TEHNIČKA TEHNIČKA MEHANIKA 1MEHANIKA 1

STATIKASTATIKA

II predavanjeII predavanje

II predavanjeII predavanje

ANALIZA SILAANALIZA SILAGEOMETRIJSKA STATIKAGEOMETRIJSKA STATIKA

I)I) SISTEM SILA SA SISTEM SILA SA ZAJEDNIZAJEDNIČKOM NAPADNOM ČKOM NAPADNOM

TAČKOMTAČKOM(SISTEM SUČELJNIH SILA)(SISTEM SUČELJNIH SILA)

POSTOJE TRI VRSTE ZADATAKA KOD POSTOJE TRI VRSTE ZADATAKA KOD SISTEMA SILA SA ZAJEDNISISTEMA SILA SA ZAJEDNIČČKOM KOM NAPADNOM TANAPADNOM TAČČKKOOMM::

1. SLAGANJE1. SLAGANJE-određivanje rezultante -određivanje rezultante (grafički, analitički)(grafički, analitički)2.2. RAVNOTEŽARAVNOTEŽA (grafički i analitički) (grafički i analitički)3.3. RAZLAGANJERAZLAGANJE sile na komponente sile na komponente (anailtički u prostoru, grafički i analitički u (anailtički u prostoru, grafički i analitički u ravni)ravni)

Neka je proizvoljni prostorni Neka je proizvoljni prostorni sistem sila, ali takav da se napadne linije tih sila sistem sila, ali takav da se napadne linije tih sila seku u istoj tački: seku u istoj tački: P. P. Ovakav sistem sila se nazivaOvakav sistem sila se nazivasistem centralnih silasistem centralnih sila, a tačka , a tačka PP je je centarcentar..

4321 ,,, FFFF

FF11

FF22FF33

PP

FF44

A3:A3:

FF11

FF22FF33

PP

FF44

Poligon silaPoligon sila

FF11

FF22

FF33 FF44

FFRR

predstavlja završnu predstavlja završnu stranicu poligona silastranicu poligona sila

FFRR

FF11

FF22

FF33 FF44

Kako se konstruiše?Kako se konstruiše?

FFRR

OOAA11

AA22

AA33

AA44

FF11 FF22 OAOA22++ ==

FF33 OAOA33++ ==OAOA22

FF44 OAOA44++ ==OAOA33

FF11 FF22++ ==FF33++ FF44++ OAOA44 FFRR==

OAOA22 OAOA33

,,,

,

zFZjFYiFX

kZjYiXF

kkkkkk

kkkk

),...,2,1( Nk

222kkkkk ZYXFF

k

kk

k

kk

k

kk

F

Z

F

Y

F

X cos,cos,cos

Podsećanje na razlaganje sile na pravce usvojenih Podsećanje na razlaganje sile na pravce usvojenih koordinatnih osa na primeru jedne od koordinatnih osa na primeru jedne od komponenatakomponenata:: kF

xx

yy

zz

OO

FFkk

Fk ’XXkk i i

YYkk j j

ZZkk k k

PP

QQ

PP’’

QQ’’

PP11

QQ11

PP33

QQ33

PP22QQ22

k

k

k

ZQP

YQP

XQP

33

22

11

rezultanta sistema sila sa zajednirezultanta sistema sila sa zajedničkom čkom napadnom tačkom jednaka je vektorskom napadnom tačkom jednaka je vektorskom zbiru svih sila i deluje u zajedničkoj napadnoj zbiru svih sila i deluje u zajedničkoj napadnoj tačkitački

FFRR

N

kkR FF

1

S druge straneS druge strane rezultanta se definiše kao rezultanta se definiše kao vektorski zbir komponenti:vektorski zbir komponenti:

,kZjYiXF RRRR

),...,2,1( Nk ((**))

((****))

Množeći jednačinu Množeći jednačinu ((**)) sa sa ii, j, k , j, k respektivno sledi: respektivno sledi:

N

kkR

N

kkR

N

kkR ZZYYXX

111

,,

222RRRRR ZYXFF

2

1

2

1

2

1

N

kk

N

kk

N

kkRR ZYXFF

R

RR

R

RR

R

RR

F

Z

F

Y

F

X cos,cos,cos

Analogno predhodnom razmatranju intenzitetAnalogno predhodnom razmatranju intenzitetrezultante se može pisati u obliku:rezultante se može pisati u obliku:

iliili

a kosinusi pravaca rezultante se računaju a kosinusi pravaca rezultante se računaju pomoću već pomenutih izraza:pomoću već pomenutih izraza:

FFRR

2. RAVNOTE2. RAVNOTEŽAŽAAnalitički uslovi ravnotežeAnalitički uslovi ravnoteže sistema sila sa sistema sila sa zajedničkom napadnom tačkomzajedničkom napadnom tačkom

00

00

00

0

1

1

1

N

kkR

N

kkR

N

kkR

R

ZZ

YY

XX

F

Grafički uslov ravnotežeGrafički uslov ravnoteže sistema sila sa sistema sila sa zajedničkom napadnom tačkom:zajedničkom napadnom tačkom:Ako je sistem sila sa zajedničkom napadnom Ako je sistem sila sa zajedničkom napadnom tačkom u ravnoteži onda je tačkom u ravnoteži onda je poligon sila zatvorenpoligon sila zatvoren

FF11

FF22 FF33

FF44

PPFF11

FF22

FF33

FF44

FF’’

FF’’’’

FF11 FF22 F’F’++ ==

FF33 F’’F’’++ == F’F’

FF44 00++ == F’’F’’ - - FF44== F’’F’’Prema A2 sledi Prema A2 sledi da je sistem silada je sistem silau ravnoteu ravnotežiži

U ravnoteži mogu biti najmanje:U ravnoteži mogu biti najmanje:• dve kolinearne siledve kolinearne sile

FF11

FF22FF11 FF22= -= -

FF11FF22

FF33

FF11 FF22 FF33++ ++ = 0= 0

xxyy

zz

OO

FF11FF22

FF33FF44

FF11 FF22 FF33 + F + F44++ ++ = 0= 0

• tri nekolinearne sile:tri nekolinearne sile:

•četiri nekomplanarne silečetiri nekomplanarne sile

Teorema o tri neparalelne sile:Teorema o tri neparalelne sile:Da bi sistem od tri neparalelne sile Da bi sistem od tri neparalelne sile koje deluju na neko kruto telo, koje deluju na neko kruto telo, i od kojih se napadne linijei od kojih se napadne linijedveju od njih seku, dveju od njih seku, bio bio uravnoteženuravnotežen potrebno je potrebno je da te sile obrazuju da te sile obrazuju ravan sistem sila sa ravan sistem sila sa zajedničkom napadnom tačkomzajedničkom napadnom tačkom

PrimerPrimer

(1)(1) (2)(2)

(3)(3)

FF

Ravnoteža četiri sile u ravniRavnoteža četiri sile u ravniData je sila , i napadne linijeData je sila , i napadne linije (1), (2) i(1), (2) i (3).(3).Treba odrediti sile duž datih Treba odrediti sile duž datih napadnih linija, tako da ove sile budu u ravnotežinapadnih linija, tako da ove sile budu u ravnoteži

FF11 FF22 FF33

FF

(1)(1) (2)(2)

(3)(3)

(k)(k)

FF

FF11

FF22

FF33

FF’’

- - FF’’FF11 FF22 FF33++ ++ = 0= 0FF ++

3.3.Razlaganje date sile na komponente Razlaganje date sile na komponente uu zajedničko zajedničkojj napadno napadnoj j tačktačkii

Uvodne napomeneUvodne napomene

PrvoPrvo: podsećanje na k: podsećanje na konvencijonvencijuu o smerovima o smerovima

Pozitivan matematPozitivan matematički smerički smer

NegativanNegativan matemat matematički smerički smer

++

--

Projekcija sileProjekcija sile na osu može se izraziti kao na osu može se izraziti kao skalarni proizvod vektora sile i jediničnog skalarni proizvod vektora sile i jediničnog vektora ose. Npr. , a s obzirom da je vektora ose. Npr. , a s obzirom da je "kosinus" parna trigonometrijska funkcija "kosinus" parna trigonometrijska funkcija može se napisati da je:može se napisati da je:

'cos)2cos(cos

'cos)2cos(cos

FFFjFY

FFFiFX

Ugao između odgovarajuće ose i Ugao između odgovarajuće ose i nekog nekog vektora vektora (recimo (recimo vektora vektora silesile)) određuje se tako što se jedinični vektor ose, i određuje se tako što se jedinični vektor ose, i vektor sile dovedu u isti početak (videti prvu među vektor sile dovedu u isti početak (videti prvu među donjim slikama). Ugao se meri od jediničnog vektora ka donjim slikama). Ugao se meri od jediničnog vektora ka vektoru sile u vektoru sile u pozitivnom matematičkom smeru. pozitivnom matematičkom smeru. Ovo je prikazano na Ovo je prikazano na sledećim sledećim slikamaslikama..

SliSliččno no predhodnoj predhodnoj slici na slici na sledećim sledećim slikama prikazani su slikama prikazani su slusluččajevi odreajevi određđivanja ugla ivanja ugla izme izmeđđu ose u ose OyOy i vektora sile. i vektora sile. Potpuno analogan postupak se primenjuje i za odrePotpuno analogan postupak se primenjuje i za određđivanje ivanje ugla ugla izmeizmeđđu ose u ose OzOz i vektora sile. i vektora sile.

3.3.Razlaganje date sile na komponente Razlaganje date sile na komponente uu zajedničko zajedničkojj napadno napadnoj j tačktačkii

Data je sila Data je sila koja deluje u ta koja deluje u tački čki PP. Kroz . Kroz istu tačku prolaze 3 nekomplanarne prave, istu tačku prolaze 3 nekomplanarne prave, čiji su jedinični vektori:čiji su jedinični vektori:

Potrebnoje odrediti sile i datim pravcima Potrebnoje odrediti sile i datim pravcima čija će rezultanta biti data sila čija će rezultanta biti data sila

),...,2,1(, Nknk

F

F

knjninn kkkk

coscoscos

kjinn kkkk

coscoscos1

xx

yy

nnxx

nnnnyy

coscos

coscos1

nn

nnn

y

x

jijninn yx

coscos

ii

jj

Primer u ravniPrimer u ravniProjekcije jediničnogProjekcije jediničnogvektora na pravcevektora na pravcekoordinatnih osakoordinatnih osa

nn

0cos,0cos

kkk nFF

kjiFnFnFnF

,,332211

FnFFFFFk

kkk

k

3

1

3

1321

FF

nn11 nn22

nn33

FF11 FF22

FF33

OO

ZYXF ;;

ZFFF

YFFF

XFFF

332211

332211

332211

coscoscos

coscoscos

coscoscos

321

321

321

32

32

32

1

coscoscos

coscoscos

coscoscos

coscos

coscos

coscos

Z

Y

X

F

321

321

321

31

31

31

2

coscoscos

coscoscos

coscoscos

coscos

coscos

coscos

Z

Y

X

F

321

321

321

21

21

21

3

coscoscos

coscoscos

coscoscos

coscos

coscos

coscos

Z

Y

X

F

0

coscoscos

coscoscos

coscoscos

321

321

321

321

nnn

Uslov nekomplanarnostiUslov nekomplanarnosti

U ravni:U ravni:

xx

yy

nn11

nn22

kk 2

2211

2211

2211

sincos,sincos

coscos

coscos

YFF

XFF

0coscos

coscos

21

2121

nn

Uslov nekolinearnosti:Uslov nekolinearnosti:

II)II)Sistem sila sa paralelnim napadnim linijamaSistem sila sa paralelnim napadnim linijama

1. Dve paralelne sile istog smera1. Dve paralelne sile istog smera

FF11

FF’’22

FF

AA BB

--FF

FF11

FF22

AA BB

FF’’11FFF

1'

1

)(2'2 FFF

FF22

Sistem sila sa paralelnim napadnim linijamaSistem sila sa paralelnim napadnim linijama

1. Dve paralelne sile istog smera1. Dve paralelne sile istog smera

FF11FF22 FF

AA BB

--FF

FF11

FF22

AA BBDD

FFRR

FF’’22FF’’11

2121'2

'1

'2

'1

)( FFFFFFFFF

FF

R

FF

--FF

FF11

FF22

FF’’11

FF’’22

FFRR

PoloPoložaj rezultantežaj rezultante

FF’’22

FF --FF

FF11

FF22

AA BB

FF’’11

FFRR

DD

aa ll

CC

Iz sličnosti trouglovaIz sličnosti trouglova

F

F

AD

CD

1

F

F

DB

CD

2

al

a

F

F

DB

ADFDBFADFCD

1

221

21 FalFa

21

2221

FF

FlaFlFFa

Rezultanta dve paralelne sile istog Rezultanta dve paralelne sile istog smera deluje po pravoj paralelnoj smera deluje po pravoj paralelnoj datim silama, deleći rastojanje između datim silama, deleći rastojanje između napadnih linija sila u odnosu koji je napadnih linija sila u odnosu koji je obrnuto proporcionalan intenzitetu obrnuto proporcionalan intenzitetu sila:sila:

21

2

FF

Fla

FF11

FF22AA

BB

22. Dve paralelne sile. Dve paralelne sile suprotnihsuprotnih smer smerovaova

FF’’22

FF

--FFFF’’11FFF

1

'1

)(2'2 FFF

FF11

AA

BB

FF22

CC

22. Dve paralelne sile. Dve paralelne sile suprotnihsuprotnih smer smerovaova FF’’22FF

--FF

FF11

FF22AA

BBFF’’11

FF11

AA

BB

FF22

FFRR

DD

CC

FF

FF11

FF22

--FF

FFRR

2121'2

'1

'2

'1

)( FFFFFFFFF

FF

R

FF’’11

FF’’22

Položaj rezultantePoložaj rezultante

CC

DDFF

--FF

F

F

AD

CD

1

F

F

DB

CD

2

21 FDBFADFCD

aa ll

Iz sličnosti trouglovaIz sličnosti trouglova

FF’’22

FF’’11

FF11

FF22

AA BB FF22

FF

FF

FF11

al

a

F

F

DB

AD

1

2

21

2

FF

Fla

Rezultanta dve paralelne sile suprotnih smerova, Rezultanta dve paralelne sile suprotnih smerova, ima smer sile većeg intenziteta, a intenzitet joj je ima smer sile većeg intenziteta, a intenzitet joj je jednak razlici jednak razlici

pa je za:pa je za:Rezultanta deluje sa strane sile većeg intenziteta, Rezultanta deluje sa strane sile većeg intenziteta,

ima smer veće sileima smer veće sile, pri tome je odnos rastojanja , pri tome je odnos rastojanja napadne linije rezultante od napadnih linija sila napadne linije rezultante od napadnih linija sila obrnuto proporcionalan njihovim intenzitetima:obrnuto proporcionalan njihovim intenzitetima:

21 FFFR

2121 , FFFFF R

3. Spreg sila3. Spreg silaAko jeAko je 21 FF

'2

'1 FF

tada je tatada je tačka C u čka C u beskonačnosti.beskonačnosti.

FF11

FF22AA

BB

FF’’22

FF

--FFFF’’11

CC FF11

AA

BB

FF22

FF

--FF

Spreg silaSpreg sila predstavlja sistem od dve sile jednakog predstavlja sistem od dve sile jednakog intenziteta i pravca, a suprotnih smerova koje intenziteta i pravca, a suprotnih smerova koje deluju duž različitih napadnih linija.deluju duž različitih napadnih linija.FF --FF - - su spresu sprežnežne sil sileeii

nn

FF

--FF

rr

909000

909000

ll

ll – – normalno rastojanje između linija dejstva normalno rastojanje između linija dejstva sprežnih sila se zove sprežnih sila se zove krak sprega krak sprega

Elementi sprega:Elementi sprega:1. 1. Intenzitet:Intenzitet: 2. 2. RavanRavan određena vektorima određena vektorima ii3. 3. Smer obrtanjaSmer obrtanja sprega je isti kao sprega je isti kao smer obrtanja smer obrtanja da se poklopi sa da se poklopi sa najkraćim putem najkraćim putem

rrFF

FFrr

FrFl

sin

nn

FF

--FF

rr

909000

909000

ll

Ilustracija za Ilustracija za smer obrtanjasmer obrtanja sprega. sprega. Važno je napomenuti da je vektor Važno je napomenuti da je vektor

uvek usmeren od ka uvek usmeren od ka rr

--FF FF

nn

Sva tri elementa sprega sila se mogu definisati Sva tri elementa sprega sila se mogu definisati vektorom momenta spregavektorom momenta sprega

rr

--FF

FF

FrM

nn

xx

yy

zz

OO

AA

BB

aa

aa

aa

FF

FrM

jFkiaM

ikFaM

kiar

kaiar

ABr

Primer:Primer:

ii

jjkk

ii

jjkk

ii

jjkk

kji

ikj

jik

FF

--FF

Ekvivalencija dva sprega u istoj ravniEkvivalencija dva sprega u istoj ravni

--FF’’

FF’’FF11

--FF11

ll11

FF11

--FF11

ll

FF

--FFAA

BB

AA

BB

AA

BB

((AA3)3)

FF

--FF

IIz sličnosti trouglova:z sličnosti trouglova:

--FF’’

FF’’FF11

--FF11

ll11

ll

AA

BB

Spreg Spreg ((FF, -, -FF)) je je statički ekvivalentan spregustatički ekvivalentan spregu ((FF11 , -, -FF11 )) . Dakle, vektor momenta sprega je . Dakle, vektor momenta sprega je

slobodan u svojoj ravni. slobodan u svojoj ravni.

1

1

F

F

l

l

FlFl

11

Napomena:Napomena: Spreg Spreg ((FF’’, -, -FF’’)) je je

takotako izabran izabran da bude da bude FF

FF11

FF

1

FF

--FF

Ekvivalencija spregova u dve paralelne ravniEkvivalencija spregova u dve paralelne ravni

AA BB

FF

--FF

AA11BB11

FF

--FF

SS

-2-2FF

22FF

((AA3)3)

FF

--FF

ZakljuZaključak:čak:

AA BB

FF

--FF

AA11BB11

Vektor momenta Vektor momenta sprega je slobodan sprega je slobodan

vektor u delu prostora vektor u delu prostora koji zauzima koji zauzima posmatrano kruto teloposmatrano kruto telo

FF11

--FF11

Sabiranje spregovaSabiranje spregovaSabiranje spregova u različitim ravnima: Sabiranje spregova u različitim ravnima:

FF22

--FF22

rr11

rr22

LL LL

FrFrM

FrFrM

,,

222

,111

LL LL

222,,

111,

MFrFr

MFrFr

FF

--FFFF

--FF

rrrr’’

rr’’’’

12,,, )( MMFrrMR

Vektori momentaVektori momenta spregova spregova sabiraju se kao sabiraju se kao slobodni vektorislobodni vektori

N

kkR

N

kkR

N

kkR

MnMn

nMM

MnMnMM

nMM

1

1

122

11

U istoj ravni:U istoj ravni:

)( 21

21

2222

1111

21

FFM

MMM

FFM

FFM

R

R

RavnoteRavnoteža spregova. ža spregova. Dati su vektori i Dati su vektori i istog smera. Oni se mogu transformisati u istog smera. Oni se mogu transformisati u

spregove sa istim krakom:spregove sa istim krakom:

MM11 MM22

FF22

--FF22

22

FF11

--FF11

11

AA11

BB11

AA22

BB22

212121 0 MMMFFFF R

Ako jeAko jeDva sprega se svode na ravnotežni sistem, ukoliko Dva sprega se svode na ravnotežni sistem, ukoliko

je njihov zbir jednak nuli. je njihov zbir jednak nuli. Dakle, dva sprega mogu biti u ravnoteži samo Dakle, dva sprega mogu biti u ravnoteži samo

ukoliko su im vektori momenata paralelni, ukoliko su im vektori momenata paralelni, jednakog intenziteta i suprotnog smera.jednakog intenziteta i suprotnog smera.

FF22

--FF22

22

FF11

--FF11

11

AA11

BB11

AA22

BB22

FF11

--FF11==

==

Za Za NN spregova vazi: spregova vazi:

0,,011

N

kkkk

N

kk MMnMM

- ako su svi spregovi u jednoj ravni- ako su svi spregovi u jednoj ravni

U ravnoteži mogu biti:U ravnoteži mogu biti:• 2 kolinearna vektora momenta sprega2 kolinearna vektora momenta sprega

• 3 komplanarna (ne kolinearna) vektora momenta sprega3 komplanarna (ne kolinearna) vektora momenta sprega

• 4 ne komplanarna4 ne komplanarna

FFPP

REDUKCIJA SILE NA TAČKUREDUKCIJA SILE NA TAČKU

FF

FF PP A3:A3:-F-Frr

AA

AtackiuF

i

FrM A

)(

FF

FF

PP

AAMM(A)(A)

Mehanički uticaj sile Mehanički uticaj sile FF na kruto telo, duž na kruto telo, duž njene napadne linije u tački njene napadne linije u tački PP, može se , može se

mehanički ekvivalentno zameniti silom mehanički ekvivalentno zameniti silom FF čija je napadna linija premeštena u čija je napadna linija premeštena u

tačku tačku AA i spregom sila: i spregom sila:

U poslednjem slučaju kaže se da je U poslednjem slučaju kaže se da je izvršena redukcija sile izvršena redukcija sile FF na tačku na tačku AA..

FAPM A )(

Pri redukciji se dobija redukcioni Pri redukciji se dobija redukcioni momentmoment, , MM(A)(A),, sile sile F F za taza tačku čku AA. Za . Za razliku od sprega sila, razliku od sprega sila, redukcioni redukcioni

moment nije slobodan vektormoment nije slobodan vektor, i vezan je , i vezan je za redukcionu tačku.za redukcionu tačku.

Zavisnost redukcionog momenta Zavisnost redukcionog momenta MM(A)(A),, od od izbora tačke izbora tačke AA. .

FF

--FFFF

--FF

rr 11rr

aaFF

AA

AA11

PP

FaMM

FaFrM

FarFrM

FAPFrM

AA

A

A

A

)()(

)(1

)(

)(

1

1

1

aF

)()( 1 AA MM

Za Za važi za sve momente važi za sve momente jednakostjednakost

Redukcioni moment je slobodan vektor,Redukcioni moment je slobodan vektor, duž prave paralelne sa napadnom duž prave paralelne sa napadnom

linijom sile.linijom sile. Svakoj pravoj paralelnoj sa Svakoj pravoj paralelnoj sa silom silom FF odgovara po jedan vektor odgovara po jedan vektor

redukcionog momenta sile. redukcionog momenta sile.

FF

aaAAAA11

)()( 1AA MM

aF

Statički moment sile = Redukcionom Statički moment sile = Redukcionom momentu silemomentu sile

FF

rr

AA((xxAA, y, yAA, z, zAA))xx

yy

zz

OOFF

MM(O)(O)

PP

.

PP((x,y,zx,y,z) ) [[mm]]F=X i + Y j + Z kF=X i + Y j + Z k [ [kNkN]] mmMM(O) (O) = r = r FF

.

ZYX

zyx

kji

FrM O

)(

yXxYkxZzXjzYyZiM O )(

kzzjyyixxr APAPAP

Ako je Ako je AA redukciona ta redukciona taččka tada vaka tada važi:ži: