Statistik dan Probabilitas 3 · Statistik dan Probabilitas 5 Jadi populasi merupakan grup yang memungkinkan dibuatnya perencanaan untuk mengambil langkah-langkah tindakan berdasarkan

Statistik dan Probabilitas 3


BAB II

TEKNIK SAMPLING

II.1. Pengertian Sampling dalam Industri

Dalam industri banyak pengukuran diambil dari basis data. Sebelum langkah

diambil, data perlu dikumpulkan dahulu. Misalnya data yang diperlukan untuk

mengontrol temperatur, tekanan, kecepatan dan waktu dalam usaha

mempertahankan standar operasi dari peralatan. Data juga perlu untuk

mengontrol nilai karakteristik dari bahan dan produk, misalnya tentang

beratnya, besarnya, intensitasnya, kompisisi dari bahannya, dan sebagainnya.

Akhirnya begitu juga mengenai efisiensi, produk, fraction defectives dan biaya

dapat disebut data. Data itu menunjukkan situasi proses dari suatu produk,

bukan merupakan kualitas dari lot (kumpulan).

Dalam banyak hal data itu diperoleh melalui sampling. Tentu saja tidak

mungkin dilakukan pemeriksaan pada setiap produk, tetapi dengan pengambilan

sampel dan kemudian dibuat estimasi untuk keseluruhan lot. Menurut Standard

Industri Jepang (JISZ 8101 “Glosary of Term Used in Quality Control”) definisi

sampel ialah bagian yang diambil dari suatu populasi untuk tujuan tertentu.

Perhatikan gambar 2.1 sampel ditarik dari lot sutau produk yang sudah selesai

untuk mempelajari karakteristik dari keseluruhan lot.

Sampel yang ditarik dari lini produksi (production line) untuk menentukan

kondisi proses pada lini tersebut, mempertimbangkan metode proses yang akan

datang, dan untuk memperoleh data sebagai dasar pengambilan langkah-langkah

suatu tindakan.

Gambar 2.1 Hubungan antara populasi, sampel dan data


Jadi populasi merupakan grup yang memungkinkan dibuatnya perencanaan

untuk mengambil langkah-langkah tindakan berdasarkan sampel atau data yang

ditarik daripadanya.

Pada gambar 2.1 (a) ditunjukkan bahwa dalam hal langkah-langkah tindakan

pada proses produksi, populasi dipertimbangkan dalam kondisi proses yang

pasti. Produk dihasilkan oleh suatu proses pembuatan yang tidak terbatas

(infinite population). Hal ini merupakan obyek dari kontrol proses dan analisis.

Pada gambar 2.1 (b) ditunjukkan langkah-langkah kegiatan pada lot. Jumlah lot

selalu terbatas, misalnya 100 ton batubara, atau 50 batang pensil. Populasinya

dinamakan populasi terbatas (finite population). Hal ini merupakan objek dari

inspeksi dan evaluasi kualitas. Oleh karena itu tujuan pengumpulan data dari

sampel yang ditarik dari suatu populasi adalah untuk mengetagui lebih jauh

tentang keadaan yang sebenarnya dari populasi itu, dan langkah-langkah

selanjutnya dapat diambil dengan tepat.

II.2. Dasar Pemikiran Ststistik dan Sampling

Data yang dikumpulkan tidak seluruhnya sama, tetapi selalu mengandung

dispersi. Data tak terbatas disebabkan oleh dispersi dalam proses pembuatan

(manufaktur). Meskipun kondisi produksi ada dalam keadaan terkendali (state of

control) bebrapa dispersi tidak dapat dihindari, misalnya dispersi diantara lot,

diantara produk dalam lot yang sama, dan lain-lain.

Oleh karena dispersi itu terjadi pada suatu lot atau pada proses, jadi dispersi itu

memperlihatkan suatu distribusi frekuensi. Ada beberapa cara pengukuran

distribusi frekuensi. Apabila nilai rata-rata dan jumlah yang memperlihatkan

dispersi (varians atau deviasi standar) dapat diketemukan, biasanya gambaran

mengenai distribusi dapat ditentukan.

Apabila populasi menunjukkan distribusi frekuensi, random sampling

(pengambilan sampel secara acak) dengan tepat harus tetap dipertahankan,

artinya jangan sampai hanya memilih barang yang baik saja atau yang jelek saja,

dan jangan mengambil sampel hanya dari satu bagian dari lot. Sampel harus

benar-benar representatif ditarik dari suatu lot.


Untuk mengevaluasi suatu lot dapat dengan cara mengestimasi distribusi

frekuensi lot tersebut, yaitu mengenai nilai rata-rata dan dispersi distribusi, akan

tetapi pertimbangan ekonomi dan teknik sangat berat untuk memeriksa seluruh

lot. Untuk mengatasinya dapat ditarik sampel dari lot tersebut, diukurnya dan

kemudian diestimasi nilai rata-rata dan dispersinya. Hal ini berarti dalam

sampling faktor-faktor ekonomis, teknis dan statistik harus benar-benar

dipertimbangkan. Kondisi untuk sampling harus :

(1) Benar,

(2) Dapat dipercaya,

(3) Cepat dan

(4) Ekonomis.

Nilai data yang diambil dari sampel berbeda dengan nilai data dari populasi.

Agar tidak membingungkan diberi simbol-simbol yang berbeda seperti pada

tabel 2.1

Tabel 2.1 Populasi, sampel dan data

Populasi Sampel Nilai rata-rata rata-rata populasi

µ rata-rata sampel

X Varians varians populasi

σ2

varians sampel S2

Deviasi Standar deviasi standar populasi σ

deviasi standar populasi S

II.3. Random Sampling (Sampling Secara Acak)

(1) Kondisi untuk random sampling

Suatu sampel dikatakan random, apabila setiap unit yang berada di dalam

populasi mempunyai kesempatan yang sama (mempunyai probabilitas

yang sama) untuk diikutsertakan dalam sampel yang bersangkutan.

Random sampling dari suatu populasi adalah tidak mudah. Misalmya

memilih sampel secara random dari suatu yang terbungkus bukan saja sulit

tetapi juga mahal. Pengambilan sampel dari 100.000 ton bijih besi halus

sedang diangkut dalam konveyor.


(2) Metode random sampling

a) Random Sampling Sederhana

Dengan menggunakan “Tabel Random Number” (lihat pada lampiran

tabel)

Misalnya pengambilan sampel sebanyak 20 unit dari produk sebanyak

600 unit.

1. Berilah nomor urut unit dari 001 s/d 600

2. Tentukan secara random tempat mulainnya pemakaian tabel, yaitu

kelompok ribuan, baris dan kolom. Misalnya pada ribuan ke-1,

baris ke-20, dan kolom ke-18. jadi angka-angkanya adalah :

794 500 065

718 788 525

637 942 631

265 327 315

806 930 905

386 557 307

762 695 dan seterusnya sampai terkumpul

40 buah

3. batalkan nomor-nomor yang lebih besar dari 600. apabila nomor

yang tidak dibatalkan muncul kedua kalinya, nomor itu harus

dibatalkan

b) Sampling Sistematis

Misalkan akan ditarik 5 unit sampel dari 150 unit produk. Berilah

nomor urut pruduk tersebut dari 1 s/d 150. interval pengambilan

sampel adalah 30

1, jika nomor pertama yang terpilih adalah 5, maka

nomor berikutnya yang dipilih adalah :

5, 35, 65, 95, 125


II.4. Sampling Error

Bila diuji seluruh lot setelah dilakukan sampling dan diketemukan nilai sampel

yang berbeda dibandingkan dengan nilai lot berarti telah terjadi sesuatu

kesalahan (error). Kesalahan dapat dibagi dalam 2 kategori :

(1) Bias

Bias terjadi bila terdapat perbedaan antara rata-rata sampel dan rata-rata

populasi. Biasanya karena sampling yang kurang merata. Misalnya

sampling pada bijih besi hanya pada bijih besi yang besar-besar saja.

Keadaan ini sedapat mungkin harus dihindari. Perhatikan gambar 2.2

dibawah ini :

Gambar 2.2 Bias

(2) Dispersi (ketelitian)

Nilai sampel yang diambil berulang-ulang dari suatu lot digambarkan

dalam suatu histogram. Deviasi standar dari histogram itu menentukan

tingkat ketelitian tertentu.

(3) Sampling Error

Bias yang tidak terkontrol, dispersi atau keduanya dan sampel yang tidak

terkontrol akan mnyebabkan terjadinya error. Untuk mencapai tingkat

kepercayaan, pengontrolan terhadap proses harus tetap dipertahankan. Hal-

hal yang diperlukan adalah :

a) Analisis benyebab bias, dan jaminan ketelitian.

b) Adanya instruksi pengontrol penyebab terjadinya kesalahan.

µ

x

µ = population mean

x = sample mean

µ x

(a) Large bias (b) Small bias


c) Dibuatkannya instruksi tertentu yang dapat diikuti oleh pelaksana

produksi.

d) Pengontrolan terhadap instrumen ukur dan peralatan.

II.5. Tipe-tipe Sampling

(1) Tipe random sampling

Mengambil sampel secara random dari keseluruhan lot (gambar 2.3)

Gambar 2.3 Random Sampling

(2) Sampling dua tingkat

Pada tahap pertama, sampel pertama diambil dari lotnya. Pada tahap kedua

sampel diambil dari sampel pertama. Metoda ini biasanya digunakan

dalam suatu pabrik (gambar 2.4)

Gambar 2.4 Sampling dua tahap

(3) Stratified sampling

Lot dibagi dalam beberapa strata (lapisan) dan pada tiap-tiap strata diambil

sampel. Setiap strata dianggap homogen (gambar 2.5)

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

xxx

ooo

*** x * o

x x o * o * x o o x o * x o x * x o


Gambar 2.5 Stratified Sampling

(4) Cluster sampling

Pada suatu pabrik yang produknya dijadikan objek sampling, metode ini

jarang digunakan. Jika metode ini tidak dilaksanakan dengan hati-hati

dapat menurunkan ketelitian dan manimbulkan bias. Agar cara cluster ini

berjalan dengan baiksemua bagian dari lot harus terwakili dalam proporsi

yang sama. (gambar 2.6)

Gambar 2.6 Cluster Sampling

(5) Selected sampling

Untuk mendapatkan nilai rata-rata dari suatu lot lebih baik melakukan

sampling yang representatif dari seluruh lot. Suatu sampel dapat diambil

dari suatu bagian khusus dan berdasarkan nilai dari sampel itu, nilai lot

dapat diestimasi.

Misalnya selected sampel diambil pada waktu tertentu, pada sisi konveyor

tertentu, dan sebagainya. Selected sampling relatif lebih tepat daripada sampel

random sederhana dan metode ini adalah lebih mudah dan ekonomis meskipun

tetap mengandung bias dari rata-rata populasi.

oooooooo

********

xxxxxxxx

* o x o * x x o *


BAB III

DISTRIBUSI FREKUENSI

III.1. Pendahuluan

Data yang dikumpulkan biasanya tidak teratur. Salah satu cara untuk

mengatur/menyusun/meringkaskan data ialah dengan membentuk distribusi

frekuensi (frequency distribution). Distribusi frekuensi menurut jenis data

dibagi dalam 2 golongan :

a) Distribusi frekuensi bilangan (numerical frequency distribution)

Contoh

Angka ujian

0.0 – 19.50

19.51 – 40.50

40.51 – 59.50

59.51 – 79.50

79.51 – 100.00

Jumlah Siswa

3

10

20

12

5

Jumlah 50

b) Distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution)

Contoh : berdasarkan kemampuan produksi

Mesin gergaji

Terzago tipe T-14

Terzago tipe F-30

Terzago tipe F-35

Frekuensi (buah)

30

35

25

Jumlah 90

III.2. Pembentukan Histogram

Data pada tabel 3.1 menunjukkan ketebalan (mm) dari 100 buah blok metal

yang merupakan bagian-bagian dari suatu peralatan optik.


Tabel 3.1 Ketebalan blok metal (mm)

Data XL Xs

3.56° 3.46 3.48 3.50 3.42* 3.43 3.52 3.49 3.44 3.50 3.56 3.42 3.48 3.56° 3.50 3.52 3.47 3.48 3.46 3.50 3.56 3.38* 3.56 3.38 3.41 3.37* 3.47 3.49 3.45 3.44 3.50° 3.49 3.46 3.46 3.50 3.37 3.55° 3.52 3.44* 3.50 3.45 3.44 3.48 3.46 3.52 3.46 3.55 3.44 3.48 3.48 3.32 3.40 3.52° 3.34 3.46 3.43 3.30* 3.46 3.52 3.30 3.59 3.63° 3.59 3.47 3.38 3.52 3.45 3.48 3.31* 3.52 3.63 3.31 3.40* 3.54 3.46 3.51 3.48 3.50 3.68° 3.60 3.46 3.52 3.68 3.40 3.48 3.50 3.56° 3.50 3.52 3.46* 3.48 3.46 3.52 3.56 3.56 3.46 3.52 3.48 3.46 3.45 3.46 3.54° 3.54 3.48 3.49 3.41* 3.54 3.41 3.41 3.45 3.34* 3.44 3.47 3.47 3.41 3.48 3.54° 3.47 3.54 3.34

Keterangan : ° = nilai terbesar pada baris

* = nilai terkecil pada baris

Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa dengan N = 100 diperoleh nilai terbesar

(XL) = 3,68 dan nilai terkecil (XS) = 3,30

Setelah data diatas digambarkan secara grafis akan tampak bentuk

kecenderungannya. Dari sekian banyak macam grafik yang paling umum

adalah histogram (gambar 3.1)

Cara membuat histogram (lihat tabel 3.1)

(1) Hitung jumlah data

(2) Bagi data itu dalam 10 sub grup. Catat atau tandai nilai terbesar dan

terkecil pada tiap sub grup. Kemuadian catat atau tandai nilai terkecil dan

terbesar dari grup itu (dari keseluruhan).

Dalam hal ini nilai terbesar grup adalah XL = 3,66 dan terkecil XS = 3,30

(3) Range (R) dari seluruh data adalah SL xxR −= 3,68 – 3,30 = 0,38.

Range dapat didistribusikan kedalam setiap kelas. Jumlah kelas ditentukan

berdasarkan tabel 3.2

Tabel 3.2 Ketentuan jumlah kelas

Jumlah Data (N) Jumlah Kelas (K)

50

50 – 100

100 – 250

250

5 – 7

6 – 10

7 – 12

10 – 20


Untuk N = 100 dipilih K = 10 (atau 9)

Interval Kelas : 038,010

38,0 ==−

=K

xxh SL

(4) Interval kelas (h) harus 2 angka dibelakang koma, atau unit

pengukurannya adalah 0,01. Dengan demikian h dibulatkan menjadi 0,04

atau untuk mempermudah tentukan saja h = 0,05

(5) Batas kelas ditentukan untuk membuat histogram. Jika hasil pengukuran

tepat dibatas kelas akan menyulitkan. Untuk menghindari itu unit batas

diambil setengah dari unit pengukuran, jadi unit batas adalah 0,005. Lebar

bar (batas kelas) menjadi 3,275 – 3,325 ; 3,325 – 3,375 dan selanjutnya

lihat tabel 3.3

Tabel 3.3 Tabel Frekuensi

No Batas Kelas Nilai Tengah Tally Frekuensi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,275 – 3,325 3,325 – 3,375 3,375 – 3,425 3,425 – 3,475 3,475 – 3,525 3,525 – 3,575 3,575 – 3,625 3,625 – 3,675 3,675 – 3,725

3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70

III III IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII III IIII IIII III I I

3 3 9 32 38 10 3 1 1

Berdasarkan tabel 3.3 histogram dapat dibuat seperti diperlihatkan pada

gambar 3.1

Pada histogram harus dicantumkan tentang jumlah data (N), nomor mesin,

nilai rata-rata (x ), deviasi standar sampel (s), dan tarik pula garis limit

spesifikasi bawah (lower specification limit, LSL) dan limit spesifikasi

atas (upper specification limit, USL). Pada gambar 3.1 telah dicatat N =

100 ; x = 3,476 ; s = 0,065 ; LSL = 3,28 ; USL = 3,6 dan mesin no. 2


Gambar 3.1

Histogram ketebalan blok metal

III.3. Nilai rata-rata

Yang dimaksud dengan nilai rata-rata disini adalah nilai rata-rata hitung. Nilai

rata-rata inilah yang paling sering digunakan. Nilai rata-rata lain adalah nilai

rata-rata ukur dan nilai rata-rata harmonis.

Nilai rata-rata adalah :

(1) Nilai disekitar sebaran data yang berupa angka-angka

(2) Suatu harga yang dapat dipakai untuk mewakili sekumpulan data

(3) Ukuran tendensi pertengahan (measure of central tendency)

Jenis nilai rata-rata hitung :

a) Rata-rata hitung data tak tersusun

Bila x1, x2, .........., xn terdiri dari n buah nilai dari variabel x, nilai rata-

ratanya :

n

xxxxx n++++

=.......321

Mesin no. 2 N = 100

x = 3,476 S = 0,065

mm 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3

40 –

30 –

20 –

10 –

LSL = 3,28 USL = 3,6


atau :

∑∑==

==n

ii

n

i

i xnn

xx

11

1

Cara lain yang lebih umum dengan menggunakan frekuensinya. Bila

bilangan-bilangan x1, x2, .........., xn masing-masing terdapat sebanyak

f1, f2, .........., fn rata-rata hitungnya adalah :

n

nn

fff

xfxfxfxfx

+++++++

=.......

.......

21

332211

b) Rata-rata hitung data tersusun

Dalam distribusi frekuensi nilai-nilai tidak diperhitungkan satu persatu

melainkan dalam kelas-kelas. Pada umumnya nilai tengah kelas mewakili

kelas itu (tabel 3.4)

Tabel 3.4 Nilai Tengah

No Batas Kelas Nilai Tengah (xi)

Frek (fi)

xi fi

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,275 – 3,325 3,325 – 3,375 3,375 – 3,425 3,425 – 3,475 3,475 – 3,525 3,525 – 3,575 3,575 – 3,625 3,625 – 3,675 3,675 – 3,725

3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70

3 3 9 32 38 10 3 1 1

9,90 10,05 30,60 110,40 133,00 35,50 10,80 3,65 3,70

Σ 100 347,60

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

f

fxx

1

1

476,3100

60,347 ==x

Pers. 3.1

Pers. 3.2

Pers. 3.3


Menghitung rata-rata hitung dengan cara duga

Misalkan M = harga rata-rata duga

di = selisih antara nilai tengah kelas ke-i dengan M atau

di = xi – M

)( Mxfdf iiii −=

∑ ∑ −= )( Mfxfdf iiiii

∑∑ ∑ += iiiii dffMxf atau,

∑ ∑+= iiii dfnMxf sedangkan

n

xfx ii∑= atau ∑= ii xfxn

Jadi :

∑+= iidfnMxn atau

∑+= iidfn

Mx1

Berdasarkan persamaan diatas dibuat tabel rata-rata duga (tabel 3.5)

Tabel 3.5 Rata-rata duga

No Nilai Tengah (xi)

M di Frek (fi)

fi di

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70

3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50

-0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

3 3 9 32 38 10 3 1 1

-0,60 -0,45 -0,90 -1,60 0,00 0,50 0,30 0,15 0,20

Σ 100 -2,40

476,3024,050,3)40,2(100

150,3 =−=−+=x

Jenis nilai rata-rata lainnya adalah rata-rata ukur dan rata-rata harmonis

Nilai rata-rata ukur :

Pers. 3.4


∑=

=∗∗=n

iin xxxxU

121 .......

atau

)log......log(log1

log 21 nxxxn

U +++=

∑=

=n

iix

nU

1

log1

log

Nilai rata-rata harmonis :

∑=

+++=

in xnxxxn

H11

1

)1

...............11

(1

1

21

∑=

=

n

i ix

nH

1

1

III.4. Ukuran Penyebaran

a) Range ; selisih antara nilai terkecil dan nilai terbesar dalam suatu deretan

nilai

Contoh : 3,56 3,46 3,50 3,42 3,43 3,52 3,49 3,44 3,50

Range (R) = 3,56 – 3,42 = 0,14

b) Deviasi (simpangan) rata-rata

Diketahui sekumpulan data x1, x2, .........., xn mempunyai rata rata hitung 0,

jadi deviasi antara nilai-nilai itu dengan harga rata-ratanya adalah :

(x1 - 0), (x2 - 0), ...................,(xn - 0)

Harga mutlaknya adalah :

Pers. 3.6

Pers. 3.5

Pers. 3.7


|x1 - 0|, |x2 - 0|, ...................,|xn - 0| = ∑=

−n

ii xx

1

Jadi deviasi (simpangan) rata-rata untuk :

Data tidak tersusun

∑ −= xxn

SR i

1

Data tersusun

∑ −= xxfn

SR ii

1

Contoh

Tabel 3.6 Simpangan rata-rata dengan harga mutlak

No Kelas Nilai Tengah

(xi) Frek (f i)

Nilai rata-rata (0)

|xi - 0| fi |xi - 0|

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3,275 – 3,325 3,325 – 3,375 3,375 – 3,425 3,425 – 3,475 3,475 – 3,525 3,525 – 3,575 3,575 – 3,625 3,625 – 3,675 3,675 – 3,725 3,725 – 3,775

3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75

3 3 9 32 38 10 3 1 1 0

3,476 3,476 3,476 3,476 3,476 3,476 3,476 3,476 3,476 3,476

0,176 0,126 0,076 0,026 0,024 0,074 0,124 0,174 0,224 0,274

0,528 0,378 0,684 0,832 0,912 0,740 0,372 0,174 0,224 0,000

Σ 100 4,844

∑ −= xxfn

SR ii

1

04844,0100

844,4 ==SR

c) Deviasi Standar (standard deviation)

1. Data tak tersusun

Varians adalah pangkat 2 simpangan-simpangan anatara nilai-nilai

pengamatan dengan rata-rata hitung dari kumpulan data itu.

Pers. 3.8.a

Pers. 3.8.b


Varians :

∑=

−=n

ii xx

ns

1

22 )(1

Untuk mengembalikan varians itu kepada ukuran simpangan, nilai

varians itu harus diakar pangkat 2. nilai yang diperoleh disebut deviasi

standar (s).

Deviasi standar :

∑=

−=n

iin xxs

1

21 )(

Cara khusus (short method) untuk memperoleh deviasi standar tanpa

melalui perhitungan harga rata-rata lebih dahulu, sebagai berikut :

[ ]∑=

+−=n

iii xxxx

ns

1

22 )(21

∑ ∑= =

+−=n

i

n

iii xx

n

xx

n 1

2

1

2 )(21

22

1

2 )()(21

xxxn

n

ii +−= ∑

=

2

1

2 )(1

xxn

n

ii −= ∑

=

2

1

1

21

−=∑

∑ =

= n

xx

n

n

iin

ii

2. Data tersusun

Varians :

∑=

−=n

iii xxf

ns

1

22 )(1

Pers. 3.9

Pers. 3.10

Pers. 3.11

Pers. 3.12


Dengan :

n : jumlah pengamatan di dalam pecaran frekuensi

k : jumlah kelas

xi : nilai tengah kelas ke-i

0 : harga rata-rata hitung

fi : frekuensi kelas ke-i

Deviasi standar :

∑=

−=n

iii xxf

ns

1

2)(1

Dengan cara yang sama dengan persamaan (3.10) dan (3.11),

persamaan (3.13 dapat diubah menjadi :

2

11

2

−=∑∑

==

n

xf

n

xfs

n

iii

n

iii

Persamaan (3.14) ini dapat dipakai untuk menghitung nilai deviasi

standar dengan tidak lebih dahulu menghitung nilai harga rata-rata

hitung.

Disamping persamaan (3.10) dan (3.14) dapat digunakan persamaan

(3.15) berikut :

2

11

2

−∗=∑∑

==

n

Uf

n

Ufis

n

iii

n

iii

Dengan :

i : selisih antara nilai tengah yang berdekatan

Ui : variabel dengan nilai -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 (letak 0

ditengah-tengah kelas)

Pers. 3.13

Pers. 3.14

Pers. 3.15


Contoh :

Tabel 3.7 Nilai tengah dengan variabel U

No. Nilai

Tengah f i Ui Ui

2 f iUi f iUi2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70

3 3 9 32 38 10 3 1 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

16 9 4 1 0 1 4 9 16

-12 -9 -18 -32 0 10 6 3 4

48 27 36 32 0 10 12 9 16

Σ 100 -48 190

2

100

48

100

19005,0

−−=s

2304,09,105,0 −=s

s = 0,0646

III.5. Median, Modus, Skewness Dan Kurtosis

a) Median

Median adalah suatu nilai yang membagi dua suatu deretan nilai, sehingga

banyak nilai dari bagian deretan itu sama. Dalam suatu deretan nilai 2, 6,

7, 9, 10, 13, 17 median deretan nilai itu adalah 9, jadi median itu

merupakan rata-rata letak yaitu nilai yang terletak ditengah. Bagi deretan

nilai yang genap misalnya 2, 6, 7, 9, 10, 13, 17, 18 mediannya adalah

½ (9 + 10) = 9,5

Sebelum menentukan median, deretan nilai harus disusun dahulu menurut

urutan besar nilai-nilanya.

b) Median data tersusun

Bila n nilai dideretkan, median akan ditunjukkan oleh nilai yang ke-n/2.

median dari distribusi frekuensi pada tabel 3.6 ditunjukkan oleh nilai yang

ke 100/2 = 50. nilai yang ke-50 itu terdapat dikelas yang ke-5, karena di

dalam kelas ke-1, ke-2, ke-3 dan ke-4 hanya terdapat 3 + 3 + 9 + 32 = 47

buah nilai saja. Didalam kelas ke-5 terdapat 38nilai. Dapat ditentukan


bahwa median itu ditunjukkan oleh nilai yang ke-3 dari nilai yang terdapat

di dalam kelas ke-3 dari nilai yang terdapat di dalam kelas ke-5 itu jadi :

Median = 05,08

3475,3 ∗+

= 3,475 + 0,004

= 3,479

Untuk hal yang umum :

if

sBbMe

M

∗+=

Dengan :

Me : median

Bb : batas bawah median

i : interval kelas

s : selisih antara nilai median dan frekuensi komulatif dari kelas-kelas dimuka (sebelum) kelas median

fM : frekuensi kelas median

c) Modus data tak tersusun

Merupakan bilangan terbanyak yang terdapat di dalam suatu kumpulan

data

Contoh :

2, 2, 5, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 11, 11 (modus = 7 uni modal)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (modus = 0)

5, 6, 7, 8, 8, 8, 10, 11, 13, 13, 13, ,14 (modus = 8 dan 13 bi modal)

d) Modus data tersusun

Ditentukan dalam persamaan :

idd

dBMo ∗

++=

21

11

Pers. 3.16

Pers. 3.17


Dengan :

Mo : Modus

d1 : selisih antara frekuensi di dalam modus dan frekuensi di kelas yang

mendahuluinnya

d2 : selisih antara frekuensi di dalam kelas modus dan frejuensi di kelas

berikutnya

i : interval modus

Pada Tabel 3.4 dapat dilihat bahwa :

B1 : 3,475

d1 : 38 – 32 = 6

d2 : 38 – 10 = 28

i : 0,05

Jadi :

Mo = 05,0286

6475,3

++

= 3,475 + 0,009

= 3,484

e) Kemiringan kurva (skewness)

Distribusi frekuensi berbentuk U terbalik atau lonceng dan simetris

ditunjukkan pada gambar 3.1

Gambar 3.1 Distribusi normal

pengukuran x

frek

ue

nsi


x

Distribusi frekuensi yang lebih miring ke kanan dinamakan distribusi

frekuensi dengan skewness negatif (gambar 3.2)

Gambar 3.2 Skewness negatif (0 < Mo)

Distribusi frekuensi dengan bentuk yang lebih miring ke kiri dinamakan

distribusi frekuensi dengan skewness positif (gambar 3.3)

Gambar 3.3

Skewness positif (0 > Mo)

Makin tinggi derajat asimetri dari distribusi frekuensi makin besr pula

penyimpangan antara tiga macam harga rata-rata (0, Me dan Mo),

selisihnya dapat dijadikan ukuran bagi skewness. Ukuran kasar skewness

adalah :

1. Skewness positif bila 0 > Mo

2. Skewness negatif bila 0 < Mo

Me Mo x

Me Mo


Akan tetapi pemakaian selisih antara harga-harga rata-rata hitung dengan

modus akan berubah dengan perubahan skala, sehingga ukuran kasar

tersebut tidak berlaku.

Ukuran lain dengan mempergunakan persamaan koefisien skewness

Pearson :

S

MexSk

)(3 −=

Jika Sk = 0 berarti kurva normal (simetris)

Sk > 0 berarti skewness posistif

Sk < 0 berarti skewness negatif

Skewness dapat pula diukur dengan ukuran momen :

3

31)(

Sn

xxfS i

k ×−

= ∑

Bentuk-bentuk skewness dapat dilihat pada gambar 3.4

Gambar 3.4 Bentuk-bentuk skewness untuk

Sk > 0 ; Sk = 0 dan Sk < 0

f) Keruncingan kurva (kurtosis)

Kurtosis merupakan keruncingan distribusi frekuensi. Kurtosis terdiri dari

3 jenis, yaitu : leptokurtis (hampir runcing) ; platikurtis (hampir datar) dan

mesokurtis (normal). Seperti ditunjukkan pada gambar 3.5

Sk = 0

Pers. 3.18

Sk < 0 Sk > 0

Pers. 3.19


(a) (b) (c)

Gambar 3.5 Distribusi (a) leptokurtis (b) platikurtis (c) mesokurtis

Kurtosis dapat diukur dengan mempergunakan persamaan 3.19

31

)(

4

4

−×−

=∑

Sn

xxf

Kii

t

Bentuk-bentuk kurtosis dapat dilihat pada gambar 3.6

Gambar 3.6 Bentuk-bentuk kurtosis untuk Kt > 0 ; Kt = 0 dan Kt < 0

Jika Kt < 0 berarti kurva platikurtis (lebih tumpul daripada kurva normal)

Jika Kt = 0 berarti kurva mesokurtis (normal)

Jika Kt > 0 berarti kurva leptokurtis (lebih runcing daripada kurva normal)

Kt = 0

Kt < 0

Kt > 0

Pers. 3.20


BAB IV

TEORI PROBABILITAS

IV.1. Pendahuluan

Hasil-hasil percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk angka-angka atau

golongan-golongan yang disebut outcome dari percobaan itu. Jika sebuah mata

uang dilemparkan sebanyak 3 kali, outcome yang keluar mungkin berupa THT.

H menunjukkan muka (head) dan T menunjukkan belakang (tail) dari mata uang

itu. Untuk menganalisis suatu percobaan bukan outcome yang terjadi saja yang

diperhatikan tetapi perlu diketahui pula hubungan antara semua outcome yang

mungkin dihasilkan. Kumpulan semua outcome yang mungkin dihasilkan oleh

suatu percobaan dinamakan sampel space dari percobaan tersebut. Setiap

outcome yang menjadi anggota sari sampel space dinamakan titik sampel

(sample point).

Definisi-definisi :

(1) Probabilitas (kemungkinan) adalah sesutau yang timbul apabila ada

harapan akan terjadi atau akan tidak terjadi suatu peristiwa.

(2) Jika suatu peristiwa A mungkin terjadi di dalam m cara dari n

kemungkinan, dan n kemungkinan itu mempunyai kesempatan yang sama

untuk terjadi, sehingga probabilitas A sama dengan m/n atau :

n

mA =)Pr(

(3) Jika dalam melakukan suatu deretan percobaan, perbandingan antara

terjadi peristiwa A dengan jumlah kali percobaan itu dilakukan hampir

sama dengan atau mendekati p dengan bertambah seringnya percobaan itu

diulangi, probabilitas dari peristiwa sama dengan p, atau :

Pr(A) = p

Pers. 4.1

Pers. 4.2


IV.2. Perhitungan Probabilitas

Jika dinyatakan suatu peristiwa dengan A dan titik-titik sampelnya a1, a2, .....,an jadi :

∑=

=n

iiaA

1

)Pr()Pr(

Syarat-syarat perhitungan probabilitas :

(1) Jika A adalah peristiwa, dan bukan A atau Ac (komplemen A) adalah suatu

peristiwa juga yang mempunyai probabilitas :

Pr(Ac) = 1 – Pr(A)

(2) Kalau A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive

(dua peristiwa yang tidak mungkin terjadi serentak), diperoleh :

Pr(A atau B) = Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B)

(3) Jika A dan B merupakan dua buah peristiwa yang bukan mutually

exclusive, probabilitas terjadi peristiwa A atau B adalah sama dengan

jumlah probabilitas-probabilitas dari peristiwa A dan peristiwa B

dikurangi dengan probabilitas dari peristiwa A•B, atau :

Pr(A atau B) = Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A•B)

(4) Jika A dan B merupakan dua buah peristiwa yang bebas, maka :

Pr(A•B) = Pr(A∩B) = Pr(A) • Pr(B)

(5) Jika peristiwa A dan peristiwa B merupakan dua buah peristiwa yang tidak

bebas, terjadinya kedua peristiwa itu secara serentak mempunyai

probabilitas :

Pr(A dan B) = Pr(A∩B) = Pr(A) • Pr(B/A)

Pers. 4.3

Pers. 4.4

Pers. 4.5

Pers. 4.6

Pers. 4.7

Pers. 4.8


dengan :

Pr(B/A) = probabilitas B sesudah A terjadi atau probabilitas kondisional dari B

IV.3. Permutasi

Definisi : permutasi dari sejumlah obyek adalah penyusunan dari obyek-obyek

tersebut dalam suatu urutan tertentu.

a) Permutasi dari n objek seluruhnya

Jumlah permutasi yang dapat dibuat dari n objek seluruhnya yang

berbeda satu sama lain adalah n !, atau :

!nP nr =

Contoh :

Dalam beberapa carakah 4 buah buku A, B, C dan D dapat disusun ?

Jawab : n = 4

Permutasinya : !nP nr = = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Jadi buku-buku itu disusun dalam 24 cara

b) Permutasi dari n objek yang tersedia dan diambil sebanyak r :

)!(

!

rn

nPn

r −=

dengan :

n = jumlah objek yang tersedia

r = jumlah objek yang disusun

contoh :

ada 4 buah buku A, B, C, dan D. Dalam berpa carakah buku-buku

tersebut dapat disusun, jika setiap susunan berisi 2 buah buku ?

Jawab : n = 4 ; r = 2

Pers. 4.9.a

Pers. 4.9.b


)!24(

!4

)!(

!

−=

−=

rn

nP n

r

1212

1234 =×

×××=

Jadi buku itu dapat disusun dalam 12 cara

IV.4. Kombinasi

Definisi : Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek-

objek tersebut tanpa menghiraukan urutan (susunan) dari objek-objek yang

bersangkutan. Jadi dalam hal objek A, B dan C. Susunan ABC BCA dan BAC

merupakan kombinasi tetapi menurut permutasi susunan itu terdiri dari 3

permutasi.

a) Kombinasi dari n objek keseluruhan.

Banyaknya kombinasi dari suatu set yang terdiri dari n objek = 1 atau :

1=nnC

Contoh :

Suatu panitia harus terdiri dari 4 orang anggota. Calon anggota untuk

panitia tersebut hanya 4 orang. Berpa carakah panitia tersebut dapat

dibentuk, jika kedudukan anggota dalam panitia diabaikan perbedannya

Jawab : panitia yang dapat dibentuk

1=nnC cara

b) Kombinasi dari n objek tetapi tidak semua objek terpakai.

Jika jumlah objek yang satu sama lainnya berbeda, berjumlah n buah,

dan yang diambil sebagai suatu kombinasi berisikan r buah diantaranya,

jumlah kombinasi yang dapat dibuat adalah :

)!(!

!

rnr

nC n

r −=

Pers. 4.10.a

Pers. 4.10.b


Contoh – 1 ;

Berpakah kombinasi 3 buah buku dari 5 buah buku A, B, C, D dan E

yang tersedia :

Jawab : n = 5 ; r = 3

Kombinasinya = 10)!35(!3

!553 =

−=C

Contoh – 2 ;

Calon-calon untuk duduk dalam sebuah panitia berjumlah 8 orang,

terdiri dari 5 pria dan 3 wanita. Berapa cara panitia dapat dibentuk ?

Jawab : Pemilihan 3 pria dari 5 pria dapat dibentuk dalam

10)!35(!3

!553 =

−=C cara (n1)

Pemilihan 2 wanita dari 3 wanita dapat dibentuk dalam

3)!23(!2

!332 =

−=C cara (n2)

Untuk menghitung keseluruhan cara yang dapat dibuat dalam

pembentukan panitia tersebut yang terdiri dari pria dan wanita digunakan

asaz perkalian permutasi. Dalam hal ini dengan n1 = 10 dan n2 = 3 ;

P = n1 x n2 , jadi pembentukan panitia itu ada 10 x 3 cara = 30 cara.

Contoh – 3 ;

Calon-calon untuk duduk dalam sebuah panitia terdiri dari 5 pria dan 3

wanita. Persyaratannya pembentukan panitia tersebut harus terdiri dari

paling sedikit 3 orang pria dan jumlah anggotanya 5 orang. Dengan

berpa carakah panitia tersebut dapat dibentuk ?

Jawab :

Paling sedikit 3 pria merupakan syarat, jadi panitia dapat dibentuk

dengan salah satu cara :

1. Terdiri dari 3 pria dan 2 wanita


Jumlah cara yang dapat dibentuk = 30 cara (ditunjukkan dalam contoh 2)

2. Terdiri dari 4 pria dan 1 wanita

Jumlah cara yang dapat dibentuk = 31

54 CC ×

= )!13(!1

!3

)!45(!4

!5

−×

− = 5 x 3 = 15 cara

3. Hanya terdiri dari 5 pria

Jumlah cara yang dapat dibentuk = 55C = 1

Jadi jumlah cara yang dapat dibentuk yang terjadi dari paling sedikit 3

pria adalah :

30 + 15 + 1 = 46 cara


BAB V

DISTRIBUSI PROBABILITAS, BINOMIAL, POISSON dan NORMAL

IV.5. Pendahuluan

Distribusi probabilitas bersamaan sekali dengan persamaan frekuensi relatif jika

probailitasnya diulang sebanyak tidak berhingga, atau dapat dinyatakan dengan

rumus :

Probabilitas = )/(lim nfn ∞→

Dengan f/n sebagai frekuensi relatif.

Distribusi probabilitas mungkin berbentuk diskret atau kontinu. Distribusi

probabilitas diskret ialah probabilitas yang variabel randomnya hanya

mengambil nilai-nilai yang terisolasi satu dari yang lainnya. Distribusi

probabilitas kontinu ialah distribusi yang variabel randomnya mengambil nilai-

nilai yang kontinu. Distribusi Binomial merupakan distribusi diskret,

dikembangkan dari percobaan Bernoulli. Distribusi Poisson juga merupakan

distribusi diskret, digunakan untuk jumlah sampel yang lebih besar. Distribusi

Normal merupakan distribusi yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan

bahwa sebagian besar dari variabel random yang kontinu di berbagai bidang

aplikasi yang berbeda dan beraneka ragam, umumnya memiliki distribusi yang

dapat didekati dengan distribusi normal atau dapat menggunakannya sebagai

model teoritis.

IV.6. Distribusi Probabilitas

Suatu distribusi probabilitas dapat disusun berdasarkan pengalaman-pengalaman

diwaktu yang lampauatau berdasarkan pertimbangan-pertimbangan

teoritis.untuk memperjelas pengertian tentang distribusi probabilitas diskret

diambil satu contoh, misalnya diamati banayaknya gambar (dinyatakan dengan

H berarti head) yang keluar dari pelemparan 3 mata uang logam. Kemungkinan

terjadinya gambar (H) dan tulisan (dinyatakan dengan T yang berarti tail) yaitu

probabilitas munculnya H atau munculnya T adalah ½.

Kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi seperti pada tabel 5.1 dibawah ini


Tabel 5.1 Probabilitas munculnya H

Titik Sampel ke No 1 2 3

Jumlah H Probabilitas titik sampel

1 T T T 0 1/8 2 3 4

T T H

T H T

H T T

1 1 1

1/8 1/8 1/8

5 6 7

H T H

H H T

T H H

2 2 2

1/8 1/8 1/8

8 H H H 3 1/8

Tabel 5.1 diatas dapat disederhanakan menjadi Tabel 5.2

Dengan memakai Tabel 5.2 ini dapat dilukiskan grafik distribusi probabilitas itu

dalam bentuk histogram probabilitas (gambar 5.1) atau bentuk grafik lain

Tabel 5.2 Probabilitas f(x) dan probabilitas komulatif F(x)

Banyaknya H x

Frekuensi f

Probabilitas f(x)

Probabilitas Komulatif F(x)

0 1 2 3

1 3 3 1

1/8 3/8 3/8 1/8

1/8 4/8 7/8 8/8

Gambar 5.1 Histogram Probabilitas

Pada tabel 5.2 dapat dilihat pula hubungan antara f(x) dan fungsi distribusi

probabilitas komulatif F(x), yaitu bahwa nilai F(x) sama dengan jumlah dari

nilai-nilai f(x). Misalkan bahwa a adalah sebuah nilai yang dapat diambil oleh x

maka dapat dinyatakan :

∑= )()( xfaF

3/8 –

2/8 –

1/8 –

f(x)

Pers. 5.1


Dengan x ≤ a

Gambar 5.2 menunjukkan grafik distribusi probabilitas komulatif berdasarkan

Tabel 5.2

Gambar 5.2 Grafik distribusi komulatif

Definisi : Suatu fungsi f(x) dapat disebut fungsi probabilitas yang diskret jika

syarat-syarat berikut dipenuhi :

f(x) ≥ 0

dan,

∑∞

=

=1

1)(i

ixf

Harga rata-rata hitung suatu variabel random dan diskret x yang fungsi

probabilitasnya f(x) adalah :

∑=

=n

iii xfx

1

)(µ

dengan :

µ = harga rata-rata hitung

n = banyaknya nilai x yang mungkin

Varians (σ2) dari suatu variabel random x, yang fungsi probabilitasnya f(x)

adalah :

8/8 –

7/8 –

4/8 –

1/8 –

Pers. 5.2

Pers. 5.3


σ2 = ∑

=

−n

iii xfx

1

2 )()( µ

atau

σ2 = ∑

=

−n

iii xfx

1

22 )( µ

jadi deviasi standarnya adalah :

σ = ∑=

−n

iii xfx

1

22 )( µ

contoh :

Jika 2 buah dadu dilemparkan pada saat yang bersamaan, dan pelemparan

dilakukan berulang kali dengan jumlah yang sangat banyak, ditanyakan jumlah

mata dadu rata-rata setiap pelemparan (µ) dan deviasi standarnya (σ)

Penyelesaian :

Jika dilemparkan 2 buah dadu, kemungkinan jumlah mata dadu yang diperoleh

adalah x dengan niali-nilai seperti di bawah ini :

x f(x)

1 0 = 0

2 (1, 1) = 1/36

3 (1, 2) ; (2, 1) = 2/36

4 (1, 3) ; (2, 2) ; (3, 1) = 3/36

5 (1, 4) ; (2, 3) ; (3, 2) ; (4, 1) = 4/36

6 (1, 5) ; (2, 4) ; (3, 3) ; (4, 2) ; (5, 1) = 5/36

7 (1, 6) ; (2, 5) ; (3, 4) ; (4, 3) ; (5, 2) ; (6, 1) = 6/36

8 (2, 6) ; (3, 5) ; (4, 4) ; (5, 3) ; (6, 2) = 5/36

9 (3, 6) ; (4, 5) ; (5, 4) ; (6, 3) = 4/36

10 (4, 6) ; (5, 5) ; (6, 4) = 3/36

11 (5, 6) ; (6, 5) = 2/36

12 (6, 6) = 1/36

Fungsi frekuensi jumlah mata dadu dari hasilpelemparan 2 buah dadu itu

dikembangkan pada tabel 5.3 untuk mendapatkan nilai µ dan σ.

Pers. 5.4

Pers. 5.5

Pers. 5.6


Tabel 5.3 Nilai-nilai xif(x i) dan xi

2f(x i) dari hasil pelemparan 2 buah dadu

xi Prob. f(xi) xif(x i) xi2f(x i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

0 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36

0 4/36 18/36 48/36 100/36 180/36 294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36

Σ 252/36 1974/36

µ = 736

252 =

σ2 =

36

2107

36

1974 2 =−

σ = 415,236210 =

IV.7. Distribusi Binomial

Keistimewaan dari distribusi binomial adalah distribusi ini dapat dipakai untuk

sangat banyak peristiwa. Distribusi binomial berdasarkan percobaan Bernoulli

dengan ciri-ciri sebagai berikut :

(1) Setiap percobaan dirumuskan dengan sampel (S, G), yaitu setiap

percobaan hanya memiliki 2 hasil, yaitu sukses (S) dan gagal (G).

(2) Pada setiap percobaan, probabilitas untuk sukses harus sama besar,

biasanya dinyatakan dengan “p”.

(3) Setiap percobaan harus berdiri sendiri (independen event), yaitu terjadi

atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak memberi akibat terhadap

terjadi atau tidak terjadinya peristiwa berikutnya.

(4) Jumlah percobaan yang merupakan komponen percobaan harus tertentu.


Misalnya pada pelemparan sebuah uang logam. Setiap pelemparan akan

menghasilkan 1 diantara 2 kemungkinan, yaitu gambar dapat diumpamakan

sukses dan diberi tanda H ; tulisan, dapat diumpamakan gagal dan diberi tanda

T. Hasil seluruhnya dari pelemparan-pelemparan sebuah mata uang logam itu

ditunjukkan tabel 5.4

Tabel 5.4

Probabilitas peristiwa dari pelemparan sebuah mata uang logam

Mata Uang ke Jumlah Probabilitas Peristiwa 1 2 3 T H

T

T

T

H

H

T

H

H

T

T

H

T

H

H

T

H

T

H

T

T

T

H

H

H

3

2

2

2

1

1

1

0

0

1

1

1

2

2

2

3

(½)3 (½)0 1*(½)3 = 1/8

(½)2 (½)1

(½)2 (½)1 3*(½)2 (½)1 = 3/8

(½)2 (½)1

(½)1 (½)2

(½)1 (½)2 3*(½)1 (½)2 = 3/8

(½)1 (½)2

(½)0 (½)3 1*(½)3 = 1/8

Bila suatu percobaan Bernoulli terdiri dari n dengan probabilitas untuk sukses

dan untuk gagal bagi setiap percobaan adalah masing-masing berturut-turut

sebesar p dan q, fungsi probabilitasnya dinyatakan dengan notasi :

B(x | n,p) = )( xnxnx qpC −

dengan :

nxC = kombinasi x dari

)!(!

!

xnx

n

−

q = 1 – p

Pada Tabel 5.4 dapat dilihat bahwa p = ½ dan n = 3. Dengan mempergunakan

notasi persamaan 5.8 diperoleh Tabel 5.5

Pers. 5.8


Tabel 5.5 Nilai-nilai B(x | n,p) dari pelemparan

Sebuah mata uang logam

x )!(!

!

xnx

n

x

nC n

x −=

= )( xnxqp − B(x | n,p)

1 2 3 4 = 2 x 3

0 1)!03(!0

!3 =−

(½)0 (½)3 81

1 3)!13(!1

!3 =−

(½)1 (½)2 83

2 3)!23(!2

!3 =−

(½)2 (½)1 83

3 1)!33(!3

!3 =−

(½)3 (½)0 81

Σ 1

Angka-angka pada kolom 4 tabel 5.5 dapat dibaca langsung pada tabel Binomial

untuk n = 3 dan p = 0,5.

Rata-rata hitung : )(

0

xnxn

x

qpx

nx −

=∑

=µ

Kalau persamaan 5.9 diuraikan terus akan diperoleh :

µ = n.p

Varians : ∑ −

−= )(22 )( xnx qp

x

nx µσ

Kalau persamaan 5.11 diurakan terus akan diperoelh :

σ2 = n.p.q

Jadi deviasi standar :

σ = qpn ..

Dari contoh diatas dapat dihitung :

Rata-rata hitung : µ = n.p = 3 x 0,5 = 1,5

Varians : σ2 = n.p.q = 3 x 0,5 x 0,5 = 0,75

Pers. 5.9

Pers. 5.10

Pers. 5.11

Pers. 5.12

Pers. 5.13


Deviasi standar : σ = qpn .. = 75,0 = 0,866

IV.8. Distribusi Poisson

Menurut distribusi Binomial suatu sampel dengan ukuran (size) n mengandung

cacat (defective) sejumlah x, probabilitas dari jumlah defective tersebut adalah :

B(x | n,p) = )( xnxnx qpC −

dengan :

p = fraksi cacat (defective fraction)

q = (1 – p)

Dengan menghitung langsung atau mempergunakan tabel Binomial, nilai B(x)

dengan segera dapat diketahui. Akan tetapi persamaan di atas akan menjadi

sukar dalam penggunaannya nila n besar dan p kecil (p ≤ 0,1). Biasanya tabel

Binomial hanya dibuat sampai dengan n = 100.

Untuk menghitung probabilitas jumlah defectives dari ukuran sampel n yang

lebih besar dari 100 digunakan persamaan fungsi probabilitas Poisson :

P(x) = )(!

)(np

x

ex

np

Dengan :

e = exponential (e = 2,718)

rata-rata hitung : µ = m = n.p

varians : σ2 = m = n.p

deviasi standar : σ = npm =

Contoh :

Dari suatu lot ditarik sampel dengan n = 200 yang ternyata mengandung

defective 5%. Ini berarti P = 5 atau p = 0,05 • np = 200 x 0,05 = 10

Rata-rata hitung

Varians

Deviasi standar

Pers. 5.14

Pers. 5.15

Pers. 5.16

Pers. 5.17


Bila sampel dari lot itu mengandung defectives x = 8, probabilitas adalah :

P ( x=8 ) = 10

8

)718,2(!8

10 = 0,1126

Atau dapat digunakan tabel distribusi Poisson untuk np = x = 10 sebagai berikut

P (x=0) = 0,0000 P (x=5) = 0,0378 P (x=10) = 0,1251 P (x=1) = 0,0005 P (x=6) = 0,0631 P (x=11) = 0,1137 P (x=2) = 0,0023 P (x=7) = 0,0901 P (x=12) = 0,0948 P (x=3) = 0,0076 P (x=8) = 0,1126 P (x=13) = 0,0729 P (x=4) = 0,0189 P (x=9) = 0,1251 dan seterusnya

IV.9. Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah salah satu jenis distribusi yang sering dipakai dalam

statistik. Fungsi dari distribusi normal dinyatakan dalam persamaan :

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−−=

x

exf

untuk -∞ ≤ x ≤ ∞

dengan :

e : bilangan tetap Euler = 2,718

π : 3,1415

µ : nilai rata-rata hitung

σ : deviasi standar

Grafik dari fungsi ini berbentuk lonceng (bell shape curve), merupakan kurva

yang simetris terhadap garis vertikal melalui x = µ. Oleh karena x adalah suatu

variabel random yang kontinu, setiap garis vertikal yang menghubungkan titik

dari kurva normal itu dengan sumbu mendatar, demikian juga luas daerah

dibawah kurva normal dan diatas sumbu mendatar dapat diasosiasikan dengan

nilai probabilitas.

Pers. 5.18


Pada gambar 5.3 dapat dilihat bahwa garis AB merupakan probabilitas dari x =

A atau f(A).

Gambar 5.3 Kurva Normal

Luas daerah CEFD adalah probabilitas dari x antara C dan D. Luas daerah

dibawah kurva normal adalah jumlah dari probabilitas untuk semua nilai x yang

tentu saja sama dengan 1. Secara matematis dapat ditulis :

∫∞

∞−

= 1)( dxxf

Kalau integral ditarik sampai x = a, hasil integral itu sama dengan luas daerah di

bawah kurva normal di sebelah kiri garis vertikal x = a yang sama dengan nilai

dari fungsi distribusi komulatif f(x) untuk x = a atau f(a), jadi :

F(a) = ∫∞−

a

dxxf )(

yang sama juga dengan P(x ≤ a) = F(a)

Jika a dan b merupakan 2 buah nilai x yang berbeda, dapat dituliskan :

A

B

C

E

D

F

µµµµ

f(x)

Pers. 5.19

Pers. 5.20


P (a ≤ x ≤ b) = ∫a

b

dxxf )( = F(b) – F(a)

Dengan digunakannya persamaan 5.18 untuk membentuk kurva normal terlalu

memerlukan banyak waktu. Cara itu dapat dihindari dengan digunakannya

distribusi Normal Standar. Distribusi Normal Standar mempunyai µ = 0 dan

σ = 1. Variabel random yang terdistribusi secara normal dinyatakan dengan z,

jadi :

f (x) = 22

1

2

1ze

−

π

untuk -∞ ≤ x ≤ ∞

Artinya setiap bagian dari luas daerah di bawah kurva normal yang lain dapat

dinyatakan di dalam luas daerah di bawah kurva normal standar. Jadi luas

daerah di bawah kurva normal standar telah dibuat daftarnya untuk nilai-nilai z,

luas daerah di bawah kurva normal biasa di sebelah kiri nilai-nilai tertentu dapat

dicari berdasarkan persamaan :

z = σ

µ−x

atau

x = µ + z σ

Misalnya untuk z = +2 diperoleh x = µ + 2 σ.

Dapat dilihat pada tabel distribusi normal, bahwa :

F (z = +2) = F (x = µ + 2σ) = 0,9772

F (z = -2) = F (x = µ - 2σ) = 1 – F (z = +2z) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Bila ingin diketahui luas daerah di bawah kurva normal untuk -2 ≤ z ≤ +2 yaitu

untuk z diantara z = -2 dan z = +2 dapat dipergunakan persamaan 5.21

Pers. 5.21

Pers. 5.22

Pers. 5.23

Pers. 5.24


P (-2 ≤ z ≤ +2) = F (z = +2) – F (z = -2)

= 0,9772 – 0,0228

= 0,9544

Contoh soal

Spesifikasi diameter luar dari shaft seal suatu motor pompa adalah 1,515 inch

s/d 1,525 inch. Rata-rata hitung populasi (µ) 1,5202 inch, dan deviasi standar

(σ) 0,0020 inch. Berapa persen seal yang sesuai dengan spesifikasi ?

Penyelesaian :

µ = 1,5202

σ = 0,0020

z = σ

µ−x

limit atas untuk x = 1,525 :

z = 0020,0

5202,1525,1 − = +2,4

P (x ≥ 1,525) = P (z ≥ 2,4) = 0,0082

Gambar 5.4. Kurva Normal Standar dari shaft seal motor pompa

limit bawah untuk x = 1,515 :

z = 0020,0

5202,1515,1 − = -2,6

Oleh karena tabel distribusi normal hanya mempunyai nilai-nilai z yang posistif,

jadi -2,6 harus dianggap posistif. Pada tabel diperoleh nilai 0,00466. nilai itu

merupakan probabilitas untuk ukuran shaft seal kurang dari 1,5515 inch atau :

1,5202 in x

Area equals 0,0082

1,525 in 1,515 in

Area equals 0,00466

| -3

| -2

| -1

| 0

| +1

| +2

| +3

z


P (x ≤ 1,515) = P (z ≤ -2,6) = 0,00466

Jadi probabilitas diameter shaft seal yang sesuai dengan spesifikasi adalah :

1 – (0,0046 + 0,0082) = 0,98714

atau

98,714 %


BAB VI

DISTRIBUSI SAMPLING

IV.10. Pendahuluan

Pengambilan sampel bertujuan memperoleh keterangann mengenai populasi

dengan mengamati hanya sebagian saja dari populasi itu. Pengambilan sampel

dilaksanakan karena sering tidak mungkin dilakukan pengamatan terhadap

seluruh anggota populasi atau sekalipun memungkinkan, tetap tidak praktis dan

tidak efisien. Ada 3 tujuan utama dari pengambilan sampel. Ketiga tujuan itu

menunjukkan juga jenis keterangan yang bagaimana yang dikehendaki dari

penarikan sampel itu, yaitu penaksiran (estimation), pengujian hipotesis (testing

of hypotheses) dan peramalan (prediction). Disamping ketiga tujuan itu tentu

ada lagi beberapa tujuan lain, diantaranya penyelidikan apakah dua variabel itu

mempunyai hubungan atau tidak.

VI.2. Distribusi Sampel Eksperimental

Enam buah bola dinomori dari 0 s/d 5 ditempatkan di dalam sebuah kotak. Dari

dalam kotak itu secara random ditarik sampel-sampel yang terdiri dari 3 buah

bola. Bilangan-bilangan yang menunjukkan nomor-nomor bola tersebut

dianggap merupakan anggota-anggota sampel. Sesudah ditarik sebuah sampel

dan dihitung harga rata-rata hitungnya, ketiga bola itu dikembalikan ke dalam

kotak. Penarikan sampel dilakukan sebanyak 1.000 kali.

Hasil penarikan itu ditunjukkan oleh distribusi frekuensi pada tabel 6.1

distribusi frekuensi seperti ini dinamakan distribusi eksperimental


Tabel 6.1 Distribusi Sampel Eksperimental

x f f/n (f/n) x (f/n)( x )2

1,00

1,33

1,67

2,00

2,33

2,67

3,00

3,33

3,67

4,00

20

40

75

150

205

225

150

65

50

30

0,020

0,040

0,075

0,150

0,205

0,225

0,150

0,065

0,050

0,030

0,020

0,053

0,125

0,300

0,475

0,600

0,450

0,217

0,183

0,120

0,020

0,071

0,209

0,600

1,007

1,602

1,350

0,723

0,672

0,480

Σ 1.000 1 2,543 6,734

Rata-rata hitung : x = Σ x (f/n) = 2,543

Deviasi standar : s = 22 )()/()( xnfx − = 0,53

Deviasi standar dari sebuah statistik seperti ini dinamakan standar error

eksperimental dari statistik itu. Distribusi probabilitasnya dapat dilihat

pada tabel 6.2

Tabel 6.2 Distribusi probabilitas dari populasi 6 buah bola

x f(x) xf(x) (x - µ) (x - µ)2 f(x)

0

1

2

3

4

5

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

6/6

-2,5

-1,5

-0,5

+0,5

+1,5

+2,5

(6,25) 1/6

(2,25) 1/6

(0,25) 1/6

(0,25) 1/6

(2,25) 1/6

(6,25) 1/6

Σ 1 2,5 (17,50) 1/6

Dari tabel 6.2 diperoleh :

Rata-rata hitung : µ = 2,5

Deviasi standar : σ = 65,17 = 1,7

Nilai-nilai ini hampir sama dengan x dan s pada tabel 6.1


VI.3. Distribusi Sampel Teoritis

Distribusi sampel teoristis dari populasi yang terdiri dari 6 buah bola dapat

dilihat pada tabel 6.3 yang hampir sama dengan tabel 6.1, hanya kolom

frekuensi relatif diganti dengan kolom probabilitas. Pembentukan kolom

probabilitas itu berdasarkan pertimbangan teoritis, bukan pertimbangan

ekperimental. Banyaknya kombinasi yang beranggotakan n yang dapat dibentuk

dari populasi yang terdiri dari N menurut persamaan 4.10 adalah :

)!(!

!

nNn

N

n

NC N

n −=

=

Jadi banyaknya kombinasi yang beranggotakan n = 3 buah bola yang dapat

dibentuk dari sebuah populasi yang terdiri dari N = 6 buah bola adalah :

!3!3

!63

663 =

=C = 20 sampel, terdiri dari :

Tabel 6.3

Kombinasi 3 dari 6 buah bola

Kombinasi x Kombinasi x Kombinasi x

(0, 1, 2)

(0, 1, 3)

(0, 1, 4)

(0, 1, 5)

(0, 2, 3)

(0, 2, 4)

(0, 2, 5)

1,00

1,33

1,67

2,00

1,67

2,00

2,33

(0, 3, 4)

(0, 3, 5)

(0, 4, 5)

(1, 2, 3)

(1, 2, 4)

(1, 2, 5)

(1, 3, 4)

2,33

2,67

3,00

2,00

2,33

2,67

2,67

(1, 3, 5)

(1, 4, 5)

(2, 3, 4)

(2, 3, 5)

(2, 4, 5)

(3, 4, 5)

3,00

3,33

3,00

3,33

3,67

4,00

Berdasarkan tabel 6.3 disusun tabel 6.4 seperti dibawah ini :

Tabel 6.4 Probabilitas 3 dari 6 buah bola

x f Probabilitas x f Probabilitas

1,00

1,33

1,67

2,00

2,33

1

1

2

3

3

0,05

0,05

0,10

0,15

0,15

2,67

3,00

3,33

3,67

4,00

3

3

2

1

1

0,15

0,15

0,10

0,05

0,05

Σ 20 1,00


Setiap sampel mempunyai probabilitas yang sama (0,05). Untuk menghitung

harga rata-rata hitung dan deviasi standar (standar error) dari distribusi sampel

teoritis ini, dibuat dahulu tabel 6.5

Tabel 6.5 Distribusi

x f( x ) x f( x ) ( x )2 f( x )

1,00

1,33

1,67

2,00

2,33

2,67

3,00

3,33

3,67

4,00

0,05

0,05

0,10

0,15

0,15

0,15

0,15

0,10

0,05

0,05

0,0500

0,0665

0,1670

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,3333

0,1832

0,2000

0,050000

0,088445

0,278890

0,600000

0,814500

0,068000

1,350000

1,111111

0,672344

0,800000

Σ 1,00 2,5000 6,832290

∑= )(xfxxµ = 2,50

22 )()()( xx xfx µσ −= = 0,76

Nilai-nilai dari ketiga distribusi dapat dibandingkan seperti yang terlihat pada

tabel 6.6

Tabel 6.6

Nilai-nilai parameter dari 3 distribusi

Jenis distribusi x µ xµ xs σ xσ

Distribusi sampel eksperimental

2,543 - - 0,53 - -

Distribusi probabilitas

- 2,5 - - 1,7 -

Distribusi sampel teoritis

- - 2,5 - - 0,75

Dapat disimpulkan bahwa x dapat dipakai untuk menaksir atau mendekati xµ atau

µ, jadi bisa dianggap :


x = xµ = µ

Hubungan antara deviasi standar populasi (dari distribusi probabilitas) σ dan

standard error xσ adalah :

xσ = 1−

−N

nN

n

σ

(sampel dari populasi yang kecil)

atau :

xσ = n

σ

(sampel dari populasi yang besar)

dengan :

N = banyak anggota dari populasi

n = banyak sampel yang ditarik

xσ = standard error dari harga rata-rata hitung sampel teoritis

σ = deviasi standar dari populasi

Pers. 6.1

Pers. 6.2

Pers. 6.3


BAB VII

PENAKSIRAN & PENGUJIAN HIPOTESIS

IV.11. Pendahuluan

Ada 2 cara penaksiran yaitu : penaksiaran titik (point estimation) dan

penaksiaran interval (interval estimation). Pada penaksiran titik dicoba langsung

menaksir sebuah nilai; jadi bukan memakai sebuah interval sepotong garis

maupun beberapa titik. Pada penaksiran interval, dalam teori pengambilan

sampel, dimisalkan bahwa distribusi dari populasi yang diamati itu telah

diketahui dan berdasarkan hal itu perhitungan probabilitas-probabilitas

mengenai sampelnya dipersoalkan. Didalam praktek sebaliknya, yang diketahui

ialah mengenai sampel yang ditarik dari suatu populasi dan berdasarkan sampel

itu dicoba menarik kesimpulan-kesimpulan mengenai populasinya (parameter-

parameternya). Penaksiran memakai teori pengambilan sampel ini adalah

pencarian batas-batas interval dari parameter yang hendak ditaksir dengan

probabilitas tertentu.

Dalam mencoba menyelidiki suatu persoalan sering digunakan suatu anggapan

atau keterangan sementara mengenai gejala yang sedang diselidiki itu. Suatu

populasi dapat dianggap mempunyai sifat tertentu. Anggapan itu mungkin salah

atau juga benar. Anggapan seperti itu dinamakan hipotesis, sedangkan

penyelidikan apakah hipotesis itu benar atau salah dinamakan pengujian

hipotesis (testing of hypothesis). Jadi hipotesis adalah anggapan teoritis yang

dapat dipertegas atau ditolak secara empiris.

IV.12. Penaksiaran

1. Penaksiran Titik

Penaksiran titik itu menginginkan agar suatu parameter ditaksir dengan

memakai satu bilangan saja. Miaslkan yang ditaksir parameter-parameter µ,

σ, atau ρ dengan memakai statistik-statistik x , s dan x/n

Jenis-jenis taksiran titik :

a) Taksiran tak berpaling (unbised estimate)


Bila ada satu parameter β dan penaksirnya b, penaksir b merupakan

penaksir tak berpaling bila :

E(b) = β

dengan E(b) = pengharapan matematis dari b.

Harga rata-rata hitung sampel (x ) dan varians (s2) merupakan penaksir

tak berpaling untuk harga rata-rata hitung populasi (µ) dan varians populasi

(σ2), jadi :

E( x ) = µ

E(s2) = σ2

s bukan penaksir tak berpaling bagi σ karena E(s) … σ, kalau E(s) = kσ

dengan k = bilangan tetap, unbiased estimate bagi σ adalah s/k, karena :

E(s/k) = 1/k E(s) = σ

b) Taksiran efisien

Jika parameter yang ditaksir dinyatakan dengan β dan statistik

2. Penaksiran Interval untuk sampel besar ( n > 30)

Penaksiran memakai teori pengambilan sampel ini adalah pencarian batas-

batas interval dari parameter yang hendak ditaksir berada pada probabilitas

tertentu.

Misalkan akan ditaksir harga rata-rata hitung suatu populasi (µ) yang

anggotanya terdistribusi secara normal. Rata-rata hitung tersebut terletak

diantara :

n

szx

n

szx αα µ

21

21 +≤≤−

dengan :

x = rata-rata hitung sampel

s = standar deviasi sampel

α21z = faktor standar atau koefisien yang sesuai dengan interval

keyakinan yang dipakai dalam pendugaan interval dan yang nilainya diberikan dalam tabel luas kurva normal.

Pers. 7.1

Pers. 7.2

Pers. 7.3

Pers. 7.4

Pers. 7.5


Contoh

Diketahui : n = 100 s = 10

x = 160 confidence coeficient = 95%

Ditanya :

*) Interval rata-rata hitung populasi

Penyelesaian :

Gambar 7.1. Distribusi Normal

Menurut tabel distribusi normal (lampiran-3) :

95% + 2,5% berarti α21z = 1,96 dan - α2

1z = -1,96 dan n

s =

100

10 = 1

Jadi :

160 – 1,96 . 1 ≤ µ ≤ 160 + 1,96 . 1

158,04 ≤ µ ≤ 161,96

3. Penaksiran interval untuk sampel kecil (n < 30)

Untuk sampel kecil digunakan Tabel distribusi-t (lampiran).

Contoh :

Diketahui : n = 16 x = 30 dan s = 8

Ditanyakan : Interval rata-rata hitung populasi bila confidence coeficient 99%

Penyelesaian : α = 100% - 99% = 1% atau α = 0,001

½α = ½ x 0,01 = 0,005

Menurut tabel Distribusi-t, untuk t0,005 dan degree of freedom

(df) = n-1 = 16 – 1 = 15 diperoleh α21z = 2,947

Rata-rata hitungnya terletak diantara :

95% 2,5% 2,5%

- α21z + α2

1z


n

szx

n

szx αα µ

21

21 +≤≤−

30 – 2,947 x 16

8 ≤ µ ≤ 30 + 2,947 x 16

8

24,106 ≤ µ ≤ 35,894

4. Menetukan besar minimum sampel

Perhatikan persamaan 7.5, bagian sebelah kanan adalah

n

szx αµ

21−≤

µα −≤− xn

sz

21

2

2

)()(

21

µσα −≤

∗x

n

z

Karena x - µ = E merupakan kesalahan yang diperkenankan, diperoleh :

2)(2

1 σα ∗z ≤ nE2

Jadi :

n ≥

∗E

z 2)(2

1 σα

dengan σ = deviasi standar populasi (dianggap diketahui)

Contoh :

Panjang pipa merupakan distribusi normal dengan σ = 20 cm. Berapa

sampel minimal yang harus diambil agar kesalahan tidak melebihi 2 cm.

Diketahui confidence coeficient 90%

Jawab :

Pers. 7.6

90% 5% 5%

- α21z + α2

1z


E = (x - µ) = 2 cm

σ = 20 cm

α = 100% - 90% = 10%

½α = ½ x 10% = 5%

Untuk luas daerah 90% + 5% = 95% diperoleh α21z = 1,65

Menurut persamaan 7.6

n ≥

∗

E

z 2)(2

1 σα diperoleh : n ≥

∗2

)2065,1( 2

n ≥ 272,25

5. Penaksiran interval untuk deviasi standar

Menggunakan persamaan :

n

zs

21 2

1 α+ ≤ σ ≤

n

zs

21 2

1 α−

Contoh :

Diketahui n = 200, deviasi standar sampel (s) = 15, confidence coeficient

99%. Buatkan penaksiran interval untuk deviasi standard populasi (σ) :

Penyelesaian :

Lihat tabel distribusi Normal (lampiran III)

α = 100% - 99% = 1%

½α = ½ x 1% = 0,5% (level of significant)

Untuk luas daerah 99% + 0,5% = 99,5% atau confidence coeficient 0,995

diperoleh α21z = 2,58

Jadi :

200*2

58,21

15

+ ≤ σ ≤

200*2

58,21

15

−

Pers. 7.7


IV.13. Pengujian Hipotesis

1. Ukuran sampel besar ( n ≥ 30)

Hipotesis yang akan diuji berupa :

Ho : µ = µo terhadap H1 : µ … µo (2 sisi)

Ho : µ = µo terhadap H1 : µ > µo (sisi kanan)

Ho : µ = µo terhadap H1 : µ < µo (sisi kiri)

Keterangan :

Ho = hipotesisi yang akan diuji (hipoteisis nol)

H1 = hipotesisi alternatif

µ = rata-rata ukur sebenarnya dari populasi

µo = suatu nilai yang telah ditetapkan

Caranya dengan : a) pengujian hipotesisi 2 sisi

b) pengujian hipotesis 1 sisi kiri

c) pengujian hipotesis 1 sisi kanan

a) Pengujian Hipotesis 2 sisi

Komposisi pengujian Ho : µ = µo

H1 : µ … µo

Fungsi penaksiran :

zo =

ns

x oµ− Pers. 7.8

acceptance region (diterima)

- α21z + α2

1z Critical region (ditolak)

Critical region (ditolak)


Aturan pengujian :

Tolak Ho bila zo > α21z atau zo < α2

1z

Terima Ho bila - α21z < zo < α2

1z

Contoh :

Suatu sampel yang terdiri dari 36 buah bola baja mempunyai x = 100

kg, µo = 110 kg dan s = 24 kg. Confidence coeficient 95%. Laksanakan

pengujian !

Penyelesaian :

Bila hipotesa x = 100 kg ternyata benar, berarti Ho diterima. Akan

tetapi bila hipotesa x = 100 kg ternyata salah, berarti Ho ditolak atau

H1 diterima.

α = 100% - 95% = 5%

½α = ½ x 5% = 2,5%

Untuk luas daerah 95% + 2,5% = 97,5% diperoleh α21z = 1,96 dan

- α21z = 1,96

zo =

3624

110100−

ternyata z < - α21z

jadi Ho ditolak

atau H1 diterima, berarti ukuran sampel 36 karung itu tidak berasal dari

populasi yang sama dengan populasi yang mempunyai µo = 110 kg


b) Pengujian Hipotesis 1 sisi kiri

Komposisi pengujian : Ho : µ = µo

H1 : µ < µo

Fungsi penaksiran :

zo =

ns

x oµ−

Aturan pengujian : Tolak Ho bila z < α21z

Terima Ho bila z > α21z

Contoh :

Suatu sampel yang terdiri dari 36 buah bola baja mempunyai x = 100

kg, s = 24, µo = 115 dan confidence coeficient 95%. Laksanakan

pengujian terhadap µ < 115 kg

Penyelesaian :

Ho : µ = µo

H1 : µ < 115

zo =

3624

110100− = -3,75

confidence coeficient 95%

α = 100% - 95% = 5%

Jadi taraf nyata atau level of significance = 0,05


- α21z Critical region

(ditolak)


Menurut tabel distribusi normal (lampiran III)

- zα = - 1,65

Peraturan pengujian : Tolak Ho jika z < -zα , ternyata z = -3,75 dan

zα = -1,65 jadi Ho ditolak atau H1 diterima

c) Pengujian Hipotesis 1 sisi kanan

Komposisi pengujian : Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

Fungsi penaksiran :

zo =

ns

x oµ−

Aturan pengujian : Tolak Ho bila z > α21z

Terima Ho bila z < α21z

Contoh ;

Ukuran sampel 36 karung, x = 100 kg, s = 24, confidence coeficient

95%. Adakan pengujian terhadap pernyataan µ > 95 kg

Penyelesaian :

Ho : µ = µo

H1 : µ > 95

zo =

3624

95100− = 1,25

confidence coeficient 95%


+ α21z Critical region

(ditolak)


α = 100% - 95% = 5% = 0,05

Berdasarkan tabel Distribusi Normal (lampiran III)

zα = 1,65

Peraturan pengujian Tolak Ho jika z > zα

Ternyata z < zα

Jadi Ho diterima atau H1 ditolak

2. Ukuran sampel kecil ( n< 30)

Pengujian hipotesis untuk ukuran sampel kecil digunakan Tabel

Distribusi-t (lampiran IV).

t =

ns

x oµ−

Contoh ;

Menurut iklan mobil A menempuh rata-rata 10 km untuk setiap 1 liter

bensin yang dipakai. Untuk menguji benar tidaknya pernyataan tersebut

telah diambil 10 buah mobil dan ternyata rata-rata hanya menempuh 9,7

km untuk setiap liter bensin dengan deviasi standar 0,4 km. Level of

significance = 0,05

Penyelesaian :

Yang diuji hipotesisi nol (Ho) yang menyatakan bahwa µ = 10 terhadap

hipotesis alternatif yang menyatakan bahwa µ < 10. ini adalah pengujian

hipotesis 1 sisi kiri. Untuk degree of freedom (df) = 9 dan t0,05 pada tabel

Distribusi-t (lapiran IV) memberikan angka -1,933.

t =

ns

x oµ− =

104,0

107,9 − = -2,37

Ternyata -2,37 < t0,05 , jadi Ho yang menyatakan µ = 10 ditolak, atau yang

menyatakan µ < 10 diterima.

Pers. 7.9


BAB VIII

ANALISIS REGRESI & KORELASI

IV.14. Pendahuluan

Data yang terdiri dari dua atau lebih variabel dapat dipelajari cara

bagaimana variabel-variabel itu berhubungan. Hubungan yang didapat pada

umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan

hubungan fungsional antara variabel-variabel. Studi yang menyangkut

masalah ini dikenal dengan analisis regresi.

Persoalan berikutnya yang dirasakan perlu, jika data hasil pengamatan

terdiri dari banyak variabel, ialah berapa kuat hubungan antara variabel-

variabel itu terjadi. Dengan kata lain, perlu ditentukan derajat hubungan

antara variabel-variabel. Studi yang membahas tentang derajat hubungan,

terutama tentang data kuantitatif dinamakan koefisien korelasi.

Analisis korelasi sukar untuk dipisahkan dengan analisis regresi.

IV.15. Analisis Regresi

a. Macam-macam hubungan

a.1. Hubungan Positif

Jika faktor yang satu bertambah, faktor yang lainnya-pun

bertambah pula.

Contoh : Hubungan antara berat badan dan umur

Gambar 8.1 Hubungan Positif

a.2. Hubungan Negatif

Apabila faktor yang satu bertambah, faktor yang lainnya akan

berkurang.


Contoh : Hubungan antara pasokan dan harga

Gambar 8.2 Hubungan Negatif

a.3. Hubungan Cekung


berkurang tetapi selanjutnya bertambah

Contoh : Hubungan antara umur seseorang dengan biaya

perawatan.

Gambar 8.3 Hubungan Cekung

a.4. Hubungan Cembung


bertambah lebih besar tetapi kemudian menurun lagi

Contoh : hubungan antara pendapatan dan pengeluaran

Gambar 8.4 Hubungan Cembung

b. Penyelidikan ada tidaknya hubungan

b.1. Dengan mempergunakan tabel

Tabel ini terdiri dari 2 kolom utama. Kolom pertama isi faktor

yang nilai-nilainya berubah beraturan dari nilai yang kecil ke nilai

yang besar. Sedngkan kolom yang lainnya menyatakan berapa


nilainya pada waktu faktor di kolom pertama mencapai suatu nilai

tertentu.

Pada tabel 8.1 ditunjukkan hubungan antara umur dan berat

seseorang.

Tabel 8.1 Hubungan antara umur dan berat

Umur Berat Titik

12

13

14

16

17

17

18

19

19

20

21

22

22

23

30

27

35

35

32,5

40

39

47,5

42,5

39

42,5

45

50

49

H

G

I

C

D

M

A

E

K

N

B

J

F

L

b.2. Dengan Scattergram

Hubungan antara umur dan berat pada tabel 8.1 dapat ditunjukkan

dengan grafik yang disebut Scattergram seperti pada gambar 8.5

Gambar 8.5 Scattergram hubungan antara

umur dan berat seseorang

12 14 16 18 20 22 24

G 25

30

35

40

45

50

55

H

I

C D

M A K

E

N

B J

F

L


c. Garis Regresi

Garis regresi adalah garis yang menunjukkan arah dan besarnya

hubungan antara 2 faktor, sesudh pengaruh-pengaruh lainnya

dihilangkan. Gambaran garis regresi dapat dilakukan dengan beberapa

cara :

c.1. Cara Perkiraan

Cara ini paling sederhana. Dengan perkiraan menetukan bagaimana

sebaiknya letak dan arah garis yang mewakili data yang telah di

plot pada sistem sumbu XY. Mungkin akan ditarik garis yang

berbeda oleh orang yang berbeda. Pada gambar 8.5 garis itu ditarik

sebagai l1 atau l2.

c.2. Cara Pengambilan 2 rata-rata

Dengan cara ini diambil rata-rata dari beberapa angka terendah dan

rata-rata dari beberapa angka tertinggi

Contoh (lihat tabel 8.1)

Rata-rata hitng untuk 4 angka terendah :

Umur : 4

)16141312( +++ = 13,8

Berat : 4

)35352730( +++ = 31,8

Hasilnya ialah titik (A) dengan absis = 13,8 dan ordinat = 31,8

Rata-rata hitung untuk 4 angka tertinggi :

Umur : 4

)21222223( +++ = 22

Berat : 4

)5,42455049( +++ = 46,6

Hasilnya ialah titik (B) dengan absis = 22 dan ordinat = 46,6


Dengan cara dua rata-rata ini dapat pula ditemukan garis regresi

dalam bentuk persamaan garis. Untuk garis yang menghubungkan

2 buah titik (x1 , y1) dan (x2 , y2) adalah yang memenuhi persamaan

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

Jadi garis yang menghubungkan titik-titik (13,8 ; 31,8) dan (22 ;

46,6) diperoleh dengan perhitungan :

)8,13(8,1322

8,316,468,31 −

−−=− xy

)8,13(2,8

8,148,31 −=− xy

y – 31,8 = 1,8 x – 24,8

y = 1,8 x + 7

c.3. Metode Least Square

Cara ini adalah cara yang paling lazim dipakai. Untuk memperoleh

garis regresi dalam bentuk persamaan garis y = a x + b diperlukan

dua persamaan :

∑ ∑∑ =+ )(2 xyxbxa

∑ ∑=+ yNbxa

Sebagai contoh, tabel 8.1 dapat dikembangkan menjadi Tabel 8.2

sebagai berikut :

Tabel 8.2 Tabel untuk Metode Least Square

x y x2 xy

12

13

14

16

17

17

18

19

19

20

21

30

27

35

35

32,5

40

39

47,5

42,5

39

42,5

144

169

196

256

289

289

324

361

361

400

441

360

351

490

560

552,5

680

702

902,5

807,5

780

892,5

Pers. 8.1

Pers. 8.2


22

22

23

45

50

49

484

484

529

990

1100

1127

253 554 4727 10295

∑ ∑ =+ xyxbxa 2

4727 a + 253 b = 10295 (1)

∑ ∑=+ yNbxa

253 a + 14 b = 554 (2)

(1) * 14 : 66.178 a + 3.542 b = 144.130

(2) * 253 : 66.009 a + 3.542 b = 140.162 -

2.169 a = 3.968

a = 1,83

dari persamaan (2)

253 a + 14 b = 554

14 b = 554 – (253 x 1,83)

b = 6,5

Persamaan garis regresi : y = 1,83 x + 6,5

Persamaan garis regresi dapat digunakan untuk memperkirakan

faktor-faktor yang tidak terdapat dalam faktor yang menentukan

garis regresi tersebut. Memperkirakan faktor yang ada di antara

data dasar disebut interpolasi. Misalkan memperkirakan berat

badan dari orang yang berumur 15 tahun, dengan x = 15 dapat

dihitung y berdasarkan persamaan garis regresi y = 1,83 x + 6,5

sehingga diperoleh y = 33,95. Jadi untuk umur 15 tahun, berat

badan orang tersebut adalah 33,95 kg. Memperkirakan faktor di

luar batas data dasar disebut ekstrapolasi. Misalkan memperkirakan

berat badan orang yang berumur 24 tahun atau x = 24, diperoleh

y = 50,42 atau berat badan orang tersebut adalah 50,42 kg.

IV.16. Analisis Korelasi

a. Nilai-nilai koefisien korelasi (r)


a.1. Besarnya nilai koefisien korelasi terletak diantara -1 dan +1 atau -1 ≤

r ≤ +1

a.2. Apabila dua faktor mempunyai hubungan yang tepat sekali, koefisien

korelasinya adalah r = +1 atau r = -1

a.3. koefisien korelasi r = 0 menyatakan tidak ada hubungan antara kedua

faktor

a.4. suatu hubungan dinyatakan posistif, apabila nilai-nilai faktor pertama

meningkat, nilai-nilai faktor kedua meningkat pula

a.5. suatu hubungan dinyatakan negatif, apabilanilai-nilai faktor pertama

meningkat, nilai-nilai faktor kedua menurun

b. Teknik menghitung koefisien korelasi (cara Pearson)

b.1. Dengan rata-rata deviasi

Untuk mendapatkan nilai r, dipergunakan nilai perbedaan setiap

faktor (xi) dengan rata-rata hitungnya, yaitu xxx i −= dan

yyy i −= dalam persamaan :

∑ ∑∑=

22 yx

xyr

b.2. Dengan metode Raw Score

yx

ii

ss

yxN

yx

r.

.−=

∑

Contoh :

Akan dihitung koefisien korelasi r dari kedua pasangan nilai ix dan

iy seperti pada Tabel 8.3 kolom 1 dan 2. Guna keperluan subtitusi

untuk persamaan (8.3) dan (8.4) yang dipakai, Tabel 8.3 dilengkapi

dengan kolom-kolom selanjutnya berisikan faktor-faktor yang

diperlukan.

Pers. 8.3

Pers. 8.4


Tabel 8.3 Tabel untuk koefisien korelasi

ix iy xxx i −= 2x yyy i −= 2y xy ix iy 2

ix 2iy

1

3

5

7

9

11

13

7

4

13

16

10

22

19

-6

-4

-2

0

2

4

6

36

16

4

0

4

16

36

-6

-9

0

3

-3

9

6

36

91

0

9

9

81

36

36

36

0

0

-6

36

36

7

12

65

112

90

242

247

1

9

25

49

81

121

169

49

16

169

256

100

484

361

49 91 112 252 138 775 455 1435

Kolom ke-3 dan seterusnya diperoleh setelah terlebih dahulu

mengitung rata-rata hitung dari ix dan iy masing-masing, yaitu x = 7

dan y = 13. Koefisien korelasi dengan :

a. Rata-rata deviasi

∑ ∑∑=

22 yx

xyr =

252112

138

× = 0,82

b. Metode Raw Score

Untuk menghitung deviasi standar s dapat digunakan dua cara

1. Cara biasa, menurut persamaan (3.10)

∑ −= 2)(1

xxn

s ix

167

112 ==xs = 4

∑ −= 2)(1

yyn

s iy


367

252 ==ys = 6

2. Cara khusus (short method), menurut persamaan (3.11)

∑ −= 22 )(1

xxn

s ix

27)455(7

1 −=xs = 4

∑ −= 22 )(1

yyn

s iy

213)1435(7

1 −=ys = 6

Jadi koefisien korelasi dengan metode Raw Score adalah :

yx

ii

ss

yxN

yx

r.

.−=

∑ =

64

)137(7

775

×

×−

r = 24

71,19

24

9171,110 =− = 0,82


BAB IX

ANALISIS VARIANS

IV.17. Definisi

Analisis varians adalah salah satu cara analisis yang berguna bagi manajemen

dalam mengambil kesimpulan secara statistik. Dengan perkataan lain adalah

salah satu cara analisis variasi yang terjadi diantara kelompok data.

IV.18. Persamaan Fisher & Wilks

Untuk distribusi sampel dengan n ≤ 100, Fisher dan Wilks memberi persamaan

varians dan deviasi standar :

∑=

−−

=n

ii xx

ns

1

22 )(1

1

∑=

−−

=n

ii xx

ns

1

2)(1

1

Persamaan (9.1) dapat disederhanakan menjadi :

1

)( 22

2

−

−=∑

∑

nn

xx

s

ii

Deviasi standar ini sebetulnya digunakan untuk penaksiran yang tidak bias

(unbiased estimate) terhadap deviasi standar populasi. Banyak statistisis yang

menganjurkan penggunaan pembagi n – 1 dalam menghitung varians dan

deviasi standar sampel guna menaksir varians dan deviasi standard populasi.

Bila jumlah n kecil, hasil penggunaan persamaan (9.2) mengkin berbeda secara

berarti dibandingkan dengan hasil penggunaan persamaan (3.11). sebaliknya

bila jumlah n besar sekali, perbedaan itu menjadi tidak berarti.

∑ −= 2)(1

xxfn

s ii

Pers. 9.1

Pers. 9.2

Pers. 9.3

Pers. 3.13


IV.19. Contoh Pemakaian Analisis Varians

Bagian bubut sebuah bengkel harus membuat As dengan diameter 3 inch.

Operator yang ditugaskan ada 4 orang (A, B, C dan D) dan mesin yang

digunakan 3 buah (I, II dan III). Dari hasil yang diperoleh selama ini ternyata

banyak penyimpangan diameter bila dibandingkan dengan standar yang sudah

ditentukan. Oleh karena produksinya kurang memuaskan, pimpinan perusahaan

mengadakan penyelidikan terhadap varians-varians yang terjadi, apakah

disebabkan oleh faktor operator atau faktor mesin. Hasil penyelidikan berupa

data seperti pada Tabel 9.1 dibawah ini :

Tabel 9.1 Hasil penyelidikan diameter As

Mesin Operator

I II III

A B

C

D

3,1 3,0

2,8

2,9

3,0 3,1

3,1

2,8

2,9 2,8

3,0

3,0

Berdasarkan Tabel 9.1 diatas, dibuat Tabel 9.2 untuk menentukan nilai varians

total, varians operator, dan varians mesin berdasarkan varians masing-masing.

1. Varians Total

1

)( 22

2

−

−=∑

∑

nn

xx

s

i

i

total

2. Varians Operator

1

)()(

22

2

−

−=∑

∑

o

o

o

o

op n

n

xx

s

3. Varians Mesin

1

)()(

22

2

−

−=∑

∑

m

m

mm

ms n

n

xx

s

Pers. 9.4

Pers. 9.5

Pers. 9.6


Tabel 9.2 Pengembangan dari Tabel 9.1 untuk varians

Mesin I Mesin II Mesin III 1x + 2x + 3x ox = 2

1x + 22x + 2

3x ( ox )2=

1x 21x 2x 2

2x 3x 23x = ix ix /3 = 2

ix 2ix /3

A

B

C

D

3,1

3,0

2,8

2,9

9,61

9,00

7,84

8,41

3,0

3,1

3,1

2,8

9,0

9,61

9,61

7,84

2,9

2,8

3,0

3,0

9,41

7,84

9,00

9,00

9,0

8,9

8,9

8,7

3,00

2,97

2,97

2,90

27,02

26,45

26,45

25,25

9,007

8,817

8,817

8,417

Σ 11,8 34,86 12,0 36,06 11,7 34,25 35,5 11,84 105,17 35,058

mx 2,95 3,0 2,93

( mx )2 8,703 9,0 8,585

Dari tabel diatas, masing-masing varians dapat dihitung dengan mudah.

1. Varians Total

)112(12

)5,35(17,105

2

2

−

−=totals = 0,0138

2. Varians Operator

)14(4

)84,11(058,35

2

2

−

−=ops = 0,004

3. Varians mesin

)13(3

)88,8(288,26

2

2

−

−=mss = 0,0016

Dari hasil perhitungan dapat dilihat bahwa varians operator relatif lebih

besar daripada varians mesin. Jadi operatorlah yang paling utama sebagai

penyebab penyimpangan dan penyebab berikutnya adalah faktor mesin.

Menurut hasil penyelidikan itu, tindakan pertama yang harus diambil

manajemen adalah “menyeragamkan kembali cara kerja operarot” agar

sesuai dengan standarnya.


Nilai varians total dapat dipakai sebagai kontrol atas ketelitian hasil

perhitungan varians mesin dan varians operator. Nilai varians total harus

lebih besar dari varians mesin dan varians operator, karena kedua varians itu

merupakan bagian dari varians total.

Documents

Statistik dan Probabilitas 3 · Statistik dan Probabilitas 5 Jadi populasi merupakan grup yang memungkinkan dibuatnya perencanaan untuk mengambil langkah-langkah tindakan berdasarkan