STATISTIK DASAR PROBABILITAS

Titin Sri Martini

PROBABILITAS

1

Menjelaskan pengertian probabilitas, ruang sampel, kejadian, probabilitas suatu kejadian, operasi dan aturan menghitung, probabilitas bersyarat dan independensi

KKD II

2

Probabilitas

3Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS

• PROBABILITAS menyatakan ketidakpastian dalam bentuk peluang.

ATAU• PROBABILITAS menyatakan ukuran

numerik dari kemungkinan suatu kejadian akan terjadi.

Probabilitas


Probabilitas☻Berapakah peluang mendapatkan sisi muka pada pelemparan tunggal suatu koin ? Gunakan skala dari 0 (tidak terjadi) sampai dengan 1 (pasti terjadi).

☻Pelemparan koin dua kali. Lakukan ! Apakah anda mendapatkan satu sisi muka dan satu sisi belakang ? Apakah arti semuanya ?


Percobaan (Experiment)· Proses mendapatkan suatu hasil atau kejadian

sederhana melalui pengamatan.

Titik Sampel (Sample Point)/ hasil (outcome)· Hasil percobaan paling dasar.

Ruang Sampel (S)· Kumpulan dari seluruh hasil yang mungkin.

Percobaan, Titik Sampel, ruang Sampel

6

Ruang Sampel tergantung pada Eksperimenter !Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS

· Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sample.

· Kejadian Sederhana (Simple Event)Hasil dasar dari sebuah eksperimen yang tidak dapat disederhanakan lagi karena mengandung satu unsur ruang sampel.

Kejadian


· Kejadian Majemuk (Compound Event)Kejadian yang terdiri atas dua atau lebih kejadian sederhana.

8

Kejadian

Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS

Eksperimen : Pelemparan sebuah daduHasil : Mata dadu yang tampak di

atasRuang sampel : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suatu Kejadian : A = titik ganjil tampak{1, 3, 5}

Contoh

9

Titik sampel

Bentuk Kejadian Majemuk Irisan (Intersection)

Hasilnya antara dua kejadian A dan BDinyatakan dengan ‘DAN’Lambang ∩ (contoh : A ∩ B)

Gabungan (Union)Hasilnya salah satu kejadian A atau B atau keduanyaDinyatakan dengan ‘ATAU’Lambang ∪ (contoh : A B)∪

Kejadian Majemuk


Irisan Kejadian : Diagram VennEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu

Kejadian Majemuk (Irisan)


Irisan Kejadian : Tabel KontingensiEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu

12

Kejadian Majemuk (Irisan)


Gabungan Kejadian : Diagram VennEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu

13

Kejadian Majemuk (Gabungan)


Gabungan Kejadian : Tabel KontingensiEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu

14

Kejadian Majemuk (Gabungan)


Kejadian mutually exclusive adalah kejadian saling lepas, yaitu bila suatu perstiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat/ mungkin terjadi pada saat yang bersamaan.

CONTOH :Pada percobaan melantumkan uang logam. Kejadian munculnya GAMBAR akan selalu bergantian dengan munculnya ANGKA.

15

Kejadian Mutually Exclusive


16

Kejadian Mutually Exclusive


• Contoh

• Ac dikatakan komplemen dari A bila kejadian yang muncul adalah selain kejadian A, yaitu kejadian yang terdiri atas kejadian sederhana yang tidak termasuk dalam kejadian A.

17

Kejadian Komplemen


CONTOH :Dalam undian dengan sebuah dadu, misalkan A = mendapat muka 6 di sebelah atas. Tentukan ruangsampel kejadian A dan Ac !

JAWAB :A={6} Ac ={1, 2, 3, 4, dan 5}.

NB : kejadian A dan Ac juga merupakan dua kejadian yang saling lepas atau mutually exclusive .

18

Kejadian Komplemen


· Kejadian independent adalah kejadian saling bebas, yaitu terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian lain.

CONTOH :Undian dilakukan dengan melantumkan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Misalkan A = muncul ANGKA pada pelemparan pertama dan B = muncul ANGKA pada pelemparan kedua.

19

Kejadian Independen


· Kejadian A dan B merupakan kejadian independent, karena probabilitas kejadian B (terjadinya muncul ANGKA pada pelemparan kedua) tidak dipengaruhi oleh kejadian A.

20

Kejadian Independen


• Kejadian kosong adalah kejadian mustahil, yaitu himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung unsur.

21

Kejadian Kosong


· Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel dapat dihitung dengan cara PERMUTASI dan KOMBINASI.

· PERMUTASIPermutasi digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat sekelompok objek. Pada permutasi kita berkepentingan pada susunan atau urutan dari objek.

n : jumlah total objek yg disusunr : jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaam

22

Menghitung Titik sampel


! rn

n!Prn

· Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

Contoh Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang dudukmengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa carakeempat orang mahasiswa tadi dapat dudukmengelilingi meja tersebut.

PenyelesaianKeempat mahasiswa tadi dapat diatur mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6

23

Permutasi melingkar (Siklis)

• KOMBINASIKombinasi dipergunakan apabila akan dihitung berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.

24

Menghitung Titik sampel

!rnr!n!

Crn

rn


Huruf A, B, C disusun berpasangan antara 2 huruf.Tentukan jumlah titik sampel yang mungkin, bila dengan memperhatikan urutan dan tidak memperhatikan urutan.· Memperhatikan urutan objek (PERMUTASI)

25

Contoh menghitung Titik sampel

6123

..1!3!

!233!

P23


AB CBBA ACBC CA

· Tanpa memperhatikan urutan objek (KOMBINASI)AB, BC, AC

26

Contoh menghitung Titik sampel


3

!232!

3!C

23

23

• Terdapat 20 pelamar untuk menduduki lowongan programmer, IT consultan dan database administrator. Berapa alternatif yang tersedia untuk menempatkan pelamar pada lowongan yang tersedia?

• Manajer personalia memutuskan untuk menerima 5 sarjana FISIKA baru dari 100 lamaran yang masuk. Berapa alternatif yang tersedia bagi manajer tersebut?

27

SOAL


· Ukuran numerik dari kemungkinan suatu kejadian akan terjadi•P(Kejadian)•P(A)•Prob(A)

· Terletak antara 0 & 1· Jumlah seluruh kejadian adalah 1

28

Peluang Kejadian


• Pendekatan klasik• Pendekatan frekuensi relatif • Pendekatan subyektif

29

Pendekatan Penetapan Peluang Kejadian


• Didasarkan pada asumsi bahwa kemungkinan kemunculan setiap hasil sama besar.

• Memungkinkan penentuan nilai probabilitas sebelum peristiwa sampel dilakukan.

30

Pendekatan Klasik


SNAN

AP

Hasil elementer yang mungkin diinginkan untk peristiwa A

Hasil yang mungkin dalam ruang sampel

Tiap hasil elementer sama – sama mungkin dan saling meniadakan (mutually exclusive)

· Contoh Pendekatan Klasik

31

Contoh Pendekatan Klasik


· Probabilitas ditentukan menurut dasar proporsi kejadian kemunculan hasil dalam sejumlah observasi.

· Tidak ada asumsi sebelumnya tentang kemungkinan kemunculan yang sama besar seperti pada pendekatan klasik.

32

Pendekatan Frekuensi Relatif


nAn

AP

Jumlah peristiwa A yang mungkin terjadi

Jumlah total percobaan

• Periode wisuda sarjana ke 100 UNS meluluskan 900 orang, 520 diantaranya lulus dengan predikat memuaskan, 295 memperoleh predikat SM, dansisanya lulus dengan predikat CL. Maka,

33

Contoh Pendekatan Frekuensi Relatif


1 0,09 0,33 0,58 Total

0,0990085

CL lulusP

0,33900295

SM lulusP

0,58900520

memuaskan lulusP

· Probabilitas akan terjadinya suatu peristiwa adalah derajat kepercayaan oleh seseorang bahwa peristiwa tersebut akan terjadi berdasarkan semua bukti yang dimiliki.

· Nilai probabilitas adalah penilaian pribadi.


Pendekatan Subyektif

ATURAN PENJUMLAHAN· Dipergunakan pada peristiwa yang saling lepas

(mutually exclusive) yaitu apabila suatu peritiwa terjadi maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.

· Aturan penjumlahan dinyatakan dengan :


ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK

nPBPAPn ... atau B atau AP

BPAPB atau AP

...


Contoh Perhitungan Aturan Penjumlahan

Saling lepasTidak mungkin terjadi pada saat bersamaan

1 0,4 0,6buruk atau baikP

0,420080

burukP

0,6200120

baikP

ATURAN PENJUMLAHAN PADA GABUNGAN KEJADIAN• Dalam keseharian jarang sekali terjadi hanya satu peristiwa

sederhana.• Pada gabungan kejadian terdapat dua jenis peristiwa yang

terjadi.• Diagram venn untuk kejadian bersama adalah :• Dilambangkan dengan P(AD)

37



• Aturan penjumlahan dinyatakan dengan :

P(A atau D) = P(A) + P(D)-P(A ∩D)

38



Pada contoh sebelumnya : probabilitas hasil inspeksi baik dari produk 1.

39

CONTOH ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK

0,800,15-0,350,6 P1BPP1PBPP1atau BP

150200

30P1BP

0,35200

70P1P

0,6200

120BP

,


ATURAN PERKALIAN· Dipergunakan pada peristiwa yang independent,

yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi.

· Contoh peristiwa independent adalah pelemparan mata uang dua kali, pada pelemparan pertama diperoleh ANGKA, pada pelemparan kedua bisa muncul ANGKA lagi atau GAMBAR (hasil lemparan pertama tidak mempengaruhi probabilitas kejadian kedua).



· Aturan perkalian dinyatakan dengan :



BP x APB dan AP

Pada pelemparan uang logam dua kali ke udara, berapa probabilitas kedua lemparan menghasilkan GAMBAR ?

JAWAB :• Probabilitas ANGKA = ½• Probabilitas GAMBAR = ½• Pada pelemparan pertama dan kedua probabilitas

GAMBAR sebesar ½, maka :


Contoh Perhitungan Aturan Perkalian

4

1

2

1

2

1 xBP x APB dan AP

ATURAN PERKALIAN PADA PROBABILITAS BERSYARAT· Probabilitas bersyarat adalah suatu peristiwa akan

terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi.

· Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan: P (A B )

· Probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi.



ABP x APB dan AP

Eksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu.Ditanya : berapa probabilitas As dengan syarat hitam


Contoh Aturan Perkalian pada Probabilitas Bersyarat

26

2

5226

522

HitamP

Hitamdan AsPHitamAsP

ABP x APBdan A P

• Tentukan berapa peluangnya ?


SOAL

BCP

DAP

• Andaikan {B1, B2, B3, … } sekumpulan peristiwa yang membentuk partisi dari ruang Sampel S, dimana P(Bi)≠0, untuk i=1, 2, …, n. Andaikan A sebarang peristiwa dalam S sedemikian hingga P(A)≠0. Maka, untuk k = 1, 2, …,n berlaku

46

TEOREMA BAYES

n

iii

kkn

ii

kk

BAPBP

BAPBP

ABP

ABPABP

11

1. Sebuah kotak berisi 4 bola, bernomor 1, 2, 3, 4. Eksperimen terdiri dari pengambilan satu bola, mencatat nomornya, mengembalikan ke dalam kotak, mengacak bola-bola tersebut, mengambil satu bola lagi dan mencatat nomornya.a. Ruang sampel eksperimen tersebut adalahb. Elemen-elemen kejadian P(jumlah kedua nomor adl

genap), ruang sampelnya adlc. Elemen-elemen kejadian Q(jumlah kedua nomor paling

sedikit 6), ruang sampelnya adl

47

SOAL

2. Dua dadu dilempar sekaligus. A = jumlah mata titik paling sedikit 5, Tentukan P(A)

3. Seorang mempunyai 9 kemeja, 6 celana dan 3 pasang sepatu. Berapa banyak cara orang tersebut dapat berpakaian secara berbeda ?

4. Dalam sebuah kotak berisi 15 bola, 6 bola hijau, 5 bola merah dan 4 bola biru. Sembilan bola diambil sekaligus dari kotak itu. a. Berapa hasil yang mungkin dari pengambilan bota (tak

terurut) dari 15 bola tersebut

48

SOAL

b. Berapa hasil jika terambil 2 bola hijau, 4 bola merah dan 3 bola biru

c. Probabilitas terambil 2 bola hijau, 4 bola merah dan 3 bola biru

5. Sebuah dadu dilembar 2 kali. Tentukan probabilitas untuk kejadiana. Sisi bilangan prima muncul pada pelemparan pertamab. Berturut-turut muncul bilangan prima

49

SOAL

6. Probabilitas seorang mahasiswa akan mendapat nilai A, B, C, D dan E dalam mata kuliah statistika adl 0,17; 0,26; 0,40; 0,11; 0,60a. Probabilitas bahwa seorang mahasiswa akan mendapat nilai A atau B adlb. Probabilitas bahwa seorang mahasiswa tidak akan mendapat nilai E adl

7. Sebuah kotak berisi 7 buah bola hitam dan 5 bola putih. Tiga bola diambil berturut-turut secara random tanpa pengembalian. Berapa probabilitas bola pertama hitam, kedua putih dan ketiga hitam

50

SOAL

• Variabel randomadalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja

• Variabel random merupakan deskripsi numerik dari hasil beberapa percobaan / eksperimen

51

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Jenis variabel random :1. Variabel random diskrit

variabel yang hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja. Nilainya berupa bilangan bulat.

2. Variabel random kontinu variabel yang nilainya dimungkinkan bervariasi pada

rentang tertentu. Nilainya berupa bilangan riil

52

Variabel Random

• Misalkan X variabel random diskrit, suatu fungsi f disebut fungsi distribusi probabilitas X jika untuk setiap hasil x yang mungkin memenuhi :

• Karena X variabel random diskrit maka distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit

53

Distribusi probabilitas variabel random diskrit

xfxX. P

xf.

xf

3

12

0 1.

• Pada percobaan melempar sebuah dadu 2 kali, misalkan X menyatakan jumlah mata dadu pada lemparan 1 dan ke 2, maka distribusi peluang X dapat disajikan dalam tabel berikut:

• Diperiksa :

Maka f adl fungsi distribusi peluang

54

Contoh Distribusi probabilitas variabel random diskrit

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=x)36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

12f12X3f3X 2f2X

136

1

36

2

36

1

enuhi terp0

P,,P,P

xf

xf

• Suatu variabel random kontinu X mempunyai peluang pada setiap titik X, sehingga distribusinya tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel tetapi hanya berupa rumusnya secara urut. Fungsi distribusi probabilitas variabel random kontinu disebut fungsi densitas peluang (fdp)

55

Distribusi probabilitas variabel random kontinu

• Misalkan X variabel random kontinu, suatu fungsi f disebut distribusi probabilitas X jika untuk setiap hasil x yang mungkin memenuhi :

• Karena X variabel random diskrit maka distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit

56

Distribusi probabilitas variabel random kontinu

dx xfb)X. P(a

dxxf.

xf.

b

a

Ax

3

12

0 1

Misalkan variabel random X mempunyai fdp (fungsi densitas peluang) sebagai berikut :

a. Tunjukkan f adl fungsi peluangb. Hitung P(0<X≤1)

57

Contoh Distribusi probabilitas variabel random kontinu

lain yang jika , 0

2x1- jika , 3

2

x

xf

• Akan diperiksa

58

Penyelesaian

9

1

9310P b.

19

1

9

8

90

30 (ii)

03

x sehingga 03 0 xkarena terpenuhi0 (i) a

1

0

1

0

32

2

1

32

1 2

21

Ax

22

xdx

xX

xdxdx

xdxdxxf

,xf.

• Misal variabel random X mempunyai distribusi probabilitas f(x), distribusi probabilitas kumulatif X ditulis F(x) didefinisikan:

• Akibat definisi untuk X yang kontinu

59

Distribusi Probabilitas Kumulatif

kontinu jika,

diskrit jika,

XdttfxXP

XtfxXP

xF x

xt

dx

xdFxf

aFbFbXaP

(ii)

(i)

Dalam sebuah kotak tersedia 8 bola lampu, 3 diantaranya rusak. Secara acak diambil 3 bolam. Jika X menyatakan banyaknya bolam rusak yang terambil, tentukan distribusi peluang kumulatif X

Penyelesaian :• Distribusi probabilitas X adl :

60

Contoh

X 0 1 2 3

f(x)

56

10

56

30

56

15

56

1

Maka :

61

Contoh

156

56

56

1

56

15

56

30

56

10321023

56

55

56

15

56

30

56

1021022

56

40

56

30

56

101011

56

10000

ffffXPF

fffXPF

ffXPF

fXPF

Biasa dituliskan dalam

62

Contoh

3 jika 1,

3x2 jika 56

55

2x1 jika 56

40

1x0 jika 56

10

0 x jika 0

x

,

,

,

,

xF

Misalkan variabel random X mempunyai fdp

Tentukan fungsi distribusi peluang kumulatif X

Penyelesaian :

63

Contoh

lain yang jika , 0

2x1- jika , 3

2

x

xf

9

1

9

3

3

11

32

xtdt

tdttfxF

xxx

• Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi probabilitas f(x)

64

Ekspektasi

kontinu X jika ,

diskrit X jika ,

dxxfx

xfxXE x

Pada percobaan melempar dua mata uang logam satu kali, X menyatakan banyaknya angka yang nampak. Tentukan ekspektasi XPenyelesaian :Fungsi distribusi peluang X

65

Contoh Ekspektasi

X 0 1 2

f(x)

4

1

4

2

4

1

1 4

12

4

21

4

10

xxfxXE

Misal X menyetakan umur bola lampu (dlm jam) dengan fdp

Hitung harga harapan untuk umur bola lampu tsbPenyelesaian :

66

Contoh Ekspektasi

lain yang x jika , 0

100 xjika , 20000

3

xxf

2002000020000

1001003

xdx

xxxE

• Misalkan X adl v.r dengan fungsi ditribusi probabilitas f(x) maka ekspektasi dari fungsi g(x) adl

67

Ekspektasi

kontinu X jika ,

diskrit X jika

dxxfxg

,xfxg

xgEx

1. Jika X menyatakan jumlah mata dadu yang nampak pada pelemparan dadu 1 kali. Tentukan ekspektasi dari 2X-3

2. Misalkan X adl v.r dgn fdp

Tentukan ekspektasi

68

SOAL

lain yang jika , 0

2x1- jika , 3

2

x

xf

23 xxg

• Sifat-sifat Ekspektasi

69

Ekspektasi

5

4

3

2

1

XhEXgEXhXgE.

aXbEabXE.

aXEaXE.

XbEbXE.

aaE.

• Misalkan X v.r dgn rata-rata , maka variansi X ditulis 2 atau VAR(X) didefinisikan

Deviasi standar

70

Variansi

222 XEXEXEXVAR

2

XVAR

• Sifat-sifat variansi dan deviasi standar

71

Variansi dan Deviasi Standar

ds ds 4 var var 4

ds ds 3 var var 3

ds ds 2 var var 2.

negatif tidak ds 1 negatif tidak var 1

2

2

XbbXa.XbbXa.

XbbX.XbbX.

XaX.XaX

X.X.

72

SOAL

1. Pada percobaan melempar dua mata uang logam satu kali, X menyatakan banyaknya angka yang nampak. Tentukan variansi X

2. Hitunglah variansi variabel random X yang mempunyai fdp

lain yang jika , 0

2x1 jika , 12

x

xf

Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisikondisi berikut: Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen.

Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.

Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses dan gagal. Kedua hasil tersebut bersifat mutually exclusive dan exhaustive.

Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1 - p.

73

Distribusi Bernoulli

Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah :Distribusi binomial, Distribusi geometrik, dan Distribusi hipergeometrik.

74

Proses Bernoulli

Distribusi Binomial mempunyai ciri-ciri berikut sama dengan Bernoulli : Percobaan diulang sebanyak n kali Tiap-tiap ulangan memberikan hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi 2 kategori, sukses atau gagal Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, dan

kegagalan dengan q = 1 – p Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

75

Distribusi Binomial

• Rumus distribusi probabilitas Binomial adalah :

76

Distribusi Binomial

pqq

p

x

n

qpx

nx;n;pb xnx

1 dimanagagal, asprobabilit

ulangan setiap dalam sukses asprobabilit

xrandom variabeldari kesuksesan banyaknya

perulangan banyaknya

• Untuk distribusi binomial dengan n percobaan dan p adl probabilitas sukses :

77

Distribusi Binomial

npqpnp

npqpnp

npμ

1 deviasistandar

1 variansi

mean 2

Menurut teori mendel ttg sifat-sifat keturunan, perkawinan silang dua jenis tanaman yg serupa, yang satu berbunga merah dan lainnya berbunga putih, menghasilkan keturunan yang 25% tumbuhan berbunga merah. Seorang ahli tanaman ingin menyilangkan lima pasang tanaman berbunga merah dan berbunga putih. Berapakah probabilitas bahwa dari 5 keturunan yang dihasilkana. Tidak terdapat tanaman berbunga merahb. Paling sedikit empat tanaman berbunga merahc. Paling banyak empat tanaman berbunga merah

78

Contoh Distribusi Binomial

Penyelesaian :

79

Contoh Distribusi Binomial

237207502500

50xP a. 50 ,,,

015600010001460

7502505

5 750250

4

5

5xP4xP4xP b.

054

,,,

,,,,

999000010017502505

51

5xP1

4xP3xP2xP1xP0xP4xP c.

05 ,,,,

80

Distribusi Poison

λσ

npλμ

xx

λexP

xλ

2 variansi

mean

0,1,2, ;!

Jika bakteri ditumbuhkan pada media dengan luas A, dan X = banyaknya koloni bakteri dalam luasan kecil a yg dipilih secara random dari media tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan mean (a/A). Andaikan =5,5 hitunglah probabilitas

a. Paling banyak tiga koloni ada dlm luasan tersebutb. Lebih dari delapan koloni ada dlm luasan tersebutc. Dari dua sampai sembilan koloni ada dlm luasan tersebut

81

Contoh Distribusi Poison

Penyelesaian :

82


0,20170,11330,06180,02250,0041 3!

5,5

2!

5,5

1!

5,5

0!

5,5

x!

3xP a.

355255155055

3

0

,,,,

x

x

eeee

e

0,19060,80941123400,0041-1 7!

5,5

0!

5,5 1

7xP18xP b.755055

,

ee ,,

83


91960051900,0618-1 9!

5,5

2!

5,5

1xP9xP9x2P c.955255

,,

ee ,,

• Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometri mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.

84

Distribusi Geometri

• Fungsi distribusi probabilitas geometrik:

• Rata-rata dan variansi distribusi probabilitas geometrik:

85

Distribusi Geometri

gagal asprobabilit

sukses asprobabilit

321

1

q

p

,,x

qpxP x

221

p

q

p

• Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui.

• Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian.

• Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.

86

Distribusi Hipergeometrik

• Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi.

• Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n).

• Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).

87


• sukses C(D,x). C((N-D),(n-x)) atau

• yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C(N,n) atau

88

xn

DN

x

D

n

N


• Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi probabilitasnya :

89

lainnya untuk 0

min21

x

n,D,,,x,

n

N

xn

DN

x

D

D,n,N,xh


• Rata-rata dan variansi :

90

n

Dp

N

nNpnpσ

npμ

dimana

11 variansi

mean

2


Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 orang TI dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyaknya orang teknik informatika yang duduk dalam panitia. Tentukan pula mean dan variansinyaPenyelesaian :

91

Contoh Distribusi Hipergeometrik

?35833 ?35811

?35822 56

135800

3210

5

8

5

53

358

,,,hx,,,hx

,,,hx,,,hx

,,,xxx

,,,xh

1. The random variable X has a binomial distribution with n=10 and p=0.5. Determine the following probabilities :

a. P(X=5) c. P(X≤2)b. P(X≥9) d. P(3 ≤X<5)

Penyelesaian :

92

SOAL

2461050505

105XP a. 55 ,,,

010730000970009760

505010

105050

9

10

10XP9XP9XP b.

01019

,,,

,,,,

93

SOAL

0546700,04394 009760000970

50502

105050

1

105050

0

10

2XP1XP0XP2XP c.

8291100

,,,

,,,,,,

32220205010117190

50504

105050

3

10

4XP3XP53P d.

6473

,,,

,,,,

X

2. Suatu yayasan mempunyai 10 anggota, empat wanita dan enam pria. Tiga anggota dipilih secara random untuk mewakili yayasan tersebut dalam suatu pertemuan dengan pemerintah. Tentukan probabilitasa. Semuanya wanitab. Semuanya priac. Paling banyak satu orang wanita

Penyelesaian :

94

SOAL

30

1

120

1 . 4

C

C. C wanita)P(semuanya a.

310

0634

95

SOAL

6

1

120

20 . 1

C

C. Cpria) P(semuanya b.

310

3604

3

2

120

15 . 4

120

20 . 1

C

C. C

C

C. C

a)satu wanitbanyak P(paling c.

310

2614

310

3604

3. Antara jam 10 sampai jam 11 pagi, rata-rata telepon yang datang pada “Switchboard” suatu kantor tiap menit adl 2,5. Maka probabilitas bahwa selama satu menit tertentu (pada jam itu) akan adaa. Tiga telepon masuk adlb. Kurang dari tiga telepon adlc. Lebih dari 6 telepon adl

Penyelesaian :Gunakan distribusi Poisson dengan =2,5

96

SOAL

97

SOAL

2140

3!

2,53xP a.

352

,e ,

0,75760,21380,25650,20520,0821 3!

2,5

2!

2,5

1!

2,5

0!

2,5

x!

4xP b.

352252152052

3

0

,,,,

x

x

eeee

e

0,01420,98581

0278006680133600,21380,25650,20520,08211

6!

2,5

1!

2,5

0!

2,5 1

x!

16P -1 8P7P6P c.

652152052

6

0

,,,

e...

ee

eX...XXX

,,,

x

x

98

SOAL

Documents

STATISTIK DASAR PROBABILITAS