Resistencia de materiales tema 3

Resistencia de Materiales

Tema 3 - Torsión en barras

Tema 3

Torsión en barras

______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESIME AZCAPOTZALCO

Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

www.deasaingenieria.com.mx

Índice de contenido


Índice de contenido

• Sección 1 - Deformaciones en un eje circular

• Sección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

• Sección 3 - Ejes estáticamente indeterminados

• Sección 4 – Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

• Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares

• Sección 6 - Resúmen de ecuaciones


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Deformaciones en un eje circular


Sección 1 - Deformaciones en un eje circular

Un momento de torsión es aquel que tiende a hacer girar un

miembro respecto a su eje longitudinal.

Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de

transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.


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Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de

torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el

hule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se

mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del

momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan

siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.




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Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y

consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la

superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento

diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal

como se muestra.




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Observemos la figura. Si el ángulo g es muy pequeño, se puede

establecer:

LAA g'

Donde AA’ es el arco que

recorre el punto A al deformarse la

barra debido a torsión, θ es el

ángulo de giro (en radianes) entre

dos secciones transversales

separadas una longitud L, ρ es el

radio de la porción cilíndrica

considerada y g es la deformación

cortante, en radianes.




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Ley de Hooke para Torsión De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una

relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el

rango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.

De forma matemática, podemos expresar dicha relación como

sigue:

Donde “t” es el esfuerzo cortante, “g” es la deformación cortante

y “G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de

elasticidad (“E”) de la siguiente forma:

Siendo “n” el módulo de Poisson.

gt G

)1(2

EG




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Sección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar

la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a

un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:

- Las secciones circulares permanecen como tales.

- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.

- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.

- El eje está sometido a la acción de pares torsores.

- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.

Esfuerzos cortantes en barras

circulares debido a torsión


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Si recordamos la relación de deformación establecida

anteriormente:

Notaremos que para una deformación dada, los valores de “” y

“L” se mantienen constates, de forma que “g” varía linealmente con “ ”.

Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “g” :

Luego:

Y, finalmente:


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Lg

Lr maxg

gg

Lr

max

r

gg max




Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del

material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:

Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una

información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal

respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la

segunda condición de equilibrio:

Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:

r

tt max

dA

rT

t max

dAr

T 2max t




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Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida

como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la

expresión de la forma:

Recordando que anteriormente se estableció que:

Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:

Jr

T maxt

t

t

max

r

JT

t




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Finalmente, obtenemos lo siguiente:

J

T t

Nótese que, para barras de

sección circular, la variación del

esfuerzo cortante es lineal respecto

al radio de la sección. Por otro

lado, como se estudió en el capítulo

anterior, el esfuerzo cortante debe

actuar también en otro plano

perpendicular al de la sección

transversal para conseguir el

equilibrio del elemento diferencial.




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Sección 3 - Ejes estáticamente indeterminados

De forma similar al caso de

carga axial, podemos utilizar

expresiones referidas a estas

deformaciones para resolver casos

estáticamente indeterminados. Nos

interesa entonces determinar una

expresión que relacione el par torsor

“T” con el ángulo de giro entre

secciones transversales “”.

Ejes estáticamente indeterminados

Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una

barra produce una rotación relativa entre secciones transversales que se

encuentren separadas por una longitud “L”.


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Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer

lugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “” con la

deformación cortante “g” mediante la expresión:

En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:

Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo

cortante, determinada recientemente:

Lr g

gt G

J

rTt




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Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “g” y “t”

en la ley de Hooke, obtendremos:

Finalmente, para barras de sección circular:

Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde las

condiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas en

distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión.

L

rG

J

rT

GJ

LT




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Observemos el caso mostrado en

la figura. En ella se presentan dos barras

solidarias, de sección transversal circular,

empotradas en sus extremos y sometidas

a un par torsor “T” en su unión.

La condición de equilibrio que

puede establecerse es la siguiente:

0 TTT CA

Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”).

Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares

torsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definir

los pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.




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En primer lugar, estudiemos el tramo AB. El

torsor aplicado sobre este segmento se define

realizando un corte en la estructura justo antes del

punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda

entonces: 0 ABA TT

Luego, aplicamos un procedimiento

similar para el siguiente tramo. Al realizar un

corte justo antes del punto de aplicación del

siguiente torsor, obtenemos:

0 BCA TTT

ABA TT

ABC TTT




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La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:

Donde “B/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A”

y “B/C” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que

deben ser iguales; entonces:

Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación que

necesitamos para resolver el sistema:

CB

AB

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

GJ

LT

GJ

LT

BCBC

BCA

ABAB

ABA

GJ

LTT

GJ

LT

)()(




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Sección 4 - Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

Relación entre torsor, potencia y

velocidad angular

Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principal

de estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en que

éstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en

conjunto con poleas y correas ó con engranajes.


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En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relaciones

principalmente. La primera, es la expresión matemática que indica la

potencia que comunica un eje ó una polea:

Donde P es la potencia transmitida, “w” es la velocidad angular y

“T” el torsor al que está sometido el eje, la polea ó el engranaje.

También se utilizará la relación de transmisión (“m”), que se define

como la proporción de velocidad ó torque que existe entre el sistema

conductor y el conducido:

La relación de transmisión siempre debe ser mayor que la unidad.

Como la mayoría de los sistemas de transmisión son reductores (es decir,

reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la forma

mostrada. En caso contrario, deben invertirse los términos.

w TP

conductor

conducido

conducido

conductor

T

Tm w

w


Sección 4 - Relación entre torsor, potencia y velocidad angular


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Sección 5 - Diseño de ejes de transmisión

Diseño de ejes de transmisión

El diseño de ejes de transmisión consiste básicamente en

determinar el diámetro y material más apropiados para el mismo, tomando en

cuenta principalmente tres factores:

- Que las deformaciones ocasionadas por torsión sean aceptables

según los requerimientos del diseño.

- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los

esfuerzos admitidos en el diseño, según el factor de seguridad con el que se

esté trabajando.

- Que diámetro del eje no exceda demasiado el tamaño necesario,

pues esto influye en los costos de producción, en la geometría del diseño, en

el peso muerto del sistema, etc.


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En la figura se muestra un

sistema conducido, donde un

conjunto correa-polea transmiten

potencia a una máquina a través de

un eje.

La correa, debido a la

tensión a la que debe estar, ejerce

una fuerza vertical (Fv) sobre la

polea y a su vez sobre el eje,

además de ejercer el torque para

producir movimiento en la máquina.

En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difícil

determinar que la sección crítica es aquella adyacente al apoyo, en B. Note

que la fuerza vertical producirá adicionalmente un momento flector sobre esta

sección.




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Al trasladar las cargas a la

sección transversal crítica, observaremos

que sobre ella se encuentran aplicados una

fuerza cortante Fv, un momento torsor T, y

un momento flector M.

Tenemos entonces tres posibles

puntos críticos:

- El punto A, donde se generan s(+)

debido al momento flector y t debido al

torsor;

- El punto A’, donde se generan s(-) debido al momento flector y t

debido al torsor;

- el punto B’, donde se concentran los t debido al momento torsor

y debido a la fuerza cortante.




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Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares

Ecuaciones empleadas en barras no

circulares

En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par

torsor aplicado sobre una viga de sección transversal no circular.

La deducción de las ecuaciones que describen la distribución de

esfuerzos cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. Nuestro

interés radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar

las características geométricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con

el esfuerzo cortante máximo que se produce y su respectiva deformación.

Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a a

continuación algunos ejemplos.


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Sección elíptica

2max

2

ba

T

t



33

22

ba

ba

G

T

L


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Sección triangular equilátera

3max

20

a

Tt



43

80

aG

T

L


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Sección cuadrada

3max

8077,4

a

Tt



4

1124,7

aG

T

L


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Resumen de ecuaciones

Tema 3 – Torsión en barras

Sección 6 - Resumen de ecuaciones

Ley de Hooke para torsión:

t: Esfuerzo cortante

G: Módulo de Rigidez

g: Deformación angular unitaria

E: Módulo de elasticidad del material

n: Relación de Poisson del material

gt G

)1(2

EG


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Esfuerzo cortante en barras de sección circular

debido a momento torsor

t: Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal

: distancia medida desde el centro hasta el punto de interés

J: Momento polar de inercia de la sección transversal

J

T t


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Ángulo de giro en barras circulares sometidas a

momento torsor

: Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A”

T: Par torsor al que está sometido la barra circular

J: Momento polar de inercia de la sección transversal

G: Módulo de rigidez del material

LAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”

GJ

LT ABAB

/


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Relaciones entre torsor, potencia y velocidad angular

w: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)

T: Par torsor al que está sometido la barra circular

P: Potencia

m: relación de transmisión

w TP

conductor

conducido

conducido

conductor

T

Tm w

w


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