Relaciones Entre Área y Perímetro_damore

Relaciones entre rea y permetro: conviccionesde maestros y de estudiantes1

Bruno DAmore2

Martha Isabel Fandio Pinilla2

RESUMEN

En esta investigacin examinamos las convicciones de maestros y de estudiantes enlo que concierne a las relaciones existentes entre permetro y rea de una figura plana.La investigacin se inserta en una corriente clsica, explorada por ms de 60 aos,pero que hoy incluye nuevos factores. En particular, se estudia el cambio de las con-vicciones, el lenguaje utilizado para expresar dicho cambio, el grado de incidencia quetienen los ejemplos dados, y, en particular, discutimos la idea segn la cual precisa-mente las supuestas relaciones entre permetro y rea constituyen un ejemplo de laactitud no crtica del estudiante que tiende a confirmar aumentos o disminucionesentre entidades puestas en relacin.

PALABRAS CLAVE: Fundamentos tericos, Matemtica Educacin, episte-mologa, cognicin y articulacin de teoras.

ABSTRACT

In this research we examine the convictions of teachers and students regarding theexisting relations between perimeter and area of a flat figure. The research is inserted ina classical position, explored for more than 60 years, but that today includes newfactors. Particularly, the change of the convictions is studied, the language utilized toexpress that change, the degree of incident that have the given examples, and, particularly,we discuss the idea that the supposed relations between perimeter and area constitutean example of the not criticism attitude of the student that tends to confirm increasesor decreases among entities put in relation.

KEY WORDS: Theoretical bases, mathematics education, epistemology,cognition and theories articulation

Fecha de recepcin: 31 de agosto de 2006 / Fecha de aceptacin: 14 de enero de 20071 Trabajo desarrollado en el mbito del Programa de investigacin de la Universidad de Bologna (Departamento deMatemtica: Aspetti metodologici (teorici ed empirici) della formazione iniziale ed in servizio degli insegnanti dimatematica di ogni livello scolastico.2 Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica Nucleo di Ricerca Didattica(RSDDM NRD). Departamento de Matemtica. Universidad de Bologna. Italia.

Relime Vol. 10, Nm. 1, marzo, 2007, pp. 39-68.

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RESUMO

Nesta investigao examinamos as convices dos professores e dos estudantes noque concerne s relaes existentes entre permetro e rea de uma figura plana. Ainvestigao se insere em uma corrente clssica, explorada por mais de 60 anos,porm que hoje inclui novos fatores. Em particular, se estuda a troca das convices,a linguagem utilizada para expressar essa troca, o grau de incidncia que tem osexemplos dados; e, em particular, discutimos a idia segundo a qual precisamente assupostas relaes entre permetro e rea constituem um exemplo da atitude nocrtica do estudante que tende a confirmar aumentos ou diminuies entre taisconceitos.

PALAVRAS CHAVE: Fundamentos tericos, Educao Matemtica,epistemologia, cognio e articulao de teorias.

RSUM

Dans cette recherche, nous examinons les certitudes de matres et dlves en ce quiconcerne les rapports entre le primtre et laire dune figure plane. La recherchesinscrit dans un courant classique, explor pour plus de 60 ans, lequel a inclusrcemment de nouveaux lments. En particulier, ont t tudis le changement descertitudes, le langage utilis pour exprimer ce changement, le degr dincidence quontles exemples donns, et en particulier, il est discut lide selon laquelle il est possiblede prciser que les rapports supposs entre le primtre et laire sont un exemple delattitude non critique de llve qui tend confirmer daugmentations et de diminutionsentre les entits mises en relation.

MOTS CLS: Fondements thoriques, Didactique des mathmatiques,pistmologie, cognition et articulation des thories.

1. PREMISA Y CUADRO TERICO

Las investigaciones sobre el problema delaprendizaje de los conceptos de permetroy rea de las figuras planas pueden osten-tar el ttulo de haber sido las primeras enser estudiadas. Despus de haberse ocu-pado del nacimiento del pensamiento y dellenguaje en el nio y, aos despus, de laadquisicin-construccin de la idea de n-

mero (en sus varias acepciones), Piaget seocup, a partir de los aos treinta del sigloXX, de las construcciones conceptualesrelacionadas con la Geometra. Entre lasdiversas obras, que sera aqu imposiblecitar, nos limitaremos a aquellas en lascuales aparecen explcitamente el perme-tro y el rea o referencias a estos concep-

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Relaciones entre rea y permetro: convicciones de maestros y estudiantes

3 En 1979 an no estaba totalmente difundida la teora de los obstculos de Brousseau (Brousseau, 1976; 1986;1989); por lo tanto, los autores utilizaban trminos que en el momento actual, dentro de este marco terico, deberanser precisados; nos parece, sin embargo, que la idea de obstculo conceptual de Rogalski se puede asociar conla idea de obstculo epistemolgico de Brousseau, pero evidenciando el factor relativo a la dificultad de aprendi-zaje, ms que a hechos histricos.

tos (Piaget, 1926; Piaget, 1937; Piaget,Inhelder & Szeminska, 1948; Piaget &Inhelder, 1962). A estas obras de base si-guieron rpidamente, en los aos 50 y 60,estudios realizados por alumnos o segui-dores del Maestro ginebrino, basados enlas mismas certezas tomadas de la epis-temologa gentica, por ejemplo Vihn et al.(1964), Vihn & Lunzer (1965). Sealamostambin el estudio de Battro (1983), quienrepite todos los clebres experimentos delMaestro.

Son stos, estudios clsicos, los que haninfluido por ms de veinte aos en los an-lisis sucesivos sobre dicho tema, los cua-les se centraban principalmente en losfracasos de jvenes alumnos en determi-nados estadios de edad. En particular, eneste sentido se estudiaron con mucha aten-cin, entre otras, las ideas de longitud y desuperficie, lo que evidenci la gran dificul-tad que los alumnos tienen para apropiar-se de la idea de superficie. Ms aun, lasinvestigaciones pusieron en evidenciacmo, al variar la forma, el joven estudiantetiende a no ser capaz de aceptar la posibleinmutabilidad de la medida de la superficie.La dificultad ligada a falsas relaciones en-tre rea y permetro, segn estas investi-gaciones, parece perdurar hasta los 12aos, y est poco relacionada con el desa-rrollo lingstico del sujeto.

[Es bien conocido que las conclusiones dePiaget fueron sometidas a severas crticasen posteriores estudios; con el fin de hacermenos pesado este trabajo, remitimos aResnick & Ford (1981, en especial al cap-tulo 7)].

A estos estudios preliminares y clsicossiguieron numerosas investigaciones; tan-tas, que es imposible hacer aqu un cuadrocompleto; nos limitaremos (siguiendo un re-corrido cronolgico) slo a aquellos quehacen referencia especficamente a las di-ficultades en el aprendizaje del permetro ydel rea. Dichas investigaciones han con-dicionado sin ninguna duda la direccin denuestra actual investigacin.

En Rogalski (1979) se seala cmo uno delos grandes problemas del aprendizaje delas superficies est en que existen "obst-culos conceptuales" especficos que se re-fuerzan los unos en los otros3. Las dificul-tades sobresalientes son los cambios enlas dimensiones, el estatuto especfico delas unidades de medida, sus relaciones conlas unidades de longitud y las medidas es-paciales.

En Gentner (1983), con mucha cautela, sesugiere el uso de materiales concretos sen-cillos para las primeras aproximaciones ala geometra en general, y al estudio de lassuperficies en particular.

La idea de modelo intuitivo est muy bienexplicada en Fischbein (1985): "Para crearuna base intuitiva en la investigacin inte-lectual, a los conceptos y a las operacio-nes mentales, tendemos a asociar espon-tneamente modelos significativos desdeel punto de vista intuitivo (...) Un modelointuitivo tiene siempre un significado pict-rico-comportamental e induce siempre efec-tos de aceptacin inmediata. (...)" (pp. 14-15); pero: "La insistencia excesiva en darsugerencias intuitivas usando representa-

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ciones artificiales o demasiado elaboradaspueden hacer ms mal que bien" (p. 18).

Un discurso mucho ms general fue pro-puesto por Speranza (1987); junto a con-sideraciones generales de extraordinariointers cultural, se demuestra cmo lasdificultades conceptuales relevadas, encuestiones relacionadas con el rea y elpermetro, en la escuela primaria, perma-necen en alumnos avanzados, inclusoen la universidad. [Veremos confirmarseesta afirmacin en el trascurso de estetrabajo].

Iacomella & Marchini (1990) proponen unainteresante reflexin, en la cual se eviden-cia la existencia de un contraste entre lasmedidas directas (como, por ejemplo, elgeoplano, cuadrculas, teorema de Pick)e indirectas de una superficie (por ejemplorecurriendo a las frmulas, usando lasmedidas lineales) y cmo este contrastepuede constituir una dificultad conceptualpara la comprensin de este argumento.

En el artculo de Tierney, Boyd & Davis(1990) se afronta el tema de las concep-ciones que tienen los docentes de la es-cuela primaria con respecto al rea; espor dems relevante que se evidencie losiguiente: primero, dichas concepcionesa veces coinciden con las de los alumnos;segundo, el rea es puesta en relacin conlas frmulas para calcularla, ms que conun concepto general. En un cierto senti-do, esta investigacin puede ser interpre-tada como el punto de partida de todosaquellos que indagan sobre las concep-ciones de los docentes y, por tanto, deltrabajo que aqu estamos presentando.

En Outhred & Mitchelmore (1992) se pre-sentan casos de nios de los ltimos aosde la escuela primaria capaces de con-frontar superficies de figuras rectangulares,pero que no estaban en disposicin de pa-

sar de esta experiencia a las medidas desuperficie. En general, el artculo est dedi-cado a las dificultades especficas en la con-ceptualizacin del rea y del permetro porparte de los alumnos de la escuela prima-ria. Normalmente, en la actividad de ense-anza se tiene como premisa que, si unalumno aprende a calcular el rea del rec-tngulo, est listo para aprender a medirlas reas de cualquier otra figura geomtri-ca. Aqu se muestra, al contrario, como estoes slo una ilusin.

Un amplio estudio, considerado un clsicopor muchos investigadores, es el de Rouche(1992); en ste se demuestra cmo el rec-tngulo constituye el punto de partida msimportante para la adquisicin del concep-to de superficie, el punto crucial, la figurapor excelencia, dado que a sta recurrencasi todas las otras figuras que el alumnoconocer en la escuela primaria y, cierta-mente, las primeras (tringulo, paralelogra-mo, trapecio...). Se insiste tambin en quela determinacin del rea de un rectngulocomo producto de las medidas de dos seg-mentos sea an ejemplo del uso de medi-das indirectas, hecho difcil de aceptar y,por tanto, de construir conceptualmente.Aparentemente, hay una contradiccin en-tre las dos investigaciones mencionadas,pero no es as: en la primera se muestracmo dominar los elementos del rectngu-lo no es condicin suficiente para asegurarel dominio de los elementos de las demsfiguras, en particular en lo referente al con-cepto de rea; en la segunda se muestracmo, de todas maneras, la figura privile-giada al inicio del aprendizaje de este argu-mento es, sin lugar a dudas, el rectngulo.

Consideramos de gran importancia la inves-tigacin de Giovannoni (1996), en la que sediscuten y se repiten clebres experimen-tos de Piaget sobre el problema de lacomprensin del concepto de superficieen nios de entre 3 y 6 aos; se demuestra


4 Se trata de un desafo entre alumnos de diversos pases, sobre la base de pruebas que una comisin prepara; esteconcurso tiene una gran difusin en Suiza y en Italia, principalmente.

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con contundencia que dicho concepto noest por s mismo fuera del alcance de losnios, como se aseguraba en el pasado,sino que esta conquista depende de lascondiciones del entorno, en particular lasreferidas al lenguaje y a la propuesta demodelos especficos adecuados (hojas ver-des interpretadas como tales y no comoprados; reas superficiales como tales yno como hierba para vacas). Por lo tanto,poseer un lenguaje especfico tiene unaprofunda incidencia en la construccin dedicho concepto: el uso ambiguo del adjeti-vo grande viene sustituido lenta y cons-cientemente por extenso, asegurando unnotable xito en el aprendizaje incluso ensujetos de 5 aos.

En los trabajos de Moreira & Comiti (1993)y Moreira (1996) se hace nfasis en lasdificultades que tienen los estudiantes delos ltimos aos de la escuela primaria parareconocer las medidas de una figura comouno de los elementos que la determinan y,en particular, en el primer trabajo, a sepa-rar las medidas de rea y permetro y, enel segundo, a adquirir la idea de rea deuna figura plana. En estos trabajos se ponede manifiesto cmo el aprendizaje de losdiferentes elementos de la medida de mag-nitudes geomtricas es especfico y dife-rente en cada caso. La idea del rea deuna figura plana no siempre es reconocidacomo una caracterstica de dicha figura.

Marchini (1999) habla del conflicto entrelos dos conceptos y de la forma didcticacomo se podra afrontar el argumento conel fin de alcanzar resultados positivos; suartculo contiene consideraciones de granimpacto y de amplio espectro no slo di-dctico, sino tambin matemtico y epis-temolgico.

En Medici (1999) se discute la formulacinlingstica de los enunciados de los proble-mas de geometra, y se pregunta si no se-ra conveniente recurrir a un lenguaje menospreciso y ms accesible evitando el usoexcesivo de frmulas.

Otro estudio de gran inters es el de Ja-quet (2000), en el cual se presenta y sediscute con profundidad un problema pro-puesto a alumnos de 3 y 4 de primaria,en el curso del Rally matemtico transalpi-no4 en los meses de enero y febrero de2000; en dicho problema, original en su for-mulacin, se pide confrontar reas de figu-ras no estndar, de las cuales no se danmedidas ni de superficie ni lineales. Se es-tudian la formas en que los sujetos afron-tan el problema, y se muestra la complejidadde los procesos puestos en juego por losalumnos, quienes mezclan mtodos direc-tos e indirectos cuando intentan calcular elrea y el permetro de los polgonos queaparecen en el diseo. Se trata de un inte-resante estudio que demuestra la comple-jidad de la relacin entre los dos conceptos.

Un trabajo que seguimos de cerca, inclusoen su desarrollo, es el de Chamorro (1997);la autora analiza ocho aspectos distintosque determinan los entornos de aprendiza-je en lo que concierne con la medida (engeneral), tomando como referencia lasideas de Guy Brousseau; esos aspectosson: objeto soporte, magnitud, valor parti-cular (o cantidad de magnitud), aplicacinde la medida, medida imagen, medida con-creta, medicin, orden de magnitud. La in-vestigacin de Chamorro se refiere a lamedida en general y demuestra la comple-jidad del tema, especialmente en lo rela-cionado con el aprendizaje. Entre losejemplos especficos que se hacen, apare-

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cen precisamente el contorno y la superfi-cie: En la superficie, en cuanto medidaproducto, confluyen mltiples obstculosconceptuales. Entre stos, la relacin quelas unidades de superficie conservan conlas unidades de longitud, siendo las se-gundas la base de las primeras como pro-ductos de medidas. Dichas relacionespueden ser comprendidas slo a partir derelaciones espaciales que a su vez debenser coordinadas con relaciones multiplica-tivas. La coordinacin entre la linealidadde cada una de las dimensiones y la linea-lidad de las superficies debe poder ser ga-rantizada a travs de un modelo geomtricoque ayude a visualizar dichas relaciones.

A la tesis de doctorado de Chamorro sigueun largo artculo que la resume y la profun-diza al mismo tiempo, Chamorro (2001,2002); en este artculo se analizan expe-riencias realizadas en la escuela primariaa propsito del problema de la enseanza-aprendizaje de la medida y en forma parti-cular del permetro y del rea; el objetivode este estudio es el de contribuir a la rea-lizacin de exitosas situaciones a-didcti-cas y de ingeniera dirigidas a eliminar o,por lo menos, a limitar las conocidas difi-cultades en el aprendizaje de la medida.

Un estudio de Montis, Mallocci & Polo(2003) confirma lo que la prctica eviden-cia; es decir, que los jvenes alumnos en-tre 6 y 8 aos identifican la figura de mayorextensin con la de mayor longitud o conla ms alta.

En la investigacin de Medici, Marchetti,Vighi & Zaccomer (2005) se evidencian laspreconcepciones y los procesos espont-neos que alumnos entre 9 y 11 aos (4 y5 ao de la escuela primaria italiana) po-nen en juego cuando deben resolver situa-ciones problemticas que involucran el reay el permetro; recurriendo a tests y a en-trevistas, los autores insisten en que es-

tas dos ideas fundamentales constituyenobstculos epistemolgicos.

Como se ve, el cuadro cientfico de referen-cia, aun en las limitaciones de contenidoque nos impusimos, es extremadamentecomplejo y amplio.

2. PROBLEMAS DE LAINVESTIGACIN

Es evidente, por lo tanto, que los dos con-ceptos geomtricos: permetro y rea deuna figura plana, tienen muchos elemen-tos en comn sobre el plano cientfico, peromuchos otros que son simplemente su-puestos sobre el plano de las misconcep-ciones, comunes en los estudiantes detodo grado escolar.

Por ejemplo, las investigaciones han de-mostrado ampliamente (vanse Stavy & Ti-rosh, 2001; y muchos de los artculos cita-dos lneas arriba) que gran nmero deestudiantes de todas las edades estn con-vencidos de que existe una relacin de es-trecha dependencia entre los dos concep-tos sobre el plano relacional, del tipo:

Si A y B son dos figuras planas, enton-ces:

si (permetro de A > permetro de B) entonces (rea de A > rea de B) dem con < dem con = (por lo cual: dos figuras iso-perimtricas son necesariamente equi-extensas);

y viceversa, cambiando el orden"permetro-rea" con "rea-perme-tro".

Este tema difcilmente se propone con ob-jetivos didcticos en forma explcita, en par-


5 Consideramos de inters declarar explcitamente que nos serviremos de las siguientes interpretaciones de dichostrminos (propuestas tambin con claridad en: DAmore & Fandio, 2005):

conviccin (belief) (o creencia): opinin, conjunto de juicios/expectativas, lo que se piensa a propsito de algo; el conjunto de las convicciones que alguien (A) tiene sobre algo (T) son las concepciones (K) de A relativas aT; si A pertenece a un grupo social (S) y comparte con los otros miembros de S dicho conjunto de conviccionesrelativas a T, entonces K es la concepcin de S relativa a T.

Generalmente, al puesto de "concepcin de A relativa a T" se habla de la "imagen que A tiene de T".

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te, segn algunos maestros, por una su-puesta dificultad.

Podemos preguntarnos si los maestros decualquier grado escolar tienen concienciade este problema o si, por casualidad, tam-bin en algunos de ellos existen problemasde construccin conceptual. Esta eviden-cia tiene que ver con el problema de lasconvicciones y de las concepciones de losmaestros5.

Los estudios sobre la importancia de lasconcepciones que la sociedad, la gentecomn, ciertos grupos sociales, losmaestros, los estudiantes tienen de lamatemtica, incluso en lo que concierne aprocesos que van ms all de la ense-anza y del aprendizaje de la misma,tienen un origen reciente. Sin embargo,estos revelaron inmediatamente el granimpacto que estas consideraciones tienensobre el aprendizaje y sobre la ensean-za. Schoenfeld (1992) lleg a afirmar quecada individuo conceptualiza la matemti-ca y se ubica en el ambiente matemticoprecisamente sobre la base del sistema desus propias convicciones sobre la mate-mtica; por lo tanto, sobre la base de lasconcepciones que tiene de la matemtica.Es dicha concepcin la que determina noslo las modalidades de esa insercin,sino tambin las sensaciones que el indi-viduo experimenta despus de que estainsercin ha ocurrido. De esto se deducela imposibilidad de separar conocimiento(de la matemtica) y conviccin (sobre lamatemtica) en los profesores (Fennema& Franke, 1992), lo que adems conllevaa afirmar, como obvia consecuencia, que

las decisiones que los profesores tomanestn determinadas por los dos factores,lo que ulteriormente explica la notable im-portancia que en el momento actual tienela investigacin en el campo de las con-vicciones (Thompson, 1992; Hoyles, 1992;Pehkonen & Trner, 1996; Krainer et al.,1999).

Interesantes consideraciones tericas so-bre la estructura de las convicciones y so-bre las actuales investigaciones a este pro-psito se encuentran en Trner (2002).

Por otra parte, hoy se reconoce universalmen-te que las convicciones forman parte impor-tante del conjunto de conocimientos, dadoque los determinan y los condicionan, comolo haba relevado Schoenfeld (1983) haceya ms de veinte aos.

Desde los primeros momentos de interspor este tipo de argumentos surgi unaespecie de anlisis de los tipos de convic-ciones; en el trabajo de Schoenfeld (1992),por ejemplo, la distincin est hecha sobreel agente; as, distingue entre convicciones:

del estudiante del maestro de la sociedad,

esta ltima, una distincin de hecho des-contada, pero no por eso libre de sorpre-sas, y, en todo caso, la ms seguida preci-samente por su inmediatez.

A propsito del tercer punto, hoy sabemosque no es posible separar el anlisis de lasconvicciones de un individuo de aquellas

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del grupo social al cual pertenece, dadoque stas son, de todas formas, el resulta-do de complejas interacciones entre gru-pos sociales (Hoyles, 1992); por lo tanto,un estudio de este tipo debe estar inmersodentro del contexto social.

Un vasto y reciente trabajo que presentaun panorama sobre este tema, por lo me-nos en lo que se refiere a la comunidadPME, se encuentra en Llinares & Krainer(2006).

En los aos que van del inicio de los estu-dios sobre las convicciones (inicio de ladcada de los ochenta) a la actualidad,han cambiado las metodologas para in-vestigar esas convicciones; al inicio, setrataba de individuar tipologas a las cua-les pertenecan los sujetos analizados; hoyse tiene como objetivo encontrar una rela-cin entre las convicciones expresadas porel sujeto analizado y su accin en el aula.Nosotros tuvimos esta posibilidad, queseguimos como metodologa de investiga-cin, en particular en el caso de los do-centes. La metodologa seguida fue, porlo tanto, la entrevista dividida en dos fa-ses: la primera, con una conduccin aespejo, buscaba que el sujeto manifesta-ra sus propias convicciones sobre el temaobjeto de estudio; la segunda, de tipo re-flexivo, pidi al sujeto comparar sus pro-pias convicciones con la vida de aula.

Este tipo de metodologa de anlisis fueintroducida por Skott (1999) y fue sucesi-vamente reelaborada en situaciones an-logas (Beswick, 2004). Una vez analiza-das las convicciones iniciales, se trata deanalizar qu cambio se opera en ellas des-pus de un determinado evento, por ejem-plo, como veremos, en nuestro caso, des-pus de la discusin con el investigador apropsito de las relaciones entre el rea yel permetro; esto se logra enfrentando al

sujeto con sus mismas declaraciones,antes y despus.

Para obtener el objetivo, es necesario quelos sujetos hagan explcitas sus propiasconvicciones antes de la investigacin, yesto se puede lograr recurriendo a decla-raciones escritas (DAmore & Fandio,2005), a entrevistas individuales registra-das, o a entrevistas colectivas conducidascon dos o tres sujetos, de forma que cadauno pueda testimoniar las afirmacionesde los otros. Nosotros seguimos las tresmetodologas, de acuerdo con las circuns-tancias.

Existe, adems, otro factor importante,evidenciado por Azhari (1998), que trata-remos de expresar en forma breve: cuan-do existen dos relaciones ligadas mutua-mente, el estudiante intenta aplicar lasiguiente ley de conservacin:

si una determinada cosa crece, tam-bin esta otra, con la cual est rela-cionada, crece (y viceversa).

Ahora, el ejemplo que liga entre s per-metro y rea parece conectar perfecta-mente con las consideraciones de Azhari(1998) (es ms, ste es precisamente unode los ejemplos ofrecidos en este trabajo,citado por Stavy & Tirosh, 2001).

Si ponemos en relacin los permetros dedos figuras A y B con las respectivas reas,nos parece que una forma convincente deevidenciar que las leyes enunciadas lneasarriba no son vlidas es la de dar un ejem-plo para cada uno de los siguientes nuevecasos posibles:

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p S p S p S> > > = > = = = < = <

La primera casilla > > quiere decir:

encontrar dos figuras tales que, pasan-do de la primera a la segunda, el per-metro crezca y el rea crezca

y as sucesivamente.

Para evitar dificultades, se puede siemprepartir de figuras simples, como por ejem-plo del rectngulo, cuando esto es posi-ble, haciendo diversas transformacionessobre l o sobre figuras que se derivan deste. Consideramos necesario aclarar quelas figuras sobre las cuales conviene tra-bajar son las ms habituales, es decir lasfiguras ms usuales que se encuentran enlos libros de texto y en el saln de clase,para evitar complicaciones que se derivende la misma figura.

En el Apndice se da un ejemplo de cadauna de las nueve situaciones indicadas, configuras elementales. Estos ejemplos nofueron mostrados a los sujetos involucra-dos en la prueba que se describe a conti-nuacin; cada sujeto deba proporcionar losejemplos oportunos, por lo menos en unaprimera instancia.

3. PREGUNTAS, METODOLOGA DEINVESTIGACIN E HIPTESIS DE

RESPUESTA6

A un grupo de colaboradores7, docentesde escuela primaria, de escuela media,de escuela superior y de universidad, lespropusimos hacerse cargo de la investi-

6 Contrariamente a nuestra forma habitual de trabajar, no separamos estos tres puntos dado que stos estn, en estaocasin, profundamente ligados entre s.7 Por colaboradores se entiende lo siguiente: en Italia existen grupos de investigacin en didctica de la matemtica,reconocidos por el Ministerio de la Universidad y de la Investigacin, adscritos a una determinada Universidad; elgrupo de Bologna se denomina RSDDM (www.dm.unibo.it/rsddm); de dichos grupos forman parte docentes de todoslos grados escolares a quienes oficialmente se identifica como colaboradores de investigacin. Del grupo decolaboradores forman parte docentes universitarios o de grado equivalente.

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gacin descrita lneas arriba. Decidimoshacer la investigacin en todos los nivelesescolares para verificar si los resultadospodan estar relacionados, en forma espe-cfica, con dichos niveles o si, por el con-trario, se podan encontrar resultados inde-pendientes de la variable nivel escolar. Acada uno de los colaboradores dimos lassiguientes indicaciones que son, al mismotiempo, las preguntas explcitas de investi-gacin, las relativas indicaciones metodo-logas y nuestras hiptesis de respuestas,subdivididas en tres puntos.

PUNTO 1

PROBLEMA de investigacin Pr.1: Soli-citamos a todos los colaboradores some-terse ellos mismos a la prueba y, en unsegundo momento, aplicar la misma prue-ba a algunos de sus colegas de las escue-las primaria, media o superior, y a estudian-tes universitarios, futuros maestros enformacin. El problema consiste en verificarsi, en un primer momento, en nuestros mis-mos colaboradores y, en un segundo mo-mento, en los dems sujetos que se some-tieron a la prueba, se verifica un cambio deconvicciones relativo a las relaciones entrerea y permetro.

PREGUNTA de investigacin Pg.1: Esverdad o no es verdad que se pueden en-contrar ejemplos para todos los nueve ca-sos? Es verdad o no es verdad que surgeespontneamente la idea de que, en gene-ral, al aumentar el permetro de una figuraplana aumenta tambin el rea? Es ver-dad o no es verdad que se necesita recurrir

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8 Como introduccin del tema se les sugiri recurrir al llamado problema de Galileo de las plazas de dos pueblos,que veremos dentro de poco.

a las propias competencias, a las cons-trucciones cognitivas anteriores y a su pro-pia experiencia, para convencerse que lascosas no son as?

HIPTESIS de respuesta H.1: Conside-ramos que no slo los alumnos, sino tam-bin algunos docentes y algunos colabo-radores tenan misconcepciones a prop-sito de supuestas relaciones necesariasentre permetro y rea de las figuras pla-nas. Que no fuera banal encontrar los nue-ve ejemplos indicados (especialmente enel caso en que el permetro debe disminuiry el rea aumentar, y viceversa). Inclusoque, despus de haber visto los ejemplos,no fuera completamente aceptada. Comoindicadores de dichas misconcepcionespensamos asumir las mismas declaracio-nes de los colaboradores, de los maestrosentrevistados, de los estudiantes universi-tarios.

PUNTO 2

PROBLEMA de investigacin Pr.2: Pe-dimos a todos los colaboradores hacer laspruebas con estudiantes de escuela pri-maria, media, superior y con estudiantesuniversitarios de todo tipo de facultad, yno slo estudiantes que siguen curso uni-versitarios para la formacin de futurosdocentes.

Cada uno de ellos fue invitado a introducirde forma oral, discursiva, el tema8 sobrelas mutuas relaciones entre permetro yrea de figuras planas simples, y probar arealizar transformaciones, verificando si losestudiantes:

aceptan espontneamente aceptan de buen grado despus de un

ejemplo

aceptan con dificultad despus de va-rios ejemplos

rechazan sin discusin rechazan despus de algn ejemplo

y que puedan ser vlidas las nueve relacio-nes; es decir, que nada se pueda decir apriori de la relacin entre aumento (igual-dad, disminucin) del permetro y aumen-to (igualdad, disminucin) del rea de lasfiguras planas. Cada colaborador tena quehablar con los estudiantes y cumplir lassiguientes fases:

proponer el problema, escuchar la pri-mera respuesta, registrarla segn laescala anterior;

proponer las nueve pruebas y ayudar alestudiante en su ejecucin, escuchar ytomar nota de sus comentarios;

llegar a una formulacin explcita de lanueva conviccin, en el caso de que stase presentara.

A nosotros nos interesaban dos aspectosque constituyen el Problema de Investiga-cin Pr.2:

a) el cambio de las convicciones; es de-cir: si, despus de algunos ejemplos,los estudiantes estaban dispuestos acambiar de conviccin, segn las hip-tesis del marco terico presentado an-tes, y si sobre esto incide la edad; paralograr esto era indispensable llevar a lossujetos a que expresaran sus convic-ciones antes y despus de los ejem-plos; para alcanzar este objetivo, msque hacer un test, era esencial entre-vistar a los sujetos en pequeos gru-pos (dos o tres personas por grupo) oindividualmente. Sobre la metodologade investigacin usada en este particu-

lar punto, hicimos referencia en el aparta-do 2;

b) el lenguaje usado por los estudiantespara explicar su pensamiento, antes ydespus: ejemplos, discursos genera-les, frases, uso de diseos, de esque-mas...

PREGUNTA de investigacin Pg.2: Concunta naturalidad y espontaneidad losestudiantes logran aceptar que no existenrelaciones obligadas entre el permetro y elrea de las figuras planas? Cmo varaesta aceptacin con la edad? Resulta f-cil aceptar los nueve ejemplos? Cmo ex-presan sus convicciones al respecto? Qutipo de lenguaje usan?

HIPTESIS de respuesta H.2: Conside-rbamos que los estudiantes, de cualquieredad, manifestaran una gran dificultad paraaceptar aquello que parece ser anti-intuiti-vo; es decir: opinbamos que ms de unestudiante estara convencido, antes de laprueba, de que al aumento del permetrole correspondera necesariamente un au-mento del rea, por ejemplo; y cuanto msanclado estuviera en una conviccin intui-tiva, mayor sera su esfuerzo para aceptarel resultado de la misma prueba.

Con base en nuestras experiencias de in-vestigacin, considerbamos que: confor-me avanzara la edad, esta aceptacin au-mentara netamente; que los sujetosencontraran alguna dificultad para acep-tar los ejemplos; que la expresin de susconvicciones sera poco acadmica, dadoque stas contrastan con las conviccio-nes construidas escolsticamente; que ellenguaje usado sera bsicamente colo-quial, tal vez con el uso espontneo degrficos y de diseos esquemticos.

PUNTO 3

PROBLEMA de investigacin Pr.3: Invi-tamos a los colaboradores a realizar la si-guiente prueba, a travs de entrevistas in-dividuales con nuevos estudiantes de losltimos aos de escuela primaria (edad: 9a 11 aos), de escuela secundaria de pri-mero y segundo grado (edad respectiva:11 a 14 aos y 14 a 19 aos) que no ha-ban participado en la prueba anterior.

Los colaboradores deban entregar a losestudiantes una tarjeta que contena lasdos figuras que se presentan a continua-cin:

(El hexgono B se obtuvo del rectnguloA, mediante la eliminacin de un pequeorectngulo de la parte superior derecha, loque puede ser confirmado visualmente).

Ahora, a la mitad de los estudiantes seles deban proponer las siguientes dos pre-guntas:

pg.1:La superficie de A es menor, igualo mayor de la superficie de B?

Y el permetro de A es menor, igual omayor del permetro de B?

A la otra mitad, se les deban proponer lassiguientes dos preguntas:

pg.2:El permetro de A es menor, igualo mayor del permetro de B?

Y el rea de A es menor, igual omayor del rea de B?


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PREGUNTA de investigacin Pg.3: Pue-de el orden inverso de las preguntas en pg.1y pg.2 modificar radicalmente las respues-tas de los estudiantes? La pertinencia deesta pregunta es descrita en las lneas si-guientes.

HIPTESIS de respuesta H.3: Nuestrahiptesis era que:

en pg.1 los estudiantes habran verifica-do fcilmente que el rea de A es ma-yor que el rea de B (dado que estoaparece grficamente evidente) y ha-bran concluido, sin verificar, que el per-metro de A es mayor del permetro deB; los colaboradores deban slo verifi-car si esta tendencia exista en verdad;

en pg.2 la primera pregunta sobre el pe-rmetro hara que los estudiantes estu-vieran en dificultad, lo que los llevara averificar con atencin, pues la respues-ta no es inmediatamente evidente; unavez verificado que el permetro de A esigual al de B, sin embargo, no habrantenido problema para decir que el reade A es mayor al rea de B; los colabo-radores deban llevar al estudiante a queverificara que los dos permetros fueraniguales y lo expresara y, despus deesto, tenan que estar atentos a la res-puesta espontnea a propsito de lasreas.

Si las cosas hubieran sido as, habra-mos contradicho la hiptesis de Azhari(1998) (idea que, parcialmente citada, fuehecha propia por Stavy & Tirosh, 2001)sobre la base de la evidencia de las figu-ras; no valdra entonces la supuesta leyde conservacin, sino que todo conduci-ra a un hecho ligado a misconcepcionesy a evidencias perceptivas.

En total tuvimos 14 colaboradores:

7 docentes de la escuela primaria2 docentes de la escuela secundariade primer grado (en Italia: escuelamedia)3 docentes de la escuela secundariade segundo grado (en Italia: escuelasuperior)2 docentes de la universidad (o equi-valente).

Cada uno de ellos se someta a s mismoa la prueba y, en un segundo momento, aalgunos colegas; en total, el nmero dedocentes que se sometieron a la pruebafueron:

26 de la escuela primaria16 de la escuela media13 de la escuela superior2 de la universidad,para un total de 57 docentes.

Los estudiantes sometidos a la segundaprueba fueron:

29 de la escuela primaria (todos de5)20 de la escuela media (6 de 1 y 14de 3)21 de la escuela superior (8 del primerbienio de un Liceo Cientfico, 9 de 4de Liceo Cientfico, 4 de un InstitutoProfesional)13 de la universidad o anlogos (4 delcurso de Licenciatura en Educacin,1 del tercer ao del curso de Matem-tica, 8 de la Alta Escuela Pedaggica)para un total de 83 estudiantes.

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9 Es necesario distinguir las intervenciones escritas espontneas de los docentes, que trataremos aqu, de lasintervenciones de los estudiantes sobre temas de matemtica, los llamados TEPs, aqu no tomados en consideracin;sobre este ltimo argumento puede verse DAmore & Maier (2003).

Los estudiantes sometidos a la terceraprueba fueron:

50 de la escuela primaria (todos de5)26 de la escuela media (12 de 1 y14 de 3)14 de la escuela superior (4 del pri-mer bienio del Liceo Cientfico, 5 delInstituto Profesional, 5 de 3, 4 o 5del Liceo Cientfico)17 de la universidad o anlogos (4 delcurso de Ciencias de la Educacin,12 de la Alta Escuela Pedaggica, 1del tercer ao del curso de Filosofa)para un total de 107 estudiantes.

Conviene recordar que todas las pruebasocurrieron en forma de entrevista individual,de tipo clnico, usando la pauta descritaen el apartado 3, en el punto 2. Por otraparte, la entrevista, especialmente en loscasos en que el entrevistador era uno delos colaboradores, era de tipo personalstory, dado que se buscaba tener elemen-tos que revelaran cambios conscientes delas convicciones. En esta investigacinhicimos un gran uso de las declaracionesque los docentes daban por escrito. Convarias denominaciones9, esta tcnica esusada con beneficio para la investigacinen contexto internacional desde hace yamucho tiempo; como prueba tenemos eltrabajo pionero de Gudmundsdottir (1996),en el cual se usa la metfora del icebergpara ilustrar como la punta emergentecorresponde a cuanto viene declaradocomo respuesta (explcita) por parte de undocente, a una pregunta en el curso deuna entrevista, mientras la mayor parte (im-plcita) es aquella escondida bajo el agua,la cual emerge slo gracias a una narra-cin personal.

Particularmente til para nosotros es la in-vestigacin descrita en Edwards & Hensien(1999), dado que en ella se analiza un gru-po de docentes (de escuela primaria y deescuela secundaria) implicados en unainvestigacin-accin comn, cuyo objetivoera discutir la accin didctica en aula. Losdocentes utilizaron la narracin para expre-sar lo que suceda y las sensaciones queexperimentaron durante dicha accin.

En Gudmundsdottir & Flem (2000) se dis-cute, siempre haciendo uso de estas tc-nicas narrativas, cmo ha cambiado la vidaen el aula en las ltimas dcadas, culesson las sensaciones y los sentimientos delos docentes a este propsito; mientras enGudmundsdottir (2001) se presenta la na-rracin de una experiencia de enseanzaabierta en una escuela para nios entrelos 5 y los 8 aos.

En Strehele et al. (2001), la tcnica es usa-da para estudiar la integracin de las tec-nologas en la prctica didctica; mientrasen Raths (2001) se analizan las conviccio-nes acerca del docente y de la ensean-za, incluso con el propsito de la decisinde modificar las propias estrategias de en-seanza.

Tambin en Presmeg (2002), la atencinse centra en el uso de la autobiografa parahacer emerger las propias conviccionesacerca de la matemtica y de los cambiosde stas con el pasar del tiempo.

Conviene destacar el uso de investigacinque se hace de los textos escritos por lossujetos analizados, docentes de escuelasecundaria en formacin, en Llinares &Snchez Garca (2002), para determinar las

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imgenes acerca de la matemtica, de suenseanza, de su aprendizaje y del signi-ficado que tienen las tareas escolares eneste propsito.

Citamos, por ltimo, el trabajo de DAmore& Fandio (2005), en el cual los sujetosanalizados deban expresarse medianteuna carta autobiogrfica.

4. RESULTADOS DE LA INVESTIGA-CIN, DISCUSIN DE LOS RESULTA-DOS Y RESPUESTAS A LAS PREGUN-

TAS DE INVESTIGACIN

4.1. Respuestas de los docentes a laprueba sobre permetro y rea

4.1.1

Por lo que respecta al punto 1, problemade investigacin Pr.1, hicimos una distin-cin entre las dos consignas:

pedimos a todos los colaboradores so-meter a s mismos a la prueba, y;

despus, a algunos de sus colegas delas escuelas primarias, media, superior,estudiantes universitarios de cursos (deespecializacin en Italia y de master enSuiza) para la formacin de maestrosde escuela secundaria (inferior o supe-rior).

En los dos casos, las preguntas de inves-tigacin Pg.1 eran las siguientes: Es ver-dad o no es verdad que se pueden encon-trar ejemplos para todos los 9 casos? Esverdad o no es verdad que surge espont-neamente la idea de que, en general, alaumentar el permetro de una figura plana,aumenta el rea? Es verdad o no es ver-dad que se necesita hacer un esfuerzo

para convencerse que las cosas no sonas?; mientras que nuestras hiptesis derespuestas H.1 eran: Consideramos quealgunos docentes (incluidos algunos cola-boradores) tendran misconcepciones a pro-psito de supuestas relaciones necesariasentre permetro y rea de las figuras pla-nas. Que no fuera tan fcil encontrar los 9ejemplos solicitados [especialmente en elcaso (p) en el cual el permetro debedisminuir y el rea aumentar]. Que, inclu-so despus de ver los ejemplos, se pre-sentara alguna resistencia.

En este apartado, 4.1.1, examinaremos elcaso en el cual los sujetos sometidos a la(auto) prueba eran los mismos colabora-dores de la investigacin, y dejamos paraun segundo momento, en el apartado 4.1.2,el caso de los sujetos sometidos a la prue-ba eran colegas de los colaboradores dela investigacin o estudiantes universitariosde los cursos anteriormente indicados.

De los 14 colaboradores de la investiga-cin tuvimos reacciones similares en lo queconcierne con la modalidad de respuesta:

1 sujeto (docente universitario) se limitaa cumplir un anlisis exclusivamentematemtico de la situacin, obviamentecorrecta, sin responder a la preguntapersonal sobre sus propias dificultades;

13 escriben textos de respuesta que vande 1 a las 6 pginas, en ocasiones ri-cas en referencias a sus propias dificul-tades:

o 9 colaboradores (7 docentes de pri-maria, 1 de superior, 1 de universi-dad) confiesan su dificultad en elmomento de tener que dar forma ala propia idea, incluso si sta escorrecta y consciente; admitentambin que tuvieron que hacer un

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10 Una nota, slo como curiosidad extra-investigativa. Uno de los colaboradores declara haber puesto a la pruebaalgunos de sus propios familiares:

quienes desarrollan actividades de construccin, cotidianamente enfrentados a situaciones concretas en lascuales los casos (p>, S, S>), (p

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Una reaccin muy frecuente, en todos losniveles escolares, es la diferencia mani-festada intuitivamente entre el primer con-tacto con el problema, respecto al cambio(a veces fuerte) entre la primera respuestaintuitiva y la conviccin adquirida al trmi-no de la prueba.

Como lo habamos dicho al inicio, las en-trevistas empiezan con el llamado proble-ma de Galileo: Un pueblo tiene dos pla-zas A y B; el permetro de la plaza A esmayor del permetro de la plaza B; culde las dos plazas tiene el rea mayor?11

Muchos de los entrevistados, la mayor par-te, 40 de 43, incluso licenciados, docen-tes de la escuela superior, afirmaron quela plaza con la mayor rea era la A, demayor permetro, para despus:

Corregirse espontneamente, afirman-do no est dicho, an antes de efec-tuar todas las pruebas previstas en laentrevista (y aqu se nota una mayorconcentracin de docentes de la escue-la superior).

o bien

Aceptar que su respuesta fuese criti-cable e incorrecta, pero slo despusde haber realizado las pruebas (y aquse nota una mayor concentracin dedocentes de los primeros niveles esco-lares).

Por tanto, el cambio de conviccin es evi-dente, a veces fuerte, y, en varias ocasio-nes, requiere pruebas y reflexiones no ba-nales.

A las preguntas:

Es verdad o no es verdad que se pue-den encontrar ejemplos para cada uno de

los nueve casos? Es verdad o no es ver-dad que surge espontneamente la idea,en general, de que al aumentar el perme-tro de una figura plana, aumenta tambinel rea? Es verdad o no es verdad que senecesita hacer un esfuerzo, para conven-cerse que las cosas no son as?, muchosdocentes, y no necesariamente de la es-cuela primaria, inician dando la respuestano, a la primera pregunta, lo que revelaque las misconcepciones arraigadas a pro-psito de supuestas relaciones necesariasentre el rea y el permetro de las figurasplanas estn presentes no slo en algu-nos docentes, como lo pensbamos, sinoen la mayora de ellos.

Para muchos entrevistados no fue paranada banal encontrar los nueve ejem-plos pedidos [especialmente en el caso(p) o viceversa]. Encontramos en re-petidas ocasiones casos de docentes (in-cluso de la escuela superior y de la escue-la media) que tuvieron que recurrir a los (oa algunos de los) ejemplos dados por elentrevistador. Muchos notaron las simetrasen las solicitudes; y alguno manifest ungran malestar en el caso (p=, S=) porqueno quera aplicar simplemente una isome-tra o dejar las figuras idnticas.

Lo que se evidenci, sin embargo, fue que,despus de haber visto los ejemplos crea-dos por el entrevistado mismo o propues-tos por el entrevistador, desapareci deltodo (o casi) la persistencia en las mis-concepciones ligadas a la intuicin; y selleg a frases llenas de conciencia comola siguiente:

Por lo tanto, dos figuras equi-extensas noson automticamente iso-perimtricas[este perfecto enunciado est hecho conevidente sorpresa por una docente de es-cuela primaria quien declara haber lucha-

11 Sobre la historia exacta de este problema, as como Galileo lo presenta realmente, se puede ver: DAmore &Fandio (2006).

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do por mucho tiempo consigo misma paraencontrar los nueve ejemplos, bloquea-da por sus propias convicciones sobre elargumento (una misconcepcin arraiga-da de la cual antes no se haba dado cuen-ta) de que al aumentar el permetro fuesenecesario que aumentase tambin elrea].

Es muy claro que las misconcepcionesreveladas se deben a que casi todos losmodelos figurales que ilustran estas cues-tiones son realizados con figuras planasconvexas por dems usuales, lo que llevaa creer que se puede afrontar el problemaslo con dichas figuras. Es ms, estaconsideracin fue confirmada por ms deuno de los mismos entrevistados: Esposible partiendo de un cuadrado; no esposible partiendo de un crculo (en otraspalabras, el cuadrado es considerado fi-gura admisible para transformacionescomo las que nos propusieron, el crculono); a la propuesta de una figura cncava:Pero sta no es una figura geomtrica[quiere decir: no de aquellas usadas co-mnmente en la prctica didctica cuan-do se habla de permetro y de rea]; otrosconsideran posibles slo homotecias, porlo que: ... pero con los cuadrados es im-posible dado que el homottico de un cua-drado es un cuadrado.

El reenvo que los docentes entrevistadoshacen a sus alumnos es recurrente; mu-chas de las preguntas y de las respues-tas se dan filtradas a travs de la expe-riencia con o de sus propios alumnos:Ellos tampoco lo ven [lo que yo no hevisto]; tienen dificultad para imaginar-lo; Es necesario cambiar constantemen-te las figuras [es decir pasar de figurasestndar a otras no tradicionales, por ejem-plo cncavas; en realidad, no sera siem-pre necesario, pero los ejemplos dadospor los entrevistadores (vase Apndice)

son considerados a menudo como losnicos posibles.

Algunos docentes de las escuelas secun-darias (inferior y superior) consideran estetipo de argumento ms cercano al mundode la escuela primaria, porque all se tra-baja con las figuras, ms en lo concreto,menos en lo abstracto, como justificandosu propio error (y el error potencial de suspropios alumnos) en la prueba. Natural-mente, en esto hay mucha verdad; en laescuela primaria, generalmente, se trans-forman en modelos radicados los que slodeberan ser imgenes parciales, y, enmuchas ocasiones, no existe ni siquierala conciencia del problema.

Veremos en los prximos apartados, 4.2.1y 4.2.2, el curso de la investigacin conlos estudiantes. Adelantamos aqu la hi-ptesis, que analizaremos crticamente en5., de que el obstculo que parece eviden-te respecto a la construccin de un cono-cimiento matemticamente satisfactoriosobre las relaciones entre permetro yrea no es slo de naturaleza epistemo-lgica sino bsicamente de naturaleza di-dctica.

La naturaleza epistemolgica del obst-culo es evidente y tiene mltiples aspec-tos:

A. No es fortuito que las historietas yleyendas que ligan rea y permetro seanantiqusimas y se repitan en el tiempo,incluso a distancia de siglos (basta pen-sar en el mito sobre la fundacin deCartagine por parte de Didone y a laclebre adivinanza de Galileo). sta esuna seal, no ms que una seal, porsupuesto, de obstculo epistemolgi-co; por otra parte: cuando una ideamatemtica no entra inmediatamente aformar parte de esta disciplina y, por elcontrario, es causa de discusiones, con-

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testaciones, luchas; generalmente pue-de considerarse un obstculo episte-molgico en el sentido de Brousseau(1976, 1986, 1989).

B. Para llevar acabo este anlisis se de-ben operar transformaciones geomtri-cas sobre las figuras, pero slo a fina-les del siglo XIX estas transformaciones,su potencia, su necesidad, se revela-ron completamente a los ojos de losmatemticos; por milenios domin larigidez de los Elementos de Euclides;incluso este retardo en la introduccin-aceptacin es una obvia seal de obs-tculo epistemolgico.

Por otra parte, con estos evidentes obs-tculos epistemolgicos se mezclan tam-bin obstculos didcticos; si se necesi-taron oportunas y profundas entrevistas,para cambiar las convicciones de los mis-mos docentes, cmo no pensar que laselecciones didcticas por ellos utilizadasen aula con sus propios alumnos no influ-yen en la formacin de misconcepcionesrelativas a este estratgico tema?

4.2. Respuestas de los estudiantes ala prueba sobre rea y permetro

4.2.1

Recordemos que en el punto 2, como pro-blema de investigacin Pr.2, pedimos atodos los colaboradores entrevistar estu-diantes de la escuela primaria, media,superior y estudiantes universitarios de lasdiferentes facultades. Cada colaboradortena que hablar con los estudiantes y pro-poner en primer lugar el problema deGalileo, escuchar su respuesta y regis-trarla segn la escala presentada; en se-gundo lugar, el colaborador propondra lasnueve pruebas y ayudara al estudiante en

su ejecucin, escuchando sus comenta-rios; y por ltimo, se debera llegar a unaformulacin explcita de su nueva convic-cin, en el caso que sta se hubiera pre-sentado.

Cada uno de los colaboradores era invita-do a probar transformaciones, verificandosi los estudiantes:

aceptan espontneamente aceptan de buen grado despus de un

ejemplo aceptan con dificultad despus de va-

rios ejemplos rechazan sin discusin rechazan incluso despus de ejemplos

y que pueden ser vlidas las nueve rela-ciones, que nada se puede decir a prioride la relacin entre aumento (igualdad, dis-minucin) del permetro y aumento (igual-dad, disminucin) del rea de figuras pla-nas.

A nosotros nos interesaban dos aspectos:

a) el cambio de las convicciones; es de-cir, si despus de algunos ejemplos, losestudiantes estaban dispuestos a cam-biar de idea y si sobre esto incide laedad; para saber esto era esencial lle-var a los sujetos a que expresaran susconvicciones antes y despus de losejemplos; para alcanzar este objetivo,ms que hacer un test, era esencial en-trevistar a los sujetos individualmentesegn la metodologa explicada antes;

b) el lenguaje usado por los estudiantespara explicar su pensamiento, antes ydespus: ejemplos, discursos genera-les, frases, uso de diseos, de esque-mas ...

Con este objetivo, las preguntas de inves-tigacin Pg.2 eran las siguientes: Concunta naturalidad y espontaneidad losestudiantes logran aceptar que no existenrelaciones a priori obligadas entre perme-tro y rea de las figuras planas? Cmocambia esta aceptacin con la edad? Re-sulta fcil aceptar los nueve ejemplos?Cmo expresan sus convicciones a estepropsito? Qu tipo de lenguaje usan?

Como hiptesis preliminares, consider-bamos que los estudiantes de cualquieredad muestran una gran dificultad en acep-tar lo que parece anti-intuitivo. Que con laedad, esta aceptacin aumenta netamen-te. Que los sujetos encuentran alguna di-ficultad en aceptar los ejemplos. Que ha-bran expresado sus convicciones en modopoco formal, dado que stas interaccio-nan con las convicciones construidas enla escuela. Que el lenguaje usado sera loms cercano posible a la forma coloquial,tal vez con el uso espontneo de grficoso de diseos esquemticos.

El resultado de mayor impacto de toda lainvestigacin es que los casos de mayorcomplejidad (p>, S, S=;viceversa) no son aceptados espontnea-mente en mayor medida con el aumentode la edad (o con el mayor nivel de escola-ridad).

Ms de 90% de los estudiantes entrevis-tados, sin que importe su grado escolar,tiende espontneamente a afirmar queexiste una dependencia estrecha entre elaumento o disminucin del permetro y elaumento o disminucin del rea; frente ala tarea de dar ejemplos, las dificultadesse centraron bsicamente en los casos

enunciados anteriormente; slo pocosafrontaron con xito la tarea, y el resultadopositivo no est relacionado con la edad(por tanto ni con el grado de escolaridad);entre los estudiantes universitarios se tie-nen algunos de los ms notorios resulta-dos negativos.

Una vez que el entrevistador hace notar quees posible encontrar ejemplos para losnueve casos, se tienen las siguientes re-acciones:

Ms de la mitad de los estudiantes12 sesorprende cuando ve que se hace usode figuras cncavas; alguno declara questas no son figuras geomtricas, queNo son correctas, que En la escuelano se usan; esta actitud no se relacio-na en forma significativa con la edad y,por lo tanto, tampoco con el grado deescolaridad ni con el tipo de escuela fre-cuentada.

Ms de la mitad de los estudiantes13entiende el sentido de la propuesta yadmite haber inmediatamente cambia-do de conviccin; tambin este tipo deactitud es ligeramente superior en losniveles altos de escolaridad.

En los casos en los que no se alcanzaun resultado positivo, el estudiante, ge-neralmente, se atrinchera detrs de jus-tificaciones debidas a la falta de desa-rrollo de este argumento por parte delos docentes; este hecho se presentacon mayor frecuencia en la escuelamedia; numerosos estudiantes de laescuela superior demuestran haber en-tendido el sentido de la investigacin yrevelan inters y motivacin en dar la

12 Lo aqu reportado no quiere ser una apreciacin cuantitativa, pues estamos en pleno campo cualitativo (como selo demuestra que se citan frases de los entrevistados); nuestra intencin es slo dar una idea de la dimensin delfenmeno.13 dem.


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14 Esta actitud lingstica de los estudiantes universitarios nos sorprendi, por lo cual tendremos que retomar lainvestigacin de una forma ms especfica. Por ahora este aspecto no ser analizado con detalle.

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respuesta; algunos reconocen su difi-cultad al hacer oportunas transforma-ciones sobre las figuras.

Es interesante observar cmo algu-nos estudiantes de la escuela superiorse hacen cargo personal del problema,sin descargar la responsabilidad de sufracaso en sus docentes de los nivelesprecedentes (al contrario, tuvimos do-centes licenciados que se hicieron res-ponsables de su fracaso y dificultad alos estudios universitarios, en los cua-les, acusaban, este tipo de argumentoes ignorado; o a los libros de texto, porlas mismas razones).

En diversos casos, quien declara un cam-bio de convicciones lo hace con sorpre-sa, como si esto destruyera una concep-cin dada por adquirida.

De los 13 estudiantes universitarios en-trevistados, uno de los cuales es estudian-te de Matemtica, menos de la mitad de-claran espontneamente que los nuevecasos son todos posibles, independien-temente de poderlos encontrar; de losotros, aquellos que tienen necesidad dehacer pruebas, slo la mitad declara alfinal en forma convincente haber cambia-do de conviccin; de ellos, algunos lo ha-cen de manera explcita.

Muchos son los que sostienen que el mal-entendido de pensar que el aumento delpermetro implique un aumento del readeriva de una didctica incorrecta, y secomprometen a estar atentos cuando ten-gan que afrontar su futura profesin; esms, iniciarn ahora mismo en la activi-dad de prctica docente.

No siempre la aceptacin es fcil: Param es difcil aceptarlo, estaba convencidode que dependan, es una gran sorpresaque debo digerir, pero es difcil.

En cuanto al lenguaje, es frecuente el re-curso al lenguaje cotidiano, adems exis-ten confusiones terminolgicas (por ejem-plo, no obstante se hable explcitamentedel permetro y del rea, muchos estudian-tes, de la escuela primaria a la escuelasuperior, dicen permetro cuando se es-tn refiriendo al rea y viceversa), ade-ms de otras expresiones inadecuadasdesde el punto de vista del lxico.

Se nota que el recurso a un lenguaje colo-quial de bajo perfil formal o por lo menoscultural en el mbito matemtico no selimita slo a los primeros grados de esco-laridad. Es ms, son generalmente los es-tudiantes universitarios quienes mayor-mente nos sorprenden con adjetivos ylocuciones que no estn en consonanciacon la geometra oficial: Si una [figura] lahaces delgadita..., Si hago una cosa conmuchas puntas, el permetro ... etc.14

Muchos de los entrevistados intentan re-currir a diseos explicativos que ilustren,confirmen o desmientan su propio pensa-miento; sin embargo el resultado es de-cepcionante: son pocos los estudiantes,sin distincin del grado escolar, que sa-ben usar el diseo para validar o negar suspropias afirmaciones: lo intentan, pero nodominan este lenguaje grfico especfico.

Es notable cmo alumnos de 5 de prima-ria de diversas zonas italianas que res-ponden correcta y espontneamente a laprimera pregunta (es decir, Teniendo unrectngulo y un cuadrado de igual per-


metro, necesariamente tienen igual rea?),dan un argumento no vlido: porque elcuadrado es ms amplio, tiene mayorespacio dentro, es ms ancho...

Resulta obvio que entre cuadrilteros iso-perimtricos, el cuadrado es el de mayorsuperficie; esto se imagina, se ve, se in-tuye desde un punto de vista grfico, ma-yormente en la escuela primaria que enlos aos sucesivos. Naturalmente, no fal-tan los casos de estudiantes de la escue-la superior que demuestran competenciaen estos argumentos; por ejemplo, tuvi-mos casos de estudiantes que conocany dominaban las relaciones entre superfi-cie de figuras iso-perimtricas.

4.2.2

Llegados al punto 3 de la investigacin,invitamos a los colaboradores a someterdiversos estudiantes, que no se habansometido a la prueba precedente, a la si-guiente, mediante entrevistas individuales.

Los colaboradores deban entregar a losalumnos una tarjeta que contena las si-guientes dos figuras:

(El hexgono B se obtuvo del rectnguloA, mediante la eliminacin de un peque-o rectngulo de la parte superior dere-cha, lo que es evidente a simple vista).

Ahora, a la mitad de los estudiantes seles proponan las dos preguntas si-guientes:

pg.1: La superficie de A es menor, igualo mayor de la superficie de B? y

El permetro de A es menor, igual omayor del permetro de B?

A la otra mitad, se les proponan las si-guientes dos preguntas:

pg.2: El permetro de A es menor, igualo mayor del permetro de B? y

El rea de A es menor, igual o mayordel rea de B?

Tenamos una nica pregunta de investi-gacin Pr.3: Puede el orden inverso delas preguntas en pg.1 y pg.2 modificarradicalmente las respuestas de los estu-diantes?

Nuestra hiptesis H3 era que:

En pg.1, los estudiantes habran verifi-cado fcilmente que el rea de A esmayor que el rea de B (dado que estoes grficamente evidente) y habran con-cluido, sin verificar, que el permetro deA es mayor que el permetro de B; loscolaboradores slo deban corroborar siesta tendencia exista en verdad.

En pg.2, la primera pregunta sobre elpermetro hara que los estudiantesencontraran dificultad, lo que los lleva-ra a verificar con atencin, pues lo quese pregunta no es inmediatamente evi-dente; una vez verificado que el per-metro de A es igual al de B, sin embar-go, no habran tenido problema paradecir que el rea de A es mayor que elrea de B. Los colaboradores debanllevar a los estudiantes a que verifica-ran que los dos permetros eran igua-les y lo expresaran. Luego, los colabo-radores deban estar atentos a la

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respuesta espontnea a propsito delas reas.

Si las cosas hubieran sido as, habramoscontradicho la hiptesis de Azhari (1998)(hecha propia por Stavy & Tirosh, 2001)sobre la base de la evidencia de las figu-ras; no valdra entonces la supuesta leyde conservacin, sino que todo se condu-cira a un hecho ligado a misconcepcionesy evidencias perceptivas.

Los resultados de las pruebas demuestranen forma absolutamente irrefutable nues-tra hiptesis; el orden de las preguntas esfundamental para las respuestas, pero, eneste caso, la edad (y por tanto el grado deescolaridad) inciden en forma estadstica-mente relevante.

La respuesta correcta a la primera partede la pregunta pg.1 (superficie de A > su-perficie de B) fue dada de forma espont-nea e inmediata en todos los entrevista-dos; de stos, entre 90 y 91% concluyerrneamente sin reflexionar que entoncestambin permetro de A > permetro de B.

La respuesta correcta a la primera partede la pregunta pg.2 (permetro de A = per-metro de B) fue dada espontneamente sinnecesidad de reflexin en muy pocos ca-sos, incluso en altos niveles de escolari-dad; una vez que los colaboradores indu-can a reflexionar sobre esta respuesta,muchos de los entrevistados, alrededor de85%, reconocan la igualdad de los per-metros.

Las respuestas erradas en el caso de lasegunda parte de pg.2, por tanto, no estnligadas a la supuesta ley de conservacin,sino a misconcepciones ligadas a los as-pectos que emergen en el apartado prece-dente y a la evidencia perceptiva que, en elcaso del rea, es inmediata, mientras queen el caso del permetro no lo es.

La hiptesis de Azhari viene aqu negada.

Los problemas que se encuentran son dediversos tipos y slo en parte esperados:

Algunos estudiantes confunden en suterminologa rea y permetro; lo queimplica la no aceptacin de las decla-raciones del entrevistado por parte delinvestigador.

Dificultad para confrontar las dos figu-ras A y B, porque una de las dos esuna figura inslita, no incluida entrede las que tradicionalmente la escuelapresenta y a las que dedica frmulas.

Cuando un estudiante, especialmentede los primeros aos de escolaridad,intenta medir los permetros, no siem-pre sabe cmo hacerlo; es notable que,para responder a las preguntas, no eranecesario hacer ningn tipo de medi-cin; se intentaba realizar medicionesen los casos en los que el sujeto lasconsideraba necesarias (lo que suce-de en ms casos de los previstos, y noslo en la escuela primaria o media;varios estudiantes de la escuela supe-rior hicieron uso de cuadrilteros espe-cificando siempre las medidas de loslados y calculando el rea y el perme-tro).

5. CONCLUSIONES Y NOTASDIDCTICAS

Visto el desarrollo de la investigacin conlos estudiantes, es del todo evidente queel obstculo que se opone a la construc-cin de un conocimiento satisfactorio so-bre las relaciones entre permetro y reano es slo de naturaleza epistemolgica,como se afirma en muchos trabajos pre-cedentes sobre este campo de investiga-


15 Entendemos aqu la transposicin didctica en sentido clsico como la transformacin del saber (savoir savant)en un saber de ensear (Chevallard, 1985); tendremos que profundizar ms sobre este tema, pues falta en muchosdocentes una competencia sobre este tipo de temas; esta carencia no les permite transformar realmente el saber enun saber de ensear, no les queda otro camino sino el de hacer referencia a un saber personal que coincide con elsaber institucional esperado por las normas curriculares o por la tradicin. Esta nota final, que no tiene vnculos conlo precedente, tiene como nico objetivo delinear otros posibles escenarios de investigacin.

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cin, sino que es bsicamente de natura-leza didctica.

Este obstculo reside en las eleccionesdidcticas:

Se usan siempre y slo figuras con-vexas, lo que provoca la idea errneade que las figuras cncavas no puedenser usadas o no son convenientes.

Se usan siempre figuras estndar pro-vocando la misconcepcin que vieneenunciada generalmente con la frase:Pero sta no es figura geomtrica.

Casi nunca se ponen explcitamente enrelacin rea y permetro de la mismafigura geomtrica; por el contrario, aveces se insiste en que el permetro semide en metros (m) mientras que elrea en metros cuadrados (m2), y seinsiste en las diferencias y no en lasrelaciones reciprocas.

Casi nunca se hacen transformacionessobre las figuras de forma que se con-serven o se modifiquen rea o perme-tro, lo que crea una misconcepcin encuanto al significado que tiene el trmi-no transformacin; de hecho, muchosestudiantes entienden espontneamen-te por transformacin un cambio queslo implica una reduccin o una am-pliacin de la figura (una homotecia ouna similitud); en el caso (p=, S=)como consecuencia, muchos estudian-tes rechazaron la identidad o una iso-metra como una transformacin.

La confirmacin de lo anteriormente enun-ciado se tiene en la investigacin hechacon los docentes; se verifica el caso dedocentes, no slo de escuela primaria, quetienen reacciones del todo anlogas a lasde los alumnos, es decir de sorpresa, fren-te a un necesario cambio de convicciones.Un docente afirma: Pero si nunca ningu-no nos ensea estas cosas, cmo pode-mos saberlas?; esta frase nos parece lareafirmacin de que casi todo se puederesumir en obstculos didcticos.

Las elecciones de los docentes no ocu-rren dentro de una correcta transposicindidctica que les permita transformar unsaber (que para algunos de ellos noexiste) en un saber de ensear, en modoculto y consciente (por lo general, lamen-tablemente, no existe ni siquiera la con-ciencia de la existencia y de la diferenciaentre saber y saber de ensear)15. Dehecho, al menos en el campo exploradopor nosotros, se observa un escenario decuestiones acrticas, aburridas, que siguenun guin preestablecido consagrado por loslibros de texto. La expresin de estos he-chos se encuentra en los siguientes as-pectos: cuando el docente cambia de con-viccin, lo hace

Insistiendo en que este argumento debeentrar explcitamente en la didctica, y

Prometiendo espontneamente a smismo, en ocasiones, incluirlo en lapropia futura accin didctica deenseanza-aprendizaje.

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Estas ltimas consideraciones nos permi-ten insertar el resultado final de nuestra in-vestigacin acerca del cambio de convic-ciones de los docentes en un importantecontexto internacional. Es verdad que lasconvicciones pueden tener efectos delet-reos sobre la accin didctica, pero puede

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ocurrir tambin lo contrario, como lo de-muestra nuestro caso; podemos encontrarapoyo en la siguiente afirmacin: Las con-vicciones pueden ser un obstculo perotambin una potente fuerza que permiteefectuar cambios en la enseanza (Tirosh& Graeber, 2003).

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Este artculo se ha realizado con la colaboracin de:

Gianfranco Arrigo, Lorella Campolucci, Giampiero Ceccherini, Erminia Dal Corso,Margherita Francini, Maura Iori, Ines Marazzani, Annarita Monaco, Fabrizio Monari,Paola Nannicini, George Santi, Silvia Sbaragli, Anna Traverso, Nadia Vecchi.

Los autores agradecen a los colaboradores de la investigacin por la preciosa ayuda quehan dado y por la enorme disponibilidad no slo en la conduccin de las pruebas con susalumnos y colegas sino tambin sobre si mismos. Les agradecemos tambin por lacolaboracin dada al finalizar el trabajo, por las pacientes lecturas crticas y sugerencias.Agradecemos adems a todos aquellos (colegas y estudiantes) que gentilmente aceptaronsometerse a las pruebas; sus nombres, obviamente, aqu no aparecen.

Por ltimo agradecemos a los rbitros annimos por sus pertinentes y generosassugerencias crticas.

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Bruno DAmoreMartha Isabel Fandio PinillaRSDDM NRDDepartamento de MatemticaUniversidad de BolognaItalia

Email: [email protected]

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APNDICE

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