051210170613Kuliah Statistik 4 - Probabilitas

JURUSAN TEKNIK SIPIL

UNIVERSITAS ANDALAS

oleh :

Purnawan, PhD

----- Kuliah ke 4 -----

STATISTIKA dan

PROBABILITAS

Bab 4 Penggunaan Probabilitas dan

Distribusi Probabilitas

Materi Bab 4

Menjelaskan 3 pendekatan untuk menganalisa

probabilitas

Menerapkan aturan umum probabilitas

Menggunakan Theorema Bayesia untuk

probabilitas kondisional

Membedakan antara distribusi probabilitas

diskret dan kontinu

Menghitung expected value dan standard deviation untuk distribusi probabilitas diskret

Definisi penting

Probability merupakan kesempatan bahwa sebuah kejadian tidak pasti akan terjadi (nilai

antara 0 dan 1)

Experiment merupakan proses untuk memperoleh hasil dari kejadian yang tidak pasti

Elementary Event hasil yang sangat dasar yang mungkin dari eksperimen sederhana

Sample Space pengumpulan dari semua hasil dasar

Ruang Sampel

(sample space) Ruang sampel adalah kumpulan dari semua

kemungkinan yang dihasilkan

Contoh : kemungkinan muka dadu ada 6 muka

Contoh : kemungkinan muka kartu ada 52 muka

Kejadian (event)

Kejadian dasar (elementary event) sebuah

hasil dari sebuah ruang sampel dengan satu

karakteristik

- Contoh : Kartu merah dari kumpulan kartu

Kejadian (event) kejadian yang

menghasilkan dua atau lebih hasil secara

serentak

- Contoh : Sebuah kartu as merah dari kumpulan kartu

Visualizing Events

Tabel kemungkinan (contingency)

Diagram pohon

Merah 2 24 26

Hitam 2 24 26

Total 4 48 52

As Not As Total

Full Deck

of 52 Cards

Sample

Space

Sample

Space 2

24

2

24

Elementary Events

Dari catatan konsultan mobil, tipe bahan bakar

dan tipe kendaraan

2 tipe bahan bakar : Bensin, Diesel

3 tipe kendaraan : Truk, Mobil, SUV

6 possible elementary events:

e1 Bensin, Truk

e2 Bensin, Mobil

e3 Bensin, SUV

e4 Diesel, Truk

e5 Diesel, Mobil

e6 Diesel, SUV

Mobil

Mobil

e1

e2

e3

e4

e5

e6

Konsep Probabilitas

Kejadian Mutually Exclusive

Jika E1 terjadi, kemudian E2 tidak terjadi

E1 dan E2 tidak mempunyai elemen yang

berkaitan

Kartu Hitam

Kartu

Merah

Sebuah kartu

tidak dapat

berwarna hitam

dan merah saat

bersamaan.

E1 E2

Independent and Dependent Events

- Independent : kejadian yang satu tidak

mempengaruhi probabilitas kejadian yang lain

- Dependent : kejadian yang satu

mempengaruhi probabilitas kejadian yang lain

Konsep Probabilitas

Independent Events

E1 = muka koin hasil lemparan pertama

E2 = muka koin hasil lemparan kedua

Hasil dari lemparan koin kedua tidak tergantung oleh

hasil lemparan koin pertama.

Dependent Events

E1 = berita ramalan hujan

E2 = membawa payung pergi kerja

Probabilitas kejadian kedua dipengaruhi oleh

kejadian pertama

Independent vs Dependent Events

Perhitungan Probabilitas

Classical Probability Assessment

Kejadian Frekuensi Relatif

Penilaian Probabilitas Subyektif

P(Ei) = Jumlah kejadian Ei yg dpt terjadi

Jumlah total kejadian dasar

Freq. Relatif dari Ei = Jumlah kejadian Ei

N

Sebuah pendapat atau pertimbangan oleh

pengambil keputusan tentang kemungkinan besar

sebuah kejadian

Aturan Probabilitas

Aturan utk

Nilai Probabilitas

dan Jumlah

Nilai Individu Jumlah Seluruh Nilai

0 P(ei) 1

Utk setiap

kejadian ei

1)P(ek

1i

i

dimana :

k = jumlah kejadian dasar didalam

suatu ruang sampel

ei = i

th kejadian dasar

Aturan Penjumlahan utk Kejadian Dasar

Probabilitas suatu kejadian Ei adalah sama

terhadap jumlah dari probabilitas dari

kejadian dasar Ei.

Sehingga, jika:

Ei = {e1, e2, e3}

kemudian :

P(Ei) = P(e1) + P(e2) + P(e3)

Aturan Pelengkap (Complement Rule)

Pelengkap dari suatu kejadian E adalah

kumpulan semua kejadian dasar yangtidak

mengandung kejadian E. Pelengkap dari

kejadian dinyatakan dengan E.

Aturan Pelengkap :

P(E)1)EP( E

E

1)EP(P(E) Atau

Aturan Penambahan (addition rule) utk dua kejadian

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)

E1 E2

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2) Jangan dihitung

elemen ini dua kali !

Addition Rule:

E1 E2 + =

Contoh : Addition Rule

P(Red Ace) = P(Red) +P(Ace) - P(Red Ace)

= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 Jangan

dihitung

dua As

merah dua

kali !

Black

Color Type Red Total

Ace 2 2 4

Non-Ace 24 24 48

Total 26 26 52

Addition Rule utk Mutually Exclusive Events

Jika E1 dan E2 adalah mutually exclusive,

then

P(E1 E2) = 0

Sehingga :

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)

= P(E1) + P(E2)

E1 E2

Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability)

Conditional probability untuk setiap

dua kejadian E1 , E2 :

)P(E

)E P(E)E|P(E

2

2121

0)P(Edimana 2

Berapa probabilitas bahwa sebuah mobil

mempunyai CD player dan AC ?

Misal : Kita ingin menghitung P(CD | AC)

Contoh : Conditional Probability

Pada kumpulan mobil bekas yang banyak, 70% mempunyai AC dan 40% mempunyai CD player serta 20% dari mobil tsb mempunyai keduanya

No CD CD Total

AC .2 .5 .7

No AC .2 .1 .3

Total .4 .6 1.0

Pada kumpulan mobil bekas yang banyak, 70% mempunyai AC dan 40% mempunyai CD player serta 20% dari mobil tsb mempunyai keduanya

.2857.7

.2

P(AC)

AC)P(CDAC)|P(CD

(lanjutan)



No CD CD Total

AC .2 .5 .7

No AC .2 .1 .3

Total .4 .6 1.0

Untuk mobil ber-AC, kita hanya melihat baris atas (70% mobil). Pada baris ini, 20% mobil mempunyai CD player. 20% dari 70% adalah sekitar 28.57%.

.2857.7

.2

P(AC)

AC)P(CDAC)|P(CD

(lanjutan)

Independent Events

Conditional probability untuk

independent events E1 , E2:

)P(E)E|P(E 121 0)P(Edimana 2

)P(E)E|P(E 212 0)P(Edimana 1

Multiplication Rules

Multiplication rule untuk 2 kejadian E1 dan E2 :

)E|P(E)P(E)EP(E 12121

)P(E)E|P(E 212 Note: Jika E1 dan E2 independent, lalu

Dan multiplication rule disederhanakan menjadi

)P(E)P(E)EP(E 2121

Contoh : Diagram Pohon

Diesel P(E2) = 0.2

Gasoline

P(E1) = 0.8

Car: P(E4|E1) = 0.5

P(E1 and E3) = 0.8 x 0.2 = 0.16

P(E1 and E4) = 0.8 x 0.5 = 0.40

P(E1 and E5) = 0.8 x 0.3 = 0.24

P(E2 and E3) = 0.2 x 0.6 = 0.12

P(E2 and E4) = 0.2 x 0.1 = 0.02

P(E3 and E4) = 0.2 x 0.3 = 0.06

Car: P(E4|E2) = 0.1

A drilling company has estimated a 40%

chance of striking oil for their new well.

A detailed test has been scheduled for more

information. Historically, 60% of successful

wells have had detailed tests, and 20% of

unsuccessful wells have had detailed tests.

Given that this well has been scheduled for a

detailed test, what is the probability that the well will be successful?

Contoh : Teorema Bayes

Let S = successful well and U = unsuccessful well

P(S) = 0.4 , P(U) = 0.6 (prior probabilities)

Define the detailed test event as D

Conditional probabilities:

P(D|S) = 0.6 P(D|U) = 0.2

Revised probabilities

Event Prior

Prob.

Conditional

Prob.

Joint

Prob.

Revised

Prob.

S (successful) 0.4 0.6 0.4*0.6 = 0.24 0.24/0.36 = 0.67

U (unsuccessful) 0.6 0.2 0.6*0.2 = 0.12 0.12/0.36 = 0.33

Sum = .36

(continued)


Given the detailed test, the revised probability

of a successful well has risen to .67 from the

original estimate of .4


Event Prior

Prob.

Conditional

Prob.

Joint

Prob.

Revised

Prob.

S (successful) 0.4 0.6 0.4*0.6 = 0.24 0.24/0.36 = 0.67

U (unsuccessful) 0.6 0.2 0.6*0.2 = 0.12 0.12/0.36 = 0.33

Sum = .36

(lanjutan)

Introduction to Probability Distributions

Random Variable

Represents a possible numerical value from

a random event

Random Variables

Discrete

Random Variable

Continuous

Random Variable

Experiment: Toss 2 Coins. Let x = # heads.

T

T

Discrete Probability Distribution

4 possible outcomes

T

T

H

H

H H

Probability Distribution

0 1 2 x

x Value Probability

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

.50

.25

Pro

bab

ilit

y

A list of all possible [ xi , P(xi) ] pairs

xi = Value of Random Variable (Outcome)

P(xi) = Probability Associated with Value

xis are mutually exclusive

(no overlap)

xis are collectively exhaustive

(nothing left out)

0 P(xi) 1 for each xi

S P(xi) = 1

Discrete Probability Distribution

Discrete Random Variable Summary Measures

Expected Value of a discrete distribution (Weighted Average)

E(x) = Sxi P(xi)

Example: Toss 2 coins,

x = # of heads,

compute expected value of x:

E(x) = (0 x .25) + (1 x .50) + (2 x .25) = 1.0

x P(x)

0 .25

1 .50

2 .25

Standard Deviation of a discrete distribution

where:

E(x) = Expected value of the random variable

x = Values of the random variable

P(x) = Probability of the random variable having the value of x


P(x)E(x)}{x 2x

(continued)

Example: Toss 2 coins, x = # heads, compute standard deviation (recall E(x) = 1)


P(x)E(x)}{x 2x

.707.50(.25)1)(2(.50)1)(1(.25)1)(0 222x

(continued)

Possible number of heads

= 0, 1, or 2

Two Discrete Random Variables

Expected value of the sum of two discrete random variables:

E(x + y) = E(x) + E(y)

= S x P(x) + S y P(y)

(The expected value of the sum of two random variables is the sum of the two expected values)

Covariance

Covariance between two discrete random

variables:

xy = S [xi E(x)][yj E(y)]P(xiyj)

where:

xi = possible values of the x discrete random variable

yj = possible values of the y discrete random variable

P(xi ,yj) = joint probability of the values of xi and yj occurring

Covariance between two discrete random

variables:

xy > 0 x and y tend to move in the same direction

xy < 0 x and y tend to move in opposite directions

xy = 0 x and y do not move closely together

Interpreting Covariance

Correlation Coefficient

The Correlation Coefficient shows the strength of the linear association between two variables

where:

= correlation coefficient (rho) xy = covariance between x and y x = standard deviation of variable x y = standard deviation of variable y

yx

yx

The Correlation Coefficient always falls

between -1 and +1

= 0 x and y are not linearly related.

The farther is from zero, the stronger the linear

relationship:

= +1 x and y have a perfect positive linear relationship

= -1 x and y have a perfect negative linear relationship

Interpreting the Correlation Coefficient

Chapter Summary

Described approaches to assessing probabilities

Developed common rules of probability

Used Bayes Theorem for conditional

probabilities

Distinguished between discrete and continuous

probability distributions

Examined discrete probability distributions and

their summary measures

See you

in the next chapter

Documents

051210170613Kuliah Statistik 4 - Probabilitas