SESIÓN 03(1)

Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3 1

SESIN 3

ANUALIDADES

EVALUACIN FINANCIERA DE PROYECTOS

Concepto de Anualidad

Anualidades anticipadas, diferidas y perpetuas

Valor Presente y Futuro de Anualidades

Ejercicios

2

AGENDA

Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3

Concepto de Anualidad

Una Anualidad es una serie de pagos iguales que se efectan

a intervalos fijos durante cierto nmero de periodos.

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las

siguientes condiciones:

Todos los pagos son de igual valor.

Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

A todos los pagos se les aplica la misma tasa de inters.

El nmero de pagos es igual al nmero de periodos.

Aunque Anualidad se refiere a 1 ao, NO necesariamente es un pago anual.

3 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3

Tipos de Anualidades Hay varios tipos de Anualidades:

Tipo de Anualidad Descripcin

Anualidad cierta Cuando las fechas son fijas y establecidas de antemano.

Anualidad contingente Cuando la fecha del primer pago depende de un hecho que se sabe ocurrir, pero no se sabe cuando. (Ej. Renta por viudez).

Anualidad simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalizacin de los intereses.

Anualidad general Cuando el periodo de pago no necesariamente coincide con el periodo de capitalizacin de los intereses.

Anualidad vencida Tambin conocida como ordinaria. Cuando los pagos se efectan al final de cada periodo.

Anualidad anticipada O pagadera. Cuando los pagos se realizan al principio de cada periodo.

Anualidad inmediata Cuando los cobros (pagos) se efectan inmediatamente despus de la formalizacin del contrato.

Anualidad diferida Cuando se posponen la realizacin de los cobros (periodos de gracia).

Las Anualidades ms comunes son: la Simple, la Cierta, la Ordinaria y la Inmediata. 4

Anualidad Regular (diferida)

Anualidad cuyos pagos se efectan al final de cada periodo.

0 1 2 3 4 5

10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

Aos

0 2 4 6 8 10

5,000 5,000 5,000 5,000 5,000

Aos

0 3 6 9 12 15

400 400 400 400 400

Meses

Una anualidad diferida de S/.10 mil durante 5 aos a intervalos anuales.

Una anualidad diferida de S/.5 mil durante 10 aos a intervalos bianuales.

Una anualidad diferida de S/.400 durante 15 meses a intervalos trimestrales.


Anualidad Anticipada o inmediata

Anualidad cuyos pagos iguales realizan al inicio de cada periodo.

0 1 2 3 4 5

8,000 8,000 8,000 8,000 8,000

Aos

0 3 6 9 12 15

2,500 2,500 2,500 2,500 2,500

Aos

0 1 2 3 4 5

1,400 1,400 1,400 1,400 1,400

Meses

Una anualidad anticipada de S/.8 mil durante 5 aos a intervalos anuales.

Una anualidad anticipada de S/.2.5 mil durante 12 aos a intervalos de tres aos.

Una anualidad diferida de S/.1.4 mil durante 5 meses a intervalos mensuales


Ejemplo 01

Anualidades

Qu cantidad se acumular en 5 meses, si al finalizar cada mes se hace un

pago de $100 a una cuenta de inversiones que rinde 36% compuesto anual?

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

meses

En principio construyamos los Flujos:

Datos:

i = 36% anual = 0.36 anual

i = 0.36/12 = 0.03 mensual

n = 5 meses.

Note que el Flujo

en cada periodo

es el mismo

($100), por ello se

trata de una

Anualidad.

Cada Flujo hay que llevarlo al 5to mes

a la misma tasa mensual (3%) y de

acuerdo al nmero de periodos

correspondiente. 7 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3

Anualidades

Luego el Valor Futuro (VF) de la Anualidad en el quinto mes. ser la suma

de los Valores Futuros de cada flujo en dicho mes:

5to flujo 4to flujo 3er flujo 2do flujo 1er flujo

Cada termino expresa el Valor del Flujo en el 5to mes, que es donde se

desea hallar el Valor de la Anualidad.

A partir de este mtodo de razonamiento, se deducen Frmulas que nos permiten calcular de

manera directa y prctica, el Valor Futuro y Presente de una Anualidad.


Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades Frmulas

9

VP = A 1 (1+i)-n

i VF = A

(1+i)n 1

i

VF = A (1+i)n 1

i (1+i) VP = A

1 (1+i)-n

i (1+i)

VALOR PRESENTE VALOR FUTURO

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

Leyenda:

i : tasa de inters

n : nmero de periodos

A : anualidad

Note que la diferencia entre los VP y los VF, para una

Anualidad Vencida o Anticipada, es el factor (1+i). Esto se

debe a que el pago se hace con 1 periodo de desfase.

Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades MS Excel

10

VP = VA(tasa, nper, pago,,0) VF = VF(tasa, nper, pago,,0)

VALOR PRESENTE (VP) VALOR FUTURO (VF)

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

VP = VA(tasa, nper, pago,,1) VF = VF(tasa, nper, pago,,1) Leyenda:

tasa : tasa de inters

nper : nmero de periodos

pago : anualidad

0 : anualidad vencida

1 : anualidad anticipada Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3

Anualidad Perpetua

Anualidad cuyos pagos iguales se espera que se prolonguen indefinidamente.

Este tipo de anualidad se presenta, cuando se coloca un capital y nicamente

se retiran los intereses.

0 1 2 3 4 5

6,000 6,000 6,000 6,000 6,000

0 2 4 6 8 10

3,200 3,200 3,200 3,200 3,200

Aos

0 3 6 9 12 15

800 800 800 800 800

Meses

Una anualidad perpetua de S/.6 mil a intervalos anuales.

Una anualidad perpetua de S/.3.2 mil a intervalos bianuales.

Una anualidad perpetua de S/.800 a intervalos trimestrales.

Aos

. . .

. . .

. . .


Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua

Solo existe el Valor Presente de una Anualidad Perpetua. El Valor

Final (Futuro) de una Anualidad infinita sera infinito.

12

VP = A 1 (1+i)-n

i

VALOR PRESENTE

VALOR FUTURO

Leyenda:

i : tasa de inters

n : nmero de periodos (n )

A : anualidad

lim n = A

1 (1+i)-n

i lim n

lim n = A

1 0

i =

A

i



La Anualidad Perpetua es un Mtodo interesante para calcular el Valor de

Rescate (Valor de Desecho) de un Proyecto de Inversin.

Cuando se quiere liquidar un Proyecto hay 3 Mtodos para calcular el

Valor de Rescate:

Mtodo Contable: Valor en libros de los activos del proyecto.

Mtodo Comercial: Valor de mercado de los activos del proyecto.

Mtodo Econmico: Valor de los Flujos Futuros que el proyecto

seguir generando (Anualidad Perpetua).

Este tercer mtodo es vlido cuando quin compra el proyecto, va a seguir

operndolo y no piensa liquidarlo.


Ejemplo 02


Juan le ofrece a su amigo Pedro el traspaso de su negocio, el cual actualmente

genera una utilidad neta de 2,000 soles mensuales. Pedro tiene una oportunidad de

inversin que le rendira 10% mensual. Cunto es lo mximo que debera pagarle

Pedro a Juan en caso aceptar comprarle el negocio?

Como Pedro Tiene una

Oportunidad de inversin de 10%

mensual, este sera el rendimiento

mnimo que debera esperar por la

compra del negocio de Juan.

Por lo tanto:

i = 10% = 0.1 mensual

Por otro lado, como el negocio

est estabilizado y generar de

manera constante una utilidad

neta de 2,000 soles mensuales, se

trata de una Anualidad Perpetua.

A = 2,000



Luego, lo que Pedro debe pagar

por el negocio de Juan es el Valor

Presente de una Anualidad Perpetua

de 2,000 soles mensuales a una Tasa

Mensual del 10%.

VP= A

i

Pedro debe pagar como mximo

20,000 soles.

Si Pedro paga ms de 20,000 soles NO

obtendra el rendimiento de 10% mensual

que espera y sera mejor para l invertir en

la otra oportunidad de negocio que tiene,

aunque esto afecte su amistad con Juan.

Aunque la idea de calcular el valor de

Rescate por el mtodo de la

Anualidad Perpetua es interesante,

adolece de una debilidad.

Cul cree que sea? y cmo la

corregira?


EJEMPLOS PROPUESTOS

Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes

anualidades:

Una anualidad diferida de S/.14.5 mil durante 7 aos a intervalos anuales.

Una anualidad diferida de S/.2.5 mil durante 10 aos a intervalos bianuales.

Una anualidad diferida de S/.750 durante 12 meses a intervalos

bimestrales.

* En todos los casos considerar una TEA de 10%.

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Valor Presente y Valor Futuro de Anualidad Regular (diferida)


Valor Presente y Valor futuro de Anualidad Inmediata o Anticipada

EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes

anualidades:

Una anualidad anticipada de S/.3.4 mil durante 15 aos a intervalos

anuales.

Una anualidad anticipada de S/.500 durante 12 meses a intervalos

mensuales.

Una anualidad anticipada de S/.1.8 mil durante 4 aos a intervalos

semestrales.

* En todos los casos considerar una TEA de 8%.

17 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin

3

Ejercicio 1

Explique:

a) Qu diferencia hay entre una anualidad regular y una anualidad inmediata?

b) En igualdad de condiciones Qu anualidad tiene mayor valor futuro: una anualidad

regular o una anualidad inmediata?Por qu?

c) Suponga un depsito de S/.7,500 al final de cada uno de los tres aos siguientes en una

cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres

aos?

d) Suponga un depsito de S/.7,500 al inicio de cada uno de los tres aos siguientes en una

cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres

aos?

e) Qu diferencia hay en el valor futuro de la anualidad de S/7,500 de acuerdo a los

resultados de c y d?


Ejercicio 2

19

Para la compra de un automvil que vale $25,000, se exige una cuota inicial del 40%

y el resto se cancela en cuotas mensuales, A cuanto ascender la cuota, si los

intereses son del 1.5% efectivo mensual?

Una persona arrienda una casa en $5,000 pagaderos por mes anticipado. Si tan

pronto como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo

mensual. Cul ser el monto de sus ahorros al final del ao?

El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $4,000, al principio

de cada mes, durante un ao. Si suponemos un inters del 12% nominal anual

capitalizable mensualmente. Cul ser el valor del pago nico que, hecho al

principio del contrato, lo cancelaria en su totalidad?


Ejercicio 3

20

Palma Industria S.A. requiere contar con oficinas, por un periodo de 10 aos, para ello

tiene dos alternativas, emplear el edificio A o emplear el edificio B. Ambos edificios

cumplen con las especificaciones que requiere la empresa, la diferencia radica en:

a) El edificio A requiere S/.5 millones cada ao como costo de mantenimiento y S/.6

millones cada 5 aos para reparaciones

b) El edificio B requiere S/.5.1 millones cada ao como costo de mantenimiento y

S/.1 milln cada 2 aos para reparaciones.

Suponiendo una TEA del 15% Cul de los edificios le resulta mas conveniente utilizar?


Ejercicio 4

Palma Industria S.A. desea adquirir un equipo de procesamiento para su planta. En la

lnea de tiempo mostrada a continuacin le presentan la serie de pagos (en dlares) que

debera hacer al inicio de cada ao, durante 5 aos. Palma Industria desea que le ayude

a sustituir esta serie de pagos por el equivalente a una serie de 5 pagos anuales:

a) Iguales anticipados

b) Iguales vencidos

21

0 1 2 3 4 5

10,000

Aos

10,000 10,000

5,000 5,000

TEA = 10%


Ejercicio 5

Se desea reunir un fondo de S/.100,000 mediante depsitos trimestrales de

S/8,000 cada uno. Si la TEA es 12%:

a) Cuntos depsitos completos de S/.8,000 deberan efectuarse?

b) Con que depsito final, hecho simultneamente con el ltimo depsito de

S/8,000 completara el fondo?

c) Con que depsito final, hecho un trimestre despus del ltimo depsito

de S/8,000 completara el fondo?


Ejercicio 6

Los padres de Jos instruyen para que se haga un deposito de $20,000 en el banco

cuando Jos cumpla 9 aos. Ello para que a partir de los 10 aos Jos empiece a

recibir todos los meses, a fin de mes, los intereses que genera el deposito hecho

por sus padres. Los intereses los recibir mientras Jos este vivo. La tasa de inters

efectiva mensual que paga el banco es 1%. Hoy es el cumpleaos nmero 8 de

Jos.

A cuando ascender el valor actual de todos los montos que recibir Jos?

A cuando ascender el valor futuro de todos los montos que recibir Jos?


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