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CAPITULO UNO.

INTRODUCCION A LA HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA ELÉCTRICA.

1.1)- INTRODUCCIÓN. Los estudiantes de Ingeniería Eléctrica en cursos previos a Transmisión de Energía, han adquirido conocimientos orientados al tratamiento de los circuitos y máquinas eléctricas como una manera de alcanzar las herramientas básicas para el tratamiento de fenómenos e instalaciones eléctricas. En las diferentes especialidades de la carrera, la aplicación de estos conocimientos tendrán como finalidad preparar al futuro profesional proporcionándoles habilidades para aplicaciones en sistemas de control, comunicaciones y electrónicos. Pero los estudiantes que hayan seleccionado la especialización en áreas de Sistemas de Potencia habrán de profundizar en la utilización de la energía en transformaciones industriales y en los procesos de producción, transmisión y distribución de la energía eléctrica. Estos tres últimos aspectos empezarán a tratarse en los próximos temas de este texto. 1.1.2)- BREVE HISTORIA DE LA ELECTRICIDAD Las propiedades eléctricas de ciertos materiales ya eran conocidas por civilizaciones antiguas. En el año 600 AC, Thales de Mileto había comprobado que si se frotaba el ámbar, éste atraía hacia sí a objetos más livianos. Se creía que la electricidad residía en el objeto frotado. De ahí que el término "electricidad" provenga del vocablo griego "elektron", que significa ámbar. En la época del renacimiento comenzaron los primeros estudios metodológicos, en los cuales la electricidad estuvo íntimamente relacionada con el magnetismo. El inglés William Gilbert comprobó que algunas sustancias se comportaban como el ámbar, y cuando eran frotadas atraían objetos livianos, mientras que otras no ejercían ninguna atracción. A las primeras, entre las que ubicó el vidrio, el azufre y la resina, las llamó "eléctricas", mientras que a las otras, como el cobre o la plata, "aneléctricas". Benjamín Franklin fue quien postuló que la electricidad era un fluido y calificó a las sustancias en eléctricamente positivas y negativas de acuerdo con el exceso o defecto de ese fluido. Franklin confirmó también que el rayo era efecto de la conducción eléctrica, a través de un célebre experimento, en el cual la chispa bajaba desde una cometa remontada a gran altura hasta una llave que él tenía en la mano. Hacia mediados del siglo XVIII se estableció la distinción entre materiales aislantes y conductores. Los aislantes eran aquellos a los que Gilbert había considerado "eléctricos", en tanto que los conductores eran los "aneléctricos". Esto permitió que se construyera el primer almacenador rudimentario: estaba formado por dos placas conductoras que tenían una lámina aislante entre ellas. Fue conocido como botella de Leyden, por la ciudad en que se lo inventó. A principios del siglo XIX, el conde Alessandro Volta construyó una la primera pila galvánica exitosa. Colocó capas de cinc, papel y cobre, y descubrió que si se unía la base de cinc con la última capa de cobre, el resultado era una corriente eléctrica que fluía por el hilo de unión. Este sencillo aparato fue el prototipo de las pilas eléctricas, de los acumuladores y de toda corriente eléctrica producida hasta la aparición de la dínamo. Mientras tanto, Georg Simon Ohm sentó las bases del estudio de la circulación de las cargas eléctricas en el interior de materias conductoras. En 1819, Hans Oersted descubrió que una aguja magnética colgada de un hilo se apartaba de su posición inicial cuando pasaba próxima a ella una corriente eléctrica y postuló que las corrientes eléctricas producían un efecto magnético. De esta simple observación salió la tecnología del telégrafo eléctrico. Sobre esta base, André Ampère dedujo que las corrientes eléctricas debían comportarse del mismo modo que los imanes.

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Esto llevó a Michael Faraday a suponer que una corriente que circulara cerca de un circuito induciría otra corriente en él. El resultado de su experimento fue que esto sólo sucedía al comenzar y cesar de fluir la corriente en el primer circuito. Sustituyó la corriente por un imán y encontró que su movimiento en la proximidad del circuito inducía en éste una corriente. De este modo pudo comprobar que el trabajo mecánico empleado en mover un imán podía transformarse en corriente eléctrica. Los experimentos de Faraday fueron expresados matemáticamente por James Maxwell, quien en 1873 presentó sus ecuaciones, que unificaban la descripción de los comportamientos eléctricos y magnéticos, y su desplazamiento, a través del espacio en forma de ondas. Aproximadamente en 1840, James Prescott Joule y el científico alemán Hermann von Helmholtz hicieron la importante demostración de que los circuitos cumplen el principio de conservación de la energía y que la electricidad es una forma de energía. En 1879 el estadounidense Thomas Alva Edison mostró públicamente su lámpara incandescente o bombilla, la cual dio el impulso inicial al uso en gran escala de la energía eléctrica. En 1882 desarrolló la primera central eléctrica del mundo en Nueva York con un generador de corriente continua que había inventado. En 1886 el físico alemán Heinrich Hertz produjo y detectó ondas electromagnéticas en la atmósfera. En 1888 el ingeniero estadounidense de origen croata Nikola Tesla, diseñó el primer sistema práctico para generar y transmitir corriente alterna. Aunque al principio trabajó con Edison más tarde se instaló por su cuenta y se dedicó a la investigación y al desarrollo de sus propias invenciones, entre las cuales destacan: generador de alta frecuencia, bobina, transformador, etc. Posteriormente trabajando con George Whestinghouse hizo importantes aportes para implantar la corriente alterna como la forma industrial ideal para generar, transmitir y distribuir la energía eléctrica. En 1892 el holandés Hendrik Antoon Lorentz presentó la teoría de los electrones, base de la actual teoría eléctrica. En 1896 el ingeniero italiano Gugliemo Marconi empleó ondas electromagnéticas para producir un sistema práctico de señales de radio. A partir de las primeras décadas del siglo XX comenzó el espectacular desarrollo de la electrónica y el establecimiento de la energía eléctrica como la forma idónea para la transformación y el manejo de la energía. 1.1.3)- ANTECEDENTES DE LA TECNOLOGÍA DE LOS SISTEMAS ELÉCTRICOS. La energía eléctrica aparece junto al petróleo como fuente energética para sustituir el vapor. Se venía trabajando en su producción a escala útil desde el s. XVIII. El gran problema era conseguir una forma para generarla en grandes cantidades; esto se solucionó al crear Zenobio Gramne el generador de corriente continua (la dinamo), en 1872. Posteriormente al genio de Edison se le ocurrió mover esa dínamo (como en la antigüedad) con los molinos de agua, creando los embalses (futuras centrales eléctricas), la primera de ellas 1882 en Nueva York. Casi 40 años antes Francis había inventado las turbinas hidráulicas, que más tarde participarían en la producción energía eléctrica a gran escala, pero obviamente para la época, no habían alcanzado el necesario novel tecnológico requerido. En 1882 Marcel Deprez había planteado lo beneficioso para la humanidad que significaría la utilización de las fuentes energéticas naturales, si pudieran transportarse a grandes distancias, asunto que abordó investigando el uso de tensiones altas para tal fin. La invención de la bombilla eléctrica que constituyó quizás la más transcendente revolución socio tecnológica en la historia del mundo, puesto que cambió la manera de entender la vida y el

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trabajo al liberar la humanidad de la dependencia de los ciclos día/noche. La lámpara eléctrica podía operar tanto en corriente continua como en corriente alterna sin dependencia importante de la frecuencia. Soslayando el periodo de transición entre la corriente continua, cuyos principales proponentes fueron Edison y Lord Kelvin y la corriente alterna (1887), cuyo principal defensor fue Nikola Tesla, y que constituyó una autentica guerra técnica y económica Establecida la corriente alterna como paradigma, en 1883 el Dr. Hopkinson demostró la posibilidad de transmisión de corriente alterna sobre distancias cortas, y ese mismo año Gibbs y Gaulard presentaron “generador secundario”, precursor del transformador que actuaba como una bobina de inducción mutua variable, en la Exposición de Turín. Se hicieron ensayos de transporte entre Turín y Lanzio. La red primaria era de unos 40 km de longitud, una potencia de 20 KW y una tensión de 2.000 Volt. En ese periodo, Miska Deri, Otto Bláthy y Karoly Zipernowsky, viendo los defectos del “generador secundario” de Gibbs y Gaulard, lo mejoraron cerrando el circuito magnético. En septiembre de 1884 se hicieron los ensayos finales del transformador, por primera vez así llamado, cuyas características eran: relación de transformación 120/72 v, potencia de 1.400 VA y 40 Hz. En 1886, la compañía Westinghouse compra las patentes de los transformadores diseñados por: Gibbs-Gaulard y el de Miska Deri, Otto Bláthy y Karoly Zipernowsky y bajo la dirección de Stanley, una especie de director técnico comercial de Westinghouse, desarrollan un transformador acorazado que utilizaron en su demostración de Great Barrington, que estuvo alimentado desde un alternador del tipo de los fabricados por Siemens. Éste tenía 16 polos, trabajaba a 1.000 rpm por consiguiente con una frecuencia de 133+1/3 Hz. Este transformador había sido mejorado magnéticamente introduciendo el concepto de núcleo laminado para reducir las pérdidas de Foucault. La primera línea de transmisión en EE-UU se instaló en 1990 para suministrar energía desde una planta hidroeléctrica situada a 21 kilómetros en Willamette Falls a Portland en el estado de Oregon. Las primeras líneas de transporte fueron monofásicas y se destinaban fundamentalmente a alimentar lámparas eléctricas. Al principio los motores eléctricos eran monofásicos, pero en mayo de 1888, Nikola Tesla presentó un documento técnico describiendo la construcción y el funcionamiento de un motor de inducción y un motor sincrónico bifásico, en los cuales se puso en evidencia de inmediato, las ventajas de un sistema polifásico creando la incentivación suficiente para que un sistema de distribución en corriente alterna bifásico, se presentara al público en la exposición de Chicago de 1893 y consecuencialmente, los sistemas polifásicos de corriente alterna, gradualmente desplazaron a la corriente continua como forma de transmisión predominante. El primer sistema trifásico de transporte se instaló en Suecia en 1993, pero a principios de 1994 ya habían cinco sistemas polifásicos funcionando en diferentes ciudades de los Estados Unidos, de los cuales uno era bifásico y cuatro trifásicos. En el mundo de hoy, todos los sistemas de distribución prácticos son trifásicos de corriente alterna. A partir de 1990 aparece un elemento que va a perturbar la relativa tranquilidad de los fabricantes, el motor de inducción. Como las principales empresas de energía eléctrica eran también fabricante de equipos, razones comerciales inmediatistas condujeron a que las frecuencias adoptadas para caracterizar la corriente alterna, fueran casi tan diversas como los fabricantes. Los motores que se utilizaban para el desarrollo de potencias mecánicas que movían las herramientas de las máquinas se acoplaban directamente, motor eléctrico-máquina herramienta. Si estas máquinas trabajaban a unas 80 rpm, se requerían motores eléctricos de 200 polos alimentados a 133+1/3 Hz. El problema del elevado número de polos, no aparecía en Europa

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puesto que ya se trabajaba con 40 Hz, y por lo tanto se requerían generadores de 60 polos. En 1890, AEG Y Oerlikon utilizaron 40 Hz para su línea eléctrica trifásica de 175 km desde Frankfurt (receptores) a Laufen (producción) utilizando un alternador de 50V de tensión de fase, 32 polos cuyo rotor giraba a 150 rpm, lo que requiere una frecuencia de 40 Hz. La transmisión se realizaba transformando en el origen de 50 a 8.500V y en la ciudad de Frankfurt se reducía su tensión a 65V. Posteriormente se dieron cuenta de los problemas estroboscópicos, debidos a la baja frecuencia aplicada a las lámparas y ya en 1991 optaron por una frecuencia de 50 Hz, con lo que se solventaban ambos problemas. En 1890, la Westinghouse descartaron las frecuencias sobre los 130 Hz y adoptaron 7.200 ciclos mecánicos (p*n), y por lo tanto 60 Hz de frecuencia en la corriente eléctrica, para resolver el problema que planteaba el acoplamiento de las máquinas a los motores que se fabricaban en aquellos años. Es así como la adopción de la frecuencia más conveniente se debió a la necesidad de ir superando los problemas tecnológicos que iban apareciendo en la expansión de la energía eléctrica por todo el mundo. En los primeros años la energía eléctrica se utilizaba casi exclusivamente para la iluminación pública, hoteles, bancos y casas de personas más bien pudientes y para evitar los efectos estroboscópicos las frecuencias utilizadas eran altas. Cando se introdujo la energía eléctrica en los procesos industriales y el consumo de la energía debía ser destinado, no solo a iluminación, sino al manejo de potencia mecánica, se redujo la frecuencia de ésta hasta los valores actuales.

1.2)- LOS SISTEMAS DE POTENCIA. Comparado con otras formas de energía, la energía eléctrica posee ventajas muy especiales para propósitos de transmitirla, puesto que esta forma de la energía puede transportarse muy eficientemente en grandes cantidades y a grandes distancias. Sus métodos de control son extremadamente flexibles y transformación a otras formas de energía – térmica, lumínica, mecánica o química – con simplicidad y eficiencia sin paralelo. Los proyectos de líneas de transmisión pueden ser desarrollados para transporte de le energía producida en estaciones de generación eléctrica individuales hasta los centros de consumo o para vincular estaciones de generación entre si constituyendo lo que más tarde estudiaremos como sistemas interconectados, pero también pueden tener como objetivo constituir redes entre estaciones intermedias o entre estas y los centros de consumos denominándose en estos casos sistemas o redes de distribución. 1.2.1)- GENERACIÓN DE ENERGÍA. La ley de la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma energía calorífica en un calentador. Dentro del mismo concepto, la energía eléctrica utilizable proviene de otras formas naturales de energía, como la energía química contenida en los materiales combustibles, energía potencial contenida en embalses o represas hidroeléctricas, energía eólica, solar y una gran variedad de fuentes energéticas. La invención de máquinas capaces de transformar la energía de los combustibles, abrió la posibilidad de generar energía eléctrica. Al principio de la explotación de la electricidad en forma industrial, se utilizaron maquinas de época como motores primarias para convertir la energía de los combustibles en energía mecánica, la cual se transformaría en energía eléctrica mediante el uso primero de generadores de corriente continua y luego, después de los aportes de Tesla y Westinghouse los alternadores. Estas

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maquinas, de vapor en primera instancia y luego motores de combustión interna de gasolina o diesel. La posibilidad de convertir la energía contenida en los ríos con desniveles, presentó la oportunidad de su aprovechamiento para la generación de bloques importantes de energía eléctrica con bajo costo de combustible, mediante la utilización de máquinas hidráulicas. La disponibilidad de fuentes primarias de energía (combustibles como el petróleo en sus diversos productos derivados -gasoil, fueloil, coke, orimulsión etc., el carbón y el potencial hidráulico de ríos, conjuntamente con la ubicación de los centros de consumo, determinaron en primera instancia la ubicación de las estaciones o plantas de generación. El bajo nivel de consumo de energía eléctrica de los primeros usuarios, fue determinante para la ubicación de las pequeñas estaciones de generación cerca de los centros de consumo, consistentes, luego de la invención de las lámparas eléctricas por Edison, en aplicaciones de alumbrado. Al imponerse las ideas de Tesla y Westinghouse, que expusieron y defendieron la conveniencia de adoptar la corriente alterna como estándar, sobre el tipo de corriente a utilizar, se descartó la idea de desarrollar los incipientes sistemas de potencia en corriente continua, expuesta y defendida por Edison, el gigante del desarrollo de aplicaciones de la energía eléctrica de la época. Adoptado el paradigma de la corriente alterna se generaron nuevas controversias sobre la frecuencia a utilizar. Existiendo varias posibilidades como 25 Hz, 50 Hz, 60,Hz, 133.3 Hz, que eran las frecuencias propuestas por los primeros fabricantes de equipos; esta se resolvió sobre la base de la fuerza industrial de las empresas, imponiéndose la frecuencia de 60 Hz, en Estados Unidos, debido a que esta fue la adoptada por la General Electric, líder de la tecnología en ese país. Asimismo, en Europa se impuso la frecuencia de 50 Hz, adoptada por la gran empresa alemana AEG, en ese entonces líder europea en investigación y aplicaciones industriales. En muchos países del resto del mundo, incluidos los países de América Latina, se adoptaron ambos paradigmas y coexistieron hasta que por razones técnicas y económicas, fue necesario realizar transformaciones importantes para unificar las frecuencias. En América terminó siendo la frecuencia de 60 Hz la dominante, con algunos países como Argentina, Bolivia, Chile, Paraguay y Uruguay, que mantienen la frecuencia de 50 Hz como su estándar. La utilización de frecuencias diferentes dificulta la posibilidad de utilización de sistemas interconectados internacionalmente, lo cual puede ser conveniente desde el punto de vista económico para compartir fuentes de generación. Paraguay, que comparte con Brasil la Central Itaipu con capacidad instalada de 14.000 MW, requiere que la mitad de sus 20 unidades de generación opere en 60 Hz para alimentar el 25% de la carga de Brasil y la otra mitad a 50 Hz, para satisfacer el 95% de la demanda de Paraguay. En términos mucho más modestos, en todos los países el desarrollo de la energía eléctrica consistió en la instalación de pequeñas plantas aisladas generalmente utilizando máquinas a vapor alimentadas con leña, de combustión interna que consumía derivados del petróleo o por máquinas hidráulicas mediante el empleo de ruedas de paletas o pequeñas turbinas Pelton. La necesidad impuesta por el uso creciente de la energía, determinó que por razones de economía de escala, fuera necesario producir bloques de energía cada vez mayores dando origen a técnicas de dimensionamiento y localización de las estaciones de producción con alto nivel de sofisticación y eficiencia. Lo que se denominan economías de escala (rendimientos crecientes de escala) ocurre cuando el costo de producción de un único producto decrece al aumentar el número de unidades producidas. Para aplicar este concepto, primero fue necesario desarrollar las máquinas primarias que pudiesen convertir grandes bloques de energía primaria en energía mecánica, para su posterior conversión en energía eléctrica.

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La popularización del alumbrado eléctrico, de aplicaciones para calefacción y del motor de inducción para aplicaciones domesticas e industriales, propulsaron hasta niveles espectaculares el uso de la energía eléctrica lo que planteó el problema de producción a escalas equivalentes al consumo puesto que la energía eléctrica no es almacenable a niveles prácticos. Aparecieron entonces las maquinas primarias para accionar los alternadores, que ya habían sustituido a la dinamo como convertidor de energía mecánica a energía eléctrica. El desarrollo de las máquinas primarias para transformar energías naturales en energía mecánica ocurrieron en varios frentes, pero las más importantes han sido las máquinas térmicas y las máquinas hidráulicas y sin entrar por ahora en más aspectos que la cronología de los momentos históricos de sus desarrollos preliminares, tendremos. 1.3)- MÁQUINAS TÉRMICAS.

Al tratar de extraer una definición del tipo de Generación Térmica o Termoeléctrica de las publicaciones en Internet y las noticias vinculadas al sector eléctrico en Venezuela, no parece haber un acuerdo en cuanto a lo que se definen como plantas térmicas o termoeléctricas, turbo gas o Diesel, vamos a intentar la propuesta de llamar Térmicas aquellas instalaciones de generación de energía eléctrica que utilizan un combustible de cualquier tipo para generar energía mecánica mediante un ciclo térmico convencional. Reservaremos la definición de Termoeléctrica a aquellas instalaciones que utilicen vapor de agua como medio de conversión térmica en energía mecánica. La presencia de diversos tipos de máquinas térmicas aparecieron en un estrecho espacio de tiempo. Las invenciones más destacadas, por lo memos en el mundo occidental, fueron las siguientes: 1.3.1)- MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA

Motores de Pistones de 2 y 4 Tiempos, 1852 por Ettienne Lenoir patente inicial mejorado con la inclusión del ciclo de compresión por Alphonse Beau de Rochas en 1862. Motor Diesel , 1892 por Rudolf Diesel Turbina a Gas, 1873 por George Brayton, aun cuando fue a partir de 1940 cundo se inventaron compresores axiales eficientes y se produjeron los avances metalúrgicos requeridos para permitir grandes temperaturas de operación. Trabajos precursores, aunque solo como curiosidad científica se hicieron estudios experimentales por el inglés Bourding, en 1849. 1.3.2)- MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA.

Máquina de vapor, 1769 por James Watt, como mejoramiento a un artilugio inventado por Thomas Newcomen en 1712 utilizado para extraer agua de las minas de carbón. Las primeras centrales comerciales fueron Pearl Street Station en Nueva York y la Edison Electric Light Station, en Londres, que entraron en funcionamiento en 1882. Estas primeras centrales utilizaban motores de vapor de pistones. La turbina de vapor moderna, 1884 por Sir Charles Parsons, cuyo primer modelo fue conectado a una dinamo que generaba 7.5 Kw de potencia eléctrica. La invención de la turbina de vapor de Parsons permitió abaratar los costos de generación e incrementar la producción a partir de fuentes abundantes de energía primaria como el petróleo, el gas y el carbón. Su patente para Estados Unidos fue adquirida por George Westinghouse, lo cual contribuyó a que la turbina Parsons fuera adoptada por la mayoría de las centrales eléctricas del mundo, incrementándose en corto plazo el tamaño de los generadores desde sus primeros 7.5 Kw unidades de de 50 000 Kw de capacidad y actualmente se construyen unidades de hasta 50000 Kw

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Otras fuentes de calor como la energía geotérmica, la energía nuclear y hasta la energía solar se han venido utilizando como generadores de vapor para activar las turbinas acopladas a alternadores. En los últimos 25 años, una combinación de turbinas a gas y turbinas a vapor, las centrales de “Ciclo Combinado”, dominan el escenario de aplicaciones modernas de conversión de energía de combustibles líquidos de origen fósil a energía eléctrica. 1.4)- MÁQUINAS HIDRÁULICAS.

Entre las primeras máquinas para la utilización de la energía hidráulica, sin precisión cronológica, se han recopilado los siguientes datos: El siglo XVIII es el siglo de su gestación de las primeras máquinas a partir de las muy antiguas ruedas hidráulicas. El siglo XIX el de su nacimiento (en este siglo nacieron en Norteamérica las Turbinas Pelton y las Turbinas Francis). El siglo XX el de su desarrollo. A principios de este siglo aparecen las turbinas hidráulicas de gran velocidad. Y algo más preciso, 1905 - en los Estados Unidos se desarrollan turbinas hidráulicas de 7360 Kw girando a 250 rpm (turbinas Francis gemelas). 1915- creación de la Turbina Kaplan. 1918 - la turbina Banki. 1914 - la turbina Turgo. 1950 - la turbina Deriaz, 1970 - la turbina Bulbo. Indudablemente las de mayor éxito en la generación de potencia eléctrica han sido las Pelton, Francis y Kaplan. 1.5)- ESQUEMA DE UNA CENTRAL DE GENERACIÓN HIDROELÉCTRICA.

Este no es un texto de generación de energía. Los puntos tratados sobre maquinas y centros de generación solo tiene carácter informativo. Igualmente las figuras mostradas a continuación son todas bajadas de Internet, sin especificar nombres ni dirección de páginas, dado que solo tienen carácter de ilustración. Una Central de Generación Hidroeléctrica de cualquier tipo cuenta con los siguientes componentes:

1. Un lago superior alimentado por un rio que es la fuente permanente de energía, cuya función es embalsar el agua con la energía potencial que será transformada en energía mecánica primero, mediante turbinas hidráulicas las cuales a su vez, accionan los generadores de energía eléctrica.

2. Una presa normalmente de concreto para retener el agua del rio. 3. Reja de protección para evitar que entren objetos extraños que pudieran perjudicar la

operación de las máquinas. 4. Una tubería de presión que conduce el agua a las turbinas. 5. Una casa de máquinas donde están ubicadas los generadores eléctricos. 6. Las turbinas, usualmente de tres tipos básicos: Pelton, Francis o Kaplan, acopladas a los

alternadores. 7. Un dispositivo de control de velocidad mediante la regulación del caudal que entra a la

turbina. 8. Válvula de protección para el cierre del caudal.

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9. Cables de potencia que conducen la energía generada hasta la subestación eléctrica. 10. Subestación de transformación para acoplar la energía generada a las redes externas

alimentadas. 11. Un Canal de desagüe. 12. Un lago inferior que recibe las aguas turbinadas con mucho menos energía potencial.

Las figuras siguientes muestran el diagrama general de una Central y la parte superior de la casa de máquinas, la sala donde están las cubiertas de los alternadores.

Fig. 1-1 Aspecto esquemático de una Central Hidroeléctrica.

1.5.1)- TURBINA TIPO PELTON. Las figuras siguientes muestran el rodete característico de las turbinas Pelton y el contexto mecánico donde estas se insertan, destacando las instalaciones de dos toberas de inyección ubicadas al final de la tubería de presión En las turbinas Pelton usualmente aptas para pequeños caudales y grandes alturas, los chorros de de agua a gran velocidad actúan sobre los alabes o cucharas de los rodetes de manera que durante el giro, solo una cuchara es impulsada por cada chorro. Estas turbinas pueden construirse con una o varias toberas, generalmente de 1 a 6 toberas por rodete.

Fig.1- 2. Sala de generadores mostrando la cubierta de los alternadores

Fig. 4 Esquema expandido de la turbina Pelton mostrando una máquina con dos inyectores o toberas actuando sobre un rodete

Fig. 3. Rodete de turbina Pelton

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1.5.2)- TURBINA TIPO FRANCIS Este tipo de turbina se caracteriza por un rodete de alabes fijos que gira sobre el eje de potencia impulsado por la acción de flujos regulados por álabes de control ubicados sobre una espiral, de modo que permita controlar la velocidad de giro modificando el flujo proveniente de la tubería de presión.

Las turbinas tipo Francis son las de uso más extendido debido al amplio rango de utilización para condicopnes de acaudal y altura.

1.5.3) TURBINAS TIPO KAPLAN.

Tienen la apariencia de un ventilador con alabes de ángulo variable para contolar la velocidad del eje. Son turbinas utilizadas en sitios donde es posible obtener un gran caudal con alturas modestas. Las mayores turbinas tipo Kaplan hasta la fecha, de 216 Mw, estan instaladas n la central Tocoma, ubicada en el

bajo Caroní, en Venezuela. 1.6) ESQUEMA DE UNA CENTRAL DE GENERACIÓN TÉRMICA. 1.6.1)- PLANTAS DIESEL.

En los países latinoamericanos, antes del desarrollo de las grandes centrales, las poblaciones pequeñas y medianas, comenzaron a utilizar la energía eléctrica generada por plantas pequeñas que utilizaban los motores diesel como motores primarios, alimentados por un derivado líquido del petróleo, el gasoil, como combustible. En pueblos y ciudades donde podía contarse con potencial

Fig. 1-5 Rodete de turbina Francis

Fig. . 1-6 Ubicación del rodete Francis en el centro del conducto en espiral que produce las acción del agua sobre todos los alabes simultáneamente

Fig. 1-7 Rodete de turbina Kaplan Fig. 1-8 Ubicación del rodete dentro de un conjunto de generación Kaplan

Fig. 1-9 Planta Diesel del Programa Generación Distribuida de Venezuela

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hidráulico, también se aplicaron pequeñas turbinas Pelton o Francis, pero siempre operando en forma aislada. El motor diesel, ya con una tradición de más de un siglo de utilización, opera bajo el denominado ciclo Otto, que puede ser de dos o cuatro tiempos, siendo este ultimo el más generalizado. La capacidad reducida de estas máquinas ha limitado su utilización a aplicaciones de respaldo en establecimientos industriales, al ser sustituidas como fuente de generación en poblaciones medianas y pequeñas por instalaciones de distribución o transmisión conectadas a las grandes redes eléctricas de cada país. Sin embargo, a nuestro juicio de manera desacertada, en algunos países como Venezuela este tipo de plantas han venido siendo instaladas para operar en forma aislada o interconectadas a las redes de transmisión. En la gráfica se muestra una planta Diesel modelo, que opera bajo un principio que en este país se ha denominado “Generación Distribuida”.

La ventaja fundamental de este tipo de unidades, que normalmente vienen como un grupo motor generador, es rapidez y facilidad de instalación pues no requiere de grandes obras civiles porque, como puede observarse en la figura, están instaladas en módulos independientes. Por el contrario, tienen muchas desventajas como son:

o Utilizan el costoso combustible diesel (gasoil) que requiere ser almacenado en sitio y trasportado mediante camiones cisternas.

o Generan a tensión de utilización por lo cual cada unidad requiere un equipo de transformación para acoplarlo a las redes de distribución.

o Son unidades de poca capacidad por lo cual no se aprovecha el principio de economías de

escala. o Operan a velocidades altas, más de 1500 rpm, por lo cual tuenen ciclos cortos de

mantenimiento. o Frecuencia y variedad de fallas a causa de la alta velocidad de operación y la multiplicidad

de componentes mecánicos.

1.6.2)- TURBINAS DE GAS.

Como se mencionó anteriormente, sus principios de operación se conocen desde mediados del siglo XIX, aunque solo a partir de 1940, cundo el desarrollo de la tecnología de materiales e inventos funcionales de los compresores axiales, dieron paso a aplicaciones funcionales de las turbinas a gas. Estos grupos de generación turbogas, están compuestos por un compresor, una turbina de gas y un alternador dispuestos sobre el mismo eje lo que proporciona un aspecto muy compacto.

La cámara donde se produce la combustión del combustible, no necesariamente gas, a pesar de su nombre, sino casi

Fig. 1-10 Grupo motor generador Diesel, mostrando componentes básicos,: radiador, turbocompresor, motor, alternador, tableros de control

Fig. 1-11 Vista de una turbina a gas. SE ha levantado la cubierta para mostrar alabes de la compresor axial y turbina de fuerza

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cualquier combustible pulverizado usualmente se monta alrededor del eje. La gráfica superior muestra el aspecto real de una de estas unidades, sin la carcasa protectora para destacar el aspecto de compresor y turbinas. La gráfica siguiente muestra el esquema de operación simplificado, que utilizaremos para aplicaciones compartidas en instalaciones modernas. La operación de un grupo turbina generador se puede explicar de manera simplificada de la siguiente manera:

a) Aire de la atmosfera entra al compresor axial y sale hacia la cámara de combustión, a presión muy alta.

b) En la cámara de combustión se mezcla el combustible (gas, gasoil, fueloil) y se produce continuamente el encendido de la mezcla, cuyos gases de combustión salen hacia la turbina.

c) En la turbina se produce la fuerza que hace girar todo el conjunto alrededor del eje,

d) Los gases, todavía muy calientes, salen al exterior por la chimenea.

e) El alternador, conectado directamente o a través de un conjunto de engranajes produce la energía eléctrica que se entrega a la red, mediante un transformador no mostrado.

1.6.3)- TURBINA DE VAPOR.

Como se ha mencionado, hasta el presente han constituido el medio más difundido de generación de grandes bloques de energía, prácticamente desde su perfeccionamiento a principios del siglo XX. La versatilidad del tipo de combustible utilizado para la generación de calor para producir el vapor de agua, sin duda ha contribuido a su popularización. Una central termoeléctrica, como hemos convenido en llamar las instalaciones para producir energía eléctrica mediante el uso de vapor de agua en alguna parte del proceso, está constituida en una primara fase por una caldera para producirlo mediante el uso de alguna fuente de energía que eleve la temperatura del agua hasta producir vapor de alta presión. Esta

fuente de energía térmica puede ser: Un combustible convencional como carbón, derivados del petróleo o gas natural

(Termoeléctrica Convencional). Vapor proveniente de yacimientos de energía geotérmica (Planta Geotérmica). Un reactor de fusión nuclear que utilice uranio enriquecido o no (Central Nuclear). Concentración de rayos solares sobre una caldera (Central Termo solar).

Fig. 1-13 Corte de una turbina de vapor mostrando entrada de vapor, de alta y baja álabes, escape de gases de baja presión.

Fig.1-12 Esquema operacional de una turbina de gas

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La figura siguiente muestra un esquema de operación de turbinas de vapor. De manera muy resumida la operación de una turbina de vapor sigue la orientación siguiente:

o El combustible, alimenta la caldera donde circula agua desmineralizada en estado de alta pureza la cual es transformada en vapor de agua de alta presión. o El vapor de alta presión entra en la turbina y produce trabajo mecánico que al estar acoplada al eje un alternador, produce energía eléctrica que se entrega a la red mediante un transformador (no representado). o El vapor, ya turbinado, es vapor de baja presión que es conducido a un equipo de condensación para transformarlo nuevamente en líquido y llevado, mediante la acción de bombas no representadas en el esquema, nuevamente a la caldera donde el proceso se repite de manera continua. Debe observarse que el agua de proceso está en un circuito cerrado y solo debe reponerse la que, por efecto de escapes en el sistema de sellado pueda perderse. El condensador consume agua de refrigeración que puede ser agua de lagos, ríos o del mar a través de un circuito abierto que normalmente no requiere renovación. En algunos casos,

cuando no se dispone de fuentes abundantes de agua natural, la refrigeración se efectúa en torres especiales de refrigeración de baja altura y diámetro mucho mayor que las chimeneas de escape de gases y humos de combustión. 1.6.4) CENTRALES DE CICLO COMBINADO. Una turbina de gas con sus equipos asociados tiene un rendimiento del orden de 30%. Esto significa que de la energía química de los combustibles solo es transformada en energía útil un poco menos de una tercera parte. El resto se pierde sobre todo en los gases calientes que se escapan por la chimenea, que aún conservan un alto porcentaje de energía térmica.

En tiempos relativamente recientes, en los últimos 25 años, se ha desarrollado la tecnología de Centrales de Ciclo Combinado, cuyo propósito es utilizar la energía remanente en los gases de escape, haciéndolos pasar por una caldera para generar el vapor de agua que utilizaría una turbina de vapor. La figura lateral muestra el esquema simplificado de operación de una unidad de ciclo combinado. Una central de este tipo deriva

su nombre en el hecho de que

Fig. 1-14 Diagrama operacional de una turbina de vapor

Fig. 1-15 Diagrama operacional de una unidad de ciclo combinado mostrando el ciclo a gas y el ciclo a vapor

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realmente se trata de una turbina de gas, cuyos gases normalmente se desperdician, antes de ser desechados circulan por un dispositivo intercambiador de calor, donde su energía remanente se utiliza para producir el vapor que alimenta una turbina de vapor. Tanto la turbina de gas como la turbina de vapor tienen acoplados generadores y la eficiencia del grupo llega a alcanzar eficiencias superiores al 50%. 1.7)- ENERGÍA SOLAR. La energía solar disponible en muchas áreas en grandes cantidades aunque en forma no continua,

está siendo utilizada de manera creciente debido al incremento de los precios de los combustibles convencionales. Aún cuando en promedio solo se cuenta con disponibilidades de luz solar del 50%, su aprovechamiento significa una oportunidad de sustitución de combustible por energía solar que puede tener una importante significación desde el punto de vista económico. Existe tecnología muy adelantada para la conversión de la energía solar concentrándola en superficies que encierran agua para producir vapor de agua para ser utilizado en turbinas de vapor para generar energía eléctrica. Se trata en este caso de las plantas termo solares una fotografía de las cuales se muestra en la gráfica insertada al lado de este párrafo. En este caso los rayos solares que inciden sobre superficies reflectantes son dirigido a la parte superior de una torre donde se concentran y elevan la

temperatura de una caldera ubicada en este sitio de manera que puedan generar vapor suficiente para alimentar turbinas acopladas a generadores eléctricos, de manera similar a como lo hace una planta de vapor convencional. La provincia de Andalucía en España, ocupa el liderazgo en la utilización de este tipo de energía. Para resolver el problema de la disponibilidad

oscilante de la energía solar, se han ideado procedimientos de almacenamiento de energía,

mediante los dispositivos denominados almacenes térmicos, para tener posibilidad de generar vapor durante los periodos de ausencia de luz solar. La activa investigación en este campo gira en torno a la utilización sales fundidas para mantener el calor almacenado para ser utilizado durante la noche, lo cual ha permitido desarrollar plantas solares de generación permanente. Otra tecnología importante para la utilización de la energía solar, es la conversión directa de luz solar en energía eléctrica mediante la utilización de celdas solares. La figura al lado en el presente párrafo muestra un inmenso campo de celdas fotovoltaicas que demuestra el estado del arte en este tipo de aprovechamiento de la energía solar.

Fig. 1-16 Planta termo solar muestra el patio de espejos y la torre caldera

Fig. 1-17 Campo de celdas solares, parte de una central de celdas fotovoltaicas

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Los avances de la electrónica de potencia ha permitido la construcción de equipos convertidores para la conversión de la corriente continua producida por las celdas en corriente alterna que se inyecta a las redes públicas de potencia. La limitante más importante de la conversión de la energía solar en energía eléctrica, es como en el caso anterior, la periodicidad de los espacios de tiempo sin luz solar, pero con la dificultad hasta ahora de que no hay manera de almacenar ni la luz ni la electricidad en cantidades suficientemente importantes como para darle continuidad a la utilización de la energía eléctrica proveniente de esta fuente. China, Japón, Alemania y Estados Unidos son los líderes mundiales en investigación y utilización de esta forma de conversión de energía solar en energía eléctrica. 1.7) LA ENERGÍA EÓLICA. El desarrollo de la energía eólica ha crecido espectacularmente a partir de la última década del siglo pasado, siendo los líderes mundiales en investigación y aplicaciones Estados Unidos, Dinamarca, Alemania y España. Según la organización Green Peace, el desarrollo y las expectativas sobre la capacidad de las turbinas eólicas se expresan textualmente de la siguiente manera: “La potencia nominal, el diámetro del rotor y la altura media de las turbinas eólicas ha crecido a un ritmo constante a lo largo de los años. Aunque el tamaño medio de las turbinas varía sustancialmente de un país a otro, o de una región a otra, la media de las turbinas instaladas en 2011 fue de 1,76 MW comparada con una media de 1,21 MW del total de turbinas operativas en el mundo. Se espera que esta tendencia se mantenga ya que cada vez se construyen máquinas más grandes para satisfacer a la industria eólica marina. También se desarrollan turbinas más grandes y eficientes para conseguir la mayor cantidad de energía posible de los nuevos emplazamientos, así como de aquellos que se están repotenciando, donde las turbinas están llegando al final de su ciclo de vida de 20 años Igualmente, en opinión de Green Peace, los supuestos sobre el factor capacidad, son los siguientes: “El factor capacidad de una turbina eólica o un parque eólico se define como el porcentaje de la capacidad nominal de producción eléctrica que generará una turbina durante un año. La variable con mayor incidencia sobre el factor capacidad es el recurso eólico del emplazamiento, además de la eficiencia de la turbina, su idoneidad para un emplazamiento concreto, la fiabilidad de la turbina y la gestión del proyecto eólico. Por ejemplo, una turbina de 1 MW que opera al 25% del factor de capacidad producirá 2.190 MWh de electricidad a lo largo de un año. La media mundial del factor capacidad es hoy en día de alrededor del 28% pero varía mucho de región a región. Además el porcentaje en general va en aumento debido al rápido crecimiento de complejos en lugares con mucho viento como Brasil, México, el mar y otros lugares. No obstante, también se está potenciando el desarrollo de nuevas turbinas para emplazamientos nuevos con menos viento pero más cercanos a los centros de carga. Por ello, se ha dejado el factor capacidad medio mundial en 28% para el periodo que comprende hasta 2030, y se ha incrementado hasta el 30% después de esa fecha”. Igual que la energía solar y por las mismas razones, la energía natural e inagotable de los vientos está siendo a gran escala para generación de energía eléctrica. Existen varios tipos de turbinas eólicas, pero como las que tienen importancia dentro del mercado eléctrico latinoamericano son las de eje vertical y fundamentalmente con hélices de tres aspas, solo nos referiremos a este tipo en el este párrafo. Cada eolito o aerogenerador está constituido por tres partes fundamentales:

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Mástil: La estructura o soporte sobre la cual se instala el conjunto generador constituido por la góndola y las hélices. Normalmente de gran altura, alrededor de 60 metros, construidas con concreto, tubo cilíndricos de de acero o tubos troncocónicos tipo telescópico. Góndola: La unidad que encierra la parte más compleja del equipo que contiene los siguientes elementos entre otros, engranajes multiplicadores de velocidad para incrementar a niveles requeridos la

Velocidad de las máquinas de generación

Freno mecánico para controlar la velocidad de giro del rotor del generador.

Dispositivo sensor de la velocidad del viento (anemómetro)-

Eje principal a los álabes.

Eje de generación.

Equipo de control.

Motor y corona de orientación de la góndola.

Generador que en máquinas grandes suele ser una máquina sincrónica o de inducción.

Hélice: son equipos delicados donde la aerodinámica es de especial cuidado. Tiene solo dos elementos fundamentales:

Álabes principales, construidos a la manera de hélices de avión, en acero o fibra de vidrio reforzada.

Servomecanismo de control de velocidad de giro que cambia el ángulo de ataque de viento en función de su velocidad.

Las energía naturales eólicas y solar, tiene el grave inconveniente de la indisponibilidad durante la noche y épocas de poco sol, la última y por la falta de constancia en cuanto a la velocidad del viento. Por estos inconvenientes inmanejables por los operadores tanto la energía solar como la eólica, pueden formar parte de lo que se llama capacidad instalada pero pueden ser consideradas capacidad firme.

Fig. 1-18 Esquema de aerogenerador de eje horizontal

Fig. 1-19 Conjunto de aerogeneradores de eje horizontal en una granja eólica

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Para entender estos conceptos incorporamos a continuación, algunos párrafos donde se incluyen algunas definiciones de utilidad cuando interesan los conceptos relativos a operación de centrales eléctricas. Estas limitantes, sin embargo, no disminuyen las innegables ventajas de esta energía, entre las cuales están:

Son energías renovables ya que tienen su origen en procesos atmosféricos debidos a la energía que llega a la Tierra procedente del Sol.

Son energías limpia ya que no produce emisiones atmosféricas ni residuos contaminantes. No requiere una combustión que produzca dióxido de carbono (CO2), por lo que no contribuye al incremento del efecto invernadero ni al cambio climático.

Pueden instalarse en espacios no aptos para otros fines, por ejemplo en zonas desérticas, próximas a la costa, en laderas áridas y muy empinadas para ser cultivables.

La energía eólica puede convivir con otros usos del suelo, por ejemplo prados para uso ganadero o cultivos bajos como trigo, maíz, patatas, remolacha, etc.

Crea un elevado número de puestos de trabajo en las plantas de ensamblaje y las zonas de instalación.

Su instalación es rápida, entre 6 meses y un año.

Su inclusión en un sistema ínterconectado permite ahorrar combustible en las centrales térmicas y/o agua en los embalses de las centrales hidroeléctricas.

Su utilización combinada de los dos tipos de energía, eólica y solar, permite la auto-alimentación de viviendas, terminando así con la necesidad de conectarse a redes de suministro, pudiendo lograrse autonomías superiores a las 82 horas, sin alimentación desde ninguno de los 2 sistemas.

Posibilidad de construir parques eólicos en el mar, donde el viento es más fuerte, más constante y el impacto social es menor, aunque aumentan los costes de instalación y mantenimiento. Los parques offshore son una realidad en los países del norte de Europa, donde la generación eólica empieza a ser un factor bastante importante.

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1.8)- GLOSARIO DE TÉRMINOS DE INTERÉS EN EL ÁREA DE GENERACIÓN. Capacidad Instalada: Es la potencia que puede generar y entregar una central en condiciones ideales de operación. Capacidad Efectiva: Es la potencia máxima que una central puede entregar en forma continua al mercado eléctrico. Esta capacidad se determina mediante el “Factor de Planta” que a su vez depende de la capacidad de las turbinas, la ubicación de la central, la disponibilidad de insumos, entre otros factores. Capacidad Firme: Es la parte de la capacidad efectiva que corresponde a la potencia que puede ser entregada de inmediato al mercado energético con alto nivel de seguridad pues dispone con certeza de los insumos (agua, combustible, lubricantes etc.) necesarios para la generación. Factor de Planta: Es la relación entre la energía generada realmente por una central a la energía que hubiese generado operando continuamente a capacidad nominal. Los siguientes son Factores de Planta Típicos.

Parque eólico: 20-40%. Panel fotovoltaico: 10-15%. Central hidroeléctrica: 60%. Central nuclear: 60%-98%. Central termoeléctrica a carbón: 70-90%. Central de ciclo combinado: 60%

Mantenimiento: Es el conjunto de técnicas y acciones que son destinadas a conservar o restablecer equipos, dispositivos, instalaciones o edificaciones que se encuentran sujetas a acciones de mantenimiento, con la finalidad de que estos puedan cumplir con un servicio determinado de una manera eficiente y eficaz, durante el mayor tiempo posible y con el máximo rendimiento. Buscando siempre la más alta disponibilidad en los Sistemas Productivos. Reparación: Se conoce como la intervención que se le aplica a un sistema productivo en la cual se procede a la implantación de acciones como desmontaje, verificación de estado de los diferentes componentes, sustituciones, reconstrucción, entre otros; con el fin de dejarlo en condiciones normales de operación y tendiendo a su condición original. Mantenimiento Preventivo: Son el conjunto de actividades y técnica destinadas a conservar un sistema productivo con el fin de que este logre cumplir con la función para la cual fue creado de una manera eficiente y eficaz. Para esto se deben realizar estudios de fallas para ver con que regularidad se pueden presentar las mismas. Según la Norma venezolana COVENIN 3049-93 "El mantenimiento preventivo es el que utiliza todos los medios disponibles, incluso los estadísticos para determinar la frecuencia de las inspecciones, revisiones, sustitución de piezas claves, portabilidad de aparición de averías, vida útil y otras. Su objetivo es adelantarse a la aparición o predecir la presencia de las fallas.

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Mantenimiento Correctivo: A diferencia del preventivo con el conjunto de actividades y técnica destinadas a restablecer un sistema productivo con la finalidad de que este cumpla con sus funciones de manera eficiente y eficaz, tomando en cuenta que estas actividades son aplicadas cada vez que ocurre una falla. La Norma venezolana COVENIN 3049-93 establece “El mantenimiento correctivo comprende las actividades de todo tipo encaminadas a tratar de eliminar la necesidad de mantenimiento corrigiendo las fallas de una manera integral a mediano plazo: las acciones más comunes que se realizan son: modificación de elementos de maquinas, modificación de alternativas de procesos, cambios de especificaciones, ampliaciones, revisión de elementos básicos del mantenimiento y conservación". Este tipo de actividades deben ser realizadas por personal calificado y que pertenezcan a la organización de mantenimiento. Este tipo de intervenciones deben ser programadas con el fin de evitar pérdidas innecesarias. Mantenimiento Predictivo: Consiste en determinar en todo instante la condición técnica (mecánica y eléctrica) real de la máquina examinada, mientras esta se encuentre en pleno funcionamiento, para ello se hace uso de un programa sistemático de mediciones de los parámetros más importantes del equipo. El sustento tecnológico de este mantenimiento consiste en la aplicaciones de algoritmos matemáticos agregados a las operaciones de diagnóstico, que juntos pueden brindar información referente a las condiciones del equipo. Tiene como objetivo disminuir las paradas por mantenimientos preventivos, y de esta manera minimizar los costos por mantenimiento y por no producción. La implementación de este tipo de métodos requiere de inversión en equipos, en instrumentos, y en contratación de personal calificado. Técnicas utilizadas para la estimación del mantenimiento predictivo: Disponibilidad: Es la probabilidad de que un equipo se operable durante un periodo de tiempo dado. Confiabilidad: Es la probabilidad de que un equipo no falle durante un tiempo determinado en condiciones de operaciones establecidas. Esta también es conocida como la probabilidad de supervivencia. Mantenibilidad: Es la probabilidad de que un equipo pueda ser puesto o reparado a su condición operativa en un periodo de tiempo dado, cuando el mantenimiento es ejecutado de acuerdo con procedimientos preestablecidos Factor de servicio: Es la fracción de tiempo que el equipo presta servicio confiable sobre el total de horas que el equipo es requerido. Factor de disponibilidad: Es la fracción de tiempo que el equipo está disponible en el periodo calendario descontando los paros programados de mantenimiento.

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Consumo de Electricidad po País en TWH (Año 2012)

China 4693 EE-UU 3741 Japón 860 Rusia 858 India 601 Canadá 550 Alemania 545 Francia 461 Brasil 456 Sur Corea 455 Inglaterra 345 Italia 310 España 268 Australia 225 Taiwán 221 Sudáfrica 212 Irán 207 México 182 Arabia 175 Turquía 161 Ucrania 135 Polonia 132 Suecia 132 Tailandia 132 Indonesia 126 Noruega 116 Países Bajos 113 Egipto 109 Argentina 105 Vietnam 101 Malasia 94 Kazajistán 88 Venezuela 86 Bélgica 85 Finlandia 83 Pakistán 74 Emiratos 71 Austria 66 Grecia 60 Rep. Checa 59 Suiza 58 Chile 56 Iraq 56 Filipinas 54 Rumania 51 Portugal 48 Israel 47 Hong Kong 43 Kuwait 43 Hungría 43 Singapur 41 Uzbekistán 40 N. Zelanda 39 Colombia 39 Serbia 36 Perú 34 Dinamarca 32 Bielorrusia 31 Argelia 31 Siria 29 Eslovaquia 29 Bulgaria 28 Irlanda 26 Bangladesh 24 Libia 23 Marruecos 21 Puerto Rico 19 Croacia 19 Corea Norte 19 Azerbaiyán 19 Qatar 19 Nigeria 18 Tayikistán 17 Islandia 16 Ecuador 15 Eslovenia 15 Cuba 14 Omán 13 Turkmenistán 13 Dominicana 13 Túnez 12 Zimbabue 12 Jordania 11 Bosnia 11 Bahráin 10 Lituania 10 Mozambique 10 Líbano 10 Sri Lanka 9 Georgia 9 Macedonia 9 Paraguay 9 Costa Rica 8 Guatemala 8 Uruguay 8 Zambia 8 Kirguizistán 7 Estonia 7 Trinidad 7 Albania 7 Honduras 7 Luxemburgo 6 Jamaica 6 Bolivia 6 Letonia 6 Ghana 6 El Congo 6 Panamá 6 Armenia 6 El Salvador 6 Kenia 6 Camerún 5 Nepal 5 Yemen 5 Myanmar 5 Moldavia 4 Montenegro 4 Namibia 4 Sudán 4 Macao 4 C.de Marfil 4 Tanzania 3 Mongolia 3 Angola 3 Etiopía 3 Brunéi 3 Botsuana 3 Papúa 3 Nicaragua 3 Mauricio 2 Laos 2 Malta 2 Uganda 2 Bahamas 2 Senegal 2 NCaledonia 2 Gabón 2 Camboya 2 Malaui 2 Surinam 1 Suazilandia 1 Madagascar 1 Barbados 1 Fiyi 1 Guinea 1 Guyana 1 Burkina Faso 1 Togo 1 Benín 1 Níger 1 Andorra 1 Islas Caimán 1 Congo 1 Mauritania 1 Malí 0 Liberia 0 Haití 0 Santa Lucía 0 Somalia 0 Burundi 0 Yibuti 0 Seychelles 0 Groenlandia 0 Cabo Verde 0 Ruanda 0

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CAPITULO 2.

TECNOLOGÍA DE LOS CONDUCTORES ELÉCTRICOS

2-0 INTRODUCCIÓN .

Al disponer de energía eléctrica abundante, es necesario su transporte hasta los centros

de consumo y ya en estos, distribuirlas a las agrupaciones de consumidores los cuales

deben a su vez, hacerla disponible a cada artefacto o equipo que funciones con energía

eléctrica.

A comienzo de la historia de la industria eléctrica, solo se requería producir la energía y

entregarla a los usuarios ubicados en la cercanía. Poco importante era mantener los

niveles de tensión en rangos estrechos.

Rápidamente esta situación cambió y en la actualidad parece trivial hablar de exigencias

de capacidad de transporte, constancia de suministro, regularidad de los niveles de

tensión entre otros conceptos. Términos como calidad de servicio, tasa de fallas,

confiabilidad son de uso corriente no solo de los especializados en los temas eléctricos

sino del público consumidor en general.

Es claro entonces que la energía requiere transmitirse obviamente mediante instalaciones

para transportarla: Las líneas de transmisión.

Una línea de transmisión está compuesta por algunos elementos fundamentales entre

otros: el conductor, los soportes, el aislamiento, los herrajes, las protecciones contra

sobretensiones etc.

En el presente capitulo nos referiremos al conductor, destacando materiales utilizados en

su construcción, tecnología de fabricación, normalización de sus características etc.

El conductor es el componente que justifica la existencia de la línea, en realidad toda línea

se construye para sostenerlo, siendo por consiguiente la decisión más importante en la

fase de proyecto de una línea de transmisión, la elección acertada del conductor.

Otras variables son también muy importantes en la elaboración de un proyecto como son,

la tensión de operación, la energía y potencia a transportar, el aislamiento como función

de la tensión y de las características ambientales, etc.

Las características eléctricas y mecánicas del conductor influyen en la capacidad de

transporte, en el diseño de las torres y en su ubicación en el terreno. Puede suponerse

que existe una familia de conductores que satisfacen técnicamente la relación existente

entre energía a transmitir y conductor, pero solo uno una estrecha banda de tipos y

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tamaños de conductor son los más adecuados para satisfacer las condiciones optimas

para el diseño de la línea de transmisión. Y como toda solución de ingeniería es un

compromiso entre comportamiento técnico y aspectos económicos, debe tenerse

presente que la correcta elección del conductor es proporcional al costo de la energía que

la línea transmitirá.

2-1 MATERIALES UTILIZADOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE MEDIOS DE TRANSPORTE.

Como la función fundamental del conductor es transmitir energía con la mayor economía

posible, es evidente que la conductividad es la característica fundamental del material a

utilizar en su fabricación, de manera que pueda realizar la conducción de corriente con la

mayor eficiencia.

Los metales utilizados en la construcción de líneas aéreas deben poseer tres características principales: baja resistencia eléctrica, elevada resistencia mecánica para resistir los esfuerzos permanentes o accidentales, y bajo costo.

Los metales que satisfacen estas condiciones son relativamente escasos: cobre, aluminio, aleaciones de aluminio y combinación de materiales (aluminio-acero, aluminio-fibra de carbono, etc.) Conviene para cada caso particular investigar el metal más ventajoso, teniendo en cuenta las características físicas, químicas y económicas. La tabla 2-1 siguiente muestra la conductividad a 20°C de los materiales metálicos más

comunes y en la tabla 2-2. La resistividad que comúnmente se les considera conductores

en sistemas de puesta a tierra.

Tabla 2-1. Resistividad de Materiales

MATERIAL RESISTIVIDAD en ΩM a 20°C

Plata 0.0160 *10 -6

Cobre (99.95%) 0.0175 *10 -6

Oro 0.0220 *10 -6

Aluminio 0.0270 *10 -6

Tungsteno 0.0550 *10 -6

Bronce (CuZn37) 0.0645 *10 -6

Hierro 0.1000 *10-6

Acero Inoxidable 0.1000 *10 -6

Plomo 0.2080 *10 -6

Alambre (CuNi44Mnl ) 0.4900 *10-6

Carbón, Grafito 40.0000 * l 0 -6

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Tabla 2-2. Resistividad de materiales “conductores”en sistemas de puesta a tierra

MATERIAL RESISTIVIDAD en ΩM a 20°C

Agua de mar 0.1 a 1

Agua desmineralizada 2000 a 100000

Hielo 10000 a 100000

Tierra de jardín 5 a 50

Suelo poroso 30 a 100

Concreto húmedo 30 a 100

Concreto seco 2000 a 10000

Arena 200 a 2500

Grava, Piedra picada 2000 a 3000

Cuarcita 300 a 1000

Roca 1000 a 10000

La plata (Ag) es el material mejor conductor seguido por el cobre (Cu) y el oro. El aluminio

ocupa el cuarto lugar en esta tabla clasificatoria, 164% mas resistividad que el cobre y con

la mitad de la resistividad del material que le sigue, el wolframio.

Por razones de costo, la plata y el oro no pueden considerarse para ser utilizados como

conductores más que en aplicaciones muy especiales. Entonces solo el cobre y el aluminio

tienen la opción única de considerarse como conductores en aplicaciones de transporte

de energía

2-1.1 COBRE

Elemento químico monovalente, su símbolo químico es Cu de número atómico 29 y peso

atómico 8.89. Es un metal sumamente dúctil y maleable de un color rojizo pardo brillante,

y uno de los mejores conductores del calor y la electricidad. Muy dúctil y maleable por lo

que se puede transformar en hilos muy finos y láminas muy delgadas.

Existe abundantemente en la naturaleza, tanto en el estado nativo como en forma de

diversos minerales constituidos por óxidos y sulfuros.

2-1.1.1 METALURGIA DEL COBRE.

En el beneficio del cobre se siguen dos procedimientos de acuerdo a su composición

mineral. Los que contienen cobre nativo o en forma de sulfuros se someten al proceso de

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la fundición. Los óxidos se disuelven mediante reactivos adecuados, para recuperar

después el cobre por precipitación y refinación.

El mineral de cobre se funde dos veces, la primera tiene por objeto obtener la mata de

cobre, una mezcla de sulfuros de cobre y hierro. Esta operación se realiza en hornos de

reverbero y la segunda tiene por objeto afinar la mata separando el cobre del azufre y el

hierro; esto se consigue fundiéndola en un horno convertidor en presencia de una

corriente de aire constante. El azufre se escapa en forma de SO2 y el hierro se convierte en

óxido que se elimina en la escoria. El producto se conoce como cobre negro (Blister).

Finalmente, el cobre negro (Blister), se somete a la refinación electrolítica que se efectúa

haciendo pasar una corriente eléctrica por una solución acidulada (Sulfato de Cobre

CuSO4). El ánodo lo constituye el cobre que se desea refinar y para el cátodo se utiliza

cobre puro. El cobre electrolítico suele poseer una pureza que fluctúa entre 99.92 y 99.96

por ciento y la mínima requerida para la fabricación de conductores eléctricos es de 99.9

por ciento.

El tipo de cobre que se utiliza en la fabricación de conductores es cobre electrolítico de

alta pureza. Se obtiene electrolíticamente por refinado: un electrodo de cobre hace de

cátodo y un electrodo de cobre con impurezas hace de ánodo; el cobre electrolítico se

deposita cobre el cátodo.

Las características del cobre electrolítico coinciden, casi exactamente con las del cobre

puro, ya que el contenido mínimo de cobre ha de ser de 99.9 %.

Cuando un conductor está destinado a líneas aéreas, debe ser capaz de satisfacer las exigencias mecánicas a las que estará sometido una vez tendido. Las mismas son del resultado de la acción de su propio peso y de los agentes mecánicos exteriores (tensión mecánica, viento, hielo, etc.). De ahí que el conocimiento de su carga de rotura total a la tracción sea imprescindible. Con el objeto de aumentar en todo lo posible la resistencia a la tracción, el material deberá estar al estado puro y su característica metalográfica básica será por cristales o granos pequeños. Ello acarrea la disminución de su conductividad eléctrica, la cual desciende mas cuanto mayor sea el grado de dureza obtenido. En la práctica se han definido sólo los estados extremos, y es así que se utilizan dos tipos de cobres, según sea destinado a líneas aéreas (cobre duro), o a usos internos (cobre blando recocido, en el que es crítico el conocimiento de su conductividad.) El cobre electrolítico se presenta en los siguientes grados de dureza o temple:

Cobre duro. El cobre estirado en frió adquiere dureza y resistencia mecánica, aunque a

expensas de su ductilidad y maleabilidad. El cobre duro tiene una resistencia a la rotura de

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35 a 47 [Kg/mm2] y por sus buenas propiedades mecánicas se emplea en la fabricación de

conductores de líneas eléctricas aéreas, donde han de estar sometidos a esfuerzos

mecánicos elevados. Este tipo de cobre no es muy empleado en instalaciones interiores,

debido a que por su poca flexibilidad se manipula con dificultad.

Cobre semiduro. Cuando el cobre duro se somete a un tratamiento térmico en un horno

durante un periodo de alrededor de 12 horas, se transforma en cobre semiduro el cual

tiene una resistencia a la rotura de 28 a 34 [Kg /mm2 y no es tan dúctil ni maleable como

el cobre recocido.

Cobre recocido. El cobre recocido llamado también cobre blando, resulta cuando se

prolonga el periodo del tratamiento térmico por 12 horas más, disminuyendo su

resistencia a la rotura de 22 a 28 [Kg/mm2]. El cobre recocido a 20° C de temperatura ha

sido adoptado como cobre-tipo para las transacciones comerciales en todo el mundo. El

cobre recocido es dúctil, flexible y se utiliza, sobre todo, para la fabricación de

conductores eléctricos que no hayan de estar sometidos a grandes esfuerzos mecánicos,

particularmente para la fabricación de conductores para edificaciones o de uso industrial

colocado en canalizaciones.

2.1.1.2 ALEACIONES DE COBRE

Son soluciones sólidas de cobre con metales tales como el manganeso, el níquel, el zinc, el

estaño, el aluminio, etc., en cantidad moderadas endurecen el cobre y disminuyen su

ductilidad, pero mejoran sus condiciones de laminado y de trabajo mecánico.

De una forma general se puede decir que las aleaciones de cobre mejoran algunas de las propiedades mecánicas o térmicas del cobre puro, en sacrificio de las propiedades eléctricas. Las aleaciones de cobre más utilizadas son las siguientes: Latones.

Los latones son aleaciones de cobre y zinc con un 50 % de este último metal como

máximo, ya que a partir de dicho porcentaje, las aleaciones resultan frágiles. La

conductividad eléctrica es relativamente baja, por lo que su empleo no es tan extendido

Bronces-

Los bronces son aleaciones de cobre y estaño. Pero actualmente las aleaciones dejaron de

ser binarias para pasar a ser ternarias, introduciendo un tercer elemento, además del

cobre y el estaño, como fósforo, silicio, manganeso, zinc, cadmio, aluminio; según el tercer

elemento es el nombre del bronce, por ejemplo: bronce fosforoso, bronce silicoso, etc.

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2-1.2 ALUMINIO.

Es un material blanco brillante, que pulido semeja a la plata, cuyo símbolo químico es Al,

de número atómico 13 y peso atómico 2.705. El aluminio es uno de los principales

componentes de la corteza terrestre conocida, de la cual forma parte en una proporción

del 8,13%, superior a la del hierro, que se supone es de un 5%, y solamente superada

entre los metales por el silicio (26,5%).

El aluminio no se encuentra puro en la naturaleza, sino formando parte de los minerales,

de los cuales los más importantes son las bauxitas, que están formadas por un 62-65% de

alúmina (Al2O3), hasta un 28% de óxido de hierro (Fe2O3), 12-30% de agua de hidratación

(H2O) y hasta un 8% de sílice (SiO2).

2 1.2.1 METALURGIA DEL ALUMINIO

La obtención del aluminio se realiza en dos fases:

1. Separación de la alúmina (Al2O3) de las bauxitas por el procedimiento Bayer, que

comprende las siguientes operaciones: Se calientan las bauxitas para deshidratarlas, una

vez molidas; se atacan a continuación con solución de sosa en caliente y a presión para

formar aluminato sódico (Na2O+Al2O3), que se separa del resto de los componentes de la

bauxita; después, bajo la influencia de una pequeña cantidad de alúmina que inicia la

reacción, se hidroliza el aluminato de sodio, quedando alúmina hidratada e hidróxido de

sodio; y por fin, se calcina la alúmina hidratada a 1.200ºC, con lo que queda preparada

para la fase siguiente.

2. Reducción de la alúmina disuelta en un baño de criolita (Na3F6AI), y con cierta cantidad

de fundente, por electrólisis con electrodos de carbón, conocido como procedimiento

Hall-Hérault.

Para obtener una tonelada de aluminio son necesarias 4 Tm. de bauxita, 80 Kg. de criolita,

600 kg de electrodos de carbón y 22.000 Kwh. La metalurgia de aluminio es, por tanto,

esencialmente electrolítica.

2 1.2.2 PROPIEDADES FÍSICAS DEL ALUMINIO.

El aluminio es un metal blanco brillante, que pulido semeja a la plata. Cristaliza en red

cúbica centrada en las caras (FCC). Su peso específico es igual a 2,699, es decir, casi 1/3

del hierro (7,87). El único metal industrial más ligero que el aluminio es el magnesio, de

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peso específico 1,74. Su conductividad eléctrica es un 60% de la del cobre y 3,5 veces

mayor que la del hierro. Su punto de fusión es 660ºC y el de ebullición 2.450ºC. Este punto

de fusión relativamente bajo, unido a su punto de ebullición bastante alto facilita su fusión

y moldeo.

2 1.2.2 PROPIEDADES DEL ALUMINIO.

La propiedad química más destacada del aluminio es su gran afinidad con el oxígeno, por

lo que se emplea entre otras cosas, para la desoxidación de los baños de acero, para la

soldadura alumino-térmica (Al + Fe2O3), para la fabricación de explosivos, etc.

A pesar de esto, y aunque parezca un contrasentido, el aluminio es completamente

inalterable en el aire, pues se recubre de una delgada capa de óxido, de algunas

centésimas de micra, que protege el resto de la masa de la oxidación.

Debido a esta película protectora, resiste también a la acción del vapor de agua, el ataque

nítrico concentrado y muchos otros compuestos químicos. En cambio, es atacado por el

ácido sulfúrico, el clorhídrico, el nítrico diluido y las soluciones salinas

2 1.2.3 PROPIEDADES MECÁNICAS DEL ALUMINIO.

Las propiedades mecánicas del aluminio son más interesantes son su débil resistencia

mecánica, y su gran ductilidad y maleabilidad, que permite forjarlo, trefilarlo en hilos

delgadísimos y laminarlo en láminas o panes tan finos como los del oro, hasta de un

espesor de 0,0004 mm (0,4 micras). A la temperatura de 500ºC se vuelve frágil y se puede

pulverizar fácilmente.

2 1.2.3 ALEACIONES DE ALUMINIO.

Es fácil suponer que existe una gran variedad de aleaciones de aluminio para usos

generales, pero para la utilización como conductores para líneas aéreas, solo existe una

pequeña gama entre las cuales, las más antiguas, Almelec de origen francés y Aldrey de

origen suizo, prácticamente no se utilizan en América Latina. La aleación conocida como

1350 es prácticamente aluminio puro al 99.5%, conductividad del 61% es muy utilizada en

líneas aéreas cuando el vano (distancia entre soportes), no es muy largo, lo cual es

característico de líneas de distribución en baja tensión. Para líneas de vanos mayores se

utilizan aleaciones con pequeñas cantidades de magnesio, manganeso o zinc, la 6201, de

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origen canadiense conocida en América como Arvidal con una conductividad del 60% y

una lata resistencia a la tracción.

Tabla 2.3. PROPIEDADES FÍSICAS DE METALES A 20°C

COBRE

ALUMINIO 1350-EC

ACERO

Número Atómico. 29 13 ---------

Peso Especifico gr/cm3 8.89 2.705 7.8

Coeficiente de Temperatura por °C 0.00393 0.00403 0.005 6

Conductividad Eléctrica (I.A.C.S.) en % 100 61 ---------

Conductividad Térmica. cal/cm3 0.93 0.52 0.11

Temperatura de Fusión °C 1 083 660 1 400

Coeficiente de Dilatación Lineal por °C. 16.22 x 10-6 23.0 x 10-6 11.5 x 10-6

Calor Especifico cal/gr/°C. 0.091 8 0.2259 0.107

Resistividad ohm.mm2/m (temple blando) 0.017241 0.028265 ---------

Tensión Ruptura temple duro kg/cm2 3870 1820 ---------

Tensión Ruptura temple blando kg/cm2 2250 845 ---------

Modulo de Elasticidad kg/mm2 12000 7020 20300

Resistencia al Corte. kg/cm2 1750 665 ---------

Resistencia Límite de Fluencia kg/cm2 560 350 ---------

En la tabla anterior se ha incorporado el acero por el uso como refuerzo del aluminio en algunos

conductores. Los parámetros en negrita son los más utilizados.

2-2 TECNOLOGÍA DE CONDUCTORES.

Para introducirnos un poco a la tecnología de de los conductores, empezaremos por la

definición de algunos términos, los tamaños de los conductores, los métodos de

fabricación y la agrupación de conductores.

Obviamente esta es una introducción muy superficial de estos extensos temas, que solo

tienen la intención de suministrar información útil a ingenieros y técnicos que se dedican a

diseñar, construir y mantener instalaciones de transporte de energía eléctrica. Existe una

extensa literatura en textos y artículos en Internet que contienen suficiente información

que pueda ser requerida para profundizar en el tema.

29

2-2.1 TERMINOLOGÍA DE LOS CONDUCTORES.

Definiremos a a continuación algunos términos utilizados en la tecnología de conductores

y que no suelen ser aplicados como parte del lenguaje común.

Alambre. Es un filamento laminado o extruido con una longitud mucho mayor a su sección

transversal.

Cable. Un conjunto de alambres reunidos de manera organizada, trenzados entre sí.

Conductor. Un alambre o cable adecuado para transmitir energía eléctrica.

Hilo. Uno de los alambres de cualquier cable.

Mil. Dado que la casi todos los conductores eléctricos tienen sección transversal

circular, los primeros fabricantes definieron una unidad de longitud denominada “mil”,

que equivale a una milésima de pulgada para mediar el diámetro de alambres

Circular mil (cmil). Término universalmente aceptado para definir secciones circulares y es

el área de un círculo de un mil de diámetro, por consiguiente 1 mm2 equivale a 1974 cmil.

Al circular mil se le diseño un múltiplo el MCM, que en los últimos tiempos se transformó

en Kcmil con aceptación aparentemente universal, equivalente a 1000 cmil.

2-2.2 CALIBRES DE CABLE.

Es un hecho establecido la necesidad de normalización en las ejecuciones de Ingeniería.

Al comienzo de la industria también en cuanto al tamaño de conductores, existía la

anarquía debida al desacuerdo entre fabricantes. Las normas para calibres de alambres

mas conocidos son:

o Calibre americano para alambres. o Calibre de escala milimétrica. o Calibre Birminghan de alambres. o Calibre alemán de alambres.

De los cuales nos detendremos en las dos primeras normas solamente.

2-2.2.1 CALIBRE AMERICANO PARA ALAMBRES.

La "American Wire Gauge" o “AWG”, también conocida como la "Brown and Sharpe

Gauge", fue ideada en 1857 por J.R. Brown. Esta escala de calibres, así como algunas otras

30

de las escalas usadas, tiene la propiedad de que sus dimensiones representan con

aproximación los pasos sucesivos del proceso de estirado del alambre.

A diferencia de otras escalas, los calibres del "American Wire Gauge" no se han escogido

arbitrariamente, sino que están relacionados por una ley matemática. La escala se formó

fijando dos diámetros y estableciendo una ley de progresión geométrica para diámetros

intermedios. Los diámetros base seleccionados son 0.4600 pulgadas (calibre 4/0) y 0.0050

pulgadas (calibre 36), existiendo 39 dimensiones entre estos dos. Por lo tanto, la razón

entre un diámetro cualquiera y el diámetro siguiente en la escala está dada por la

expresión:

K =

que tal vez por casualidad se parece a

=1.122462.

Imaginando un poco la lógica de construcción de esta escala, supondremos que el primer

número de la escala fue el Nro. 0, cuando la tecnología exigió calibres mayores se

continuó con 00, 000, 0000 que luego de llamarón 2/0, 3/0, 4/0. Probablemente se

avizoraron problemas con la prolongación de esta sintaxis y no se continuó con la

denominación, sustituyéndola por un calibre dado por la sección del conductor siguiendo

con calibres 266.6, 336.4, 4233.9.

Por criterios técnicos y de mercadeo estos calibres siguientes al 4/0 AWG, se sustituyeron

por calibres “redondeados” 250 MCM, 300 MCM, 350 MCM etc., que en la actualidad son

250 Kcmil, 300 Kcmil, 350 Kcmil etc.

La escala AWG entonces quedó limitada por el 4/0 AWG por encima y los calibres mas

delgados, solo por la tecnología de estirado.

La relación de los diámetros de conductores de calibres consecutivos es el número dado,

adoptándose por razones de facilidad para recordar k= 1.123 mientras que la relación de

las áreas es de 1.1232 = 1.26.

Haciendo uso de estas relaciones y conociendo un calibre básico, por ejemplo el 4/0 AWG

del conductor de cobre, podemos calcular diámetro, áreas, peso, resistencia a corriente

continua, etc. para toda la escala AWG, usando una calculadora sencilla, fácilmente

disponible en campo.

Como ejemplo nos adelantaremos a los comentarios sobre tablas. Los datos del conductor

alambre de cobre 4/0 AWG son

31

Diámetro = 11.68 mm

Área en mm2 = 107.2 mm2

Área en cmil = 211.6 cmil

Peso = 972 Kg/Km

Resistencia = 0.164 Ω/Km

Determinar datos del conductor Nro. 4 AWG, conociendo los del 4/0 AWG.

Número de pasos (3/0, 2/0, 1/0, 1, 2, 3, 4) son 7 pasos.

d4 = (d4/0)/1.1237 = 11.68/1.1237 = 5.2 mm

A4 = A4/0/1.267 = 107.2/1.267 = 21.26 mm2

P4 = P4/0/1.267 = 972/1.267 = 192.78 Kg/Km

R4 = R4/0*1.267 = 0.164*1.267 = 0.83 Ω/Km

Existen una serie de reglas útiles que deben recordarse, aplicables a la escala de calibres

AWG:

El incremento de 3 números en el calibre (por ejemplo del 10 al 7) duplica el área y el peso

unitario; por lo tanto, reduce a la mitad la resistencia por unidad de longituda la corriente

directa.

El incremento en 6 números de calibre (por ejemplo del 10 al 4) duplica el diámetro.

El incremento en 10 números de calibre (por ejemplo del 10 al 1 /O) multiplica área y peso

por 10 y divide entre 10 la resistencia.

2-2.2.2 ESCALA MILIMÉTRICA

Conocida como (INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMMISSION – IEC) es la más

usada en la actualidad, excepto como hemos indicado, en países como Estados Unidos y la

mayor parte de los latinoamericanos. En sí, la escala consiste en proporcionar la medida

directa de las áreas transversales de los conductores, en milímetros redondeados.

32

2-3 FABRICACIÓN DE LOS CONDUCTORES.

De manera muy simplificada, para información de personal de transmisión y distribución

de energía eléctrica, intentaremos en una página resumir el proceso de producción de

conductores eléctricos.

El proceso de fabricación de conductores consiste en la transformación de la materia

prima, cobre o aluminio, en alambres primero y cables, según sea el uso a que se

destinará el producto final.

El material ingresa a las factorías como alambrón, un alambre producido por extrusión de

calibre 4/0 AWG aproximadamente, donde después de un proceso de limpieza y decapado

entre otros procesos previos, se inicia la fase de conversión en alambre mediante el

estiramiento progresivo en una máquina

denominada trefiladora cuya

funcionamiento esquemáticamente se

presenta en la figura lateral izquierda.

El denominado tambor suplidor entrega al

proceso el alambre original a bajo la

tracción producida por un tambor con

velocidad controlada haciéndolo pasar por

el orificio cónico de uno o varios dados de material endurecido de manera que el radio.

Este estiramiento modifica la estructura cristalográfica del alambre por lo cual hay que

hacerlo pasar por un tratamiento térmico para convertirlo en material de estructura

amorfa, blando con las características de dureza y conductividad eléctrica que requiera el

conductor final.

Si el producto requerido es un cable, una maquina denominada “cableadora” reúne los

alambres disponiéndolos en capas concéntricas helicoidales. Estos cables suelen estar

constituidos por 7, 19, 37, etc. Hilos.

Luego de un proceso intermedio de control de calidad donde se comprueban lps

requerimientos según normas

internacionales o particulares de cada

usuario, el producto estaría listo para su

empaquetamiento en carretes de

longitudes estandarizadas, si está

destinado a ser utilizado en la

Fig. 2-1 Esquema del Proceso de trefilado

Fig.2.2 Aspecto de una cableadora con guías y dado de unión

33

construcción de líneas aéreas. . Si se trata de un conductor para uso en canalizaciones u

otra forma de uso interior, es sometido al proceso de colocación del aislamiento

mediante la extrusión del material aislante sobre los conductores. Con la identificación del

producto, el empaquetamiento en carretes y el control de calidad final, el proceso

quedaría prácticamente terminado.

2-3.1 NÚMERO DE ALAMBRES DE UN CABLE ESTÁNDAR.

Naturalmente, si consideraciones de costo no son importantes, un cable puede fabricarse

con cualquier número de alambres. Pero los fabricantes siguen normas de fabricación

para simplificar y estandarizar sus procesos productivos, y uno de estos estándares es el

número de alambres por cada calibre de cable construido, el cual está dado en este caso

por la siguiente fórmula:

N = 3n(n+1)+1 ec. 2.1

Donde N es el número total de alambres

n es el número de capas concéntricas. El hilo central no se cuenta como capa.

Aplicando esta fórmula podemos construir la tabla siguiente:

Tabla 2.4

Número de Capas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de Hilos 7 19 37 61 91 127 169 216 271

Todos los alambres de un cable forman hélice alrededor del eje central, invirtiéndose en

cada cambio de capa, el sentido de giro de la hélice para mantener la estabilidad

dimensional del conjunto, pues cuando este

se somete a torsión, las capas que tienen un

sentido tienden a aflojarse mientras que las

que tiene sentido contrario, se aprietan.

El peso y la resistencia del conductor se

incrementan ligeramente a causa de estas hélices. Aunque la variación del peso y la

Fig. 2.3 Cable de cobre o de aluminio formado 4 capas. Nótese el sentido de las hélices que se alternan con las capas.

34

resistencia del conductor varían con el número de capas , se puede estimar con precisión

suficiente que el incremento sobre el peso y la resistencia es del 2% mayor que un

alambre del mismo calibre que el cable considerado.

El paso es la longitud axial de una vuelta completa d cada alambre alrededor del eje. Las

normas de fabricación establecen la magnitud del paso, pero para los conductores

estándar un valor representativo es 13.5 veces el diámetro externo de cada capa ce

alambres.

2-3.2 RESISTENCIA DE LOS CONDUCTORES ELÉCTRICOS.

Desde muy temprano en la educación orientada a términos eléctricos de los lectores a los

cuales va orientado este texto, conocemos que la resistencia en ohm de un conductor esta

expresado por la ecuación siguiente:

R =

en ohm.

Donde:

= resistividad del material expresada en Ωmm2/m.

L = Longitud del conductor en metros.

A= Sección transversal del conductor en milímetros cuadrados.

Si el material con la que se ha fabricado el conductor es cobre blando y la temperatura es

20 °C., 0.017241 =

Ωmm2/m.

Si el conductor es aluminio 1350 (o grado EC), asumiendo la misma temperatura, la

resistividad será

=

= 0.28264 Ωmm2/m.

2-3.3 VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA CON LA TEMPERATURA.

También desde muy temprano tenemos conocimiento del efecto de la temperatura sobre

la resistencia del conductor, donde resistencia y temperatura están relacionadas por la

ecuación lineal siguiente:

=

35

Siendo

resistencia requerida para una temperatura t.

coeficiente de temperatura para el cobre a 20°C = 0.00393 (de la tabla 2.3)

resistencia por unidad de longitud a 20 °C.

temperatura para la cual se tiene la información, 20 °C.

Si queremos encontrar el valor de la temperatura para el cual la resistencia sea igual a

cero ohm, a este valor lo llamaremos cero absoluto inferido o simplemente “cero

inferido”.

ó =0

→ t = -

= 20-

=20 – 254.453≈-234.5 °C.

Este valor es entonces el “cero inferido” para el cobre. De igual manera se obtiene el cero

inferido para el aluminio igual a 228.

La figura siguiente muestra esquemáticamente la variación de la resistencia como función

de la temperatura. En el punto 0° K, la

resistencia es 0, pero a la temperatura

T0, la prolongación la línea intercepta el

eje de las temperaturas, y define la

temperatura que hemos llamado “cero

inferido”. De la figura 2.3 se pueden

establecer las siguientes relaciones

→

ec.2.2

Como ejemplo consideremos el conductor 4/0 AWG de cobre, cuya resistencia 20°C es

de 0.164 ohm/Km y deseamos calcular la resistencia a 50°C.

Fig. 2.3 Variación de la resistencia con la temperatura

36

R50 = R20*

64* 8 Ω/Km

Suponiendo que el conductor del mismo calibre es de aluminio, a 20°C tendrá una

resistencia por unidad de longitud de 0164/0.61 =0.269 Ω/Km

R50 = R20*

6 * Ω/Km

2-3.4 SELECCIÓN DEL CONDUCTOR POR RAZONES DE COSTOS DEL MATERIAL.

El precio de los metales es una variable muy volátil, pero para establecer comparaciones

de costo es necesario tener la información lo mas actualizada posible. A mediados del mes

de marzo, la información extraída de uno de los muchos portales especializados se obtuvo

el precio del cobre de 6690 $/ton y del aluminio 1915 $/ton, es decir 6.69 $/Kg y 1.915

$/Kg para el cobre y el aluminio, respectivamente.

De la tabla 2-3 se tiene la densidad del cobre 8.9 y la del aluminio 2.7 kg/dm3.

Para formular el problema llamaremos CLc y CLa el costo de una unidad de longitud de la

línea en cobre y en aluminio respectivamente. Y Sc, Cc, Pc, ρc la sección, el costo por kg, el

peso y la resistividad del cobre y similarmente para el aluminio Sa, Ca , Pa y ρa, con la

condición de que la resistencia de la línea construida con cobre o con aluminio sean

iguales.

R =

=

de donde se tiene

la relación de las áreas

=

=

Relación entre volúmenes

=

Relación entre pesos

=

=

=

= 2.01

Relación entre costos

=

=

Y evaluando esta última relación tendremos

=

= 7.02

Lo cual significa que a precios internacionales actuales del cobre y del aluminio y

desestimando otros costos, una línea con una resistencia por unidad de longitud dada, el

37

conductor es siete veces mas cara y pesa el doble si se construye en cobre que si se

construyera en aluminio.

2-3.5 LA RESISTENCIA A LA TRACCIÓN DEL ALUMINIO.

El aluminio puro es siete veces mas barato y pesa la mitad que el cobre, pero la baja

resistencia de ruptura en estado puro lo inhabilita para la construcción de líneas aéreas,

pues al requerir vanos muy cortos se incrementa demasiado el número de las estructuras

de soporte, por lo cual es necesario mejorar la resistencia a la tracción.

La primera solución técnica a este problema fue la construcción de cables con una parte

de sus alambres construidos en acero, dando origen a los conductores ACSR “Auminiun

Cable Steel Reinforced” (Cablles de aluminio reforzados con acero).

En estos cables construidos con la sección de aluminio de calibres normalizados de modo

tal que por ejemplo u ACSR 4/0 AWG tendría 211.6 Kcmil y el núcleo de acero con el

número de alambres de este material necesarios para obtener las características

requeridas por la aplicación.

La segunda solución fue estuvo disponible

cuando se descubrieron las aleaciones de

aluminio resistentes a la tracción que

aumentaron la tensión de ruptura con un

pequeño sacrificio de la conductividad (60%

de conductividad del cobre). Estas fueron las aleaciones Almelec, Aldrey, Arvidal (6201).

Finalmente una solución derivada de la tecnología ACSR que consistió en construir los

cables de aluminio puro (1350) sobre núcleos de aleación de aluminio 6201, que permitió

utilizar como conductor toda la sección transversal del cable. Se trata del conductor tipo

ACAR.

En tiempos recientes se han desarrollado otras tecnologías que han mejorado las tensión

de ruptura y las características térmicas de los conductores sin sacrificas su conductividad

eléctrica, como los conductores ACCC, con un

núcleo reforzado con fibra de carbono que

disminuyendo el peso y aumentando la

resistencia a la tracción permite incrementar la

temperatura de operación y mantener vanos

mas largos. Estas características las hacen

Fig 2.4 Cables ACSR, ACSC y ACCC

Fig. 2.5 Conductor ACSC con tecnología TW

38

especialmente adecuados para la repotenciación de líneas existentes donde se puede

aumentar la capacidad de transporte utilizando los soportes existentes. Adicionalmente

en estos conductores se utiliza la tecnología TW (trapezoidal wires). Los alambres que

constituyen el cable tienen sección transversal trapezoidal en lugar de cilíndrica,

permitiendo un conductor masa compacto porque no hay intersticios entre los alambres.

El núcleo de fibra de carbono y la utilización de aluminio recocido permiten fabricar un

conductor con las siguientes características:

Capaz de conducir más energía cuando comparado a otros conductores de mismo peso, y diámetro

o Capazde trabajar en altas temperaturas. o Capaz de minimizar pérdidas en las líneas o Más liviano y resistente que permite vanos más largos o Sin pérdida de resistencia mecánica con el tiempo por baja fluencia (Creep) con el

tiempo.

39

2-4 EFECTO PIEL (Definición)

El Efecto de piel, también denominados efecto pelicular, Kelvin o de proximidad es la tendencia de

la corriente alterna a fluir cerca de la superficie de un conductor, lo que limita la corriente a una

pequeña parte del total de área de sección transversal y el aumento de la resistencia al flujo de

corriente. Nota: El efecto piel es causado por la auto-inductancia del conductor, lo que provoca un

aumento de la reactancia inductiva a frecuencias altas, forzando así a los portadores, es decir,

electrones hacia la superficie del conductor. A altas frecuencias, la circunferencia es el criterio

preferido para la predicción de la resistencia que es el área de la sección transversal. La

profundidad de penetración de la corriente puede ser muy pequeño en comparación con el

diámetro.

Aunque a la frecuencia de los sistemas de potencia (60 o 50 Hz), el efecto pelicular no es

determinante en la impedancia de los conductores, en su análisis se introduce la utilización de las

funciones de Bessel, que constituyeron un punto importante en los estudios universitarios de

análisis matemático y está bien documentados en las primeras ediciones de un libro clásico en los

estudios de sistemas de sistema de potencia, “ELEMENT OF POWER SYSTEM ANALYSIS” del Dr.

William D. Stevenson.

Las ediciones posteriores, quizás por la escasa aplicación en sistemas de potencia, no incorporaron

este capítulo en los libros del Dr. Stevenson. En reconocimiento a este trabajo y por ser una de las

pocas aplicaciones de las referidas funciones de Bessel en el campo de las publicaciones de

potencia eléctrica, nos permitimos anexar este interesante aspecto.

2-4.1 DENSIDAD DE CORRIENTE EN UN CONDUCTOR CON EFECTO PELICULAR.

Trataremos el caso de efecto pelicular referido a un conductor cilíndrico estudiando la variación de

la densidad de corriente en función de la distancia al centro de ese conductor. Representamos el

área transversal del conductor en la figura siguiente. De la Ley de Ampere, la intensidad del campo

magnético a una distancia x, estará dado por la ecuación

Hx =

Donde Ix es la corriente total enlazada por el elemento tubular de radio x.

Para tratar con valores instantáneos es deseable expresar la ecuación en forma instantánea, y por

consiguiente el valor de la intensidad instantánea del campo es

Hx =

o en téminos de números complejos

40

Re( = Re(

)

Si convenimos en que nos referiremos a la parte real, la ecuación anterior la simplificamos

Que expresa la intensidad de campo en forma instantánea.

Si Jx es la densidad de corriente a la distancia x del centro del conductor, la corriente en el

elemento tubular de espesor dx es 2πxJxdx y la corriente enlazada por el tubo es

dx

Tomando la derivada parcial respecto a x, se obtiene

Y como es independiente de x, tendremos

Dividiendo por se obtiene

41

La ecuación anterior contiene tanto a Hx y a Jx como variables dependientes de x. Si pudiésemos

encontrar alguna relación entre estas variables dependientes, se podría sustituir la ecuación por

otra que contenga solo Jx como variable dependiente de x. Esta relación se puede obtener

aplicando las leyes de Kirchhoff. De esta manera encontramos que la diferencia de tensión entre

los puntos a y b de la figura es Jx,max donde Jx,max

instantáneo de la densidad

de corriente en el segmento ab y del conductor. Similarmente de a’ a b’ la caída

de tensión es

[Jxmax +

)dx]ρ∆l

Porque

)dx es la diferencia de la densidad de corriente entre las dos rutas

consideradas. Alrededor del circuito a’b’ab la caída total de tensión es

ρ∆l [Jxmax +

)dx]- ρ∆l Jx,max = ρ∆l

)dx

La caída de tensión en el sentido de las agujas del reloj en el circuito a’b’ab debido al cambio de

flujo magnético en el circuito es

. El signo negativo es necesario porque al incrementarse el

flujo debido a la corriente en la dirección mostrada se induce un alza de tensión en sentido de las

agujas del reloj. La caída de tensión es negativa en relación nal alza de tensión. De acuerdo con la

ley de Kirchhoff se anulan las caídas de tensión alrededor del circuito, resultando

ρ∆l

)dx -

El flujo enlazado en el circuito a’b’ab está en el elemento tubular de espesor dx y es concéntrico

con el tubo y es una función tanto del tiempo como de la distancia x al centro del conductor.

Igualando el flujo instantáneo al producto de la densidad de flujo instantánea por el área resulta

∆ldx = μHx,max

Y al sustituir en la penúltima ecuación se obtiene

42

ρ∆l

)dx -

(μHx,max

Entonces, si se asume que razonablemente la permeabilidad del material es constante,

expandiendo la derivada parcial respecto a t y observando que Hx,max no es una función de t y

, se tendrá

ρ∆l

) - μ Hx,max = 0

Despejando Hx,max y obteniendo el valor RMS se tiene

Hx =

y de aquí

-

= Jx

Y multiplicando por

teniendo presente que Jx no depende del tiempo

+

-

Jx = 0

El cambio de derivadas parciales a derivadas totales es posible porque la función es solo

dependiente de x. La ecuación diferencial de segundo orden anterior expresa la función de la

densidad de corriente en función de la distancia al centro del conductor cilíndrico, siendo una

función compleja y la densidad de corriente está expresada en términos de valor RMS.

Esta ecuación es análoga a la ecuación de variables reales siguiente:

+

+ = 0

43

Que es la forma especial de la conocida ecuación de Bessel.

Para resolver la ecuación anterior asumimos una solución en la forma de serie infinita donde

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a4x5 + a6x6 . . . .

2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x3 + 30a6x4 + . . . .

+ 2a2 + 3a3x + 4a4x2 + 5a4x3 + 6a4x4 + 7a6x5 . . .

k2y = k2a0 + k2a1x + k2a2x2 + k2a3x3 + k2a4x4 + k2a4x5 + k2a6x6 . . . .

Para satisfacer la ecuación diferencial es necesario que cada coeficiente de las potencias de x sean

iguales a cero. Como podemos escribir la ecuación diferencial sobre la base de la solución

propuesta de la forma siguiente

+ (2a2 + 2a2 + k2a0) + (6a3 + 3a3 + k2a1)x + (12a4 + 4a4 + k2a)x2 + (20a5 + 5a4 + k2a3)x3 + . .

Haciendo igual a cero cada coeficiente resulta

a1 = 0

2a2 + 2a2 + k2a0 = 0

6a3 + 3a3 + k2a1 = 0

12a4 + 4a4 + k2a = 0

20a5 + 5a4 + k2a3 = 0

30ª6 + 6a4 + k2a4 = 0

44

Se puede observar que todos los coeficientes impares son iguales a cero porque dependen de a1 y

los coeficientes pares dependen de a0. En términos de a0 estos coeficientes son.

a2 = -

a4 =

a6 =

Y sustituyendo estos coeficientes e la solución

y = a0( 1 -

+

–

+ . . .)

La expresión de la serie anterior se conoce como la función de Bessel de primera clase y grado

cero y normalmente se designa con el símbolo J0(kx) donde el símbolo matemático J0 no debe

confundirse con el símbolo de la densidad de corriente.

Si formalmente deseamos resolver la ecuación para una densidad de corriente compleja, es

necesario que los coeficiente a sean complejos para construir la serie de Jx . Sustituyendo k2 por

y por Jx, manteniendo los resultados obtenidos

Jx = a0[1 +

- (

– j(

+ . . .]

Cuando esta solución se separa en dos series de términos, una de términos reales y otra de

téminos imaginarios se obtiene una forma modificada de la serie de Bessel. Si en estas se hace

m =

se obtiene

Jx = a0[1 –

+

+ . . .] + ja0[

+

- . . .]

Que puede simplificarse como

45

Jx = a0[ber(mx) + j bei(mx)]

Donde

ber(mx) = 1 –

+

+ . . . y bei(mx) =

+

- . . .

Los términos ber y bei significan Bessel real y Bessel imaginaria respectivamente,

Si se conoce la densidad de corriente del conductor el su superficie Jr, se puede determinar el

coeficiente a0, puesto que se conoce que

Jr = a0(ber(mx) + jbei(mx)

Resolviendo por a0 y reemplazando en la ecuación de Jx, queda

Jx = Jr

2-4-2 IMPEDANCIA INTERNA DE UN CONDUCTOR CILÍNDRICO.

El interés en determinar la densidad de corriente en un conductor solo es un paso previo a la

determinación de la impedancia interna del conductor cilíndrico con una distribución de corriente

no uniforme en su sección transversal. La impedancia interna de un conductor es la parte de la

impedancia del circuito debido a la resistencia del conductor y a los enlaces de flujo producida por

el flujo interno únicamente.

La caída de tensión en la superficie de un conductor es causada por la resistencia del filamento y

los cambios de enlaces de flujos producidos por el flujo exterior al conductor. No es afectado por

el flujo interior. Por consiguiente si no se considera el flujo externo, la caída de tensión en un

filamento de la superficie del conductor, es ρJr en voltios por unidad de longitud. Los filamentos

interiores al conductor tienen los mismos enlaces de flujo de los elementos en la superficie mas

enlaces de flujo adicionales producidos por el flujo interno. Ya que todos los filamentos están

eléctricamente en paralelo, la caída de tensión en todos ellos es igual a la caída de tensión en un

filamento de la superficie. El decrecimiento de la densidad de flujo produce un decrecimiento de la

caída de tensión, se compensa con el incremento de la caída de tensión debido a los enlaces de

flujo internos. La caída de tensión Vi por unidad de longitud, excluyendo mla caída de tensión

causada por los enlaces de flujo externos al conductor, es

46

Vi = ρJr volt/metro

Y la impedancia interna por unidad de longitud es

Zi =

Siendo I la corriente de fase del conductor.

A partir de las ecuaciones de Hx y manipulando adecuadamente las relaciones derivadas

tendremos

I =2πHr

Hr = -

Y sustituyendo por su valor deducido en ecuanes anteriores, se obtiene

Hr = -

Para simplificar la notación hagamos

ber’(mx) =

=

bei’(mx) =

=

Luego

I =

Y evaluando las ecuaciones ber’(mx) y bei(mx) como se indicó, y haciendo x=r, se tiene

Zi =

47

Se concluye que la impedancia interna de un conductor cilíndrico es función de su radio, su

resistividad y su permeabilidad magnética.

2-4.3 RELACIÓN DE RESISTENCIA POR EFECTO PELICULAR.

La impedancia interna de un conductor está compuesta por la componente resistiva y la

reactancia inductiva propia del conductor. La parte real de la impedancia compleja es la resistencia

efectiva.

Se puede encontrar la resistencia efectiva de un conductor racionalizando la expresión de la

impedancia interna y separando las parte real y la parte imaginaria quedando

R =

Se puede demostrar que si la frecuencia tiende a cero, la Resistencia efectiva tiende a la

resistencia del conductor para corriente continua. A baja frecuencia la distribución de corriente la

distribución de corriente llega a ser mas uniforme siendo la resistencia a baja frecuencia, la

resistencia a corriente continua igual a

R0 =

ohms/metro

La relación de la resistencia efectiva a la resistencia en corriente continua es

Recordando que el valor de m es m =

48

mr =r

= r

=

=

Con conductores homogéneos de cobre o de aluminio es la permeabilidad magnética del vacío

y como

= R0, en ohmios por km, se tendrá

Para 60 Hz,

mr = 0.0276

Y para 50 Hz,

mr = 0.0252

49

CAPITULO TRES.

INDUCTANCIA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.

3-1 ENLACES DE FLUJO-

Una línea de transmisión tiene cuatro parámetros que definen su comportamiento como parte de un

sistema de potencia eléctrica. Estos parámetros son resistencia, inductancia, capacitancia y

conductancia. Cuando se aplica una tensión entre sus conductores y circulan corrientes eléctricas

por estos, su comportamiento puede explicarse mediante el análisis de los campos magnéticos y

eléctricos producto precisamente de las tensiones y de las corrientes presentes en el circuito

eléctrico.

La figura muestra una línea monofásica abierta y sus campos eléctrico y magnéticos asociados,

donde las líneas de flujo magnético forman circuitos cerrados enlazando los conductores y las líneas

de campo eléctrico salen del conductor positivo y llegan al

conductor de polaridad negativa. Las variaciones de la corriente en

los conductores ocasionan cambios en el número de líneas de flujo

magnético en el circuito. Los cambios en los flujos enlazados

inducen tensiones en el circuito siendo la tensión inducida

proporcional a la variación de cambios del flujo. La propiedad del

circuito que relaciona la tensión inducida con la variación de flujo

es lo que hemos conocida en cursos anteriores de Física y de Teoría

Electromagnética como inductancia.

De estos conocimientos previos podemos recordar dos ecuaciones fundamentales para explicar el

concepto de inductancia. La tensión inducida

e =

(ec. 3.1)

donde es la tensión inducida en volts y es el número de enlaces de flujo en weber-vueltas. El

término λ, enlaces de flujo, o “flux linkages” en ingles, se traduce en

español de varias manera, según el país donde se publique la bibliografía,

como mconcatenamientos de flujo, eslabonamientos de flujo. Nosotros

usaremos enlaces de flujo.

El número de weber-vueltas en el producto de cada weber de flujo por el

número de vueltas del circuito enlazado, o lo que es equivalente, el

producto de vueltas por la fracción de corriente enlazada. Para intentar

explicar el concepto veamos en la figura siguiente, donde se representa

una bobina por donde circula una corriente la cual genera un campo

magnético: si las líneas de flujo representadas (8) enlazaran todas las

vueltas de la bobina (6), la tensión inducida sería 8*6, es decir 48 volts.

Pero como las líneas de flujo no enlazan la totalidad de las vueltas notamos que las dos líneas de

flujo mas internas, enlazan cada una de ellas una vuelta de la bobina representada siendo el

Fig.3.1- Campos magnéticos y eléctricos asociados a línea monofásica

Fig. 3.2 Flujo enlazado en bobina

50

producto 2*1=2. Las siguientes dos líneas enlazan cada una de ellas, dos vueltas agregándose

entonces 2*2=4 y van 2+4=6. Las siguientes dos líneas de flujo enlazan 4 una de ellas y 5 la otra

siento entonces 4*1+5*1=9 las líneas enlazadas y van 15. Las líneas de flujo mas externas enlazan

cada una de ellas 6 vueltas siendo estas 2*6=12. El total de líneas vueltas es entonces 27 y no 48

como habríamos tenido si todas las espiras hubiesen sido enlazadas por las 8 líneas de flujo

representadas.

En este caso, dado que por cada espira circula la corriente I del circuito, el producto de las líneas de

flujo por la fracción de corriente enlazada es 27 weber-vueltas.

Cuando cambia la corriente en un circuito eléctrico, el campo magnético asociado también cambia.

Si se asume que la permeabilidad magnética es constante, como es el caso del aire y de los

materiales conductores usualmente empleados es líneas como el cobre y el aluminio, el número de

enlaces de flujo es directamente proporcional a la corriente y por consiguiente la tensión inducida es

directamente proporcional a la rata de cambio de la corriente. Así se tiene la otra ecuación

fundamental

e =L

(ec.3.2)

Donde la constante de proporcionalidad L, es la inductancia del circuito en henrys, e es la tensión

inducida en volts y di/dt es la rata de cambio de la corriente en amperios por segundo. Si la

permeabilidad no es constante como es el caso de los conductores ACSR con acero en su interior,

se puede usar la ecuación pero la inductancia no es una constante.

3-2.1 ECUACION DE L INDUCTANCIA.

Comparando las dos ecuaciones mostradas

e =

= L

se tiene

(henrys) (ec.3.3)

La ecuación anterior define el término autoinductancia, que se expresa como la inductancia de un

conductor de un circuito es igual a los enlaces de flujo sobre el conductor por unidad de corriente en

ese conductor.

51

En términos de inductancia los enlaces de flujo son

= L*i (ec. 3.4)

Para corriente alterna, como la corriente es una función senoidal, es una función senoidal,

entonces el fasor de enlaces de flujos será:

Φ =LI (ec. 3.5)

Y el de caída de tensión será

V =jωLI (ec. 3.6)

La inductancia mutua entre dos circuitos se define como los enlaces de flujo de un circuito

producido por la corriente de otro circuito por ampere de este segundo circuito.

M12 = Φ

henrys (ec. 3.7)

Que se expresa como la inductancia mutua entre el circuito 1 y 2. Es el enlace de flujo sobre el

elemento 1 producido por la corriente del elemento 2. La tensión inducida en el elemento 1 es

V1 =jωM12I2 volts (ec. 3.8)

Cuando existe acoplamiento entre circuitos eléctricos, por ejemplo, la influencia de una línea

eléctrica de potencia (transmisión o distribución) sobe una línea telefónica abierta (ya generalmente

fuera de uso), puede aplicarse el concepto expuesto para calcular la tensión inducida en cada

conductor de la línea telefónica por las corrientes de la línea de potencia, existe un efecto de cada

conductor de potencia sobre los dos conductores de la línea telefónica. La diferencia de tensión

inducida entre los dos conductores será la diferencia de la suma de los efectos de las corrientes de

las líneas de potencia sobre un conductor de comunicaciones menos la suma de lkos efectos sobre el

otro conductor de la línea de teléfono.

3-2.2 INDUCTANCIA DEBIDA AL FLUJO INTERIOR.

Hasta ahora nos hemos referido al flujo magnético en el exterior de los conductores, pero en el

interior de un conductor también existen líneas de flujo magnético que también influyen en las

tensiones inducidas y en consecuencia sobre la inductancia de los conductores.

Para simplificar el análisis en este caso, supondremos que los conductores son alambres cilíndricos

y que la densidad de la corriente es uniforme en el interior del conductor. Obviamente

consideraremos que la corriente de un conductor produce flujos magnéticos internos, y que estas

52

líneas enlazan una fracción de la corriente en cada línea

En este caso la inductancia debida al flujo interno se calcula como la relación del flujo enlazado por

la fracción de la corriente. Aplicaremos este concepto para calcular los enlaces de flujo debido al

flujo exterior y al flujo interno en un conductor que supondremos cilíndrico, solido, mut largo y

alejado de cualquier perturbación electromagnética, cuya sección transversal representamos en la

figura. Veamos primero que ocurre con el flujo interior.

En la figura la corriente que circula por el conductor produce líneas de

flujo concéntricas. Consideremos un tubo interno concéntrico de espesor

dx por el cual circula un elemento de flujo. La Ley de Ampere (o Ley

Circuital de Ampere), establece la fmm alrededor de un un camino

cerrado es igual a la corriente total enlazada por este camino cerrado. Lo

cual matemáticamente se expresa de la siguiente manera.

= I ampere-vueltas (ec. 3-9)

Donde en el producto escalar a integrar, H es la intensidad del campo magnético en ampere vueltas

por metro, s e la distancia a lo largo del camino e I es la corriente total encerrada por el camino

especificado. El producto escalar indicado será entre el elemento ds, y la intensidad de campo

tangente a este elemento. Siendo H es variable con la distancia al centro del conductor, llamaremos

Hx la intensidad de campo magnético para la ruta considerada. Por razones de simetría, Hx es

constante alo largo del elemento del campo dentro del tubo considerado de espesor dx. Si

consideramos una longitud unitaria de conductor de un metro, para calcular parámetros por unidad

de longitud, la pared del tubo considerado tendrá un área de 1*dx. La ecuación (3.9) podrá

escribirse como

= (ec. 3.10)

de donde

(3.11)

Y como hemos supuesto que la densidad de corriente es uniforme, Ix es

(2.12)

I es como antes, la corriente total del conductor. Sustituyendo en la ecuación 3.11 el valor de Ix,

tendremos

(3.13)

Fig. 4- Sección transversal de un conductor cilíndrico

53

Y de aquí

I ampere-vuelta /metro (3.14)

La densidad de flujo a la distancia x del centro del conductor es

=

webwes/metro2 (3.15)

Siendo μ la permeabilidad del material conductor.

En el interior del elemento tubular de espesor dx, el flujo magnético es la densidad de flujo

multiplicado por la sección duna unidad de longitud por el espesor dx.

weber/m (3.16)

Los enlaces de flujo por unidad de longitud son

=

weber-vuelta/metro (3.17)

Integrando desde el centro del conductor hasta la superficie los enlaces de flujo (del flujo interior)

serán

=

weber-vuelta/metro (3.18)

Y para permeabilidad relativa de 1, como es el caso del cobre y el aluminio, materiales usuales para

la construcción de conductores eléctricos, μ =4π10-7

henrys/metro, sustituyendo en la ecuación

(3.18)

webe-vuelta/metro (3.19)

Li =

henry/metro (3.29)

Resultado sorprendente, pues se ha encontrado que la inductancia de un conductor cilíndrico debía

al flujo interior es independiente del diámetro del conductor.

54

3-2.3 INDUCTANCIA DEBIDA AL FLUJO EXTERIOR AL CONDUCTOR.

Hemos visto que ocurre en el interior de un conductor y debemos estudiar lo que ocurre fuera de

este, para lo cual calcularemos los enlaces de flujo entre dos puntos externos a un conductor

cilíndrico con los mismos supuestos del caso anterior (recto, largo, cilíndrico etc.).

Supongamos que por este conductor circula una corriente I. En el exterior del

conductor tenemos dos puntos P1 y P2, ubicados a distancias D1 y D2 metros

respectivamente al centro del conductor. La figura anexa representa la

situación planteada, y a una distancia x, como en el caso anterior tenemos un

tubo de pared igual a dx, por el cual circula un flujo dφ producto de la

corriente I, el cual como antes, es concéntrico con el conductor.

En el elemento tubular la intensidad del campo magnético es Hx, contante en

el interior del elemento tubular considerado y la fmm alrededor del elemento,

como habíamos establecido en la ecuación (3.11) la fmm para un punto

interno al conductor era , pero ahora la corriente enlazada es la

corriente total I, por lo cual la ecuación es ahora

(3.30)

Y consecuencialmente

ampere-vueltas/metro (3.31)

=

webes/metro

2 (3.32)

Y de manera similar

weber/m

=

weber-vuelta/metro

=

weber-vuelta/metro

Fig. 5- Puntos externos a un conductor

55

Y por consiguiente, para una permeabilidad relativa de 1, como la del aire

weber-vuelta/metro (3.32)

Y la inductancia por unidad de longitud debida al flujo exterior al conductor entre los puntos P1 y P2

estará dado por la siguiente ecuación:

henrys/metro (3.33)

Es conveniente disponer de una ecuación que determine el efecto de los flujos interno y externo en

una sola expresión para los enlaces de flujo. Calcularemos entonces el valor de ’12, incorporando el

efecto del flujo interno. Se tendrá entonces que la suma de enlaces de flujo es igual a la suma de los

enlaces de flujo debidos al flujo externo 12 mas los enlaces debidos al flujo interior i, cuando el

punto 1 está en la superficie del conductor, es decir a una distancia r del εntro y si el segundo punto

lo llamamos P, la distancia entre el centro del conductor y el punto será d0P

op = 12 + i =

+

(3.34)

Haciendo

=

=

) op =

op =

) (3.35)

En las expresiones anteriores ε es la base de los logaritmos neperianos (2.718281828…), quedando

el número denominador del argumento del logaritmo neperiano como 0.7788*r.

Los enlaces de flujo sobre un conductor producidos por la corriente que circula por el esta dado

entonces por la expresión:

op =

) (3.36)

3.2.4 INDUCTANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. DE DOS ALAMBRES

CONDUCTORES.

Con las herramientas que ahora tenemos, podemos calcular la

inductancia y reactancia de una línea conformada por dos

alambres conductores. Aunque lo normal es que en una línea

todos los conductores sean idénticos, supondremos un caso en el

cual tenemos dos conductores de radios R1 y R2, separados una

distancia D. Es evidente que a partir del conductor de Radio R1,

fIG. 6- Línra Monofásica

56

podríamos apolicar las formulas deducidas para estimar los enlaces de flujo, pero como después de

la distancia D, la corriente total enlazada es 0, mas alla de este conductor no habrá enlaces de flujo

y es evidente que las líneas de flujo hasta un punto P, muy alejado, serán los mismos que las líneas

de flujo hasta la distancia D. En consecuencia aplicando la ecuación 3.36 tendremos

1p =

) = oD =

) (3.37)

Y la inductancia del conductor 1 será

L1 =

) henrys/metro

Así mismos para el conductor 2, se tendrá

L2 =

) henrys/metro

Y la inductancia del circuito monofásico completo será

L = L1 + L2=

) +

))

3-3 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO DE

CONDUCTORES.

Para homogenizar las ecuaciones siguientes proponemos convenir en sustituir el término 88

por d11, 88 por dnn, etc. que podría leerse “distancia del conductor n a sí mismo”,

conviniendo que esta distancia no es cero.

En la figura siguiente (fig. 7), se reperesena un sistema de conductores cilíndricos y paralelos que

conforman una línea de transporte cuya suma de

corrientes es igual a cero. El punto P es la sección

transversal de un eje paralelo a los conductores

ubicado a una distancia muy remota.

La ecuación 3.36 indica que los enlaces de flujo

totales, debidos al flujo interno y al flujo externo, en

un conductor está definido por la expresión op

=

), y la ecuación 3.32

muestra que los enlaces de flujo entre dos puntos 1 y

2 de un conductor está dado por la expresión

.

Fig. 7- Sección transversal de una línea de conductores cilíndricos paralelos con corrientes diferentes pero cuya suma es cero Amp,

57

Aplicando esta ecuación para determinar los enlaces producidos por los diferentes conductores del

grupo por las corrientes asociadas a cada conductor entre los puntos 1 (centro del conductor 1) y el

punto P tendremos

Para el conductor 1

Para el conductor 2

Para el conductor 3

.

.

Para el conductor N

Y sumando todos los enlaces de flujo sobre el conductor 1 se tiene la ecuación

1 = ( *ln

*ln

*ln

*ln

+

Si el punto P lo elegimos suficientemente alejado de manera tal que podamos considerar que las

distancias de los conductores al punto P sean razonablemente iguales a d1p, en el segundo termino

Podemos extraer como factor común al el factor , tendremos que este termino sería este

factor multiplicado por la suma de todas las corrientes del circuito,

2*10-7

*ln(d1P)*(I1+I2+I3 + …. IN) =0

Y la expesión queda

1 = ( *ln

*ln

*ln

*ln

(3.38)

Para el resto de conductores

2 = ( *ln

*ln

*ln

*ln

58

3 = ( *ln

*ln

*ln

*ln

.

.

n = ( *ln

*ln

*ln

*ln

(3.39)

Tomaremos esta última como expresión general

3-3.1 INDUCTANCIA DE UNA LÍNEA TRIFASICA.

Aplicaremos esta ecuación para calcular la inductancia de una línea trifasica

con disposición simétrica de los conductores, los cuales, en principio serán

los alambres cilíndricos indicados como a,b,c en la figura anexa.

Supondremos que esta figura representa la línea trifásica con garga

balanceada siendo las tres corrientes de magnitud I y un desfasaje de 120

grados. De esta manera

Ia =I ang/0°, Ib=I/120° e Ic=I/ 240°.

a = ( *ln

*ln

*ln

a = ( *ln

*ln

*ln

Como Ib+Ic = -Ia

a = ( *ln

ln

)= (ln

ln

)

a =

de donde

La =

Pero es mucho mas común que los conductores no estén dispuestos equilaterlamente. Por ejemplo

una linea cuya sección transversal se representa en la figura, las distancia dab, dbc y dca, no son

iguales. Si suponemos que la carga es balanceada, como en el caso anterior las corrientes son

Fig 9- Línea de conductores dispuestos asimétricamente

Fig.8- Línea de conductores simétricamente dispuestos

59

Ia =I ang/0°, Ib=I/120° e Ic=I/ 240°.

Los enlaces de flujo sobre el conductor “a” serán

a = ( *ln

*ln

*ln

(3.40)

a = ( *ln

/ *ln

*ln

a = (I*(cos(0°)+j*sen(0°)*ln

+I*(cos(120°) + j*sen(120°))*ln

+ I*(cos(240°) +

j*sen(240°))*ln

a = ln

-0.5* ln

-0.5* ln

+j(

*ln

- * ln

)]

a = ln

+j *ln

(3.41)

De donde se pone de manifiesto que la inductancia unitaria para la fase ‘a’ sería para las tres fases:

La = ln

+j *ln

(3.42)

Lb = ln

+j *ln

(3.43)

Lc = ln

+j *ln

(3.44)

Y hemos llegado a la conclusión que las expresión de la inductancia de los conductores de una línea

trifásica asimétricamente dispuestos, contiene un término imaginario y son diferentes entre sí.

3-4 TRANSPOSICIÓN EN LINEAS DE TRANSMISIÓN.

Hasta ahora hemos supuesto que a cada fase de una línea corresponde una posición invariable en la

disposición geométrica de las estructuras. Por ejemplo, en figura 9, que representa un corte

transversal de una línea, tenemos tres posiciones: a,b y c que corresponden a las fases 1,2 y tres

respectivamente. Ahora dividiremos la longitud total de nuestra línea en tres tramos en los cuales

cambiaremos de posición cada una de las fases como se indica en la figura 10.

60

En el primer tramo la fase 1 corresponde está en la

posición a, la fase 2 en la posición b y la fase 3 en

la posición c.

En el segundo tramo, el conductor de la fase 1 pasa

a la posición b, el conductor de la fase 2 a la

posición c y el conductor de la fase 3 a la posición

1.

En el tercer tramo la fase 1 estará en la posición c, la fase 2 irá al la posición a y la fase 3 pasa al a

posición b.

De esta manera cambian los enlaces de flujo sobre la misma fase para cada tramo de modo que los

enlaces de flujo promedio de la corriente de la fase 1, será

1 = ln

+j *ln

+ ln

+j *ln

+ ln

+j *ln

]

De modo que si agrupamos términos reales e imaginarios tendremos, para la parte real

1r = ln

+ln

1r = [ln

]*

1r =

(3.45)

Y para la parte imaginaria

1i =

=

Entonces los enlaces de flujo totales de una línea trifásica trnaspuesta y la inductancia por unidad de

longitud como utilizaremos mas adelante estaran dadas por

1 =

weber*vuelta/metro (3.46)

L1 =

henrys/metro (3.47)

Fig. 10- Esquema de los ciclos de transposición en una línea trifásica con conductores dispuestos asimétricamente

61

Y por simetría

L1 =L2=L3

henrys/metro (3.48)

Se evidencia de esta manera que utilizando una correcta transposición, en una línea trifásica cuyos

conductores son alambres, se elimina el término imaginario de los enlaces de flujo y se igualan las

inductancias por fase. El numerador del argumento del logaritmo neperiano es el promedio

geométrico de las distancia entre conductores y el denominador es el promedio geométrico de “las

distancia de un conductor a sí mismo, como hemos convenido en llamar” cuyo valor es 0.7788*r

(0.7788 veces el radio del conductor).

3-5 INDUCTANCIA DE CONDUCTORES DE UN SISTEMA

Las líneas de transporte de energía de razobale capacidad de transporte y con cualquier tensión de

operación se construyen con cables (un conjunto de alambres), por lo cual para determinar los

parámetros eléctricos será necesario discutir el comportamiento de líneas conformadas por

conjuntos de conductores por fase.

Supongamos que tenemos una línea compuesta por dos grupos

de conductores como se indica en la figura 10, que repesenta

la sección trasversal de un sistema monofásico de transmisión.

Sean entonces el grupo “X” constituida por n conductores,

transportando una corriente total I que supondremos

igualmente repartida entre cada undo de los conductores y un

grupo “Y” que completa el circuito formado por m conductores transportando la corriente total –I.

Los conductores (alambres), pueden ser de dimensiones diferentes pero supondremos que llevan ma

misma coriente I/n, para el grupo X e I/m para el grupo Y.

A continuación cacularemos los enlaces de flujo sobre el grupo de conductores X, proucidos tanto

por sus propias corrientes como por las corrientes de los cornductores del grupo Y.

Los enlaces de flujo sobre el conductor 1 producido por todas las corrientes, las del grupo X y las

del grupoY, se obtendrán aplicando la ecua ción (3.39) generalizándola para cualquier conductor

dentro de un grupo.

1 = ( *ln

*ln

*ln

*ln

–

62

- ( *ln

*ln

*ln

*ln

Y como hemos supuesto que I1=I2=I3=….IN =I/n y ademas

Ia=Ib=Ic=….Im=I/m

1 =

) -

1 = (ln

- ln

)

1 = (

weber*vuelta/m

Para los otros conductores del grupo X se tiene

2 = (

3 = (

.

.

n = (

Los enlaces de flujo promedio ( p) serán

p =

=

p =

Entonces la inductancia promedio sería

63

Lp =

=

Asumiremos ue no hay diferencias notables entre las inductancias de cada hilo y la inductancia

promedio, por tanto es razonable inducir que la inductancia del grupo X es igual a la inductancia

promedio dividida por el número de conductores del grupo puesto que los hilos están en paralelo, es

decir

Lx =

=

(3.49)

Y los enlaces de flujo del grupo X completo serán

x = I*Lx =

(3.50)

Analizando esta última ecuación se puede observar que la cantidad subradical del numerador

contiene n paréntesis de m factores cada uno, es decir que contiene m*n factores y la raíz es

también m*n siendo por consiguiente el resultado de resolver la raíz, una distancia. Igualmente el

numerador es el promedio geométrico de las distancias entre cada uno de los conductores del grupo

X a cada una de los conductores del grupo Y. Denominaremos este término como DMxy que

podríamos leer como la “Distancia Media” entre el grupo x y el grupo Y.

Por otra parte la cantidad subradical del denominador contiene n paréntesis de n factores cada uno y

por lo tanto la dimensión de la raíz n*n de n*n factores es también una longitud, la cual es el

promedio geométrico entre distancias de los diferentes conductores del grupo X. Denominaremos

este término siguiendo la numerosa bibliografía sobre este tema, como DSx, podríamos leerla como

la “Distancia Propia” del grupo X.

x =

(3.51)

Esta ecuación puede descomponerse en una ecuación as general teniendo en cuenta que Ix =-Iy

x =

+

(3.52)

64

3-6 INDUCTANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON CONDUCTORES DE FASE

COMPUESTAS POR GRUPOS.

Es poco común que los conductores de líneas reales este compuesta por alambres, sino que por

razones prácticas de calibres de importante sección, de flexibilidad en el conductor prácticamente a

partir del calibre #2 AWG, los conductores utilizados construidos en cualquier material, son

cableados, y constituyen grupos, según los criterios expuestos.

Si suponemos un conjunto de conductores que constituyen una línea trifásica no necesariamente

dispuestas de modo equilátero, podemos aplicar la estrategia de transposición de líneas y calcular la

inductancia de la línea la cual será solo real e igual para cada una de las tres fases.

Cuando se tienen dos grupos de conductores constituyendo un sistema eléctrico monofásico en el

cual, obviamente, la suma de corrientes de cada grupo sea igual a cero, se tendría la ecuación 3.51.

Pero si se tiene un sistema trifásico cuyas fases son grupos de conductores la ecuación se

transformaría en

x =

+

(3.53)

Que tiene la misma forma de la ecuación 3.40,

a = ( *ln

*ln

*ln

planteada para un sistema trifásico pero cuyas fases están constituidas por alambres y a la rotación

de fases o transposición de conductores, y de la cual se dedujo la ecuación la ecuación 3.47 que fue

deducida para conductores constituidos por alambres, tiene la forma siguiente

L =

Ahora en cada fase tenemos grupos de conductores en lugar de alambres, pero aplicando el mismos

procedimiento para lo cual deberíamos hacer las transformaciones siguientes:

⟶ DMab; ⟶ DMbc; ⟶ DMca

⟶ DSa ; ⟶ DSb ; ⟶ DSc

Concluiremos en la ecuación siguiente

65

L = 2*10-7*ln

henrys/m

S mb p m “D M G mé DMG” y “R

M G mé RMG” la siguiente expresión

L = 2*10-7*ln

henrys/m

Donde es evidente que DMG = y RMG =

Normalmente se calcula la inductancia como un paso previo para obtener la reactancia, la cual, para el caso de

líneas de transmisión, normalmente se expresa en ohm/km ( ).

X = 2π*f*1000*L = 2π*60*1000*ln

=0.0754*ln

En toda Europa y algunos países de America Latina (Argentina, Uruguay, Paraguay y Chile), la frecuencia de klas

redes eléctricas es de 50 Hz. En estos casos se tiene

X = 0.06283*ln

PROBLEMAS RESUELTOS.

66

CAPÍTULO CUATRO

4-1 CÁLCULO DE CAÍDA DE TENSIÓN EN LÍNEAS CORTAS.

La transmisión de energía es una actividad relativa al movimiento de energía desde un punto con

una tensión a un punto de tensión menor, de tal manera que debe existir una diferencia de

tensión para que haya transferencia de energía. Ya hemos comentado la necesidad de transmitir

bloques de energía desde el centro de producción o central eléctrica hasta los centros de consumo

desde una tensión generalmente elevada a tensiones de utilización pasando por varios niveles de

tensión.

La división tradicional entre líneas cortas, medias y largas realmente es importante solo porque en

estas últimas se incorpora el estudio de los efectos de la capacitancia para determinar las

características de operación de los sistemas que lo integran.

Una línea debe estudiarse con las técnicas de línea larga independientemente de su longitud, si la

capacitancia de la línea es suficientemente elevada como para ocasionar algunos efectos como

generación de reactivos, elevación de tensiones y corrientes variables independientemente de las

cargas que alimentes.

Por otra parte para los profesionales dedicados a proyectos, construcción y operación, dado la

inercia en el crecimiento de sistemas en alta tensión, la utilización de los criterios inherentes a

líneas largas, es mucho menos dinámica que las líneas de distribución en baja y media tensión o

líneas de transmisión hasta 115 KV.

En este caso, el aspecto más importante a estudiar tanto para la realización de los diseños como

para la operación, es lo referente al cálculo de caída de tensión.

Para el estudio de la caída de tensión en líneas de transporte iremos escalando desde los casos

más sencillos a los complicados, y comenzando por los niveles más bajos de tensión

La irrupción con gran impacto de los computadores personales y las calculadoras programables en

las metodologías de cálculos eléctricos, ha hecho prácticamente irrelevante los métodos de

cálculo tradicionales en los cuales se realizaban simplificaciones circuitales que reducían los

circuitos de redes para la aplicación de formulas sencillas para después hacer las sustituciones de

regreso que permitían, por métodos paso a paso determinar el flujo de potencia en toda la red,

determinando el punto donde se produce la más alta caída de tensión, que ha sido el calificador

de la calidad de la red desde el punto de vista de tensión, la cual es, desde nuestro punto de vista

el más importante de los parámetros de calidad del servicio eléctrico después, claro está, de la

disponibilidad de este.

Sin embargo, con el fin de validar los cálculos que se ejecutarán con programas digitales, y para

realizar cálculos sencillos que pudieran requerirse en situaciones donde no dispongamos de

manera inmediata de aquellos instrumentos electrónicos, estudiaremos estos métodos

67

tradicionales que han sido la base del desarrollo de los sistemas eléctricos de distribución y

transmisión.

Los arreglos de sistemas a estudiar, son los que más comúnmente se presentan en las aplicaciones

prácticas. Esos son los siguientes.

4-2 ESTUDIO DE LA CAÍDA DE TENSIÓN.

4-2.1 CAÍDA DE TENSIÓN EN SISTEMAS RADIALES.

Se denominan sistemas radiales aquellas disposiciones de líneas donde en un extremo se tiene la

fuente de alimentación y a lo largo de la línea se tienen las cargas a alimentar. Si se tuviese una

sola carga en el extremo, el caso más sencillo, se acostumbra llamar alimentador el arreglo o

sistema radial simple. En el caso de que se tengan cargas en paralelo a lo largo de la línea, se

denomina generalmente distribuidor o radial múltiple. Nosotros lo llamaremos alimentador con

una o varias cargas y asumiremos para el análisis que las cargas son de igual factor de potencia,

dado que en la práctica el factor de potencia generalmente inductivo es difícil de medir con

precisión razonable por su dependencia no controlada con el tiempo y los tipos de carga

conectados.

También de manera general, las variables a determinar son la caída de tensión y la corriente

máxima que circula por el conductor.

Una de las características del servicio eléctrico es que la variación de tensión debe ser

reglamentada y no puede paras de ciertos límites establecidos administrativamente, a cuyo fin se

definen unos ciertos parámetros de calidad que determinan un índice de calidad del servicio. Así

por ejemplo, en cuanto a caída de tensión,

Supongamos que tenemos una línea de transporte trifásica de resistencia por fase de R ohmios y

de reactancia X ohmios, a través de la cual se

alimenta una carga de KVA kilovoltamperes

cuyo ángulo de factor de potencia es φ, con una

tensión muy cercana a la nominal de V volt,

como corresponde a una instalación de servicio

eléctrico donde las caídas totales de tensión

deben estar limitadas por norma administrativa, la cual estaría representada en la figura 5.1. Un

diagrama vectorial de los fasores de tensión y de corriente como el correspondiente a la figura 5.2,

representamos el comportamiento de las variables eléctricas participantes para una fase del

sistema trifásico en el sistema propuesto.

Utilizando la tensión en la carga como referencia, la corriente tiene un ángulo que hemos

supuesto atrasado, es decir, que la carga es inductiva. El vector 0V, de magnitud V y ángulo cero

grados, es la tensión en la carga al cual se suma la caída de tensión en la resistencia y reactancia

Fig 4.1- Diagrama unifilar de una línea de alimentación de longitud L y una carga dada en KVA

68

de la línea, I*R e I*X, respectivamente. La suma de todos estos vectores está dada por el vector 0E,

que es la tensión en la fuente.

Si el ángulo δ es pequeño (cercano a 1 grado),

la proyección de los vectores de caída de

tensión sobre la referencia se puede asumir

igual a la magnitud del vector OE, que es la

tensión de alimentación E te tensión nominal

V voltios por fase.

En la figura anterior se ha demarcado con un

círculo una sección del dibujo para intentar determinar más adelante la magnitud del error en el

cual incurrimos al aproximar la proyección de E sobre la referencia a la magnitud del vector E/δ.

Como hemos señalado, si δ es pequeño se puede escribir

E = V + I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ) volt

ΔV = E – V = I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ) volt

Y para un uso posterior se puede expresar esta caída de tensión como

ΔV = E – V = I*Z*cos(α)*cos(φ) + I*Z*sen(α)*sen(φ) = I*Z*cos(α- φ)*cos(φ) volt

Si deseamos expresar porcentualmente esta diferencia de tensión, la ecuación será

%V =

R φ φ

Donde V es el número de volt por fase del sistema y es igual a

, siendo KV es la tensión de

línea expresada en kilovolt.

Si llamamos r la resistencia por unidad de longitud de la línea a si como x es la reactancia por

unidad de longitud R = r*L y X= xL.

Y como en principio suponemos un sistema trifásico e I =

y V = 1000*KV, reescribimos

Fig. 4.2- Diagrama fasorial correspondiente a alimentador anterior

69

%V =

Y definitivamente

%V =

La cual es una ecuación sumamente importante en electrotecnia y tradicionalmente se le conoce

como “Ecuación de Distribución”.

En realidad esta es una ecuación aproximada y al aplicarla cometemos un error que podemos

evaluar de la manera siguiente:

Observamos que el ángulo “α” inscrito en la circunferencia determina un arco igual al arco

correspondiente al ángulo “VOE” de la figura anterior con un valor “δ” y p g ∝ δ/

(¿por qué?).

En la ecuación ΔV = E – V = I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ)

cometemos el error absoluto δU, siendo realmente E – V =

I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ) + δU

δU = E-E*cos(δ E* -cos(δ E* * 2 δ/

En líneas aéreas de distribución en baja tensión, los

parámetros de calidad de la normativa legal vigente,

determinan cuales deben ser las caídas de tensión máximas

permitidas. En Venezuela, donde la tensiones normalizadas

son, como hemos presentado antes 120/208 voltios para

sistemas trifásico, la caída te tensión máxima permitida en la

red de baja para en proyectos nuevos es de 3% y para redes

en explotación, podría ser hasta 5% (el deber ser). Para estas caídas de tensión el ángulo δ es

menor de 5 grados, y por consiguiente el error cometido 2s menor de 0.004 volt o sea 0.0033%.

4-3 CONSTANTES DE DISTRIBUCIÓN

Como se puede ver la ecuación anterior puede escribirse de la forma siguiente

Figura 4-3 Visión ampliada de la figura anterior

70

%V =

= Kd*KVAL

Donde Kd es una nueva constante característica de los conductores que se conoce habitualmente

como “Constante de Distribución”, pudiendo trazarse como se indica en la figura de la página

siguiente, el conjunto de curvas para los conductores comerciales.

Kd =

Cuando evaluamos esta ecuación varias veces, podemos trazar familias de curvas para cada

conductor dada la tensión nominal de operación o presentar los resultados como tablas.

A continuación presentamos en ambas formas los resultados de la evaluación de esta ecuación

para utilizar en los cálculos de caída de tensión a partir de la evaluación del momento eléctrico de

la red.

71

Nótese que en el gráfico de la izquierda El momento eléctrico esta expresado en KVAM mientras

que en el gráfico de la derecha está en KVAKM y existe una diferencia en la escala de del Kd. Una

información mas amplia se presenta en las tablas mostradas en el “RESUMEN DE TABLAS”.

Presentado en el apéndice A.

El programa anexo “KdCalc” ofrece facilidades para calcular, visualizar imprimir tablas de

“constantes de Distribución” par los principales conductores normalizados utilizados en sistemas

de distribución.

CONSTANTES DE DISTRIBUCION PARA LINEA AEREA CON CONDUCTOR DE ALEACIÓN DE ALUMINIO 6201

TENSION = 208 VOLT DMG=0.252 Metros. Los KVAL estarán en KVAM (x10-3)

CALIBRE 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60

2AWG 1.8833 2.0238 2.1420 2.2206 2.0842 1.5310 1.1928 0.8941 0.6178

1AWG 1.6090 1.7082 1.7856 1.8244 1.6538 1.1525 0.8606 0.6072 0.3756

1/0AWG 1.3872 1.4539 1.4993 1.5072 1.3111 0.8528 0.5985 0.3817 0.1861

2/0AWG 1.2082 1.2495 1.2702 1.2544 1.0401 0.6179 0.3940 0.2067 0.0400

3/0AWG 1.0632 1.0847 1.0861 1.0520 0.8249 0.4328 0.2338 0.0702 -0.0733

4/0AWG 0.9368 0.9437 0.9313 0.8850 0.6536 0.2915 0.1144 -0.0287 -0.1525

250MCM 0.8653 0.8635 0.8429 0.7889 0.5539 0.2082 0.0434 -0.0880 -0.2006

300MCM 0.7975 0.7879 0.7600 0.6995 0.4623 0.1326 -0.0203 -0.1408 -0.2428

350MCM 0.7462 0.7310 0.6978 0.6327 0.3945 0.0775 -0.0665 -0.1787 -0.2728

400MCM 0.7082 0.6892 0.6525 0.5846 0.3467 0.0395 -0.0978 -0.2038 -0.2922

500MCM 0.6481 0.6238 0.5823 0.5107 0.2750 -0.0158 -0.1424 -0.2388 -0.3181

600MCM 0.6085 0.5812 0.5373 0.4640 0.2311 -0.0480 -0.1675 -0.2576 -0.3312

750MCM 0.5618 0.5310 0.4841 0.4089 0.1793 -0.0861 -0.1972 -0.2799 -0.3466

1000MCM 0.5274 0.4963 0.4499 0.3764 0.1554 -0.0967 -0.2012 -0.2787 -0.3409

Nota: El valor de Kd debe ser multiplicado por 10-3

72

CONSTANTES DE DISTRIBUCION PARA LINEA AEREA DE CONDUCTOR ALEACIÓN DE ALUMINIO 6201

TENSION = 13800 VOLT DMG=1.360 Metros. Los KVAL estarán en KVAKM (x10-3)

CALIBRE 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60

2AWG 0.4812 0.5074 0.5267 0.5336 0.4735 0.3187 0.2309 0.1555 0.0869

1AWG 0.4189 0.4357 0.4457 0.4436 0.3757 0.2327 0.1555 0.0903 0.0319

1/0AWG 0.3685 0.3780 0.3807 0.3715 0.2979 0.1646 0.0959 0.0390 -0.0111

2/0AWG 0.3279 0.3315 0.3286 0.3141 0.2363 0.1113 0.0495 -0.0007 -0.0443

3/0AWG 0.2949 0.2941 0.2868 0.2681 0.1874 0.0692 0.0131 -0.0317 -0.0700

4/0AWG 0.2662 0.2620 0.2516 0.2301 0.1485 0.0371 -0.0141 -0.0542 -0.0880

250MCM 0.2500 0.2438 0.2315 0.2083 0.1258 0.0182 -0.0302 -0.0677 -0.0990

300MCM 0.2346 0.2267 0.2127 0.1880 0.1050 0.0010 -0.0447 -0.0796 -0.1086

350MCM 0.2229 0.2137 0.1986 0.1728 0.0896 -0.0115 -0.0552 -0.0883 -0.1154

400MCM 0.2143 0.2042 0.1883 0.1619 0.0788 -0.0201 -0.0623 -0.0940 -0.1198

500MCM 0.2006 0.1894 0.1723 0.1451 0.0625 -0.0327 -0.0724 -0.1019 -0.1257

600MCM 0.1916 0.1797 0.1621 0.1345 0.0525 -0.0400 -0.0781 -0.1062 -0.1286

750MCM 0.1810 0.1683 0.1500 0.1220 0.0407 -0.0486 -0.0848 -0.1113 -0.1321

1000MCM 0.1732 0.1604 0.1423 0.1146 0.0353 -0.0511 -0.0858 -0.1110 -0.1308

Nota: El valor de Kd debe ser multiplicado por 10-3

Cuando se trata de un proyecto donde se debe elegir el conductor según las condiciones

administrativas referidas a la máxima caída de tensión permitida, de acuerdo a las normativas

particulares de cada país, puede resultar algo más conveniente modificar la ecuación de caída de

tensión de la siguiente manera:

KVAL =

4-3.1 AJUSTES DE Kd PARA OTRAS TENSIONES.

Las ecuaciones, curvas y tablas planteadas han sido deducidas para sistemas trifásicos y tensiones

definidas de 208 volt para baja tensión y de 13800 volt para tensión de distribución en media

tensión. Aún cuando no implica demasiado trabajo hacer cálculos para otras tensiones, es

conveniente hacer algunas modificaciones primero para otras tensiones cuando se tiene el mismo

conductor con idéntica disposición geométrica. Supongamos por ejemplo que una línea se utiliza

para una tensión Kv1 y se desea utilizar para otra tensión.

Para Kv1, Kd1=

Y para Kv2, Kd2=

Dado que r, x y φ g q Kd2= Kd1*

. Por ejemplo si

tenemos una línea construida con la cruceta normalizada de DMG=1.#& metros y un conductor

73

4/0 de aleación de aluminio 6201, el Kd para factor de potencia 0.8 es 0.2516*10-3, cuando se

utiliza esta línea con una tensión de 34.5 Kv. el nuevo Kd es

= 0.2516*10-3*0.16 = 0.40256*10-4

En un sistema trifásico como el de la figura, de longitud L alimenta una 3 elementos de carga y

cuyo Kd, es la constante de distribución que en este caso

llamaremos Kdt, por consiguiente la caída de tensión, que para

este caso llamaremos %Vt, según lo que hemos visto será

%Vt = Kdt*KVAL = Kdt*3U*L y para usos posreriores

%Vt =

*3U*L

A partir de esta expresión calcularemos el Kd correspondientes a sistemas monofásicos y

monofásicos “3 hilos” conocido en algunos textos como sistema Edison.

Sistema Monofásico.

En la figura, una carga de 1 U es alimentada cpor una línea

con el mismos conductor y la misma reactancia por fase y

unidad de longitud que también tiene la longitud L. Puesto

que ahora circula la corriente I de regreso por el conductor

neutro habrá una caída te tensión en el conductor activo y

otra caída de tensión idéntica por el conductor neutro. La

caída de tensión total será

%V1=Kd1*KVA*L

y obviamente será el doble de la caída de tensión registrada en una fase, como el caso anterior,

luego se podrá escribir

%V1=Kd1*1U*L=2*kdt*3U*L o

Kd1 =2*3*kdt =6 kdt

Figura 4-4 Esquema de alimentación de una carga monof’asica dos hilos

Figura 4-3 Equema de alimentación de una carga trifásica

74

Sistema Monofásico Tres Hilos.

Una carga constituida por dos unidades de carga es alimentada por un sistema de distribución

monofásico de tres hilos y obviamente por el conductor neutro

no circula corriente. La longitud de la línea es L, como en los

casos anteriores. Similarmente se puede escribir

%V3=Kd3*KVA*L = Kd3*2U*L

Siendo esta caída de tensión igual a la de un sistema trifásico

balanceado

%Vt = %V3 = Kd3*2U*L = Kdt*3U*L

De donde

Kd3*2 = Kdt*3 o

Kd3 =

Dos Fases de un Sistema Trifásico.

La ecuación de la caída de tensión es sistemas trifásicos es

%V =

%V =

=

Donde KV es, como hemos visto, la tensión de línea.

En algunas oportunidades predomina la distribución con sistema trifásico sobre los sistemas

monofásico tres hilos cuando se tienen cargas monofásicas y se requieren tensiones de orden

mayor como 208 V o (120*

) en países donde la tensión de una

fase normalizada es 120 volt o la tensión 190 (110*

) , para

alimentar cargas de calentadores eléctricos, equipos de aire

acondicionado, cocinas eléctricas etc.

En estos casos, cuando el banco de transformadores del sector es

trifásico se tienen esquemas de alimentación como el de la figura

de al lado, donde de los tres transformadores cuyo secundario se representa, se utilizan dos para

alimentar las cargas unitarias. La línea como en los casos anteriores tiene una longitud L y

compararemos con el sistema trifásico para tratar de encontrar un factor de ajuste que nos

Figura 4-5 Esquema de alimentación de una carga monofásica tres hilos

Figura 4-6 Esquema de alimentación de una carga con dos hilos de un sistema trifásico

75

permita utilizar las tablas y curvas ya

diseñadas. Como en el primer caso R es la

resistencia de la línea, X es la reactancia y φ

es el ángulo de factor de potencia de la

carga. Supondremos como siempre que las

cargas son iguales y las tensiones aplicadas

son también iguales alimentadas por las

fases a y b d tal manera que las corrientes

que circulan por las cargas y los conductores

activos es Ia e Ib, respectivamente, obviamente desfasadas un ángulo de 120° entre sí. La

corriente que circula por el neutro es In y también produce una caída de tensión.

El diagrama vectorial correspondiente a este esquema es el de la figura lateral izquierda. Los

primeros vectores IR e IX corresponden a las caídas de tensión en volt de la fase a y los siguientes a

la caída de tensión en el neutro.

V2f = E – V = I2f *R*cos(φ) + I2f *X*sen(φ) + I2f *R*cos(φ+60) + I2f *Z*sen(φ 6 )

V2f = E – V = I2f *Z*cos(α-φ) + I2f *Z*sen(α-φ) + I2f *Z*cos(α-φ-60) + I2f *Z*sen(α-φ-60)

V2f = I2f *Z*(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60))

Si solo dos fases tienen cargas y las cargas por fase son iguales

I2f= KVA/KVf = U/KVf

V2f =

*(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60) )

Y expresadas porcentualmente, la ecuación se transforma en

%V2f = (∆V2f*10)/1000KVf =

(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60) )

%V2f =

(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60) )

(PENDIENTE PORQUE EL RESULTADO NO COINCIDE CON LO ESPERADO)

Figura 4-7 Diagrama vectorial correspondiente a la figura antterior

76

4-4 CÁLCULO PORCENTUAL DE LA CAÍDA DE TENSIÓN.

La caída de tensión en un elemento con resistencia y reactancia en serie, como es un línea corta,

está dada por la ecuación

%V =

=

El termino

es la impedancia base para el cálculo de los valores por unidad de los

elementos de un circuito.

Zbase =

Rpu =

y Xpu =

Por analogía en un transformador que también se puede

representar por un circuito de resistencias y reactancias, esta

expresión es aplicable.

Pero si adicionalmente consideramos que el transformador

está cargado con carga igual a su la capacidad nominal, KVAn,

la caída de tensión para esta carga nominal es

Entonces

%V =100*(Rpu*cos(φ) + Xpu*sen(φ)) = %R*cos(φ) + %X*sen(φ)

Siendo %R y %X las expresiones para la resistencia y la reactancias porcentuales del

transformador en función de su propios valores base de tensión y capacidad y además

%Z =

que es el valor de la impedancia porcentual del transformador, habitualmente mostrada en la

placa del mismo.

El siguiente razonamiento, aunque trivial, se puede utilizar para generalizar la expresión de la

caída de tensión en un transformador para cargas diferentes de la nominal. Si la carga del

transformador se incrementa o disminuye siendo la nueva carga KVAr, parece obvio que la caída

de tensión es proporcional a la nueva carga de manera que se podría escribir

Figura 4-8 Esquema de un transformador para alimentar una carga trifásica- (transformador ideal, resistencia y reactancia del mismo

77

%V = %R*cos(φ) + %X*sen(φ)*

Esta es la ecuación correspondiente al método porcentual de cálculo de caída de tensión

4-5 CALCULO DE CAÍDA DE TENSIÓN ES SISTEMAS RADIALES CON CARGA UNIFORMEMENTE

DISTRIBUIDAS.

Como la ecuación de distribución establece que la caída de tensión en un alimentador de

distribución o sector, como se denomina en algunos países es %V = Kd*KVAL, siendo kd, la

constante de distribución una característica del conductor, para conductores con un calibre

uniforme, la acida de tensión el proporcional al momento eléctrico o KVAL. Entonces la parte mas

importante del cálculo eléctrico de sectores se remite al cálculo del momento eléctrico y el punto

de máxima caída de tensión será aquel donde el momento eléctrico se máximo.

En la etapa preliminar de diseño de un proyecto eléctrico de distribución, cuando se requiere

información pcon fines de planificación, no se tiene la ubicación puntual de las cargas y se pueden

hacer cálculos preliminares estableciendo densidades de carga lineales o superficiales para

determinar con razonable precisión, los calibres de conductor yy los costos estimados de las redes.

Estudiaremos primero el caso de sectores radiales donde la

información disponible sobre cargas, es la densidad lineal de

carga. Supongamos que tenemos una línea con carga

uniformemente distribuida con una densidad de carga lineal

uniformemente distribuida como la representada en la figura de

al lado. Aplicaremos la misma ecuación %V=Kd*KVAL con la

dificultad que no sabemos a priori que distancia ni que carga considerar

El momento eléctrico KVAL se puede calcular con facilidad de la siguiente manera

KVAL =

= L*

Como la carga total del sector es L la ecuación anterior expresa que el momento eléctrico

equivalente es igual a la carga total multiplicada por la mitad de la longitud del sector radial. En

otras palabras, los KVAL equivalentes de un sector radial es igual a la carga total del sector

concentrada en el punto medio de la línea.

En un mismo sector, como en la figura, pudieran disponerse

de cargas concentradas y distribuidas. En este caso es

evidente que la carga distribuida se puede representar como

una carga concentrada en el punto medio del tramo con

carga distribuida y calcularse como un sistema radial con

cargas puntuales como el representado en la figura mostrada a continuación.

Figura 4-9 Sector con carga uniformemente distribuida

Figura 4-10 Sector con dos cargas concentradas

78

El momento eléctrico del sector radial con las cargas alimentadas es entonces

KVAL = (L1 +l2/2)*KVAeq + (L1+ L2 + L3)*KVA

o de otra manera

KVAL = L1 *(KVAeq + KVA) + (L2/2 + L3)*KVA

Cargas distribuidas con densidad lineal no uniforme.

Supongamos que tenemos un sector de distribución que

tiene una densidad lineal de carga no uniforme, como la

representada en la figura, y que esta densidad es una función

de x ( (x)).

El diferencial de carga es (x)dx y el brazo es x, por consiguiente KVAL =

Por ejemplo, supongamos un sector que tiene una densidad de carga uniformemente creciente

con una pendiente k y una longitud total L. En esta propuesta

, como en la figura siguiente

KVAL =

=

Como la carga total Q es

la ecduacion anterior queda

KVAL = k*L*

=

Lo cual se interpreta como la distribución de carga propuesta es equivalente a una carga igual a la

carga total concentrada a los 2/3 de la longitud del alimentador.

Cargas distribuidas con densidad superficial uniforme.

Sea por ejemplo un alimentador que tiene una distribución

superficial σ uniforme de cargas y un área A. como la

mostrada en la figura. En este caso el elemento de carga es

dQ = σ* A y m m é

KVAL =

σ A

Figura 4-10 Sector Cargas distribuidas con densidad lineal no uniforme

Figura 4-11 Sector con Cargas distribuidas de densidad lineal

uniformemente creciente

Figura 4-11 Sector con Cargas distribuidas con densidad superficial

uniforme

79

Si podemos calcular el centro de gravedad de la superficie definiendo esta como x0, tendríamos

x0 =

y por consiguiente A

x0*A pudiéndose escribir

KVAL = x0*σ*A

Lo cual se interpreta como el momento eléctrico de una alimentador con que alimenta un area

con densidad de carga superficial uniforme, es igual al de un alimentador con toda la carga

concentrada en el centro de gravedad de la superficie.

CARGAS PUNTUALES EN ALIMENTADORES RADIALES

Alimentador radial sin ramales.

Nos referiremos como antes al momento eléctrico porque como hemos venido repitiendo, la caída

de tensión en un punto es proporcional a los KVAL en ese punto, cuando como en los casos que

hemos tratado, el calibre de conductor y el material

son uniformes.

Supongamos un alimentador con dos nodos en los

cuales están aplicadas sendas cargas puntuales, como

se muestra en la figura de al lado.

Es evidente que la caída de tensión en el nodo 1 sera función de la corriente que pasa por el tramo

0-1, es proporcional a la corriente que pasa por el tramo y a la impedancia del mismo, y como

hemos venido repitiendo, es entonces proporcional al producto de la longitud por los KVA que

circulan por el tramo. Esto es

%V1 =Kd (KVA1 + KVA2)*L1

Y la caída de tensión en el nodo 2, es la caída de tensión en el nodo 1 mas la caída de tensión en el

tramo 1-2, esto es

%V2 = %V1 + Kd*KVA2*L2

Podríamos decir que

El momento eléctrico KVAL en el nodo 2 es igual a la suma de los momentos en el tramos 0-1 mas

el momento en el tramo 1-2.

Y si tuviésemos tres nodos se cumplirá que

%V2 = %V1 + %V2 + %V3

80

Es evidente que el mismo razonamiento se puede aplicar a cualquier cantidad de nodos con cargas

y entonces es válida la siguiente ecuación:

KVAL =

Siendo KVAi la potencia en KVA que circulan por el tramo i, y Li, la longitud del tramo i. En otras

palabras “el momento eléctrico en el punto más alejado en un alimentador radial, es igual a la

suma de los productos de la longitud de cada tramo por los KVA que circulan por este tramo”.

Un ejemplo contribuirá a aclarar los procedimientos que hemos intentado presentar.

Ejemplo.

Sea un sector radial de baja tensión como el presentado en la figura siguiente, con cuatro nodos y

las cargas correspondientes de 25, 10, 20 y 10

KVA, respectivamente. Los tramos son la

separación entre nodos con longitudes

representadas entre corchetes de 40, 50, 60 y 30

metros respectivamente.

Podemos calcular el momento en el nodo 4 de la manera siguiente

KVAL = 40*25 + (40+50)*10+ (40+50+60)*20 + (40+50+60+30)*10

KVAL = 40*25+90*10+150*20+180*10 = 1000+ 900+3000+1800

KVALO = 6700

O de la manera propuesta, en función de los

flujos de potencia por cada tramo y la longitud

de los tramos

KVAL = 40*65+ 50*40+60*30+30*10

KVAL = 2600 + 2000 + 1800 + 300

KVAL = 6700

La caída de tensión en el punto más desfavorable, (el punto de máxima caída o de mínima tensión)

será

%V =Kd*KVAL

81

Alimentador radial con ramales

Es conveniente antes de proponer un procedimiento de solución para este tipo de redes,

establecer algunas definiciones como son:

Topologia de la red: La representación topológica de la red, muestra la posición relativa de los

elementos de la red destacando la información fundamental para realizar

el cálculo eléctrico de la misma. No es importante para este tipo de

representación la trayectoria detallada, la cota o detalles topográfico y de

urbanismo.

Topografía de la red: A diferencia del caso anterior, es indispensable para ubicación de los

elementos de la red.

Tramo: Longitud comprendida entre dos nodos consecutivos.

Nodo Inicial: Nodo donde comienza un tramo.

Nodo Final: Nodo donde finaliza un tramo. Como no se trata de redes orientadas, en

un tramo pueden intercambiarse los nodos iniciales y finales.

Nodo Terminal: Nodo Final que no es nodo inicial de algún tramo.

Nodo de alimentación Nodo en el cual está conectado el transformador

Nodo de derivación: Un nodo inicial de varios tramos.

Nodo de mínima

Tensión: Nodo que presenta la máxima caída de tensión en el sector. A diferencia

del caso anterior, no es evidente cual es el nodo que presenta máxima

caída.

Troncal: Trayecto desde un nodo terminal al nodo de alimentación definido por los

nodos por los cuales pasa.

Definir una troncal Establecer una troncal a partir de un nodo terminal.

Ramal: Tramos derivados desde una troncal.

Carga unitaria: Carga en KVA que caracteriza una unidad urbana (casa, apartamento).

Carga en el nodo: Producto del número de acometidas por la carga unitaria. Algunas

acometidas pudieran corresponder a varias unidades de carga, donde a

juicio del proyectista, las viviendas alimentadas, pudiesen tner cargas

diferentes de una carga unitaria.

82

Acumular cargas: La suma de las cargas de un ramal añadida a la carga original del nodo.

Flujo de carga

en un tramo: Magnitud y orientación de la carga en un tramo. Desde el nodo de mayor

tensión hacia el nodo de tensión menor.

Matriz de conexiones: Tabla ordenada donde se especifica para cada tramo, el número del tramo,

el nodo inicial, el nodo final y la longitud del tramo. Para algunas

aplicaciones diferentes a las que aquí trataremos podría especificarse el

calibre del conductor, la impedancia por unidad (resistencia y reactancia)

del tramo, otras informaciones que pudieran ser de interés.

Vector de cargas: Para cada nodo con carga, el número del nodo, carga en número de carga

unitaria, las coordenadas del nodo (abscisa y ordenada). Para aplicaciones

diferentes pudiera definirse el código de la estructura o tanquilla instalada

en el nodo.

Un ejemplo nos permitirá aclarar las definiciones enunciadas. Supongamos la red siguiente

generada por el programa “Sector”, anexo al texto. La numeración de nodos es arbitraria, es decir

que los nodos no están ordenados y no necesariamente el nodo con una numeración inferior

precede a un nodo con numeración superior.

A diferencia de los sectores radiales simples, la representación topológica muestra ramales

derivados de alimentadores que pudieran considerarse

Para evitar el congestionamiento de números en el dibujo, hemos eliminado la numeración de los

tramos, pero esta simplificación no introduce complicaciones.

Por ejemplo el nodo 3 tiene una carga de 20 KVA, este nodo define el tramo 1-3 (o también puede

llamarse (1-3), por el cual circula una carga de 20 KVA.

Del mismo modo el nodo 2 tiene una carga de 50 KVA, que circula por el tramo 1-2 de 50 metros.

Los nodos terminales 2 y 3 definen sendas troncales, pero los KVAM correspondientes al tramo 2-1

son 50*50 = 2500 KVAM, mientras que los KVAM del tramo 3-1 son 40*20=800 KVAM, por

consiguiente la trocal correspondiente al nodo 2 es dominante sobre la troncal correspondiente al

nodo 3.

El conjunto de nodos (1-2-3-4-5) aporta 50*50 + 40*70+ 30*95=8150 KVAM mientras que el

conjunto (10-9-5) aporta 30*10+40*60 =2700 KVAM. Hasta el nodo 5 la troncal dominante es la

definida por el nodo 2. Los KVAM correspondientes a los otros nodos terminales son inferiores a

los KVAM del nodo 2. Hasta el nodo 6, nodo de alimentación, el momento eléctrico será 13700

KVAM

83

Si definimos la troncal por el nodo generador diremos que la troncal 2, tiene un momento de

13700 KVAM.

Siguiendo el mismo procedimiento para las diferentes trocales tendremos

Troncal 2: 13700 KVAM

Troncal 8: 1350 KVAM

Troncal 13: 12000 KVAM

Troncal 20: 41500 KVAM

Troncal 24: 55750 KVAM

La trocal que determina la caída de tensión del sector es la troncal 24, siendo por consiguiente

este nodo 24 el nodo de mínima tensión

Si la tensión de alimentación es 2.4 KV, la constante de distribución para el conductor de aleación

de aluminio 6201 (Arvidal) es 0.092*10-3, la caída de tensión es 0.092*10-3*55750 = 0.5%.

84

SECTORES MALLADOS. BASES TEÓRICAS.

Teorema de Rosen.

El teorema de Rosen referido a redes eléctricas establece que “un circuito pasivo constituido por n

impedancias, Z1, Z2, Z3 … Zn, conectadas en estrella, puede ser sustituido por otro circuito

equivalente formado por

impedancias, Z12, Z13,…, Z1n, Z23, Z24, … Z2n, , Z23, Z24, ….,Zmn ,

conectadas en polígono.

Según este criterio, la red en estrella de n impedancias conectada a los nodos 0,1, …,i …,j …,n

equivale a una red de n vértices conectada en polígono cuyos vértices están conectados entre si

con

impedancias, resultando las mismas corrientes I0, I1, …,Ii …, Ij …,In para el mismo

conjunto de tensiones aplicadas V0, V1, …,Vi …,Vj …,Vn.

Si uno de los nodos, en este caso el nodo 0, es el neutro del sistema, sigue siendo válida la

afirmación anterior, y Y0 es la admitancia de la carga conectada al nodo central de la estrella y la

85

corriente que circula por este nodo, es igual a la suma de las corrientes de las ramas de los nodos

conectados a tierra a través de las admitancias entre estos y neutro.

Las suma cargas que corresponden a estas admitancias, es igual a la carga del nodo central a la

estrella. Entonces con la conversión de la estrella a un polígono equivalente, hemos “transferido la

carga a los extremos”. De ahí el nombre del procedimiento que emplearemos en la reducción de

redes para la solución de los problemas de redes alimentadas por dos puntos o más.

Las ecuaciones para calcular las admitancias del polígono, dadas as admitancias de la estrella son

Y en términos de impedancia:

*

Si hay nodos pq con el mismo potencial, no tiene sentido calcular impedancia Zpq, puesto que la

corriente que circularía por esta sería igual a cero.

La conversión de un circuito estrella a un circuito triángulo es un caso particular del teorema de

Rosen y se conoce como teorema de Kennelly.

En el caso de n=3 también existe la posibilidad de conversión contraria, es decir de triángulo a

estrella.

Las ecuaciones son para estrella a triángulo

Y12 =

; Y23 =

; Y31 =

Y análogamente, para triángulo a estrella

Z1 =

; Z2 =

; Z1 =

La conversión polígono a estrella no es posible para n>3.

Para encontrar la carga transferida a cada extremo podríamos continuar con aplicaciones del

teorema de Rosen, pero existen deducciones mas sencillas utilizando características de las líneas

de transporte a novel de baja y media tensión, donde por condiciones de serevicio las diferencias

de tensión deben estar limitadas a valores comparables a 5% o menos.

86

Supongamos que tenemos un sector como el de la figura ubicada debajo a la izquierda, con una

carga en el nodo 5 de 40 KVA, otros nodos sin carga y está alimentado por el nodo 1. Puesto que

los nodos 2, 3 y 4 no tienen carga y no son nodos de derivación, pueden ser eliminados y entonces,

topológicamente el sector anterior es igual al del medio y a la figura de la derecha, en la cual

hemos cambiado el número del nodo 1 por A y B.

Lo que hemos hecho es abrir el sector por el nodo de alimentación y obviamente el nodo A es el

mismo nodo B, con la misma tensión obviamente.

Como la carga del nodo 5 es suplida por ambos lados, diremos que la alimentación al nodo 5 entra

desde el lado A y desde el lado B, y como la diferencia de tensión entre el nodo 1 y el nodo 5 es la

misma medida desde cualquier lado, la caída de tensión desde el lado A es la misma que la caída

de tensión del mismo nodo desde el lado B. Por consiguiente si llamamos KVAa la carga que llega al

nodo 5 desde el extremo A y KVAb la que llega al mismo nodo desde el extremo B, es cierto que

%V = Kd*KVAa*L5A = Kd*KVAb*L5B

Y mejor denominamos L5A como La y análogamente L5B como Lb se tiene

KVAa*La =KVAb*Lb y también

de donde

Y entonces

=

y si llamamos KVA0 a la carga original en el nodo 5 y Lt la longitud total de la

línea, tendremos

=

y entonces

87

=

y por analogía =

Lo cual se expresa mejor con una sentencia

“Si una carga está alimentada por dos puntos A y B a la misma tensión, para obtener la carga que

entra por uno de los nodos se hace momento desde el nodo opuesto y se divide por la longitud

total de la línea”.

En el problema propuesto La = 60, Lb =90, KVA0 = 40 KVA

KVAa = 40*90/150 = 24 KVA

KVAb = 40*60/150 = 16 KVA

Es obvio que KVAa +KVAb = KVAt, por lo tanto KVAb se puede obtener por diferencia entre KVAt y

KVAb.

Supongamos que se tienen dos cargas KVA1 y KVA2 en una línea alimentada por ambos extremos

(es decir desde un mismo punto de alimentación, como es la salida secundaria de un banco de

transformadores). Aplicando el teorema de superposición determinaremos los KVA que entran por

el primer nodo de alimentación con cada una de las cargas aplicadas

Primero, solo con la carga en el nodo 1, los KVA que entran por el nodo A son

KVAa =

Luego, solo con la carga en el nodo 2.

KVAa =

88

De modo que la carga total que entra por el nodo 1 es:

KVAa=

,

Ecuación que identificamos otra vez con la expresión “los KVA que entran por A son el momento

eléctrico en relación al extremo opuesto dividido por la longitud total de la línea”.

Es obvio que el mismo razonamiento se puede aplicar para una línea con cualquier numero de

nodos.

Para la deducción de las ecuaciones anteriores que los nodos extremos son nodos de alimentación

y que además están a la misma tensión. En sistemas de distribución en baja tensión, las

normativas vigentes en cada país establecen niveles máximos de caída de tensión que para redes

en operación no deben exceder un 6% (en Venezuela el máximo nivel de caída de tensión

permitido es 5%).

Cuando se diseña una red, previendo un crecimiento posterior de la carga, se limita a 3% y aun

menos, la caída de tensión permitida en las redes de baja tensión.

Por esta razón en nodos extremos que no sean de alimentación puede aplicase el mismo

procedimiento, el cual por otra parte, se conoce como “transferencia a los extremos”, porque en

una sección de línea comprendido entre dos nos A y B, las cargas intermedias se transfieren a

aquellos nodos, determinando los aportes de carga de los mismos.

Lo expuesto significa que la transferencia a los extremos es aplicable a redes de distribución

secundaria, cuando las diferencias de tensión en la red no exceden la caída de tensión máxima

permisible.

VARIOS NODOS DE ALIMENTACIÓN A UNA CARGA MEDIANTE TRAMOS DE DIFERENTES

LONGITUDES.

Supongamos una carga KVA0 alimentada desde los nodos 1,2…i,..n

mediante tramos de línea de longitudes L1, L2, ..Li,..Ln. No tendremos

inconveniente en reconocer que si los tramos tienen la misma

impedancia unitaria, la caída de tensión en cada uno de ellos es la

misma y entonces, el producto de los KVA con que contribuye cada

nodo de alimentación multiplicados por la longitud del tramo correspondiente, son iguales.

89

Como KVA1*L1 =KVAi*Li

Podemos escribir

=

=

.

.

=

.

.

=

Sumando los términos de la derecha obtenemos

KVA1 + KVA2+…+KVAi+… = KVA0

De donde

KVA0 =

+

+ . . . +

+ . . +

Luego

=

O como realmente se usa

=

*

Para obtener la carga aportada por cada nodo denominaremos K0 =

90

Y entonces tendremos

Y en general

Los problemas resueltos que se expondrán más adelante presentan los tipos mas comunes de

disposición de redes radiales y malladas utilizadas en distribución.

Resumen de metodología para cálculo de caída de tensión en redes malladas,

Redes con carga uniformemente distribuida.

91

ADMITANCIA PARALELO EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

En el segundo capítulo hablamos de impedancia serie y nos referimos marginalmente a

Admitancia en paralelo de líneas de transporte de energía.

La unidad de la admitancia normalmente es siemens, pero la fuerza de la costumbre ha hecho que

el medios técnicos se hable mas bien de mho, como se ha hecho tradicionalmente y un poco mas

allá en el pasado se escribía este símbolo como una letra omega (Ω) invertida.

La admitancia como cantidad compleja, estaría compuesta por una parte real denominada

conductancia y una parte imaginaria denominada susceptancia, expresándose entonces de la

siguiente manera

Y = G +jX

La fuga de los aisladores es la principal fuente de conductancia en líneas eléctricas aéreas

y como en condiciones de operación normales, debido al nivel de tecnología alcanzado en la

construcción de aisladores esta fuga es irrelevante, lo normal es despreciar su efecto y por

consiguiente se asume generalmente un valor de cero para la conductancia. En condiciones reales

de operación, los aisladores se contaminan por efecto de la sal húmeda en la cercanía de las costas

marinas, por el polvo y material fertilizante en los campos de cultivo, por el humo de vehículos y

otros contaminantes urbanos en la ciudades y por efecto de cercanía y roce con las ramas de los

árboles en el campo. Estas circunstancias hacen muy difícil de calcular la conductancia lo cual

constituye una razón adicional parra desestimar su cálculo en el caso de líneas reales.

SUSCEPTANCIA CAPACITIVA.

Los conductores de una línea de transmisión se comportan como un capacitor que tiene

por dieléctrico el aire en el caso de líneas aéreas y el aislamiento si se trata de líneas subterráneas,

y por consiguiente al someterse a una diferencia de tensión entre conductores, adquiere una

carga eléctrica. El valor de la capacitancia está dado por la relación entre la carga y la diferencia de

tensión entre conductores o que significa que la capacitancia es equivalente a la carga por unidad

de diferencia de tensión. La líneas aéreas de menos de 100 Km. tiene una capacitancia

despreciable, sin embargo las líneas construidas con cables de potencia en razón a que se

comportan como capacitares coaxiales, tiene una capacitancia considerable aún para longitudes

mucho menores.

En un capacitor cuyas placas estén sometidas a una diferencia de tensión alterna presenta

un flujo de corriente. De la misma manera si en los conductores de una línea en uno de los

extremos se aplica una diferencia de potencial, esta dará origen a una transferencia de cargas

entre conductores que es lo que se conoce como corriente de carga de la línea. Esta corriente

fluye en la línea aun cuando esté operando en condiciones de línea abierta influyendo en las

variaciones de tensión en los extremos de la línea.

92

CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO EN UN CONDUCTOR RECTO.

Definición de términos

Faradio = Unidad de capacitancia definida como la capacitancia entre dos cuerpos conductores

uno de los cuales tiene una carga de + 1 coulomb y el otro una carga de -1 coulomb. Teniendo los

demás conductores del entorno una carga de 0 coulomb. El símbolo de la capacitancia es C.

D=Densidad de flujo eléctrico medida en coulomb por metro cuadrado.

Є0 = Permitividad del espacio libre, es la relación, en el espacio libre entre la densidad de flujo y el

gradiente de potencial o intensidad de campo eléctrico. La unidad en el sistema MKS racionalizado

es Faradio/m y numéricamente igual a 8.854*10-12 o 1/(4π*10-7*c2), donde c es la velocidad de la

luz que es muy aproximadamente igual a 3*108 metros por segundo. Las expresiones numéricas

anteriores son igual a 1/36π*109 F/m.

E= Intensidad de campo eléctrico, en voltios por metro, es la fuerza en newton por coulomb en un

punto de ese campo eléctrico

Si consideramos un conductor cilíndrico, recto de

gran longitud y aislado de cualquier perturbación

electromagnética, se puede considerar que la densidad de

carga superficial es uniforme en la superficie del conductor y

toda la superficie cilíndrica es consecuentemente

equipotencial es fácilmente aplicable la Ley de Gauss que se

expresa en la siguiente ecuación:

Si tomamos una superficie tubular concéntrica con el

conductor y de longitud unitaria, la carga eléctrica encerrada

por la superficie tubular es igual al flujo eléctrico a través de la superficie. Como este flujo saliente

por una cara transversal se anula con el flujo saliente por la otra cara transversal, el flujo neto

será a través de la superficie tubular concéntrica con el conductor.

sdsDq .

Dado que la densidad de flujo eléctrico D, es constante para una distancia x, puede

extraerse este del signo integral y quedará

93

s

dsDq = D*1*2πx=2πx D

La ecuación anterior indica que un flujo eléctrico de q coulomb por metro de longitud de

conductor cilíndrico pasando a través de una superficie tubular de un metro de longitud

concéntrica con el conductor con un radio de x metros. El área de la superficie tubular es de 2πx.

De estas ecuaciones

x2

qD

La fuerza por unidad de carga en este campo eléctrico a la distancia x, es la intensidad de

campo eléctrico o gradiente de potencial, E.

La intensidad de campo eléctrico en base a la definición de término correspondiente es

igual a la densidad de flujo eléctrico dividida por la permitividad del medio.

Entonces x

q

x

qE

2

10**18

2

9

La diferencia de potencial entre dos puntos expresada

en voltios, es numéricamente igual al trabajo en joules por

coulomb necesarios para mover un coulomb entre esos dos

puntos dentro del campo eléctrico. La integral de línea entre

dos puntos A y B, de la fuerza en newton que actúa sobre un

coulomb de carga positiva, es el trabajo requerido para mover

la carga desde el punto de mas bajo potencial al de más alto y

es igual, numéricamente, a la diferencia de potencial entre

estos dos puntos.

El camino de integración entre A y B, pudiera ser cualquiera, entre ellos los caminos ACB,

el AEB y el ADB. Seleccionamos el camino ACB

Vab dd

dd

oA

oB

oA

oBB

A

B

A

B

Aqq

x

dxqdx

x

qEdx ln**10*18ln

2

1036

22

99

94

Los símbolos d0A y d0B indican las distancias ente el centro del conductor y el punto A y la

distancia entre el centro del conductor y el punto B. Según la ecuación anterior, la diferencia de

tensión entre dos puntos, producida por una carga aislada q, está dada por el producto de una

constante ( 910*18 ) multiplicada por el logaritmo neperiano de la relación entre la distancia del

punto más lejano a la distancia del punto más cercano.

CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UN CONJUNTO DE CONDUCTORES EN PARALELO.

La siguiente figura representa los conductores de una línea de transmisión de potencia forma do

por los conductores A, B, C, D… que transportan una carga qa, qb, qc qd,.. coulomb por metro

respectivamente, siendo como corresponde a un sistema de potencia, la suma algebraica de las

cargas igual a cero. P es una línea remota, que podemos llevarla tan distante como se quiera

siendo dap, dbp, dcp,.. las distancias de cada uno de los conductores a este conductor remoto

P

E

D

C

B

A

Como la diferencia de potencial entre el conductor 1 y el punto P es

Debido a la carga en A, VAP = 18*109ln(dAP/r)

Debido a la carga en B, VAP = 18*109ln(dBP/dAB)

Debido a la carga en A, VAP = 18*109ln(dCP/dAC)

‘

‘

Y como la diferencia de tensión es una magnitud escalar, la diferencia de tensión entre el

punto A y el Punto P, es la suma algebraica de todos los efectos de los diferentes conductores.

VAP = 18*109( qAln(dap/r)+qB ln(dba/dbp)+ qc ln(dca/dcp)+ ……

VAP = 18*109( qAln(1/r)+qBln(1/dbp)+ qc ln(1/dcp)+ …… +

+ 18*109( qAln(dap)+qB ln(dba)+ qc ln(dca)+ ……

95

Observando el segundo sumando de la última ecuación, se puede notar que en la medida

que el conductor a se aleje las distancias dap, dbp, dcp .. se van haciendo iguales entre si en

consecuencia podemos hacer los logaritmos neperianos de estas distancias iguales a un variable k

y entonces este último sumando queda

18*109( qAln(dap) qB ln(dba)+ qc ln(dca)+ ……= 18*109k(qa+qb+qc+…)

Y como la suma algebraica de las cargas es igual a cero

Vap = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)+ qd*ln(dad)+……

Pero si además de lejano, el conductor P lo conectamos a tierra, la diferencia de potencial Vap es

Va, el potencial absoluto del conductor A, siendo entonces

Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)+ qd*ln(dad)+……

Vb = 18*109(qbln(1/r) + qb*ln(dbb)+ qc*ln(dbc)+ qd*ln(dbd)+……

TENSIÓN INDUCIDA EN UN CONDUCTOR PARALELO A UNA LÍNEA UBICADO A UNA DISTANCIA EN

X DEL EJE DE LA LÍNEA.

Si suponemos que a un conductor paralelo al conjunto de conductores de la línea está

ubicado un conductor X, sobre este se inducirá eléctricamente una tensión. Para calcular esta

tensión es necesario calcular las cargas eléctricas en cada conductor tensionado.

Apliquemos la ecuación

Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)+ qd*ln(dad)+……

96

para cada uno de los conductores de la línea que en principio, consideraremos compuesta por un

solo circuito trifásico de tensiones balanceadas.

De la misma manera que para el conductor A, se pueden definir las ecuaciones correspondientes

para los otros conductores B y C, pero como tenemos la tensiones de operación del sistema y este

tiene por hipótesis las tensiones equilibradas.

C

B

A

Disposición de los conductores de una línea

Vc

Vb

Va

Relación de las tensiones de fase en los conductores

de la línea anterior

Las ecuaciones para las tensión

es son:

Va=Vl/ 3 0 =18*109(qa*ln(1/r) +qbln(1/dab)+qc(1/dac)

Vb=Vl/ 3 240 =18*109(qa*ln(1/ dba) +qbln(1 / r)+qc(1/dbc)

Vc=Vl/ 3 120 =18*109(qa*ln(1/ dca) +qbln(1/dcb)+qc(1/r)

97

Supongamos que V0 es la tensión de fase = Vl/ 3 y planteamos ahora una ecuación para

la parte real y una ecuación para la parte imaginaria.

Para la parte real

V0 = 18*109(qar*ln(1/r) +qbrln(1/dab)+qcr(1/dac)

-V0 3 /2 = 18*109(qar*ln(1/r) +qbln(1/dab)+qcr(1/dbc)

-V0 /2 =18*109(qar*ln(1/ dca) +qbrln(1/dcb)+qcr(1/r)

Par al parte imaginaria.

0 = 18*109(qai*ln(1/r) +qbiln(1/dab)+qci(1/dac)

-V0 3 /2 = 18*109(qai*ln(1/ dba ) +qbln(1/r)+qci(1/dbc)

V0 3 /2 =18*109(qai*ln(1/ dca) +qbiln(1/dcb)+qci(1/r)

De lo cual resulta que la carga es una magnitud compleja con una componente real y otra

imaginaria.

Dado que se puede considerar el suelo una superficie equipotencial a potencial cero, es

aplicable el método de imagen

Vc

Vb

Va

=18*109 *

)/1ln()/1ln()/1ln(

)/1ln()/1ln()/1ln(

/1ln()/1ln()/1ln(

r

r

r

dddddd

cbca

bcba

acab

*

qqq

c

b

a

La matriz de logaritmos neperianos multiplicada por el escalar 18*109, usualmente se denomina

Matriz de Potencial |P|.

98

18*109 *

)/1ln()/1ln()/1ln(

)/1ln()/1ln()/1ln(

/1ln()/1ln()/1ln(

r

r

r

dddddd

cbca

bcba

acab

= P

En los planteamientos anteriores se ha despreciado el efecto de la tierra, sin embargo

algunos autores coinciden en afirmar que si el suelo es un conductor perfecto plano de extensión

infinita, el campo eléctrico de los conductores cargados arriba no es el mismo que el que el que se

tiene despreciando el efecto del suelo.

Si el suelo es un conductor a potencial cero, se tendría el mismo efecto que si cargas

idénticas pero de signos contrarios estuviesen dispuestas a la manera de imagen sobre una

superficie especular que sería la superficie del suelo. Entonces podría retirase la superficie

especular y el campo eléctrico en la superficie no sufriría variaciones. Este principio el método de

análisis conocido como método imagen que consiste precisamente en sustituir el efecto del suelo

por cargas idénticas y de signos contrario ubicadas a una profundidad igual a la altura de cada

carga.

C'

B'

A'

C

B

A

Las ecuaciones con las nuevas cargas imagen tendrían la forma siguiente

Va= =18*109(qa*ln(1/r) +qbln(1/dab)+qc(1/dac)-qa’ln(daa’)-qbln(dab’)-qcln(dac’))

Vb= =18*109(qa*ln(1/ dba) +qbln(1 / r)+qc(1/dbc)- qa*ln(1/ dba’) -qbln(1 / dbb’)-qc(1/dbc’))

99

Vc= =18*109(qa*ln(1/ dca) +qbln(1/dcb)+qc(1/r)- qa*ln(1/ dca) -qbln(1/dcb)-qc(1/r))

Y la matriz de potencial será ahora:

P =18*109 *

r

r

r

ddd

dd

ddd

dd

dd

ddd

cb

cb

cb

ca

ca

bc

bcbb

ba

ba

ac

ac

ab

abaá

'''

'''

''

lnlnln

lnlnln

lnlnln

Cálculo de la capacitancia de una línea monofásica

Sea una línea monofásica formada por dos conductores cilíndricos iguales de diámetro R,

dispuestos como en la figura siguiente:

BA

d

La diferencia de potencial del punto A a tierra es

Va = 18*109(qaln(1/R) +qbln(1/d))

Como qb=-qa

Va= 18*109(qaln(d/R)

Y como C=q/V

100

CA = 1/18*109(qaln(d/R)

La ecuación anterior da la capacitancia de un conductor a neutro. Como el otro conductor

tiene la misma capacitancia a neutro, la capacitancia de los dos conductores entre si será igual a el

resultado de conectar estas dos capacitancias en serie es decir

CAB = 1/(2*18*109(qaln(d/R))

CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON ESPACIAMIENTO UNIFORME.

Supongamos una línea con espaciamiento uniforma entre conductores de D metros y con

conductores cilíndricos con un radio de R metros, como la representada en la figura siguiente:

CB

A

D

D D

Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)

Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(D)+ qc*ln(D)

Va = 18*109(qaln(1/r) +(qb+ qc)*ln(D)

Y como qb+ qc = -qa

Va = 18*109 qa(ln(1/r) - ln(D)) = 18*109 qaln( )R

D

Y dado que C= q/V, la capacitancia estará dada por

C=1/ 18*109 ln( )R

D

101

Recordemos que la inductancia de una linea anterior era de L= 2*10-7ln(DMG/(R*e-1/4) donde el

factor e-1/4 = 0.7788 se debe a la inclusión de la inductancia debido al flujo interior al conductor.

La inductancia debida al flujo exterior al conductor es Le= 2*10-7ln(DMG/(R) y si

obtenemos el producto Le*C obtendremos

Le*C = 2*10-7* ln( )R

D/( 1/ 18*109 ln( )

R

D) = 1/(9*1016) = 1/c2

De donde se puede concluir que la velocidad de la luz es igual a la al inverso de la raíz

cuadrada del producto de la inductancia debida al flujo exterior y la capacitancia de la línea.

Entonces tendríamos otra manera de calcular la capacitancia de la línea anterior.

C= 1/c2*Le = 1/(9*1016 *2*10-7*ln( )R

D) = 1/ (18*109 ln( )

R

D)

Como ya habíamos encontrado.

En 1914 G. W. HOWE en el trabajo denominado “On the Capacity of Radio Telegrafic

Antenae”, publicado en la revista ELECTRICIAN, presentó el método que se ha aceptado para líneas

aéreas desde entonces ampliada de la manera siguiente:

C= 1/ (18*109 ln( )Dss

DMG)

Donde Dss es el Radio Medio Geométrico de la línea, cuando se sustituye el termino ds por el

radio equivalenete de la línea (promedio geométrico enter conductores de la misma fase)

B

CA

Supongamos una línea con disposición asimétrica pero adecuadamente transpuesta, como

la representada en el esquema anterior

·En la primera sección de la línea

V1 = 18*109(qa*ln(1/r +qb*ln(1/dab + qc*ln.(1/dac)

En la segunda transposición

V2 = 18*109(qa*ln(1/r +qb*ln(1/dbc + qc*ln.(1/dba)

102

En la tercera sección

V3 = 18*109(qa*ln(1/r +qb*ln(1/dca + qc*ln.(1/dcb)

El promedio de tensiones en A será

Va= (V1+V2+V3)/3 = 18*109*(qaln1/r3 + (qb+qc)*ln(1/dab*dbc*dca))/3

Va = 18*109*qaln(R

ddd cabcab3

)

Y la capacitancia C = 1/18*109*ln(R

ddd cabcab3

)

En términos de la Distancia Media Geométrica (DMG)

C = 1/18*109*ln(R

DMG) F/m

La susceptancia capacitiva para 60 Hz será

b=2*π*60*1000/(18*109*ln(R

DMG)) = 20.94*10-6/ ln(

R

DMG)mho/km

y como la conductancia es de valor despreciable, la admitancia de la línea es igual a la

susceptancia capacitiva, luego

Y = jb = 20.94*10-6/ ln(R

DMG)mho/km = 20.94*10-6/ ln(

R

DMG) 900

CALCULO DE CAPACITANCIA PARA LÍNEAS DE CIRCUITOS MÚLTIPLES

La expresión que vincula la inductancia debida al flujo exterior, la capacitancia y la

velocidad de la luz, se estudia en los textos de Teoría Electromagnética como tercer corolario de

las Leyes de Maxwell y tiene en consecuencia una aplicación mucho mas general que la

encontrada para un circuito trifásico con conductores espaciados un uniformemente, y la ecuación

atribuida a Howe para circuitos trifásicos con espaciamiento no equilátero.

Sobre esta base puede encontrase la relación general de la inductancia debida al flujo

exterior. Recordemos que la expresión del Radio Medio Geométrico incluía un factor de

e-1/4 = 2.718281828459.. -1/4 = 0.7788 para considerar la adición de la inductancia debida al flujo

interno del conductor. Por ejemplo, la fórmula de GUYE, para calcular el Radio Medio Geométrico

de un haz de conductotes paralelos dispuestos en los vértices de un polígono regular, es

103

RMG = nn

s Rdn1

Donde n es el número de conductores

ds es el radio geométrico de cada conductor

R es el radio del polígono en cuyos vértices están los centros de los conductores

Si queremos despreciar el flujo magnético interior, la ecuación toma la forma

Dss = nn

Rnr1

El nuevo término r, es el radio de cada uno de los conductores en haz.

En el capítulo correspondiente a Inductancia, habíamos definido el radio Medio

Geométrico (Ds, del inglés Self Distance), como el “promedio geométrico entre todos los

conductores de la misma fase”

El término Dss, para diferenciarlo de Ds , lo que habíamos denominado distancia de un

conductor a si mismo (d11, d22 etc.), se calcula de la misma manera que el Ds, pero descartando

el factor e-1/4 .

Con esta consideración la formula general para calcular la Admitancia paralelo de una

línea, considerada bien transpuesta, es

Y = 20.94*10-6/ ln(Dss

DMG) 900 mho/km

INFLUENCIA DE FORMA DEL CONDUCTOR EN EL CAMPO ELÉCTRICO

En un conductor sólido de sección cilíndrica el campo eléctrico se inicia en la superficie del

conductor, que asimismo es equipotencial. El potencial se dispone en forma de tubos concéntricos

con el eje del conductor, lo que significa que las curvas de potencial, perpendiculares a los

campos radiales, son dependientes de la distancia del punto de observación al eje del conductor.

104

Pero si el conductor es cableado, la superficie del conductor será una superficie equipotencial pero

no es de forma cilíndrica.

Distribución del flujo eléctrico cerca de un conductor cableado

Como se ve en la gráfica anterior, las líneas de intensidad de campo son radiales en la

medida que la distancia de observación se aleja del centro del conductor y por consiguiente las

líneas equipotenciales son concéntricas con el centro, pero en la cercanía del conductor siguen la

forma aproximada de la superficie de este. La hipótesis de cálculo para las ecuaciones de potencial

son válidas en la medida que la distancia entre conductores sea muco mayor que el radio exterior

del conductor, pero para distancias pequeñas entre conductores, se comete un error que puede

tener cierta relevancia.

Afortunadamente la distancia entre conductores en líneas aéreas es bastante mayor que

el diámetro de los conductores, por consiguiente no es necesario analizar las variaciones del

potencial y los cálculos consecuentes para distancias pequeñas separaciones entre conductores.

Algunos autores establecen la el error cometido para relación de distancias a radio del

conductor superiores a 100 (relación típica en líneas de distribución), el error cometido es del

orden del 0.9% pero para líneas reales de transmisión (tensiones superiores a 115 KV) la relación

D/r>500 el error cometido al considerar como cilíndrico el conductor cableado el error es menor

de 0.5%.

EFECTO DE LA TIERRA EN LA CAPACITANCIA.

Utilizaremos el mismo grafico donde calculamos la carga con efecto imagen, pero ahora

supondremos que la línea, compuesta por los conductores 1, 2, 3 está transpuesta. En el primer

tramo los conductores 1, 2 y 3 estarán en las posiciones A, B y C respectivamente. Para intentar

presentar el texto en la forma algo mas fácil de entender, denominaremos dab, dbc y dca, las

distancias entre conductores de la línea, Daa´, Dbb’ y Dcc’, las distancias entre conductores y sus

105

imágenes y Dab’, Dbc’ y Dca’, las distancias oblicuas entre los conductores (sin apostrofe) y las

imágenes de los otros (con apostrofe). Se puede identificar para hacer mas ligera la identificación

que Dab’ es igual a Da’b. Otras igualdades son fácilmente identificables.zz

C'

B'

A'

C

B

A

V1= 18*109*(q1ln(Daa’/r) + q2*ln(Dab’/dab) + q3ln(Dac´/dac))

Para el segundo tramo de transposición, las posiciones A, B y C estarán ocupadas por las

fases 3, 1 y 2 respectivamente

V1= 18*109*(q1ln(Dbb’’/r) + q2*ln(Dbc’/dbc) + q3ln(Dca’/dca))

Y en el tercer ciclo las mismas posiciones estarán ocupadas por las fase 3,1 y 2 siendo:

V1= 18*109*(q1ln(Dcc’’/r) + q2*ln(Dca’/dca) + q3ln(Dbc´/dbc))

La tensión promedio será

106

V1= 3

118*109*( q1*(ln(Daa’/r)+ ln(Dbb’/r)+ ln(Dcc’/r)

+ q2*(ln(Dab’/dab) + ln(Dcb’/dcb) + ln(Dca’’/dca)

+ q3*(ln(Dac´/dac) + ln(Dac´/dac))+ ln(Dac´/dac))/3

V1= 3

1*18*109*( q1*( ln(

rDDD ccbbaa

3

''' ))+( q2 + q3) * ln(dddDDD

cabcab

cabcab ''' ))

Asumimos ahora como antes lo hicimos, que la suma de las cargas es igual a cer. Luego q1

= -(q2+q3)

V1= 3

1*18*109*( q1*( ln(

rDDD ccbbaa

3

''' )) - q1* ln(dddDDD

cabcab

cabcab ''' ))

V1= 18*109* q1*(ln(r

ddd cabcab3

)-ln(3

'''

3'''

DDD

DDD

ccbbaa

cabcab)

De donde

C=1/ 18*109* (ln(r

ddd cabcab3

)-ln(3

'''

3'''

DDD

DDD

ccbbaa

cabcab)) o

C=1/ (18*109* (ln(r

DMG) - ln(

3'''

3'''

DDD

DDD

ccbbaa

cabcab))

El segundo término es el logaritmo de la relación del promedio geométrico de las

distancias en diagonal a las distancias entre conductores y sus imágenes. Si la distancias entre

conductores es comparable con la altura del soporte, el efecto de la tierra puede alcanzar un

107

incremento de la capacitancia del orden del 5%, como es el caso de líneas de transmisión mayores

de 400 KV, ero en el caso de líneas de 230 KV o menos el factor debido al efecto del suelo es

bastante menor, la relación en de las distancias entre conductores e imágenes es muy cercana a la

unidad y el logaritmo neperiano es despreciable. En este caso la capacitancia tiene el valor

calculado sin efecto de tierra, o sea

C=1/ (18*109* (ln(r

DMG) F/m

En realidad la altura de los conductores sobre el terreno no es uniforme porque

usualmente el trazado de las líneas de transporte transcurre sobre terreno que generalmente

montañoso y además, la curva catenaria descrita por los conductores cuando están soportadas

entre soportes distantes, no tiene una altura uniforme aún en terreno plano. Estas circunstancias

introducen errores que hacen inútil el esfuerzo por intentar una exactitud inalcanzable con

facilidad. Es suficiente entonces utilizar las fórmulas donde se descarta la influencia del suelo

sobre la capacitancia. La última fórmula mostrada sería suficiente y para las condiciones de

América (Norte, Centro y Sur América), donde la frecuencia es de 60 Hz, la susceptancia capacitiva

será para líneas con un conductor por fase

b =

)ln(

*f2

10*189

r

DMG

=

r

DMGln

*94.20 106

mho/km o mejor siemens /km

Y la fórmula para cualquier cantidad de conductores por fase será

b =

Dss

DMGln

*94.20 106

mho/km

Donde el término Dss es el promedio geométrico de distancias entre conductores de la

misma fase, considerando la línea adecuadamente transpuesta y DMG es la distancia media

geométrica entre conductores de fases diferentes, como en el caso de la inductancia o reactancia

inductiva de la línea.

Se observa que no puede confundirse la expresión de Dss don DS o RMG de la inductancia.

Dss podría considerarse como el Radio Medio Geométrico o Ds utilizada en el cálculo de la

reactancia serie de la línea, debida al flujo exterior, sin tomar en cuenta el efecto del flujo interior,

que recordamos aportaba el factor e-1/4.

108

RELACIÓN ENTRE CAPACITANCIA E INDUCTANCIA

Aún cuando ya nos hemos referido a este punto en la primera parte de este capítulo,

consideramos que el concepto es importante y por consiguiente, debemos enfatizarlo aunque

quizás sea interpretado como redundante.

Recordando la ecuación de la inductancia para un conductor cilíndrico homogéneo L

=2*10-7*ln(MDG//RMG), donde RMG = r*e-1/4, si se toma en cuenta el flujo magnético interior e

igual a r (radio del conductor, si solo interese la inductancia debida al flujo exterior)

De manera que si llamamos Le, la inductancia debida al flujo exterior, esta puede expresar

se por la relación

Le =2*10-7*ln(MDG//R)

Entonces el producto de la capacitancia por la inductancia debida al flujo exterior será

Le*C =[2*10-7*ln(MDG//R)] *[1/ (18*109* (ln(R

DMG)]=

=

Esta relación indica que el producto de la capacitancia de una línea multiplicada por la

inductancia debida al flujo exterior es igual al inverso del cuadrado de la velocidad de la luz. Como

hemos indicado, esta relación fue demostrada por W. HOWE en 1914 G. en el trabajo denominado

“On the Capacity of Radio Telegrafic Antenae”, publicado en la revista ELECTRICIAN.

109

UNIDAD VI. Variables eléctricas: La línea larga, condición de no linealidad de las líneas de

transmisión. Ecuación de la línea larga, funciones hiperbólicas, cartas de Woodruff. Cuadripolos,

representación de sistemas de potencia mediante Cuadripolos. Circuitos equivalentes de líneas

largas. Diagramas circular de Potencia en extremo receptor. Diagramas circular en el extremo

transmisor. Diagrama generalizado.

COMPORTAMIENTO DE LA LÍNEA LARGA

Se dice que una línea es eléctricamente larga si la corriente que fluye entre conductores

de fases diferentes, entre conductores y neutro, a través de la capacitancia distribuida, es una

fracción i8mportante de la corriente de carga Dado que la corriente fluye entre los elementos

mencionados a través de los acoplamientos capacitivos entre los conductores, se puede definir

como línea larga aquella en cuyo comportamiento las corrientes a través de las capacitancías no es

despreciable.

Visto de esta manera una línea puede ser físicamente larga pero eléctricamente cortas y

viceversa, pomo es el caso de las líneas construidas con cables de potencia, donde cada conductor

es un capacitor coaxial con capacitancías elevadas, como es el caso de las líneas de transmisión

submarinas, cuya finalidad es alimentar cargas ubicadas en islas o atravesando ríos caudalosos. En

Venezuela son líneas largas eléctricamente las líneas que alimentan las islas de Margarita y Coche

y la línea del sistema interconectado que vincula la Costa Oriental del Lago con la Ciudad de

Maracaibo.

Como hemos considerado en capítulo anterior, la corriente de filtración a través del

aislamiento es menor al 0.5% a menor que una condición anormal, como contaminación del

aislamiento o fallas puntuales en este estén ocurriendo.

Para la derivación de las ecuaciones correspondientes debe utilizarse las impedancias y

admitancias distribuidas de la línea, a diferencia de la manera de derivar las ecuaciones

correspondientes a líneas cortas, donde consideramos los parámetros concentrado, puesto que

para aquel fin no se consideraba importante la admitancia.

El siguiente análisis consideramos las líneas balanceadas, con impedancia y admitancia

distribuida y por esta condición, analizaremos solo el comportamiento de una fase. Analizaremos

la variación de la te4nsión y la corriente en un diferencial de longitud dx, ubicado a una distancia x.

Supongamos la siguiente nomenclatura de variables:

l = longitud total de la línea z = impedancia por unidad de longitud y = admitancia por unidad de longitud x = distancia de un punto al extremo receptor de la línea

110

i = corriente en el punto x e = tensión fase a neutro en el punto x Er = tensión en el extremo receptor Ir = Corriente en el extremo receptor Es = tensión en el extremo transmisor Is = Corriente en el extremo transmisor ε = el número e (2.718183….), base de los logaritmos neperianos Z = zl = R+jX = Impedancia serie total por fase Y = yl = g +jb = admitancia total en paralelo

α = zy = valor numérico sin unidades

θ = ZY = αl

Z0 = impedancia característica, en ohms

dx

Transmisor

Extremo

Receptor

Extremo

x

Is Ir

Es Er

admitancia en paralelo por unidad de la línea

impedancia serie por unidad de la línea

La tensión en el punto x, es e volt y la corriente i amperes

Luego del intervalo dx, la tensión habrá aumentado un diferencial de tensión, debido a la

resistencia del diferencial de longitud de la línea y de la corriente i

e + de = e + i*z*dx

izdx

de* Ecuación 1

Del mismo modo

i+ di = i+e*y*dx

eydx

di* ecuación 2

Derivando la ecuación 1 y la ecuación 2, se tiene

eyzdx

diyz

d

e

xd ****

2

2

ecuación 3

111

iyzdx

deyz

d

i

xd ****

2

2

ecuación 4

La ecuación 3, puede escribirse edx

diyz

d

e

xd

2

2

2

**

Y la solución de la ecuación diferencial ed

e

xd

2

2

2

e = x

y también

e = x

Y cualquier combinación lineal de estas dos soluciones

Es decir

e= 2

xx

= ch(αx) (coseno hiperbólico de αx) es una solución y

e= 2

xx

= sh(αx) (seno hiperbólico de αx) es otra solución

y de nuevo la solución que seleccionaremos es una combinación lineal de estas últimas

soluciones, esto es

e = K1ch(αx) + K2 sh(αx) ecuación 5

Y como la ecuación 4 es análoga a la ecuación 3, cuya solución acabamos de encontrar, podemos

escribir

i = K3ch(αx) + K4 sh(αx) ecuación 6

Para determinar el valor de frontera, primero de la ecuación 5

Para x=0 e=Er

Er = K1ch(α*0) + K2 sh(α*0)

de aquí, K1=Er

112

y derivando e en función de x, se tiene

dx

de z*i= αK1sh(αx) + αK2 ch(αx)

z*i= αK2 ch(αx)

para x=0

z*Ir = αK2ch(α*0)

K2 = Irz

=

yz

z

*Ir =

g

rIr

Pero como hemos establecido en la nomenclatura de variables

yg

z = Z0 y K2 = Z0*Ir

Escribiendo la ecuación 5, con los valores calculados de K1 y K2, se tiene

e = Erch(αx) + Z0Irsh(αx)

Y la tensión para el extremo receptor, donde x=l, se tiene

Es = Erch(αl) + Z0Irsh(αl) o mejor

Es = Erch(θ) + Z0Irsh(θ)

Que todavía puede modificarse a una expresión más cómoda

R0sh(θ) = y

z sh(θ) =

zy

z sh(θ) =

z sh(θ) =

l

zl

sh(θ) = Z*

)(sh

Luego

Es = ch(θ) Er + Z*

)(sh Ir

Procediendo de modo análogo con la ecuación 6, resulta

id

i

xd

2

2

2

113

Que tendrá por analogía la solución,

i = K3ch(α*x) + K4 sh(α*x)

Siendo entonces K3 = Ir y derivando

eydx

di* = αK3sh(α*x) + αK4 ch(α*x) y para la condición de borde x=0

y*Er = α K4 o K4 =

yEr

como

y=

yz

y=

)*(*)*( lzly

yl=

YZ

Y

*=

Y

K4 =

YEr entonces

i = Irch(α*x) +

YEr* sh(α*x) o

y para el extremo transmisor d0onde x=l

Is = Y*

)(shEr + ch(θ) Ir

Las ecuaciones correspondientes a Es y a Is se pueden expresar como

Es = A*Er + BIr ec. 7

Is = C*Er + D*Ir ec. 8

Donde:

A= ch(θ)

B= Z*

)(sh

C = Y*

)(sh

D = ch(θ)

114

Las ecuaciones anteriores identifican las ecuaciones de línea larga con un cuadripolo (red

de dos puertos) donde se cumple la regla del cuadripolo para una red simétrica

A*D –B*C =1 como podemos demostrar

ch(θ)* ch(θ) - Z*

)(sh* Y*

)(sh = (ch(θ))2 - (sh(θ)) 2 = 1

Como el determinante del sistema de ecuaciones 7 y 8 es

Det = DC

BA = A*D –B*C =1

Las ecuaciones escritas matricialmente resultan

IE

s

s = DC

BA

IE

r

r

Y resolviendo por Er e Ir mediante la regla de Cramer con Det = 1

Er = DIs

AEs = D*Es –B*Is ec. 9

Ir = IsC

EsA = AIs – C*Es ec. 10

EVALUACION DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS PARA ARGUMENTO COMPLEJO

Hay varias maneras de evaluar las funciones hiperbólicas relacionadas con la transmisión

de energía en líneas largas, pero la más utilizada por su fácil aplicación es el desarrollo en serie de

Mc Laurin, según la cual

Ch(θ) = 1 + !2

2

+ !4

4

+ !6

6

+…. y

Sh(θ) = θ + !3

3

+ !5

5

+ !7

7

+….

)(Sh = 1 +

!3

2

+ !5

4

+ !7

6

+….

115

Y en términos de ZY

Ch(θ) = 1 +

+

+

+ . . .

)(Sh = 1 +

+

+

+ . . .

Pero como también necesitaremos mas adelante la expresión de

, la incluiremos

ahora

= 1 -

+

-

+ . . .

Las series anteriores convergen rápidamente y por consiguiente usualmente basta con la

evaluación de cuatro términos.

Estas funciones están expresadas en términos complejos y son de difícil evaluación con

calculadoras no programables. Obviamente es muy fácil construir un programa de computación

para evaluar tanto Ch(θ),

)(sh y

. Sin embargo tradicionalmente para solución de

problemas didácticos se han utilizado las denominadas cartas de Woodruff que insertamos a

continuación, tomadas del texto “PRINCIPLES OF ELECTRICAL POWER TRANSMISSION” de L. F.

Woodruff publicada en 1938.

También se ha incluido un pequeño programa “Hiperbólicas.exe” que evalúa las expresiones

anteriores suministrando los datos relativos al módulo y al ángulo en grados de ZY.

116

117

118

119

CUADRIPOLO DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN

TRANSFORMADOR

Los circuitos equivalentes de un transformador mas conocidos son los circuitos serie,

shunt, “cantilever” y el circuito π (pi). .

Er,IrEs,Is

Z

Para este circuito,

Es = Er + Z*Ir

Is = Ir

Y matricialmente

IE

s

s = DCBA

*IE

r

r = 10

1 z

E identificando

A = 1, B=Z, C=0 y D=1

Para un circuito shunt se tiene

YEs,Is Er,Ir

Siendo

Es = Er

Is = Y*Er + Ir

Entonces

IE

s

s = DCBA

*IE

r

r = 1

01

Y ecuación 12

120

A = 1

B=0

C=Y

D=1

Un circuito cantilever para el extremo transmisor

Er,IrEs,Is

Z

Y

Como se ve, el circuito equivalente es un circuito shunt conectado en serie con un circuito serie

DCBA

= 1

01

Y*

10

1 Z =

ZYY

Z

1

1 ecuación 13

Es decir

A = 1

B=Z

C=Y

D=1+ZY

Para el extremo receptor, el circuito equivalente es un circuito serie conectado en serie

con un circuito shunt.

Y

Z

Es,Is Er,Ir

DCBA =

10

1 Z*

1

01

Y =

1

1

Y

ZZY ecuación 13

121

Entonces

A = 1+ZY

B=Z

C=Y

D=1+ZY

En cada una de las ecuaciones anteriores obviamente Z y Y se refieren a la impudencia

serie del transformador y Y se refiere a la admitancia shunt del transformador

Si se requiere una representación mas precisa, se puede utilizar el circuito equivalente π

(la letra griega pi), que es un circuito compuesto por un cantilever el extremo transmisor y un

circuito shunt. Para hacer los resultados concordantes con las formas usuales, en el resultado

deberán sustituirse las admitancias Y por el valor Y/2.

1

01

Y*

1

1

Y

ZZY=

ZY1YZ)Y(2

Z ZY1

ecuación 14

Y debería obtenerse el mismo resultado ejecutando el producto

ZYY

Z

1

1*

1

01

Y

Se propone esta operación como ejercicio.

CIRCUITOS EQUIVALENTES DE LINEAS

Eventualmente, cuando es necesario utilizar técnicas de cálculo de circuitos para analizar

el comportamiento de sistemas eléctricos de potencia, por ejemplo para cálculos de flujo de carga,

de estabilidad y otras aplicaciones, es indispensable sustituir la representación de las líneas de

transmisión por sus circuitos equivalentes. Los circuitos equivalentes mas utilizados son también

circuitos serie, circuitos cantilever o circuitos pi (π)..

El circuito serie se representa sencillamente por la impedancia de la líneas, el cantilever, la

rama serie es la impedancia de la línea y la rama shunt es la admitancia dada por la susceptancia

capacitiva. La representación más precisa,

122

El circuito equivalente más preciso, el circuito pi(π), tiene un poco mas de dificultad

porque involucra la utilización de funciones hiperbólicas..

Y/2Y/2

Z

Es,Is Er,Ir

Se trata de determinar las características de los elementos Z y Y/2 del circuito en función

de los parámetros de la línea de transmisión. Supongamos que tenemos una línea de trasporte

cuyas condiciones de operación están dadas por las conocidas ecuaciones

Es = Er* ch(θ) + Zl

)(sh*Ir

Como sabemos θ = YZ ll, siendo Zl y Yl los valores totales de la impedancia y la

admitancia de la línea.

En el circuito de la gráfica anterior, podemos expresar la ecuación de Es, de la manera

siguiente: La tensión Es es igual a la tensión Er más el alza de tensión producida por la corriente

que circula por la impedancia Z.

Es = Er + (Ir + Er*Y/2)*Z , y agrupando

Es = (1+ ZY/2)*Er + Z*Ir

Identificando coeficientes,

Z =Zl

)(sh ecuación 14

Y ya se tiene el valor de la impedancia del circuito equivalente

ch(θ)=1+ ZY/2

1+ Zl

)(shY/2 = ch(θ)

123

Zl

)(shY/2 = ch(θ) -1

Zl/θ = θ/Yl

sh(θ)(Y/2)(θ/Yl) = ch(θ) -1 =2sh2(θ/2)

y como sh(θ) = 2sh(θ/2) ch(θ/2)

2sh(θ/2) ch(θ/2)(Y/2)= (Yl/θ)*2sh2(θ/2)

ch(θ/2)(Y/2)= (Yl/θ)sh(θ/2)

Y/2= (Yl/θ) *th(θ/2)

Y finalmente

)

2

)2

((

22

thY Y l Ecuación 15

El término )

2

)2

((

th es fácilmente evaluable mediante la tercera carta de Woodruff.

Aunque no es frecuente es posible utilizar eventualmente el circuito T equivalente de una

línea con fines similares a las razones para utilizar el circuito equivalente pi (π) . Para la deducción

de la fórmula de los parámetros, se utiliza un método similar al que acabamos de ver para el

circuito pi , pero ahora partimos de la ecuación de Is.

Is = Er Yl

)(sh + Irch(θ)

En el circuito T siguiente

124

Z/2

Er,IrEs,Is

Z/2

Y

Se tiene Is = Ir + (Er+(Ir*Z/2))Y

Y agrupando términos

Is = Y*Er + (1+ZY/2)*Ir

Fácilmente como en el caso anterior) se identifica

Y = Yl

)(sh ecuación 16

1+ZY/2 = ch(θ)

Yl

)(shZ/2 = ch(θ) -1

Yl/θ = θ/Zl

sh(θ)(Z/2)(θ/Zl) = ch(θ) -1 =2sh2(θ/2)

2sh(θ/2) ch(θ/2)(Z/2)= (Zl/θ)*2sh2(θ/2)

ch(θ/2)(Z/2)= (Zl/θ)sh(θ/2)

Z/2= (Z/θ) *th(θ/2)

125

Y finalmente

)

2

)2

((

22

thZ Z l Ecuación 15

CONEXIÓN DE REDES EN SERIE.

Se trata de encontrar la ecuación que exprese el cuadripolo resultante de conectarlos en

serie un cuadripolo 1, cuyas constantes son A1, B1, C1 y D1 y otro cuadripolo 2 de constantes A2,

B2, C2 y D2.

Er,IrEx,IxEs,IsC2 D2

A2 B2C1 D1

A1 B1

En el extremo transmisor tenemos las variable Es e Is y en el extremo receptor tendremos

las variables Er e Ir. En la sección intermedia, que es el extremo transmisor del cuadripolo 2 y el

extremo receptor del cuadripolo 1.

Para la segunda sección se tiene

Ex = A2Er + B2Ir y

Ix = C2Er + D2Ir

Para la primera

Es = A1Ex + B1Ix

Is = C1Ex + D1Ix

Sustituyendo los Ex e Ix por los valores de las ecuaciones anteriores

Es = A1(A2Er + B2Ir) + B1(C2Er + D2Ir)

Is = C1(A2Er + B2Ir) + D1(C2Er + D2Ir)

126

Agrupando

Es =(A1A2 + B1C2)*Er + (A1B2 + B1D2)*Ir

Is = (C1A2 + D1C2)*Er + (C1B2 + D1D2)*Ir

Por comparación se tiene:

A0 = A1A2 + B1C2,

B0 = A1B2 + B1D2

C0 = C1A2 + D1C2

D0 = C1B2 + D1D2

Si multiplicamos las matrices correspondientes al cuadripolo 1 y el cuadripolo 2

DCBA

11

11 *DCBA

22

22 = DCBA

00

00 ecuación 11

Los resultados son los obtenidos en la operación anterior, de donde se concluye que para

obtener el cuadripolo equivalente a una conexión en serie de dos cuadripolos dados, basta con

multiplicar las matrices de sus cuadripolos equivalentes. Los valores de los elementos de la red

resultante están dadas por los elementos de la matriz producto.

CONEXIÓN DE REDES EN PARALELO

Supongamos una red cuyos cuadripolos equivalentes son representados por la siguiente figura

Ir2Is2

Ir1Is1

A1 B1

C1 D1

A2 B2

C2 D2

Es,Is Er,Ir

Las ecuaciones referentes a este diagrama son:

Es= A1*Er + B1*Ir1 ec.a

Es= A2*Er + B2*Ir2 ec.b

127

Is1= C1*Er + D1*Ir1 ec.c

Is2= C2*Er + D2*Ir2 ec.d

Is = Is1+Is2 ec.e

Ir = Ir1+Ir2 ec.f

Es= A1*Er + B1*Ir- B1*Ir2

Para eliminar Ir2, se multiplica esta ecuación por B2

Es*B2 =A1 *B2*Er +B1*B2*Ir- B1*B2*Ir2

Y esta se divide por B1

Es*B2/B1 = A1*B2*Er/B1 + B2*Ir - B2*Ir2

Sumando la ecuación ec.b

(1+B2/B1)*Es = Er*(A2+ A1 *(B2/B1)) + B2*Ir

Es(B1+B2)/B1 = Er((A2*B1+A1*B2)/B1) +B2*Ir

Es = Er*(A1*B2 + A2*B1)/(B1+B2) + Ir*B2*B1/(B1+B2)

De donde

A0 = (A1*B2 + A2*B1)/(B1+B2)

B0 =B1*B2/(B1+B2)

Los parámetros C0 y D0 se obtienen aplicando las condiciones de simetría de la red

resultante

D0 = A0 y

A0D0-B0C0 = 1

128

Es decir, C0 = (1- A0D0)/B0

Si las dos redes son idénticas y denominamos los parámetros A, B, C y D se cumplirá para cada una

de las redes originales C= (1-AD)/B , entonces

A0 = A, B0 =B/2,

C0 = 2*(1-AD)/B

C0 = 2*C

Las fórmulas definitivas serán

A0 = A, B0 =B/2, C0=2C y D0 = D

CIRCUITOS EQUIVALENTES DE UN SISTEMA DE POTENCIA.

Los sistemas de transmisión están compuestos por líneas y subestaciones, de manera que

para el análisis de un sistema es necesario la combinación de circuitos serie o paralelo de un

conjunto de cuadripolos equivalentes. La mejor manera de evaluar las combinaciones de

elementos es utilizar programas de computación elaborados a estos fines. Sin embargo algunos

casos sencillos como un sistema compuesto por un transformador en el extremo transmisor, una

línea de transmisión y un transformador sor muy frecuentes, y en el caso particular de que los

transformadores sean idénticos, las ecuaciones correspondientes se presentan en todos los textos

de Transmisión de Energía.

Supongamos por ejemplo un sistema como el de la figura, donde Zt y Yt son la impedancia

serie y la admitancia en paralelo de los transformadores y, como hemos dicho, son idénticos,

mientras que A, B, C y D son los parámetros generalizados de la línea.

Yt

ZtA, B, C, D

Línea

Er,IrYt

Zt

Es,Is

Las ecuaciones de los parámetros generalizados del sistema son:

129

A0 = D0 = A(1+2ZtYt)+BYt+CZt(1+ZtYt)

B0 = 2AZt + B + CZt2

C0=2AYt(1+2ZtYt)+BYt2+C(1+2ZtYt)2

MEDICIONES DE LAS CONSTANTES GENERALIZADAS

De las Ecuaciones fundamentales en el extremo transmisor

Es = AEr + BIr

Is = CEr +DIr

Se deduce que es posible medir los parámetros haciendo pruebas similares a las pruebas

típicas de trasformadores

Para Circuito abierto Iro = 0

Luego A= Eso/Ero de la primera ecuación y C = Iso/Ero de la segunda

Para cortocircuito en el extremo receptor Ers=0

B = Ess/Iss y D= Iss/Irs

Los valores complejos, como el caso de las p4ruebqas de transformadores se obtienen mediante la

utilización de los datos de potencia

Un método más satisfactorio consiste en medir las impedancias en circuito abierto y en corto

circuito aplicando tensión en ambos extremos. Así, si el extremo receptor está abierto

Ir = 0 y entonces

Zso = Es/Is = Ao/Co

Y si el extremo receptor está en corto

Sss = Es/Is = Bo/Do

Y aplicando tensiones en el extremo receptor, las ecuaciones básicas son

Er = DEr – B*Ir

130

Ir = A*Er – Cir

El signo de los términos de corriente debe ser cambiado porque la aplicación de la tensión es

opuesta al sentido para el cual se dedujeron estas ecuaciones

Para el extremo transmisor abierto Iso=0

Zso = Er/Ir = Do/Co

Y para Es=0 (cortocircuito)

Zss =Er/Ir = Bo/Ao

Zso-Zss= (AoDo-BoCo)/(CoDo) = 1/(CoDo)

(Zso-Zss)/Zro = (1/CoDo)*(co/Do)= 1/(Do)2

Do= )(ZroZso

Zro

Una vez calculado Do los valores de los otros parámetros se obtienen de las ecuaciones de

impedancias obtenidas.

DIAGRAMAS CIRCULARES

Aún cuando la disponibilidad de computadoras y programas de flujo de carga han

disminuido la utilidad de los diagramas circulares para el estudio de la operación de los sistemas

de transporte de energía eléctrica, casi todos los clásicos de la enseñanza de sistemas de potencia

incluyen este procedimiento por el carácter didáctico que los mismos tienen para la comprensión

de los efectos de las corrientes de carga sobre la regulación de los sistemas y en las pérdidas de

potencia y energía de de constantes distribuidas.

Las condiciones de operación de una línea pueden ser expresadas como hemos visto en

términos de las tensiones y corrientes en el extremo transmisor como funciones de las tensiones y

131

corrientes el extremo receptor o en función de las potencias reales e imaginarias en ambos

extremos. Si se conoce un número suficiente de variables, las otras pueden obtenerse como

solución de3 las ecuaciones planteadas.

Hay dos formas usuales de solución de las ecuaciones.

a) por medio de ecuaciones ya estudiadas donde se representan las tensiones y corrientes en el extremo trasmisor como funciones de las tensiones y corrientes en el otro extremo. La solución gráfica de estas ecuaciones parte de la representación de sus diagramas vectoriales.

b) Por medio de las ecuaciones de potencia cuya solución gráfica se realiza por medio de los denominados diagramas circulares de potencia.

Los diagramas circulares como método de solución de problemas de operación se iniciaron

desde tempranas épocas del desarrollo de la industria eléctrica en 1911, con Phillips, en 1921

con el trabajo denominado “Economics Limitation to de aggregation of Power Systems”,

Dwight en 1914 con el trabajo “The Calculation of Constant Voltaje Transmissión Lines” y

Evans en 1921 con su trabajo “Circle Diagrams for Transmisión Systems”

En 1951 se introdujo un importante aporte Goodrich denominado “A Universal Power

Circle Diagram”

Soluciones graficas derivadas de la utilización de las cartas de Smith, desarrolladas para el

análisis de líneas de transmisión de información

Básicamente los diagramas consisten en un conjunto de vectores vinculados a unos

círculos dibujados sobre un papel con calibrado con coordinadas rectangulares, mostrando la

potencia de entrada, la potencia de salida y la potencia reactiva que debe suplirse para

mantener la tensión dentro de niveles tolerables por las regulaciones legales establecidas.

DIAGRAMAS EN EL EXTREMO RECEPTOR

Supongamos que tenemos un línea cuyos parámetros son A, B, C y D alimentada por el

extremo transmisor con una tensión Es voltios por fase y con una corriente de Is amperes, y

entregando una carga de Ir amperios por fase a Er voltios por fase. Esta línea es una

representación de una fase de un sistema de transmisión.

Ca

rga

Is

Es Er

Ir

132

La ecuación de la tensión en el extremo transmisor es:

Es = AEr + BIr

Que representaremos en un diagrama vectorial con la tensión Er como referencia angular,

la corriente Ir , los ángulos α, β son los ángulos de los parámetros A y B del cuadripolo

equivalente de la línea y Φ es el ángulo de factor de potencia de la carga y δ es el ángulo entre

tensiones, comúnmente llamado “ángulo de transmisión”.

B*Ir

Ir

A*Er

Er

Es

En esta condición todas las variables salvo Ir, tiene dimensiones de tensión de fase. Si

dividimos todos esos vectores por el número complejo B, el diagrama sufrirá una

transformación angular, habrá girado 180-β grados y sus dimensiones se habrán reducido a las

originales divididas por |B|.

w

y'

y

x' x

o'

0

Er/B

A*Er/BEs/B

Ir

133

Hasta aquí hemos convertido el diagrama vectorial cambiado solo en ángulos, unidades y

magnitudes, pero conservando su forma en un diagrama de corriente. Si deseáramos mantener

invariables las tensiones como es lo normal puesto que la tensión en el extremo recetor es la que

reciben los usuarios y la normativa legal obliga a una variabilidad muy reducida Por otra parte la

tensión en el extremo transmisor debe ser lo mas cercano posible a la tensión de diseño de la

central de generación o de la subestación elevadora

Bajo esta premisa es necesario que la carga Ir mantenga su vértice sobre el círculo que

tiene centro en o’ y cuyo radio es Es/B. Este círculo, lugar geométrico de los vértices del vector

carga en amperios, se denomina diagrama circular de corrientes en el extremo receptor.

La dirección del radio vector oo’ está dada por la relación de los números complejos A/B

cuya magnitud es ||

||

B

A cuyo ángulo es, en la dirección original de o’ a o, es (α-β) y en la dirección

contraria (o a o’) es α-β. Las coordenadas del centro, que denominaremos (m,l), serán :

m = ||

||

B

AEr*cos (α-β) o mejor

m = -||

||

B

AEr*cos (β -α) y l =

||

||

B

AEr*sen (β -α)

El radio del círculo es R = Es/B.

Como instrumento para estudiar el comportamiento de sistemas de transmisión, el

diagrama de corrientes es de poca utilidad, sin embargo si ahora multiplicamos los vectores por Er,

que como hemos visto está expresado en voltios por fase y cuyo ángulo es cero, pues es la

referencia lo estamos convirtiendo en un diagrama de potencia en el extremo receptor.

134

S

2

BB

ErIr

EsErA*Er

o

o'

xx'

y

y'

w

Los valores del las coordenadas del centro y del radio del círculo serán ahora

m = -||

||

B

AEr2cos (β -α), l =

||

||

B

AEr2sen (β -α) y R =

B

ErEs

El vector S, cuya magnitud es ErIr, representa la potencia vectorial en el extremo receptor,

expresada en voltamperes (va) por fase, puesto que es el producto de Er que esta expresado en

voltios por fase por Ir, que es la corriente en amperes.

Es conveniente expresar esta potencia, y cada uno de las magnitudes las potencias de

interés en el diagrama en MVA y las tensiones en tensiones de línea expresados en Kilovoltios.

Para esto debemos cambiar la escala del diagrama. Empecemos por uno de los parámetros dados,

la abscisa del centro, siendo evidente que la transformación de este es trasladable a los otros

parámetros.

m = -||

||

B

AEr2cos (β -α)

Si la tensión Er que ahora esta expresado en voltios lo expresamos en Kv queda

m = -||

||

B

A1000000Er2cos (β -α)

Si la tensión Er que ahora esta es la tensión de fase, la expresamos en tensión de línea

135

m = -||3

||

B

A1000000Er2cos (β -α)

Si la potencia que sigue expresada en va por fase, la expresamos en MVA, resulta

m = -||3

||

B

AEr2cos (β -α)

y si en lugar de expresarla por fase, la expresamos para toda la línea, habrá que

multiplicarla por 3 quedando finalmente

m = -||

||

B

AEr2cos (β -α) donde ahora finalmente, el valor de la abscisa del centro estará en

MVA y la tensión será en Kilovoltios de línea. Los tres parámetros serán los siguientes.

m = -||

||

B

AEr2cos (β -α), l =

||

||

B

AEr2sen (β -α) y R =

B

ErEs

Asimismo la carga estará expresada como vector potencia en MVA, con una parte real en

Mw y una parte reactiva en MVAR.

Sin embargo hasta ahora hemos considerado que para mantener controladas las

tensiones, la potencia consumida S, debe tener su vértice en el círculo de potencia, lo cual significa

que potencia no tiene libertad de variar conforme a las reales necesidades de la carga.

Obviamente esto no es práctico.

Supongamos que la potencia consumida por los usuarios, el vector S, no tiene su vértice en

el círculo, en este caso hay la posibilidad de sumar a la carga una potencia reactiva, inductiva o

capacitiva como veremos, de manera tal que la carga original mas esta potencia, a la que

usualmente se denomina compensación, constituyen un vector potencia que obligamos a inscribir

su vértice en el círculo de potencia.

Para simplificar el gráfico, representaremos solo los vectores necesarios de aquí en

adelante. La línea negra gruesa es el vector de carga que cuyo vértice está mas allá del círculo de

potencia. Si a esta carga agregamos en paralelo una carga reactiva pura capacitiva (el vector de

línea gruesa color rojo, la carga total será el vector (oS). A este proceso se le denomina

compensación capacitiva

136

DIAGRAMAS EN EL EXTREMO TRANSMISOR.

De manera similar al procedimiento anterior pueden derivarse diagramas para el extremo

transmisor. A partir de la ecuación de Er en función de la tensión y corriente en el extremo

receptor, se tiene

Er = DEr –Bir pero como D = A puede escribirse Er = AEr –Bir . La representación vectorial

de esta ecuación es la siguiente:

o'

Er

Es

A*Es

Is

-B*Is

Y con las mismas consideraciones relativas a las a las unidades y a la constancia de las

tensiones podemos construir primero el círculo de corrientes en el extremo transmisor y

convertirlo luego a un círculo de potencias en este extremo.

Carga

0'

S

w

o

137

El círculo de corrientes tendrá la forma representada en el dibujo siguiente

ErA*Es

Is

BB

o

o'm'

Donde los parámetros serán los siguientes

m’ = -||

||

B

AEr*cos (β -α) , l’ =

||

||

B

AEr*sen (β -α) y R = Es/B.

Convirtiendo este diagrama de corrientes en un diagrama circular de potencia en el

extremo transmisor, se tendrá:

l'R=

m'

2

o'

o

B B

S=Es*Is

A*Es Er*Es

138

Las coordenadas del centro del diagrama circular de potencia en el extremo transmisor

serán ahora:

m’ =||

||

B

AEs2*cos (β -α) , l’ =

||

||

B

AEs2*sen (β -α) y R =

B

EsEr

RECTA DE PÉRDIDAS

Si un sistema de transmisión es operado a tensiones constantes, es posible incrementar la

utilidad del diagrama circular de potencia para calcular las pérdidas de transmisión, mediante la

incorporación de una recta, denominada recta de pérdidas desde la cual puede medirse una

distancia al círculo que es proporcional a las pérdidas de transmisión.

Para fundamentar la utilización de la recta de pérdidas primero estudiaremos la expresión

de la potencia de entrada al sistema de transmisión que será

Potencia de Entrada = m’ + R*cos(180-(β+δ)) = m’ – R*cos(β+δ)

Potencia de Entrada = m’ – R*(cosβcosδ - senβsenδ)= m’ – R*cosβcosδ +R*senβsenδ)

Y del diagrama circular en ele extremo receptor

Potencia de Salida = -m +Rcos (β-δ) = -m + R*cosβcosδ + R*senβsenδ)

Pérdidas de Transmisión = Potencia de Entrada - Potencia de Salida= m+m’ –R(2 cosβcosδ)

Y aclarando

Pérdidas = m+m’ –2 cosβ*Rcosδ

139

Esta última ecuación es de la forma p = K1 – K2cosθ, que puede representarse geométricamente

por el diagrama siguiente: donde

K1 = m + m’

K2= 2cosβ*R

La variable p se lee desde el extremo del vector K2 sobre el círculo, el

cual para más clara referencia llamaremos círculo de pérdidas

Si alineamos este gráfico con el diagrama circular de potencia,

de manera tal que el eje de las ordenadas coincida con la referencia (la

recta para la cual δ=0).

Se tendrá que las líneas gruesas representan el círculo y el eje de las abscisas del gráfico

anterior y la referencia será el eje de las ordenadas del mismo gráfico

Se tendrá que las líneas gruesas representan el círculo de pérdidas y el eje de las abscisas

del gráfico anterior y la referencia será el eje de las ordenadas del mismo gráfico

Si cambiamos la escala del gráfico de pérdidas de manera tal que el radio de este coincida

con el radio del diagrama circular de potencia en el extremo receptor.

El radio del círculo de pérdidas es K2 y

adaptarlo al radio R implica dividir la

escala de las pérdidas por 2cosβ. El eje

de las abscisas del diagrama de pérdidas

quedará ahora externo al círculo de

potencia y perpendicular a la referencia.

Naturalmente la escala donde debe

leerse las pérdidas estará afectada por

este valor de manera que quede

reducida en este valor.

2

1K

K

p

R=

y'

y

x' x

o'

o

A*ErEsEr

ErIr

BB

2

S

140

El círculo de potencia ampliado de

esta manera podrá utilizarse

adicionalmente para calcular las pérdidas

de transmisión, obviamente multiplicando

el equivalente del vector p (en esta gráfica

en línea sólida gruesa color azul. En este

caso por razones de visualizar solo una de

las aplicaciones hemos considerado una

carga que esta posicionada sobre el círculo,

esto es, que no requiera compensación

En el dibujo siguiente, eliminaremos los vectores innecesarios y consideraremos el círculo

de potencia con carga compensada para controlar la tensión y la recta de perdidas

recta de pérdidasS

2

BB

ErIr

EsErA*Er

o

o'

xx'

y

y'

R=

141

style

2co

sm

+m

'd

=

o'

'

recta de pérdidas

o

w

S

Carga

El dibujo anterior es un diagrama circular de potencia en el extremo receptor ampliado

con la recta de pérdidas, donde la línea color negro de trazo grueso, es la carga,

La línea roja es la compensación trazada perpendicularmente al eje de las abscisas hasta

interceptar el círculo y definiendo un punto S. Las perdidas son proporcionales a la línea azul

trazada desde este punto “S” perpendicularmente a la recta de pérdidas.

El vector definido por la recta ente el origen de coordenadas “o” y el punto S es la

potencia compensada con un ángulo de factor de potencia Φ’ y el ángulo de transmisión sigue

siendo δ, así como el ángulo α (ángulo del parámetro del cuadripolo A)

PROCEDIMIENTO PARA EL TRAZADO DEL CÍRCULO DE POTENCIA

Suponemos que haremos los cálculos a partir de las impedancia (Z) y la admitancia Y,

y a partir de estos datos , el producto ZY en coordenadas polares. Es necesario la magnitud de ZY y

el ángulo.

1) Utilizando las cartas de Woodruff se calcula ch(θ) y

sh(

2) Se hacen los cálculos analíticos para determinar A y B (parámetros del cuadripolo) 3) Se determinan los parámetros del círculo (m, l, R) y el parámetro m’ y la distancia del

centro del círculo hasta la intercepción de la referencia con la recta de pérdidas.

142

4) Se selecciona una escala adecuada en el papel milimetrado de dibujo. 5) Se dibujan los ejes de coordenadas 6) Se marca el centro del círculo 7) Se traza el radio vector desde el centro de coordenadas al centro del círculo (oo’) 8) Se traza la recta de referencia de tensión desde el punto o’ definiendo un ángulo α

(ángulo del parámetro A) y perpendicularmente a esta a una distancia d desde el centro del círculo la recta de pérdidas.

Ya está listo el círculo de potencia. Ahora veremos como utilizarlo.

Sobre el círculo se traza el vector de la carga.

Desde el vértice de este vector se traza una recta perpendicular al eje de las abscisas hasta interceptar el círculo definiendo el punto S. Este vector, si está orientado hacia arriba es la compensación capacitiva y si está orientado hacia abajo, es compensación inductiva.

Desde este punto S, se traza perpendicularmente a la recta de pérdidas. La longitud del trazo así determinado se multiplica por el factor de escala de pérdidas multiplicado por 2cosβ. Este valor es igual a las perdidas totales de la línea de transmisión.

Cuando se requiere la operación del sistema de potencia y no solo de la línea, se deben

calculara los parámetros A y B, correspondientes a la sistema con las ecuaciones estudiadas en

el capitulo anterior que recordaremos a continuación.

A0 = D0 = A(1+2ZtYt)+BYt+CZt(1+ZtYt)

B0 = 2AZt + B + CZt2

C0=2AYt(1+2ZtYt)+BYt2+C(1+2ZtYt)2

Los términos A, B C y D son los parámetros de la línea y A0, B0, C0 y D0, son loa parámetros

del sistema.