Resistencia de materiales tema 5

Resistencia de Materiales

Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector

Tema 5

Fuerza Cortante y Momento

Flexionante

______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESIME AZCAPOTZALCO

Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

www.deasaingenieria.com.mx

Índice de contenido

Tema 5 – Carga Transversal y Momento Flector

Índice de contenido

• Sección 1 - Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento

Flector

• Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento

Flector

• Sección 3 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector

• Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

• Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros

curvos

• Sección 6 - Vigas sometidas a Carga Axial excéntrica

• Sección 7 - Resumen de Ecuaciones


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Relación entre Carga, Fuerza Cortante

y Momento Flector


Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector

Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de forma

perpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman vigas.

A menudo se pueden clasificar según el modo en que estén

soportadas.

Viga simplemente apoyada Viga en voladizo

Viga con voladizo


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Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras

(armazones de edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos,

pueden hallarse gran variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Esto

hace que determinar la sección transversal crítica (aquella en la que se

producen los esfuerzos de mayor magnitud) no sea un procedimiento

sencillo, de un solo paso.

Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momento

flector. Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómo

se distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra la

sección transversal crítica.

En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados por

momentos flectores son más relevantes que aquellos producidos por fuerza

cortante. Debido a esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en la

cual esté aplicado el momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, por

seguridad, debe hacerse también una evaluación de esfuerzos en la sección

donde ocurra la mayor fuerza cortante.




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Convención de signos Se considerarán con signo positivo:

Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotación

horaria del segmento de viga.

Los momentos flectores que generen compresión en la parte

superior de la sección transversal de la viga.




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Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector Consideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lo

largo de la misma, como se muestra.



El término ‘q(x)·Δx’ representa la fuerza resultante y ‘K·Δx’ es

distancia a la que actúa la fuerza cortante desde el extremo derecho; se

cumple que ‘0 < k < 1’ ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

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Al aplicar la primera condición de la estática, obtenemos:

Al despejar el término referido a la variación de fuerza cortante,

tenemos:

Finalmente, al despejar ‘q(x)’ y aplicar el límite cuando ‘Δx→0’ nos

queda:

0)()( VVxxqVFv

xxqV )(

)(0

xqdx

dV

x

VLim

x




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Análogamente, al aplicar la segunda condición de la estática,

obtenemos:

Despejando el término referido a la variación del momento flector,

tenemos:

Luego, al despejar V, tomando la aproximación ‘Δx2≈0’ y aplicando

el límite cuando ‘Δx→0’ nos queda:

Podemos observar entonces que el diagrama de fuerza cortante

nos indica cómo se comportan las rectas tangentes a la curva que describe

la variación del momento flector sobre la viga.

0)()( 2 MMxkxqxVMMo

Vdx

dM

x

MLim

x

0

2)( xkxqxVM




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Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector

Ecuaciones Generales de Fuerza

Cortante y Momento Flector

En muchos casos puede resultar de interés disponer de

expresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza cortante y el

momento flector.

Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de la

siguiente forma:

naxxf )(

0 si ‘x < a’

( x – a )n si ‘x > a’


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Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente:

• La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta que

“x” alcanza el valor de “a”.

• Para ‘x > a’, la expresión se convierte en un binomio ordinario.

• Cuando ‘n = 0’ y ‘x > a’, la función es igual a la unidad.

naxxf )(

0 si ‘x < a’

( x – a )n si ‘x > a’




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1. Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la izquierda o a la

derecha, según convenga.

2. Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos.

3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de Macaulay.

4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las cargas

distribuidas; de no ser así, las mismas deberán proyectarse hasta dicho

corte. Se recomienda entonces agregar y quitar tantas cargas como sea

necesario.

Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante y

momento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los siguientes

pasos:




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A continuación presentamos algunos ejemplos de cargas

expresadas utilizando funciones de Macaulay:

0)( axPxV

1)( axPxM

0)( axMxM

0)( xV




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Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas variables

debe procurarse que éstas terminen en el corte imaginario realizado en un

extremo de la viga; se procedería entonces como sigue para una carga

uniformemente distribuida:

11)( bxWaxWxV

22

2

1

2

1)( bxWaxWxM




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122

2

1

2

1)( bxKbx

ab

Kax

ab

KxV

233

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1)( bxKbx

ab

Kax

ab

KxM

Con una carga que varía linealmente, se tendría:




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Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector

Esfuerzo Normal debido a

Momento Flector

Utilizando un material muy deformable como el hule, se puede

identificar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto se

somete a flexión. La líneas longitudinales se curvan y las líneas trasversales

perpendiculares al momento permanecen rectas, pero sufren una rotación.


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Definiremos ahora dos parámetros que nos serán de utilidad

próximamente.

Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de sección

transversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo al

vector momento flector aplicado.

Designaremos superficie neutra a la superficie longitudinal

conformada por el eje neutro y todas la líneas longitudinales de la viga que

lo intercepten.




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En resumen, se asumen las siguientes condiciones:

• La viga es recta.

• La sección transversal de la viga es uniforme.

• Todas las cargas actúan de forma perpendicular al eje de la viga.

• La viga apenas se tuerce al aplicar las cargas.

• El material del que esté hecha la viga es homogéneo y su modelo de

elasticidad es igual a tensión y compresión.




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En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada una

porción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse el

momento flector.




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Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en el

elemento:

Donde: Δs = Δx = ρ·Δθ

Δs’ = (ρ + y)·Δθ

Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma:

s

ssLim

s

'

0

)(

0

yLim




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Finalmente:

Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el eje

neutro, desde el cual se miden las distancias “y”, no ocurrirá deformación. Y

las deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signo

contrario a las que ocurren por debajo del mismo.

yLim

0

y




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Recordando la Ley de Hooke,

podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en función

de la variable “y”:

donde “E” y “ρ” son constantes.

Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre la

sección transversal, tenemos:

E

yE

0dAdF




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Sustituimos la expresión de “σ” obtenida anteriormente y nos queda

Dado que ningún “dA” es igual a cero, tenemos que la única

solución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente:

Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas las

distancias “y”, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de la

viga.

0dAyE

dA



0dAy


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Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre la

sección. Nos queda:

De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σ

obtenida mas atrás y obtenemos:

Donde el término que encierra la integral corresponde al momento

de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando con

la letra “I” a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de la

siguiente forma:

0dAyMM



02 dAyE

MdAyM

0 IE

M


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Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores:

Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos queda

finalmente:

Donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmente

respecto a la dirección “y”.

E

y

yE

0 Iy

M

I

yM




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Regla de la mano derecha Se utiliza para definir los signos de los esfuerzos normales

empleando momentos aplicados.

Al colocar la palma de la mano derecha sobre la sección

transversal, con el pulgar siguiendo el sentido del momento sobre el eje

neutro, la parte de la sección que quede bajo la palma de la mano será

aquella que esté sometida a compresión.




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Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas no

solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante

interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales se

deslicen una sobre las otras.

Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente

apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí.


Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

Esfuerzo Cortante debido a

Carga Transversal


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Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse

cómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y

se aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento.

Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el

deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a

momento flector.




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Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nos

permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el

deslizamiento anteriormente descrito.

Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura.

Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial de

la misma.




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En la figura podemos observar con mayor detalle el elemento

diferencial dentro de la viga.

Se cumple:

dAdH 11

dAdH 22




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Si suponemos que ‘H2>H1’, podemos plantear la primera condición

de equilibrio en el elemento diferencial:

Al sustituir “H1” y “H2”, nos queda:

Recordando que:

021 dFHHF

21 HHdF

c

y

c

y

dAdAdF

1 2

12

I

yM




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Al introducir esto en la expresión anterior, obtenemos:

Si consideramos que ‘M1 - M2 = dM’, al despejar “t” nos

queda:

Luego:

c

y

c

y

dAyI

MdAy

I

Mdxb

1 2

12t

c

y

dAybIdx

dM

1

1t

Vdx

dM

QdAy

c

y

1

(Fuerza cortante)

(Primer Momento de Área)




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Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante en

la viga:

Sin embargo, para que un elemento diferencial se halle en

equilibrio, debe existir otra fuerza horizontal, en sentido contrario, que actúe

en un plano paralelo.

bI

QV

t

Se tienen entonces

dos fuerzas que generan un

par en el elemento diferencial.

Para anularlo, debe aparecer

otro par de fuerzas de igual

magnitud y sentido contrario,

que actúan en planos

perpendiculares a los

anteriores, como se muestra.




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Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta de

tres características:

-Actúa en un plano

-Actúa en una dirección, que debe ser tangente a dicho plano

-Posee una magnitud.

Todas estas características se señalan en la nomenclatura del

esfuerzo cortante, como sigue:

•i indica el plano de acción del esfuerzo cortante

•j indica la dirección del esfuerzo cortante

•K es la magnitud del esfuerzo

Kij t




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Entonces, por ejemplo, un “txy” es un esfuerzo cortante que actúa

en el plano “x” en la dirección “y”. Observe que debe cumplirse:

jiij tt

También es importante

mencionar, que el producto de los

signos del plano de acción y de la

dirección del esfuerzo debe ser

siempre el mismo, sin importar cuál

de los “cuatro” esfuerzos estemos

tomando en cuenta. Este producto

de signos se le asignará al valor del

esfuerzo. En el caso mostrado, el

esfuerzo es negativo.




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Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversal

ocurre como se muestra en la figura.

Note que la distribución es hiperbólica.




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Para deducir una expresión que nos permita determinar los

esfuerzos normales generados por un momento flector aplicado sobre un

miembro curvo, asumiremos las siguientes condiciones:

• El material se comporta en el rango elástico.

• Las secciones transversales planas permanecen planas después de la

flexión.

• El módulo de elasticidad es el mismo para tracción y para compresión.

• Las secciones transversales tienen un eje de simetría centroidal en un

plano a lo largo de la viga.

• A diferencia del caso de vigas rectas, el eje neutro no coincide con el

eje centroidal longitudinal de la viga.


Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos

Esfuerzo Normal debido a

Momento Flector en miembros curvos


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Designaremos “r” a la distancia que existe entre el centro de

curvatura del elemento y el eje neutro de la sección transversal. A su vez,

“R” será la distancia entre dicho centro e curvatura y el eje centroidal de la

sección transversal. Notemos que ‘R > r’, y que ambos parámetros son

constantes para una sección transversal dada.




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Si aislamos un segmento diferencial de la viga, el esfuerzo tiende a

deformar el material en forma tal que cada sección transversal girará un

ángulo “d/2”.

Se puede notar que:

Luego, por definición:

dL 0

d )( rdL f

0

0

L

LL f




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Al sustituir L0 y Lf queda:

Luego, hacemos:

Al introducirlo en la expresión anterior, obtenemos:

Podemos observar aquí que la deformación varía de forma

hiperbólica, no lineal.

d

d

rdd

)(

d

dk

rk




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Como el material se comporta elásticamente, podemos aplicar la

ley de Hooke:

De forma similar al caso de viga recta, debe cumplirse la primera

condición de equilibrio:

Tenemos entonces que:

rkEE

0 dAF

dAr

kEdA




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Como los valores de E, K y r son constantes:

De aquí obtenemos que:

Esta es la expresión que nos permite determinar la distancia entre

el centro de curvatura de la viga y el eje neutro de la sección transversal del

elemento.

0

dA

rdAkEdA

dA

dAr




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Aplicaremos ahora la segunda condición de equilibrio:


dArM )(

dAr

kErdAr

)()(

dArdArdAkEdA

rkE 2

2

2)(




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Definiremos ahora cada término resultante del binomio cuadrado:

dArdArdAkEdA

rkE 2

2

2)(

ARdA

AdA

r

AdA




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Recordando además que:


rAArARr

M

2

kEr

ArARr

M




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Despejando σ, nos queda:

Luego, estableciendo:

Podemos rescribir la expresión de la forma:

)(

)(

rRA

rM

rRe

eA

rM

)(




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Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversal

ocurre como se muestra en la figura.

Nótese que:

eA

rMLim

)(

0

0)(

eA

rMLim




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Vigas sometida a carga axial excéntrica

Cuando nos encontremos con el caso de una viga en la que se

halle aplicada una carga axial cuya recta de acción no pase por el eje

centroidal, se calcula el momento flector que produce la excentricidad de la

carga. Entonces, el esfuerzo normal resultante vendrá dado por la

superposición de los efectos producidos por la carga axial (aplicada en el

centroide de la sección transversal) y el momento generado.

A

P

I

yM

A

P

I

yyP

)(


Sección 6 – Vigas sometidas a carga axial excéntrica


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Resumen de ecuaciones


Sección 7 - Resumen de ecuaciones

Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:

V: Fuerza Cortante en una sección transversal

M: Momento Flector en una sección transversal

x: Distancia desde un extremo de la viga

)(0

xqdx

dV

x

VLim

x

Vdx

dM

x

MLim

x

0


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Esfuerzo normal debido a momento flector:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal

M: Momento flector sobre la sección transversal

y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección

transversal

I: Momento de inercia de la sección transversal

I

yM




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Esfuerzo cortante debido a carga transversal:

t: Esfuerzo cortante en un punto de la sección transversal

V: Carga transversal sobre la sección

Q: Momento de área (respecto al punto de interés)

I: Momento de inercia de la sección transversal

b: Espesor de la sección transversal (respecto al punto de interés)

bI

QVij

t




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Esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal

M: Momento flector sobre la sección

: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el

punto de interés

A: Área de sección transversal

e: Distancia entre el eje neutro y el centroide de la sección transversal

r: Distancia medida desde el centro de curvatura hasta el eje neutro de la

sección transversal

eA

rM

)(




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Parámetro “r” para el cálculo del esfuerzo normal debido a

momento flector en miembros curvos:

r: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el eje

neutro de la sección transversal

A: Área de la sección transversal

: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto

de interés de la sección transversal.

dA

dAr




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