TERMODINÁMICA UNIDAD III TRABAJO Y CALOR

Prof. Ing. MsC. Francisco R. CorderoInstituto Universitario de Tecnología Antonio J. de Sucre

Extensión Barquisimeto

3.1.- Trabajo

De nuestros estudios de la física hemos aprendido que si se considera un cuerpo sólido de cierta masa sobre una superficie pulida y de fricción despreciable y de tal modo que aplicásemos una fuerza F por uno de sus lados y de tal magnitud que lo obligase a desplazarse cierta distancia d, como se muestra en la figura 3.1, el trabajo (W) realizado sobre el cuerpo estará dado como el producto de la magnitud de la fuerza F y la distancia d; es decir

F

d

W = F.d (N.m o Joules) (3.1)

Pero en nuestros estudios de termodinámica necesitamos expresar el trabajo W como producto precisamente de propiedades termodinámicas. Veamos.

Patm.

dy . . . . . .F . . . . . . . . . . .

Aire . . Aire . . .

Q Q

Gráfico 3.2.- Sistema termodinámico aire que se expande al recibir calor Q y eleva la carga C.

En el Gráfico 3.2 se observa un dispositivo cilindro–pistón–peso dentro del cual se tiene una porción de aire como sistema termodinámico que recibe calor. Éste le incrementa la temperatura. El

aire se expande y, en consecuencia, eleva la carga en un diferencial de desplazamiento vertical dy. Al expandirse, el aire dentro del cilindro ejerce una fuerza F en la cara interna del pistón. Durante el proceso la presión P generada por esta fuerza F es un tanto mayor que la atmosférica y por eso eleva la carga, hasta el instante en que ambas presiones se equilibran y la carga sube hasta el punto más alto que permite la fuerza F durante la pequeña expansión (porque la carga C tiene poco efecto en comparación con la gran porción de la columna de aire atmosférico).

La expresión (3.1) del trabajo se convierte entonces en

W=F.dy (3.2)

Por otra parte, como por definición la presión P engendrada por esta fuerza F es

P=F/A (3.3)

en la cual A es el área de la cara del pistón, se tiene que

F= P.A

y al sustituir esta expresión de F en la expresión (3.2) del diferencial del trabajo (δW), se obtiene:

δW= P.A.dy (3.4)

y, como A.dy representa el diferencial de volumen (dV) barrido por el pistón en la expansión y su desplazamiento con la carga, se tiene que

δW = PdV (3.5)

Así, la expresión (3.5) es la ecuación diferencial del trabajo como producto de las propiedades termodinámicas presión (P) y volumen (V).

Dos son las posibilidades de integrar esta ecuación. Primera, si la presión (P) se mantiene

C

C

constante en el proceso termodinámico, que corresponde al proceso que se denomina isobárico, entonces tendremos

∫1

2

W =P∫V 1

V 2

dV (3.6)

en un proceso del estado 1 al estado 2, en los que los volúmenes correspondientes son V1 y V2, lo que resulta en

1W2=P(V 2−V 1 )* (3.7)

*Nótese que en esta expresión (3.7) se escribe 1W2

y no (W2 – W1) porque el trabajo no es una función de punto, sino de trayectoria, como se explicará en el artículo 3.2 y por eso se dice que su diferencial es inexacta y éstas, al ser integradas, se expresan tal cual.

Veamos los siguientes ejercicios de aplicación de la ecuación (3.7).

Ejercicio 3.1.- Un sistema termodinámico que consiste en cierta porción de vapor saturado y a presión de 0,400 Mpa está dentro de un dispositivo cilindro – pistón, sobre el cual se coloca unos pesos que deben ser levantados a cierta altura. En proceso isobárico se le entrega energía térmica y la temperatura se incrementa hasta que, elevada la carga por la expansión, alcanza 500 grados centígrados. Luego, en proceso isotérmico desciende la presión a 0,200 Mpa, una vez que una parte de los pesos son descargados. Después, en proceso isobárico, el sistema pierde temperatura hasta que vuelve a vapor saturado. La masa del sistema es m= 1,2 Kg. Se pide:

a) Determine el trabajo que el sistema realiza desde el estado (1) al estado (2);

b) el trabajo que se realiza sobre el sistema desde el estado (3) al estado (4).

Solución

En el Gráfico (3.1) se muestra el diagrama P-V del proceso termodinámico. Obsérvese que el proceso desde el estado (1) al estado (2) es isobárico, lo cual nos indica que debemos orientarnos en la

solución mediante la aplicación de la ecuación (3.7). Así que

P (Mpa) 400oC 500 oC

0,400 (1) (2)

0,200 (4) (3)

ν (m3/kg)

el trabajo desde el estado (1) al estado (2) es:

1W2 = P. (V2 – V1) (E1-1)

Ahora, para poder hallar los volúmenes V1 y V2, debemos conseguir los volúmenes específicos de los estados (1) y (2) en tablas termodinámicas.

Así, en el estado (1), con presión de 0,400 Mpa y agua saturada, se tiene que el volumen específico es

ν1 = 0,4625 m3/kg

y el volumen específico del estado (2) como vapor sobrecalentado ( o agua sobrecalentada) es

ν1 = 1,0830 m3/kg

Luego, como

ν = V / m se tiene que V = m. ν (E1-2)

y sustituimos esta expresión (E1-2) en (E1-1)

Entonces 1W2 = P. (m. ν2 – m. ν1 )

1W2 = P.m. (ν – ν1)

Entonces se tiene que 0,400Mpa = 400 000 N/m2

y

1W2 = 400 000 N/m2.1,2 Kg. (1,0830– 0,4625) m3/kg

1W2 = 297840 N. m ◄◄Respuesta

La segunda posibilidad de solucionar la ecuación diferencial (3.5) se presenta cuando P es variable. Es necesario, en este caso, hallar la

relación entre presión P y volumen V. Tomemos algunos problemas como ejemplos. He aquí el primero.

Ejemplo 1

Un sistema termodinámico que consiste en cierta porción de aire en un dispositivo cilindro – pistón para elevación de cargas por expansión tiene presión inicial V1 = 0,324m3 y presión P1 = 0,400 Mpa. A fín de elevar cierta carga se le entrega energía térmica y se expande hasta que alcanza el volumen V2 = 0,843m3. Si el proceso termodinámico está regulado de tal modo que entre presión P y volumen V está establecida la relación dada por PV = constante, determine el trabajo que el sistema realiza en el proceso del estado (1) al estado (2).

Solución:

La ecuación (3.5) nos permite determinar el trabajo. Veamos:

δW = PdV

De la relación entre presión y volumen PV=constante especificada en el enunciado del problema se tiene que

P = constante/V (E1-1)

y también se tiene que

P1V1=P2V2 (E1-2)

Al sustituir esta expresión (E1-1) de P en la ecuación diferencial del trabajo se tiene:

δW = constante dV/V

y la integramos:

∫1

2

W =constante∫V 1

V 2

dV /¿V ¿

1W2 = constante Ln[V2 – V1]

= constante Ln (V2 /V1)

= P1.V1. Ln (V2 /V1)

= 400 000N/m2. 0,324m3 Ln( 0,843/0,324)

= 122 396,6 N.m ◄◄ Respuesta

Otro ejemplo en el que se tiene el caso de presión variable se muestra en el siguiente problema:

Ejemplo 2

A presión inicial de 0, 600 Mpa y volumen de 0,360 m3 una porción de aire está dentro de un cilindro de expansión de cierto dispositivo elevador de cargas. Al recibir energía térmica, el el dispositivo se activa y alcanza el volumen V2= 0,874m3 cuando el sistema se expande de manera regulada por la relación entre presión y volumen dada por PV1,64 = constante. Determine el trabajo que el sistema termodinámico realiza al expandirse desde el estado (1) al estado (2).

Solución:Este es un problema en el que un dispositivo se hace funcionar con un sistema termodinámico en proceso politrópico, regulado por la relación PV1,64

= constante. Significa entonces que, como en el problema anterior, deberemos determinar la magnitud del trabajo realizado por el sistema termodinámico con la solución de la ecuación diferencial (3.5), considerando la relación dada entre P y V indicada. Veamos:

δW = PdV (E2 – 1)

En la relación PV1,64 = constante consideremos el caso general con exponente “n” y luego sustituiremos “n” por 1,64. Así que

PVn = constante (E2 – 2)

De esta expresión (E2 – 2) se tiene que

P = Constante / Vn (E2 – 3)

Sustituimos esta expresión de P en la ecuación diferencial del trabajo indicada por (E2 – 1). Así que

δW = (constante / Vn) dV y se integra

∫1

2

W =constante∫V 1

V 2

dV V- n

1W2 = constante. [V2

-n + 1- V1-n + 1]/ (-n +1) (E2–4)

Ahora obsérvese que, de acuerdo con la relación entre presión P y volumen V especificada, se tiene lo siguiente:

P1V1n = P2Vn

2 = constante

Es decir, constante = P1V1n

y también constante = P2Vn2

Así que, en la expresión (E2 –4), multipliquemos V2

-n+1 por P2Vn2 y del mismo modo

multipliquemos V1-n+1 por P1V1

n. Así se tiene:

1W2 = (V2

-n + 1. P2Vn2 - V1

-n + 1. P1V1n)/(-n +1)

y se obtiene entonces que

1W2 = (P2V2

- P1V1) /(-n +1) (E2 – 5)

Esta expresión es, en definitiva, la fórmula que se aplica en la solución de procesos politrópicos, aquellos procesos termodinámicos en los que la relación entre presión P y volumen V se expresa en la forma

PVn = constante (E2 – 6)

y en la que n es el exponente no precisamente entero, como pudiera pensarse.

Así que calculemos el trabajo con la expresión (E2 – 5). Vemos que en los datos del enunciado del problema no tenemos la presión P2. Por tanto, debemos antes determinarla con la expresión de la relación dada entre presión y volumen, en la que el valor de n es 1,64; es decir:

PV1,64= constante y se tieneP1V1

1,64 = P2V21,64

de la cual obtenemos P2 = P1. (V11,64/ V2

1,64) ; o sea queP2 = P1. (V1/V2)1,64 Al sustituir los valores de presión

P1 = 0,400Mpa = 600 000 N/m2 y los valores de V1= 0,360 m3 y V2 = 0,874m3 obtenemos:

P2 = 600 000 N/m2. (0,360 m3/ 0,874m3)1,64

P2 = 140 090,47 N/m2 ◄

Luego, al sustituir este valor de la presión en la fórmula (E2–5) del trabajo para procesos politrópicos, se tiene:

1W2=[140090,47N/m2.0,874m3-600000N/m20,360m3]/(1,64 +1)

1W2 = 146 188,95N.m ◄◄ Respuesta.

Ejemplo 3

Suponga que se tiene un problema muy parecido al que se acaba de resolver. Tomemos el mismo enunciado, pero con datos distintos, y supóngase que se conocen P1, P2 y V1 y que debemos determinar V2 para poder calcular el trabajo. He aquí el enunciado:

A presión inicial de 0, 500 Mpa y volumen de 0,434 m3 una porción de aire está dentro de un cilindro de expansión de cierto dispositivo elevador de cargas. Al recibir energía térmica, el dispositivo se activa y alcanza la máxima expansión cuando la presión es 0,184Mpa. El sistema se expande de manera regulada por la relación entre presión y volumen dada por PV1,44 = constante. Determine el trabajo que el sistema termodinámico realiza al expandirse desde el estado (1) al estado (2).

Solución:

Como el proceso es politrópico hallamos el trabajo mediante la fórmula

1W2 = (P2V2 – P1 V1) / (-n + 1)

Debemos hallar primero V2. Así, de la relación entre presión P y volumen V, se tiene que

P1.V11,44 = P2V2

1,44 de donde se tiene que

V21,44 = P1 V1

1,44/P2

Entonces la raíz 1,44 de V2 será:

V2 = [V11, 44 (P1/ P2)]1 / 1,44

Es decir: V2 = V1. (P1/P2)1/1,44

Así V2= 0,434 m3. (0,500/0,184)1/1,44

V2 = 0,869 m3 ◄

El trabajo es entonces 1W2 =(184 000 N/m2.0,869m3–500000 N/m2. 0,434m3)/(-1,44 + 1)

1W2 = 129 781,82 N.m ◄◄ Respuesta.

3.2.- Trabajo realizado en el límite móvil de un sistema simple compresible en proceso cuasiequilibrio.

Una vez aplicada la ecuación diferencial del trabajo (3.5) en la solución de los problemas anteriores, estamos en condiciones de analizar tal ecuación de manera gráfica. En este análisis se requiere considerar el concepto de proceso cuasiequilibrio. Un proceso cuasiequilibrio es aquel que genera variaciones muy pequeñas, o infinitesimales, en un sistema termodinámico.

dy

Aire Aire

(a) (b)

Gráfico 3.2.1.- Proceso cuasiequilibrio de expansión de una porción de aire como sistema termodinámico. (a) Sistema en equilibrio; (b) sistema que muestra diferencial de volumen o variación infinitesimal del volumen en el instante en que se restablece el equilibrio después que se ha quitado uno de los pesos.

La secuencia (a) – (b) del Gráfico 3.2.1 muestra cómo se rompe el equilibrio cuando uno de los pesos sobre el pistón se quita del conjunto y se produce la variación infinitesimal del volumen, e inmediatamente se restablece el equilibrio. El proceso es tan rápido que, a simple vista, el desmontarse el peso, expandirse el aire y restablecerse el equilibrio actos casi simultáneos. De aquí que a un proceso como éste se lo defina como un proceso cuasiequilibrio.

El Gráfico 3.2.2 siguiente muestra un proceso termodinámica en diagrama presión P volumen específico ν que se realiza desde el estado (1) al estado (2) en las trayectorias A y B en un proceso de expansión.

P (Mpa)

(1) B

A

(2)

1W2

c d ν (m3/kg)

Gráfico 3.2.2.- Representación gráfica de trabajo desde el estado (1) al estado (2) en proceso de expansión de un sistema termodinámico.

En el Gráfico 3.2.2 se observa el diagrama P–ν en el que se representa el trabajo que realiza un sistema cerrado en un proceso termodinámico desde el estado (1) al estado (2), a través de la trayectoria A en primer lugar y luego realizado a través de la trayectoria B. Nótese que el proceso, por cualquiera de las dos trayectorias, es de expansión. Innumerables pudieran ser las trayectorias desde el estado (1) al estado (2) debido a que también innumerables pudieran ser las relaciones entre presión y volumen; pero, para destacar desde el punto de vista matemático la propiedad de función de trayectoria del trabajo, acá solamente se consideran dos.

El área rayada bajo la curva de la trayectoria A representa el trabajo. Nótese que esta es menor que el área correspondiente bajo la curva de la trayectoria B no rayada. Esto significa que el trabajo realizado por el sistema termodinámico depende no solamente de los estados inicial y final del proceso termodinámico sino de la trayectoria que siga el proceso. Por eso se dice que la ecuación diferencial del trabajo es una función de trayectoria. Y se dice que su diferencial es inexacta. Es, pues, una función distinta de las funciones de punto, y, para establecer la distinción en el análisis matemático, a la diferencial o derivada de las funciones de trayectoria se la denota con la letra δ y no con d, como las funciones de punto. Por otra parte, el resultado de una integral definida de una función de trayectoria se escribe, como en el caso del tra-

bajo en la forma, por ejemplo

1W2 = LnV2 – LnV1

y no en la forma

W2 – W1= LnV2 – LnV1

Como lo hacemos con la integración de las funciones de punto. Nótese que en el lado derecho de esta última expresión sí se escribeLnV2 – LnV1 porque el volumen es una función de punto, y, en general, observe que la ecuación diferencial del trabajo (3.5) se escribe δW = PdV porque W es función de trayectoria y V es función de punto.