ROVNICE A NEROVNICENerovnice v podílovém tvaru

VY_32_INOVACE_M1r0118Mgr. Jakub Němec

PODÍLOVÝ TVAR NEROVNICE

Nerovnice, které obsahují členy v podílovém tvaru, se řeší podobně jako rovnice v součinovém tvaru, protože princip výpočtu kladnosti nebo zápornosti je u podílu podobný jako u součinu.

Před určováním nulových bodů je třeba převést všechny výrazy na jednu stranu a upravit je do jediného lomeného výrazu, který budeme porovnávat vůči nule.

Během řešení takovýchto nerovnic je třeba najít nulové body, určit intervaly a určit kladnost či zápornost celého lomeného výrazu.

Musíme si však uvědomit také vlastnosti lomených výrazů, tedy určení podmínek řešení, které musíme zahrnout do výsledku.

Řešte danou nerovnici pro a výsledek zapište intervalem.

Výraz na levé straně již nelze více upravit.

Určíme podmínky řešení.

Sestavíme tabulku nulových bodů.

POZOR na podmínku,číslo -3 nemůže patřit do intervalu řešení.

Pro jednotlivé lineární členy určíme kladnost a zápornost v daných intervalech.

Po sloupcích určíme kladnost a zápornost v jednotlivých intervalech pro celý výraz.

Vybereme pouze „záporné“ intervaly, které vyhovují zadání.

𝑥−7𝑥+3

≤0

(−∞;−3 )¿ ¿7 ; ∞¿

𝑥−7

𝑥+3

𝑥≠−3

𝑲 :𝒙∈¿

Řešte danou nerovnici pro a výsledek zapište intervalem.

Upravíme nerovnici tak, aby na jedné straně byl jeden lomený výraz a na druhé pouze nula.

Určíme podmínky řešení.

Sestavíme tabulku nulových bodů.

Pro jednotlivé lineární členy určíme kladnost a zápornost v daných intervalech.

Po sloupcích určíme kladnost a zápornost v jednotlivých intervalech pro celý výraz.

Vybereme pouze „záporné“ intervaly, které vyhovují zadání.

3𝑥−102− 𝑥

<−2

3𝑥−102− 𝑥

+2<0

3𝑥−10+4−2𝑥2−𝑥

<0

𝑥−62−𝑥

<0 𝑥≠2

𝑥−6

2−𝑥

(−∞;2 ) (2 ;6 ) (6 ; ∞ )

𝑲 :𝒙∈ (−∞;𝟐 )∪ (𝟔 ;∞ )

Řešte danou nerovnici pro a výsledek zapište intervalem.

Upravíme nerovnici tak, aby na jedné straně byl jeden lomený výraz a na druhé pouze nula.

Upravíme kvadratický člen na součin dvou lineárních.

Určíme podmínky řešení.

Sestavíme tabulku nulových bodů.

Pro jednotlivé lineární členy určíme kladnost a zápornost v daných intervalech.

Po sloupcích určíme kladnost a zápornost v jednotlivých intervalech pro celý výraz.

Vybereme pouze „kladné“ intervaly, které vyhovují zadání.

𝑥2+11𝑥+2

≥4

𝑥2+11𝑥+2

−4≥0

𝑥2+11−4 𝑥−8𝑥+2

≥0

𝑥2−4 𝑥+3𝑥+2

≥0

(𝑥−3 ) ∙ (𝑥−1 )𝑥+2

≥0 𝑥≠−2

(−∞;−2 )¿ ⟨1;3 ⟩ ¿3 ; ∞¿

𝑥+2

𝑥−1

𝑥−3

𝑲 :𝒙∈(−𝟐 ;𝟏>∪<𝟑 ;∞)

Řešte danou nerovnici pro a výsledek zapište intervalem.

Upravíme kubický člen na součin lineárního a kvadratického.

Určíme podmínky řešení.

Kvadratický člen nemůže nabýt nulové hodnoty, bude vždy kladný, a proto jej do tabulky nulových bodů není třeba řadit.

Sestavíme tabulku nulových bodů.

Pro jednotlivé lineární členy určíme kladnost a zápornost v daných intervalech.

Po sloupcích určíme kladnost a zápornost v jednotlivých intervalech pro celý výraz.

Vybereme pouze „kladné“ intervaly, které vyhovují zadání.

𝑥3+𝑥𝑥+7

>0

𝑥 ∙ (𝑥2+1 )𝑥+7

>0 𝑥≠−7

𝑥2=−1

(−∞;−7 ) (−7 ;0 ) (0 ; ∞ )

𝑥

𝑥+7

𝑲 :𝒙∈ (−∞;−𝟕 )∪ (𝟎 ;∞ )

ÚKOL ZÁVĚREM

1) Řešte nerovnici pro a výsledek zapište pomocí intervalu a znázorněte jej graficky:

a) b) c)

ZDROJE Literatura:

CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice.

4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.