Glavna jednačina fotoelastičnostiPosmatrane svjetlosne komponente A1 i A2 krecu se nakon

izlaska iz modela različitim brzinama v1 i v2 pri čemu je :

gdje je :c- brzina kretanja svjetlosti kroz vakum,n1 in 2- indeksi prelamanja komponenata svjetlosnog zrakaA1 i A2 - dati su sledecim izrazima :

n1 = n0 + S1 σ1 + S2 σ2

n1 = n0 + S1 σ2 + S2 σ1

gdje je :n0 – indeks prelamanja svjetlosti kroz neopterećen modelσ1 i σ2 – glavni naponi,S1 i S2 – konstante materijala

• Vremenska razlika nastala pri kretanju komponenata A1 i A2 dvostruko prelomljenog svjetlosnog zraka kroz model zavisna je od debljine modela d i jednaka je :

• Ako se prethodni izraz pomnoži sa brzinom kretanja svjetlosti kroz vazduh ( vv) onda je razlika u pravcu kretanja talasa komponenata A1 i A2 posle izlaska iz modela (s), izražena :

• Pošto se vv praktično vrlo malo razlikuje od c, onda je funkcija debljine modela d i razlike indeksa prelamanja (n1 – n2). Ako se sada razlika u pravcu kretanjas, podjeli sa talasnom duzinom u vazduhu λv dobija se

relativno fazno pomjeranje δ:

• λ = talasna duzina svjetlosti u vakumu Razlika indeksa prelamanja(n1 – n2)

sračunava se prema jednčini ispod

• n1 = n0 + S1 σ1 + S2 σ2

• n1 = n0 + S1 σ2 + S2 σ1

• i ako se razlika konstanti materijala (S1-S2) zamjeni sa konstantom S dobit ce se izraz

:

n1-n2 = S( σ1-σ2 )

• Kada ovaj izraz uvrstimo u prethodnu jednačinu dobija se relativno fazno pomjeranje δ :

• Ova jednačina naziva se glavna jednačina fotoelastičnosti.

Nastajanje izohroma i izoklina• Ako je u posmatranoj tački modela razlika glavnih

napona jednaka nuli, onda je δ jednaka nuli, H1 i H2 su antifazni i dobija se na tom mjestu tamno polje.

• U slučaju kada razlika glavnih napona raste, pa je δ jednako ½ fazno pomjeranje jednako polovini talasne duzine, obje svjetlosne oscilacije se sabiraju i sada se javlja maksimum svjetlosti.Pri daljem porastu δ ppnovo se lagano gubi svjetlost, tako da su za δ=1 oba talasa ponovo antifazna i dolazi do potpunog gubitka svjetlosti – tamno polje. Ovaj proces se ponavlja pri daljem porastu razlike glavnih napona na isti način, tako da se uvjek pri cjelim brojevima δ javlja tamno polje a izmedju svjetlo.

• Izohrome se na osnovu glavne jednačine fotoelastičnosti smatraju eksperimentalno određenim linijama istih razlika glavnih napona, a veličina razlike glavnih napona je proporcionalna broju reda izohroma :

• Gdje je :• S-optička ili fotoelastična konstanta materijala

modela• d- debljina modela• δ- red izohrome.

• Na osnovu teorije elastičnosti na konturi ispitivanog modela jedan od glavnih napona je jednak nuli, pa se maksimalni napon na konturi modela odredjuje preko izraza :

• Gdje je :

• δmax – maksimalni red izohrome na konturi modela.

• Na slici 59 data je slika izohroma kod zupca ispitivanog zubčanika u sprezi za slučaj dejstva sile u krajnjoj tački sprezanja.

• Osim izohroma u linearno polarizovanoj svjetlosti na opterećenom modelu, nalaze se još i duge tamne linije.

• Izokline su tamne linije koje povezuju sve tačke modela u kojima se pravci glavnih napona poklapaju sa pravcem polarizacije svjetlosti.

• Na slici 60 data je slika izoklina na primjeru zupca ispitivanog zupčanika.

Određivanje reda izohroma• U v ecini slucajeva pri optickim ispitivanjima

najvise koristena metoda za odredjivanje reda izohroma je metoda odbrojavanja, kada je izvor svjetlosti monohromatski i ako je materijal modela opticki veoma osjetljiv. Kao svjetlosni izvor najcesce se koristi lampa sa natrijumovom parom. Vecina materijala koji se koristi u optickim eksperimentima je dovoljno osjetljiva i kod takvih materijala se dobijaju izohrome tridesetog i iznad tridesetog reda.

• Prilikom odbrojavanja reda izohroma, uvjek se polazi od nulte izohrome, to su uglavnom neopterecena mjesta, singularne ili izotropne tacke ili linije. Kada se koristi bijela svjetlost, polja nulte izohrome su tamna.

• Pomoću monohromatske svjetlosti mogu se odrediti i izohrome ciji red nije cijeli broj i to pomocu susjednih izohroma čiji je red cijeli broj jednostavnom metodom ekstrapolacije.

• U slučaju koncentracije napona na mjestima gdje je broj izohroma jako nagomilan koristi se princip ekstrapolacije na taj način što se povuce normala na izohromu najveceg reda, odnosno povuce normala na tangentu koja je povucena na konturu modela.

• Ova normala ide do izohrome nizeg reda, npr δ = 3, i izmjeri se rastojanje svake od izohroma do ivice konture i obiljezi odgovarajucom oznakom, a,b,c,d.

• Rastojanje svake od izohroma nanosi se na apscisu diagrama, a odgovarajuci red izohrome δ na ordinatu. U presječnim tackama rastojanja i odgovarajuceg reda zohrome povlači se kriva linija. Ova kriva se odredjuje konstruktivno i produzi do presjeka sa ordinatom. Tacka presjeka krive i ordinate odredjuje trazeni red izohrome na konturi modela.

• Ako se umjesto monohromatske svjetlosti koristi bijela svjetlost, tada se polarizovana svjetlost sastoji iz nizasvjetlosnih oscilacija različitih talasnih duzina, tako da svaka oscilacija ima svoju talasnu duzinu.

• U ovom slucaju izohrome nisu vise tamne linije, vec su zbog spektra boja bijele svjetlosti linije istih boja. Samo je izohroma nultog reda tamna – crna.

• Na osnovu toga sa porastom faznog pomjeranja δ gube se najprije svjetlosne oscilacije kracih talasnih duzina i dobija se odgovarajuci spektar boja : ljubicasta, plava, zelena,zuta, crvena itd. I sa porastom velicine faznog pomjeranja raste i red izohrome.

• Primjena bijele svjetlosti pri odredjivanju reda izohroma je neophodna posebno pri definisanju onih izohroma koje se putem monohromatske svjetlosti ne mogu ocitati. Kod izoklina primjena bijele svjetlosti niej neophodna.

• U sledecoj tabeli dato je odredjivanje reda izohroma na osnovu spektra boja bijele svjetlosti za slucaj kada su polarizator i analizator ukrsteni i medjusobno paralelni.

Trajektorije glavnih napona i njihova konstrukcija

• Duž jedne izokline glavni naponi imaju isti pravac, ako se smatra da je pravac oscilovanja svjetlosti koja dolazi od polarizatora normalan.Kada se izokline , odredjene za različite polozaje ukrstenog polarizatora izmedju 0 i 90 stepeni zajedno nanesu na jednu sliku, dobija se polje pravaca glavnih napona za citavo naponsko stanje koje vlada u modelu. Pomocu polja pravaca crta se mreza linija glavnih napona - Trajektorija glavnih napona.

Za pravce glavnih napona se na osnovu izoklina dobijaju dvije linije, koje se uzajamno sijeku pod pravim uglom,predstavljaju trajektorije glavnih napona. postoji nekoliko metoda za konstrukciju pravaca glavnih napona na osnovu izoklina.

• Mreža pravaca glavnih napona se sastoji iz jednog ortogonalnog sistema linija, pri čemu su odgovarajuce linije medjusobno upravne.u svakoj tacki modela postoje dvije medjusobno upravne linijeglavnih napona, pri cemu jedne odgovaraju pravcima maksimalnog σ1, a druge upravne na njih pravcima minimalnog napona σ2 . Ako su u jednom koordinatnom sistemu x,y sa σx i σy oznaceni normalni naponi , a sa τxy smicajni napon pri cemu je (φ ) ugao izmedju pravaca glavnih napona, tada postoji sledeci odnos :

• Pri čemu je : tgφ =dy/dx i tg2φ =(2tgφ)/(1-tg2φ), a diferencijalna jednacina trajektorija glavnih napona glasi :

• Rešenje ove jednacine je u vecini prakticnih primjera moguce. Prilikom crtanja linija glavnih napona posebnu paznju treba obratiti na singularne tacke ili tacke u kojima nema smicajnih napona. To su mjesta u kojima su oba glavna napona iste velicine, pa je Mohr-ov krug napona na tim mjestima predstavljen tackom, a izohrome su nultog reda.

Odredjivanje fotoelastične konstante

• Primjenom glavne jednacine fotoelasticnosti za odredjivanje glavnih napona na odredjenom mjestu modela odredjuje se fotoelasticna ili opticka konstanta koja predstavlja mjeru opticke osjetljivosti materijala. Pri eksperimentalnom odredjivanju opticke konstante koristi se prizmaticni stap duzine 10 do 20 cm i dimenzija poprecnog presjeka h = 20 mm i d= 10 mm izlozen cistom savijanju, a izradjen od istog materijala kao i model na kome se izvodi glavni eksperiment. Koristi se monohromatska svjetlost i uredjaj za fotoelasticna ispitivanja sa polarizacionim plocama. Uredjaj u koji se postavlja epruveta i opterecuje na cisto savijanje naziva se Tidemann-ov uredjaj. Slika 67.

• Na osnovu glavne jednacine fotoelasticnosti bi-ce : (σ1- σ2) = (S/d) δ

• pa je za σ2 = 0, na konturi σ1- σx , gdje je na osnovu slike 68 koja prikazuje raspodjelu napona u epruveti pri cistom savijanju σx jednako:

• σx =(M/I)y, • gdje je M=G*l, • l- udaljenje od neutralne ose stapa, I= (dh3)/12 za pravougaoni poprečni presjek, pa je

opicka konstanta jednaka :

• Pošto se kod čistog savijanja izohrome javljaju kao paralelne, ekvidistantne linije, čiji red raste od nultog u osi stapa, slika 69, do maksimalnog na krajevima, konturnim linijama štapa moze se za y=h/2 i za

σx = (6M)/ dh2 , δ =z/2,

gdje je z broj medjurastojanja susjednih izohroma pocev od neutralne ose stapa ka ivicama konture, odrediti opticka, fotoelasticna konstanta :

Kod opticki osjetljivih materijala z obicno iznosi od 16 do 20, pa se njihovom primjenom moze postici zadovoljavajuca tacnost pri odredjivanju opticke konstante i maksimalnog ivicnog napona.