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CAPITULO UNO.
INTRODUCCION A LA HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA ELÉCTRICA.
1.1)- INTRODUCCIÓN. Los estudiantes de Ingeniería Eléctrica en cursos previos a Transmisión de Energía, han adquirido conocimientos orientados al tratamiento de los circuitos y máquinas eléctricas como una manera de alcanzar las herramientas básicas para el tratamiento de fenómenos e instalaciones eléctricas. En las diferentes especialidades de la carrera, la aplicación de estos conocimientos tendrán como finalidad preparar al futuro profesional proporcionándoles habilidades para aplicaciones en sistemas de control, comunicaciones y electrónicos. Pero los estudiantes que hayan seleccionado la especialización en áreas de Sistemas de Potencia habrán de profundizar en la utilización de la energía en transformaciones industriales y en los procesos de producción, transmisión y distribución de la energía eléctrica. Estos tres últimos aspectos empezarán a tratarse en los próximos temas de este texto. 1.1.2)- BREVE HISTORIA DE LA ELECTRICIDAD Las propiedades eléctricas de ciertos materiales ya eran conocidas por civilizaciones antiguas. En el año 600 AC, Thales de Mileto había comprobado que si se frotaba el ámbar, éste atraía hacia sí a objetos más livianos. Se creía que la electricidad residía en el objeto frotado. De ahí que el término "electricidad" provenga del vocablo griego "elektron", que significa ámbar. En la época del renacimiento comenzaron los primeros estudios metodológicos, en los cuales la electricidad estuvo íntimamente relacionada con el magnetismo. El inglés William Gilbert comprobó que algunas sustancias se comportaban como el ámbar, y cuando eran frotadas atraían objetos livianos, mientras que otras no ejercían ninguna atracción. A las primeras, entre las que ubicó el vidrio, el azufre y la resina, las llamó "eléctricas", mientras que a las otras, como el cobre o la plata, "aneléctricas". Benjamín Franklin fue quien postuló que la electricidad era un fluido y calificó a las sustancias en eléctricamente positivas y negativas de acuerdo con el exceso o defecto de ese fluido. Franklin confirmó también que el rayo era efecto de la conducción eléctrica, a través de un célebre experimento, en el cual la chispa bajaba desde una cometa remontada a gran altura hasta una llave que él tenía en la mano. Hacia mediados del siglo XVIII se estableció la distinción entre materiales aislantes y conductores. Los aislantes eran aquellos a los que Gilbert había considerado "eléctricos", en tanto que los conductores eran los "aneléctricos". Esto permitió que se construyera el primer almacenador rudimentario: estaba formado por dos placas conductoras que tenían una lámina aislante entre ellas. Fue conocido como botella de Leyden, por la ciudad en que se lo inventó. A principios del siglo XIX, el conde Alessandro Volta construyó una la primera pila galvánica exitosa. Colocó capas de cinc, papel y cobre, y descubrió que si se unía la base de cinc con la última capa de cobre, el resultado era una corriente eléctrica que fluía por el hilo de unión. Este sencillo aparato fue el prototipo de las pilas eléctricas, de los acumuladores y de toda corriente eléctrica producida hasta la aparición de la dínamo. Mientras tanto, Georg Simon Ohm sentó las bases del estudio de la circulación de las cargas eléctricas en el interior de materias conductoras. En 1819, Hans Oersted descubrió que una aguja magnética colgada de un hilo se apartaba de su posición inicial cuando pasaba próxima a ella una corriente eléctrica y postuló que las corrientes eléctricas producían un efecto magnético. De esta simple observación salió la tecnología del telégrafo eléctrico. Sobre esta base, André Ampère dedujo que las corrientes eléctricas debían comportarse del mismo modo que los imanes.
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Esto llevó a Michael Faraday a suponer que una corriente que circulara cerca de un circuito induciría otra corriente en él. El resultado de su experimento fue que esto sólo sucedía al comenzar y cesar de fluir la corriente en el primer circuito. Sustituyó la corriente por un imán y encontró que su movimiento en la proximidad del circuito inducía en éste una corriente. De este modo pudo comprobar que el trabajo mecánico empleado en mover un imán podía transformarse en corriente eléctrica. Los experimentos de Faraday fueron expresados matemáticamente por James Maxwell, quien en 1873 presentó sus ecuaciones, que unificaban la descripción de los comportamientos eléctricos y magnéticos, y su desplazamiento, a través del espacio en forma de ondas. Aproximadamente en 1840, James Prescott Joule y el científico alemán Hermann von Helmholtz hicieron la importante demostración de que los circuitos cumplen el principio de conservación de la energía y que la electricidad es una forma de energía. En 1879 el estadounidense Thomas Alva Edison mostró públicamente su lámpara incandescente o bombilla, la cual dio el impulso inicial al uso en gran escala de la energía eléctrica. En 1882 desarrolló la primera central eléctrica del mundo en Nueva York con un generador de corriente continua que había inventado. En 1886 el físico alemán Heinrich Hertz produjo y detectó ondas electromagnéticas en la atmósfera. En 1888 el ingeniero estadounidense de origen croata Nikola Tesla, diseñó el primer sistema práctico para generar y transmitir corriente alterna. Aunque al principio trabajó con Edison más tarde se instaló por su cuenta y se dedicó a la investigación y al desarrollo de sus propias invenciones, entre las cuales destacan: generador de alta frecuencia, bobina, transformador, etc. Posteriormente trabajando con George Whestinghouse hizo importantes aportes para implantar la corriente alterna como la forma industrial ideal para generar, transmitir y distribuir la energía eléctrica. En 1892 el holandés Hendrik Antoon Lorentz presentó la teoría de los electrones, base de la actual teoría eléctrica. En 1896 el ingeniero italiano Gugliemo Marconi empleó ondas electromagnéticas para producir un sistema práctico de señales de radio. A partir de las primeras décadas del siglo XX comenzó el espectacular desarrollo de la electrónica y el establecimiento de la energía eléctrica como la forma idónea para la transformación y el manejo de la energía. 1.1.3)- ANTECEDENTES DE LA TECNOLOGÍA DE LOS SISTEMAS ELÉCTRICOS. La energía eléctrica aparece junto al petróleo como fuente energética para sustituir el vapor. Se venía trabajando en su producción a escala útil desde el s. XVIII. El gran problema era conseguir una forma para generarla en grandes cantidades; esto se solucionó al crear Zenobio Gramne el generador de corriente continua (la dinamo), en 1872. Posteriormente al genio de Edison se le ocurrió mover esa dínamo (como en la antigüedad) con los molinos de agua, creando los embalses (futuras centrales eléctricas), la primera de ellas 1882 en Nueva York. Casi 40 años antes Francis había inventado las turbinas hidráulicas, que más tarde participarían en la producción energía eléctrica a gran escala, pero obviamente para la época, no habían alcanzado el necesario novel tecnológico requerido. En 1882 Marcel Deprez había planteado lo beneficioso para la humanidad que significaría la utilización de las fuentes energéticas naturales, si pudieran transportarse a grandes distancias, asunto que abordó investigando el uso de tensiones altas para tal fin. La invención de la bombilla eléctrica que constituyó quizás la más transcendente revolución socio tecnológica en la historia del mundo, puesto que cambió la manera de entender la vida y el
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trabajo al liberar la humanidad de la dependencia de los ciclos día/noche. La lámpara eléctrica podía operar tanto en corriente continua como en corriente alterna sin dependencia importante de la frecuencia. Soslayando el periodo de transición entre la corriente continua, cuyos principales proponentes fueron Edison y Lord Kelvin y la corriente alterna (1887), cuyo principal defensor fue Nikola Tesla, y que constituyó una autentica guerra técnica y económica Establecida la corriente alterna como paradigma, en 1883 el Dr. Hopkinson demostró la posibilidad de transmisión de corriente alterna sobre distancias cortas, y ese mismo año Gibbs y Gaulard presentaron “generador secundario”, precursor del transformador que actuaba como una bobina de inducción mutua variable, en la Exposición de Turín. Se hicieron ensayos de transporte entre Turín y Lanzio. La red primaria era de unos 40 km de longitud, una potencia de 20 KW y una tensión de 2.000 Volt. En ese periodo, Miska Deri, Otto Bláthy y Karoly Zipernowsky, viendo los defectos del “generador secundario” de Gibbs y Gaulard, lo mejoraron cerrando el circuito magnético. En septiembre de 1884 se hicieron los ensayos finales del transformador, por primera vez así llamado, cuyas características eran: relación de transformación 120/72 v, potencia de 1.400 VA y 40 Hz. En 1886, la compañía Westinghouse compra las patentes de los transformadores diseñados por: Gibbs-Gaulard y el de Miska Deri, Otto Bláthy y Karoly Zipernowsky y bajo la dirección de Stanley, una especie de director técnico comercial de Westinghouse, desarrollan un transformador acorazado que utilizaron en su demostración de Great Barrington, que estuvo alimentado desde un alternador del tipo de los fabricados por Siemens. Éste tenía 16 polos, trabajaba a 1.000 rpm por consiguiente con una frecuencia de 133+1/3 Hz. Este transformador había sido mejorado magnéticamente introduciendo el concepto de núcleo laminado para reducir las pérdidas de Foucault. La primera línea de transmisión en EE-UU se instaló en 1990 para suministrar energía desde una planta hidroeléctrica situada a 21 kilómetros en Willamette Falls a Portland en el estado de Oregon. Las primeras líneas de transporte fueron monofásicas y se destinaban fundamentalmente a alimentar lámparas eléctricas. Al principio los motores eléctricos eran monofásicos, pero en mayo de 1888, Nikola Tesla presentó un documento técnico describiendo la construcción y el funcionamiento de un motor de inducción y un motor sincrónico bifásico, en los cuales se puso en evidencia de inmediato, las ventajas de un sistema polifásico creando la incentivación suficiente para que un sistema de distribución en corriente alterna bifásico, se presentara al público en la exposición de Chicago de 1893 y consecuencialmente, los sistemas polifásicos de corriente alterna, gradualmente desplazaron a la corriente continua como forma de transmisión predominante. El primer sistema trifásico de transporte se instaló en Suecia en 1993, pero a principios de 1994 ya habían cinco sistemas polifásicos funcionando en diferentes ciudades de los Estados Unidos, de los cuales uno era bifásico y cuatro trifásicos. En el mundo de hoy, todos los sistemas de distribución prácticos son trifásicos de corriente alterna. A partir de 1990 aparece un elemento que va a perturbar la relativa tranquilidad de los fabricantes, el motor de inducción. Como las principales empresas de energía eléctrica eran también fabricante de equipos, razones comerciales inmediatistas condujeron a que las frecuencias adoptadas para caracterizar la corriente alterna, fueran casi tan diversas como los fabricantes. Los motores que se utilizaban para el desarrollo de potencias mecánicas que movían las herramientas de las máquinas se acoplaban directamente, motor eléctrico-máquina herramienta. Si estas máquinas trabajaban a unas 80 rpm, se requerían motores eléctricos de 200 polos alimentados a 133+1/3 Hz. El problema del elevado número de polos, no aparecía en Europa
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puesto que ya se trabajaba con 40 Hz, y por lo tanto se requerían generadores de 60 polos. En 1890, AEG Y Oerlikon utilizaron 40 Hz para su línea eléctrica trifásica de 175 km desde Frankfurt (receptores) a Laufen (producción) utilizando un alternador de 50V de tensión de fase, 32 polos cuyo rotor giraba a 150 rpm, lo que requiere una frecuencia de 40 Hz. La transmisión se realizaba transformando en el origen de 50 a 8.500V y en la ciudad de Frankfurt se reducía su tensión a 65V. Posteriormente se dieron cuenta de los problemas estroboscópicos, debidos a la baja frecuencia aplicada a las lámparas y ya en 1991 optaron por una frecuencia de 50 Hz, con lo que se solventaban ambos problemas. En 1890, la Westinghouse descartaron las frecuencias sobre los 130 Hz y adoptaron 7.200 ciclos mecánicos (p*n), y por lo tanto 60 Hz de frecuencia en la corriente eléctrica, para resolver el problema que planteaba el acoplamiento de las máquinas a los motores que se fabricaban en aquellos años. Es así como la adopción de la frecuencia más conveniente se debió a la necesidad de ir superando los problemas tecnológicos que iban apareciendo en la expansión de la energía eléctrica por todo el mundo. En los primeros años la energía eléctrica se utilizaba casi exclusivamente para la iluminación pública, hoteles, bancos y casas de personas más bien pudientes y para evitar los efectos estroboscópicos las frecuencias utilizadas eran altas. Cando se introdujo la energía eléctrica en los procesos industriales y el consumo de la energía debía ser destinado, no solo a iluminación, sino al manejo de potencia mecánica, se redujo la frecuencia de ésta hasta los valores actuales.
1.2)- LOS SISTEMAS DE POTENCIA. Comparado con otras formas de energía, la energía eléctrica posee ventajas muy especiales para propósitos de transmitirla, puesto que esta forma de la energía puede transportarse muy eficientemente en grandes cantidades y a grandes distancias. Sus métodos de control son extremadamente flexibles y transformación a otras formas de energía – térmica, lumínica, mecánica o química – con simplicidad y eficiencia sin paralelo. Los proyectos de líneas de transmisión pueden ser desarrollados para transporte de le energía producida en estaciones de generación eléctrica individuales hasta los centros de consumo o para vincular estaciones de generación entre si constituyendo lo que más tarde estudiaremos como sistemas interconectados, pero también pueden tener como objetivo constituir redes entre estaciones intermedias o entre estas y los centros de consumos denominándose en estos casos sistemas o redes de distribución. 1.2.1)- GENERACIÓN DE ENERGÍA. La ley de la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma energía calorífica en un calentador. Dentro del mismo concepto, la energía eléctrica utilizable proviene de otras formas naturales de energía, como la energía química contenida en los materiales combustibles, energía potencial contenida en embalses o represas hidroeléctricas, energía eólica, solar y una gran variedad de fuentes energéticas. La invención de máquinas capaces de transformar la energía de los combustibles, abrió la posibilidad de generar energía eléctrica. Al principio de la explotación de la electricidad en forma industrial, se utilizaron maquinas de época como motores primarias para convertir la energía de los combustibles en energía mecánica, la cual se transformaría en energía eléctrica mediante el uso primero de generadores de corriente continua y luego, después de los aportes de Tesla y Westinghouse los alternadores. Estas
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maquinas, de vapor en primera instancia y luego motores de combustión interna de gasolina o diesel. La posibilidad de convertir la energía contenida en los ríos con desniveles, presentó la oportunidad de su aprovechamiento para la generación de bloques importantes de energía eléctrica con bajo costo de combustible, mediante la utilización de máquinas hidráulicas. La disponibilidad de fuentes primarias de energía (combustibles como el petróleo en sus diversos productos derivados -gasoil, fueloil, coke, orimulsión etc., el carbón y el potencial hidráulico de ríos, conjuntamente con la ubicación de los centros de consumo, determinaron en primera instancia la ubicación de las estaciones o plantas de generación. El bajo nivel de consumo de energía eléctrica de los primeros usuarios, fue determinante para la ubicación de las pequeñas estaciones de generación cerca de los centros de consumo, consistentes, luego de la invención de las lámparas eléctricas por Edison, en aplicaciones de alumbrado. Al imponerse las ideas de Tesla y Westinghouse, que expusieron y defendieron la conveniencia de adoptar la corriente alterna como estándar, sobre el tipo de corriente a utilizar, se descartó la idea de desarrollar los incipientes sistemas de potencia en corriente continua, expuesta y defendida por Edison, el gigante del desarrollo de aplicaciones de la energía eléctrica de la época. Adoptado el paradigma de la corriente alterna se generaron nuevas controversias sobre la frecuencia a utilizar. Existiendo varias posibilidades como 25 Hz, 50 Hz, 60,Hz, 133.3 Hz, que eran las frecuencias propuestas por los primeros fabricantes de equipos; esta se resolvió sobre la base de la fuerza industrial de las empresas, imponiéndose la frecuencia de 60 Hz, en Estados Unidos, debido a que esta fue la adoptada por la General Electric, líder de la tecnología en ese país. Asimismo, en Europa se impuso la frecuencia de 50 Hz, adoptada por la gran empresa alemana AEG, en ese entonces líder europea en investigación y aplicaciones industriales. En muchos países del resto del mundo, incluidos los países de América Latina, se adoptaron ambos paradigmas y coexistieron hasta que por razones técnicas y económicas, fue necesario realizar transformaciones importantes para unificar las frecuencias. En América terminó siendo la frecuencia de 60 Hz la dominante, con algunos países como Argentina, Bolivia, Chile, Paraguay y Uruguay, que mantienen la frecuencia de 50 Hz como su estándar. La utilización de frecuencias diferentes dificulta la posibilidad de utilización de sistemas interconectados internacionalmente, lo cual puede ser conveniente desde el punto de vista económico para compartir fuentes de generación. Paraguay, que comparte con Brasil la Central Itaipu con capacidad instalada de 14.000 MW, requiere que la mitad de sus 20 unidades de generación opere en 60 Hz para alimentar el 25% de la carga de Brasil y la otra mitad a 50 Hz, para satisfacer el 95% de la demanda de Paraguay. En términos mucho más modestos, en todos los países el desarrollo de la energía eléctrica consistió en la instalación de pequeñas plantas aisladas generalmente utilizando máquinas a vapor alimentadas con leña, de combustión interna que consumía derivados del petróleo o por máquinas hidráulicas mediante el empleo de ruedas de paletas o pequeñas turbinas Pelton. La necesidad impuesta por el uso creciente de la energía, determinó que por razones de economía de escala, fuera necesario producir bloques de energía cada vez mayores dando origen a técnicas de dimensionamiento y localización de las estaciones de producción con alto nivel de sofisticación y eficiencia. Lo que se denominan economías de escala (rendimientos crecientes de escala) ocurre cuando el costo de producción de un único producto decrece al aumentar el número de unidades producidas. Para aplicar este concepto, primero fue necesario desarrollar las máquinas primarias que pudiesen convertir grandes bloques de energía primaria en energía mecánica, para su posterior conversión en energía eléctrica.
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La popularización del alumbrado eléctrico, de aplicaciones para calefacción y del motor de inducción para aplicaciones domesticas e industriales, propulsaron hasta niveles espectaculares el uso de la energía eléctrica lo que planteó el problema de producción a escalas equivalentes al consumo puesto que la energía eléctrica no es almacenable a niveles prácticos. Aparecieron entonces las maquinas primarias para accionar los alternadores, que ya habían sustituido a la dinamo como convertidor de energía mecánica a energía eléctrica. El desarrollo de las máquinas primarias para transformar energías naturales en energía mecánica ocurrieron en varios frentes, pero las más importantes han sido las máquinas térmicas y las máquinas hidráulicas y sin entrar por ahora en más aspectos que la cronología de los momentos históricos de sus desarrollos preliminares, tendremos. 1.3)- MÁQUINAS TÉRMICAS.
Al tratar de extraer una definición del tipo de Generación Térmica o Termoeléctrica de las publicaciones en Internet y las noticias vinculadas al sector eléctrico en Venezuela, no parece haber un acuerdo en cuanto a lo que se definen como plantas térmicas o termoeléctricas, turbo gas o Diesel, vamos a intentar la propuesta de llamar Térmicas aquellas instalaciones de generación de energía eléctrica que utilizan un combustible de cualquier tipo para generar energía mecánica mediante un ciclo térmico convencional. Reservaremos la definición de Termoeléctrica a aquellas instalaciones que utilicen vapor de agua como medio de conversión térmica en energía mecánica. La presencia de diversos tipos de máquinas térmicas aparecieron en un estrecho espacio de tiempo. Las invenciones más destacadas, por lo memos en el mundo occidental, fueron las siguientes: 1.3.1)- MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA
Motores de Pistones de 2 y 4 Tiempos, 1852 por Ettienne Lenoir patente inicial mejorado con la inclusión del ciclo de compresión por Alphonse Beau de Rochas en 1862. Motor Diesel , 1892 por Rudolf Diesel Turbina a Gas, 1873 por George Brayton, aun cuando fue a partir de 1940 cundo se inventaron compresores axiales eficientes y se produjeron los avances metalúrgicos requeridos para permitir grandes temperaturas de operación. Trabajos precursores, aunque solo como curiosidad científica se hicieron estudios experimentales por el inglés Bourding, en 1849. 1.3.2)- MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA.
Máquina de vapor, 1769 por James Watt, como mejoramiento a un artilugio inventado por Thomas Newcomen en 1712 utilizado para extraer agua de las minas de carbón. Las primeras centrales comerciales fueron Pearl Street Station en Nueva York y la Edison Electric Light Station, en Londres, que entraron en funcionamiento en 1882. Estas primeras centrales utilizaban motores de vapor de pistones. La turbina de vapor moderna, 1884 por Sir Charles Parsons, cuyo primer modelo fue conectado a una dinamo que generaba 7.5 Kw de potencia eléctrica. La invención de la turbina de vapor de Parsons permitió abaratar los costos de generación e incrementar la producción a partir de fuentes abundantes de energía primaria como el petróleo, el gas y el carbón. Su patente para Estados Unidos fue adquirida por George Westinghouse, lo cual contribuyó a que la turbina Parsons fuera adoptada por la mayoría de las centrales eléctricas del mundo, incrementándose en corto plazo el tamaño de los generadores desde sus primeros 7.5 Kw unidades de de 50 000 Kw de capacidad y actualmente se construyen unidades de hasta 50000 Kw
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Otras fuentes de calor como la energía geotérmica, la energía nuclear y hasta la energía solar se han venido utilizando como generadores de vapor para activar las turbinas acopladas a alternadores. En los últimos 25 años, una combinación de turbinas a gas y turbinas a vapor, las centrales de “Ciclo Combinado”, dominan el escenario de aplicaciones modernas de conversión de energía de combustibles líquidos de origen fósil a energía eléctrica. 1.4)- MÁQUINAS HIDRÁULICAS.
Entre las primeras máquinas para la utilización de la energía hidráulica, sin precisión cronológica, se han recopilado los siguientes datos: El siglo XVIII es el siglo de su gestación de las primeras máquinas a partir de las muy antiguas ruedas hidráulicas. El siglo XIX el de su nacimiento (en este siglo nacieron en Norteamérica las Turbinas Pelton y las Turbinas Francis). El siglo XX el de su desarrollo. A principios de este siglo aparecen las turbinas hidráulicas de gran velocidad. Y algo más preciso, 1905 - en los Estados Unidos se desarrollan turbinas hidráulicas de 7360 Kw girando a 250 rpm (turbinas Francis gemelas). 1915- creación de la Turbina Kaplan. 1918 - la turbina Banki. 1914 - la turbina Turgo. 1950 - la turbina Deriaz, 1970 - la turbina Bulbo. Indudablemente las de mayor éxito en la generación de potencia eléctrica han sido las Pelton, Francis y Kaplan. 1.5)- ESQUEMA DE UNA CENTRAL DE GENERACIÓN HIDROELÉCTRICA.
Este no es un texto de generación de energía. Los puntos tratados sobre maquinas y centros de generación solo tiene carácter informativo. Igualmente las figuras mostradas a continuación son todas bajadas de Internet, sin especificar nombres ni dirección de páginas, dado que solo tienen carácter de ilustración. Una Central de Generación Hidroeléctrica de cualquier tipo cuenta con los siguientes componentes:
1. Un lago superior alimentado por un rio que es la fuente permanente de energía, cuya función es embalsar el agua con la energía potencial que será transformada en energía mecánica primero, mediante turbinas hidráulicas las cuales a su vez, accionan los generadores de energía eléctrica.
2. Una presa normalmente de concreto para retener el agua del rio. 3. Reja de protección para evitar que entren objetos extraños que pudieran perjudicar la
operación de las máquinas. 4. Una tubería de presión que conduce el agua a las turbinas. 5. Una casa de máquinas donde están ubicadas los generadores eléctricos. 6. Las turbinas, usualmente de tres tipos básicos: Pelton, Francis o Kaplan, acopladas a los
alternadores. 7. Un dispositivo de control de velocidad mediante la regulación del caudal que entra a la
turbina. 8. Válvula de protección para el cierre del caudal.
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9. Cables de potencia que conducen la energía generada hasta la subestación eléctrica. 10. Subestación de transformación para acoplar la energía generada a las redes externas
alimentadas. 11. Un Canal de desagüe. 12. Un lago inferior que recibe las aguas turbinadas con mucho menos energía potencial.
Las figuras siguientes muestran el diagrama general de una Central y la parte superior de la casa de máquinas, la sala donde están las cubiertas de los alternadores.
Fig. 1-1 Aspecto esquemático de una Central Hidroeléctrica.
1.5.1)- TURBINA TIPO PELTON. Las figuras siguientes muestran el rodete característico de las turbinas Pelton y el contexto mecánico donde estas se insertan, destacando las instalaciones de dos toberas de inyección ubicadas al final de la tubería de presión En las turbinas Pelton usualmente aptas para pequeños caudales y grandes alturas, los chorros de de agua a gran velocidad actúan sobre los alabes o cucharas de los rodetes de manera que durante el giro, solo una cuchara es impulsada por cada chorro. Estas turbinas pueden construirse con una o varias toberas, generalmente de 1 a 6 toberas por rodete.
Fig.1- 2. Sala de generadores mostrando la cubierta de los alternadores
Fig. 4 Esquema expandido de la turbina Pelton mostrando una máquina con dos inyectores o toberas actuando sobre un rodete
Fig. 3. Rodete de turbina Pelton
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1.5.2)- TURBINA TIPO FRANCIS Este tipo de turbina se caracteriza por un rodete de alabes fijos que gira sobre el eje de potencia impulsado por la acción de flujos regulados por álabes de control ubicados sobre una espiral, de modo que permita controlar la velocidad de giro modificando el flujo proveniente de la tubería de presión.
Las turbinas tipo Francis son las de uso más extendido debido al amplio rango de utilización para condicopnes de acaudal y altura.
1.5.3) TURBINAS TIPO KAPLAN.
Tienen la apariencia de un ventilador con alabes de ángulo variable para contolar la velocidad del eje. Son turbinas utilizadas en sitios donde es posible obtener un gran caudal con alturas modestas. Las mayores turbinas tipo Kaplan hasta la fecha, de 216 Mw, estan instaladas n la central Tocoma, ubicada en el
bajo Caroní, en Venezuela. 1.6) ESQUEMA DE UNA CENTRAL DE GENERACIÓN TÉRMICA. 1.6.1)- PLANTAS DIESEL.
En los países latinoamericanos, antes del desarrollo de las grandes centrales, las poblaciones pequeñas y medianas, comenzaron a utilizar la energía eléctrica generada por plantas pequeñas que utilizaban los motores diesel como motores primarios, alimentados por un derivado líquido del petróleo, el gasoil, como combustible. En pueblos y ciudades donde podía contarse con potencial
Fig. 1-5 Rodete de turbina Francis
Fig. . 1-6 Ubicación del rodete Francis en el centro del conducto en espiral que produce las acción del agua sobre todos los alabes simultáneamente
Fig. 1-7 Rodete de turbina Kaplan Fig. 1-8 Ubicación del rodete dentro de un conjunto de generación Kaplan
Fig. 1-9 Planta Diesel del Programa Generación Distribuida de Venezuela
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hidráulico, también se aplicaron pequeñas turbinas Pelton o Francis, pero siempre operando en forma aislada. El motor diesel, ya con una tradición de más de un siglo de utilización, opera bajo el denominado ciclo Otto, que puede ser de dos o cuatro tiempos, siendo este ultimo el más generalizado. La capacidad reducida de estas máquinas ha limitado su utilización a aplicaciones de respaldo en establecimientos industriales, al ser sustituidas como fuente de generación en poblaciones medianas y pequeñas por instalaciones de distribución o transmisión conectadas a las grandes redes eléctricas de cada país. Sin embargo, a nuestro juicio de manera desacertada, en algunos países como Venezuela este tipo de plantas han venido siendo instaladas para operar en forma aislada o interconectadas a las redes de transmisión. En la gráfica se muestra una planta Diesel modelo, que opera bajo un principio que en este país se ha denominado “Generación Distribuida”.
La ventaja fundamental de este tipo de unidades, que normalmente vienen como un grupo motor generador, es rapidez y facilidad de instalación pues no requiere de grandes obras civiles porque, como puede observarse en la figura, están instaladas en módulos independientes. Por el contrario, tienen muchas desventajas como son:
o Utilizan el costoso combustible diesel (gasoil) que requiere ser almacenado en sitio y trasportado mediante camiones cisternas.
o Generan a tensión de utilización por lo cual cada unidad requiere un equipo de transformación para acoplarlo a las redes de distribución.
o Son unidades de poca capacidad por lo cual no se aprovecha el principio de economías de
escala. o Operan a velocidades altas, más de 1500 rpm, por lo cual tuenen ciclos cortos de
mantenimiento. o Frecuencia y variedad de fallas a causa de la alta velocidad de operación y la multiplicidad
de componentes mecánicos.
1.6.2)- TURBINAS DE GAS.
Como se mencionó anteriormente, sus principios de operación se conocen desde mediados del siglo XIX, aunque solo a partir de 1940, cundo el desarrollo de la tecnología de materiales e inventos funcionales de los compresores axiales, dieron paso a aplicaciones funcionales de las turbinas a gas. Estos grupos de generación turbogas, están compuestos por un compresor, una turbina de gas y un alternador dispuestos sobre el mismo eje lo que proporciona un aspecto muy compacto.
La cámara donde se produce la combustión del combustible, no necesariamente gas, a pesar de su nombre, sino casi
Fig. 1-10 Grupo motor generador Diesel, mostrando componentes básicos,: radiador, turbocompresor, motor, alternador, tableros de control
Fig. 1-11 Vista de una turbina a gas. SE ha levantado la cubierta para mostrar alabes de la compresor axial y turbina de fuerza
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cualquier combustible pulverizado usualmente se monta alrededor del eje. La gráfica superior muestra el aspecto real de una de estas unidades, sin la carcasa protectora para destacar el aspecto de compresor y turbinas. La gráfica siguiente muestra el esquema de operación simplificado, que utilizaremos para aplicaciones compartidas en instalaciones modernas. La operación de un grupo turbina generador se puede explicar de manera simplificada de la siguiente manera:
a) Aire de la atmosfera entra al compresor axial y sale hacia la cámara de combustión, a presión muy alta.
b) En la cámara de combustión se mezcla el combustible (gas, gasoil, fueloil) y se produce continuamente el encendido de la mezcla, cuyos gases de combustión salen hacia la turbina.
c) En la turbina se produce la fuerza que hace girar todo el conjunto alrededor del eje,
d) Los gases, todavía muy calientes, salen al exterior por la chimenea.
e) El alternador, conectado directamente o a través de un conjunto de engranajes produce la energía eléctrica que se entrega a la red, mediante un transformador no mostrado.
1.6.3)- TURBINA DE VAPOR.
Como se ha mencionado, hasta el presente han constituido el medio más difundido de generación de grandes bloques de energía, prácticamente desde su perfeccionamiento a principios del siglo XX. La versatilidad del tipo de combustible utilizado para la generación de calor para producir el vapor de agua, sin duda ha contribuido a su popularización. Una central termoeléctrica, como hemos convenido en llamar las instalaciones para producir energía eléctrica mediante el uso de vapor de agua en alguna parte del proceso, está constituida en una primara fase por una caldera para producirlo mediante el uso de alguna fuente de energía que eleve la temperatura del agua hasta producir vapor de alta presión. Esta
fuente de energía térmica puede ser: Un combustible convencional como carbón, derivados del petróleo o gas natural
(Termoeléctrica Convencional). Vapor proveniente de yacimientos de energía geotérmica (Planta Geotérmica). Un reactor de fusión nuclear que utilice uranio enriquecido o no (Central Nuclear). Concentración de rayos solares sobre una caldera (Central Termo solar).
Fig. 1-13 Corte de una turbina de vapor mostrando entrada de vapor, de alta y baja álabes, escape de gases de baja presión.
Fig.1-12 Esquema operacional de una turbina de gas
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La figura siguiente muestra un esquema de operación de turbinas de vapor. De manera muy resumida la operación de una turbina de vapor sigue la orientación siguiente:
o El combustible, alimenta la caldera donde circula agua desmineralizada en estado de alta pureza la cual es transformada en vapor de agua de alta presión. o El vapor de alta presión entra en la turbina y produce trabajo mecánico que al estar acoplada al eje un alternador, produce energía eléctrica que se entrega a la red mediante un transformador (no representado). o El vapor, ya turbinado, es vapor de baja presión que es conducido a un equipo de condensación para transformarlo nuevamente en líquido y llevado, mediante la acción de bombas no representadas en el esquema, nuevamente a la caldera donde el proceso se repite de manera continua. Debe observarse que el agua de proceso está en un circuito cerrado y solo debe reponerse la que, por efecto de escapes en el sistema de sellado pueda perderse. El condensador consume agua de refrigeración que puede ser agua de lagos, ríos o del mar a través de un circuito abierto que normalmente no requiere renovación. En algunos casos,
cuando no se dispone de fuentes abundantes de agua natural, la refrigeración se efectúa en torres especiales de refrigeración de baja altura y diámetro mucho mayor que las chimeneas de escape de gases y humos de combustión. 1.6.4) CENTRALES DE CICLO COMBINADO. Una turbina de gas con sus equipos asociados tiene un rendimiento del orden de 30%. Esto significa que de la energía química de los combustibles solo es transformada en energía útil un poco menos de una tercera parte. El resto se pierde sobre todo en los gases calientes que se escapan por la chimenea, que aún conservan un alto porcentaje de energía térmica.
En tiempos relativamente recientes, en los últimos 25 años, se ha desarrollado la tecnología de Centrales de Ciclo Combinado, cuyo propósito es utilizar la energía remanente en los gases de escape, haciéndolos pasar por una caldera para generar el vapor de agua que utilizaría una turbina de vapor. La figura lateral muestra el esquema simplificado de operación de una unidad de ciclo combinado. Una central de este tipo deriva
su nombre en el hecho de que
Fig. 1-14 Diagrama operacional de una turbina de vapor
Fig. 1-15 Diagrama operacional de una unidad de ciclo combinado mostrando el ciclo a gas y el ciclo a vapor
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realmente se trata de una turbina de gas, cuyos gases normalmente se desperdician, antes de ser desechados circulan por un dispositivo intercambiador de calor, donde su energía remanente se utiliza para producir el vapor que alimenta una turbina de vapor. Tanto la turbina de gas como la turbina de vapor tienen acoplados generadores y la eficiencia del grupo llega a alcanzar eficiencias superiores al 50%. 1.7)- ENERGÍA SOLAR. La energía solar disponible en muchas áreas en grandes cantidades aunque en forma no continua,
está siendo utilizada de manera creciente debido al incremento de los precios de los combustibles convencionales. Aún cuando en promedio solo se cuenta con disponibilidades de luz solar del 50%, su aprovechamiento significa una oportunidad de sustitución de combustible por energía solar que puede tener una importante significación desde el punto de vista económico. Existe tecnología muy adelantada para la conversión de la energía solar concentrándola en superficies que encierran agua para producir vapor de agua para ser utilizado en turbinas de vapor para generar energía eléctrica. Se trata en este caso de las plantas termo solares una fotografía de las cuales se muestra en la gráfica insertada al lado de este párrafo. En este caso los rayos solares que inciden sobre superficies reflectantes son dirigido a la parte superior de una torre donde se concentran y elevan la
temperatura de una caldera ubicada en este sitio de manera que puedan generar vapor suficiente para alimentar turbinas acopladas a generadores eléctricos, de manera similar a como lo hace una planta de vapor convencional. La provincia de Andalucía en España, ocupa el liderazgo en la utilización de este tipo de energía. Para resolver el problema de la disponibilidad
oscilante de la energía solar, se han ideado procedimientos de almacenamiento de energía,
mediante los dispositivos denominados almacenes térmicos, para tener posibilidad de generar vapor durante los periodos de ausencia de luz solar. La activa investigación en este campo gira en torno a la utilización sales fundidas para mantener el calor almacenado para ser utilizado durante la noche, lo cual ha permitido desarrollar plantas solares de generación permanente. Otra tecnología importante para la utilización de la energía solar, es la conversión directa de luz solar en energía eléctrica mediante la utilización de celdas solares. La figura al lado en el presente párrafo muestra un inmenso campo de celdas fotovoltaicas que demuestra el estado del arte en este tipo de aprovechamiento de la energía solar.
Fig. 1-16 Planta termo solar muestra el patio de espejos y la torre caldera
Fig. 1-17 Campo de celdas solares, parte de una central de celdas fotovoltaicas
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Los avances de la electrónica de potencia ha permitido la construcción de equipos convertidores para la conversión de la corriente continua producida por las celdas en corriente alterna que se inyecta a las redes públicas de potencia. La limitante más importante de la conversión de la energía solar en energía eléctrica, es como en el caso anterior, la periodicidad de los espacios de tiempo sin luz solar, pero con la dificultad hasta ahora de que no hay manera de almacenar ni la luz ni la electricidad en cantidades suficientemente importantes como para darle continuidad a la utilización de la energía eléctrica proveniente de esta fuente. China, Japón, Alemania y Estados Unidos son los líderes mundiales en investigación y utilización de esta forma de conversión de energía solar en energía eléctrica. 1.7) LA ENERGÍA EÓLICA. El desarrollo de la energía eólica ha crecido espectacularmente a partir de la última década del siglo pasado, siendo los líderes mundiales en investigación y aplicaciones Estados Unidos, Dinamarca, Alemania y España. Según la organización Green Peace, el desarrollo y las expectativas sobre la capacidad de las turbinas eólicas se expresan textualmente de la siguiente manera: “La potencia nominal, el diámetro del rotor y la altura media de las turbinas eólicas ha crecido a un ritmo constante a lo largo de los años. Aunque el tamaño medio de las turbinas varía sustancialmente de un país a otro, o de una región a otra, la media de las turbinas instaladas en 2011 fue de 1,76 MW comparada con una media de 1,21 MW del total de turbinas operativas en el mundo. Se espera que esta tendencia se mantenga ya que cada vez se construyen máquinas más grandes para satisfacer a la industria eólica marina. También se desarrollan turbinas más grandes y eficientes para conseguir la mayor cantidad de energía posible de los nuevos emplazamientos, así como de aquellos que se están repotenciando, donde las turbinas están llegando al final de su ciclo de vida de 20 años Igualmente, en opinión de Green Peace, los supuestos sobre el factor capacidad, son los siguientes: “El factor capacidad de una turbina eólica o un parque eólico se define como el porcentaje de la capacidad nominal de producción eléctrica que generará una turbina durante un año. La variable con mayor incidencia sobre el factor capacidad es el recurso eólico del emplazamiento, además de la eficiencia de la turbina, su idoneidad para un emplazamiento concreto, la fiabilidad de la turbina y la gestión del proyecto eólico. Por ejemplo, una turbina de 1 MW que opera al 25% del factor de capacidad producirá 2.190 MWh de electricidad a lo largo de un año. La media mundial del factor capacidad es hoy en día de alrededor del 28% pero varía mucho de región a región. Además el porcentaje en general va en aumento debido al rápido crecimiento de complejos en lugares con mucho viento como Brasil, México, el mar y otros lugares. No obstante, también se está potenciando el desarrollo de nuevas turbinas para emplazamientos nuevos con menos viento pero más cercanos a los centros de carga. Por ello, se ha dejado el factor capacidad medio mundial en 28% para el periodo que comprende hasta 2030, y se ha incrementado hasta el 30% después de esa fecha”. Igual que la energía solar y por las mismas razones, la energía natural e inagotable de los vientos está siendo a gran escala para generación de energía eléctrica. Existen varios tipos de turbinas eólicas, pero como las que tienen importancia dentro del mercado eléctrico latinoamericano son las de eje vertical y fundamentalmente con hélices de tres aspas, solo nos referiremos a este tipo en el este párrafo. Cada eolito o aerogenerador está constituido por tres partes fundamentales:
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Mástil: La estructura o soporte sobre la cual se instala el conjunto generador constituido por la góndola y las hélices. Normalmente de gran altura, alrededor de 60 metros, construidas con concreto, tubo cilíndricos de de acero o tubos troncocónicos tipo telescópico. Góndola: La unidad que encierra la parte más compleja del equipo que contiene los siguientes elementos entre otros, engranajes multiplicadores de velocidad para incrementar a niveles requeridos la
Velocidad de las máquinas de generación
Freno mecánico para controlar la velocidad de giro del rotor del generador.
Dispositivo sensor de la velocidad del viento (anemómetro)-
Eje principal a los álabes.
Eje de generación.
Equipo de control.
Motor y corona de orientación de la góndola.
Generador que en máquinas grandes suele ser una máquina sincrónica o de inducción.
Hélice: son equipos delicados donde la aerodinámica es de especial cuidado. Tiene solo dos elementos fundamentales:
Álabes principales, construidos a la manera de hélices de avión, en acero o fibra de vidrio reforzada.
Servomecanismo de control de velocidad de giro que cambia el ángulo de ataque de viento en función de su velocidad.
Las energía naturales eólicas y solar, tiene el grave inconveniente de la indisponibilidad durante la noche y épocas de poco sol, la última y por la falta de constancia en cuanto a la velocidad del viento. Por estos inconvenientes inmanejables por los operadores tanto la energía solar como la eólica, pueden formar parte de lo que se llama capacidad instalada pero pueden ser consideradas capacidad firme.
Fig. 1-18 Esquema de aerogenerador de eje horizontal
Fig. 1-19 Conjunto de aerogeneradores de eje horizontal en una granja eólica
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Para entender estos conceptos incorporamos a continuación, algunos párrafos donde se incluyen algunas definiciones de utilidad cuando interesan los conceptos relativos a operación de centrales eléctricas. Estas limitantes, sin embargo, no disminuyen las innegables ventajas de esta energía, entre las cuales están:
Son energías renovables ya que tienen su origen en procesos atmosféricos debidos a la energía que llega a la Tierra procedente del Sol.
Son energías limpia ya que no produce emisiones atmosféricas ni residuos contaminantes. No requiere una combustión que produzca dióxido de carbono (CO2), por lo que no contribuye al incremento del efecto invernadero ni al cambio climático.
Pueden instalarse en espacios no aptos para otros fines, por ejemplo en zonas desérticas, próximas a la costa, en laderas áridas y muy empinadas para ser cultivables.
La energía eólica puede convivir con otros usos del suelo, por ejemplo prados para uso ganadero o cultivos bajos como trigo, maíz, patatas, remolacha, etc.
Crea un elevado número de puestos de trabajo en las plantas de ensamblaje y las zonas de instalación.
Su instalación es rápida, entre 6 meses y un año.
Su inclusión en un sistema ínterconectado permite ahorrar combustible en las centrales térmicas y/o agua en los embalses de las centrales hidroeléctricas.
Su utilización combinada de los dos tipos de energía, eólica y solar, permite la auto-alimentación de viviendas, terminando así con la necesidad de conectarse a redes de suministro, pudiendo lograrse autonomías superiores a las 82 horas, sin alimentación desde ninguno de los 2 sistemas.
Posibilidad de construir parques eólicos en el mar, donde el viento es más fuerte, más constante y el impacto social es menor, aunque aumentan los costes de instalación y mantenimiento. Los parques offshore son una realidad en los países del norte de Europa, donde la generación eólica empieza a ser un factor bastante importante.
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1.8)- GLOSARIO DE TÉRMINOS DE INTERÉS EN EL ÁREA DE GENERACIÓN. Capacidad Instalada: Es la potencia que puede generar y entregar una central en condiciones ideales de operación. Capacidad Efectiva: Es la potencia máxima que una central puede entregar en forma continua al mercado eléctrico. Esta capacidad se determina mediante el “Factor de Planta” que a su vez depende de la capacidad de las turbinas, la ubicación de la central, la disponibilidad de insumos, entre otros factores. Capacidad Firme: Es la parte de la capacidad efectiva que corresponde a la potencia que puede ser entregada de inmediato al mercado energético con alto nivel de seguridad pues dispone con certeza de los insumos (agua, combustible, lubricantes etc.) necesarios para la generación. Factor de Planta: Es la relación entre la energía generada realmente por una central a la energía que hubiese generado operando continuamente a capacidad nominal. Los siguientes son Factores de Planta Típicos.
Parque eólico: 20-40%. Panel fotovoltaico: 10-15%. Central hidroeléctrica: 60%. Central nuclear: 60%-98%. Central termoeléctrica a carbón: 70-90%. Central de ciclo combinado: 60%
Mantenimiento: Es el conjunto de técnicas y acciones que son destinadas a conservar o restablecer equipos, dispositivos, instalaciones o edificaciones que se encuentran sujetas a acciones de mantenimiento, con la finalidad de que estos puedan cumplir con un servicio determinado de una manera eficiente y eficaz, durante el mayor tiempo posible y con el máximo rendimiento. Buscando siempre la más alta disponibilidad en los Sistemas Productivos. Reparación: Se conoce como la intervención que se le aplica a un sistema productivo en la cual se procede a la implantación de acciones como desmontaje, verificación de estado de los diferentes componentes, sustituciones, reconstrucción, entre otros; con el fin de dejarlo en condiciones normales de operación y tendiendo a su condición original. Mantenimiento Preventivo: Son el conjunto de actividades y técnica destinadas a conservar un sistema productivo con el fin de que este logre cumplir con la función para la cual fue creado de una manera eficiente y eficaz. Para esto se deben realizar estudios de fallas para ver con que regularidad se pueden presentar las mismas. Según la Norma venezolana COVENIN 3049-93 "El mantenimiento preventivo es el que utiliza todos los medios disponibles, incluso los estadísticos para determinar la frecuencia de las inspecciones, revisiones, sustitución de piezas claves, portabilidad de aparición de averías, vida útil y otras. Su objetivo es adelantarse a la aparición o predecir la presencia de las fallas.
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Mantenimiento Correctivo: A diferencia del preventivo con el conjunto de actividades y técnica destinadas a restablecer un sistema productivo con la finalidad de que este cumpla con sus funciones de manera eficiente y eficaz, tomando en cuenta que estas actividades son aplicadas cada vez que ocurre una falla. La Norma venezolana COVENIN 3049-93 establece “El mantenimiento correctivo comprende las actividades de todo tipo encaminadas a tratar de eliminar la necesidad de mantenimiento corrigiendo las fallas de una manera integral a mediano plazo: las acciones más comunes que se realizan son: modificación de elementos de maquinas, modificación de alternativas de procesos, cambios de especificaciones, ampliaciones, revisión de elementos básicos del mantenimiento y conservación". Este tipo de actividades deben ser realizadas por personal calificado y que pertenezcan a la organización de mantenimiento. Este tipo de intervenciones deben ser programadas con el fin de evitar pérdidas innecesarias. Mantenimiento Predictivo: Consiste en determinar en todo instante la condición técnica (mecánica y eléctrica) real de la máquina examinada, mientras esta se encuentre en pleno funcionamiento, para ello se hace uso de un programa sistemático de mediciones de los parámetros más importantes del equipo. El sustento tecnológico de este mantenimiento consiste en la aplicaciones de algoritmos matemáticos agregados a las operaciones de diagnóstico, que juntos pueden brindar información referente a las condiciones del equipo. Tiene como objetivo disminuir las paradas por mantenimientos preventivos, y de esta manera minimizar los costos por mantenimiento y por no producción. La implementación de este tipo de métodos requiere de inversión en equipos, en instrumentos, y en contratación de personal calificado. Técnicas utilizadas para la estimación del mantenimiento predictivo: Disponibilidad: Es la probabilidad de que un equipo se operable durante un periodo de tiempo dado. Confiabilidad: Es la probabilidad de que un equipo no falle durante un tiempo determinado en condiciones de operaciones establecidas. Esta también es conocida como la probabilidad de supervivencia. Mantenibilidad: Es la probabilidad de que un equipo pueda ser puesto o reparado a su condición operativa en un periodo de tiempo dado, cuando el mantenimiento es ejecutado de acuerdo con procedimientos preestablecidos Factor de servicio: Es la fracción de tiempo que el equipo presta servicio confiable sobre el total de horas que el equipo es requerido. Factor de disponibilidad: Es la fracción de tiempo que el equipo está disponible en el periodo calendario descontando los paros programados de mantenimiento.
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Consumo de Electricidad po País en TWH (Año 2012)
China 4693 EE-UU 3741 Japón 860 Rusia 858 India 601 Canadá 550 Alemania 545 Francia 461 Brasil 456 Sur Corea 455 Inglaterra 345 Italia 310 España 268 Australia 225 Taiwán 221 Sudáfrica 212 Irán 207 México 182 Arabia 175 Turquía 161 Ucrania 135 Polonia 132 Suecia 132 Tailandia 132 Indonesia 126 Noruega 116 Países Bajos 113 Egipto 109 Argentina 105 Vietnam 101 Malasia 94 Kazajistán 88 Venezuela 86 Bélgica 85 Finlandia 83 Pakistán 74 Emiratos 71 Austria 66 Grecia 60 Rep. Checa 59 Suiza 58 Chile 56 Iraq 56 Filipinas 54 Rumania 51 Portugal 48 Israel 47 Hong Kong 43 Kuwait 43 Hungría 43 Singapur 41 Uzbekistán 40 N. Zelanda 39 Colombia 39 Serbia 36 Perú 34 Dinamarca 32 Bielorrusia 31 Argelia 31 Siria 29 Eslovaquia 29 Bulgaria 28 Irlanda 26 Bangladesh 24 Libia 23 Marruecos 21 Puerto Rico 19 Croacia 19 Corea Norte 19 Azerbaiyán 19 Qatar 19 Nigeria 18 Tayikistán 17 Islandia 16 Ecuador 15 Eslovenia 15 Cuba 14 Omán 13 Turkmenistán 13 Dominicana 13 Túnez 12 Zimbabue 12 Jordania 11 Bosnia 11 Bahráin 10 Lituania 10 Mozambique 10 Líbano 10 Sri Lanka 9 Georgia 9 Macedonia 9 Paraguay 9 Costa Rica 8 Guatemala 8 Uruguay 8 Zambia 8 Kirguizistán 7 Estonia 7 Trinidad 7 Albania 7 Honduras 7 Luxemburgo 6 Jamaica 6 Bolivia 6 Letonia 6 Ghana 6 El Congo 6 Panamá 6 Armenia 6 El Salvador 6 Kenia 6 Camerún 5 Nepal 5 Yemen 5 Myanmar 5 Moldavia 4 Montenegro 4 Namibia 4 Sudán 4 Macao 4 C.de Marfil 4 Tanzania 3 Mongolia 3 Angola 3 Etiopía 3 Brunéi 3 Botsuana 3 Papúa 3 Nicaragua 3 Mauricio 2 Laos 2 Malta 2 Uganda 2 Bahamas 2 Senegal 2 NCaledonia 2 Gabón 2 Camboya 2 Malaui 2 Surinam 1 Suazilandia 1 Madagascar 1 Barbados 1 Fiyi 1 Guinea 1 Guyana 1 Burkina Faso 1 Togo 1 Benín 1 Níger 1 Andorra 1 Islas Caimán 1 Congo 1 Mauritania 1 Malí 0 Liberia 0 Haití 0 Santa Lucía 0 Somalia 0 Burundi 0 Yibuti 0 Seychelles 0 Groenlandia 0 Cabo Verde 0 Ruanda 0
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CAPITULO 2.
TECNOLOGÍA DE LOS CONDUCTORES ELÉCTRICOS
2-0 INTRODUCCIÓN .
Al disponer de energía eléctrica abundante, es necesario su transporte hasta los centros
de consumo y ya en estos, distribuirlas a las agrupaciones de consumidores los cuales
deben a su vez, hacerla disponible a cada artefacto o equipo que funciones con energía
eléctrica.
A comienzo de la historia de la industria eléctrica, solo se requería producir la energía y
entregarla a los usuarios ubicados en la cercanía. Poco importante era mantener los
niveles de tensión en rangos estrechos.
Rápidamente esta situación cambió y en la actualidad parece trivial hablar de exigencias
de capacidad de transporte, constancia de suministro, regularidad de los niveles de
tensión entre otros conceptos. Términos como calidad de servicio, tasa de fallas,
confiabilidad son de uso corriente no solo de los especializados en los temas eléctricos
sino del público consumidor en general.
Es claro entonces que la energía requiere transmitirse obviamente mediante instalaciones
para transportarla: Las líneas de transmisión.
Una línea de transmisión está compuesta por algunos elementos fundamentales entre
otros: el conductor, los soportes, el aislamiento, los herrajes, las protecciones contra
sobretensiones etc.
En el presente capitulo nos referiremos al conductor, destacando materiales utilizados en
su construcción, tecnología de fabricación, normalización de sus características etc.
El conductor es el componente que justifica la existencia de la línea, en realidad toda línea
se construye para sostenerlo, siendo por consiguiente la decisión más importante en la
fase de proyecto de una línea de transmisión, la elección acertada del conductor.
Otras variables son también muy importantes en la elaboración de un proyecto como son,
la tensión de operación, la energía y potencia a transportar, el aislamiento como función
de la tensión y de las características ambientales, etc.
Las características eléctricas y mecánicas del conductor influyen en la capacidad de
transporte, en el diseño de las torres y en su ubicación en el terreno. Puede suponerse
que existe una familia de conductores que satisfacen técnicamente la relación existente
entre energía a transmitir y conductor, pero solo uno una estrecha banda de tipos y
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tamaños de conductor son los más adecuados para satisfacer las condiciones optimas
para el diseño de la línea de transmisión. Y como toda solución de ingeniería es un
compromiso entre comportamiento técnico y aspectos económicos, debe tenerse
presente que la correcta elección del conductor es proporcional al costo de la energía que
la línea transmitirá.
2-1 MATERIALES UTILIZADOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE MEDIOS DE TRANSPORTE.
Como la función fundamental del conductor es transmitir energía con la mayor economía
posible, es evidente que la conductividad es la característica fundamental del material a
utilizar en su fabricación, de manera que pueda realizar la conducción de corriente con la
mayor eficiencia.
Los metales utilizados en la construcción de líneas aéreas deben poseer tres características principales: baja resistencia eléctrica, elevada resistencia mecánica para resistir los esfuerzos permanentes o accidentales, y bajo costo.
Los metales que satisfacen estas condiciones son relativamente escasos: cobre, aluminio, aleaciones de aluminio y combinación de materiales (aluminio-acero, aluminio-fibra de carbono, etc.) Conviene para cada caso particular investigar el metal más ventajoso, teniendo en cuenta las características físicas, químicas y económicas. La tabla 2-1 siguiente muestra la conductividad a 20°C de los materiales metálicos más
comunes y en la tabla 2-2. La resistividad que comúnmente se les considera conductores
en sistemas de puesta a tierra.
Tabla 2-1. Resistividad de Materiales
MATERIAL RESISTIVIDAD en ΩM a 20°C
Plata 0.0160 *10 -6
Cobre (99.95%) 0.0175 *10 -6
Oro 0.0220 *10 -6
Aluminio 0.0270 *10 -6
Tungsteno 0.0550 *10 -6
Bronce (CuZn37) 0.0645 *10 -6
Hierro 0.1000 *10-6
Acero Inoxidable 0.1000 *10 -6
Plomo 0.2080 *10 -6
Alambre (CuNi44Mnl ) 0.4900 *10-6
Carbón, Grafito 40.0000 * l 0 -6
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Tabla 2-2. Resistividad de materiales “conductores”en sistemas de puesta a tierra
MATERIAL RESISTIVIDAD en ΩM a 20°C
Agua de mar 0.1 a 1
Agua desmineralizada 2000 a 100000
Hielo 10000 a 100000
Tierra de jardín 5 a 50
Suelo poroso 30 a 100
Concreto húmedo 30 a 100
Concreto seco 2000 a 10000
Arena 200 a 2500
Grava, Piedra picada 2000 a 3000
Cuarcita 300 a 1000
Roca 1000 a 10000
La plata (Ag) es el material mejor conductor seguido por el cobre (Cu) y el oro. El aluminio
ocupa el cuarto lugar en esta tabla clasificatoria, 164% mas resistividad que el cobre y con
la mitad de la resistividad del material que le sigue, el wolframio.
Por razones de costo, la plata y el oro no pueden considerarse para ser utilizados como
conductores más que en aplicaciones muy especiales. Entonces solo el cobre y el aluminio
tienen la opción única de considerarse como conductores en aplicaciones de transporte
de energía
2-1.1 COBRE
Elemento químico monovalente, su símbolo químico es Cu de número atómico 29 y peso
atómico 8.89. Es un metal sumamente dúctil y maleable de un color rojizo pardo brillante,
y uno de los mejores conductores del calor y la electricidad. Muy dúctil y maleable por lo
que se puede transformar en hilos muy finos y láminas muy delgadas.
Existe abundantemente en la naturaleza, tanto en el estado nativo como en forma de
diversos minerales constituidos por óxidos y sulfuros.
2-1.1.1 METALURGIA DEL COBRE.
En el beneficio del cobre se siguen dos procedimientos de acuerdo a su composición
mineral. Los que contienen cobre nativo o en forma de sulfuros se someten al proceso de
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la fundición. Los óxidos se disuelven mediante reactivos adecuados, para recuperar
después el cobre por precipitación y refinación.
El mineral de cobre se funde dos veces, la primera tiene por objeto obtener la mata de
cobre, una mezcla de sulfuros de cobre y hierro. Esta operación se realiza en hornos de
reverbero y la segunda tiene por objeto afinar la mata separando el cobre del azufre y el
hierro; esto se consigue fundiéndola en un horno convertidor en presencia de una
corriente de aire constante. El azufre se escapa en forma de SO2 y el hierro se convierte en
óxido que se elimina en la escoria. El producto se conoce como cobre negro (Blister).
Finalmente, el cobre negro (Blister), se somete a la refinación electrolítica que se efectúa
haciendo pasar una corriente eléctrica por una solución acidulada (Sulfato de Cobre
CuSO4). El ánodo lo constituye el cobre que se desea refinar y para el cátodo se utiliza
cobre puro. El cobre electrolítico suele poseer una pureza que fluctúa entre 99.92 y 99.96
por ciento y la mínima requerida para la fabricación de conductores eléctricos es de 99.9
por ciento.
El tipo de cobre que se utiliza en la fabricación de conductores es cobre electrolítico de
alta pureza. Se obtiene electrolíticamente por refinado: un electrodo de cobre hace de
cátodo y un electrodo de cobre con impurezas hace de ánodo; el cobre electrolítico se
deposita cobre el cátodo.
Las características del cobre electrolítico coinciden, casi exactamente con las del cobre
puro, ya que el contenido mínimo de cobre ha de ser de 99.9 %.
Cuando un conductor está destinado a líneas aéreas, debe ser capaz de satisfacer las exigencias mecánicas a las que estará sometido una vez tendido. Las mismas son del resultado de la acción de su propio peso y de los agentes mecánicos exteriores (tensión mecánica, viento, hielo, etc.). De ahí que el conocimiento de su carga de rotura total a la tracción sea imprescindible. Con el objeto de aumentar en todo lo posible la resistencia a la tracción, el material deberá estar al estado puro y su característica metalográfica básica será por cristales o granos pequeños. Ello acarrea la disminución de su conductividad eléctrica, la cual desciende mas cuanto mayor sea el grado de dureza obtenido. En la práctica se han definido sólo los estados extremos, y es así que se utilizan dos tipos de cobres, según sea destinado a líneas aéreas (cobre duro), o a usos internos (cobre blando recocido, en el que es crítico el conocimiento de su conductividad.) El cobre electrolítico se presenta en los siguientes grados de dureza o temple:
Cobre duro. El cobre estirado en frió adquiere dureza y resistencia mecánica, aunque a
expensas de su ductilidad y maleabilidad. El cobre duro tiene una resistencia a la rotura de
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35 a 47 [Kg/mm2] y por sus buenas propiedades mecánicas se emplea en la fabricación de
conductores de líneas eléctricas aéreas, donde han de estar sometidos a esfuerzos
mecánicos elevados. Este tipo de cobre no es muy empleado en instalaciones interiores,
debido a que por su poca flexibilidad se manipula con dificultad.
Cobre semiduro. Cuando el cobre duro se somete a un tratamiento térmico en un horno
durante un periodo de alrededor de 12 horas, se transforma en cobre semiduro el cual
tiene una resistencia a la rotura de 28 a 34 [Kg /mm2 y no es tan dúctil ni maleable como
el cobre recocido.
Cobre recocido. El cobre recocido llamado también cobre blando, resulta cuando se
prolonga el periodo del tratamiento térmico por 12 horas más, disminuyendo su
resistencia a la rotura de 22 a 28 [Kg/mm2]. El cobre recocido a 20° C de temperatura ha
sido adoptado como cobre-tipo para las transacciones comerciales en todo el mundo. El
cobre recocido es dúctil, flexible y se utiliza, sobre todo, para la fabricación de
conductores eléctricos que no hayan de estar sometidos a grandes esfuerzos mecánicos,
particularmente para la fabricación de conductores para edificaciones o de uso industrial
colocado en canalizaciones.
2.1.1.2 ALEACIONES DE COBRE
Son soluciones sólidas de cobre con metales tales como el manganeso, el níquel, el zinc, el
estaño, el aluminio, etc., en cantidad moderadas endurecen el cobre y disminuyen su
ductilidad, pero mejoran sus condiciones de laminado y de trabajo mecánico.
De una forma general se puede decir que las aleaciones de cobre mejoran algunas de las propiedades mecánicas o térmicas del cobre puro, en sacrificio de las propiedades eléctricas. Las aleaciones de cobre más utilizadas son las siguientes: Latones.
Los latones son aleaciones de cobre y zinc con un 50 % de este último metal como
máximo, ya que a partir de dicho porcentaje, las aleaciones resultan frágiles. La
conductividad eléctrica es relativamente baja, por lo que su empleo no es tan extendido
Bronces-
Los bronces son aleaciones de cobre y estaño. Pero actualmente las aleaciones dejaron de
ser binarias para pasar a ser ternarias, introduciendo un tercer elemento, además del
cobre y el estaño, como fósforo, silicio, manganeso, zinc, cadmio, aluminio; según el tercer
elemento es el nombre del bronce, por ejemplo: bronce fosforoso, bronce silicoso, etc.
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2-1.2 ALUMINIO.
Es un material blanco brillante, que pulido semeja a la plata, cuyo símbolo químico es Al,
de número atómico 13 y peso atómico 2.705. El aluminio es uno de los principales
componentes de la corteza terrestre conocida, de la cual forma parte en una proporción
del 8,13%, superior a la del hierro, que se supone es de un 5%, y solamente superada
entre los metales por el silicio (26,5%).
El aluminio no se encuentra puro en la naturaleza, sino formando parte de los minerales,
de los cuales los más importantes son las bauxitas, que están formadas por un 62-65% de
alúmina (Al2O3), hasta un 28% de óxido de hierro (Fe2O3), 12-30% de agua de hidratación
(H2O) y hasta un 8% de sílice (SiO2).
2 1.2.1 METALURGIA DEL ALUMINIO
La obtención del aluminio se realiza en dos fases:
1. Separación de la alúmina (Al2O3) de las bauxitas por el procedimiento Bayer, que
comprende las siguientes operaciones: Se calientan las bauxitas para deshidratarlas, una
vez molidas; se atacan a continuación con solución de sosa en caliente y a presión para
formar aluminato sódico (Na2O+Al2O3), que se separa del resto de los componentes de la
bauxita; después, bajo la influencia de una pequeña cantidad de alúmina que inicia la
reacción, se hidroliza el aluminato de sodio, quedando alúmina hidratada e hidróxido de
sodio; y por fin, se calcina la alúmina hidratada a 1.200ºC, con lo que queda preparada
para la fase siguiente.
2. Reducción de la alúmina disuelta en un baño de criolita (Na3F6AI), y con cierta cantidad
de fundente, por electrólisis con electrodos de carbón, conocido como procedimiento
Hall-Hérault.
Para obtener una tonelada de aluminio son necesarias 4 Tm. de bauxita, 80 Kg. de criolita,
600 kg de electrodos de carbón y 22.000 Kwh. La metalurgia de aluminio es, por tanto,
esencialmente electrolítica.
2 1.2.2 PROPIEDADES FÍSICAS DEL ALUMINIO.
El aluminio es un metal blanco brillante, que pulido semeja a la plata. Cristaliza en red
cúbica centrada en las caras (FCC). Su peso específico es igual a 2,699, es decir, casi 1/3
del hierro (7,87). El único metal industrial más ligero que el aluminio es el magnesio, de
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peso específico 1,74. Su conductividad eléctrica es un 60% de la del cobre y 3,5 veces
mayor que la del hierro. Su punto de fusión es 660ºC y el de ebullición 2.450ºC. Este punto
de fusión relativamente bajo, unido a su punto de ebullición bastante alto facilita su fusión
y moldeo.
2 1.2.2 PROPIEDADES DEL ALUMINIO.
La propiedad química más destacada del aluminio es su gran afinidad con el oxígeno, por
lo que se emplea entre otras cosas, para la desoxidación de los baños de acero, para la
soldadura alumino-térmica (Al + Fe2O3), para la fabricación de explosivos, etc.
A pesar de esto, y aunque parezca un contrasentido, el aluminio es completamente
inalterable en el aire, pues se recubre de una delgada capa de óxido, de algunas
centésimas de micra, que protege el resto de la masa de la oxidación.
Debido a esta película protectora, resiste también a la acción del vapor de agua, el ataque
nítrico concentrado y muchos otros compuestos químicos. En cambio, es atacado por el
ácido sulfúrico, el clorhídrico, el nítrico diluido y las soluciones salinas
2 1.2.3 PROPIEDADES MECÁNICAS DEL ALUMINIO.
Las propiedades mecánicas del aluminio son más interesantes son su débil resistencia
mecánica, y su gran ductilidad y maleabilidad, que permite forjarlo, trefilarlo en hilos
delgadísimos y laminarlo en láminas o panes tan finos como los del oro, hasta de un
espesor de 0,0004 mm (0,4 micras). A la temperatura de 500ºC se vuelve frágil y se puede
pulverizar fácilmente.
2 1.2.3 ALEACIONES DE ALUMINIO.
Es fácil suponer que existe una gran variedad de aleaciones de aluminio para usos
generales, pero para la utilización como conductores para líneas aéreas, solo existe una
pequeña gama entre las cuales, las más antiguas, Almelec de origen francés y Aldrey de
origen suizo, prácticamente no se utilizan en América Latina. La aleación conocida como
1350 es prácticamente aluminio puro al 99.5%, conductividad del 61% es muy utilizada en
líneas aéreas cuando el vano (distancia entre soportes), no es muy largo, lo cual es
característico de líneas de distribución en baja tensión. Para líneas de vanos mayores se
utilizan aleaciones con pequeñas cantidades de magnesio, manganeso o zinc, la 6201, de
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origen canadiense conocida en América como Arvidal con una conductividad del 60% y
una lata resistencia a la tracción.
Tabla 2.3. PROPIEDADES FÍSICAS DE METALES A 20°C
COBRE
ALUMINIO 1350-EC
ACERO
Número Atómico. 29 13 ---------
Peso Especifico gr/cm3 8.89 2.705 7.8
Coeficiente de Temperatura por °C 0.00393 0.00403 0.005 6
Conductividad Eléctrica (I.A.C.S.) en % 100 61 ---------
Conductividad Térmica. cal/cm3 0.93 0.52 0.11
Temperatura de Fusión °C 1 083 660 1 400
Coeficiente de Dilatación Lineal por °C. 16.22 x 10-6 23.0 x 10-6 11.5 x 10-6
Calor Especifico cal/gr/°C. 0.091 8 0.2259 0.107
Resistividad ohm.mm2/m (temple blando) 0.017241 0.028265 ---------
Tensión Ruptura temple duro kg/cm2 3870 1820 ---------
Tensión Ruptura temple blando kg/cm2 2250 845 ---------
Modulo de Elasticidad kg/mm2 12000 7020 20300
Resistencia al Corte. kg/cm2 1750 665 ---------
Resistencia Límite de Fluencia kg/cm2 560 350 ---------
En la tabla anterior se ha incorporado el acero por el uso como refuerzo del aluminio en algunos
conductores. Los parámetros en negrita son los más utilizados.
2-2 TECNOLOGÍA DE CONDUCTORES.
Para introducirnos un poco a la tecnología de de los conductores, empezaremos por la
definición de algunos términos, los tamaños de los conductores, los métodos de
fabricación y la agrupación de conductores.
Obviamente esta es una introducción muy superficial de estos extensos temas, que solo
tienen la intención de suministrar información útil a ingenieros y técnicos que se dedican a
diseñar, construir y mantener instalaciones de transporte de energía eléctrica. Existe una
extensa literatura en textos y artículos en Internet que contienen suficiente información
que pueda ser requerida para profundizar en el tema.
29
2-2.1 TERMINOLOGÍA DE LOS CONDUCTORES.
Definiremos a a continuación algunos términos utilizados en la tecnología de conductores
y que no suelen ser aplicados como parte del lenguaje común.
Alambre. Es un filamento laminado o extruido con una longitud mucho mayor a su sección
transversal.
Cable. Un conjunto de alambres reunidos de manera organizada, trenzados entre sí.
Conductor. Un alambre o cable adecuado para transmitir energía eléctrica.
Hilo. Uno de los alambres de cualquier cable.
Mil. Dado que la casi todos los conductores eléctricos tienen sección transversal
circular, los primeros fabricantes definieron una unidad de longitud denominada “mil”,
que equivale a una milésima de pulgada para mediar el diámetro de alambres
Circular mil (cmil). Término universalmente aceptado para definir secciones circulares y es
el área de un círculo de un mil de diámetro, por consiguiente 1 mm2 equivale a 1974 cmil.
Al circular mil se le diseño un múltiplo el MCM, que en los últimos tiempos se transformó
en Kcmil con aceptación aparentemente universal, equivalente a 1000 cmil.
2-2.2 CALIBRES DE CABLE.
Es un hecho establecido la necesidad de normalización en las ejecuciones de Ingeniería.
Al comienzo de la industria también en cuanto al tamaño de conductores, existía la
anarquía debida al desacuerdo entre fabricantes. Las normas para calibres de alambres
mas conocidos son:
o Calibre americano para alambres. o Calibre de escala milimétrica. o Calibre Birminghan de alambres. o Calibre alemán de alambres.
De los cuales nos detendremos en las dos primeras normas solamente.
2-2.2.1 CALIBRE AMERICANO PARA ALAMBRES.
La "American Wire Gauge" o “AWG”, también conocida como la "Brown and Sharpe
Gauge", fue ideada en 1857 por J.R. Brown. Esta escala de calibres, así como algunas otras
30
de las escalas usadas, tiene la propiedad de que sus dimensiones representan con
aproximación los pasos sucesivos del proceso de estirado del alambre.
A diferencia de otras escalas, los calibres del "American Wire Gauge" no se han escogido
arbitrariamente, sino que están relacionados por una ley matemática. La escala se formó
fijando dos diámetros y estableciendo una ley de progresión geométrica para diámetros
intermedios. Los diámetros base seleccionados son 0.4600 pulgadas (calibre 4/0) y 0.0050
pulgadas (calibre 36), existiendo 39 dimensiones entre estos dos. Por lo tanto, la razón
entre un diámetro cualquiera y el diámetro siguiente en la escala está dada por la
expresión:
K =
que tal vez por casualidad se parece a
=1.122462.
Imaginando un poco la lógica de construcción de esta escala, supondremos que el primer
número de la escala fue el Nro. 0, cuando la tecnología exigió calibres mayores se
continuó con 00, 000, 0000 que luego de llamarón 2/0, 3/0, 4/0. Probablemente se
avizoraron problemas con la prolongación de esta sintaxis y no se continuó con la
denominación, sustituyéndola por un calibre dado por la sección del conductor siguiendo
con calibres 266.6, 336.4, 4233.9.
Por criterios técnicos y de mercadeo estos calibres siguientes al 4/0 AWG, se sustituyeron
por calibres “redondeados” 250 MCM, 300 MCM, 350 MCM etc., que en la actualidad son
250 Kcmil, 300 Kcmil, 350 Kcmil etc.
La escala AWG entonces quedó limitada por el 4/0 AWG por encima y los calibres mas
delgados, solo por la tecnología de estirado.
La relación de los diámetros de conductores de calibres consecutivos es el número dado,
adoptándose por razones de facilidad para recordar k= 1.123 mientras que la relación de
las áreas es de 1.1232 = 1.26.
Haciendo uso de estas relaciones y conociendo un calibre básico, por ejemplo el 4/0 AWG
del conductor de cobre, podemos calcular diámetro, áreas, peso, resistencia a corriente
continua, etc. para toda la escala AWG, usando una calculadora sencilla, fácilmente
disponible en campo.
Como ejemplo nos adelantaremos a los comentarios sobre tablas. Los datos del conductor
alambre de cobre 4/0 AWG son
31
Diámetro = 11.68 mm
Área en mm2 = 107.2 mm2
Área en cmil = 211.6 cmil
Peso = 972 Kg/Km
Resistencia = 0.164 Ω/Km
Determinar datos del conductor Nro. 4 AWG, conociendo los del 4/0 AWG.
Número de pasos (3/0, 2/0, 1/0, 1, 2, 3, 4) son 7 pasos.
d4 = (d4/0)/1.1237 = 11.68/1.1237 = 5.2 mm
A4 = A4/0/1.267 = 107.2/1.267 = 21.26 mm2
P4 = P4/0/1.267 = 972/1.267 = 192.78 Kg/Km
R4 = R4/0*1.267 = 0.164*1.267 = 0.83 Ω/Km
Existen una serie de reglas útiles que deben recordarse, aplicables a la escala de calibres
AWG:
El incremento de 3 números en el calibre (por ejemplo del 10 al 7) duplica el área y el peso
unitario; por lo tanto, reduce a la mitad la resistencia por unidad de longituda la corriente
directa.
El incremento en 6 números de calibre (por ejemplo del 10 al 4) duplica el diámetro.
El incremento en 10 números de calibre (por ejemplo del 10 al 1 /O) multiplica área y peso
por 10 y divide entre 10 la resistencia.
2-2.2.2 ESCALA MILIMÉTRICA
Conocida como (INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMMISSION – IEC) es la más
usada en la actualidad, excepto como hemos indicado, en países como Estados Unidos y la
mayor parte de los latinoamericanos. En sí, la escala consiste en proporcionar la medida
directa de las áreas transversales de los conductores, en milímetros redondeados.
32
2-3 FABRICACIÓN DE LOS CONDUCTORES.
De manera muy simplificada, para información de personal de transmisión y distribución
de energía eléctrica, intentaremos en una página resumir el proceso de producción de
conductores eléctricos.
El proceso de fabricación de conductores consiste en la transformación de la materia
prima, cobre o aluminio, en alambres primero y cables, según sea el uso a que se
destinará el producto final.
El material ingresa a las factorías como alambrón, un alambre producido por extrusión de
calibre 4/0 AWG aproximadamente, donde después de un proceso de limpieza y decapado
entre otros procesos previos, se inicia la fase de conversión en alambre mediante el
estiramiento progresivo en una máquina
denominada trefiladora cuya
funcionamiento esquemáticamente se
presenta en la figura lateral izquierda.
El denominado tambor suplidor entrega al
proceso el alambre original a bajo la
tracción producida por un tambor con
velocidad controlada haciéndolo pasar por
el orificio cónico de uno o varios dados de material endurecido de manera que el radio.
Este estiramiento modifica la estructura cristalográfica del alambre por lo cual hay que
hacerlo pasar por un tratamiento térmico para convertirlo en material de estructura
amorfa, blando con las características de dureza y conductividad eléctrica que requiera el
conductor final.
Si el producto requerido es un cable, una maquina denominada “cableadora” reúne los
alambres disponiéndolos en capas concéntricas helicoidales. Estos cables suelen estar
constituidos por 7, 19, 37, etc. Hilos.
Luego de un proceso intermedio de control de calidad donde se comprueban lps
requerimientos según normas
internacionales o particulares de cada
usuario, el producto estaría listo para su
empaquetamiento en carretes de
longitudes estandarizadas, si está
destinado a ser utilizado en la
Fig. 2-1 Esquema del Proceso de trefilado
Fig.2.2 Aspecto de una cableadora con guías y dado de unión
33
construcción de líneas aéreas. . Si se trata de un conductor para uso en canalizaciones u
otra forma de uso interior, es sometido al proceso de colocación del aislamiento
mediante la extrusión del material aislante sobre los conductores. Con la identificación del
producto, el empaquetamiento en carretes y el control de calidad final, el proceso
quedaría prácticamente terminado.
2-3.1 NÚMERO DE ALAMBRES DE UN CABLE ESTÁNDAR.
Naturalmente, si consideraciones de costo no son importantes, un cable puede fabricarse
con cualquier número de alambres. Pero los fabricantes siguen normas de fabricación
para simplificar y estandarizar sus procesos productivos, y uno de estos estándares es el
número de alambres por cada calibre de cable construido, el cual está dado en este caso
por la siguiente fórmula:
N = 3n(n+1)+1 ec. 2.1
Donde N es el número total de alambres
n es el número de capas concéntricas. El hilo central no se cuenta como capa.
Aplicando esta fórmula podemos construir la tabla siguiente:
Tabla 2.4
Número de Capas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de Hilos 7 19 37 61 91 127 169 216 271
Todos los alambres de un cable forman hélice alrededor del eje central, invirtiéndose en
cada cambio de capa, el sentido de giro de la hélice para mantener la estabilidad
dimensional del conjunto, pues cuando este
se somete a torsión, las capas que tienen un
sentido tienden a aflojarse mientras que las
que tiene sentido contrario, se aprietan.
El peso y la resistencia del conductor se
incrementan ligeramente a causa de estas hélices. Aunque la variación del peso y la
Fig. 2.3 Cable de cobre o de aluminio formado 4 capas. Nótese el sentido de las hélices que se alternan con las capas.
34
resistencia del conductor varían con el número de capas , se puede estimar con precisión
suficiente que el incremento sobre el peso y la resistencia es del 2% mayor que un
alambre del mismo calibre que el cable considerado.
El paso es la longitud axial de una vuelta completa d cada alambre alrededor del eje. Las
normas de fabricación establecen la magnitud del paso, pero para los conductores
estándar un valor representativo es 13.5 veces el diámetro externo de cada capa ce
alambres.
2-3.2 RESISTENCIA DE LOS CONDUCTORES ELÉCTRICOS.
Desde muy temprano en la educación orientada a términos eléctricos de los lectores a los
cuales va orientado este texto, conocemos que la resistencia en ohm de un conductor esta
expresado por la ecuación siguiente:
R =
en ohm.
Donde:
= resistividad del material expresada en Ωmm2/m.
L = Longitud del conductor en metros.
A= Sección transversal del conductor en milímetros cuadrados.
Si el material con la que se ha fabricado el conductor es cobre blando y la temperatura es
20 °C., 0.017241 =
Ωmm2/m.
Si el conductor es aluminio 1350 (o grado EC), asumiendo la misma temperatura, la
resistividad será
=
= 0.28264 Ωmm2/m.
2-3.3 VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA CON LA TEMPERATURA.
También desde muy temprano tenemos conocimiento del efecto de la temperatura sobre
la resistencia del conductor, donde resistencia y temperatura están relacionadas por la
ecuación lineal siguiente:
=
35
Siendo
resistencia requerida para una temperatura t.
coeficiente de temperatura para el cobre a 20°C = 0.00393 (de la tabla 2.3)
resistencia por unidad de longitud a 20 °C.
temperatura para la cual se tiene la información, 20 °C.
Si queremos encontrar el valor de la temperatura para el cual la resistencia sea igual a
cero ohm, a este valor lo llamaremos cero absoluto inferido o simplemente “cero
inferido”.
ó =0
→ t = -
= 20-
=20 – 254.453≈-234.5 °C.
Este valor es entonces el “cero inferido” para el cobre. De igual manera se obtiene el cero
inferido para el aluminio igual a 228.
La figura siguiente muestra esquemáticamente la variación de la resistencia como función
de la temperatura. En el punto 0° K, la
resistencia es 0, pero a la temperatura
T0, la prolongación la línea intercepta el
eje de las temperaturas, y define la
temperatura que hemos llamado “cero
inferido”. De la figura 2.3 se pueden
establecer las siguientes relaciones
→
ec.2.2
Como ejemplo consideremos el conductor 4/0 AWG de cobre, cuya resistencia 20°C es
de 0.164 ohm/Km y deseamos calcular la resistencia a 50°C.
Fig. 2.3 Variación de la resistencia con la temperatura
36
R50 = R20*
64* 8 Ω/Km
Suponiendo que el conductor del mismo calibre es de aluminio, a 20°C tendrá una
resistencia por unidad de longitud de 0164/0.61 =0.269 Ω/Km
R50 = R20*
6 * Ω/Km
2-3.4 SELECCIÓN DEL CONDUCTOR POR RAZONES DE COSTOS DEL MATERIAL.
El precio de los metales es una variable muy volátil, pero para establecer comparaciones
de costo es necesario tener la información lo mas actualizada posible. A mediados del mes
de marzo, la información extraída de uno de los muchos portales especializados se obtuvo
el precio del cobre de 6690 $/ton y del aluminio 1915 $/ton, es decir 6.69 $/Kg y 1.915
$/Kg para el cobre y el aluminio, respectivamente.
De la tabla 2-3 se tiene la densidad del cobre 8.9 y la del aluminio 2.7 kg/dm3.
Para formular el problema llamaremos CLc y CLa el costo de una unidad de longitud de la
línea en cobre y en aluminio respectivamente. Y Sc, Cc, Pc, ρc la sección, el costo por kg, el
peso y la resistividad del cobre y similarmente para el aluminio Sa, Ca , Pa y ρa, con la
condición de que la resistencia de la línea construida con cobre o con aluminio sean
iguales.
R =
=
de donde se tiene
la relación de las áreas
=
=
Relación entre volúmenes
=
Relación entre pesos
=
=
=
= 2.01
Relación entre costos
=
=
Y evaluando esta última relación tendremos
=
= 7.02
Lo cual significa que a precios internacionales actuales del cobre y del aluminio y
desestimando otros costos, una línea con una resistencia por unidad de longitud dada, el
37
conductor es siete veces mas cara y pesa el doble si se construye en cobre que si se
construyera en aluminio.
2-3.5 LA RESISTENCIA A LA TRACCIÓN DEL ALUMINIO.
El aluminio puro es siete veces mas barato y pesa la mitad que el cobre, pero la baja
resistencia de ruptura en estado puro lo inhabilita para la construcción de líneas aéreas,
pues al requerir vanos muy cortos se incrementa demasiado el número de las estructuras
de soporte, por lo cual es necesario mejorar la resistencia a la tracción.
La primera solución técnica a este problema fue la construcción de cables con una parte
de sus alambres construidos en acero, dando origen a los conductores ACSR “Auminiun
Cable Steel Reinforced” (Cablles de aluminio reforzados con acero).
En estos cables construidos con la sección de aluminio de calibres normalizados de modo
tal que por ejemplo u ACSR 4/0 AWG tendría 211.6 Kcmil y el núcleo de acero con el
número de alambres de este material necesarios para obtener las características
requeridas por la aplicación.
La segunda solución fue estuvo disponible
cuando se descubrieron las aleaciones de
aluminio resistentes a la tracción que
aumentaron la tensión de ruptura con un
pequeño sacrificio de la conductividad (60%
de conductividad del cobre). Estas fueron las aleaciones Almelec, Aldrey, Arvidal (6201).
Finalmente una solución derivada de la tecnología ACSR que consistió en construir los
cables de aluminio puro (1350) sobre núcleos de aleación de aluminio 6201, que permitió
utilizar como conductor toda la sección transversal del cable. Se trata del conductor tipo
ACAR.
En tiempos recientes se han desarrollado otras tecnologías que han mejorado las tensión
de ruptura y las características térmicas de los conductores sin sacrificas su conductividad
eléctrica, como los conductores ACCC, con un
núcleo reforzado con fibra de carbono que
disminuyendo el peso y aumentando la
resistencia a la tracción permite incrementar la
temperatura de operación y mantener vanos
mas largos. Estas características las hacen
Fig 2.4 Cables ACSR, ACSC y ACCC
Fig. 2.5 Conductor ACSC con tecnología TW
38
especialmente adecuados para la repotenciación de líneas existentes donde se puede
aumentar la capacidad de transporte utilizando los soportes existentes. Adicionalmente
en estos conductores se utiliza la tecnología TW (trapezoidal wires). Los alambres que
constituyen el cable tienen sección transversal trapezoidal en lugar de cilíndrica,
permitiendo un conductor masa compacto porque no hay intersticios entre los alambres.
El núcleo de fibra de carbono y la utilización de aluminio recocido permiten fabricar un
conductor con las siguientes características:
Capaz de conducir más energía cuando comparado a otros conductores de mismo peso, y diámetro
o Capazde trabajar en altas temperaturas. o Capaz de minimizar pérdidas en las líneas o Más liviano y resistente que permite vanos más largos o Sin pérdida de resistencia mecánica con el tiempo por baja fluencia (Creep) con el
tiempo.
39
2-4 EFECTO PIEL (Definición)
El Efecto de piel, también denominados efecto pelicular, Kelvin o de proximidad es la tendencia de
la corriente alterna a fluir cerca de la superficie de un conductor, lo que limita la corriente a una
pequeña parte del total de área de sección transversal y el aumento de la resistencia al flujo de
corriente. Nota: El efecto piel es causado por la auto-inductancia del conductor, lo que provoca un
aumento de la reactancia inductiva a frecuencias altas, forzando así a los portadores, es decir,
electrones hacia la superficie del conductor. A altas frecuencias, la circunferencia es el criterio
preferido para la predicción de la resistencia que es el área de la sección transversal. La
profundidad de penetración de la corriente puede ser muy pequeño en comparación con el
diámetro.
Aunque a la frecuencia de los sistemas de potencia (60 o 50 Hz), el efecto pelicular no es
determinante en la impedancia de los conductores, en su análisis se introduce la utilización de las
funciones de Bessel, que constituyeron un punto importante en los estudios universitarios de
análisis matemático y está bien documentados en las primeras ediciones de un libro clásico en los
estudios de sistemas de sistema de potencia, “ELEMENT OF POWER SYSTEM ANALYSIS” del Dr.
William D. Stevenson.
Las ediciones posteriores, quizás por la escasa aplicación en sistemas de potencia, no incorporaron
este capítulo en los libros del Dr. Stevenson. En reconocimiento a este trabajo y por ser una de las
pocas aplicaciones de las referidas funciones de Bessel en el campo de las publicaciones de
potencia eléctrica, nos permitimos anexar este interesante aspecto.
2-4.1 DENSIDAD DE CORRIENTE EN UN CONDUCTOR CON EFECTO PELICULAR.
Trataremos el caso de efecto pelicular referido a un conductor cilíndrico estudiando la variación de
la densidad de corriente en función de la distancia al centro de ese conductor. Representamos el
área transversal del conductor en la figura siguiente. De la Ley de Ampere, la intensidad del campo
magnético a una distancia x, estará dado por la ecuación
Hx =
Donde Ix es la corriente total enlazada por el elemento tubular de radio x.
Para tratar con valores instantáneos es deseable expresar la ecuación en forma instantánea, y por
consiguiente el valor de la intensidad instantánea del campo es
Hx =
o en téminos de números complejos
40
Re( = Re(
)
Si convenimos en que nos referiremos a la parte real, la ecuación anterior la simplificamos
Que expresa la intensidad de campo en forma instantánea.
Si Jx es la densidad de corriente a la distancia x del centro del conductor, la corriente en el
elemento tubular de espesor dx es 2πxJxdx y la corriente enlazada por el tubo es
dx
Tomando la derivada parcial respecto a x, se obtiene
Y como es independiente de x, tendremos
Dividiendo por se obtiene
41
La ecuación anterior contiene tanto a Hx y a Jx como variables dependientes de x. Si pudiésemos
encontrar alguna relación entre estas variables dependientes, se podría sustituir la ecuación por
otra que contenga solo Jx como variable dependiente de x. Esta relación se puede obtener
aplicando las leyes de Kirchhoff. De esta manera encontramos que la diferencia de tensión entre
los puntos a y b de la figura es Jx,max donde Jx,max
instantáneo de la densidad
de corriente en el segmento ab y del conductor. Similarmente de a’ a b’ la caída
de tensión es
[Jxmax +
)dx]ρ∆l
Porque
)dx es la diferencia de la densidad de corriente entre las dos rutas
consideradas. Alrededor del circuito a’b’ab la caída total de tensión es
ρ∆l [Jxmax +
)dx]- ρ∆l Jx,max = ρ∆l
)dx
La caída de tensión en el sentido de las agujas del reloj en el circuito a’b’ab debido al cambio de
flujo magnético en el circuito es
. El signo negativo es necesario porque al incrementarse el
flujo debido a la corriente en la dirección mostrada se induce un alza de tensión en sentido de las
agujas del reloj. La caída de tensión es negativa en relación nal alza de tensión. De acuerdo con la
ley de Kirchhoff se anulan las caídas de tensión alrededor del circuito, resultando
ρ∆l
)dx -
El flujo enlazado en el circuito a’b’ab está en el elemento tubular de espesor dx y es concéntrico
con el tubo y es una función tanto del tiempo como de la distancia x al centro del conductor.
Igualando el flujo instantáneo al producto de la densidad de flujo instantánea por el área resulta
∆ldx = μHx,max
Y al sustituir en la penúltima ecuación se obtiene
42
ρ∆l
)dx -
(μHx,max
Entonces, si se asume que razonablemente la permeabilidad del material es constante,
expandiendo la derivada parcial respecto a t y observando que Hx,max no es una función de t y
, se tendrá
ρ∆l
) - μ Hx,max = 0
Despejando Hx,max y obteniendo el valor RMS se tiene
Hx =
y de aquí
-
= Jx
Y multiplicando por
teniendo presente que Jx no depende del tiempo
+
-
Jx = 0
El cambio de derivadas parciales a derivadas totales es posible porque la función es solo
dependiente de x. La ecuación diferencial de segundo orden anterior expresa la función de la
densidad de corriente en función de la distancia al centro del conductor cilíndrico, siendo una
función compleja y la densidad de corriente está expresada en términos de valor RMS.
Esta ecuación es análoga a la ecuación de variables reales siguiente:
+
+ = 0
43
Que es la forma especial de la conocida ecuación de Bessel.
Para resolver la ecuación anterior asumimos una solución en la forma de serie infinita donde
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a4x5 + a6x6 . . . .
2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x3 + 30a6x4 + . . . .
+ 2a2 + 3a3x + 4a4x2 + 5a4x3 + 6a4x4 + 7a6x5 . . .
k2y = k2a0 + k2a1x + k2a2x2 + k2a3x3 + k2a4x4 + k2a4x5 + k2a6x6 . . . .
Para satisfacer la ecuación diferencial es necesario que cada coeficiente de las potencias de x sean
iguales a cero. Como podemos escribir la ecuación diferencial sobre la base de la solución
propuesta de la forma siguiente
+ (2a2 + 2a2 + k2a0) + (6a3 + 3a3 + k2a1)x + (12a4 + 4a4 + k2a)x2 + (20a5 + 5a4 + k2a3)x3 + . .
Haciendo igual a cero cada coeficiente resulta
a1 = 0
2a2 + 2a2 + k2a0 = 0
6a3 + 3a3 + k2a1 = 0
12a4 + 4a4 + k2a = 0
20a5 + 5a4 + k2a3 = 0
30ª6 + 6a4 + k2a4 = 0
44
Se puede observar que todos los coeficientes impares son iguales a cero porque dependen de a1 y
los coeficientes pares dependen de a0. En términos de a0 estos coeficientes son.
a2 = -
a4 =
a6 =
Y sustituyendo estos coeficientes e la solución
y = a0( 1 -
+
–
+ . . .)
La expresión de la serie anterior se conoce como la función de Bessel de primera clase y grado
cero y normalmente se designa con el símbolo J0(kx) donde el símbolo matemático J0 no debe
confundirse con el símbolo de la densidad de corriente.
Si formalmente deseamos resolver la ecuación para una densidad de corriente compleja, es
necesario que los coeficiente a sean complejos para construir la serie de Jx . Sustituyendo k2 por
y por Jx, manteniendo los resultados obtenidos
Jx = a0[1 +
- (
– j(
+ . . .]
Cuando esta solución se separa en dos series de términos, una de términos reales y otra de
téminos imaginarios se obtiene una forma modificada de la serie de Bessel. Si en estas se hace
m =
se obtiene
Jx = a0[1 –
+
+ . . .] + ja0[
+
- . . .]
Que puede simplificarse como
45
Jx = a0[ber(mx) + j bei(mx)]
Donde
ber(mx) = 1 –
+
+ . . . y bei(mx) =
+
- . . .
Los términos ber y bei significan Bessel real y Bessel imaginaria respectivamente,
Si se conoce la densidad de corriente del conductor el su superficie Jr, se puede determinar el
coeficiente a0, puesto que se conoce que
Jr = a0(ber(mx) + jbei(mx)
Resolviendo por a0 y reemplazando en la ecuación de Jx, queda
Jx = Jr
2-4-2 IMPEDANCIA INTERNA DE UN CONDUCTOR CILÍNDRICO.
El interés en determinar la densidad de corriente en un conductor solo es un paso previo a la
determinación de la impedancia interna del conductor cilíndrico con una distribución de corriente
no uniforme en su sección transversal. La impedancia interna de un conductor es la parte de la
impedancia del circuito debido a la resistencia del conductor y a los enlaces de flujo producida por
el flujo interno únicamente.
La caída de tensión en la superficie de un conductor es causada por la resistencia del filamento y
los cambios de enlaces de flujos producidos por el flujo exterior al conductor. No es afectado por
el flujo interior. Por consiguiente si no se considera el flujo externo, la caída de tensión en un
filamento de la superficie del conductor, es ρJr en voltios por unidad de longitud. Los filamentos
interiores al conductor tienen los mismos enlaces de flujo de los elementos en la superficie mas
enlaces de flujo adicionales producidos por el flujo interno. Ya que todos los filamentos están
eléctricamente en paralelo, la caída de tensión en todos ellos es igual a la caída de tensión en un
filamento de la superficie. El decrecimiento de la densidad de flujo produce un decrecimiento de la
caída de tensión, se compensa con el incremento de la caída de tensión debido a los enlaces de
flujo internos. La caída de tensión Vi por unidad de longitud, excluyendo mla caída de tensión
causada por los enlaces de flujo externos al conductor, es
46
Vi = ρJr volt/metro
Y la impedancia interna por unidad de longitud es
Zi =
Siendo I la corriente de fase del conductor.
A partir de las ecuaciones de Hx y manipulando adecuadamente las relaciones derivadas
tendremos
I =2πHr
Hr = -
Y sustituyendo por su valor deducido en ecuanes anteriores, se obtiene
Hr = -
Para simplificar la notación hagamos
ber’(mx) =
=
bei’(mx) =
=
Luego
I =
Y evaluando las ecuaciones ber’(mx) y bei(mx) como se indicó, y haciendo x=r, se tiene
Zi =
47
Se concluye que la impedancia interna de un conductor cilíndrico es función de su radio, su
resistividad y su permeabilidad magnética.
2-4.3 RELACIÓN DE RESISTENCIA POR EFECTO PELICULAR.
La impedancia interna de un conductor está compuesta por la componente resistiva y la
reactancia inductiva propia del conductor. La parte real de la impedancia compleja es la resistencia
efectiva.
Se puede encontrar la resistencia efectiva de un conductor racionalizando la expresión de la
impedancia interna y separando las parte real y la parte imaginaria quedando
R =
Se puede demostrar que si la frecuencia tiende a cero, la Resistencia efectiva tiende a la
resistencia del conductor para corriente continua. A baja frecuencia la distribución de corriente la
distribución de corriente llega a ser mas uniforme siendo la resistencia a baja frecuencia, la
resistencia a corriente continua igual a
R0 =
ohms/metro
La relación de la resistencia efectiva a la resistencia en corriente continua es
Recordando que el valor de m es m =
48
mr =r
= r
=
=
Con conductores homogéneos de cobre o de aluminio es la permeabilidad magnética del vacío
y como
= R0, en ohmios por km, se tendrá
Para 60 Hz,
mr = 0.0276
Y para 50 Hz,
mr = 0.0252
49
CAPITULO TRES.
INDUCTANCIA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.
3-1 ENLACES DE FLUJO-
Una línea de transmisión tiene cuatro parámetros que definen su comportamiento como parte de un
sistema de potencia eléctrica. Estos parámetros son resistencia, inductancia, capacitancia y
conductancia. Cuando se aplica una tensión entre sus conductores y circulan corrientes eléctricas
por estos, su comportamiento puede explicarse mediante el análisis de los campos magnéticos y
eléctricos producto precisamente de las tensiones y de las corrientes presentes en el circuito
eléctrico.
La figura muestra una línea monofásica abierta y sus campos eléctrico y magnéticos asociados,
donde las líneas de flujo magnético forman circuitos cerrados enlazando los conductores y las líneas
de campo eléctrico salen del conductor positivo y llegan al
conductor de polaridad negativa. Las variaciones de la corriente en
los conductores ocasionan cambios en el número de líneas de flujo
magnético en el circuito. Los cambios en los flujos enlazados
inducen tensiones en el circuito siendo la tensión inducida
proporcional a la variación de cambios del flujo. La propiedad del
circuito que relaciona la tensión inducida con la variación de flujo
es lo que hemos conocida en cursos anteriores de Física y de Teoría
Electromagnética como inductancia.
De estos conocimientos previos podemos recordar dos ecuaciones fundamentales para explicar el
concepto de inductancia. La tensión inducida
e =
(ec. 3.1)
donde es la tensión inducida en volts y es el número de enlaces de flujo en weber-vueltas. El
término λ, enlaces de flujo, o “flux linkages” en ingles, se traduce en
español de varias manera, según el país donde se publique la bibliografía,
como mconcatenamientos de flujo, eslabonamientos de flujo. Nosotros
usaremos enlaces de flujo.
El número de weber-vueltas en el producto de cada weber de flujo por el
número de vueltas del circuito enlazado, o lo que es equivalente, el
producto de vueltas por la fracción de corriente enlazada. Para intentar
explicar el concepto veamos en la figura siguiente, donde se representa
una bobina por donde circula una corriente la cual genera un campo
magnético: si las líneas de flujo representadas (8) enlazaran todas las
vueltas de la bobina (6), la tensión inducida sería 8*6, es decir 48 volts.
Pero como las líneas de flujo no enlazan la totalidad de las vueltas notamos que las dos líneas de
flujo mas internas, enlazan cada una de ellas una vuelta de la bobina representada siendo el
Fig.3.1- Campos magnéticos y eléctricos asociados a línea monofásica
Fig. 3.2 Flujo enlazado en bobina
50
producto 2*1=2. Las siguientes dos líneas enlazan cada una de ellas, dos vueltas agregándose
entonces 2*2=4 y van 2+4=6. Las siguientes dos líneas de flujo enlazan 4 una de ellas y 5 la otra
siento entonces 4*1+5*1=9 las líneas enlazadas y van 15. Las líneas de flujo mas externas enlazan
cada una de ellas 6 vueltas siendo estas 2*6=12. El total de líneas vueltas es entonces 27 y no 48
como habríamos tenido si todas las espiras hubiesen sido enlazadas por las 8 líneas de flujo
representadas.
En este caso, dado que por cada espira circula la corriente I del circuito, el producto de las líneas de
flujo por la fracción de corriente enlazada es 27 weber-vueltas.
Cuando cambia la corriente en un circuito eléctrico, el campo magnético asociado también cambia.
Si se asume que la permeabilidad magnética es constante, como es el caso del aire y de los
materiales conductores usualmente empleados es líneas como el cobre y el aluminio, el número de
enlaces de flujo es directamente proporcional a la corriente y por consiguiente la tensión inducida es
directamente proporcional a la rata de cambio de la corriente. Así se tiene la otra ecuación
fundamental
e =L
(ec.3.2)
Donde la constante de proporcionalidad L, es la inductancia del circuito en henrys, e es la tensión
inducida en volts y di/dt es la rata de cambio de la corriente en amperios por segundo. Si la
permeabilidad no es constante como es el caso de los conductores ACSR con acero en su interior,
se puede usar la ecuación pero la inductancia no es una constante.
3-2.1 ECUACION DE L INDUCTANCIA.
Comparando las dos ecuaciones mostradas
e =
= L
se tiene
(henrys) (ec.3.3)
La ecuación anterior define el término autoinductancia, que se expresa como la inductancia de un
conductor de un circuito es igual a los enlaces de flujo sobre el conductor por unidad de corriente en
ese conductor.
51
En términos de inductancia los enlaces de flujo son
= L*i (ec. 3.4)
Para corriente alterna, como la corriente es una función senoidal, es una función senoidal,
entonces el fasor de enlaces de flujos será:
Φ =LI (ec. 3.5)
Y el de caída de tensión será
V =jωLI (ec. 3.6)
La inductancia mutua entre dos circuitos se define como los enlaces de flujo de un circuito
producido por la corriente de otro circuito por ampere de este segundo circuito.
M12 = Φ
henrys (ec. 3.7)
Que se expresa como la inductancia mutua entre el circuito 1 y 2. Es el enlace de flujo sobre el
elemento 1 producido por la corriente del elemento 2. La tensión inducida en el elemento 1 es
V1 =jωM12I2 volts (ec. 3.8)
Cuando existe acoplamiento entre circuitos eléctricos, por ejemplo, la influencia de una línea
eléctrica de potencia (transmisión o distribución) sobe una línea telefónica abierta (ya generalmente
fuera de uso), puede aplicarse el concepto expuesto para calcular la tensión inducida en cada
conductor de la línea telefónica por las corrientes de la línea de potencia, existe un efecto de cada
conductor de potencia sobre los dos conductores de la línea telefónica. La diferencia de tensión
inducida entre los dos conductores será la diferencia de la suma de los efectos de las corrientes de
las líneas de potencia sobre un conductor de comunicaciones menos la suma de lkos efectos sobre el
otro conductor de la línea de teléfono.
3-2.2 INDUCTANCIA DEBIDA AL FLUJO INTERIOR.
Hasta ahora nos hemos referido al flujo magnético en el exterior de los conductores, pero en el
interior de un conductor también existen líneas de flujo magnético que también influyen en las
tensiones inducidas y en consecuencia sobre la inductancia de los conductores.
Para simplificar el análisis en este caso, supondremos que los conductores son alambres cilíndricos
y que la densidad de la corriente es uniforme en el interior del conductor. Obviamente
consideraremos que la corriente de un conductor produce flujos magnéticos internos, y que estas
52
líneas enlazan una fracción de la corriente en cada línea
En este caso la inductancia debida al flujo interno se calcula como la relación del flujo enlazado por
la fracción de la corriente. Aplicaremos este concepto para calcular los enlaces de flujo debido al
flujo exterior y al flujo interno en un conductor que supondremos cilíndrico, solido, mut largo y
alejado de cualquier perturbación electromagnética, cuya sección transversal representamos en la
figura. Veamos primero que ocurre con el flujo interior.
En la figura la corriente que circula por el conductor produce líneas de
flujo concéntricas. Consideremos un tubo interno concéntrico de espesor
dx por el cual circula un elemento de flujo. La Ley de Ampere (o Ley
Circuital de Ampere), establece la fmm alrededor de un un camino
cerrado es igual a la corriente total enlazada por este camino cerrado. Lo
cual matemáticamente se expresa de la siguiente manera.
= I ampere-vueltas (ec. 3-9)
Donde en el producto escalar a integrar, H es la intensidad del campo magnético en ampere vueltas
por metro, s e la distancia a lo largo del camino e I es la corriente total encerrada por el camino
especificado. El producto escalar indicado será entre el elemento ds, y la intensidad de campo
tangente a este elemento. Siendo H es variable con la distancia al centro del conductor, llamaremos
Hx la intensidad de campo magnético para la ruta considerada. Por razones de simetría, Hx es
constante alo largo del elemento del campo dentro del tubo considerado de espesor dx. Si
consideramos una longitud unitaria de conductor de un metro, para calcular parámetros por unidad
de longitud, la pared del tubo considerado tendrá un área de 1*dx. La ecuación (3.9) podrá
escribirse como
= (ec. 3.10)
de donde
(3.11)
Y como hemos supuesto que la densidad de corriente es uniforme, Ix es
(2.12)
I es como antes, la corriente total del conductor. Sustituyendo en la ecuación 3.11 el valor de Ix,
tendremos
(3.13)
Fig. 4- Sección transversal de un conductor cilíndrico
53
Y de aquí
I ampere-vuelta /metro (3.14)
La densidad de flujo a la distancia x del centro del conductor es
=
webwes/metro2 (3.15)
Siendo μ la permeabilidad del material conductor.
En el interior del elemento tubular de espesor dx, el flujo magnético es la densidad de flujo
multiplicado por la sección duna unidad de longitud por el espesor dx.
weber/m (3.16)
Los enlaces de flujo por unidad de longitud son
=
weber-vuelta/metro (3.17)
Integrando desde el centro del conductor hasta la superficie los enlaces de flujo (del flujo interior)
serán
=
weber-vuelta/metro (3.18)
Y para permeabilidad relativa de 1, como es el caso del cobre y el aluminio, materiales usuales para
la construcción de conductores eléctricos, μ =4π10-7
henrys/metro, sustituyendo en la ecuación
(3.18)
webe-vuelta/metro (3.19)
Li =
henry/metro (3.29)
Resultado sorprendente, pues se ha encontrado que la inductancia de un conductor cilíndrico debía
al flujo interior es independiente del diámetro del conductor.
54
3-2.3 INDUCTANCIA DEBIDA AL FLUJO EXTERIOR AL CONDUCTOR.
Hemos visto que ocurre en el interior de un conductor y debemos estudiar lo que ocurre fuera de
este, para lo cual calcularemos los enlaces de flujo entre dos puntos externos a un conductor
cilíndrico con los mismos supuestos del caso anterior (recto, largo, cilíndrico etc.).
Supongamos que por este conductor circula una corriente I. En el exterior del
conductor tenemos dos puntos P1 y P2, ubicados a distancias D1 y D2 metros
respectivamente al centro del conductor. La figura anexa representa la
situación planteada, y a una distancia x, como en el caso anterior tenemos un
tubo de pared igual a dx, por el cual circula un flujo dφ producto de la
corriente I, el cual como antes, es concéntrico con el conductor.
En el elemento tubular la intensidad del campo magnético es Hx, contante en
el interior del elemento tubular considerado y la fmm alrededor del elemento,
como habíamos establecido en la ecuación (3.11) la fmm para un punto
interno al conductor era , pero ahora la corriente enlazada es la
corriente total I, por lo cual la ecuación es ahora
(3.30)
Y consecuencialmente
ampere-vueltas/metro (3.31)
=
webes/metro
2 (3.32)
Y de manera similar
weber/m
=
weber-vuelta/metro
=
weber-vuelta/metro
Fig. 5- Puntos externos a un conductor
55
Y por consiguiente, para una permeabilidad relativa de 1, como la del aire
weber-vuelta/metro (3.32)
Y la inductancia por unidad de longitud debida al flujo exterior al conductor entre los puntos P1 y P2
estará dado por la siguiente ecuación:
henrys/metro (3.33)
Es conveniente disponer de una ecuación que determine el efecto de los flujos interno y externo en
una sola expresión para los enlaces de flujo. Calcularemos entonces el valor de ’12, incorporando el
efecto del flujo interno. Se tendrá entonces que la suma de enlaces de flujo es igual a la suma de los
enlaces de flujo debidos al flujo externo 12 mas los enlaces debidos al flujo interior i, cuando el
punto 1 está en la superficie del conductor, es decir a una distancia r del εntro y si el segundo punto
lo llamamos P, la distancia entre el centro del conductor y el punto será d0P
op = 12 + i =
+
(3.34)
Haciendo
=
=
) op =
op =
) (3.35)
En las expresiones anteriores ε es la base de los logaritmos neperianos (2.718281828…), quedando
el número denominador del argumento del logaritmo neperiano como 0.7788*r.
Los enlaces de flujo sobre un conductor producidos por la corriente que circula por el esta dado
entonces por la expresión:
op =
) (3.36)
3.2.4 INDUCTANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. DE DOS ALAMBRES
CONDUCTORES.
Con las herramientas que ahora tenemos, podemos calcular la
inductancia y reactancia de una línea conformada por dos
alambres conductores. Aunque lo normal es que en una línea
todos los conductores sean idénticos, supondremos un caso en el
cual tenemos dos conductores de radios R1 y R2, separados una
distancia D. Es evidente que a partir del conductor de Radio R1,
fIG. 6- Línra Monofásica
56
podríamos apolicar las formulas deducidas para estimar los enlaces de flujo, pero como después de
la distancia D, la corriente total enlazada es 0, mas alla de este conductor no habrá enlaces de flujo
y es evidente que las líneas de flujo hasta un punto P, muy alejado, serán los mismos que las líneas
de flujo hasta la distancia D. En consecuencia aplicando la ecuación 3.36 tendremos
1p =
) = oD =
) (3.37)
Y la inductancia del conductor 1 será
L1 =
) henrys/metro
Así mismos para el conductor 2, se tendrá
L2 =
) henrys/metro
Y la inductancia del circuito monofásico completo será
L = L1 + L2=
) +
))
3-3 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO DE
CONDUCTORES.
Para homogenizar las ecuaciones siguientes proponemos convenir en sustituir el término 88
por d11, 88 por dnn, etc. que podría leerse “distancia del conductor n a sí mismo”,
conviniendo que esta distancia no es cero.
En la figura siguiente (fig. 7), se reperesena un sistema de conductores cilíndricos y paralelos que
conforman una línea de transporte cuya suma de
corrientes es igual a cero. El punto P es la sección
transversal de un eje paralelo a los conductores
ubicado a una distancia muy remota.
La ecuación 3.36 indica que los enlaces de flujo
totales, debidos al flujo interno y al flujo externo, en
un conductor está definido por la expresión op
=
), y la ecuación 3.32
muestra que los enlaces de flujo entre dos puntos 1 y
2 de un conductor está dado por la expresión
.
Fig. 7- Sección transversal de una línea de conductores cilíndricos paralelos con corrientes diferentes pero cuya suma es cero Amp,
57
Aplicando esta ecuación para determinar los enlaces producidos por los diferentes conductores del
grupo por las corrientes asociadas a cada conductor entre los puntos 1 (centro del conductor 1) y el
punto P tendremos
Para el conductor 1
Para el conductor 2
Para el conductor 3
.
.
Para el conductor N
Y sumando todos los enlaces de flujo sobre el conductor 1 se tiene la ecuación
1 = ( *ln
*ln
*ln
*ln
+
Si el punto P lo elegimos suficientemente alejado de manera tal que podamos considerar que las
distancias de los conductores al punto P sean razonablemente iguales a d1p, en el segundo termino
Podemos extraer como factor común al el factor , tendremos que este termino sería este
factor multiplicado por la suma de todas las corrientes del circuito,
2*10-7
*ln(d1P)*(I1+I2+I3 + …. IN) =0
Y la expesión queda
1 = ( *ln
*ln
*ln
*ln
(3.38)
Para el resto de conductores
2 = ( *ln
*ln
*ln
*ln
58
3 = ( *ln
*ln
*ln
*ln
.
.
n = ( *ln
*ln
*ln
*ln
(3.39)
Tomaremos esta última como expresión general
3-3.1 INDUCTANCIA DE UNA LÍNEA TRIFASICA.
Aplicaremos esta ecuación para calcular la inductancia de una línea trifasica
con disposición simétrica de los conductores, los cuales, en principio serán
los alambres cilíndricos indicados como a,b,c en la figura anexa.
Supondremos que esta figura representa la línea trifásica con garga
balanceada siendo las tres corrientes de magnitud I y un desfasaje de 120
grados. De esta manera
Ia =I ang/0°, Ib=I/120° e Ic=I/ 240°.
a = ( *ln
*ln
*ln
a = ( *ln
*ln
*ln
Como Ib+Ic = -Ia
a = ( *ln
ln
)= (ln
ln
)
a =
de donde
La =
Pero es mucho mas común que los conductores no estén dispuestos equilaterlamente. Por ejemplo
una linea cuya sección transversal se representa en la figura, las distancia dab, dbc y dca, no son
iguales. Si suponemos que la carga es balanceada, como en el caso anterior las corrientes son
Fig 9- Línea de conductores dispuestos asimétricamente
Fig.8- Línea de conductores simétricamente dispuestos
59
Ia =I ang/0°, Ib=I/120° e Ic=I/ 240°.
Los enlaces de flujo sobre el conductor “a” serán
a = ( *ln
*ln
*ln
(3.40)
a = ( *ln
/ *ln
*ln
a = (I*(cos(0°)+j*sen(0°)*ln
+I*(cos(120°) + j*sen(120°))*ln
+ I*(cos(240°) +
j*sen(240°))*ln
a = ln
-0.5* ln
-0.5* ln
+j(
*ln
- * ln
)]
a = ln
+j *ln
(3.41)
De donde se pone de manifiesto que la inductancia unitaria para la fase ‘a’ sería para las tres fases:
La = ln
+j *ln
(3.42)
Lb = ln
+j *ln
(3.43)
Lc = ln
+j *ln
(3.44)
Y hemos llegado a la conclusión que las expresión de la inductancia de los conductores de una línea
trifásica asimétricamente dispuestos, contiene un término imaginario y son diferentes entre sí.
3-4 TRANSPOSICIÓN EN LINEAS DE TRANSMISIÓN.
Hasta ahora hemos supuesto que a cada fase de una línea corresponde una posición invariable en la
disposición geométrica de las estructuras. Por ejemplo, en figura 9, que representa un corte
transversal de una línea, tenemos tres posiciones: a,b y c que corresponden a las fases 1,2 y tres
respectivamente. Ahora dividiremos la longitud total de nuestra línea en tres tramos en los cuales
cambiaremos de posición cada una de las fases como se indica en la figura 10.
60
En el primer tramo la fase 1 corresponde está en la
posición a, la fase 2 en la posición b y la fase 3 en
la posición c.
En el segundo tramo, el conductor de la fase 1 pasa
a la posición b, el conductor de la fase 2 a la
posición c y el conductor de la fase 3 a la posición
1.
En el tercer tramo la fase 1 estará en la posición c, la fase 2 irá al la posición a y la fase 3 pasa al a
posición b.
De esta manera cambian los enlaces de flujo sobre la misma fase para cada tramo de modo que los
enlaces de flujo promedio de la corriente de la fase 1, será
1 = ln
+j *ln
+ ln
+j *ln
+ ln
+j *ln
]
De modo que si agrupamos términos reales e imaginarios tendremos, para la parte real
1r = ln
+ln
1r = [ln
]*
1r =
(3.45)
Y para la parte imaginaria
1i =
=
Entonces los enlaces de flujo totales de una línea trifásica trnaspuesta y la inductancia por unidad de
longitud como utilizaremos mas adelante estaran dadas por
1 =
weber*vuelta/metro (3.46)
L1 =
henrys/metro (3.47)
Fig. 10- Esquema de los ciclos de transposición en una línea trifásica con conductores dispuestos asimétricamente
61
Y por simetría
L1 =L2=L3
henrys/metro (3.48)
Se evidencia de esta manera que utilizando una correcta transposición, en una línea trifásica cuyos
conductores son alambres, se elimina el término imaginario de los enlaces de flujo y se igualan las
inductancias por fase. El numerador del argumento del logaritmo neperiano es el promedio
geométrico de las distancia entre conductores y el denominador es el promedio geométrico de “las
distancia de un conductor a sí mismo, como hemos convenido en llamar” cuyo valor es 0.7788*r
(0.7788 veces el radio del conductor).
3-5 INDUCTANCIA DE CONDUCTORES DE UN SISTEMA
Las líneas de transporte de energía de razobale capacidad de transporte y con cualquier tensión de
operación se construyen con cables (un conjunto de alambres), por lo cual para determinar los
parámetros eléctricos será necesario discutir el comportamiento de líneas conformadas por
conjuntos de conductores por fase.
Supongamos que tenemos una línea compuesta por dos grupos
de conductores como se indica en la figura 10, que repesenta
la sección trasversal de un sistema monofásico de transmisión.
Sean entonces el grupo “X” constituida por n conductores,
transportando una corriente total I que supondremos
igualmente repartida entre cada undo de los conductores y un
grupo “Y” que completa el circuito formado por m conductores transportando la corriente total –I.
Los conductores (alambres), pueden ser de dimensiones diferentes pero supondremos que llevan ma
misma coriente I/n, para el grupo X e I/m para el grupo Y.
A continuación cacularemos los enlaces de flujo sobre el grupo de conductores X, proucidos tanto
por sus propias corrientes como por las corrientes de los cornductores del grupo Y.
Los enlaces de flujo sobre el conductor 1 producido por todas las corrientes, las del grupo X y las
del grupoY, se obtendrán aplicando la ecua ción (3.39) generalizándola para cualquier conductor
dentro de un grupo.
1 = ( *ln
*ln
*ln
*ln
–
62
- ( *ln
*ln
*ln
*ln
Y como hemos supuesto que I1=I2=I3=….IN =I/n y ademas
Ia=Ib=Ic=….Im=I/m
1 =
) -
1 = (ln
- ln
)
1 = (
weber*vuelta/m
Para los otros conductores del grupo X se tiene
2 = (
3 = (
.
.
n = (
Los enlaces de flujo promedio ( p) serán
p =
=
p =
Entonces la inductancia promedio sería
63
Lp =
=
Asumiremos ue no hay diferencias notables entre las inductancias de cada hilo y la inductancia
promedio, por tanto es razonable inducir que la inductancia del grupo X es igual a la inductancia
promedio dividida por el número de conductores del grupo puesto que los hilos están en paralelo, es
decir
Lx =
=
(3.49)
Y los enlaces de flujo del grupo X completo serán
x = I*Lx =
(3.50)
Analizando esta última ecuación se puede observar que la cantidad subradical del numerador
contiene n paréntesis de m factores cada uno, es decir que contiene m*n factores y la raíz es
también m*n siendo por consiguiente el resultado de resolver la raíz, una distancia. Igualmente el
numerador es el promedio geométrico de las distancias entre cada uno de los conductores del grupo
X a cada una de los conductores del grupo Y. Denominaremos este término como DMxy que
podríamos leer como la “Distancia Media” entre el grupo x y el grupo Y.
Por otra parte la cantidad subradical del denominador contiene n paréntesis de n factores cada uno y
por lo tanto la dimensión de la raíz n*n de n*n factores es también una longitud, la cual es el
promedio geométrico entre distancias de los diferentes conductores del grupo X. Denominaremos
este término siguiendo la numerosa bibliografía sobre este tema, como DSx, podríamos leerla como
la “Distancia Propia” del grupo X.
x =
(3.51)
Esta ecuación puede descomponerse en una ecuación as general teniendo en cuenta que Ix =-Iy
x =
+
(3.52)
64
3-6 INDUCTANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON CONDUCTORES DE FASE
COMPUESTAS POR GRUPOS.
Es poco común que los conductores de líneas reales este compuesta por alambres, sino que por
razones prácticas de calibres de importante sección, de flexibilidad en el conductor prácticamente a
partir del calibre #2 AWG, los conductores utilizados construidos en cualquier material, son
cableados, y constituyen grupos, según los criterios expuestos.
Si suponemos un conjunto de conductores que constituyen una línea trifásica no necesariamente
dispuestas de modo equilátero, podemos aplicar la estrategia de transposición de líneas y calcular la
inductancia de la línea la cual será solo real e igual para cada una de las tres fases.
Cuando se tienen dos grupos de conductores constituyendo un sistema eléctrico monofásico en el
cual, obviamente, la suma de corrientes de cada grupo sea igual a cero, se tendría la ecuación 3.51.
Pero si se tiene un sistema trifásico cuyas fases son grupos de conductores la ecuación se
transformaría en
x =
+
(3.53)
Que tiene la misma forma de la ecuación 3.40,
a = ( *ln
*ln
*ln
planteada para un sistema trifásico pero cuyas fases están constituidas por alambres y a la rotación
de fases o transposición de conductores, y de la cual se dedujo la ecuación la ecuación 3.47 que fue
deducida para conductores constituidos por alambres, tiene la forma siguiente
L =
Ahora en cada fase tenemos grupos de conductores en lugar de alambres, pero aplicando el mismos
procedimiento para lo cual deberíamos hacer las transformaciones siguientes:
⟶ DMab; ⟶ DMbc; ⟶ DMca
⟶ DSa ; ⟶ DSb ; ⟶ DSc
Concluiremos en la ecuación siguiente
65
L = 2*10-7*ln
henrys/m
S mb p m “D M G mé DMG” y “R
M G mé RMG” la siguiente expresión
L = 2*10-7*ln
henrys/m
Donde es evidente que DMG = y RMG =
Normalmente se calcula la inductancia como un paso previo para obtener la reactancia, la cual, para el caso de
líneas de transmisión, normalmente se expresa en ohm/km ( ).
X = 2π*f*1000*L = 2π*60*1000*ln
=0.0754*ln
En toda Europa y algunos países de America Latina (Argentina, Uruguay, Paraguay y Chile), la frecuencia de klas
redes eléctricas es de 50 Hz. En estos casos se tiene
X = 0.06283*ln
PROBLEMAS RESUELTOS.
66
CAPÍTULO CUATRO
4-1 CÁLCULO DE CAÍDA DE TENSIÓN EN LÍNEAS CORTAS.
La transmisión de energía es una actividad relativa al movimiento de energía desde un punto con
una tensión a un punto de tensión menor, de tal manera que debe existir una diferencia de
tensión para que haya transferencia de energía. Ya hemos comentado la necesidad de transmitir
bloques de energía desde el centro de producción o central eléctrica hasta los centros de consumo
desde una tensión generalmente elevada a tensiones de utilización pasando por varios niveles de
tensión.
La división tradicional entre líneas cortas, medias y largas realmente es importante solo porque en
estas últimas se incorpora el estudio de los efectos de la capacitancia para determinar las
características de operación de los sistemas que lo integran.
Una línea debe estudiarse con las técnicas de línea larga independientemente de su longitud, si la
capacitancia de la línea es suficientemente elevada como para ocasionar algunos efectos como
generación de reactivos, elevación de tensiones y corrientes variables independientemente de las
cargas que alimentes.
Por otra parte para los profesionales dedicados a proyectos, construcción y operación, dado la
inercia en el crecimiento de sistemas en alta tensión, la utilización de los criterios inherentes a
líneas largas, es mucho menos dinámica que las líneas de distribución en baja y media tensión o
líneas de transmisión hasta 115 KV.
En este caso, el aspecto más importante a estudiar tanto para la realización de los diseños como
para la operación, es lo referente al cálculo de caída de tensión.
Para el estudio de la caída de tensión en líneas de transporte iremos escalando desde los casos
más sencillos a los complicados, y comenzando por los niveles más bajos de tensión
La irrupción con gran impacto de los computadores personales y las calculadoras programables en
las metodologías de cálculos eléctricos, ha hecho prácticamente irrelevante los métodos de
cálculo tradicionales en los cuales se realizaban simplificaciones circuitales que reducían los
circuitos de redes para la aplicación de formulas sencillas para después hacer las sustituciones de
regreso que permitían, por métodos paso a paso determinar el flujo de potencia en toda la red,
determinando el punto donde se produce la más alta caída de tensión, que ha sido el calificador
de la calidad de la red desde el punto de vista de tensión, la cual es, desde nuestro punto de vista
el más importante de los parámetros de calidad del servicio eléctrico después, claro está, de la
disponibilidad de este.
Sin embargo, con el fin de validar los cálculos que se ejecutarán con programas digitales, y para
realizar cálculos sencillos que pudieran requerirse en situaciones donde no dispongamos de
manera inmediata de aquellos instrumentos electrónicos, estudiaremos estos métodos
67
tradicionales que han sido la base del desarrollo de los sistemas eléctricos de distribución y
transmisión.
Los arreglos de sistemas a estudiar, son los que más comúnmente se presentan en las aplicaciones
prácticas. Esos son los siguientes.
4-2 ESTUDIO DE LA CAÍDA DE TENSIÓN.
4-2.1 CAÍDA DE TENSIÓN EN SISTEMAS RADIALES.
Se denominan sistemas radiales aquellas disposiciones de líneas donde en un extremo se tiene la
fuente de alimentación y a lo largo de la línea se tienen las cargas a alimentar. Si se tuviese una
sola carga en el extremo, el caso más sencillo, se acostumbra llamar alimentador el arreglo o
sistema radial simple. En el caso de que se tengan cargas en paralelo a lo largo de la línea, se
denomina generalmente distribuidor o radial múltiple. Nosotros lo llamaremos alimentador con
una o varias cargas y asumiremos para el análisis que las cargas son de igual factor de potencia,
dado que en la práctica el factor de potencia generalmente inductivo es difícil de medir con
precisión razonable por su dependencia no controlada con el tiempo y los tipos de carga
conectados.
También de manera general, las variables a determinar son la caída de tensión y la corriente
máxima que circula por el conductor.
Una de las características del servicio eléctrico es que la variación de tensión debe ser
reglamentada y no puede paras de ciertos límites establecidos administrativamente, a cuyo fin se
definen unos ciertos parámetros de calidad que determinan un índice de calidad del servicio. Así
por ejemplo, en cuanto a caída de tensión,
Supongamos que tenemos una línea de transporte trifásica de resistencia por fase de R ohmios y
de reactancia X ohmios, a través de la cual se
alimenta una carga de KVA kilovoltamperes
cuyo ángulo de factor de potencia es φ, con una
tensión muy cercana a la nominal de V volt,
como corresponde a una instalación de servicio
eléctrico donde las caídas totales de tensión
deben estar limitadas por norma administrativa, la cual estaría representada en la figura 5.1. Un
diagrama vectorial de los fasores de tensión y de corriente como el correspondiente a la figura 5.2,
representamos el comportamiento de las variables eléctricas participantes para una fase del
sistema trifásico en el sistema propuesto.
Utilizando la tensión en la carga como referencia, la corriente tiene un ángulo que hemos
supuesto atrasado, es decir, que la carga es inductiva. El vector 0V, de magnitud V y ángulo cero
grados, es la tensión en la carga al cual se suma la caída de tensión en la resistencia y reactancia
Fig 4.1- Diagrama unifilar de una línea de alimentación de longitud L y una carga dada en KVA
68
de la línea, I*R e I*X, respectivamente. La suma de todos estos vectores está dada por el vector 0E,
que es la tensión en la fuente.
Si el ángulo δ es pequeño (cercano a 1 grado),
la proyección de los vectores de caída de
tensión sobre la referencia se puede asumir
igual a la magnitud del vector OE, que es la
tensión de alimentación E te tensión nominal
V voltios por fase.
En la figura anterior se ha demarcado con un
círculo una sección del dibujo para intentar determinar más adelante la magnitud del error en el
cual incurrimos al aproximar la proyección de E sobre la referencia a la magnitud del vector E/δ.
Como hemos señalado, si δ es pequeño se puede escribir
E = V + I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ) volt
ΔV = E – V = I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ) volt
Y para un uso posterior se puede expresar esta caída de tensión como
ΔV = E – V = I*Z*cos(α)*cos(φ) + I*Z*sen(α)*sen(φ) = I*Z*cos(α- φ)*cos(φ) volt
Si deseamos expresar porcentualmente esta diferencia de tensión, la ecuación será
%V =
R φ φ
Donde V es el número de volt por fase del sistema y es igual a
, siendo KV es la tensión de
línea expresada en kilovolt.
Si llamamos r la resistencia por unidad de longitud de la línea a si como x es la reactancia por
unidad de longitud R = r*L y X= xL.
Y como en principio suponemos un sistema trifásico e I =
y V = 1000*KV, reescribimos
Fig. 4.2- Diagrama fasorial correspondiente a alimentador anterior
69
%V =
Y definitivamente
%V =
La cual es una ecuación sumamente importante en electrotecnia y tradicionalmente se le conoce
como “Ecuación de Distribución”.
En realidad esta es una ecuación aproximada y al aplicarla cometemos un error que podemos
evaluar de la manera siguiente:
Observamos que el ángulo “α” inscrito en la circunferencia determina un arco igual al arco
correspondiente al ángulo “VOE” de la figura anterior con un valor “δ” y p g ∝ δ/
(¿por qué?).
En la ecuación ΔV = E – V = I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ)
cometemos el error absoluto δU, siendo realmente E – V =
I*R*cos(φ) + I*X*sen(φ) + δU
δU = E-E*cos(δ E* -cos(δ E* * 2 δ/
En líneas aéreas de distribución en baja tensión, los
parámetros de calidad de la normativa legal vigente,
determinan cuales deben ser las caídas de tensión máximas
permitidas. En Venezuela, donde la tensiones normalizadas
son, como hemos presentado antes 120/208 voltios para
sistemas trifásico, la caída te tensión máxima permitida en la
red de baja para en proyectos nuevos es de 3% y para redes
en explotación, podría ser hasta 5% (el deber ser). Para estas caídas de tensión el ángulo δ es
menor de 5 grados, y por consiguiente el error cometido 2s menor de 0.004 volt o sea 0.0033%.
4-3 CONSTANTES DE DISTRIBUCIÓN
Como se puede ver la ecuación anterior puede escribirse de la forma siguiente
Figura 4-3 Visión ampliada de la figura anterior
70
%V =
= Kd*KVAL
Donde Kd es una nueva constante característica de los conductores que se conoce habitualmente
como “Constante de Distribución”, pudiendo trazarse como se indica en la figura de la página
siguiente, el conjunto de curvas para los conductores comerciales.
Kd =
Cuando evaluamos esta ecuación varias veces, podemos trazar familias de curvas para cada
conductor dada la tensión nominal de operación o presentar los resultados como tablas.
A continuación presentamos en ambas formas los resultados de la evaluación de esta ecuación
para utilizar en los cálculos de caída de tensión a partir de la evaluación del momento eléctrico de
la red.
71
Nótese que en el gráfico de la izquierda El momento eléctrico esta expresado en KVAM mientras
que en el gráfico de la derecha está en KVAKM y existe una diferencia en la escala de del Kd. Una
información mas amplia se presenta en las tablas mostradas en el “RESUMEN DE TABLAS”.
Presentado en el apéndice A.
El programa anexo “KdCalc” ofrece facilidades para calcular, visualizar imprimir tablas de
“constantes de Distribución” par los principales conductores normalizados utilizados en sistemas
de distribución.
CONSTANTES DE DISTRIBUCION PARA LINEA AEREA CON CONDUCTOR DE ALEACIÓN DE ALUMINIO 6201
TENSION = 208 VOLT DMG=0.252 Metros. Los KVAL estarán en KVAM (x10-3)
CALIBRE 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60
2AWG 1.8833 2.0238 2.1420 2.2206 2.0842 1.5310 1.1928 0.8941 0.6178
1AWG 1.6090 1.7082 1.7856 1.8244 1.6538 1.1525 0.8606 0.6072 0.3756
1/0AWG 1.3872 1.4539 1.4993 1.5072 1.3111 0.8528 0.5985 0.3817 0.1861
2/0AWG 1.2082 1.2495 1.2702 1.2544 1.0401 0.6179 0.3940 0.2067 0.0400
3/0AWG 1.0632 1.0847 1.0861 1.0520 0.8249 0.4328 0.2338 0.0702 -0.0733
4/0AWG 0.9368 0.9437 0.9313 0.8850 0.6536 0.2915 0.1144 -0.0287 -0.1525
250MCM 0.8653 0.8635 0.8429 0.7889 0.5539 0.2082 0.0434 -0.0880 -0.2006
300MCM 0.7975 0.7879 0.7600 0.6995 0.4623 0.1326 -0.0203 -0.1408 -0.2428
350MCM 0.7462 0.7310 0.6978 0.6327 0.3945 0.0775 -0.0665 -0.1787 -0.2728
400MCM 0.7082 0.6892 0.6525 0.5846 0.3467 0.0395 -0.0978 -0.2038 -0.2922
500MCM 0.6481 0.6238 0.5823 0.5107 0.2750 -0.0158 -0.1424 -0.2388 -0.3181
600MCM 0.6085 0.5812 0.5373 0.4640 0.2311 -0.0480 -0.1675 -0.2576 -0.3312
750MCM 0.5618 0.5310 0.4841 0.4089 0.1793 -0.0861 -0.1972 -0.2799 -0.3466
1000MCM 0.5274 0.4963 0.4499 0.3764 0.1554 -0.0967 -0.2012 -0.2787 -0.3409
Nota: El valor de Kd debe ser multiplicado por 10-3
72
CONSTANTES DE DISTRIBUCION PARA LINEA AEREA DE CONDUCTOR ALEACIÓN DE ALUMINIO 6201
TENSION = 13800 VOLT DMG=1.360 Metros. Los KVAL estarán en KVAKM (x10-3)
CALIBRE 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60
2AWG 0.4812 0.5074 0.5267 0.5336 0.4735 0.3187 0.2309 0.1555 0.0869
1AWG 0.4189 0.4357 0.4457 0.4436 0.3757 0.2327 0.1555 0.0903 0.0319
1/0AWG 0.3685 0.3780 0.3807 0.3715 0.2979 0.1646 0.0959 0.0390 -0.0111
2/0AWG 0.3279 0.3315 0.3286 0.3141 0.2363 0.1113 0.0495 -0.0007 -0.0443
3/0AWG 0.2949 0.2941 0.2868 0.2681 0.1874 0.0692 0.0131 -0.0317 -0.0700
4/0AWG 0.2662 0.2620 0.2516 0.2301 0.1485 0.0371 -0.0141 -0.0542 -0.0880
250MCM 0.2500 0.2438 0.2315 0.2083 0.1258 0.0182 -0.0302 -0.0677 -0.0990
300MCM 0.2346 0.2267 0.2127 0.1880 0.1050 0.0010 -0.0447 -0.0796 -0.1086
350MCM 0.2229 0.2137 0.1986 0.1728 0.0896 -0.0115 -0.0552 -0.0883 -0.1154
400MCM 0.2143 0.2042 0.1883 0.1619 0.0788 -0.0201 -0.0623 -0.0940 -0.1198
500MCM 0.2006 0.1894 0.1723 0.1451 0.0625 -0.0327 -0.0724 -0.1019 -0.1257
600MCM 0.1916 0.1797 0.1621 0.1345 0.0525 -0.0400 -0.0781 -0.1062 -0.1286
750MCM 0.1810 0.1683 0.1500 0.1220 0.0407 -0.0486 -0.0848 -0.1113 -0.1321
1000MCM 0.1732 0.1604 0.1423 0.1146 0.0353 -0.0511 -0.0858 -0.1110 -0.1308
Nota: El valor de Kd debe ser multiplicado por 10-3
Cuando se trata de un proyecto donde se debe elegir el conductor según las condiciones
administrativas referidas a la máxima caída de tensión permitida, de acuerdo a las normativas
particulares de cada país, puede resultar algo más conveniente modificar la ecuación de caída de
tensión de la siguiente manera:
KVAL =
4-3.1 AJUSTES DE Kd PARA OTRAS TENSIONES.
Las ecuaciones, curvas y tablas planteadas han sido deducidas para sistemas trifásicos y tensiones
definidas de 208 volt para baja tensión y de 13800 volt para tensión de distribución en media
tensión. Aún cuando no implica demasiado trabajo hacer cálculos para otras tensiones, es
conveniente hacer algunas modificaciones primero para otras tensiones cuando se tiene el mismo
conductor con idéntica disposición geométrica. Supongamos por ejemplo que una línea se utiliza
para una tensión Kv1 y se desea utilizar para otra tensión.
Para Kv1, Kd1=
Y para Kv2, Kd2=
Dado que r, x y φ g q Kd2= Kd1*
. Por ejemplo si
tenemos una línea construida con la cruceta normalizada de DMG=1.#& metros y un conductor
73
4/0 de aleación de aluminio 6201, el Kd para factor de potencia 0.8 es 0.2516*10-3, cuando se
utiliza esta línea con una tensión de 34.5 Kv. el nuevo Kd es
= 0.2516*10-3*0.16 = 0.40256*10-4
En un sistema trifásico como el de la figura, de longitud L alimenta una 3 elementos de carga y
cuyo Kd, es la constante de distribución que en este caso
llamaremos Kdt, por consiguiente la caída de tensión, que para
este caso llamaremos %Vt, según lo que hemos visto será
%Vt = Kdt*KVAL = Kdt*3U*L y para usos posreriores
%Vt =
*3U*L
A partir de esta expresión calcularemos el Kd correspondientes a sistemas monofásicos y
monofásicos “3 hilos” conocido en algunos textos como sistema Edison.
Sistema Monofásico.
En la figura, una carga de 1 U es alimentada cpor una línea
con el mismos conductor y la misma reactancia por fase y
unidad de longitud que también tiene la longitud L. Puesto
que ahora circula la corriente I de regreso por el conductor
neutro habrá una caída te tensión en el conductor activo y
otra caída de tensión idéntica por el conductor neutro. La
caída de tensión total será
%V1=Kd1*KVA*L
y obviamente será el doble de la caída de tensión registrada en una fase, como el caso anterior,
luego se podrá escribir
%V1=Kd1*1U*L=2*kdt*3U*L o
Kd1 =2*3*kdt =6 kdt
Figura 4-4 Esquema de alimentación de una carga monof’asica dos hilos
Figura 4-3 Equema de alimentación de una carga trifásica
74
Sistema Monofásico Tres Hilos.
Una carga constituida por dos unidades de carga es alimentada por un sistema de distribución
monofásico de tres hilos y obviamente por el conductor neutro
no circula corriente. La longitud de la línea es L, como en los
casos anteriores. Similarmente se puede escribir
%V3=Kd3*KVA*L = Kd3*2U*L
Siendo esta caída de tensión igual a la de un sistema trifásico
balanceado
%Vt = %V3 = Kd3*2U*L = Kdt*3U*L
De donde
Kd3*2 = Kdt*3 o
Kd3 =
Dos Fases de un Sistema Trifásico.
La ecuación de la caída de tensión es sistemas trifásicos es
%V =
%V =
=
Donde KV es, como hemos visto, la tensión de línea.
En algunas oportunidades predomina la distribución con sistema trifásico sobre los sistemas
monofásico tres hilos cuando se tienen cargas monofásicas y se requieren tensiones de orden
mayor como 208 V o (120*
) en países donde la tensión de una
fase normalizada es 120 volt o la tensión 190 (110*
) , para
alimentar cargas de calentadores eléctricos, equipos de aire
acondicionado, cocinas eléctricas etc.
En estos casos, cuando el banco de transformadores del sector es
trifásico se tienen esquemas de alimentación como el de la figura
de al lado, donde de los tres transformadores cuyo secundario se representa, se utilizan dos para
alimentar las cargas unitarias. La línea como en los casos anteriores tiene una longitud L y
compararemos con el sistema trifásico para tratar de encontrar un factor de ajuste que nos
Figura 4-5 Esquema de alimentación de una carga monofásica tres hilos
Figura 4-6 Esquema de alimentación de una carga con dos hilos de un sistema trifásico
75
permita utilizar las tablas y curvas ya
diseñadas. Como en el primer caso R es la
resistencia de la línea, X es la reactancia y φ
es el ángulo de factor de potencia de la
carga. Supondremos como siempre que las
cargas son iguales y las tensiones aplicadas
son también iguales alimentadas por las
fases a y b d tal manera que las corrientes
que circulan por las cargas y los conductores
activos es Ia e Ib, respectivamente, obviamente desfasadas un ángulo de 120° entre sí. La
corriente que circula por el neutro es In y también produce una caída de tensión.
El diagrama vectorial correspondiente a este esquema es el de la figura lateral izquierda. Los
primeros vectores IR e IX corresponden a las caídas de tensión en volt de la fase a y los siguientes a
la caída de tensión en el neutro.
V2f = E – V = I2f *R*cos(φ) + I2f *X*sen(φ) + I2f *R*cos(φ+60) + I2f *Z*sen(φ 6 )
V2f = E – V = I2f *Z*cos(α-φ) + I2f *Z*sen(α-φ) + I2f *Z*cos(α-φ-60) + I2f *Z*sen(α-φ-60)
V2f = I2f *Z*(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60))
Si solo dos fases tienen cargas y las cargas por fase son iguales
I2f= KVA/KVf = U/KVf
V2f =
*(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60) )
Y expresadas porcentualmente, la ecuación se transforma en
%V2f = (∆V2f*10)/1000KVf =
(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60) )
%V2f =
(cos(α-φ) + sen(α-φ) + cos(α-φ-60) + sen(α-φ-60) )
(PENDIENTE PORQUE EL RESULTADO NO COINCIDE CON LO ESPERADO)
Figura 4-7 Diagrama vectorial correspondiente a la figura antterior
76
4-4 CÁLCULO PORCENTUAL DE LA CAÍDA DE TENSIÓN.
La caída de tensión en un elemento con resistencia y reactancia en serie, como es un línea corta,
está dada por la ecuación
%V =
=
El termino
es la impedancia base para el cálculo de los valores por unidad de los
elementos de un circuito.
Zbase =
Rpu =
y Xpu =
Por analogía en un transformador que también se puede
representar por un circuito de resistencias y reactancias, esta
expresión es aplicable.
Pero si adicionalmente consideramos que el transformador
está cargado con carga igual a su la capacidad nominal, KVAn,
la caída de tensión para esta carga nominal es
Entonces
%V =100*(Rpu*cos(φ) + Xpu*sen(φ)) = %R*cos(φ) + %X*sen(φ)
Siendo %R y %X las expresiones para la resistencia y la reactancias porcentuales del
transformador en función de su propios valores base de tensión y capacidad y además
%Z =
que es el valor de la impedancia porcentual del transformador, habitualmente mostrada en la
placa del mismo.
El siguiente razonamiento, aunque trivial, se puede utilizar para generalizar la expresión de la
caída de tensión en un transformador para cargas diferentes de la nominal. Si la carga del
transformador se incrementa o disminuye siendo la nueva carga KVAr, parece obvio que la caída
de tensión es proporcional a la nueva carga de manera que se podría escribir
Figura 4-8 Esquema de un transformador para alimentar una carga trifásica- (transformador ideal, resistencia y reactancia del mismo
77
%V = %R*cos(φ) + %X*sen(φ)*
Esta es la ecuación correspondiente al método porcentual de cálculo de caída de tensión
4-5 CALCULO DE CAÍDA DE TENSIÓN ES SISTEMAS RADIALES CON CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDAS.
Como la ecuación de distribución establece que la caída de tensión en un alimentador de
distribución o sector, como se denomina en algunos países es %V = Kd*KVAL, siendo kd, la
constante de distribución una característica del conductor, para conductores con un calibre
uniforme, la acida de tensión el proporcional al momento eléctrico o KVAL. Entonces la parte mas
importante del cálculo eléctrico de sectores se remite al cálculo del momento eléctrico y el punto
de máxima caída de tensión será aquel donde el momento eléctrico se máximo.
En la etapa preliminar de diseño de un proyecto eléctrico de distribución, cuando se requiere
información pcon fines de planificación, no se tiene la ubicación puntual de las cargas y se pueden
hacer cálculos preliminares estableciendo densidades de carga lineales o superficiales para
determinar con razonable precisión, los calibres de conductor yy los costos estimados de las redes.
Estudiaremos primero el caso de sectores radiales donde la
información disponible sobre cargas, es la densidad lineal de
carga. Supongamos que tenemos una línea con carga
uniformemente distribuida con una densidad de carga lineal
uniformemente distribuida como la representada en la figura de
al lado. Aplicaremos la misma ecuación %V=Kd*KVAL con la
dificultad que no sabemos a priori que distancia ni que carga considerar
El momento eléctrico KVAL se puede calcular con facilidad de la siguiente manera
KVAL =
= L*
Como la carga total del sector es L la ecuación anterior expresa que el momento eléctrico
equivalente es igual a la carga total multiplicada por la mitad de la longitud del sector radial. En
otras palabras, los KVAL equivalentes de un sector radial es igual a la carga total del sector
concentrada en el punto medio de la línea.
En un mismo sector, como en la figura, pudieran disponerse
de cargas concentradas y distribuidas. En este caso es
evidente que la carga distribuida se puede representar como
una carga concentrada en el punto medio del tramo con
carga distribuida y calcularse como un sistema radial con
cargas puntuales como el representado en la figura mostrada a continuación.
Figura 4-9 Sector con carga uniformemente distribuida
Figura 4-10 Sector con dos cargas concentradas
78
El momento eléctrico del sector radial con las cargas alimentadas es entonces
KVAL = (L1 +l2/2)*KVAeq + (L1+ L2 + L3)*KVA
o de otra manera
KVAL = L1 *(KVAeq + KVA) + (L2/2 + L3)*KVA
Cargas distribuidas con densidad lineal no uniforme.
Supongamos que tenemos un sector de distribución que
tiene una densidad lineal de carga no uniforme, como la
representada en la figura, y que esta densidad es una función
de x ( (x)).
El diferencial de carga es (x)dx y el brazo es x, por consiguiente KVAL =
Por ejemplo, supongamos un sector que tiene una densidad de carga uniformemente creciente
con una pendiente k y una longitud total L. En esta propuesta
, como en la figura siguiente
KVAL =
=
Como la carga total Q es
la ecduacion anterior queda
KVAL = k*L*
=
Lo cual se interpreta como la distribución de carga propuesta es equivalente a una carga igual a la
carga total concentrada a los 2/3 de la longitud del alimentador.
Cargas distribuidas con densidad superficial uniforme.
Sea por ejemplo un alimentador que tiene una distribución
superficial σ uniforme de cargas y un área A. como la
mostrada en la figura. En este caso el elemento de carga es
dQ = σ* A y m m é
KVAL =
σ A
Figura 4-10 Sector Cargas distribuidas con densidad lineal no uniforme
Figura 4-11 Sector con Cargas distribuidas de densidad lineal
uniformemente creciente
Figura 4-11 Sector con Cargas distribuidas con densidad superficial
uniforme
79
Si podemos calcular el centro de gravedad de la superficie definiendo esta como x0, tendríamos
x0 =
y por consiguiente A
x0*A pudiéndose escribir
KVAL = x0*σ*A
Lo cual se interpreta como el momento eléctrico de una alimentador con que alimenta un area
con densidad de carga superficial uniforme, es igual al de un alimentador con toda la carga
concentrada en el centro de gravedad de la superficie.
CARGAS PUNTUALES EN ALIMENTADORES RADIALES
Alimentador radial sin ramales.
Nos referiremos como antes al momento eléctrico porque como hemos venido repitiendo, la caída
de tensión en un punto es proporcional a los KVAL en ese punto, cuando como en los casos que
hemos tratado, el calibre de conductor y el material
son uniformes.
Supongamos un alimentador con dos nodos en los
cuales están aplicadas sendas cargas puntuales, como
se muestra en la figura de al lado.
Es evidente que la caída de tensión en el nodo 1 sera función de la corriente que pasa por el tramo
0-1, es proporcional a la corriente que pasa por el tramo y a la impedancia del mismo, y como
hemos venido repitiendo, es entonces proporcional al producto de la longitud por los KVA que
circulan por el tramo. Esto es
%V1 =Kd (KVA1 + KVA2)*L1
Y la caída de tensión en el nodo 2, es la caída de tensión en el nodo 1 mas la caída de tensión en el
tramo 1-2, esto es
%V2 = %V1 + Kd*KVA2*L2
Podríamos decir que
El momento eléctrico KVAL en el nodo 2 es igual a la suma de los momentos en el tramos 0-1 mas
el momento en el tramo 1-2.
Y si tuviésemos tres nodos se cumplirá que
%V2 = %V1 + %V2 + %V3
80
Es evidente que el mismo razonamiento se puede aplicar a cualquier cantidad de nodos con cargas
y entonces es válida la siguiente ecuación:
KVAL =
Siendo KVAi la potencia en KVA que circulan por el tramo i, y Li, la longitud del tramo i. En otras
palabras “el momento eléctrico en el punto más alejado en un alimentador radial, es igual a la
suma de los productos de la longitud de cada tramo por los KVA que circulan por este tramo”.
Un ejemplo contribuirá a aclarar los procedimientos que hemos intentado presentar.
Ejemplo.
Sea un sector radial de baja tensión como el presentado en la figura siguiente, con cuatro nodos y
las cargas correspondientes de 25, 10, 20 y 10
KVA, respectivamente. Los tramos son la
separación entre nodos con longitudes
representadas entre corchetes de 40, 50, 60 y 30
metros respectivamente.
Podemos calcular el momento en el nodo 4 de la manera siguiente
KVAL = 40*25 + (40+50)*10+ (40+50+60)*20 + (40+50+60+30)*10
KVAL = 40*25+90*10+150*20+180*10 = 1000+ 900+3000+1800
KVALO = 6700
O de la manera propuesta, en función de los
flujos de potencia por cada tramo y la longitud
de los tramos
KVAL = 40*65+ 50*40+60*30+30*10
KVAL = 2600 + 2000 + 1800 + 300
KVAL = 6700
La caída de tensión en el punto más desfavorable, (el punto de máxima caída o de mínima tensión)
será
%V =Kd*KVAL
81
Alimentador radial con ramales
Es conveniente antes de proponer un procedimiento de solución para este tipo de redes,
establecer algunas definiciones como son:
Topologia de la red: La representación topológica de la red, muestra la posición relativa de los
elementos de la red destacando la información fundamental para realizar
el cálculo eléctrico de la misma. No es importante para este tipo de
representación la trayectoria detallada, la cota o detalles topográfico y de
urbanismo.
Topografía de la red: A diferencia del caso anterior, es indispensable para ubicación de los
elementos de la red.
Tramo: Longitud comprendida entre dos nodos consecutivos.
Nodo Inicial: Nodo donde comienza un tramo.
Nodo Final: Nodo donde finaliza un tramo. Como no se trata de redes orientadas, en
un tramo pueden intercambiarse los nodos iniciales y finales.
Nodo Terminal: Nodo Final que no es nodo inicial de algún tramo.
Nodo de alimentación Nodo en el cual está conectado el transformador
Nodo de derivación: Un nodo inicial de varios tramos.
Nodo de mínima
Tensión: Nodo que presenta la máxima caída de tensión en el sector. A diferencia
del caso anterior, no es evidente cual es el nodo que presenta máxima
caída.
Troncal: Trayecto desde un nodo terminal al nodo de alimentación definido por los
nodos por los cuales pasa.
Definir una troncal Establecer una troncal a partir de un nodo terminal.
Ramal: Tramos derivados desde una troncal.
Carga unitaria: Carga en KVA que caracteriza una unidad urbana (casa, apartamento).
Carga en el nodo: Producto del número de acometidas por la carga unitaria. Algunas
acometidas pudieran corresponder a varias unidades de carga, donde a
juicio del proyectista, las viviendas alimentadas, pudiesen tner cargas
diferentes de una carga unitaria.
82
Acumular cargas: La suma de las cargas de un ramal añadida a la carga original del nodo.
Flujo de carga
en un tramo: Magnitud y orientación de la carga en un tramo. Desde el nodo de mayor
tensión hacia el nodo de tensión menor.
Matriz de conexiones: Tabla ordenada donde se especifica para cada tramo, el número del tramo,
el nodo inicial, el nodo final y la longitud del tramo. Para algunas
aplicaciones diferentes a las que aquí trataremos podría especificarse el
calibre del conductor, la impedancia por unidad (resistencia y reactancia)
del tramo, otras informaciones que pudieran ser de interés.
Vector de cargas: Para cada nodo con carga, el número del nodo, carga en número de carga
unitaria, las coordenadas del nodo (abscisa y ordenada). Para aplicaciones
diferentes pudiera definirse el código de la estructura o tanquilla instalada
en el nodo.
Un ejemplo nos permitirá aclarar las definiciones enunciadas. Supongamos la red siguiente
generada por el programa “Sector”, anexo al texto. La numeración de nodos es arbitraria, es decir
que los nodos no están ordenados y no necesariamente el nodo con una numeración inferior
precede a un nodo con numeración superior.
A diferencia de los sectores radiales simples, la representación topológica muestra ramales
derivados de alimentadores que pudieran considerarse
Para evitar el congestionamiento de números en el dibujo, hemos eliminado la numeración de los
tramos, pero esta simplificación no introduce complicaciones.
Por ejemplo el nodo 3 tiene una carga de 20 KVA, este nodo define el tramo 1-3 (o también puede
llamarse (1-3), por el cual circula una carga de 20 KVA.
Del mismo modo el nodo 2 tiene una carga de 50 KVA, que circula por el tramo 1-2 de 50 metros.
Los nodos terminales 2 y 3 definen sendas troncales, pero los KVAM correspondientes al tramo 2-1
son 50*50 = 2500 KVAM, mientras que los KVAM del tramo 3-1 son 40*20=800 KVAM, por
consiguiente la trocal correspondiente al nodo 2 es dominante sobre la troncal correspondiente al
nodo 3.
El conjunto de nodos (1-2-3-4-5) aporta 50*50 + 40*70+ 30*95=8150 KVAM mientras que el
conjunto (10-9-5) aporta 30*10+40*60 =2700 KVAM. Hasta el nodo 5 la troncal dominante es la
definida por el nodo 2. Los KVAM correspondientes a los otros nodos terminales son inferiores a
los KVAM del nodo 2. Hasta el nodo 6, nodo de alimentación, el momento eléctrico será 13700
KVAM
83
Si definimos la troncal por el nodo generador diremos que la troncal 2, tiene un momento de
13700 KVAM.
Siguiendo el mismo procedimiento para las diferentes trocales tendremos
Troncal 2: 13700 KVAM
Troncal 8: 1350 KVAM
Troncal 13: 12000 KVAM
Troncal 20: 41500 KVAM
Troncal 24: 55750 KVAM
La trocal que determina la caída de tensión del sector es la troncal 24, siendo por consiguiente
este nodo 24 el nodo de mínima tensión
Si la tensión de alimentación es 2.4 KV, la constante de distribución para el conductor de aleación
de aluminio 6201 (Arvidal) es 0.092*10-3, la caída de tensión es 0.092*10-3*55750 = 0.5%.
84
SECTORES MALLADOS. BASES TEÓRICAS.
Teorema de Rosen.
El teorema de Rosen referido a redes eléctricas establece que “un circuito pasivo constituido por n
impedancias, Z1, Z2, Z3 … Zn, conectadas en estrella, puede ser sustituido por otro circuito
equivalente formado por
impedancias, Z12, Z13,…, Z1n, Z23, Z24, … Z2n, , Z23, Z24, ….,Zmn ,
conectadas en polígono.
Según este criterio, la red en estrella de n impedancias conectada a los nodos 0,1, …,i …,j …,n
equivale a una red de n vértices conectada en polígono cuyos vértices están conectados entre si
con
impedancias, resultando las mismas corrientes I0, I1, …,Ii …, Ij …,In para el mismo
conjunto de tensiones aplicadas V0, V1, …,Vi …,Vj …,Vn.
Si uno de los nodos, en este caso el nodo 0, es el neutro del sistema, sigue siendo válida la
afirmación anterior, y Y0 es la admitancia de la carga conectada al nodo central de la estrella y la
85
corriente que circula por este nodo, es igual a la suma de las corrientes de las ramas de los nodos
conectados a tierra a través de las admitancias entre estos y neutro.
Las suma cargas que corresponden a estas admitancias, es igual a la carga del nodo central a la
estrella. Entonces con la conversión de la estrella a un polígono equivalente, hemos “transferido la
carga a los extremos”. De ahí el nombre del procedimiento que emplearemos en la reducción de
redes para la solución de los problemas de redes alimentadas por dos puntos o más.
Las ecuaciones para calcular las admitancias del polígono, dadas as admitancias de la estrella son
Y en términos de impedancia:
*
Si hay nodos pq con el mismo potencial, no tiene sentido calcular impedancia Zpq, puesto que la
corriente que circularía por esta sería igual a cero.
La conversión de un circuito estrella a un circuito triángulo es un caso particular del teorema de
Rosen y se conoce como teorema de Kennelly.
En el caso de n=3 también existe la posibilidad de conversión contraria, es decir de triángulo a
estrella.
Las ecuaciones son para estrella a triángulo
Y12 =
; Y23 =
; Y31 =
Y análogamente, para triángulo a estrella
Z1 =
; Z2 =
; Z1 =
La conversión polígono a estrella no es posible para n>3.
Para encontrar la carga transferida a cada extremo podríamos continuar con aplicaciones del
teorema de Rosen, pero existen deducciones mas sencillas utilizando características de las líneas
de transporte a novel de baja y media tensión, donde por condiciones de serevicio las diferencias
de tensión deben estar limitadas a valores comparables a 5% o menos.
86
Supongamos que tenemos un sector como el de la figura ubicada debajo a la izquierda, con una
carga en el nodo 5 de 40 KVA, otros nodos sin carga y está alimentado por el nodo 1. Puesto que
los nodos 2, 3 y 4 no tienen carga y no son nodos de derivación, pueden ser eliminados y entonces,
topológicamente el sector anterior es igual al del medio y a la figura de la derecha, en la cual
hemos cambiado el número del nodo 1 por A y B.
Lo que hemos hecho es abrir el sector por el nodo de alimentación y obviamente el nodo A es el
mismo nodo B, con la misma tensión obviamente.
Como la carga del nodo 5 es suplida por ambos lados, diremos que la alimentación al nodo 5 entra
desde el lado A y desde el lado B, y como la diferencia de tensión entre el nodo 1 y el nodo 5 es la
misma medida desde cualquier lado, la caída de tensión desde el lado A es la misma que la caída
de tensión del mismo nodo desde el lado B. Por consiguiente si llamamos KVAa la carga que llega al
nodo 5 desde el extremo A y KVAb la que llega al mismo nodo desde el extremo B, es cierto que
%V = Kd*KVAa*L5A = Kd*KVAb*L5B
Y mejor denominamos L5A como La y análogamente L5B como Lb se tiene
KVAa*La =KVAb*Lb y también
de donde
Y entonces
=
y si llamamos KVA0 a la carga original en el nodo 5 y Lt la longitud total de la
línea, tendremos
=
y entonces
87
=
y por analogía =
Lo cual se expresa mejor con una sentencia
“Si una carga está alimentada por dos puntos A y B a la misma tensión, para obtener la carga que
entra por uno de los nodos se hace momento desde el nodo opuesto y se divide por la longitud
total de la línea”.
En el problema propuesto La = 60, Lb =90, KVA0 = 40 KVA
KVAa = 40*90/150 = 24 KVA
KVAb = 40*60/150 = 16 KVA
Es obvio que KVAa +KVAb = KVAt, por lo tanto KVAb se puede obtener por diferencia entre KVAt y
KVAb.
Supongamos que se tienen dos cargas KVA1 y KVA2 en una línea alimentada por ambos extremos
(es decir desde un mismo punto de alimentación, como es la salida secundaria de un banco de
transformadores). Aplicando el teorema de superposición determinaremos los KVA que entran por
el primer nodo de alimentación con cada una de las cargas aplicadas
Primero, solo con la carga en el nodo 1, los KVA que entran por el nodo A son
KVAa =
Luego, solo con la carga en el nodo 2.
KVAa =
88
De modo que la carga total que entra por el nodo 1 es:
KVAa=
,
Ecuación que identificamos otra vez con la expresión “los KVA que entran por A son el momento
eléctrico en relación al extremo opuesto dividido por la longitud total de la línea”.
Es obvio que el mismo razonamiento se puede aplicar para una línea con cualquier numero de
nodos.
Para la deducción de las ecuaciones anteriores que los nodos extremos son nodos de alimentación
y que además están a la misma tensión. En sistemas de distribución en baja tensión, las
normativas vigentes en cada país establecen niveles máximos de caída de tensión que para redes
en operación no deben exceder un 6% (en Venezuela el máximo nivel de caída de tensión
permitido es 5%).
Cuando se diseña una red, previendo un crecimiento posterior de la carga, se limita a 3% y aun
menos, la caída de tensión permitida en las redes de baja tensión.
Por esta razón en nodos extremos que no sean de alimentación puede aplicase el mismo
procedimiento, el cual por otra parte, se conoce como “transferencia a los extremos”, porque en
una sección de línea comprendido entre dos nos A y B, las cargas intermedias se transfieren a
aquellos nodos, determinando los aportes de carga de los mismos.
Lo expuesto significa que la transferencia a los extremos es aplicable a redes de distribución
secundaria, cuando las diferencias de tensión en la red no exceden la caída de tensión máxima
permisible.
VARIOS NODOS DE ALIMENTACIÓN A UNA CARGA MEDIANTE TRAMOS DE DIFERENTES
LONGITUDES.
Supongamos una carga KVA0 alimentada desde los nodos 1,2…i,..n
mediante tramos de línea de longitudes L1, L2, ..Li,..Ln. No tendremos
inconveniente en reconocer que si los tramos tienen la misma
impedancia unitaria, la caída de tensión en cada uno de ellos es la
misma y entonces, el producto de los KVA con que contribuye cada
nodo de alimentación multiplicados por la longitud del tramo correspondiente, son iguales.
89
Como KVA1*L1 =KVAi*Li
Podemos escribir
=
=
.
.
=
.
.
=
Sumando los términos de la derecha obtenemos
KVA1 + KVA2+…+KVAi+… = KVA0
De donde
KVA0 =
+
+ . . . +
+ . . +
Luego
=
O como realmente se usa
=
*
Para obtener la carga aportada por cada nodo denominaremos K0 =
90
Y entonces tendremos
Y en general
Los problemas resueltos que se expondrán más adelante presentan los tipos mas comunes de
disposición de redes radiales y malladas utilizadas en distribución.
Resumen de metodología para cálculo de caída de tensión en redes malladas,
Redes con carga uniformemente distribuida.
91
ADMITANCIA PARALELO EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
En el segundo capítulo hablamos de impedancia serie y nos referimos marginalmente a
Admitancia en paralelo de líneas de transporte de energía.
La unidad de la admitancia normalmente es siemens, pero la fuerza de la costumbre ha hecho que
el medios técnicos se hable mas bien de mho, como se ha hecho tradicionalmente y un poco mas
allá en el pasado se escribía este símbolo como una letra omega (Ω) invertida.
La admitancia como cantidad compleja, estaría compuesta por una parte real denominada
conductancia y una parte imaginaria denominada susceptancia, expresándose entonces de la
siguiente manera
Y = G +jX
La fuga de los aisladores es la principal fuente de conductancia en líneas eléctricas aéreas
y como en condiciones de operación normales, debido al nivel de tecnología alcanzado en la
construcción de aisladores esta fuga es irrelevante, lo normal es despreciar su efecto y por
consiguiente se asume generalmente un valor de cero para la conductancia. En condiciones reales
de operación, los aisladores se contaminan por efecto de la sal húmeda en la cercanía de las costas
marinas, por el polvo y material fertilizante en los campos de cultivo, por el humo de vehículos y
otros contaminantes urbanos en la ciudades y por efecto de cercanía y roce con las ramas de los
árboles en el campo. Estas circunstancias hacen muy difícil de calcular la conductancia lo cual
constituye una razón adicional parra desestimar su cálculo en el caso de líneas reales.
SUSCEPTANCIA CAPACITIVA.
Los conductores de una línea de transmisión se comportan como un capacitor que tiene
por dieléctrico el aire en el caso de líneas aéreas y el aislamiento si se trata de líneas subterráneas,
y por consiguiente al someterse a una diferencia de tensión entre conductores, adquiere una
carga eléctrica. El valor de la capacitancia está dado por la relación entre la carga y la diferencia de
tensión entre conductores o que significa que la capacitancia es equivalente a la carga por unidad
de diferencia de tensión. La líneas aéreas de menos de 100 Km. tiene una capacitancia
despreciable, sin embargo las líneas construidas con cables de potencia en razón a que se
comportan como capacitares coaxiales, tiene una capacitancia considerable aún para longitudes
mucho menores.
En un capacitor cuyas placas estén sometidas a una diferencia de tensión alterna presenta
un flujo de corriente. De la misma manera si en los conductores de una línea en uno de los
extremos se aplica una diferencia de potencial, esta dará origen a una transferencia de cargas
entre conductores que es lo que se conoce como corriente de carga de la línea. Esta corriente
fluye en la línea aun cuando esté operando en condiciones de línea abierta influyendo en las
variaciones de tensión en los extremos de la línea.
92
CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO EN UN CONDUCTOR RECTO.
Definición de términos
Faradio = Unidad de capacitancia definida como la capacitancia entre dos cuerpos conductores
uno de los cuales tiene una carga de + 1 coulomb y el otro una carga de -1 coulomb. Teniendo los
demás conductores del entorno una carga de 0 coulomb. El símbolo de la capacitancia es C.
D=Densidad de flujo eléctrico medida en coulomb por metro cuadrado.
Є0 = Permitividad del espacio libre, es la relación, en el espacio libre entre la densidad de flujo y el
gradiente de potencial o intensidad de campo eléctrico. La unidad en el sistema MKS racionalizado
es Faradio/m y numéricamente igual a 8.854*10-12 o 1/(4π*10-7*c2), donde c es la velocidad de la
luz que es muy aproximadamente igual a 3*108 metros por segundo. Las expresiones numéricas
anteriores son igual a 1/36π*109 F/m.
E= Intensidad de campo eléctrico, en voltios por metro, es la fuerza en newton por coulomb en un
punto de ese campo eléctrico
Si consideramos un conductor cilíndrico, recto de
gran longitud y aislado de cualquier perturbación
electromagnética, se puede considerar que la densidad de
carga superficial es uniforme en la superficie del conductor y
toda la superficie cilíndrica es consecuentemente
equipotencial es fácilmente aplicable la Ley de Gauss que se
expresa en la siguiente ecuación:
Si tomamos una superficie tubular concéntrica con el
conductor y de longitud unitaria, la carga eléctrica encerrada
por la superficie tubular es igual al flujo eléctrico a través de la superficie. Como este flujo saliente
por una cara transversal se anula con el flujo saliente por la otra cara transversal, el flujo neto
será a través de la superficie tubular concéntrica con el conductor.
sdsDq .
Dado que la densidad de flujo eléctrico D, es constante para una distancia x, puede
extraerse este del signo integral y quedará
93
s
dsDq = D*1*2πx=2πx D
La ecuación anterior indica que un flujo eléctrico de q coulomb por metro de longitud de
conductor cilíndrico pasando a través de una superficie tubular de un metro de longitud
concéntrica con el conductor con un radio de x metros. El área de la superficie tubular es de 2πx.
De estas ecuaciones
x2
qD
La fuerza por unidad de carga en este campo eléctrico a la distancia x, es la intensidad de
campo eléctrico o gradiente de potencial, E.
La intensidad de campo eléctrico en base a la definición de término correspondiente es
igual a la densidad de flujo eléctrico dividida por la permitividad del medio.
Entonces x
q
x
qE
2
10**18
2
9
La diferencia de potencial entre dos puntos expresada
en voltios, es numéricamente igual al trabajo en joules por
coulomb necesarios para mover un coulomb entre esos dos
puntos dentro del campo eléctrico. La integral de línea entre
dos puntos A y B, de la fuerza en newton que actúa sobre un
coulomb de carga positiva, es el trabajo requerido para mover
la carga desde el punto de mas bajo potencial al de más alto y
es igual, numéricamente, a la diferencia de potencial entre
estos dos puntos.
El camino de integración entre A y B, pudiera ser cualquiera, entre ellos los caminos ACB,
el AEB y el ADB. Seleccionamos el camino ACB
Vab dd
dd
oA
oB
oA
oBB
A
B
A
B
Aqq
x
dxqdx
x
qEdx ln**10*18ln
2
1036
22
99
94
Los símbolos d0A y d0B indican las distancias ente el centro del conductor y el punto A y la
distancia entre el centro del conductor y el punto B. Según la ecuación anterior, la diferencia de
tensión entre dos puntos, producida por una carga aislada q, está dada por el producto de una
constante ( 910*18 ) multiplicada por el logaritmo neperiano de la relación entre la distancia del
punto más lejano a la distancia del punto más cercano.
CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UN CONJUNTO DE CONDUCTORES EN PARALELO.
La siguiente figura representa los conductores de una línea de transmisión de potencia forma do
por los conductores A, B, C, D… que transportan una carga qa, qb, qc qd,.. coulomb por metro
respectivamente, siendo como corresponde a un sistema de potencia, la suma algebraica de las
cargas igual a cero. P es una línea remota, que podemos llevarla tan distante como se quiera
siendo dap, dbp, dcp,.. las distancias de cada uno de los conductores a este conductor remoto
P
E
D
C
B
A
Como la diferencia de potencial entre el conductor 1 y el punto P es
Debido a la carga en A, VAP = 18*109ln(dAP/r)
Debido a la carga en B, VAP = 18*109ln(dBP/dAB)
Debido a la carga en A, VAP = 18*109ln(dCP/dAC)
‘
‘
Y como la diferencia de tensión es una magnitud escalar, la diferencia de tensión entre el
punto A y el Punto P, es la suma algebraica de todos los efectos de los diferentes conductores.
VAP = 18*109( qAln(dap/r)+qB ln(dba/dbp)+ qc ln(dca/dcp)+ ……
VAP = 18*109( qAln(1/r)+qBln(1/dbp)+ qc ln(1/dcp)+ …… +
+ 18*109( qAln(dap)+qB ln(dba)+ qc ln(dca)+ ……
95
Observando el segundo sumando de la última ecuación, se puede notar que en la medida
que el conductor a se aleje las distancias dap, dbp, dcp .. se van haciendo iguales entre si en
consecuencia podemos hacer los logaritmos neperianos de estas distancias iguales a un variable k
y entonces este último sumando queda
18*109( qAln(dap) qB ln(dba)+ qc ln(dca)+ ……= 18*109k(qa+qb+qc+…)
Y como la suma algebraica de las cargas es igual a cero
Vap = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)+ qd*ln(dad)+……
Pero si además de lejano, el conductor P lo conectamos a tierra, la diferencia de potencial Vap es
Va, el potencial absoluto del conductor A, siendo entonces
Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)+ qd*ln(dad)+……
Vb = 18*109(qbln(1/r) + qb*ln(dbb)+ qc*ln(dbc)+ qd*ln(dbd)+……
TENSIÓN INDUCIDA EN UN CONDUCTOR PARALELO A UNA LÍNEA UBICADO A UNA DISTANCIA EN
X DEL EJE DE LA LÍNEA.
Si suponemos que a un conductor paralelo al conjunto de conductores de la línea está
ubicado un conductor X, sobre este se inducirá eléctricamente una tensión. Para calcular esta
tensión es necesario calcular las cargas eléctricas en cada conductor tensionado.
Apliquemos la ecuación
Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)+ qd*ln(dad)+……
96
para cada uno de los conductores de la línea que en principio, consideraremos compuesta por un
solo circuito trifásico de tensiones balanceadas.
De la misma manera que para el conductor A, se pueden definir las ecuaciones correspondientes
para los otros conductores B y C, pero como tenemos la tensiones de operación del sistema y este
tiene por hipótesis las tensiones equilibradas.
C
B
A
Disposición de los conductores de una línea
Vc
Vb
Va
Relación de las tensiones de fase en los conductores
de la línea anterior
Las ecuaciones para las tensión
es son:
Va=Vl/ 3 0 =18*109(qa*ln(1/r) +qbln(1/dab)+qc(1/dac)
Vb=Vl/ 3 240 =18*109(qa*ln(1/ dba) +qbln(1 / r)+qc(1/dbc)
Vc=Vl/ 3 120 =18*109(qa*ln(1/ dca) +qbln(1/dcb)+qc(1/r)
97
Supongamos que V0 es la tensión de fase = Vl/ 3 y planteamos ahora una ecuación para
la parte real y una ecuación para la parte imaginaria.
Para la parte real
V0 = 18*109(qar*ln(1/r) +qbrln(1/dab)+qcr(1/dac)
-V0 3 /2 = 18*109(qar*ln(1/r) +qbln(1/dab)+qcr(1/dbc)
-V0 /2 =18*109(qar*ln(1/ dca) +qbrln(1/dcb)+qcr(1/r)
Par al parte imaginaria.
0 = 18*109(qai*ln(1/r) +qbiln(1/dab)+qci(1/dac)
-V0 3 /2 = 18*109(qai*ln(1/ dba ) +qbln(1/r)+qci(1/dbc)
V0 3 /2 =18*109(qai*ln(1/ dca) +qbiln(1/dcb)+qci(1/r)
De lo cual resulta que la carga es una magnitud compleja con una componente real y otra
imaginaria.
Dado que se puede considerar el suelo una superficie equipotencial a potencial cero, es
aplicable el método de imagen
Vc
Vb
Va
=18*109 *
)/1ln()/1ln()/1ln(
)/1ln()/1ln()/1ln(
/1ln()/1ln()/1ln(
r
r
r
dddddd
cbca
bcba
acab
*
qqq
c
b
a
La matriz de logaritmos neperianos multiplicada por el escalar 18*109, usualmente se denomina
Matriz de Potencial |P|.
98
18*109 *
)/1ln()/1ln()/1ln(
)/1ln()/1ln()/1ln(
/1ln()/1ln()/1ln(
r
r
r
dddddd
cbca
bcba
acab
= P
En los planteamientos anteriores se ha despreciado el efecto de la tierra, sin embargo
algunos autores coinciden en afirmar que si el suelo es un conductor perfecto plano de extensión
infinita, el campo eléctrico de los conductores cargados arriba no es el mismo que el que el que se
tiene despreciando el efecto del suelo.
Si el suelo es un conductor a potencial cero, se tendría el mismo efecto que si cargas
idénticas pero de signos contrarios estuviesen dispuestas a la manera de imagen sobre una
superficie especular que sería la superficie del suelo. Entonces podría retirase la superficie
especular y el campo eléctrico en la superficie no sufriría variaciones. Este principio el método de
análisis conocido como método imagen que consiste precisamente en sustituir el efecto del suelo
por cargas idénticas y de signos contrario ubicadas a una profundidad igual a la altura de cada
carga.
C'
B'
A'
C
B
A
Las ecuaciones con las nuevas cargas imagen tendrían la forma siguiente
Va= =18*109(qa*ln(1/r) +qbln(1/dab)+qc(1/dac)-qa’ln(daa’)-qbln(dab’)-qcln(dac’))
Vb= =18*109(qa*ln(1/ dba) +qbln(1 / r)+qc(1/dbc)- qa*ln(1/ dba’) -qbln(1 / dbb’)-qc(1/dbc’))
99
Vc= =18*109(qa*ln(1/ dca) +qbln(1/dcb)+qc(1/r)- qa*ln(1/ dca) -qbln(1/dcb)-qc(1/r))
Y la matriz de potencial será ahora:
P =18*109 *
r
r
r
ddd
dd
ddd
dd
dd
ddd
cb
cb
cb
ca
ca
bc
bcbb
ba
ba
ac
ac
ab
abaá
'''
'''
''
lnlnln
lnlnln
lnlnln
Cálculo de la capacitancia de una línea monofásica
Sea una línea monofásica formada por dos conductores cilíndricos iguales de diámetro R,
dispuestos como en la figura siguiente:
BA
d
La diferencia de potencial del punto A a tierra es
Va = 18*109(qaln(1/R) +qbln(1/d))
Como qb=-qa
Va= 18*109(qaln(d/R)
Y como C=q/V
100
CA = 1/18*109(qaln(d/R)
La ecuación anterior da la capacitancia de un conductor a neutro. Como el otro conductor
tiene la misma capacitancia a neutro, la capacitancia de los dos conductores entre si será igual a el
resultado de conectar estas dos capacitancias en serie es decir
CAB = 1/(2*18*109(qaln(d/R))
CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON ESPACIAMIENTO UNIFORME.
Supongamos una línea con espaciamiento uniforma entre conductores de D metros y con
conductores cilíndricos con un radio de R metros, como la representada en la figura siguiente:
CB
A
D
D D
Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(dab)+ qc*ln(dac)
Va = 18*109(qaln(1/r) + qb*ln(D)+ qc*ln(D)
Va = 18*109(qaln(1/r) +(qb+ qc)*ln(D)
Y como qb+ qc = -qa
Va = 18*109 qa(ln(1/r) - ln(D)) = 18*109 qaln( )R
D
Y dado que C= q/V, la capacitancia estará dada por
C=1/ 18*109 ln( )R
D
101
Recordemos que la inductancia de una linea anterior era de L= 2*10-7ln(DMG/(R*e-1/4) donde el
factor e-1/4 = 0.7788 se debe a la inclusión de la inductancia debido al flujo interior al conductor.
La inductancia debida al flujo exterior al conductor es Le= 2*10-7ln(DMG/(R) y si
obtenemos el producto Le*C obtendremos
Le*C = 2*10-7* ln( )R
D/( 1/ 18*109 ln( )
R
D) = 1/(9*1016) = 1/c2
De donde se puede concluir que la velocidad de la luz es igual a la al inverso de la raíz
cuadrada del producto de la inductancia debida al flujo exterior y la capacitancia de la línea.
Entonces tendríamos otra manera de calcular la capacitancia de la línea anterior.
C= 1/c2*Le = 1/(9*1016 *2*10-7*ln( )R
D) = 1/ (18*109 ln( )
R
D)
Como ya habíamos encontrado.
En 1914 G. W. HOWE en el trabajo denominado “On the Capacity of Radio Telegrafic
Antenae”, publicado en la revista ELECTRICIAN, presentó el método que se ha aceptado para líneas
aéreas desde entonces ampliada de la manera siguiente:
C= 1/ (18*109 ln( )Dss
DMG)
Donde Dss es el Radio Medio Geométrico de la línea, cuando se sustituye el termino ds por el
radio equivalenete de la línea (promedio geométrico enter conductores de la misma fase)
B
CA
Supongamos una línea con disposición asimétrica pero adecuadamente transpuesta, como
la representada en el esquema anterior
·En la primera sección de la línea
V1 = 18*109(qa*ln(1/r +qb*ln(1/dab + qc*ln.(1/dac)
En la segunda transposición
V2 = 18*109(qa*ln(1/r +qb*ln(1/dbc + qc*ln.(1/dba)
102
En la tercera sección
V3 = 18*109(qa*ln(1/r +qb*ln(1/dca + qc*ln.(1/dcb)
El promedio de tensiones en A será
Va= (V1+V2+V3)/3 = 18*109*(qaln1/r3 + (qb+qc)*ln(1/dab*dbc*dca))/3
Va = 18*109*qaln(R
ddd cabcab3
)
Y la capacitancia C = 1/18*109*ln(R
ddd cabcab3
)
En términos de la Distancia Media Geométrica (DMG)
C = 1/18*109*ln(R
DMG) F/m
La susceptancia capacitiva para 60 Hz será
b=2*π*60*1000/(18*109*ln(R
DMG)) = 20.94*10-6/ ln(
R
DMG)mho/km
y como la conductancia es de valor despreciable, la admitancia de la línea es igual a la
susceptancia capacitiva, luego
Y = jb = 20.94*10-6/ ln(R
DMG)mho/km = 20.94*10-6/ ln(
R
DMG) 900
CALCULO DE CAPACITANCIA PARA LÍNEAS DE CIRCUITOS MÚLTIPLES
La expresión que vincula la inductancia debida al flujo exterior, la capacitancia y la
velocidad de la luz, se estudia en los textos de Teoría Electromagnética como tercer corolario de
las Leyes de Maxwell y tiene en consecuencia una aplicación mucho mas general que la
encontrada para un circuito trifásico con conductores espaciados un uniformemente, y la ecuación
atribuida a Howe para circuitos trifásicos con espaciamiento no equilátero.
Sobre esta base puede encontrase la relación general de la inductancia debida al flujo
exterior. Recordemos que la expresión del Radio Medio Geométrico incluía un factor de
e-1/4 = 2.718281828459.. -1/4 = 0.7788 para considerar la adición de la inductancia debida al flujo
interno del conductor. Por ejemplo, la fórmula de GUYE, para calcular el Radio Medio Geométrico
de un haz de conductotes paralelos dispuestos en los vértices de un polígono regular, es
103
RMG = nn
s Rdn1
Donde n es el número de conductores
ds es el radio geométrico de cada conductor
R es el radio del polígono en cuyos vértices están los centros de los conductores
Si queremos despreciar el flujo magnético interior, la ecuación toma la forma
Dss = nn
Rnr1
El nuevo término r, es el radio de cada uno de los conductores en haz.
En el capítulo correspondiente a Inductancia, habíamos definido el radio Medio
Geométrico (Ds, del inglés Self Distance), como el “promedio geométrico entre todos los
conductores de la misma fase”
El término Dss, para diferenciarlo de Ds , lo que habíamos denominado distancia de un
conductor a si mismo (d11, d22 etc.), se calcula de la misma manera que el Ds, pero descartando
el factor e-1/4 .
Con esta consideración la formula general para calcular la Admitancia paralelo de una
línea, considerada bien transpuesta, es
Y = 20.94*10-6/ ln(Dss
DMG) 900 mho/km
INFLUENCIA DE FORMA DEL CONDUCTOR EN EL CAMPO ELÉCTRICO
En un conductor sólido de sección cilíndrica el campo eléctrico se inicia en la superficie del
conductor, que asimismo es equipotencial. El potencial se dispone en forma de tubos concéntricos
con el eje del conductor, lo que significa que las curvas de potencial, perpendiculares a los
campos radiales, son dependientes de la distancia del punto de observación al eje del conductor.
104
Pero si el conductor es cableado, la superficie del conductor será una superficie equipotencial pero
no es de forma cilíndrica.
Distribución del flujo eléctrico cerca de un conductor cableado
Como se ve en la gráfica anterior, las líneas de intensidad de campo son radiales en la
medida que la distancia de observación se aleja del centro del conductor y por consiguiente las
líneas equipotenciales son concéntricas con el centro, pero en la cercanía del conductor siguen la
forma aproximada de la superficie de este. La hipótesis de cálculo para las ecuaciones de potencial
son válidas en la medida que la distancia entre conductores sea muco mayor que el radio exterior
del conductor, pero para distancias pequeñas entre conductores, se comete un error que puede
tener cierta relevancia.
Afortunadamente la distancia entre conductores en líneas aéreas es bastante mayor que
el diámetro de los conductores, por consiguiente no es necesario analizar las variaciones del
potencial y los cálculos consecuentes para distancias pequeñas separaciones entre conductores.
Algunos autores establecen la el error cometido para relación de distancias a radio del
conductor superiores a 100 (relación típica en líneas de distribución), el error cometido es del
orden del 0.9% pero para líneas reales de transmisión (tensiones superiores a 115 KV) la relación
D/r>500 el error cometido al considerar como cilíndrico el conductor cableado el error es menor
de 0.5%.
EFECTO DE LA TIERRA EN LA CAPACITANCIA.
Utilizaremos el mismo grafico donde calculamos la carga con efecto imagen, pero ahora
supondremos que la línea, compuesta por los conductores 1, 2, 3 está transpuesta. En el primer
tramo los conductores 1, 2 y 3 estarán en las posiciones A, B y C respectivamente. Para intentar
presentar el texto en la forma algo mas fácil de entender, denominaremos dab, dbc y dca, las
distancias entre conductores de la línea, Daa´, Dbb’ y Dcc’, las distancias entre conductores y sus
105
imágenes y Dab’, Dbc’ y Dca’, las distancias oblicuas entre los conductores (sin apostrofe) y las
imágenes de los otros (con apostrofe). Se puede identificar para hacer mas ligera la identificación
que Dab’ es igual a Da’b. Otras igualdades son fácilmente identificables.zz
C'
B'
A'
C
B
A
V1= 18*109*(q1ln(Daa’/r) + q2*ln(Dab’/dab) + q3ln(Dac´/dac))
Para el segundo tramo de transposición, las posiciones A, B y C estarán ocupadas por las
fases 3, 1 y 2 respectivamente
V1= 18*109*(q1ln(Dbb’’/r) + q2*ln(Dbc’/dbc) + q3ln(Dca’/dca))
Y en el tercer ciclo las mismas posiciones estarán ocupadas por las fase 3,1 y 2 siendo:
V1= 18*109*(q1ln(Dcc’’/r) + q2*ln(Dca’/dca) + q3ln(Dbc´/dbc))
La tensión promedio será
106
V1= 3
118*109*( q1*(ln(Daa’/r)+ ln(Dbb’/r)+ ln(Dcc’/r)
+ q2*(ln(Dab’/dab) + ln(Dcb’/dcb) + ln(Dca’’/dca)
+ q3*(ln(Dac´/dac) + ln(Dac´/dac))+ ln(Dac´/dac))/3
V1= 3
1*18*109*( q1*( ln(
rDDD ccbbaa
3
''' ))+( q2 + q3) * ln(dddDDD
cabcab
cabcab ''' ))
Asumimos ahora como antes lo hicimos, que la suma de las cargas es igual a cer. Luego q1
= -(q2+q3)
V1= 3
1*18*109*( q1*( ln(
rDDD ccbbaa
3
''' )) - q1* ln(dddDDD
cabcab
cabcab ''' ))
V1= 18*109* q1*(ln(r
ddd cabcab3
)-ln(3
'''
3'''
DDD
DDD
ccbbaa
cabcab)
De donde
C=1/ 18*109* (ln(r
ddd cabcab3
)-ln(3
'''
3'''
DDD
DDD
ccbbaa
cabcab)) o
C=1/ (18*109* (ln(r
DMG) - ln(
3'''
3'''
DDD
DDD
ccbbaa
cabcab))
El segundo término es el logaritmo de la relación del promedio geométrico de las
distancias en diagonal a las distancias entre conductores y sus imágenes. Si la distancias entre
conductores es comparable con la altura del soporte, el efecto de la tierra puede alcanzar un
107
incremento de la capacitancia del orden del 5%, como es el caso de líneas de transmisión mayores
de 400 KV, ero en el caso de líneas de 230 KV o menos el factor debido al efecto del suelo es
bastante menor, la relación en de las distancias entre conductores e imágenes es muy cercana a la
unidad y el logaritmo neperiano es despreciable. En este caso la capacitancia tiene el valor
calculado sin efecto de tierra, o sea
C=1/ (18*109* (ln(r
DMG) F/m
En realidad la altura de los conductores sobre el terreno no es uniforme porque
usualmente el trazado de las líneas de transporte transcurre sobre terreno que generalmente
montañoso y además, la curva catenaria descrita por los conductores cuando están soportadas
entre soportes distantes, no tiene una altura uniforme aún en terreno plano. Estas circunstancias
introducen errores que hacen inútil el esfuerzo por intentar una exactitud inalcanzable con
facilidad. Es suficiente entonces utilizar las fórmulas donde se descarta la influencia del suelo
sobre la capacitancia. La última fórmula mostrada sería suficiente y para las condiciones de
América (Norte, Centro y Sur América), donde la frecuencia es de 60 Hz, la susceptancia capacitiva
será para líneas con un conductor por fase
b =
)ln(
*f2
10*189
r
DMG
=
r
DMGln
*94.20 106
mho/km o mejor siemens /km
Y la fórmula para cualquier cantidad de conductores por fase será
b =
Dss
DMGln
*94.20 106
mho/km
Donde el término Dss es el promedio geométrico de distancias entre conductores de la
misma fase, considerando la línea adecuadamente transpuesta y DMG es la distancia media
geométrica entre conductores de fases diferentes, como en el caso de la inductancia o reactancia
inductiva de la línea.
Se observa que no puede confundirse la expresión de Dss don DS o RMG de la inductancia.
Dss podría considerarse como el Radio Medio Geométrico o Ds utilizada en el cálculo de la
reactancia serie de la línea, debida al flujo exterior, sin tomar en cuenta el efecto del flujo interior,
que recordamos aportaba el factor e-1/4.
108
RELACIÓN ENTRE CAPACITANCIA E INDUCTANCIA
Aún cuando ya nos hemos referido a este punto en la primera parte de este capítulo,
consideramos que el concepto es importante y por consiguiente, debemos enfatizarlo aunque
quizás sea interpretado como redundante.
Recordando la ecuación de la inductancia para un conductor cilíndrico homogéneo L
=2*10-7*ln(MDG//RMG), donde RMG = r*e-1/4, si se toma en cuenta el flujo magnético interior e
igual a r (radio del conductor, si solo interese la inductancia debida al flujo exterior)
De manera que si llamamos Le, la inductancia debida al flujo exterior, esta puede expresar
se por la relación
Le =2*10-7*ln(MDG//R)
Entonces el producto de la capacitancia por la inductancia debida al flujo exterior será
Le*C =[2*10-7*ln(MDG//R)] *[1/ (18*109* (ln(R
DMG)]=
=
Esta relación indica que el producto de la capacitancia de una línea multiplicada por la
inductancia debida al flujo exterior es igual al inverso del cuadrado de la velocidad de la luz. Como
hemos indicado, esta relación fue demostrada por W. HOWE en 1914 G. en el trabajo denominado
“On the Capacity of Radio Telegrafic Antenae”, publicado en la revista ELECTRICIAN.
109
UNIDAD VI. Variables eléctricas: La línea larga, condición de no linealidad de las líneas de
transmisión. Ecuación de la línea larga, funciones hiperbólicas, cartas de Woodruff. Cuadripolos,
representación de sistemas de potencia mediante Cuadripolos. Circuitos equivalentes de líneas
largas. Diagramas circular de Potencia en extremo receptor. Diagramas circular en el extremo
transmisor. Diagrama generalizado.
COMPORTAMIENTO DE LA LÍNEA LARGA
Se dice que una línea es eléctricamente larga si la corriente que fluye entre conductores
de fases diferentes, entre conductores y neutro, a través de la capacitancia distribuida, es una
fracción i8mportante de la corriente de carga Dado que la corriente fluye entre los elementos
mencionados a través de los acoplamientos capacitivos entre los conductores, se puede definir
como línea larga aquella en cuyo comportamiento las corrientes a través de las capacitancías no es
despreciable.
Visto de esta manera una línea puede ser físicamente larga pero eléctricamente cortas y
viceversa, pomo es el caso de las líneas construidas con cables de potencia, donde cada conductor
es un capacitor coaxial con capacitancías elevadas, como es el caso de las líneas de transmisión
submarinas, cuya finalidad es alimentar cargas ubicadas en islas o atravesando ríos caudalosos. En
Venezuela son líneas largas eléctricamente las líneas que alimentan las islas de Margarita y Coche
y la línea del sistema interconectado que vincula la Costa Oriental del Lago con la Ciudad de
Maracaibo.
Como hemos considerado en capítulo anterior, la corriente de filtración a través del
aislamiento es menor al 0.5% a menor que una condición anormal, como contaminación del
aislamiento o fallas puntuales en este estén ocurriendo.
Para la derivación de las ecuaciones correspondientes debe utilizarse las impedancias y
admitancias distribuidas de la línea, a diferencia de la manera de derivar las ecuaciones
correspondientes a líneas cortas, donde consideramos los parámetros concentrado, puesto que
para aquel fin no se consideraba importante la admitancia.
El siguiente análisis consideramos las líneas balanceadas, con impedancia y admitancia
distribuida y por esta condición, analizaremos solo el comportamiento de una fase. Analizaremos
la variación de la te4nsión y la corriente en un diferencial de longitud dx, ubicado a una distancia x.
Supongamos la siguiente nomenclatura de variables:
l = longitud total de la línea z = impedancia por unidad de longitud y = admitancia por unidad de longitud x = distancia de un punto al extremo receptor de la línea
110
i = corriente en el punto x e = tensión fase a neutro en el punto x Er = tensión en el extremo receptor Ir = Corriente en el extremo receptor Es = tensión en el extremo transmisor Is = Corriente en el extremo transmisor ε = el número e (2.718183….), base de los logaritmos neperianos Z = zl = R+jX = Impedancia serie total por fase Y = yl = g +jb = admitancia total en paralelo
α = zy = valor numérico sin unidades
θ = ZY = αl
Z0 = impedancia característica, en ohms
dx
Transmisor
Extremo
Receptor
Extremo
x
Is Ir
Es Er
admitancia en paralelo por unidad de la línea
impedancia serie por unidad de la línea
La tensión en el punto x, es e volt y la corriente i amperes
Luego del intervalo dx, la tensión habrá aumentado un diferencial de tensión, debido a la
resistencia del diferencial de longitud de la línea y de la corriente i
e + de = e + i*z*dx
izdx
de* Ecuación 1
Del mismo modo
i+ di = i+e*y*dx
eydx
di* ecuación 2
Derivando la ecuación 1 y la ecuación 2, se tiene
eyzdx
diyz
d
e
xd ****
2
2
ecuación 3
111
iyzdx
deyz
d
i
xd ****
2
2
ecuación 4
La ecuación 3, puede escribirse edx
diyz
d
e
xd
2
2
2
**
Y la solución de la ecuación diferencial ed
e
xd
2
2
2
e = x
y también
e = x
Y cualquier combinación lineal de estas dos soluciones
Es decir
e= 2
xx
= ch(αx) (coseno hiperbólico de αx) es una solución y
e= 2
xx
= sh(αx) (seno hiperbólico de αx) es otra solución
y de nuevo la solución que seleccionaremos es una combinación lineal de estas últimas
soluciones, esto es
e = K1ch(αx) + K2 sh(αx) ecuación 5
Y como la ecuación 4 es análoga a la ecuación 3, cuya solución acabamos de encontrar, podemos
escribir
i = K3ch(αx) + K4 sh(αx) ecuación 6
Para determinar el valor de frontera, primero de la ecuación 5
Para x=0 e=Er
Er = K1ch(α*0) + K2 sh(α*0)
de aquí, K1=Er
112
y derivando e en función de x, se tiene
dx
de z*i= αK1sh(αx) + αK2 ch(αx)
z*i= αK2 ch(αx)
para x=0
z*Ir = αK2ch(α*0)
K2 = Irz
=
yz
z
*Ir =
g
rIr
Pero como hemos establecido en la nomenclatura de variables
yg
z = Z0 y K2 = Z0*Ir
Escribiendo la ecuación 5, con los valores calculados de K1 y K2, se tiene
e = Erch(αx) + Z0Irsh(αx)
Y la tensión para el extremo receptor, donde x=l, se tiene
Es = Erch(αl) + Z0Irsh(αl) o mejor
Es = Erch(θ) + Z0Irsh(θ)
Que todavía puede modificarse a una expresión más cómoda
R0sh(θ) = y
z sh(θ) =
zy
z sh(θ) =
z sh(θ) =
l
zl
sh(θ) = Z*
)(sh
Luego
Es = ch(θ) Er + Z*
)(sh Ir
Procediendo de modo análogo con la ecuación 6, resulta
id
i
xd
2
2
2
113
Que tendrá por analogía la solución,
i = K3ch(α*x) + K4 sh(α*x)
Siendo entonces K3 = Ir y derivando
eydx
di* = αK3sh(α*x) + αK4 ch(α*x) y para la condición de borde x=0
y*Er = α K4 o K4 =
yEr
como
y=
yz
y=
)*(*)*( lzly
yl=
YZ
Y
*=
Y
K4 =
YEr entonces
i = Irch(α*x) +
YEr* sh(α*x) o
y para el extremo transmisor d0onde x=l
Is = Y*
)(shEr + ch(θ) Ir
Las ecuaciones correspondientes a Es y a Is se pueden expresar como
Es = A*Er + BIr ec. 7
Is = C*Er + D*Ir ec. 8
Donde:
A= ch(θ)
B= Z*
)(sh
C = Y*
)(sh
D = ch(θ)
114
Las ecuaciones anteriores identifican las ecuaciones de línea larga con un cuadripolo (red
de dos puertos) donde se cumple la regla del cuadripolo para una red simétrica
A*D –B*C =1 como podemos demostrar
ch(θ)* ch(θ) - Z*
)(sh* Y*
)(sh = (ch(θ))2 - (sh(θ)) 2 = 1
Como el determinante del sistema de ecuaciones 7 y 8 es
Det = DC
BA = A*D –B*C =1
Las ecuaciones escritas matricialmente resultan
IE
s
s = DC
BA
IE
r
r
Y resolviendo por Er e Ir mediante la regla de Cramer con Det = 1
Er = DIs
AEs = D*Es –B*Is ec. 9
Ir = IsC
EsA = AIs – C*Es ec. 10
EVALUACION DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS PARA ARGUMENTO COMPLEJO
Hay varias maneras de evaluar las funciones hiperbólicas relacionadas con la transmisión
de energía en líneas largas, pero la más utilizada por su fácil aplicación es el desarrollo en serie de
Mc Laurin, según la cual
Ch(θ) = 1 + !2
2
+ !4
4
+ !6
6
+…. y
Sh(θ) = θ + !3
3
+ !5
5
+ !7
7
+….
)(Sh = 1 +
!3
2
+ !5
4
+ !7
6
+….
115
Y en términos de ZY
Ch(θ) = 1 +
+
+
+ . . .
)(Sh = 1 +
+
+
+ . . .
Pero como también necesitaremos mas adelante la expresión de
, la incluiremos
ahora
= 1 -
+
-
+ . . .
Las series anteriores convergen rápidamente y por consiguiente usualmente basta con la
evaluación de cuatro términos.
Estas funciones están expresadas en términos complejos y son de difícil evaluación con
calculadoras no programables. Obviamente es muy fácil construir un programa de computación
para evaluar tanto Ch(θ),
)(sh y
. Sin embargo tradicionalmente para solución de
problemas didácticos se han utilizado las denominadas cartas de Woodruff que insertamos a
continuación, tomadas del texto “PRINCIPLES OF ELECTRICAL POWER TRANSMISSION” de L. F.
Woodruff publicada en 1938.
También se ha incluido un pequeño programa “Hiperbólicas.exe” que evalúa las expresiones
anteriores suministrando los datos relativos al módulo y al ángulo en grados de ZY.
116
117
118
119
CUADRIPOLO DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN
TRANSFORMADOR
Los circuitos equivalentes de un transformador mas conocidos son los circuitos serie,
shunt, “cantilever” y el circuito π (pi). .
Er,IrEs,Is
Z
Para este circuito,
Es = Er + Z*Ir
Is = Ir
Y matricialmente
IE
s
s = DCBA
*IE
r
r = 10
1 z
E identificando
A = 1, B=Z, C=0 y D=1
Para un circuito shunt se tiene
YEs,Is Er,Ir
Siendo
Es = Er
Is = Y*Er + Ir
Entonces
IE
s
s = DCBA
*IE
r
r = 1
01
Y ecuación 12
120
A = 1
B=0
C=Y
D=1
Un circuito cantilever para el extremo transmisor
Er,IrEs,Is
Z
Y
Como se ve, el circuito equivalente es un circuito shunt conectado en serie con un circuito serie
DCBA
= 1
01
Y*
10
1 Z =
ZYY
Z
1
1 ecuación 13
Es decir
A = 1
B=Z
C=Y
D=1+ZY
Para el extremo receptor, el circuito equivalente es un circuito serie conectado en serie
con un circuito shunt.
Y
Z
Es,Is Er,Ir
DCBA =
10
1 Z*
1
01
Y =
1
1
Y
ZZY ecuación 13
121
Entonces
A = 1+ZY
B=Z
C=Y
D=1+ZY
En cada una de las ecuaciones anteriores obviamente Z y Y se refieren a la impudencia
serie del transformador y Y se refiere a la admitancia shunt del transformador
Si se requiere una representación mas precisa, se puede utilizar el circuito equivalente π
(la letra griega pi), que es un circuito compuesto por un cantilever el extremo transmisor y un
circuito shunt. Para hacer los resultados concordantes con las formas usuales, en el resultado
deberán sustituirse las admitancias Y por el valor Y/2.
1
01
Y*
1
1
Y
ZZY=
ZY1YZ)Y(2
Z ZY1
ecuación 14
Y debería obtenerse el mismo resultado ejecutando el producto
ZYY
Z
1
1*
1
01
Y
Se propone esta operación como ejercicio.
CIRCUITOS EQUIVALENTES DE LINEAS
Eventualmente, cuando es necesario utilizar técnicas de cálculo de circuitos para analizar
el comportamiento de sistemas eléctricos de potencia, por ejemplo para cálculos de flujo de carga,
de estabilidad y otras aplicaciones, es indispensable sustituir la representación de las líneas de
transmisión por sus circuitos equivalentes. Los circuitos equivalentes mas utilizados son también
circuitos serie, circuitos cantilever o circuitos pi (π)..
El circuito serie se representa sencillamente por la impedancia de la líneas, el cantilever, la
rama serie es la impedancia de la línea y la rama shunt es la admitancia dada por la susceptancia
capacitiva. La representación más precisa,
122
El circuito equivalente más preciso, el circuito pi(π), tiene un poco mas de dificultad
porque involucra la utilización de funciones hiperbólicas..
Y/2Y/2
Z
Es,Is Er,Ir
Se trata de determinar las características de los elementos Z y Y/2 del circuito en función
de los parámetros de la línea de transmisión. Supongamos que tenemos una línea de trasporte
cuyas condiciones de operación están dadas por las conocidas ecuaciones
Es = Er* ch(θ) + Zl
)(sh*Ir
Como sabemos θ = YZ ll, siendo Zl y Yl los valores totales de la impedancia y la
admitancia de la línea.
En el circuito de la gráfica anterior, podemos expresar la ecuación de Es, de la manera
siguiente: La tensión Es es igual a la tensión Er más el alza de tensión producida por la corriente
que circula por la impedancia Z.
Es = Er + (Ir + Er*Y/2)*Z , y agrupando
Es = (1+ ZY/2)*Er + Z*Ir
Identificando coeficientes,
Z =Zl
)(sh ecuación 14
Y ya se tiene el valor de la impedancia del circuito equivalente
ch(θ)=1+ ZY/2
1+ Zl
)(shY/2 = ch(θ)
123
Zl
)(shY/2 = ch(θ) -1
Zl/θ = θ/Yl
sh(θ)(Y/2)(θ/Yl) = ch(θ) -1 =2sh2(θ/2)
y como sh(θ) = 2sh(θ/2) ch(θ/2)
2sh(θ/2) ch(θ/2)(Y/2)= (Yl/θ)*2sh2(θ/2)
ch(θ/2)(Y/2)= (Yl/θ)sh(θ/2)
Y/2= (Yl/θ) *th(θ/2)
Y finalmente
)
2
)2
((
22
thY Y l Ecuación 15
El término )
2
)2
((
th es fácilmente evaluable mediante la tercera carta de Woodruff.
Aunque no es frecuente es posible utilizar eventualmente el circuito T equivalente de una
línea con fines similares a las razones para utilizar el circuito equivalente pi (π) . Para la deducción
de la fórmula de los parámetros, se utiliza un método similar al que acabamos de ver para el
circuito pi , pero ahora partimos de la ecuación de Is.
Is = Er Yl
)(sh + Irch(θ)
En el circuito T siguiente
124
Z/2
Er,IrEs,Is
Z/2
Y
Se tiene Is = Ir + (Er+(Ir*Z/2))Y
Y agrupando términos
Is = Y*Er + (1+ZY/2)*Ir
Fácilmente como en el caso anterior) se identifica
Y = Yl
)(sh ecuación 16
1+ZY/2 = ch(θ)
Yl
)(shZ/2 = ch(θ) -1
Yl/θ = θ/Zl
sh(θ)(Z/2)(θ/Zl) = ch(θ) -1 =2sh2(θ/2)
2sh(θ/2) ch(θ/2)(Z/2)= (Zl/θ)*2sh2(θ/2)
ch(θ/2)(Z/2)= (Zl/θ)sh(θ/2)
Z/2= (Z/θ) *th(θ/2)
125
Y finalmente
)
2
)2
((
22
thZ Z l Ecuación 15
CONEXIÓN DE REDES EN SERIE.
Se trata de encontrar la ecuación que exprese el cuadripolo resultante de conectarlos en
serie un cuadripolo 1, cuyas constantes son A1, B1, C1 y D1 y otro cuadripolo 2 de constantes A2,
B2, C2 y D2.
Er,IrEx,IxEs,IsC2 D2
A2 B2C1 D1
A1 B1
En el extremo transmisor tenemos las variable Es e Is y en el extremo receptor tendremos
las variables Er e Ir. En la sección intermedia, que es el extremo transmisor del cuadripolo 2 y el
extremo receptor del cuadripolo 1.
Para la segunda sección se tiene
Ex = A2Er + B2Ir y
Ix = C2Er + D2Ir
Para la primera
Es = A1Ex + B1Ix
Is = C1Ex + D1Ix
Sustituyendo los Ex e Ix por los valores de las ecuaciones anteriores
Es = A1(A2Er + B2Ir) + B1(C2Er + D2Ir)
Is = C1(A2Er + B2Ir) + D1(C2Er + D2Ir)
126
Agrupando
Es =(A1A2 + B1C2)*Er + (A1B2 + B1D2)*Ir
Is = (C1A2 + D1C2)*Er + (C1B2 + D1D2)*Ir
Por comparación se tiene:
A0 = A1A2 + B1C2,
B0 = A1B2 + B1D2
C0 = C1A2 + D1C2
D0 = C1B2 + D1D2
Si multiplicamos las matrices correspondientes al cuadripolo 1 y el cuadripolo 2
DCBA
11
11 *DCBA
22
22 = DCBA
00
00 ecuación 11
Los resultados son los obtenidos en la operación anterior, de donde se concluye que para
obtener el cuadripolo equivalente a una conexión en serie de dos cuadripolos dados, basta con
multiplicar las matrices de sus cuadripolos equivalentes. Los valores de los elementos de la red
resultante están dadas por los elementos de la matriz producto.
CONEXIÓN DE REDES EN PARALELO
Supongamos una red cuyos cuadripolos equivalentes son representados por la siguiente figura
Ir2Is2
Ir1Is1
A1 B1
C1 D1
A2 B2
C2 D2
Es,Is Er,Ir
Las ecuaciones referentes a este diagrama son:
Es= A1*Er + B1*Ir1 ec.a
Es= A2*Er + B2*Ir2 ec.b
127
Is1= C1*Er + D1*Ir1 ec.c
Is2= C2*Er + D2*Ir2 ec.d
Is = Is1+Is2 ec.e
Ir = Ir1+Ir2 ec.f
Es= A1*Er + B1*Ir- B1*Ir2
Para eliminar Ir2, se multiplica esta ecuación por B2
Es*B2 =A1 *B2*Er +B1*B2*Ir- B1*B2*Ir2
Y esta se divide por B1
Es*B2/B1 = A1*B2*Er/B1 + B2*Ir - B2*Ir2
Sumando la ecuación ec.b
(1+B2/B1)*Es = Er*(A2+ A1 *(B2/B1)) + B2*Ir
Es(B1+B2)/B1 = Er((A2*B1+A1*B2)/B1) +B2*Ir
Es = Er*(A1*B2 + A2*B1)/(B1+B2) + Ir*B2*B1/(B1+B2)
De donde
A0 = (A1*B2 + A2*B1)/(B1+B2)
B0 =B1*B2/(B1+B2)
Los parámetros C0 y D0 se obtienen aplicando las condiciones de simetría de la red
resultante
D0 = A0 y
A0D0-B0C0 = 1
128
Es decir, C0 = (1- A0D0)/B0
Si las dos redes son idénticas y denominamos los parámetros A, B, C y D se cumplirá para cada una
de las redes originales C= (1-AD)/B , entonces
A0 = A, B0 =B/2,
C0 = 2*(1-AD)/B
C0 = 2*C
Las fórmulas definitivas serán
A0 = A, B0 =B/2, C0=2C y D0 = D
CIRCUITOS EQUIVALENTES DE UN SISTEMA DE POTENCIA.
Los sistemas de transmisión están compuestos por líneas y subestaciones, de manera que
para el análisis de un sistema es necesario la combinación de circuitos serie o paralelo de un
conjunto de cuadripolos equivalentes. La mejor manera de evaluar las combinaciones de
elementos es utilizar programas de computación elaborados a estos fines. Sin embargo algunos
casos sencillos como un sistema compuesto por un transformador en el extremo transmisor, una
línea de transmisión y un transformador sor muy frecuentes, y en el caso particular de que los
transformadores sean idénticos, las ecuaciones correspondientes se presentan en todos los textos
de Transmisión de Energía.
Supongamos por ejemplo un sistema como el de la figura, donde Zt y Yt son la impedancia
serie y la admitancia en paralelo de los transformadores y, como hemos dicho, son idénticos,
mientras que A, B, C y D son los parámetros generalizados de la línea.
Yt
ZtA, B, C, D
Línea
Er,IrYt
Zt
Es,Is
Las ecuaciones de los parámetros generalizados del sistema son:
129
A0 = D0 = A(1+2ZtYt)+BYt+CZt(1+ZtYt)
B0 = 2AZt + B + CZt2
C0=2AYt(1+2ZtYt)+BYt2+C(1+2ZtYt)2
MEDICIONES DE LAS CONSTANTES GENERALIZADAS
De las Ecuaciones fundamentales en el extremo transmisor
Es = AEr + BIr
Is = CEr +DIr
Se deduce que es posible medir los parámetros haciendo pruebas similares a las pruebas
típicas de trasformadores
Para Circuito abierto Iro = 0
Luego A= Eso/Ero de la primera ecuación y C = Iso/Ero de la segunda
Para cortocircuito en el extremo receptor Ers=0
B = Ess/Iss y D= Iss/Irs
Los valores complejos, como el caso de las p4ruebqas de transformadores se obtienen mediante la
utilización de los datos de potencia
Un método más satisfactorio consiste en medir las impedancias en circuito abierto y en corto
circuito aplicando tensión en ambos extremos. Así, si el extremo receptor está abierto
Ir = 0 y entonces
Zso = Es/Is = Ao/Co
Y si el extremo receptor está en corto
Sss = Es/Is = Bo/Do
Y aplicando tensiones en el extremo receptor, las ecuaciones básicas son
Er = DEr – B*Ir
130
Ir = A*Er – Cir
El signo de los términos de corriente debe ser cambiado porque la aplicación de la tensión es
opuesta al sentido para el cual se dedujeron estas ecuaciones
Para el extremo transmisor abierto Iso=0
Zso = Er/Ir = Do/Co
Y para Es=0 (cortocircuito)
Zss =Er/Ir = Bo/Ao
Zso-Zss= (AoDo-BoCo)/(CoDo) = 1/(CoDo)
(Zso-Zss)/Zro = (1/CoDo)*(co/Do)= 1/(Do)2
Do= )(ZroZso
Zro
Una vez calculado Do los valores de los otros parámetros se obtienen de las ecuaciones de
impedancias obtenidas.
DIAGRAMAS CIRCULARES
Aún cuando la disponibilidad de computadoras y programas de flujo de carga han
disminuido la utilidad de los diagramas circulares para el estudio de la operación de los sistemas
de transporte de energía eléctrica, casi todos los clásicos de la enseñanza de sistemas de potencia
incluyen este procedimiento por el carácter didáctico que los mismos tienen para la comprensión
de los efectos de las corrientes de carga sobre la regulación de los sistemas y en las pérdidas de
potencia y energía de de constantes distribuidas.
Las condiciones de operación de una línea pueden ser expresadas como hemos visto en
términos de las tensiones y corrientes en el extremo transmisor como funciones de las tensiones y
131
corrientes el extremo receptor o en función de las potencias reales e imaginarias en ambos
extremos. Si se conoce un número suficiente de variables, las otras pueden obtenerse como
solución de3 las ecuaciones planteadas.
Hay dos formas usuales de solución de las ecuaciones.
a) por medio de ecuaciones ya estudiadas donde se representan las tensiones y corrientes en el extremo trasmisor como funciones de las tensiones y corrientes en el otro extremo. La solución gráfica de estas ecuaciones parte de la representación de sus diagramas vectoriales.
b) Por medio de las ecuaciones de potencia cuya solución gráfica se realiza por medio de los denominados diagramas circulares de potencia.
Los diagramas circulares como método de solución de problemas de operación se iniciaron
desde tempranas épocas del desarrollo de la industria eléctrica en 1911, con Phillips, en 1921
con el trabajo denominado “Economics Limitation to de aggregation of Power Systems”,
Dwight en 1914 con el trabajo “The Calculation of Constant Voltaje Transmissión Lines” y
Evans en 1921 con su trabajo “Circle Diagrams for Transmisión Systems”
En 1951 se introdujo un importante aporte Goodrich denominado “A Universal Power
Circle Diagram”
Soluciones graficas derivadas de la utilización de las cartas de Smith, desarrolladas para el
análisis de líneas de transmisión de información
Básicamente los diagramas consisten en un conjunto de vectores vinculados a unos
círculos dibujados sobre un papel con calibrado con coordinadas rectangulares, mostrando la
potencia de entrada, la potencia de salida y la potencia reactiva que debe suplirse para
mantener la tensión dentro de niveles tolerables por las regulaciones legales establecidas.
DIAGRAMAS EN EL EXTREMO RECEPTOR
Supongamos que tenemos un línea cuyos parámetros son A, B, C y D alimentada por el
extremo transmisor con una tensión Es voltios por fase y con una corriente de Is amperes, y
entregando una carga de Ir amperios por fase a Er voltios por fase. Esta línea es una
representación de una fase de un sistema de transmisión.
Ca
rga
Is
Es Er
Ir
132
La ecuación de la tensión en el extremo transmisor es:
Es = AEr + BIr
Que representaremos en un diagrama vectorial con la tensión Er como referencia angular,
la corriente Ir , los ángulos α, β son los ángulos de los parámetros A y B del cuadripolo
equivalente de la línea y Φ es el ángulo de factor de potencia de la carga y δ es el ángulo entre
tensiones, comúnmente llamado “ángulo de transmisión”.
B*Ir
Ir
A*Er
Er
Es
En esta condición todas las variables salvo Ir, tiene dimensiones de tensión de fase. Si
dividimos todos esos vectores por el número complejo B, el diagrama sufrirá una
transformación angular, habrá girado 180-β grados y sus dimensiones se habrán reducido a las
originales divididas por |B|.
w
y'
y
x' x
o'
0
Er/B
A*Er/BEs/B
Ir
133
Hasta aquí hemos convertido el diagrama vectorial cambiado solo en ángulos, unidades y
magnitudes, pero conservando su forma en un diagrama de corriente. Si deseáramos mantener
invariables las tensiones como es lo normal puesto que la tensión en el extremo recetor es la que
reciben los usuarios y la normativa legal obliga a una variabilidad muy reducida Por otra parte la
tensión en el extremo transmisor debe ser lo mas cercano posible a la tensión de diseño de la
central de generación o de la subestación elevadora
Bajo esta premisa es necesario que la carga Ir mantenga su vértice sobre el círculo que
tiene centro en o’ y cuyo radio es Es/B. Este círculo, lugar geométrico de los vértices del vector
carga en amperios, se denomina diagrama circular de corrientes en el extremo receptor.
La dirección del radio vector oo’ está dada por la relación de los números complejos A/B
cuya magnitud es ||
||
B
A cuyo ángulo es, en la dirección original de o’ a o, es (α-β) y en la dirección
contraria (o a o’) es α-β. Las coordenadas del centro, que denominaremos (m,l), serán :
m = ||
||
B
AEr*cos (α-β) o mejor
m = -||
||
B
AEr*cos (β -α) y l =
||
||
B
AEr*sen (β -α)
El radio del círculo es R = Es/B.
Como instrumento para estudiar el comportamiento de sistemas de transmisión, el
diagrama de corrientes es de poca utilidad, sin embargo si ahora multiplicamos los vectores por Er,
que como hemos visto está expresado en voltios por fase y cuyo ángulo es cero, pues es la
referencia lo estamos convirtiendo en un diagrama de potencia en el extremo receptor.
134
S
2
BB
ErIr
EsErA*Er
o
o'
xx'
y
y'
w
Los valores del las coordenadas del centro y del radio del círculo serán ahora
m = -||
||
B
AEr2cos (β -α), l =
||
||
B
AEr2sen (β -α) y R =
B
ErEs
El vector S, cuya magnitud es ErIr, representa la potencia vectorial en el extremo receptor,
expresada en voltamperes (va) por fase, puesto que es el producto de Er que esta expresado en
voltios por fase por Ir, que es la corriente en amperes.
Es conveniente expresar esta potencia, y cada uno de las magnitudes las potencias de
interés en el diagrama en MVA y las tensiones en tensiones de línea expresados en Kilovoltios.
Para esto debemos cambiar la escala del diagrama. Empecemos por uno de los parámetros dados,
la abscisa del centro, siendo evidente que la transformación de este es trasladable a los otros
parámetros.
m = -||
||
B
AEr2cos (β -α)
Si la tensión Er que ahora esta expresado en voltios lo expresamos en Kv queda
m = -||
||
B
A1000000Er2cos (β -α)
Si la tensión Er que ahora esta es la tensión de fase, la expresamos en tensión de línea
135
m = -||3
||
B
A1000000Er2cos (β -α)
Si la potencia que sigue expresada en va por fase, la expresamos en MVA, resulta
m = -||3
||
B
AEr2cos (β -α)
y si en lugar de expresarla por fase, la expresamos para toda la línea, habrá que
multiplicarla por 3 quedando finalmente
m = -||
||
B
AEr2cos (β -α) donde ahora finalmente, el valor de la abscisa del centro estará en
MVA y la tensión será en Kilovoltios de línea. Los tres parámetros serán los siguientes.
m = -||
||
B
AEr2cos (β -α), l =
||
||
B
AEr2sen (β -α) y R =
B
ErEs
Asimismo la carga estará expresada como vector potencia en MVA, con una parte real en
Mw y una parte reactiva en MVAR.
Sin embargo hasta ahora hemos considerado que para mantener controladas las
tensiones, la potencia consumida S, debe tener su vértice en el círculo de potencia, lo cual significa
que potencia no tiene libertad de variar conforme a las reales necesidades de la carga.
Obviamente esto no es práctico.
Supongamos que la potencia consumida por los usuarios, el vector S, no tiene su vértice en
el círculo, en este caso hay la posibilidad de sumar a la carga una potencia reactiva, inductiva o
capacitiva como veremos, de manera tal que la carga original mas esta potencia, a la que
usualmente se denomina compensación, constituyen un vector potencia que obligamos a inscribir
su vértice en el círculo de potencia.
Para simplificar el gráfico, representaremos solo los vectores necesarios de aquí en
adelante. La línea negra gruesa es el vector de carga que cuyo vértice está mas allá del círculo de
potencia. Si a esta carga agregamos en paralelo una carga reactiva pura capacitiva (el vector de
línea gruesa color rojo, la carga total será el vector (oS). A este proceso se le denomina
compensación capacitiva
136
DIAGRAMAS EN EL EXTREMO TRANSMISOR.
De manera similar al procedimiento anterior pueden derivarse diagramas para el extremo
transmisor. A partir de la ecuación de Er en función de la tensión y corriente en el extremo
receptor, se tiene
Er = DEr –Bir pero como D = A puede escribirse Er = AEr –Bir . La representación vectorial
de esta ecuación es la siguiente:
o'
Er
Es
A*Es
Is
-B*Is
Y con las mismas consideraciones relativas a las a las unidades y a la constancia de las
tensiones podemos construir primero el círculo de corrientes en el extremo transmisor y
convertirlo luego a un círculo de potencias en este extremo.
Carga
0'
S
w
o
137
El círculo de corrientes tendrá la forma representada en el dibujo siguiente
ErA*Es
Is
BB
o
o'm'
Donde los parámetros serán los siguientes
m’ = -||
||
B
AEr*cos (β -α) , l’ =
||
||
B
AEr*sen (β -α) y R = Es/B.
Convirtiendo este diagrama de corrientes en un diagrama circular de potencia en el
extremo transmisor, se tendrá:
l'R=
m'
2
o'
o
B B
S=Es*Is
A*Es Er*Es
138
Las coordenadas del centro del diagrama circular de potencia en el extremo transmisor
serán ahora:
m’ =||
||
B
AEs2*cos (β -α) , l’ =
||
||
B
AEs2*sen (β -α) y R =
B
EsEr
RECTA DE PÉRDIDAS
Si un sistema de transmisión es operado a tensiones constantes, es posible incrementar la
utilidad del diagrama circular de potencia para calcular las pérdidas de transmisión, mediante la
incorporación de una recta, denominada recta de pérdidas desde la cual puede medirse una
distancia al círculo que es proporcional a las pérdidas de transmisión.
Para fundamentar la utilización de la recta de pérdidas primero estudiaremos la expresión
de la potencia de entrada al sistema de transmisión que será
Potencia de Entrada = m’ + R*cos(180-(β+δ)) = m’ – R*cos(β+δ)
Potencia de Entrada = m’ – R*(cosβcosδ - senβsenδ)= m’ – R*cosβcosδ +R*senβsenδ)
Y del diagrama circular en ele extremo receptor
Potencia de Salida = -m +Rcos (β-δ) = -m + R*cosβcosδ + R*senβsenδ)
Pérdidas de Transmisión = Potencia de Entrada - Potencia de Salida= m+m’ –R(2 cosβcosδ)
Y aclarando
Pérdidas = m+m’ –2 cosβ*Rcosδ
139
Esta última ecuación es de la forma p = K1 – K2cosθ, que puede representarse geométricamente
por el diagrama siguiente: donde
K1 = m + m’
K2= 2cosβ*R
La variable p se lee desde el extremo del vector K2 sobre el círculo, el
cual para más clara referencia llamaremos círculo de pérdidas
Si alineamos este gráfico con el diagrama circular de potencia,
de manera tal que el eje de las ordenadas coincida con la referencia (la
recta para la cual δ=0).
Se tendrá que las líneas gruesas representan el círculo y el eje de las abscisas del gráfico
anterior y la referencia será el eje de las ordenadas del mismo gráfico
Se tendrá que las líneas gruesas representan el círculo de pérdidas y el eje de las abscisas
del gráfico anterior y la referencia será el eje de las ordenadas del mismo gráfico
Si cambiamos la escala del gráfico de pérdidas de manera tal que el radio de este coincida
con el radio del diagrama circular de potencia en el extremo receptor.
El radio del círculo de pérdidas es K2 y
adaptarlo al radio R implica dividir la
escala de las pérdidas por 2cosβ. El eje
de las abscisas del diagrama de pérdidas
quedará ahora externo al círculo de
potencia y perpendicular a la referencia.
Naturalmente la escala donde debe
leerse las pérdidas estará afectada por
este valor de manera que quede
reducida en este valor.
2
1K
K
p
R=
y'
y
x' x
o'
o
A*ErEsEr
ErIr
BB
2
S
140
El círculo de potencia ampliado de
esta manera podrá utilizarse
adicionalmente para calcular las pérdidas
de transmisión, obviamente multiplicando
el equivalente del vector p (en esta gráfica
en línea sólida gruesa color azul. En este
caso por razones de visualizar solo una de
las aplicaciones hemos considerado una
carga que esta posicionada sobre el círculo,
esto es, que no requiera compensación
En el dibujo siguiente, eliminaremos los vectores innecesarios y consideraremos el círculo
de potencia con carga compensada para controlar la tensión y la recta de perdidas
recta de pérdidasS
2
BB
ErIr
EsErA*Er
o
o'
xx'
y
y'
R=
141
style
2co
sm
+m
'd
=
o'
'
recta de pérdidas
o
w
S
Carga
El dibujo anterior es un diagrama circular de potencia en el extremo receptor ampliado
con la recta de pérdidas, donde la línea color negro de trazo grueso, es la carga,
La línea roja es la compensación trazada perpendicularmente al eje de las abscisas hasta
interceptar el círculo y definiendo un punto S. Las perdidas son proporcionales a la línea azul
trazada desde este punto “S” perpendicularmente a la recta de pérdidas.
El vector definido por la recta ente el origen de coordenadas “o” y el punto S es la
potencia compensada con un ángulo de factor de potencia Φ’ y el ángulo de transmisión sigue
siendo δ, así como el ángulo α (ángulo del parámetro del cuadripolo A)
PROCEDIMIENTO PARA EL TRAZADO DEL CÍRCULO DE POTENCIA
Suponemos que haremos los cálculos a partir de las impedancia (Z) y la admitancia Y,
y a partir de estos datos , el producto ZY en coordenadas polares. Es necesario la magnitud de ZY y
el ángulo.
1) Utilizando las cartas de Woodruff se calcula ch(θ) y
sh(
2) Se hacen los cálculos analíticos para determinar A y B (parámetros del cuadripolo) 3) Se determinan los parámetros del círculo (m, l, R) y el parámetro m’ y la distancia del
centro del círculo hasta la intercepción de la referencia con la recta de pérdidas.
142
4) Se selecciona una escala adecuada en el papel milimetrado de dibujo. 5) Se dibujan los ejes de coordenadas 6) Se marca el centro del círculo 7) Se traza el radio vector desde el centro de coordenadas al centro del círculo (oo’) 8) Se traza la recta de referencia de tensión desde el punto o’ definiendo un ángulo α
(ángulo del parámetro A) y perpendicularmente a esta a una distancia d desde el centro del círculo la recta de pérdidas.
Ya está listo el círculo de potencia. Ahora veremos como utilizarlo.
Sobre el círculo se traza el vector de la carga.
Desde el vértice de este vector se traza una recta perpendicular al eje de las abscisas hasta interceptar el círculo definiendo el punto S. Este vector, si está orientado hacia arriba es la compensación capacitiva y si está orientado hacia abajo, es compensación inductiva.
Desde este punto S, se traza perpendicularmente a la recta de pérdidas. La longitud del trazo así determinado se multiplica por el factor de escala de pérdidas multiplicado por 2cosβ. Este valor es igual a las perdidas totales de la línea de transmisión.
Cuando se requiere la operación del sistema de potencia y no solo de la línea, se deben
calculara los parámetros A y B, correspondientes a la sistema con las ecuaciones estudiadas en
el capitulo anterior que recordaremos a continuación.
A0 = D0 = A(1+2ZtYt)+BYt+CZt(1+ZtYt)
B0 = 2AZt + B + CZt2
C0=2AYt(1+2ZtYt)+BYt2+C(1+2ZtYt)2
Los términos A, B C y D son los parámetros de la línea y A0, B0, C0 y D0, son loa parámetros
del sistema.
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