Resistencia de materiales tema 6

Resistencia de Materiales

Tema 6 - Deflexión en Vigas

Tema 6

Deflexión en vigas

______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESIME AZCAPOTZALCO

Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

Índice de contenido

• Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica.

• Sección 2 – Método de doble Integración

• Sección 3 – Método de área de momento

• Sección 4 – Método de tres momentos


ESIME AZCAPOTZALCO


Tema 6 - Deflexión en Vigas

Ecuación diferencial de la elástica

Tema 6 - Deflexión en vigas

Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida

en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con

el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del

material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección

transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la

misma. Observemos que este último término se ha designado como

dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

IE

xM

)(1

r(6.1.1)


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Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del

cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto

‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:

2

32

2

2

1

1

dx

dy

dx

yd

r

2

2

dx

yd

dx

dyCorresponde a la primera

derivada de la función

Corresponde a la segunda

derivada de la función

(6.1.2)




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Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el

término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo

orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe

las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas

transversales.

IE

xM

dx

yd

)(12

2

r(6.1.3)




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Método de Doble Integración


Sección 2 – Método de Doble Integración

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para

resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en

vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los

diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente

las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo

integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la

pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del

punto de máxima deflexión.


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Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de

que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección

transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la

ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso

considerado, la rigidez a la flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por

el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:

IE

xM

dx

yd

)(2

2

1

0

)( CdxxMdx

dyIE

x

(6.1.3)

(6.2.1)


Sección 2 - Método de Doble Integración


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Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las

condiciones de frontera, como se explicará más adelante.

Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es

satisfactoria la aproximación:

)(tgdx

dy

1

0

)( CdxxMdx

dyIE

x

De modo que con la expresión

anterior se puede determinar la

inclinación de la recta tangente a la

curva de la elástica para cualquier

longitud ‘x’ de la viga.

(6.2.1)

(6.2.2)




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Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior,

tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para

cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que

‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus

valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en

algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde

podemos recoger esta información.

x x

CdxCdxxMxyIE0

2

0

1)()( (6.2.3)




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En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en

un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA → y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :

x = LA → y = 0

x = LA → = 0




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Método de Área de Momento


Sección 3 - Método de Área de Momento

El método de área-momento proporciona un procedimiento

semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos

específicos sobre la curva elástica de la viga.

La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas

asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama

consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar.

Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y

momentos concentrados.

El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para

calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso

requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de

las técnicas para preparar diagramas de momento flector.


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La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado

dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los

mismos. Puede observarse que ‘B/A’

es el ángulo que forma la tangente

que pasa por el punto ‘B’ respecto a la

que pasa por ‘A’. De forma análoga

se define el ángulo ‘A/B’. Es

importante notar que ambos tienen la

misma magnitud, y se miden en

sentido contrario.

Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos

plantear la ecuación de la elástica de la forma:

IE

xM

dx

d

dx

dy

dx

d

)((6.3.1)




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Si integramos la expresión anterior, obtenemos:

Planteando que:

Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:

B

A

B

A

x

x

dxIE

xMd

)(

ABAB /

B

A

x

x

AB dxIE

xM )(/

(6.3.2)

(6.3.3)

(6.3.4)




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Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento:

B

A

x

x

AB dxIE

xM )(/

“El ángulo entre dos rectas

tangentes a dos puntos cualquiera

sobre la curva elástica es igual al

área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’

entre esos dos puntos”

(6.3.5)




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Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable

la aproximación:

Donde ‘d’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos

puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el

punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘d’ queda:



dxdt (6.3.6)

dxIE

xMxdt

)((6.3.7)


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Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:

Lo cual puede rescribirse de la forma:

Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe

entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.



B

A

x

x

BA dxIE

xMxt

)(/ (6.3.8)

B

A

x

x

ABA dxIE

xMxt

)(/ (6.3.9)


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La ecuación 6.3.9 supone la base del segundo teorema de área

momento:

“La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva

elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual

al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este

momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la

desviación vertical ‘tA/B’ ”.




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De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’

respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento

de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:

Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el

centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la

ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se

encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).



A

B

x

x

BAB dxIE

xMxt

)(/ (6.3.9)


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Método de Tres Momentos


Sección 4 - Método de Tres Momentos

Con este método puede analizarse una viga sostenida por

cualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos

flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la

viga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método

permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las

condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos

en ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las

reacciones.

En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica

en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de

ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos

desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para

cualquier combinación de cargas.


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Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.

Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’),

donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las

que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas

sobre los tramos ‘L12’ y ‘L23’.


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Se tendría entonces:

Note que los momentos flectores (‘M1’, ‘M2’, ‘M3’) se han dispuesto

en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes

‘V2i’ y ‘V2d’ no son necesariamente iguales; depende de la condición de

apoyo ó carga que exista en el punto ‘2’.


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Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma

separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En

el caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.


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Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para

los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha

asumido ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.


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Ahora, observemos una representación exagerada de la curva

elástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación de

triángulos:

23

32/3

12

2/11

L

ht

L

th

(6.4.1)


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Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión

de los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’:

2

1

)(12/1

x

x

dxIE

xMxt

(6.4.2)

2

3

)(12/3

x

x

dxIE

xMxt

11212122121212/1

3

2

2

1

3

1

2

11xALLMLLM

IEt

32323233232322/3

3

1

2

1

3

2

2

11xALLMLLM

IEt (6.4.3)


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Finalmente, al sustituir ‘t1/2’ y ‘t3/2’ en la ecuación 6.4.1, se obtiene:

Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos

flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama

ecuación de los tres momentos.

Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada,

los términos ‘h1’ y ‘h3’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de la

ecuación se hace cero.

23

323

12

11223323122121

66)(2

L

xA

L

xALMLLMLM

(6.4.4)

23

3

12

16L

h

L

hIE


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