1 ROTACIONO KRETANJE Ugaoni pomeraj Nekasenekiuoenidelitelailimaterijalnatakaupoetnom trenutkut1nalaziupoetnompoloajuu1uodnosunax-osu.U trenutku t2 rotacijom oko z-ose uoeni element se nalazi u poloaju u2.Ugaonipomerajkojijenainiouoenidelitela(asamimtimi celo telo) iznosi: Ako se telo (taka) pomera translatorno du x-ose, pomeraj Ax koji naini moe biti pozitivan ili negativan u zavisnosti od toga da li se kree u smeru x-ose ili u suprotnom smeru. Na slian nain, ugaoni pomerajAu koji naini telo(taka) koje rotira moe biti pozitivan ili negativanuzavisnostiodtogadalitelorotirausmerusuprotnom kretanjukazaljkiasovnika(pozitivansmer)iliusmerukretanja kazaljki asovnika (negativan smer). Ugaona brzina Materijalna taka u trenutku t1 zauzima ugaoni poloaj u1, a u trenutku t2 uagoni poloaj u2.-Srednja ugaona brzina esr, definie se kao: -Trenutnaugaonabrzinae,predstavljagraninuvrednostsrednjeugaonebrzineesrkada vremenski interval At tei nuli Na osnovu prethodne jednaine jasno je da, ako je poznata jednaina kretanjau(t), trenutnu ugaonubrzinunalazimonjenimdiferenciranjem.Dobijenajednainavaikakozakrutoteloucelini takoizasvakinjegovelement,todrugaijemoemoreidaubilokomtrenutkuvremenasvaka taka krutog tela koje rotira ima istu ugaonu brzinu. Jedinica ugaone brzine iznosi radijan po sekundi (rad/s). Kaoiugaonipomeraj,takoiugaonabrzinamoeimatipozitivnui negativnualgebarskuvrednostuzavisnostiodtogadalitakarotirau smerukretanjakazaljkinasatuiliusuprotnomsmeru.Pravacismer vektora ugaone brzine odreuje se pravilom desne ruke (ili desne zavojnice) takotoseprstisavijuusmerurotacijetake,apravacpalcapokazuje pravacismervektoraugaonebrzine.Toznaidabiugaonabrzinau vektorskom obliku bila zapisana kao: tobiznailodajeuvedenvektorugaonogpomerajaAuijiintenzitetiznosiAu=As/R,pravacje normalan na prebrisanu povrinu, a smer se odreuje pravilom desne ruke. Ugaono ubrzanje Akotelorotirasapromenljivomugaonombrzinom,tadamoemogovoritiougaonom ubrzanju. Neka telo u trenutku t1 ima ugaonu brzinu e1, a u trenutku t2 ugaonu brzinu e2.Srednja vrednost ugaonog ubrzanja osr definie se kao gde je Ae promena ugaone brzine u toku vremenskog intervala At. 1 2u u u = Au2 z x y u1 t t tsrAA==u u ue1 21 2dtdttu ue =AA= Alim0t AA=ueAu uAeR t t tsrAA==e e eo1 21 22 Trenutnavrednostugaonogubrzanjaodefiniesekaograninavrednostsrednjegugaonog ubrzanja osr kada vremenski interval At tei nuli Jedinica ugaonog ubrzanja je radijan po sekundi na kvadrat (rad/s2). Vektorugaonogubrzanjajetakoenaosirotacije(kaoiugaonebrzine).Akojekretanje ubrzano smer vektora ugaonog ubrzanjao, poklapa se sa smerom vektora ugaone brzinee, a ako je kretanje usporeno pomenuti vektori su suprotnih smerova. Kinetika energija rotacije Posmatrajmomaterijalnutakumasemkojarotirabrzinomr e u = ,(vektoriuirsumeusobno normalni za sve take na krunici), gde je r poluprenik krunice.Kinetika energija materijalne take je: Uprethodnojjednainizagradomjeoznaenaskalarnaveliinakojasenazivamomentinercije materijalne take Jedinicamomentainercijejekgm2.Akojeupitanjutelokonanihdimenzija,tzv.krutotelo,onose definiekaoskupelementarnihdeliamasemi kojerotirajunpr.okoz-oseiijejerastojanjeodose rotacije ir. Moment inercije takvog tela se definie kao: Iz gore navedenog dobija se da je kod rotacionog kretanja 221e I Ek = . Moment sile Moment sile je od posebne vanosti za kretanje krutih tela. Obzirom da se on ne vezuje iskljuivo za rotaciju, daemo najpre generalni smisao momenta sile a potom emo se ograniiti na rotaciono kretanje. Momentsileseuvekraunauodnosunanekuproizvoljnoizabranu referentnu taku (kod rotacionog kretanja se ta taka najee bira na osirotacijeizpraktinihrazlogakaotoemovidetinakasnijim primerima).Momentsilejednakjevektorskomproizvoduvektora poloaja napadne take siler i vektora sileF

Uveden je jo jedan pseudovektor moment sile, iji je pravac uvek normalan na ravan koju obrazuju vektorir iF, a smer se odreuje pravilom desnog zavrtnja idui najkraim rastojanjem od prvog ka drugom vektoru. IntenzitetmomentasileiznosiF d F r M = = o sin ,gded=r sinopredstavljanormalnorastojanjeodnapadnelinijesiledoizabrane referentne take i naziva se krak sile. Jedinica momenta sile u SI sistemu je (Nm)1. Momentsilekarakteriesposobnostsiledaokrenetelookotakeu odnosuna koju se rauna. U tom sluaju, ako se telo moe slobodno obrtati u svim pravcima oko takeO, pod dejstvom sileFobrtae se uvek oko ose koja je normalna na ravan u kojoj lee vektor sile i taka O tj., oko ose iji se pravac poklapa sa pravcem vektora momenta sile u odnosu na datu taku. 1 Jedinica Nm u stvari predstavlja dul (J), a poznato je da dul predstavlja jedinicu rada i energije. Meutim, moment sile nema nikakav smisao energije i rada i ne sme se poistoveivati sa ovim veliinama.Upravo se iz tog razloga on nikada ne izraava dulima iskljuivo Nm. ( ) ( )2 2 2 2212121e e u mr r m m Ek= = =2mr I =F r M =220limdtddtddtddtdttu u e eo = = =AA= A( ) = =iziii i zI r m I2o rFMz O d o rFMO z tFrF3 SilaFsemoerazloitinadvekomponenteradijalnu rF,upravcuvektoraritangencijalnu komponentu tF, normalnu nar. Jasno je da radijalna komponenta sile ne moe da izazove okretanje (da li je mogue otvoriti vrata ako delujemo silom koja je paralelna ravni vrata?), ve do rotacije dolazi pod dejstvom tangencijalne komponente tF. Intenzitet momenta sile se u tom sluaju svodi na i ukazuje na injenicu da je manju silu potrebno primeniti na veem rastojanju od referentne takeO. (Da li je veom silom potrebno delovati na vrata u blizini arki ili kod kvake?) Moment sprega sila Spregomsilanazivamodvesileistogintenzitetaipravcaasuprotnihsmerova.Ukupnimoment koje stvaraju ove dve sile iznosie Odnosno, kako je 2 1F F = Primeujemo da prethodna jednaina ne zavisi od izbora take O,toznaidaemomentspregasilauodnosunabilokoju taku uvek imati istu vrednost. Moment sprega sila normalan je naravanukojojleesile 1Fi 2F,apointenzitetujejednak proizvodu normalnog rastojanja izmeu sila d i intenzitetu jedne od njih Moment koliine kretanja MomentkoliinekretanjaLpredstavljajojedanpseudovektorikaoi moment sile, nije vezan iskljuivo za rotaciono kretanje tela. Generalno seuvodikaopojamkodkrivolinijskogkretanjatelauodnosunaneku unapredizabranureferentnutaku.MomentkoliinekretanjaLoko takeOzaesticumasemkojasekreebrzinomudefinisanje vektorskim proizvodom Jedinica momenta koliine kretanja u SI sistemu je kg m2/s. SaslikejevanoprimetitidaemomentkoliinekretanjaLu odnosu na neku drugu referentnu taku A biti razliit ak i za isto telo sa istom koliinom kretanjap.Intenzitet momenta koliine kretanja iznosi o usin rm L = . Obziromdaseradiovektorskomproizvodu,svetojereenokod momentasilevaiiovdetesenadetaljimaneemoponovo zadravati.Naveemosamodaseintenzitetmomentakoliine kretanjamoeodreivatiiprekokomponentivektorapoloajai brzine na sledei nain u m r p r L = =o ruLO A ArALtF r M =2 2 1 1F r F r M + =2 1 2 2 2 2 1F ) r r ( F r F r M = + =2 12F r M =F d M =d O 2r1r1F2F2 1F F =12rtu u rm m r L = = rumLO z rmurtum4 Dinamika rotacije Vratimoseoptojdefinicijimomentakoliinekretanjamaterijalnetakep r L = .Diferenciranjem ove jednaine po vremenu dobija se Sa obzirom na to da je0 = = = ) ( m m p u u u u u , a exrezFdtp d=ostaje lan sa desne strane predstavlja moment rezultantne eksterne sile, te je konano Poslednja jednaina predstavlja osnovni zakon dinamike rotacije ili II Njutnov zakon za obrtno kretanje i glasiBrzinapromenemomentakoliinekretanjaesticejednakajemomentu rezultantne spoljanje sile koja deluje na esticu. Skreemopanjudasemomentkoliinekretanjaimomentsilemorajuraunatiuodnosunaistu referentnu taku. Kod rotacionog kretanja materijalne take jee e u I m r rm L = = =2. Zakon o odranju momenta koliine kretanja Pretpostavimo da je moment rezultantne spoljanje sile jednak nuli, Dobijen je zakon o odranju momenta koliine kretanja koji glasi Ako je moment rezultantne spoljanje sile jednak nuli, ukupni moment koliine kretanja tela se ne menja u toku vremena. U sluaju rotacije materijalne take L=Ie te zakon o odranju momenta koliine kretanja glasi PARALELA IZMEU TRANSLATORNOG I ROTACIONOG KRETANJA TRANSLATORNO KRETANJEROTACIONO KRETANJE (FIKSIRANAOSAROTACIJE) Poloaj Brzina Ubrzanje Masa Drugi Njutnov zakon Rad Kinetika energija Snaga x u =dx/ dt a =du/dt m F =ma A =} Fdx Ek = mu2 P =Fu Ugaoni poloaj Ugaona brzina Ugaono ubrzanje Moment inercije Drugi Njutnov zakon Rad Kinetika energija Snaga u e =du/ dt o =de/ dt I M =Io A =} Mdu Ek = Ie2 P =Me dtp dr pdtr ddtL d + =dtp dr pdtL d + = uexrezMdtL d=exrezF rdtL d =const 0 = = LdtL dconst = e I