng hỏng.

Ví dụ 1

6

595

Tính chất A: hỏng

100 5 3X H , ,

5

5 953100

k kC CP X k

C


Phân phối siêu bộiBảng ppxs:

7

X 0 1 2 3P 0,856 0,138 0,006 0,000

0 15

0 1395

E X

V X

,

,


Các tham sốCho bnn X~H(N,M,n) ta có:

Trong đó:

8

1

N nE X np Var X npq

N

;

1 ;M

p q pN


Tính lại kết quả Ví dụ 1Kỳ vọng:

Phương sai:

9

53 0 15

100E X np . ,

1

5 95 97 18433 0 13962121

100 100 99 13200

N nV X npq

N

V X

. . . ,


Ví dụ 2Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.

Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩm trong 4 sp.

a) Lập bảng phân phối xác suất của X.

b) Tính E(X), Var(X)?c) Tìm Mod(X), Med(X)?

10


Phân phối Nhị thức (Bernoulli)Kí hiệu: X~B(n,p)Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo

qui luật Bernoulli nếu• X={0,1,2,3…n} • Với xác suất tương ứng là:

11

k k n knP X k C p q


Dãy phép thử BernoulliLà dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện:

– Các phép thử trong dãy độc lập nhau.– Mỗi phép thử chỉ xét 2 biến cố: A và không A– Xác suất của biến cố A trong mọi phép thử

của dãy là hằng số.

12

P A p


Phân phối Nhị thứcĐặt X là số lần bc A xuất hiện trong dãy n

phép thử Bernoulli.Khi đó: X~B(n,p) với:

n: số phép thử trong dãyp: xác suất để biến cố A xuất hiện.

Y: số lần A không xuất hiện trong n phép thử. Ppxs của Y?

13

p P A


Tham số đặc trưng• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:

14

1 1 1

)

)

) mod

i E X np

ii VarX npq

iii np q X np p

n p ModX n p


Ví dụ 1Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm

với xác suất 1 phế phẩm là 1%.a) Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm, tính xác

suất có 2 phế phẩm?b) Máy phải sản xuất ra bao nhiêu sản phẩm

để xác suất có ít nhất một phế phẩm nhỏ hơn 7%?

15


Ví dụ 1 a• Tính xác suất … trong 10 sản phẩm máy phải

sx 10 lần 10 phép thử• XS có 2 phế phẩm t/c quan tâm: phế phẩm

=t/c A• Số lần A x/h: 2• Các phép thử có độc lập? Kết quả có ảnh hưởng

lẫn nhau?

16


Ví dụ 1Gọi X là số phế phẩm trong 10 sản phẩm

sản xuất ra. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm: Vậy X~B(10;0,01)

17

2 8210

2 0 01 0 99 0 0042, , ,P X C

0 01 ,P A


Ví dụ 1bCần tìm số sản phẩmtìm số lần sxsố phép thử

nLưu ý: các phép thử vẫn độc lập và xs của A vẫn

không đổiBc cần tính: B=“ít nhất 1 pp” (trong n sản phẩm)Yêu cầu: P(B)<0,07

18


Ví dụ 1Gọi n là số sản phẩm cần sản xuất. Y : “số phế phẩm trong n sản phẩm sản xuất ra”.Ta có: Y~B(n;0,01)B: “có ít nhất một phế phẩm trong n sản phẩm”

19

0 99

1 1 0 1 0 99

0 07 0 99 0 93 0 93 7 22

,

,

, , , log , ,

n

n

P A P Y P Y

P A n


Ví dụ 2Cho bnn X có hàm mật độ:

Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có đúng 2 lần bnn X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,5)

20

34 0 1

0 0 1

; ,

; ,

x xf x

x


Ví dụ 2• Tính xác suất trong 3 phép thử độc lập quá

trình gồm 3 phép thử độc lập.• Tính chất A: X thuộc (0,25;0,5)• Số lần xuất hiện A: 2• Liệu xác suất A có giống nhau trong cả 3 phép

thử???• Ta thường dùng pp Bernoilli khi có sự lặp lại các

phép thử

21


Ví dụ 2Ta có::

Gọi Y là số lần bnn X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,5) trong 3 phép thử độc lập.

Ta có: Y~B(3;0,0586)Vậy:

22

2 1232 0 0586 1 0 0586 0 0097 , , ,P Y C

0 5 0 5

3

0 25 0 25

0 25 0 5 4 0 0586P X f x dx x dx , ,

, ,

, , ,


Ví dụ 3Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập

nhau. Xác suất thu được mỗi lần là 0,4. Tìm xác suất:a) Nguồn thu nhận được đúng 2 lần.b) Nguồn thu nhận được thông tin đó.c) Tìm giá trị chắc chắn nhất của số lần thành

công.d) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥0,9 thì

phải phát đi bao nhiêu lần.

23


Tính chấtCho X~B(n,p). Nếu n=1 thì ta ghi X~A(p).X có phân phối Không_một.

Thường gặp trong biến phân loại.Ví dụ: chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Đặt:

Điều này có nghĩa là trong lớp có 40% nam và 60% nữ.24

X 0 1P 1-p p

10 4

0

neáu laø namGiaû söû X~A

neáu laø nöõ.X

,,

,


Tính chấtCho X1, X2 là hai bnn độc lập.

Giả sử:

Khi đó:

Hệ quả: Tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng pp A(p) là bnn có pp B(n,p)

25

1 1 2 2pX B pn X B n , ; ,

1 2 1 2X X B n pn ,

1

,n

i ii

X A p Z X B n p


Ví dụ 4• Một cửa hàng một ngày nhận bán 10 loại nhật

báo khác nhau. Xác suất bán hết báo trong ngày của mỗi loại là 0,8. Vậy nếu trong một năm với khoảng 300 ngày bán hàng thì có khoảng bao nhiêu ngày bán không hết báo?

26


Cách học pp xác suất• Nhớ tên phân phối.• Công thức (cách) tính xác suất.• Các tham số đặc trưng.• Bài toán dẫn đến phân phối đó (thường gặp

nhất là siêu bội và Bernoulli).• Với bnn rời rạc nhớ thêm miền giá trị.

27


Phân phối Poisson P(λ)

Kí hiệu: X~ P(λ)Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật

Poisson P(λ) nếu• X={0,1,2,3…} • Với xác suất tương ứng là:

28

( )!

keP X k

k


Các tham số và tính chất• Cho X~ P(λ). Ta có:

• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2).

Ta có:

29

1

)

)

)

i E X

ii VarX

iii ModX

1 2 1 2 X X P


Bài toán dẫn đến phân phối PoissonGọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng

thời gian (t1;t2) thỏa các điều kiện sau:

a) Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1;t2) không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp.

b) Số lần xuất hiện biến cố A trong một khoảng thời gian bất kì tỉ lệ thuận với độ dài của khoảng đó.

30


Bài toán dẫn đến phân phối PoissonGọi c: cường độ xuất hiện A. Khi đó: X~P(λ) với λ=c(t2-t1)>0.

Chú ý: khoảng thời gian có thể được thay thế bởi khoảng khác như: khoảng cách, diện tích, thể tích…

31


Một số ví dụ• Số lượng xe hơi đi ngang qua 1 điểm trên con

đường trong một khoảng thời gian cho trước.• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi

phút.• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi

đơn vị độ dài của một con đường.• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừng

hỗn hợp.• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong

mỗi phút. 32


Một số ví dụ• Số lượng người lính bị chết do ngựa đá mỗi năm trông mỗi

đội của kị binh Phổ. Ví dụ này rất nổi tiếng trong cuốn sách của Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868–1931).

• Phân phối của các tế bào cảm quang trong võng mạc của mắt.• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời gian xác

định.• Số lượng virut có thể lây nhiễm lên một tế bào trong cấu trúc

tế bào.• Số lượng phát minh của một nhà sáng chế trong suốt cuộc đời

của họ.

33


Ví dụ 1Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1

giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 giờ cóa. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A)b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

Giải: Gọi X là số ống sợi bị đứt trong một giờ. Ta có: X~P(4)

34

34

04 4

43

34

1 1 0 1 10

!

!

P A P X e

P B P X P X e e


Ví dụ 2Trung bình một ngày (24h) có 12 chiếc tàu vào

cảng. Chọn ngẫu nhiên 3 giờ trong một ngày. Tính xác suất để 2 trong 3 giờ ấy có đúng một tàu vào cảng.

Giải: Gọi X là số tàu vào cảng trong một giờ. Ta có: X~P(0,5)

Xác suất để trong 1 giờ bất kì có đúng một tàu vào cảng là:

35

1

0 50 5 1

11 2

,,

!P X e

e


Ví dụ 2Gọi Y là số giờ có đúng 1 tàu vào cảng trong 3 giờ.

Ta có:

Vậy xác suất để 2 trong 3 giờ có đúng một tàu vào cảng là:

36

2

23

1 12 1 0 1922

2 2

,P Y C

e e

13

2~ ;Y B

e


Ví dụ 3Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc

gọi trong một giờ. Tính xác suất:a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút.b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.c) Để 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút trạm nhận được

nhiều nhất 1 cuộc gọi.Giải: a) Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong một phút.

Ta có: X~P(5)

37


Ví dụ 3Xác suất có đúng 2 cuộc gọi trong một phút.

b) Gọi Y là số cuộc gọi trạm nhận được trong 5 phút. Ta có: Y~P(25)

Xác suất có đúng 3 cuộc gọi trong 5 phút.

c)Sinh viên tự giải.

38

2

552 0 0842

2 ,

!P X e

3

25253

3

!P Y e


Xấp xỉ xác suất

39

~ ,X B n p

~

.

X P

n p

~ , ,X H N M nn<<N

~

.

X P

n q

n rất lớnp rất nhỏ n rất lớn

p rất lớn

Documents

Qui luật phân phối xác suất thường gặp