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The Lorentz transformations of thermodynamic quantities are studied for a simple system whose macroscopic state we can characterize in terms of the energy (E) and the volume (V) or temperature (T) and the pressure (P). The first ones (E and V) are found from their nature mechanical and the remaining ones from thermodynamic principles without implying a change in the concepts of these. As an application of the transformations a qualitative study of the Carnot machine for a perfect gas is made in a reversible cycle that operates between two focuses that are at different temperature and that whose definition of Carnot Theorem should be identical for two observers in relative movement.
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Revista Colombiana de Física, vol. 40, No. 1, Marzo 2008
1
Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la
Teoria Especial de la Relatividad
W. A. Rojas C.1 y J. R. Arenas S.
1
1Observatorio Astronómico Nacional. Universidad Nacional de Colombia
Recibido 22 de Oct. 2007; Aceptado 3 de Mar. 2008; Publicado en línea 15 de Abr. 2008
Resumen
Se estudian las transformaciones de Lorentz de cantidades termodinámicas para un sistema sencillo, cuyo estado ma-
croscópico se pueda caracterizar en términos de la energía (E) y el volumen (V) o bien de la temperatura (T) y la presión
(P). Las primeras (E y V) se hallan a partir de su naturaleza mecánica y las restantes de principios termodinámicos sin
implicar un cambio en los conceptos de éstos. Como una aplicación de las transformaciones se hace un estudio cualitativo de la máquina de Carnot de un gas perfecto en un ciclo reversible que opera entre dos focos que están a diferente tempera-
tura y que cuya definición del Teorema de Carnot debe ser idéntica para dos observadores en movimiento relativo.
Palabras claves: Termodinámica Relativista, Máquina de Carnot Relativista.
Abstract
The Lorentz transformations of thermodynamic quantities are studied for a simple system whose macroscopic state we can
characterize in terms of the energy (E) and the volume (V) or temperature (T) and the pressure (P). The first ones (E and V) are found from their nature mechanical and the remaining ones from thermodynamic principles without implying a change in
the concepts of these. As an application of the transformations a qualitative study of the Carnot machine for a perfect gas is
made in a reversible cycle that operates between two focuses that are at different temperature and that whose definition of
Carnot Theorem should be identical for two observers in relative movement.
Key Words: Relativistic Thermodynamic, Relativistic Carnot Machine.
1. Introducción
En el presente estudio se pretende extender la termodiná-
mica clásica al marco de la Teoría Especial de la Relativi-
dad (TER) y comprender cómo se comportan los sistemas
termodinámicos cuando se mueven a velocidades cercanas
a c. Lo primero que haceremos es encontrar las transfor-
maciones de cantidades como el calor o la temperatura
entre marcos de referencia inerciales. Para ello pártimos
del supuesto de que las leyes de la Física son válidas para
todos los observadores en movimiento relativo y de la
hipótesis de la invariancia de la entropía para un cambio
adiabático reversible en la velocidad sin absorción de calor
[1,2]. En la segunda parte aplicaremos las transformaciones
termodinámicas relativistas al funcionamiento de una
máquina que se mueve con una velocidad cercana a c que
opera bajo un ciclo de carnot, cuyas isotermas y adibátas
serán trazadas y comparadas con otra en reposo relativo
[2].
2.Transformaciones de cantidades termodinámicas
Llenemos un cubo de arista l de un gas ideal y pongámoslo
a moverse con una velocidad relativista por lo que el siste-
ma experimenta una corrección del inverso del factor de
lorentz1[2]. Tolman en su libro clásico de Relativity Ther-
modynamics and Cosmology [2] establece como hipótesis
1 Recordemos que el factor de Lorentz esta dado por:
2
2
1
1
c
u
W. A. Rojas C. et al.: Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad
2
que en un proceso adiabático reversible la entropía es cons-
tante2 pues la termodinámica requiere que para sistemas en
estado de reposo o movimiento uniforme la entropía per-
manezca ínvariante para un cambio adiabático reversible en
la velocidad sin absorción de calor [2]. Para el caso de la
temperatura y el calor establece que estas cantidades ter-
modinámicas vienen corregidas por el inverso del factor de
lorentz, lo que trae como consecuencia una dismunición de
ambas cantidades en función de la velocidad [1-5] sin
entrar en contradicción con la invariancia de la entropía.
Por otro lado se halla que la presión que ejerce el gas
sobre las paredes de este es la misma para dos observado-
res, uno en reposo relativo y otro que se mueva con el
sistema termodinámico, luego ésta constituye un invariante
termodinámico si se considera que el observador local
puede caracterizar la presión por la ecuación de estado
para un gas ideal. En cuanto a la energía se tiene:
Uc
PUg
2 (1)
La anterior ecuación expresa la densidad del momentum
del sistema; el término
U corresponde a la densidad de
momentum que acompaña a la masa de fluido que se esta
moviendo, y el segundo término está asociado a un mo-
mentum adicional que corresponde al flujo de energía
resultado del trabajo hecho por la presión sobre el fluido en
movimiento y para el trabajo [2]:
GdUPdVdW (2)
3. Una Máquina de Carnot Relativista
Consideremos un cilindro que contiene un gas ideal, el
cual se puede comprimir y expandir de manera cuasi-
estacionariamente en ausencia de efectos disipativos, de
tal manera que siga un ciclo de Carnot y que tal sistema se
coloque en una nave espacial que viaja a cierta fracción
de la velocidad de la luz. Supondremos que la cinemática
de la máquina de Carnot es debida al estado de movimiento
del sistema como tal y no como producto de su energía
interna3. Para describir el ciclo de Carnot que sigue este
sistema lo primero que haremos es trazar las trayectorias
isotermas entre las cuales se fijará un gradiente de tempera-
tura, es decir establecer los dos focos caloríficos entre los
cuales opera la máquina; de acuerdo con la transformación
de la presión ésta es igual para ambos observadores, por lo
que el efecto percibido por el observador ubicado en la
tierra será una disminución en el volumen de la máquina.
En la Figura 2 se trazan algunas isotermas en función de la
2 Ello se debe a que nuestro sistema físico esta operando entre los estados
Ei y Ef , los cuales están conectados por las trayectorias R1 y R2 que consti-
tuyen un ciclo reversible de acuerdo al Teorema de Clausius [8]. 3 Es decir el proceso de expansión y compresión del pistón no es compara-
ble con el movimiento del sistema.
velocidad. Es interesante anotar que el área bajo la curva
corresponde al trabajo realizado por la máquina durante la
expansión y compresión isotérmica; para dicha Figura
hemos trazado las trayectorias en la fase de expansión
isotérmica en función de la velocidad. Como se observa, el
área bajo la curva es mayor para cuando la máquina está
en reposo y comienza a disminuir conforme la velocidad de
éste aumenta; este efecto se debe a una disminución del
volumen del sistema en función de la velocidad4.
Una vez establecidas las trayectorias de las isotermas entre
las cuales opera la máquina, nuestro segundo paso es trazar
las trayectorias adiabáticas que cierran el ciclo. Para lo cual
debemos recordar que el observador que viaja con la
máquina trazará las trayectorias adiabáticas de la forma:
cteuVp
u
)(0 (3)
Donde Po es la presión que es igual para ambos observa-
dores; V(u) corresponde al volumen de la máquina y es
función de la velocidad u; (u) es el cociente entre el calor
específico a presión constante (Cp) y el calor específico a
volumen constante (Cv); (u) esta relacionado con la energ-
ía interna del gas y su naturaleza es debida a una dismi-
nución en el volumen de la máquina, a su velocidad en si
misma, y no como un aumento en la cinemática de las
partículas que componen el gas. Una partícula confinada
en un recipiente que viaja a cierta fracción de la velocidad
de la luz posee tres grados de libertad, por lo que la energ-
ía cinética translacional será:
,2
3TkE BK
que corresponde a la energía cinética translacional de una
partícula y donde T corresponde a la temperatura del
recipiente en la que se está moviendo la partícula. Luego,
de acuerdo a la transformación de la temperatura entre los
dos observadores se tiene:
2
2
0 12
3
c
uTkE Bk (4)
Donde To es la temperatura medida por el observador aquí
en la tierra, por lo tanto la energía cinética translacional
para una mol de gas es:
2
2
02
2
0 12
31)(
2
3
c
uRnT
c
uTnNkE ABT (5)
La ecuación 5 indica la energía interna del gas ideal en
función de la velocidad y en el límite cuando u tiende a
cero ET se reduce al resultado clásico. En este resultado
hemos supuesto que tal energía es producto del movi-
4 Se puede demostrar desde este punto que el trabajo realizado por la
máquina esta dado por [8]: 21 QQW
rev. col. fís.(c), vol. 40, No. 1, (2008)
3
miento del sistema en sí mismo, a una disminución del
volumen y no a que se tengan partículas dentro de la
cavidad con velocidad relativista. Hemos de entender en
este punto que las leyes de la termodinámica son válidas
para ambos observadores luego:
2
2
12
31)(
c
uR
dT
dE
nuC
o
Tv (6)
luego la ecuación (6) corresponde al calor específico a
volumen constante en función de la velocidad y de manera
análoga a lo que sucedía con la energía interna del sistema
cuando se consideran bajas velocidades también se reduce
al valor clásico descrito por la teoría cinética de gases.
Una vez establecido el calor específico a volumen cons-
tante se puede calcular Cp:
2
2
12
31)(
)()(
c
uRuC
RuCuC
p
vp
(7)
De igual forma que los resultados anteriores, Cp se reduce
al resultado clásico cuando se consideran bajas velocidades
en comparación con la velocidad de la luz. Con lo anterior
es posible establecer una expresión de (u):
1
13
2
)(
)()(
2
2
c
uuC
uCu
v
p
(8)
(
8
)
4. Resultados
En la Figura 1 se aprecia el comportamiento de Cv(u),
Cp(u) y (u) en función de la velocidad, este es decreciente
para el caso de Cv(u) y Cp(u); ello es debido a un desempe-
ño decreciente de la temperatura, la cual esta relacionada
con la invariancia de la entropía y la presión. Para la misma
Figura, se tiene que el comportamiento de (u) es aproxi-
madamente constante en los primeros estadios pero luego
crece levemente, esto es efecto a que Cp(u) no está decre-
ciendo en la misma proporción en que lo hace Cv(u). De-
bemos decir que esto es porque Cp(u) es función tanto de
la velocidad como de la presión y ésta es un invariante,
mientras Cv(u) es función de la velocidad y el volumen, el
Figura 1. Dependencia del calor especifico (Cv y Cp) de un gas
ideal en función de la velocidad y del coeficiente gamma
Figura 2 Isotermas en función de la velocidad.
cual disminuye con la velocidad. Una vez establecido
(u), el paso siguiente es trazar las adiabatas que cierran el
ciclo:
ctec
uVPuVP c
uu
O
1
13
2
2
2
00
)(2
2
1)(
(9)
En la Figura 4, se han trazado las adiabátas para una
máquina de Carnot relativista5 que se mueve a 0.9c, lo
primero que notamos es que la trayectoria B-C que co-
rresponde la proceso de expansión adiabáticas es menos
pendiente que la trayectoria D-A que describe la fase de
compresión adiabática, ello indica que la rata de cambio
dP/dT es más pronunciada durante la fase de compresión
que la de expansión adiabática, tal puede deberse al proce-
so de compresión del pistón en máquina que hace que el
volumen del cilindro disminuya sumado con la contracción
relativista del volumen mientras que la otra adiabáta de-
berá su menos pendiente a que el proceso de expansión
del volumen entra del cilindro es contrario a la contrac-
ción relativista. En su trabajo, Tolman no indica como es el
comportamiento del calor especifico (Cv(u), Cp(u)), las
isotermas y las adibatas en función de la velocidad por lo
que el resultado aquí presentado es original en ese aspecto
[2].
5 Comparece con la Figura 8 que corresponde a la máquina de Carnot
clásica.
0,0E+00
5,0E+00
1,0E+01
1,5E+01
2,0E+01
2,5E+01
0,00E+00 5,00E+07 1,00E+08 1,50E+08 2,00E+08 2,50E+08 3,00E+08
VELOCIDAD(m/s)
CA
LO
R E
SP
EC
IFIC
O (
J/M
ol*
K)
Cv
Cp
Gamma
0,00E+00
5,00E+02
1,00E+03
1,50E+03
2,00E+03
2,50E+03
3,00E+03
3,50E+03
0,00E+00 1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00
VOLUMEN (m3)
PR
ES
ION
(Pa
)
isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,9 c
isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,8 c
isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,7 c
isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0
ISOTERMAS RELATIVISTAS
ISOTERMA CLASICA
W. A. Rojas C. et al.: Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad
4
Figura 3. Máquina de carnot clásica.
Figura 4. Máquina de Carnot relativista
Conclusiones
Se partió de la suposición de que en un proceso adiabático
cuasiestacionario reversible sin absorción de calor la en-
tropía debe permanecer invariante. Con esta hipótesis se
demostraron la existencia de las demás transformaciones
termodinámicas:
1. La temperatura es función de la velocidad, pues T0
viene multiplicada por inverso del factor de Lorentz y en el
límite que cuando la velocidad u tiende a c, T tiende a
cero sin entrar en contradicción con la invariancia de la
entropía. En el caso de la transformación de la energía total
se halló que en el límite cuando la velocidad tiende a c, la
energía tiende a infinito, ello se debe a un aumento de la
energía 0E la cual está asociada a la masa del sistema, que
como se sabe está aumenta a medida que crece la velocidad.
2. Se ha mostrado que en un diagrama de P-V el trabajo
realizado por la máquina que corresponde al área bajo la
curva es menor cuando ésta se halla en movimiento relativo
a que cuando está en reposo, lo cual no se ha reportado
hasta ahora en la literatura. La energía interna del motor
es función de la velocidad del sistema mismo y no una
consecuencia de la cinemática de las partículas confinadas
dentro del cilindro.
3. Se mostró que Cv(u) Cp(u) y (u) son funciones de la
velocidad del sistema, el cual es un resultado nuevo y no
reportado. Por lo tanto las trayectorias adiabátas también
los son y ratas de cambio dP/dT son diferentes para la
compresión que para la expansión adiabáta en una máquina
de carnot relativista, de nuevo tenenos un resultado aun no
reportado en la literatura.
Referencias:
[1] M. PLANCK Ann. Physik 26, 1 (1908).
[2] TOLMAN RICHARD C. Relativity Thermodynamics and
Cosmology. Dover Publication, Inc. New York.1987.
[3] www.ipc.bas.bg/PPages/Avramov/RelatJrus.pdf
[4] www.journaloftheoretics.com/Articles/5-2/commentary5-
2.pdf
[5] http://fisica.ciencias.uchile.cl/~gonzalo/cursos/termo_II-
04/seminarios/alumnos/TermoyRela_CFarias-PMoya04.pdf
[6] KUHN THOMAS S. La teoría del cuerpo negro y la dis-
continuidad cuántica, 1894-1912. Alianza Universidad. Ma-
drid. 1980.
[7] OBERT. EDWARD F Y YOUNG ROBERT. Elements of thermodynamics and heat transfer. Mc Graw-Hill. 1962.
[8] ZEMANSKY MARK W. Calor y Termodinámica .Aguilar
S.A. 1968.
4,00E+02
9,00E+02
1,40E+03
1,90E+03
2,40E+03
1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00
VOLUMEN (M3)
PR
ES
ION
(P
a)
isoterma C-D T2=300 K
isoterma A-B T1=400 K
adiabata B-C
adiabata D-A
ISOTERMA T1
ISOTERMA T2
A
B
C
D
0,0E+00
5,0E+02
1,0E+03
1,5E+03
2,0E+03
2,5E+03
3,0E+03
1,0E+00 2,0E+00 3,0E+00 4,0E+00 5,0E+00 6,0E+00
VOLUMEN(m3)
PR
ES
ION
(Pa)
Isoterma T1=600 K
Isoterma T2=300 K
Adiabata BC
Adiabata DA
A
ISOTERMA T1
ISOTERMA T2
B
C
D