TURUNAN

BAB 3 HASIL BAGI DIFFERENSIAL

3.1 TURUNAN

3.1.1 Definisi Turunan

Jika fungsi kontinyu pada x = c, maka turunan fungsi f pada x = c ditulis dengan y’ pada x = c atau f’(c) didefinisikan sebagai berikut :

(1)

Jika limitnya ada, dikatakan fungsi differensiabel pada x = c.Jika fungsi kontinyu pada sebarang interval I maka turunan fungsi secara umum didefinisikan

(2)

Suatu fungsi dikatakan differensiabel pada suatu interval I jika fungsi tersebut differensiabel pada setiap titik x pada I.Turunan fungsi disebut juga sebagai hasil bagi differensial fungsi terhadap x dan

disimbulkan dengan .

adalah perubahan f atau y setelah x berubah sebesar dari x menjadi .

Sehingga turunan fungsi dapat juga ditulis sebagai berikut :

atau (3)

Selain menggunakan simbol di atas turunan fungsi juga digunakan simbol lain yaitu

Contoh 1Diberikan fungsi Tentukan pada x = 2

Penyelesaiana. Dengan menggunakan rumus (1),substitusi langsung

1

b. Dengan menggunakan rumus (2) turunan secara umum Selain dengan menggunakan cara langsung seperti di atas, bisa juga menggunakan cara mencari turunan fungsi secara umum untuk sebarang nilai x, yaitu :

Jadi turunan dari fungsi secara umum adalah y’= 6x.Sedangkan untuk mencara f’(2) tinggal mensubstitusikan x = 2 ke f’(x) = 6x , yaitu f”(2) = 6.2 =12.

3.1.2 Interpretasi Geometris

l

f(c+h) Q

f(c) P(c,f(c)) R

Dari gambar 3.1.1 jika Q bergerak menuju P maka :1. PR = h akan menuju 02. Tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung l kurva di x = c3. Sudut QPR akan menjadi sudut α yaitu sudut antara garis singgung l dengan sumbu X positip,

yang disebut sebagai sudut arah.4. Tangen sudut QPR

5. Tangen α disebut sebagai tangen arah, koeffisien arah, slope, atau gradien, dan berdasar uraian di atas tangen α diberikan sebagai :

(5)

dengan syarat limitnya ada.6. Jika garis singgungnya merupakan garis sejajar sumbu Y yaitu x = c maka tangen arahnya :

berarti limitnya tidak ada.

Contoh 1Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik (5,8).

Penyelesaian

2

c c+h

Gambar 3.1.1

3.1.3 Garis Normal

Kita cari dulu gradien m garis singgung kurva di titik (5,8) dengan cara mencari turunannya di titik (5,8), yaitu

f(5)sehingga diperoleh

Kita gunakan persamaan garis melalui sebuah titik (a,b) dengan gradian m dengan rumus y – b = m (x – a). Karena titik P(5,8) dan gradien m = 6 maka akan diperoleh persamaan garis singgung

y – 8 = 6(x – 5)y – 8 = 6x – 30 y = 6x – 22

Garis normal suatu kurva adalah garis yang tegak lurus garis singgung kurva di suatu titik.Jika l merupakan garis singgung kurva di titik P dengan gradien dan n merupakan garis normal di titik P dengan gradien maka l tegak lurus dengan n. Dengan demikian .

Contoh 2Tentuk persamaan garis normal kurva yang sejajar dengan garis 6x + 3y – 4 = 0.

Penyelesaian Jika garis singgung kurva tersebut adalah garis l dan mempunyai gradien , maka gradien garis singgung diperoleh dari turunan fungsi

3

l n

P

Gambar 3.1.2

Sedangkan garis 6x + 3y – 4 = 0 dinyatakan dalam bentuk eksplisit menjadi .

Dengan demikian garis tersebut mempunyai gradien .Karena garis normal n tegak lurus dengan garis singgung l maka berlaku . Ini berarti

atau atau

Sehingga diperoleh x - 3 = 1 atau x = 4. Jadi absis titik singgungnya adalah x = 4.

Untuk mecari ordinatnya diperoleh dengan mensubstitusikan x = 4 pada kurva .

Jadi titik singgungnya P(4,1).

Dengan demikian persamaan garis normalnya adalah y – 1 = -2(x – 4) atau 3x + y – 9 = 0.

4

SOAL 3.1.1

Dengan definisi cari turunan fungsi pada soal berikut :

1.

2.

3. Tentukan slope kurva di titik (4,-4)

4. Tentukan slope kurva di titik (-3,2)5. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis 6. Tentukan persamaan garis normal kurva yang sejajar dengan garis 7. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang tegak lurus dengan garis

3.2 HUBUNGAN DIFFERENSIABILITAS DAN KONTINUITAS

FUNGSI

Jika suatu fungsi differensiabel pada x = c, apakah fungsi tersebut kontinyu pada x = c ? Pertanyaan itu sama saja dengan jika

ada, apakah ?

Jawaban

berarti .

Padahal sehingga diperoleh

. Jadi f(x) kontinyu pada x = c. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut :

5

3.2.1 Teorema

y = -x y = x

0 X

Gambar 3.2.1

SOAL 3.2

Jika f(x) differensiabel pada titik x = c , maka f(x) kontinyu pada titik x = c

Teorema tersebut tidak berlaku jika dibalik yaitu jika f(x) kontinyu pada titik x = c, maka f(x) differensiabel pada titik x = c. Walaupun belum dapat diambil kesimpulan pasti f’(c) ada.

Contoh 3.2.1Selidiki differensiabilitas di titik x = 0

Penyelesaian.Fungsi seperti tampak pada gambar 3.2.1

Berdasarkan definisi maka diperoleh

gradien kurva untuk adalah gradien garis yaitu 1. Ini berarti

Sedangkan gradien kurva

untuk adalah gradien garis yaitu -1. Ini berarti

.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa limit kanan kurva untuk tidak sama dengan limit kirinya, sehingga gradien kurva untuk

tidak ada.

Jadi tidak diferensiabel. Padahal fungsi tersebut kontinyu pada x = 0, yaitu

1. Selidikan differenssiabilitas fungsi pada x = 2

6

2. Selidikan differenssiabilitas fungsi pada x = 1

3. Selidikan differenssiabilitas fungsi pada x = -4

3.3 TEOREMA-TEOREMA TURUNAN

3.3.1 Teorema

3.3.2Teorema

Mencari turunan fungsi dengan menggunakan definisi kadang-kadang akan terasa sangat panjang dan sulit, apalagi untuk fungsi-fungsi transenden. Diperlukan aturan-aturan, teorema-teorema atau rumus-rumus yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal turunan secara efektif dan efisien. Berikut disajika beberapa teorema dan rumus-rumus yang lazim digunakan untuk menyelesaikan soal turunan.

Jika c konstanta dan f(x) = c untuk setiap x, maka f’(c) = 0atau Bukti :

Jadi

Jika n bilangan bulat positip dan jika , maka atau

Bukti :

Jadi Sebagai contoh jika , maka

Jika f dan g fungsi dan F fungsi yang didefinisikan sebagai

7

3.3.3Teorema

3.3.4 Teorema

3.3.5Teorema

, maka atau

Bukti :Metode 1

Metode 2gfh

Oleh karena itu . Dengan membagi diperoleh

Sehingga

Jadi

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan juga teorema berikut

Jika f dan g fungsi dan h fungsi yang didefinisikan sebagai , maka atau

Jika f dan g fungsi dan h fungsi yang didefinisikan sebagai , maka

atau

Bukti :Metode 1

8

dengan mengurangkan dan menambahkan pada pembilang diperoleh

Metode 2

Oleh karena itu . Dengan membagi diperoleh

Sehingga

Jadi

Jika f dan g fungsi dan F fungsi yang didefinisikan sebagai

dengan , maka :

9

3.3.6 Teorema atau

Bukti :Metode 1 :

dimana , maka jika dan

ada,

dengan mengurangkan dan menambahkan pada pembilang diperoleh

Metode 2

Oleh karena itu

10

Dengan membagi diperoleh

Sehingga

Jadi

Berdasarkan teorema tersebut diperoleh :

Soal :Carilah turunan fungsi h(x) berikut :1.

11

2.

3.4. TURUNAN SEBAGAI RATA-

RATA PERUBAHAN

Jika suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus maka gerak tersebut dinamakan gerak lurus. Jika dipilih salah satu arah sebagai arah positip maka arah yang berlawanan disebut arah negatip. Biasanya untuk mempermudah arah yang digunakan adalah arah horizontal dengan arah kekanan sebagai arah positip dan arah kekiri sebagai arah negatip, menyesuaikan dengan garis bilangan riil, dan dipilih suatu titik sebagai titik pusat dilambangkan dengan O sebagai titik awal suatu gerakan.

Suatu lintasan s (satuan panjang) menggambarkan jarak gerak partikel dalam arah tertentu dimulai dari titik O selama periode waktu t (satuan waktu). Lintasan s merupakan fungsi dari waktu t yang dinyatakan dalam rumus fungsi

Sebagai contoh, suatu lintasan s dinyatakan sebagai fungsi

dengan s dalam cm dan t dalam detik.Pada saat t = 0 partikel berada pada lintasan s = 0+2.0-3 = -3. Pada saat t = 1 partikel berada pada lintasan s = 1 +2.1 – 3 = 0 dan pada saat t = 3 partikel berada pada lintasan s = 9+ 6 – 3 = 12Selama periode waktu 1 sampai 3 detik partikel menempuh jarak 12 cm. Sehingga rata rata-rata gerak partikel adalah

cm/detik

Pada umumnya kecepatan gerak partikel dalam periode waktu tertentu tidak tetap. Misalnya dalam mobil dalam periode 3 jam pertama kecepatannya 60 km/jam, kemudian pada periode 3 jam kedua menambah kecepatan sehingga menjadi 80 km/jam dan pada periode 3 jam ketiga kecepatannya menjadi 100 km/jam Jika penambahan kecepatan tersebut konstan dalam periode waktu tertentu maka geraknya disebut sebagai gerak lurus berubah beraturuan, dan jika kecepatannya konstan geraknya disebut sebagai gerak lurus beraturan.

Jika s (cm) menyatakan lintasan partikel dari O selama t (detik), dan ketika pada saat detik cm maka perubahan jaraknya adalah cm dan perubahan waktu detik. Sehinga rata-rata kecepatannya

dilambangkan dengan v dinyatakan dank arena s

12

merupan fungsi waktu yaitu s = f(t) maka kecepatan dapat

juga dinyatakan sebagai

3.4.1. Kecepatan Sesaat. Permasalahannya sekarang jika suatu partikel bergerak dengan kecepatan yang berubah-ubah, bagaimana kecepatan partikel pada saat t ? Untuk itu digunakan konsep rata-rata kecepatan pada suatu interval waktu tertentu, misalkan dalam rentangan waktu dari t sampai dengan

. Jika lintasan partikel tersebut dinyatakan dalam fungsi waktu maka perubahan lintasannya adalah

sehingga kecepatan partikel dalam interval

waktu tersebut adalah

Kecepatan pada saat t yang ditulis sebagai fungsi waktu didefinisikan sebagai berikut :

jika ada.Contoh :1. Suatu partikel bergerak sepanjang garis horizontal dengan rumus lintasan

Tentukan interval waktu kapan partikel bergerak kekanan dan kapan bergerak kekiri?

2. Suatu bola dilempar vertikal ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 64 ft/dt. Jika arah positip merupakan arah ke atas maka persamaan geraknya adalah

a. Tentukan kecepatan bola pada saat t = 1detik?b. Tentukan kecepatan bola pada saat 3 detik?c. Diperlukan waktu berapa detik agar bola mencapai

puncak tertingginya?d. Sampai ketinggian berapa bola terlempar?e. Dengan kecepatan berapa bola menyentuh tanah?

3.5 TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI

Anggaplah y merupakan fungsi dari u ditulis , sedangkan u sendiri merupakan fungsi dari x

ditulis , maka disebut sebagai fungsi komposisi, fungsi bersusun, atau

13

3.5.1 Teorema

fungsi rantai dengan domain himpunan yang memuat x dan daerah hasil himpunan y.Sebagai contoh Jika dan , maka

Untuk mencari turunan fungsi y kita gunakan aturan rantai sebagai berikut

Jika y merupakan fungsi dari u yang ditentukan dengan , dan ada , sedangkan u merupakan fungsi dari

x yang ditentukan oleh , dan ada.

Maka atau atau

Bukti :Karena dan , maka jika x bertambah sebesar maka u akan bertambah sebesar dan y juga akan bertambah sebesar

jika

dengan demikian . Ini berarti

atu juga ditulis .

Dari contoh di atas dengan dan

dan

Contoh

Tentukan , jika

Penyelesaian

3.6. TURUNAN FUNGSI INVERS

Jika Fungsi kontinyu maka fungsi inversnya juga kontinyu.

Untuk penambahan x sebesar maka y akan bertambah sebesar begitu juga sebaliknya.

14

Sehingga diperoleh .

Dengan demikian atau

Jadi (1)

Contoh 1, dimana . Fungsi tersebut adalah

fungsi bijeksi karena itu ada dan ditentukan oleh

Sehingga atau

3.7 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Ada enam macam fungsi trigonometri, yaitu fungis sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cotangent (cot), secant (sec), dan cosecant (csc). Pada uraian berikut tidak dibicarkan tentang definisi masing-masing fungsi trigonometri, tetapi langsung mencari rumus-rumus untuk turunannya, seperti teorema berikut :

1. Fungsi sinus.Jika maka

Bukti :

Metode 1.Dari definisi diperoleh turunan fungsi f(x) adalah

Dengan menggunakan rumus diperoleh

15

Padahal

Maka diperoleh

Meode 2.Dari definisi diperoleh turunan fungsi f(x) adalah

Digunakan rumus trigonometri

sehingga diperoleh

Jadi (1)

Berdasarkan teorema 3.5.1 turunan fungsi komposisi , secara umum diperoleh teorema sebagai berikut :

16

3.7.1 Teorema

3.7.2 Teorema

Jika u merupakan fungsi yang differensiabel terhadap x, dan , maka (2)

2. Fungsi cosinusJika maka

Bukti :Metode 1

Metode 2Digunakan rumus fungsi trigonometri

sehingga diperoleh

Jadi (3)


Jika u merupakan fungsi yang differensiabel terhadap x, dan , maka (4)

3. Fungsi tangent

Jika , maka

Bukti :

17

3.7.3 Teorema

3.7.4 Teorema

3.7.5 Teorema

Jadi (5)


Jika u merupakan fungsi yang differensiabel terhadap x, dan , maka

(6)

Bisa dibuktikan sendiri Teorema-teorema berikut yang digunakan sebagai rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lain :

4. Fungsi cotangent

Jika , maka

Secara umum dituangkan dalam teorema berikut


5. Fungsi secant

Jika , maka



6. Fungsi cosecant.

Jika , maka


Jika u merupakan fungsi yang differensiabel terhadap x,

18

3.7.6 Teorema

dan , maka

Contoh :1. Diberikan . Tentukan turunan y.

Dengan menggunakan teorema perkalian dan turunan fungsi sinus diperoleh :

2. . Tentuka

3.8 TURUNAN INVERS FUNGSI

TRIGONOMETRI

Invers Fungsi Trigonometri disebut juga sebagai fungsi Cyclometri. Ada enam macam fungsi cyclometri sebagai berikut :

1. Fungsi

Fungsi tersebut merupakan invers dari fungsi Pada interval fungsi continyu dan monoton naik, sehingga fungsi inversnya juga continyu dan monoton naik pada interval , oleh karenanya fungsi tersebut mempunyai turunan. Untuk mencari rumus turunannya digunakan aturan fungsi invers sebagai berikut

Karena , maka atau

Berdasarkan identitas trigonometri , diperoleh atau .

Dengan demikian

19

Teorema 3.4.4.1

Jadi (1)

Domain turunannya merupakan interval terbuka (-1,1).Secara umum dituangkan dalam teorema berikut

Jika u fungsi yang differensiabel dari x, maka

(2)

2. Fungsi Fungsi tersebut menunjukkan bahwa Pada interval fungsi continyu dan monoton turun, sehingga fungsi inversnya juga continyu dan monoton turun pada interval , oleh karenanya fungsi tersebut juga mempunyai turunan. Untuk mencari rumus turunannya digunakan turunan fungsi invers sebagai berikut

, sehingga diperoleh atau .

atau . Dengan

demikian jika maka

Jadi

Atau dengan cara yang lebih singkat

, sehingga diperoleh

Domain turunannya merupakan interval terbuka (-1,1).Secara umum dituangkan dalam teorema berikut

Jika u fungsi yang differensiabel dari x, ,aka

3. Fungsi Fungsi ini berarti bahwa berlaku dalam interval

dan x pada himpunan bilangan riil. Pada

20

Teorema

Teorema

interval tersebut fungsi merupakan fungsi yang kontinyu dan monoton naik, sehingga turunannya ada.Turunannya adalah

atau

Dengan menggunakan identitas trigonometri akan diperoleh .

Dengan demikian

Domain dari turunan fungsi yaitu

adalah himpunan seluruh bilangan riil.



4. Fungsi Fungsi ini berarti bahwa berlaku dalam interval

dan x pada himpunan bilangan riil. Pada interval tersebut fungsi merupakan fungsi yang kontinyu dan monoton turun, sehingga turunannya ada.Turunannya adalah

atau

Dengan menggunakan identitas trigonometri akan diperoleh .

Dengan demikian

Domain dari turunan fungsi yaitu

adalah himpunan seluruh bilangan riil.



21

Teorema

5. Fungsi

, untuk setiap

Turunan adalah

Oleh karena itu

dimana



6. Fungsi

Berdasar pada untuk ,

maka untuk . Sehingga turunannya

22

Teorema

Teorema

dimana .



3.4.4. Turunan Fungsi Logaritmik dan Eksponen

Fungsi logaritma merupakan invers fungsi eksponen, yaitu jika , maka fungsi inversnya adalah

, untuk . Sehingga memenuhi sifat fungsi invers merupakan fungsi identitas.Untuk berlaku

Merupakan fungsi identitas . Demikian juga sebaliknya

juga fungsi identitas.Untuk menentukan turunan fungsi logaritma dimulai dengan mencari turunan fungsi .

1. Turunan Fungsi , dimana

Menggunakan definisi turunan diperoleh

23

Jadi untuk

Dengan menggunakan aturan rantai, jika dan

untuk

Jadi untuk

2. Turunan Fungsi , dimana

Untuk mencari turunan fungsi ,fungsi tersebut diubah menjadi fungsi logaritma bilangan pokok e , yaitu

Jadi

1. Turunan fungsi Digunakan invers fungsi yaitu . Turunan dari fungsi adalah

, sehinga .

Jadi

2. Turunan Fungsi Fungsi diubah menjadi Digunakan dalil turunan fungsi komposisi, yaitu jika maka .Sehingga turunan fungsi adalah

.Jadi

3.4.6. Turunan Fungsi Implisit

Rumus fungsi seperti yang biasa digunakan yaitu dalam bentuk merupakan bentuk eksplisit. Bentuk lain yaitu fungsi yang dinyatakan dalam rumus dinamakan bentuk implisit. Untuk menentukan turunannya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada fungsi dalam bentuk implisit harus diubah dalam bentuk eksplisit. Tetapi tidak selalu suatu fungsi implisit dapat atau mudah dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Misalkan fungsi dalam bentuk implisit

24

kita akan kesulitan menjadikan bentuk eksplisit.Dalam keadaan demikian dibiarkan fungsinya dalam bentuknya yang implisit.Prosedur mencari turunan fungsi implisit dilakukan dengan mencari turunan terhadap x masing-masing suku, baik yang terdiri dari salah satu variabel x atau y atau gabungan keduanya. Tetapi dalam hal ini perlu diingat bahwa variabel y merupakan fungsi dalam x, sehingga menencari turunan betuk yang mengandung variabel y harus menggunakan aturuan fungsi bersusun atau fungsi rantai, yaitu setelah

mencari turunan terhadap y kemudian dikalikan dengan

sebagi berikut:

(1)

Contoh 1.

1. Hitunglah turunan dari , dimana r konstanta.

Penyelesaian : diubah menjadi bentuk implisit sehingga

menjadi . Kemudian dicari turunan dari masing-masing suku sebagai berikut

2. Tentukan dari persamaan

25

3.4.7. Mencari Turunan Secara Logaritmik

Mencari turunan fungsi dalam bentuk perkalian, pembagian atau pangkat dari fungsi-fungsi dengan cara biasa kita harus mengubah fungsi tersebut menjadi polinom. Namun cara ini tidak mudah atau bahkan tidak dapat dilakukan, apalagi jika faktor-faktornya memuat fungsi eksponen dengan pangkat yang tinggi. Untuk mencari turunannya akan menjadi lebih mudah dan sederhana jika fungsinya diubah menjadi fungsi logaritma natural (ln).

1. Fungsi

Fungsi tersebut diubah menjadi fungsi logaritma natural dengan melogaritmakan kedua ruas, kiri dan kanan, sehingga diperoleh

Dengan menurunkan masing-masing suku diperoleh

2. Fungsi

Dengan melogaritmakan natural kedua ruas, menjadi

Kemudian masing-masing ruas dicari turunannya, sehingga diperoleh

Dengan mengalikan y masing-masing ruas diperoleh

26

3. Jika , maka turunannya berlaku untuk setiap n bilangan riil.

Pada teorema 3.3 dinyatakan yang

keberlakuannya hanya pada bilangan bulat positip. Dengan menggunakan turunan logaritma bahwa beberlakuan rumus tersebut tidak terbatas pada bilangan bulat positip saja tetapi juga berlaku pada bilangan riil. Dibuktikan sebagai berikut.

Turunannya adalah

Ini berlaku untuk segala macam bilangan riil.

Contoh 1

1. Carilah dari fungsi

dimana

Penyelesaian

Dengan menggunakan rumus fungsi logaritma diperoleh:

.3.9 TURUNAN FUNGSI

PARAMETERSuatu fungsi disebut fungsi parameter adalah jika

dari masing-masing variabel bebas x dan terikat y merupakan fungsi dari variabel ketiga misalnya t, yaitu

dimana keduanya kontinyu pada suatu interval tertentu.Maka akan berlaku

27

Jika , maka 0x dan 0ySehingga

Ini berarti

(1)

3.9 TURUNAN FUNGSI DALAM KOORDINAT

KUTUP

28

29

Documents

TURUNAN