s.siteapi.org · 2016. 5. 21. · Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 64 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 1.Îñíîâû òåîðèè ïîãðåøíîñòåé. Íà ïîãðåøíîñòü

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè � ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ

À. Ï. ÈÂÀÍÎÂ

×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ

×ÀÑÒÜ I.1

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã2016

Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 64

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

1. Îñíîâû òåîðèè ïîãðåøíîñòåé.

Íà ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷èâëèÿþò ñëåäóþùèå ïðè÷èíû:

a) íåòî÷íîñòü èíôîðìàöèè î ðåøàåìîé çàäà÷å. Ïîãðåøíîñòè âíà÷àëüíûõ äàííûõ äàþò òó ÷àñòü ïîãðåøíîñòè â ðåøåíèè, êî-òîðàÿ íå çàâèñèò îò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòîðîíû ðåøåíèÿ çàäà÷èè íàçûâàåòñÿ íåóñòðàíèìîé ïîãðåøíîñòüþ. Èíôîðìàöèÿ îãðàíèöàõ íåóñòðàíèìîé ïîãðåøíîñòè èñïîëüçóåòñÿ:

� äëÿ óïðîùåíèÿ ñàìîé çàäà÷è, ïðè âûáîðå ìåòîäà âû÷èñ-ëåíèé, òî÷íîñòü êîòîðîãî äîëæíà áûòü ñîãëàñîâàíà ñ òðå-áóåìîé òî÷íîñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è;

� äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé.

Íåïîìåðíûå òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè ðåçóëüòàòà ÷àñòî ñíèìà-þòñÿ â ïðîöåññå ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷è íà îñíîâå ñëåäóþùèõñîîáðàæåíèé:

� ñòîëü âûñîêàÿ òî÷íîñòü íå òðåáóåòñÿ;

� ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ ñòîëü ãðóáà, ÷òî òðåáî-âàòü âûñîêóþ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ áåññìûñëåííî;

� ïàðàìåòðû ìîäåëè íå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ñ âûñîêîéòî÷íîñòüþ;

� â èòîãå íàñ èíòåðåñóåò íå êîëè÷åñòâåííûé, à êà÷åñòâåí-íûé ðåçóëüòàò.

á) Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü).Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè íåîáõîäèìî ñ÷è-òàòüñÿ ñ òåì, ÷òî íåèçáåæíî ïðèä¼òñÿ èìåòü äåëî òîëüêî ñ êî-íå÷íûì êîëè÷åñòâîì ÷èñåë, è ñ íèìè ìîæíî âûïîëíèòü òîëü-êî êîíå÷íîå ÷èñëî îïåðàöèé. Ãðàíèöà äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ

2


êîëè÷åñòâ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè èíñòðóìåíòàðèÿ, èñïîëü-çóåìîãî ïðè ðåøåíèè, âðåìåíåì, öåëåñîîáðàçíîñòüþ, ñòîèìî-ñòüþ è äð.

Åñëè êîëè÷åñòâî ÷èñåë èëè îïåðàöèé ïðåâûøàåò äîïóñòèìûåãðàíèöû, òî çàäà÷ó ïðèõîäèòñÿ óïðîùàòü è çàìåíÿòü åå äðó-ãîé çàäà÷åé, íî óæå óäîâëåòâîðÿþùåé íóæíûì òðåáîâàíèÿì.

â) Ïîãpåøíîñòü îêðóãëåíèÿ. Âñÿêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî a ìî-æåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé äå-ñÿòè÷íîé äpîáè

a = αm10m + αm−110

m−1 + . . .+ αm−n+110m−n+1 + . . .

ãäå αi � öèôpû ÷èñëà a (αi = 0, 1, 2, . . . , 9), ïpè÷¼ì ñòàpøàÿöèôpà αm 6= 0 , íàïpèìåð,

3141, 5 . . . = 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 101 + 1 · 100 + 5 · 10−1 + . . . .

Íà ïpàêòèêå èìåþò äåëî ñ ïðèáëèæ¼ííûìè ÷èñëàìè, ïpåä-ñòàâëÿþùèìè ñîáîé êîíå÷íûå äåñÿòè÷íûå äpîáè

b∗ = βm10m + βm−110

m−1 + . . .+ βm−n+110m−n+1, βm 6= 0.

Îïðåäåëåíèå 1.1. Öèôðà βk â èçîáðàæåíèè ÷èñëà b∗ íàçûâàåòñÿ

âåðíîé, åñëè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |b− b∗| ≤ 5 ·10k−1 . (Çäåñü b �òî÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû, ïðåäñòàâëåííîé ïðèáëèæ¼ííîé çàïèñüþ÷åðåç b∗ .) ♣

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè öèôðà βk âåðíàÿ, òî è âñå öèôðû â çàïèñè÷èñëà b∗ , ðàñïîëîæåííûå ëåâåå íå¼, òîæå âåðíû.

Îïðåäåëåíèå 1.2. Çíà÷àùåé öèôpîé ÷èñëà íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ öè-ôpà â åãî äåñÿòè÷íîì èçîápàæåíèè, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ ñëåâà âçàïèñè ÷èñëà äî ïåðâîé íåíóëåâîé öèôðû. ♣

×èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è, ïðèíÿòî çàïèñûâàòüòîëüêî ñ âåðíûìè çíà÷àùèìè öèôðàìè. Íàïpèìåp, â ÷èñëå0.002080 ïåpâûå òpè íóëÿ íå ÿâëÿþòñÿ çíà÷àùèìè öèôpàìè, òàêêàê îíè ñëóæàò òîëüêî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ äåñÿòè÷íûõ pàçpÿäîâ äpó-ãèõ öèôp. Îñòàëüíûå äâà íóëÿ ÿâëÿþòñÿ çíà÷àùèìè. Â ñëó÷àå, åñëèâ äàííîì ÷èñëå 0.002080 ïîñëåäíÿÿ öèôpà íå ÿâëÿåòñÿ âåðíîé, òîå¼ íå ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü â çàïèñè ÷èñëà.

3


Ïóñòü a åñòü òî÷íîå çíà÷åíèå íåêîòîpîé âåëè÷èíû è a∗ � ïpè-áëèæ¼ííîå å¼ çíà÷åíèå.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ðàçíîñòü a−a∗ = ε íàçûâàåòñÿ ïîãpåøíîñòüþïpèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ a∗. ♣

Òî÷íîå çíà÷åíèå a è ε, êàê ïpàâèëî, íåèçâåñòíû, íî ÷àñòî èç-âåñòíà âåpõíÿÿ ãpàíèöà 4 àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ïîãpåøíîñòè:

|a− a∗| = |ε| 6 4a.

Å¼ áóäåì íàçûâàòü ãpàíèöåé (àáñîëþòíîé) ïîãpåøíîñòè äëÿ ïî-ãðåøíîñòè ε. Òî÷íîå çíà÷åíèå a ëåæèò â ïpåäåëàõ

a∗ −∆a 6 a 6 a∗ + ∆a.

Îïðåäåëåíèå 1.4. Îòíîñèòåëüíîé ïîãpåøíîñòüþ âåëè÷èíû a∗

íàçûâàþò îòíîøåíèåa∗ − aa∗

. ♣

Îïðåäåëåíèå 1.5. Ãpàíèöåé îòíîñèòåëüíîé ïîãpåøíîñòè a∗ íà-çûâàþò îòíîøåíèå ∣∣∣a∗ − a

a∗

∣∣∣ ≤ 4a|a∗| = δ. ♣Ïîãpåøíîñòü ñóììû Ïóñòü a = x1+x2, èçâåñòíû ïpèáëèæ¼ííûåçíà÷åíèÿ x∗1 , x

∗2 ñëàãàåìûõ è ãpàíèöû ∆1, ∆2. Îáîçíà÷èì ïîãpå-

øíîñòè ñëàãàåìûõ ñîîòâåòñòâåííî ε1 ,ε2 :a∗ = x∗1 + x

∗2, a = (x

∗1 + ε1) + (x

∗2 + ε2) = a

∗ + ε1 + ε2 = a∗ + ε.

Ïîýòîìó|ε| 6 |ε1|+ |ε2| 6 41 +42.

Ãpàíèöà ïîãpåøíîñòè ñóììû íå áîëüøå ñóììû ãpàíèö ïîãpåøíî-ñòåé ñëàãàåìûõ. ♣

4


Ïîãpåøíîñòü ïpîèçâåäåíèÿ

Ãpàíèöà ïîãpåøíîñòè ïpîèçâåäåíèÿ ïî ãpàíèöàì ïîãpåøíî-ñòè ñîìíîæèòåëåé îïpåäåëÿåòñÿ íåpàâåíñòâîì

|ε| 6 4 6 |x∗1| 42 +|x∗2| 41 +41 42.

Áîëåå ïpîñòûì ÿâëÿåòñÿ ïpàâèëî îöåíêè îòíîñèòåëüíîé ïîãpå-øíîñòè ïpîèçâåäåíèÿ.

ε

x∗1x∗2

=ε1x∗1

+ε2x∗2

+ε2x∗2

ε1x∗1

Îòñþäà âûòåêàåò îöåíêà ãpàíèöû îòíîñèòåëüíîé ïîãpåøíîñòè∣∣∣∣ εx∗1x∗2∣∣∣∣ 6 δ 6 δ1 + δ2 + δ1δ2. ♣

Ïîãpåøíîñòü ÷àñòíîãî

Ïóñòü x =x1x2

. Ñîõðàíÿÿ ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïðèáëè-

æ¼ííûõ çíà÷åíèé x∗1, x∗2 , ïîãðåøíîñòåé è èõ ãpàíèö, ñäåëàåì ïðåä-

ïîëîæåíèå: ∆2 < |x∗2| (òàê êàê äåëèòåëü x2 ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâ-íûì íóëþ).

Ïîãpåøíîñòü îòíîøåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà òàê:

ε =x1x2− x

∗1

x∗2=

1

x∗2(x∗2 + ε2)

(ε1x∗2 − ε2x∗1),

÷òî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ïpàâèëó îöåíêè ãpàíèöû ïîãpåøíîñòè:

|ε| 6 4 6 1|x∗2|(|x∗2| − 42)

(41|x∗2|+42|x∗1|),

ò.å. îòíîñèòåëüíàÿ ïîãpåøíîñòü äpîáè îöåíèâàåòñÿ ïpè ïîìîùèíåpàâåíñòâà ∣∣∣ ε

x∗

∣∣∣ 6 δ 6 11− δ2

(δ1 + δ2). ♣

5


2. Ïîãpåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè. Îöåíêà íåóñòðà-íèìîé ïîãðåøíîñòè

Ïóñòü â âûïóêëîé îáëàñòè G ⊂ Rn ðàññìàòðèâàåòñÿ íåïðå-ðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ y = f(·). Ïðåäïîëîæèì, ÷òîâ òî÷êå x = (x1, x2, . . . , xn) îáëàñòè G íóæíî âû÷èñëèòü çíà÷å-íèå y = f(x). Ïóñòü íàì èçâåñòíû ëèøü ïpèáëèæ¼ííûå çíà÷åíèÿx∗1, x

∗2, . . . , x

∗n òàêèå, ÷òî òî÷êà x

∗ = (x∗1, x∗2, . . . , x

∗n) ∈ G. Íåîáõîäè-

ìî íàéòè îöåíêó ïîãpåøíîñòè ïpèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèèy∗ = f(x∗). ×åðåç ïîãpåøíîñòè εi = xi − x∗i àðãóìåíòîâ îíà âûðà-æàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ε = f(x∗1 + ε1, x∗2 + ε2, . . . , x

∗n + εn)− f(x∗1, x∗2, . . . , x∗n),

èëè, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà,

ε =n∑i=1

∂

∂xif(x∗1 + θε1, x

∗2 + θε2, . . . , x

∗n + θεn)εi, 0 6 θ 6 1.

Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ îöåíêà äëÿ ãpàíèöû ïîãpåøíîñòè âû÷èñëåíèÿôóíêöèè

|ε| 6 ∆ 6n∑i=1

Bi∆i, (∗)

ãäå

|εi| 6 ∆i, Bi = maxθ∈[0,1]

∣∣∣∣ ∂∂xi f(x∗1 + θε1, x∗2 + θε2, . . . , x∗n + θεn)∣∣∣∣ .

Òàêèì îáðàçîì ðåøàåòñÿ îñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãpåøíîñòè:èçâåñòíû ïîãpåøíîñòè íåêîòîpîé ñèñòåìû âåëè÷èí, òðåáóåòñÿîïðåäåëèòü ïîãpåøíîñòü çàäàííîé ôóíêöèè ýòèõ âåëè÷èí. ♣

3. Îáðàòíàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãðåøíîñòåé

Îáðàòíàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãðåøíîñòåé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:êàêîâû äîëæíû áûòü àáñîëþòíûå ïîãpåøíîñòè àðãóìåíòîâ ôóí-êöèè, ÷òîáû àáñîëþòíàÿ ïîãpåøíîñòü ôóíêöèè íå ïðåâûøàëà çà-äàííîé âåëè÷èíû?

6


Ýòà çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêè íå îïðåäåëåíà, èáî çàäàííóþ ïðå-äåëüíóþ ïîãpåøíîñòü (âåpõíþþ ãpàíèöó àáñîëþòíîé ïîãpåøíîñòè)ìîæíî îáåñïå÷èòü, óñòàíàâëèâàÿ ïî-pàçíîìó ïpåäåëüíûå àáñîëþ-òíûå ïîãpåøíîñòè å¼ àpãóìåíòîâ. Ïpîñòåéøåå påøåíèå îápàòíîéçàäà÷è äà¼òñÿ òàê íàçûâàåìûì ïpèíöèïîì pàâíûõ âëèÿíèé. Ïpåä-ïîëàãàÿ, ÷òî ñëàãàåìûå {Bi∆i} â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (∗) èìåþòîäèíàêîâóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì

∆i =|ε|nBi

.

Äðóãîé ñòîëü æå ïðîñòîé ñïîñîá íîñèò íàçâàíèå ïðèíöèïà ðàâíûõïîãðåøíîñòåé: ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ∆i = ∆j , ∀i, j è òîãäà èç òîé æåôîðìóëû (∗) íåìåäëåííî ïîëó÷àåì:

∆i =|ε|∑ni=1Bi

.

Èñõîäÿ èç îñîáåííîñòåé çàäà÷è è ôóíêöèè ìîæíî âûñòàâëÿòü èäðóãèå òðåáîâàíèÿ ê óðîâíþ ïîãðåøíîñòåé àðãóìåíòîâ. ♣

7


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕÑÊÀËßÐÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ

1. Ìåòîä ×åáûøåâà

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå f(x) = 0, x ∈ [a, b], è ïóñòü íà óêàçàí-íîì èíòåðâàëå ôóíêöèÿ f(·) èìååò îáðàòíóþ: F (·) = f−1(·). Î÷å-âèäíî, ÷òî òîãäà ðåøåíèå x̄ óðàâíåíèÿ f(x) = 0 íàõîäèòñÿ òðèâè-àëüíî: x̄ = F (0). Ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî óêàçàòü ñïîñîá ïîñòðî-åíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè èëè å¼ ïðèáëèæåíèÿ. Â ìåòîäå ×åáûøåâàôóíêöèÿ F̃ (x) ≈ F (x) ñòðîèòñÿ â âèäå îòðåçêà ðÿäà Òåéëîðà.

Èòàê, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî f(·) ∈ Cm+1[a, b] , f ′(x) 6= 0 íàâñ¼ì èíòåðâàëå [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ f(·) ñóùåñòâóåò îáðàò-íàÿ ôóíêöèÿ F (·) = f−1(·) ââèäó ìîíîòîííîñòè f(·) íà [a, b] :F(f(x)

)≡ x. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî f ′(x) > 0

íà [a, b], ÷òî îáåñïå÷èâàåò ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå ôóíêöèè f(·).Îáîçíà÷èì c = f(a), d = f(b), c < d, è ïóñòü x̂ ∈ [a, b] � íåêîòîðîåïðèáëèæåíèå èñêîìîãî êîðíÿ x̄ è ŷ = f(x̂). Èç êóðñà ìàòåìàòè-÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îá-ðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò òîé æå ãëàäêîñòüþ, ÷òî è ñàìà ôóíêöèÿ:F (·) ∈ Cm+1[c, d]. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì çàïèñàòü:

F (y) =

m∑k=0

F (k)(ŷ)

k!(y − ŷ)k +Rm(ŷ, y), ŷ ∈ (c, d),

ãäå Rm(ŷ, y) =F (m+1)(z)

(m+ 1)!(y − ŷ)m+1, z ∈ (c, d).

Ïîëîæèì, äàëåå

F̃ (y) =

m∑k=0

F (k)(ŷ)

k!(y − ŷ)k (1.1)

è â ñîîòâåòñòâèè ñ âûñêàçàííûìè âûøå ñîîáðàæåíèÿìè, ïîëîæèì

x̄ ≈ x̃ = F̃ (0) =m∑k=0

F (k)(ŷ)

k!(0− ŷ)k,

8


ãäå x̂ � íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå ê èñêîìîìó êîðíþ. Ïîëó÷èì òàêîåïðåäñòàâëåíèå äëÿ x̃ :

x̃ =

m∑k=0

F (k)(ŷ)

k!

(− f(x̂)

)k≡ Hm(x̂).Òåïåðü ìîæíî ïîñòðîèòü èòåðàòèâíûé ïðîöåññ, ïîëàãàÿ

xk+1 = Hm(xk) = F̃ (0). (1.2)

Çàìå÷àíèå 1.1. Óðàâíåíèå x = Hm(x) èìååò òîò æå êîðåíü, ÷òî èèñõîäíîå óðàâíåíèå f(x) = 0. ♣

Îñòà¼òñÿ óêàçàòü ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ F (k)(ŷ) :

F(f(x)

)≡ x,=⇒ F ′y · f ′x ≡ 1,=⇒ F ′y(ŷ) =

1

f ′x(x̂);

F ′′y2(f′x)

2 + F ′yf′′x2 = 0, =⇒ F ′′y2(ŷ) = −

F ′y(ŷ)f′′x2(x̂)

[f ′x(x̂)]2

= −f ′′x2(x̂)

[f ′x(x̂)]3

è òàê äàëåå. Ïåðåéä¼ì ê îöåíêå âåëè÷èíû ∆x = |x̄− xk+1|. Èìååì:

x̄− xk+1 = x̄− x̃ = F (0)− F̃ (0) =F (m+1)(zk)

(m+ 1)![−f(xk)]m+1. (1.3)

Ïóñòü èçâåñòíû îöåíêè: |f ′(x)| ≤ q1 , |F (m+1)(x)| ≤ Qm+1, íà[a, b] è [c, d] ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà

f(xk) = f(xk)− f(x̄) = f ′(ξ)(xk − x̄),

|f(xk)| ≤ q1|x̄− xk|è ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â ôîðìóëó (1.3), ïîëó÷èì:

|x̄− xk+1| ≤Qm+1

(m+ 1)!qm+11 |x̄− xk|m+1 ≡ p|x̄− xk|m+1.

Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî k ðàç ïîëó÷åííóþ îöåíêó, ïðèä¼ì êñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó (íèæå îáîçíà÷åíî s = m+ 1):

|x̄− xk+1| ≤ p |x̄− xk|s ≤ p [ p |x̄− xk−1|s]s == p1+s|x̄− xk−1|s

2

≤ p1+s+s2

|x̄− xk−2|s3

≤

≤ pt|x̄− x1|sk

,

9


ãäå t = 1 + s+ · · ·+ sk−1 = sk−1m . Èëè:

|x̄− xk+1| ≤(p̄ |x̄− x1|

)skp̄

, ãäå p̄ = m√p. (1.4)

Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäïîëîæåíèè

p̄ |x̄− x1| < 1 (1.5)

èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü: xk → x̄ ïðè k → ∞. Íåîáõîäèìî ëèøü,÷òîáû âñå èòåðàöèè {xk}∞k=1 îñòàâàëèñü â [a, b]. Òàêèì îáðàçîì,äîêàçàíà

Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü f(·) ∈ Cm+1[a, b], |f ′(x)| > 0 íà [a, b] è ∃ x̄ :f(x̄) = 0. Åñëè x1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.5) è ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü (1.2) òàêîâà, ÷òî {xk} ⊂ [a, b], òî îíà ñõîäèòñÿ ê x̄, ïðè÷¼ìñêîðîñòü ñõîäèìîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ îöåíêîé (1.4). ♣

Çàìå÷àíèå 1.2. Ðàññìîòðåííûé ìåòîä ïðè m = 1 íîñèò íàçâàíèåìåòîäà Íüþòîíà:

xk+1 = H1(xk) = F(f(xk)

)+F ′(f(xk)

)1!

(−f(xk)

)= xk −

f(xk)

f ′(xk),

ïðè÷¼ì îöåíêà (1.4) äà¼ò: |x̄− xk+1| ≤ p̄ |x̄− xk|2 , ò.å. ïîðÿäîê ñõî-äèìîñòè ìåòîäà Íüþòîíà ðàâåí äâóì (òàê, åñëè |x̄− x1| ≈ 10−1, òî|x̄− x2| ≈ 10−2). ♣

Çàìå÷àíèå 1.3. Âûøå èñïîëüçîâàíà òåðìèíîëîãèÿ, òðåáóþùàÿ ïî-ÿñíåíèÿ.

• Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ìåòîäà âåðíà îöåíêà: |xk − x̄| ≤ ωqk,q < 1, ω = const. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ýòîò ìåòîä ñõîäèòñÿ ñîñêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q.

• Ïóñòü ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü êîðíÿ x̄ òàêàÿ, ÷òî âñå ïðèáëè-æåíèÿ ïðèíàäëåæàò åé è èìååò ìåñòî îöåíêà:

|xk+1 − x̄| ≤ ω|xk − x̄|p.

Òîãäà ÷èñëî p íàçûâàþò ïîðÿäêîì ñõîäèìîñòè ìåòîäà:

� ïðè p = 1 ãîâîðÿò î ëèíåéíîé ñõîäèìîñòè;

10


� ïðè p > 1 ãîâîðÿò î ñâåðõëèíåéíîé ñõîäèìîñòè, â ÷àñò-íîñòè ïðè p = 2 � î êâàäðàòè÷íîé.

2. Ìåòîä Íüþòîíà

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå âîïðîñ î ðåøåíèè ñêàëÿðíî-ãî óðàâíåíèÿ

f(x) = 0 (2.1)

ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Íüþòîíà. Ïðè íàëè÷èè õîðîøåãî ïðèáëè-æåíèÿ xk ê êîðíþ x̄ ôóíêöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä Íüþòîíà,íàçûâàåìûé òàêæå ìåòîäîì ëèíåàðèçàöèè èëè ìåòîäîì êàñàòåëü-íûõ. Åãî ðàñ÷¼òíûå ôîðìóëû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóò¼ì çàìåíûèñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.1) ëèíåéíûì óðàâíåíèåì â îêðåñòíîñòè êîð-íÿ f(xk)+f

′(xk)(x−xk) = 0. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèíèìàåòñÿçà î÷åðåäíîå ïðèáëèæåíèå xk+1 :

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk). (2.2)

Ìåòîä Íüþòîíà èìååò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ:ãðàôèê ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê íåìó â òî÷êå (xk, f(xk))è çà î÷åðåäíîå ïðèáëèæåíèå xk+1 ïðèíèìàåòñÿ àáñöèññà òî÷êè ïå-ðåñå÷åíèÿ ýòîé êàñàòåëüíîé ñ îñüþ OX . Èñïîëüçóÿ ýòó èíòåðïðå-òàöèþ ëåãêî ïîëó÷èòü ðàñ÷¼òíûå ôîðìóëû (2.2) ìåòîäà Íüþòîíà èâñëåäñòâèå ýòîé èíòåðïðåòàöèè îí èìåíóåòñÿ òàêæå ìåòîäîì êàñà-òåëüíûõ.

ßñíî, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk} ê êîðíþ çàâè-ñèò îò ñâîéñòâ ôóíêöèè f(·) è íå âñåãäà èìååò ìåñòî. Òàê, ëåãêîïðåäñòàâèòü, ÷òî óæå ïðèáëèæåíèå x1 íå ïîïàäàåò íà èñõîäíûéèíòåðâàë è ïðîöåññ èòåðàöèé îñòàíàâëèâàåòñÿ.

Ïðèâåä¼ì ïîëåçíóþ òåîðåìó, ãàðàíòèðóþùóþ ñõîäèìîñòü ìå-òîäà Íüþòîíà.

Òåîðåìà 2.1. Åñëè äëÿ ôóíêöèè f(·) ∈ C2[a, b] âûïîëíåíû óñëîâèÿ

• f(a) · f(b) < 0 ,

• f ′(x) 6= 0 è f ′′(x) 6= 0 íà [a, b] (è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîõðàíÿþòîïðåäåë¼ííûå çíàêè ïðè x ∈ [a, b]) ,

11


òî èñõîäÿ èç íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0 ∈ [a, b] , äëÿ êîòîðîãîf(x0) · f ′′(x0) > 0 , ïî ôîðìóëå (2.2) ìîæíî âû÷èñëèòü åäèíñòâåí-íûé êîðåíü x̄ óðàâíåíèÿ (2.1) ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû ãà-ðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ x̄ (â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîéÊîøè) è åãî åäèíñòâåííîñòü.

Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè f(a) < 0 , f(b) > 0 , f ′(x) > 0 èf ′′(x) > 0 , x ∈ [a, b] . Ïîëîæèì x0 = b . Ïðè ñäåëàííûõ äîïóùåíèÿõóñëîâèÿ òåîðåìû 2.1 âûïîëíåíû. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì ìåòîäîììàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.

Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (2.2) âûïîëíÿþòñÿ íå-ðàâåíñòâà xk > x̄ è òîãäà ââèäó ìîíîòîííîñòè f(xk) > f(x̄) = 0 .

Ïîñêîëüêó x0 = b > x̄ , òî f(x0) > 0 è áàçà äëÿ èíäóêöèèèìååòñÿ. Ïóñòü xj > x̄ è f(xj) > f(x̄) = 0 äëÿ j = 0, k . Ïîêàæåì,÷òî ýòè æå íåðàâåíñòâà âåðíû è äëÿ j = k + 1 .

Ïðåäñòàâèì x̄ â âèäå x̄ = xk +(x̄−xk) . Òîãäà ìîæåì çàïèñàòü

0 = f(x̄) = f(xk) + f′(xk)(x̄− xk) +

1

2f ′′(ξ)(x̄− xk)2, ξ ∈ (a, b).

Ââèäó òîãî, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ýòîé ôîðìóëå ñòðîãî ïîëî-æèòåëüíî, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî

f(xk) + f′(xk)(x̄− xk) < 0.

Ïîñêîëüêó æå ñîãëàñíî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ f ′(xk) > 0 ,òî ïîëó÷àåì èç ýòîãî íåðàâåíñòâà, ðàçäåëèâ îáå åãî ÷àñòè íà f ′(xk) :

x̄− xk +f(xk)

f ′(xk)< 0. (2.3)

Íî ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.2)

−xk +f(xk)

f ′(xk)= −xk+1.

Ïîýòîìó èç (2.3) ñëåäóåò xk+1 > x̄ è f(xk+1) > 0 .Ñ ó÷¼òîì ýòèõ íåðàâåíñòâ è ââèäó ïîëîæèòåëüíîñòè äðîáè â

ôîðìóëå (2.2), ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî x̄ < xk+1 < xk , îçíà÷àþùåå,

12


÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk} ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé è îã-ðàíè÷åííîé è ïîòîìó èìåþùåé ïðåäåë. Îáîçíà÷àÿ åãî ÷åðåç x̂ èïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (2.2), ïîëó÷èì

x̂ = x̂− f(x̂)f ′(x̂)

, (2.4)

îòêóäà f(x̂) = 0 è ââèäó åäèíñòâåííîñòè êîðíÿ x̂ = x̄. ♣Çàìå÷àíèå 2.1. Ïðàêòè÷åñêèì êðèòåðèåì îêîí÷àíèÿ âû÷èñëåíèéÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ |xn+1 − xn| < ε , ãäå ε � òðåáóåìàÿòî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ êîðíÿ.

Çàìå÷àíèå 2.2. Îñòàëüíûå äîïóñòèìûå ñëó÷àè çíàêîâ ó f(x) , f ′(x)è f ′′(x) ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû àíàëîãè÷íî.

Ìåòîä Íüþòîíà � óäîáíûé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ êîðíÿ öåëîéñòåïåíè. Ïîñêîëüêó çàäà÷à èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ n

√c ðàâíîñèëüíà çà-

äà÷å ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = 0 ñ ôóíêöèåé f(x) = xn − c , òîðàñ÷¼òíàÿ ôîðìóëà ìåòîäà Íüþòîíà ïðèîáðåòàåò âèä

xk+1 =n− 1n

xk +c

nxn−1k.

Ïóñòü n = 2, c = 2, è òîãäà f(x) = x2 − 2, [a, b] = [1, 2] .Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 2.1:

f(1) = −1, f(2) = 2, f ′(x) = 2x > 0, f ′′(x) = 2 > 0

ïðè x ∈ [1, 2] . Ïóñòü x0 = 2 . Ïîñêîëüêó f(2) · f ′′(2) = 2 · 2 = 4 > 0 ,òî îáåñïå÷åíà ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk} , ïîëó÷àåìîé ïîôîðìóëå (2.2) ê

√2 :

x1 =1

2(2 + 1) = 1, 5; x2 = 1, 41667; x3 = 1, 414216, x4 = 1, 414214.

Âñå öèôðû ïîñëåäíåãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âåðíûìè.Åñëè æå óñëîâèÿ òåîðåìû 2.1 íå âûïîëíÿþòñÿ èëè ïðîâåðêà èõ

çàòðóäíèòåëüíà, òî î÷åðåäíîå �ïðèáëèæåíèå� xk+1 ìîæåò îêàçàòü-ñÿ âíå èíòåðâàëà, íà êîòîðîì ðàñïîëîæåí êîðåíü x̄ . Â ýòîì ñëó÷àåxk+1 ìîæåò ñòðîèòüñÿ ìåòîäîì ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ èëè ìåòîäîìõîðä. Â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëàãàþò

xk+1 =ak + bk

2, (2.5)

13


âî âòîðîì �

xk+1 = ak −bk − ak

f(bk)− f(ak)· f(ak). (2.6)

Çäåñü ak, bk � ëåâûé è ïðàâûé êîíåö èíòåðâàëà, êîòîðîìó ïðèíàä-ëåæèò êîðåíü x̄ íà ïðåäûäóùåì øàãå.

Íà íà÷àëüíîì ýòàïå ïîëàãàåì a0 = a, b0 = b . Ïóñòü äëÿ îï-ðåäåë¼ííîñòè f(a) < 0, f(b) > 0. Åñëè x1 ∈ [a, b] , òî âû÷èñëèâc = f(x1) , ïîëàãàåì a1 = c , b1 = b0 ïðè c < 0 , è a1 = a0 , b1 = cïðè c > 0 è ïîâòîðÿåì âû÷èñëåíèÿ.

Åñëè æå ïðèáëèæåíèå x1 6∈ [a, b] , òî ïðèìåíÿåì ôîðìóëû (2.5)èëè (2.6) è ïîñòóïàåì êàê è âûøå: âû÷èñëÿÿ c = f(x1) , ïîëàãàåìa1 = c , b1 = b0 ïðè c < 0 , è a1 = a0 , b1 = c ïðè c > 0 è ïðèìåíÿåììåòîä Íüþòîíà.

3. Ìåòîä èòåðàöèé

Ïðèìåíåíèå ìåòîäà èòåðàöèé òðåáóåò ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿê ñïåöèàëüíîìó âèäó

x = ϕ(x), [a, b]ϕ−→ [a, b]. (3.1)

Òî÷êè, óäîâëåòâîðÿþùèå (3.1), íàçûâàþòñÿ íåïîäâèæíûìè òî÷êà-ìè ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ(·). Ãåîìåòðè÷åñêè íåïîäâèæíàÿ òî÷êà åñòü íå÷òî èíîå, êàê òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé y = x è êðèâîé y = ϕ(x) .

Ðèñ. 1.

Â ìåòîäå èòåðàöèé ïîñòðîåíèå ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{xk} âåä¼òñÿ ïî ôîðìóëå

xk+1 = ϕ(xk), k = 0, 1 . . . (3.2)

14


Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk} , êîãäà å¼ ÷ëåíûíàõîäÿòñÿ âáëèçè òî÷êè x̄ . Óäîáíî ââåñòè âåëè÷èíó εk = xk − x̄è ó÷åñòü ìàëîñòü εk . Ñâÿçü ìåæäó εk è εk+1 ïîëó÷èì èç (3.2),ïîäñòàâëÿÿ xk = x̄+ εk è xk+1 = x̄+ εk+1 :

x̄+ εk+1 = ϕ(x̄) + εkϕ′(x̄) + o(εk).

Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî x̄ = ϕ(x̄) , èìååì:

εk+1 ≈ ϕ′(x̄)εk, k = 0, 1 . . .

Âîçìîæíû ñëó÷àè:

1. |ϕ′(x̄)| > 1 =⇒ |εk+1| > |εk| =⇒ x̄ � òî÷êà �îòòàëêèâàíè�;

2. |ϕ′(x̄)| < 1 � ìîæíî îæèäàòü, ÷òî åñëè íà÷àëüíàÿ èòåðàöèÿx0 áëèçêà ê x̄ , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk} áóäåò ñõîäèòüñÿ êx̄ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì q = ϕ′(x̄).

Åñëè ϕ′(x̄) < 0 , òî {xk} ñõîäèòñÿ ê x̄ ñ ðàçíûõ ñòîðîí,÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äâóñòîðîííþþ îöåíêó äëÿ êîðíÿ x̄ :x̄ ∈ (min{xk, xk+1}, max{xk, xk+1}).

3. ϕ′(x̄) = 0 . Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ϕ(·) ∈ C(m)(a, b) è

ϕ′(x̄) = 0, ϕ′′(x̄) = 0, . . . , ϕ(m−1)(x̄) = 0, ϕ(m)(x̄) 6= 0.

Â ýòîì ñëó÷àå ðàçëîæåíèå äëÿ ϕ(xk) = ϕ(x̄ + εk) âáëèçè òî÷êè x̄èìååò âèä:

ϕ(xk) = ϕ(x̄+ εk) = ϕ(x̄) +1

m!ϕ(m)(ξ)εmk , ξ ∈ [a, b]

è ïîäñòàíîâêà â (3.2) äà¼ò:

εk+1 =1

m!ϕ(m)(ξ) εmk .

Åñëè îöåíèòü |ϕ(m)(ξ)| ≤M , òî |εk+1| ≤M

m!|εk|m , îòêóäà ïîëó÷àåì:

|εk+1| ≤(M

m!|ε0|)mk+1−1

m−1

|ε0|mk+2−2mk+1+1

m−1 ,

15


÷òî óêàçûâàåò íà áûñòðóþ ñõîäèìîñòü {xk} ê x̄ ïðè âûïîëíåíèè

óñëîâèé |ε0| < 1 èM

m!|ε0| < 1.

Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó:

Òåîðåìà 3.1. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ìåòîäà èòåðà-öèé) Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:

1. ôóíêöèÿ ϕ(·) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå S ={x : |x− x0| ≤ δ} è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà:

|ϕ(x)− ϕ(x′)| ≤ q|x− x′|, 0 ≤ q < 1;

2. ÷èñëî m > 0 òàêîâî, ÷òî |x0 − ϕ(x0)| ≤ m;

3. ÷èñëà δ, q, m òàêîâû, ÷òîm

1− q≤ δ.

Òîãäà ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:

1. Óðàâíåíèå (3.1) èìååò â S åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x̄ ;

2. èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:{xk} ⊂ S, x̄ = limk→∞ xk;

3. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk} ñõîäèòñÿ ê x̄ ñî ñêîðîñòüþ ãåî-ìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q , ò.å.

|xk − x̄| ≤m

1− qqk, k = 1, 2, . . . . ♣

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî èç óñëîâèé òåîðå-ìû ñëåäóåò

{xk} ⊂ S, |xk+1 − xk| ≤ mqk, k = 0, 1, . . . . (3.3)

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì ïî èíäóêöèè. Ïðè k = 0 ìîæíî ïîñòðî-èòü x1 = ϕ(x0), ò.ê. x0 ∈ S è, êðîìå òîãî, |x1−x0| = |ϕ(x0)−x0| ≤ mñîãëàñíî óñëîâèþ 2 òåîðåìû 3.1. Ïîýòîìó óòâåðæäåíèå (3.3) âåðíîäëÿ k = 0 , à ââèäó óñëîâèÿ 3 òîé æå òåîðåìû m ≤ m1−q ≤ δ, ò.ê.q < 1 (ñì. óñëîâèå 1). Ñëåäîâàòåëüíî, x1 ∈ S. Áàçà äëÿ èíäóêöèèñîçäàíà.

16


Ïóñòü òåïåðü {x0, x1, . . . , xn} ⊂ S è äëÿ ÷ëåíîâ âûøåóêà-çàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|xk+1 − xk| ≤ mqk, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Ïîñêîëüêó xn ∈ S ñîãëàñíî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ, òî ñëå-äóþùåå ïðèáëèæåíèå xn+1 = ϕ(xn) ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî. Äàëåå,|xn+1 − xn| = |ϕ(xn) − ϕ(xn−1)| ≤ q|xn − xn−1| ≤ q ·mqn−1 = mqn.Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (3.3) âåðíî. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òîxn+1 ∈ S : äåéñòâèòåëüíî,

|xn+1 − x0| = |(xn+1 − xn) + (xn − xn−1) + · · ·+ (x1 − x0)| ≤

≤ m(qn + qn−1 + · · ·+ q0) ≤ m1− q

≤ δ,

òî åñòü xn+1 ∈ S . Äîêàæåì òåïåðü ñõîäèìîñòü ïîñòðîåííîé ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Áîëüöàíî-Êîøè äëÿíå¼:

|xn+p−xn| = |(xn+p−xn+p−1)+(xn+p−1−xn+p−2)+· · ·+(xn+1−xn)| ≤

≤ m(qn+p−1 + qn+p−2 + · · ·+ qn) ≤ m1− q

qn < ε (∗)

ïðè n > Nε, ∀p > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñòðîåííàÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé (ñõîäÿùåéñÿ â ñåáå), à ïîñêîëüêóìíîæåñòâî S çàìêíóòî è {xk} ⊂ S , òî

∃x∗ ∈ S : x∗ = limxk,

è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (3.2), ïîëó÷èì:

x∗ = ϕ(x∗).

Åñëè æå äîïóñòèòü ñóùåñòâîâàíèå äâóõ òî÷åê x∗ è x∗∗ , ÿâëÿþùèõ-ñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1), òî ïîëó÷èì:

|x∗ − x∗∗| = |ϕ(x∗)− ϕ(x∗∗)| ≤ q|x∗ − x∗∗|,

îòêóäà ââèäó q < 1 ñëåäóåò |x∗−x∗∗| = 0, ò.å. x∗ = x∗∗. Ïåðâûå äâàóòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äîêàçàíû. Òðåòüå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿïåðåõîäîì ê ïðåäåëó â îöåíêå (∗) ïðè p → ∞. Òåîðåìà äîêàçàíàïîëíîñòüþ. ♣

17


4. Óñêîðåíèå ñõîäèìîñòè. Ïðåîáðàçîâàíèå Ýéòêåíà.

Ðàññìîòðèì ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ öåëî÷èñëåííîãî àðãó-ìåíòà n :

sn = s+Aqn.

Ïðè q < 1 óêàçàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê s. Â ýòîìñëó÷àå å¼ ïðåäåë ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðè å¼ ïîñëåäîâàòåëüíûõ÷ëåíà:

q =sn − ssn−1 − s

=sn+1 − ssn − s

,

îòêóäà íàõîäèì (sn+1 − s)(sn−1 − s) = (sn − s)2 è çàòåì

s =sn+1sn−1 − s2n

sn+1 − 2sn + sn−1.

Ñëåäóÿ Ýéòêåíó, ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíîé ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè {sn} â äðóãóþ {σn} :

σn =sn+1sn−1 − s2n

sn+1 − 2sn + sn−1.

Åñëè ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïðèìåíèòü ê èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëü-íîñòè sn = s+Aq

n, òî, î÷åâèäíî, ïîëó÷èì:

σn ≡ s = lim sk.

Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâåä¼ò ê áîëååáûñòðîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {σn} ê òîìó æå ïðåäå-ëó s , åñëè èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò ìåíÿòüñÿ ïî çàêîíó,áëèçêîìó ê ïîêàçàòåëüíîìó.

Èòàê, ïóñòü ïîñòðîåíû ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk} . Âû-÷èñëèì x′n = ϕ(xn) è x

′′n = ϕ(x

′n). Ê òð¼ì çíà÷åíèÿì xn, x

′n, x

′′n

ïðèìåíÿåì ïðåîáðàçîâàíèå Ýéòêåíà è åãî ðåçóëüòàò ïðèíèìàåì çàíîâîå ïðèáëèæåíèå xn+1 :

xn+1 =xnx

′′n − [x′n]2

x′′n − 2x′n + xn.

18


Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íàçûâàþò èòåðàöèîííîé ôîðìóëîé Ñòåô-ôåíñåíà. Å¼ ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê ïðîñòîé èòåðàöèîííûé ïðîöåññäëÿ âñïîìîãàòåëüíîãî óðàâíåíèÿ:

x = Φ(x), Φ(x) =xϕ(ϕ(x))− ϕ2(x)ϕ(ϕ(x))− 2ϕ(x) + x

. (∗)

Äëÿ âåëè÷èí εn = |xn − x̄| âåðíà îöåíêà:

εn+1 ≤ Bε2n, ãäå B = sup[a,b]

∣∣∣∣ ϕ′(x)ϕ′′(x)2(ϕ′(x)− 1)∣∣∣∣ ,

÷òî ãîâîðèò î êâàäðàòè÷íîé ñõîäèìîñòè ïðåîáðàçîâàííîé ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî â îêðåñòíîñòè êîðíÿ x̄ : |Φ′(x)| ≤ q < 1,ïîñêîëüêó Φ′(x̄) = 0.

5. Ëîêàëèçàöèÿ êîðíåé óðàâíåíèÿ

Ãðàíèöû ðàñïîëîæåíèÿ êîðíåéàëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

Ïóñòü çàäàíî óðàâíåíèå â êîìïëåêñíîé îáëàñòè:

f(z) = a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an = 0. (5.1)

Îáîçíà÷èìa = max

i>0{|ai|}, A = max

i 0(÷òî íèêàê íå óìàëÿåò äàëüíåéøåãî). Íàéä¼ì ãðàíèöû äåéñòâè-òåëüíûõ êîðíåé. Î÷åâèäíî, îäíàêî, ÷òî äîñòàòî÷íî óêàçàòü âåðõ-íþþ ãðàíèöó äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé, ò.ê. çàìåíîé x = −t ïî-ëó÷èì óðàâíåíèå, êîðíè êîòîðîãî èìåþò çíàêè, ïðîòèâîïîëîæíûåçíàêàì êîðíåé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.

19


Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü a = maxai p

−11 . Àíàëîãè÷íî ïðîâîäÿòñÿ ðàññóæäåíèÿ

äëÿ îòðèöàòåëüíûõ êîðíåé.Ðåçþìèðóÿ, ìîæíî çàïèñàòü îöåíêè:

p−11 < x̄ < p0, åñëè x̄ > 0;

−p2 < x̄ < −p−13 , åñëè x̄ < 0. ♣

6. Î ëîêàëèçàöèè êîðíåé â îáùåì ñëó÷àå

Åñëè â óðàâíåíèè f(x) = 0 ôóíêöèÿ f(·) íåïðåðûâíà, òî îñíî-âîé äëÿ ëîêàëèçàöèè êîðíÿ îáû÷íî ñëóæèò ñëåäñòâèå èç òåîðåìû

20


Êîøè: åñëè f(a)f(b) < 0, òî íà èíòåðâàëå [a, b] èìååòñÿ ïî êðàé-íåé ìåðå îäèí êîðåíü óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ (òî÷íåå íå÷¼òíîå ÷èñëîêîðíåé). Äëÿ ëîêàëèçàöèè êîðíÿ íà èíòåðâàëå [a, b] ìîæíî ïðèìå-íÿòü ðàçëè÷íûå ïîäõîäû, êàê òî:

• Ïîñëåäîâàòåëüíûé ïåðåáîð. Èíòåðâàë [a, b] ðàçáèâàåòñÿ íàN = N0 ðàâíûõ îòðåçêîâ è âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèèf(·) â òî÷êàõ xk = a + kh, k = 0, 1, . . . , N, ãäå h = (b− a)/N.Åñëè ïðè ýòîì íàéä¼òñÿ èíòåðâàë [xk, xk+1], äëÿ êîòîðîãîf(xk)f(xk+1) < 0, òî òåì ñàìûì êîðåíü ôóíêöèè áóäåò ëîêà-ëèçîâàí ñ òî÷íîñòüþ h . Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f(·)íå ìåíÿåò çíàêà íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk}. Åñëè êîðåíü íà[a, b] ñóùåñòâóåò, òî ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî øàã h ñëèøêîìâåëèê è åãî ñëåäóåò çàìåíèòü íà ìåíüøèé, óäâàèâàÿ, íàïðè-ìåð, ÷èñëî ðàçáèåíèé îòðåçêà [a, b] , ò.å. ïîëàãàÿ N = 2N0 èò.ä.

• Ïåðåáîð ñ ïåðåìåííûì øàãîì. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) ÿâëÿåòñÿËèïøèöåâîé, ò.å.

|f(x′)− f(x′′)| ≤ L|x′ − x′′|, x′, x′′ ∈ [a, b],

òî ìîæíî ñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk} âèäà:

x0 = a, xk+1 = xk +|f(xk)|L

.

Îñíîâàíèåì ê ýòîìó ìîæåò ñëóæèòü òî, ÷òî ïðè ëèíåéíîñòèôóíêöèè, ò.å. f(x) = cx+ d, ìîæíî ïðèíÿòü L = |c| è â ýòîìñëó÷àå çíà÷åíèå x1 , ïîëó÷åííîå óêàçàííûì ñïîñîáîì, óäîâëå-òâîðÿåò óðàâíåíèþ f(x) = 0.

Åñëè L íåèçâåñòíà, òî ìîæíî å¼ çàìåíèòü ÷åðåç

Lk =|f(xk)− f(xk−1)||xk − xk−1|

.

• Õîðîøî èçâåñòíûé ãðàôè÷åñêèé ìåòîä, êîãäà èñõîäíîå óðàâ-íåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå h(x) = g(x) è íàõîäèòñÿ ïðè-áëèæ¼ííîå çíà÷åíèå àáñöèññû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâôóíêöèé y = h(x) è y = g(x) (èíòåðâàë, êîòîðîìó îíà ïðè-íàäëåæèò.)

21


• Èñïîëüçîâàíèå ìàæîðàíò. Åñëè èçâåñòíû îöåíêè ôóíêöèèf(x) íà [a, b], ò.å.

f−(x) ≤ f(x) ≤ f+(x),

è x− è x+ � êîðíè ýòèõ ôóíêöèé, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ëåæèòìåæäó íèìè: x̄ ∈ [min{x−, x+}, max{x−, x+}] .

Ïðèìåð 6.1. Ïóñòü f(x) = sinx+ x3 − 2, x ∈ [0, π]. Íà óêàçàííîìèíòåðâàëå ìîæíî ïðèíÿòü:

f−(x) = x3 − 2, f+(x) = 1 + x3 − 2 = x3 − 1.

Ñëåäîâàòåëüíî, x̄ ∈[1; 3√

2]∈ [1; 1, 28]. ♣

7. Çàäà÷è ïî òåìå

Ïðèìåð 7.1. Äëÿ ïîëèíîìà P (x) = x4 − x3 − 7x2 + x+ 6 îöåíèòüèíòåðâàëû, êîòîðûì ìîãóò ïðèíàäëåæàòü ïîëîæèòåëüíûå è îòðè-öàòåëüíûå êîðíè ýòîãî ïîëèíîìà. ♣

Ïðèìåð 7.2. Âûïèñàòü ôîðìóëó Íüþòîíà (ìåòîä êàñàòåëüíûõ)äëÿ èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ êóáè÷åñêîãî èç ÷èñëà a . ♣

22


ÃËÀÂÀ 2. ÐÅØÅÍÈÅ ÑÈÑÒÅÌ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ

1. Íîðìû âåêòîðîâ è ìàòðèö

Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Ω ýëåìåíòîâ x íàçû-âàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè â í¼ì ââåäåíà ôóíêöèÿ ‖ · ‖Ω , îïðå-äåë¼ííàÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Ω è óäîâëåòâîðÿþùàÿóñëîâèÿì:

1. ‖x‖Ω ≥ 0, ïðè÷¼ì ‖x‖Ω = 0⇐⇒ x = 0Ω;

2. ‖λx‖Ω = |λ| · ‖x‖Ω;

3. ‖x+ y‖Ω ≤ ‖x‖Ω + ‖y‖Ω.

Äîãîâîðèìñÿ â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü ìàëûìè ëàòèíñêè-ìè áóêâàìè âåêòîðû, ïðè÷¼ì áóäåì ñ÷èòàòü èõ âåêòîð-ñòîëáöàìè,áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè îáîçíà÷èì ìàòðèöû, à ãðå÷åñêèìèáóêâàìè ñòàíåì îáîçíà÷àòü ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû (ñîõðàíÿÿ çà áóê-âàìè i, j, k, l,m, n îáîçíà÷åíèÿ äëÿ öåëûõ ÷èñåë).

Ê ÷èñëó íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ íîðì âåêòîðîâ îòíîñÿòñÿñëåäóþùèå:

1. ‖x‖1 =n∑i=1

|xi|;

2. ‖x‖2 =

√√√√ n∑i=1

x2i ;

3. ‖x‖∞ = maxi|xi| .

Îòìåòèì, ÷òî âñå íîðìû â ïðîñòðàíñòâå Rn ÿâëÿþòñÿ ýêâè-âàëåíòíûìè, ò.å. ëþáûå äâå íîðìû ‖x‖i è ‖x‖j ñâÿçàíû ñîîòíî-øåíèÿìè:

αij‖x‖j ≤ ‖x‖i ≤ βij‖x‖j ,

ïðè÷¼ì αij , βij , íå çàâèñÿò îò x. Áîëåå òîãî, â êîíå÷íîìåðíîì ïðî-ñòðàíñòâå ëþáûå äâå íîðìû ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.

23


Ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö ñ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ââåä¼ííûìèîïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ìíîãèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ââåñòè íîðìó.Îäíàêî ÷àùå âñåãî ðàññìàòðèâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ïîä÷èí¼ííûåíîðìû, ò.å. íîðìû, ñâÿçàííûå ñ íîðìàìè âåêòîðîâ ñîîòíîøåíèÿìè:

‖A‖ = supx 6=0

‖Ax‖‖x‖

.

Îòìå÷àÿ ïîä÷èí¼ííûå íîðìû ìàòðèö òåìè æå èíäåêñàìè, ÷òî èñîîòâåòñòâóþùèå íîðìû âåêòîðîâ, ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî

‖A‖1 = maxj

∑i

|aij |;

‖A‖2 =√

maxiλi(ATA);

‖A‖∞ = maxi

∑j

|aij |.

Çäåñü ÷åðåç λi(ATA) îáîçíà÷åíî ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû ATA ,

ãäå T � çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Êðîìå îòìå÷åííûõ âûøå òð¼õ îñ-íîâíûõ ñâîéñòâ íîðìû, îòìåòèì çäåñü åù¼ äâà:

• ‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖,

• ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖,

ïðè÷¼ì â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ìàòðè÷íàÿ íîðìà ïîä÷èíåíà ñîîò-âåòñòâóþùåé âåêòîðíîé íîðìå. Äîãîâîðèìñÿ èñïîëüçîâàòü â äàëü-íåéøåì òîëüêî íîðìû ìàòðèö, ïîä÷èí¼ííûå íîðìàì âåêòîðîâ. Îò-ìåòèì, ÷òî äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: ‖E‖ = 1, ãäå E � åäè-íè÷íàÿ ìàòðèöà.

2. Ïîíÿòèå îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèö è ñèñòåì ëèíåéíûõàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ)

Ïóñòü òðåáóåòñÿ ðåøèòü ÑËÀÓ

Ax = b, b 6= 0, (2.1)

24


ïðè÷¼ì ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû ñîäåðæèò ïîãðåøíîñòü, ò.å. ôàêòè-÷åñêè òðåáóåòñÿ ðåøèòü ÑËÀÓ

A(x+ δx) = b+ δb.

Îòñþäà δx óäîâëåòâîðÿåò ÑËÀÓ Aδx = δb è, ñ÷èòàÿ ìàòðèöó Aíåîñîáîé (detA 6= 0) , íàéä¼ì:

δx = A−1δb. (2.2)

Ïîñêîëüêó èç (2.1) ñëåäóåò

‖b‖ = ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ è îòñþäà ‖b‖‖A‖

≤ ‖x‖, (2.3)

òî èç (2.2) ñ ó÷¼òîì (2.3) ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:

‖δx‖ ≤ ‖A−1‖ · ‖δb‖ =

= ‖A−1‖ · ‖A‖ · ‖b‖‖A‖

· ‖δb‖‖b‖

≤ ν(A)‖x‖ · ‖δb‖‖b‖

, (2.4)

ãäå îáîçíà÷åíîν(A) = ‖A‖ · ‖A−1‖.

Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè (2.4) íà ‖x‖ 6= 0, ïîëó÷èì:

‖δx‖‖x‖

≤ ν(A) · ‖δb‖‖b‖

.

Ââåä¼ííàÿ çäåñü âåëè÷èíà ν(A) íîñèò íàçâàíèå ÷èñëà îáóñëîâëåí-íîñòè ìàòðèöû A èëè ñîîòâåòñòâóþùåé ÑËÀÓ (2.1). Îòìåòèì, ÷òî÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè çàâèñèò îò âèäà ìàòðè÷íîé íîðìû. Ïðèíÿòîíàçûâàòü ÑËÀÓ ïëîõî îáóñëîâëåííîé ïðè ν(A)� 1 .

3. Ñâîéñòâà ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè

1. ν(E) = 1;

2. ν(A) ≥ 1 : 1 = ‖E‖ = ‖A ·A−1‖ ≤ ‖A‖‖A−1‖ = ν(A);

3. ν(αA) = ν(A), α 6= 0. ♣

25


Çàìå÷àíèå 3.1. Ïîëó÷èòü îöåíêó ñíèçó äëÿ ν(A) ìîæíî ñ ïîìîùüþôîðìóëû (2.5): èç íå¼ ñëåäóåò

ν(A) ≥ ‖δx‖‖x‖

:‖δb‖‖b‖

.

Äîñòàòî÷íî âçÿòü êàêîé-ëèáî âåêòîð x 6= 0, è, óìíîæèâ åãî íàìàòðèöó A, ïîëó÷èòü âåêòîð b. Òàêèì æå îáðàçîì âçÿâ δx 6= 0ïîëó÷èì δb. Îñòà¼òñÿ ïîäñòàâèòü ýòè çíà÷åíèÿ â âûïèñàííóþ âûøåôîðìóëó. ♣

Çàìå÷àíèå 3.2. Åñëè ïîä íîðìîé ìàòðèöû ïîíèìàåòñÿ å¼ ñïåê-òðàëüíàÿ íîðìà, òî åñòü ‖A‖ = ‖A‖2, òî, êàê ýòî ñëåäóåò èç ïðèâå-ä¼ííûõ âûøå âûðàæåíèé äëÿ íîðì ìàòðèöû, ïîëó÷èì:

ν2(A) =

√maxi{λi(ATA)}mini{λi(ATA)}

. ♣

4. Ïðèìåð ïëîõî îáóñëîâëåííîé ñèñòåìû.

Ðàññìîòðèì ÑËÀÓ (2.1), â êîòîðîé

A =

1 −1 −1 . . . −10 1 −1 . . . −10 0 1 . . . −1

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1

, b =−1−1...

−11

.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò åäèíñòâåííîå ðå-øåíèå x = (0, 0, . . . , 0, 1)T . Ïóñòü ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû ñîäåðæèòïîãðåøíîñòü δb = (0, 0, . . . , 0, ε)T , ε > 0. Òîãäà

δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2ε, δxn−k = 2k−1ε, . . . , δx1 = 2

n−2ε.

Îòñþäà

‖δx‖∞ = maxi{|δxi|} = 2n−2ε, ‖x‖∞ = 1; ‖δb‖∞ = ε, ‖b‖∞ = 1.

26


Ñëåäîâàòåëüíî,

ν∞(A) ≥‖δx‖∞‖x‖∞

:‖δb‖∞‖b‖∞

= 2n−2.

Ïîñêîëüêó ‖A‖∞ = n, òî ‖A−1‖∞ ≥ n−12n−2, õîòÿ detA−1 =(detA)−1 = 1. Ïóñòü, íàïðèìåð, n = 102. Òîãäà ν(A) ≥ 2100 > 1030.Ïðè ýòîì åñëè äàæå ε = 10−15 ïîëó÷èì ‖δx‖∞ > 1015. È òåì íåìåíåå ‖Aδx‖∞ = ε.

5. Ìàòðèöû ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ìàòðèöà A = {aij}ni,j=1 íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåéñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì âåëè÷èíû δ > 0 , åñëè

|aii| −∑j 6=i

|aij | ≥ δ, i = 1, 2, . . . , n. ♣

Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü A − ìàòðèöà ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäà-íèåì âåëè÷èíû δ > 0 . Òîãäà îíà íåîñîáàÿ è âåðíà îöåíêà

‖A−1‖∞ ≤ 1/δ. ♣

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x0 è ðàññìîò-ðèì ÑËÀÓ Ax = b, ãäå b = Ax0. Ýòà ñèñòåìà, î÷åâèäíî, èìååòñâîèì ðåøåíèåì âåêòîð x0. Áóäåì èñïîëüçîâàòü íèæå âåêòîðíóþíîðìó ‖x‖ = ‖x‖∞ = maxi |xi|. Ïóñòü ÷èñëî k îïðåäåëåíî èç óñëî-âèÿ: |xk| = maxi |xi| = ‖x‖. Âûïèøåì óðàâíåíèå ñèñòåìû Ax = b ñýòèì íîìåðîì è, ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî |xk| ≥ |xi|, ïîëó÷èì îöåíêó:

|bk| =∣∣∑j

akjxj∣∣ ≥ |akk| · |xk| −∑

j 6=k

|akj ||xj | ≥

≥ |akk| · |xk| −(∑j 6=k

|akj |)|xk| =

=(|akk| −

∑j 6=k

|akj |)· |xk| ≥ δ|xk|.

Îòñþäà |xk| ≤ |bk|/δ. Íî |xk| = ‖x‖, à |bk| ≤ maxi |bi| = ‖b‖. Ïîýòî-ìó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

‖x‖ ≤ ‖b‖/δ. (∗)

27


Íî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà Ax = 0èìååò ëèøü íóëåâîå (òðèâèàëüíîå) ðåøåíèå, à ïîòîìó ìàòðèöà Aíåîñîáàÿ è, ñòàëî áûòü, ÑËÀÓ Ax = b èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåäëÿ ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè b. Èñïîëüçóÿ îöåíêó (∗) â ôîðìå ‖x‖ =‖A−1b‖ ≤ ‖b‖/δ , ïîëó÷àåì:

‖A−1‖ = sup‖b‖≤1

‖A−1b‖‖b‖

≤ 1δ. ♣

Ñëåäñòâèå 5.1. Äëÿ âûáðàííîé íîðìû ‖ · ‖ = ‖ · ‖∞ èìååì:

ν∞(A) = ν(A) = ‖A‖∞ · ‖A−1‖∞ ≤1

δ‖A‖∞. ♣

Çàìå÷àíèå 5.1. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû î íåîñîáîñòè ìàòðèöû A íåçàâèñèò îò âûáîðà íîðìû, èñïîëüçîâàííîé ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåî-ðåìû. ♣

Çàìå÷àíèå 5.2. Ââèäó ýêâèâàëåíòíîñòè íîðì â êîíå÷íîìåðíûõ ïðî-ñòðàíñòâàõ, íåòðóäíî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòèìàòðèöû A è ïðè âûáîðå íîðì ‖ · ‖1, ‖ · ‖2. Äåéñòâèòåëüíî: åñëèèçâåñòíî, ÷òî ‖A‖j ≤ λ‖A‖∞ , òî ïîëó÷àåì:

νj(A) = ‖A‖j · ‖A−1‖j ≤ λ2‖A‖∞ · ‖A−1‖∞ ≤λ2

δ‖A‖∞. ♣

6. Òî÷íûå ìåòîäû. Ìåòîäû Ãàóññà.

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ìåòîä ðåøåíèÿ ÑËÀÓ áóäåì íàçûâàòü òî÷íûì,åñëè ïðè òî÷íîì çàäàíèè ïàðàìåòðîâ çàäà÷è îí ïîçâîëÿåò (â ïðèí-öèïå) íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. ♣

Ê òî÷íûì ìåòîäàì îòíîñèòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ìåòîä Ãàóññà, èìå-þùèé íåñêîëüêî ðàçíîâèäíîñòåé. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ èç íèõ� ïðîñòîé ìåòîä Ãàóññà (ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ).

Çàïèøåì ÑËÀÓ â ìàòðè÷íîé ôîðìå â âèäå:

Ax = b.

28


Òîãäà ñõåìà ïðîñòîãî ìåòîäà Ãàóññà âûãëÿäèò òàê: ïóñòü a11 6= 0 ;ðàçäåëèì ïåðâîå óðàâíåíèå ÑËÀÓ íà a11 (òàêîé ýëåìåíò áóäåì íà-çûâàòü âåäóùèì) è, óìíîæàÿ åãî ïîñëåäîâàòåëüíî íà ai1 , i = 2, n ,âû÷òåì ðåçóëüòàò óìíîæåíèÿ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé ñèñ-òåìû. ÑËÀÓ ïðèìåò âèä:

1 · x1 + a112x2 + · · ·+ a11nxn = b110 · x1 + a122x2 + · · ·+ a12nxn = b12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 · x1 + a1n2x2 + · · ·+ a1nnxn = b1n. (6.1)

Åñëè â ñèñòåìå (6.1) êîýôôèöèåíò a122 îòëè÷åí îò íóëÿ, òîïîâòîðÿÿ óêàçàííûå âûøå äåéñòâèÿ ñî âòîðîé ñòðîêîé ïðåîáðàçî-âàííîé ìàòðèöû è íèæåëåæàùèìè ñòðîêàìè, ïðèä¼ì ê ìàòðèöå:

1 · x1 + a112x2 + · · ·+ a11nxn = b110 · x1 + 1 · x2 + · · ·+ a22nxn = b22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 · x1 + 0 · x2 + · · ·+ a2nnxn = b2n.

Ïîñëå n øàãîâ â ñëó÷àå íåíóëåâûõ âåäóùèõ ýëåìåíòîâ ïðèä¼ìê òðåóãîëüíîé ìàòðèöå:

1 · x1 + a112x2 + · · ·+ a11nxn = b110 · x1 + 1 · x2 + · · ·+ a22nxn = b22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 · x1 + 0 · x2 + · · ·+ 1 · xn = bnn.

Ïðîäåëàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÑËÀÓ íîñÿò íàçâàíèå ïðÿìîãîõîäà ìåòîäà Ãàóññà, íàõîæäåíèå æå êîìïîíåíò âåêòîðà x èç ïîëó-÷åííîé òðåóãîëüíîé ñèñòåìû íoñèò íàçâàíèå îáðàòíîãî õîäà ìåòîäàÃàóññà.

Ïðåïÿòñòâèåì íà ïóòè ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà ìîæåò ñòàòüîáíóëåíèå âåäóùåãî ýëåìåíòà íà íåêîòîðîì øàãå. Îäíàêî åñëè èñ-õîäíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû åñòü ìàòðèöà ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäà-íèåì, òî ýòîãî íå ñëó÷èòñÿ. Åñëè æå ìàòðèöà íå îáëàäàåò ýòèìñâîéñòâîì, òî ïðèìåíÿþò ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì âåäóùåãî ýëå-ìåíòà ïî ñòîëáöó (ðåæå ïî âñåé ìàòðèöå). Â äàííîé ìîäèôèêàöèè

29


ðîëü âåäóùåãî ýëåìåíòà íà k -îì øàãå èãðàåò ìàêñèìàëüíûé ïîìîäóëþ ýëåìåíò, ðàñïîëîæåííûé â k -îì ñòîëáöå â ñòðîêàõ ñ íî-ìåðàìè, áîëüøèìè k . Ïðè ýòîì ñòðîêà, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ýòîòýëåìåíò, ïåðåñòàâëÿåòñÿ ñ k -îé ñòðîêîé. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè èñõîä-íàÿ ìàòðèöà ÑËÀÓ íåîñîáàÿ, òî äàííàÿ ìîäèôèêàöèÿ ñâîáîäíà îòîòìå÷åííîãî íåäîñòàòêà ïðîñòîãî ìåòîäà Ãàóññà.

Åù¼ îäíîé ðàçíîâèäíîñòüþ ìåòîäà Ãàóññà ÿâëÿåòñÿ ìåòîäÃàóññà-Æîðäàíà, â êîòîðîì ñîâìåùåíû ïðÿìîé è îáðàòíûé õîä.Âñå îòìå÷åííûå ðàçíîâèäíîñòè ìåòîäà òðåáóþò O(n3) àðèôìåòè-÷åñêèõ îïåðàöèé è ÿâëÿþòñÿ â ýòîì ñìûñëå îïòèìàëüíûìè ñðåäèòî÷íûõ ìåòîäîâ.

7. Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íàÿ è ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåíà. Ïîñòàâèì çàäà÷ó ïðåäñòàâèòü å¼ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿA = STS , ãäå S � ïðàâàÿ (âåðõíÿÿ) òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà:

S =

s11 s12 . . . s1n0 s22 . . . s2n. . . . . . . . . . . .0 0 . . . snn

.Óìíîæàÿ ìàòðèöó ST íà S ñïðàâà è ïðèðàâíèâàÿ ýëåìåíòû ðå-çóëüòèðóþùåé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåìåíòàì ìàòðèöû A ,ïîëó÷èì:

s211 = a11, s1i = a1i/s11, i = 2, n,

s2kk = akk −∑i


.

8. Ìåòîä îòðàæåíèé

Ïóñòü w ∈ Rn � âåêòîð-ñòîëáåö åäèíè÷íîé äëèíû â åâêëèäî-âîé ìåòðèêå: wTw =

∑nj=1 w

2j = 1 . Ñ åãî ïîìîùüþ ïîñòðîèì ìàò-

ðèöó U = E− 2wwT , ãäå E � åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà n×n . Î÷åâèäíî,÷òî U = UT è, êðîìå òîãî,

U2 = UTU = (E − 2wwT )T (E − 2wwT ) == E − 4wwT + 4w(wTw)wT = E,

ò.å. ìàòðèöà U ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé è îðòîãîíàëüíîé. Ïîñëåäíååðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ïîñòðîåííîé ìàò-ðèöû U óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ: λ2(U) = 1 . Ïðîâåðèì, ÷òîâåêòîð w ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ ìàòðèöû U , îòâå÷àþùèì ñîá-ñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ(U) = −1 :

Uw = (E − 2wwT )w = w − 2w(wTw) = −w.

Êðîìå òîãî, ëþáîé âåêòîð v ∈ Rn , îðòîãîíàëüíûé âåêòîðó w , òîåñòü óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ wT v = 0 , ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìâåêòîðîì ìàòðèöû U , îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó λ(U) = +1 :

Uv = (E − 2wwT )v = v − 2w(wT v) = v.

Åñëè ðàññìîòðåòü ïðîèçâîëüíûé âåêòîð y ∈ Rn è ðàçëîæèòü åãî ïîâåêòîðàì z, v : y = z + v, ãäå z = αw, v ⊥ w, òî ïîñëå óìíîæåíèÿåãî íà ìàòðèöó U ïîëó÷èì: Uy = −z + v , ò.å. âåêòîð Uy ÿâëÿ-åòñÿ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì âåêòîðà y îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó w .

Ïóñòü y, z � ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû èç Rn . Ïîñòðîèì âåêòîðw òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû Uy = αz . Ïîñêîëüêó ìàòðèöà U ÿâëÿ-åòñÿ îðòîãîíàëüíîé è, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð Uy èìååò â åâêëè-äîâîé íîðìå òó æå äëèíó, ÷òî è âåêòîð y , òî α îïðåäåëèòñÿ èçóñëîâèÿ ||Uy|| = ||y|| , ò.å. α = ‖y‖/‖z‖ . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèâw = (y − αz)/% , ãäå % = ‖y − αz‖ , ìû ïîëó÷èì èñêîìûé âåêòîð.

Èñïîëüçóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ óïðîùåíèÿ ÑËÀÓ.Âîçüì¼ì íà ïåðâîì øàãå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÑËÀÓ Ax = b â êà-÷åñòâå âåêòîðà y ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû A , à â êà÷åñòâå z

31


� îðò e1 = (1, 0, . . . , 0)T è ïîñòðîèì êàê óêàçàíî âûøå âåêòîðw1 = y − αe1 . Óìíîæèâ îáå ÷àñòè èñõîäíîé ñèñòåìû íà ìàòðèöóU1 = E−2w1(w1)T , ïîëó÷èì ÑËÀÓ A1x = b1, A1 = U1A, b1 = U1b ,ó êîòîðîé ïåðâûé ñòîëáåö èìååò íóëè âî âñåõ ñòðîêàõ, êðîìå ïåð-âîé (åñëè îí óæå èìåë òàêîé âèä, òî íèêàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñ íèìïðîèçâîäèòü íå òðåáóåòñÿ).

Íà âòîðîì øàãå ïîëîæèì y = (a122, a132, . . . , a

1n2)

T ∈ Rn−1(åñëè âòîðîé ñòîëáåö ìàòðèöû A1 íå êîëëèíåàðåí âåêòîðó e

2 =(0, 1, 0, . . . , 0))T , z = e1 ∈ Rn−1 . Ïîñòðîèâ ìàòðèöó U2 = {u2ij} (ïî-ðÿäêà (n − 1) × (n − 1)) è óìíîæèâ îáå ÷àñòè ÑËÀÓ A1x = b1 íàìàòðèöó

Û2 =

1 0 . . . 00 u211 . . . u

21,n−1

. . . . . . . . . . . .0 u2n−1,1 . . . u

2n−1,n−1

,ïîëó÷èì ÑËÀÓ A2x = b

2 , ó êîòîðîé â ïåðâûõ äâóõ ñòîëáöàõ ïîäãëàâíîé äèàãîíàëüþ ñòîÿò íóëè. Äàëüíåéøåå î÷åâèäíî. Ïîëó÷èâñèñòåìó ñ òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé, ðåøàåì å¼ êàê è â ìåòîäå Ãàóññà.

Îòìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáíîãî òèïà (ñ ïîìîùüþ îð-òîãîíàëüíûõ ìàòðèö) ïîçâîëÿþò ìèíèìèçèðîâàòü âëèÿíèå íåóñòðà-íèìûõ ïîãðåøíîñòåé â èñõîäíûõ äàííûõ íà ïîëó÷àåìîå ðåøåíèå.

9. Ìåòîä ïðîãîíêè

Ðàññìîòðèì ÑËÀÓ ñëåäóþùåãî âèäà:

z0 = k0z1 + n0, (9.1)

ajzj−1 + bjzj + cjzj+1 = fj , j = 1, 2, . . . , N − 1 (9.2)zN = kNzN−1 + nN , (9.3)

ãäå z0, z1, . . . zN � íåèçâåñòíûå, à aj , bj , cj , fj , ki, ni � çàäàííûå÷èñëà, ïðè÷¼ì

|bj | ≥ |aj |+ |cj | ≥ |aj | > 0, |k0| < 1, |kN | ≤ 1 (9.4)

32


Â ìàòðè÷íî-âåêòîðíîé ôîðìå ñèñòåìó çàïèøåì â âèäå Ax = b , ãäå:

A =

1 −k0 0 0 0 . . . 0 0a1 b1 c1 0 0 . . . 0 00 a2 b2 c2 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 . . . −kN 1

, b =

n0f1f2...nN

.

Ìàòðèöû ïîäîáíîé ñòðóêòóðû íàçûâàþò òð¼õäèàãîíàëüíûìè. Îíè÷àñòî âîçíèêàþò â çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ ñïëàéíîâ è ïðè ðåøåíèè êðà-åâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ñåòîê.

Âûðàæàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íåèçâåñòíûå è ïîäñòàâëÿÿ â ñëåäó-þùèå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì:

z0 = k0z1 + n0, a1(k0z1 + n0) + b1z1 + c1z2 = f1

èëè

z1 = k1z2 + n1, ãäå k1 =−c1

b1 + a1k0, n1 =

−a1n0 + f1b1 + a1k0

.

Ïóñòü óæå íàéäåíû zm−1 = km−1zm + nm−1, m ≤ N − 1. Òîãäàïîâòîðÿÿ ïðîäåëàííîå ñ ïåðâûìè äâóìÿ óðàâíåíèÿìè, ïîëó÷èì:

am(km−1zm + nm−1) + bmzm + cmzm+1 = fm.

Ðàçðåøèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî zm, ïîëó÷èì:

zm = kmzm+1 + nm, m = 1, N − 1 (9.5)

ãäå km =−cm

bm + amkm−1, nm =

−amnm−1 + fmbm + amkm−1

. (9.6)

Ïîñêîëüêó k0, n0 çàäàíû, òî âñå êîýôôèöèåíòû {km, nm} ôîð-ìóëû (9.5) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (9.6). Íàêîíåö, ïîäñòàâèâ âû-ðàæåíèå (9.3) ïðè m = N − 1 â (9.5), ïîëó÷àåì:

zN = kN (kN−1zN + nN−1) + nN , (9.7)

îòêóäà

zN =nN + kNnN−11− kNkN−1

. (9.8)

33


Çàòåì ïî ôîðìóëàì (9.5) � (9.6) íàõîäèì â îáðàòíîì ïîðÿäêå íå-èçâåñòíûå zN−1, . . . , z1, z0 . Ïîëó÷åíèå êîýôôèöèåíòîâ {kj , nj}ïî ôîðìóëàì (9.6) íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì õîäîì ìåòîäà ïðîãîíêè, àâû÷èñëåíèå íåèçâåñòíûõ ïî ôîðìóëàì (9.5) � îáðàòíûì õîäîì.

Ïîêàæåì, ÷òî âñå çíàìåíàòåëè ïîëó÷åííûõ ôîðìóë îòëè÷íûîò íóëÿ. Ïðåæäå âñåãî óñòàíîâèì, ÷òî ∀m ≤ N − 1 âåðíî íåðàâåí-ñòâî |km| < 1. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ |k0| < 1, òî áàçà äëÿ èíäóêöèèåñòü. Äîïóñòèì, ÷òî |km−1| < 1 è ïîêàæåì,÷òî |km| < 1 . Ó÷èòûâàÿóñëîâèÿ (9.4) ïîëó÷àåì:

|bm + amkm−1| ≥ |bm| − |am| · |km−1| > |bm| − |am| ≥ 0. (9.9)

Ïðè ýòîì äëÿ km èìååì ñ ó÷¼òîì (9.9) è èíäóêòèâíîãî ïðåäïîëî-æåíèÿ:

|km| =|cm|

|bm + amkm−1|≤ |bm| − |am||bm| − |am| · |km−1|

< 1. (9.10)

Â ñèëó íåðàâåíñòâà (9.9) çíàìåíàòåëè â ôîðìóëàõ (9.6) îòëè÷íûîò íóëÿ. Êðîìå òîãî 1 − kNkN−1 > 0 â ñèëó óñòàíîâëåííîãî âûøåñâîéñòâà (9.10) äëÿ ïàðàìåòðîâ k1, k2, . . . , kN−1, ïîýòîìó zN ìîæ-íî íàéòè ïî ôîðìóëå (9.8), à âñëåä çà ýòèì è âñå íåèçâåñòíûå {zj} .

Òàêèì îáðàçîì ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèé, íàëîæåííûõ íàïàðàìåòðû ñèñòåìû, çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îòìåòèì,÷òî êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèç-âåñòíûõ óêàçàííûì ñïîñîáîì ñîñòàâëÿåò 8(N + 1)− 9.

10. Ìåòîä îêàéìëåíèÿ

Îòìåòèì, ÷òî âñå ìåòîäû, ïðèìåíÿåìûå äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓïðèìåíèìû è äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû, èáî ïîñëåäíÿÿçàäà÷à ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ðåøåíèÿ ñîâîêóïíîñòè n ñèñòåì âèäàAx = ei , ãäå ei � i -ûé îðò ïðîñòðàíñòâà Rn . Èçëàãàåìûé íèæåìåòîä ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáðàòíûõ ìàòðèö äëÿ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè ìàòðèö óâåëè÷èâàþùèõñÿ ïîðÿäêîâ.

Ïðåäñòàâèì èñõîäíóþ ìàòðèöó An = A è îáðàòíóþ ê íåé èñ-êîìóþ ìàòðèöó â áëî÷íîì âèäå

An =

(An−1 abT α

), A−1n =

(Un−1 xyT β

),

34


ïðè÷¼ì ñ÷èòàåì, ÷òî ìàòðèöà A−1n−1 óæå ïîñòðîåíà. Ïðîèçâîäÿ ïî-áëî÷íîå óìíîæåíèå AnA

−1n è ïðèðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò åäèíè÷íîé

ìàòðèöå, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ, èç êîòîðûõ îïðåäåëÿòñÿ áëî÷íûåýëåìåíòû ìàòðèöû A−1n .

An−1Un−1 + ayT = En−1, (10.1)

An−1x+ βa = 0, (10.2)

bTUn−1 + αyT = 0, (10.3)

bTx+ αβ = 1. (10.4)

Èç ñîîòíîøåíèÿ (10.2) âûðàæàåì âåêòîð x ÷åðåç β :

x = −βA−1n−1a ≡ −βc, ãäå c = A−1n−1a (10.5)

è èç (10.4) ñ ó÷¼òîì (10.5) íàõîäèì β

bT (−βc) + αβ = 1, β = (α− bT c)−1, (10.6)

à çàòåì èç (10.5) èñïîëüçóÿ (10.6) íàõîäèì x

x = −(α− bT c)−1c. (10.7)

Èç ñîîòíîøåíèÿ (10.1) íàõîäèì âûðàæåíèå Un−1 ÷åðåç y :

Un−1 = A−1n−1 −A

−1n−1ay

T = A−1n−1 − cyT . (10.8)

Ïîäñòàâèâ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (10.3), ïîëó÷àåì:

bT (A−1n−1 − cyT ) + αyT = 0,bTA−1n−1 + (α− bT c)yT = 0,yT = −βbTA−1n−1.

(10.9)

Âûïèøåì íàéäåííûå çäåñü ýëåìåíòû èñêîìîé áëîê-ìàòðèöû:

Un−1 = A−1n−1 − cyT , x = −βc, yT = −βbTA

−1n−1, β = (α− bT c)−1.

11. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÑËÀÓ. Ìåòîäïðîñòîé èòåðàöèè

Ïóñòü ÑËÀÓ

Ax = b (11.1)

35


òåì èëè èíûì ñïîñîáîì çàïèñàíà â âèäå:

x = Bx+ c. (11.2)

Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè (ÌÏÈ) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: áåð¼òñÿíåêîòîðûé âåêòîð x0 ∈ Rn è ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ{xk} ïî ôîðìóëå

xk+1 = Bxk + c. (11.3)

Òåîðåìà 11.1. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ÌÏÈ) Åñëè ìà-òðèöà B ñèñòåìû (11.2) òàêîâà, ÷òî ‖B‖ < 1 , òî ÑËÀÓ (11.2)èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (11.3) ñõî-äèòñÿ ê íåìó ñî ñêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. ♣Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó

x = Bx (11.4)

è ïóñòü x̂ 6= 0 � ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. Òîãäà ‖x̂‖ ≤ ‖B‖‖x̂‖ èëè‖x̂‖ · (1−‖B‖) ≤ 0 , îòêóäà ‖x̂‖ = 0 , ò.å. x̂ = 0. Ïîñêîëüêó îäíîðîä-íàÿ ñèñòåìà (11.4) èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, òî ñîîòâåò-ñòâóþùàÿ íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (11.2) ïðè ëþáîì âåêòîðå c èìååòåäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Äàëåå, ïóñòü

x̄ = Bx̄+ c, xk = Bxk−1 + c .

Òîãäà‖x̄− xk‖ = ‖B(x̄− xk−1)‖ ≤ ‖B‖k‖x̄− x0‖,

÷òî è îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (11.3). ♣Çàìå÷àíèå 11.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 11.1 ÌÏÈ ñõî-äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî âåêòîðà. ♣Áîëåå òî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.

Òåîðåìà 11.2. ÌÏÈ ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì âåêòîðå x0

è ëþáîì âåêòîðå c òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ ìàòðèöû B ëåæàò â åäèíè÷íîì êðóãå. ♣

36


Èíòåðåñíî è äëÿ ïðàêòèêè âàæíî ïîëó÷èòü îöåíêó óêëîíåíèÿâíîâü ïîñòðîåííîãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îò ðåøåíèÿ ÷åðåç ïî-ñëåäíèå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðîäåëàåì ýòî.

x̄ = Bx̄+ c,xk = Bxk−1 + c,x̄− xk = B(x̄− xk−1) = Bx̄−Bxk−1 +Bxk −Bxk =

= B(x̄− xk) +B(xk − xk−1).

Îöåíèâàÿ ïî íîðìå ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, èìååì:

‖x̄− xk‖ ≤ ‖B‖‖x̄− xk‖+ ‖B‖‖xk − xk−1‖,

îòêóäà è ïîëó÷àåì æåëàåìûé ðåçóëüòàò:

‖x̄− xk‖ ≤ ‖B‖1− ‖B‖

· ‖xk − xk−1‖.

Çàìå÷àíèå 11.2. Äëÿ ñõîäèìîñòè ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèäîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøëàñü ëþáàÿ ïîä÷èí¼ííàÿ íîðìà ìàòðèöû,â êîòîðîé âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû 11.1. Ïðè ýòîì ñõîäèìîñòü{xk} ê x̄ áóäåò èìåòü ìåñòî â ëþáîé íîðìå ïðîñòðàíñòâà Rn ââèäóýêâèâàëåíòíîñòè íîðì â êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. ♣

Çàìå÷àíèå 11.3. Åñëè äëÿ ñèñòåìû (11.2) èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk} , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñèñòåìà (11.1)ïðèâåäåíà ê âèäó, ïðèãîäíîìó äëÿ ïðèìåíåíèÿ ÌÏÈ. ♣

Ïîêàæåì, ÷òî ëþáóþ ÑËÀÓ ñ íåîñîáîé ìàòðèöåé ìîæíî ïðè-âåñòè ê âèäó, ïðèãîäíîìó äëÿ ïðèìåíåíèÿ ÌÏÈ.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ÑËÀÓ (11.1), â êîòîðîé ìàòðèöà A ÿâëÿ-åòñÿ ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé. Ïóñòü â ôîðìó-ëå (11.2) ìàòðèöà B è âåêòîð c èìåþò âèä:

B = E − µA, c = µb, ãäå µ = 2‖A‖+ ε

, ε > 0. (11.5)

Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà (11.2) â òàêîì ñëó÷àå ýêâèâàëåíòíà ñèñòå-ìå (11.1). Îòìåòèì çäåñü æå, ÷òî ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷-íîé (õîòÿ, âîçìîæíî, è íå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé). Ñèììåò-ðèÿ å¼ âëå÷¼ò çà ñîáîé òîò ôàêò, ÷òî ‖B‖2 = max |λB | , ãäå λB

37


� ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû B . Ïîñêîëüêó ìàòðèöà B èìååòâèä (11.5), òî λB = 1− µλA . Ñîãëàñíî ñäåëàííîìó ïðåäïîëîæåíèþî ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ìàòðèöû A âåðíî íåðàâåíñòâî:0 < λA ≤ ‖A‖ , ïðè÷¼ì çäåñü ïîä ‖ · ‖ ìîæíî ïîíèìàòü ëþáóþ (íîïîä÷èí¼ííóþ) íîðìó ìàòðèöû. Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîñëåäî-âàòåëüíî èìååì:

0 < µλA < 2, −1 < µλA − 1 < 1, ò.å. |λB | < 1,

÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 11.2 îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ÌÏÈ äëÿñèñòåìû (11.2) ñ ìàòðèöåé (11.5).

Åñëè æå â èñõîäíîé ñèñòåìå A íå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé èïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé, òî óìíîæàÿ îáå ÷àñòè (11.1) íà òðàí-ñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó AT , ïðèä¼ì ê ñèñòåìå

Âx = b̂, Â = ATA, b̂ = AT b,

êîòîðàÿ ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé ñèñòåìå ââèäó ïðåäïîëîæåííîé íå-îñîáîñòè A è â êîòîðîé ìàòðèöà Â îáëàäàåò òðåáóåìûìè ñâîéñòâà-ìè ñèììåòðè÷íîñòè è ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè. Òåì ñàìûìóñòàíîâëåíî, ÷òî ëþáàÿ ÑËÀÓ ñ íåîñîáîé ìàòðèöåé óêàçàííûì âû-øå ñïîñîáîì ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó, ïðèãîäíîìó äëÿ ïðè-ìåíåíèÿ ÌÏÈ.

Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî â ÌÏÈ íà âûïîëíåíèå îäíîé èòå-ðàöèè òðåáóåòñÿ ≈ n2 àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, ïîýòîìó åñëè ÷èñ-ëî èòåðàöèé äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè ìåíüøå n, òî ÌÏÈïî ÷èñëó îïåðàöèé îêàçûâàåòñÿ ýêîíîìè÷íåå ìåòîäà Ãàóññà.

12. Ìåòîä Çåéäåëÿ

Ïóñòü ìàòðèöà ÑËÀÓ Ax = b òàêîâà, ÷òî ∀i aii 6= 0. Åñëè âi-îì óðàâíåíèÿ ïðîèçâåñòè äåëåíèå íà aii è âñå íåèçâåñòíûå êðîìåxi ïåðåíåñòè íàïðàâî, òî ïîëó÷èì ñèñòåìó âèäà

x = Cx+ d, cii = 0, cij = −aij/aii, di = bi/aii, i = 1, n. (12.1)

Èìåÿ xk = (xk1 , xk2 , . . . x

kn)T , ñëåäóþùóþ èòåðàöèþ áóäåì ñòðî-

38


èòü ñîãëàñíî ôîðìóëàì:xk+11 = c12x

k2 + c13x

k3 + . . .+ c1nx

kn + d1

xk+12 = c21xk+11 + c23x

k3 + . . .+ c2nx

kn + d2

xk+13 = c31xk+11 + c32x

k+12 + . . .+ c3nx

kn + d3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xk+1n = cn1xk+11 + cn2x

k+12 + cn3x

k+13 + . . . + dn.

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî õîòÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ýòèõ ñîîòíîøåíèéâõîäèò âåêòîð xk+1 , êîòîðûé ôîðìàëüíî åù¼ íå ïîñòðîåí, ôàêòè-÷åñêè äëÿ âû÷èñëåíèÿ i-îé êîìïîíåíòû âåêòîðà xk+1 â âûïèñàííîéôîðìóëå èñïîëüçóþòñÿ ëèøü êîìïîíåíòû âåêòîðà xk+1 ñ íîìåðà-ìè, ìåíüøèìè i è ê ýòîìó ìîìåíòó óæå âû÷èñëåííûå.

Äàííûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ èòåðàòèâíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèíîñèò íàçâàíèå ìåòîäà Çåéäåëÿ. Ýòîò ìåòîä ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê íåêîòîðûé ÌÏÈ.

Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ìåòîäà. Ïóñòü ìàòðèöàÑËÀÓ Ax = b òàêîâà, ÷òî ∀i aii 6= 0. Åñëè â i-îì óðàâíåíèè ïðîèç-âåñòè äåëåíèå íà aii è âñå íåèçâåñòíûå êðîìå xi ïåðåíåñòè íàïðàâî,òî ïîëó÷èì ñèñòåìó âèäà

x = Cx+ d, cii = 0, cij = −aij/aii.

Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó C â âèäå ñóììû äâóõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèö Lè U , ïðè÷¼ì ó ìàòðèöû L âñå äèàãîíàëüíûå è íàääèàãîíàëüíûåýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, à ó ìàòðèöû U � äèàãîíàëüíûå è ïîääèàãî-íàëüíûå. Òîãäà ñèñòåìà ïðèìåò âèä

x = Lx+ Ux+ d.

Çàäàâøèñü íà÷àëüíûì âåêòîðîì x0, áóäåì ñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü {xk} ïî ôîðìóëå:

xk+1 = Lxk+1 + Uxk + d.

Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âûðàçèì xk+1 :

xk+1 = (E − L)−1Uxk + (E − L)−1d.

39


Ñòàëî áûòü, B = (E−L)−1U. Îòìåòèì, ÷òî det(E−L) = 1 , ïîýòîìóñóùåñòâóåò ìàòðèöà (E −L)−1. Âûïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåí-íûõ ÷èñåë ìàòðèöû B . Èìååì:

det{(E − L)−1U − λE} = 0, èëè det{λE − (U + λL)} = 0,

èëè â ðàçâ¼ðíóòîì âèäå∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 a12 . . . a1nλa21 λa22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .λan1 λan2 . . . λann

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.Òàêèì îáðàçîì â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 11.2 íåîáõîäèìûì è äî-ñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ìåòîäà Çåéäåëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîïàäà-íèå âñåõ êîðíåé ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ â êðóã åäèíè÷íîãî ðàäèóñà.

Ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà åù¼ îäíó òåîðåìó:

Òåîðåìà 12.1. Äëÿ ñõîäèìîñòè ìåòîäà Çåéäåëÿ äîñòàòî÷íî,÷òîáû âûïîëíÿëîñü õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé:

1. ìàòðèöà A èñõîäíîé ñèñòåìû îáëàäàåò ñâîéñòâîì äèàãî-íàëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ;

2. ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íà è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. ♣

13. Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

F (x) = 0, F (x) ∈ Rn, x ∈ D ⊂ Rn, (13.1)

Çäåñü F (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))T , ïðè÷¼ì fi(·) ∈ C1(D) ∀i.

Ïóñòü ñóùåñòâóåò âåêòîð x̄ ∈ D ⊂ Rn , ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñèñ-òåìû (13.1).

Ðàçëîæèì F (x) â îêðåñòíîñòè òî÷êè x̄ :

F (x) = F (x0) + F ′(x0)(x− x0) + o(‖x− x0‖).

40


Çäåñü F ′(x) � ìàòðèöà âèäà

F ′(x) =∂F (x)

∂x=

∂f1(x)

∂x1,

∂f1(x)

∂x2, . . .

∂f1(x)

∂xn∂f2(x)

∂x1,

∂f2(x)

∂x2, . . .

∂f2(x)

∂xn. . . . . . . . . . . .

∂fn(x)

∂x1,

∂fn(x)

∂x2, . . .

∂fn(x)

∂xn

,

íàçûâàåìàÿ ìàòðèöåé ßêîáè, à å¼ îïðåäåëèòåëü íàçûâàþò ÿêîáèà-íîì. Èñõîäíîå óðàâíåíèå (13.1) çàìåíèì ñëåäóþùèì:

F (x0) + F ′(x0)(x− x0) = 0.

Ñ÷èòàÿ ìàòðèöó ßêîáè F ′(x0) íåîñîáîé, ðàçðåøèì ýòî óðàâíåíèåîòíîñèòåëüíî x :

x̂ = x0 − [F ′(x0)]−1F (x0).È âîîáùå ïîëîæèì

xk+1 = xk − [F ′(xk)]−1F (xk).

Îöåíèì óêëîíåíèå

‖xk+1 − x̄‖ = ‖(xk − x̄)− [F ′(xk)]−1(F (xk)− F (x̄))‖. (13.2)

Ïðåîáðàçóåì ïîñëåäíþþ ôîðìóëó:

F (z)− F (y) =∫ 1

0

F ′t (y + t(z − y))dt =

=

(∫ 10

∂F

∂xdt

)(z − y) ≡ H(z, y)(z − y).

Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì∫ ba

f(t)g(t) dt = f(ξ)

∫ ba

g(t) dt, ïðè g(x) > 0, f(·) ∈ C

ïîëó÷èì:∫ 10

∂fi(y + t(z − y))∂xj

dt =∂fi(y + νij(z − y))

∂xj→ ∂fi(y)

∂xj(13.3)

41


ïðè z → y . Çäåñü νij ∈ (0, 1).Òåïåðü ôîðìóëà (13.2) ïðèìåò âèä:

‖xk+1 − x̄‖ == ‖

(E − [F ′(xk)]−1H(xk, x̄)

)(xk − x̄)‖ ≡ ‖U(xk)(xk − x̄)‖.

Ââèäó (13.3) èìååò ìåñòî U(xk)→ 0 ïðè xk → x̄, ò.å.

∀ε : 0 < ε < 1 ∃% : ‖U(xk)‖ ≤ ε < 1 ïðè xk ∈ S%(x̄),

ãäå S%(x̄) = {x : ‖x− x̄‖ ≤ %}.Òàêèì îáðàçîì èç xk ∈ S%(x̄) ñëåäóåò

‖xk+1 − x̄‖ ≤ ‖U(xk)‖ · ‖xk − x̄‖ ≤ ε‖xk − x̄‖ ≤ ε% < %,

ò.å. xk+1 ∈ S%(x̄).Ñ÷èòàÿ, ÷òî x0 ∈ S%(x̄), ïîëó÷àåì {xk} ⊂ S%(x̄) è èìååò ìåñòî

îöåíêà ‖xk − x̄‖ ≤ εk‖x0 − x̄‖ , îòêóäà è ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè {xk}, ïðè÷¼ì ñî ñêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-ñèè.

Ïðè äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæåíèè F (·) ∈ C2(D) èìååò ìå-ñòî êâàäðàòè÷íàÿ ñõîäèìîñòü ìåòîäà, ò.å.

‖xk+1 − x̄‖ ≤ ω‖xk − x̄‖2.

Ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó.

Òåîðåìà 13.1. Ïóñòü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ x̄ ñèñ-òåìû (13.1) ôóíêöèè fi(·) ∈ C2 è ÿêîáèàí ñèñòåìû îòëè÷åí îòíóëÿ â ýòîé îêðåñòíîñòè. Òîãäà ñóùåñòâóåò δ -îêðåñòíîñòü òî÷-êè x̄ òàêàÿ, ÷òî ïðè ëþáîì âûáîðå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0

èç ýòîé îêðåñòí�

Documents

s.siteapi.org · 2016. 5. 21. · Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 64 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 1.Îñíîâû òåîðèè ïîãðåøíîñòåé. Íà ïîãðåøíîñòü