R(s) Ts 1. INPUT : UNIT-STEP · PDF fileANALISA RESPONS TRANSIENT Modul : Pengantar Sistem Kontrol Oleh : Ir. Hasanuddin Sirait, MT 38 ANALISA RESPONS TRANSIENT Respons transient :

ANALISA RESPONS TRANSIENT

Modul : Pengantar Sistem Kontrol Oleh : Ir. Hasanuddin Sirait, MT

38


Respons transient : Kondisi awal Kondisi akhir

Respons steady-state : t ∞

SISTEM ORDE PERTAMA

1Ts1

R(s)C(s)

+=

1. INPUT : UNIT-STEP

r(t) = 1 s1R(s)=

s1 .

1Ts1C(s)+

=

1TsT

s1C(s)

+−=

) 0 t( e1c(t) Tt

≥−−= ………..(*)

KURVA RESPONS

- Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1

- Pada t = T, c(t) = 0,632

T = time constant sistem

Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat.



39

- Slope pada t = 0 adalah 1/T

Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 0 pada t = ∞

- t = T : 0 – 63,2%

t = 2T : 0 – 86,5%

t = 3T : 0 – 95%

t = 4T : 0 – 98,2%

t = 5T : 0 – 99,3%

- t = ∞ steady state

2. INPUT : UNIT-RAMP

r(t) = t 2s1R(s)=

)0 t ( T.eTtc(t)

1TsT

sT

s1C(s)

s1.

1Ts1C(s)

Tt

2

2

2

≥−+−=

++−=

+=

Kurva Respons

T)e(

)eT(1e(t)

c(t)r(t)e(t)

Tt

=∞−=

−=−

- Time constant lebih kecil ( T ) steady state error lebih kecil

3. INPUT : UNIT-IMPULSE

r(t) = S(t) → R(s) = 1

C(s) = 1

Ts + 1



40

C(t) = 1 e– t / T (t ≥ 0)

T

KURVA RESPONS

→Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan men- defferensiasi-kan

respons dari sinyal input semula.

SISTEM ORDE KEDUA

R(s) E(s) C(s)

+

C(s) ωn2

=

R(s) S2 + 2 ζ ωn S + ωn2

ωn = frekuensi sudut natural undamped

ζ = faktor redaman

Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0 < ζ < 1, sistem

dinamakan underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem

disebut overdamp.

Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk

input yang berbentuk unit step, impuls, maupun ramp.

ωn2

s ( s + 2 ζ ωn )



41

1°°°° Input Unit Step

R(s) = 1

S

Untuk sistem yang UNDERDAMP

ωn2 1

C(s) = S2 + 2 ζ ωn S + ωn

2 S 1 S + 2 ζ ωn C(s) = S S2 + 2 ζ ωn S + ωn

2

ωd = ωn 1 – ζ2

= frekuensi natural teredam (damped natural frequency)

1 S + 2 ζ ωn C(s) = S S2 + 2 ζ ωn S + ζ2ωn

2 - ζ

2ωn2 + ωd

2 1 – ζ2 1 S + 2 ζ ωn = S (S + ζωn)

2 + ωd2 - ωn

2 + + ωd

2 1 – ζ2

1 S + 2 ζ ωn = S (S + ζωn)

2 + (1 - ζ2) ωd2 – (1 – ζ2) ωn

2 + ωd2

1 – ζ2

1 S + 2 ζ ωn = S (S + ζωn)

2 + ωd2

1 S + ζ ωn ζ ωn = S (S + ζωn)

2 + ωd2 (S + ζωn)

2 + ωd2

C(t) = 1 - e –ζωn t cos ωdt - e –ζωn t sin ωdt ζ 1 – ζ2

C(t) = 1 - e –ζωn t ( cos ωdt + ζ sin ωdt ) (t ≥ 0) 1 – ζ2

e(t) = r(t) - c(t)

= e–ζωn t ( cos ωdt + ζ sin ωdt ) (t ≥ 0) 1 – ζ2



42

Frekuensi osilasi transient adalah ωd, dan berubah dengan faktor redaman

(ζ)

Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada

steady-state error (t = ~), error = 0

Bila ζ = 0 → c(t) = 1 – cos ωnt (t ≥ 0) respons menjadi undamped dan

osilasi terus menerus tidak terbatas

Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED

ωn2

C(s) = (S + ωn)

2 S = 1 - e–ωn t ( 1 + ωnt ) (t ≥ 0)

Respons transient tidak berosilasi

Untuk Sistem yang OVERDAMPED

ωn2

C(s) =

( S + ζ ωn + ωn 1 – ζ2 ) ( S + ζ ωn - ωn 1 – ζ2 ) S

1

c(t) = 1+ e –( ζ + ζ2 – 1) ωn t - 2 ζ2 – 1 (ζ + ζ2 – 1 ) 1 e –( ζ + ζ2 – 1) ωn t 2 ζ2 – 1 (ζ + ζ2 – 1 )

Untuk mendapatkan C(s) di atas :

C(s) ωn2

= R(s) S2 + 2 ζ ωn S + ωn

2 C(s) ωn

2

= R(s) (S + ζωn + ζωd) (S + ζωn - ζωd) ωd = ωn 1 – ζ2

ωd = ωn j

2 (ζ2 - 1) ωd = ωn j ζ

2 - 1 C(s) ωn

2

= R(s) (S + ζωn - ωn ζ

2 – 1) (S + ζωn + ωn ζ2 – 1)



43

ωn e –S1t e-S2t

c(t) = 1 + (t ≥ 0) 2 ζ2 – 1 S1 S2

dimana : S1 = (ζ + ζ2 – 1) ωn

S2 = (ζ - ζ2 – 1) ωn

- Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat

dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat

diabaikan.

- Bila –S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu jω daripada –S1 (|S2| << |S1|),

maka solusi pendekatan -S1 diabaikan. Pengaruh -S1 pada respons lebh kecil,

karena komponen yang mengandung S1 lebih cepat menghilang. Bila salah satu

komponen eksponensial hilang, respons sama dengan sistem orde pertama, dan

C(s) ζωn - ωn ζ2 – 1 S2

= = R(s) S + ζωn - ωn ζ

2 – 1 S + S2

C(s) = ζωn - ωn ζ

2 – 1 (S + ζωn - ωn ζ

2 – 1) S c(t) = 1 – e –(ζ- ζ2 – 1) ωnt

(t ≥ 0)

KURVA RESPONS

ζ = 2 , ωn = 1



44

Kurva respons

O ζ = 0,5 – 0,8 lebih cepat mencapai steady state daripada sistem

overdamped atau critically damped

O Sistem tanpa osilasi, sistem critically damped memiliki respons paling cepat

O Harga ζ sama, tetapi harga ωn berbeda akan berkelakuan overshoot dan

pola osilasi yang sama

DEFINISI SPESIFIKASI RESPONS TRANSIENT

1. Delay time (td)

2. Rise time (tr)

3. Peak time (tp)

4. Maximum overshoot (Mp)

5. Settling time (ts)

KURVA RESPONS – UNIT STEP



45

Delay time (td) : waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah dari nilai akhir pada

waktu pertama kali

Rise time (tr) : waktu yang diperlukan untuk naik dari 10 – 90%, 5 – 55%, atau 0 – 100%

dari nilai akhirnya.

Untuk sistem underdamped : 0 – 100%

Untuk sistem overdamped : 10 – 90%

Peak time (tp) : waktu yang diperlukan untuk mencapai peak pertama dari overshoot. Maximum overshoot (Mp,%) : nilai puncak (peak) maksimum dari kurva respons yang diukur

dari satu.

Maximum per cent overshoot = c(tp) – c(~) x 100% c(~)

Settling time : waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tetap di dalam sebuah range

nilai akhir yang ditetapkan oleh persentase absolut dari nilai akhir

(biasanya 5% atau 2%).

• Diinginkan respons transient : - cukup cepat

- cukup memiliki redaman

(aplikasi : osilasi tidak dapat ditoleransi)

• Respons transient yang diinginkan dari sistem orde kedua :

faktor redaman : antara 0,4 dan 0,8

Mendapatkan nilai dari tr, tp, Mp, dan ts

A. RISE TIME (tr) :

c(t) = 1 – e -ζωn t( cosωdt + ζ sin ωd t) 1 – ζ2

t = tr → c(tr) = 1, maka:

c(tr) = 1 – e -ζωn tr( cosωdtr + ζ sin ωd tr) 1 – ζ2

karena e -ζωn tr ≠ 0 maka :

cos ωd tr + ζ sin ωd tr = 0

1 – ζ2

atau

tan ωd tr = - 1 – ζ2

ζ



46

DEFINISI SUDUT β :

atau

tan ωd tr = _ ωd

σ

Jadi,

tr =

dω

βπ)σ

dω

(1tandω

1 −=−

−

POLE-POLE KOMPLEKS :

GARIS-GARIS FAKTOR REDAMAN KONSTAN

ζ = cos θ

B. PEAK TIME (tp) :

dc = (sin ωd tp) ωn e-ζωn tp = 0

dt t = tp 1 - ζ

sin ωd tp = 0



47

ωd tp = 0, π, 2π, 3π, …

ωd tp = π

tp = π ωd

C. MAXIMUM OVERSHOOT (Mp) :

Mp = c(tp) – 1

= - e-ζωn(π / ωd) (cos π + ζ sin π)

1 – ζ2

= e-(σ / ωd)π = e-(ζ/ 1-ζ2 )π

Maximum Overshoot (%) = e-(σ / ωd)π x 100%

D. SETTLING TIME :

e-ζωnt c(t) = 1 - sin (ωdt + tan-1 1 - ζ2 ) (t ≥ 0)

1 - ζ2 ζ

Kurva-kurva 1 ± ( e-ζωnt / 1 - ζ2 ) : Menutupi kurva respons transient untuk sebuah input unit-step. → Time constant (T) dari kurva-kurva tersebut adalah 1 ζωn



48

KURVA SETTLING TIME ts vs ζ

→ untuk 0 < ζ < 0,9 : ts = 4T = 4 = 4 (band toleransi 2%) σ ζωn

ts = 3T = 3 = 3 (band toleransi 5%) σ ζωn

→ untuk nilai ζ lebih besar, ts meningkat hampir linier; dan nilai ζmin = 0,76 (

un-tuk 2%) atau ζmin = 0,68 (untuk 5%)

o Nilai ζ biasanya ditentukan dari syarat maksimum overshoot yang diijinkan.

Sedangkan settling time (ts) ditentukan terutama oleh undamped natural

frequency (ωn).

o Hal ini berarti, durasi periode transient dapat tanpa mengubah overshoot maksi-

mum, yaitu dengan mengatur ωn.

o Untuk mendapatkan respons yang cepat : ωn harus besar. Untuk membatasi

overshoot maksimum (Mp) dan membuat ts kecil : ζ seharusnya tidak terlalu

kecil.

o Faktor redaman di antara 0,4 dan 0,8, maka overshoot maksimum (%) untuk

step respons adalah di antara 25% dan 2,5%.



49

Kurva Mp versus ζ :

Contoh :

R(s) E(s) C(s)

+

Sistem orde ke dua memiliki harga : ζ = o,6 dan ωn = 5 rad/sec

Apabila sistem diberikan input unit step, carilah rise time (tr), peak time (tp), maksimum

overshoot (Mp), dan settling time (ts) !

Penyelesaian :

ωd 2ζ1

nω −=

2(0,6)15 −=

= 4

σ = ζ . ωn = 0,6 . 5 = 3

Rise time (tr)

dω

βx −=

β = tan -1

σ

dω

= tan-1 (4 / 3)

= 0,93 rad

tr = 4

93,014,3 −

= 0,55 sec

)n

ω ζ 2 s ( s

2n

ω

+



50

Peak Time (tp) =

dω

π= 785,0

4

14,3 = sec

Maximum Overshoot (Mp) = )π

d/(

eωσ−

= (3/4)x3,14e−

= 0,095

= 0,095 x 100%

= 95 %

Setting time (Ts) = 1,333

4

σ

4 == sec (u/ kriteria 2%)

= 13

33 ==σ

sec (untuk kriteria 5%)

2° Input : unit –impulse

baca halaman 239-240

3° Input : unit-ramp

baca halaman 240-242

KRITERIA KESTABILAN ROUTH

STABILITAS SISTEM

Stabilitas suatu sistem closed-loop linier dapat ditentukan dari lokasi pole pole close

loop pada bidang s.

Sistem tidak stabil, apabila pole-pole tsb terletak di sebelah kanan bidang s.

Sistem stabil, apabila pole-pole terletak di sebelah kiri bidang s.

Contoh :

R(s) C(s)

+

Sistem di atas stabil atau tidak ??

Penyelesaian :

2)10/s(s1

2)10/s(s

R(s)

C(s)

+++=

102

10

10)2(

10

2 ++=

++=

ss

ss

) 2 s ( s

10

+



51

pole-pole : s1 = -1 + j3

s2 = -1 – j3

karena pole-pole terletak di sebelah kiri sumbu imajinair, maka

Sistem stabil

KRITERIA STABILITAS ROUTH

KRITERIA STABILITAS ROUTH

Menentukan jumlah pole closed-loop yang terletak di sebelah kanan bidang s tanpa

harus memfaktorkan polynomial.

F(s) = 1+ G(s) H(s)

= a0sn + a1s

n-i + …….. +an s + an = 0

ARRAY ROUTH

sN a0 a2 a4 a6 ……

sN-1 a1 a3 a5 a7 ……..

sN-2 b1 b2 b3 b4 ……..

sN-3 c1 c2 c3 c4 ……..

sN-4 d1 d2 d3 d4 ……..

: : : : :

: : : : :

s2 e1 e2

s1 f1

s1 g1

dimana :

1a

3a

0a

2a

1a

1b

−=

1a

7a

0a

6a

1a

3b

1a

5a

0a

4a

1a

2b

−=

−=

:

:



52

1b

4b

1a

7a

1b

3c

1b

3b

1a

5a

1b

2c

1b

2b

1a

3a

1b

1c

−=

−=

−=

:

:

1b

3c

1b

3b

1c

2d

1b

2c

1b

2b

1c

1d

−=

−=

Sistem stabil bila

Kolom pertama pada array Routh

Semuanya bertanda positif.

Contoh :

1° a0s3 + a1s

2 + a2s + a3 = 0

Array Routh :

s3 a0 a2

s2 a1 a3

s1

1a

3a

0a

2a

1a −

s0 a3

∴ sistem stabil bila a1a2 > a0a3

2° s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0

Array Routh :

s4 1 3 5

s3 2 4 0

s2 1 5

s1 -6

s0 5

∴ sistem tidak stabil



53

R(s) C(s)

+

Tentukan range K agar sistem diatas stabil !

Penyelesaian :

Transfer function closed-loop

K2))(s 1 s2s ( s

K

R(s)

C(s)

++++=

persamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0

s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0

Array Routh :

s4 1 3 K

s3 3 2 0

s2 7/3 K

s1 -9/7K

s0 K

agar sistem stabil : 14/9 > K > 0

ANALISIS ERROR (KESALAHAN)

Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah mengenai error yang

terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi input tertentu.

E(s) = R(s) – G(s).H(s)

C(s) = E(s).G(s)

Dari kedua persamaan diatas diperoleh :

E(s) = R(s) – E(s).G(s).H(s)

Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s)

∴ Kesalahan statis atau steady-state error :

G(s).H(s)1

R(s)E(s)

+=

2))(s 1 s2s ( s

K

+++



54

KLASIFIKASI SISTEM KONTROL

Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb :

)

np).......(s

2p)(s

1p(sλS

)n

Z)......(s2

Z)(s1

ZK(sG(s)H(s)

+++

+++=

atau

1)s

pT1).......(s

21)(Ts

1(TλS

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(TG(s)H(s)

+++

+++=

Sistem disebut tipe 0 (nol), bila λ = 0 ; disebut tipe 1, bila λ = 1; disebut tipe 2, bila

λ = 2, dst.

1° KOEFISIEN KESALAHAN STATIS

G(s)H(s)1

R(s)E(s)

+=

Kesalahan steady-state:

e(t)t

limss

e∞→

=

G(s)H(s)1

sR(s)

0slim

+→=

Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s

s

1

G(s)H(s)1

s

0slim

sse

+→=

G(s)H(s)

0slim1

1

→+

=

Bila didefinisikan :

Kp = G(s)H(s)0s

lim→

Maka

Kp1

1ss

e+

=

Kp : Koefisien kesalahan posisi statis.



55

a° u/ sistem tipe 0

Kp = G(s)H(s)0s

lim→

K

1)sp

T1).......(s2

1)(Ts1

(TλS

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(T

0slim

=

+++

+++

→=

∴ K1

1)e(

sse

+=∞=

b° Untuk sistem tipe > 0

1)s

pT1).......(s

21)(Ts

1(TλS

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(T

0slim

pK

+++

+++

→=

∞=→

=λs

K

0slim

∴ 01

1

1

pK1

1)e(

sse =

∞=

∞+=

+=∞=

2° Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis

G(s)H(s)1

R(s)E(s)

+=

Kesalahan steady-state

e(t)t

limss

e∞→

=

G(s)H(s)1

s.R(s)

0slim

s.E(s)0s

lim

+→=

→=

u/ Input berbentuk unit-ramp : R(s) = 2s

1

2

1.

G(s)H(s)1

s

0slim

sess +→

=



56

s.G(s)H(s)0s

lim

1

s.G(s)H(s)

1

0slim

s.G(s)H(s)s

1

0slim

→

=

→=

+→=

Bila di definisikan :

s.G(s)H(s)0s

limv

K→

=

maka :

vK

1ss

e =

Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis


Kp = s.G(s)H(s)0s

lim→

0

1)sp

T1).......(s2

1)(Ts1

(T0S

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

sK(T

0slim

=

+++

+++

→=

∴ ∞==∞=0

1)e(

sse

b° u/ sistem tipe 1

1)s

pT1).......(s

21)(Ts

1s(T

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

sK(T

0slim

vK

+++

+++

→=

= K

∴ K

1)e(

sse =∞=



57

u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik : 2

2tr(t) =

3s

1R(s)=

s.E(s)0s

limss

e→

=

G(s)H(s)2s2s0s

lim

s

G(s)H(s)2s2s

s

0slim

3s

1.

G(s)H(s)1

s

0slim

G(s)H(s)1

sR(s)

0slim

+→

=

+→=

+→=

+→=

Bila didentifikasikan :

.G(s)H(s)2s0s

lima

K→

=

maka

aK

1ss

e =

Ka : Koefisien kesalahan percepatan statis


.G(s)H(s)2s0s

lima

K→

=

0

1)sp

T1).......(s2

1)(Ts1

(T0s

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(T2s

0slim

=

+++

+++

→=

∴ ∞==∞=0

1)e(

sse

b° u/ sistem tipe 1

.G(s)H(s)2s0s

lima

K→

=



58

0

1)sp

T1).......(s2

1)(Ts1

(T1s

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(T2s

0slim

=

+++

+++

→=

∴ ∞==∞=0

1)e(

sse

c° u/ sistem tipe 2

.G(s)H(s)2s0s

lima

K→

=

K=

+++

+++

→=

1)sp

T1).......(s2

1)(Ts1

(T2s

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(T2s

0slim

∴ K

1

aK

1)e(

sse ==∞=

d° c° u/ sistem tipe > 2

.G(s)H(s)2s0s

lima

K→

=



59

∞=

+++

+++

→=

1)sp

T1).......(s2

1)(Ts1

(T3s

1)sm

1)......(Tsb

1)(Tsa

K(T2s

0slim

∴ 01

)e(ss

e =∞

=∞=

Latihan Soal :

(1)

R(s) C(s)

+

Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk :

a) step

b) ramp

c) parabolik

(2)

bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e(∞) dapat dibuat sama dengan 0

(nol) dengan mengubah harga KI !

2)1)(ss(s

1,06

++

Documents

R(s) Ts 1. INPUT : UNIT-STEP · PDF fileANALISA RESPONS TRANSIENT Modul : Pengantar Sistem Kontrol Oleh : Ir. Hasanuddin Sirait, MT 38 ANALISA RESPONS TRANSIENT Respons transient :